Date post: | 22-Oct-2015 |
Category: |
Documents |
Upload: | linda-chen |
View: | 26 times |
Download: | 5 times |
Elementary differential equations and boundary value problems
Boyce & DiPrima H2. 1e orde DV
Lineaire DV 1e orde
( ) ( )
(stap 1) Oplosmethode: integreerfactor ( ) ∫ ( )
( ) (
( ) ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
(stap 2)
( ( ) ) ( ) ( )
(stap 3) ( ) ∫ ( ) ( )
(stap 4)
( ) (∫ ( ) ( ) )
Separabele DV 1e orde
( ) ( )
(stap 1) ( ) ( )
∫ ( ) ∫ ( )
(stap 2) ∫ ( ) ∫ ( )
Existentie en Uniciteit Lineaire DV 1e orde heeft een unieke oplossing op elk interval dat de beginvoorwaarde y-
0=y(t0) bevat, waarbij p(t) en g(t) continue functies zijn.
Autonome DV
( )
Functie f hangt alleen af van y.
Exacte DV
( ) ( )
Niet separabel of lineair, heeft oplossingen alleen als geldt:
( )
( )
Oplossingen zijn te vinden voor ψ=C, waarbij:
( ( )) ∫ ( )
( ( ( )) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) en
( )
Oplosmethode: (stap 1) ( ) ∫ ( ) ( )
(stap 2) ( )
( )
( ) ( )
(stap 3) ( ) ( ) ( )
(stap 4) ( ) ∫( ( ) ( )
)
(stap 5) ( ) Integreerfactor μ wordt in speciale gevallen gebruikt om niet exacte DV om te schrijven in een exacte DV. Er geldt:
( ) ( )
( ( ))
( ( ))
Deze μ is ‘makkelijk’ te vinden wanneer μ=μ(x) of μ=μ(y). Dan valt bij het partieel differentiëren nl. dμ/dx of dμ/dy weg. H3. 2e orde DV
Lineaire DV 2e orde ( ) ( ) ( )
Lineaire DV 2e orde met constante coëfficiënten
( )
Homogeen als g(t)=0, inhomogeen als g(t)≠0. Oplosmethode: eerst homogene oplossing zoeken, substitueer y=ert voor karakteristieke vergelijking. HOMOGEEN ( ) (stap 1)
(stap 2) √
2 oplossingen (r1 en r2)
GEVAL 1: r1 ≠ r2, reëel
( )
( ( ) ( )
( ( ) ( ))
en , die alle oplossingen bevatten, geven meervouden van ( ( ) en ( ( ))
GEVAL 2: r1≠r2, complex –> r=λ±iμ
( ) ( )
GEVAL 3: r1=r2=-b/2a, reëel
karakteristieke vg:
INHOMOGEEN Particuliere oplossing vinden: METHODE VAN DE ONBEPAALDE COËFFICIËNTEN Zoek een functie Y(t) die lijkt op g(t).
g(t) Y(t)
cert Aert
csin(t) Asin(t)+Bcos(t)
ccos(t) Asin(t)+Bcos(t)
Y(t) invullen in DV en uitwerken, de constanten naderhand gelijkstellen aan g(t) VARIATIE VAN CONSTANTEN homogene opl: yc=c1y1(t)+c2y2(t) waarbij y1 en y2 oplossingen van karakteristieke vg (stap 1) vervang constanten door u1(t) en u2(t)-> ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) stel
( ) ( ) ( ) ( ) (1)
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Reductie v.d. orde: ( ) ( )
Substitueren in DV: ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( )) ( ( ) ) 0 ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ( )=0 v”(t)=0 v’(t)=c1 v(t)=c1t+c2
y(t)=(c1t+c2)ert
y, y’ en y” invullen in DV: (
) (
) ( )
(
) (
)
eerste twee termen zijn oplossingen van homogene opl dus gelijk aan 0:
(2)
Uit (1) en (2) volgt:
en
(stap 2) ∫
, ∫
(stap 3) particuliere opl: yp(t)= u1y1+u2y2
(stap 4) y=yc+yp=c1y1+c2y2+yp
Existentie en Uniciteit Lineaire DV 2e orde heeft een unieke oplossing op elk interval dat de beginvoorwaarden y-
0=y(t0) en y’0=y’(t0) bevat, waarbij p(t), q(t) en g(t) continue functies zijn en minstens tweemaal differentieerbaar.
Wronskiaan
|
|
Als W(t0)≠0, dan bestaat er een unieke oplossing voor de constanten c1 en c2. H5. Machtreeksmethode 2e orde DV
Taylorreeks om punt x0: ∑ (
( ) ( )
)
-Reeks is convergent wanneer er een limiet bestaat. -Absoluut convergent wanneer de som van de absolute functie convergeert. Absoluut convergente reeks is per definitie convergent. (andersom niet) -Ratio test voor absolute convergentie:
(( ) ) (( )
) |
|
Abs conv als <1 -Convergentiestraal ρ=1/L minimale conv straal is de afstand tussen de nullen en de gegeven x0.
Homogene Lineaire DV 2e orde ( ) ( ) ( )
REGULIER PUNT: Als geldt P(x) op het bekeken interval≠0.
Machtreeksmethode (stap 1) ∑
, ∑ , ∑ ( )
invullen in DV
(stap 2) Uitdrukking in termen van an, an+1 en/of an+2 vinden.
(stap 3) y1= ∑ , waarbij alle an meervouden zijn van a0. y2 is idem, waarbij alle
an meervouden zijn van a1.
N.B.
∑ ( )
(( ) )∑ ( )
∑ ( )
∑ ( )
SINGULIER PUNT: Als er een x0 is waarin P(x0)=0 dan is dit een singulier punt.
Speciaal geval: Euler DV
Oplosmethode: substitueer y=xr
( ) ( ) ( )
GEVAL 1: r1≠r2, reëel GEVAL 2: r1≠r2, complex –> r=λ±iμ
( ) ( ) GEVAL 3: r1=r2=r, reëel ( ) Als geldt:
( ) ( )
( ) en
( ) ( )
( ) bestaan, dan regulier singulier punt. Anders
irregulier singulier punt. REGULIER SINGULIER PUNT:
Gegeneraliseerde machtreeksmethode (stap 1) Herschrijf DV met P(x)=x2, Q(x)=x lim xp(x), en R(x)=lim x2q(x) (stap 2) Oplossingen van r berekenen met nieuwe DV (Euler) (stap 3) ∑
, ∑ ( ) , ∑ ( ) (
) invullen in oorspronkelijke DV (stap 4) recurrente betrekking om an te vinden (stap 5) Als r1-r2 is een geheel getal, dan lastig, grootste r wel relatief makkelijk te
berekenen. (stap 6) ( ) ( ∑ ( )
)
GEVAL 1: r1-r2 is positief geheel getal ( ) ( ) ∑ ( )
GEVAL 2: r1=r2 ( ) ( ) ∑ ( )
GEVAL 3: r1≠r2 of geen positief geheel getal ( ) ∑ ( )
Speciaal geval: Bessel DV ( )
H7. Lineaire stelsels 1e orde DV 2e orde DV uitdrukken in 1e orde DV: stel: au”(t)+bu’(t)+cu(t)=d(t) gebruik: x1=u, x2=u’ Stelsel is dan
( )
HOMOGEEN
Homogeen met constante coëfficiënten
(stap 1) det(A-rI)=0 oplossen (stap 2) gevonden r invullen en eigenvectoren ξ vinden. Mbv ξ=(Nul(A-rI)) GEVAL 1:r1≠r2≠…≠rn
x=c1 ξ1er1t+c2 ξ2er2t+…+cn ξnernt
GEVAL 2: r1= is complex (stap 1) eλt eiμ ξ1= eλt ξ1(cos(μt)+isin(μt) (stap 2) uitschrijven voor reële termen en imaginaire termen: eλt ([u](cos(μt),sin(μt))+i [v] (cos(μt),sin(μt))
(stap 3) x=c1eλt[u]+c2eλt[v] GEVAL 3: r1=r2
Oplosmethode: (stap 1) x(1)= ξert (stap 2) (A-rI) vegen naar ξ. Relatie
uitdrukken in de vaste variabele η1. (Geeft een constante [u] plus richtingscoëfficiënt [v] maal η1.)
Ga ervan uit dat er een x(2)(t) is in de vorm van: x=ξtert x’=ξ(ert+trert)=Ax=A(ξtert) Heeft geen oplossing (rechterkant heeft geen ert term). x= ξtert+ηert x’= ξ(ert+trert)+ηrert=A(ξtert+ηert) (tert termen): rξ=Aξ > (A-rI)ξ=0 dit geeft x(1) (ert termen):ξ+rη=Aη > (A-rI)η=ξ
(stap 3) x(2)= [u]ert+[v]tert (stap 4) x= c1ξert +c2([u]ert+[v]tert)
Fundamentele matrix
( ) ( ) ( ) Waarbij x(1)= ξ1er1t, …, x(n)= ξnernt Dan geldt: ( ) c kan worden bepaald door beginvoorwaarde invullen: dan c=Ψ0
-1 x0
( ) want elke kolom van Ψ is een oplossing van de DV
Speciale fundamentele matrix Fundamentele matrix waarvoor geldt: Φ(t0)=I
( ) ( ) ( ) Dus ook ( ) Oplosmethode: (stap 1) Vind de ‘normale’ fundamentele matrix (stap 2) Vul t0 in en veeg naar In om Ψ0
-1 te vinden. (stap 3) Vermenigvuldig (1) en (2) ( ) INHOMOGEEN
( ) ( ) In alle gevallen, vind eerst homogene oplossing. x=xh+xp (UNITAIRE) DIAGONALISERING Bij normale matrices (symmetrisch, scheefsymmetrisch enz.) Diagonalisering matrix: PDP-1 met P matrix verzameling eigenvectoren, D diagonaalmatrix met eigenwaarden op de diagonaal. Unitaire diagonalisering: TPT-1 T= genormaliseerde P matrix (stap 1) Gebruik substitutie x=Ty (stap 2) Bereken D en T-1 invullen in (stap 3) Resultaat is 1e orde DV
A=PDP-1 P-1A=P-1PDP-1=DP-1 P-1AP=D
METHODE VAN ONBEPAALDE COËFFICIËNTEN Bij constante matrices en g is een polynoom, exponentiële functie of sinus/cosinus. (stap 1) Zoek een functie x die op g(t) lijkt. Dus bijv: a ert+bt+c. (a,b,c vectoren) (stap 2) Invullen in de DV ( ) ( ) en omschrijven voor Aa, Ab, Ac, enz. (stap 3) Vegen van Aa,Ab, enz. VARIATIE VAN PARAMETERS Bij niet diagonaliseerbare matrices en niet constante matrices.
( ) (stap 1) Vervang constante c door u(t) ( ) ( ) Differentieer naar t:
( ) ( ) ( ) ( ) Invullen in DV geeft: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) (stap 2) ( ) ∫ ( ) ( )
Of ook ( ) ∫ ( ) ( ) mogelijk als particuliere oplossing. H9. Niet-lineaire DV en stabiliteit
Kritieke punten Kritieke punten bij dy/dt=f(y), f(y)=0. Als x’=Ax+u, dan kritieke punt bij Ax+u=0 In een stelsel moeten alle dxn/dt gelijk zijn aan nul.
Eigenwaarden Type Stabiliteit
r1≠r2>0 Knooppunt (symmetrisch) Niet stabiel
Die ie mor1≠r2<0 Knooppunt (symmetrisch) Asymptotisch stabiel
r2<0<r1 Zadelpunt Niet stabiel
r1=r2>0 Knooppunt (proper/improper(asymmetrisch))
Niet stabiel
r1=r2<0 Knooppunt (proper/improper(asymmetrisch))
Asymptotisch stabiel
Complex, λ>0 Spiraalpunt (rechtsom) Niet stabiel
Complex, λ<0 Spiraalpunt (rechtsom) Asymptotisch stabiel
Puur imaginair Center (ovaal naar links) Stabiel
Stabiliteit van een stelsel
{
( )
( )
want elke kolom van Ψ is een oplossing van de DV
(stap 1) Vind de kritieke punten voor dx/dt=0 én dy/dt=0 (stap 2) Stel Jacobi matrix op en vul kritieke punten in.
(
)
(stap 3) det|J-rI| gebruiken om eigenwaarden te berekenen (stap 4) eigenwaarden beoordelen met tabel PERIODISCHE OPLOSSINGEN VAN EEN X,Y STELSEL df/dx+dg/dy altijd positief/negatief op het interval: geen periodische oplossingen. STABILITEIT POOLCOÖRDINATEN
{
( )
( )
(stap 1) Kritieke punten voor dr/dt=0. Deze punten geven limiet cykel(s) in x,y-
grafiek. Richting bepaald door teken dθ/dt. (stap 2) Bekijk dr/dt tussen de kritieke punten. Stabiel als punten r<rk en r>rk rk
naderen. H10.Partiele DV en Fourierrreeksen
Randwaardeproblemen In DV: y”+λy=0 (stap 1) Vervang λ door μ2 en los beginwaardeprobleem op. y=c1cosμx+c2sinμx (stap 2) Vervang λ door –μ2 en “ y=c1cosh(μx)+c2sinh(μx) (stap 3) Vervang λ door 0 en “
Euler-Fourierrreeks
∑( (
) (
) )
∫ ( ) (
)
∫ ( ) (
)
cosinusreeks voor even functies, sinusreeks voor oneven functies (omdat am/bm termen wegvallen voor elk van beiden)
Warmtevergelijking
Oplosmethode: als u(0,t)=0 en u(xn,t)=0 Oplossing u(x,t)=X(x)T(t), u(x,t) partieel differentiëren naar x en t en invullen
in de warmtevergelijking. Resultaat delen door XT en beide DV’s (α2 X”/X en T’/T) moeten gelijk zijn aan
–λ. (stap 1) Oplossingen van beide DV’s vermenigvuldigen geeft fundamentele
oplossing ∑ (
)
.
(stap 2) ( ) ∑ (
) ( )
Als een beginvw is gegeven in de vorm
van een sinusfunctie bv: 2sin(5πx/L) dan bijbehorende cn bepalen. Hier c5=2.
(
∫ ( ) (
)
als een functie is gegeven die geen sinus is).
(stap 3) cn’s invullen in de fundamentele oplossing.
Steady-state oplossing u(0,t)=v(0), u(xn,t)=v(x) Stel v”(x)=0 want dan is er geen verandering in uxx dus uxx constant. Dan v(x)=c1x+c2. Vul beginvw in. Oplosmethode: als niet geldt u(0,t)=0 en u(xn,t)=0 (stap 1) Substitutie steady-state oplossing, uitdrukking in w(x,t). u(x,t)=v(x)+w(x,t) (stap 2) w(0,t) en w(xn,t) bepalen, dit zijn de nieuwe beginvw. (stap 3) Los op als normale warmtevg v(x) in u(x,t)=v(x)+w(x,t) niet vergeten op te
tellen. Ook geldt: ( ) is steady-state oplossing.
Geïsoleerde randen Geen warmtedistributie aan de randen: du/dx(0,t)=0, du/dx(L,t)=0 (Zelfde afleiding als warmtevg.)
(stap 1) Oplossingen u(x,t)=
∑
(
)
∫ ( ) (
)
( )
∑ (
) ( )
Golfvergelijkingen ELASTISCH TOUW
a2=T/ρ (a is snelheid, T is spanning, ρ is massa/lengte-eenheid) ZONDER BEGINSNELHEID Uiteinden vast en geen beginsnelheid: u(0,t)=0, u(L,t)=0, ut(x,0)=0 (Zelfde afleiding als warmtevg.)
(stap 1) Oplossingen u(x,t)=∑ (
) (
)
∫ ( ) (
)
( ) ∑ (
)
( )
MET BEGINSNELHEID ut(x,0)=g(x) u(0,t)=0, u(L,t)=0, u(x,0)=0 (Zelfde afleiding als warmtevg.)
(stap 1) Oplossingen u(x,t)=∑ (
) (
)
( ) ∑
(
)
( )
∫ ( ) (
)
Laplace vergelijking 2D:
3D:
Dit is het geval wanneer er een steady-state oplossing is (ut=0) voor:
( )
RECHTHOEK u(x,0)=0, u(0,y)=0, u(x,b)=0, u(a,y)=f(y) (stap 1) Neem X”/X=-Y”/Y=λ i.p.v. –λ om u(x,y) af te leiden etc. CIRKEL
dan u(r,θ)=R(r)Θ(θ)
u(x,t)=(f(x-at)+f(x+at)) aan te tonen met de gonio-formule:
cosxsiny=2sin(x+y)+sin(x−y)
eis: periodiek met 2π en begrensd u(a,θ)=f(θ) (stap 1) Neem r2R”/R+rR’/R=-Θ”/Θ=λ
R=c1r√λ+c2r-√λ waarbij laatste term wegvalt omdat hij onbegrensd is voor r>0. Θ=c1cos√λθ+c2sin√λθ. Periodiek met 2π dus √λ is geheel getal=n
( )
∑ ( ( ) ( )
)
( )
∑ ( ( ) ( )
)
∫ ( ) ( )
∫ ( ) ( )
Sturm-Liouville randvoorwaardeproblemen HOMOGEEN
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (stappen overgeslagen) (L[y],y) uitwerken geeft (y,L(y)) dus ook (rλy,y)=(y,rλy)
∫ ( ) ( ) ( )
∫ ( ) ( ) ( )
( )∫ ( ) ( ) ( )
als eigenwaarden niet gelijk dan geldt dus: ∫ ( ) ( ) ( )
EIGENFUNCTIE NORMALIZEREN (stap 1) Eigenfunctie(=y, oplossing van DV) (stap 2) Normalisatieconditie toepassen, qn=kny met kn is de normaliseerfactor.
∫ ( )
(stap 3) ∫ ( ) ( )
. kn berekenen en invullen in φn
N.B. eigenfuncties staan loodrecht op elkaar dus: ∫
als m≠n
( ) ∑
∫ ( ) ( )
( )
INHOMOGEEN
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (afleiding weggelaten) randwaardeprobleem in de vorm van y”+μy=0 oplossen. μ is een willekeurige constante.
(stap 1)
waarbij cn coëfficiënten van de homogene oplossing zijn waarbij μ
vervangen door λ en λn de eigenwaarden. (stap 2) ∑
De andere kant op als y bekend is: bn=∫ ( )
WARMTEVERGELIJKINGEN
( ) ( ) ( ) ( )
(stap 1)
(stap 1) ∫ ( ) ( )
(stap 2) ∫ ( )
(stap 2) ( ) ∫ ( ) ( )
Klopt niet!