Példáknumerikusmódszerekre.

Környezetfizika

�  környezetvédelem

�  baleset, háború, atomkísérletek utóhatásai

a talaj és a légkör radioaktivitásának vizsgálata

FONTOS TUDNI: hogyan változik egy szennyeződés után a radioaktív anyagok koncentrációja a talaj különböző rétegeiben

A talaj radioaktivitása egy radioaktív szennyezés után.

Modell kidolgozása

z

c(z,t)

a szennyeződés pillanatszerű, a felületen a t=0 pillanatban következik be

( ) ( ) ( )⎩⎨⎧

≠

===

0,00,1

, 00 zz

zzctzc δδ

KÉT HATÁS: 1. a csapadék hatására a radioaktív anyagok bemosódnak a talaj mélyebb rétegeibe

a felületen a koncentráció csökken, a mélyebb rétegekben nő

D diffúziós állandó

2. a radioaktív anyagok folyamatosan bomlanak

az összes rétegben csökken a koncentráció

α bomlási állandó

Differenciális egyenletek felírása

( ) ( ) ( ) ( )dzDtdzzc

dzDtzctzc

dttzdc ,,,,

−+−−= α

Számítógépes szimuláció: N számú dz vastag talajréteget tekintünk, az i. Rétegben a radioaktív anyag koncentrációja c[i]

példa paraméterek: N=20; α=0.002, D/dz = 0.003, dt=0.001

dzDic

dzDicic

dtdc ]1[][][ −+−−= α

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )tzcdttzdc

StdzzcDStzcDdt

dzStzdc

,,2

,,,1

α−=

−+−=

Diszkretizálás

�  időbeli derivált

�  térbeli derivált

�  diszkretizált egyenlet

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

ttcttct

ttctct

tcttcdtdc

Δ

Δ−−Δ+=

Δ

Δ−−=

Δ

−Δ+=

2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z

zzczzcz

zzczcz

zczzcdzdc

Δ

Δ−−Δ+=

Δ

Δ−−=

Δ

−Δ+=

2

( ) ( ) ( )zztctzDztct

zDtzttc Δ−Δ

Δ+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ΔΔ

−Δ−=Δ+ ,,1, α

Differenciálegyenletek integrálási módszerei

FELADAT: meghatározni

egyenletes időlépés???

JELÖLÉS:

erő tényező

DISZKRETIZÁLÁS:az intervallum melyik pontjában számoljuk az erő tagot?

( ) M...,,kk,;txfdtdkx kk

kk ,21, =′=≡ ′&

nknk xtx ,⇔

t n t 0 n

f k x i , n , t n f k , n

Az Euler módszer

pontosság, stabilitás számítási hatékonyság

Számítási szempontból a legegyszerűbb módszer,de nem alkalmas fizikai problémák tanulmányozására. Önmagában SOSEM használjuk!!!!

előre irányú diszkretizálás: xnxn 1 xn O f xn , t n

lokális hibaxn 1 xn f xn , t n O 2

globális hiba: !!!! sérülnek a megmaradási törvények !!!N 2 T 2 O

másodrendű sorfejtés:

hátrafele irányú diszkretizálás

ismerni kell x0 és x1-et a módszer nem önindítós, más módszerrel kell beindítani

x n 1 x n xn12xn

2 O 3

xn 1 xn f n12f n

2 O 3

xn 1 xn32f n

12f n 1 O 3

Kétlépéses módszer

Taylor sorok módszere

ha a és parciális deriváltak analitikusan kiszámolhatók∂ f∂ x

∂ f∂ t

a deriváltak a tn pillanatban vannak

általában a parciális deriváltak számítása nem praktikus!!!

xn 1 xn f n f n2

2O 3 , f n

dfdt

fxxn

ft

xn 1 xn f nfxxn , t n f n

ftx n , t n

2

2O 3

Négylépéses Adams-Bashforth módszer

negyedrendű sorfejtésből indulunk ki:

deriváltak kiszámítása: polinomiális interpoláció fn-3, fn-2, fn-1, fn pontokon keresztül

f-et sorbafejtjük tn körül t~δ kis értékekre

beazonosítjuk a megfelelő rendű tagok együtthatóit

xn 1 xn f n f n2

2f n

3

6f n

4

24O 5

f t t t 2 t 36 3

f nt t 2 t 3

2 3f n 1

t t t 3

2 3f n 2

t t t 2

6 2f n 3 O 4

f f n f n tdn2t 2

f n6t 3 O 4

xn 1 xn 55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 24O 5

Runge-Kutta módszerekcentrális diszkretizálása -nakaz intervallum közepén

x xn 1 xn f x n 1 2 , t n12

O 3

nem ismerjük -et, hogyan számoljuk ki az f-et???

Euler módszerrel:

xn 1 2

xn 1 2 xn f n 2f xn 1 2 , t n

12

f xn f n 2, t n

12

O 3

RK2k1 f n ; k 2 f xn

k 12, t n

12

;

x n 1xn k

2O 3

RK4k1 f n ; k 2 f xn

k 12, t n

12

; k 3 f x nk 22, t n

12

;

k4

f x n k3, t ;

xn 1xn

16k1

13k2

13k3

16k4O 5

Implicit módszerek

eredendően stabil módszerek, de sokkal nehézkesebbek számítási szempontból

explicit módszerek:az xn+1 kiszámításához az összes információ explicit módon a rekurzióban található;implicit módszerek:az információk egy része implicit módon az erő tagban van “elrejtve”.

PÉLDÁK:

a rekurzió nemlineáris!!!

iteratív módszereket használunk:megbecsüljük valahogy az xn+1-et,ezzel számolunk egy jobb becslést és ismételjük az iterációt

xn 1 xn f xn 1 , t n 1

xn 1 xn 2f xn , t n f xn 1 , t n 1

Prediktor-korrektor módszerek

explicit módszerrel megbecsüljük az xn+1-et intervallum szélejavítjuk az értéket egy hasonló rendű implicit módszerrel intervallum belseje

PREDIKTOR: negyedrendű Adams-Bashforth módszerKORREKTOR: négylépéses Adams-Molton módszer

BECSLÉS

KORREKCIÓ

xn 1 xn 55 f n 59 f n 1 37 f n 2 9 f n 3 24O 5

xn 1 xn 9 f n 1 19 f n 5 f n 1 f n 2 24O 5

sebesség Verlet:

x n 1 x n pn12f x n

2 O 3

pn 1 pn12f xn f x n 1 O 3

Verlet algoritmusok

x pp f x

x f x

eredeti Verlet: xn 1 2 x n xn 1 f x n2

Szinkronizáció a természetben

` Nagyon gyakori jelenség...x ingaórák szinkronizálódása

(Huygens, 1667)x szentjánosbogarak dél-kelet Ázsiában

(J. Buck, Sci. Am., May 1976)

x „pacemaker” sejtek a szívizomban(C. Peskin, Mathematical Aspectsof Heart Physiology, New York, 1975)

x tücskök csiriplése(E. Sismondo; Science 249, 55 ,1990)

x oszcilláló kémiai reakciók(J. Neu, SIAM J. Appl. Math. 38, 305 ,1980)

x kapcsolt Josephson átmenetekhálózata (P. Hadley et al.Phys. Rev. B, 38, 8712 , 1988)

x neuron sejtek az agyban(J. Hopfield, Nature 376, 33 ,1995)

x egymás mellett járó emberek lépteix taps / vastapsx együtt élő nők menstruációs

ciklusának a szinkronizációja

Szentjánosbogarak szinkronizációja` Délkelet Ázsiában több ezer hím szentjánosbogár ül a fákon és villog` szinkronizált villogás mi okozza ezt?◦ egymást befolyásolják: ha az egyik látja a másik felvillanását, gyorsul vagy

lassul úgy, hogy a következő villanásuk szinkronban legyen` Hanson (1978) kísérlete: „mű” szentjánosbogár melletti valódi

szentjánosbogár villanásax a szentjánosbogár a saját periódusához közeli tartományban (~0,9s)

alkalmazkodottx ha az automata túl gyors vagy túl lassú volt, nem történt szinkronizáció

` modell: Ermentrout & Rinzel (1984)◦ a bogarak felvillanásának fázisa: villanás -ban◦ külső hatás hiányában:

◦ stimulálás fázisa: villanás -ban

◦ stimuláns egyenlete:

◦ ha a stimulálás hamarabbkövetkezik be, aszentjánosbogár felgyorsul,különben lelassul

( )tθ 0=θωθ =&

( )tΘ0=Θ

Ω=Θ&

( )θωθ −Θ+= sinA&

Több szentjánosbogár szinkronizációja

Hasonló elven működő elektronikus bogarak

Néda Zoltán és csoportja

A Kuramoto modell

` tekintünk N darab oszcillátort` csatolt oszcillátor-rendszer egyenlete:◦ numerikusan integráljuk

` rendparaméter: ( )∑ +=i

ii iN

r θθ sincos1

Szinkronizált és nem szinkronizáltfázisok jelenléte (fázisátalakulás)Kc kritikus csatolás

• K<Kc: r=0 (a szinkronizáció teljes hiánya)• K>Kc: r>0 (parciális szinkronizáció)• K->∞: r=1 (teljes szinkronizáció)

másodfajú fázisátalakulás

http://www.ct.infn.it/cactus/applets/kura.html http://www.ct.infn.it/cactus/applets/kuramoto-phase-diagram-N4.html