edpn

8/17/2019 edpn

1/31

Mitjans homogenis i termes font

• u(x, t) temperatura en x en l’instant t ⇒ equació delcalor 1d:

∂u(x, t)∂t

= κ∂ 2u(x, t)

∂x2 + f (x, t),

x ∈ (a, b), t ∈ (0, t1) (t1 potser +∞) i:

cond. de frontera: u(a, t) = u(b, t) = 0, t ∈ (0, t1)

cond. inicials: u(x, 0) = u0(x), x ∈ (a, b).

• κ > 0 difusivitat termal del mitjà homogeni.

• f (x, t) modela font de calor variable.

• EDP lineal parabòlica

• Procés de transferència de temperatura de parts calentes

a les més gelades– Distribució inicial de temperatura u0(x).

– “Parets” (a, b) “refredants” instantanis.

1

8/17/2019 edpn

2/31

a b

0

t

x

T

inicial

condicio

frontera

condicio

frontera

condicio

la solucio

aci

cal trobar

Domini per a l’equació del calor unidimensional

Difusivitat variable

• Mitjà no homogeni (κ(x) variable):

∂u(x, t)∂t

= ∂ ∂x

κ(x)∂u(x, t)

∂x + f (x, t),

• Equació anterior és cas particular quan κ(x) constant.

2

8/17/2019 edpn

3/31

Estat estacionari

• Estat estacionari de u(x, t), u∞ verifica:

limt→∞

u(x, t) = u∞(x).

• Sota hipòtesi favorables de convergència (uniforme, perexemple),

limt→∞

∂u(x, t)

∂t =0

= κ∂ 2 limt→∞ u(x, t)

∂x2 + f (x)

⇒ 0 = κ∂ 2u∞(x)

∂x2 + f (x)

• Equivalent a equació de Poisson:

−∂ 2u(x)

∂x2 = f (x)

κ .

• EDP el.líptica lineal amb coeficients constants.

3

8/17/2019 edpn

4/31

Estat estacionari

• Estat estacionari general:

− ∂

∂x

κ(x)

∂u(x)

∂x

= f (x),

u(a) = u(b) = 0.

• Equació el.líptica lineal, amb coeficients no constants

• Cas anterior és cas particular d’aquest.

• Nota: denotarem derivades parcials amb subíndex ⇒

− (κ(x)ux(x))x = f (x),

4

8/17/2019 edpn

5/31

Discretització d’EDP

• Solució exacta sols en casos favorables (1d, coef.constants, condicions de frontera periòdiques) ⇒necessitem mètodes numèrics.

• Primer pas: “discretitzar” possible solució, seleccionar

quantitat finita d’informació a partir de la qual es pugaaproximar la solució buscada. En el cas anterior:

– Substituïm u per ui ≈ u(a + ih) (i = 0, . . . , n + 1,h = (b − a)/(n + 1)).

– xi = a + ih, (i = 0, . . . , n + 1) malla equiespaiada per

a [a, b], n punts al interior i x0 = a, xn+1 = b.– condicions de frontera ⇒ u0 = un+1 = 0.

5

8/17/2019 edpn

6/31


• Segon pas: trobar condicions sobre u(a + ih)(i = 1, . . . , n) que es dedueixen de l’EDP i lescondicions de frontera.

• Aquestes equacions “aproximacio” de l’EDP originalse solen obtenir substituint ∂ per diferències finites).

• Emprarem diferenciació numèrica:

u(x) = u(x + h) − u(x)

h

+ O(h)

u(x) = u(x) − u(x− h)

h + O(h)

u(x) = u(x + h) − 2u(x) + u(x− h)

h2 + O(h2)

• Dues primeres de primer ordre(error = O(h)); l’última

de segon ordre (error = O(h2)).

• Equació discretitzada s’obté substituint u(a + ih) pelsui (a determinar) i l’aproximació per igualtat.

6

8/17/2019 edpn

7/31


• Exemple: trobarem una discretització (no és única) del’equació de Poisson

−uxx = f (x), x ∈ (0, 1),

• Malla computacional: xi = ih, i = 0, . . . , n + 1,

h = 1/(n + 1)

• Aproximem:

uxx(xi) ≈ u(xi + h) − 2u(xi) + u(xi − h)

h2

= u(xi+1) − 2u(xi) + u(xi−1)

h2

.

• Substitució en equació de Poisson (per a x = xi):

−u(xi+1) + 2u(xi) − u(xi−1)

h2 ≈ f (xi),

• Discretització en diferències finites de l’equació de

Poisson:−ui+1 + 2ui − ui−1

h2 = f (xi), i = 1, . . . , n ,

ui ≈ u(xi).

7

8/17/2019 edpn

8/31


• Sistema lineal de n equacions amb n incògnitesu1, . . . , un.

• En general caldria passar els valors de u0 i un+1 alsegon membre.

• Forma matricial:

1

h2

2 −1 0 . . . 0−1 2 −1 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 −1 2 −1

0 . . . 0 −1 2

u1····

un

=

f (x1)····

f (xn)

• Matriu simètrica, diagonals -1,0,1 úniques = 0.

8

8/17/2019 edpn

9/31

8/17/2019 edpn

10/31


• Forma matricial:

h−2

κ0 + κ1 −κ1 0 . . . 0−

κ1 κ1 + κ2 −

κ2 0 . . . 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 0 −κn−2 κn−2 + κn−1 −κn−1

0 . . . 0 −κn−1 κn−1 + κn

u1·

·

·

·

un

=

f (x1)·

·

·

·

f (xn)

• Matriu simètrica, diagonals -1,0,1 úniques = 0, però noconstants quan κ no constant.

• Idèntica a matriu de Poisson quan κ(x) = 1.

10

8/17/2019 edpn

11/31

• Proposició: matriu anterior, κi > 0, és definidapositiva.

• Prova: denotem

B =

−1 1 0 . . . 00 −1 1 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 0 −1 10 . . . 0 0 −1

K =

κ1 0 0 . . . 00 κ2 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

0 . . . 0 κn−1 00 . . . 0 0 κn

E =

κ0 0 0 . . . 00 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 0 00 . . . 0 0 0

⇒ A = BT KB + E.

11

8/17/2019 edpn

12/31

• Siga x ∈ Rn, calculem

xT Ax = xT (BT KB + E )x = xT BT KBx + xT Ex

= (Bx)T K ( Bx

=y) + κ0x

21 = y

T Ky + κ0x21

=n

i=1

κiy2i + κ0x

21.

• κi > 0 ⇒

1. xT Ax ≥ 0, ∀x.

2. xT

Ax = 0 ⇔yi = 0, i = 1, . . . , n i x1 = 0 ⇔x1 = · · · = xn i x1 = 0 ⇔x1 = · · · = xn = 0

• ⇒ A definida positiva

• Corol.lari: matriu d’equació de Poisson definidapositiva.

12

8/17/2019 edpn

13/31

Mitjans homogenis i termes font

• u(x,y,t) ≡ temperatura en (x, y) ∈ Ω en instant t

• Equació del calor 2D

∂u(x,y,t)

∂t = κ

∂ 2u(x,y,t)

∂x2 + κ

∂ 2u(x,y,t)

∂y2 + f (x,y,t),

(x, y) ∈ Ω = (a, b) × (c, d), t ∈ (0, t1)

cond. frontera u(x,y,t) = 0, (x,y,t) ∈ ∂ Ω × (0, t1).

cond. inic. u(x,y, 0) = u0(x, y), (x, y) ∈ Ω,temperatura inicial.

• f (x,y,t) ≡ font de calor.

• Amb notació habitual ∆u = uxx + uyy:ut(x,y,t) = κ∆u(x,y,t) + f (x,y,t),

13

8/17/2019 edpn

14/31


• Quan κ variable:

∂u(x,y,t)

∂t =

∂

∂x

κ(x, y)

∂u(x,y,t)

∂x

+ ∂

∂y

κ(x, y)

∂u(x,y,t)

∂y

+ f (x,y,t).

• Anterior cas particular quan κ(x, y) constant.

14

8/17/2019 edpn

15/31

Estat estacionari

• Anàlogament a 1D, estat estacionari ⇒ ut = 0:

0 = κ ∂

∂x

∂u(x, y)

∂x

+ κ

∂

∂y

∂u(x, y)

∂y

+ f (x, y)

0 = ∂

∂x

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂x

+

∂

∂y

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂y

+ f (x, y),

⇒

− ∂

∂x

∂u(x, y)

∂x

−

∂

∂y

∂u(x, y)

∂y

=

f (x, y)

κ

− ∂

∂x

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂x

−

∂

∂y

κ(x, y)

∂u(x, y)

∂y

= f (x, y).

• EDP lineals el.líptiques, 1a amb coeficients constants(equació de Poisson 2D), 2a variables.

15

8/17/2019 edpn

16/31

Diferències fi nites 2D

• Malla computacional sobre Ω = [a, b] × [c, d] productecartesià malles triades en [a, b] i [c, d]: (xi, y j),

– Sobre [a, b]: a = x0, . . . , xm+1 = b, xi = a + ih,h = (b − a)/(m + 1).

– Sobre [c, d] c = y0, . . . , yn

+1 = d, yi = c + ik,

k = (d − c)/(n + 1).

• (xi, y j) ∈ Ω, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n (mn punts),resta ∈ ∂ Ω.

• Nota: per simplificar suposarem Ω = (0, 1) × (0, 1) im = n ⇒ xi = yi, encara que seguirem utilitzant y jquan aquest valor actue en la segona variable de les

funcions.

16

8/17/2019 edpn

17/31

Discretització Poisson 2D

• Segon pas: diferenciació numèrica per a uxx, uyy .

• ∂ ∂x

∂u(xi,y j)

∂x

≡ (x → u(x, y j))

⇒

uxx(xi, y j) ≈ u(xi + h, y j) − 2u(xi, y j) + u(xi − h, y j)

h2

= u(xi+1, y j) − 2u(xi, y j) + u(xi−1, y j)

h2 .

• ∂ ∂y

∂u(xi,y j)

∂y

≡ (y → u(xi, y))

⇒

uyy(xi, y j) ≈

u(xi, y j + h) − 2u(xi, y j) + u(xi, y j − h)

h2

= u(xi, y j+1) − 2u(xi, y j) + u(xi, y j−1)

h2 .

• Aproximació equació Poisson 2D:

− 1

h2u(xi+1, y j) − 2u(xi, y j) + u(xi−1, y j)+ u(xi, y j+1) − 2u(xi, y j) + u(xi, y j−1)

≈ f (x, y) ⇒

1

h2− ui+1,j − ui−1,j − ui,j+1 − ui,j−1 + 4ui,j

= f (x, y)

17

8/17/2019 edpn

18/31


• Anàlogament a 1D i per defin. der. par.(κ(x)ux(x))x (xi) ≈1

h2 (κ(xi)u(xi+1) − (κ(xi) + κ(xi−1))u(xi) + κ(xi−1)u(xi−1))

∂

∂x

κ(x, y)

∂u

∂x

(xi, y j) ≈

1h2

(κ(xi, y j)u(xi+1, y j)

− (κ(xi, y j) + κ(xi−1, y j))u(xi, y j)

+ κ(xi−1, y j)u(xi−1, y j))

∂

∂y κ(x, y)∂u

∂y (xi, y j) ≈1h2

(κ(xi, y j)u(xi, y j+1)

− (κ(xi, y j) + κ(xi, y j−1))u(xi, y j)

+ κ(xi, y j−1)u(xi, y j−1)),•

1

h2(−κi,jui+1, j − κi,jui,j+1

+ (2κi,j + κi−1,j + κi,j−1)ui,j− κi−1,jui−1,j − κi,j−1ui,j−1) = f (xi, y j),

on κi,j = κ(xi, y j) i ui,j ≈ u(xi, y j).

18

8/17/2019 edpn

19/31

Expressió matricial

• ui,j (i = 1, · · ·m, j = 1, · · · , n) formen U m × n.

• Cal adonar-se’n:

– línies horizontals ( j fix) ⇒ columnes

– línies verticals (i fix) ⇒ files.

• Per trobar l’expressió matricial d’un operador caltreballar amb vectors amb índex naturals.

• Expressar matricialment discretització uxx i uyy ⇒treballar amb U i matriu resultant com a vectors.

• Juxtaposició de columnes : isomorfisme

J (U )(mj + i) = U (i, j), 0 ≤ j < n, 0 ≤ i < m.

i ≡ reste divisió entera (mj + i)/m = j.

• Expressió matricial-vectorial operador M :

M : mat(m, n) → mat(m, n) ⇒M̃ = J ◦ M ◦ J −1 : Rmn → Rmn ⇒

M̃ (x) = Ax (A matriu de M )

19

8/17/2019 edpn

20/31

Producte de Kronecker

• Suposem inici dels índex = 0, per simplificar.

• Producte de Kronecker A = (ai,j) n × n amb B = (bi,j)m ×m A⊗B mn ×mn:

A⊗ B =

a0,0B . . . a0,n−1B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

an−1,0B . . . an−1,n−1B

• Alternativament

(A⊗ B)(mj + i,mp + q ) = A jpBiq 0 ≤ j, p < n, 0 ≤ i, q < m,

• Fet fonamental:

{k : 0 ≤ k < mn} =

{m · k1 + k2 : 0 ≤ k1 < n, 0 ≤ k2 < m}.

20

8/17/2019 edpn

21/31


• Actuació de A ⊗ B sobre J (U ), en component mj + i,0 ≤ j < n, 0 ≤ i < m:

((A ⊗B)J (U ))(mj + i)

=n

p=1

mq =1

(A⊗ B)(mj + i, mp + q )J (U )(mp + q )

=n

p=1m

q =1A jpBiq U qp

=n

p=1

mq =1

Biq U qp

(AT ) pj

=n

p=1

(BU )ip)

(AT ) pj

= (BU AT )ij = J (BU AT )(mj + i)

⇒ (A⊗ B)J (U ) = J (BU AT )

21

8/17/2019 edpn

22/31


• Φ : U → BU AT = (BU )AT és composició de

U → BU, V → V AT ,

• Φ ≡ actuació primer de B i despres de AT .

• Interpretació d’actuació d’aquests operadors, en termesde l’actuació de x → Ax i y → By:

– (BU )(:, j) = B(U (:, j)) ⇒ primer operador actua“transformant columnes”.

– V AT = (AV T )T ⇒ files de V AT es calculen:

(V AT

)(i, :) = (AV T

)T

(i, :) =(AV T (:, i))T = (A(V (i, :)T )T ,

⇒ segon operador actua “transformant files”.

•

Φ̃(x) = J (Φ(J −1(x) U

)) = J (Φ(U ))

= J (BU AT ) = (A⊗ B)J (U ) = (A⊗ B)x.

• Matriu Φ: A ⊗B.

22

8/17/2019 edpn

23/31


• Propietats del producte de Kronecker

1. (αA + βB) ⊗ C = α(A ⊗ C ) + β (B ⊗ C )

2. (A ⊗B) ⊗ C = A⊗ (B ⊗ C ).

3. (A ⊗B)(C ⊗D) = (AC ) ⊗ (BD)

4. Si A i B són diagonals A ⊗ B és diagonal, amb els(A ⊗B)(mi + j, mi + j) = A(i, i)B( j, j).

5. I m ⊗ I n = I mn

6. (A ⊗B)−1 = (A−1) ⊗ (B−1).

23

8/17/2019 edpn

24/31


• Demostrem 3: A, C n× n, B, D m m × m.

(A ⊗B)(C ⊗ D)(mi + j, mp + q )=

nk=1

ml=1

(A⊗B)(mi+ j, mk+l)(C ⊗D)

(mk+l,mp+q )

=n

k=1

ml=1

A(i, k)B( j, l)C (k, p)D(l, q )

=

nk=1

A(i, k)C (k, p)(ml=1

B( j, l)D(l, q ))= n

k=1

A(i, k)C (k, p) m

l=1

B( j, l)D(l, q )

= (AC )(i, p)(BD)( j, q )

= ((AC ) ⊗ (BD))(mi + j, mp + q )

⇒ (A ⊗B)(C ⊗D) = (AC ) ⊗ (BD)

24

8/17/2019 edpn

25/31

Forma matricial

•Discretització de

uxx aplicada a

U = (ui,j):

1

h2(ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j i = 1, . . . m , j = 1, . . . , n .

u p,q corresponents a (x p, yq ) ∈ ∂ Ω no apareixen.

• Alternativament:1

h2(−2u

1,j + u

2,j) j = 1, . . . , n

1

h2(ui−1,j − 2ui,j + ui+1,j) i = 2, . . . m− 1, j = 1, . . . , n

1

h2(um−1,j − 2um,j) j = 1, . . . , n .

• ∆m operador sobre Rm tal que w = ∆mv verifica:

w1 = 1h2

(−2v1 + v2)

w j = 1

h2(vi−1 − 2vi + vi+1) i = 2, . . . m− 1

wn = 1

h2(vm−1 − 2vm)

• Operador anterior ≡ actuar ∆m sobre U (:, j) j = 1, . . . , n (no n’hi ha modificació de files) ⇒ formamatricial

I n ⊗∆m,

on I n ≡ identitat n × n.

25

8/17/2019 edpn

26/31

Forma matricial

• Discretització de uyy aplicada a U = (ui,j):1

h2(−2ui,1 + ui,2) i = 1, . . . , m

1

h2(ui,j−1 − 2ui,j + ui,j+1) i = 1, . . . , m , j = 2, . . . n− 1

1

h2

(ui,n−1 − 2ui,n) i = 1, . . . , m .

• ∆n operador sobre Rn tal que w = ∆mv verifica:

w1 = 1

h2(−2v1 + v2)

w j = 1

h2(v j−1 − 2v j + v j+1) j = 2, . . . n− 1

wn = 1h2

(vn−1 − 2vn)

• Operador anterior ≡ actuar ∆n sobre U (i, :)i = 1, . . . , m (no n’hi ha modificació de columnes) ⇒forma matricial

∆n ⊗ I m.

• Matriu Poisson 2D ≡ −∆m,n, on

∆m,n = I n ⊗∆m + ∆n ⊗ I m,

∆n i ∆m matrius laplacianes unidimensionals.

26

8/17/2019 edpn

27/31

Exemple

• Els comands de matlab:

>> D4=spdiags(ones(4,1)*[-1 2 -1], [-1 0 1], 4, 4);>> A=kron(eye(3), D4);

>> D3=spdiags(ones(3,1)*[-1 2 -1], [-1 0 1], 3, 3);

>> B=kron(D3, speye(4));

>> C=A+B;

donen les matrius A = I 3 ⊗∆4, B = ∆3 ⊗ I 4 i

C = ∆3,4:

27

8/17/2019 edpn

28/31

Exemple

A =

2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0−1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 −1 2 −1 0 0 0 0 0 0 0 00 0 −1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 2 −1 0 0 0 0 0 00 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 0 00 0 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 00 0 0 0 0 0 −1 2 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 2 −1 0 00 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2 −10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 2

28

8/17/2019 edpn

29/31

Exemple

B =

2 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 00 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 0 00 0 2 0 0 0 −1 0 0 0 0 00 0 0 2 0 0 0 −1 0 0 0 0

−1 0 0 0 2 0 0 0 −1 0 0 00 −1 0 0 0 2 0 0 0 −1 0 00 0 −1 0 0 0 2 0 0 0 −1 00 0 0 −1 0 0 0 2 0 0 0 −10 0 0 0 −1 0 0 0 2 0 0 00 0 0 0 0 −1 0 0 0 2 0 0

0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 2 00 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 2

29

8/17/2019 edpn

30/31

Exemple

C =

4 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0 0−1 4 −1 0 0 −1 0 0 0 0 0 0

0 −1 4 −1 0 0 −1 0 0 0 0 00 0 −1 4 0 0 0 −1 0 0 0 0

−1 0 0 0 4 −1 0 0 −1 0 0 00 −1 0 0 −1 4 −1 0 0 −1 0 00 0 −1 0 0 −1 4 −1 0 0 −1 00 0 0 −1 0 0 −1 4 0 0 0 −10 0 0 0 −1 0 0 0 4 −1 0 00 0 0 0 0 −1 0 0 −1 4 −1 0

0 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 4 −10 0 0 0 0 0 0 −1 0 0 −1 4

30

8/17/2019 edpn

31/31

• Proposició. −∆m,n és SPD.

• −∆m,n = I n ⊗ (−∆m) + (−∆n) ⊗ I m, suma de matriusdefinides positives ho és també, i −∆m,−∆n matriusdefinides positives positives, per concloure, sols cal

demostrar el resultat següent.

• Proposició. A, B simètriques i definides positives ⇒A ⊗B també ho és.

• A és SPD ⇔ ∃P ortogonal, D diagonal, Di,i > 0, talque A = P DP T (valors propis positius, vectors propis

ortonormals).

• Siga aleshores P , Q ortogonals i D, E diagonals“positives” (de les dimensions adequades) tal que

A = P DP T i B = QEQT :

1. P ⊗ Q és ortogonal:

(P ⊗ Q)T = P T ⊗ QT = (P −1) ⊗ (Q−1) = (P ⊗ Q)−1

31

Date post:	06-Jul-2018
Category:	Documents
Upload:	harold-contreras
View:	218 times
Download:	0 times

edpn

Documents