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A C o m p a r i s o n o f R o b u s t n e s s :

F u z z y L o g i c , P I D , & S l i d i n g M o d e C o n t r o l

C h a r l e s P . C o l e m a n a n d D a t t a G o d b o l e

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e s

U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a a t B e r k e l e y

B e r k e l e y , C A 9 4 7 2 0 , U S A

A b s t r a c t | T h i s w o r k i s p e r f o r m e d i n o r d e r t o

f o s t e r a n d p r o m o t e u n b i a s e d a n d a c c u r a t e c o m p a r i -

s o n o f f u z z y l o g i c c o n t r o l a n d c l a s s i c a l c o n t r o l d e s i g n

m e t h o d o l o g i e s . W e a r e m o t i v a t e d t o e x e c u t e t h i s

s t u d y b y t h e d e m o n s t r a t e d r o b u s t n e s s t o p l a n t p e r -

t u r b a t i o n s o f t h e f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r g i v e n i n 0 ] .

R o b u s t f u z z y l o g i c , P I D , a n d s l i d i n g m o d e c o n -

t r o l l e r s a r e d e s i g n e d t o c o n t r o l t h e s p e e d o f a n o m i n a l

t h i r d o r d e r l i n e a r t i m e - i n v a r i a n t m o d e l o f a m o t o r .

T h e s t e p r e s p o n s e p e r f o r m a n c e o f e a c h c o n t r o l l e r , a p -

p l i e d t o t h e n o m i n a l a n d t w o p e r t u r b e d m o t o r p l a n t s ,

i s p r e s e n t e d .

W e c o n c l u d e f u z z y l o g i c c o n t r o l c a n b e a u s e f u l t o o l

f o r t h e c o n t r o l e n g i n e e r . W e e n c o u r a g e m o r e b e n c h -

m a r k c o m p a r i s o n s o f f u z z y l o g i c c o n t r o l w i t h c l a s s i c a l

c o n t r o l t e c h n i q u e s f o r t h e b e n e t o f t h e p r a c t i c i n g

c o n t r o l e n g i n e e r .

I . I n t r o d u c t i o n

A . N e w C o n t r o l T o o l s , N e w E n e m i e s ?

T h e s u c c e s s f u l u s e o f f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r s h a s g r e a t l y

e x p a n d e d i n t h e l a s t t w e n t y y e a r s ( 0 ] { 0 ] ) . T h i s e x -

p a n s i o n h a s p r o m p t e d m u c h c o m p a r i s o n t o c l a s s i c a l

c o n t r o l t e c h n i q u e s . T h e e n s u i n g d i s c u s s i o n s h a v e

n o t a l w a y s b e e n a m i c a b l e . N o r h a v e t h e y n e c e s s a r -

i l y l e a d t o m a n i f e s t r e s u l t s a n d c o n c l u s i o n s f o r t h e

p r a c t i c i n g c o n t r o l e n g i n e e r .

B . D e b a t e a n d D i l e m m a

A t t i m e s t h e d e b a t e o v e r t h e u s e o f f u z z y l o g i c c o n -

t r o l t e c h n i q u e s v e r s u s c l a s s i c a l c o n t r o l t e c h n i q u e s

h a s b e c o m e q u i t e h e a t e d w i t h a r d e n t d e t r a c t o r s o n

b o t h s i d e s ( 0 ] { 0 ] ) .

S o m e c o n t r o l e n g i n e e r s h a v e b e e n p l a c e d i n a

d i l e m m a b y t h i s d e b a t e , a n d h a v e b e e n l e f t w i t h -

o u t a n a p p e a s i n g s t u d y o r c o m p a r i s o n u p o n w h i c h

t o f o r m u l a t e a u s e f u l o p i n i o n .

C . W e l l - B e i n g o f t h e C o n t r o l E n g i n e e r

I n t h e p r o c e s s o f t h i s r a g i n g a n d s e e m i n g l y g r o w -

i n g b a t t l e , i t a p p e a r s t h a t t h e b e s t i n t e r e s t o f t h e

c o n t r o l e n g i n e e r h a s b e e n o c c l u d e d . T h e p r a c t i c i n g

c o n t r o l e n g i n e e r u s u a l l y h a s l i t t l e i n t e r e s t i n i d e o l o g -

i c a l d e b a t e s . I t i s h e r i n t e r e s t t o p r o d u c e a w o r k i n g

c o n t r o l l e r , w i t h e c a c y , m a k i n g u s e o f a n y a n d a l l

t e c h n i q u e s a t h e r d i s p o s a l .

R e s e a r c h s u p p o r t e d i n p a r t b y A R O u n d e r g r a n t n u m b e r

D A A L - 9 1 - G - 0 9 1 a n d a n A A S E R T s u p p l e m e n t .

D . A C a l l f o r P e a c e o r a t L e a s t a C e a s e F i r e ! a n d

N e g o t i a t i o n s

F o r t u n a t e l y , s o m e h a v e c a l l e d f o r c o n t r o l e n g i n e e r s

t o c o n s i d e r i n c l u s i o n o f f u z z y l o g i c c o n t r o l i n t o t h e i r

c o n t r o l e n g i n e r i n g t o o l b o x e s , a n d f o r t h e u t i l i z a t i o n

o f b o t h f u z z y l o g i c c o n t r o l a n d c l a s s i c a l c o n t r o l w h e n

a n d w h e r e a p p r o p r i a t e ( 0 ] 0 ] ) . T h i s a p p e a r s t o b e

a r e a s o n a b l e r e q u e s t . A t t h e v e r y l e a s t , t h e f u z z y

l o g i c t o o l c a n b e c o m p a r e d t o c l a s s i c a l c o n t r o l t o o l s .

S h o u l d t h e f u z z y l o g i c c o n t r o l t o o l p r o v e u s e f u l a n d

a c c e p t a b l e t o t h e c o n t r o l e n g i n e e r , i t s h o u l d b e c o m e

w e l c o m e a d d i t i o n t o h e r c o n t r o l t o o l b o x .

E . R o b u s t C o n t r o l l e r s

T h e c o n t r o l e n g i n e e r i s c o n c e r n e d a b o u t s u c h p r o p -

e r t i e s a s t h e r o b u s t n e s s o f a c o n t r o l l e r t o p l a n t p e r -

t u r b a t i o n s a n d u n c e r t a i n t y . W e t a k e t h e p e r s p e c t i v e

o f t h e c o n t r o l e n g i n e e r w h o h a s s e v e r a l c o n t r o l t o o l s

a v a i l a b l e f o r t h e s y n t h e s i s o f r o b u s t c o n t r o l l e r s , a n d

w h o i s i n t e r e s t e d i n d e t e r m i n i n g t h e c a p a b i l i t i e s o f

e a c h c o n t r o l t o o l t o s y n t h e s i z e a r o b u s t c o n t r o l l e r .

T o a s s e s s t h e u s e f u l n e s s o f e a c h t o o l i n d e s i g n i n g

a r o b u s t c o n t r o l l e r , w e c h o o s e a b e n c h m a r k p r o b -

l e m , a n d t h e n e n g a g e i n a c o m p a r i s o n o f t h e c o n t r o l

d e s i g n s w h i c h r e s u l t f r o m t h e a p p l i c a t i o n o f e a c h

c o n t r o l d e s i g n m e t h o d .

I I . C h o i c e o f C o n t r o l T o o l s

F u z z y l o g i c c o n t r o l , P I D c o n t r o l , a n d s l i d i n g m o d e

c o n t r o l t o o l s a r e c h o s e n f o r o u r i n v e s t i g a t i o n . F u z z y

l o g i c c o n t r o l i s c h o s e n b e c a u s e o f i t s e m p i r i c a l l y d e m o n -

s t r a t e d r o b u s t n e s s p r o p e r t i e s s h o w n i n 0 ] . P I D c o n -

t r o l i s c h o s e n b e c a u s e i t i s o n e o f t h e m o s t c o m -

m o n l y u s e d c o n t r o l l e r s i n i n d u s t r y , a n d b e c a u s e i t

h a s p l a n t p e r t u r b a t i o n r o b u s t n e s s p r o p e r t i e s w h i c h

c a n b e m a t h e m a t i c a l l y a n a l y z e d . W e c h o o s e a s l i d -

i n g m o d e c o n t r o l l e r b e c a u s e i t i s a r o b u s t n o n - l i n e a r

c o n t r o l m e t h o d w h o s e r o b u s t n e s s p r o p e r t i e s c a n a l s o

b e m a t h e m a t i c a l l y a n a l y z e d .

W e d o n o t c l a i m t o i n v e s t i g a t e a n d p r e s e n t e v e r y

r o b u s t c o n t r o l t e c h n i q u e . I n d e e d , t h e p o p u l a r a n d

s u c c e s s f u l H

1

a n d a d a p t i v e c o n t r o l t e c h n i q u e s a r e

n o t i c e a b l y a b s e n t f r o m t h i s s t u d y . W e f e l t i t w a s

n e c e s s a r y t o r e s t r i c t o u r s e l v e s t o f u z z y l o g i c c o n t r o l

a n d t w o o t h e r c o n t r o l m e t h o d s , i n o r d e r t o k e e p o u r

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s t u d y b r i e f , i n t e l l i g i b l e , a n d m e a n i n g f u l .

I I I . C o n t r o l P r o b l e m

A . M o t o r S p e e d C o n t r o l

M o t i v a t e d b y t h e w o r k i n 0 ] a n d 0 ] , a n d e n c o u r -

a g e d b y t h e r o b u s t n e s s r e s u l t s p r e s e n t e d f o r f u z z y

l o g i c c o n t r o l , w e c o n s i d e r t h e r o b u s t s p e e d c o n t r o l

o f a r o t a t i n g m o t o r , m o d e l e d b y a t h i r d o r d e r l i n e a r

t i m e - i n v a r i a n t t r a n s f e r f u n c t i o n . T h e g e n e r a l c o n -

g u r a t i o n f o r t h e m o t o r s p e e d c o n t r o l p r o b l e m i s

g i v e n i n F i g u r e 1 .

.

r

c

ce y

-

+

s

PlantMotor

Controller

F i g u r e 1 : M o t o r S p e e d C o n t r o l P r o b l e m

W e u s e t h e n o m i n a l p l a n t , p e r t u r b e d m o t o r p l a n t s ,

a n d t h e p e r f o r m a n c e c r i t e r i a g i v e n i n 0 ] t o d e s i g n

a n d c o m p a r e r o b u s t f u z z y , P I D , a n d s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r s .

B . R e s t r i c t i o n s o n C o n t r o l l e r I n p u t s a n d O u t p u t s

A s s h o w n i n F i g u r e 1 , t h e r e f e r e n c e s t e p i n p u t s p e e d

!

r

a n d t h e o u t p u t m o t o r s p e e d !

c

a r e a v a i l a b l e f o r

c o m p a r i s o n . E a c h c o n t r o l l e r o n l y h a s a c c e s s t o t h e

m o t o r s p e e d e r r o r e = !

r

? !

c

a n d t h e m o t o r a n g u l a r

a c c e l e r a t i o n _!

c

a s i n p u t s . E a c h c o n t r o l l e r p r o d u c e s

o n l y o n e o u t p u t u

C . N o m i n a l P l a n t

T h e n o m i n a l m o t o r p l a n t i s m o d e l e d b y t h e f o l l o w -

i n g t r a n s f e r f u n c t i o n :

G

1

( s ) =

5

s ( s + 1 ) ( s + 2 )

( 1 )

D . P e r t u r b e d P l a n t s

T h e t w o p e r t u r b e d m o t o r p l a n t s a r e g i v e n b y t h e

f o l l o w i n g t r a n s f e r f u n c t i o n s :

G

2

( s ) =

1 5

s ( s + 1 ) ( s + 2 )

( 2 )

G

3

( s ) =

5

s

2

( s + 2 )

( 3 )

E . P e r f o r m a n c e C r i t e r i a

T h e d e s i g n e d c o n t r o l l e r s m u s t b e r o b u s t t o v a r i a -

t i o n s o f s y s t e m p a r a m e t e r s . S p e c i c a l l y , f o r t h e

f u z z y l o g i c , P I D , a n d s l i d i n g c o n t r o l d e s i g n s , o n e

s i n g l e c o n t r o l l e r m u s t r e n d e r a c c e p t a b l e t h e c l o s e d

l o o p u n i t s t e p r e s p o n s e s o f t h e n o m i n a l p l a n t a n d

t h e t w o p e r t u r b e d p l a n t s . T o b e a c c e p t a b l e , t h e

c l o s e d l o o p s t e p r e s p o n s e s m u s t s i m u l t a n e o u s l y h a v e

s h o r t r i s e t i m e a n d n o o v e r s h o o t .

F . D e s i g n A p p r o a c h

W e d e s i g n t h e f u z z y , P I D , a n d s l i d i n g m o d e c o n -

t r o l l e r s b a s e d o n t h e n o m i n a l p l a n t g i v e n i n e q u a -

t i o n ( 1 ) . E a c h d e s i g n e d c o n t r o l l e r i s t h e n a p p l i e d

t o a l l t h r e e t r a n s f e r f u n c t i o n s , a n d n u m e r i c a l s i m -

u l a t i o n s a r e p e r f o r m e d t o a n a l y z e t h e c o n t r o l l e r ' s

r o b u s t n e s s .

T h e d e s i g n o f t h e f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r i s g i v e n

i n S e c t i o n I V . T h e d e s i g n o f t h e P I D c o n t r o l l e r i s

g i v e n i n S e c t i o n V . T h e d e s i g n o f t h e s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r i s g i v e n i n S e c t i o n V I . P l o t s o f e a c h c o n -

t r o l l e r ' s c l o s e d l o o p s t e p r e s p o n s e a n d c o n t r o l e o r t

a r e s h o w n i n A p p e n d i x A .

I V . A n a l y s i s a n d R e c o n s t r u c t i o n o f a

F u z z y R o b u s t C o n t r o l l e r

W e i m p l e m e n t t h e r o b u s t f u z z y c o n t r o l l e r g i v e n i n

0 ] a n d 0 ] . T h e i n p u t s t o t h e f u z z y c o n t r o l l e r a r e e

a n d _!

c

. T h e o u t p u t o f t h e f u z z y c o n t r o l l e r i s u . T h e

u n i v e r s e s o f d i s c o u r s e o f e !

c

, a n d u a r e p a r t i t i o n e d

i n t o s e v e n f u z z y s e t s :

N B - n e g a t i v e b i g

N M - n e g a t i v e m e d i u m

N S - n e g a t i v e s m a l l

Z E - z e r o

P S - p o s i t i v e s m a l l

P M - p o s i t i v e m e d i u m

P B - p o s i t i v e b i g

E a c h f u z z y s e t i s r e p r e s e n t e d b y a G a u s s i a n m e m -

b e r s h i p f u n c t i o n . T h e r u l e b a s e o f t h e f u z z y l o g i c

c o n t r o l l e r c o n t a i n s f o r t y - n i n e r u l e s w h i c h a r e t a b u -

l a t e d i n F i g u r e 2 . T h e o u t p u t o f e a c h r u l e i s d e -

t e r m i n e d b y m i n - i n f e r e n c e . T h e c r i s p o u t p u t u o f

t h e f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r i s g e n e r a t e d b y c e n t r o i d

d e f u z z i c a t i o n .

e

N B N M N S Z E P S P M P B

P B N B N B N B N B N M N S Z E

P M N B N B N B N M N S Z E P S

P S N B N B N M N S Z E P S P M

!

c

Z E N B N M N S Z E P S P M P B

N S N M N S Z E P S P M P B P B

N M N S Z E P S P M P B P B P B

N B Z E P S P M P B P B P B P B

F i g u r e 2 : F u z z y L o g i c C o n t r o l l e r R u l e B a s e

T h e s t e p r e s p o n s e o f t h i s f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r a p -

p l i e d t o t h e n o m i n a l a n d p e r t u r b e d p l a n t s i s s h o w n

i n A p p e n d i x A . T h e s t e p r e s p o n s e s f o r a l l t h r e e

p l a n t s h a v e s h o r t r i s e t i m e s a n d n o o v e r s h o o t . T h u s ,

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3/6

t h e y m e e t t h e s p e c i e d r o b u s t p e r f o r m a n c e c r i t e r i a .

T h e c o n t r o l e o r t g e n e r a t e d b y t h e f u z z y l o g i c c o n -

t r o l l e r i s a l s o s h o w n i n A p p e n d i x A .

V . A n a l y s i s a n d S y n t h e s i s o f a R o b u s t P I D

C o n t r o l l e r

T h e f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r d e s i g n e d i n 0 , 0 ] i s s i m i l a r

t o a n o n l i n e a r P D c o n t r o l l e r 0 ] . W e d e s i g n a l i n e a r

P I D c o n t r o l l e r t o o b t a i n s a t i s f a c t o r y s t e p r e s p o n s e

f o r a l l t h r e e t r a n s f e r f u n c t i o n s .

A l i n e a r P I D c o n t r o l l e r c a n b e c h a r a c t e r i z e d b y

t h e f o l l o w i n g t r a n s f e r f u n c t i o n :

C ( s ) = K

p

+ K

d

s +

K

i

s

( 4 )

B e c a u s e , i t i s v e r y d i c u l t t o r e a l i z e a p u r e d i e r -

e n t i a t o r , w e u s e t h e f o l l o w i n g t r a n s f e r f u n c t i o n f o r

i m p l e m e n t a t i o n .

C ( s ) = K

p

+

K

d

s

s + 1

+

K

i

s

( 5 )

T o h a v e a f a i r c o m p a r i s o n , w e u s e a s m a l l v a l u e f o r

K

i

= 0 0 0 1 , j u s t e n o u g h t o k e e p s t e a d y s t a t e e r r o r

z e r o . W e u s e a s m a l l v a l u e f o r = 0 0 1 , s o t h a t i t s

e e c t o n t h e d y n a m i c s i s m i n i m a l , b u t t h e d e r i v a t i v e

c o n t r o l l e r i s s t i l l r e a l i z a b l e .

T h e s e l e c t i o n o f K

p

a n d K

d

i s b a s e d o n t h e r o o t

l o c u s o f C ( s ) G

1

( s ) . T h e r o o t l o c u s g i v e s u s t h e

l o c a t i o n s o f c l o s e d l o o p p o l e s . T h e p r o p o r t i o n a l

a n d d e r i v a t i v e g a i n v a l u e s a r e c h o s e n s u c h t h a t t h e

c l o s e d l o o p p o l e l o c a t i o n s a r e i n t h e l e f t h a l f c o m -

p l e x p l a i n f o r a l l t h r e e p l a n t s . A n o t h e r c r i t e r i o n f o r

s e l e c t i o n o f t h e s e g a i n s i s t h e s t e p r e s p o n s e o f t h e

c l o s e d l o o p s y s t e m .

W e s e l e c t t h e f o l l o w i n g g a i n s :

K

p

= 2 K

d

= 5

W i t h t h e s e g a i n s , t h e c l o s e d l o o p s y s t e m i s s t a b l e f o r

t h e o p e n l o o p g a i n u p t o 5 1 . T h u s i n p a r t i c u l a r , t h e

a b o v e P I D c o n t r o l l e r s t a b i l i z e s t h e s y s t e m s g i v e n b y

t h e t r a n s f e r f u n c t i o n s ( 1 , 2 ) . F o r t h e m o d e l o f ( 3 ) ,

w e h a v e c l o s e d l o o p s t a b i l i t y f o r t h e o p e n l o o p g a i n

u p t o 3 0 . T h e s t e p r e s p o n s e s h a v e n o o v e r s h o o t a n d

a r e c r i t i c a l l y d a m p e d .

V I . A n a l y s i s a n d S y n t h e s i s o f R o b u s t

S l i d i n g M o d e C o n t r o l l e r

T o d e s i g n a s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r , w e c o n v e r t t h e

t r a n s f e r f u n c t i o n m o d e l i n t o s t a t e s p a c e f o r m a t . T h e

c o n t r o l l a b l e c a n o n i c a l f o r m r e a l i z a t i o n o f t h e m o d e l

o f ( 1 ) i s g i v e n b y :

x =

2

4

0 1 0

0 0 1

0 ? 2 ? 3

3

5

x +

2

4

0

0

5

3

5

u

y =

1 0 0 x ( 6 )

W e c o n s i d e r t h e f o l l o w i n g s l i d i n g s u r f a c e f o r t h i s

d e s i g n :

1

S = ( y ? y

d

) +

1

( y ? y

d

) +

2

( y ? y

d

) ( 7 )

T h e c h o i c e o f s l i d i n g s u r f a c e i s b a s e d o n t h e f o l l o w -

i n g c o n s i d e r a t i o n s :

T h e r e l a t i v e d e g r e e o f t h e s y s t e m ( 6 ) w i t h S a s

o u t p u t s h o u l d b e 1 . T h i s e n s u r e s t h a t t h e i n p u t

u a p p e a r s e x p l i c i t l y o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f S

e q u a t i o n .

S y s t e m d y n a m i c s o n t h e s l i d i n g s u r f a c e s h o u l d

b e s t a b l e . ( T h i s r e q u i r e s

1

2

> 0 )

y

d

( t ) s p e c i e s t h e r e f e r e n c e t r a j e c t o r y t o b e t r a c k e d

b y o u t p u t . I f o n e k n o w s t h e e n t i r e t r a j e c t o r y o f y

d

t h e n t h e d e r i v a t i v e i n f o r m a t i o n _y

d

( t ) y

d

( t ) c a n b e

e x t r a c t e d o l i n e a n d u s e d i n t h e d e s i g n t o i m p r o v e

t h e p e r f o r m a n c e . I f t h e i n f o r m a t i o n i s n o t a v a i l a b l e

( o r a s i n t h i s c a s e , y

d

( t ) b e i n g u n i t s t e p , i s n o n d i f -

f e r e n t i a b l e ) w e c a n a s s u m e _y

d

a n d y

d

t o b e z e r o a n d

l e t t h e r o b u s t n e s s p r o p e r t y o f t h e s l i d i n g m o d e c o n -

t r o l l e r t a k e c a r e o f t h e m i s m a t c h .

W i t h t h e d e n i t i o n o f s l i d i n g s u r f a c e a s a b o v e , w e

h a v e r e d u c e d t h e d e s i g n r e q u i r e m e n t f r o m t r a c k i n g

y

d

( t ) t o b e i n g o n t h e s u r f a c e S = 0 . O n c e o n t h e

s l i d i n g s u r f a c e , t h e d y n a m i c s ( e q u a t i o n 7 ) i s e x p o -

n e n t i a l l y s t a b l e a n d a s y m p t o t i c t r a j e c t o r y t r a c k i n g

i s a c h i e v e d . T h e c o n t r o l u i s d e s i g n e d t o m a k e t h e

s u r f a c e S = 0 a t t r a c t i v e a n d t o r e a c h t h e s u r f a c e i n

n i t e t i m e .

C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g l y a p u n o v f u n c t i o n :

V =

1

2

S

2

( 8 )

I t s t i m e d e r i v a t i v e i s g i v e n b y

V = S S ( 9 )

A s t h e s y s t e m h a s r e l a t i v e d e g r e e 1 w i t h S a s o u t p u t ,

w e c a n s o l v e f o r u f r o m t h e e q u a t i o n

S = ? K s g n ( S ) ( 1 0 )

T h i s r e s u l t s i n a n e g a t i v e d e n i t e V a n d a l s o g u a r -

e n t e e s n i t e t i m e c o n v e r g e n c e t o t h e s l i d i n g s u r f a c e .

B u t , t h e c o n t r o l l e r w i l l r e s u l t i n h i g h f r e q u e n c y c h a t -

t e r i n g n e a r s l i d i n g s u r f a c e . T o a v o i d t h i s , w e u s e t h e

f o l l o w i n g e x p r e s s i o n t o s o l v e f o r u

2

S = ? K S ( 1 1 )

) V = ? K S

2

( 1 2 )

1

R e f e r t o 0 ] f o r d e t a i l s o f s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r d e s i g n .

2

W i t h t h i s c o n t r o l l e r , t h e t r a j e c t o r y i s n o t g u a r e n t e e d t o r e a c h

t h e s l i d i n g s u r f a c e i n n i t e t i m e .

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4/6

E x p a n d i n g b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n , w e g e t

S = ? 2 x

2

? 3 x

3

+ 5 u +

1

x

3

+

2

x

2

= ? K ( x

3

+

1

x

2

+

2

x

1

?

2

y

d

) D e s i r e d

T h e u o b t a i n e d f r o m t h i s e q u a t i o n w i l l b e u s e d f o r

t h e c o n t r o l .

T h i s c o n t r o l l e r n e e d s a c c e s s t o a l l t h r e e s t a t e s ,

w h e r e a s t h e f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r o f 0 , 0 ] m a k e u s e

o f o n l y x

1

a n d x

2

. T o h a v e a f a i r c o m p a r i s o n , w e

w i l l c o n s t r u c t a n o b s e r v e r t o g e t a n e s t i m a t e o f t h e

s t a t e v a r i a b l e x

3

S t a n d a r d L u e n b u r g e r o b s e r v e r i s d e s i g n e d t o g e t

a n e s t i m a t e o f x

3

. W e u s e t h e m o d e l o f ( 1 ) t o d e s i g n

t h e o b s e r v e r a s f o l l o w s :

^x = A ^x + b u + L ( y ? ^y ) ( 1 3 )

^y = c ^x

w h e r e , t h e m a t r i c e s A b a n d c c o r r e s p o n d t o t h e

m o d e l i n e q u a t i o n ( 1 ) . T h e m a t r i x L i s c h o s e n s u c h

t h a t t h e e i g e n v a l u e s o f o b s e r v e r e r r o r d y n a m i c s ( A -

L C ) a r e i n t h e l e f t h a l f p l a n e a n d t h e e r r o r d y n a m i c s

i s f a s t e r t h a n t h e d y n a m i c s o n t h e s l i d i n g s u r f a c e .

T h e c l o s e d l o o p s t e p r e s p o n s e s w i t h t h i s c o n t r o l l e r

a r e s h o w n i n A p p e n d i x A . T h e c o n t r o l l e r i s r o b u s t

t o i n p u t g a i n c h a n g e s a s w e l l a s t o t h e c h a n g e s i n

s y s t e m d y n a m i c s w h i l e k e e p i n g t h e i n p u t m a g n i t u d e

s m a l l .

N o t e : W i t h t h e u s e o f e q u a t i o n ( 1 1 ) , t h e c o n -

t r o l l e r i s e s s e n t i a l l y a l i n e a r s t a t e f e e d b a c k c o n t r o l l e r .

I t r e s u l t s i n c l o s e d l o o p e i g e n v a l u e s o f - 1 . 3 3 9 2 &

- 4 . 3 3 1 9 1 f o r m o d e l ( 1 ) T h e s a m e c o n t r o l l e r

w h e n a p p l i e d t o o t h e r p l a n t s w i l l g i v e t h e f o l l o w i n g

c l o s e d l o o p e i g e n v a l u e l o c a t i o n s :

M o d e l o f ( 2 ) ) ? 1 3 2 ? 3 5 5 ? 1 9 1 2

T h u s , b y d e s i g n , t h e i n c r e a s e i n g a i n m a k e s t h e

c l o s e d l o o p s y s t e m m o r e s t a b l e . . .

M o d e l o f ( 3 ) ) ? 1 4 ? 3 7 9 j 2 6 2

V I I . C o n c l u s i o n s

A . C o m m e n t s o n C o n t r o l l e r D e s i g n s

T h e c o n t r o l e n g i n e e r p r o c i e n t i n P I D a n d s l i d i n g

m o d e c o n t r o l t e c h n i q u e s c a n r e a d i l y s y n t h e s i z e r o -

b u s t c o n t r o l l e r s t o p e r f o r m t h e t a s k d i c t a t e d b y t h i s

e x a m p l e . A s d e m o n s t r a t e d i n 0 ] a n d v e r i e d i n t h i s

s t u d y , t h e c o n t r o l e n g i n e e r u t i l i z i n g f u z z y c o n t r o l

t e c h n i q u e s c a n r e a d i l y a c h i e v e t h e s a m e g o a l . T h u s ,

a l l t h r e e c o n t r o l t o o l s a r e a v a i l a b l e t o t h e c o n t r o l e n -

g i n e e r f o r u s e i n s y n t h e s i z i n g a n a c c e p t a b l e r o b u s t

c o n t r o l l e r f o r t h i s c o n t r o l p r o b l e m .

W i t h t h e a p p r o p r i a t e s o f t w a r e t o o l s a v a i l a b l e , t h e

f u z z y l o g i c c o n t r o l l e r f o r t h i s p r o b l e m w a s r e l a t i v e l y

s i m p l e t o i m p l e m e n t , a n d i t p r o v i d e d s a t i s f a c t o r y

r e s u l t s . S o f t w a r e t o o l s w e r e a l s o a v a i l a b l e f o r t h e

d e s i g n a n d s i m u l a t i o n o f t h e P I D a n d s l i d i n g m o d e

c o n t r o l l e r s f o r t h i s p r o b l e m s , a n d s o t h e s e t w o c o n -

t r o l l e r s w e r e e a s y t o i m p l e m e n t .

B . A n a l y t i c a l T o o l s f o r t h e A n a l y s i s o f F u z z y L o g i c

C o n t r o l

A c o n t r o l e n g i n e e r a d d i n g t h e f u z z y l o g i c c o n t r o l

t o o l t o h e r t o o l b o x a l r e a d y f u l l o f c l a s s i c a l c o n t r o l

t o o l s , m i g h t a s k \ W h y d o e s t h i s m e t h o d d e m o n -

s t r a t e r o b u s t n e s s ? " , a n d \ W h e n w i l l i t f a i l ? " T h e s e

q u e s t i o n s o f t e n h a v e m a t h e m a t i c a l l y a n a l y t i c a l a n -

s w e r s f o r c l a s s i c a l c o n t r o l t o o l s . T o s a t i s f y t h i s i n -

q u i r y , w e c a l l f o r t h e c o n t i n u e d d e v e l o p m e n t o f m a t h -

e m a t i c a l l y a n a l y t i c a l t o o l s t o a n s w e r s u c h q u e s t i o n s

t o t h e s a t i s f a c t i o n o f t h e c o n t r o l e n g i n e e r i n g c o m -

m u n i t y .

C . F u z z y L o g i c C o n t r o l : A U s e f u l T o o l

F r o m o u r b r i e f s t u d y , w e c o n c l u d e t h a t f u z z y l o g i c

c o n t r o l s h o u l d h a v e a p l a c e i n t h e c o n t r o l e n g i n e e r ' s

t o o l b o x . O n l y t i m e , e x p e r i e n c e , a n d f u r t h e r a n a l -

y s i s w i l l d e t e r m i n e w h e t h e r f u z z y l o g i c c o n t r o l b e -

c o m e s a p r o m i n e n t t o o l i n t h e c o n t r o l t o o l b o x u s e d

b y d e v o t e e s o f c l a s s i c a l c o n t r o l t e c h n i q u e s .

V I I I . F u t u r e W o r k

W e e n c o u r a g e m o r e e x t e n s i v e f a i r a n d u n b i a s e d b e n c h -

m a r k c o m p a r i s o n s o f f u z z y l o g i c c o n t r o l w i t h c l a s s i -

c a l c o n t r o l t e c h n i q u e s f o r t h e b e n e t o f t h e p r a c t i c -

i n g c o n t r o l e n g i n e e r , a n d w e h o p e t o b e c o m e a p a r t

o f t h i s e o r t .

I n t h e f u t u r e , w e h o p e t o c o n t r i b u t e t o t h e c r e -

a t i o n o f n e w a n a l y t i c a l t o o l s f o r t h e a n a l y s i s o f f u z z y

l o g i c c o n t r o l l e r s . W e a l s o h o p e t o b e a b l e t o c o n -

t r i b u t e t o t h e c o n t i n u i n g e o r t t o i d e n t i f y c l a s s e s o f

p r o b l e m s w h e r e r u l e b a s e d f u z z y l o g i c c o n t r o l t e c h -

n i q u e s h a v e a d v a n t a g e s o v e r a n d a r e m o r e a p p r o p r i -

a t e t h a n c l a s s i c a l c o n t r o l t e c h n i q u e s .

I X . A c k n o w l e d g m e n t s

T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k P r o f e s s o r S . S h a n k a r

S a s t r y f o r h i s g r a c i o u s s u p p o r t a n d e n c o u r a g e m e n t .

T h e a u t h o r s w o u l d a l s o l i k e t o t h a n k D r . S h a h r a m

M . S h a h r u z f o r h e l p f u l d i s c u s s i o n s .

R e f e r e n c e s

1 ] H . T . N g u y e n , C . - W . T a o , W . E . T h o m p s o n ,

\ A n E m p i r i c a l S t u d y o f R o b u s t n e s s o f F u z z y

S y s t e m s " , P r o c . o f 2 n d I E E E I n t l . C o n f . o n

F u z z y S y s t e m s , p p . 1 3 4 0 { 1 3 4 5 .

2 ] R . M T o n g , \ A n A n n o t a t e d B i b l i o g r a p h y

o f F u z z y C o n t r o l " , i n I n d u s t r i a l A p p l i c a t i o n s

o f F u z z y C o n t r o l , M . S u g e n o , E d . , N o r t h -

H o l l a n d , A m s t e r d a m , H o l l a n d , 1 9 8 5 , p p 2 4 9 {

2 6 9 .

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5/6

3 ] T . T e r a n o , K . A s a i , M . S u g e n o . F u z z y S y s t e m s

T h e o r y a n d I t s A p p l i c a t i o n s . A c a d e m i c P r e s s ,

B o s t o n , M A , U S A .

4 ] W . P e d r y c z . F u z z y C o n t r o l a n d F u z z y S y s -

t e m s , 2 n d e x t e n d e d e d . J o h n W i l e y & S o n s ,

N e w Y o r k , N Y , U S A .

5 ] H . B e r e n j i , \ F u z z y L o g i c C o n t r o l l e r s " , i n

A n I n t r o d u c t i o n t o F u z z y L o g i c A p p l i c a t i o n s

i n I n t e l l i g e n t S y s t e m s , R . R . Y a g e r a n d

L . A . Z a d e h , E d s . , K l u w e r A c a d e m i c P u b l i s h -

e r s , B o s t o n , M A , U S A , 1 9 9 2 , p p 6 9 { 9 6 .

6 ] S . C h i u , S . C h a n d , D . M o o r e , A . C h a u d h a r y ,

\ F u z z y L o g i c f o r C o n t r o l o f R o l l a n d M o m e n t

f o r a F l e x i b l e W i n g A i r c r a f t " , I E E E C o n t r o l

S y s t e m s M a g a z i n e , p p 4 2 { 4 8 , V o l 1 1 , N o 4 ,

J u n e 1 9 9 1 .

7 ] A . L . S c h w a r t z , \ C o m m e n t s o n F u z z y L o g i c

C o n t r o l o f R o l l a n d M o m e n t f o r a F l e x i b l e

W i n g A i r c r a f t " , I E E E C o n t r o l S y s t e m s M a g -

a z i n e , p p 6 1 - 6 2 , V o l 1 2 , N o 1 , F e b r u a r y 1 9 9 2 .

8 ] S . C h i u , \ A u t h o r ' s R e p l y " , I E E E C o n t r o l S y s -

t e m s M a g a z i n e , p p 6 2 { 6 3 , V o l 1 2 , N o 1 , F e b r u -

a r y 1 9 9 2 .

9 ] E . C o x , \ A d a p t i v e F u z z y S y s t e m s " , I E E E

S p e c t r u m , p p 2 7 { 3 1 , V o l 3 0 , N o 2 , F e b r u a r y

1 9 9 3 .

1 0 ] C . J . H e r g e t , E d . , \ R e a d e r ' s F o r u m " , I E E E

C o n t r o l S y s t e m s M a g a z i n e , p p 5 { 7 , V o l 1 3 , N o

3 , J u n e 1 9 9 3 .

1 1 ] M . A t h a n s , \ C o n t r o l - T h e A d v e n t u r e C o n t i n -

u e s " , B o d e L e c t u r e , 3 2 n d I E E E C o n f e r e n c e o n

D e c i s i o n a n d C o n t r o l , S a n A n t o n i o , T X , U S A ,

D e c e m b e r 1 5 { 1 7 , 1 9 9 3 .

1 2 ] E . H . M a m d a n i , \ T w e n t y Y e a r s o f F u z z y

C o n t r o l : E x p e r i e n c e s G a i n e d a n d L e s s o n s

L e a r n t " , P r o c . o f 2 n d I E E E I n t l . C o n f . o n

F u z z y S y s t e m s , p p . 3 3 9 { 3 4 4 .

1 3 ] M . T o m i z u k a , \ F u z z y C o n t r o l i n C o n t r o l

E n g i n e e r ' s T o o l B o x " , L e c t u r e , A R O / N A S A

W o r k s h o p o n F o r m a l M o d e l s f o r I n t e l l i g e n t

C o n t r o l , M I T , C a m b r i d g e , M A 0 2 1 3 9 , U S A ,

S e p t e m b e r 3 0 { O c t o b e r 2 , 1 9 9 3 .

1 4 ] C . - W . T a o , R . M a m l o o k , W . E . T h o m p s o n ,

\ R e d u c t i o n o f C o m p l e x i t y f o r a R o b u s t F u z z y

C o n t r o l l e r " , P r o c . o f 2 n d I E E E I n t l . C o n f . o n

F u z z y S y s t e m s , p p . 1 3 4 6 { 1 3 4 9 .

1 5 ] H . Y i n g , W . S i l e r , J . J . B u c k l e y , \ F u z z y C o n -

t r o l T h e o r y : A N o n l i n e a r C a s e " , A u t o m a t i c a

V o l . 2 6 , N o . 3 , p p 5 1 3 { 4 2 0 , 1 9 9 0 .

1 6 ] J . - J . E . S l o t i n e a n d W . L i , A p p l i e d N o n l i n e a r

C o n t r o l . P r e n t i c e H a l l , 2 n d e d . , 1 9 9 1 .

A C o n t r o l l e r P e r f o r m a n c e R e s u l t s

1050

ClosedloopStepResponseofSystem1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1.2

Time

252015 30

Sliding Mode Controller

PID Controller

Fuzzy Logic Controller

F i g u r e 3 : C l o s e d L o o p S t e p R e s p o n s e o f n o m i n a l

p l a n t

1050

ClosedloopStepResponseofSystem2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1.2

Time

252015 30

Sliding Mode Controller

PID Controller

Fuzzy Logic Controller

F i g u r e 4 : C l o s e d L o o p S t e p R e s p o n s e o f t h e p e r -

t u r b e d m o d e l G

2

( s )

7/27/2019 download_001.pdf

6/6

1050

ClosedloopStepResponseofSystem3

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

1.2

Time

252015 30

Sliding Mode Controller

PID Controller

Fuzzy Logic Controller

F i g u r e 5 : C l o s e d L o o p S t e p R e s p o n s e o f t h e p e r -

t u r b e d m o d e l G

3

( s )

1050

ControlEffortforFuzzyLogicController

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

2

Time

252015 30

System3

System2

System1 (nominal)

F i g u r e 6 : F u z z y L o g i c C o n t r o l l e r C o n t r o l E o r t

1050

ControlEffortforPID

Controller

1.5

1

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

2

Time

252015 30

System3

System2

System1 (nominal)

F i g u r e 7 : P I D C o n t r o l l e r C o n t r o l E o r t

1050

ControlEffortforSlidingModeController

2

1

0

-1

-2

-3

3

Time

252015 30

System3

System2

System1 (nominal)

F i g u r e 8 : S l i d i n g M o d e C o n t r o l l e r C o n t r o l E o r t