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7/31/2019 Distribuciones de Poisson y de Gauss Para El Dacaimineto Radioactivo
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Laboratorio de Física Experimental
Prof.: Oscar Baltuano
DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS
PARA LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA
MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS
Facultad de Ciencias Físicas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Resumen
El objetivo de este experimento es demostrar que el
número de pulsos contados durante intervalos de
tiempo idénticos por un tubo contador ubicado a una
distancia fija de un emisor de radiación de larga vida se
corresponden con la distribución de Poisson. Así mis-
mo mostraremos que la distribución de Gauss es tam-
bién adecuada, bajo ciertas condiciones, para aproxi-mar la distribución del pulso medido a través de un
emisor de radiación de larga duración y un tubo conta-
dor. En particular analizaremos el comportamiento es-
tadístico de la desintegración radioactiva del Co-60 y
del Na-22.
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Laboratorio de física experimental 3
DISTRIBUCIÓN DE POISSON Y DE GAUSS PARA LA DESINTEGRACIÓN RADIOACTIVA MARTÍN JOSEMARÍA VUELTA ROJAS
1. INTRODUCCIÓN
El decaimiento radiactivo es un proceso aleatorio: cualquier medida basada
en la observación de la radiación emitida en una desintegración radioactiva
está sujeta en algún grado a la fluctuación estadística.
Estas fluctuaciones inherentes representan una fuente inevitable de incerti-
dumbre en todas las medidas nucleares y a menudo pueden ser fuentes pre-
dominantes de imprecisión o error. El término estadística de conteo incluye
el marco de referencia del análisis estadístico requerido para procesar los re-
sultados de experimentos de conteo nuclear y hacer predicciones acerca las
precisiones esperadas de cantidades derivadas de estas medidas.
El valor de la estadística de conteo cae en dos categorías generales. La prime-
ra es para verificar el funcionamiento normal de un equipo de conteo nuclear.
Aquí un conjunto de medidas es registrado bajo condiciones en el cual todos
los aspectos del experimento son mantenidos como una constante tanto co-
mo es posible. Debido a la influencia de fluctuaciones estadísticas, estas me-
didas no serán las mismas sino que nos mostrarán un grado de variación in-
terna. La cantidad de esta fluctuación puede ser cuantificada y comparada
con predicciones de modelos estadísticos. Si la cantidad de fluctuación obser-
vada no es consistente con predicciones uno puede concluir que alguna
anormalidad existe en el sistema de contaje. La segunda aplicación es gene-
ralmente más valiosa y trata con la situación en la cual tenemos solamente
una medida. Podemos usar la estadística de conteo para predecir su incerti-
dumbre inherente y así estimar una precisión que podría estar asociada con
una sola medida.
2. DISTRIBUCIONES ESTADÍSTICAS
2.1. Experimento aleatorio, variable aleatoria y probabilidad
Un experimento se denomina experimento aleatorio si bajo el mismo con-
junto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferen-tes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia
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particular. Este resultado que se busca medir suele ser, en general, de natura-
leza cuantitativa en tal caso la variable estadística caracterizada por este re-
sultado recibe el nombre de variable aleatoria. Según esto podemos definir
una variable aleatoria de la siguiente forma:
Una variable aleatoria es una variable estadista cuantitativa pertene-
ciente al espacio muestral de un experimento aleatorio.
Evidentemente no podemos identificar con a los elementos del espacio
muestral, ni con el numero asociado a dicho elemento. De hecho se entiende
como una función que a cada elemento le hace corresponder un nú-
mero () . La variable aleatoria es pues, una función que atribuye
a cada evento elemental de un número que no es aleatorio ni imprevisible
sino fijo y predeterminado. Lo que es aleatorio es el experimento sobre cuyo
espacio muestral se define la variable aleatoria.
Figura 1. Variable Aleatoria.
Entendido así podemos decir que el dominio de la variable aleatoria es el
espacio muestral y algún conjunto . Dependiendo de las caracterís-
ticas de podemos catalogar la variable aleatoria como una variable
aleatoria discreta si el conjunto es finito o infinito numerable o como
una variable aleatoria continua si infinito no numerable; en este último
caso constituye un intervalo de la recta real.
En general las variables aleatorias discretas representan de datos que pro-
vienen del conteo de cierto número de elementos, mientras que las variables
aleatorias continuas provienen de mediciones (longitud, tiempo, peso, etc).
Consideremos el caso de una variable aleatoria discreta. Si realizamos el ex-
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perimento aleatorio una cantidad determinada de veces, digamos , tendre-
mos entonces que el valor () ha aparecido en los resultados veces
dentro del conjunto de resultados. El cociente ⁄ recibe el nombre de
frecuencia relativa
de
, si realizamos el experimento tantas veces que
, entonces tenderá a un valor fijo que denominaremos probabilidad
de y lo denotaremos por [ ]. A partir del método que se ha emplea-
do para obtener el concepto de probabilidad son inmediatas las siguientes
propiedades
1. [ ] 2. ∑ [ ]
3. [ ]
Si tomamos los pares ordenados ( [ ]) y los graficamos en el plano
cartesiano tendremos una distribución de probabilidades sobre el plano. La
curva que contiene a los puntos ( [ ]) puede ser modelado mediante
una función () siendo esta de forma tal que () [ ], a dicha
función se le denomina función o distribución de probabilidad . En términos
de esta función podemos expresar las propiedades de la probabilidad de la
siguiente forma
1. () 2. ∑ () 3. ()
A partir de la función de probabilidad podemos definir la el valor esperado
(o esperanza matemática) para una variable aleatoria como el valor
límite que toma la mediana cuando . Matemáticamente expresamos es-ta definición como ∑ () . De igual forma son parámetros de gran
utilidad en el análisis estadístico la varianza que se define como el valor
esperado de ( ), es decir ∑ ( )() . No es difícil
demostrar que puede calcularse mediante la formula
∑ () . Y la desviación estándar definida como la raíz
cuadrada de la varianza, esto es .
La extensión de estos conceptos hacia variables aleatorias continuas se hace
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a partir de la consideración de que la probabilidad de un valor puntual de la
variable es nula y solo es posible calcular la probabilidad de que esta caiga
en in intervalo , así se define la función de densidad de distribución
de probabilidad
()como aquella que cumple los siguientes requisitos
1. () 2. ∫ ()
3. [ ] ∫ ()
A partir de estas condiciones no es difícil demostrar que [ ] satisface los
denominados axiomas de probabilidad. A partir lo dicho podemos expresar el
valor esperado, la varianza y la desviación estándar como
()
( )()
́
2.2. Distribuciones de probabilidad
Tanto la función de distribución como la función densidad de distribución
caracterizan el comportamiento de la variable aleatoria determinando
los parámetros estadísticos para su descripción. La elección de tales funcio-
nes no es arbitraria sino que depende mucho de las características del expe-
rimento aleatorio realizado lo cual hace que para ser candidatas a modelar el
comportamiento de una determinada variable aleatoria deben cumplir con
una serie de supuestos que permiten elegirlas de tal forma que cumplan su
papel de la mejor forma posible. En principio cualquier función que cumpla
tales requisitos puede ser tomada como o , sin embargo solo algunas son
importantes por su aplicabilidad a diversos experimentos aleatorios.
2.3. Proceso y distribución de Poisson
Una de las distribuciones de probabilidad de variable discreta más importan-
tes es la distribución de Poisson. Esta distribución modela la probabilidad
asociada a una variable mediante la función
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()
y representamos esta relación mediante (). El significado del paráme-
tro queda claro a partir de las características del experimento aleatorio delcual se toma , básicamente este experimento se reduce a un conteo dentro
de un intervalo finito de cualquier magnitud continua (tiempo, longitud, vo-
lumen, etc.) considerando que cada uno de los valores de es independiente
de los otros. En estas circunstancias el parámetro se identifica con la espe-
ranza matemática de , es decir . No una tarea complicada demostrar
se cumple la igualdad .
Los experimentos aleatorios que cumplen con estas condiciones suelen de-nominarse procesos de Poisson.
Dada la naturaleza hipotética de en el sentido de que nunca podremos rea-
lizar un experimento un número infinito de veces, para conjuntos grandes de
datos podemos tomar sin mas ̅ y considerar aun la igualdad .
Figura 2. El eje horizontal es la variable . La función solamente está definida en valores ente-
ros de . Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican continuidad.
2.4. Distribución de Gauss
Para la descripción estadística de una variable aleatoria continua es común
el empleo de la distribución Gaussiana o distribución Normal con paráme-
tros y . Esta distribución modela la distribución de probabilidad mediante
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común la afirmación que la aproximación a la distribución normal es para va-
lores de . La aplicación del teorema a una variable aleatoria discreta
induce un error cometido pro aproximar su probabilidad mediante una fun-
ción de densidad de probabilidad así el error cometido se denomina error
por continuidad , este error se corrige mediante el factor de corrección por
continuidad empleado al momento de calcular la probabilidad de un
valor puntual mediante la aproximación [ ] [ ].
Haciendo el uso del teorema del límite central podemos aproximar la distri-
bución de Poisson con la condición adicional .
3. DECAIMIENTO RADIOACTIVO Y ESTADÍSTICA
3.1. El decaimiento radioactivo
En general, los núcleos de los distintos elementos no son estables. Emiten es-
pontáneamente partículas cargadas y radiación electromagnética. Este fenó-
meno se conoce como radiactividad natural, y fue descubierto accidental-
mente en 1896 por Henri Becquerel.
Los núcleos excitados vuelven a su estado basal mediante tres tipos de de-
caimiento: consiste en la emisión de una partícula o átomos de helio do-
blemente ionizados; consiste en la emisión de partículas , electrones o po-
sitrones; y , cuando el retorno al estado basal se lleva a cabo mediante la
emisión de radiación electromagnética.
3.2. Naturaleza estadística y distribución de PoissonTal como se indicó en la introducción, el decaimiento radiactivo es un proce-
so aleatorio: cualquier medida basada en la observación de la radiación emiti-
da en una desintegración radioactiva está sujeta en algún grado a la fluctua-
ción estadística. Las hipótesis con las cuales se trabaja para el estudio de las
desintegraciones radiactivas, cuya validez está corroborada por la experien-
cia, son
a. Dado un intervalo temporal, todos los átomos de una muestra tienen la
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misma probabilidad de desintegrarse en dicho intervalo.
b. La desintegración de un átomo es un evento independiente de la desin-
tegración de los demás átomos de la muestra.
c. La probabilidad de desintegración de un átomo en un dado intervalo
temporal permanece constante para todo intervalo temporal de la mis-
ma duración.
Si tenemos en cuenta estas consideraciones y realizamos un experimento en
el cual la variable aleatoria tome el valor del número de átomos que se desin-
tegran en un intervalo de tiempo , vemos que naturalmente el experimento
corresponde a un proceso de Poisson por lo cual el conteo de las emisiones se
puede aproximar mediante una distribución de Poisson.
El objetivo del experimento esta en corroborar estas hipótesis y mostrar que
la distribución de Poisson es en efecto la correspondiente al decaimiento ra-
dioactivo.
La elección y definición de los parámetros estadísticos a tener en cuenta se
darán a conocer en el diseño experimental siendo que ya se ha adelantado el
valor de la variable a medir.
4. DISEÑO EXPERIMENTAL
Conecte la Unidad Básica Cobra3 a la computadora del puerto COM1, COM2 o
al puerto USB (el uso de USB a RS232 Convertidor 14.602,10). Iniciar el pro-
grama de medida y seleccione Cobra3 Radioactivity Gauge.
Comenzar a grabar la medición utilizando los parámetros tiempo (medido en
segundos ), la duración del intervalo durante el cual se realizará la cuenta y
los impulsos que corresponden al número de átomos desintegrados detecta-
dos.
El primer paso es ajustar la distancia entre la fuente radiactiva y el tubo con-
tador, así como el cómputo del tiempo de tal manera que un pulso promedio
de un valor estimado de resultados. El siguiente experimento preliminar de-
be llevarse a cabo para esta finalidad.
Coloque la fuente radiactiva de unos 5 cm de distancia de la abertura
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de admisión del tubo contador.
Compruebe el valor medido. Si es necesario, cambiar la distancia entre
la fuente radiactiva y el tubo contador con el fin de obtener el número
deseado de la cuenta. Para dar a las bajas tasas de pulso, será ayudar aponer una hoja de papel entre la fuente y el tubo contador.
Luego de una serie de medidas (tamaño de la muestra 1000) se lleva a cabo el
experimento con la ayuda de los equipo experimental y los ajustes del expe-
rimento preliminar.
Repita la medición con mayor número de cuentas (reducir la brecha, si es ne-
cesario, aumentar el periodo de cálculo), por ejemplo, para un promedio de
pulsos de 5, 10 y 20 por contar intervalo.
Las muestras radioactivas para este experimento fueron una de y
otra de .
Figura 4. Equipo experimental Cobra3 para el estudio estadístico del decaimiento radioactivo.
5. RESULTADOS
5.1. Experimento 1.
El primer experimento a realizar tendrá como fuente de emisiones radioacti-
vas al con las siguientes especificaciones
Intervalo de tiempo :
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Tiempo de medición :
Promedio esperado :
Haciendo la identificación del experimento con un proceso de Poisson tene-
mos que el intervalo unitario en este caso de tiempo) es y el parámetro
es el número de cuentas esperadas en cada intervalo, Luego de realizar el conteo del número de repeticiones de la cantidad de de-
tecciones por intervalo tenemos la Tabla 1.
# Cuentas (X) Frecuencia Absoluta ()1 2303
2 2392
3 1208
4 446
5 122
6 26
7 6
8 1Tabla 1: Conteo del número de cuentas obtenidas.
Frecuencias absolutas de intervalos con X cuentas.
Considerando que el conteo total de emisiones es 6504, tabulamos las fre-cuencias relativas de cada cuenta. Este resultado se muestra en la Tabla 2.
# Cuentas (X) Frecuencia relativa ( )1 0.354090
2 0.367774
3 0.185732
4 0.068573
5 0.018758
6 0.003998
7 0.000923
8 0.000154
Tabla 2: Conteo del número de cuentas obtenidas.
Frecuencias relativas de intervalos con X cuentas.
Las tablas Tabla 1 y Tabla 2, y los gráficos de frecuencias muestran una dis-
tribución claramente asimétrica de los conteos realizados.
La aproximación de la distribución de Poisson la hacemos mediante el uso dela función
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()
con y también con ̅, donde ̅ representa la media expe-
rimental ∑ que en este caso es 2.046587 (con 6 decimales como se tra-bajó con ). Se presenta entonces la Tabla 3.
# Cuentas XFrecuencia
Relativa ( )
Distribuciónde Poisson (
)
Distribuciónde Poisson (
)
1 0.354090 0.270671 0.264368
2 0.367774 0.270671 0.270526
3 0.185732 0.180447 0.184552
4 0.068573 0.090224 0.0944255 0.018758 0.036089 0.038650
6 0.003998 0.012030 0.013183
7 0.000923 0.003437 0.003854
8 0.000154 0.000859 0.000986Tabla 3: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Poisson para y
A partir de esta última tabla obtenemos un gráfico comparativo de y
.
Gráfica 1: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.
23032392
1208
446
12226 6 1
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
1 2 3 4 5 6 7 8
F r e c u e n c i a a b s o l u t a
d e i n t e r v a l o s c o n X c u e n t a s
Numero de cuentas X
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Gráfica 2. Diagrama de barras de frecuencias relativas.
Gráfica 3: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).
0.3540900.367774
0.185732
0.068573
0.018758
0.0039980.0009230.0001540.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
1 2 3 4 5 6 7 8
F r e c u e n c i a r e l a t i v a d e i n t e r v a l o s c
o n X c u e n t a s
Numero de cuentas X
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
F r e c u e n d
i a R e l a t i v v a y P r o b a b i l i d a d
d e P o
i s s o n
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
Frecuencia Relativa Media Lambda
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5.2. Experimento 2.
El segundo experimento tuvo como muestra también al con las si-
guientes especificaciones
Intervalo de tiempo :
Tiempo de medición :
Promedio esperado :
Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 4
muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en
cada intervalo.
# Cuentas XFrecuencia
Absoluta ()FrecuenciaRelativa ()
1 4 0.0036934
2 33 0.0304709
3 79 0.0729455
4 137 0.1265005
5 165 0.1523546
6 183 0.1689751
7 173 0.15974158 114 0.1052632
9 99 0.0914127
10 53 0.0489381
11 23 0.0212373
12 12 0.0110803
13 6 0.0055402
14 2 0.0018467Tabla 4: Conteo del número de cuentas obtenidas.
Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.
La Gráfica 4 y la Gráfica 5 correspondientes a esta tabla muestran cierta for-
ma acampanada pero asimétrica.
Nuevamente hacemos la aproximación de la distribución de Poisson esta ves
considerando con y también con ̅, que en este caso es
6.3019391 (con 6 decimales como se trabajó con ). Se presenta entonces la
Tabla 4 que compara los valores de frecuencias relativas
y distribuciones
de Poisson con (Media) y (Lambda).
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# CuentasX
FrecuenciaRelativa ( )
Distribuciónde Poisson ( )
Distribución
de Poisson ( )
1 0.0036934 0.0115499 0.0148725
2 0.0304709 0.0363933 0.0446175
3 0.0729455 0.0764494 0.08923514 0.1265005 0.1204448 0.1338526
5 0.1523546 0.1518072 0.1606231
6 0.1689751 0.1594466 0.1606231
7 0.1597415 0.1435461 0.1376770
8 0.1052632 0.1130774 0.1032577
9 0.0914127 0.0791785 0.0688385
10 0.0489381 0.0498978 0.0413031
11 0.0212373 0.0285866 0.0225290
12 0.0110803 0.0150126 0.011264513 0.0055402 0.0072776 0.0051990
14 0.0018467 0.0032759 0.0022281Tabla 5: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Poisson para y
A partir de esta última tabla obtenemos un gráfico comparativo de y
.
Gráfica 4: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F r e c u e n c i a a b s
o l u t a d e i n t e r v a l o s c o n X
c u e n t a s
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
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Gráfica 5. Diagrama de barras de frecuencias relativas.
Gráfica 6: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones dePoisson con (Media) y (Lambda).
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
0.12
0.14
0.16
0.18
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
F r e c u e n c i a R e l a t i v a
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
F r e c u e n c i a s R e l a t i v i a s y P t o b a b i l i d a d
d e P o i s s o n
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
Frecuencia Relativa Media Lambda
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5.3. Experimento 3.
Para tercer experimento con se tuvieron en cuenta las siguientes
consideraciones
Intervalo de tiempo :
Tiempo de medición :
Promedio esperado : 50
Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La Tabla 6muestra las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas encada intervalo.
# Cuentas
X
Frecuencia
Absoluta (F)
Frecuencia
Relativa (f)37 1 0.002053
38 2 0.004107
39 2 0.004107
40 2 0.004107
41 3 0.006160
42 6 0.012320
43 7 0.014374
44 10 0.020534
45 11 0.02258746 7 0.014374
47 20 0.041068
48 12 0.024641
49 17 0.034908
50 22 0.045175
51 31 0.063655
52 22 0.045175
53 31 0.063655
54 25 0.051335
55 24 0.049281
56 20 0.041068
57 26 0.053388
58 17 0.034908
59 19 0.039014
60 28 0.057495
61 30 0.061602
62 10 0.020534Continúa en la página siguiente
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Laboratorio de física experimental 19
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# CuentasX
FrecuenciaAbsoluta (F)
FrecuenciaRelativa (f)
63 9 0.018480
64 20 0.04106865 8 0.016427
66 8 0.016427
67 9 0.018480
68 6 0.012320
69 6 0.012320
70 5 0.010267
71 1 0.002053
72 6 0.012320
73 2 0.00410776 1 0.002053
78 1 0.002053
Tabla 6: Conteo del número de cuentas obtenidas.
Frecuencias absolutas y relativas de intervalos con X cuentas.
Las gráficas 7 y 8 muestran, en cierta medida, una simetría lo cual hace re-
cordar a la simetría característica de una distribución estadística de tipo
gaussiana.
Nuevamente hacemos la aproximación de la distribución de Poisson esta ves
considerando con y también con ̅, que en este caso es
55.447639 (con 6 decimales como se trabajó con ). Se presenta entonces la
Tabla 7 que compara los valores de frecuencias relativas y distribuciones
de Poisson con ̅(Media) y (Lambda).
# Cuentas
X
Frecuencia
Relativa ( )
Distribución
de Poisson ( )
Distribución
de Poisson ( )37 0.002053 0.002015 0.010196
38 0.004107 0.002941 0.013416
39 0.004107 0.004181 0.017200
40 0.004107 0.005795 0.021500
41 0.006160 0.007837 0.026219
42 0.012320 0.010347 0.031213
43 0.014374 0.013342 0.036294
44 0.020534 0.016813 0.041244
Continúa en la página siguiente
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Continuación de la página anterior
# CuentasX
FrecuenciaRelativa ( )
Distribución
de Poisson ( )
Distribuciónde Poisson ( )
45 0.022587 0.020717 0.045826
46 0.014374 0.024972 0.04981147 0.041068 0.029460 0.052991
48 0.024641 0.034031 0.055199
49 0.034908 0.038509 0.056325
50 0.045175 0.042705 0.056325
51 0.063655 0.046429 0.055221
52 0.045175 0.049507 0.053097
53 0.063655 0.051793 0.050091
54 0.051335 0.053182 0.046381
55 0.049281 0.053615 0.042164
56 0.041068 0.053086 0.037647
57 0.053388 0.051640 0.033023
58 0.034908 0.049368 0.028468
59 0.039014 0.046395 0.024126
60 0.057495 0.042875 0.020105
61 0.061602 0.038972 0.016479
62 0.020534 0.034854 0.013290
63 0.018480 0.030676 0.010547
64 0.041068 0.026576 0.008240
65 0.016427 0.022671 0.006339
66 0.016427 0.019046 0.004802
67 0.018480 0.015762 0.003584
68 0.012320 0.012852 0.002635
69 0.012320 0.010328 0.001909
70 0.010267 0.008181 0.001364
71 0.002053 0.006389 0.000960
72 0.012320 0.004920 0.00066773 0.004107 0.003737 0.000457
76 0.002053 0.001510 0.000135
78 0.002053 0.000773 0.000056
Tabla 7: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Poisson para y
A partir de esta última tabla obtenemos un gráfico comparativo de y
.
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Gráfica 7: Diagrama de barras de frecuencias absolutas.
Gráfica 8. Diagrama de barras de frecuencias relativas.
0
5
10
15
20
25
30
35
37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78
F r e c u e n c i a A b s o l u t a
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71 73 78
F r e c u e
n c i a R e l a t i v a
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
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Gráfica 9: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones de
Poisson con
(Media) y
(Lambda).
Es interesante notar que en este caso el valor esperado de la media difiere
del promedio de los datos ̅ mucho más de lo que difería en los casos ante-
riores y que un ajuste de Poisson que toma ̅ se ajusta mejor a los datos
que que era lo que se esperaba. Por otro lado la curva originada por el
ajuste con ̅ es de forma acampanada y muy simétrica comparada con
las otras curvas de Poisson de los experimentos anteriores.
Para apreciar esto se elaboró una tabla similar a la Tabla 7 para una posible
distribución de Gauss obteniéndose:
# CuentasX
FrecuenciaRelativa ( )
Distribución
de Poisson ( )
Distribuciónde Poisson ( )
37 0.002053 0.002292 0.011290
38 0.004107 0.003201 0.014248
39 0.004107 0.004388 0.017649
40 0.004107 0.005905 0.021459
41 0.006160 0.007837 0.026219Continua en la siguiente pagina
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
30 40 50 60 70 80
F r e c u e n c i a R e l a t i v a y P r o b a b i l i d a d
d e P i o s s o n
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
Frecuencia Relativa Lambda Media
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Continuación de la página anterior
# CuentasX
FrecuenciaRelativa ( )
Distribuciónde Poisson ( )
Distribuciónde Poisson ( )
42 0.012320 0.010346 0.031213
43 0.014373 0.013342 0.03629444 0.020533 0.016813 0.041243
45 0.022587 0.020716 0.04582646 0.014374 0.023716 0.046900
47 0.041068 0.028014 0.050058
48 0.024641 0.032481 0.052442
49 0.034908 0.036966 0.053927
50 0.045175 0.041294 0.054432
51 0.063655 0.045278 0.053927
52 0.045175 0.048731 0.052442
53 0.063655 0.051480 0.050058
54 0.051335 0.053380 0.046900
55 0.049281 0.054330 0.043131
56 0.041068 0.054277 0.038934
57 0.053388 0.053224 0.034496
58 0.034908 0.051229 0.030001
59 0.039014 0.048399 0.025611
60 0.057495 0.044883 0.021459
61 0.061602 0.040854 0.017649
62 0.020534 0.036500 0.014248
63 0.018480 0.032010 0.011290
64 0.041068 0.027554 0.008781
65 0.016427 0.023281 0.006704
66 0.016427 0.019307 0.005023
67 0.018480 0.015717 0.003695
68 0.012320 0.012558 0.002668
69 0.012320 0.009849 0.00189070 0.010267 0.007582 0.001315
71 0.002053 0.005729 0.000898
72 0.012320 0.004249 0.000602
73 0.004107 0.003093 0.000396
76 0.002053 0.001067 0.000101
78 0.002053 0.000478 0.000037
Tabla 8: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Gauss para y
Comparando esta última tabla con la obtenida anteriormente para la distri-bución de Poisson notamos que los valores de las probabilidades ( y
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) no varían de forma significativa en el aspecto comparativo de los datos.
Nuestra observación no falla y se pone aún más en evidencia comparando el
grafico correspondiente a esta última tabla, Gráfica 10, con la Gráfica 9.
Gráfica 10: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones de
Poisson con (Media) y (Lambda).
La en la comparación de ambas se aprecia una notable proximidad.
5.4. Experimento 4.
Para este cuarto experimento tomamos como muestra emisora , yrealizamos dos ajustes de las frecuencias relativas: para una distribución de
tipo Gauss y otra de tipo Poisson buscando una comparación similar al caso
anterior. Esta vez emplearemos como parámetro el valor de la media de los
conteos ̅.
Intervalo de tiempo :
Tiempo de medición :
Promedio : 44.576042
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
30 40 50 60 70 80
F r e c u e n c i a R e l a t i v
a y P r o b a b i l i d a d
d e P o i s s o n
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
Frecuencia Relativa Lambda Media
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Identificamos la longitud el intervalo unitario con y . La tabla 9
muestra la las frecuencias absolutas y relativas de las cuentas encontradas en
cada intervalo.
# Cuentas X Frecuencia Relativa ( ) Distribuciónde Poisson
Distribuciónde Gauss
27 0.001042 0.001348 0.001584
28 0.002083 0.002146 0.002373
29 0.004167 0.003298 0.003473
30 0.004167 0.004901 0.004963
31 0.004167 0.007047 0.006925
32 0.008333 0.009816 0.009439
33 0.020833 0.013260 0.012563
34 0.013542 0.017384 0.01633035 0.016667 0.022141 0.020730
36 0.026042 0.027415 0.025700
37 0.034375 0.033029 0.031115
38 0.034375 0.038744 0.036791
39 0.046875 0.044284 0.042483
40 0.051042 0.049350 0.047909
41 0.063542 0.053654 0.052763
42 0.051042 0.056945 0.056749
43 0.066667 0.059032 0.05960944 0.076042 0.059805 0.061147
45 0.047917 0.059242 0.061257
46 0.050000 0.057408 0.059931
47 0.054167 0.054447 0.057263
48 0.063542 0.050563 0.053432
49 0.038542 0.045998 0.048691
50 0.038542 0.041008 0.043333
51 0.039583 0.035843 0.037662
52 0.033333 0.030726 0.031967
53 0.019792 0.025842 0.026498
54 0.015625 0.021332 0.021451
55 0.020833 0.017289 0.016959
56 0.014583 0.013762 0.013094
57 0.007292 0.010762 0.009873
58 0.007292 0.008272 0.007270
59 0.004167 0.006249 0.005229
60 0.008333 0.004643 0.003672Continua en la siguiente pagina
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Continuación de la página anterior
# Cuentas X Frecuencia Relativa ( ) Distribuciónde Poisson
Distribuciónde Gauss
61 0.006250 0.003393 0.002519
62 0.002083 0.002439 0.00168763 0.001042 0.001726 0.001104
64 0.001042 0.001202 0.000705
65 0.001042 0.000824 0.000440Tabla 9: Comparación de los valores de y los valores de la distribución de Gauss y Poisson
Comparando los valores de la tabla encontramos que las variaciones entre
una y otra distribución están comprendidas entre 0.002869 y 0.0000618 lo
cual indica valores relativamente próximos, idénticos hasta con 2 cifras de-
cimales, lo cual puede ser una buena aproximación. La grafica comparativa de
cada una de las distribuciones y la frecuencia relativa se presenta a continua-
ción.
Gráfica 11: Distribución de frecuencias relativas (Frecuencia Relativa) y distribuciones de
Gauss y Poisson.
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
20 30 40 50 60 70
F r e c u e n c i a R e l a t i v a
Numero de Cuentas por intervalo de tiempo
Gauss Poisson Frecuencia Relativa
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6. CONCLUSIONES
Cualitativamente el experimento se realizó de manera sencilla en el sentido de que
se las lecturas de los decaimientos radioactivos se obtiene con pocos instrumentos,
lo cual minimiza los errores experimentales predominando básicamente los de
cálculo.
Además los objetivos del experimento fueron cumplidos pues so obtuvieron las
aproximaciones estadísticas esperadas demostrando el carácter aleatorio de las
emisiones radioactivas.
Al hacer las gráficas de estas aproximaciones estadísticas apreciamos que la dis-
tribución de Poisson modela de manera satisfactoria la emisión radioactiva. Y no
solo eso, sino que, además en los experimentos 3 y 4, vimos que se da la aproxima-
ción de la distribución de Poisson a la distribución de Gauss lo cual por teoría es
perfectamente sustentado por el teorema del límite central que se presentó en el
marco teórico.