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2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）
本试卷共 5 页，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合 A={ x||x|<2}，B={−1，0，1，2，3 }，则A B=¿（ ）。（A）{0,1 } （B）{0，1，2 }（C） {−1，0，1 } （D）{−1，0，1，2 } 【参考答案】C
【答案解析】集合 ，而 B={−1，0，1，2，3 }，因此可得，故选择 C。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（2）若 x,y 满足{2x− y<0 ,
x+ y<3 ,x>0 ,
，则 2x+y 的最大值为（ ）。（A）0 （B）3（C）4 （D）5【参考答案】C【答案解析】可行域如下图阴影部分，目标函数平移到如图虚线处取得最大值，对应的点为（1,2），故可得最大值为 2×1+2=4，选择 C。
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【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第四章《函数的值域、最值求法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（3）执行如图所示的程序框图，若输入的 a 值为 1，则输出的 k 值为（ ）。（A）1 （B）2（C）3 （D）4【参考答案】B【答案解析】开始 ；第一次循环 ；第二次循环 ；第三次循环 ，条件判断为“是”，跳出循环，此时 。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十三章《算法与统计》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（4）设 a,b 是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ ）。（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件【参考答案】D【答案解析】若|a|=|b|，则以|a|和|b|组成的平行四边形是菱形，而|a+b|和|a-b|分别表示菱形的对角线，而菱形的对角线是不一定相等的；反之，若|a+b|=|a-b|，那么以|a|和|b|组成的平行四边形为矩阵，而矩………………………………………………………………………………………………………………………………………………中小学教育网（www.g12e.com）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站
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阵的相邻的两条边也不一定相等，因此选择 D。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十五章 《常用逻辑语》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（5）已知 x,y∈R,且 x¿y¿o，则（ ）。（A） 1
x-1y>0 （B）sin x−sin y>0
（C）¿－ (12¿¿y<¿0 （D）lnx+lny¿0
【参考答案】C
【答案解析】因为 x¿y¿0，因此有 1x＜ 1
y，故） 1x -
1y＜0 ，因此 A 错误，而正弦函数在
(0，+∞)上不是单调的，所以 和 的大小是不能确定的，故 B 错误，而指数函数 在
(0，+∞)上是递减的，所以 ，故 ，因此 C正确，而 D 选项中的，它在(0，+∞)的正负是不确定的，故 D 错误。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第二章《函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）。（A） 1
6
（B） 13
（C） 12
（D）1
【参考答案】A
【答案解析】通过三视图可以得到下图所示的三棱锥，它的高为 ，底面积为 ，因此
可得体积为 。
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【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
(7)将函数 y=sin（2 x﹣ π3
）图像上的点 P（π4
，t ）向左平移 s（s 0﹥ ） 个单位长度得到点 P .′ 若 P′位于函数y=sin（2 x）的图像上，则（ ）。（A）t=1
2 ，s 的最小值为π6 （B）t=√32
，s 的最小值为π6 （C）t=
12
，s 的最小值为π3
（D）t=√32
，s 的最小值为π3
【参考答案】A
【答案解析】由题意 P′是 P（π4 ，t）向左平移 s，因此可得 ，它在 上，因此有
，而 P 在 ，故可得 ，通过这两个式子，可解得
，故选择 A。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 .甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 .重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ）。（A）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 （C）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多【参考答案】B
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【答案解析】取两个球往盒子中放有 种情况：①红+红，则乙盒中红球数加 个；②黑+黑，则丙盒中黑球数加 个；③红+黑（红球放入甲盒中），则乙盒中黑球数加 个；④黑+红（黑球放入甲盒中），则丙盒中红球数加 个．因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多，③和④的情况完全随机．③ 和④对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数没有任何影响．① 和②出现的次数是一样的，所以对 B 选项中的乙盒中的红球与丙盒中的黑球数的影响次数一样。综上，选 B，【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．（9）设 a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则 a=_______________。【参考答案】-1
【答案解析】 ，而它对应的点位于实轴上，因此可得 ，故 。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（10）在
(1−2x)6的展开式中，x2的系数为__________________.（用数字作答）
【参考答案】60
【答案解析】根据二项式定理可知， 的项为 ，因此系数为 60。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十六章《计数技巧》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（11）在极坐标系中，直线ρ cosθ−√3 ρsin θ−1=0与圆ρ=2cos θ交于 A，B 两点， 则 |AB|=____________________.【参考答案】2
【答案解析】将极坐标转化为直角坐标进行运算， ，则直线方程为：，圆的方程为： 也就是 ，转化为直角坐标系方程为：即 ，圆心为（1,0）正好在直线上，因此|AB|为直径，故|AB|=2。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十章《直线与圆》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
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（12）已知{an }为等差数列，Sn为其前 n 项和，若a1=6 ，a3+a5=0，则S6=¿¿.
【参考答案】6
【答案解析】 ， ，因此可得 。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第六章《数列》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（13）双曲线 x2
a2 −y2
b2 =1(a>0 ,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线
的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_______________.【参考答案】2【答案解析】不妨设 B 为双曲线的右焦点，A 在第一象限，则图像如下图，因为 OABC 为正方形，|OA|
=2，所以 ，又知 OA 为渐近线，故 ，而 ，根据这两个条件可得 。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（14）设函数f ( x )={x3−3 x， x＜a，−2x，x>a。
①若 a=0，则 f(x)的最大值为____________________； ②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_________________。【参考答案】①2；②【答案解析】由 可得 ，如下图所示，若 a=0，那么最大值为
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，通过图像可以知道当 时，有最大值为 ，因此若无最大值，则。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第五章《函数图像的画法及应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。三、解答题（共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）（15）（本小题 13 分）在 ABC 中，（I）求 的大小（II）求 的最大值
【参考答案】（1） ；（2）1。【答案解析】（1）
（2）
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所以 的最大值为 1。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第八章《三角函数》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（16）（本小题 13 分）A、B、C 三个班共有 100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）；A 班 6 6.5 7 7.5 8
B 班 6 7 8 9 10 11 12
C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5
（I） 试估计 C 班的学生人数；（II） 从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（III）再从 A、B、C 三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记 μ1 ，表格中数据的平均数记为 μ0 ，试判断 μ0 和μ1的大小，（结论不要求证明）【参考答案】（I）40；（II） ；（III） 。【答案解析】（I）因为 ，因此 C 班的学生人数为 40。
（II）在 A 班取到每个人的概率都是相同的，均为 ，设 A 班中取到第 i 个为事件 ，在 C
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班中取到第 j 个人为事件 ， 的概率为事件 D，则可得：
。（III） ，三组的平均数为 7，9，8.25，总均值 ，但 中多加了三个数 7，9，8.25，平均值为 8.08，比 小，故拉低了平均值。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（17）（本小题 14 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，PA PD ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,
（I）求证：PD 平面 PAB;
（II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；（III）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMll 平面 PCD?若存在，求 的值；若不存在，说明理由。
【参考答案】（I）略；（II） ；（III）存在， 。【答案解析】（I）
（II）取 中点为 ，连接 ，
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以 为原点，如图建立直角坐标系，可得 ，所以
设 为面 的法向量，设 ，因此有
故可得 。
（III）假设存在 M，使得 BM∥平面 PCD，设由（II）可知 ，因此 ， ，由 ，因此可得 ，
因为 BM∥平面 PCD，而 为面 的法向量，因此 ，即 ，因此可得 。
综上可得，存在这样的点 M，即当 时，M 为所求点。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十一章《立体几何》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（18）（本小题 13 分）设函数 ，曲线 在 处的切线方程为 ，（I）求 a、b 的值； (II) 求 f(x)的单调区间。【参考答案】（I） ；(II) 在 R 上递增，无减区间………………………………………………………………………………………………………………………………………………中小学教育网（www.g12e.com）依托人大附中教育资源，打造最专业的中小学辅导网站
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【答案解析】（I）而曲线 在 处的切线方程为 ，因此可得
也就是因此可得 。(II)由（I）可得 ，令 ，则
（－∞，2） 2 （2，+∞）－ 0 +
减 极小值 增的最小值为 ，所以 的最小值为 ，因此
在 R 上恒成立，所以 在 R 上递增，无减区间。【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第三章《函数的性质及其应用》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（19）（本小题 14 分）已知椭圆 C： （a>b>0）的离心率为 ，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB 的面积为 1.
（I）求椭圆 C 的方程；(I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y轴交于点 M，直线 PB 与 x轴交于点 N。求证： 为定值。
【参考答案】（I） ；(II)证明略。【答案解析】（I）由已知可得 ，而在椭圆中满足 ，因此可得 ，故椭圆
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C 的方程为 。
(II)设椭圆上一点 ，直线 PA： ，令 可得 ，所
以
直线 PB： ，令 可得 ，所
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十二章《圆锥曲线的方程与性质》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。（20）（本小题 13 分） 设数列 A： ， ,… (N≥2)。如果对小于 n(2≤n≤N)的每个正整数 k都有 ＜ ，则称 n 是数列A 的一个“G 时刻”。记“G（A）是数列 A 的所有“G 时刻”组成的集合。（I）对数列 A：-2，2，-1，1，3，写出 G（A）的所有元素；(II)证明：若数列 A 中存在 使得 > ，则 G（A） ；(III）证明：若数列 A 满足 - ≤1（n=2,3, …,N）,则 G（A）的元素个数不小于 - 。【参考答案】（I） ；(II)略；(III）略。【答案解析】（I） 。
(II)因为存在 ，设数列 中第一个大于 的项为 ，则 ，其中。
(III）证：设数列 的所有“ 时刻”为 ，对于第一个“ 时刻” 有 ，因此有 ；对于第二个“ 时刻” 有 ，因此有 ；
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类似的有 ，于是有对于 ，若 ，则 ，若 ，则 ，否则有(II)可知， 中存
在“ 时刻”，这与只有 个“ 时刻”矛盾，从而可得。
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