2장 1/35

Chapter 2

힘 벡터( Force Vectors )

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2.1 스칼라와벡터(Scalars and Vectors)

역학에서사용되는대부분의물리량은스칼라와벡터로표현된다.

•스칼라 : 하나의실수(양수또는음수)로규정되는양. 질량(양수), 길이(양수), 부피(양수), 좌표(Coordinates, 양수또는음수) 등이스칼라의예이다.

•벡터 : 크기와방향을가지는양. 위치, 힘, 모멘트등이벡터의예이다.

•크기(magnitude) : 벡터의길이

•방향부호(sense) : 정해진작용선내에서의 벡터의방향(양또는음).

•화살표의꼬리(tail)와머리(head) :

•작용점(point of application) : 벡터가작용하는점으로서보통화살표의꼬리로표시하지만경우에따라머리로표시하기도한다.

•작용선(line of action) : 작용점을통과하여벡터의방향으로그은직선.

Fig. 2-1

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•벡터의종류수학적 관점에선 벡터의 성격이 크기와 방향에 의해 규정되지만 물리적 관점에선작용선과작용점도규정되어야하는경우가있다.

①자유벡터(Free Vector) : 작용선과 작용점이 모두 규정될 필요가 없는 벡터. 병진하는강체에작용하는힘벡터가그예이다.

②미끄럼벡터(Sliding Vector) : 작용선은 규정되어야 하나 작용점은 규정될 필요가없는벡터. 회전하는물체에작용하는힘벡터가그예이다.

21 FF = 1F

2F

작용선이 서로 다른 두 힘 벡터 F1과 F2가 물체의 운동에 미치는 효과는 같다. 따라서자유벡터는작용선과작용점을바꾸어도그효과는같은벡터이다.

왼쪽의 두 강체에 작용하는 F1과 F2 는작용선이 다르므로 그 효과(점 O에 대한 모멘트)가 다르다. 그러나 F2와 F3는 동일한 작용선 위에 있으므로 그 효과(점 O에대한모멘트)가같다. 1F 2F

B1F

2F

O pin

321 FFF ==

A

3FO

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따라서 미끄럼 벡터는 정해진 작용선 위에서 작용점을 옮겨도 그 효과는 같은 벡터이다 . 이 교과서의 제 4장에서는 미끄럼 벡터의 이러한 성질을 ‘전달성(Transmissibility)’이라는용어로설명하고있다.

③구속벡터또는속박벡터(Bound Vector) : 작용선과 작용점이 모두 규정되어야 하는벡터. 변형체에작용하는힘벡터가그예이다.

1F2F

21 FF =

왼쪽의 물체가 강체가 아니라 변형체인경우에는 F1과 F2 는 비록 작용선이 같다하더라도 작용점이 다르므로 그 효과(물체의변형)는다르다(어떻게다를까?)

주의

②의굽은봉이강체가아니라변형체라면 F2과 F3는구속벡터가되어그효과는다르게된다. 그러나 라면어떨까? 이쯤되면, 벡터의이러한분류가문제의이상화에유익하다는점을깨닫는독자도있을것이다.

OAAB ⟨⟨

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2.2 벡터연산(Vector Operations)

•스칼라에의한벡터의곱셈과나눗셈 :

•벡터의합, 평행사변형의법칙(Parallelogram Law)

합벡터 (합의교환법칙)ABRBA +==+

Fig. 2-2 Fig. 2-3

Fig. 2-4

Aa

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주의

그림 2-4의 연산은 수학적인 합을 의미하므로벡터의종류에대해선신경쓸 필요가 없다. 구태여 따지자면 이그림의벡터는자유벡터가된다. 제 2장과 3장에선한점에작용하는힘벡터 혹은 그와 같은 효과를 갖는 힘 벡터만을생각하며, 제 4장이후부터강체에작용하는힘을생각하므로벡터의 종류에 대해선 그 때까지 잠시 잊어두기로하자.

•벡터의뺄셈RB)(ABA ′=−+=−

Fig. 2-5

Fig. 2-6

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•벡터의분해

하나의벡터는정해진작용선을따라성분(Component)으로분해할수있다.BAR +=

Fig. 2-7

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2.3 힘의벡터합

RFFFFFFF =++=++ 321321 )(

•삼각법(Trigonometry)

Fig. 2-8

Fig. 2-9

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•예제 2-1 ( Problem 2-13)

A resultant vertical force of 350 lb is necessary to hold the balloon in place. Resolve this force into components along the tether(밧줄) lines AB and AC , and compute the magnitude of each component.

ABF ABFACF

ACF

°40°30

°30 °30

°40

350

삼각형법칙으로부터

°=

°=

° 40sin110sin350

30sinACAB FF

Prob. 2-13

lb239lb186 , == ACAB FF

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•예제 2-2 ( Problem 2-25)

The boat is to be pulled on to the shore usingtwo ropes. Determine the magnitudes of forcesT and P acting in each rope in order to develop a resultant force of 80 lb, directed along the keel aa as shown. Take .°=40θ

°=

°=

° sin40sin30sin11080 TP

lb7.54 lb,6.42 == TP

40=θ 30

30

40110

3080

P T

P

T

80 lb

Prob. 2-25

2장 11/35

2.4 동일평면력계의합 (Addition of a System of Coplanar Forces)

두개이상의힘의합력을구하려면주어진축에따라각힘의성분을찾고대수적으로이들을합하는것이평행사변형법칙을연속적으로사용하는것보다간편하다.

2F

3F

1F2F

3F 1FRF

우선힘 F를서로직교하는 x축과 y 축방향으로분해하기로하자.

yx FFF +=

직교단위벡터 i와 j 를이용하면

j F i, F yyxx FF ==

여기서 와 는각각 F의 x 축, y 축방향의성분인스칼라량으로서양도음도될수있다. 따라서

xF yFj i F yx FF +=

2장 12/35

주의

성분(Component)이라는 용어는 벡터도 스칼라도 지칭하므로 Fx 와 Fy 를 F의 x 및 y 축 방향으로의 ‘벡터성분’이라고 하며 Fx 와 Fy 를 F의 x 축 및 y축방향으로의 ‘스칼라성분’이라고한다.

•동일평면상에작용하는힘의합력

j i F

j i F

j i F

yx

yx

yx

FF

FF

FF

333

222

111

+=

+=

+=

321 FFFF ++=Rj(i ))( 321321 yyyxxx FFFFFF +++++=

j i RyRx FF +=

∑∑ =++==++= FFFFF, FFFFF yyyyRyxxxxRx 321321

주의

Fig. 2-16

교과서의식(2-1)과 Example 2-5를비교해보라.

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피타고라스정리에서

Rx

Ry-

RyRxR

FF

FFF

1

22

tan =

+=

θ

주의

교과서에정의된 와는어떤차이가있는가?

어느정의가더편리할까?Rx

Ry-

FF1tan =θ

θr

P),( yx

Oθ

i

j

jiF yx FF +=

O

위의그림에서보듯이평면력 F를구하는문제는직각성분 Fx와 Fy혹은크기 F와방향 즉 2개의미지수를구하는문제가된다.θ

2장 14/35

이 개념은 평면 내의 한 점의 좌표를 직각좌표(Rectangular Coordinates) x와 y로 표시할수도있지만극좌표즉, 원점으로부터의거리 r과방향θ로도표현할수있는것과같다.

주의

직각좌표계 (x, y)와 극좌표계 (r, θ)사이의 일대일 대응관계(one-to-one correspondence)는원점(r = 0)을제외한곳에서만성립한다. 왜그럴까? 제로벡터(크기가 0 인벡터) 0의방향과연관지어생각해보라.

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•예제 2-3 ( Problem 2-34)

The contact point between the femur(대퇴골) and tibia(경골, 정강이뼈) bones of the leg is at A. If a vertical force of 175 lb is applied at this point, determine the components along the x and y axes. Note that the y component represents the normal force on the load-bearing region of the bones. Both the x and y components represent the force that causes synovial fluid(윤활액) to be squeezed out of the bearing space.

Prob. 2-34경골(tibia)

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lb175 F == F

ji F yx FF +=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=

⋅=

1312175

135175

y

x

F

F주의

이결과를대수적으로구해보자.

1312sin

135cos

⋅−==

⋅==

FFF

FFF

y

x

θ

θ

θ

F

x

5

13

12

yj

xi

513

12

2장 17/35

•예제 2-4 ( Problem 2-58)

Determine the magnitude of force F so that the resultant force of the three forces is as small as possible. What is the magnitude of the resultant force?

합력을 F의함수로구한뒤에 F에대한

도함수 가 0이되도록 F를잡으면될것.

kN87.7kN0320

)45sin)(45sin7(2)45cos)(45cos1244.4(22

)45sin7()45cos1244.4(

45sin730sin1445sin45cos1244.430cos1445cos8

)()(

2

222

222

,

===

°−°−+°−°−−==

°−+°−−=∴

°−=°+°−=°−−=°−°−=

+=

∑∑

∑∑

R

RR

R

R

y

x

yxR

F.F

FFdFdFF

dFdF

FFF

FFFFFF

FFF

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

dFdFR

Prob. 2-58

2장 18/35

주의 : 다른방법

크기가 8 kN과 14 kN인두힘의합력 FO을 F방향( 축)과그수직방향 ( 축)으로분해해보자.FO와 F의합력즉세힘의합력

이된다.F의방향은정해져있으므로 F의크기 F가변화하면 FR의 축방향의성분 이변하게된다. 즉 이될때의합력이최소가되고그때 이된다. 즉합력 FR의방향이 F와수직을이룰때 FR은최소가된다.

y′

yOxOR ′′ ++= FFFF )(

x′ xO ′+FF0FF =+ ′xO

yOR ′= FF

j

j Fi

i F

′=

′°−°=

′−=

′°+°−=

′

′

877

)45sin815cos14(032

)45cos815sin14(

.

.

yO

xO

x′ x′y′

i′

j′

OF

F

xO ′FyO ′F

14

8

°15

따라서 과 에서

이다.

xO ′−= FF yOR ′= FF

앞의방법이합력 FR의크기(의미분도함수가 0이 될 때 최소가 된다는)를 이용한 해석적인 방법이라면 이방법은 합력의 방향(이 F와 수직할때 최소가 된다는)을 이용한 직관에의한 방법이라 할 수 있겠다. 이처럼해석에 그치지 아니하고 현상을 직관에 비추어 보려고 노력하는 것은역학을공부하는바람직한자세이다.

O

kN87.7||||kN03.2||||

FFFFFF

====−==

′

′

yORR

xO

2장 19/35

2. 5 직교벡터(Cartesian Vectors)앞에서벡터연산은우선각각의벡터들을직교벡터로표시하면상당히편리하다는걸알게되었다. 여기선이러한벡터연산방법을 3차원공간으로확장하기로한다.

•오른손좌표계 •벡터의직교성분(Right-Handed Coordinate System) (Rectangular Components of a Vector)

Fig. 2-20 Fig. 2-21

zyx AAAA ++=

2장 20/35

•단위벡터(Unit Vector)

: A와같은방향을갖는크기가 1인벡터.

벡터 A 의크기 A가차원을갖는다고정해두면단위벡터 uA는무차원이된다.

•직교단위벡터(Cartesian Unit Vectors) · 직교벡터의표시

AAAu =

k j, i, kjiA zyx AAA ++=

Fig. 2-22

Fig. 2-23 Fig. 2-24

2장 21/35

•직교벡터의크기

•직교벡터의방향

평면벡터의방향(direction)은어떤기준축( x축)과이루는단하나의각 로나타내었다. 3차원공간내의벡터 A의방향은서로종속관계에있는세각 로정의한다. 이각들을좌표방향각(Coordinate direction angle)이라한다.

이각들의 cosine값

을 A의방향여현(direction cosine)이라한다.

이므로

벡터 A의단위벡터는

222zyx AAAA ++==A

θγβα ,,

°≤≤° 180,,0 γβα

)coscos(cos k j i A γβα ++= A

k j i Au γβα coscoscos ++==AA

Fig. 2-25

Fig. 2-26

AA

AA

AA zyx === γβα coscoscos

2장 22/35

uA의크기가 1이므로, 세방향각은

의종속관계를가진다.

1 cos cos cosu 2222 =++= γβαA

주의

A가주어진 8분공간(Octant)안에있으면, 두개의좌표방향각을아는경우, 이관계를이용하여나머지하나의방향각을계산할수있다.

주의

방향각이 범위내에있으므로방향여현이양이면방향각은예각이고음이면둔각이된다.

°° 180~0

2장 23/35

2. 6 직교벡터의덧셈과뺄셈

k (j (i (BAR

k (j(i(BAR

)))

)))

zzyyxx

zzyyxx

BABABA

BABABA

−+−+−=−=′

+++++=+=

Fig. 2-28

공점력계(Concurrent force system) : 여러개의힘의작용선이한점에서 교차하는힘계.

∑∑∑ ∑ ++== kjiFF zyxR FFF

2장 24/35

kjiF 2222222 coscoscos γβα FFF ++=

F2의방향각을 라고두면222, γβα ,

°=°=°=

=++=

=°=−=°°−=−=°°−=

75 , 119 , 147N180)cos()cos()cos(

59.4615sin180(cos93.8660cos15cos180(cos57.15060sin15cos180(cos

222

222

222

2222

22

22

22

γβαγβα

γβα

FFFF

)F)F)F

(둔각) (둔각) (예각)

주의

와 가둔각이라는사실등은직관으로부터쉽게알수있다. 왜그럴까?

,75N180 22 °== γ ,F 2α 2β

°15°15cos1F

1F

°= 15sin11 FF z

•예제 2-5 ( Problem 2-75)

Determine the magnitude and coordinate direction angles of F2 so that the resultant of the two forces is zero.

Prob. 2-75

kjiFFF0FF

°−°°+°°=−==+

15sin18060cos15cos180(60sin15cos180( ,

1

1221

))

2장 25/35

2. 7 위치벡터위치벡터(Position Vector) r은공간상의한점의위치를다른점에대한상대위치로나타내는벡터이다.

r = 점 P의원점 O에대한상대위치벡터

= =OP kji zyx ++주의

여기서점 O가좌표계의원점(origin)이므로 r을 ‘점 P의위치벡터’라고도부른다.

Fig. 2-34(b)

2장 26/35

두점 A와 B의위치벡터(점 O에대한상대위치벡터)를

각각

라두면

= 점 B의점 A에대한상대위치벡터

= =

=

kjirkjir

BBBB

AAAA

zyxzyx

++=++=

B/Ar

AB AB rr −

k (j (i )))( ABABAB zzyyxx −+−+−

Fig. 2-35(b)

rB/A=

2장 27/35

2. 8 선을따라작용하는힘벡터

Fig. 2-37

줄 AB를따라작용하고있는힘 F는

여기서 이다.

),(ruFr

FF B/A==

B/AB/AABB/A r r rrr =−= ,

2장 28/35

•예제 2-6 ( Problem 2-95)

The plate is suspended using the three cables which exert the forces shown. Express each force as a Cartesian vector.

BABA

BA

A/BBABABABABA r

FF

rrr

ru , uF

−=

===

/

/lb350,

lb)306131109(

)1465lb)(83.21(03.16

1465lb)350(

ft03.161465

146565,14

222/

/

kji

kjikjiF

kjirjir kr

++−=

++−=++−

=

=++=

++−=−==

BA

BA

BA

BA

r

Prob. 2-95

2장 29/35

2. 9 벡터의내적벡터에 스칼라를 곱하는 연산은 이미 소개하였다. 벡터에 벡터를 곱하는 연산은 두종류 즉, 내적(dot product, inner product)과 외적(cross product)이 있다. 내적은 한 벡터의 어느 특정 방향으로의 성분을 계산하거나 일(work)을 정의할 때 사용되며 외적은모멘트나 각운동량(angular momentum = moment of linear momentum)을 정의할 때 사용된다는것을곧알게될것이다. 여기선내적을소개하기로한다.

°≤≤°==

=⋅

1800,,cos

θθ

B ABA

BAAB

: A와 B가이루는각

Fig. 2-41

2장 30/35

BA ⋅ = (A의크기)×(B의 A방향으로의성분)

= (B의크기)×(A의 B방향으로의성분)

BA ⋅⎪⎩

⎪⎨

⎧ 양 : 가 예각

= 0 : 가 직각

음 : 가 둔각

θ

θ

θ

내적은그결과가벡터가아닌스칼라값이기때문에스칼라적(Scalar Product)이라고도한다.

연산법칙

1. 교환법칙

2. 스칼라곱

3. 분배법칙

ABBA ⋅=⋅

aaaa )()(()( BABABA)BA ⋅=⋅=⋅=⋅

)()()( DABADBA ⋅+⋅=+⋅

2장 31/35

3.분배법칙의증명

D

B2θ

B 와 D의 A방향으로의성분 =

B + D의 A방향으로의성분 =

21 coscos θθ DB +

θcosDB +

2121 coscos)coscos( θθθθ ADABADB +=+=

)coscos(coscoscos)(

2121 θθθθθ

DBAADABA

+=+=⋅+⋅

+=+⋅

DABADBDBA

위의그림에서 임을알수있으므로분배법칙이증명된다.

)coscos(cos 21 θθθ DB +=+DB

A1θ θ

2장 32/35

직교벡터공식

01

=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅

ikkjjikkjjii

직교벡터로표시된두벡터의내적

15)-(2

)()()(

)()()(

)()()(

)()(

kkjkik

kjjjij

kijiii

kjikjiBA

zzyyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zyxzyx

BABABA

BABABA

BABABA

BABABA

BBBAAA

++=

⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅+

⋅+⋅+⋅=

++⋅++=⋅

주의

식(2-15)를이용해서분배법칙을증명해보라.

2장 33/35

내적의응용

1. 두벡터혹은교차하는두직선의사잇각

°≤≤°⋅

= − 1800),(cos 1 θθ BAAB

2. 벡터의한직선에평행한성분과수직한성분

A와각θ를이루는직선 방향의단위벡터를 u라하자. 또한 와 을 A의그직선에평행한성분과수직한벡터성분이라고두면 이된다.

A의 에평행한스칼라성분

aa ′||A ⊥A

⊥+= AAA ||

aa ′ uA ⋅=== θcosAA||u)uAuA|| ⋅== (||A

A의 에수직한스칼라성분 θsinAA == ⊥aa ′u)u(AAAAA || ⋅−=−=⊥

피타고라스의정리에따라

2||

22 AAA −=⊥

⊥A

||A

A

ua a′θ

2장 34/35

•예제 2-7 ( Problem 2-125)Determine the angles and between the axis OA of the pole and each cable, AB and AC.

θ φ

°=

=×+−

=⋅

=

=++=

−+−=+−+−=−=

=+==

−−=−=−=

⋅=⋅

=

2.68

371.048.721.7

3616cos

m48.7642

642 )64()82(

7.21m64

64

cos

//

//

222/

/

22//

/

//

//

ϕ

ϕ

ϕ

ACAO

ACAO

AC

ACAC

AOAO

AAOAO

ACAOACAO

ACAO

rr

r

r

rr

rr

kjikjjirrr

r

kjrrrr

uurr

Prob. 2-125

2장 35/35

•예제 2-8 ( Problem 2-126)

The two cables exert the forces shown on the pole. Determine the magnitude of the projected component of each force acting along the axis OA of the pole.

주의

단위벡터 를이용하면

투영성분의크기

= F1|cosϕ | 가되어 위의결과와같다.

AO

AOAO r /

/ru =

AO

AO

AC

ACAO rr

F/

/

/

/11

rr⋅=⋅= uF

= rO/A 가이루는각이므로ϕ는 F1과 AO

F1의 OA방향으로의

투영성분의크기 = F1|cosϕ | = 50×|0.371|

=18.6 N

Prob. 2-126