第11卷 第19期 Vol.11 No.19 2018 年 10 月 October 2018

时间-空间分数阶 Black-Scholes 方程的 一类高效差分方法 李 玥，杨晓忠，孙淑珍*

（华北电力大学数理学院，北京 102206）

摘要：分数阶 Black-Scholes（B-S）方程的数值解法对金融衍生品定价研究发挥着显著的促进作用。针对时间-

空间分数阶 B-S 方程构造出显-隐（explicit-implicit，E-I）差分格式和隐-显（implicit-explicit，I-E）差分格式，

这类格式由古典显式格式和古典隐式格式相结合构造而成。理论分析证明了 E-I 和 I-E 格式解的存在唯一性、

无条件稳定性和收敛性。数值试验证实 E-I 和 I-E 格式具有相同的计算复杂度，在计算精度相近的条件下，其

计算时间比 Crank-Nicolson（C-N）格式减少约 33%，数值试验与理论分析结果一致。E-I 和 I-E 差分方法对求

解时间-空间分数阶 B-S 方程是高效可行的，同时也证明了分数阶 B-S 方程更符合实际金融市场。

关键词：计算数学；时间-空间分数阶 Black-Scholes（B-S）方程；显-隐差分格式和隐-显差分格式；稳定性；

收敛性；数值试验 中图分类号：O241.8 文献标识码：A 文章编号：1674-2850(2018)19-1902-12

A class of efficient difference methods for time-space fractional Black-Scholes equation

LI Yue, YANG Xiaozhong, SUN Shuzhen

(School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing 102206, China)

Abstract: The numerical solutions of the fractional Black-Scholes (B-S) equation play a significant role in the pricing study of many financial derivatives. This paper proposes a class of explicit-implicit (E-I) and implicit-explicit (I-E) difference schemes for time-space fractional B-S equation. The E-I and I-E schemes are combined by classic explicit scheme and classic implicit scheme. And their solutions are proved to be existing and unique, unconditionally stable and convergent by theoretical analysis. The numerical experiments demonstrate that the two schemes have the same computational complexity. Under the similar calculation precision, they save about 33% of the computation time compared to Crank-Nicolson (C-N) scheme. The numerical experiments are consistent with the theoretical analysis. The E-I and I-E difference methods are efficient to solve the time-space fractional B-S equation and fractional B-S equation is more suitable for actual financial market. Key words: computational mathematics; time-space fractional Black-Scholes (B-S) equation; explicit-implicit (E-I) and implicit-explicit (I-E) difference schemes; stability; convergence; numerical experiments

0 引言 B-S 方程作为著名的金融数学基本方程之一，越来越受到经济学家和应用数学家的广泛关注。经典

的 B-S 期权定价公式是在一系列严苛的假设下获得的，为使理论价格更加符合实际报价，需要适当放松

基金项目：国家自然科学基金（11371135） 作者简介：李玥（1994—），女，硕士研究生，主要研究方向：分数阶偏微分方程的数值解法 通信联系人：杨晓忠，教授，主要研究方向：计算数学与科学工程计算. E-mail: yxiaozh@ncepu.edu.cn

Vol.11 No.19

October 2018 中国科技论文在线精品论文 1903

B-S 方程的假设条件，得到修正后的 B-S 方程则更加贴近实际金融市场[1~2]。 分数阶 B-S 方程的推导在近些年取得了一定进展。WYSS[3]初步推导出欧式看涨期权的时间分数阶

B-S 方程。CARTEA 等[4]推导出了三种带跳跃的扩散市场中奇异期权定价的空间分数阶 B-S 方程。

JUMARIE[5]将分数阶 Taylor 公式和 Itô 引理应用到整数阶 B-S 方程的推导过程中，推导出时间-空间分数

阶 B-S 方程。

由于大多数的非线性分数阶微分方程无法得到解析解，因此研究分数阶微分方程数值方法具有十分

重要的意义[6~7]。SONG 等[8]给出了欧式看涨期权时间分数阶 B-S 方程的隐式差分方法，但隐式差分格式

效率较低。KUMAR 等[9]使用同伦映射和同伦分析的方法给出了带有边界条件的时间分数阶 B-S 方程的

数值算法。ZHANG 等[10]构造隐式差分格式求解时间分数阶 B-S 方程，该格式为空间 2 阶精度、时间 2−α阶

精度。

在时间-空间分数阶偏微分方程方面，覃平阳等[11]提出了空间-时间分数阶对流扩散方程的隐式差分

方法，证明了该格式的时间和空间均为 1 阶精度。刘发旺等[12]对时间-空间分数阶扩散方程构造了隐式

差分格式，并证明了格式的稳定性和收敛性。目前，对于时间-空间分数阶 B-S 方程数值解法的成果较

少，YANG 等[13]给出了时间-空间分数阶 B-S 方程的 θ-差分方法，其构造的 θ-差分格式为条件稳定的。

本文重点与 θ-差分格式进行对比，给出时间-空间分数阶 B-S 方程的一个无条件稳定的高效数值解法。

1 时间-空间分数阶 B-S 方程 考虑如下的时间-空间分数阶 B-S 方程[5, 13]：

{ }

3( ) ( ) 1 2 2 2 (2 )(1 )=[ ] (2 )

(2 ) (1 2 )( , ) max ,0

t S SrP P rS P t S P

P S T S K

α α α α α αα α σα α

−⎧ Γ +− − Γ −⎪ Γ − Γ +⎨

⎪ = −⎩

，

，

（1）

其中，t 为时间， 0 t T≤ ≤ ； 0 1α＜ ≤ ； ( , )P S t 为期权价格； S 为股票价格； r 为无风险利率；σ 为波

动率； ( )tP α 、 ( )

SP α 、 (2 )SP α 均为 Riemann-Liouville 分数阶导数； K 为行使价格。式（1）意味着期权到期

时的价格是其损益，其边界条件为

(0, ) 0P t = ， ( )lim ( , ) e r T t

SP S t S K − −

→∞= − .

边界条件指当股票价格 S 一旦为 0 时，期权价格一般不会再回到原始状态。当股票价格 S 充分大时，

实施看涨期权是必然的，敲定价格的即期价格为 ( )e r T tK − − .

求解区间为 { }= 0 ,0S t TΣ ∞≤ ≤ ≤ ≤ ，做自变量代换：

exS = ， t T τ= − ， ( , ) e ( , )rP S t V xτ τ−= .

则式（1）转化为

{ }

( ) 2 1 1 1 2 1 1(1 )( , ) [ ( ) ( ) ] ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )=0(1 2 )

( ,0) max e ,0

x xx

x

V x r T T V x T V x

V x K

α α α α α ατ

ατ γ α σ τ τ τ τ γ α σ τ τ τα

− − − − −Γ −⎧ − + − − − −⎪ Γ −⎨⎪ = −⎩

，

，

（2）

其中，3 2(1 ) (1 )( )

(1 2 )α αγ α

αΓ + Γ −

=Γ +

.

第11卷 第19期

2018 年 10 月 李 玥等：时间-空间分数阶 Black-Scholes 方程的一类高效差分方法 1904

求解区域转化为

0 { ,0 }x TΣ τ= −∞ + ∞≤ ＜ ≤ ≤ .

通常金融机构会规定一个足够小的值 N − 0N −（ ＞ ）作为原生资产价格的下界，一个足够大的值 N +

N + ∞（ ＜ ）为其上界，则期权定价问题可以在如下有界区域中求解：

1 { ,0 }N x N TΣ τ− += ≤ ＜ ≤ ≤ .

同时，边界条件转化为

( , ) eN rV N Kττ++ += − ， ( , ) 0V N τ− = .

2 显-隐差分方法

以TkN

= 、N Nh

M

+ −−= 分别作为时间步长和空间步长， M 、 N 为正整数。将求解区域 1Σ 划分为均

匀网格，则有

0,1, ,= 0,1, , .

i

n

x N ih i Mnk n Nτ

−⎧ = + =⎪⎨

=⎪⎩

， ；

，

方程（2）的初始条件和边界条件转化为

{ }0 max e ,0ixiV K= − ， 0 e nN rn n

N NV V Kτ+

− ++= = −， .

1( , )i nV xα

ατ

τ+∂

∂为 Caputo 意义下的分数阶导数，离散为如下形式[14]：

10 1 1

0

( , )( , ) [ ( , ) ( , )]

(2 )

nC i n

i n j i n j i n jj

V x kD V x l V x V xα α

ατ α

ττ τ τ

ατ

−+

+ + − −=

∂= = −

Γ −∂∑ ， （3）

其中， 1( 1)jl j jα α−= + − .

方程（2）的古典显式格式和古典隐式格式如下： 1）古典显式格式

2 1 1 1 1 10 1

2 1 1 1 12

(1 )( , )=[ ( ) ( ) ]( ) ( )(1 2 ) 2

2 ( ) ( ) ( )

n nC i i

i n

n n ni i i

V VD V x r T nk nk T nk

h

V V Vnk T nk

h

α α α ατ

α α

ατ γ α σα

γ α σ

− − − + −+

− − + −

−Γ −+ − − +

Γ −

− +− ，

化简为

( ) ( )( ) ( )11 1 1 1 2 1 1

02

nn j n j n n n n n

i i j n n i i n i i ij

V V l abm g rm q V V m g V V V+ − −+ − + −

=

− = + − + − +∑ . （4）

2）古典隐式格式 1 1

2 1 1 1 1 10 1

1 1 12 1 1 1 1

2

(1 )( , )=[ ( ) ( ) ]( ) ( )(1 2 ) 2

2 ( ) ( ) ( )

n nC i i

i n

n n ni i i

V VD V x r T nk k nk k T nk k

h

V V Vnk k T nk k

h

α α α ατ

α α

ατ γ α σα

γ α σ

+ +− − − + −

+

+ + +− − + −

−Γ −+ − − + − −

Γ −

− ++ + − − ，

Vol.11 No.19

October 2018 中国科技论文在线精品论文 1905

化简为

( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 1 1 1

02

nn j n j n n n n n

i i j n n i i n i i ij

V V l abm g rm q V V m g V V V+ − − + + + + ++ + + − + + −

=

− = + − + − +∑ , （5）

其中， 2( )a γ α σ= ；(1 )

(1 2 )b α

αΓ −

=Γ −

； 1 (2 ) / 2m k hαα= Γ − ； 2 22 ( ) (2 ) /m k hαγ α σ α= Γ − ； 1 1( ) ( )ng nk T nkα α− −= − ；

1( )nq nk α−= .

在奇数层采用古典显式格式计算：

2 1 2 22 2 1 2 1 2 1 1 2 2

2 12 2 0

2 2 1 2 1 2 1 1 21

( ) (1 2 )

( ) ( ) ；

n n ni n n n i n i

nn n j

n n n i j j i n ij

V m g abm g rm q V l m g V

m g abm g rm q V l l V l V

+−

−−

+ +=

= − − + − − +

+ + + − +∑

（6）

在偶数层采用古典隐式格式计算：

2 2 2 22 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2

22 2 2 1 2 1 0

1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 11

( ) (1 2 ) (

) (1 ) ( ) .

n nn n n i n i n

nn n n j

n n i i j j i n ij

m g abm g rm q V m g V m g

abm g rm q V l V l l V l V

+ ++ + + − + +

+ + + −+ + + + +

=

− + + + + − +

+ = − + − +∑

（7）

综上，得到方程的 E-I 格式如下：

2 12 1 2 2 2 2 0

2 1 1 2 2 1 1 21

22 2 2 2 2 2 2 1 2 1 0

2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 11

( ) +

(1 ) +

nn n n n n j

i n i n i n i j i n ij

nn n n n n j

n i n i n i i j i n ij

V a' V w b' V c' V w V l V

a V b V c V l V w V l V

−+ −

− + +=

+ + + + + −+ − + + + + +

=

⎧= + − + +⎪

⎪⎨⎪ + − = − +⎪⎩

∑

∑

，

，

（8）

其 中 ， 2 1 2 2 2 2( )n n n na m abg rq m g′ = − + + ； 2 2 22n nb m g′ = − ； 2 1 2 2 2 2( )n n n nc m abg rq m g′ = + + ；

2 2 1 2 2 2 2 2 2 2( )n n n na m abg rq m g+ + + += + − ； 2 2 2 2 22n nb m g+ += +1 ； 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2( )n n n nc m abg rq m g+ + + += + + ；

1 ( 1,2, , )j j jw l l j N−= − = ； 1 1 1+1 2 ( 1) ( 1)jc j j jα α α− − −= − + − − .

3 显-隐差分方法的数值分析

联立古典显式格式（4）和古典隐式格式（5），消掉 2 1niV + ，得

2 2 2 2 2 22 2 1 2 2 2 2 1

2 1 22 2 2 2 0 2 1 0

1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 11 1

22 2 2 2

1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 11

(1 )[ ( ) + ] +

( )

n n nn i n i n i

n nn n n n j n j

n i n i n i j i n i j i n ij j

nn n n n j

n i n i n i j ij

a V b V c V

l a' V w b' V c' V w V l V w V l V

w a' V w w b' V w c' V w w V

+ + ++ − + + +

−− + −

− + + + += =

−−

− + +=

+ −

= − + − + + +

= + − + +

∑ ∑1 2

0 2 11 2 2 1 1

1

2 12 2 2 2 0

1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 11

( )

[ ( ) ] ( ) ( ) .

nn j

n n i j ij

nn n n n j

n i n i n i j j i n n ij

w l l V w V

w a' V w w b' w V w c' V w w w V w l l V

+ −+ +

=

−−

− + + + +=

+ + +

= + − + + + + + +

∑ ∑

∑

（9）

其矩阵形式为

第11卷 第19期

2018 年 10 月 李 玥等：时间-空间分数阶 Black-Scholes 方程的一类高效差分方法 1906

2 2 2 21 2 1 2

2 12 0

1 1 2 1 2 2 11

2 2 2 2 2 2 T1 2 0 2 2 0 1 2 2 2

[ ( )]

( ) ( )

( ,0, ,0, )

n n

nn j

j j n nj

n n n nn n n M n M

V w w V

w w w V w l l V

w a V a V w c V c V

+

−−

+ + +=

+ ++ +

⎧ = + + +⎪⎪

= + + + +⎨⎪⎪ ′ ′= − −⎩

∑

，

G G I B

B C

C

，

， （10）

其中，

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 ( 1) ( 1)

1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

2

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 ( 1) ( 1)

=

.

n n

n n n

n n n

n n M M

n n

n n n

n n n

n n M M

b ca b c

a b ca b

w b w cw a w b w c

w a w b w cw a w b

+ +

+ + +

+ + +

+ + − × −

− × −

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

′ ′−⎛ ⎞⎜ ⎟′ ′ ′−⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟′ ′ ′−⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′−⎝ ⎠

；G

G

3.1 显-隐格式解的存在唯一性

对于 1G ： 2 2 2 2 2 20 0 0n n na c b+ + +< < >， ， ，且有 2 2 2 2 2 2| | 1n n nb a c+ + +− + = ，则矩阵 1G 是对角占优矩阵，

即 1G 非奇异。

对于 2G ： 1 2 1 2 1 20 0 0n n nw a w c w b′ ′ ′> > − >， ， ，且有 1 2 1 2 1 2| | 0n n nw b w a w c′ ′ ′− − + = ，则 22 1 2+ ( )w w+G I 是对角

占优矩阵，即 22 1 2+ ( )w w+G I 也为非奇异，故 E-I 格式解是存在唯一的。有如下定理。

定理 1 时间-空间分数阶的 Black-Scholes 方程的 E-I 差分格式（8）的解是存在唯一的。

3.2 显-隐格式解的稳定性

引理 1[15] 运用函数 1( ) 1g x x xα−= （ ）≥ 的性质，得到如下结论：

2 10 1nw w w< < < < < ，且1

1 11 1

n

j n jj j

w l w− ∞

= =

= − =∑ ∑， .

引理 2 设 niV 为 E-I 差分格式（8）的近似解，且 n n n

i i iV Vε = − ， 0 1= , , ,n n n nMε ε ε( )E ，则对于任意的

0 n N≤ ≤ ，都有 0n∞ ∞

E E≤ .

证明：运用数学归纳法，

1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1

10

1 1 2 1 11

+ ( )

( ) ( ) .

n n n n n nn i n i n i n i n i n i

nn j

j j i n n ij

a V b V c V w a' V w w b' w V w c' V

w w w V w l l V

+ + ++ − + + + − +

−−

+ + +=

+ = + − + + +

+ + +∑

（11）

令1 1

maxn nl ii Mε ε

−=

≤≤，当 0n = 时，

1 1 1 0 01 1 1 1 1 1 0 1 1 1( ) ( )i i i i ic b a w l l w lε ε ε ε ε+ −+ + = + = + ，

Vol.11 No.19

October 2018 中国科技论文在线精品论文 1907

1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 11 1 1 1 1

0 0 01 1( ) .

l l l l

l l l

i i

c b a

c b a

w l

ε ε ε ε

ε ε ε

ε ε

+ −

+ −

∞= + = =

+ +

+ +

E

≤

≤

对于式（11），有 2 2 2 0

2 1 2 2 1 1 0 1+ ( )i i i ia b c w l lε ε ε ε− ++ = + ， 2 2 2 2

2 1 2 2 1

01 0 1

0 0

( )

.

l l l l

i

i

a b c

w l l

ε ε ε ε

ε

ε

− +

∞

+ +

= +

= =

≤

E

假设 2n s≤ 时，都有 0n∞ ∞

E E≤ ，则当 2 2n s= + 时，

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 12 2 2 2 0

1 2 +1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 11

2 21 2 1 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 21 1

2 2 2 2 2 21 1

[ ( ) ] ( ) +( )

(

s s s

s s s

ss s s s j

s l s l s l j j s s llj

ss s

s s s sl l l l

s s sl l l

c b a

c b a

w c w w b w a w w w w l l

w c w w b w

ε ε ε ε ε

ε ε ε ε

ε ε ε

+ + +

+ + +

−−

− + +=

∞

+ + + ++ −

+ + ++ −

− +

′ ′ ′= + − + + + + +

′ ′+

∑

+ +

+ +

≤

≤

≤ E 2 2 2 11 2 1 2 3

2 2 1 01 3 4 1 2 2 1 1 2 2 1

2 2 2 1 11 2 1 2 3 1 2 2 1

01 2 2 1

02 3 2 1 2 1 1 1 2 2 2

) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

[ ( )]

(

s s ss

ss s s s

s ss s

s s

s s s s

w a w w w

w w w w w w w l l

w w w w w w w w

w l l

w w w l w w w w l

−

∞ ∞ ∞

−+ +∞ ∞ ∞

−+∞ ∞ ∞

+ ∞

+ + ∞+

′+ + + +

+ + + + + +

= + + + + + + +

+

+ + + + + + + +

=

≤

E E E

E E E

E E E

E

E

1 10 0 .)wl∞ ∞

+ =E E

证毕。故有如下定理。 定理 2 时间-空间分数阶 Black-Scholes 方程的 E-I 差分格式（8）的解是无条件稳定的。

3.3 显-隐格式解的收敛性

引理 3 设 ( , )i nV x τ 为微分方程在网格点 ( , )i nx τ 上的精确解，令 ( , )n ni i n ie V x Vτ= − ， 0 0ie = ，

1 2 1 1 1, , , ) maxn n n n n n n

M l ii me e e e e− ∞ −

= = =（ ，e e≤≤

，其中 1,2, ,n N= ，则有 1 2 2( )nnl C hα ατ τ− −

∞+e ≤ ，C 为常数。

证明：应用数学归纳法，将 ( , )n ni i n iV V x eτ= − 代入差分格式（11），则有

1 1 1 21 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1

10 1

1 1 2 1 11

( )

( ) ( ) .

n n n n n nn i n i n i n i n i n i

nn j n

j j i n n i ij

c e b e a e w c e w w b w e w a e

w w w e w l l e Rατ

+ + ++ + + + − + −

−− +

+ + +=

′ ′ ′+ + = + − + + +

+ + + +∑

0 0ie = ，已知 1( , )i nV xα

ατ

τ+∂

∂具有 2 α− 阶数值精度，则有 2 2( )nR O hατ −= + ，即存在一个正常数 C，使得

2 2( )n C hατ − +R ≤ .

第11卷 第19期

2018 年 10 月 李 玥等：时间-空间分数阶 Black-Scholes 方程的一类高效差分方法 1908

当 0n = 时， 1 1 1 1

1 1 1 1 1i i i ic e b e a e Rατ+ −+ + = ，

1 1 1 1 11 1 1 1 1

1 1 11 1 1 1 1

1

1

1 2 20 ( ).

l l l l

l l l

l

e c e b e a e

c e b e a e

R

l C h

α

α

α α

τ

τ

τ τ

+ −∞

+ −

∞− −

= + +

+ +

=

= +

≤

≤

≤

e

R

对于式（11），有 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 12 1

2 2 21 1 2

1

[ ( ) ]

( ) .

n n n n n nn i n i n i n i n i n i

nn j n

j j i ij

c e b e a e w c e w w b w e w a e

w w w e Rατ

+ + ++ + + + − + −

−− +

+ +=

′ ′ ′+ + = + − + + +

+ +∑

当 1n = 时， 2 2 2 2

2 1 2 2 1i i i ia e b e c e Rατ− ++ + = ，

2 2 2 2 22 1 2 2 1

2 2 22 1 2 2 1

2

2 2

1 2 21

( )

( ).

l l l l

l l l

l

e c e b e a e

c e b e a e

R

C h

l C h

α

α α

α α

τ

τ τ

τ τ

+ −∞

+ −

−

− −

= + +

+ +

=

+

+

≤

≤

≤

≤

e

假设 2n s≤ 时，都有 2 1 2 22 1 ( )s

sl C hα ατ τ− −−∞

+e ≤ ，且有 1 1j nl l− −≤ ， 1,2, ,j n= ，则当 2 2n s= + 时，

2 2 2 2

2 2 2 2 2 22 2 1 2 2 2 2 1

2 2 2 2 2 22 2 1 2 2 2 2 1

2 12 2 2 2 2 2

1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 21

21 2 1 1 2

[ ( ) ] ( ) +

[ (

s sl

s s ss l s l s l

s s ss l s l s l

ss s s s j s

s l s l s l j j llj

ss s

e

c e b e a e

c e b e a e

w c e w w b w e w a e w w w e R

w c w w b

ατ

+ +

∞

+ + ++ + + + −

+ + ++ + + + −

−− +

+ − + +=

∞

=

′ ′ ′= + − + + + +

′ ′+ −

∑

≤ + +

≤ + +

≤

e

e 2 2 2 22 1 2

2 2 2 1 1 2 21 2 1 2 3 1 2 2 1

2 1 1 1 2 21 2 2 1 1 2 3 2 2 1 2 2 1 021 2 1 2 3 1 2 2 1 2

) ] ( )

( ) ( ) ( ) ( )

[( ) ( ) ( ) 1] ( )

[( ) 1

s ss

s ss s

s s s s

s s s

w w a C h

w w w w w w w w C h

w w l w w w l w w w l C h

w w w w w w w w l

α α

α α

α α

τ τ

τ τ

τ τ

−

∞ ∞

− −+∞ ∞ ∞

− − − −− − +

+

′+ + + +

= + + + + + + + +

+ + + + + + + +

+ + + + + + +

≤

≤

e e

e e e

2 2

1 2 2 22 1 2 1 2 3 1 2 2 1 2

1 2 22 1 2 2 1

1 2 22 1

] ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ).

s s s s

s s s

s

C h

l w w w w w w w w l C h

l l l l C h

l C h

α α

α α

α α

α α

τ τ

τ τ

τ τ

τ τ

−

− −+

− −+

− −−

+

= + + + + + + + +

= − +

+≤

证毕。因为

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October 2018 中国科技论文在线精品论文 1909

1 1

1 1 1 11lim lim lim

1( 1) 1 (1 )n

n n n

l n nn n n n

α

α α α α α

− − −

− − − −→∞ →∞ →∞= = =

−− − − −，

所以，存在常数 0h > ，使得 1nl hnα− ≤ . n Tτ ≤ 是有限的，则存在C CT hα= ，使得

2 2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( )ni n iV x V hn C h h n C h C hα α α α α ατ τ τ τ τ τ− − −− + = + +≤ ≤ ，

其中， 2,3, , 1,2, , .i M n N= =， 有如下定理。

定理 3 时间-空间分数阶 Black-Scholes 方程的 E-I 差分格式（8）是收敛的，且具有 2 阶空间精度，

2 α− 阶时间精度。

4 隐-显差分方法 类似地，给出时间-空间分数阶 B-S 方程（1）的 I-E 差分格式： 在奇数层采用古典隐式格式计算：

2 1 2 12 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1

2 12 1 2 2 0

2 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 21

( ) (1 2 )

( ) (1 ) ( )

n nn n n i n i

nn n n j

n n n i i j j i n ij

m g abm g rm q V m g V

m g abm g rm q V l V l l V l V

+ ++ + + − +

−+ −

+ + + + +=

− + + + + −

+ + = − + − +∑ ；

（12）

在偶数层采用古典显式格式计算：

2 2 2 +1 2 +12 2 +1 1 2 +1 1 2 +1 1 1 2 2 +1

22 +1 2 +1 0

2 2 +1 1 2 +1 1 2 +1 1 1 2 +11

( ) (1 2 )

( ) ( ) .

n n ni n n n i n i

nn n j

n n n i j j i n ij

V m g abm g rm q V l m g V

m g abm g rm q V l l V l V

+−

−+ +

=

= − − + − − +

+ + + − +∑

（13）

得到时间-空间分数阶 B-S 方程（1）的 I-E 差分格式如下：

2 12 1 2 1 2 1 2 2 0

2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 21

22 2 2 +1 2 +1 2 +1 2 +1 0

2 +1 1 1 2 +1 2 +1 1 1 2 +11

(1 ) +

( ) +

nn n n n n j

n i n i n i i j i n ij

nn n n n n j

i n i n i n i j i n ij

a V b V c V l V w V l V

V a' V w b' V c' V w V l V

−+ + + −

+ − + + + +=

+ −− + +

=

⎧+ − = − +⎪

⎪⎨⎪ = + − + +⎪⎩

∑

∑

，

，

（14）

其中， 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1( )n n n na m abg rq m g+ + + += + − ； 2 1 2 2 12n nb m g+ += +1 ； 2 +1 1 2 +1 2 +1 2 2 +1( )n n n na m abg rq m g′ = − + + ；

2 +1 2 2 +12n nb m g′ = − ； 2 +1 1 2 +1 2 +1 2 2 +1( )n n n nc m abg rq m g′ = + + ； 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1( )n n n nc m abg rq m g+ + + += + + .

同 E-I 格式的理论分析类似，有如下定理。 定理 4 时间-空间分数阶 Black-Scholes 方程的 I-E 差分格式（14）的解是存在唯一、无条件稳定和

收敛的，且具有 2 阶空间精度， 2 α- 阶时间精度。

5 数值试验 数值试验基于 Intel Core i3 CPU，在 Matlab R2012b 环境下进行。 例 1[13] 考虑一个欧式看涨期权，到期日分别为 3，6，9，12 个月，当前股票价格 S 为 97 美元，敲

定价格 K 为 50 美元，风险利率 r 为每年 1%，波动率σ 为每年 20%. 为将本文构造的 E-I 格式和 I-E 格式与文献[13]中 θ-差分格式进行比较，利用 E-I 格式和 I-E 格式算

出欧式看涨期权的价格。

第11卷 第19期

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1）两类差分方法的数值稳定性比较

由例 1 得，S=97，K=50，T=3，6，9，12，r=0.01， =0.2σ . 取 =1/3θ ， =5/7α ， = ln100N + ， =1N − ，

=40N ， =200M ， =0.023 5h ， =0.025k ，

12(2 ) 1.13 1ka N

h

ααα −Γ − = > .

由于 E-I 格式和 I-E 格式得到的数值解非常接近，这里只给出 E-I 格式的期权价格和股票价格的关系

图，如图 1 所示。

图 1 两类差分方法的稳定性比较（α=5/7）

Fig. 1 Comparison of the stability between two difference methods (α=5/7) a—θ-格式（θ=1/3）；b—E-I 格式 a-θ-scheme (θ=1/3); b-E-I scheme

图 1a 用 θ-差分格式（θ=1/3）计算欧式看涨期权，价格在 S=50 左右波动较大，不满足稳定性判据，

计算不稳定。由图 1b 可知，相同条件下，E-I 格式计算的欧式看涨期权价格呈平稳上升的趋势，计算稳

定。数值试验表明，E-I 差分方法的数值稳定性优于文献[13]的 θ-差分方法。采用 I-E 格式也可以得到类

似的结论。

为更有效地验证本文 E-I 格式和 I-E 格式的稳定性，当 T=6 时，将 C-N 的格式解 niV 作为控制解，将

E-I 格式解和 I-E 格式解 niV 作为扰动解，作出时间层相对误差和（sum of relative error for every time level，

SRET）在时间层上的变化图和误差能量（difference total energy，DTE）在空间网格点上的分布图，分别

如图 2、图 3 所示。SRET 和 DTE 定义如下：

1

| |SRET( ) ,

n nMi i

ni i

V Vn

V=

−=∑

( ) ( )2

1

1DTE = .2

Nj j

i ij

i V V=

−∑

由图 2 可知，当 100，N M= = 5/7α = ， =6T 时，E-I 格式和 I-E 格式的 SRET 值在最开始时较大，随

着时间层的增加，相对误差迅速减少且有界。由图 3 可知，E-I 格式和 I-E 格式的 DTE 均在 0～9.69e−05之间，即 E-I 格式解和 I-E 格式解十分接近 C-N 格式解。说明时间-空间分数阶 B-S 方程的 E-I 和 I-E 差

分方法是计算稳定的，并且与 C-N 方法的精度十分接近。

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2）两类差分方法的计算效率比较 当 5/7α = 时，对隐式格式、C-N 格式、E-I 格式和 I-E 格式的数值解和计算时间进行比较。取

= ln100M + ， =1M − ， =120N ， =100M ，

12(2 ) 0.37 1ka N

h

ααα −Γ − = < .

由表 1 可以看出，当股票价格 97S = ，时间 T=3，6，9，12 时，本文 E-I 格式和 I-E 格式的数值解和

计算时间很相近，计算时间相差很小（仅差 0.006 8 s）。但与 C-N 格式相比，计算效率（计算时间）提

高了约 33%.

表 1 四种格式数值解和计算时间的比较（α=5/7） Tab. 1 Comparision of the numerical solutions and computation time among four schemes (α=5/7)

T 格式

3 6 9 12 计算时间/s

隐式格式 47.321 5 47.581 2 47.800 8 47.995 4 0.199 5

C-N 格式 47.334 7 47.609 6 47.841 9 48.047 8 0.204 6

本文 E-I 格式 47.535 9 47.858 6 48.104 6 48.314 2 0.137 4

本文 I-E 格式 47.578 3 47.912 9 48.163 7 48.375 0 0.130 6

为更好地比较这四种格式的计算效率，令α =5/7，T=12，将空间层固定为 =100M ，选取时间网格数

为 N=100，200，300，400，500，600，700，800，900，1 000. 计算结果如图 4 所示。

由图 4 可知，对于时间-空间分数阶 B-S 方程，随着网格数的增加，差分格式的计算时间都在增加，

显然 E-I 格式和 I-E 格式的计算时间变化幅度小于 C-N 格式和隐式格式的变化幅度。因此，在计算精度

一致的要求下，E-I 方法和 I-E 方法的计算效率更高。

例 2 当 α=2/3、1/2、1/3时，使用E-I格式计算欧式看涨期权的价格，并将其结果与标准B-S模型（ 1α = ）

进行比较，如表 2 所示。

取 = ln100N + ， =1N − ， =120N ， =100M . 由于 E-I 和 I-E 格式得到的数值解相似，同样可以用 I-E

格式得到类似的结果。

图 2 SRET 在时间层上的变化图

Fig. 2 Change diagram of the SRET at time layer

图 3 DTE 在空间网格点的分布图

Fig. 3 Distribution diagram of the DTE at space grids

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由图 5 可知，在不同α 下，时间-空间分数阶 B-S

方程解的形状和变化趋势与整数阶 B-S 方程（α=1）基

本一致，当 0＜α＜1/2 时（如图 5d 所示），12 个月的期

权价格偏高，其边界的影响较大；当 1/2＜α＜1 时（如

图 5b 所示），在敲定价格（K=50）附近，股票价格随时

间的变化趋势明显且偏差较小，效果较好。因此，为更

符合实际金融市场，参数 α应该根据实际数据适当选取。

一般来讲，对到期期限为 12 个月的期权，应用标准

B-S 模型（α=1）计算的期权理论价格比市场价格低[16]，

而由表 2 可知，分数阶 B-S 方程计算得到的期权价格比

整数阶要高。数值算例证实了时间-空间分数阶 B-S 方

程更符合实际金融市场。 表 2 E-I 格式解和计算时间

Tab. 2 Solutions and computing time of E-I scheme T

α 3 6 9 12

计算时间/s

1 47.133 2 47.257 7 47.382 1 47.507 1 0.210 8 2/3 47.690 3 48.019 5 48.268 6 48.480 2 0.122 5 1/2 48.226 1 48.532 8 48.763 6 48.961 7 0.131 5 1/3 48.953 5 49.197 0 49.387 4 49.556 5 0.144 9

图 5 股票价格和期权价格关系

Fig. 5 Relationship between stock prices and option prices

图 4 四种差分格式的计算时间对比

Fig. 4 Comparison of computing time among four difference schemes

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6 结论 时间-空间分数阶 B-S 方程的 E-I 和 I-E 差分格式是无条件稳定和收敛的，且具有 2 阶空间精度，2 α− 阶

时间精度。数值试验证实了理论分析，验证了其求解精度与 C-N 格式的求解精度相当，但 E-I 方法和 I-E方法的计算量较小，其计算效率（计算时间）比 C-N 方法提高了约 33%. 数值试验证实了时间-空间分

数阶 B-S 方程的有效性，E-I 和 I-E 差分方法求解时间-空间分数阶 B-S 方程是高效可行的。

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