Dinamika na konstrukciite 1

10.2 SISTEMI SO POVE}E STEPENI NA SLOBODA Vo poglavjata [to prethodea, razgledani bea dinami~kite karakteristiki i oscilaciite na sistemi so eden stepen na sloboda. Toa se sistemi kaj koi, bez golemi otstapki, mo`e da se smeta deka celata masa e skoncentrirana vo edna to~ka i pomestuvaweto na taa to~ka go definira pomjestuvaweto na sistemot. Me\utoa zna~itelno pogolem e brojot na konstrukciite kaj koi pretpostavkata za koncentracija na masata vo edna to~ka ne e opravdana. Na Slika 10.23 dadena e edna dvokatna ramkova konstrukcija, dokolku se zanemari sopstvenata te`ina na stolbovite i gredite, mo`e da se pretpostavi deka masata, koja proizleguva od tovarot koj deluva na gredite, e skoncentrirana vo dve to~ki. Ednata to~ka e na nivo na prviot kat, dodeka drugata e na nivo na vtoriot kat.

Slika 10.23 Sistem so dva stepena na sloboda

Slika 10.24 Matemati~ki model na sistem so dva stepena na sloboda

Na ovoj na~in pomestuvaweto na sistemot ]e bide definirano dokolku se poznati pomestuvawata na dvete masi. Od ova proizleguva deka dvokatnata ramka pri dinami~ka analiza mo`e da se pretstavi kako sistem so dva stepena na sloboda. Analogno, za razli~ni sistemi, dinami~kiot model mo`e da bide opredelene so n,,4,3 K stepeni na sloboda ili op[to, sistemi so pove]e stepeni na sloboda. ) Sistemi kaj koi, bez golemi otstapki, mo`e da se smeta deka celata masa e

skoncentrirana vo kone~en broj to~ki, pri [to pomestuvaweto na tie to~ki go definira pomestuvaweto na sistemot, poznati se kako sistemi so pove]e stepeni na sloboda .

2

Na Slika 10.24a) daden e matemati~ki model na sistem so dva stepena na sloboda, dodeka na Slika 10.24b) poedinite vrski zameneti se soodvetni sili. Imaj]i gi predvid site sili koi deluvaat na masite za sekoja od niv mo`e da se napi[e ravenkata na dinami~ka ramnote`a:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tpuukuucumtpuukukuucucum

212212222

1122111221111

=++=++

&&&&&&&&&

(10.33)

dokolku ovaa ravenka se zapi[` vo matri~na forma se dobiva: ( )

( )

=

++

++

tptp

uu

kkkkk

uu

ccccc

uu

m00m

2

1

2

1

22

221

2

1

22

221

2

1

2

1

&&

&&&&

(10.34)

ili vo skratena forma:

[ ] { } [ ] { } [ ] { } ( ){ }tPUKUCUM =++ &&& (10.35) kade: [ ]M - matrica na masi [ ]C - matrica na prigu[uvawe [ ]K - matrica na krutost Slobodnite neprigu[eni oscilacii, kako [to be[e opi[ano vo poglavjeto 10.1.1 , nastanuvaat dokolku na odreden sistem mu se zadadat po~etni pomestuvawa i brzinai na masite, a potoa istite ne se izlo`eni na dopolnitelno dejstvo. 10.2.1 Prirodni frekfencii i tonovi formi na sistem so pove]e

stepeni na sloboda

Slika 10.25 Slobodni neprigu[eni oscilacii

Dinamika na konstrukciite 3

na sistem so dva stepena na sloboda Na Slika 25d) daden e grafikot na slobodnite oscilacii na sistem so dva stepena na sloboda predizvikani od po~etni uslovi, grafi~ki pretstaveni so krivata a od Slika 25b). { } { }( )0UU = i { } { }( )0UU && = (10.36) pri [to dinami~kata ravenka na sistemot e: [ ] { } [ ] { } 0UKUM =+ && (10.37) Od grafi~kiot prikaz na deformiranata sostojba na sistemot vo dva vremenski momenta pretstaveni so krivite b,c od Slika 25b). mo`e da se vidi deka tie se razlikuvaat me\usebe, a razli~ni se i od po~etnata forma a, koja prethodi na oscilaciite. Od graficite pak na oscilaciite na dvete masi Slika25d), o~igledno e deka ovie oscilacii ne se harmoniski, pa nemo`e da se zboruva za odredena perioda ili frekfencija na oscilaciite.

Slika 10.26 Slobodni neprigu[eni oscilacii, na sistem so dva stepena na

sloboda, vo prva tonova forma ) Postojat to~no opredeleni oblici na po~etnata deformirana polo`ba

na sistemot, koi se takvi da pri ponatamo[noto oscilirawe se menuva intenzitetot na pomestuvawata, me\utoa deformiranata sostojba ja zadr`uva istata forma. Takvata forma se narekuva tonova forma na slobodnite oscilacii. Oscilaciite na poedinite masi pri toa se harmoniski i so ista perioda iT koja se narekuva perioda na tonovata forma.

Na Slika 10.26b) pretstavena e prvata tonova forma na sistem so dva stepena na sloboda, dodeka na Slika 10.27b) daden e grafi~ki prikaz na vtorata tonova forma na istiot sistem.

4

Slika 10.27 Slobodni neprigu[eni oscilacii, na sistem so dva stepena na sloboda, vo vtora tonova forma

Od oblikot na ovie tonovi formi mo`e da se sogleda deka, kaj prvata tonova forma dvete masi sekoga[ se nao\aat na istata strana od ramnote`nata polo`ba, dodeka kaj vtorata tonova forma dvete masi sekoga[ se na razli~ni strani od ramnote`nata polo`ba. Pri toa vo vtorata tonova forma postoi edna to~ka od sistemot koja vo nieden moment nema pomestuvawe, [to prakti~no zna~i deka miruva. Ovaa to~ka se narekuva jazol. ) Brojot na tonovi formi na odreden sistem ednakov e na brojot na masi vo

modelot. Brojot pak na jazli vo tonovata forma go definira redosledniot broj na soodvetnata tonova forma

Taka vo prvata tonova forma nema jazol i nejziniot oblik potsetuva na deformiraniot oblikot na sistem so eden stepen na sloboda, ovaa forma se narekuva osnovna tonova forma. Vtorata tonova forma ima eden jazol, tretata dva jazla, dodeka n - tata tonova forma ]e ima 1n jazli. Za da matemati~ki se opi[e osciliraweto na poedinite masi od edna tonova forma se koristi slednata formulacija: ( ){ } ( ){ }nn tqtU = (10.38) kade vektorot [to go definira oblikot na tonovata forma{ }n ne se menuva vo tek na vreme, promenata na pomestuvawata se definira preku edan harmoniska funkcija so oblik: ( ) tsinBtcosAtq nnnnn += (10.39)

Dinamika na konstrukciite 5

kade nn B,A se integracioni konstanti koi se opredeluvaat od po~etnite uslovi. Zamenuvaj]i ja ravenkata (10.39) vo (10.38) se dobiva: ( ){ } { }( )tsinBtcosAtU nnnnn += (10.40) ako ovoj izraz za pomestuvawata se vnese vo dinami~kata ravenka za sistem so nstepeni na sloboda (10.37) : { } { }( ) ( ) 0tqKM nnn2n =+ (10.41) Ravenkata mo`e da bide zadovolena na dva na~ina

Edniot ako funkcijata ( )0tqn = , [to zna~i deka po~etnite uslovi se nula, ova e taka nare~eno trivijalno re[enie

Drugiot povlekuva ispolnuvawe na sledniot algebarski uslov { } { }n2nn MK = (10.42)

Matricite na masi i na krutost se poznati, taka da, od ravenkata (10.42) treba da se opredeli kru`nata frekfencija na tonovata forma n i nejziniot oblik definiran so vektorot { }n . Ako istat se prepi[e vo oblik: ( ){ } 0MK n2n = (10.43) 0MKdet 2n = (10.44) ovaa matri~na ravenka mo`e da se pretstavi so sistem od n nehomogeni algebarski ravenki. So izedna~uvawe so nula na izrazot vo zagradata se dobivaat n razli~ni re[enija za n , toa se kru`nite frekfencii za n -te tonovi formi koi se u[te poznati kako sopstveni vrednosti. Zamenuvaj]i gi ovie vrednosti vo sistemot homogeni algebarski ravenki se opredeluvaat vektorite { }n . Treba da se napomene deka pri re[avaweto na sistemot ravenki ne se dobivaat absolutnite vrednosti na ovie vektori tuku odnosot pome\u oddelnite ~lenovi. vektorite { }n koi go definiraat oblikot na tonovata forma se narekuvaat sopstveni vektori ili vektori na tonovite formi. ) Zna~ajno e da se poso~i deka periodata na prvata tonova forma e

najgolema, a periodite na povisokite tonovi formi se namaluvaat, dodeka frekfencijata na osnovnata tonova forma e najmala, a frekfenciite na povisokite tonovi formi se zgolemuvaat

6

10.2.2 Matrici na tonovite formi i spektralni matrici N-te sopstveni vrednosti, N-te prirodni frekfencii i N-te tonovi formi mo`at kompaktno da se pretstavat vo matrici. Dokolku tonovata forma { }n koja odgovara na prirodnata kru`na frekfencija n ima elementi jn , kade j gi ozna~uva stepenite na sloboda. N-te sopstveni vektori mo`at da se pretstavat vo edena kvadratna matrica, pri [to sekoja kolana pretstavuva edna tonova forma:

[ ]

==

1N2N1N

N22221

N11211

jn

L

MOMMLL

(10.45)

Matricata se narekuva matrica na tonovi formi (modalna matrica) na problemot na sopstveni vrednosti,. N-te sopstveni vrednosti 2n mo`at da se pretstavat so dijagonalna matrica ravenka (10.42) 2, poznata kako spektralna matrica na problemot na sopstveni vrednosti, ravenka (10.42):

=

2N

22

21

2

O

(10.46)

Sekoja sopstvena vrednost i sopstven vektor ja zadovoluvaat ravenka (10.42), [to mo`e da se zapi[e vo sledniot oblik { } { } 2nnn MK = (10.47) Koristej]i ja usvoenata notacija na spektralna matrica i matrica na tonovi formi sistemot od ravenki mo`e da se zapi[e kako edna matri~na ravenka: 2MK = (10.48) Ravenkata (10.48) ovozmo`uva kompaktno pretstavuvawe na ravenkite povrzani so sopstvenite vrednosti i sopstvenite vektori. 10.2.3 Ortogonalnost na tonovite formi Mo`e da se poka`e deka tonovite formi koi odgovaraat na razli~nite vrednosti na prirodnite frekfencii gi zadovoluvaat uslovite na ortogonalnost. Ako

rn , { } { } { } { } 0M0K rTnrTn == (10.49)

Dinamika na konstrukciite 7

Ovie svojstva mo`at da se doka`at na sledniot na~in; n-tata prirodna frekfencija i tonova forma ja zadovoluva ravenkata (10.42); dokolku ja pomno`ime so { }Tr - transponirana vrednost od { }r se dobiva { } { } { } { }nTr2nnTr MK = (10.50) Na sli~en na~in r-tata prirodna frekfencija i tonova forma ja zadovoluva ravenkata (10.42); { } { }r2nr MK = . Dokolku se pomno`i so { }Tn se dobiva { } { } { } { }rTn2rrTn MK = (10.51) Transponiranite vrednosti na matricite od levata strana na ravenkata (10.42) se ednakvi so transponiranite vrednosti od desnata strana na ravenkata, taka [to: { } { } { } { }rTn2nrTn MK = (10.52) kade [to ve]e e komentirana simetrijata na matricata na krutost i na matricata na masi. Dokolku se odzeme ravenkata (10.51) od ravenkata (10.52) se dobiva ( ){ } { } 0M rTn2r2n = (10.53) Na takov na~in ravenkata (10.49b) e to~na za 2r

2n [to uka`uva deka za sistem

so pozitivni prirodni frekfencii e ispolneto rn . So zamenuvawe na ravenkata (10.49b) vo ravenkata (10.51) uka`uva deka ravenkata (10.49a) e to~na koga rn . So ova se kompletira dokazot za ortogonalnost definirana so ravenkata (10.49). Ortogonalnosta na tonovite formi vodi kon zaklu~okot deka slednite kvadratni matrici se dijagonalni: MK TT MK (10.54) kade dijagonalnite elementi se { } { } { } { }nTnnnTnn MK == MK (10.55) Bidej]i M i K se pozitivno definirani, dijagonalnite elementi na od K i M se pozitivni. Tie se povrzani so slednata relacija n

2nn MK = (10.56)

Ova mo`e da se opredeli od definicijata za Kn i Mn na sledniot na~in: Dokolku ravenkata (10.42) se zameni vo ravenkata (10.55a) se dobiva ( ) ( ) n2nnTn2nn2nTnn MM MK === (10.57)

8

Tolkuvawe na ortogonalnosta na tonovite formi Interesno e da se analizira [to, vo fizi~ka smisla, e posledica na ortogonalnosta na tonovite formi. Edna posledica e soznanieto deka rabotata na inercijalnite sili od n-tata tonova forma po pomestuvawata od r-tata tonova forma e nula. Toa mo`e da se doka`e na sledniot na~in, dokolku pomestuvawata na konstrukcijata vo n-tata tonova forma se ( ){ } ( ){ }nnn tqtU = (10.58) soodvetnite zabrzuvawa se ( ){ } ( ){ }nnn tqtU &&&& = , a soodvetnite inercijalni sili se ( ) ( ){ } { } ( )tqMtUMf nnnnI &&&& == (10.60) Pomestuvawata vo r-tata tonova forma se: ( ){ } ( ){ }rrr tqtU = (10.61) Rabotata na inercijalnite sili dadeni vo ravenkata (10.60) po pomestuvawata od ravenkata (10.61) e ( ) ( ) ( ) ( )tqtqMf rnrTnTnI &&= (10.62) [to e nula poradi ortagonalnosta na tonovite formi izrazeno so ravenkata (10.49b). So ova se kompletira dokazot. Druga posledica od ortagonalnosta na tonovite formi e toa [to rabotata na ekvivalntnite stati~ki sili koi odgovaraat na pomestuvawata od n-tata tonova forma po pomestuvawata od r-tata tonova forma e nula. Ovie sili se ( ) { }( ) ( )tqKtUKf nnnnS == i rabotata [to tie ja vr[at po pomestuvawata od ravenkata (10.61) e ( ) { } ( ) ( ) ( )tqtqKUf rnrTnrTnS = [to e nula poradi ortogonalnosta na tonovite formi izrazeno so ravenkata (10.49a). So ova se kompletira dokazot. 10.2.4 Normirawe na tonovite formi Kako [to be[e porano poso~eno problemot na sopstveni vrednosti, ravenka (10.42), gi opredeluva tonovite formi samo vo ramkite na faktorot na multiplikacija. Ako vektorot n e tonova forma, toga[ bilo koj vektor proporcionalen na nego isto taka ja zadovoluva ravenkata (10.42). Vo odredeni slu~ai tonovite formi se skaliraat so odreden faktor za da gi standiziraat elementite na vektorot koi odgovaraat na amplitudite na odredeni stepeni na

Dinamika na konstrukciite 9

sloboda. Ovaa postapka se narekuva normirawe. Ponekoga[ e zgodno tonovite formi da se normiraat taka [to najgolemiot element od sekoja tonova forma da bide ednakov na edinica. Vo drug slu~aj mo`e da e korisno tonovite formi da se normiraat na takov na~in [to elementot na vektorot koj odgovara na odreden stepen na sloboda, na primer najvisokiot kat od pove]ekatnica, e ednakov na edinica. Vo teoretskite diskusii i kompjuterskite programi voobi~aeno e tonovite formi da se normiraat taka [to Mn ima edini~na vrednost. Vo toj slu~aj IM1MM Tn

Tnn === (10.63)

kade I edine~na matrica. Ravenkata (10.63) poka`uva deka tonovite formi nesamo [to se ortogonalni tuku i normirani vo odnos na M. Vo toj slu~aj tie se vikaat set ortogonaleni na masite. Koga tonovite formi se normirani na toj na~in ravenkata (10.54a) (10.55a) stanuvaat 2T2nn

2nn

Tnn KK ===== KMK (10.64)

ekspanzija na pomestuvawata vo oblik na tonovite formi Bilo koj set od N nezavisni vektori mo`e da se iskoristi kako osnova za pretstavuvawe na bilo koj drug vektor od red N. Tonovite formi mo`at da se iskoristat kako takva osnova. Taka, bilo koj vektor na pomestuvawe { }U dokolku se pretstavi kako ekspanzija na tonovite formi ima sleden oblik

{ } =

==N

1nrr qqU (10.65)

kade rq se skalarni mno`iteli nare~eni koordinati na tonovite formi ili normalni koordinati. Dokolku r se poznati, za dadeno { }U mo`e da se najde rq ako dvete strani na ravenkata (10.65) se pomno`at so mtn

{ } ( ) rN1n

rTn

Tn qMUM

==

Poradi orogonalnosta na tonovite formi, izrazot (10.49b), vo gornata suma site elementi, osven za nr = , iz~eznuvaat, taka { } ( ) nnTnTn qMUM = Matri~nite proizvodi na dvete strani se skalari. Ottuka

{ } { }

n

Tn

nTn

Tn

n MUM

MUMq

== (10.66)

10

10.2.5 Slobodni nepridu[eni oscilacii na sistem so pove]e stepeni na sloboda Dinami~kata ravenka na slobodni nepridu[eni oscilacii na sistem so pove]e stepeni na sloboda dadena e so ravenkite (10.36) i (10.37). [ ] { } [ ] { } 0UKUM =+ && Re[enieto na ovaa ravenka e uslovena so prethodno re[avawe na problemot na sopstveni vrednosti, ravenka (10.42). Otkako ]e se re[i problemot na sopstveni vrednosti i opredelat tonovite formi, op[toto re[enie na ravenkata (10.37) se dobiva so superpozicija na odgovorot na poedinite tonovi formi dadeno so ravenkata (10.40). Na toj na~in se dobiva:

( ){ } { }( )=

+=N

1nnnnnn tsinBtcosAtU (10.67)

kade An i Bn se 2N konstanti od integracijata. Za opredeluvawe na konstantite potrebna e i ravenkata na vektorot na brzini

( ){ } { } ( )=

+=N

1nnnnnnn tcosBtsinAtU & (10.68)

Zamenuvaj]i 0t = vo ravenkite (10.67) i (10.68) se dobiva

{ }( ) { }( ) ==

==N

1nnnn

N

1nnn B0UA0U & (10.69)

Bidej]i po~etnite uslovi, pomestuvaweto i brzinata, { }( ) { }( )0U,0U & se poznati sekoja od gornite dve ravenki pretstavuva set od algebarski ravenki so nepoznatite An i Bn , soodvetno. Nivno simultano re[avawe ne e neophodno bidej]i tie mo`at da se interperetiraat kako ekspanzija vo oblik na tonovite formi na vektorite { }( ) { }( )0U,0U & . Sledej]i ja ravenkata (10.65) mo`e da se napi[e

{ }( ) ( ) { }( ) ( )==

==N

1nnn

N

1nnn 0q0U0q0U && (10.70)

kade analogno na ravenkata (10.66) ( ) ( )0q,0q nn & se dadeni so slednite izrazi

( ) { }( ) ( ) { }( )n

Tn

nn

Tn

n M0UM0q

M0UM0q

&& == (10.71)

Ravenkite (10.69) i (10.70) se ekvivalentni, [to doveduva do zaklu~okot deka

( ) ( )n

nnnn

0qB,0qA &==

Dinamika na konstrukciite 11

Dokolku ovie zavisnosti se zamenat vo ravenkata (10.67) se dobiva

( ){ } { } ( ) ( )=

+=

N

1nn

n

nnnn tsin

0qtcos0qtU (10.72) ili alternativno

( ){ } { } ( )=

=N

1nnn tqtU (10.73)

kade

( ) ( ) ( ) tsin0qtcos0qtq nn

nnnn += (10.74)

ja definira promenat na koordinatite na tonovite formi vo tek na vreme, [to e analogno na odgovorot na slobodni oscilacii na sistem so eden stepen na sloboda, ravenka (10.11). Ravenkata (10.72) pretstavuva re[enie na problemot na slobodni nepridu[eni oscilacii na sistem so pove]e stepeni na sloboda, taa go definira pomestuvaweto vo funkcija od vremeto, pri poznati po~etni uslovi. Pod pretpostavka deka se poznati kru`nite frekfencii n i tonovite formi n , desnata strana na ravenkata (10.72) e poznata, pri toa ( ) ( )0q,0q nn & se opredeleni so izrazite (10.71). 10.2.6 Slobodni pridu[eni oscilacii na sistem so pove]e stepeni na sloboda Vo slu~aj na slobodni pridu[eni oscilacii na sistem so pove]e stepeni na sloboda dinami~kata ravenka go ima sledniot oblik [ ] { } [ ] { } [ ] { } 0UKUCUM =++ &&& (10.75) Potrebno e da se najde re[enie na ravenakata (10.75) { }( )tU koe gi zadovoluva po~etnite uslovi { } { }( ) { } { }( )0UU0UU && == (10.76) vo moment 0t = . So cel, pred se, kvalitativno da se oceni vlijanieto na pridu[uvaweto na odgovorot na sistemot pri slobodni oscilacii, na Slika 10.28 grafi~ki e pretstaveno re[enieto na problemot na slobodni pridu[eni oscilacii na sistem so dva stepena na sloboda.

12

Slika 10.28a Slobodni pridu[eni oscilacii na sistem so dva stepena na sloboda,

prva tonova forma

Slika 10.28b Slobodni pridu[eni oscilacii na sistem so dva stepena na sloboda,

vtora tonova forma Pomestuvaweto { }( )tU se pretstavuva preku tonovite formi na sistemot bez pridu[uvawe zamenuvaj]i ja ravenkata (10.65) vo ravenkata (10.75): [ ] [ ] [ ] 0qKqCqM =++ &&& mno`ej]ija ova ravenka so T se dobiva: 0qqq =++ KSM &&& (10.77)

Dinamika na konstrukciite 13

kade matricite M i K se dijagonalni matrici prethodno definirani so ravenkata (10.54) i S e: [ ] CT=S (10.78) Kvadratna matrica S mo`e, no i ne mora da e dijagonalna, zavisno od rasporedot na pridu[uvaweto vo konstrukcijata. Dokolku matricata S e dijagonalna, ravenkata (10.77) pretstavuva sistem od N nezavisni diferencijalni ravenki vo prirodni koordinati nq i toga[ se veli deka sistemot ima klasi~no pridu[uvawe, bidej]i primena na klasi~nata metoda so tonovi formi mo`e da se primeni na vakov sistem. Ovie sistemi imaat isti tonovi formi kako i sistemite bez pridu[uvawe. Sistemite pak kaj koi matricata S ne e dijagonalna se veli deka e sistem so neklasi~no pridu[uvawe. Ovie sistemi nemaat isti tonovi formi kako i sistemite bez pridu[uvawe. Problemot na sistem so N-stepeni na sloboda so klasi~no pridu[uvawe se opi[uva so N dinami~ki ravenki so prirodni koordinati 0qqq nnnnnn =++ KSM &&& (10.79) kade Mn i Kn se definirani so ravenkata (10.55) i { } { }nTnn c =S (10.80) Ravenkata (10.79) ima ist oblik kako i ravenkata (10.14) koja se odnesuva na sistem so eden stepen na sloboda. Taka [to pridu[uvaweto za sekoja tonova forma mo`e da se definira analogno na ravenkata (10.15) za sistem so eden stepen na sloboda:

nn

nn 2 M

S= (10.81) na toj na~in ravenkite (10.79) mo`at da se re[at po ( )tqn na ist na~i kako i za sistem so eden stepen na sloboda, t.e.: 0qqq n

2nnnnn =++ &&& 2 (10.82)

( ) ( ) ( ) ( )

++= tsin0q0qcos0qetq nDnD

nnnnnDn

tn

nn & (10.83)

kade n-ta prirodna frekfencija so pridu[uvawe e

2nnnD 1 = (10.84) Pomestuvaweto na sistemot se dob iva so zamena na ravenkata (10.83) vo izrazot za ( )tqn

14

( ) ( ) ( ) ( )=

++=N

1nnD

nD

nnnnnDn

tn tsin

0q0qcos0qetu nn & (10.85)

Ova e re[enie na slobodnite pridu[eni oscilacii na sistem so pove]e stepeni na sloboda. So ova re[enie pomestuvawata vo funkcija od vremeto kako rezultat na po~etno pomestuvawe i po~etna brzina ( ) ( )0u,0u & . Pod pretpostavka deka prirodnite frekfencii n i tonovite formi n za sistemot bez pridu[uvawe kako i koeficientite na pridu[uvawe na tonovite formi n se poznati, desnata strana od ravenkata (10.85) e poznata. Vlijanieto na pridu[uvaweto vrz kru`nata frekfencija e dadeno so ravenkata (10.84), od nea se gleda deka kaj sistemite so pove]e stepeni na sloboda sli~no kako kaj sistemite so eden stepen na sloboda toa vlijanie mo`e da se zanemari za vrednosti na n pomali od 20%. Koeficientite na pridu[uvawe na pove]eto grade`ni konstrukcii se nao\aat tokmu vo tie granici. Kaj sistem so pove]e stepeni na sloboda so klasi~no pridu[uvawe koj oscilira vo n-tata tonova forma, amplitudata na pomestuvawata na bilo koj stepen na sloboda se namaluva so sekoj nareden ciklus (Slika 10.28). ^ekorot na namaluvaweto e definiran sli~no kako kaj sistemi so eden stepen na sloboda

2

12

uuln

i1

21i

i == + (10.86)

Dinamika na konstrukciite 15

10.2.5 Metodi za re[avawe na problemot na sopstveni vrednosti Opredeluvawe na dinami~kite karakteristiki, prirodnite frekfencii i tonovi formi, na konstrukcijata iziskuva re[avawe na matri~en problem na sopstveni vrednosti daden so ravenkata (10.42) MK = (10.87) Kako [to prethodno be[e poso~eno sopstvenite vrednosti 2n se korewa na karakteristi~nata ravenka(10.44): ( ) 0MKdetp == (10.88) kade ( )p e polinom od N-ti red (N broj na stepeni na sloboda). Ova ne e prakti~en metod, osobeno za sistemi so mnogu stepeni na sloboda, bidej]i opredeluvaweto na koeficientite na polinomot bara golem broj matemati~ki operacii, a pri toa korenite na ( )p se osetlivi na gre[kite od zaokru`uvawe na koeficientite. Najgolem broj na metodite za re[avawe na problemot na sopstveni vrednosti mo`at da se klasificiraat vo tri kategorii vo zavisnost od izborot na karakteristikite koi pretstavuvaat osnova vo algoritmot za re[avawe na problemot:

(1) Metodi so vektorski iteracii koi se baziraat direktno na ravenkata (10.87)

(2) Metodi na transformacija koi koristat ortogonalnosta na tonovite formi, ravenka (10.49)

(3) Polinomiski iterativni tehniki koi baziraat na faktot deka ( ) 0p n = Site metodi za re[avawe na problemot na sopstveni vrednosti moraat da bidat iterativni, bidej]i vo osnova problemot se sveduva na opredeluvawe na korenite na polinomot ( )p . Nepostojat eksplicitni formuli za opredeluvawe na ovie koreni za N pogolemo od 4, [to upatuva na potrebata od iterativni re[enija. Sistemite vo konstruktivnoto in`enerstvo obi~no imaat lentovidni matrici na krutost i dijagonalni ili lentovidni matrici na masi. Ovie sistemi se naj~esto izlo`eni na pobudi koi aktiviraat nekolku poniski tonovi formi. Metodite so vektorski iteracii se obi~no efikasni za takvi slu~ai. Poradi toa tuka e pretstaven samo metod od ovaa kategorija. 10.2.5.1 Metoda so inverzeni iteracii na vektor Koncept i postapka Ovoj metod se primenuva samo za slu~ai kaj koi matricata na krutost K e pozitivno definirana, a matricata na masi M e lentovidna ili dijagonalna, so ili bez nulti ~lenovi po dijagonalata. Faktot [to dijagonalen ~len vo matricata na masi mo`e da e nula upatuva na zaklu~okot deka za primena na ovoj metod ne e potrebno da se vr[i kondenzacija na matricata na krutost po stepenite na sloboda izbrani za dinami~ka analiza na konstrukcijata.

16

Osnovna cel e da se zadovoli ravenkata (10.87) so direktno operirawe so nea. Se pretpostavuva vektor za , na primer x1 i se procenuva desnata strana na ravenkata (10.87). Toa mo`e da se napravi, no pri toa vrednosta na e nepoznata, za da se nadmine ova se pretpostavuva deka 1= . Bidej]i sopstvenite vektori mo`at da se opredelat samo kako relativen odnos na ~lenovute, a ne absolutnite vrednosti, izbranata vrednost na ne vlijae na rezultatot. So 1= desnata strana na ravenkata (10.87) se presmetuva na sledniot na~in: 11 MxR = (10.89) Bidej]i x1 e proizvolen izbor, vo proizvolen slu~aj 11 RKx se postavuva slednata ravenka 12 RKx = (10.90) kade x2 e vektor na pomestuvawa koj odgovara na silite R1, pri [to 21 xx . Bidej]i stanuva zbor za iterativna postapka za o~ekuvawe e deka vektorot x2 e poblisku do to~noto re[enie za sopstveniot vektor . Povtoruvaj]i ja ovaa postapka se pribli`uvame do to~noto re[enie za sopstveniot vektor . Iterativnata postapka se povtoruva se dodeka dve posledovatelni pretpostavki za sopstveniot vektor ne se dovolno bliski. Pri toa, za da se opredeli to~nata vrednost na se koristi Rayleigh-viot koeficient. Imeno ako ravenkata (10.87) se pomno`i so T se dobiva slednata skalarna ravenka: MK T2T = Pozitivnite vrednosti na matricata M uslovuvaat izrazot MT nikoga[ da ne e nula, taka [to 2 mo`e da se opredeli od sledniot izraz

KM

T

T2 = (10.91)

ovoj koeficient se vika Rayleigh-viot koeficient. Ovoj koeficient gi ima slednite svojstva

(1) Koga e ednakvo na sopstveniot vektor n od ravenkata (10.87), ovoj koeficient e ednakov na soodvetnata sopstvena vrednost 2n

(2) Ako e aproksimacija na n so gre[ka od kone~na veli~ina od prv red, Rayleigh-viot koeficient e aproksimacija na 2n so gre[ka od kone~na veli~ina od vtor red,

(3) Rayleigh-viot koeficient se dvi`i vo granicite na 2N21 i , najmalata i

najgolemata sopstvena vrednost.

Dinamika na konstrukciite 17

Celata iterativna postapka zapo~nuva so prva pretpostavka za vektorot x1 i se sostoi od slednite ~ekori koi se povtoruvaat za K,3,2,1j = se dodeka ne se postigne potrebna konvergencija: 1. Se opredeluva 1jx + so re[avawe na algebarskite ravenki: j1j MxxK =+ (10.92) 2. Se dobiva procenata na sopstvenata vrednost so pomo[ na Rayleigh-viot

koeficient :

( )1j

T1j

jT

1j

1jT

1j

1jT

1j1j

xMxMxx

xMxxKx

++

+

++

+++ == (10.93) 3. Se proveruva konvergencijata so sporeduvawe na dve posledovatelni

vrednosti na :

( ) ( )

( ) atolerancij+

+

1j

j1j

(10.94)

4. Dokolku uslovot za konvergencija ne e ispolnet, se normalizira 1jx + :

( ) 211jT 1j1j

1jxMx

xx

++

++ = (10.95)

se odi na prviot ~ekor i se sproveduva slednata iteracija koristej]i sledna vrednost na j. 5. Pod pretpostavka deka l e poslednata iteracija (t.e. iteracija koja go

zadovoluva uslovot od ravenkata (10.94)) Toga[

( )1l1 += ( ) 211lT 1l1l

1xMx

x

++

+= (10.96) Osnovniot ~ekor vo iteraciite e re[avaweto na ravenkata (10.92), sistem od N algebarski ravenki, so [to se dobiva podobra aproksimacija na 1 . So presmetkite na ravenkata (10.93) se dobiva aproksimacija na sopstvenata vrednost 1 vo sklad so Rayleigh-viot koeficient. So taa vrednost na 1 se proveruva konvergencijata na iteraciite. Ravenkata (10.95) ednostavno obezbeduva noviot vektor da ja zadovoluva relacijata na ortogonalnost na masite 1xMx 1j

T1j =++ (10.97)

Vakvoto normalizirawe na noviot vektor ne vlijae na konvergencijata a e numeri~ki korisna. Dokolku vakvo normalizirawe ne e vklu~eno, elementite na vektorot pri iteraciite ke rastat (ili ]e se smaluvaat) vo sekoj ~ekor [to mo`e

18

da predizvika numeri~ki problemi. Normaliziraweto obezbeduva vrednostite na elementite od iteracija do iteracija da se sli~ni. Tolerancijata se definira vo zavisnost od baranata to~nost. Taa treba da e s210 ili pomala koga se bara to~nost na 1 da bide 2s decimali. Vo toj slu~aj sopstveniot vektor ]e bide opredelen so to~nost od okolu s ili pove]e decimali. Tabela 10.2.6 Metoda so iteracii na inverzen vektor za opredeluvawe na prvata

sopstvena vrednost i vektor

Konvergencija na iteraciite Pogore e opi[ana iterativnata postapkata koja konvergira kon prviot sopstven vektor pridru`en od najmalata sopstvena vrednost. Podolu daden e dokazot za taa konvergencija, ovoj dokaz ima karakter na instrukcii, [to e osobeno va`no pri modificirawe na postapkata za dobivawe na konvergencija kaj povisokite tonovi formi. Ekspanzijata na pomestuvawata vo oblik na tonovite formi za vektorot x e [ravenki (10.65 i 10.66)]

n

Tn

Tn

N

1nn

N

1nnn M

Mxqx

==== (10.97)

Izrazot n-ti vo sumata ja pretstavuva n-tata tonova komponenta vo x.

Prviot ciklus od iteraciite gi vklu~uva ravenkite za ramnote`a (10.92) so

12 MxxK1j == ; kade 1x e po~etniot vektor. Ova re[enie mo`e da se izrazi kako 1

12 MxKx

= . Zamenuvaj]i ja ekspanzijata od ravenkata (10.97) za 1x se dobiva

Dinamika na konstrukciite 19

nnN

1n

12 qMKx

== (10.98)

So prepi[uvawe na ravenkata (10.87) za n-tiot par sopstven vektor-sopstvena vrednost kako ( ) nnn1 /1MK = i nejzina zamena vo ravenkata (10.98) se dobiva

nnN

1n n

1

1nn

N

1n n2 q

1q1x

== == (10.99) Vtoriot ciklus na iteracii vklu~uva re[avawe na ravenkata (10.92) so

21

3 xMKx2j== ; , pri [to e primenet nenormiran vektor 2x namesto

normiraniot 2x . Ova e prifatlivo za ovaa namena bidej]i konvergencijata ne zavisi od normiraweto i sopstvenite vrednosti se zadol`itelno vo granicite na faktorot na multiplikacija. Sledej]i gi operaciite od ravenkite (10.98) i (10.99) mo`e da se poka`e deka

nnN

1n

2

n

121

3 q1x

=

= (10.100)

Na sli~en na~in, vektorot posle j-tata iteracija mo`e da se izrazi kako

1jx +

nnN

1n

j

n

1j1

1j q1x

=+

= (10.101)

Bidej]i n1 < za ( ) > j0/,1n jn1 koga i samo izrazot 1n = od ravenkata (10.101) ostanuva zna~aen, uka`uvaj]i deka

+ jq1x 11j1

1j koga (10.102) Taka 1jx + konvergira kon vektor proporcionalen na 1 . Dopolnitelno, normiraniot vektor 1jx + od ravenkata (10.95) konvergira kon 1 , koj e ortogonalen na masite. ^ekorot na konvergencija zavisi od 21 / , odnosot koj se javuva vo vtoriot izraz od sumata vo ravenkata (10.101). Kolku e pomal ovoj odnos tolku e pobrza konvergencijata; od ova proizleguva deka konvergencijata e mnogu spora koga 1 e skoro ednakva so 2 . Vo takvi slu~ai konvergencijata mo`e da se ubrza so posebna postapka. Dokolku 1x e ortogonalen na 1 [t.e. vo ravenkata (10.97) 0q1 = ], teoretski iteraciite nema da konvergiraat kon 1 tuku kon nekoj drug sopstven vektor - vektor koj odgovara na slednata povisoka sopstvena vrednost sodr`ana vo ekspanzijata vo oblik na tonovite formi na 1x . Sepak vo praksata toa ne se slu~uva bidej]i neizbe`nite gre[ki od zaokru`uvawe pri aritmeti~kite

20

opreacii so kone~ni vrednosti gi voveduvaat mali komponenti od 1 , a iterativnata postapka gi zgolemuva. Dokolku pri dinami~kata analiza na konstrukciite e dovolno samo da se opredeli prvata tonova forma i soodvetnata frekfencija (perioda) iterativnata postapka tuka zavr[uva. Ova mo`e da se smeta za dobra strana na iterativnata postapka, bidej]i za opredeluvawe na prvata tonova forma ne e neophodno da se sproveduvaat obemni presmetki za povisokite tonovi formi dokolku tie ne se potrebni. Procena na povisokite tonovi formi Za da se prodol`i re[avaweto otkako se opredeleni 1 i 1 , po~etniot vektor se modificira za da iterativnata postapka konvergira kon vtoriot sopstven vektor. Neophodni modifikacii se sugeriraat kako rezultat na dokazot za konvergencija kon prvata tonova forma prezentiran pogore. Mo`e da se konstatira deka posle sekoj ciklus na iteracii komponentite od drugite tonovi formi se reduciraat vo odnos na komponentite od prvata tonova forma bidej]i nejzinata sopstvena vrednost 1 e pomala od site drugi sopstveni vrednosti n . Iterativniot proces konvergira kon prvata tonova forma od istite pri~ini, bidej]i ( ) j0/ jn1 koga . Vo princip iterativnata postapka ]e konvergira kon najniskata sopstvena vrednost sodr`ana vo pretpostaveniot vektor. x Za da se postigne iterativnata postapka da konvergira kon vtorata tonova forma, pretpostaveniot vektor x treba taka da se izbere, da ne sodr`i komponenti od prvata tonova forma [t.e. vo ravenkata (10.97) treba 0q1 = ], i mo`e da se ka`e deka x e ortogonalen na 1 . Sepak ne e mo`no apriori da se startuva so takov x . Zatoa se po~nuva so proizvolen vektor x , potoa toj se pravi ortogonalen vo odnos 1 so postapka za ortogonalizacija predlo`ena od Gram-Schmidt. Ovaa postapka mo`e da se koristi za ortogonalizacija na pretpostaveniot vektor vo odnos na prvite n, prethodno opredeleni, sopstveni vektori za da so taka pro~isten pretpostaven vektor iterativnata postapka konvergira kon (n+1) tonova forma. Na vakov na~in definiranata postapka za opredeluvawe na povisokite tonovi formi e prili~no bavna i neefikasna, poradi [to ne e mnogu eksploatirana vo in`enerskata praksa. 10.2.5.2 Transformacija na MK 2= vo standardna forma Standardniot problrm na sopstveni vrednosti yAy = ~esto se javuva vo mtematikata i primenata na problemi so fizi~ko zna~ewe vo in`enerstvoto. Tokmu zatoa ovoj problem privlekuval golemo vnimanie, taka [to mnogu razli~ni metodi i algoritmi se ponudeni i se dostapni vo softverski biblioteki. Ovie kompjuterski postapki mo`at da se koristat za re[avawe, so transformacija na problemot vo standardna forma. Takov tip na problemot na sopstveni vrednosti od konstruktivnata dinamika, MK 2= transformacija e daden tuka.

Dinamika na konstrukciite 21

Pretpostavuvame deka M e pozitivno definirana; toa zna~i, ili e dijagonalna matrica so nenulti masi ili lentovidna matrica. Dokolku matricata M e dijagonalna matrica so nekoi nulti ~lenovi po nekoi stepeni na sloboda, toa mo`e da se nadmine so kondenzacija po tie stepeni na sloboda. Pozitivnata definiranost na M obezbeduva postoewe na inverzna matrica M-1. Mno`eweto na problemot na sopstveni vrednosti od konstruktivnata dinamika, MK 2= (10.103) so M-1. ja dava vo standardnata forma na problemot: =A (10.104) kade 21 KMA == (10.105) Vo op[t slu~aj A e nesimetri~na matrica, iako M i K dvete se simetri~ni matrici. Bidej]i obemot na matemati~ki opreacii e zna~itelno pomal dokolku A e simetri~na matrica, potrebni se metodi so koi toa ]e se obezbedi. Ako se zeme deka ( )jmdiagM = a dijagonalnata matrica so elementi jjj mm = i ako se opredeli

=

= 21j21

21

j2

1mdiagMmdiagM i . Toga[ matricata M i edine~nata

matrica I mo`at da se izrazat kako

21

21

21

21

mmImmM == i (10.106) Koristej]i go izrazot (10.106) ravenkata (10.103) mo`e da se napi[e vo sleden oblik

212122121 mmmmK = (10.107)

Mno`ej]i gi dvete strani so 21

m se dobiva

2121212212121 mmmmmm = Koristej]i go vtoriot izraz od ravenkata (10.106) za da se uprosti desnata strana od ravenkata, se dobiva yAy = (10.107) kade

221

21

21

mymKmA === (10.108) Ravenkata (10.108) e standarden propblem na sopstveni vrednosti i sega A e simetri~na.

22

Taka dokolku postoi kompjuterski program za re[avawe na yAy = toj mo`e da se usoglasi za opredeluvawe na prirodnite frekfencii n i tonovite formi n za konstruktiven sistem so poznati matrica na masi M i matrica na krutost K, postapkata za toa se sostoi od slednite~ekori:

1. Opredeluvawe na A spored izrazot (10.108a). 2. Opredeluvawe na sopstvenite vrednosti n i sopstveni vektori Ayn od so

re[avawe na ravenkata (10.108). 3. Opredeluvawe na prirodnite frekfencii i tonovi formi so

n21

nnn ym== (10.109)

Transformacijata na ravenkata (10.108) mo`e da se generalizira za slu~aj koga matricata na masi ne e dijagonalna tuku lentovidna kako matricata na krutost. Vo toj slu~aj matricata A e polna matrica, iako matricite M i K se lentovidni. Za takvi slu~ai metodata na transformacii na MK 2= vo yAy = mo`e da ne efikasen metod, pa se prepora~uva inverznata iterativna metoda koja raboti direktno so MK 2= .

Dinamika na konstrukciite 23

10.2.6 Numeri~ki metodi za re[avawe na dinami~kata ravenka na sistem so

pove]e stepeni na sloboda Vo poglavjeto 10.1a razgledani se numeri~ki metodi koi se primenuvaat za opredeluvawe na odgovorot na sistemite so eden stepen na sloboda pod dejstvo na proizvolno promenliva pobuda, vklu~uvaj]i go i zemjotresot. Kaj sistemite so pove]e stepeni na sloboda so neklasi~no pridu[uvawe i za pobudi, za koi za sistemi so eden stepen na sloboda se nao\a re[enie vo zatvorena forma, potrebno e da se primenat numeri~ki metodi. 10.2.6.1 Postapki so kone~en vremenski ~ekor Cel e numeri~ki da se re[i sistem od diferencijalni ravenki koj go definira odgovorot na sistem so pove]e stepeni na sloboda: ( ) ( )tpu,ufucum s =++ &&&& (10.110) so po~etni uslovi ( )0uu0 = ( )0uu0 && = (10.111) za 0t = . Dobienoto re[enie treba da go dade vektorot na pomestuvawe u(t) kako funkcija od vremeto.

Kako [to be[e dadeno vo poglavjeto 10.1.a vremenskata oska se deli na serija od vremenski ~ekori, bi~no so konstantna dol`ina t . Pobudata e definirana vo diskretni vremenski intervali tit i = ; vo tom moment ozna~e kako moment i, vektorot na pobudata e ( )ii tpp . Odgovorot ]e bide opredelen vo istite momenti i se ozna~uvaat so ( ) ( ) ( )iiiiii tuutuu,tuu &&&&&& i . Po~nuvaj]i so poznat odgovor na sistemot vo momentot i koj ja zadovoluva ravenkata (10.110) vo momentot i: ( ) iisii pfucum =++ &&& (10.112) Metodite so kone~en vremenski ~ekor ovozmo`uvaat ~ekor po ~ekor da se opredeli odgovorot na konstrukcijata 1i1i1i uu,u +++ &&& i vo momentot i+1 koj ja zadovoluva ravenkata (10.110) vo momentot i+1: ( ) 1i1is1i1i pfucum ++++ =++ &&& (10.113) Primenuvaj]i go ova uspe[no za i=0,1,2,3,...., metodite so kone~en vremenski ~ekor go davaat baraniot odgovor vo site vremenski momenti i=0,1,2,3,..... Poznatite vrednosti na po~etnite uslovi vo mometot i=0, vo ravenkata (10.110) obezbeduvaat potrebni informacii za otpo~nuvawe na postapkata.

24

Numeri~kata postapka iziskuva tri matri~ni ravenki za da se opredelat trite nepoznati vektori 1i1i1i uu,u +++ &&& i . Dve od ovie ravenki se opredeluvaat ili od ravenkite za kone~ni razliki na vektorite za zabrzuvawe i brzina ili od pretpostavkata za toa kako se menuva odgovorot vo ramkite na kone~niot vremenski ~ekor. Kako treta se koristi ravenkata (10.110) vo odreden moment. Dokolku toa e razgleduvaniot moment i, za metodot na integracija se veli deka ekspliciten metod. Dokolku pak ravenkata se postavuva za momentot na krajot od vremenskiot ~ekor i+1, metodot se narekuva impliciten metod.

Kako [to be[e poso~eno vo poglavjeto 10.1.a za da bide numeri~kata postapka korisna taa treba da : 9 konvergira - do to~noto re[enie so namaluvawe na vremenskiot ~ekor t 9 e stabilna - vo prisustvo na gre[ki od zaoukru`uvawe i 9 e to~na - gre[kite vo presmetuvaweto da se vo prifatlivi granici.

Se poka`a deka pri opredeluvawe na odgovorot na sistemi so eden stepen na sloboda kriteriumot za stabilnost na re[enieto ne e mnogu restriktiven bidej]i vremenskiot ~ekor t mora da bide zna~itelno pomal od kriteriumot na stabilnosta, poradi obezbeduvawe na to~nosta na numeri~koto re[enie, [to e usloveno od pobudata. Me\utoa pri analizata na sistemite so pove]e stepeni na sloboda obezbeduvaweto na stabilnos na numeri~koto re[enie e prili~no kriti~no. Taka pri linearnata analiza na golemi sistemi so pove]e stepeni na sloboda mo`at da se koristat uslovno stabilni postapki, dodeka pri nelinearnata analiza na sistemi so pove]e stepeni na sloboda potrebni bezuslovno stabilni postapki.

Vo prodol`enie dadeni se dve naj~esto primenuvani metodi za linearna analiza na odgovorot na konstrukciite na dinami~ki tovarina. 10.2.6.2 Analiza na linearni sistemi so neklasi~no pridu[uvawe N-te diferencijalni ravenki (10.110) koi treba da se re[at za da se opredeli jazlovite pomestuvawa u, pri linearna analiza na konstrukciite se: ( )tpkuucum =++ &&& (10.114) Dokolku sistemot ima nekolku stepeni na sloboda, mo`e da e zgodno tie revenki da se re[at direktno vo takva forma. Za golemi sistemi obi~no e zgodno ravenkata (10.110) da se transformira na pomal set od ravenki izrazuvaj]i gi pomestuvawata preku nekolku prvi tonovi formi n na nepridu[en sistem. Mo`na e zna~itelna redukcija na brojot na ravenki dokolku jazlovite pomestuvawa se apropksimiraat so linearna kombinacija na nekolku tonovi formi:

( ) ( ) ( )=

=J

1nnn tqtqtu (10.115)

Dinamika na konstrukciite 25

Koristej]i go ovoj izraz vo ravenkata (10.110) i sproveduvaj]i odredeni transformacii se dobiva: ( )tPKqqCqM =++ &&& (10.116) kade ( ) ( )tptPkKcCmM TTTT ==== (10.117) Ravenkata (10.116) e sistem od J ravenki so nepoznatite ( )tqn i dokolku J e zna~itelno pomal od N, mo`e da e pozgodno tie da se re[at numeri~ki namesto od ravenkata (10.114). namaluvaweto na matemati~ki operacii potrebni za numeri~ko re[avawe mo`e da e dovolen za da ja pokrie potrebata od opredeluvawe na prvite J tonovi formi. J-te ravenki (10.116) mo`e da se grupiraat ili razdeluvaat zavisno od oblikot na matricata na pridu[uvawe. Ovie ravenki mo`at da se odgrupiraat za sistemi so klasi~no pridu[uvawe i potoa sekoja ravenka mo`e da se re[i so primena na numeri~kite metodi pretstaveni pri analiza na sistem so eden stepen na sloboda. Za sistemi so neklasi~no pridu[uvawe C ne e dejagonalna matrica i ravenkite se povrzani. Podolu se dadeni metodi koi se koristat za takvi sistemi na ravenki pri linearna analiza na sistemite.

Pri re[avawe na ravenkata (10.116) treba da se primenuvaat uslovno stabilni metodi, t.e. nemo`e da se insistira na bezuslovno stabilni metodi. Vremenskiot ~ekor t treba taka da se odbere za da relacijata nT/t e dovolno mala za da obezbedi to~no re[enie za site vklu~eni tonova formi, J,...,2,1n = ; nT e perioda na n-tata tonova forma bez pridu[uvawe. Izborot na t zavisi od periodata na J-tata tonova forma bidej]i taa ima najkratka perioda; taka nT/t bi trebalo da e mal, pomal od 0.1. Ovoj izbor uka`uva deka relacijata nT/t za poniskite e u[te pomal obezbeduvaj]i to~nost na re[enieto vo siste vklu~eni tonovi formi. ^ekorot t izbran da go zadovoli uslovot na to~nost, jT1.0t

26

Metoda na centralni razliki Ovaa metoda ~ija [to primena na sistem so eden stepen na sloboda detalno e pretstavena vo poglavjeto 10.1a.2, ednostavno mo`e da se primenuva na kompjuter. Skalarnite ravenki (10.2a.1) koja ja dava vrskata na veli~ninite na odgovorot vo momentot i+1 so tie od momentot i, kako i skalarnata ravenka za ramnote`a vo momentot i, stanuvaat matri~ni ravenki. Drugi novi karakteristiki koi proizleguvaat od potrebata da se transformiraat jazlovite pomestuvawa od ravenkata (10.114) vo modalni koordinati, kako i transformacija na re[enijata od ravenkata (10.116) povtorno vo jazlovi pomestuvawa. Zemaj]i gi predvid site pogore izneseni soznanija se doa\a do postapkata pretstavena vo Tabela 10.2.7.2a, kade metodot na centralni razliki pretstaven e na na~in soodveten za programirawe na kompjuterski program. Tabela 10.2.7.2a, Metoda na centralni razliki: Linearni sistemi(Chopra,1995)

Dinamika na konstrukciite 27

Slednite dve zabele[ki se zna~ajni za metodot na centralni razliki. Prvo, algebarskite ravenki koi treba da se re[at vo ~ekorot 1.3 za da se opredeli 0q&& se nezavisni bidej]i M e dijagonalna matrica koga se primenuvaat modalnite koordinati. Vtoro, ~ekorot 2.3 e baziran na ramnote`a vo momentot i i matricata na krutost K ne vleguva vo sistemot na algebarski ravenki so ~ie re[avawe se opredeluva 1iq + vo momentot i+1, [to uka`uva deka metodot na centralni razliki e ekspliciten metod.

Metodot na centralni razliki isto taka mo`e da se koristi za direktno re[avawe na originalnata ravenka (10.114) za opredeluvawe na jazlovite pomestuvawa bez nivna transformacija vo modalnite koordinati. Za taa cel vo postapkata dadena vo Tabela 10.2.7.2a se pravat slednite izmeni:

9 se otstranuvaat ~ekorite 1.1, 1.2 i 2.1 9 se zamenuva (1) uu,uqq,q &&&&&& isoi ; (2)M, C i K so m, c i k; (3) P so p i (4) pkPK isoi

Metodata na Wumark Vo poglajeto 10.1a.3 ovaa implicitna metoda e pretstavena za sistem so eden stepen na sloboda, lesno mo`e da se pro[iri nejzinata primena i na sistemi so pove]e stepeni na sloboda. Skalarnata ravenka (10.3a.1) koja ja dava vrskata pome\u inkrementite na odgovorot ( pomestuvawe, brzina, zabrzuvawe) vo tek na vremenskiot ~ekor i kon i+1 i vrednostite na odgovorot vo momentot i, kako i skalarnata ravenka za ramnote`a vo inkrementot (10.3a.7), stanuvaat matri~ni ravenki. Vo Tabela 10.2.7.2b, dadena e postapkata od Wumarkovata metoda sistematizirana na na~in soodveten za primena na kompjuter. Dvata specijalni slu~aja na Wumarkovata metoda koi naj~esto se koristat se :

(1) 41

21 == i so [to se dobiva metodata na prose~no zabrzuvawe i

(2) 61

21 == i so [to se dobiva metodata na linearno zabrzuvawe

Metodata na prose~no zabrzuvawe e bezuslovno stabilna, dodeka metodata na linearno zabrzuvawe e uslovno stabilna za jT551.0t . Za daden vremenski ~ekor koj ne ja dostiga ovaa granica na stabilnost, metodata na linearno zabrzuvawe e poto~na od metodata na prose~no zabrzuvawe e. Zatoa e osobeno korisno, za linearni sistemi, bidej]i ~ekorot t izbran za dobivawe na to~no re[enie vo najvisokata vklu~ena tonova forma sekako ]e go zadovoli kriteriumot za stabilnost. Mo`e da se zabele`i deka matricata na krutost K vleguva vo sistemot na algebarski ravenki so ~ie re[avawe vo ~ekorot 2.3 se opredeluva 1iq + vo momentot i+1, [to uka`uva deka Wumarkoviot metod e impliciten metod.

28

I Wumarkoviot metod mo`e da se koristi za direktno re[evawe na originalnata ravenka (10.114) za opredeluvawe na jazlovite pomestuvawa bez nivna transformacija vo modalnite koordinati. Za taa cel vo Tabela 10.2.7.2b treba da se napravat soodvetni izmeni.

Tabela 10.2.7.2b, Metoda na Wumark: Linearni sistemi(Chopra,1995)