Engineering Mathematics II - Seoul National...

EEngineering Mathematics IIngineering Mathematics II

Prof. Dr. Yong-Su Na g(32-206, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9th Edition, Wiley (2006)

Ch 15 Power Series Taylor SeriesCh 15 Power Series Taylor SeriesCh. 15 Power Series, Taylor SeriesCh. 15 Power Series, Taylor Series

15 1 Sequences Series Convergence Tests15.1 Sequences, Series, Convergence Tests

15.2 Power Series

15.3 Functions Given by Power Series

15.4 Taylor and Maclaurin Series

15.5 Uniform Convergence

2

Ch. 15 Power Series, Taylor Series Ch. 15 Power Series, Taylor Series C 5 o e Se es, ay o Se esC 5 o e Se es, ay o Se es((거듭제곱거듭제곱 급수와급수와 테일러테일러 급수급수))

거듭제곱급수는 대표적인 해석함수이고 , 역으로 모든 해석함수들은테일러 급수라고 하는 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다테일러 급수라고 하는 거듭제곱급수로 나타낼 수 있다.

15.1 Sequences, Series, Convergence Tests 15.1 Sequences, Series, Convergence Tests q , , gq , , g((수열과수열과 급수급수, , 수렴판정수렴판정))

수열(Sequence) { } { }간단히또는또는수열(Sequence)

:

• 항(Term):

때배정될이수개의한대하여에정수양의각각의 nzn

{ } { }nzzzzz , , , , 2121 간단히또는또는

nz항( )• 실수열(Real Sequence): 각 항들이 실수인 수열

수렴

n

• 수렴수열(Convergent Sequence): 수열갖는를극한값은 (Limit) , , 21 czz

czcz nnn →=∞→ lim 간단히또는

• 발산수열(Divergent Sequence): 수렴하지 않는 수열

Ex. 1 수렴수열과 발산수열

{ } { } ( ) { }

. 0 ,41 ,

3 ,

21 ,

발산한다은인과수열

수렴한다에극한값은수열

nn

n iini

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

{ } { } ( ) { } . 1 1, , ,1 , 발산한다은인과수열 nnnn ziziii +=−−=


실부와 허부의 수열실부와 허부의 수열

( )

수렴에이수열허부의수렴하고에이수열실부의

수렴에이수열의복소수 , , , , ,2 ,1 21

b

ibaczzzniyxz nnnn

⇔

+==+=

수렴에이수열허부의수렴하고에이수열실부의 , , , , , , , , 2121 byyyaxxx nn⇔

Ex. 2 실부와 허부의 수열

4211 2 에서ni

niyxz nnn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−=+=

. 21

. 2 42 , 1 11 2

수렴한다로은

수렴한다에극한값는수열허부의수렴하고에극한값은수열실부의

iz

ny

nx

n

nn

+∴

+=−=


급수(Series) ++=∑∞

21 zzz급수(Series)

• n 번째 부분합(Partial Sums):

++∑=

211

zzzm

m

nn zzzs +++= 21

• 급수의 항(term):

• 수렴급수: 부분합의 수열이 수렴

, , 21 zz

• 합(Sum) 또는 값(Value) :

• 발산급수: 수렴하지 않는 급수

szzzsssm

mnn lim 21

1

인⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++=== ∑

∞

=∞→

발산급수 수렴하지 않는 급수

• 나머지(Remainder):

실부와 허부

+++= +++ 321 nnnn zzzR

실부와 허부

수렴가지면서로합을이급수인 1

ivusziyxzm

mmmm +=+= ∑∞

=

것되는가합이그수렴하여이되고가합이그수렴하여이 2121 vyyuxx ++++⇔


급수에 대한 수렴 발산 판정법급수에 대한 수렴, 발산 판정법

• 발산

. ,0lim .0lim , 21 발산한다급수는이면따라서이다수렴하면이급수 ≠=++ nn zzzz

• 급수에 대한 Cauchy의 수렴원리

∞→∞→ nn

⋅⋅⋅++++41

31

211 series Harmonic cf)

급수에 대한 y의 수렴원리

( ) ,2 ,1

0

21 대하여에그리고모든

부등식대하여에임의의수렴급수가

ε

ε

pNnzzz pnnn =>⇔

+++

• 절대수렴(Absolutely Convergent) : 급수의 각 항들의 절대값의 합이 수렴하는 경우

( )

( ) . 것이다존재하는이의존에일반적으로만족하는을 εNp

• 조건수렴(Conditionally Convergent):

급수는 수렴하나 각 항들의 절대값의 합은 발산하는 경우 ⋅⋅⋅+−+−41

31

211 ex)

• 급수가 절대수렴하면, 수렴한다.432


C i T t (비교판정법)• Comparison Test (비교판정법)( )

,2 ,1 ,

21

21

있다수찾아낼을수렴급수실수항의

아닌음이만족하는을대하여에때주어졌을이급수

++

=≤++

bb

nbzzz nn

• Geometric Series (기하급수):

. ,

21

절대수렴한다또한수렴하며급수는주어진⇒

⎧

>


R i T (비판정법)• Ratio Test (비판정법)

( ) .lim ,2 ,1 0 121 이다대하여에급수어떤인 =++=≠ +∞→ Lzzzznz

n

n

nn

( )

( )

( )

. ,1 ii

. ,1 i

실패이다판정은이있으수발산할수수렴할급수는이면

발산한다급수는그이면

절대수렴한다급수는그이면

>

<

L

L

( ) . , ,1 iii 실패이다판정은이있으므로수도발산할수도수렴할급수는그이면=L

Ex. 4 비판정법⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++

161

91

411 ,

41

31

211 ex)

다음 급수는 수렴하는가, 발산하는가? (먼저 추정해 보고 계산하라)

( ) ( ) ( ) +++++=+∑∞

275100!2

1751001!75100 ii

ni n

=0 !2!nn


R i T (비판정법)• Ratio Test (비판정법)

( ) .lim ,2 ,1 0 121 이다대하여에급수어떤인 =++=≠ +∞→ Lzzzznz

n

n

nn

( )

( )

( )

. ,1 ii

. ,1 i

실패이다판정은이있으수발산할수수렴할급수는이면

발산한다급수는그이면

절대수렴한다급수는그이면

>

<

L

L

( ) . , ,1 iii 실패이다판정은이있으므로수도발산할수도수렴할급수는그이면=L

Ex. 4 비판정법⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++

161

91

411 ,

41

31

211 ex)

다음 급수는 수렴하는가, 발산하는가? (먼저 추정해 보고 계산하라)

( ) ( ) ( ) +++++=+∑∞

275100!2

1751001!75100 ii

ni n

=0 !2!nn

( )( )

( ) . 01125

175100

75100!1

751001

1

수렴한다급수는이이므로Lnn

iz

zi

ni

nn

n

=→+

=++

==+++

+

+

( ) 11!

nnznn

++


• Root Test (근판정법)• Root Test (근판정법)

( )1

21

절대수렴한다급수는이이면대하여에모든큰보다수어떤

대하여에급수어떤

>


PROBLEM SET 15.1

HW 17 ( i ) 18 ( i ) 23HW: 17 (ratio test), 18 (comparison test), 23

15.2 15.2 Power Power SeriesSeries ((거듭제곱급수거듭제곱급수))55 o eo e Se esSe es ((거듭제곱급수거듭제곱급수))

거듭제곱급수(Power Series)∞

• ( ) ( ) ( )

10

2020100

00

, , : )nt(Coefficie

:

aa

zzazzaazzazz nn

n

복소수

거듭제곱급수된거듭제곱으로의

계수

+−+−+=−− ∑∞

=

•

0 : )(Center z복소수중심

+++== ∑∞

22100 : 0 zazaazaz

nn거듭제곱급수된거듭제곱으로의 ∑

=210

00

nn

Ex. 1 원판 안에서의 수렴, 기하급수

. 1 1 1 20

발산한다때일절대수렴하고때일은기하급수 >


Convergence of a Power Series (거듭제곱급수의 수렴)

수렴한다에서중심거듭제곱급수는모든•

•

. 0 수렴한다에서중심거듭제곱급수는모든 z

01

절대수렴한다대해서에인접한더에보다

수렴에서점거듭제곱급수가 zzz ≠=

•

. , 01001 절대수렴한다대해서에모든인즉모든근접한더에보다 zzzzzzzz −


Radius of Convergence of a Power Series (거듭제곱급수의 수렴반지름)

• 수렴원(Circle of Convergence) : 수렴하는 모든 점을 포함하는 가장 작은 원

• 수렴반지름(Radius of Convergence) : 수렴원의 반지름

( )

0

0

수렴하고대하여에모든만족하는을내부원의

수렴반지름수렴원이

zRzz

RRzz

−

•

때수렴할에서만중심단지급수가

때수렴할대해에모든급수가

: 0

:

0zzR

zR

==

∞=


0*lim 1 수렴한다대해에모든거듭제곱급수는즉이다이면때일 zRL*Lan ∞===+

Radius of Convergence R (수렴반지름)

( ) Hadamard-Cauchy lim*

1 0

. , . 0 , *lim

공식이면

수렴한다대해에모든거듭제곱급수는즉이다이면때일

aa

LRL*

zRL*La

n

n

nn

==≠

∞===

∞→

∞→

. .0 lim

*

01

1

수렴한다에서만중심단지이다이면 zRa

a

aL

n

n

n

nn

=∞=+∞→

+∞→

Ex. 5 수렴반지름

( )!2∞ ( )( )

( ) ? 3!

!2 0

2 수렴반지름은의거듭제곱급수n

niz

nn

−∑∞

=


0*lim 1 수렴한다대해에모든거듭제곱급수는즉이다이면때일 zRL*Lan ∞===+

수렴반지름

( ) Hadamard-Cauchy lim*

1 0

. , . 0 , *lim

공식이면

수렴한다대해에모든거듭제곱급수는즉이다이면때일

aa

LRL*

zRL*La

n

n

nn

==≠

∞===

∞→

∞→

. .0 lim

*

01

1

수렴한다에서만중심단지이다이면 zRa

a

aL

n

n

n

nn

=∞=+∞→

+∞→

Ex. 5 수렴반지름

( )!2∞

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) 11li!1!2lili

22!

!22

이다+

⎥⎤

⎢⎡ +⎥

⎤⎢⎡ nnnR n

n

( )( )

( ) ? 3!

!2 0

2 수렴반지름은의거듭제곱급수n

niz

nn

−∑∞

=

( )( )( )( )

( )( )

( )( )( )

( )( )( )

. 413 3

41

.41

12221lim

!!1

!22!2limlim 2

!1!22

!

2

수렴한다안에서원판열린인중심이이고반지름이급수는이

이다


PROBLEM SET 15.2

HW 8 12 20 ( ) (b) (d)HW: 8, 12, 20 (a), (b), (d)

15.3 Functions Given by 15.3 Functions Given by Power Power SeriesSeries5 3 u c o s G e y5 3 u c o s G e y o eo e Se esSe es((거듭제곱급수거듭제곱급수로로 주어지는주어지는 함수함수))

거듭제곱급수의 연속성 (Continuity)( )

( ) 0

0

연속이다에서는함수

있다면수나타낼거듭제곱급수로가지는수렴반지름을인가함수

=

>

zzf

Rzf

거듭제곱급수에 대한 항등정리 (Identity Theorem). 유일성 (Uniqueness)

함수는 같은 중심을 갖는 두 개의 서로 다른 거듭제곱급수로 표현될 수 없다

( ) . 0 연속이다에서는함수 =zzf

함수는 같은 중심을 갖는 두 개의 서로 다른 거듭제곱급수로 표현될 수 없다.

22102

210

갖는다합을똑같은대해서에모든

이과거듭제곱급수두수렴하는에서 zbzbbzazaaRz ++++++<

( ) . ,

, , , , .

.

0

221100

유일하다표현은이표현된다면거듭제곱급수로갖는를중심임의의가함수

즉같다항등적으로급수는이들

갖는다합을똑같은대해서에모든

zzf

bababa

z

∴

===⇒

( ) ,0f


Operations on Power Series (거듭제곱급수의 연산)Operations on Power Series (거듭제곱급수의 연산)

• 항별덧셈 또는 항별뺄셈

항별뺄셈하면또는항별덧셈거듭제곱급수를개의두인과수렴반지름이 RR

항별곱셈: 첫 번째 급수의 각 항에 두 번째 급수의 각 항을 곱하여 의 차수가

.

21

21

얻는다거듭제곱급수를갖는수렴반지름을같은것과작은중과

항별뺄셈하면또는항별덧셈거듭제곱급수를개의두인과수렴반지름이

RR

RR

• 항별곱셈: 첫 번째 급수의 각 항에 두 번째 급수의 각 항을 곱하여 z의 차수가

같은 것을 모으는 것을 의미한다.

두 개의 급수가 갖는 수렴원에 모두 속하는 z에 대해 절대수렴한다.두 개의 급수가 갖는 수렴원에 두 속하는 에 대해 절대수렴한다

( ) ( ) ( ) ++++++=+++∑∞

20211200110000110

: )ProductCauchy (Cauchy

zbababazbababazbababa n

곱

• 미분급수(Derived Series) : 항별미분에 의하여 얻은 거듭제곱급수

( ) ( ) ( ) +++++++++∑=

− 0211200110000

0110 zbababazbababazbababan

nnn

∞

+++=∑∞

=

− 2321

1

1 32 zazaaznan

nn


거듭제곱급수의 항별미분거듭제곱급수의 항별미분

거듭제곱급수의 미분급수는 원래의 급수와 똑같은 수렴반지름을 갖는다.

거듭제곱급수의 항별적분거듭제곱급수의 항별적분

32211

2210

갖는다수렴반지름을동일한급수와원래의은

거듭제곱급수얻어지는적분하여항별로을급수

+++=

+++

∑∞

+ zazazaza

zazaa

nn

해석함수. 그것의 도함수

. 321 00

갖는다수렴반지름을동일한급수와원래의은+++=+∑=

zzzaznn

.

0

표현한다해석함수를점에서모든있는안에수렴원그것의

거듭제곱급수는갖는을수렴반지름아닌이∗ R

.

표현한다해석함수를도함수도

갖는다수렴반지름을동일한급수와원래의

얻어지며미분하여항별로급수를원래의도함수는함수의이

∴⇒

∗

. 표현한다해석함수를도함수도∴⇒


PROBLEM SET 15.3

HW 12 13 20HW: 12, 13, 20

15.4 Taylor and 15.4 Taylor and MaclaurinMaclaurin SeriesSeries5 ay o a d5 ay o a d ac auac au Se esSe es((테일러급수와테일러급수와 MaclaurinMaclaurin 급수급수))

테일러 급수: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

경로닫힌단순포함하는를:

**

*21

!1 , 1

00

10

zC

dzzzzf

izf

nazzazf

Cn

nn

n

nn ∫∑ +

∞

= −==−=

π

반시계방향적분방향

경로닫힌단순포함하는를

:

: 0zC


테일러 급수: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )


**

*21

!1 , 1

00

10

zC

dzzzzf

izf

nazzazf

Cn

nn

n

nn ∫∑ +

∞

= −==−=

π



:

: 0zC

( ) ( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

해석적이다역시도함수도그갖고도함수를계의모든에서해석적에서영역가

,2

!2'' ,21'

.

3020 dzzzzf

izfdz

zzzf

izf

DDzf

CC −=

−=⇒ ∫∫ ππ ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )일반적으로 ,2 ,1 ,2

!

22

10

0

00

ndzzzzf

inzf

zzizzi

Cn

n

CC

=−

= ∫ +π

ππ

방향반시계방향적분

경로닫힌단순임의의안의있는속해에전체가내부둘러싸면서를

:

: 0 DDzC


테일러 급수: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )


**

*21

!1 , 1

00

10

zC

dzzzzf

izf

nazzazf

Cn

nn

n

nn ∫∑ +

∞

= −==−=

π

Maclaurin 급수:



:

: 0zC

급수테일러가지는을중심 0zMaclaurin 급수:

테일러의 공식

급수테일러가지는을중심 0 0 =z

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02

00 zzzzzzn−−−( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

***

*2

: )Remaninder(

!''

!2'

!1

1

10

00

00

00

0

dzzfi

zzzR

zRzfnzzzfzzzfzzzfzf

n

n

n

nn

∫−

=

+++++=

+

+

나머지 ( )( ) ( )**2

)( 10 zzzzi C

nn ∫ −− +π


테일러의 정리테일러의 정리

( ) :

:

0 점임의의에서의

해석적에서정의역

DzzDzf

=

( )( )

( ) )(

.

0

0

최대값의위에서의원만족한다을부등식은계수

유효하다원판에서열린최대의인중심이되는해석적이가

존재하며개가한정확히거듭제곱급수는표현하는를이고중심이

fMMzzf

zfz

≤

⇒

( ) ) .( 0 최대값의위에서의원만족한다을부등식은계수 zfrz-zMraa nnn ==≤

특이성과 수렴반지름Cauchy의 부등식 (14.4)

•

•

( ) ( ) . 존재한다이점않은미분가능하지특이점의하나의적어도수렴원은급수의테일러 zf

( ) 거리와특이점까지의가까운가장의중심에서부터수렴반지름은급수의테일러 zf

테일러 급수로서의 거듭제곱급수

( ). . 있다수커질더거리보다수렴반지름이때때로일치한다

0이 아닌 수렴반지름을 갖는 거듭제곱급수는 그 합의 테일러 급수이다.


주요한 특수 테일러 급수

Ex. 1 기하급수

( )1 11

1 20


Ex. 3 삼각함수와 쌍곡선함수

( ) ( ) +−+−=−=∑∞

!4!2

1!2

1cos422 zzzz

nn( ) ( )

( ) +++==∑

∑

∞

=

!4!21

!2cosh

!4!2!2

422

0

zzn

zz

n

n

n

( ) ( )iziziziz eei

zeez −− −=+=21sin ,

21cos

( ) ( )zzzz eezeez −− =+= 1sinh1cosh( )( ) ( ) +−+−=+−=∑

∞

=

+

=

!5!3!121sin

!4!2!253

0

12

0

zzznzz

n

n

nn

n ( ) ( )eezeez −=+=2

sinh ,2

cosh

( ) +++=+=∑∞

=

+

!5!3!12sinh

53

0

12 zzznzz

n

n

Ex. 4 로그함수

( ) +−+−=+1Ln32 zzzz( ) +−+−=+

321Ln zz


실제적인 방법 1 ∞실제적인 방법Ex. 5 대입법

( ) . Maclaurin 1

12+

=zf 구하라급수를의

( )1 11

1 20


이항급수(Bi i l S i )이항급수(Binomial Series)

( )( ) ( ) ( )( ) +++−++−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=+= ∑

∞− 32

!321

!2111

11 zmmmzmmmzz

mz nmm( )

( ) ⎟⎠

⎜⎝+

∑=0 !3!21 nz nm

Ex. 8 이항급수, 부분분수에 의한 분해

( )

( ) =+=

−−+++

== 232

0

2121

. 128

592 1

zf

zzzzzzfz 구하라급수를테일러의함수다음하여중심으로을

( )( ) ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )( ) ( ) ( )−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−⎟

⎟⎞

⎜⎜⎛

=

−−−

−+=

−+

+=

∑∑∑∞

+

∞∞

2121

22

121

311

21

312

91

1111

91

121332

znzz

zzzzzf

nnn

nnn

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) −−−−−−−−=

⎥⎦⎢⎣⎠⎝⎠⎝⎟⎠

⎜⎝−−⎟⎠

⎜⎝ −+

∑∑∑=

+==

32

02

00212

31

119442751

108231

5431

98

2323911119

zzz

nzz nnn

nn


PROBLEM SET 15.4

HW 13 20 ( ) i h (b) ( )HW: 13, 20 (a) ez, cosz, sinhz, (b), (c)

15.5 15.5 Uniform ConvergenceUniform Convergence ((균등수렴균등수렴))5 55 5 U o Co e ge ceU o Co e ge ce ((균등수렴균등수렴))

균등수렴(Uniform Convergence)균등수렴(Uniform Convergence)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 에서균등수렴한다영역은급수갖는를합 . 2100

Gzfzfzfzfzsm

m +++=∑∞

=

( ) ( ) ( )을대하여에모든있는에그리고모든부등식

대하여에임의의

0

ε

ε

zGNnzszs n >⇔

( ) 존재이정수않는의존하지에만족하는 εNNz =


거듭제곱급수의 균등수렴∞

( )

.

0

0

00

균등수렴한다에서원판모든인반지름이

은거듭제곱급수갖는을수렴반지름아닌이

rzzRr

zzaRm

mm

≤−<

−∑∞

=

합의 연속성

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

. 100

연속이다에서도함수연속이면에서점있는에가항각

균등수렴한다에서영역이급수

zzFzGzf

GzfzfzfzFm

m ++== ∑∞

=

( ) ( ) . , 11 연속이다에서도함수연속이면에서점있는에가항각 zzFzGzfm

15.5 15.5 Uniform ConvergenceUniform Convergence ((균등수렴균등수렴))5 55 5 U o Co e ge ceU o Co e ge ce ((균등수렴균등수렴))Ex. 2 연속인 항들을 갖는 급수이면서 그 합이 불연속인 경우

( )222

2 보자생각해을실수는기하급수 xxxxx ++++ ( ) ( ) ( ) . 111 32222 보자생각해을실수는기하급수 xxxxx +++++++

( ) ( )1111 : 22

2 ⎥⎤

⎢⎡

++++= xsn n부분합항까지의 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )11

1

1 1

1

1

1 1

11

111

1

111

12222

22222

2

2222

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

+++

+−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

++

++=

+−⇒

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ +++

+xxx

xxxx

xsx

s

xxx

nnnnn

nn부항까지의

( ) ( ) ( ) ( )

( )111

1

1111111

122

2

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−=

+⇒

⎥⎦⎢⎣ +++⎥⎦⎢⎣ ++++

+x

xsx

x

xxxxxxx

nn

2

1 5

s s

s4

y

( )( )01

1

11

2

22

⎧

+−+=⇒

xxs nn

1.5

s64

s16

s1

( )( )

0001lim

2

⎩⎨⎧

=≠+

==∴∞→ x

xxss nn–1 0 1 x

있다점이불연속인합은그하지만절대수렴도더욱이수렴급수가그연속이고항들이모든

. 0

. ,

없다수균등수렴일구간에서포함하는을또한

있다점이불연속인합은그하지만절대수렴도더욱이수렴급수가그연속이고항들이모든

= x


Ex. 3 항별적분이 가능하지 않은 급수∞

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 보자고려해을단에서구간놓고이라 , 10 , 10

2

xuxuxfxfxmxexu mmmm

mmx

m −

∞

=

− −=≤≤= ∑

( ) : i 011201 =−=−++−+−= − nnnnn uuuuuuuuusn 부분합항까지의( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 0

100limlim

1

011201

≤≤===∞→∞→

∫

nnnn

nnnnn

dF

xxuxsxF급수

( )

( ) ii

0

21

0

=+++=

=∴ ∫

nnn ufffs

dxxF

적용하면임을항별적분하고

( ) ( ) ( ) ( ) ( )211

21limlimlimlimlim

1

0

1

0

1

01

1

01

1

0

2

=−===== −∞→

−

∞→∞→∞→=∞→

∞

=∫∫∫∑∫∑∫ nn

nx

nnnnn

n

mmnm

m edxnxedxxudxxsdxxfdxxf


항별적분∞

( ) ( ) ( ) ( )

.

. 100

경로이다임의의에서의는

균등수렴한다에서영역이급수

GC

GzfzfzfzFm

m∑ ++==∞

=

( ) ( ) ( ) ( ) . 100

이다합은그수렴하고은 dzzFdzzfdzzfdzzfCCCm C

m ∫∫∫∑ ∫ ++=⇒∞

=

항별적분

( ) ( ) ( ) ( ) . 100

균등수렴한다에서영역이급수 GzfzfzfzFm

m ++== ∑∞

=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ''''

, '''

210

210

0

이다대하여에모든에서의

연속이다에서항들이각균등수렴하고에서이급수

zGzfzfzfzF

GGzfzfzf

m

+++=⇒

+++

15.5 15.5 Uniform ConvergenceUniform Convergence ((균등수렴균등수렴))5 55 5 U o Co e ge ceU o Co e ge ce ((균등수렴균등수렴))균등수렴에 대한 Weierstrass M 판정법

( )

,1 ,0

210 존재한다이수렴급수상수항의인

대하여에모든와모든있는에영역평면의

MMMMzf

mzGz

mm +++≤

=

( ) ( ) ( ) . 100

균등수렴한다에서영역은 Gzfzfzfm

m ++=⇒ ∑∞

=

Ex. 4 Weierstrass M 판정법

? 1 cosh

1 1

2 균등수렴하는가에서원판은급수 ∑∞

=

≤+

+

m

mz

zmmz

21

cosh1

222 이므로≤+

≤+

+mm

mmz

zmmz

. 1 M sWeierstras1

2 입증된다균등수렴이의해수렴성에의판정법과 ∑∞

=m m


절대수렴과 균등수렴의 무관성

Ex. 5 절대수렴과 균등수렴의 무관성

( ) 1111 1은급수 ∑

∞ −

+−+−=− m

( ) 0 i.

321

2221

2

급수이므로된교대항으로음의양과형성하는단조감소수열을갖는극한값으로을절대값들이항의각

않는다절대수렴하지균등수렴하지만위에서실수축전체

은급수 ∑=

++

+++

=+m xxxmx

( )

( ) ( ) 1 11

1 0

.

2 얻는다을대하여에모든과주어진

않는다넘지절대값을항의번째첫급수의이은나머지

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ≥> n

n

εεNn

nxRx

R

εε

( )

( ) ( ) 111ii

.

1

1

때문에발산하기이이고대하여에점고정된

준다증명해균등수렴을무관하므로에이

∑∞−

>=−

⎠⎝++

m

kkx

xεN

εnnx

( )

.

ii1

22

않는다절대수렴하지반드시급수는이

때문에발산하기이이고대하여에점고정된 ∑=

>+

=+ m m

kmmxmx

x


PROBLEM SET 15.5

HWHW:

Date post:	27-Jan-2021
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Engineering Mathematics II - Seoul National...

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