Elementos de CFin 2015_2016

8/18/2019 Elementos de CFin 2015_2016

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UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIORFaculdade de Ciências Sociais e HumanasDepartamento de Gestão e Economia

Cálculo Financeiro2015/2016


Elementosde

CálculoFinanceiro

Informações;Acetatos e

Demonstrações;Exercícios.

Ano letivo

2015/2016

Curso de Economia

Docente:

Francisco Antunes

h t t p : /

/ i c o n s . m

y s i t e m y w a y . c

o m / l e g a c y - i c o n / 1 0 4 8 4 6

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/ f u n n y - m a t h - e q u a t i o n s - c a r t o o n . h

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INFORMAÇÕES GERAIS DA UNIDADE CURRICULAR

ObjetivosEsta unidade curricular tem como objetivo dar a compreender a importância do cálculo financeiropara as organizações, facultando uma visão aprofundada e integrada das operações financeiras(financiamentos e aplicações) e da sua relação com a gestão global da empresa.

Competências a adquirirCom a aprovação na presente unidade curricular, o aluno deve ser capaz de:

• Capitalizar e atualizar capitais em diferentes cenários

• Diferenciar os diferentes tipos de taxas

• Calcular rendas em diferentes modalidades

•

Desdobrar o serviço de dívida nos respetivos componentes• Incluir os efeitos dos custos de transação, inflação e fiscalidade nas operações financeiros

Programa e bibliografia por capítulos

1 - Capitalização e Desconto1.1 - Conceitos introdutórios

1.1.1 - Definição e objetivos1.1.2 - Variáveis básicas1.1.3 - Valor atual e valor acumulado1.1.4 - Juro e taxa de juro1.1.5 - Desconto e taxa de desconto1.1.6 - Axiomas do cálculo financeiro

1.2 - Regimes de juro1.2.1 - Regime de juro simples1.2.2 - Regime de juro composto1.2.3 - Regimes de juro mistos1.2.4 - Desvios è teoria (juro nulo e retenção sem capitalização de juros)

1.3 - Assincronismo da capitalização de juros1.3.1 - Taxas proporcionais e taxas nominais1.3.2 - Taxas equivalentes e taxas efetivas

1.4 - Atualização ou desconto1.4.1 - Desconto composto1.4.2 - Taxas de juro na avaliação1.4.3 - Taxas de desconto na avaliação1.4.4 - Desvios à teoria (desconto por dentro e desconto por fora)

1.5 - Equivalência de capitais1.5.1 - Equação de valor1.5.2 - Incógnitas possíveis na equação de valor1.5.3 - Capital único1.5.4 - Vencimento único e vencimento médio

1.5.5 - Vários capitais1.5.6 - Implicações na taxa de juro

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2 - Rendas 2.1 - Enquadramento e definições2.2 - Rendas inteiras e fracionadas com termos constantes

2.2.1 - Rendas temporárias imediatas2.2.2 - Rendas temporárias diferidas2.2.3 - Rendas perpétuas imediatas2.2.4 - Rendas perpétuas diferidas

2.3 - Rendas inteiras e fracionadas com termos variáveis2.3.1 - Rendas com termos variáveis de qualquer natureza2.3.2 - Rendas com termos variáveis em progressão aritmética2.3.3 - Rendas com termos variáveis em progressão geométrica

2.4 - Rendas inteiras e fracionadas por patamares ou escalões2.4.1 - Rendas por patamares em progressão aritmética2.4.2 - Rendas por patamares em progressão geométrica

3 - Serviço de Dívida 3.1 - Enquadramento e definições3.2 - Reembolso de empréstimos

3.2.1 - Reembolso total no final do empréstimo3.2.1.1 - Pagamento único de juros no fim do prazo3.2.1.2 - Pagamento único de juros no início do prazo3.2.1.3 - Pagamento de juros ao longo do prazo3.2.1.4 - Pagamento único de juros durante o prazo

3.2.2 - Reembolso ao longo do prazo e pagamento único de juros3.2.2.1 - Pagamento único de juros no fim do prazo3.2.2.2 - Pagamento único de juros no início do prazo3.2.2.3 - Pagamento único de juros durante o prazo

3.2.3 - Reembolso ao longo do prazo e pagamento único de juros3.2.3.1 - Pagamento único de juros no fim do prazo3.2.3.2 - Pagamento único de juros no início do prazo3.2.3.3 - Pagamento único de juros durante o prazo

3.2.4 - Reembolso ao longo do prazo e pagamento de juros ao longo do prazo3.2.4.1 - Pressupostos3.2.4.2 - Mapas de serviço de dívida

3.2.4.3 - Serviço de dívida constante3.2.4.3 - Serviço de dívida variável com parcelas de reembolso constantes

3.3 - Avaliação de empréstimos3.3.1 - Enquadramento e definições3.3.2 - Empréstimos com taxa indexada3.3.3 - Empréstimos com taxa fixa3.3.4 - Plena propriedade

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4 - Custos de transacção, inflação e fiscalidade 4.1 - Enquadramento e definições4.2 - O efeito dos custos de transação no estudo das taxas

4.2.1 - Taxas de custo efetivas4.2.2 - Taxas de rentabilidade efetivas4.2.3 - Taxa anual efetiva (T.A.E.)4.2.4 - Taxa anual efetiva global (T.A.E.G.)

4.3 - O efeito da inflação no estudo das taxas4.3.1 - Taxas de juro nominais (a preços correntes)4.3.2 - Taxas de juro reais (a preços constantes)

4.4 - O efeito fiscal no estudo das taxas4.4.1 - Taxas de juro brutas ou ilíquidas (antes de impostos)4.4.2 - Taxas de juro líquidas (depois de impostos)

Lista global da bibliografia recomendada

CADILHE, Miguel (1995) "Matemática Financeira Aplicada", Edições Asa, Porto, ISBN 972-41-1214-4, Capítulos 1, 3, 5 e 8

FERREIRA, Roberto G. (2000) "Matemática Financeira Aplicada", Ed. Universitária da UFPE,5.ª Edição, Recife, Brasil, ISBN 85-7315-028-9

MATIAS, Rogério (2007) "Cálculo Financeiro - Teoria e Prática", Escolar Editora, 2.ª Edição,Lisboa, ISBN 978-972-592-210-1

MATIAS, Rogério, SILVA, Ilídio (2008) "Cálculo Financeiro - Exercícios Resolvidos eExplicados", Escolar Editora, Lisboa, ISBN 978-972-592-233-0

MATIAS, Rogério (2008) "Cálculo Financeiro - Casos Reais Resolvidos e Explicados", EscolarEditora, Lisboa, ISBN 978-972-592-234-7

MATEUS, Alves (1994) "Cálculo Financeiro", Edições Sílabo, 3.ª Edição, Lisboa, ISBN 972-618-112-3

MATEUS, Alves (1994) "Exercícios Práticos de Cálculo Financeiro", Edições Sílabo, 2.ªEdição, Lisboa, ISBN 972-618-103-8

SILVA, Armindo Neves (1993) "Matemática das Finanças - Volume I", McGraw-Hill, 2.ªEdição, Lisboa, ISBN 972-9241-36-6

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Metodologia de ensino:

Exposição oral de conceitos.Resolução de exercícios de consolidação.

Sistema de avaliação

Inscrição em turnos

Os alunos têm que estar inscritos exclusivamente numa turma, até ao limite fixado. Não serápossível a alternância entre os turnos, exceto aos alunos que comprovadamente detenham oestatuto de trabalhador-estudante (caso em que a inscrição não é necessária), ou quando o docenteassim o permita.

Nota mínima para exame

A nota mínima para exame é 6 valores em EEA.

Elementos de Avaliação em Época de Ensino/Aprendizagem:

Frequência 1 (25,0%) 05,0 valores ________________________




Total (100,0%) 20,0 valores

O docente reserva o direito de realizar uma prova oral quando surjam dúvidas na atribuição daclassificação.

Será concedida a classificação de "frequência" (e consequentemente a admissão ao exame) aosalunos cujo somatório dos elementos de avaliação seja inferior a 9,5 valores, mas sendo pelo menosigual a 6 valores.

Aos alunos trabalhadores estudantes e outros previstos em regimes especiais aplicam-se as mesmasregras anteriores.

Obterão aprovação em época de ensino-aprendizagem os alunos que obtiverem nessa época umaclassificação global igual ou superior a 9,5 valores, estando estes dispensados do exame. Os alunosaprovados poderão sempre realizar o exame para efetuar a melhoria da sua nota (em caso de amelhoria não ser atingida manter-se-á a classificação anteriormente obtida).

Alunos detetados nas situações mencionadas em "Normas de funcionamento de frequências e

exames" (ver mais abaixo) não serão admitidos em mais momentos de avaliação, estandoautomaticamente reprovados.

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Exceções ao regime de avaliação em Época de Ensino/Aprendizagem: Todas as outras situações, serão tratadas de acordo com as “Regras Gerais de Avaliação de

Conhecimentos” da UBI aprovadas pelo despacho n.º 28/2006 de 14 de Setembro e retificadas pelodespacho n.º 33/2008 de 1 de Setembro.

Elementos de Avaliação em Épocas de Exame:

Em épocas de exame a avaliação será realizada sob a forma de prova escrita, com cotação de 20,0valores. Os exames de época normal e recurso versarão sempre sobre a totalidade da matérialecionada.

Normas de funcionamento de frequências e exames: O aluno que for detetado em situação fraudulenta ficará automaticamente reprovado,independentemente da época de avaliação. Caso o aluno já tenha obtido nota positiva (caso demelhorias) e seja detetado em situação irregular o aluno passará a estar como reprovado.

Horário de atendimento:

O horário de atendimento será às terças-feiras das 09:00 às 11:00. No entanto, é sempre possível amarcação de outro horário para atendimento, desde que previamente acordado com o docente.

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http://../2008-2009/despacho%2028%20de%2014%20set2006.pdfhttp://../2008-2009/despacho%2028%20de%2014%20set2006.pdfhttp://../2008-2009/despacho%2028%20de%2014%20set2006.pdfhttp://../2008-2009/despacho%2033%20de%2001set2008.pdfhttp://../2008-2009/despacho%2033%20de%2001set2008.pdfhttp://../2008-2009/despacho%2033%20de%2001set2008.pdfhttp://../2008-2009/despacho%2028%20de%2014%20set2006.pdf


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Acetatos e

demonstrações

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CONCEITOS BÁSICOS DO CÁLCULO FINANCEIRO

Capital financeiro e valor temporal do dinheiro (TVM - Time Value ofMoney)Receber €10.000 hoje ou no fim do ano?Hoje:

- Possibilidade de: consumir | poupar | ambas

Fator tempoNecessidade de reportar a um mesmo momento diferentes capitais paraefetuar a análise financeira

JuroRemuneração de um capital (ou conjunto de capitais) durante um prazotemporalÉ a “recompensa” por renunciar (ou apenas adiar) o consumo.É o valor a suportar pela utilização de capital alheio.

Operação FinanceiraAto que transforma um ou mais capitais de um dado montante, noutros deoutro montante, por ação do tempo e de uma taxa de juro.Intervêm:

o mutuário (aquele que tem que pagar);

o mutuante (o que tem a receber).

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REGRAS DE OURO (AXIOMAS) DO CÁLCULO FINANCEIRO

Fonte: Cadilhe, 1995

Presença de capital e presença de tempo e ausência de juro é umaimpossibilidade no cálculo financeiro.

Ausência de capital ou ausência de tempo e presença de juro é outraimpossibilidade.

Isto é: o juro zero pode ocorrer se e só se o capital for zero ou/e o prazofor zero.

Qualquer operação matemática sobre dois ou mais capitais requer a suahomogeneização no tempo.

Isto é: dados os capitais C e C’, pode fazer-se C + C’, ou C – C’, ou C > C’, ouC = C’, etc., se é só se eles estiverem referidos ao mesmo momento.

O juro em cada período de capitalização é igual ao capital do início doperíodo multiplicado pela taxa de juro.

Isto é: sendo Jk o juro do período k, Ck-1 o stock de capital no início domesmo período, isto é, no momento k-1, ik a taxa de juro em vigor nomesmo período vem:

Jk = ik x Ck-1 (com k = 1, 2, 3, …)

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REGIME DE JURO SIMPLES

Período

Capital

inicial do

período Juro periódico Capital acumulado no fim de cada período

1 C

j1= C0.1.i C1 = C0 + j1 = C0 + C0.i = C0.(1+i)

2 C

j2= C0.1.i C2 = C1 + j2 = C0 + C0.i+ C0.i = C0 + 2.C0.i = C0.(1+2.i)

3 C

j3= C0.1.i C3 = C2 + j3 = C0.(1+2i) + C0.i = C0.(1+3.i)

… … …

n-1 C

jn-1= C0.1.i Cn-1 = Cn-2 + jn-1 = C0.(1+(n-2).i) + C0.i = C0.(1+(n-1).i)

n C

jn= C0.1.i Cn = Cn-1 + jn = C0.(1+(n-1)i) + C0.i = C0.(1+n.i)

i= 5,00%

€

Período

Capital

inicial do

período

Juroperiódico

Juro acumulado Cap. no momento

C0.(1+ni)

1 1.000,00 50,00 50,00 1.050,00

2 1.000,00 50,00 100,00 1.100,00

3 1.000,00 50,00 150,00 1.150,00

4 1.000,00 50,00 200,00 1.200,00

5 1.000,00 50,00 250,00 1.250,00

6 1.000,00 50,00 300,00 1.300,00

7 1.000,00 50,00 350,00 1.350,00

8 1.000,00 50,00 400,00 1.400,00

9 1.000,00 50,00 450,00 1.450,00

10 1.000,00 50,00 500,00 1.500,00

11 1.000,00 50,00 550,00 1.550,00

12 1.000,00 50,00 600,00 1.600,00


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REGIME DE JURO COMPOSTO

Período Capital

inicial do

período

Juro periódico Capital acumulado no fim de cada período

1 C0 j1= C0.1.i C1 = C0 + j1 = C0 + C0.i = C0.(1+i)

2 C0.(1+i) j2= C0.(1+i).1.i C2 = C1 + j2 = [C0].(1+i) + [C0.(1+i)].i =[C0].[(1+2i+i^2) = C0.(1+i)^2

3 C0.(1+i)^2 j3= [C0.(1+i)^2].1.i C3 = C2 + j3 = C0.(1+i)^3

… … …

n-1 C0.(1+i)^(n-2) jn-1= [C0.(1+i)^(n-2)].1.i Cn-1 = C0.(1+i)^(n-1)

n C0.(1+i)^(n-1) jn= [C0.(1+i)^(n-1)].1.i Cn = Cn-1 + jn = C0.(1+i)^n

i= 5,00%

€

Período

Capital

inicial do

período

Juro periódico Juro acumulado Cap. No Momento

C0.(1+i)^n

110.000,00 500,00 500,00 10.500,002 10.500,00 525,00 1.025,00 11.025,00

3 11.025,00 551,25 1.576,25 11.576,254 11.576,25 578,81 2.155,06 12.155,065 12.155,06 607,75 2.762,82 12.762,826 12.762,82 638,14 3.400,96 13.400,967 13.400,96 670,05 4.071,00 14.071,008 14.071,00 703,55 4.774,55 14.774,559 14.774,55 738,73 5.513,28 15.513,28

10 15.513,28 775,66 6.288,95 16.288,9511 16.288,95 814,45 7.103,39 17.103,3912 17.103,39 855,17 7.958,56 17.958,56

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ELEMENTOS PARA O CÁLCULO DE TAXAS

Fonte: Matias, 2008

Exemplo:

€11.314, 08 = €10.000,00 x (1+i)5 (1+i)5 = 1,131408

Como calcular?

a) Utilização de logaritmos (log ou ln)

log

5 log (1+i) = log 1,131408

log (1+i) =5

1,131408log

1+i = 10(log 1,131408 ÷ 5)

i = 0,24999961

ln

5 ln (1+i) = ln 1,131408

ln (1+i) =5

1,131408ln

1+i = e(ln 1,131408 ÷ 5)

i = 0,24999961

b) Utilização de potências

(1+i)5 = 1,131408

1+i = 5 131408,1 = 1,131408 (1/5)

i = 1,131408 (1/5) -1 = 0,24999961

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CONVERSÃO DE TAXAS EM REGIME DE JURO COMPOSTO

Fonte: Adaptado de Cadilhe, 1995

Período da taxa=

Periodicidade decapitalização

Período da taxa≠

Periodicidade decapitalização

Taxa efetiva

Taxa nominal

A taxa é efetiva para esseperíodo

Se for necessário calcular ataxa reportada a outro

período:

Taxa nominal:

Relação deproporcionalidade

Taxa efetiva:

Relação deEquivalência

ik= (1+i)1/k - 1

Calcular a taxa reportada aomesmo período de

capitalização através deproporcionalidade

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EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS: VÁRIAS ABORDAGENS

Fonte: Adaptado de Matias, 2008

RJCCapitalização composta

Equivalênciade

Capitais t

Para a frente

RJSCapitalização simples

RJS

Solução comercial(Df)

Solução racional(Dd)

Para trás

RJC

Desconto composto

Data focalda

operaçãofinanceira

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COMISSÃO DE COBRANÇA: UM EXEMPLO

Letrasdomiciliadas

LetrasNão domiciliadas

Sem protesto Com protesto Sem protesto Com protesto0,55% 1,7% 1,5% 2,85%

Min. Max. Min. Max. Min. Max. Min. Max.€5,00 €62,50 €5,30 €100,00 €10,00 €110,00 €15,00 €172,50

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REPRESENTAÇÃO DE RENDAS

0 1 2 3 (…) n-1 n

t1 t2 t3 (…) tn-1 tn

Termos

Tempo

0 1 2 3 (…) n-1 n

V0= t1.(1+i)-1 + t2.(1+i)-2 + t3.(1+i)-3 + … + t(n-1).(1+i)-(n-1) + tn.(1+i)-n

t1 t2 t3 (…) tn-1 tn

VALOR ATUAL DE UMA RENDA

0 1 2 3 (…) n-1 n

Vn= t1.(1+i)(n-1) + t2.(1+i)(n-2) + t3.(1+i)(n-3) + … + t(n-1).(1+i) + tn

t1 t2 t3 (…) tn-1 tn

VALOR ACUMULADO DE UMA RENDA

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DEDUÇÃO DE FÓRMULAS (TERMOS CONSTANTES)

An ┐i

V0 = t.(1+i)-1 + t.(1+i)-2 + … + t.(1+i)-(n-1) + t.(1+i)-n

V0.(1+i)-1 = t.(1+i)-2 + t.(1+i)-3 + … + t.(1+i)-n + t.(1+i)-(n+1)

V0.(1+i)-1 – V0 = [t.(1+i)-1 + t.(1+i)-2 + … + t.(1+i)-(n-1) + t.(1+i)-n] – [t.(1+i)-1 + t.(1+i)-2 + … + t.(1+i)-(n-1) + t.(1+i)-n] V0.(1+i)-1 – V0 = t.(1+i)-(n+1) - t.(1+i)-1

V0.((1+i)-1 – 1) = t.[(1+i)-(n+1) - (1+i)-1] V0.(1- (1+i)-1) = t.[ (1+i)-1 - (1+i)-(n+1)]

V0 =

+

++ +

1-

1)-(n-1

i)(1-1

i)(1-i)(1t. V0 =

+−

++−

+

i)(1

11

i)i).(1(1

1

i)(1

1

t.n

V0 =

++

+−

+

i)(11-i1

i)(1

11.

i)(1

1

t.n

V0 =

+−

i

i)(1

11

t.n

V0 =

+− −

i

i)(11t.

n

V0 = t. an ┐i An ┐i = t. an ┐i

Sn ┐i

Vn = V0.(1+i)n Vn = ( )n

n

i1.i

i)(11t. +

+− −

Vn =

−+

i

1i)(1t.

n

Vn = t. an ┐i .(1+i)n Vn = t. sn ┐i

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DEDUÇÃO DE FÓRMULAS (TERMOS EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA)

(a)An ┐i

V0 = t.(1+i)-1 + (t+r).(1+i)-2 + (t+2r).(1+i)-3 + … + [t+(n-2).r].(1+i)-(n-1) + [t+(n-1).r].(1+i)-n

V0 = t.(1+i)-1 + (t+r).(1+i)-2 + (t+2r).(1+i)-3 + … + [t+(n-2).r].(1+i)-(n-1) + [t+(n-1).r].(1+i)-n + + + +

V0 = t.(1+i)-1 + r.(1+i)-2 + 2r.(1+i)-3 + … + (n-2)(1+i)-(n-1) + (n-1).r.(1+i)-n

Seja R = r.(1+i)-2 + 2r.(1+i)-3 + … + (n-2).r.(1+i)-(n-1) + (n-1).r.(1+i)-n

Logo R.(1+i) = r.(1+i)-1 + 2r.(1+i)-2 + … + (n-1).r.(1+i)-(n-1)

Fazendo R.(1+i) – R para simplificar a expressão vem que:

R.(1+i) – R = r.(1+i)-1 + 2r.(1+i)-2 + 3r.(1+i)-3 +…+ (n-1).r.(1+i)-(n-1)

– r.(1+i)-2 + 2r.(1+i)-3 +…+ (n-2).r.(1+i)-(n-1) + (n-1).r.(1+i)-n

Subtraindo os elementos com o mesmo expoente vem:

R.(1+i) – R = r.(1+i)-1 + r.(1+i)-2 + r.(1+i)-3 +…+ r.(1+i)-(n-1) - (n-1).r.(1+i)-n

R.(1+i) – R = r.(1+i)-1 + r.(1+i)-2 + r.(1+i)-3 +…+ r.(1+i)-(n-1) - n.r.(1+i)-n + r.(1+i)-n R.(1+i) – R = r.(1+i)-1 + r.(1+i)-2 + r.(1+i)-3 +…+ r.(1+i)-(n-1) + r.(1+i)-n - n.r.(1+i)-n

R.(1+i) – R =

+− −

i

i)(11r.

n

- n.r.(1+i)-n

R+Ri – R =

+− −

i

i)(11r.

n

- n.r.(1+i)-n

Ri =

+− −

i

i)(11r.

n

- n.r.(1+i)-n

R =

+− −

i

i)(11.

i

r n - ni).(1

i

nr −+

V0 =

+− −

i

i)(11

t.

n

+

+− −

i

i)(11

.i

r n

-n

i).(1i

nr −

+

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V0 =

+− −

i

i)(11t.

n

+

+− −

i

i)(11.

i

r n -

i

nr nr i)nr.(1 n −++ −

V0 =

+−

−

ii)(11t.

n

+

+−

−

ii)(11.

ir

n

+ inr

i)i)(1nr.(1

n

−+− −

V0 =

+− −

i

i)(11t.

n

+

+− −

i

i)(11.

i

r n +

i

nr

i

)i)(1(1.

n

−

+− −nr

V0 =i

nr nr

i

r t.

i

i)(11 n−

++

+− −

V0 = an ┐i . i

nr

nr i

r

t −

++

(a)An ┐i = an ┐i . i

nr

nr i

r

t −

++

(a)Sn ┐i

(a)Sn ┐i = (a)An ┐i . (1+i)n = an ┐i . ( )n

i1.i

nr nr

i

r t +

−

++ =

i

nr

i

r t.

i

1i)(1 n−

+

−+

23/72


24/72



DEDUÇÃO DE FÓRMULAS (TERMOS EM PROGRESSÃO GEOMÉTRICA)

(g)An ┐i

V0 = t.(1+i)-1 + t.r.(1+i)-2 + t.r2.(1+i)-3 + … + t.r(n-2).(1+i)-(n-1) + t.r(n-1).(1+i)-n

V0.( )r

i1+ =

r

t + t.r.(1+i)-1 + t.r2.(1+i)-2 + … + t.r(n-2)(1+i)-(n-1)

V0.( )r

i1+ – V0=

r

t + t.r(n-1).(1+i)-n

V0.( )

−

+1

r

i1 = ( ) ( )

+−

−− n1n i1.r r

1t. V0.

( )

−+

r

r i1 = ( ) ( )

+−

−− n1n i1.r r

1t.

V0. ( )( )r i1 −+ = ( )( )nn i1.r 1t. −+−

V0. ( )( )i1r +− = ( )( )1i1.r t. nn −+ −

V0. ( )( )i1r +− =( )

−

+1

i1

r t.n

n V0. ( )( )i1r +− =

( )( )( )

++−

+ n

n

n

n

i1

i1

i1

r t.

V0. ( )( )i1r +− =( )

( )( )nnn

i1r .i1

t+−

+ V0. ( )( )i1r +− =

( ) ( )( )nn

n i1r .

i1

t+−

+

V0 =( )

( )( )

+−

+−

+ i1r

i1r .

i1

t nn

n

(g)Sn ┐i

(g)Sn ┐i = (g)An ┐i . (1+i)n =( )

( )

( )( )

+−

+−

+

+

i1r

i1r .

i1

i1t. nn

n

n

=( )( )

+−

+−

i1r

i1r .t

nn

24/72


25/72



RENDAS EQUIVALENTES

Considere uma taxa de juro mensal efetiva de 1% e uma renda com 10 pagamentos mensais(meses 1 a 10)

€100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 €100

0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m

Substituição da renda por um capital único (em 0)

10 0,01 €100.a

0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m

Substituição da renda por duas (em 0 e 5)

5 0,01 €100.a

5 0,01 €100.a

0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m

Substituição da renda por três (em 0, 4 e 7)

4 0,01 €100.a

3 0,01 €100.a

3 0,01 €100.a

0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m

Substituição da renda por 5 (em 0, 2, 4, 6 e 8)

2 0,01 €100.a

2 0,01 €100.a

2 0,01 €100.a

2 0,01 €100.a

2 0,01 €100.a

0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m

Substituição da renda anterior por um capital único (em 0)

( ) ( ) ( ) ( )2 5 2 0,01 5 0,0201 €100. . 1 €100. . 1 0,0201me ns al b im en sa l bimensali i ia a a a × + = × +

0 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m

1

1

22(1 ) 1 (1 0, 01) 1 0, 0201bimensal mensal

i i= + − = + − =

25/72


26/72



RENDAS POR PATAMARES (PA): GUIA DE RESOLUÇÃO EM 3 PASSOS

Situação:Pretende-se determinar o valor atual (no momento 0) de um conjunto de capitais mensaisconstantes, mas com crescimento de €50,00 de 6 em 6 meses (crescimento aritmético semestral)e uma taxa de juro mensal efetiva de 1%. A representação gráfica da situação é a seguinte:

Euros 10 10 10 10 10 10 10+50=60

10+50=60

10+50=60

10+50=60

10+50=60

10+50=60

10+2×50=110

10+2×50=110

10+2×50=110

10+2×50=110

10+2×50=110

10+2×50=110

0m 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m 12m 13m 14m 15m 16m 17m 18m1s 2s 3s

1.º PASSO: "Compactar" os patamares

Neste caso há que "compactar" os vários patamares constantes (na situação descrita existem 3: de€10, de €60 e de €110), recorrendo à fórmula das rendas temporárias de termos constantes.Fazendo isto obtém-se uma nova renda financeiramente equivalente à primeira, mas com umaperiodicidade correspondente ao do crescimento da razão. Graficamente vem:

Euros6 0,01

10.a 6 0,01

6 0,01

6 0,01 6 0,01

60.

(10 50).

10. 50.

a

a

a a

=

+ =

+

6 0,01

6 0,01

6 0,01 6 0,01

110.

(10 2 50).

10. 2 50.

a

a

a a

=

+ × =

+ ×

0m1s 2s 3s

2.º PASSO: Verificar a existência de termos em progressão aritmética

Agora temos uma renda equivalente à primeira só que em vez de 18 termos passámos a terapenas 3:

1 6 0,0110.t a=

2 6 0,01 6 0,01 6 0,01 6 0,0160. (10 50). 10. 50.t a a a a= = + = +

3 6 0,01 6 0,01 6 0,01 6 0,01110. (10 2 50). 10. 2 50.t a a a a= = + × = + ×

Para verificar a existência de termos em progressão aritmética basta efetuar:

( ) ( )2 1 6 0,01 6 0,01 6 0,01 6 0,0110. 50. 10. 50.t t a a a a− = + − =

( ) ( )3 2 6 0,01 6 0,01 6 0,01 6 0,01 6 0,0110. 2 50. 10. 50. 50.t t a a a a a− = + × − + =

Assim, temos que a razão da nova renda é6 0,01

50.a .

26/72


27/72



Podemos deste modo escrever os novos termos em função do primeiro:

1

2 1

3 2 1 2

t

t t r t t r t r

= += + = + ×

Euros

1t 1t r + 1 2t r + ×

0m1s 2s 3s

3.º PASSO: "Compactar" os termos em PA e calcular o valor atual

Chegados a este ponto basta atualizar os termos, recorrendo à expressão que "compacta", num

único capital, termos de uma renda em PA:

( )

6 0,01

6 0,01

.. .

neste caso:

10. (1.º termo)

3 (n.º de termos)

50. (razão)

(é necessário calcular esta taxa uma vez que a nova renda é semestral)

(1

a n i n i

semestral

semestral me

r n r t n r

i i

t

n

r

i i

i i

a

a

a

A = + + −

=

=

=

=

= + ( )

( )

1

1666

6 0,01 6 0,01

3 3 6 0,01 6 0,01

) 1 (1 ) 1 1 0,01 1 0,0615201506

50. 3 50.. 10. 3 50.

semest ral semest ral

nsal mensal

a i i

semestral semestral

i

i i

a aa a a A

− = + − = + − =

× = + + × −

Para calcularmos o valor atual da renda no momento 0 não podemos esquecer que este valor éremetido para um período antes do primeiro termo. Assim, o cálculo anterior remete o valor

atual da renda para um semestre antes do momento 0, visto que o primeiro termo se encontra nomomento 0. Para determinar o valor atual no momento 0, basta capitalizar o valor encontradoantes um semestre.

( )16 0,01 6 0,01

0 3 6 0,01 6 0,01

6 0,01 6 0,01

0 3 6 0,01 6 0,01

50. 3 50.. 10. 3 50. 1

50. 3 50.. 10. 3 50.

semestral

semestral

semestrali

semestral semestral

i

semestral semestral

C ii i

ou

C

i i

a aa a a

a aa a a

× = + + × − × +

× = + + × −

( )6

1mensal

i

× +

27/72


28/72



Sabendo que:

6 0,01

3

0

0,0615201506

5,795476475

2,665511775

:

€951,28

semestral

semestral

i

i

vem

C

a

a

=

=

=

Sugestão:Experimente refazer a situação, considerando mais termos na renda original, por exemplo 10

semestres, como forma de treino e de expansão do exemplo.

28/72


29/72



RENDAS POR PATAMARES (PG): GUIA DE RESOLUÇÃO EM 3 PASSOS

Situação:Pretende-se determinar o valor atual (no momento 0) de um conjunto de capitais mensaisconstantes, mas com crescimento de 5% de 6 em 6 meses (crescimento aritmético semestral) euma taxa de juro mensal efetiva de 1%. A representação gráfica da situação é a seguinte:

Euros

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0

1 0 × 1 , 0

5

1 0 × 1 , 0

5

1 0 × 1 , 0

5

1 0 × 1 , 0

5

1 0 × 1 , 0

5

1 0 × 1 , 0

5

1 0 × 1 , 0

5 2

1 0 × 1 , 0

5 2

1 0 × 1 , 0

5 2

1 0 × 1 , 0

5 2

1 0 × 1 , 0

5 2

1 0 × 1 , 0

5 2

0m 1m 2m 3m 4m 5m 6m 7m 8m 9m 10m 11m 12m 13m 14m 15m 16m 17m 18m1s 2s 3s

1.º PASSO: "Compactar" os patamares

Neste caso há que "compactar" os vários patamares constantes (na situação descrita existem 3: de€10, de €10×1,05 e de €10×1,052), recorrendo à fórmula das rendas temporárias de termosconstantes. Fazendo isto obtém-se uma nova renda financeiramente equivalente à primeira, mascom uma periodicidade correspondente ao do crescimento da razão. Graficamente vem:

Euros6 0,01

10.a ( )6 0,01

6 0,01

10 1,05 .

10. 1, 05

a

a

× =

×

( )2 6 0,012

6 0,01

10 1, 05 .

10. 1,05

a

a

× =

×

0m1s 2s 3s

2.º PASSO: Verificar a existência de termos em progressão geométrica

Agora temos uma renda equivalente à primeira só que em vez de 18 termos passámos a terapenas 3:

1 6 0,0110.t a=

2 6 0,0110. 1,05t a= ×

2

3 6 0,0110. 1, 05t a= ×

Para verificar a existência de termos em progressão geométrica basta efetuar:

6 0,012

1 6 0,01

10. 1,051,05

10.

t

t

a

a

×= =

2

6 0,013

2 6 0,01

10. 1, 051,05

10. 1, 05

t

t

a

a

×= =

×

Assim, temos que a razão da nova renda é 1,05.

29/72


30/72



Podemos deste modo escrever os novos termos em função do primeiro:

1 6 0,01

2 1 6 0,01

2

3 2 1 6 0,01

10.

1, 05 10. 1,05

1, 05 1,05 1, 05 10. 1, 05

t

t t

t t t

a

a

a

=

= × = ×

= × = × × = ×

Euros

1t 1 1,05t ×

2

1 1,05t ×

0m1s 2s 3s

3.º PASSO: "Compactar" os termos em PG e calcular o valor actual

Chegados a este ponto basta atualizar os termos, recorrendo à expressão que "compacta", numúnico capital, termos de uma renda em PG:

( )( )

( )( )

6 0,01

1.

11

neste caso:

10. (1.º termo)

3 (n.º de termos)

1,05 (razão) (é necessário calcular esta taxa uma vez que a nova renda é semestral)

(1

nn

ng n i

semestral

semestral mens

r it

r ii

t

n

r i i

i i

a

A − +

= − ++

=

=

==

= + ( )

( ) ( )

( )( )

1

1666

33

6 0,01

3

) 1 (1 ) 1 1 0,01 1 0,0615201506

10. 1,05 1.

1,05 11

al mensal

semestral

g n i

semestralsemestral

i

i

ii

a A

− = + − = + − =

− +=

− ++

Para calcularmos o valor atual da renda no momento 0 não podemos esquecer que este valor éremetido para um período antes do primeiro termo. Assim, o cálculo anterior remete o valoratual da renda para um semestre antes do momento 0, visto que o primeiro termo se encontra nomomento 0. Para determinar o valor atual no momento 0, basta capitalizar o valor encontradoantes um semestre.

( )

( )

( ) ( )

( )( )( )

( )

3316 0,01

0 3

3366 0,01

0 3

10. 1,05 1. 1

1,05 11

10. 1,05 1. 11,05 11

semestral

semestral

semestralsemestral

semestral

mensal

semestralsemestral

iC i

ii

ou

iC iii

a

a

− += × +

− ++

− += × + − ++

30/72


31/72



Sabendo que:

6 0,01

0

0,0615201506

5,795476475

:

€171,98

semestrali

vem

C

a

=

=

Sugestão:Experimente refazer a situação, considerando mais termos na renda original, por exemplo 10semestres, como forma de treino e de expansão do exemplo.

31/72


32/72



QUADRO DE SERVIÇO DE DÍVIDA

Período

(k)

Capitalem dívidano início

doperíodo

(Ck-1)

Parcela de juro

(jk)

Parcela dereembolsode capital

(mk)

Pagamento

(pk)

Capital em dívidano fim do período

(Ck)

1 C0(valor do

empréstimo)

j1 = C0.i m1 p1 = j1 + m1 C1 = C0 – m1

2 C1 J2 = C1.i m2 P2 = j2 + m2 C2 = C1 – m2

… … … … … …

n-1 Cn-2 Jn-1 = Cn-2.i mn-1 pn-1 = jn-1 + mn-1 Cn-1 = Cn-2 – mn-1

n Cn-1 Jn = Cn-1.i mn pn = jn + mn Cn = Cn-1 – mn = 0

Σ mk = C0

Cn-1 = mn

32/72


33/72



RELAÇÃO ENTRE DOIS TERMOS CONSECUTIVOS

pk+1 – pk = (jk+1 + mk+1) – (jk + mk)

pk+1 – pk = (Ck.i + mk+1) – (Ck-1.i + mk)

pk+1 – pk = Ck.i + mk+1 – Ck-1.i – mk

pk+1 – pk = i.(Ck – Ck-1) + mk+1 – mk

pk+1 – pk = i.(– mk) + mk+1 – mk

pk+1 – pk = mk+1 – mk.(1+ i)

p k+1 – p k = m k+1 – m k.(1+ i)

33/72


34/72



SERVIÇO DE DÍVIDA COM PAGAMENTOS CONSTANTES

k CEDIP Juro Reemb cap Pag. CEDFP

1 9.471,30453 94,71305 905,2869547 1.000,00 8.566,017575

2 8.566,01758 85,66018 914,3398242 1.000,00 7.651,677751

3 7.651,67775 76,51678 923,4832225 1.000,00 6.728,194529

4 6.728,19453 67,28195 932,7180547 1.000,00 5.795,476474

5 5.795,47647 57,95476 942,0452353 1.000,00 4.853,431239

6 4.853,43124 48,53431 951,4656876 1.000,00 3.901,9655517 3.901,96555 39,01966 960,9803445 1.000,00 2.940,985206

8 2.940,98521 29,40985 970,5901479 1.000,00 1.970,395059

9 1.970,39506 19,70395 980,2960494 1.000,00 990,099009

10 990,099009 9,90099 990,0990099 1.000,00 0,000000

9 4 ,

7 1 3 0 5

8 5 ,

6 6 0 1 8

7 6 ,

5 1 6 7 8

6 7 ,

2 8 1 9 5

5 7 ,

9 5 4 7 6

4 8 ,

5 3 4 3 1

3 9 ,

0 1 9 6 6

2 9 ,

4 0 9 8 5

1 9 ,

7 0 3 9 5

9 ,

9 0 0 9 9

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

1 .

0 0 0 ,

0 0

9 9 0 ,

0 9 9 0 0 9 9

9 8 0 ,

2 9 6 0 4 9 4

9 7 0 ,

5 9 0 1 4 7 9

9 6 0 ,

9 8 0 3 4 4 5

9 5 1 ,

4 6 5 6 8 7 6

9 4 2 ,

0 4 5 2 3 5 3

9 3 2 ,

7 1 8 0 5 4 7

9 2 3 ,

4 8 3 2 2 2 5

9 1 4 ,

3 3 9 8 2 4 2

9 0 5 ,

2 8 6 9 5 4 7

0

200

400

600

800

1.000

1.200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Juro

Reemb capPag.

34/72


35/72



SERVIÇO DE DÍVIDA COM REEMBOLSOS CONSTANTES DE CAPITAL

k CEDIP Juro Reemb cap Pag. CEDFP

1 10.000,00 100,00 1.000,00 1.100,00 9.000,00

2 9.000,00 90,00 1.000,00 1.090,00 8.000,00

3 8.000,00 80,00 1.000,00 1.080,00 7.000,00

4 7.000,00 70,00 1.000,00 1.070,00 6.000,00

5 6.000,00 60,00 1.000,00 1.060,00 5.000,00

6 5.000,00 50,00 1.000,00 1.050,00 4.000,007 4.000,00 40,00 1.000,00 1.040,00 3.000,00

8 3.000,00 30,00 1.000,00 1.030,00 2.000,00

9 2.000,00 20,00 1.000,00 1.020,00 1.000,00

10 1.000,00 10,00 1.000,00 1.010,00 0,00

1 0 0 ,

0 0

9 0 ,

0 0

8 0 ,

0 0

7 0 ,

0 0

6 0 ,

0 0

5 0 ,

0 0

4 0 ,

0 0

3 0 ,

0 0

2 0 ,

0 0

1 0 ,

0 0

1 .

1 0

0 ,

0 0

1 .

0 9

0 ,

0 0

1 .

0 8 0 ,

0 0

1 .

0 7 0

, 0 0

1 .

0 6 0 ,

0 0

1 .

0 5 0 ,

0 0

1 .

0 4 0 , 0

0

1 .

0 3 0 ,

0 0

1 .

0 2 0 ,

0 0

1 .

0 1 0 ,

0 0

1 .

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1 .

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1 .

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1 .

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1 .

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1 .

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1 .

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1 .

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0

200

400

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800

1.000

1.200

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Juro

Reemb cap

Pag.

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Exercícios

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Cálculo Financeiro2015/2016 CAPÍTULO 1

CAPÍTULO 1 – CAPITALIZAÇÃO E DESCONTO

1. Um capital de €2.000 foi colocado, durante 5 anos, sob as seguintes condições:

- Vencimento mensal do juro.- Taxas de juro mensais efetivas: 1% no 1.º e 2.º ano; 1,005% no 3.º ano; 0,99% nos restantes

anos.- Durante os primeiros 3 anos, capitalização de 60% do juro mensal e entrega do restante ao

investidor no final de cada mês.- Durante o 4.º, entrega do juro mensal ao investidor no final de cada mês.- Durante o 5.º, capitalização integral do juro.a) Determine o valor do juro mensal entregue ao investidor durante 4.º ano da aplicação.b) Determine o montante pago ao investidor no final do prazo da aplicação.[Solução: a) €24,57; b) €2792,89]

________________________________________________________________________

2. Num empréstimo de €15.000 foi acordado o seguinte:- Prazo: 10 anos- Taxas de juro anuais: 8,24322% (efetiva) nos primeiros 6 anos e 12,05961% (nominal

associada a 3 capitalizações) nos 4 anos seguintes.- Os juros vencem trimestralmentea) Quanto receberá o credor no final do prazo, sabendo que em cada trimestre, 30% do juro

vencido será pago ao credor e o restante ficará retido pelo devedor até ao fim do prazo (o juro do último trimestre é considerado na totalidade no valor final a pagar)?

b) Quanto receberia o credor trimestralmente se fosse o regime simples a ser contratado?c) Considerando agora o regime de juro composto, qual a taxa de juro fixa trimestral

equivalente às taxas de juro convencionadas?d) Que taxa fixa anual estaria o credor disposto a aceitar (em alternativa ao acordado) se o

devedor propusesse um regime de retenção integral de juros sem capitalização?[Solução: a) €29.459,51; b) €300 (nos primeiros 6 anos), €450 (nos últimos 4 anos, excetuando

o último trimestre) e €15.450 (no último trimestre); c) 2,399%; d) 15,811%]


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3. Considere a seguinte aplicação financeira:

• Prazo: 4 anos;

• Capital inicial de €12.000;

• O juro vence trimestralmente durante todo o prazo da aplicação;• Taxa de juro anual nominal de 12,18%, com capitalizações semestrais;

• 1.º Ano: capitalização integral do juro;

• 2.º Ano: Pagamento integral do juro no momento do seu vencimento;

• 3.º Ano: Os juros, calculados com base na taxa efetiva trimestral, são retidos no processosem capitalizarem;

• 4.º Ano: O Sr. MF decide investir mais €500 no início do ano, e €500 no início do 2.º semestre.Durante este ano, o juro é capitalizado no processo.

a) Qual o valor acumulado no fim do 2.º Ano?b) Calcule o valor do juro trimestral no 3.º Ano.

c) Determine o capital acumulado no fim do 4.º ano.d) Qual a taxa de juro anual a que efetivamente o capital está colocado durante o 3.º Ano?[Solução: a) €13.506,11; b) €405,18; c) €18.118,59; d) 12%]

________________________________________________________________________

4. Dada a taxa de juro nominal de 5% relativa a um período de 5 meses, com capitalizaçõesbimestrais (de 2 em 2 meses), qual a taxa de juro nominal para um período de 10 meses comcapitalizações de 5 em 5 meses.[Solução: 10,151%]

________________________________________________________________________

5. O Sr. MF aceitou há 7 meses um título de dívida com o valor nominal de €3.000, com vencimentoa 8 meses. Hoje, por dificuldades de liquidez, acorda com o credor renegociar a dívida nosseguintes termos:- Pagamento imediato €250.- Novo pagamento ao fim de 100 dias.- Taxa de juro diária efetiva de 0,05%.Determine o valor nominal do 2.º pagamento.[Solução: €2.843,37]

________________________________________________________________________

6. Considere o seguinte empréstimo:

• Valor inicial: €8.000.

• Prazo: 4 anos.

• Taxa de juro trimestral efetiva: 1,5%.

• Reembolso de capital e juros no final do prazo da aplicação.a) Ao fim de dois anos e meio o devedor pediu a antecipação do reembolso pelo desconto por

fora à taxa anual de 5%, o que foi aceite pelo credor. Determine o valor a receber pelocredor.

b) Considerando que o valor descontado, calculado em RJC à taxa de juro da capitalização, é de

€9.284,327 e que a taxa de juro anual efetiva de mercado é de 4,5%, indique, quantificando,quem beneficiou com a antecipação acordada.[Solução: a) €9.390,49; b) O devedor]

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7. Numa aplicação de €32.000 foi acordado o seguinte:- Prazo: 7 anos.- Taxas de juro efetivas mensais: 0,75% nos primeiros 4 anos e 0,9% nos 3 anos seguintes.

- Os juros vencem mensalmente.a) Considerando o regime de juro composto, qual a taxa de juro fixa mensal equivalente àstaxas de juro convencionadas?

b) Considerando agora que 25% do juro vencido mensalmente será pago ao investidor, qual ovalor a receber no final do prazo da aplicação (o juro do último mês é considerado natotalidade)?

c) Se o banco propusesse um regime de retenção integral de juros sem capitalização:i) Determine a perda do investidor mantendo as taxas acordadas.ii) Que taxa fixa anual estaria o investidor disposto a aceitar (em alternativa às taxas

acordadas)?d) Admitindo novamente o RJC e uma redução nas taxas de juro efetivas mensais para 0,6%

(nos primeiros 4 anos) e 0,8% (nos 3 anos seguintes), identifique o momento em que deveser feito um reforço de capital de €4.000 de forma a obter o mesmo valor acumulado.

[Solução: a) 0,8143%; b) €53.484,68; c) €9.352,40 (reportada ao final da aplicação) e 13,947%;

d) 31,4 meses antes da alteração da taxa de juro ou 16,6 meses depois do início da aplicação]

________________________________________________________________________

8. Aplicação de €10.000. Taxas de juro mensais efetivas de 3,2% nos primeiros 2 anos e 3,5% nos5 anos seguintes. Vencimento mensal do juro. Capitalização de 70% do juro. Prazo: 7 anos.Capital acumulado no início do 7.º ano?[Solução: €54.384,41]

________________________________________________________________________

9. Desconto composto às taxas de desconto anuais de 2% no 1.º ano e 1,5% no 2.º. Título comvencimento a 2 anos. Valor nominal do título €5.450. Valor do desconto?[Solução: €189,12]

________________________________________________________________________

10. Substituição de dois títulos de dívida, o 1.º de €7.000 com vencimento hoje, e o 2.º de €4.700com vencimento daqui a dois anos, por um único com valor nominal igual à soma dos doisanteriores. Taxa de juro anual efetiva de 5,6%. Vencimento médio?

[Solução: 9 meses e 10 dias] ________________________________________________________________________

11. Aplicação de €1.500. Prazo 12 anos. Taxas de juro anuais: 3,5% nos primeiros 6 anos e 4,5% nos6 anos seguintes. Vencimento anual de juro. Recebimento do juro no vencimento. Valor doúltimo recebimento?[Solução: €1.567,50]

________________________________________________________________________

12. Desconto por fora à taxa de juro anual de 4,7%. Título com vencimento a 4 meses e 10 dias.

Valor do desconto €2.430. Taxa de juro anual efetiva?[Solução: 4,854%]

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13. Desconto por dentro às taxas anuais de 2% no 1.º ano, 1,5% no 2.º. Titulo com vencimento a 2anos. Valor nominal do título €3.450. Taxas de juro efetivas anuais?[Solução: 2% (1.º ano) e 1,471% (2.º ano)]

________________________________________________________________________

14. Substituição de dois títulos de dívida, o 1.º de €2.300 com vencimento hoje, e o 2.º de €7.200com vencimento daqui a dois anos. Taxa de juro anual efetiva de 8,6%. Vencimento comum: 2anos. Capital do novo título?[Solução: €9.912,61]

________________________________________________________________________

15. Taxa de juro nominal de 7,5% para 9 meses com 6 capitalizações no período da taxa. Taxa de juro nominal anual com 8 capitalizações no período da taxa?[Solução: 10%]

________________________________________________________________________

16. Empréstimo de €2.000. Período de capitalização semestral. Taxa de juro semestral 4,5%. Prazo14 meses. Nas frações do período de capitalização é usada uma taxa proporcional. Valor a pagarno final do prazo?[Solução: €2.216,81]

________________________________________________________________________

17. Subsídio reembolsável (empréstimo a juro nulo) no valor de €100.000. Prazo 3 anos. Taxa de juro efetiva no mercado de 8% ao ano. Perda do credor?[Solução: €25.971,20]

________________________________________________________________________

18. Depósito inicial €5.000. Levantamento de €1.000 no final do 2.º ano. Reforço de capital de€1.500 no fim do 1.º semestre do 4.º ano. Prazo 5 anos. Taxa de juro efetiva semestral: 4%.Vencimento semestral de juro. Pagamento do juro no vencimento. Juro a receber no final dos3.º, 5.º e 9.º semestres?[Solução: €200, €160 e €220]

________________________________________________________________________

19. Desconto por fora de um título de valor nominal €11.000 com vencimento a 10 meses. Taxa de juro anual efetiva 17,379%. Taxa anual contratada?[Solução: 15%]

________________________________________________________________________

20. Desconto por fora às taxas anuais de 3% no 1.º ano e 4% no 2.º ano. Título com vencimento a 2anos. Valor nominal do título €8.000. Valor do desconto?[Solução: €560]

________________________________________________________________________

21. Desconto por dentro às taxas anuais de 2% no 1.º ano, 1,5% no 2.º. Título com vencimento a 1ano e 105 dias. Valor atual do título €3.450. Valor nominal do título?[Solução: €3.533,89]

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22. Título de valor nominal €7.800 com vencimento a 8 meses. Valor do título daqui a 3 meses€7.450 (desconto composto). Taxa de juro efetiva anual e taxa de desconto efetiva anual?

[Solução: 11,648% e 10,433%] ________________________________________________________________________

23. Aplicação de €12.000. Taxa de juro mensal efetiva de 1,6%. Vencimento mensal do juro.Pagamento de 60% do juro no vencimento. Prazo: 8 anos. Valor a receber no final do 5.º mês do6.º ano?[Solução: €173,29]

24. Desconto composto às taxas de juro efetivas anuais de 4,2% no 1.º ano e 3,9% no 2.º ano. Título

de valor nominal €5.480 com vencimento a 1,5 anos. O titular propôs o desconto por dentro emalternativa ao composto. Qual a taxa de juro fixa semestral que o banco estaria disposto a aceitarno desconto por dentro (em alternativa às taxas contratadas no desconto composto)?[Solução: 2,07%]

________________________________________________________________________

25. Desconto por fora às taxas semestrais de 1,9% no 1.º semestre e 2,1% no 2.º semestre. Títulocom vencimento a 1 ano. Valor do desconto €340. Taxa de desconto efetiva anual?[Solução: 4%]

________________________________________________________________________

26. Dívida de €114.000 a pagar através de 2 prestações a vencerem a 90 e 120 dias. O valor nominalda 2.ª é inferior ao da 1.ª em 20%. Taxa de juro anual efetiva 15%. Valores nominais dasPrestações?[Solução: €65.888,43 e €52.710,74]

________________________________________________________________________

27. Aplicação de €10.000. Prazo: 3 anos. Vencimento mensal de juros. Valor acumulado no final doprazo: €12.000. Taxa de juro semestral nominal (com capitalizações mensais) contratada?[Solução: 3,05%]

________________________________________________________________________

28. Aplicação de €18.000. Vencimento anual de juros. Retenção do juro sem capitalização. Taxa de juro semestral contratada 5,2%. Prazo: 4 anos. Taxa de juro efetiva média anual?[Solução: 9,09%]

________________________________________________________________________

29. Título de valor nominal €6.200 com vencimento a 8 meses. Valor atual do título €5.000(desconto composto). Taxa de desconto efetiva mensal e taxa de desconto anual equivalente?[Solução: 2,65% e 27,58%]

30. Aplicação de €10.000. Taxa de juro trimestral efetiva 1,5%. Vencimento trimestral do juro. Prazo:8 anos. Recebimento de €10.000 no fim do 5.º ano. Recebimento no final do prazo?[Solução: €4.147,06]

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31. Taxa de juro anual nominal (com 3 capitalizações no período da taxa) 9,3%. Taxa de juro efetiva

anual?[Solução: 9,591%]

32. Renegociação de uma dívida de valor nominal €12.500 com vencimento a 2 meses. Pagamentoimediato de €2.500 e um 2.º pagamento daqui a 6 meses. Taxa de juro efetiva mensal 1%. Valornominal do 2.º pagamento?[Solução: €10.353,75]

________________________________________________________________________

33. Aplicação de €250.000. Taxas de juro nominais anuais (com capitalizações mensais): 2,4% (no1.º quadrimestre), 3% (no 2.º quadrimestre), 4,2% (nos 3 meses seguintes) e 12% (no últimomês). Vencimento mensal do juro. Prazo: 1 ano. Taxa de juro efetiva anual? Taxa de juro nominalanual (com capitalizações mensais) média?[Solução: 3,916%; 3,847%]

________________________________________________________________________

34. Empréstimo de €20.000. Reforço de capital de €10.000 ao fim de 1 ano. Vencimento semestraldo juro. Taxa de juro semestral efetiva de 5%. Plano de pagamentos: final do 1.º semestre -€1.000; final do 2.º semestre - €1.000; final do prazo - €40.202,87. Valor em dívida no início do3.º semestre? Valor do juro vencido no final do 3.º semestre? Prazo total do empréstimo (emanos)?[Solução: €30.000; €1.500; 4 anos]

________________________________________________________________________

35. Empréstimo de €80.000. Taxas de juro mensais efetivas de 0,8% nos primeiros 4 anos e 1,1%nos restantes. Vencimento mensal do juro. Capitalização de 80% do juro no vencimento (nosprimeiros 5 anos), pagamento do juro no vencimento (nos 2 anos seguintes) e capitalização do

juro no vencimento (nos restantes). Prazo: 10 anos. Pagamento a efetuar no final do 55.º mês?Pagamento a efetuar no final do 78.º mês? Pagamento a efetuar no final do prazo?[Solução: €251,96; €1.327,80; €178.970,98]

________________________________________________________________________

36. Aplicação de €10.000. Regime de retenção sem capitalização de juro. Vencimento trimestral de juro. Prazo: 10 anos. Valor recebido no final do prazo: €15.000. Taxa de juro anual contratada?Taxas de juro efetivas anuais no 1.º trimestre e no último trimestre da aplicação?[Solução: 5%; 5,095% e 3,404%]

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37. Desconto por fora no Banco A de um título de valor nominal €320.000 com vencimento a 1 anoe 3 meses. Valor atual do título €290.000. Taxa de juro efetiva anual no Banco B 7,5%. Taxa anualcontratada (banco A)? Taxa de desconto efetiva mensal (banco A)? Taxa de desconto efetiva

anual (banco A)? Qual é a melhor opção de financiamento?[Solução: 7,5%; 0,654%; 7,573%; Banco B (7,5% < 8,194% (Taxas de juro efetivas anuais))] ________________________________________________________________________

38. Empréstimo de €500.000. Prazo: 5 anos. Taxa de juro semestral efetiva: 3%. Reembolso decapital e juros no final do prazo. Ao fim de 3 anos, o credor pediu o reembolso antecipado doempréstimo, propondo ao devedor o pagamento de €570.000. Sabendo que a taxa de juro anualefetiva no mercado (no momento da antecipação) é de 10,5%, diga quem ganha com aantecipação, calculando o valor do ganho (reportado ao momento da antecipação e ao final doprazo do empréstimo)?[Solução: Credor; €19.676,96; €24.026,06]

________________________________________________________________________

39. Empréstimo no banco A à taxa de juro anual nominal (com capitalizações semestrais) de 14,6%.Empréstimo no banco B à taxa de juro anual nominal (com capitalizações diárias) de 14,6% (base365). Taxa de juro efetiva diária do banco A (base 365)? Taxa de juro nominal anual (comcapitalizações semestrais) do banco B? Qual é a melhor opção, do ponto de vista financeiro, parao devedor?[Solução: 0,039%; 15,143%; Banco A (14,6% < 15,143% (Taxas de juro anuais com

capitalizações semestrais))]

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40. O Sr. MF recebeu duas propostas para a venda de um imóvel. A 1.ª prevê um recebimento apronto de €10.000 e um recebimento de €140.000 daqui a 18 meses. A 2.ª prevê trêsrecebimentos de €65.000, €15.000 e €70.000 daqui a 3, 12 e 24 meses, respetivamente.Sabendo que o vendedor tem a possibilidade de aplicar capitais à taxa de juro efetiva anual de5%, diga qual é a melhor proposta do ponto de vista financeiro (na perspetiva do vendedor)?[Solução: 2.ª proposta (€141.989,75 > 140.120,01 (Valores atuais))]

________________________________________________________________________

41. Aplicação de €34.000. Prazo: 10 anos. Reforço de capital no valor de €16.000 no final do 6.º ano.

Taxas de juro mensais efetivas de 1,1% nos primeiros 6 anos e 1,4% nos restantes. Vencimentomensal do juro. Valor do juro vencido no final do 73.º mês?[Solução: €1.270,38]

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42. Aplicação de €5.000. Taxas de juro efetivas: 0,4% (mensal) no primeiro ano, 1,8% (trimestral) nos2 anos seguintes e 3,9% (semestral) nos restantes. Vencimento mensal do juro. Prazo: 6 anos.Taxa de juro efetiva média anual?[Solução: 7,254%]

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43. Aplicação de €45.000. Taxas de juro mensais efetivas de 1,3% nos primeiros 3 anos e 1,1% nosrestantes. Reforço de capital no valor de €15.000 no final do 3.º mês do 7.º ano. Vencimentomensal do juro. Capitalização de 65% do juro no vencimento durante os primeiros 4 anos e de

35% nos anos seguintes. Prazo: 10 anos. Capital acumulado no início do 9.º ano?[Solução: €96.060,67] ________________________________________________________________________

44. Qual é a taxa de juro anual nominal com capitalizações quadrimestrais que faz triplicar um capitalao fim de 20 anos de capitalização composta?[Solução: 5,544%]

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45. Taxa de juro nominal quadrimestral de 2,1% com capitalizações bienais (2 anos). Taxa de jurobienal (2 anos) nominal com capitalizações quadrimestrais?[Solução: 11,985%]

________________________________________________________________________

46. Desconto por fora no Banco A de um título de valor nominal €180.000 com vencimento a 2 anos.Taxa anual contratada 6,4%. Taxa de desconto efetiva anual no Banco B 6,5%. Qual a melhoropção do ponto de vista financeiro?[Solução: Banco B (6,619% > 6,5% (Taxas de desconto efetivas anuais))]

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47. Desconto por dentro às taxas anuais de 2,5% no 1.º ano, 1,5% no 2.º, e 3% no 3.º ano. Títulocom vencimento a 2,5 anos. Valor do desconto €1.500. Taxas de desconto efetivas anuais?[Solução: 2,439%; 1,442%; 2,823%]

________________________________________________________________________

48. Aplicação de €18.200. Taxas de juro mensais efetivas 1,3% nos primeiros 5 anos e 1,5% nosrestantes. Vencimento mensal do juro. Reforço de capital no final do 4.º ano no valor de €1.800.Recebimento no final do prazo €59.475,1845. Prazo da aplicação (em anos)?[Solução: 7 anos]

________________________________________________________________________

49. Taxa de juro nominal bienal (2 anos) 13,8% com 6 capitalizações no período da taxa. Taxa de juro nominal mensal com capitalizações quadrimestrais? Taxa de juro nominal anual comcapitalizações de 5 dias? Taxa de desconto efetiva anual?[Solução: 0,575%; 6,825%; 6,594%]

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50. Substituição de uma dívida de €80.000, vencida hoje, por três pagamentos com vencimentos a6, 9 e 12 meses respetivamente. O valor nominal do 2.º é superior ao do 1.º em 40%. O valornominal do 3.º é inferior ao do 1.º em 40%. Taxa de juro trimestral efetiva 2,8%. Valoresnominais dos pagamentos?

[Solução: €28.857,83; €40.400,97; €17.314,70]

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CAPÍTULO 2 – RENDAS

1. Considere um crédito com as seguintes características:

• Pagamentos trimestrais antecipados;• Prazo: 7 anos;

• Taxa de juro anual nominal, com capitalizações trimestrais: 8%;

• Cada trimestralidade diminui €20 em relação à anterior;

• O valor da 5.ª trimestralidade é igual a €2 500.Determine o valor inicial do crédito.[Solução: €50.701,04]

________________________________________________________________________

2. O Sr. MF contratou um empréstimo de €17.000 por 10 anos nas seguintes condições:• Nos primeiros 12 meses pagamento de uma mensalidade constante postecipada;• No restante prazo, os pagamentos serão feitos através de semestralidades em progressão

aritmética de razão €150, sendo a primeira igual a €500 com vencimento 18 meses após adata de contração do empréstimo;

• A taxa de juro nominal anual com capitalizações semestrais é de 15%.Determine o valor da mensalidade constante.[Solução: €403,19]

________________________________________________________________________

3. Um empréstimo de €35.000 foi contraído nas seguintes condições:

• Prazo: 20 anos• Amortização do empréstimo nos seguintes termos:

i. Pagamentos mensais constantes, imediatos e postecipados, que crescemanualmente à razão de 1,07.

ii. Pagamentos anuais que crescem €500 de ano para ano, ocorrendo o primeiro umano após o início do empréstimo

• Taxa de juro anual efetiva de 10%

• O valor do primeiro pagamento anual é 3 vezes maior que o valor do primeiro pagamentomensal.

Determine o valor do primeiro pagamento anual.

[Solução: €107,77]


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4. Considere a seguinte mensagem publicitária:

Considerando um crédito contraído no início de Janeiro, e sabendo que existe uma alternativacom uma taxa de juro anual efetiva de 8 %, identifique a melhor opção do ponto de vistafinanceiro.[Solução: A alternativa]

________________________________________________________________________

5. Um empréstimo à construção contemplava as seguintes condições:

• 16 recebimentos trimestrais constantes, crescendo anualmente €5.000, realizando-se oprimeiro 3 meses após o início do contrato.

• O pagamento do empréstimo realiza-se através de 360 pagamentos mensais constantes, novalor de €5.635,102, realizando-se o primeiro 5 anos após o primeiro recebimento.

Considerando uma taxa anual efetiva de 7% durante o prazo do empréstimo, determine o valordo primeiro recebimento.[Solução: €36.831,57]

________________________________________________________________________

6. Considere o empréstimo com as características seguintes:

• Prazo: 15 anos;

• Taxa de juro nominal anual: 8% com capitalizações semestrais;

• Pagamentos mensais constantes a crescerem semestralmente 4%;

• Valor do primeiro pagamento: €568,3771, com vencimento um mês após a contratação doempréstimo;

Determine o valor do empréstimo.[Solução: €100.000]

Crédito Pessoal a 5 anos

Mensalidade de apenas €9 por cada €500 de emprést imo*

* Pagamento de 14 mensalidades postecipadas por ano, realizando-seas 2 mensalidades adicionais no fim de Junho e no fim de Dezembro.

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7. Um empréstimo no valor de €30.000 à taxa de juro anual nominal de 16%, com capitalizaçõesmensais, deve ser reembolsado de acordo com as seguintes condições:- Amortização em 84 mensalidades constantes, vencendo-se a primeira 2 anos após o início

do empréstimo.- A taxa de juro é revista quando faltarem 4 anos para o fim do empréstimo, imediatamenteapós o pagamento da mensalidade.

a) Qual o valor das mensalidades inicialmente fixadas?b) No momento de revisão da taxa, fez-se uma alteração para uma taxa de juro anual nominal

de 18%.b.1) Qual o valor das novas mensalidades constantes?b.2) Sendo mantido o valor inicial das mensalidades, que reflexos haveria sobre o prazo

do empréstimo?[Solução: a) €808,07; b1) €837,57; c) Fazem-se mais dois ou três pagamentos]

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8. Um crédito no valor de €20.000 foi concedido nas seguintes condições:

• Prazo: 20 anos.

• Vencimento do primeiro pagamento 1 trimestre após a concessão do crédito.

• Pagamento trimestral constante durante os 6 anos iniciais: €500.

• Valor do pagamento trimestral constante nos 6 anos seguintes: €750.

• Taxa de juro trimestral efetiva nos primeiros 15 anos: 2%.

• Taxa de juro trimestral efetiva para o prazo remanescente: 2,75%.Calcule o valor nominal dos pagamentos trimestrais constantes nos últimos 8 anos do crédito.

[Solução: €197,47] ________________________________________________________________________

9. Considere o seguinte crédito à construção:

• 20 recebimentos trimestrais que crescem trimestralmente €10.

• 20 pagamentos trimestrais que crescem trimestralmente 10%.

• O primeiro pagamento ocorre 6 anos após o primeiro recebimento.

• O valor do primeiro pagamento é igual ao valor do primeiro recebimento.

• Taxa de juro trimestral efetiva: 2,5%.Calcule os valores nominais do 8.º recebimento e do 15.º pagamento.

[Solução: €255,30; €703,68] ________________________________________________________________________

10. Determinado empréstimo, no valor de €100.000, foi contraído nas seguintes condições:

• Reembolso de capital e juros através de uma perpetuidade quadrimestral.

• Pagamentos quadrimestrais constantes que crescem (em progressão aritmética) de três emtrês anos.

• Primeiro pagamento, no valor de €450, com vencimento um quadrimestre após o início doprocesso.

• Taxa de juro quadrimestral efetiva: 3,5%.

Determine o valor da razão da progressão aritmética.[Solução: €8.420,47]

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11. Determinado empréstimo, no valor de €100.000, foi contraído nas seguintes condições:

• Reembolso de capital e juros através de uma perpetuidade trimestral.

• Pagamentos trimestrais constantes, a crescer (em progressão geométrica) de quatro em

quatro anos.• Primeiro pagamento, no valor de €617,3045 com vencimento na data do empréstimo.

• Taxa de juro trimestral efetiva: 3,5%.Determine a taxa de crescimento dos pagamentos.[Solução: 60%]

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12. Determinado crédito foi concedido nas seguintes condições:

• 30 recebimentos bimestrais (de 2 em 2 meses) constantes a crescer anualmente 9%.Primeiro recebimento, de €10.000, 2 meses após o início do contrato.

• 60 pagamentos trimestrais constantes a decrescer anualmente 9%. Primeiro pagamentovence 6 anos após o início do contrato.

• Taxa de juro anual efetiva: 9%.Calcule o valor do 1.º pagamento.[Solução: €21.860,47]

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13. Considere o seguinte crédito à construção:

• Recebimentos de acordo com o seguinte plano:- 1.º e 2.º ano - mensalidades postecipadas de €2.000

- 3.º ano - não houve recebimentos- 4.º e 5.º ano - mensalidades postecipadas constantes

• Pagamentos de acordo com o seguinte plano:- 6.º ao 15.º ano - bimestralidades (2 em 2 meses) postecipadas de €5.000- 16.º ao 30.º ano - mensalidades postecipadas de €5.000

• Taxa de juro anual nominal com capitalizações mensais: 12%.a) Calcule o valor de cada recebimento durante o 4.º e o 5.º ano.b) Determine o capital em dívida logo após o último pagamento do 14.º ano.c) Admitindo uma nova taxa de juro efetiva mensal de 0,9% a partir do início do 15.º ano e

sendo mantido o valor inicial dos pagamentos, que reflexos haveria sobre o prazo do

empréstimo?[Solução: a) €8.246,21; b) €397.716,44; c) Reduzir-se-ia em 30 ou 29 mensalidades] ________________________________________________________________________

14. Um empréstimo de €300.000 foi contraído nas seguintes condições: Nos primeiros 12 anos: reembolso do capital e juros através de pagamentos mensais

constantes postecipados a crescerem semestralmente €50. Nos 8 anos seguintes: reembolso do capital e juros através de pagamentos mensais

constantes postecipados a decrescerem semestralmente 2%. Taxa de juro efetiva semestral 6%. O valor pago no final do 1.º mês é igual ao valor pago no final do 145.º mês.Calcule os valores do 50.º e do 180.º pagamentos.[Solução: €3.332,31; €2.650,57]

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15. Considere as seguintes entregas mensais numa conta-poupança: As primeiras 120 são constantes e crescem quadrimestralmente €80. As 66 seguintes são constantes e crescem quadrimestralmente 5%. O valor da 1.ª entrega (€500) é igual ao valor da 121.ª entrega.

Admitindo uma taxa de juro efetiva mensal de 1%, calcule o saldo da conta-poupança logo apósa 186.ª entrega.[Solução: €699.668,06]

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16. Renda de 120 termos mensais imediatos, normais e constantes de €1.200 cada. Taxa de juromensal efetiva de 1,2%. Valor da renda no fim do 90.º mês?[Solução: €222.663,71]

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17. Renda de termos trimestrais imediatos, antecipados e constantes de €1.000 cada. Prazo: 12anos. Taxa de juro trimestral efetiva de 2,5%. Valor acumulado da renda?[Solução: €93.131,07]

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18. Valor atual de uma perpetuidade imediata semestral: €100.000. Taxa de juro semestral efetivade 4%. Termo constante normal?[Solução: €4.000]

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19. Perpetuidade semestral com termos constantes de €2.000. Primeiro termo a vencer ao fim de 7meses. Taxa de juro semestral efetiva de 5%. Valor da perpetuidade daqui a 13 meses?[Solução: €44.100]

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20. Valor atual de uma perpetuidade semestral: €100.000. Termo constante antecipado imediato€5000. Taxa de juro semestral efetiva?[Solução: 5,263%]

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Date post:	06-Jul-2018
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