El plano cartesiano y Gráficas de ecuaciones y puntos • El par ordenado (3, 1) corresponde al un...

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El plano cartesiano y

Gráficas de ecuaciones

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Sistema de coordenadas rectangulares

• En el cap 2 presentamos la recta numérica real que resulta al

establecer una correspondencia uno a uno entre el conjunto de

los números reales y puntos sobre una recta.

• Identifica el punto de la recta numérica de arriba asociado al

valor real que se da:

• _____ - ½

• _____ 𝜋

• _____ 1.4

a

b

c

d

e



• En el sistema de coordenadas

rectangulares se usan dos rectas

numéricas que intersecan a 90

grados, en el cero de cada recta.

• La recta horizontal se llama eje de x

y la recta vertical, eje de y.

• La intersección de los dos ejes se

llama el origen.

• Los ejes dividen el plano en cuatro

cuadrantes, I-IV.


Cuadrantes y puntos

• A cada punto P en el plano le

corresponden dos coordenadas:

La abscisa es la distancia

horizontal desde el punto

hasta el eje vertical.

La ordenada es la distancia

vertical desde el punto hasta

el eje horizontal.

• Estas coordenadas se

representan mediante un par

ordenado (a, b)


Cuadrantes y puntos

• El par ordenado (3, 1)

corresponde al un punto

localizado a 3 unidades a

la derecha del origen y 1

unidad hacia arriba.

• El par ordenado (-2, 4)

corresponde al un punto

localizado a 2 unidades a

la izquierda del origen y 4

unidades hacia arriba.

• En general los signos en

los cuadrantes se

distribuyen como se

muestra.



P

Q

Notar los puntos P y

Q. ¿Cuál punto tiene

coordenadas

2, − 2 ?

G

P


Ecuaciones en dos variables

• Una ecuación en dos variables describe la

relación entre dos cantidades.

• Ejemplos

2x – 5 = 20 es una ecuación en una variable

y = 2x – 5 es una ecuación en dos variables

3x – 4y = 8 es una ecuación en dos variables que

no esta despejada para y.


Gráfica de una Ecuación

• La gráfica de una ecuación en dos variables

es el conjunto de todos los pares ordenados,

(a,b), cuyas coordenadas satisfacen la

ecuación.

• Si un par ordenado satisface una ecuación se

dice que es una solución de la ecuación.


Solución de una Ecuación

La solución de una ecuación en dos variables, x y y, es un par ordenado de números reales, (a,b) que tiene la propiedad que al sustituir el valor de a por x, y el valor de b por y, se produce un enunciado cierto. Ejemplo: ¿Es (2,7) una solución de y = 3x + 1? Solución: Al sustituir x por 2 y y por 7 tenemos 7 = 3(2) + 1 7 = 7 Esto es un enunciado cierto, por lo tanto (2,7) es una solución de y = 3x + 1.


Ejemplo

Ejemplo: ¿Es (1,-4) una solución de y = 2x – 5?

Solución:

Al sustituir x por 1 y y por -4 tenemos

-4 = 2(1) – 5

-4 = -3

Esto es un enunciado FALSO, por lo tanto (1,-4)

NO es una solución de y = 2x – 5.


Localización de puntos

• Una forma de bosquejar (“sketch”) la gráfica

de una ecuación es localizar suficientes puntos

(soluciones), hasta obtener una imagen clara

de la forma de la gráfica.

Ejemplo: Gráfique : y = 3x + 1 . Elegimos algunos valores para sustituir por x:

x = -2, 0, 1

3, 1, 2

Construimos una tabla de valores.


Graficar y = 3x + 1

Evaluamos la ecuación

en los valores de x para

determinar los valores

correspondientes de y.

x y

2 7

-2 -5

1 4

1/3 2

0 1


Cont. Ejemplo

• Con cada par de valores,

(x, y) construimos un

par ordenado.

• Luego los graficamos en

el plano.

(2, 7)

(-2, -5)

(1, 4)

(1/3, 2)

(0, 1)

x y

2 7

-2 -5

1 4

1/3 2

0 1

Ej 1 - Powerpoint Graficas.ggb


Cont. Ejemplo (2, 7)

(-2, -5)

(1, 4)

(1/3, 2)

(0, 1)

Una gráfica con esta

forma se conoce

como una recta.


Intervalo de crecimiento

Si observamos el

comportamiento de los

puntos en la gráfica,

notamos que a medida

que los valores de x se

hacen más grandes, los

valores de la y también

se hacen más grandes.

Decimos que la recta

sube en el plano.

Decimos que la recta es

creciente.


Eje

rcic

ios


Cont. Ejemplo


Cont. Ejemplo

a medida que los valores

de x se hacen más grandes,

los valores de la y se hacen

más pequeños.

Decimos que la recta baja

en el plano.

Decimos que la recta es

decreciente.


Dibujar la grafica de 3x – 4y = -8 Primeramente nos conviene despejar la ecuación para y.

3x – 4y = -8

3x + 8 = 4y

3𝑥 + 8

4= y

𝑦 =3

4𝑥 +

8

4

𝑦 =3

4𝑥 + 2

x y

-8

-4

0

4

8

𝟑

𝟒−𝟖 + 𝟐 =

𝟑

𝟒−𝟒 + 𝟐 =

𝟑

𝟒𝟎 + 𝟐 =

𝟑

𝟒𝟒 + 𝟐 =

𝟑

𝟒𝟖 + 𝟐 =

−𝟒

−𝟏

𝟐

𝟓

𝟖


Cont. Ejemplo

−8, −4

−4, −1

0, 2

4,5

8,8


Cont. Ejemplo

El

intercepto

en y

El

intercepto

en x

Los interceptos de

una gráfica son los

puntos donde la

gráfica corta los

ejes.

El intercepto en y

tiene coordenadas

(0,b), donde b es

cualquier número

real.

El intercepto en x

tiene coordenadas

(a,0), donde a es

cualquier número

real.


Ejemplo Dado 2x – 5y = 8 , bosqueje la gráfica de la

ecuación.

SOLUCION: La ecuación es lineal por que el exponente de la

variable x y el exponente de la variable y es 1.

Método de los interceptos:

• int-y: (x =0) 2(0) – 5y = 8

• 𝒚 = −𝟖

𝟓

• 𝟎, −𝟖

𝟓

•

• int-x: (y=0) 2x – 5(0) = 8

• x = 4

• (4, 0)


• Cualquier ecuación en dos

variables que representa

una recta tiene la forma

y = m x + b

• Por ejemplo, a la derecha

se muestra la grafica de y

= 2x – 1

Nota: Una recta tiene tres

características distintivas:

su inclinación

intercepto – y

intercepto - x

Ecuaciones lineales (ecuaciones de rectas.)


Noción de pendiente Se describe la inclinación de una

recta con una medida llamada

pendiente.

A mayor pendiente, mayor

inclinación. (En la figura L1 está

más inclinada que L2.)

Para calcular la pendiente,

tomamos dos puntos que

pertenecen a la recta,

𝒙𝟏, 𝒚𝟏 , 𝒙𝟐, 𝒚𝟐 ,

y calculamos:


Solución: Utilizando la fórmula:

𝒎 =𝟕 − 𝟑

𝟑 − 𝟏

𝒎 =𝟒

𝟐= 𝟐

Observemos la figura 4.2

Nota: La pendiente es positiva, la recta

«sube» en el plano (de izquierda a

derecha

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa

por los puntos (1, 3) y (3, 7).


Hallar la pendiente

• Haz un bosquejo de la recta que pasa por los

dos puntos dados y halla la pendiente.

a) A(-1, 4) and B(3, 2)

b) A(2, 5) and B(-2, -1)

c) A(4, 3) and B(-2, 3)

d) A(4, -1) and B(4, 4)

• Ilustramos:


Hallar la pendiente (continuación)

2 4 2 1(a)

3 1 4 2m

5 1 6 3(b)

2 2 4 2m


Slope of Line (cont’d)

3 3 0(c) 0

2 4 6m

(d) La pendiente no está definida.


Pendiente Positiva y Negativa

• Ilustramos ambos casos:


Sec

. 8

.4

pag

. 339

30

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Forma Pendiente-Intercepto

• y = mx + b .

El número b es el intercepto en y de la gráfica.

• La gráfica es una recta con pendiente m y que

pasa por el punto (0, b) .

• Ilustramos:


Slope-Intercept (cont’d)

recta con pendiente

(inclinación igual a

m

../../Animations/chapter2/sec2-3fig9.mov


Ejemplo

Exprese la ecuación 2x – 5y = 8 en la forma

pendiente-intercepto.

SOLUCION:

2x – 5y = 8

- 5y = -2x + 8

𝒚 = −𝟐

−𝟓𝒙 +

𝟖

−𝟓

𝒚 =𝟐

𝟓𝒙 −

𝟖

𝟓


• Cuando un médico inyecta un medicamento en el músculo de un

paciente, la concentración del fármaco en el cuerpo, depende del

tiempo transcurrido después de la inyección.

• La siguiente figura muestra la gráfica de la concentración del

fármaco sobre el tiempo.

a. ¿Durante que periodo

está la concentración de

medicamento aumentando?

Solución:

La concentración del

fármaco está aumentando de

0 a 3 horas.

Como intervalo: (0, 3)

Interpretar gráficas


b. ¿Durante que periodo está la concentración de medicamento

disminuyendo?

Solución:

La concentración del fármaco está disminuyendo desde las 3

hasta las 13 horas.

Como intervalo: (3, 13)

c. ¿Cuál es la

concentración máxima de la

droga? ¿Cuándo ocurre?

Solución:

Concentración máxima es

de 0.05 mg por 100 ml, que

se produce después de 3

horas.


d. ¿Qué ocurre al final de

13 horas?

Solución:

Ya no queda medicamento

en el cuerpo.



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