Engineering Mathematics Iocw.snu.ac.kr/sites/default/files/NOTE/5097.pdf · 2018-01-30 ·...

EEngineering Mathematics Ingineering Mathematics I

Prof. Dr. Yong-Su Na g(32-206, [email protected], Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics,

9th Edition, Wiley (2006)

Ch. 8 Linear Algebra: Matrix Ch. 8 Linear Algebra: Matrix EigenvalueEigenvalueCh. 8 Linear Algebra: Matrix Ch. 8 Linear Algebra: Matrix EigenvalueEigenvalueProblemsProblems

8.1 Eigenvalues, Eigenvectors

8.2 Some Applications of Eigenvalue Problems

8.3 Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices

8.4 Eigenbases. Diagonalization. Quadratic Formsg g Q

8.5 Complex Matrices and Forms

2

Ch. 8 Linear Algebra: Matrix Ch. 8 Linear Algebra: Matrix EigenvalueEigenvalueProblemsProblems ((선형대수학선형대수학: : 행렬의행렬의 고유값고유값 문제문제))

내용 : 고유값 문제, 여러 가지 행렬, 대각화를 통한 문제 해결법

88.1 .1 EigenvaluesEigenvalues, Eigenvectors , Eigenvectors 88 ge a uesge a ues, ge ec o s, ge ec o s((고유값고유값, , 고유벡터고유벡터))

Eigenvalues, Eigenvector

를 스칼라 존재하면 가 벡터 이닌 이 인 만약 때, 행렬일 가 x0xAxA λλ=×nn

.r(Eigenvecto Eigenvalue

한다 라 의 대응하는 에 벡터는 모든

아닌 이 인 고유값이면, 의 가 한다. 라( 의

고유벡터)

고유값)

A0xAxAA

λλλ =

고유값과 고유벡터를 구하는 방법

( )( )

( ) ( ) ( ) 고유값의가해인의특성방정식

계수행렬식 필요충분조건 가질 해를 않는 자명하지 인

제차선형연립방정식

AIA0x

0xI-AxAx

λλ

λλ

0d0

: =⇒≠⇒

=⇒=

λD

( ) tdeterminan sticCharacteri :λD

( ) ( ) ( ) 고유값의가해인의특성방정식 AIA λλ 0det =−=⇒ λD


E 1 Ill st ate all the steps in te ms of the mat iEx. 1 Illustrate all the steps in terms of the matrix

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

2225

A

Step 1 Eigenvalues

⎦⎣ − 22

2225

2

1

2

1AxxAxxx

xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=⇒= λλ

( )( ) 022

025

2225

21

21

221

121

xxxx-λ-

xxxxxx-

=−−+=+

⇒=−=+

⇒λλ

λ

( ) ( ) ( )( ) 0674252225

det 2IAD =++=−−−−−=−−

−−=−= λλλλ

λλ

λλ

( ) 61 고유값 의A-, λλ =−=⇒


Step 2 Eigenvectors

1−=λ( ) 025 21 =+ xx-λ- 024 21 =+− xx

⎤⎡1고유벡터는

11 =x

( ) 022 21 =−−+ xx λ 02 21 =− xx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2x고유벡터는

112 2xx =

6−=λ( )( )

022025

21

21

=−−+=+

xxxx-λ-λ 042

02

21

21

=+=+

xxxx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=1

2x 고유벡터는

21 =x2

12

xx −=


EigenvaluesEigenvalues

가진다고유값을다른서로개의많아야이상하나적어도행렬은따라서

근이다. 특성방정식의 의 고유값들은 의 정방행렬 AA

Eigenvectors, Eigenspace

가진다.고유값을다른서로개의많아야이상,하나적어도행렬은 따라서 nnn ×

( )

벡터 해당되는 고유값에 같은 된다.따라서 고유벡터가 도 대하여 에 임의의 와

단 경우, 고유벡터인 대응하는 에 고유값 같은 의 행렬 가 와 만일

0

λ

x

wxxwAxw

kk ≠

≠+

( )이라한다.

해당되는 에 고유값 이것을이루며, 벡터공간을 하나의 함께 벡터와 들은

Eigenspace

고유공간λ0

Eigenvalues of the Transpose

( )이라한다.Eigenspace

갖는다. 고유값을 같은 와 행렬 는 전치 의 정방행렬 AAA T


Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of⎥⎤

⎢⎡ −− 322Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−−=021612A


Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of⎥⎤

⎢⎡ −− 322Ex. 2 Find the eigenvalues and eigenvectors of

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−−=021612A

Characteristic equation: Eigenvalues: 0452123 =++−− λλλ ( )이중근3 ,5 −== λλ

= 5 특성행렬 대한 에λ⎤⎡ −− 327 ⎤⎡1

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−−

=−521642327

5IA

행을 간략화

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

000748

7240

32713 −=x

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

121

- 고유벡터는

⎥⎦⎢⎣ −−− 521

−= 3 특성행렬 대한 에λ⎤⎡ 321

0 ,1 32 == xx

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡−

12

고유벡터는

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−

=+ 642321

3IA

행을 간략화

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

000000321 ⎥⎦⎢⎣ 0

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡03

고유벡터는⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −− 321

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣10고유벡터는

1 ,0 32 == xx


Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):

Characteristic polynomial(특성다항식)의 근으로서 고유값의 차수

Geometric Multiplicity (기하적 다중도):p y

고유값에 대응하는 일차독립인 고유벡터의 수

Defect (부족지수):

대수적 다중도와 기하적 다중도의 차

Ex. 3 ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

=2310

AEx. 3 ⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

=30

,00

A


Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):Algebraic Multiplicity (대수적 다중도):

Characteristic polynomial(특성다항식)의 근으로서 고유값의 차수

Geometric Multiplicity (기하적 다중도):p y

고유값에 대응하는 일차독립인 고유벡터의 수

Defect (부족지수):

대수적 다중도와 기하적 다중도의 차

Ex. 3 ⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

=2310

AEx. 3 ⎥⎦

⎢⎣

⎥⎦

⎢⎣

=30

,00

A

( ) :고유벡터이중근:고유값:특성방정식 ⎥⎤

⎢⎡

⇒=⇒==1

300)-(30 22 λλλ ( )

1:다중도기하적

2: 다중도 대수적

:고유벡터이중근:고유값: 특성방정식 ⎥⎦

⎢⎣

⇒=⇒==0

3 ,0 0)-(3 ,0 λλλ

1: 부족지수

1: 다중도 기하적


PROBLEM SET 8.1

HW 24HW: 24

88.2 Some Applications of .2 Some Applications of EigenvalueEigenvalue88 So e pp ca o s oSo e pp ca o s o ge a uege a ueProblems Problems ((고유값고유값 문제의문제의 몇몇 가지가지 응용응용))

Ex 1 Stretching of an Elastic Membrane (탄성막의 팽창)Ex. 1 Stretching of an Elastic Membrane (탄성막의 팽창)

( ), 1 21212

22

1 가점당겨잡아탄성막을있는평면상에갖는을원경계로서 xxPxxxx =+

( ) ( )Di iP i il

5335

5335

212

211

2

1

2

1

의위치벡터의즉경우이한다가도록로점표현된로

성분식으로또는Axy

QQ

xxyxxy

xx

yy

주방향

+=+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

( ) ( )

,DirectionsPrincilpe . , 21

방향을의위치벡터되는방향이정반대또는방향같은방향과의위치벡터의방향이

의위치벡터의즉경우이한다가도록로점표현된로

xx

y

P

QxxQ 주방향

. . 살펴보라취하는지꼴을어떤경계원은변형하에서이런구하라

( ) ==⇒==−

28:09535

: 2 고유값특성방정식 λλλλ ( )

⎥⎤

⎢⎡

==⎥⎤

⎢⎡

==

==⇒=−−=−

12

18

2 8,: 09553

:

xx 고유벡터는때일고유벡터는때일

고유값특성방정식

λλ

λλλλ

⎥⎦

⎢⎣−

⎥⎦

⎢⎣ 1

,2 ,1

,8 xx 고유벡터는때일고유벡터는때일 λλ


2 8 ) ( 135 45 : 1

팽창만큼과각각주방향으로

방향고유벡터의방향이루는각을의와방향과축양의주방향

∗

x

)( 128

sin2 ,cos8 :

2

22

2

21

21

타원

좌표계새로운

=+∴

==⇒

zz

zz φφ

28


E 2 Ei l P bl A i i f M k PEx. 2 Eigenvalue Problems Arising from Markov Processes

, Markov

는행렬확률따라서된다문제가고유값경우의다룰문제를극한상태같은와즉

되는값이자신의때곱해질와확률행렬결정짓는공정을가상태벡터과정에서

AA

Ax

. , 1

. ,

되는갖게관심을문제의이러한된다고유벡터가해당되는이에는되며갖게을고유값


x

AxAx =

. Markov 때문이다주기설명해모델을장기과정이이런이유는


E 2 Ei l P bl A i i f M k PEx. 2 Eigenvalue Problems Arising from Markov Processes

, Markov


되는값이자신의때곱해질와확률행렬결정짓는공정을가상태벡터과정에서

AA

Ax

. , 1

. ,

되는갖게관심을문제의이러한된다고유벡터가해당되는이에는되며갖게을고유값


x

AxAx =

. Markov 때문이다주기설명해모델을장기과정이이런이유는

111.02.07.0101.07.0⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

⎥⎤

⎢⎡

7.2 Ex. 13

1 : 1 : 11

11

8.02.0009.01.0

11

8.001.02.09.02.0 고유값의고유값의 AAAA ⇒⇒

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

⇒⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

= TT

⎤⎡2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==

162

, 1 x고유벡터는때일λ

의미접근함을로비율이거주지역의공업상업하에가정않는다는변하지가확률행렬 1:6:2 : : A


PROBLEM SET 8.2

HW 17HW: 17

88.3 S.3 Symmetricymmetric, Skew, Skew--Symmetric, andSymmetric, andyy ,, y ,y ,Orthogonal MatricesOrthogonal Matrices ((대칭대칭, , 반대칭반대칭, , 직교행렬직교행렬))

Square matrix (정방행렬) 에 대하여

• Symmetric:

[ ]jka=A

AA =T

• Skew-Symmetric:

• Orthogonal:

AA −=T

1−= AAT

실수 정방행렬 A는 대칭행렬 R과 반대칭행렬 S의 합으로 표현할 수 있다.

( ) ( )TT AASAAR =+=11 ( ) ( )AASAAR −=+=2

,2

Ex. 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

006510.605.15.15.10

0302530.20.35.3

5.35.30.9

345832

259SRA

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 00.65.10.30.25.3345


Square matrix (정방행렬) 에 대하여

• Symmetric:

[ ]jka=A

AA =T

• Skew-Symmetric:

• Orthogonal:

AA −=T

1−= AAT

실수 정방행렬 A는 대칭행렬 R과 반대칭행렬 S의 합으로 표현할 수 있다.

( ) ( )TT AASAAR =+=11 ( ) ( )AASAAR −=+=2

,2

Ex. 2

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=+=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

006510.605.15.15.10

0302530.20.35.3

5.35.30.9

345832

259SRA

⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ 00.65.10.30.25.3345


Eigenvalues of Symmetric and Skew-Symmetric Matrices (8.5)Eigenvalues of Symmetric and Skew Symmetric Matrices (8.5)

• 대칭행렬의 고유값은 실수이다. (8.2 Ex. 1)

• 반대칭행렬의 고유값은 순 허수이거나 영이다.ii 25 ,25 ,0

0201220091290

−⇒⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

Orthogonal Transformation (직교변환): ( )직교행렬 는AAxy =

Ex. 각도 만큼 평면회전은 직교변환이다. θ각 만큼 평면회전은 직 변환이다θ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

2

1

cossinsincos

xx

yy

θθθθ

y

내적값

⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 22y

[ ] ( )2

1

T bb

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

내적값 [ ] ( )b a,baba 221 벡터임의의 의n

n

nT R

b

baaa

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

==•

길이 또는 노름(Norm) : aaaaa T=•=


Invariance of Inner Product

직교변환은 벡터의 내적값을 보존한다.

또한 벡터의 길이 또는 노름(norm)도 보존한다.

Orthonormality of Column and Row Vectors

ab b,abaIbaAbAaAb(Aa)vuvu TTTTTT =•======•

Orthonormality of Column and Row Vectors

실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터 (또한 행벡터들)이

정규직교계(Orthonormal System)를 형성하는 것이다. naa , ,1

( )( )⎩

⎨⎧

=≠

==•kjkj

kT

jkj 1 0

aaaa

[ ]

aaaaaa

aaaaa

AAAAI

nT

2T

1T

n21

T

T

T1-

111

2

1

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

=⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

===

aaaaaaa nT

2T

1TT

nnnn ⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣


Determinant of an Orthogonal Matrix

직교행렬의 행렬식의 값은 +1 또는 -1이다.

2TT-1 A)(det Adet A det )(AAdet )(AAdet Idet 1 =====

Eigenvalues of an Orthogonal Matrix

)()()(

Eigenvalues of an Orthogonal Matrix

직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고 절대값은 1이다.

212 ⎤⎡

6/)11(5 ,6/)11(5 1,- 31

32

32

32

31

32

ii −+⇒⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

− )()(

32

32

31

333

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣−


PROBLEM SET 8.3

HW 3 18HW: 3, 18

88.4 .4 EigenbasesEigenbases.. DiagonalizationDiagonalization. Quadratic. Quadraticgg gg QQForms Forms ((고유벡터의고유벡터의 기저기저. . 대각화대각화. 2. 2차차 형식형식))

Basis of EigenvectorsBasis of Eigenvectors

된다. 기저가 의 은 , , 고유벡터 의 행렬 이

, 가지면 고유값을 다른 서로 개의 가 행렬 만일n

n Rnnn

xxAA

1

×

n1

nn

nn

cccccc

)xxxA(Axyxxx x

2211

2211

+++==+++=

nnn

nn

nn

cccccc

xxx AxAxAx

)(y

222111

2211

2211

λλλ +++=+++=

Symmetric Matrices

대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 갖는다.대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 갖는다.

⎥⎤

⎢⎡ 35

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

12

1

,12

1

⎥⎦

⎢⎣ 53 ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣−

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ 2

12

1


Similarity Transformation (상사변환)Similarity Transformation (상사변환)

( )PAPPA ˆ 1 정칙행렬nn×= −

Eigenvalues and Eigenvectors of Similar Matrices

갖는다. 고유값을 같은 와 는 상사이면 에 가 AAAA ˆˆ

된다. 고유벡터가 의 대응되는 고유값에 같은 는 고유벡터이면 의 가 AxPyAx ˆ1−=

xPx)(PAxAPPPAIxPAxP 111111 −−−−−− ==== λ

Diagonalization of a Matrix (행렬의 대각화)

Ann× 가지면 기저를 고유벡터의 가 행렬 만일 ⎤⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

03ˆ

4131

X ,1-43-6

A

XAAXXD 1 −=

행렬이다.하는열벡터로고유벡터들을이들 는 여기서

된다. 원소가 주대각선의 고유값들이 의 되고, 대각행렬이 는

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⇒

2003

A

XAXD mm 1−= 또한

행렬이다하는열벡터유벡터들을이들는여기서


E 4 Di liEx. 4 Diagonalize

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

55015117.32.03.7

A⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−=

3.98.17.175.50.15.11A


E 4 Di liEx. 4 Diagonalize

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ −

55015117.32.03.7

A⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −−=

3.98.17.175.50.15.11A

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−

=⇒⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

⇒

===⇒=+−

− 7.02.03.13.02.07.0

,113211

12

11

31

043 012

1

23

XX,-,-

, λ-, λλ

:고유벡터

: 고유값- : 특성방정식 λλλ

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣−

⇒⎥⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣

⇒2.02.08.0

7.02.03.1 ,431113

41

31

13 XX, , -

고유벡터

⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 003043302070

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−== −

000040003

0123049043

2.02.08.07.02.03.13.02.07.0

1AXXD

⎦⎣⎦⎣⎦⎣


Quadratic Forms (2차 형식). Transformation to Principal Axes (주축으로의 변환)Quadratic Forms (2차 형식). Transformation to Principal Axes (주축으로의 변환)

1 11 : 2

n

j

n

kkjjk

Tn xxaQ, x, x == ∑∑

= =

Axxx 차형식구성된으로성분의벡터

222

2221221

1121122

111

nn

nn

xxaxaxxa

xxaxxaxa

++++

+++=

XDXXDXA T-1 ==

22211

nnnnnnn xaxxaxxa ++++

+

Xy) xy,x(XDyyxXDXxAxxQ

XDXXDXA

T

TTTT

==

===

Principal Axes Theorem (주축정리)

치환 에 의하여 2차 형식은 주축형식 또는 표준형으로 변환될 수 있다.

형222T

Xyx =

고유값의대칭행렬행렬

표준형

)( : , , ,

:

21

2222

211

n

nnT yyyQ

A

Dyy

λλλ

λλλ +++==

직교행렬하는열벡터로을고유벡터대응하는고유값에 , , , : 21 nxxxX


Ex. 5 Quadratic Form. Symmetric Coefficient Matrix

[ ] 2221

21

121 2103

43xxxx

xxxT ++=⎥

⎤⎢⎡⎥⎤

⎢⎡

=Axx [ ] 22112

21 26 x ⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣

( )1대칭행렬대응하는에행렬하는로이 로 ( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

+=+==+

2553

21 551064

C

A 대칭행렬대응하는에행렬하는로이므로 kjjkjk aac

⎥⎦

⎢⎣ 25

[ ] 221 210353

xxxxx

xxT ++=⎥⎤

⎢⎡⎥⎤

⎢⎡

=Cxx [ ] 22112

21 210325

xxxxx

xx ++=⎥⎦

⎢⎣⎥⎦

⎢⎣

=Cxx


Ex. 6 Transformation to Principal Axes. Conic Sections (원뿔곡선)p (원뿔곡선)

Find out what type of conic section the following quadratic form represents and transform it to principal axes:

22 128173017 2221

21 =+−= xxxxQ

1517 ⎤⎡⎤⎡ − x

( ) 01517:

,17151517

22

2

1

=−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

-

xx

λ특성방정식

xA

( )

322

32 2, : 01517 :

22 +=⇒

=⇒

=

yyQ

-λλ

고유값

특성방정식

12

8

322

2

22

2

21

21

=+∴

+=⇒

yy

yyQ

28


PROBLEM SET 8.4

HW 8 17HW: 8, 17

88.5 .5 Complex Matrices and FormsComplex Matrices and Forms88 55 Co p e a ces a d o sCo p e a ces a d o s((복소행렬과복소행렬과 그그 형태형태))

NotationsNotations

[ ] [ ] ( )

행렬엳는대치하여로

공액복소수 대응되는 에실수 는 , 여기서 원소 각 의AA : jkjkjk

iβαa

iβαaaa

=

+=== βα

[ ] 공액전치행렬 대한 에 전치행렬이며, 대한 에

행렬엳는대치하여로

AAA :

kjT

jk

a

iβαa

=

−=

Ex.⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−

=⇒⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

=ii

ii

iii

ii T

521643

,526

143

526143

AAA

정방행렬 에 대하여

i i i 에 미 행렬

[ ]jka=A

AAT

⎦⎣⎦⎣⎦⎣

• Hermitian Matrix (에르미트 행렬):

• Skew-Hermitian Matrix (반에르미트 행렬):

AA =T

AA −=T

1T• Unitary Matrix (유니타리 행렬): 1−= AAT


EigenvaluesEigenvalues

• 에르미트 행렬(대칭행렬)의 고유값은 실수이다.

• 반에르미트 행렬(반대칭행렬)의 고유값은 순허수이거나 0이다.반에 미 행렬(반대칭행렬)의 유값은 순허수이거나 이다

• 유니타리 행렬(직교행렬)의 고유값은 절대값 1을 가진다.

Inner Product:

Invariance of Inner Product

baba T=•

후의변환전과변환대하여는에갖는를행렬유니타리즉 AxyA =변환유니타리

Unitary System: 다음을 만족하는 복소벡터들의 집합. 실수벡터의 정규직교계에 해당

않는다. 변하지 노름이 및 내적

후의변환전과변환대하여는 에갖는를행렬유니타리즉, AxyA =변환 유니타리

y y 다 족하 복 벡터 의 수벡터의 규직 계에 해

( )( )⎩

⎨⎧

=≠

==•kjkj

kT

jkj 1 0

aaaa ( )⎩ kj 1


Unitary Systems of Column and Row Vectors

복소 정방행렬이 유리타리 행렬일 필요충분조건은 열벡터(또는 행벡터)가

니타리 계 형성하 것이다유니타리 계를 형성하는 것이다.

Determinant of a Unitary System

유니타리 행렬의 행렬식은 절대값 1을 가진다 즉 1det =A유니타리 행렬의 행렬식은 절대값 1을 가진다. 즉,

Basis of Eigenvectors

에르미트, 반에르미트 또는 유니타리 행렬의 고유벡터들은 상에서

1det A

nC유니타리 계의 기저가 된다.


Hermitian and Skew-Hermitian Forms

n, x, x1 x 형식대한에성분의벡터

n

j

n

kkjjk

T xxa= ∑∑= =1 1

: Axx

nnnnnnnnnn xxaxxaxxaxxaxxaxxa +++++++++= 11221221111111 ˆ

A가 에르미트, 또는 반에르미트일 경우, 각각 에르미트, 반에르미트 형식이라 부름.

에르미트 형식의 값은 실수이며, 반에르미트 형식의 값은 순허수 또는 0이 됨.


PROBLEM SET 8.5

HW 16HW: 16

Date post:	12-Feb-2020
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