Distances of complexes derived from spherical curves
and their estimates
JointworkwithNoboruItoUniversityofTokyo
MegumiHashizumeMeijiUniv.Organiza=onforthe
StrategicCoordina=onofResearchandIntellectualProper=es/OCAMI
Dec.,23,2018
Deforma1onsofsphericalcurves
SphericalcurveDeforma=onsofsphericalcurves
Inthistalk,wefocusonRIandRIII.
RIRIII
RII
ComplexinducedbysphericalcurveandRI,RIII
Nota1onC:thesetoftheambientisotopyclassesofthesphericalcurves
2 Megumi Hashizume
領域
交差
C2C
ψ(H)ϕ(H)c∈|H|G|G|Nodd
M ∈ M|M |MM := {M ∈ 2R|ϕ(M) = C}Bi
B0
B1
B2
Bn
i(0 ≤ i ≤ n)|Bi||B1| = 4|B0| = 8|B2| = 4|M | = 3|R|Z2
, . . . ,dim(Imψ) = dim(Imϕ)− 1Imϕ = Imψ ⨿ (C + Imψ) ∃≡∼= 同相≃ 同位pictures
RI’sPP’ def
Def(RI-equivalence)v,v’∈CvRIv’⇔P,P’:representa=vesofv,v’s.t.Nota1onC:=C/RI[P](∈C):theequivalenceclasscontainingP
2 Megumi Hashizume
領域
交差
C2C
ψ(H)ϕ(H)c∈|H|G|G|Nodd
M ∈ M|M |MM := {M ∈ 2R|ϕ(M) = C}Bi
B0
B1
B2
Bn
i(0 ≤ i ≤ n)|Bi||B1| = 4|B0| = 8|B2| = 4|M | = 3|R|Z2
, . . . ,dim(Imψ) = dim(Imϕ)− 1Imϕ = Imψ ⨿ (C + Imψ) ∃≡∼= 同相≃ 同位pictures
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
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結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
te s tIt is the pen.球面曲線に対して交差の上下の情報を無視した Reidemeister move
I, II, III (RI,RII, RIIIと書く) を考える．球面曲線とRIとRIIIを施すことから誘導される複体を考える．本講演ではこの複体を考えるにあたって，局所変形RIとRIIIに代わる局所変形を考え，その局所変形から誘導される複体を考える．
xおかの
3 + 5 = 8(1)
G−1(x, y) = xn−1 + xn − 1(2)
α5 + 6 = 11
w =
⎡
⎣w0,0 · · · w0,n−1...
. . ....
wn−1,0 · · · wn−1,n−1
⎤
⎦(3)
∫∫
D
f(x, y)dxdy(4)
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy(5)
limx→∞
f(x)(6)
S1
S3
DR∂RH = {Rj1, . . . , Rjs}Rji(i = 1, . . . , s)∀J∃∈ψϕImψImϕ
1
te s tIt is the pen.球面曲線に対して交差の上下の情報を無視した Reidemeister move
I, II, III (RI,RII, RIIIと書く) を考える．球面曲線とRIとRIIIを施すことから誘導される複体を考える．本講演ではこの複体を考えるにあたって，局所変形RIとRIIIに代わる局所変形を考え，その局所変形から誘導される複体を考える．
xおかの
3 + 5 = 8(1)
G−1(x, y) = xn−1 + xn − 1(2)
α5 + 6 = 11
w =
⎡
⎣w0,0 · · · w0,n−1...
. . ....
wn−1,0 · · · wn−1,n−1
⎤
⎦(3)
∫∫
D
f(x, y)dxdy(4)
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy(5)
limx→∞
f(x)(6)
S1
S3
DR∂RH = {Rj1, . . . , Rjs}Rji(i = 1, . . . , s)∀J∃∈ψϕImψImϕ
1
te s tIt is the pen.球面曲線に対して交差の上下の情報を無視した Reidemeister move
I, II, III (RI,RII, RIIIと書く) を考える．球面曲線とRIとRIIIを施すことから誘導される複体を考える．本講演ではこの複体を考えるにあたって，局所変形RIとRIIIに代わる局所変形を考え，その局所変形から誘導される複体を考える．
xおかの
3 + 5 = 8(1)
G−1(x, y) = xn−1 + xn − 1(2)
α5 + 6 = 11
w =
⎡
⎣w0,0 · · · w0,n−1...
. . ....
wn−1,0 · · · wn−1,n−1
⎤
⎦(3)
∫∫
D
f(x, y)dxdy(4)
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy(5)
limx→∞
f(x)(6)
S1
S3
DR∂RH = {Rj1, . . . , Rjs}Rji(i = 1, . . . , s)∀J∃∈ψϕImψImϕ
1
K3:the1-complexs.t.・{v|v:vertexofK3} C・v,v’(∈C)arejoinedbyanedged3([P],[P’]):thedistancefromvtov’
ComplexinducedbysphericalcurveandRI,RIII
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C
K3
!
αβ
te s tIt is the pen.球面曲線に対して交差の上下の情報を無視した Reidemeister move
I, II, III (RI,RII, RIIIと書く) を考える．球面曲線とRIとRIIIを施すことから誘導される複体を考える．本講演ではこの複体を考えるにあたって，局所変形RIとRIIIに代わる局所変形を考え，その局所変形から誘導される複体を考える．
xおかの
3 + 5 = 8(1)
G−1(x, y) = xn−1 + xn − 1(2)
α5 + 6 = 11
w =
⎡
⎣w0,0 · · · w0,n−1...
. . ....
wn−1,0 · · · wn−1,n−1
⎤
⎦(3)
∫∫
D
f(x, y)dxdy(4)
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy(5)
limx→∞
f(x)(6)
S1
S3
DR∂RH = {Rj1, . . . , Rjs}Rji(i = 1, . . . , s)∀J∃∈ψϕImψImϕ
1
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
someRI’sandsingleRIII
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結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C
K3
!
αβ
⇔PP’
Result1P:asphericalcurveDP:knotdiag.obtainedfromPbyaddingover/underinforma=ontoeachdoublept.ofPKalt(P):analternaingknotwhichpossessesDPthatisanalterna=ngdiag.K:aknotg(K):thegenusofK
Then,d3([P],[P’])≧|g(Kalt(P’))-g(Kalt(P))|RI,RIII
PP’
N.ItoandY.Takimura,Crosscapnumberandknotprojec=ons,IntrnatJMath.29,No.12pp21.
ProofofResult1
Keydeforma=on
+
-
-
Def(RI-minimal)AsphericalcurvePiscalledRI-minimalifPdoesnotcontainamonogon.
Fact1[Ito-Takimura]ForanysphericalcurveP,theRI-minimalsphericalcurveobtainedfromPisuniqueuptoambi.iso.
N.ItoandY.Takimura,(1,2)andweak(1,3)homotopiesonknotprojec=ons,J.KnotTheoryRamifica=ons22(2013),1350085,14pp.
P reduced(P)
Preliminaries
someRI’s
Theorem[Ito-H.]P,P’:sphericalcurves
PP’
singleRIII, singleβ(m)singleαor
someRI’sandsingleRIII
⇔
reduced(P) reduced(P’)
Previousresult
K3αβ:the1-complexs.t.・v:vertexofreduced(P)・v,v’(∈C)arejoinedbyanedge
ComplexinducedbysphericalcurveandRIII,α,β
C:thesetoftheambientisotopyclassesofthesphericalcurves
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結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
C:=C/RI[P](∈C):theequivalenceclasscontainingPByFact1,reduced(P)∈[P].
2 Megumi Hashizume
領域
交差
C2C
ψ(H)ϕ(H)c∈|H|G|G|Nodd
M ∈ M|M |MM := {M ∈ 2R|ϕ(M) = C}Bi
B0
B1
B2
Bn
i(0 ≤ i ≤ n)|Bi||B1| = 4|B0| = 8|B2| = 4|M | = 3|R|Z2
, . . . ,dim(Imψ) = dim(Imϕ)− 1Imϕ = Imψ ⨿ (C + Imψ) ∃≡∼= 同相≃ 同位pictures
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結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
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結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
te s tIt is the pen.球面曲線に対して交差の上下の情報を無視した Reidemeister move
I, II, III (RI,RII, RIIIと書く) を考える．球面曲線とRIとRIIIを施すことから誘導される複体を考える．本講演ではこの複体を考えるにあたって，局所変形RIとRIIIに代わる局所変形を考え，その局所変形から誘導される複体を考える．
xおかの
3 + 5 = 8(1)
G−1(x, y) = xn−1 + xn − 1(2)
α5 + 6 = 11
w =
⎡
⎣w0,0 · · · w0,n−1...
. . ....
wn−1,0 · · · wn−1,n−1
⎤
⎦(3)
∫∫
D
f(x, y)dxdy(4)
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy(5)
limx→∞
f(x)(6)
S1
S3
DR∂RH = {Rj1, . . . , Rjs}Rji(i = 1, . . . , s)∀J∃∈ψϕImψImϕ
1
te s tIt is the pen.球面曲線に対して交差の上下の情報を無視した Reidemeister move
I, II, III (RI,RII, RIIIと書く) を考える．球面曲線とRIとRIIIを施すことから誘導される複体を考える．本講演ではこの複体を考えるにあたって，局所変形RIとRIIIに代わる局所変形を考え，その局所変形から誘導される複体を考える．
xおかの
3 + 5 = 8(1)
G−1(x, y) = xn−1 + xn − 1(2)
α5 + 6 = 11
w =
⎡
⎣w0,0 · · · w0,n−1...
. . ....
wn−1,0 · · · wn−1,n−1
⎤
⎦(3)
∫∫
D
f(x, y)dxdy(4)
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy(5)
limx→∞
f(x)(6)
S1
S3
DR∂RH = {Rj1, . . . , Rjs}Rji(i = 1, . . . , s)∀J∃∈ψϕImψImϕ
1
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C
K3
K3αβ
!
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C
K3
K3αβ
!
singleRIII, singleβ(m)singleαorreduced(P) reduced(P’)⇔
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C!
αβ
te s tIt is the pen.球面曲線に対して交差の上下の情報を無視した Reidemeister move
I, II, III (RI,RII, RIIIと書く) を考える．球面曲線とRIとRIIIを施すことから誘導される複体を考える．本講演ではこの複体を考えるにあたって，局所変形RIとRIIIに代わる局所変形を考え，その局所変形から誘導される複体を考える．
xおかの
3 + 5 = 8(1)
G−1(x, y) = xn−1 + xn − 1(2)
α5 + 6 = 11
w =
⎡
⎣w0,0 · · · w0,n−1...
. . ....
wn−1,0 · · · wn−1,n−1
⎤
⎦(3)
∫∫
D
f(x, y)dxdy(4)
∫ ∫
D
f(x, y)dxdy(5)
limx→∞
f(x)(6)
S1
S3
DR∂RH = {Rj1, . . . , Rjs}Rji(i = 1, . . . , s)∀J∃∈ψϕImψImϕ
1
d3αβ(reduced(P),reduced(P’)):thedistancefromvtov’
ComplexinducedbysphericalcurveandRIII,α,β
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C
K3
K3αβ
!
On the image and the cokernel of homomorphism 9
結び目の数学 2017講演Title:On equivalence classes of spherical curves by Reidemeister moves I andIII
Abstract:球面曲線に対して，交差の上下の情報を無視した Reidemeister movesI, II, III (RI, RII, RIII と書く) を考える．２つの球面曲線P , P ′が与えられて，それらがRIとRIIIで移り合うときに同値であるとみなす．この同値関係による同値類は無限個あることが知られている ([H-Y], [I-T])．しかし，そのどの１つも決定されていない．本講演では，単純閉曲線を代表元に持つ上記の同値関係による同値類に関して講演する．更に，ある球面曲線が同値類に入るための判定条件に関しても述べる．本研究は伊藤昇氏（東京大学）との共同研究である．
[H-Y] T. Hagge and J. Yazinski, On the necessity of Reidemeister move2 for simplifying immersed planar curves, Banach Center Publ. 103(2014), 101–110.[I-T] N. Ito and Y. Takimura, On a nontrivial knot projection under(1,3) homotopy, Topology Appl. 210 (2016), 22–28.
Let P, P ′ be spherical curves. Suppose that P, P ′ are reduced spher-ical curves. Then the following conditions are piarwise equivalent(A) P ′ is obtained from P by applying a sequence of deformations ofRI, RIII and ambient isotopy.(B) P ′ is obtained from P by applying a sequence deformations of RIII,α, β and ambient isotopy.
RIII
RI
C
C
K3
!
αβ
Keyfactd3([P],[P’])=d3αβ(reduced(P),reduced(P’))
LemmasLemma1Α+consistsofβ+(1),RIII,β-(0).
RIII
+
Lemma2P,P’:sphericalcurves
⇒g(Kalt(P’))-g(Kalt(P))=1
β+PP’
Lemmas
β+
alterna=ng
Lemma3P,P’:sphericalcurves⇒|g(Kalt(P’))-g(Kalt(P))|=0or1⇒g(Kalt(P’))-g(Kalt(P))=0
singlestrongRIIIPP’
singleweakRIIIPP’
Lemmas
strongRIII
weakRIII
ProofofLemma3s(P):thenum.oftheSeifertcirclesofKalt(P)n(P):thenum.ofthedoublepointsofP
⇒|g(Kalt(P’))-g(Kalt(P))|=
|s(P)-s(P’)|2
=0or1
singlestrongRIIIPP’
=
Χ(P)=s(P)-n(P)
1-2g(Kalt(P))
10 Megumi Hashizume
αβχ
O
Graduate School of Humanities and Sciences, Nara Women’s Uni-versity
E-mail address: [email protected]
strongRIII
|s(P’)-s(P)|=2
s(P’)-s(P)=0
⇒g(Kalt(P’))-g(Kalt(P))=0
singleweakRIIIPP’
ProofofObserva1on3
weakRIII s(P’)-s(P)
=0
|g(Kalt(P’))-g(Kalt(P))|=|g(Kalt(Pm))-g(Kalt(P0))|=|Σ(g(Kalt(Pi))-g(Kalt(Pi-1)))|
≦Σ|g(Kalt(Pi))-g(Kalt(Pi-1))|
≦d3αβ(P0,Pm)=d3([P],[P’])
Op2Op1 OpmPP0P1・・・ PmP’
m
i=1m
i=1
RI’s RI’s
ProofofResult1
= =
reduced(P) reduced(P’) Opi=RIII,αorβ
K:aknota2(K):the2ndcoefficientofConwaypoly.ofKP:asphericalcurveKpos(P):aposi=veknotwhichpossessesDPthatisanposi=vediag.
K,K’:knotsd△(K,K’):△-GordiandistancefromKtoK’
Result2
△-move
N.ItoandY.Takimura,(1,2)andweak(1,3)homotopiesonknotprojec=ons,J.KnotTheoryRamifica=ons22(2013),1350085,14pp.
#ofstrongRIII’sofaseq.oflengthd3([P],[P’])
≧d△(Kpos(P),Kpos(P’))≧|a2(Kpos(P’))-a2(Kpos(P))|
RI,RIIIPP’
Result2
⇒
Inpar=cular,#ofnega=vestrongRIII’sofaseq.oflengthd3([P],[P’])
RI,weakRIII,nega=vestrongRIIIPP’
=d△(Kpos(P),Kpos(P’))=a2(Kpos(P’))-a2(Kpos(P))
⇒
CorollaryofResult2
#ofnega=vestrongRIII’sofaseq.oflengthd3([P],[○])
≧u△(Kpos(P))≧a2(Kpos(P))
K:aknotu△(K):△-unknoongnum.ofK
Then,d△(Kpos(P),Kpos(P’))≧|a2(Kpos(P’))-a2(Kpos(P))|
ProofofResult2
Fact[Okada]K,K’:knotsIfK’isobtainedfromKbyasingle△-move,then|a2(K’)-a2(K)|=1.
M.Okada,Delta-unknoongopera=onandthesecondcoefficientoftheConwaypolynomial,J.Math.Soc.JapanVol.42,No.4,1990.
By[Polyak-Viro‘94],a2(K)=〈,GK〉.Then,bynega=vestrongRIII,a2isincreasedby1.Hence,#ofnega=vestrongRIII’sofaseq.oflengthd3([P],[P’])isincreasedbya2(Kpos(P’))-a2(Kpos(P)).
ProofofResult2
・
△-move
M.PolyakandO.Viro,GaussDiagramFormulasforVassilievInvariants,Interna=onalMath.ResearchNo=ces,No.11,1994.
