EDUC 6390: Estadística aplicada en la educación Julio E. Rodríguez Torres Conferencia 11 La estadística inferencial y las distribuciones de probabilidad Bosquejo I. Tipos de estadísticas.................................................................................................... 1 A. Descriptiva .............................................................................................................. 1 B. Inferencial............................................................................................................... 1 Población ................................................................................................................ 2 Muestra................................................................................................................... 2 Parámetro ............................................................................................................... 2 Estadística .............................................................................................................. 2 II. Distribución de probabilidad de variables discretas ...................................................... 2 A. Definición................................................................................................................ 2 B. Características ........................................................................................................ 4 1. Valor esperado ................................................................................................... 4 2. Varianza y desviación estándar.......................................................................... 5 III. Modelos matemáticos ................................................................................................. 5 A. La distribución binomial........................................................................................... 6 1. El modelo............................................................................................................ 6 2. Características .................................................................................................... 7 Media ...................................................................................................................... 7 Desviación estándar............................................................................................... 7 B. Distribución normal................................................................................................. 7 1. El modelo matemático........................................................................................ 7 a. Importancia de la distribución normal.................................................................. 7 b. Propiedades de la distribución normal ................................................................ 8 c. El modelo matemático ......................................................................................... 8 d. La curva normal estandarizada........................................................................... 9 I. Tipos de estadísticas A. Descriptiva Se origina con la recolección de datos poblacionales para censos. Se usa en Roma y se habla de ella en los evangelios. Su énfasis recae en los as pectos de presentar y describir datos. Definición: Consiste de los métodos utilizados para recolectar, presentar y describir datos de manera adecuada. B. Inferencial Se origina en el Renacimiento con el desarrollo de la probabilidad matemática, que a su vez se basa en el estudio de los juegos de azar. Tiene que ver con poblaciones, muestras, parámetros y estadísticas. Población La población es el total de objetos bajo consideración. Es el grupo sobre el cual se quiere hacer una inferencia. La mayor parte de las veces es muy grande. Algunas veces es hipotética. Si, porejemplo, se quiere probar que la semejanza entre personas afecta el nivel de atracción, se hace imposible encontrar una población de personas semejantes en todos los aspectos.
EDUC 6390: Estadística aplicada en la educaciónJulio E. Rodríguez TorresConferencia 11La estadística inferencial y las distribuciones de probabilidad BosquejoI. Tipos de estadísticas ....................................................................................................1
A. Descriptiva ..............................................................................................................1B. Inferencial...............................................................................................................1
Población ................................................................................................................2Muestra ...................................................................................................................2Parámetro ...............................................................................................................2Estadística ..............................................................................................................2
II. Distribución de probabilidad de variables discretas ......................................................2A. Definición ................................................................................................................2B. Características ........................................................................................................4
1. Valor esperado ...................................................................................................42. Varianza y desviación estándar ..........................................................................5
III. Modelos matemáticos .................................................................................................5A. La distribución binomial...........................................................................................6
1. El modelo ............................................................................................................6
B. Distribución normal.................................................................................................71. El modelo matemático ........................................................................................7a. Importancia de la distribución normal..................................................................7b. Propiedades de la distribución normal................................................................8c. El modelo matemático .........................................................................................8d. La curva normal estandarizada ...........................................................................9
I. Tipos de estadísticas
A. Descriptiva
Se origina con la recolección de datos poblacionales para censos. Se usa en Roma y se habla deella en los evangelios. Su énfasis recae en los aspectos de presentar y describir datos.
Definición:
Consiste de los métodos utilizados para recolectar, presentar y describir datos de maneraadecuada.
B. Inferencial
Se origina en el Renacimiento con el desarrollo de la probabilidad matemática, que a su vez sebasa en el estudio de los juegos de azar. Tiene que ver con poblaciones, muestras, parámetros yestadísticas.
Población
La población es el total de objetos bajo consideración. Es el grupo sobre el cual se quiere hacer unainferencia. La mayor parte de las veces es muy grande. Algunas veces es hipotética. Si, por ejemplo, se quiere probar que la semejanza entre personas afecta el nivel de atracción, se haceimposible encontrar una población de personas semejantes en todos los aspectos.
Una muestra es la porción de la población seleccionada para un experimento o investigación. Estaselección se hace porque generalmente el costo, el tiempo y los recursos son limitados para llevar acabo el experimento con toda la población. Partiendo del estudio de la muestra, el investigador puede hacer inferencias sobre la población.
Parámetro
El parámetro es una medida de una característica numérica de la población. (Media, mediana,varianza, etc.). Es un elemento descriptivo de la población.
Estadística
Es una medida que se utiliza para describir una característica numérica de la muestra, no de lapoblación como en el caso del parámetro. La estadística inferencial sirve para determinar como unaestadística y un parámetro se relacionan.
Definiciones posibles de la estadística inferencial:
1. Consiste de los métodos y procedimientos que hacen posible la estimación de una característicade la población basándose exclusivamente en los resultados obtenidos en la muestra.
2. Es el conjunto de métodos que hacen posible la estimación de un parámetro basándoseexclusivamente en la estadística correspondiente.
3. Son las generalizaciones sobre la población basadas exclusivamente en los resultados de lamuestra.
Pero antes de entrar de lleno en la estadística inferencial es preciso clarificar un par de conceptosimportantes sobre probabilidad.
II. Distribución de probabilidad de variables discretas
A. Definición
Una distribución de Probabilidad es una lista o tabla que incluye todos los posibles eventos ovalores de una variable y su probabilidad.
Ejemplo 1:
Si se lleva a cabo un experimento que consiste en lanzar un dado una sola vez y los eventos sonlos valores obtenidos. La distribución de probabilidad del experimento debe incluir todos losposibles valores que se pueden obtener y su probabilidad
De esta tabla se pueden obtener otras probabilidades mediante la suma de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 ó 3?
P(2 ó 3)= P(2) + P(3) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 ó menos?
P(1 ó 2 ó 3) = P(1)+P(2)+P(3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?
P(2 ó 4 ó 6) = P(2)+P(4)+P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2
Ejemplo 2:
Si se lleva a cabo un experimento que consiste en lanzar dos dados una sola vez y los eventos sonla suma de los valores obtenidos. La distribución de probabilidad del experimento debe incluir todoslos posibles valores que se pueden obtener y su probabilidad
Valores combinaciones posibles Prob
2 (1,1) 1/36
3 (1,2),(2,1) 2/36
4 (1,3),(3,1),(2,2) 3/36
5 (1,4),(4,1),(3,2),(2,3) 4/36
6 (1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3) 5/36
7 (1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3) 6/36
8 (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4) 5/36
9 (3,6),(6,3),(4,5),(5,4) 4/36
10 (4,6),(6,4),(5,5) 3/36
11 (5,6),(6,5) 2/36
12 (6,6) 1/36
De esta tabla se pueden obtener otras probabilidades mediante la suma de probabilidades
Las características más importantes de una distribución de probabilidad son la media y ladesviación estándar.
1. Valor esperado
El valor esperado de una distribución de probabilidad no es otra cosa que la media aritmética. Elsímbolo que se utiliza es la letra griega µ X con el suscrito x. Se obtiene multiplicando cada valor dela variable por su probabilidad y sumando todo eso.
Nota: Las siguientes son diez observaciones de un experimento:
La desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza
III. Modelos matemáticos
Se ha señalado que una distribución de probabilidad de una variable discreta no es otra cosa queuna tabla donde aparece el valor de la variable y su probabilidad. Estas distribuciones deprobabilidad generalmente surgen de observaciones o de fenómenos cuyas leyes se conocen biencomo en el caso de los dados. Cuando el fenómeno que se quiere trabajar se ha observadocuidadosamente se puede crear un MODELO MATEMÁTICO que lo describe. Esta es la funciónmás importante de las matemáticas, facilitar el estudio de la naturaleza con modelos que lainterpretan. Por ejemplo, la forma de decir que las cosas en un grupo miden el doble de las de otrogrupo se expresa como la función
y = 2x
Lo mismo sucede con las distribuciones de probabilidad. Hay algunas para las que hay modelosmatemáticos que evitan el trabajo de calcular todo lo que se ha estado haciendo hasta ahora. Estosmodelos o funciones se llaman Funciones de distribuciones de probabilidad. Hay modelos paravariables discretas y para variables continuas. De entre todos se van a estudiar dos ejemplos, lafunción binomial para una variable discreta y la función normal para una variable continua.
A. La distribución binomial
1. El modelo
La función binomial se puede utilizar como modelo solamente cuando las observaciones sonindependientes unas de otras y cada observación se puede clasificar como un éxito o un fracaso.
Ejemplos:
Sacar bolas blancas o negras de una urna; sacar cara o cruz al lanzar una moneda; escoger unarespuesta en una pregunta de selección múltiple cuando uno no sabe nada.
Ejemplo:
En un experimento se llama éxito al hecho de obtener un 5 cuando se lanzan dos dados. ¿Cuál esla probabilidad de obtener un cinco?¿Cuál es la probabilidad de obtener dos cincos? Al crear ladistribución de probabilidad de lanzar dos dados se obtiene la siguiente tabla:
Por lo tanto la probabilidad de 2 éxitos es 1/36 = 0.028; de un éxito es 10/36 = 0.278; y de ningúnéxito es 25/36 = 0.694. Este mismo resultado se puede obtener sin necesidad de crear la tabla,pero utilizando el modelo matemático de la distribución binomial
donde
P (X = x/n,p) es la probabilidad de que X = x
Cuando se conocen p y n
n = tamaño de la muestra
p = probabilidad de éxito
1 - p = probabilidad de fracaso
x = número de éxitos en la muestra.
En el ejemplo anterior en vez de hacer el trabajo intuitivamente, se puede utilizar la fórmulade la distribución binomial
n = 2 (dos dados); p = 1/6 = 0.17;
1-p = 5/6 = 0.83
x = 0; x = 1; x = 2
P (no éxito) = P(0) = (2!)/(2!0!)[(0.17)0(0.83)2] = 0.694
La distribución binomial y otras como la Poisson son modelos matemáticos que se utilizan cuandola variable es discreta y satisface los requisitos del modelo. Si la variable es continua entonces seusa principalmente la distribución normal. La gran diferencia entre ambas es que con variablesdiscretas siempre es posible hallar la probabilidad de un valor dado puesto que los valores de lavariable son discretos. Sin embargo cuando la variable es continua sólo se puede hallar laprobabilidad de un intervalo dado. Esta probabilidad se visualiza siempre como el área debajo de la
curva que representa la distribución.
a. Importancia de la distribución normal
i. Es el modelo matemático por excelencia en muchas situaciones de la vida real
ii. Sirve para aproximar la binomial y otras distribuciones discretas
iii. Ql y Q3 están situados a 2/3 de una desviación estándar. El 68 % del área de la curva(probabilidad) se encuentra a una desviación estándar de la media.
iv. La variable tiene un alcance infinito.
c. El modelo matemático
La función matemática que se usa como modelo es:
donde:
e = 2.71
π = 3.14
µ X = media de la población
σ X = desviación estándar de la población
x = un valor de la variable continua
Como e y π son constantes, la forma de la curva normal depende solamente de los dos parámetrosde la distribución normal, la media µ X y la desviación estándar σ X. Las curvas normales varíandependiendo de estos dos parámetros. En matemáticas, el área debajo de la curva se halla por medio del integral de la función. Para evitar el proceso de hallar el integral, en estadísticas seutilizan tablas que ya traen el área de diferentes secciones de la curva.
Puesto que hay un número infinito de combinaciones para los dos parámetros, hay un númeroinfinito de curvas normales diferentes.
Este problema se ha resuelto prácticamente cuando se transforman todas estas posibles curvasnormales en una llamada la curva normal estandarizada. (standard normal curve).
d. La curva normal estandarizada
Propiedades
i. µ Z = 0
ii. σ Z = 1
iii. El área bajo la curva que aparece en las tablas corresponde a la probabilidad (Hinkle p.618)
Nota:
Obsérvese que el área bajo la curva corresponde ahora a la probabilidad, de igual maneraque en conferencias anteriores correspondía al porcentaje o la proporción de puntuacionesen el intervalo dado. Por lo tanto la búsqueda de la probabilidad es exactamente igual a labúsqueda del porcentaje o proporción de puntuaciones en un intervalo dado.
iv. Cualquier variable normal puede ser transformada en la normal estandarizada por medio de lasiguiente fórmula:
donde µ X es la media de la distribución y σ X su desviación estándar.
En una fábrica el tiempo que le toma a un trabajador ensamblar una pieza está distribuidonormalmente con µ X = 50 seg. y σ X = 7 seg.
Ejemplo 1:
¿Cuál es la probabilidad de que un obrero pase entre 50 y 57 segundos ensamblando la pieza?
a. Primero hay que asegurarse que la variable está distribuida normalmente (Lo dice el problema)y trazar la gráfica que va a servir de modelo para el problema.
b. Después hay que convertir la escala dada a la escala de la distribución normal estándar usandola fórmula
z1 = (50-50)/7 = 0
z2 = (57-50)/7 = 1
c. Por medio de la tabla se observa que el área entre 0 y 1 es 0.3413
d. Como probabilidad, porcentaje y área bajo la curva significan lo mismo, es posible decir que:
ie: La probabilidad de que un obrero seleccionado al azar ensamble la pieza en ese tiempo es0.3413
ie: El porcentaje de obreros que pueden ensamblar esa pieza en ese lapso de tiempo es 34.13 %
ie: De cada 100 obreros cerca de 34 pueden ensamblar la pieza en ese lapso de tiempo
