1. El moviment d’una partícula, que segueix una tra-jectòria rectilínia, està determinat per la gràfica següent:
Dedueix a partir de la gràfica:
a) La posició inicial de la partícula.
b) La posició, el desplaçament i l’espai re corregut quan t = 10 s.
c) La posició, el desplaçament i l’espai recorregut quan t = 30 s.
d) La velocitat en cada tram de la gràfica.
e) La velocitat mitjana al llarg de tot el recorregut.
2. Classifica els moviments següents en funció de la forma de la seua trajectòria: un baló en un llança-ment de penal, un ascensor, el vol d’una mosca; la caiguda d’un cos, una carrera de 100 m, un satèl·lit en òrbita al voltant de la Terra. En quina d’aquestes coincideixen el desplaçament i l’espai re corregut?
3. Un cotxe circula a una velocitat de 60 km/h du-rant 1 hora i 25 minuts, després es para durant 5 minuts i més tard retorna cap al punt de par-tida a una velocitat de 10 m/s durant 45 minuts. Calcula:
a) La posició final.
b) L’espai total recorregut.
c) La velocitat mitjana.
4. Respon a les qüestions següents:
a) Què entens per desplaçament?
b) Com defineixes la trajectòria d’un mòbil?
c) És la mateixa cosa velocitat mitjana que velocitat instantània?
d) Què mesura l’acceleració?
5. Què significa físicament que l’acceleració d’un mòbil siga de 2 m/s2? I que siga de -2 m/s2?
6. Completa la taula següent:
7. Quant de temps tardarà un mòbil a assolir la ve-locitat de 80 km/h, si parteix del repòs i té una acceleració de 0,5 m/s2? Realitza el càlcul i escriu totes les equacions corresponents al moviment del dit mòbil.
8. Ordena de menor a major les velocitats següents:
72 km/h; 120 m/min; 15 m/s; 5,4 ? 103 cm/s
9. En quin dels casos següents posaran una multa a un cotxe que circula per una autopista:
a) Si circula a 40 m/s.
b) Si circula a 1200 cm/min.
(La velocitat màxima permesa en una autopista és de 120 km/h.)
10. Ordena de major a menor les accelera cions se-güents:
4 km/h2; 40 m/s2; 4000 cm/min2
11. Identifica les mesures següents amb les mag-nituds a què correspon i expressa-les en unitats del Sistema Internacional:
a) 30 km/h.
b) 1200 ms.
c) 600 cm/min2.
d) 2,53 ? 104 m/h.
12. Un cotxe que circula a una velocitat de 108 km/h, frena uniformement i es deté en 10 s.
a) Calcula l’acceleració i l’espai que recorre fins a parar-se.
b) Representa les gràfiques v-t i s-t per a aquest moviment.
13. Un mòbil parteix del repòs i, al cap de 5 s, assoleix una velocitat de 5 m/s; a continuació es manté amb aquesta velocitat durant 4 s, i en aquest moment frena uniformement i es deté en 3 s.
a) Representa la gràfica v-t corresponent al dit moviment.
b) Calcula l’acceleració que porta el mòbil en cada tram.
c) Calcula l’espai total recorregut al llarg de tot el moviment.
14. En la gràfica següent x-t, x està expressat en m, i t, en s. Interpreta el moviment realitzat pel mòbil en cada tram i determina:
a) La velocitat en els trams 1r i 3r.
b) L’espai total recorregut.
15. En la gràfica següent v-t, v està expressada en m/s, i t, en s. Determina en cada tram:
a) El tipus de moviment.
b) La velocitat.
c) L’acceleració.
16. Un ciclista arranca i, movent-se en una carretera recta, assoleix en 10 s una velocitat de 25 m/s. Su-posant que l’acceleració és constant:
b) x10 = 30 m; Dx = x10 - x0 = 30 - 10 = 20 m; Ds = 20 m.
c) x30 = 0 m; Dx = x30 - x0 = 0 - 10 = -10 m; Ds = 20 + 30 = 50 m.
d) 10 030 10
2vsm
1= -
-= ;
20 1030 30
0vsm
2= -
-= ;
3 30 200 30
3vsm
=-
-=- .
e) vm = 50/30 = 1,66 m/s.
2. • Rectilinis: ascensor, caiguda d’un cos, carrera de 100 m.
• Curvilinis: baló, vol de la mosca, satèl·lit.
En les que segueixen una trajectòria rectilínia.
3. El moviment consta de tres etapes:
• El cotxe avança a v1 = 60 km/h i t =1,25 h. L’espai recorregut, s1 = 60 ? 1,25 = 75 km.
• El cotxe està parat; v2 = 0 km/h i t = 5 min. L’espai recorregut, s2 = 0 km.
• El cotxe retrocedeix; v´ = 36 km/h i t = 0,75 h.L’espai recorregut en aquesta etapa serà llavors s3 = 36 km/h ? 0,75 h = 27 km.
Així doncs:
a) xfinal = 75 km - 27 km = 48 km.
b) sT = 75 km + 27 km = 102 km.
c) vm = espai recorregut/temps total emprat.
El temps total emprat ha sigut = 1 h 15 min + + 5 min + 45 min = 2 h 5 min = 2,08 h.
Per tant: vm = 2,08102
= 48,96 km/h.
4. a) El desplaçament és la distància existent entre la posició inicial i la posició final.
b) La trajectòria és la línia que segueix el mòbil al llarg del seu moviment.
c) La velocitat mitjana és la relació entre l’espai to-tal que s’ha recorregut i el temps total emprat a recórrer-lo. La velocitat instantània és la que porta el mòbil en un instant determinat de temps.
d) L’acceleració mesura el canvi que experimenta la velocitat al llarg del temps.
5. • Si a = 2 m/s2, el mòbil augmenta el mòdul de la seua velocitat a raó de 2 m/s cada segon.
• Si a = -2 m/s2, disminueix el mòdul de la seua velocitat a raó de 2 m/s cada segon.
6.
7. Passem en primer lloc a unitats del SI:
80 km/h = 80 000 m/3600 s = 22,22 m/s
Substituint en l’expressió general:
v = v0 + a ? t " 22,22 = 0 + 0,5 ? t " t = 44,4 s
És un moviment uniformement accelerat:
v = 0, 5 ? t ; s = 21
? 0,5 ? t2
8. Les transformem a m/s per a comparar-les:
• 72 km/h = 72 000 m/3600 s = 20 m/s.
• 120 m/min = 120 m/60 s = 2 m/s.
• 5,4 ? 103 cm/s = 54 m/s.
Les ordenem de menor a major:
2 m/s < 15 m/s < 20 m/s < 54 m/s
120 m/min < 15 m/s < 72 km/h < 5,4 ? 103 cm/s
9. En el cas a), ja que 40 m/s = 144 km/h, que so-brepassa la velocitat màxima permesa.
1200 cm/min = 12 m/60 s = 0,2 m/s = 7,2 km/h
10. Les transformem a m/s2 per a poder-les comparar:
1. L’equació del moviment d’una partícula és: x (t ) = =2 + 10t, en què t es mesura en segons, i x, en metres. Determina:
a) La posició inicial del mòbil.
b) La posició i el desplaçament del mòbil al cap de 3 s d’iniciar-se el moviment.
c) La forma de la trajectòria seguida pel mòbil.
d) Coincidiran el desplaçament i l’espai recorregut en el dit interval de temps?
2. Observa la gràfica i elegeix quina de les frases següents correspon al moviment que represen-ta:
a) Un automòbil que arranca accelerant i continua a velocitat constant.
b) Un automòbil que es troba en repòs.
c) Un automòbil que circula amb acceleració nul·la.
d) Un automòbil que circula a velocitat constant i frena.
3. Un passatger va assegut en el seu seient a l’interior d’un tren que es mou amb velocitat constant. Ele-geix la resposta correcta que expresse l’estat cine-màtic del passatger:
a) Està en repòs independentment del sistema de referència que s’elegisca.
b) Està en repòs només si es considera un sistema de referència situat dins del tren.
c) Està en moviment respecte a un sistema de re-ferència situat a l’interior del tren, que està en moviment.
d) Està en moviment independentment del siste-ma de referència elegit.
4. Representa de manera esquemàtica, utilitzant vec-tors, la velocitat i l’acceleració de cadascun dels mòbils següents:
a) Un cotxe accelerant en una carretera recta.
b) Un cotxe frenant en una carretera recta.
c) Una pilota que es llança cap amunt.
d) La pilota quan cau.
5. Si el mòdul de la velocitat és constant, hi ha acce-leració?
a) Només si el moviment és rectilini.
b) Només si el moviment és circular.
c) Només si la velocitat és negativa.
d) En cap cas.
6. Un tramvia parteix del repòs i adquireix, després de recórrer 25 m amb MRUA, una velocitat de 36 km/h. Continua amb aquesta velocitat durant 1 minut, al cap del qual frena i en disminueix la velocitat, fins a parar a exactament 650 m del punt de partida. Calcula:
a) L’acceleració i el temps emprat durant la prime-ra fase del moviment.
b) L’espai recorregut durant la segona fase.
c) L’acceleració en la tercera fase.
7. L’equació del moviment d’una partícula és: x = 4 + 5t, en què t està expressat en hores, i x, en quilòmetres.
a) Completa la taula següent:
b) Representa la gràfica x-t. c) De quin tipus de moviment es tracta? Quin és
el significat dels paràmetres 4 i 5 de l’equació?
8. La llum es propaga amb una velocitat de 3 ? 108 m/s. La distància entre la Terra i el Sol és de 8 minuts llum. Expressa aquesta distància en quilòmetres.
9. Una partícula que es desplaça amb MRU porta una velocitat constant de 10 m/s. La posició inicial de la partícula és x 0 = 10 m. Completa la taula se-güent i realitza les gràfiques x-t i v-t corresponents al moviment de la dita partícula.
10. La gràfica següent representa el moviment simulta-ni de dos ciclistes. Observa-la i determina:
a) On se situa el sistema de referència? Parteixen els dos ciclistes del mateix lloc?
b) Quin tipus de moviment porta cada ciclista?
c) Quina és la velocitat de cadascun dels ciclistes?
d) Què ocorre en t = 30 min?
11. Interpreta el moviment realitzat pel mòbil en cada tram i calcula l’acceleració en cadascun d’aquests.
12. El conductor d’un automòbil toca el clàxon i des-prés de 3 s se sent l’eco produït per una muntanya que es troba a 530 m. Si la velocitat del so a l’aire és de 340 m/s, a quina velocitat s’acostava el cotxe a la dita muntanya?
13. El guanyador de la carrera de 100 m llisos, a Barcelo-na 92, va aconseguir una marca de 9,96 s. Calcula:
a) L’acceleració. Suposant MRUA.
b) La velocitat que assolí, expressada en km/h.
14. Suposem que un conductor tarda 0,8 s a reaccionar al volant, i que l’acceleració de fre-nada del seu cotxe és de -6 m/s2. Completa la taula següent, en què sR és l’espai que recorre el cotxe des que el conductor pensa a frenar fins que xafa el fre, i t f és el temps que el cotxe tarda a parar.
15. La velocitat màxima permesa a ciutat és de 50 km/h. Compara la distància que recorre un cotxe que circula a aquesta velocitat amb la que recorre una persona caminant a una velocitat de 5 km/h, en el mateix temps que el cotxe empra a frenar. L’acceleració de frenada del cotxe és de -6 m/s2.
16. Un cotxe que circula a 72 km/h tarda a frenar 4 s (suposem que el valor de l’acceleració de fre-nada a és sempre la mateixa, que és constant, independentment del valor de la velocitat). Pen-sa i digues quina de les afirmacions següents és certa:
a) Si circula al doble de velocitat, tarda el doble de temps a frenar.
b) Si circula al doble de velocitat, recorre el doble d’espai a frenar.
c) Si circula al doble de velocitat, frena amb el do-ble d’acceleració.
d) Cap de les afirmacions anteriors és correcta.
17. Quan es condueix amb temps plujós, l’acceleració de frenada es redueix respecte a la que el cotxe presenta amb el paviment sec. En què influirà aquesta reducció?
a) El cotxe circularà a menor velocitat.
b) El temps de reacció del conductor augmen-tarà.
c) El cotxe tardarà més temps a reduir la veloci-tat.
d) El cotxe tardarà més temps a augmentar-ne la velocitat.
10. a) El sistema de referència se situa en el punt del qual parteix el primer ciclista. Per al segon ci-clista x 0 = 1 km. Per tant, porta un avantatge d’1 km al primer.
b) Ambdós ciclistes porten un MRU.
c) v1 = 30 min6 km
0,5 h6 km
= = 12 km/h
v2 = 30 min
(6 1) km0,5 h5 km-
= = 10 km/h
d) Ambdós ciclistes estan en la mateixa posició: el primer ha agafat el segon.
11. Tram 1: MRUA; a = 0,5 km/h2.
Tram 2: MRU; a = 0.
Tram 3: MRUA; a = 1,5 km/h2.
Tram 4: MRU; a = 0.
Tram 5: MRUR; a = -2 km/h2.
12. En 3 s el so recorre una distància de sso = 340 ? 3 = = 1020 m, mentre que el cotxe haurà recorregut una distància scotxe = v ? 3 m; de manera que la suma dels espais que recorren ambdós serà 530 + 530 == 1060 m.
Així doncs:
1060 = 1020 + 3 v " 40 = 3 v "
" v = 3 s
40 m3/3600 h
40/1000 km= " v = 48 km/h
13. a) s = 21
? a ? t2 " 100 = 21
? a ? 9,962 "
" a = 2,02 m/s2
b) v = v0 + a ? t " v = 0 + 2,02 ? 9,96 == 20,12 m/s " v = 72,43 km/h
14.
15. Substituint en l’expressió vf2 = v0
2 + 2 ? a ? s, re-sulta:
0 = 13,92 - 2 ? 6 ? scotxe " scotxe = 16,1 m
Per a parar-se tarda un temps que obtindrem de: v f = v0 + a ? t "0 = 13,9 - 6 ? t " t = 2,82 s
I com que la persona es mou amb un MRU de ve-locitat 5 km/h = 1,39 m/s:
spersona = 1,39 m/s ? 2,82 s " spersona = 3,92 m
16. a) Verdadera.
b) Falsa.
c) Falsa.
d) Falsa.
17. a) Fals.
b) Fals.
c) Verdader.
d) Fals.
8
8
8
27,77 22,22 4,63 + 0,8
33,33 26,66 5,56 + 0,8
41,66 33,33 6,94 + 0,8
100
120
150
v (km/h) v (m/s) sR (m) t f (s)
373659 _ 0020-0089.indd 31 09/01/12 17:58
Encara que convé expressar totes les magnituds en unitats del SI, en problemes com l’anterior es pot resoldre en km i km/h per tal que resulten nombres més manejables.
v = 50 m/s ? ?1000 m
1 km1 h
3600 s = 180 km/h
t = 15 min ? 60 min
1 h = 0,25 h
El moviment del tren és uniforme, ja que la seua velocitat és constant. L’equació del moviment seria aleshores: s = v ? t.
a) Quan hagen transcorregut 15 minuts, el tren es trobarà a una distància del punt de par tida de:
s = 180 km/h ? 0,25 h = 45 km
b) El temps que tardarà a arribar a Saragossa l’aïllem de l’equació del moviment:
A les 8 h 30 min l’AVE Madrid-Barcelona es troba a 216 km de Saragossa, i es mou a una velocitat de 50 m/s. Determina:
a) La distància que recorrerà en els 15 minuts següents.b) L’hora d’arribada a Saragossa.
1 Una persona fa un crit quan es troba a 200 metres d’una muntanya. Sabent que la velocitat del so a l’aire és de 340 m/s, determina:
a) El temps que tarda a sentir l’eco. b) Si quan crida s’està acostant
a la muntanya amb una velocitat de 3 m/s, quant tardarà a sentir l’eco?
Sol.: a) 1,18 s; b) 1,17 s
2 Un cotxe està a 100 m d’un semàfor i circula per un carrer recte a 36 km/h cap a aquest. Determina:
a) La posició respecte del semàfor després de 0,5 min.
b) El temps que tarda a arribar al semàfor següent que dista 500 m del primer.
Sol.: a) Estarà a 200 m passat el semàfor; b) 60 s
3 Un cotxe ix a les 10 h amb una velocitat constant de 80 km/h.
a) A quina distància es troba a les 12 h 15 min?
b) Quant de temps empra a recórrer els primers 800 m?
Sol.: a) 180 km; b) 0,01 h = 36 s
4 Joan es troba a 200 m de sa casa, i se n’allunya a una velocitat de 4 km/h. Prenent com a punt de referència sa casa, determina:
a) La posició inicial. b) La posició després de 2 minuts. c) El temps que empra a assolir
la posició 500 m.
Sol.: a) 200 m; b) estarà a 200 + 133,33 == 333,33 m de sa casa; c) 270 s = 4,5 min
5 Determina la velocitat d’una formiga, expressada en m/s, que recorre en 180 min la mateixa distància que una persona caminant a 5 km/h durant 6 min.
Sol.: 0,046 m/s
6 Un automobilista circula amb una velocitat constant de 108 km/h en passar per un punt quilomètric determinat d’una autopista. A quina distància d’aquest punt es trobarà 30 minuts després?
Elegim com a referència el poble A, del qual parteix Jaume, considerant positiva la seua velocitat i nega-tiva la de Maria per anar en sentit contrari. Com que ambdós es mouen amb velocitat constant, l’equació aplicable serà la del moviment rectilini i uniforme: x = v ? t.
Escrivim l’equació del moviment per a ambdós ciclistes:
x Jaume = 25 ? t i xMaria = 120 - 35 ? t
a) Perquè els dos ciclistes es troben han d’estar en la mateixa posició en el mateix ins tant.
És a dir, x Jaume = xMaria.
Per tant: 25 ? t = 120 - 35 ? t
Resolent l’equació s’obté: t = 2 h
Per la qual cosa es trobaran a les 11 del matí.
b) Substituint t en qualssevol de les dues equa-cions anteriors obtindrem la posició en què se’n produeix la trobada, respecte del poble A, resultant:
x = 50 km
Jaume i Maria acorden eixir amb bicicleta a les nou del matí de dos pobles, A i B, distants 120 km, amb la intenció de trobar-se al camí. Si les velocitats dels dos són 25 km/h i 35 km/h, respectivament, calcula:
a) A quina hora es trobaran els dos ciclistes?
b) A quina distància del poble A es produeix la trobada?
1 En eixir de casa ton pare ha oblidat la cartera. Quan te n’adones està a 250 m i ixes perseguint-lo amb una bicicleta. Si ton pare camina a 5 km/h i tu vas a 18 km/h, a quina distància de casa l’atraparàs? Quant de temps tardaràs a agafar-lo?
Sol.: A 346 m i 69,2 s
2 En un moment determinat el cotxe d’uns lladres passa per un punt amb una velocitat de 90 km/h. Als 10 minuts passa perseguint-lo un cotxe de la policia amb velocitat de 120 km/h. A quina distància del dit punt l’agafarà? Quant de temps deu haver transcorregut des que passà el primer cotxe?
Sol.: A 60 km i 30 min
3 Dos ciclistes eixiran per la mateixa carretera recta amb velocitats constants de 15 km/h i 25 km/h.
a) Quin ha d’eixir primer perquè es troben?
b) Si el segon dels ciclistes ix 1 hora després del primer, quant de temps tarda a agafar-lo? A quina distància del punt de partida?
Sol.: a) Ha d’eixir el que va a la menor velocitat, el de 15 km/h; b) 1,5 h i 37,5 km
4 En passar per la recta de meta, un cotxe de Fórmula 1 que circula a 300 km/h agafa un altre que circula a 280 km/h. Suposant que mantenen constant la velocitat, calcula quina distància els separarà mig minut després.
Sol.: 166,7 m
5 Dos cotxes circulen amb velocitats respectives de 36 km/h i 108 km/h per una autopista. Si inicialment ambdós circulen en el mateix sentit i estan separats 1 km, en quin instant i posició agafarà el cotxe més veloç el més lent?
EL MOVIMENT1 1Una motocicleta, amb una acceleració de 2 m/s2, arranca des d’un semàfor. Calcula el temps que tarda a assolir una velocitat de 72 km/h. Si aleshores comença a frenar amb una acceleració d’1,5 m/s2 fins a parar-se, calcula la distància que va recórrer.
1 Un automòbil que porta una velocitat de 90 km/h frena i en mig minut ha reduït la velocitat a 18 km/h. Calcula:
a) Quant val l’acceleració del vehicle? b) Quin espai ha recorregut en aquest temps? c) Quant de temps tardaria a parar?
Sol.: a) -0,66 m/s2; b) 453 m; c) 37,9 s
2 Quina velocitat màxima podrà portar un cotxe per a no xocar amb un obstacle que apareix sobtadament a 100 m del cotxe? Suposem que el conductor reacciona immediatament i que l’acceleració de frenada és de -4 m/s2.
Sol.: a) 28,28 m/s = 101,8 km/h
3 Partint del repòs, un cotxe de Fórmula 1 pot assolir una velocitat de 180 km/h en 10 s. Calcula l’acceleració del bòlid i l’espai que recorre en aquest temps.
Sol.: a = 5 m/s2; s = 250 m
4 Una moto que parteix del repòs assoleix una velocitat de 72 km/h en 7 s. Determina:
a) L’acceleració. b) L’espai recorregut en aquest temps. c) La velocitat que assolirà als 15 s.
Sol.: a) 2,85 m/s2; b) 69,8 m; c) 42,7 m/s
5 Un automòbil que circula a 36 km/h accelera uniformement fins a 72 km/h en 5 segons. Calcula:
a) L’acceleració. b) L’espai recorregut en aquest temps.
Sol.: a) 2 m/s2; b) 75 m
6 Un camió que circula a una velocitat de 90 km/h para en 10 s per l’acció dels frens. Calcula:
a) L’acceleració de frenada. b) L’espai recorregut durant aquest temps.
Sol.: a) -2,5 m/s2; b) 125 m
PROBLEMA RESOLT 3
ACTIVITATS
Plantejament i resolució
En primer lloc expressem la velocitat en unitats del SI:
v = ? ?1 h
72 km
1 km1000 m
3600 s
1 h20
sm
= m/s
Com que hi ha acceleració, hem d’aplicar les equacions del moviment rectilini uniformement accelerat:
v = v0 + a ? t
s = v0 ? t + 21
? a ? t 2
La velocitat inicial, v0, és zero, per la qual cosa podem aïllar el temps de la primera de les equacions:
220
tav
10m/sm/s
s2= = =
A partir de la segona equació podem calcular l’espai recorregut en aquesta primera part:
s = 21
? 2 m/s2 ? 102 s2 = 100 m
Si en aquest instant comença a frenar, la velocitat disminuirà fins a parar-se. Emprem les mateixes equacions, amb l’excepció que ara l’acceleració serà negativa.
t = av
= ,20
1 5 m/sm/s
2 = 13,3 s
I la distància recorreguda en la segona part serà:
MÒBILS QUE CANVIEN EL SEU TIPUS DE MOVIMENT1 FITXA 3 1
Un cotxe que circula a 65 km/h comença a accelerar amb una a = ct. = 4 m/s2. Després de 5 s accelerant veu que un cabirol es creua a la carretera, per la qual cosa frena bruscament durant 3 s amb una a = ct. = 5 m/s2. Després d’aquest temps, i amb el cabirol fora de perill, la conductora alça el peu del fre i manté aquesta velocitat constant durant 15 s, moment en què entra en un túnel.
• A quina distància estava del túnel quan començà a accelerar? Representa la posició, velocitat, i acceleració en funció del temps.
continua "
SOLUCIÓ
Seguim els passos següents:
1. Dibuixem un sistema de referència que indique el tipus de moviment en cada tram i escrivint sobre cadascun les dades del problema.
2. Veiem ara la posició x del cotxe al final de cada tram. (La que tinga al final de l’últim tram serà la resposta a la pregunta.)• Tram 1 (MRUA):
Tenim:? ? ? ? ? ?18,1 5 4 5 140,5x x v t a t
21
21
m/s s m/s s m1 01 01 1 12 2 2= + + = + =1
2
Sent ,x v t0 65 km/h 18,1 m/s, 5 s01 01= = = =1 i a1= 4 m/s2.
• Tram 2 (MRUA): Ara:
t? ? ? ? ? ?140,5 38,1 3 5 3 232,3 x x v t a21
21
m m/s s m/s s m2 02 02 2 22 2 2= + + = + - =2
2
Sent x x 140 m02 1= = (la posició inicial en el 2n tram és la final en el 1r):? ?18,1 4 5 38,1v v v a t m/s m/s s m/s02 01 1 1
2f= = + = + =1
(La velocitat inicial en el 2n tram és la final en el 1r)t2 = 3 s i a2 =-5 m/s2
• Tram 3 (MRU): Llavors:x3 = x03 + v3 ? t3 = 232,3 m + 23,1 m/s ? 15 s = 578,8 m estava del túnel quan va començar a accelerar.Sent x03= x2 (la posició inicial en el tercer tram és la final en el segon):
? ?38,1 5 3 23,1v v v a t m/s m/s s m/s3 02 2 22
f= = + = - =2
(La velocitat inicial en el 2n tram és la final en el 1r)t3 = 15 s
MÒBILS QUE CANVIEN EL SEU TIPUS DE MOVIMENT1 FITXA 3
continua "
3. Representem ara x-t, v-t, y a-t:
El tram 1 (MRUA) comprén des de t = 0 fins a t = 5 s:
• La gràfica x-t és una paràbola. Hi dibuixem punts. Per a això substituïm valors de t1
• en l’equació: t t2 2? ? ? ? ?,x x v t a t21
18 1 21 01 01 1 1 1= + + = +1 1.
t1 = 0 s " x1 = 0; t1 = 1 s " x1 = 20 m; t1 = 2 s " x1 = 44 m; t1 = 3 s " x1 = 72 m
• La gràfica v-t és una recta el pendent de la qual és a1= 4 m/s2. Per a dibuixar la recta en calculem dos punts i substituïm en: a ? ?,v v t t18 1 401 1 1= + = +1 1.
t1 = 0 s " v1 = 18,1 m/s; t1 = 5 s " v1 = 38,1 m/s
• La gràfica a-t és una funció constant de valor a1 = 4 m/s2.
El tram 2 (MRUA) comprén des de t = 5 s fins a t = 8 s:
• La gràfica x-t és una paràbola. En t = 5 s " x2 = 140,5. En t = 8 s " x = 232,3 m.
• La gràfica v-t és una recta el pendent de la qual és a1 = -5 m/s2. Per a dibuixar la recta sabem que:
en t = 5 s " v = 38,1 m/s, i en t = 8 s" v = 23,1 m/s
• La gràfica a-t és una funció constant de valor a2 = -5 m/s2.
El tram 3 (MRU) comprén des de t = 8 s fins a t = 23 s:
• La gràfica x-t és una recta el pendent de la qual és la velocitat v3 = 23,1 m/s. en t = 8 s " x = 232,3 m, i en t = 23 s " x = 578,8 m
• La gràfica v-t és una funció constant de valor v3 = 23,1 m/s.
• La gràfica a-t és una funció constant de valor a3 = 0 m/s2.
Vegem a través de dos exemples els diferents passos per a resoldre un problema en què hi ha diferents mòbils, amb el mateix tipus de moviment o diferent. Fixa’t atentament i et servirà per a resoldre els problemes següents.
En eixir de sa casa un pare ha oblidat l’esmorzar. El seu fill s’adona quan son pare està ja a 200 m de la casa i ix darrere d’ell amb la seua bicicleta. El pare camina a una velocitat constant de 5 km/h i el seu fill l’acaça a una velocitat de 22 km/h, també constant. Analitza el moviment.
t1
t20 200 x1
x2
x (m)
SOLUCIÓ
1. Dibuixem la situació en el moment en què el fill ix de casa (t = 0) en un sistema de referència comú per a ambdós.
2. Identifiquem el tipus de moviment de cadascun i n’escrivim les equacions de posició i velocitat en funció del temps.
Fill " MRU Pare " MRU• v1 = 22 km/h = 6,11 m/s • v2 = 5 km/h = 1,39 m/s• x1 = x01 + v1 ? t1 = 6,11 ? t1 • x2 = x02 + v2 ? t2 = 200 + 1,39 ? t2
3. Ara ens podem preguntar: Quin temps tarda el fill a agafar el pare? A quina distància de la casa es produeix la trobada?
Per a respondre a aquestes preguntes seguim l’estratègia següent: dibuixem la situació que ens planteja l’enunciat i ens preguntem què tenen en comú el pare i el fill en aquesta situació per a poder plantejar una igualtat: és la velocitat?, és el temps transcorregut?, és la posició?
Després de pensar un poc descobriràs que quan el fill agarra el pare les seues velocitats no són iguals, però sí que ho són tant el temps transcorregut com la posició d’ambdós. És a dir:
x1 = x2 i t1 = t24. Resolem (Pista: És més fàcil començar amb x1 = x2.):
x1 = x2 "6,11 ? t1 = 200 + 1,39 ? t2Com que t1 = t2 anomenem t ambdós temps:
Per tant, 42,37 s és el temps que tarda el fill a agafar el pare.
Com que en aquest instant de temps la posició d’ambdós és la mateixa (recorda: x1 = x2), per a calcular la distància a la casa pots substituir aquest temps en qualssevol de les dues equacions: x1 o x2. Substituïm per exemple en x1, que és més senzilla:
x1 = 6,11 ? t1 = 6,11 m/s ? 42,37 s = 258,9 m
Per tant, 258,9 m és la distància a la casa quan es trobaren.
Comprovem que donaria igual si haguérem substituït en l’equació de x2:
x2 = 200 + 1,39 ? t2 = 200 m + 1,39 m/s ? 42,37 s = 258,9 m
5. Ara podem representar la posició, la velocitat i l’acceleració en funció del temps per al pare i per al fill:
Ho fem sobre els mateixos eixos de coordenades per a comparar les gràfiques millor.
Per a representar x-t, que és una recta en un MRU, només necessitem conéixer dos punts de la recta, per exemple:
Fill:
• En t = 0 " x1 = 0 • En t = 10 " x1 = 6,11 ? 10 = 61,1 m
Pare:
• En t = 0 " x2 = 200• En t = 10 " x2 = 200 + 1,39 ? 10 =
= 213,9 m
Observa que podíem haver pres un mateix punt per a ambdues que ja coneixíem: En t = 42,37 " x1 = x2 = 258,9 m
Pots comprovar ara que aquest és el punt d’intersecció de les rectes.
Per a representar v-t i a-t has d’adonar-te que són funcions constants, amb la particularitat de ser zero per a l’acceleració, ja que els dos moviments són MRU.
5 Un automòbil està parat en un semàfor. Quan s’encén el llum verd arranca amb una acceleració constant a = 2 m/s2. En el moment d’arrancar, un camió que es mou amb una velocitat constant de 60 km/h l’avança. Calcula:
a) Quant de temps passa fins que el cotxe agafa el camió? b) A quina distància del semàfor l’agafa? c) Quina velocitat té cadascun en aquell instant?
1
SOLUCIÓ
1. Fes un dibuix de la situació just quan el camió avança el cotxe (t = 0) en un sistema de referència (eix X, i elegeix com a origen el semàfor).
2. Indica el tipus de moviment de cadascun i escriu-ne les equacions de posició i velocitat en funció del temps.
• Camió (MRU):6v 0 km/h 16,67 m/s1 = =
? ?16,67x x v t t= + =1 01 1 1 1
• Cotxe (MRUA):
? ?2v v a t t2 02 2 2 2= + =
2? ? ? ? ?2x x v t a t t t21
21
2 02 02 22= + + = =2 2
2 2
3. Imagina què ocorrerà i dibuixa en el sistema de referència el moment en què el cotxe agafa el camió.
Al principi el camió pren avantatge, però el cotxe, a poc a poc, la va reduint fins a agafar-lo.
