UNIVERSIDAD TÉCNICA DE AMBATOFACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS

Integrantes:

CANDO GABRIELALICUY MARITZA

DÉCIMO semestre “c”27 - NOVIEMBRE – 2012

COMPUTACIÓN APLICADA

Método de elementos finitos

Para la solución de los problemas de ingeniería y de la física matemática

Para los problemas de geometrías complicadas, cargas, y propiedades de los materiales, en general, no es posible obtener soluciones matemática analítica

Proceso de modelización un cuerpo para dividirlo en un sistema equivalente de pequeños cuerpos o unidades (elementos finitos) interconectados en los puntos comunes a dos o más elementos (puntos nodales o nodos

se formulan las ecuaciones para cada elemento finito y combinarlos para obtener la solución del conjunto

Esta sección se describe tanto el rol de la computadora digital en la solución de los

grandes sistemas de ecuaciones algebraicas simultánea asociada con problemas complejos

y el desarrollo de numerosos programas de ordenador basado en el método de elementos

finitos.

Introducción

BREVE RESEÑA HISTÓRICADécada de 1940 en el campo de la ingeniería estructural, se utilizaba una red de línea (unidimensional) elementos (barras y vigas) para la solución de las tensiones en sólidos

En 1947 desarrolló la flexibilidad o el método de la fuerza, y en 1953 sugiere otro método (el método de desplazamiento o rigidez) podría ser una alternativa prometedora para su uso en el análisis de estructuras aeronaves

En 1954 se desarrolló métodos matriciales de análisis estructural utilizando los principios de la energía.

La frase elementos finitos fue presentado por Clough en 1960, cuando ambos elementos triangulares y rectangulares Se utilizaron para el análisis de tensiones en el plano.

En 196 1Extensión del método de elementos finitos en tres dimensiones los problemas con el desarrollo de una matriz de rigidez tetraédrica

Mientras que los problemas de pandeo fueron tratados en 1963. Y se extendió el método a problemas visco-elasticidad en 1968

BREVE RESEÑA HISTÓRICA

1969 para derivar las ya conocidas elasticidad ecuaciones de análisis estructural y, a continuación, en año 1970 para problemas transitorios campo.

1976 se examinó los problemas asociados con grandes desplazamientos de comportamiento dinámico no lineal, y mejorar técnicas numéricas para la solución de los sistemas de ecuaciones resultantes

1977 aplicaron el método de residuos ponderada a la determinación de campo magnético

BREVE RESEÑA HISTÓRICA

1.2 La introducción a la Anotación de la Matriz

Los métodos de la matriz son una herramienta necesaria usada en el método del elemento finito para los propósitos de simplificar la formulación de las ecuaciones de rigidez de elemento

De la anotación de la matriz representa una anotación simple y fácil de usar por escribir y resolver juegos de ecuaciones algebraicas simultáneas

Una matriz es una serie rectangular de cantidades colocada en las filas y columnas que se usan a menudo como una ayuda expresando y resolviendo un sistema de ecuaciones algebraicas

1.2 La introducción a la Anotación de la Matriz

El caso más general de una matriz rectangular conocida se indicará por el uso de la anotación de los corchetes [ ].

• Por ejemplo, el elemento y rigidez de la estructura global matrices k y K, respectivamente, desarrollado a lo largo del texto para el elemento de varios tipos se representan por matrices cuadradas dado como

El nodal global las fuerzas y el nodal global desplazamientos están relacionados a través del uso de la matriz de rigidez por

En caso de que, en teoría estructural, los elementos kij y Kij son a menudo se

denomina coeficientes influencia de rigidez.

1.3 Rol del Ordenador

Advenimiento de las computadoras, la solución de miles de ecuaciones en cuestión de minutos se hizo posible.

• De hecho, los programas informáticos de elementos finitos ahora se pueden resolver en un solo proceso en una sola máquina, tales como un simple computador de escritorio o un ordenador portátil personal (PC) o en un grupo de ordenadores. Las memorias poderosas del equipo y los avances en los programas de resolución han permitido solucionar problemas con más de un millón de incógnitas.

1.3 Rol del Ordenador

El analista, una vez definido el modelo de elementos finitos

introduce la información, puede incluir la posición del elemento nodal las coordenadas, la manera en que los

elementos están conectados, las propiedades del material de los elementos, las cargas aplicadas, las condiciones de frontera, o restricciones, y el tipo de

análisis que se deben realizar

El ordenador entonces usa esta información para generar y solucionar las ecuaciones necesarias de

realizar el análisis

1.4 Pasos generales del método de los elementos finitos

Normalmente para el problema de análisis de esfuerzos estructural, el ingeniero procura determinar desplazamientos y esfuerzos en toda la estructura, que está en el equilibrio y es sujetada a cargas aplicadas. Para muchas estructuras, es difícil de determinar la distribución de deformación que usa métodos convencionales, y así el método de elemento finito necesariamente es usado

Hay dos enfoques generales directas tradicionalmente asociadas con el método de elementos finitos y su aplicación a los problemas de la mecánica estructural

Un enfoque, denominado la fuerza, o flexibilidad, método, utiliza fuerzas internas como las incógnitas del

problema.

El segundo acercamiento, llamado el desplazamiento, o la

rigidez, el método, asumen los

desplazamientos de los nodos como la

incógnita del problema

Otro principio variacional utiliza a menudo para derivar las ecuaciones aplicables es el principio del trabajo virtual. Este principio se aplica más generalmente a los materiales que se comportan de una manera lineal-elástica, así como aquellos que se comportan de una manera no lineal

El método de elementos finitos implica el modelado de la estructura utilizando pequeños elementos interconectados llamados elementos finitos. Una función de desplazamiento está asociado con cada elemento finito. Cada elemento de interconexión está vinculada, directa o indirectamente

Por presión/esfuerzo las propiedades de los materiales de la estructura, se puede determinar el comportamiento de un nodo dado en términos de las propiedades de cada elemento en la estructura. El conjunto total de ecuaciones que describen el comportamiento de cada nodo resultados en una serie de ecuaciones algebraicas mejor expresada en notación matricial.

Paso 1

Discretizar y seleccionar los tipos de elementos

Consiste en dividir el cuerpo en un sistema equivalente de elementos finitos con nodos

asociados y elección del tipo más adecuado de elemento de modelo más estrechamente el

comportamiento físico real

Los elementos deben ser lo suficientemente pequeño para dar resultados utilizables y todavía lo suficientemente grande como para reducir esfuerzo

computacional

La elección de los elementos que se utilizan en un análisis de elementos finitos depende de la estructura física del cuerpo en las actuales

condiciones de carga y de que tan cerca de el comportamiento real del analista quiere los

resultados a ser

Los elementos que se emplean de forma habitual en la práctica de la mayoría de los cuales son considerados son

Elemento simple de línea con dos nodos (normalmente utilizado para representar una barra

o elemento de la viga) y el elemento de línea de orden superior

Elementos simples bidimensionales con nodos de esquina (normalmente se utiliza para representar tensión plana / tensión) y

de orden superior de dos dimensiones elementos con nodos intermedios a lo

largo de los lados

Elementos tridimensionales simples (normalmente utilizados para representar

el estado de tensión tridimensional) y elementos tridimensionales de orden

superior con nodos intermedios a lo largo de los bordes

Simples axisimétrica triangulares y cuadriláteros elementos utilizados para

problemas axisimétricos.

Elegir una función de desplazamiento

Paso 2

Elegir una función de desplazamiento dentro de cada elemento. La función se define dentro del elemento

utilizando los valores nodales del elemento

Polinomios lineales, cuadráticas y cúbicas son funciones de uso frecuente debido a que son fáciles de

trabajar en la formulación de elementos finitos. Sin embargo, las series trigonométricas también se puede

utilizar

Las funciones se expresan en términos de las incógnitas nodales (en el problema de dos

dimensiones, en tema de una componente x y para y). La misma función general de desplazamiento

puede ser utilizado repetidamente para cada elemento

Paso 3

Tensión / desplazamiento y de esfuerzo / deformación relaciones son necesarias para derivar las ecuaciones para

cada elemento finito

Además, las tensiones deben estar relacionadas con las tensiones a través de la tensión / deformación de la ley generalmente se

llama la ley constitutiva.

La capacidad de definir el material comportamiento con precisión es más importante para obtener resultados aceptables. El más simple de

tensión / deformación de las leyes, la ley de Hooke, que se utiliza a menudo en el análisis de tensión, está dada por

Definir las relaciones tensión / desplazamiento y la tensión / deformación

Paso 4

Deducir la Matriz de rigidez del elemento y ecuaciones

Inicialmente, el desarrollo de matrices de rigidez del elemento y ecuaciones elemento se basa en el concepto de coeficientes de influencia de rigidez, lo que presupone un trasfondo de análisis estructural. Ahora presentamos otros métodos utilizados en este texto que no requieren de este fondo especial.

Según este método, la matriz de rigidez y las ecuaciones del elemento nodal están relacionados las fuerzas a los desplazamientos nodales se obtienen utilizando la fuerza las condiciones de equilibrio para un elemento básico, junto con el uso de la fuerza/deformación relaciones.

Método Directo Equilibrio

Para desarrollar la matriz de rigidez y las ecuaciones para elementos de dos, y tres dimensiones, es mucho más fácil de aplicar un método de trabajo o energía. El principio de trabajo virtual (mediante desplazamientos virtuales), el principio de mínima energía potencial, y el teorema de Castigliano son métodos utilizados frecuentemente para el propósito de derivación de las ecuaciones de los elementos..

Métodos de trabajo o energía

El principio del trabajo virtual se aplica a cualquier comportamiento del material, mientras que el principio de mínima energía potencial y el teorema de Castigliano son aplicables únicamente a los materiales elásticos

Con el propósito de extender el método de elementos finitos fuera del campo de esfuerzos análisis estructural, un functional 1 (una función de otra función o una función que toma funciones como su argumento) análoga a la que se utilizará con el principio deenergía potencial mínima es muy útil en la deducción de la matriz de rigidez del elemento y las ecuaciones.

Métodos de trabajo o energía

Por ejemplo, dejando que . denotan el funcional y f (x, y) denotan una función f de dos variables x e y, entonces tenemos = (f (x, y))

Los métodos de residuos ponderados son útiles para el desarrollo de la ecuación elemento; particularmente popular es el método de Galerkin. Estos métodos producen los mismos resultados que los métodos de energía siempre que los métodos de energía aplicables.

Métodos de residuos ponderados

Son especialmente útiles cuando un tal funcional como energía potencial no es fácilmente disponible. Los métodos residuales ponderados permitir que el método de elementos finitos para ser aplicado directamente a cualquier ecuación diferencial

Mediante el uso de cualquiera de los métodos descritos se producen las ecuaciones que describen el comportamiento de un elemento. Estas ecuaciones son convenientemente escrita en forma de matriz como

Métodos de residuos ponderados

Paso 5

Ensamblar las ecuaciones elemento para obtener las ecuaciones globales o total e introducir condiciones de contorno

En este paso los elementos ecuaciones individuales de equilibrio nodales generadas en el paso 4 se ensamblan en las ecuaciones de equilibrio globales nodales

Otro método más directo de superposición (llamado el método de la rigidez directa), cuya base es nodal equilibrio de fuerzas, se puede utilizar para obtener las ecuaciones globales para toda la estructura

Resuelve para los Grados desconocidos de la Libertad (o desplazamientos generalizados)

La ecuación (1.4.6) modificada para tener en cuenta las condiciones de contorno: 

Paso 6

Donde n = número total de grados de libertad nodales desconocidos de una estructura.

Estas ecuaciones se pueden resolver para los ds mediante el uso dos

ds = son las incógnitas primarias, ya que son las primeras cantidades determinadas utilizando la rigidez (o desplazamiento) del método de elementos finitos.

Método de eliminación

Método de Gauss

Método iterativo

Método de Gauss-Seidel

Paso 7

Resolver para elementos de tensión y esfuerzos

Para el problema del análisis estructural de tensión, con importantes cantidades secundarias de tensión y el esfuerzos se puede obtener debido a:

Entre el esfuerzo y la tensión, tales como las ecuaciones. (1.4.1) y (1.4.1) puede ser utilizado para tensión unidimensional dada en el paso 3. 

Puede ser expresado directamente en términos de los desplazamientos determinados en el paso 6.

Relaciones típicas entre la tensión y el desplazamiento

Paso 8

Interpretar los resultados

OBJETIVO FINAL

Interpretar y analizar los

resultados para su uso en el proceso

de diseño / análisis

Determinación de la ubicación en la

estructura donde se producen grandes deformaciones y

tensiones es generalmente

importante en la toma de decisión del diseño /

análisis

Programas informáticos pos-

procesador ayudan al usuario a

interpretar los resultados mediante

su colocación en forma gráfica

1.5 Aplicaciones del Método de los Elementos Finitos

El método de elementos finitos puede ser utilizado para analizar tanto los problemas estructurales y no estructurales:

Análisis de esfuerzos, incluyendo entramado y análisis de marco, y problemas de concentración de esfuerzos típicamente asociados con agujeros, redondeos, u otros cambios en la geometría de un cuerpo.

Pandeo

Análisis de vibración

PROBLEMAS ESTRUCTURALES

Transferencia de calor

Fluido, incluyendo la filtración a través de medios porosos

Distribución de potencial eléctrico o magnético

PROBLEMAS NO ESTRUCTURALES

PROBLEMAS DE INGENIERÍA BIOMECÁNICA

Incluyen típicamente el análisis de la columna vertebral humana, cráneo, articulaciones de la cadera, la mandíbula / goma de implantes de dientes, el corazón y los ojos.

APLICACIONES TÍPICAS DEL MÉTODO DE

ELEMENTOS FINITOS

APLICACIÓN 1

Debido a las condiciones de carga a las que se somete la estructura de la torre, se ha utilizado un modelo tridimensional.El método de los elementos finitos utilizado para esta estructura permite que diseñador/analista rápidamente obtenga desplazamientos y tensiones en la torre para los casos típicos de carga, como es requerido por los códigos de diseño.

Discretización de una torre de control del ferrocarril (con 28 nodos , 48 elementos de viga) con 6 grados de libertad típicos mostrados en el nodo).

El propósito de este análisis fue para localizar áreas de alta concentración de tensiones en el extremo del vástago.

APLICACIÓN 2

Muestra el modelo discretizado para la determinación de los desplazamientos y las tensiones en una alcantarilla subterránea sometida a una carga de tierra de choque de una explosión de una bomba (incluye un total de 369 nodos, 40 barras unidimensional o elementos barra utilizados para modelar el refuerzo de acero en la alcantarilla, y 333 deformación plana bidimensional elementos triangulares y rectangular utilizados para modelar el suelo circundante y alcantarilla de hormigón.

APLICACIÓN 3

Muestra a una estructura en dos dimensiones de análisis de un extremo de la varilla del cilindro hidráulico (120 nodos, 297 planos de tensión elementos triangulares). La ssimetría se aplicó también al extremo de la barra de modo que sólo la mitad de la del extremo de la barra tenía que ser analizados.

APLICACIÓN 4

APLICACIÓN 4

Muestra una sección de chimenea que es de cuatro alturas forman alto (o un total de 32 pies de altura). En esta ilustración, los 584 elementos de viga se utiliza para modelar los refuerzos verticales y horizontales que forman el encofrado, y 252 elementos de placa plana se utiliza para modelar el interior de madera y la placa de hormigón.

Debido al patrón de carga irregular sobre la estructura, un modelo tridimensional era necesario.Los desplazamientos y las tensiones en el hormigón eran la principal preocupación en este problema.

APLICACIÓN 5

Modelo de una matriz de acero de alta resistencia (240

elementos axisimétricas) que se utiliza la industria de película de plástico

La geometría irregular y asociados con concentraciones de tensión potencial necesarias utilizan el método de elementos finitos para obtener una solución razonable. Aquí se utilizaron 240 elementos axisimétricos de modelo tridimensional.

APLICACIÓN 6

Ilustra el uso de un elemento sólido de un columpio para modelar y balancear el reparto de un marco de retroexcavadora tridimensional. Sus elementos son hexaédricos

APLICACIÓN 7

Tierra

Tubería

Ilustra un Método de elementos finitos para una distribución bidimensional de temperatura en la tierra es decir la transferencia de calor, usado para determinar la distribución de la temperatura en la tierra sometida a una fuente de temperatura de calor a una tubería enterrada de transporte de un gas caliente.

APLICACIÓN 8

Muestra un modelo tridimensional de elementos finitos de un hueso de la pelvis con un implante, que se utiliza para estudiar las tensiones en el hueso y la capa de cemento entre el hueso y el implante. (más de 5000 elementos solidos se utilizaron en el modelo)

APLICACIÓN 9

Modelo de elementos finitos de un cubo 710G con 169.595 elementos y 185.026 nodos empleados (78.566 elementos cuadriláteros lineales incluyendo de la cáscara fina para el cubo y el acoplador, 83.104 elementos lineares sólidos del ladrillo para modelar los patrones y 212 elementos de la viga para modelar los cilindros del brazo de la elevación, y la guía de enlace

1.6 Ventajas del método de elementos finitos

1. Modelar una forma irregular con bastante facilidad.

8. Maneja el comportamiento no lineal existente con grandes deformaciones y materiales no lineales

2. Manejar las condiciones generales de carga sin dificultad

3. Modelo cuerpos compuestos por varios materiales diferentes porque los elementos iguales son evaluados individualmente

4. Maneje un número ilimitado y tipos de condiciones de contorno

5. Variar el tamaño de los elementos para hacer posible el uso de elementos pequeños donde sea necesario

6. Modifica los elementos finitos relativamente fácil y barato

7. Incluye efectos dinámicos

Algunas ventajas de los programas de uso general:

La entrada está bien organizado y se desarrolla con la facilidad de uso mental; Los usuarios no necesitan conocimientos especiales de software o

hardware

Programas de neumáticos son sistemas de gran tamaño que a menudo puede resolver muchos tipos de problemas de tamaño grande o pequeño,

con el formato de la misma entrada

Muchos de los programas se puede ampliar mediante la incorporación de nuevos módulos para nuevos tipos de problemas o nuevas tecnologías.

mayor capacidad de almacenamiento y la eficiencia computacional de los ordenadores

Muchos de los programas disponibles en el mercado se han convertido en muy atractivo en precio y puede resolver una amplia gama de problemas

Algunas desventajas de los programas de uso general:

El costo inicial del desarrollo de programas de propósito general es alto.

Programas de propósito general son menos eficientes que los programas de propósito especial

Muchos de los programas son propietarios. Por lo tanto el usuario tiene poco acceso a la lógica del programa.

Algunas ventajas de los programas de propósito especial:

Son por lo general relativamente cortos, con bajos costes de desarrollo.

Los pequeños ordenadores son capaces de ejecutar los programas.

Las adiciones se pueden realizar con el programa de forma rápida y con un coste bajo.

Son eficientes en la solución de los problemas que estaban destinadas a resolver.

Principal desventajas de los programas de propósito especial:

Es su incapacidad para resolver diferentes clases de problemas.

Lista parcial de los programas existentes:

Algor [46]

Abaqus [47]

ANSYS [48]

COSMOS / M [49]

GT-STRUDL [50]

MARC [51]

MSC / NASTRAN [52]

NISA [53]

Pro / Mechanica [54]

SAP2000 [55]STARDYNE [56]

Capacidades estándar de muchos de los programas:

Elemento disponible tipos, tales como vigas, tensión plana, sólida y

tridimensionalTipo de análisis

disponibles, tales como estático y dinámico

Comportamiento del material, tales como linier-elástico y no

lineales

Tipos de carga, tales como concentrados, distribuidos,

térmica, y el desplazamiento (liquidación)

La generación de datos, tales como la generación automática de nodos, elementos y sistemas

de seguridad.

Trazado, tales como la geometría original y deforme

y los contornos de temperatura.

Comportamiento de desplazamiento, tal como desplazamiento pequeño y

grande y pandeo

Salida selectivo, tal como en los nodos seleccionados, los elementos, y los valores

máximos o mínimos.