51
数字逻辑与数字系统
胡伟
http://ws.nju.edu.cn/~whu
一、目的要求
• 数字逻辑是电子计算机技术的基础课程之一，通过本课程的学习，达到要求：
1. 掌握数字电子技术的基本理论，基础知识和基本技能
2. 熟悉数字集成电路的工作原理，特性和功能
3. 具备正确运用数字集成电路的能力
4. 掌握逻辑电路的分析方法和设计方法
二、与其他课程的关系
• 本课程是计算机科学的一门重要的技术基础课程，既需要普通数学知识，又用到离散数学的知识
• 它为《计算机组成原理》，《微型计算机应用》等课程打下了牢固的技术基础
四、教材
• 《数字逻辑与数字系统》
– 第四版·立体化教材
– 白中英 主编
– 科学出版社
五、主要内容
1. 逻辑设计的数学知识——数制，布尔代数，函数化简
2. 逻辑门电路
3. 组合逻辑电路的分析和设计方法
4. 同步和异步时序逻辑电路的基本规律及分析，设计方法
5. 编程逻辑
第一章、开关理论基础
• 开关理论是描述逻辑电路的数学工具和图形语言，以二进制数为基础
世界上只有10种人，
懂二进制的和不懂二进制的
1.1、二进制系统
• 电子电路分为模拟电路和数字电路两大类
– 模拟量的特点是用连续量表示
– 数字量的特点是用离散量表示
– 二进制的0、1对应为开关量
– 表示数字0和1（低和高）的电平称为逻辑电平
• 数字系统中的0、1信息可用波形表示
– （0低1高）
– （1低0高）
• P3，图1.6：波形图
1.2、数制与码制
• 数字系统所处理的信息是一种离散元素（非连续性），如数字，字母
• 数字系统中信息的离散元素用称为讯号的物理量来表示，如电压，电流
• 离散元素通常以二进制的形式出现
• 对任意数N，可表达成以r为基数的r进制数（逢r
进1），其中n为整数位数，m为小数位数
– 例：
m
m
n
nr rararararaN
)()()()()()( 10
0
1
1
1
1 1
21012
10 )10(6)10(5)10(3)10(4)10(7)56.743(
• 常用二进制，八进制，十进制，十六进制
• 数字系统中，常用二进制来表示数字和进行运算
– 例：
1101
11000
1011 1101
1011
10
110
× 101
110
000
110
11110
110
10010011011
1011
1110
1011
111
• 通常将人们习惯的十进制数转换成数字系统中常用的二进制数，经处理后再转换为十进制
• 十二：对整数部分和小数部分分别给予转换
• 乘除法：对整数用除二取余法
262
13
0
2
2 6
3
1
2
0
1
1
1
00 a
11 a
02 a
13 a
14 a
210 )11010()26(
• 对小数用乘2取整法– 例：(0.125)10 ＝ (0.001)2
0.125×2 ＝ 0.25 b1=0
0.25 ×2 ＝ 0.5 b2=0
0.5 ×2 ＝ 1 b3=1
• 练习：(27.25)10 = ?
• 降幂法：用十进制数减去与其最相近的二进制权值（小于十进制数的），如够减则减去并在相应位记1，不够减记0并跳过，一直到该数为0
• 例：(136)10 二进制
– 128 64 32 16 8 4 2 1
– 1 0 0 0 1 0 0 0
• 过程：
– 136 – 27 = 8 (a7 = 1)
– 8不够减64，32 ，16 (a6 = a5 = a4 = 0)
– 8 – 8＝0 (a3 = 1)
– 已减完，余下位均为0 (a2 = a1 = a0 = 0)
– (136)10 = (10001000)2
• 例：(0.8125)10 = (0.1101)2
– 2-1 = 0.5、2-2 = 0.25、2-3 = 0.125、2-4 = 0.0625
• 过程：
– 0.8125 – 0.5 = 0.3125 (b1 = 1)
– 0.3125 – 0.25 = 0.0625 (b2 = 1)
– 0.0625不够减0.125 (b3 = 0)
– 0.0625 – 0.0625 = 0 (b4 = 1)
八进制数、十六进制数
• 一位八进制数可用对应的三位二进制数表示，一位十六进制数可用对应的四位二进制数表示
• 二进制数的整数部分从低位开始对应，小数部分从高位开始对应，三位（八进制）或四位（十六进制）一组，不足的补0
• 例：
– (1011011.001011)2 = (5B.2C)16
= (133.13)8
• 用一定位数的二进制码表示各种字符，这种特定的二进制码称为代码
• 给n位代码的2的n次方种信息中的每个信息指定一个特定的码字，这一指定过程称为编码（有多种编码方案）
• 用二进制代码来表示数字，字母及其它特殊符号，最常用的是ASCII码
• P8，表1.1：二进制编码
– 其中，循环码任何相邻的两个码字中只有一位代码不同
• 二一十进制码把十进制数的各数码用二进制代码的形式表示
• P8，表1.2：BCD编码
– 例：2345的8421码：0010 0011 0100 0101
1.3、逻辑函数
• 数字电路（又称逻辑电路）有开和关两种状态
F = f (A1, A2, …, An)
– F是A1, A2, …, An的逻辑函数
– 只可取值0或1
• 有与、或、非 三种最基本的运算，它们可组成各种各样的逻辑关系
1. “与”运算：F = AB 或者 F = A ^ B
A
B
F
A B F
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
2. “或”运算：F = A + B或者F = A ∨ B
3. “非”运算：F = A或者F = A′
＋
A
B
F
A B F
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
• 如果将门电路电压的高电平赋值为逻辑1，低电平赋值为逻辑0，称为正逻辑关系；若高电平作为0，低电平作为1，称为负逻辑关系
– P15，表1.5
A FA F
0 1
1 0
• “与非门”运算
• “或非门”运算
• “异或门”运算
• “同或门”运算
1.4、布尔代数
• 乔治·布尔提出了用数学方法研究人的逻辑思维规律和推理过程的代数，即布尔代数，后来克劳德·香农对其进一步完善，用布尔代数分析开关电路
• 布尔代数已在数字电路和数字计算机设计中被广泛应用，成为逻辑设计的数学基础
– P16，表1.6定律（可用真值表验证）
• 三个重要规则
1. 代入规则：若函数表达式的某个变量，都以某个函数代入，则函数表达式仍然成立
• 例：A + A · B = A+B A + A · (B+C) = A + (B+C)
2. 反演规则：将布尔表达式F中· +，+ ·，0 1，1 0，原变量反变量，反变量原变量，得到F的反函数 F，F与 F互为反函数
• 例： ])([ EDCBAF
)(
)]()([])([
EDCBA
EDCBAEDCBAF
• 如果函数较复杂，可将函数中一部分用另一变量来暂代
– 例：对上题，令 ，
则 F = A +
= =
)( EDCBX
X
F XA ))(( EDCBA
3. 对偶规则：将布尔表达式F中+ ·，· +，1 0，0 1，变量均保持不变，得到的F’称为F的对偶式
– 例：
• 任何一个布尔函数表达式都存在对偶式
• 当某一个逻辑恒等式成立，则其对偶式也成立
)0('
)1()(
CABAF
CABAF
AFAF ',
• 积之和表达式：对若干个“积”项（·），用“和”（＋）
将它们连成函数表达式，又称为“与—或”表达式
– 例：F = A + B·C + A·B·C
• 最小项：若具有n个变量的函数的积项包含全部n个变量，
且每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次，则此积
项称为最小项
• 若一个函数完全由最小项组成，则称其为标准“积之和”
（函数的最小项之和）表达式（最小项表达式 ）
– 例：F(A, B) = A·B + A·B + A·B
= )3,2,1(321 mmmm
• 用 表示第i个最小项，例000对应ABC，用 表示
• 任何一个布尔函数都可以表示为若干最小项的“和”
• n个变量可以有 个最小项
• n个变量的所有最小项的和恒等于1
– 例如：
im 0m
n2
)7,6,4,1,0(
)()()(
m
ABCCABCBACBACBA
CBACBACBACABCABABC
CCBABBCACCABBACAABF
• 逻辑功能相同的布尔函数可以有不同的表示形式
• 每个逻辑网络均对应一个布尔表达式
• 对布尔表达式的化简（化为最简的“与—或”表达式）可使设计出的逻辑网络简单
– 例： CBBACBAF )(
1
1
)()()(
)(
FF
CBACBBBACBBACBCBA
CBBABACBACBBACBAF
代数化简法
• 即用布尔代数的公理，定理及规则来简化布尔函数（通常化为最简单的“与－或”表达式）
1. 并项法：利用AB + AB = A，合并项且消去一个变量
– 例：
2. 吸收法：利用A + AB = A消去多余的变量
– 例： BADFEBABAF )(
ADDADCDCBABAF1
3. 消去法
– 利用 消去多余的变量
– 证明：
– 例：
BABAA
DEBADEABAF
)()( BAABAAABABAAAABAAA
4. 配项法
– 利用A·1＝A、A+A=1增加一些项，再用1~3法进行化简
– 例：
CCBBA
CCACBBA
BACBBCAACBBA
CCBABCACBACBACBBA
CCCBAAACBCBBA
CBACBCBBAF
)1()()1(
)()(
• 例：
CBAC))(AB(A
0)CC)(A)(AB(A
B)BCC)(AB(A
B)C)(ABC)(ACB(A
)CBAC)(B)(A)C(BA(
)CBAC)(B(A)C(BAF
1.5、卡诺图
• 卡诺图由 个方格构成有规律的图形，每个方格
对应布尔函数的某个最小项mi
• 任何相邻的两个最小项只有一个变量（1位）不同
• 布尔函数的卡诺图表示
– 对布尔表达式是最小项之和的形式，则可在对应变量
数的卡诺图上找出相应最小项的方格，并标上1，则可
得到此函数的卡诺图
– 例：
BCAABCCBACBABCACBABCA
BCCBABACACBAF
),,(
n2
AB 00 01 11 10
C
0
1
• 卡诺图化简的原理是AB+AB=A， 个标以1的相邻方格可以合并，即它们表示的最小项并成一项，消去m个变量
0 1 0 0
1 1 1 1
m2
AB 00 01 11 10
CD
00
01
11
10
1 1
1 1
1 1
1 1
BDDBDCBAF ),,,(
• 有些不论出现与否，均不影响函数值的输入变量组合（最小项），称为任意项（无关项）
• 化简时适当利用任意项，可使函数表达式大大简化
– 例：
)15,14,13,12,11,10()9,8,7,6,5(),,,( dmDCBAF
AB 00 01 11 10
CD
00
01
11
10
（未用到任意项）
0 0 0 1
0 1 0 1
0 1 0 0
0 1 0 0
BCABDACBAF
AB 00 01 11 10
CD
00
01
11
10
（利用任意项）
x 1
1 x 1
1 x x
1 x x
BDBCAF
• 对较复杂的函数，可分步填卡诺图
– 例： ACBDCABDCBAF )(),,,(
1
1 1 1 1
1
1
D
A
B
C
DCAB
1
1 1
1
1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1 1
BDCAB )(
BDCAB )(
1 1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
ACBDCAB )(
1.6、数字集成电路
• CMOS系列
– 金属氧化物半导体晶体管作为开关元件的门电路叫MOS电路，有PMOS、NMOS、CMOS
（同时用PMOS和NMOS）
• TTL系列
– 是晶体管-晶体管逻辑电路工艺制造技术的缩写
– P27~28图
• TTL的主要外部参数
1. 标称逻辑电平：表示逻辑值0和1的理想电平值，TTL
通常为U(1)=5V, U(0)=0V
2. 开电平：表示逻辑值1的最小高电平UOH
3. 关电平：表示逻辑值0的最大低电平UOL
4. 扇入系数：门电路输入端最多允许接入的数目Nr
5. 扇出系数：（负载能力）一个门电路的输出端所能连接的下一级门输入端的个数Nc
6. 平均时延： 2/)( 21 ttty
7. 空载功耗：当输出端空载
– 门电路输出低电平时电路的功耗称为空载导通功耗 Pon
– 当输出端为高电平时，电路的功耗称为空载截止功耗Poff
– 平均功耗：P = (Pon + Poff) / 2
• 频率越高，空载功耗越大
• TTL改进的低功耗肖特基（LSTTL）电路功耗低，速度快，应用广
• 集电极开路与非门OC，可将输出端并接在一起，（普通TTL不行），可用于构成控制总线，实现电平转换，直接驱动指示灯和继电器
• 习题：1，4，7，10 ，11，13，14
• 补充题：有两个与非门，其
– 关门电平分别为：UoffA=1.1V ，UOffB=0.9V,
– 开门电平分别为：UonA=1.3V，UonB=1.7V
– 它们输出的高、低电平都相同，试判断哪一个门抗干扰能力强
谢谢！
