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Table des matieres

Table des matieres 1

Introduction 2

1 Operateurs non lineaires monotones 4

1.1 Notations et definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 Continuite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Operateurs monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Operateurs bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Operateurs compacts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Operateurs quasi-monotones et pseudo-monotones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Classes (S), (S+), (S0) et (M) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.5 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Structures du cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3 Classification perturbee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.6 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.1 Exemple 1 (Operateur sans terme dorde inferieur) . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6.2 Exemple 2 (Operateur avec terme dorde inferieur) . . . . . . . . . . . . . . . 16

Bibliographie 19

1

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Introduction generale

On developpe dans ce cours quelques methodes de resolution des problemes aux limites pour des

equations aux derivees partielles non lineaires. Tout en commencant dabord par une classification

des operateurs non lineaires monotones et apres on passe a etudier des exemples dapplication sur

trois types dequations aux derivees partielles non lineaires de second ordre :

1. Equations elliptiques non lineaires.

2. Equations paraboliques non lineaires.

3. Equations hyperboliques non lineaires.

Les equations etudiees ici (et qui sont nullement exhaustives) sont introduites a partir dexemplesconcrets. Les etapes de base dans la resolution de ces equations sont :

1. Formulation du probleme pour degager le cdre fonctionnel dans on cherche une eventuelle

solution.

2. Utilisation dun theoreme dexistence (si cest possible).

3. Lobtention destimations a priori (lorsquun probleme approche est utilise).

4. Lutilisation de ces estimation.

Il nya pas pour linstant, aucune methode generale dobtention destimations a priori (faute, en

particulier, de pouvoir utiliser la transformation de Fourier dans les problemes non lineaires).

Les estimations a priori les plus simples proviennent de lorigine physique des problemes. Pour des

estimations supplementaires on peut multiplier les equations par des expressions non lineaires en

les inconnues. De facon generale, on trouve tres peu destimations a priori dans les prooblemes non

lineaires. Cette difficulte est egalement liee au choix du cadre fonctionnel ou lon esaie de resoudre le

probleme ce qui est donc absolument crucial. Une fois choisi le cadre fonctionnel, il faut utiliser les

estimations pour resoudre le probleme. Nous distinguons en general les methodes suivantes :

1. Methode de compacite : On construit les solutions approchees par reduction a la dimension

2

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3 TABLE DES MATIERES

finie, par exemple par la methode de Galerkin (cas stationnaire) ou de Faedo-Galerkin (cas

devolution) ; on obtient alors lexistence des slotions approchees par utilisation :

(a) Dun theoreme du point fixe (dans le cas stationnaire)

(b) Dun theoreme dexistence de solution dun systeme dequations differentielles

(c) Dun theoreme dexistence (du cas variationnel par exemple).

On passe ensuite a la limite sur la dimension, en ayant ici a surmonter une difficulty essentially :

Les operateurs non lineaires rencontres ne sont pas en general faiblement continus et il faut donc

en general demontrer que la famille des solutions approaches est compacta dans une topologie

convenable pour la quelle loperateur est continu. Les outils dona ici sont les theoremes de

compacite.

2. Methode de monotonie : Lorsque loperateur a des proprietes de monotonie, on peut passer

a la limite sur la dimension aves des estimations a priori moins fortes que celles necessaires

dans la methode de compacite. Ainsi la methode de monotonie, lorsquelle est applicable, est

dutilisation plus facile que la methode de compacite.

3. Methods de regularisation : Dans les methodes precedentes, on obtient de la meme maniere ls

solutions approchees, puis on passe a la limite soit par compacite, soit par monotonie (ou par

melange des deux). Dans les methods 3), 4) et 5) on change la methode dapproximation. Dans

3), on regularise les equations, en les approchants par des equations meilleures deja resolues.

Evidemment, on rencontre ici une autre difficulte essentially des problemes non lineaires :

Leur extreme tendance a linstabilite, il faut donc prendre garde a bien choisir les termes de

regularization.

4. Methode de penalization : Cette methode (issue des calculs des variations) est liee a la methode

de regularization et elle consiste a approcher les inequations variationnelles par des equations

(non lineaires) de caractere plus classique et deja resolues par dautres methods. Cette methode

est egalement utile dans la resolution de problemes devolution dans des ouverts non cylin-

driques.

5. Methode iteratives dapproximation : Est surtout issue de lanalyse numerique. Citons :

(a) La methode de Newton : Le choix des spaces etant ici encore absolument fondamental.

(b) La methode de discretisation (differences finies, elements finis, volumes finis).

(c) La methode de decomposition.

Dans ce cours on se restreint a des exemples dequations elliptiques, paraboliques et hyperboliques

non lineaires du second ordre (generes par des operateurs de type Leray-Lions).

EDPs Non linaires Prof. E. AZROUL, Fac.Sc Dhar-Mahraz, Fes Maroc.

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Chapitre 1

Operateurs non lineaires monotones

1.1 Notations et definitions

Dans tout ce chapitre, on note par X un espace de Banach reel reflexif et par X son dual

topologique.

Pour tout u X et tout f X, la notation f(u) designe le produit de dualite f, u entre X et X.De plus, on suppose dans tout ce qui suit que T est operateur defini de lespace X tout entier vers

son dual topologique X.

Le symbole de convergence designe la convergence forte dans X (resp. X) et designe celui dela convergence faible dans X (resp. X).

1.1.1 Continuite

Definition 1 On dit que T est continue en u X, si pour toute suite (un) delements de X on a :un u dans X implique que T(un) T(u) dans X.

Definition 2 On dit que T est demi-continu en u X, si pour toute suite (un) delements de Xon a : un u dans X implique que T(un) T(u) dans X.

Definition 3 On dit que T est faiblement continu en u X, si pour toute suite (un) delements deX on a : un u dans X implique que T(un) T(u) dans X

.

Definition 4 On dit que T est hemi-continu sur X, si pour tout u, v X et toute suite de reels

(tn) on a T(u + tnv) T(u) dans X

lorsque tn O+

.

Remarque 1 (Lien avec la methode de Galerkin)

4

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5 Chapitre 1. Operateurs non lineaires monotones

Lorsque la methode de Galerkin est utilisee, la demi-continuite de loperateur en question T est

forte, il suffit que T soit hemi-continu ou quil soit continu sur tout sous-espace de dimension finie

de X.

1.1.2 Operateurs monotones

Definition 5 On dit que T est :

1. Monotone, si pour tout u, v X on a T(u) T(v), u v 0.2. Strictement monotone, si pour tout u = v X on a T(u) T(v), u v > 0.

Ces deux classes sont notees respectivement (M ON) et (M ON)s

Definition 6 On dit que T est fortement monotone sil existe une fonction continue, strictement

monotone g : [0, +) [0, +) avec g(0) = 0 telle que : T(u) T(v), u v g(u v)u vpour tout u, v X.Cette classe est notee par (M ON)f

1.1.3 Operateurs bornes

Definition 7 On dit que T est borne sil transforme tout borne de X en un borne de X,

autrement dit : si uX C1, alors il existe C2 > 0 telle que T(u)X C2.Cette classe est notee par (B).

Definition 8 On dit que T est quasi-borne si : uX C1 et |T u , u| C2, alors il existe C3 > 0telle queT(u)X C3.Cette classe est notee par (QB).

Definition 9 On dit que T est locallement borne si pour tout u X, il existe un voisinage Ude utel que T(U) est un borne de X.

Cette classe est notee par (LocB).

1.2 Operateurs compacts

Definition 10 On dit que T est compact si pour tout borne A de X, T(A) est relativement

compact dans X.


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On note par (COMP) la classe des operateurs compacts et par (LCOMP) celle des operateurs

lineaires compacts.

Proposition 1 1. Si T (COMP), alors un u T(un), un u 0

et donc (COMP) (QM).2. SiT (LCOMP), alors un u T(un) T(u)

et donc (LCOMP) (P M).

Demonstration (en exercice)

1.3 Operateurs quasi-monotones et pseudo-monotones

Definition 11 On dit que T est quasi-monotone si pour toute suite (un) dans X on a : un u

dans X implique que limsupT(un) T(u), un u 0.Cette classe est notee par (QM).

Remarque 2 (autre definition)

La quasimonotonie peut encore secrire sous la forme :

T (QM) si un u dans X implique limsupT(un), un u 0.Et donc, T (QM) si et seulement si un u dans X et limsupT(un), un u 0 impliquent quelimT(un), un u = 0.

Definition 12 On dit que T est pseudo-monotone si pour toute suite (un) dans X telle que un u

dans X et lim supT(un), un u 0, on a : T(un) T(u) dans X et T(un), un T(u), u.Cette classe est notee par (P M).

Proposition 2 (P.M par Brezis)

T (P M) si et seulement si pour toute suite (un) dans X telle que un u dans X etlim supT(un), un u 0, on a liminfT(un), un v T(u), u v pour tout v X.On note par (P M)B la classe des operateurs qui verifient lassertion du cote droit de la proposition.

Demonstration

Soit (un)

X telle que un u et lim sup

T(un), un

u

0.

1) ].La pseudo-monotonie de T implique que lim infT(un), un v = limT(un), un v = T(u), u vpour tout v X. Et donc (P M) (P M)B.


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2)].Puisque T (P M)B , alors lim infT(un), un v T(u), u v pour tout v X et pour v = u, onaura lim infT(un), un u 0, ce qui donne

limT(un), un u = 0.Dautre part, pour tout v X, on peut ecrirelim infT(un), u v = lim inf (T(un), un v + T(un), u un)= lim infT(un), un v T(u), u vDou en prenant z = u v pour tout v X on aura lim infT(un), z T(u), z ce qui impliqueque limT(un), z T(u), z pour tout z X. Et donc

T(un) T(u) dans X

De plus, on a limT(un), un = limT(un), un u + limT(un), u = T(u), u et par suite(P M)B (P M).

1.4 Classes (S), (S+), (S0) et (M)

Definition 13 On dit que T est de classe (S+) si pour toute suite (un) dans X telle que un u

dans X et lim supT(un), un u 0, on a : T(un) T(u) dans X.

Definition 14 On dit que T est de classe (M) si pour toute suite (un) dans X telle que un udans X, T(un) dans X

et lim supT(un), un , u, on a : T(u) = .

Definition 15 On dit que T est de classe (S) si pour toute suite (un) dans X telle que un u

dans X et lim supT(un), un u = 0, on a un u dans X.

Definition 16 On dit que T est de classe (S0) si pour toute suite (un) dans X telle que un u

dans X, T(un) dans X et lim supT(un), un = , u, on a : un u dans X.

Remarque 3 1. Il est clair que (P M) (M).2. La classe (M) est utlisee lorsque lexistence dune la solution est basee sur la methode de

Galerkin.

Proposition 3 1. Si T (P M) et locallement borne, alors T est demi-continu.2. SiT est demi-continu, alors il est locallement borne.


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3. SiT est monotone, alors il est locallement borne.

Demonstration

La preuve de 1) et 2) a faire en exercice.

3) Supposons quil existe u0 X ou T nest pas locallement borne. Considerons T(u) = T(u + u0).On peut supposer que u0 = 0.

T nest locallement borne en u0 = 0 implique quil existe une suite (xn) dans X telle que : xn 0dans X, mais T(xn) . Dapres la monotonie de T, on a T(xn) T(u), xn u 0 etT(xn) T(u), xn + u 0 pour tout u X. Donc

0 T(xn), xn T(xn), u T(u), xn u0 T(xn), xn + T(xn), u T(u), xn + u

Dou, |T(xn), u| T(xn).xn + T(u).xn u|T(xn), u| T(xn).xn + T(u).xn + u .

Notons wn =T(xn)

1 + T(xn).xn . On observe que sup |wn, u| < pour tout u X (carT(xn) ). Par vertu du theoreme de Banach-Steinhaus, on deduit quil existe une constanteM > 0 telle que wn M pour tout n.Par suite, on a : Mxn 1

2pour n assez grand (car xn 0) et

T(xn)

=

wn

(1 +

T(xn)

.

xn

)

M(1 +

T(xn)

.

xn

)

M +1

2T(xn)

ce qui est absurde puisque T(xn) .

Proposition 4 1. Si T est faiblement continu, alors T (M).2. SiT (M ON) et T est hemicontinu, alors T (P M).

Demonstration

La preuve de 1) est a faire en exercice.

2) Soit (un) dans X telle que un u dans X et lim supT(un), un u 0. Par monotonie de T, onpeut ecrire 0 lim supT(un) T(u), un u 0, donc limT(un), un u = limT(u), un u = 0.Soient v X, t ]0, 1] et w = (1 t)u + tv. On 0 T(un) T(w), un w ce qui implique que,tT(un), u v T(un), un u + T(w), un u tT(w), v u.Donc, t lim infT(un), u v tT(w), u v. Divisons par t et faisons tendre t vers 0+, on obtientpar hemicontinuite lim infT(un), u v T(u), u v. Dou

lim infT(un), un v = lim inf (T(un), un u + T(un), u v) T(u), u v pour tout v Xqui est la pseudo-monotonie de T.


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1.5 Classification

Dans tout ce qui suit on suppose que les operateurs en question sont demi-continus.

1.5.1 Structures du cone

Definition 17 On dit qune classe doperateurs (C) verifie la structure du cone si les deux

proprietes suivantes sont satisfaites :

1. T1 + T2 (C) pour tout T1, T2 (C).2. T (C) pour tout T (C) et tout > 0.

Proposition 5 Les classes (P M), (QM), (S+) et (M) verifient la structure du cone.

Demonstration

On demontre la propriete pour la classe (P M) et le meme argument sapplique pour les autres

classes.

Soient T1, T2 (P M) et > 0.Soit (un) dans X telle que un u dans X et lim supT(un), un u 0 ou T = T1 + T2.Dabord, on montre que lim supTi(un), un u 0 pour i = 1, 2. En effet, supposons par exempleque lim supT1(un), un u = d > 0. Prenons une sous-suite notee encore (un) telle quelimT1(un), un u = d. Donc, pour cette sous-suite, on aura lim supT2(un), un u d < 0.Comme T2 (P M), on obtient T2(un) T2(u) et T2(un), un T2(u), u. DoulimT2(un), un u = 0 ce qui est absurde.

Dautre part, la pseudo-monotonie de T donne T(un) T(u) et T un), un T(u), u, ce quiimplique que T(un) T(u) et

T(un), un

T(u), u

.

Proposition 6 la classe (M) ne verifie pas la structure du cone.

Demonstration

On montre quil existe deux operateurs T1 et T2 dans la classe (M), mais T1 + T2 nest pas dans(M). En effet, soit H un espace de Hilbert reel muni dune base orthonormee (en). et soit Ilidentite de

Het soit T un operateur defini sur

Hpar : T(u) =

u

1 + u.

Il est facile de verifier que T et I sont dans la classe (M).Dautre part, on affirme que S = T I nest pas un element de (M). En effet, soitun = e1 + en e1 = u.


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On a S(un) =un

1 + un + (un) =e1 + en

1 + e1 + en (e1 + en) =

1

1 +

2 1

(e1 + en)

21 +

2

e1 = .

Et

lim supS(un), un = 21 +

2

(e1 + en), e1 + en = 21 +

2e1 + en2 = 22

1 +

2< 2

1 +

2= , u.

Mais, S(u) =e1

1 + e1 =e1

2= =

2

1 +

2

e1. Donc, S nest pas dans la classe (M).

1.5.2 Classification

Proposition 7 (M ON)f (S+) (P M) (QM).

Demonstration

1. Il est facile de voir que (M ON)f (S+).2. Montrons que (S+) (P M). Soient T (S+) et (un) X telle que un u dans X et

lim supT(un), un u 0 dans X.Comme T (S+), on a un u et par la demi-continuite on aura T(un) T(u) et doncT(un), un T(u), u, par suite T (P M).

3. Montrons que (P M) (QM). En effet, soit (un) X telle que un u dans X. Prouvons quelim supT(un), un u 0. Sinon, on aura lim supT(un), un u < 0 et parpseudo-monotonie de T, on peut ecrire T(un) T(u) et T(un), un T(u), u, ce quiimplique que limT(un), un u = 0 ce qui est absurde. Donc T (QM).

Proposition 8 (QM)b (M)b = (P M)b.

Demonstration Dabord, puisque (P M) (QM)(P M) (M) , alors (QM)b (M)b (P M)b. Donc, si onmontre que tout T (QM)b (M)b est dans (P M), lassertion est prouvee.Soit alors T (QM)b (M)b et soit (un) X telle que un u dans X et

(1.0) lim s upT(un), un u 0

dans X. Par vertue de T (QM) et (1.0), on aura limT(un), un u = 0. Or T est borne, donc

T(un) dans X (pour une sous-suite) et par suite

limT(un), un = limT(un), u = , u.


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De plus, T (M), ce qui donne T(u) = . Dou (1.1) T(un) T(u)T(un), un T(u), u , pour une

sous-suite. Et par un raisonnement de contradiction standard, on montre que le resultat (1.1) reste

vrai pour toute la suite (un).

Resume On peut resume la classification des classes doperateurs monotones dans la proposition

suivante :

Proposition 9 1. (M ON)f (S+) (P M) (QM)2. (LIN)b (W C) (M)3. (LCOMP) (COMP) (QM)4. (LCOMP) (LIN)b (W C) (M)5. (M ON) (P M) (M)

Demonstration (en exercice)

1.5.3 Classification perturbee

Proposition 10 1. (S+) + (QM) = (S+)

2. SiT est demi-continu et (T + S) (S+) pour tout S (S+), alors T (QM).Demonstration

1. Soit S (S+) et T (QM) et soit (un) X telle que un u dans X etlim supT(un) + S(un), un u 0 dans X. Montrons que un u dans X.Comme T (QM), on peut ecrire lim infT(un), un u 0. Par suite,lim supS(un), un u 0 et donc un u (puisque S (S+)).

2. Supposons que T est demi-continu avec T + S (S+) pour tout S (S+).Soit (un) X telle que un u dans X. Montrons que lim supT(un), un u 0. En effet,supposons le contraire, i.e. lim supT(un), un u = q < 0.On peut ecrire limT(un), un u = q < 0 (pour une sous-suite si cest necessaire).Soit S (S+)b. On a S (S+) pour tout > 0, ce qui implique que T + S (S+). Or(S+) (QM), donc lim sup(T + S)(un), un u 0, i.e.

(

) 0

lim sup

S(un), un

u

+ q.

Comme S est borne, lexpression du cote droit de linegalite () ne peut pas rester positifpour tout > 0, donc on peut choisir tel que lim supS(un), un u + q < 0, ce qui estabsurde. Dou T (QM).


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Remarque 4 Puisque (COMP) (QM), alors (S+) + (COMP) = (S+).

1.6 Exemples

1.6.1 Exemple 1 (Operateur sans terme dorde inferieur)

Soient un ouvert borne de RN(N 2 et {gi, 1 i N} une famille de fonctions de C1(R,R) etsoit f une fonction definie et continue sur .

Considerons loperateur differentiel A1 defini par :

(1.3) A1u(x) =

N

i=1

xi giu(x)

xi .Le probleme classique de Dirichlet associe a A1 est :

(D)

u C2() C0() .

A(u) = f dans

u = 0 sur .

Soit v C10(). La formule de Green permet decrire :

(1.4)Ni=1

gi (Diu(x)) Div(x)dx =

f(x)v(x)dx.

Donc, la solution classique u de (D) satisfait lidentite integrale (1.4) pour tout v C10().Etudions les conditions generales sur u, gi, f et v pour lesquelles lidentie (1.4) a un sens.

Supposons que les fonctions gi sont continues et satisfont les conditions de croissances suivantes :

(H1) |gi(t)| C0

1 + |t|p1,pour tout t

R, tout 1

i

N et pour un certain p

]1, +

[ et que

(H2) f Lp().On affirme facillement de lidentite integrale (1.4) est verifiee pour tout u, v W1,p0 () (a verifier).Ainsi, on est amene a donner la definition suivante dune solution faible du probleme (D).

Definition 18 u W1,p0 () est dite solution faible du probleme de Dirichlet avec conditions auxlimites (D) si,

(W.D)

u W1,p

0 () .Ni=1

gi (Diu(x)) Div(x)dx =

f(x)v(x)dx, v W1,p0 ()


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De plus,dapres les conditions de croissances (H1), on affirme que la forme de Dirichlet semi-lineaire,

(1.5) a(u, v) =Ni=1

gi (Diu(x)) Div(x)dx

est bien definie et est bornee dans W1,p0 () (a verifier), donc elle induit une fonctionnelle non

lineaire bornee T de W1,p0 () dans son dual W1,p() definie par :

T(u), v = a(u, v), u, v W1,p0 ().

Comme Lp

() W1,p(), legalite (W.D) correspond a lequation,

(P) T(u) = f,

ou f W1,p().

Proposition 11 Supposons que lhypothese (H1) est satisfaite. Alors T est continue.

Demonstration

Soit (un) une suite delements de W1,p0 () telle que un u dans W1,p0 (). Montrons que

T(un) t(u) dans W1,p(). En effet, linegalite du Hlder permet decrire,

T(un) T(u)1,p = supv1,p1 |T(un) T(u), v| Ni=1

gi(Diun) gi(Diu)p.

Il suffit de prouver que gi(Diun) gi(Diu) dans Lp() pour tout 1 i N. En effet, puisqueDiun Diu dans Lp() pour tout 1 i N, alors il existe hi Lp() telle que (pour unesous-suite) on a : |Diun(x)| hi(x), x Diun(x) Diu(x) p.p x .Or les fonctions gi sont supposees continues sur , donc

(gi(Diun(x))))p

(gi(Diu(x))))

pp.p x

et par vertue de (H1), on aura

|gi(Diun(x))|p C(1 + hi(x)p)

pour p.p. x et pour une certaine constante C > 0.Dou le theoreme de convergence dominee de Lebesgue permet decrire (pour une sous-suite) :

gi(Diun) gi(Diu) dans Lp()

et on a la meme convergence pour la suite initiale (par un raisonnement standard de contradiction).

Donc T est continue de W1,p0 () vers W1,p().

Maintenant, on passe aux conditions qui permettent a T detre monotone.


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Remarque 5 Si on suppose la condition de monotonie suivante :

(H3)l (gi(t) gi(s)) (t s) 0

pour tout t, s R et tout 1 i N, alors T est monotome et puisque il est continue (par (H1)), ilest donc pseudo-monotone.

Dou, (H1) + (H3)l T (P M).

Introduisons maintenant la monotonie stricte :

(H3)s (gi(t) gi(s)) (t s) > 0

pour tout t = s R et tout 1 i N et la condition de coercivite :

(H4) gi(t)t C1|t|p C2pour tout t R, tout 1 i N et ou C1 et C2 sont deux constantes strictement positives.

Remarque 6 Si (H3)s) est satisfaite, alors T est strictement monotone.

Proposition 12 Si (H1), (H3)s) et (H4) sont satisfaites, alors T est de classe (S+).

Demonstartion

Soit (un) W1,p0 () telle que

(1.6)

un u dans W1,p0 ()

lim supT(un), un u 0.

Montrons que un u dans W1,p0 ().

Dapres linjection compacte W

1,p

0 () Lp

(), on peut ecrire (pour une sous-suite)

(1.7)

un u dans Lp()

un(x) u(x) p.p. dans .

Dapres (1.6), on a

lim sup

Ni=1

(gi(Diun(x)) gi(Diu(x)))(Diun(x) Diu(x)) dx 0.

Donc, (H2)s

implique :

(gi(Diun(x)) gi(Diu(x)))(Diun(x) Diu(x)) 0 p.p. dans ,

pour tout i {1,...,N}.


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Lemme 1 Si (tk) est une suite reelle telle que (gi(tk) gi(s)) (tk s) 0 quand k , alorstk s quand k .

Par consequent, on a

(R1) Diun(x) Diun(x) p.p dans .

Or dapres ce qui precede, T (P M), donc T(un) T(u)T(un), un T(u), u,ce qui implique que

(1.8) lim

Ni=1

gi(Diun(x))Diun(x)dx =

Ni=1

gi(Diu(x))Diu(x)dx.

Notons fn =Ni=1

gi(Diun(x))Diun(x) + C2.

Dabord, dapres lhypothese (H4) on a fn 0 et dapres (1.8) on peut ecrire

fn1 f1fn(x) f(x) p.p dans ,

ou f =Ni=1

gi(Diu(x))Diu(x) + C2

Lemme 2 (E. Hewitt et K. Stromberg)

Si (fn) est une suite delements de L1() telle que

fn 0

fn

1

f

1

fn(x) f(x) p.p dans ,

alors fn f dans L1()

Par utilisation du lemme ci-dessus, on deduit que

fn f dans L1().

Par consequent, on aura le resultat de convergence suivant :

(1.9)Ni=1

gi(Diun)Diun Ni=1

gi(Diu)Diu dans L1().


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Dou il existe un element h de L1() tel que pour une sous-suite on aura :

Ni=1

gi(Diun(x))Diun(x) h(x) p.p dans .

Or, lhypothese (H4) et (1.9) permettent decrire

(1.10) C1

Ni=1

|Diun(x)|p C2 + h(x) p.p dans ,

et donc, le theoreme de convergence dominee de Lebesgue donne (pour une sous-suite) :

(1.11) Diun Diu dans Lp() pour tout i {1,...,N}.

Par le raisonnement de contradiction standard, on montre que (1.11) reste vrai pour pour la suite

(un) toute entiere et par suite,un u dans W1,p0 ().

Remarque 7 Il faut bien noter que le resultat :

(R1) Diun(x) Diun(x) p.p dans

est obtenu en utilisant uniquement (H1) et (H3)s.

1.6.2 Exemple 2 (Operateur avec terme dorde inferieur)

On considere le meme operateur A1 defini par (1.3) augmente dun terme dordre inferieur A0,

c-a-d, on considere loperateur

(1.12) A(u) = A1(u) + A0(u)

avec

A1u(x) = Ni=1

xi

giu(x)xi

et

A0(u) = g0(u(x)).

ou les fonctions gi pour i {1,...,N} verifient les memes hypotheses comme dans lexemple 1 et lafonction g0 est continue de R dans R. Par vertue des injections dans les espaces de Sobolev, on va

supposer que g0 satisfait les conditions de croissance suivantes :

(B1)

|g0(t)| C0(1 + |t|q1) t R, 1 < q < Np

Np si p < Nq (1, +) si p = N

q quelconque si p > N.


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Donc, on peut definir la fonctionnelle S associee a gO de W1,P0 () vers son dual par :

S(u), v =

g0(u(x))v(x)dx, u, v W1,p0 ().

Proposition 13 Si lhypothese (B1) est satisfaite, alors S est continue.

Demonstration

On demontre que S est compacte est completement continue.

Considerons le cas p < N, 1 < q

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