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Cálculo avanzadoIntroducción
José Francisco Caicedo Contreras
Cálculo avanzadoIntroducción
Bogotá, D. C., Colombia, agosto de 2012
FACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
© Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de Matemáticas © José Francisco Caicedo Contreras
ilustración portada y contraportada Profesor Gustavo RubianoDepartamento de Matemáticas
isbn 978-958-761-239-4 Mathematics Subject Classification (MSC2010): 26E15, 26E20
Primera edición, 2012
Bogotá, Colombia Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales
Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia Caicedo Contreras, José Francisco, 1939- Cálculo avanzado / José F. Caicedo -- 2a. ed. – Bogotá : Universidad Nacional de Colombia. Facultad de Ciencias, 2012 xvi, 410 p.
Incluye referencias bibliográficas ISBN : 978-958-761-239-4
1. Análisis matemático 2. Análisis funcional no lineal 3. Cálculo 4. Teoría de los grupos I. Tít. CDD-21 515 / 2012
Contenido
Prefacio XIII
1 Espacios vectoriales normados 1
1.1 Espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Espacios con producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Espacios metricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Espacios topologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Aplicaciones lineales continuas . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.6 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 Aplicaciones multilineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
vii
viii CONTENIDO
2 La diferencial como aplicacion lineal 69
2.1 Aplicaciones F -diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2 Aplicaciones G-diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 Aplicaciones n-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.4 Propiedades de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5 Derivada de un producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.6 Derivadas de aplicaciones con coordenadas . . . . . . . . . 92
2.7 La matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.8 El gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.9 Derivada Frechet, derivada compleja . . . . . . . . . . . . 102
2.10 Funciones continuamente diferenciables . . . . . . . . . . . 108
2.11 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Derivadas de orden superior 119
3.1 Aplicaciones de la regla de la cadena . . . . . . . . . . . . 120
3.2 La segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3 La matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.4 Clase Ck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.5 Aplicaciones de clase k ≥ 1 con coordenadas . . . . . . . . 150
3.6 Simetrıa de la segunda derivada . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
CONTENIDO ix
4 Algebras de Banach 179
4.1 Series en algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . 182
4.2 El conjunto de inversibles en algebras deBanach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
4.3 Derivada de inv : G → G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
4.4 Exponencial en algebras de Banach conunidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
4.5 Aplicacion a ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . 207
4.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5 Desigualdad del valor medio 215
5.1 La desigualdad del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . 222
5.2 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
5.3 Derivada de Gateaux y valor medio . . . . . . . . . . . . . 235
5.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
6 Integracion en espacios de Banach 241
6.1 Extension de funciones lineales continuas . . . . . . . . . 241
6.2 Integral de aplicaciones salto . . . . . . . . . . . . . . . . 244
6.3 Adherencia de las funciones salto yaplicaciones regladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
6.4 Propiedades de la integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
6.5 El teorema fundamental del calculo . . . . . . . . . . . . . 267
x CONTENIDO
6.6 Integracion por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
7 Teorema de Schwarz y Taylor 279
7.1 Definicion de derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.2 Relacion entre derivada parcial y clase Ck . . . . . . . . . 281
7.3 Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
7.4 Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
7.5 Diferenciacion bajo el signo integral . . . . . . . . . . . . 308
7.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8 Funcion inversa e implıcita 317
8.1 Difeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
8.2 Principio de contraccion de Banach . . . . . . . . . . . . . 322
8.3 Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . 332
8.4 Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . 339
8.5 Teorema de inmersion local . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
8.6 Teorema de Inyectividad Local . . . . . . . . . . . . . . . 352
8.7 Teorema de submersion local . . . . . . . . . . . . . . . . 353
8.8 Teorema del rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
8.9 Teorema del rango constante . . . . . . . . . . . . . . . . 360
8.10 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
CONTENIDO xi
9 Maximos y mınimos 369
9.1 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
9.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
Bibliografıa 401
Indice alfabetico 405
Prefacio
Este libro introductorio al Calculo Avanzado presenta el resultado decursos que he dictado sobre el tema durante varios anos en el posgradode Matematicas de la Universidad Nacional de Colombia; originalmentesurgio como notas de clase y he usado parte de ellas en el curso deAnalisis III de la carrera de Matematicas.
El objetivo principal de la obra es proveer los conocimientos basi-cos para los cursos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, EcuacionesDiferenciales Parciales, Topologıa Diferencial, Variedades Diferenciales,Mecanica y otros que se imparten, tanto en el pregrado, como en el pos-grado de Matematicas, a fin de que el estudiante se familiarice con ellenguaje moderno del Calculo, sin que pierda el sabor e intuicion propiosde la matematica clasica. Desarrollamos la teorıa, usando el lenguaje delos espacios vectoriales y teniendo, como cuerpo de escalares, los numerosreales R en espacios vectoriales normados. La mayorıa de los resultadosse extienden a espacios vectoriales normados con cuerpo de escalares C.
El curso se desarrolla suponiendo que el estudiante ya ha recibidoun curso preliminar de Algebra Lineal y se entienden como conocidoslos conceptos de espacio vectorial y las nociones de base y dimension deun espacio vectorial, de independencia lineal de vectores, de aplicacionlineal entre espacios vectoriales, etc. Sin embargo, recordamos a lo largodel texto algunos de estos conceptos.
xiii
xiv CAPITULO 0. PREFACIO
En el capıtulo 1 procuramos dar los resultados que usaremos en loscapıtulos siguientes, con el animo de precisar el lenguaje a usar en elresto de estas notas; quien haya estudiado Espacios Metricos, TopologıaGeneral y Analisis Funcional, puede evitar el breve repaso que hacemosen este capıtulo.
Por motivos didacticos recomendamos tener en cuenta el Teorema1.33, el cual establece equivalencias para que una aplicacion lineal entreespacios normados sea continua; el Teorema 1.75, que establece equiva-lencias para que una aplicacion multilineal entre espacios normados seacontinua; y el Teorema 1.72, el cual establece que en un espacio normadode dimension finita todas las normas son equivalentes. Recomendamoslos teoremas sobre continuidad de aplicaciones lineales y multilinealescontinuas en espacios normados. Usaremos en los capıtulos siguienteslos ejemplos citados en el Capıtulo 1.
No pretendo nada sobre pedagogıa en este libro, me da miedo pensaren ensenar a ensenar, solo queremos presentar un enfoque diferente dela nocion de derivada como una aplicacion lineal. En primera lectura hedestacado que partes pueden omitirse.
En el texto se dan ejemplos trabajados en detalle, con el animo demostrar algunos metodos; al final del libro, citamos la bibliografıa usaday algunos artıculos de referencia.
La idea de culminar las notas del curso se debe al interes de muchosde mis estudiantes, hoy colegas, quienes me alentaron a hacerlo. Agra-dezco los comentarios sobre redaccion y errores cometidos en versionespreliminares a esta, hechos por algunos profesores del Departamento,entre ellos, Lucimar Nova, Simon Frias (q. e. p. d.) y Vıctor M. Ardilade la Pena.
Agradecimientos especiales al profesor Rodrigo De Castro, quien ha-ce anos me sugirio escribir notas de ayuda para los cursos de AnalisisIII y de Calculo Avanzado que se impartıan en la carrera y Posgradode Matematicas; este libro es fruto de esa sugerencia. Ademas, a el sele debe mucho acerca del levantamiento del texto en TEX. Agradezcotambien a la senorita Patricia Chavez, TEX-perta (de la revista de Es-tadıstica), quien me colaboro en la presentacion final de esta version, ya aquellas personas que de alguna u otra forma aportaron a estas notas.
PREFACIO
xv
Finalmente, agradezco a la directora del Departamento, profesoraMyriam Campos, al profesor Gustavo Rubiano, y al coordinador de Pu-blicaciones del Departamento, profesor Vıctor Tapia, por su empeno enque estas notas se pudieran publicar.
Jose Francisco Caicedo C.
PREFACIO
CAPITULO 1
Espacios vectoriales normados
En este capıtulo, introducimos algunos conceptos de espacios vec-toriales normados, con cuerpo de escalares, los numeros reales R, o elcuerpo de los numeros complejos C. Por razones de tipo didactico, nosrestringiremos a R; la mayorıa de los resultados son validos cuando elcuerpo de escalares es C. Suponemos que el lector conoce resultadosde algebra lineal como los de espacio vectorial, dependencia lineal devectores, base, dimension, subespacio, aplicacion lineal, etc. En cuantosea posible daremos ejemplos en dimension finita. Sin embargo, la teorıasera planteada en dimensiones arbitrarias, destacando el caso finito.
1.1 Espacios normados
1.1 Definicion. Una norma en un espacio vectorial E sobre R (o C) esuna aplicacion N , definida en E a valor real
N : E→ R
la cual satisface las siguientes tres propiedades:
1
2 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
(N1) N (x) ≥ 0 para todo x ∈ E y N (x) = 0 si y solo si x = 0.(N2) N (λx) = |λ|N (x) para todo x ∈ E y para todo λ ∈ R.(N3) N (x+ y) ≤ N (x) +N (y) para x, y ∈ E (desigualdadtriangular).
Usaremos las notaciones siguientes N (x) = ‖x‖ y leeremos “normade x”.
1.2 Nota. En (N2), |λ| es el valor absoluto del numero real λ (o si elcuerpo de escalares es C, es el modulo del complejo λ). Al par (E, ‖ ‖)lo llamaremos Espacio vectorial normado.
Los axiomas (N1), (N2), (N3) implican:
1.3 Proposicion. En un espacio vectorial normado (E, ‖ ‖), tenemos
a) ‖ − x‖ = ‖x‖ para todo x ∈ E.
b) ‖x− z‖ = ‖z − x‖ para todo x, z ∈ E.
c) Para x, z ∈ E
∣∣∣‖x‖ − ‖z‖∣∣∣ ≤ ‖x− z‖.
Demostracion.
‖ − x‖ = ‖(−1)x‖ = | − 1|‖x‖.‖x− z‖ = ‖(−1)(z − x)‖ = ‖z − x‖.
Para c), observamos que x = x− z + z. Luego
‖x‖ = ‖x− z + z‖ ≤ ‖x− z‖+ ‖z‖,
por lo tanto
‖x‖ − ‖z‖ ≤ ‖x− z‖. (∗)
Analogamente,
‖z‖ = ‖z − x+ x‖ ≤ ‖z − x‖+ ‖x‖.
Obtenemos
‖z‖ − ‖x‖ ≤ ‖z − x‖ = ‖x− z‖,
1.1. ESPACIOS NORMADOS 3
es decir,
−‖x− z‖ ≤ ‖x‖ − ‖z‖. (∗∗)
De (∗) y (∗∗), deducimos
−‖x− z‖ ≤ ‖x‖ − ‖z‖ ≤ ‖x− z‖.
Esto equivale a ∣∣∣‖x‖ − ‖z‖∣∣∣ ≤ ‖x− z‖. �
La desigualdad anterior sera util luego para demostrar que la normaes una aplicacion continua, aun mas uniformemente continua.
Si (N1) es reemplazada por ‖x‖ ≥ 0 para todo x ∈ E y x = 0, implica‖x‖ = 0; en este caso, la aplicacion N = ‖ ‖ es llamada una seminorma.Note la diferencia.
1.4 Ejemplo.
a) E = R es considerado como espacio vectorial sobre sı mismo y | | elvalor absoluto, como norma. (R, | |) es espacio vectorial normado.
b) E = RN = {x = (x1, x2, . . . , xN ) | xj ∈ R}. Las tres siguientesfunciones son normas en E:
‖x‖1 =√√√√ N∑
j=1
x2j ,
‖x‖2 =N∑j=1
|xj |,
‖x‖3 = sup{|xj | : j = 1, 2, . . . , N}.
Es facil demostrar que ‖ ‖2, ‖ ‖3 son normas. La desigualdad trian-gular para la norma ‖ ‖1 sera deducida posteriormente como conse-cuencia de resultados en espacios vectoriales con producto interno.La norma ‖ ‖1 es llamada euclideana o usual.
4 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
c) E = M(m × n) es el espacio vectorial de las matrices de tamanom× n con elementos en R, con las operaciones usuales de adicionde matrices y multiplicacion de un real por una matriz. Podemosdefinir en E las siguientes normas:
para A = (aij) en E, definimos
‖A‖1 =
√√√√√ (m,n)∑(i,j)=(1,1)
a2ij ,
‖A‖2 =(m,n)∑
(i,j)=(1,1)
|aij |,
‖A‖3 = sup{|aij | : i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n}.Dejamos como ejercicio verificar que son tres normas en E.
1.2 Espacios con producto interno
1.5 Definicion.
a) Un producto interno en un espacio vectorial real E es una funcionP : E × E → R, tal que P es bilineal simetrica positivamentedefinida, es decir,
(P1) P(x+ y, z) = P(x, z) + P(y, z) para todo x, y, z ∈ E.
(P2) P(λx, y) = λP(x, y) para todo λ ∈ R, para todo x, y ∈ E.
(P3) P(x, y) = P(y, x) para todo x, y ∈ E (simetrıa).
(P4) P(x, x) ≥ 0 para todo x ∈ E y P(x, x) = 0 si y solo si x = 0(positividad).
b) Un producto interno o producto hermitiano sobre un espacio com-plejo es una aplicacion P : E× E→ C, tal que
(C1) P(x+ y, z) = P(x, z) + P(y, z) para todo x, y, z ∈ E.
(C2) P(λx, y) = λP(x, y) para todo λ ∈ C, para todo x, y ∈ E.
(C3) P(x, y) = P(y, x) para todo x, y ∈ E, donde P(y, x) es el{“conjugado del complejo P(y, x)”}.(C4) P(x, x) ≥ 0 para todo x ∈ E y P(x, x) = 0 si y solo si x = 0.
1.2. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 5
De (C3) deducimos que P(x, x) es real. Si E es un espacio con pro-ducto interno P al par (E,P), se le llama espacio con producto interno.
1.6 Ejemplo.
a) Sea E = RN , consideramos el producto interno usual
〈 , 〉 : RN × RN → R
(x, y) → 〈x, y〉 =N∑j=1
xjyj ,
donde x = (x1, x2, . . . , xN ), y = (y1, y2, . . . , yN ).
b) En E = CN el producto interno usual es
〈z, w〉 =N∑j=1
zjwj ,
donde z = (z1, z2, . . . , zN ), w = (w1, w2, . . . , wN ) en E. Se consi-dera E con la norma inducida por este producto interno, luego
‖z‖ =√√√√ N∑
k=1
|zk|2,
donde |zk| es la norma o valor absoluto del complejo zk.
c) Consideramos E el conjunto de funciones continuas, definidas en[0, 1] a valor real:
E = {f : [0, 1]→ R | f es continua}.
Podemos dotar E de estructura de espacio vectorial sobre R al definir:
i) Para f, g ∈ E, f+g es la funcion definida por (f+g)(t) = f(t)+g(t)para todo t ∈ [0, 1].
ii) Para λ ∈ R, λf es la funcion definida por (λf)(t) = λf(t) parat ∈ [0, 1]. Es claro que f + g y λf son funciones continuas en [0, 1]si f, g lo son en [0, 1]. E con estas dos operaciones es un espaciovectorial sobre R.
6 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
Al definir P : E× E→ R por
P(f, g) = 〈f, g〉 =∫ 1
0f(t)g(t) dt (integral de Riemann),
vemos que P es un producto interno en E. Al usar las propiedades de laintegral, para f, g, h ∈ E y λ ∈ R, obtenemos
P(f, g) = P(g, f).P(f + g, h) = P(f, h) + P(g, h).P(λf, g) = λP(f, g).
Para que P sea positiva, se obtiene ası:
P(f, f) =∫ 1
0f(t)f(t) dt =
∫ 1
0f2(t) dt ≥ 0
por propiedades de la integral.
1. Si P(f, f) =∫ 10 f2(t) dt = 0, concluimos que f(t) = 0 para todo
t ∈ [0, 1]. En efecto, si f no es identicamente cero, existe s en[0, 1] tal que f(s) �= 0. Luego, f2(s) > 0, y como f2 es continua,existe vecindad de s, es decir, existe r > 0, tal que para todot ∈ (s− r, s+ r) ∩ [0, 1], f2(t) > 0. Por consiguiente,
I =
∫ 1
0f2(t) dt =
∫ s−r
0f2(t) dt+
∫ s+r
s−rf2(t) dt+
∫ 1
s+rf2(t) dt.
Ya que∫ s+r
s−rf2(t) dt > 0,
∫ 1
s+rf2(t) dt ≥ 0 y
∫ s−r
0f2(t) dt ≥ 0,
vemos que I > 0. Como es claro que si f ≡ 0,∫ 10 0 dt = 0,
obtenemos ∫ 1
0f2(t) dt = 0 si y solo si f ≡ 0.
En un espacio vectorial con producto interno E con escalares en R,es valida la desigualdad de Cauchy-Schwarz; antes un lema:
1.2. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 7
1.7 Lema. Sean a > 0, b, c numeros reales, f(t) = at2+2bt+c, t ∈ R,tenemos:
f(t) ≥ 0 para todo t ∈ R si y solo si b2 ≤ ac.
Demostracion. Como a > 0, si f(t) ≥ 0 para todo t ∈ R, entonces:
0 ≤ at2+2bt+ c = a
(t2 +
2b
at+
b2
a2
)+ c− b2
a= a
(t+
b
a
)2
+ac− b2
a,
luego: si t = − ba , obtenemos que ac−b2
a ≥ 0, es decir, b2 ≤ ac.
Recıprocamente,
si b2 ≤ ac, entonces f(t) = a
(t+
b
a
)2
+ac− b2
a≥ 0 para todo t ∈ R.
Por ser a > 0, se tiene a
(t+
b
a
)2
≥ 0. �
1.8 Teorema. (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Sea (E, 〈 , 〉) espaciovectorial sobre R con producto interno, entonces para todo par x, y devectores de E, tenemos:∣∣〈x, y〉∣∣ ≤√〈x, x〉√〈y, y〉.La igualdad se da si y solo si x, y son linealmente dependientes.
Demostracion. i) Si x = 0 (de E) es claro de la definicion de 〈 , 〉que 〈0, y〉 = 0 y ademas 〈0, 0〉 = 0. Ası la desigualdad es evidente.
ii) Sea x �= 0, entonces para todo t, y todo x, y ∈ E:
0 ≤ 〈tx+ y, tx+ y〉 = t2〈x, x〉+ 2t〈x, y〉+ 〈y, y〉,
si a = 〈x, x〉 > 0, b = 〈x, y〉, c = 〈y, y〉. Vemos que 0 ≤ at2+2bt+cpara todo t ∈ E. El lema 1.7 nos implica que b2 ≤ ac, y esta es ladesigualdad de Cauchy-Schwarz.
�
8 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
1.9 Proposicion. Sea (E, 〈 , 〉) espacio vectorial sobre R con productointerno, podemos dotar a E de estructura de espacio vectorial normado,al definir para x ∈ E:
‖x‖ =√〈x, x〉.
Demostracion. Solo demostraremos que satisface (N3); para ello, usa-remos la desigualdad de Cauchy-Schwarz:
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x〉+ 2〈x, y〉+ 〈y, y〉= ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2〈x, y〉≤ ‖x‖2 + ‖y‖2 + 2‖x‖‖y‖ = (‖x‖+ ‖y‖)2.
Hemos usado el teorema 1.8, por tanto ‖x+ y‖2 ≤ (‖x‖+ ‖y‖)2. �
La norma anteriormente definida se llama norma inducida por elproducto interno.
1.10 Nota. En un espacio con producto interno E, 〈 , 〉, se puede definirangulo entre dos vectores no nulos, debido a la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como
|〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖;se define angulo entre u y v como el real θ, tal que
cos(θ) =〈u, v〉‖u‖‖v‖ .
No es unico, debido a la periodicidad de cos. En el caso E = R2, el realθ se escoge para z = (x, y) a θ ∈ (−π, π]. Se llama a este unico real valorprincipal o angulo principal o argumento principal y se suele escribirθ = arg(z). Su determinacion en este caso tiene algo de dificultad: encoordenadas polares si (x, y) ∈ R2, (x, y) �= (0, 0) existen r > 0 y θ ∈(−π, π) tales que x = r cos(θ), y = sen(θ); esto implica que√
x2 + y2 = r.
Si x �= 0, entonces xy = tan(θ). Como la funcion tangente tiene
periodo π, esto implica que θ esta determinado salvo adicion de mπ,donde m es entero. Como tan(θ) es continua y estrictamente creciente
1.2. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO 9
en el intervalo abierto J =(−π
2 ,π2
), entonces existe un unico v ∈ J , tal
que tan(θ) = tan(v); se deduce que θ es el valor principal del anguloobtenido de v, por: si z = (x, y), x �= 0, se tiene:
arg(z) =
⎧⎪⎨⎪⎩v si x > 0
v + π si x < 0, y ≥ 0
v − π si x < 0, y < 0.
Dejamos al lector examinar las posibilidades para los otros casos, esdecir, cuando x = 0, θ = π
2 o −π2 , segun que sea y > 0 o y < 0.
1.11 Ejemplo.
a) El producto interno usual de RN nos muestra que ‖x‖21 =∑N
j=1 x2j
es inducida por este producto interno.
b) Consideramos E = C([0, 1],R) = {f : [0, 1]→ R | f es continua} elespacio vectorial del ejemplo 1.6 c).
Vimos que 〈f, g〉 = ∫ 10 f(t) g(t) dt es un producto interno en E, luego
‖f‖ =√∫ 1
0f2(t) dt
es la norma inducida por el anterior producto interno en E.
1.12 Nota. No siempre una norma proviene de un producto interno.(La siguiente proposicion provee condiciones para que lo sea, y para elrecıproco de esta es decir, para obtener condiciones necesarias y sufi-cientes; ver proposicion 1.37 de este capıtulo 1).
1.13 Proposicion. Sea (E, 〈 , 〉) un espacio con producto interno. EnE es valida la ley del paralelogramo, es decir, dados x, y ∈ E,
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2‖x‖2 + 2‖y‖2.
Demostracion.
〈x+ y, x+ y〉+ 〈x− y, x− y〉 = ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2= 〈x, x〉+ 2〈x, y〉+ 〈y, y〉+ 〈x, x〉− 2〈x, y〉+ 〈y, y〉= 2‖x‖2 + 2‖y‖2.
10 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
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1.14 Definicion. Sean (E, 〈 , 〉) espacio vectorial con producto interno(sobre R); x, y dos vectores de E; x se dice ortogonal a y si 〈x, y〉 = 0.Lo notaremos x ⊥ y.
Vemos que x ⊥ y implica y ⊥ x, y el vector 0 de E es tal que 0 ⊥ xpara todo x en E.
1.15 Teorema (Teorema de Pitagoras). Sea (E, 〈 , 〉) un espacio vec-torial con producto interno sobre R, x, y en E; x ⊥ y, si y solo si‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2.
Demostracion. Ejercicio para el lector. �
A continuacion recordaremos algunos conceptos referentes a espaciosmetricos.
1.3 Espacios metricos
1.16 Definicion. Sea M un conjunto no vacıo, una metrica o distanciaen M es una aplicacion d : M ×M → R, tal que
d1) Para x, y ∈M,d(x, y) ≥ 0, d(x, y) = 0 si y solo si x = y.
d2) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈M .
d3) Para x, y, z ∈ E, d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangu-lar).
La funcion d se llama tambien distancia, d(x, z) es la distancia entrelos puntos x y z. Al par (M,d) donde M es un conjunto no vacıo y duna metrica en M , se le llama espacio metrico.
Para efectos de homogeneidad en el lenguaje, recordamos:
1.17 Definicion. Sea (M,d) un espacio metrico, x0 ∈ M , r > 0 real,definimos:
1.3. ESPACIOS METRICOS 11
a) Bola abierta de centro en x0 y de radio r al conjunto
Br(x0) = B(x0, r) = {x ∈M | d(x, x0) < r}.
b) Esfera de centro en x0 y radio r al conjunto:
S[x0, r] = Sr[x0] = {x ∈M | d(x, x0) = r}.
c) Dado S ⊂ M,x0 ∈ M,x0 se dice punto interior de S si exister > 0, tal que B(x0, r) ⊂ S.
d) Dados x0 ∈ M , se dice que V ⊂ M es vecindad de x0 si exister > 0 tal que B(x0, r) ⊂ V , es decir, si x0 es un punto interior deV .
e) En el espacio metrico (M,d), A ⊂ M,A se dice abierto en M sipara todo x en A, A es vecindad de x, es decir, si para todo x enA, x es un punto interior de A. Esto equivale a decir que para todox ∈ A existe B(x, r) tal que B(x, r) ⊂ A (r depende de x, r > 0).
f) Bola cerrada de centro en x0 y de radio r al conjunto:
Br[x0] = B[x0, r] = {x ∈M | d(x, x0) ≤ r}.
g) Dado x0 ∈M y S ⊂M , se dice que x0 es punto de acumulacion deS si para toda vecindad V de x0; se tiene que
(V − {x0
) ∩ S �= ∅.
Note las diferencias en los parentesis en las definiciones de bola abier-ta y bola cerrada.
Si llamamos τd = {A ⊂M | A es abierto en M}, los elementos de τdsatisfacen las siguientes propiedades:
1. M y ∅ son abiertos en M , es decir, estan en τd.
2. Si (Aj)j∈J es familia de abiertos de M, (Aj ∈ τd para todo j ∈ J),entonces
⋃j∈J Aj esta en τd.
3. Si Aj ∈ τd j = 1, 2, entonces A1⋂
A2 ∈ τd.
12 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES NORMADOS
1.4 Espacios topologicos
Recordamos que dado un conjunto no vacıo Y , una topologıa en Yes una familia τ de subconjuntos de Y , τ ⊂ P(Y ) = {A | A ⊂ Y }, talque satisface
1. Y, ∅ estan en τ .
2. Si (Aj)j∈J familia de elementos de τ , entonces la reunion⋃
j∈J Aj
pertenece a τ .
3. Si A1, A2 estan en τ , entonces A1 ∩A2 ∈ τ .
Los elementos de τ se llaman conjuntos abiertos en Y o simple-mente abiertos en Y .
Al par (Y, τ), donde τ es topologıa en Y , se le llama espacio topologi-co o simplemente se dice que Y es un espacio topologico.Por ultimo, si a ∈ Y , V ⊂ Y , se dice vecindad de a si existe A abiertoen Y , tal que a ∈ A ⊂ V .Vemos que los abiertos de M , cuando (M,d) es un espacio metrico,forman una topologıa en M (dejaremos a cargo del lector verificar laspropiedades 1, 2 y 3 anteriormente citadas).
Por tanto, (M,d) puede dotarse de estructura topologica al definiren M sus abiertos como los elementos del conjunto τd. Podemos entonceshablar de lımites, continuidad, etc., entre espacios metricos; supondre-mos conocidos estos conceptos. Recordamos algo mas:
1.18 Definicion. Sea (M,d) espacio metrico (an)n∈N sucesion de ele-mentos de M .
a) b ∈ M, b se dice lımite de la sucesion an si dado ε > 0, existem ∈ N tal que si n ≥ m implica que d(an, b) < ε.
notaremos an → b o lımn→∞ an = b
Se dice que la sucesion an es convergente en M si existe b ∈M talque b = lımn→∞ an.
