VI SIMPOSIUM INTERNACIONAL DE PERFORACION Y VI SIMPOSIUM INTERNACIONAL DE PERFORACION Y VOLADURA DE ROCASVOLADURA DE ROCAS

SIPEVOR 2001SIPEVOR 2001

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA FACULTAD DE INGENIERIA GEOLOGICA MINERA Y METALURGICA

“CONCEPTOS MATEMATICOS BASICOS DE LA TEORIA DE LA “CONCEPTOS MATEMATICOS BASICOS DE LA TEORIA DE LA CONMINUCION APLICADA A LA VOLADURA DE ROCAS”CONMINUCION APLICADA A LA VOLADURA DE ROCAS”

Por:

CARLOS AGREDA*

* Ph.D; M.Sc; P.ENG.* Profesor de Pre y Prost Grado - UNI - FIGMM* Consultor Internacional en Voladura de Rocas.* Especialista en : Perforación y Voladura de Rocas, Ingeniería de Sistemas e

Investigación de Operaciones Aplicadas a la Industria Minera, etc.Julio, 12, 13 y 14 , 2 001

Lima - Perú

Abstracto� Una revisión general de los conceptos MATEMATICOS

básicos; lo mismo que la ecuación general de la conminución son descritos, analizados y discutidos muy someramente; de tal manera que ellos puedan ser aplicados a la voladura de rocas.

� También algunas funciones de distribución de tamaños de fragmentos son revisados para determinar cuales de ellas representan mejor la distribución acumulativa menor de tamaños de fragmentos F(x) como una función del tamaño nominal de las partículas (x) para la fragmentación de las rocas.

� Las grandes ventajas de la teoría de la conminución aplicada a la voladura de rocas son muy bien enfatizadas.

1. Introducción� Todas las teorías que tratan de explicar la fenomenología de la

Voladura de Rocas que existen en la actualidad, de un modo u otro, tratan de describir que las variables fundamentales que ejercen influencia en el diseño y resultado de un disparo son: EL EXPLOSIVO, LA GEOMETRIA DEL DISPARO Y EL MACISO ROCOSO.

� Estas tres variables expresan una relación entre ENERGIA, MASA Y TIEMPO; esto quiere decir que la voladura de rocas no solo es un arte sino parte de la aplicación de la ciencia de acuerdo a las Leyes TERMO-HIDRODINAMICAS, MECANICA DE ROCAS, INGENIERIA DE SISTEMAS, etc.

� Esta revolucionaria teoría plantea una análisis inverso del diseño de los métodos tradicionales. Esto es, a partir de una granulometría deseada, se calcula la energía que se necesita para reducir de tamaño R veces un tamaño original y se determina la cantidad de explosivo o mezcla explosiva que entregue una energía Q3 y pueda realizar el trabajo deseado. Además plantea como distribuir esta cantidad de explosivo en el área a dispararse.

2. Definición de Conminución

� F.C. Bond ha definido a la Conminución como un proceso en el cual las energías mecánicas y cinéticas producidas por una máquina o cualquier otra fuente generadora de energía es transferida hacia el material (Roca); produciendo en este fricciones internas y altas temperaturas, las cuales causarán su fracturamiento.

3. Principio de CONMINUCION

� Se considera conminución al proceso de reducción de tamaño de rocas con un nivel de energía determinado a fragmentos pequeños con otro nivel de energía, mayor que el de los primeros. Es decir, los productos - rocas fragmentadas, tienen un nivel mayor de energía. De ahí que los principios de conminución consisten en relaciones entre la energía consumida y el tamaño de materiales producido. Así mismo, los postulados de Conminución - Kick, Rittinger, F.C. Bond -consideran a la anergía especifica consumida como proporcional a las diferencias de superficies y/o grados de reducción de volúmenes.

De acuerdo a la teoría tercera de Conminución de Bonnd (1952); se puede escribir lo sigiente:

Entonces:

En la tercera teoría de Conminución, Bond, plantea que la energía específica requerida, es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del diámetro de la partícula producto menos el alimento, este principio puede ser interpretado secuencialmente como sigue:

Nivel de Energíade Productos

Nivel de Energíade Alimentos

Energía Entregadapor la Conminución= +

W = Wt (P) - Wt (F)

i. Cuando una partícula de lado o tamaño D es fracturada, el promedio de la energía absorbida por la partícula es proporcional a su volumen.

ii. Cuando una grieta se forma en la superficie de la partícula, la energía contenida en la partícula fluye a la superficie. Por ello el promedio de la energía es proporcional a su superficie D2.

iii.por i y ii tanto la superficie como el volumen intervienen en la ruptura del material y asignando igual ponderación a ambos factores, la energía absorbida por la partícula de lado D es una media geométrica de las dos condiciones.

3D αE

2D αE

5/223 D DD α E ≅

iv.Como se trata de energía específica, la energía requerida para fracturar una unidad de volumen será:

Por consiguiente la energía total usada en la ruptura de la roca es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la partícula producto.

Entonces:

D1 α

DD α E 3

5/2

PKPW =)(

PKFW−

=)(

−−=

PPKW 11

Como el tamaño no es uniforme, los tamaños de fragmentos están gobernados por funciones de distribución. Hay dos tipos de funciones: La de Gates Gaudin Schubman y la de Rosin Ramler.

4. Ecuación Diferencial de la Conminución� En 1937 Walker formuló la ecuación diferencial que tiene como

soluciones particulares los modelos planteados por Rittinger, Kick y F.C. Bond. Esta ecuación es como sigue:

dE : Cambio de energía infinitesimal consumida por un proceso de conminución.

x : Tamaño de la partícula.c,n : Son constantes.dx : Cambio de tamaño infinitesimal.

� El modelo establece que la energía requerida para lograr un cambio infinitesimal en el tamaño de una partícula u objeto es proporcional al cambio de tamaño e inversamente proporcional al tamaño del objeto elevado a una potencia n, que podrá tener cualquier magnitud o signo.

nxdx C- dE =

� Este modelo podría ser un absurdo, dado que no es posible romper de una partícula una cantidad diferencial, la expresión correcta debe considerar el tamaño medio de un nivel de energía a otro.Por lo tanto se puede escribir lo siguiente:

: Es el tamaño medio de la partículaSi n:2 Entonces se deduce el modelo de Rittinger.Si n:1 Entonces se deduce el modelo de Kick.Si n:1.5 Entonces de deduce el modelo de F.C. Bond.

Además haciendo C = 10 Wi/2

� Queda entendido entonces que para analizar cambios de niveles de energía en conminución estos deben ser referidos a tamaños promedios.

nxxd C- dE =

x

Se debe mencionar que hasta la fecha en nuestro medio aún no se ha podido cuantificar la energía, pero se sabe que cuando esta es transferida a la roca, puede consumirse de varias forma. Tales como:

1. Como vibraciones y ondas que viajan a una superficie o hacia el interior de la tierra.

2. Para elevar la temperatura del material que rodea el taladro (Roca).

3. Para deformar, fracturar y remover el material (Roca)

5. Funciones de Distribución de TamañosSea f(x) : % en peso, como una expresión de

frecuencia que con un tamaño x apareceen el sistema de partículas.

f(x)dx : % en peso de partículas con tamañosentre x y x+dx

El tamaño medio de la partícula de la distribución f(x) será comosigue : dx

dzzfxF

dxxf

x

dF(x)(x)F' f(x)

pasante. acumulado pesoen % el es F(x) :decir Es

x.amenor con tamaño particulas de pesoen %)()(

%100)(

0

0

==

==

=

∫

∫∞

Y su varianza

x f(x)Tamaño de la partícula % en peso

%peso de todas las partículas de tamaño mayor que x (retenido acumulado en la malla x)

∫

∫∞

∞

=

0

0

dx )x(f

dx )x(f xu

2σ

∫

∫∞

∞

−=

0

0

2

2

dx )(

)()(

xf

dxxfuxσ

∫∞

=x

dzzfxG )()(

6. Función de Distribución de GATES-GAUDIN-SCHUBMAN

Esta función se expresa de la siguiente manera:

F(x) : % Acumulado pasante (en peso).X0 : Es el tamaño máximo de la distribución.

: Constante, que en una gráfica de papel log - log representa la pendiente de la recta de la función distribución

El tamaño medio u estará expresado como sigue:

α

=

0100)(

xxxF

α

1- xx

100)x(' F)x(f0

αα== α

0X 1+

=α

αu

Y la varianza será:

( ) ( )22

02

1 2

++=

ααασ x

434214342143421

b

0X Y x100 log log(x) ))x(Flog(

+α= α

α

θ=α tan

α

0x100log

0 10010 1000x0

θ

F(X)

y b se obtienen mediante ajuste de mínimos cuadrados de la ecuación :

Y= x + b (regresión lineal)

α

α

7. Función de Distribución de ROSIN RAMBLER

Esta función se puede expresar como sigue:

X0 y a son constantes

El tamaño medio de la distribución es u :

Función Error

)1( 100)( 0

a

xx

exF

−

−=

a

0xx1a

00e

xx

xa)x(' F)x(f

−−

+

==

+=

aaferxu 1.0

+=

2

02

a1-afer -

22. aferxσ

dzexfer x z∫ −=0

22)(π

1)( =∞fer

Estos valores pueden trabajarse o ser calculados a partir dela función de distribución normal acumulativa.

Que se encuentra en tablas estadísticas o computacionamente pueden calcularse mediante la formula aproximada de (Johnson & Kortz) 1960

dt e 21)z(F 2/t-

z2

∫∞−

π=

−+=

−π

22

11 21)(

z

ezFZ > 0

Si Z < 0 → F(Z) = 1-F(-Z)

� Si se efectúa el desarrollo de una serie, la función de distribución de Rosin Rambler y despreciando los términos de orden superior, la función de Rosin Rambler se transforma en la función de distribución de Gates - Gaudin - Schubman.

� Pero la función de Rosin Rambler representa mejor los datos experimentales. De ahí que se puede considerar a la función de Rosin Rambler como una generalización de la función G-G-S, pero se debe considerar a x0 como el tamaño máximo de la partícula.

)1( 100)( 0

a

xx

exF

−

−=

)) ... !3

)/(!2

)/()/(1(1( 100)(3

02

00

aaa xxxxxxxF −+−−=

a0 )/( 100)( xxxF =

8. Análisis Granuometrico: Ajuste a laFunción de Rosin Rambler.

)1( 100)( 0

a

xx

exF

−

−=

a)0(x/x-e 100)( =xG

b x a Y (x) ln a - )xln( a))x(G/100ln(ln(

)(x/x ))x(G/100ln( a0

==

=

a y b se encuentran mediante regresión lineal.

9. Formulación Matemática de la Teoría de la Conminución Calculo de la Energía paraobtener una Fragmentación de acuerdo ala Función de Distribución de Rambler.

� Partiendo de la ecuación de Charles, Rosin plantea lo siguiente:

� La energía necesaria para reducir partículas de tamaño xm a tamaño x, para obtener una distribución de partículas que van de tamaño mínimo xf a un tamaño máximo x0 esta dada por la ecuación arriba planteada.

dx f(x) 0x

fx0∫ ∫∫

−=x

mxn

E

xdxCdE

� Si se considera la función de distribución de Rosin - Rambler, se tendrá lo siguiente:

� Planteando en la ecuación se obtiene:

� Como se va ha trabajar en metros y considerando que el tamaño mas fino tiende a cero xf →0 , entonces se puede escribir lo siguiente:

axxa exxxaxf )0/(1

00

)/(100)( −−=

a)(x/x-1-a0

0

0 11e)(x/x

x100a

11∞

−−

∫

−

−−

−=x

xf

nm

n

nx

nxCE

∑∞

=−+

++

−++−−=

0m)1)1((

0

n)-(11)a(m0

m

0 ))1()1(( !)(x(-1)

)1(100 a

nmaxmnxCE ma

1)-(ex)1(

100 a 1-n)-(1mn

C−

−

n1-

0

10 )xe-(1

)1(100 a

n)-(11)(a(m !)1(

)1(100 a C-E

nC

mx

n m

mn

−+

++

−−

= ∑∞

=

−

� Considerando n=3/2 de acuerdo a F. C. Bond y el tamaño medio:

� Reemplazando x0=u / fer (a+1)/a, se tiene :

� Es la energía necesaria para reducir partículas de tamaño xma fragmentos de tamaño promedio u con funcion de acuerdo a la distribución de Rosin Rambler de tamaño máximo x0

)a

1a(fer XU 0+

=

)1(1)-1)(a(m m!

2(-1) 11afer

a C 200E0m

1m

−−

+

+

= ∑∞

=

−

mxe

u

CONCEPTOS BASICOS DE LA CONMINUCION

Aplicación de laenergía mecánica o

Cinética

fragmentos detamaños grandes

fragmentos finos

10. Conclusiones.

1. Se ha demostrado que la teoría de la conminución es una poderosa herramienta moderna, para efectuar el diseño de la Voladura de Rocas, obviamente que se tiene que investigar mucho mas para lograr obtener resultados óptimos.

2. Se debe mencionar también que esta teoría presenta un planteamiento inverso a los métodos de diseño de las mallas de perforación y voladura tradicionales; ya que esta parte de los resultados deseados (fragmentación); variable que no se puede obtener previamente aplicando otros modelos matemáticos que ya hayan sido estudiados y/o investigados.

3. Por otro lado como los tamaños de los fragmentos; producidos por la voladura no son uniformes ellos obedecen a una función de distribución de los tamaños de las partículas y la función que mas se adapta a la voladura de rocas es la de Rosin –RAMLER y se ha logrado demostrar que es mas general que la función de GATES – GAUDIM – SCHUBMAN.

4. Para la voladura de rocas de acuerdo a la ecuación diferencial de WALKER y lo planteado por AUSTIN, se debe considerar como un cambio promedio de tamaños de un nivel de energía a otro; no obstante que el modelo se desarrolla en forma continua con diferenciales.

11. Recomendaciones.

1. Se debe efectuar un estudio de distribución de carga explosiva, para poder controlar las proyecciones y apilamiento de las rocas fragmentadas.

2. También se debe investigar los efectos microsismicos de la voladura de rocas, para evitar causar algunos daños a las instalaciones y estructuras cercanas al área de influencia del disparo.

3. Se debe implementar un centro de investigación donde a nivel de laboratorio se puedan obtener los datos de las variables Roca – Explosivo cuantificados e inclusive diseñar dispositivos adecuados para efectuar los análisis granulométricos de los fragmentos producidos por la voladura de rocas.

4. Se debe mencionar que la calidad de la fragmentación puede ser adecuadamente cuantificada usando la función de distribución f(x); ya que esta permite predecir el tamaño promedio de la distribución (x) y también los porcentajes de finos y gruesos.

5. Muchos investigadores han llegado a la conclusión que existe un alto grado de probabilidad que para el caso de voladura de rocas la función de distribución acumulativa de tamaños podría ser distribuida de acuerdo a la distribución de ROSIN –RAMLER.

6. Se debe enfatizar que la uniformidad y el grado de fragmentación producido por la voladura de rocas es una función directa de:

Energía elástica de deformación delmacizo rocoso, energía disponible

explosivo, las mallas de perforaciónDOF = f

Referencias� AGREDA C. : “THE COMMINUTION THEORY APPLIED

TO ROCK BLASTING”Presented at the 10th annual conference on explosives and blasting TechniquesI.S.E.E. , 1993

� BEKER, B : “principles of conminution” AKADEMIALKrado, Bodapest, 1964

� BOND, FC : “The third law of comminution” AIMETranslactions, Vol. 1993, 1952

� CHARLES, R.J : “Energy size - reduction relation ships incomminution” mining Engineering, Jan,

1957

� WILSON D. : “Reducing Cost by Optimising fragmentation” International Mining,October, 1986

� YIGIT, E : “Three Matematical Comminution Models Based on Strain Energy” International Journal of Mineral Processing, 1976