E, H, kの関係

TEM（Transverse Electromagnetic） wave

k：波数ベクトル（wave vector）

000 HE µε =

0=⋅∇ E 0=⋅Ek

t∂∂

−=×∇HE 0µ HΕk ωµ0=×

より

より

HΕk ⊥⊥したがって、

覚えると便利！

誘電率の異なる誘電体間の境界条件

0=⋅∇ H

0=⋅∇ D

t∂∂

=×∇DH

t∂∂

−=×∇HE 0µ

分極がある媒質中のマクスウェル方程式

→Dの垂直成分は連続

→Eの水平成分は連続

→H(B)の水平成分は連続

→H(B)の垂直成分は連続

1ε

2ε

nnnn EEDD 221121 εε =⇔=

tt EE 21 =

tt HH 21 =

nn HH 21 =

入射波、屈折波、反射波

)cos,0,(sin 1111 θθk=k

)cos,0,(sin 3333 θθ −=kk )cos,0,(sin 2222 θθk=k

)(11

1),( tiet ω−⋅= rkErE

)(33

3),( tiet ω−⋅= rkErE)(

222),( tiet ω−⋅= rkErE

11

2231 , k

nnkkk ==

ii nc

k0

ω=

一般に

であるから

入射波

屈折波（透過波）反射波

境界面での境界条件

1

2

2

1

nn

=θθ

sinsin

境界条件（電場、磁場の連続性）を満たすには、まず第一に境界面での入射波、反射波、屈折波の位相が一致していなければならない。つまり、

31 θθ =したがって

（Snell’s low）

rkrkrk ⋅=⋅=⋅ 321)0,,( yx=r において

332211 sinsinsin θθθ kkk ==

。ゆえに、

（鏡面反射）

321

21 sinsinsin θθθ ==→

nn

P偏光とS偏光入射面と電場が垂直（Transverse Electric）:TE偏光、S偏光

入射面と磁場が垂直（Transverse Magnetic）:TM偏光、P偏光

P偏光

S偏光

（ドイツ語senkrecht＝perpendicular)

（parallel)

入射面

フレネル（Fresnel）の式

)sin()sin(

coscoscoscos

21

21

2211

2211

θθθθ

θθθθ

+−

−=+−

=nnnnrs

)sin(sincos

21

2121θθθθ

+=+= ss rt

)tan()tan(

coscoscoscos

21

21

2112

2112

θθθθ

θθθθ

+−

=+−

=nnnnrp

( ))cos()sin(

sincos212121

21

2

1

θθθθθθ−+

=+= pp rnnt

TE偏光（S偏光）の光の反射率と位相External Reflection (n1<n2) Internal Reflection (n1>n2)

全反射（Total Internal Reflection）

= −

1

21sinnn

cθ

TM偏光（P偏光）の光の反射率と位相External Reflection (n1<n2) Internal Reflection (n1>n2)

ブリュースター角（Brewster angle）

= −

1

21tannn

Bθ

エバネッセント波（Evanescent wave）

11sin121

2 <≡=nn

ncθ

1sinsin 1122 >= θθ n 1122

122 −= θθ sincos ni

と定義すると、スネルの法則より、

( )[ ]

( )txnkizz

tnizxnki

tzxkiti

ee

e

eet

ωθ

ωθθ

ωθθω

−−

−

−+

−+−⋅

=

=

==

11220

122

121122

2222

2

1

2

222

sin

sinsin

cossin)(),(

E

E

EErE rk

−

=1

1

122

122

0θsinnk

z

エバネッセント波（つづき）

ところで、 112211

22 knkk

nnk =⇔= であるから、

( ) ( )txkizz

txnkizz

eeeet ωθωθ −−

−−

== 11011220222

sinsin),( EErE

−=

Ckz

θθ 21

21

0

1

sinsin

x軸方向の波数： ( )211 kk >θsin

z軸方向へのしみ出し：C

zθθπ

λ2

12

10 2 sinsin −=

色々なエバネッセント波

http://www.opt.ip.titech.ac.jp/room1/research/nfo.htmより転載

走査型近接場光学顕微鏡（SNOM）

偏光ビームスプリッター（PBS: Polarizing Beam Splitter）

消光比（extinction ratio)：p偏光とs偏光の透過率の比

良い物 1,000：1悪い物 10：1

グランテーラープリズム

消光比（extinction ratio)：100,000:1

複屈折性および臨界角の屈折率依存性を利用