3장

행렬식 Determinants

- 2 -

행렬식 Determinants 소개 정방행렬 는 행렬식(determinant)을 갖는다. 이것을

det 또는 ⋯ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋯

이라고 나타낸다. × 스칼라 행렬의 양쪽이 직선으로 감싸져 있는데 이것을 위수

의 행렬식이라 한다. 행렬이 아니라 행렬식을 나타내는 것을 구분하여야 한다.

: 행렬,

: 행렬식

위수 1과 2의 행렬식은 다음과 같이 정의된다.

, .

그러므로 × 행렬 의 행렬식은 스칼라 자신이다. 즉 det 이다. 위

수 2의 행렬식은 다음과 같은 그림을 이용하여 기억하면 좋을 것이다.

즉 행렬식은 덧셈으로 표시된 화살표 방향의 성분의 곱에서 뺄셈으로 표시된 화살

표 방향의 성분의 곱을 빼주는 것과 같다(비슷한 그림을 이용한 방법이 위수 3에

대해서는 존재하지만 그 이상의 위수에 대해서는 존재하지 않는다).

(1) det det det .(2)

. ■

선형 방정식에의 응용

다음과 같은 2개의 미지수를 가진 2개의 선형 방정식을 보자.

계수행렬의 행렬식을 이라 하면 이 연립방정식이 유일한 해를 가질

필요충분조건은 ≠인 것이다. 이 경우 유일한 해는 다음과 같이 완전히 행렬식

보기 3.1

- 3 -

을 사용하여 나타낼 수 있다.

.

여기서 는 각각의 분수의 분모로 쓰인다. 분자 는 계수행렬의 각 열에 상수

항의 열 행렬을 대신 집어 넣어서 구한다. 반면 이면 이 연립방정식은 해가

없거나 무한히 많은 해를 가질 것이다.

보기 3.2 을 행렬식을 이용하여 풀어라.

풀이

■

× 행렬 를 보자. 의 행렬식은 다음과 같다.

det

6개의 곱셈이 있고 각각의 곱셈은 주어진 행렬의 성분 3개로 되어 있다. 3 개의 곱

셈은 양수이고 3개의 곱셈은 음수이다. 즉 행렬식은 3개의 양수로 나타내어진 화살

표 성분의 곱셈에 3개의 음수로 나타내어진 화살표 성분의 곱셈의 음수를 더하여

준 것이다. 위수가 4 이상에서는 불행하게도 이러한 그림을 그릴 수 없다.

보기 3.3

이고

라 할 때 det , det를 구하라.

풀이 det

- 4 -

det ■

위수 3의 행렬식을 구하는 다른 방법

× 행렬 의 행렬식은 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

det

.

이것은 계수가 주어진 행렬의 첫째 행인 위수 2의 행렬식의 일차결합이다. 이 일차

결합은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

.

원래 주어진 행렬에서 계수가 속한 행과 열을 지우면 × 행렬을 얻을 수 있다.

보기 3.4

■

일반적인 행렬식 구하기 … 의 한 순열(permutation) 는 이 집합에서 저 집합으로 가는 일대일

함수를 말한다. 다른 말로 바꾸면 숫자 … 의 재배열(rearrangement)이다.

이러한 순열은

⋯ ⋯ 또는 ⋯

과 같이 나타내며, 여기서 이다. 이러한 모든 순열의 집합을 이라고 쓰며

이러한 순열의 총 개수는 이다. 즉 이다. 만약 ∈이면 역함수 ∈이고 ∈이면 합성함수 ∘ ∈이다. 또한 항등순열 ∘ ∈이다. 사실

- 5 -

… 이다.

(1) ⋅ 개의 순열이 에 존재한다. 그들은 와 이다.

(2) ⋅⋅ 개의 순열이 에 존재한다. 그들은

이다. ■

순열의 부호(sign, parity)

임의의 순열 ∈( … )을 보자. 우리는 안에 짝수 개 혹은 홀수 개의

역전(inversion)이 있느냐에 따라 를 짝수 또는 홀수 순열이라고 부른다. 안에

역전이란 에서 가 먼저 나오고 가 나중에 나오는 인 순서쌍 를 말한

다. 예를 들면 에서 는 에서 역전이지만 는 역전이 아니

다. 그러면 순열 의 부호 sgn 는 다음과 같이 정의된다.

sgn 가 짝수 순열 가 홀수 순열

(1) 에서 의 부호를 찾아라.

각각의 에 대하여 보다 순열에서는 먼저 나오는 이지만 인 의 개수를 세자.

2개의 숫자(3과 5)가 1보다 크지만 1보다 안에 먼저 나온다.

3개의 숫자(3, 5과 4)가 2보다 크지만 2보다 안에 먼저 나온다.

1개의 숫자(5)가 4보다 크지만 4보다 안에 먼저 나온다.

(어떤 숫자도 3 또는 5보다 크지만 먼저 나오는 숫자는 없다.) 그러므로 안에는 6개의

역전이 존재하므로 sgn =1이다.

(2) 항등순열 … 의 부호는 sgn 이다. 왜냐하면 역전의 개수가 0이기 때문이

다.

(3) 에서 12는 짝수 순열이고 21은 홀수 순열이다. 순열 123, 231, 312는 짝수이고

132, 213, 321은 홀수이다.

(4) 를 2개의 숫자 와 를 교환하고 다른 숫자들은 고정하는 순열이라고 하자. 즉

≠

우리는 이러한 순열 를 호환(transposition)이라 한다. 만약 이면 개의

역전이 안에 존재하므로 순열 는 홀수 순열이다.

■

언급 || 임의의 수 에 대하여 안의 순열 중 반은 짝수 순열이고 반은 홀수 순열이다.

보기 3.5

보기 3.6

- 6 -

예를 들면 안에는 3개의 짝수 순열과 3개의 홀수 순열이 있다.

순열 ⋯ 이 주어져 있다고 하자. sgn sgn 를 보여라. 또한 스

칼라 에 대해

⋯ ⋯

임을 보여라. 여기서 ⋯ 이다.

풀이 ∘ 이고 은 짝수 순열이므로 와 는 둘 다 짝수 순열이거나 홀

수 순열이다. 그러므로 sgn sgn 이다.

⋯ 은 순열이기 때문에 ⋯ ⋯ 이면 … 은 다음

과 같은 성질을 갖는다.

… … 이라 하자. … 에 대하여

∘

이다. 따라서 ∘ 이므로 이다. ■

를 체 위의 정방행렬이라 하자. 의 성분 중 개를 곱하는 것을

생각하자. 단, 이 개의 원소는 각각의 다른 열에서 오직 한 개의 원소를, 또한 각

각의 다른 행에서 한 개의 원소를 선택하여 만든 것이다. 다음과 같이 쓸 수 있다.

⋯

즉 성분들은 각 행으로부터 연속적으로 선택되므로 첫 번째 첨자는 … 의 순

서를 갖는다. 이제 각각의 성분들은 각각 다른 열에서 선택해야 하므로 두 번째 첨

자는 순열 ⋯ 을 이룬다. 반대로 안의 각각의 순열은 위와 같은 곱셈을

결정한다. 그러므로 행렬 에서 개의 이와 같은 곱셈을 만들 수 있다.

유제 3.1

- 7 -

정의 3.1 의 행렬식 det 또는 는 위와 같은 개의 곱셉의 합이다. 단, 각각의 곱

셈은 sgn 를 곱해야 한다. 즉

sgn ⋯ 또는

∈sgn ⋯

정방행렬 의 행렬식을 위수 이라고 말한다.

다음 예를 보면 정의 3.1이 앞 절에서의 행렬식의 정의와 정확히 일치함을 알 수

있다.

(1) 은 × 행렬이다. 은 한 개의 짝수 순열을 가지므로

det 이다.

(2) 가 × 행렬이라 하자. 는 짝수 순열 12와 홀수 순열 21을 갖는다. 그러

므로

det

이다.

(3) 가 × 행렬이라 하자. 는 짝수 순열 123, 231, 312와 홀수 순열 321,

213, 132를 갖는다. 그러므로

det

이다. ■

언급 || 이 커질수록 행렬식의 항의 개수는 천문학적인 숫자가 된다. 따라서 정의를 사

용한 행렬식보다 간접적인 방법을 사용한다. 사실 행렬식에 대한 몇 개의 성질을 증명함

으로써 계산과정을 상당히 줄일 수 있다. 특히 위수 의 행렬식은 앞 절에서 일 때

보았듯이 위수 의 행렬식의 일차결합으로 나타내어짐을 보았다.

보기 3.7

- 8 -

정리 3.1

행렬 와 전치행렬 의 행렬식은 같다. 즉 이다.

정리 3.2

행렬 를 정방행렬이라 하자.

(ⅰ) 행렬 의 한 행이 모두 이면 이다.

(ⅱ) 행렬 의 두 행이 일치하면 이다.

(ⅲ) 행렬 가 삼각행렬이면, 다시 말해 의 주대각선 위 또는 아래가 모두 이면 는 주

대각성분을 모두 곱한 것과 같다. 특히 항등행렬일 때

.

행렬식의 성질행렬식의 기본적인 성질에 대해서 알아보자.

증명 이면 이다. 그러므로

∈sgn ⋯

∈sgn … .

라 하자. 유제 3.1에 의하여 sgn sgn 이고

⋯ ⋯

이므로

∈sgn ⋯

이다. 가 의 모든 원소들을 거쳐 갈 때 도 의 모든 원소들을 거쳐 가므로

이다. ■

이 정리에 의해 의 행에 관한 행렬식의 정리와 의 열에 관한 행렬식의 정리

가 닮아있음을 알 수 있다. 다음 정리는 행렬의 행렬식을 바로 구할 수 있는 몇 가

지 경우에 대해서 논하고 있다.

- 9 -

정리 3.3

행렬 를 로부터 기본 행(렬) 연산에 의하여 얻어진 행렬이라 하자.

(ⅰ) 의 두 행(렬)을 교환해서 얻어진 행렬 이면 이다.

(ⅱ) 의 한 행에 스칼라 를 곱하여 얻어진 행렬 이면 이다.

(ⅲ) 의 한 행의 곱을 다른 행에 더하여 얻어진 행렬 이면 이다.

증명 (ⅰ) 안의 각 항은 각 행에서 한 항씩을 포함한다. 그러므로 모두 항이 인 행

에서도 인 항을 가져오므로 의 각 항은 이 된다.

(ⅱ) 체 에서 ≠ 이라 가정하자. 서로 일치하는 두 행을 교환하면 다시 가 된다.

즉 이다(정리 3.3). 그러므로 이다.

(ⅲ) 가 하삼각행렬이라 하자. 즉 주대각선 위의 성분은 모두 이다

( ). 의 행렬식의 한 항 를 보자.

sgn ⋯ .

여기서 ⋯ 이다. ≠ 이라 하자. 그러면 이므로 이다. 즉 이

다. ≠ 이 아닌 각 항이 모두 이라는 것이다. 이제 이고 ≠ 라 하자. 이

므로 이다. 즉 이다. 그러므로 ≠ 이거나 ≠ 인 항들은 모두 이다. 비슷

하게 ≠ 이거나 ≠ 이거나 … ≠ 인 항들은 모두 이다. 따라서

⋯ 대각성분의 곱이다. ■

증명 (ⅰ) 2개의 열이 교환되었을 경우에 대하여 증명하자. 를 2개의 열을 교환할 때

각각의 열에서의 2개의 원소를 교환하는 호환이라 하자(보기 3.6(4) 참조). 만약

이고 이면 이다. 그러므로 임의의 순열 에 대하여

… ∘ ∘ … ∘ 이므로

∈sgn ⋯

∈sgn ∘ ∘ ⋯ ∘

이다. 호환 가 홀수 순열이므로 sgn ∘ sgn sgn sgn 이다. 따라서

sgn sgn ∘이고 또한

∈sgn∘ ∘ ∘ ⋯ ∘

- 10 -

정리 3.4

행렬 와 를 곱한 결과의 행렬식은 이 두 행렬식의 곱과 같다. 즉

det det det .

이다. 그런데 가 의 모든 원소들을 거쳐 갈 때 ∘ 도 의 모든 원소들을 거쳐 가

므로 이다.

(ⅱ) 의 째 행을 배 했다 하면 의 모든 항들이 배 된다. 그러므로 이다.

즉

∈sgn ⋯ ⋯

∈sgn ⋯ .

(ⅲ) 째 행을 배 하여 의 째 행에 더했다 하자. 행렬식에서 을 사용하여 째 위치

를 나타내자.

∈sgn … …

∈sgn … …

∈sgn … …

첫 번째 합은 째 행과 째 행이 일치하는 행렬의 행렬식을 의미하므로 정리 3.2(ii)에

의하여 이다. 두 번째 합은 의 행렬식이다. 그러므로

⋅

이다. ■

는 정방행렬 와 행 동치이다. 일 필요충분조건은 임을 보여라.

풀이 정리 3.3에 의하여 기본 행 연산의 행렬식에 끼치는 영향은 이 아닌 스칼라를 곱하

거나 부호를 바꾸는 정도이다. 그러므로 일 필요충분조건은 이 된다. ■

증명 가 단수이면 도 단수이다. 그러므로 이다. 반면 가 비단수

이면 ⋯ 이다. 즉 기본 행렬의 곱셈으로 나타내어지고 보조정리 3.6에 의하

여

⋯ ⋯

■

유제 3.2

- 11 -

정리 3.5

행렬 를 정방행렬이라 하자. 다음 명제들은 동치이다.

(ⅰ) 는 가역적이다. 즉 는 역행렬 를 갖는다.

(ⅱ) 의 해는 뿐이다.

(ⅲ) 의 행렬식이 이 아니다. 즉 det ≠ 이다.

보조정리 3.6

행렬 를 기본 행렬(elementary matrix)이라 하자. 임의의 행렬 에 대하여

이다.

가 가역적이라 하자. 이다. 여기서 는 실수의 역수이다.

풀이 이므로 이다.

따라서 이다. ■

증명 가우스 소거법을 이용하여 증명한다. 만약 가 가역적이라면 는 와 행 동치가

된다. 그러나 ≠ 이므로 유제 3.2에 의하여 ≠ 이다. 만약 가 가역적이 아니면

는 한 행이 모두 0인 행을 갖는 행렬과 행 동치가 될 것이다. 따라서 det 이다.

그러므로 (i)과 (iii)은 동치이다.

만약 의 해가 뿐이면 는 와 행 동치가 되고 가역적이 된다. 반대로 는

역행렬 를 갖는다고 하면

이 의 유일한 해이므로 (i)과 (ii)는 동치이다. ■

언급 || 위의 명제들은 책에 따라 가역행렬의 정의로서 사용된다.

다음은 정리 3.4의 특별한 경우이다.

증명 다음의 기본 행 연산을 보자.

(ⅰ) 한 행에 스칼라 ≠ 를 곱한다.

(ⅱ) 두 행을 교환한다.

(ⅲ) 한 행의 스칼라 곱을 다른 행에 더한다.

를 위의 기본 행 연산에 대응하는 기본 행렬이라 하자. 즉 들은 단

유제 3.3

- 12 -

정리 3.7

행렬 와 가 유사행렬(similar matrix)이라 하자. 그러면

이다.

위행렬 에 위의 연산들을 적용하여 얻어질 수 있다. 정리 3.3에 의해

이다. 는 행렬 에 에 대응하는 기본 연산을 적용하여 얻어지는 행렬과 같다고 했

다. 따라서 정리 3.3에 의해 다음을 얻는다.

,

,

. ■

비단수 행렬 가 존재하여 를 만족시키면 와 를 유사행렬이라 부른

다.

증명 행렬 와 가 유사행렬이라면 적당한 가역행렬 가 존재하여 를 만

족한다. 그러므로 유제 3.3과 정리 3.4에 의하여

이다. ■

다음 행렬의 행렬식을 계산하라.

(1)

(2)

(3)

풀이 (1)

(2)

(3) ■

유제 3.4

- 13 -

정리 3.8 (라플라스, 토팩터 전개)행렬 를 정방행렬이라 하자. 의 행렬식은 임의의 행(열)의 원소를 그들의 여인

마이너와 여인수를 이용한 행렬식의 계산 행렬 를 정방행렬이라 하자. 를 의 째 행과 째 열을 에서 제거한

후 얻어진 의 부분정방행렬이라 하자. 행렬식 를 의 성분 의 마이

너(minor)라 하고, 마이너에 부호를 붙인 것을 의 여인수(cofactor)라 하며 로

표시한다.

마이너와 같이 나오는 부호 는 주대각선에 를 갖는 체스판 형태를 형성한

다.

⋯ ⋯ ⋯⋮ ⋮ ⋮ ⋮

여기서 는 행렬이고 는 스칼라임을 명심하자.

언급 || 여인수 의 부호 는 종종 체스판 형태로부터 얻어진다. 특히 로 시작

하여 부호가 교대로 나온다. 즉

⋯

보기 3.8 행렬

라 하자. 다음의 마이너와 여인수를 찾아라.

(1)

(2)

풀이 (1)

(2)

■

라플라스 전개(Laplace Expansion)

- 14 -

수와 곱한 값들을 모두 더한 것과 같다.

⋯

, (행 전개)

⋯

(열 전개)

언급 || 위의 전개를 행렬식을 위한 째 행, 째 열에 의한 라플라스 전개 또는 여인수

전개라고 한다.

보기 3.9

라 할 때, 3번째 행을 사용하여 코팩터 전개를 함으로써

행렬식을 구하라.

풀이 det C C C det det det

다음 행렬의 행렬식을 계산하라.

(1)

(2)

(3)

(4)

풀이 (1) det

(2)

유제 3.5

- 15 -

(3)

(4) 첫 번째 열을 사용하여 구한다.

det

C C C C ∙∙

∙∙ 번 사용

■

행렬식의 계산

다음의 위수 의 행렬식을 계산하는 것은 위수 의 행렬식 계산으로 줄여주

는 알고리듬이다.

알고리듬 3.1(Reduction of the order of a determinant) 입력은 정방행렬 , 이다.

Step 1. 인 원소를 택한다. 없으면 ≠ 를 택한다.

Step 2. 를 피벗(pivot)으로 사용하여 를 포함한 행(열)의 다른 모든 성분들을

으로 바꿀 수 있도록 기본 연산(elementary operations)을 취한다.

Step 3. 를 포함하는 열(행)을 따라 행렬식을 전개한다.

언급 || 1. 위의 알고리듬은 이상의 위수의 행렬식 계산에 쓰인다.

2. 주대각성분의 곱이 행렬식이 되도록 가우스 소거법이나 위의 알고리듬 3.1을 반복 사

용하여 행렬 를 상삼각행렬을 만들도록 행들을 교환한다. 단 행들을 교환할 때 그 횟수

를 정확히 알고 있어야 한다.

보기 3.10 알고리듬 3.1을 사용하여 행렬

의 행렬식

- 16 -

을 구하라.

풀이 을 선택성분으로 사용하여 셋째 열을 으로 바꾼다. 즉 정리 3.3 (iii)의 연산

을 반복 사용하면 행렬식은 변하지 않는다. 그러므로

이제 셋째 열을 따라 행렬식을 전개한다. 그러면 을 가진 항들은 모두 사라진다.

■

수반행렬행렬 를 정방행렬이라 하고 를 의 여인수라고 하자. 의 고전적 수반

행렬(adjoint matrix)은 의 여인수 행렬의 전치행렬로 adj 라고 표시한다. 즉

adj

이다. adjoint라는 단어는 현재 완전히 다른 뜻으로 쓰이고 있기 때문에 고전적 수

반행렬이라고 부른다.

보기 3.11 행렬

라 하자. 의 9개 원소의 여인수는 다음과 같다.

이 여인수들의 전치행렬로 고전적 수반행렬을 만든다. 즉

adj

. ■

- 17 -

정리 3.9

행렬 를 정방행렬이라 하자. 그러면

adj adj 이다. 여기서 는 단위행렬이다. 그러므로 ≠ 이면

adj .

증명 이고 adj 라 하자. 의 째 행은

… (1)

이다. adj 는 여인수 행렬의 전치행렬이므로 adj 의 째 열은 의 째 행의 여인수의

전치행렬이다. 즉

… (2)

이다. adj 의 성분 는 (1)과 (2)를 곱하여 얻어진다.

⋯ .

정리 3.8과 유제 3.9에 의해

≠

이다. 따라서 adj 는 의 대각성분을 대각성분으로 갖는 대각행렬이다. 다른 말로

adj 이다. 비슷하게 adj 이다. ■

이고 행렬 의 째 행을 행벡터 … 으로 교환하여 얻은 행

렬을 라 하자.

⋯

임을 보이고 ≠ 에 대하여

⋯

이고

⋯

임을 보여라.

유제 3.6

- 18 -

풀이 라 하자. 정리 3.8에 의하여

⋯

이다. 는 의 째 행에 의해 변하지 않으므로 ( … )이다. 그러므로

⋯

이다. 이제 ′을 의 째 행을 의 째 행으로 바꾸어서 얻은 행렬이라 하자. ′은 2개

의 동일한 행을 가지므로 ′ 이다. 따라서 위의 결과에 의하여

′ ⋯

이다. 이므로 ⋯ 이다. ■

보기 3.12 행렬

라 하자.

det 이므로 는 역행렬을 갖고 정리 3.9에 의하여

adj

이다. ■

유제 3.7

라 할 때 다음을 구하라.

(1)

(2) adj (3) (도움말: adj 를 이용하여라.)

풀이 (1)

(2) adj

(3) adj

■

- 19 -

정리 3.10

가 한 개의 해를 가질 필요충분조건은 ≠이다. 이 경우 그 유일한 해는 다

음과 같다.

…

정리 3.11

동차 연립방정식 이 이 아닌 해를 가질 필요충분조건은

크라머 법칙 개의 미지수와 개의 1차방정식을 가진 를 생각하자. 는 정

방계수행렬이고 는 상수들의 열벡터이다. 를 의 째 열을 열벡터 로

치환하여 얻어진 행렬이라 하자. 더 나아가

det det det … det 이라고 하자. 행렬식과 와의 근본적인 관계는 다음과 같다.

증명 정리 3.9에 의해 adj 이다. 를 의 양변에 곱하면

adj (3)

가 된다. adj 의 째 행은 … 이다. 만약

… 이면 식 (3)에 의해

⋯

이다. 그런데 유제 3.6에 의해 ⋯ 이다. 따라서

이다. ■

위의 정리를 선형 연립방정식을 푸는 크라머 법칙(Cramer’s rule)이라고 한다. 여

기서 주의할 것은 선형 연립방정식이 같은 수의 미지수와 방정식을 포함하고 있어

야 한다는 것이다. 만약 이면 해의 존재성에 대해 아무 말도 할 수 없다. 단,

선형 연립방정식이 동차(homogeneous)일 때는 다음의 정리가 성립한다.

- 20 -

이다.

다음 1차 연립방정식을 행렬식을 이용하여 풀어라.

풀이

≠ 이므로 유일한 해를 갖는다.

이므로

, 즉 이다. ■

유제 3.8

을 행렬식을 사용하여 풀어라.

풀이

이다.

이므로

이다. ■

블록행렬과 행렬식

보기 3.13

- 21 -

정리 3.12

을 대각블록 … 을 가진 상(하)삼각블록행렬이라 하자. 그러면

det det det ⋯ det 이다.

증명 일 때만 증명하자(귀납법에 의해 쉽게 일반적인 증명이 가능하다).

가 정방행렬, 가 정방행렬, 가 정방행렬이라 하자. 이다.

정의에 의해

det ∈sgn ⋯

이다. 만약 이고 ≤ 이면 이다. 그러므로

과 같은 순열 만 살펴보면 된다. ≤ 에 대하여 라 하고 ≤ 에 대하여

이라 하자. 그러면

sgn ⋯ sgn ⋯ sgn ⋯ 이고 이것은 det det det임을 뜻한다. ■

보기 3.14 행렬

식 을 찾아라.

풀이 은 상삼각블록행렬이다. 각각의 대각블록의 행렬식을 계산하자.

,

, . ■

언급 ||

에서 가 모두 정방행렬이라 하자. 그러면 다음은 일반

- 22 -

정리 3.13

벡터공간 에서 와 를 선형연산이라 하자. 그러면

(ⅰ) det ∘ det det 이다.

(ⅱ) 가 가역적일 필요충분조건은 det ≠ 이다.

적으로 사실이 아니다.

.

유제 3.9

의 행렬식을 구하라.

풀이 는 하삼각블록행렬이므로 대각블록의 행렬식을 구하면 된다.

이므로 이다. ■

선형연산과 행렬식

유한차원 벡터공간 안의 한 선형연산 라 하자. 를 의 기저 에 대한 의

행렬 표현이라 하자. 그러면 의 행렬식 det 를 다음과 같이 정의한다.

det ≡ .만약 가 의 다른 기저 ′에 대한 의 행렬 표현이라 하면 와 는 유사행렬

(정리 6.7)이므로 이다(정리 3.7). 다른 말로 하면 위의 정의 det 는 어떤

특별한 의 기저 에 영향을 받지 않는다는 뜻이다(수학에서 이것을 잘 정의되어

있다고 말한다).

위에서 선형연산 를 다음과 같이 정의하고 를 의 기본 기저에 대한

의 표현 행렬이라 하자.

이고

보기 3.15

- 23 -

이므로 det 이다. ■

넓이와 부피로서의 행렬식

행렬식은 넓이, 부피와 다음과 같은 연관성을 가지고 있다. … 을

의 벡터들이라고 하자. 를 이 벡터들에 의해 정의되는 평행직다면체라고 하자.

즉

⋯ ≤ ≤ … .

( 일 때 에서 평행사변형이고 일 때 에서 평행직육면체이다. 그림

3-1) 를 의 부피라고 하자( 이면 의 넓이이다). 그러면

det 이다. 여기서 는 절댓값을 말하고 는 … 을 행으로 갖는 행렬이다.

일반적으로 일 필요충분조건은 … 이 선형 종속인 것이다.

그림 3-1

이라 하자. 이 3개의 벡터들로 만

들어지는 안의 평행직육면체의 부피 를 찾아라.

풀이

이므로 이다. ■

보기 3.16

3장 연습문제

1. 다음 행렬의 행렬식을 계산하라.

(1)

(2)

(3)

2. 다음을 계산하라.

(1)

(2)

(3)

3. 다음 행렬의 , adj 를 이용하여 를 구하라.

(1)

(2)

4.

을 행렬식을 사용하여 풀어라.

5.

를 행렬식을 사용하여 풀어라.

6. 가 직교행렬이라 하자. 즉 이다. det ±임을 증명하라.