ENSIM2A Vibrations&Acoustique 1

ECOLE NATIONALE SUPERIEURE D'INGENIEURS DU MANS - UNIVERSITE DU MAINE

AAAABBCCAAAADDEEFFEEAAAAAA

Jean-Claude Pascal

ii

Cours Vibrations et Acoustique 1

Partie A : Vibrations

I - Vibrations libres des systmes mcaniques un degr de libert 1 - Systme mcanique lmentaire 2 - Amortissement visqueux 3 - Mthode nergtique de Rayleigh 4 - Notion de stabilit

II - Rponse force des systmes mcaniques un degr de libert 1 - Rponse une excitation harmonique 2 - Diffrents types d'amortissement 3 - Rponse une excitation quelconque

III - Systmes plusieurs degrs de libert 1 - Systme deux degrs de libert 2 - Gnralisation aux systmes plusieurs degrs de libert 3 - Absorbeur dynamique 4 - Introduction l'analyse modale exprimentale

Partie B : Acoustique

IV - L'quation d'onde acoustique et ses solutions 1 - Equation d'onde une dimension 2 - Equation d'onde en 3D 3 - Ondes propagatives et ondes stationnaires 4 - Intensit et puissance acoustique

V - Notions d'acoustique physiologique et d'acoustique des salles 1 - Introduction la physioacoustique 2 - Applications de l'acoustique statistique des salles

VI - Mesures acoustiques 1 - Chaine de mesure acoustique 2 - Mesure des caractristiques des matriaux 3 - Mesure de la transparence acoustique 4 - Mesure de la puissance acoustique

iii

Elments de bibliographie

[1] Acoustique gnrale (P.J.T. Filippi, d.), Les Editions de Physique, 1994. [2] L.L. Beranek, I.L.Vr, Noise and vibration control engineering, J. Wiley, 1992. [3] D.A. Bies, C.H. Hansen, Engineering noise control (2nd edition), E. and F. N. Spon, 1995. [4] M. Bruneau, Manuel d'acoustique fondamentale, Herms, 1998. [5] A.P. Dowling, J.E. Ffowcs-Williams, Sound and sources of sound, Horwood, 1989. [6] Encyclopedia of acoustics, (Tomes 1 4), (M.J. Crocker, d.), Wiley-Interscience, 1997. [7] Encyclopedia of vibration, (Tomes 1 3), (S.G. Braun, D.J. Ewins, S.S. Rao, d.), Academic

Press, 2002.

[8] D.J. Ewins, Modal Testing : Theory, Practice, and Application (2nd edition), Research Studies Press, 2000.

[9] F. Fahy, Foundations of engineering acoustics, Academic Press, 2001. [10] Fundamentals of noise and vibration,(F. Fahy, J. Walker, diteurs), E. and F. N. Spon, 1998. [11] D.J. Inman, Engineering Vibration, Prentice Hall, 1996. [12] M. Lalanne, J. Der Hagopian, P. Berthier, Mcanique des vibrations linaires, Masson, 1986 [13] C. Lesueur et al., Rayonnement acoustique des structures, Eyrolles, 1988. [14] S. Lwy, Acoustique industrielle et aroacoustique, Herms, 2001. [15] J. Piranda, Analyse modale exprimentale, Vol RAB (Mesures et contrle), ref. 6180,

Techniques de l'Ingnieur, 2001.

[16] C. Potel, M. Bruneau, Acoustique gnrale, Ellipses, 2006. [17] M.P. Norton, Fundamentals of noise and vibration analysis for engineers, Cambridge

University Press, 1989.

[18] S.S. Rao, Mechanical Vibrations (3rd ed.), Addison-Wesley, 1995. [19] A.A. Shabana, Theory of vibration (2nd ed.), Springer, 1995.

Rpartition selon les parties du cours (en italique, lectures complmentaires d'un niveau suprieur)

Partie A : Vibrations [11] [18] [19] [10] [12] [13] [15] [8] [1]

Partie B : Acoustique [5] [9] [10] [14] [16] [4] [1] [13]

Gnral : Vibrations et acoustique industrielles [2] [3] [17] [10] [6] [7]

iv

Documentation sur l'acoustique et les vibrations

L'adresse des sites de l'Internet est indique, mais les changements d'hbergement sont encore frquents.

Publications d'organismes sur l'acoustique industrielle

Brel & Kjaer [http://www.bk.dk] Documentation sur les mthodes de mesure et d'analyse en acoustique et vibrations Acoustic noise measurements (5th ed.) Noise control Frequency analysis (3rd ed.) Brel & Kjaer Technical Review (publie rgulirement de 1949 1998 puis pisodiquement)

Centre Technique des Industries Mcaniques (CETIM) [http://www.cetim.fr] Recueils de confrences et guides pratiques :

Applications of Active Control to the Reduction of Noise and Vibrations (1996) Les nouveaux outils de la qualit acoustique. Comment faonner l'image sonore de vos produits (1996) Le bon usage du silencieux pour la rduction du bruit : machines, installations, vhicules (1997) Guide acoustique des installations de pompage (1997) Matriaux acoustiques pour l'industrie (2003) Rduction du bruit au voisinage des usines (2003)

Centre d'Information et de Documentation sur le Bruit (CIDB) [http://www.infobruit.org] Annuaire Bruit des acteurs de l'environnement sonore dit chaque anne (organismes

publics, associations professionnelles, formations, laboratoires, organismes de contrle, bureaux d'tudes, fabricants de matriaux acoustiques et d'instruments)

Echo-Bruit (magazine trimestriel de l'environnement sonore pour le grand public et les collectivits locales)

Acoustique & Techniques (revue trimestrielle destine aux techniciens, acousticiens et tous professionnels concerns par les techniques de lutte contre le bruit)

Centre Scientifique et Technique du Btiment (CSTB) [http://www.cstb.fr] Cahiers du CSTB (revue technique dans le domaine du btiment avec des articles sur le

bruit)

Institut National de Recherche et de Scurit (INRS) [http://www.inrs.fr] Cahiers de notes documentaires - Hygine et scurit du travail (revue trimestrielle

scientifique et technique avec des articles sur la prvention du bruit)

Techniques de l'Ingnieur [http:/www.techniques-ingenieur.fr], voir en particulier la rubrique "mesures et contrle"

Revues internationales

Les sites web permettent la plupart du temps d'avoir accs aux rsums des articles des dernires parutions.

Applied Acoustics [http://www.elsevier.com/inca/publications/store/4/0/5/8/9/0/]

Acustica united with acta acustica [http://www.icp.inpg.fr/ACTA/]

International Journal of Acoustics and Vibration [http://www.rcom.ru/IJAV/]

Journal of Acoustical Society of America [http://ojps.aip.org/jasa/]

v

Journal of Sound and Vibration [http://www.academicpress.com/jsv/]

Journal of Vibration and Acoustics (Transactions of ASME) [http://www.asme.org/pubs/journals/vibrate/vibrate.html]

Noise Control Engineering Journal [http://users.aol.com/inceusa/indxncej.html]

Principales socits d'acoustique

Socit Franaise d'Acoustique (SFA) [http://www.loa.espci.fr/sfa/]

Association Franaise de Mcanique (SFM) [http://www.afm.asso.fr/]

European Acoustics Association (EAA) [http://eaa.essex.ac.uk/eaa/]

International Institute of Noise Control Engineering (IINCE) [http://users.aol.com/iince1/] (et INCE USA [http://users.aol.com/inceusa/])

International Institute of Acoustics and Vibration (IIAV) [http://www.iiav.org]

Acoustical Society of America (ASA) [http://asa.aip.org]

Diverses sources de documentation et d'information

Association Franaise de Normalisation (AFNOR) : normalisation, certification, catalogues de normes, directives, formations, forums [http://www.afnor.fr]

Centre d'Information et de Documentation sur le Bruit (CIDB) : publications, bibliothque documentaire, stages, colloques. Edite chaque anne l'Annuaire des acteurs de l'environnement sonore (organismes publics, associations professionnelles, formations, laboratoires, organismes de contrle, bureaux d'tudes, fabricants) [http://www.cidb.org]

Laboratoire National d'Essais (LNE) : mtrologie acoustique, talonnages, certification [http://www.lne.fr]

Institut de l'Information Scientifique et Technique (INIST-CNRS) : fourniture de documents scientifiques et techniques [http://www.inist.fr]

Rglementation

Les Journaux Officiels [http://djo.journal-officiel.gouv.fr/] chercher avec le mot cl "Bruit". En particulier :

Lgislation communautaire en matire d'environnement /Volume 5 Bruit Situation au 01.09.91 (Edition de 1993 - rf. : 3699100541) Situation au 30.06.94 (Edition de 1996, complment l' Edition de 1993 - rf. : 3699600541)

Bruit - Prvention, matrise et contrle des nuisances sonores (rf. : 313830000, dition du 2 juin 1995) Cet ouvrage regroupe l'ensemble des textes lgislatifs et rglementaires d'origine nationale et communautaire qui rgissent la prvention, la matrise et le contrle des nuisances sonores.

vi

Pont de Tacoma (USA) - 7 Novembre 1940

Quelques thories http://www.me.utexas.edu/~uer/papers/paper_jk.html Modlisation de l'instabilit arodynamique http://www-sop.inria.fr/caiman/AIIFS/perspectives.html

ENSIM - 2eme Anne Vibrations et Acoustique 1

I - VIBRATIONS LIBRES DES SYSTEMES MECANIQUES

A UN DEGRE DE LIBERTE

1. SYSTEME MECANIQUE ELEMENTAIRE

1.1 - Equation du mouvement 1.2 - Raideurs quivalentes 1.3 - Masses quivalentes 1.4 - Linarisation Application 1 : Dtermination de la frquence propre

2. AMORTISSEMENT VISQUEUX

2.1 - Mouvement sous-amorti 2.2 - Mouvement sur-amorti 2.3 - Mouvement avec amortissement critique 2.4 - Equation normalise dun systme 1 degr de libert Application 2 : Mesure du taux d'amortissement 1

3. METHODE ENERGETIQUE DE RAYLEIGH

3.1 - Equation du mouvement 3.2 - Pulsations propres 3.3 - Exemples

4. NOTION DE STABILITE

ANNEXE : Equations diffrentielles et mouvement harmonique

0903

I Vibrations libres 1 ddl Vibrations Acoustique 1

2

Vibrations Acoustique 1 I Vibrations libres 1 ddl

3

1 SYSTEME MECANIQUE ELEMENTAIRE

Le modle du systme mcanique lmentaire considre le mouvement d'une masse (corps rigide) par rapport une partie fixe. On parle de systme 1 degr de libert (DDL) quand la masse unique a un mouvement dans une seule direction (translation ou rotation autour d'un axe). Si une ou plusieurs masses ont des mouvements de translation et de rotation dans plusieurs directions, il s'agit d'un systme plusieurs degrs de libert. Malgr sa simplicit le systme 1 DDL peut reprsenter le comportement dynamique de systmes trs varis dans le domaine des basses frquences. La modlisation considre une masse quivalente en mouvement qui possde des liaisons avec les parties fixes caractrises par une raideur quivalente (souvent schmatis par un ressort).

1.1 - Equation du mouvement

Il existe principalement deux types de systmes : les systmes de translation et les systmes de torsion.

1.1.1 Systmes avec mouvement de translation

Ils sont schmatiss par le systme masse ressort : la masse m [en kg] est anime d'un mouvement de translation dans la direction x auquel s'oppose la force due la raideur du ressort. Dans le domaine linaire du ressort, le coefficient de raideur k [en N/m] est une constante et la force de raction kxFk = .

Le principe d'Alembert permet d'crire l'quilibre dynamique du systme masse-ressort (Figure 1.1)

)()( tFtF ik =

entre la force dynamique xmdt

xdmtFi == 2

2

)( et la force de raction exerce par le ressort kxtFk =)( (le signe est du la force qui s'oppose au dplacement)

Figure 1.1 Equilibre du systme masse-ressort

L'quation diffrentielle du mouvement (homogne du second ordre) se dduit de l'quation d'quilibre prcdente

(1)

m

x

k

.

kxFk = xmFi =

0=+ kxxm


4

Sa solution (voir Annexe) est une fonction priodique pour le dplacement

( ) += tAtx sin)( (2a)

A et sont l'amplitude et la phase qui dpendent des conditions initiales et est la pulsation (ou frquence angulaire)

vitesse : ( ) ( ) +== tAxdt

tdxcos (2b)

acclration : ( ) ( ) +== tAxdt

txdsin22

2

(2c)

L'quation (1) s'crit alors

( ) ( ) +=+ tkAtAm sinsin2

La pulsation naturelle est la valeur de qui satisfait la relation

[en rad/s] (3)

0 ne dpend que des constantes mcaniques du systme. Les constantes A et dpendent des conditions initiales ( x est intgr deux fois pour obtenir x , d'o deux constantes d'intgration). Les conditions initiales sont le dplacement 0x et la vitesse 0v l'instant 0=t :

( ) ( ) sin0sin0 00 AAxx =+== [m] ( ) ( ) cos0cos0 0000 AAxv =+== [m/s]

donc ( ) 22220202020 cossin +=+ Avx et 0

00

cos

sinv

x

= , soit

0

20

20

20

vxA

+= et

0

00arctanv

x = (4)

Le dplacement

(5)

est la rponse libre du systme 1 degr de libert non-amorti.

C'est une fonction harmonique la pulsation naturelle 0 dont l'amplitude est impose par les conditions initiales. Cette amplitude reste constante car la modlisation n'a pas pris en compte le phnomne de dissipation d'nergie prsent dans tout systme mcanique. Dans la ralit, une dcroissance de l'amplitude avec le temps sera observe.

m

k=0

++

=

0

000

0

20

20

20 arctansin)(

v

xt

vxtx


5

Figure 1.2 Rponse libre du systme un degr de libert (dplacement et vitesse) de pulsation propre 00 2 f = .

Remarque 1

La solution de l'quation diffrentielle peut aussi s'exprimer par la somme d'une fonction sinus et d'une fonction cosinus :

( ) ( ) tBtBtAtAtAtx 0201000 sincossincoscossinsin +=+=+=

En utilisant cette forme de solution, les conditions initiales conduisent

tv

txtx 00

000 sincos)( += .

Il est aussi possible d'exprimer la solution l'aide d'une seule fonction cosinus

( ) ( ) tAtAtAtx 000 sinsincoscoscos +=+=

A partir de l'expression prcdente

00

0

sincos

vAxA=

=

ce qui permet de retrouver la mme amplitude que prcdemment

20

20

20

2222 sincos vxAAA +=+= et conduit la phase

00

0arctanx

v

=

On note qu'il existe une relation entre et l'angle de phase associe la solution sinus car

cottan00

0=

=

x

v d'o = .

A

A A0

0 t

0

temps [s] 0 t

0

temps [s]

A0

( )tx ( )tx

0x 0v

02 =T


6

Remarque 2

Figure 1.3 Systme masse-ressort suspendu

Systme suspendu : au repos, la masse exerce une force de traction mg sur le ressort qui se traduit par un tirement initial 0x . L'quation du mouvement s'obtient partir de l'quilibre dynamique des forces appliques la masse : 0)()( = tFtF ik

00 =+++ kxkxmgxm Avec 0kxmg = , on obtient la mme quation du mouvement ( )tx que prcdemment (centre sur la position d'quilibre 0x ).

1.1.2 Systmes de torsion

Un corps rigide oscille autour d'un axe (vibration de torsion).

Figure 1.4 Equilibre d'un systme de torsion.

L'quilibre dynamique entre le moment dynamique 022

0)( JdtdJtM i == et le moment

de torsion tt ktM =)( permet d'crire l'quation du dplacement angulaire ( )t

00 =+ tkJ (6)

0J moment d'inertie de la masse et tk raideur de torsion [en Nm/rad]. La pulsation naturelle est

00 J

k t= [rad/s] (7)

tk

0JM i = tt kM =

k

m

0 g

x

0x

( )xxkFk += 0

mgxmFi +=


7

et la rponse libre du systme non-amorti

( )

+

+=

0

000

0

20

20

20

arctansin

tt (8)

Exemple :

1.2 Raideurs quivalentes

Le modle le plus simple pour reprsenter la raideur correspond au ressort suspendant une masse. En ngligeant la masse du ressort, les forces agissant sur la masse sont

la force de gravit mgF = la force de raction du ressort kxFk =

Le travail effectu en dformant le ressort est stock dans le systme sous la forme d'une nergie potentielle (travail de la force: kxF = )

Le coefficient de raideur k est une constante qui montre que la force de raction est proportionnelle la dformation (qui augmente avec la masse). Ce modle est valide jusqu' un certain point au-del duquel k n'est plus constant.

Figure 1.5 Zone de comportement linaire d'un ressort de constante k = 750 N/m.

==x

kxdkU0

2

21

repos

x

k

kF

0

F

0 0.01 0.020

5

10

15

longation [m]

forc

e [N

]

zone de linarit

D

h

l d

pour un disque de diamtre D et d'paisseur h, l'extrmit d'un arbre de longueur l et de diamtre d

8

2

0mDJ = et

ldGk t 32

2=

avec la masse 4

2Dhm = et le module de cisaillement G.


8

Figure 1.6 Trois configurations pour un systme masse ressort

1.2.1 Raideurs en parallle

Figure 1.7 Raideurs en parallle

xkxkxkF eq=+= 21

La raideur quivalente est la somme des raideurs 1k et 2k

21 kkk eq +=

Ce rsultat se gnralise pour n raideurs en parallle

neq kkkk +++= 21 (10)

F

1k 2k

x

F F

xkxk 21 xkeq

mg

k

M

F

x

M

x

k

F

0x

x

F

x

F

0x

x

F

M

x

k

F


9

1.2.2 Raideurs en srie

Figure 1.8 Raideurs en srie

L'quilibre des forces conduit aux relations suivantes :

xkk

xxkxk eqeq1

111 ==

xkk

xxkxk eqeq2

222 ==

Llongation totale scrit alors xkk

kk

xxxxeqeq

+=+=

2121

d'o

21

111kkkeq

+= .

Ce rsultat se gnralise pour n raideurs en srie

neq kkkk1111

21

+++=

1.2.3 Raideurs de flexion

Dans l'ouvrage de Rao (voir Rfrences), des raideurs de flexion (translation) et de torsion sont donnes pour quelques systmes mcaniques simples. Elles peuvent tre obtenues en utilisant les rsultats du cours de RDM. Par exemple, la dformation statique d'une poutre sur appuis simples charge par une masse M se calcule par

( ) ( )2226

abLEIL

Pbxxy =

avec baL +=

Figure 1.9 Raideur quivalente d'un systme masse-poutre

F

11xk

F

1k

2k1x

21 xx +

11xk

22 xk

22 xk

( )xy

a b

P


10

La raideur quivalente de la poutre s'obtient par ( PMgkeq == )

MgPk eq ==

o ( )EIL

bPaay

3

22

== est la dflexion de la poutre l'emplacement de la masse ( ax = ), d'o

22

3ba

EILPk eq ==

1.3 Masses quivalentes

Principe : Si T correspond l'nergie cintique totale de toutes les masses en mouvement (en translation et en rotation),

+=i j

jjii JxmT22

21

21

la masse quivalente est dfinie par

x est la vitesse au point o on veut calculer la masse quivalente (gnralement, o se trouve dfinit la raideur quivalente).

Note : a) les masses en mouvement doivent tre connectes rigidement entre elles sinon il

s'agit d'un systme plusieurs degrs de libert.

b) pour les systmes en mouvements de rotation, on considre le moment d'inertie quivalent

2

21 eqJT =

1.4 Linarisation

1.4.1 Pendule simple

sin0

lmglFMMJ

tt

t

==

=

l

tF

mg

m

2

21

xmT eq =

Figure 1.10 Pendule simple


11

Equation diffrentielle : 0sin0 =+ mglJ Linarisation pour les petits mouvements: 0sin 0 =+ mglJ avec 20 mlJ =

02 =+ mglml La pulsation propre du systme est

lg

=0 .

1.4.2 Pendule compos G : centre de gravit

Figure 1.11 Pendule compos

Longueur quivalente du pendule simple : MdJl 0=

AABCAABCAABCAABCAAAAAAAAAAAADtermination de la frquence propreAAAA

Dtermination de la frquence propre partir de l'crasement 0x du systme de suspension

Figure 1.12 Frquence propre des plots anti-vibratiles

O

G d

Mg

0sin0 =+ MgdJ

00 =+ MgdJ (Eq. linarise)

00 J

Mgd=

0x

M

k

plots anti-vibratiles Mgkx =0

MxMg

Mk 0

0 ==

00

x

g=


12

Ce principe s'applique galement aux systmes continus : ici une masse fixe sur une poutre. Si la masse de la poutre est ngligeable devant la masse de l'ensemble, la poutre n'apportera que de la raideur au systme (mouvement de flexion). La dflexion statique observe l'emplacement de la masse permet d'obtenir la premire frquence propre du systme

Par exemple, pour le systme de la Figure 1.9 : 2203

baMEILg

== .

2 AMORTISSEMENT VISQUEUX

Figure 1.13 Exemple d'amortisseur

L'amortisseur dissipe l'nergie. L'coulement laminaire de l'huile cre une force de raction proportionnelle la vitesse du piston

( )dt

tdxcFc =

Le coefficient d'amortissement c dpend de la viscosit [en Ns/m] Autre type d'amortisseur sensiblement proportionnel la vitesse : un bloc de caoutchouc.

Equilibre des forces : 0=+ ick FFF

d'o .

m

x

.

kxFk = xmFi =

k

c xcFc =

( ) ( ) ( ) 0222

=++ tkxdt

tdxc

dttxd

m

huile

g

=0


13

l'quation dcrivant le mouvement d'un systme amorti 1 degr de libert. En posant ( ) rtetx = , cette quation devient ( ) 02 =++ rtekcrmr . Puisque rte ne peut pas tre

nul quel que soit t , c'est l'quation caractristique suivante qui doit tre vrifie

02 =++ kcrmr . Ses solutions sont

m

kmcm

c

r

r

24

2

2

2

1 =ABC

.

Plusieurs types de solutions sont envisageables en fonction de la valeur du discriminant kmc 42 : deux racines relles, une racine double ou deux racines complexes.

Pour faciliter l'analyse, on dfinit le coefficient d'amortissement critique crc

02 2204 mkmckmc crcr ===

0 pulsation naturelle non-amortie (frquence ou pulsation propre) Dfinition du taux d'amortissement

.

Les racines de l'quation caractristiques peuvent donc s'crire en fonction du taux d'amortissement

12002

1=

ABC

r

r ( ) trtr eetx 21 21 +=

En fonction de la valeur de , trois types de mouvement peuvent tre observs : - le mouvement sous-amorti (oscillations vibratoires amorties), - le mouvement sur-amorti (retour la position d'quilibre sans oscillations), - le mouvement avec amortissement critique, qui correspond la limite entre les

deux cas prcdents.

2.1 Mouvement sous-amorti (0


14

o A et sont les constantes d'intgration et d est la pseudo-pulsation (frquence naturelle amortie)

.

Les conditions initiales permettent de dterminer les constantes

( ) ( )2

20

2000

d

dxxvA

++=

000

0arctanxv

x d

+= .

Figure 1.14 - Rponse libre dun systme sous-amorti ( 11)

12001 += r 12002 = r

La solution pour le dplacement est

1a et 2a sont rels.

Les conditions initiales

( ) 210 0 aaxx +==

( ) ( ) ( ) 220012000

0 11 aadttdx

vt

++===

0 t

0

temps [s]

( )tx 0x

( )tA 0exp

20 1 =d

( ) ( ) ttt eeaeatx 00202 1211 +=


15

conduisent ( )12

12

0

002

01

++=

xv

a et ( )

12

12

0

002

02

++=

xv

a

Un systme sur-amorti nest pas un oscillateur.

Figure 1.15 - Rponse libre dun systme sur-amorti ( 1> ) a) 10 =x et 00 =v , b) 5.00 =x et 30 =v , c) 00 =x et 50 =v .

2.3 Mouvement avec amortissement critique ( =1)

Cest la valeur de qui spare le mouvement oscillant dun mouvement non-oscillant. La racine double fournit une solution particulire

0021 === rr .

La solution gnrale de toute quation diffrentielle du second ordre est donne par la combinaison linaire de deux solutions particulires indpendantes. La premire solution est

tex 01

=

Lintgration complte de lquation diffrentielle se fait en dfinissant une deuxime solution de la forme ( ) ( ) tt etetzx 002 +== , ce qui conduit la solution gnrale

( ) ( ) tetaaxxtx 02121 +=+=

Les conditions initiales permettent didentifier les constantes

10 ax =

( ) 2100202100 00 aaetaeaav ttt +=+= =

0 t

-1

-0.5

0

0.5

1

temps [s]

( )tx

a

b

c


16

est dobtenir la solution cherche

Figure 1.16 - Rponse libre dun systme ayant un amortissement critique ( 1= ) a) 5.00 =x et 40 =v , b) 5.00 =x et 40 =v .

2.4 Equation normalise dun systme 1 degr de libert

Lquation diffrentielle du mouvement dun systme 1 ddl est souvent reprsente avec des termes normaliss par rapport la masse m :

0=++ xm

kx

m

cx

En considrant 20=m

k et puisque

02

m

c= , on obtient la relation 02=

m

c qui

conduit la forme normalise de lquation diffrentielle

AADCAAAMesure du taux damortissement

Le coefficient damortissement ou le taux damortissement sont les plus dlicats dterminer. Si la masse et la raideur peuvent tre dtermines par des tests statistiques, lamortissement ncessite une mesure dynamique.

Une approche consiste mesurer la dcroissance de lenveloppe pour un systme sous-amorti : les points de mesure ( )1tx et ( )2tx correspondent 10teA et 20teA .

0 t

-1

-0.5

0

0.5

1

temps [s]

a

b

( )tx

( ) ( ) tetvtxxtx 00000 ++=

02 200 =++ xxx


17

Cette approche conduit au concept de dcrment logarithmique :

avec d

T

2= la pseudo-priode doscillation.

Figure 1.17 Rponse libre amortie

avec ( ) ( ) += teAtx dt sin0 . Puisque 2=Td , ( ) ( ) ( ) ( ) +=++=+ + teeATteATtx dTtddTt sinsin 000

on obtient Te T 00ln == .

En posant 2

0 1

22

==

dT , le dcrment logarithmique scrit

21

2

= et

permet dexprimer le taux damortissement

.

Le dcrment est obtenu par des mesures en 1t et 2t par ( )( )2

1lntx

tx= . Connaissant m , k et

il est aussi possible de calculer le coefficient damortissement

kmc 2= .

0 t

-1

-0.5

0

0.5

1

temps [s]

1t 2t

T

( )( )Ttx

tx+

= ln

224 +

=


18

3 METHODE ENERGETIQUE DE RAYLEIGH

Figure 1.18 Dplacement et vitesse d'un systme 1 ddl en vibration libre

En faisant l'hypothse qu'il n'y a pas d'nergie dissipe :

Energie potentielle en fonction du temps

( ) ( ) +===x

tAkxkdktU0

0222 sin

21

21

Energie cintique en fonction du temps

( ) ( ) +== tAmxmtT 022202 cos21

21

En considrant 20mk = ,

( ) ( ) ( ) ( )[ ]222

0

02

0222

0

21

21

cossin21

AkAm

ttAmtTtU

==

+++=+

Lnergie totale instantane du systme conservatif en mouvement est proportionnelle 2A et indpendante du temps t :

Deux consquences importantes :

1) La drive de l'nergie totale (potentielle + cintique) est nulle, d'o la relation R1

2) A deux instants 1t et 2t quelconques

( ) ( ) ( ) ( )2211 tTtUtTtU +=+

xm m

x

k ( ) ( )

( ) ( )

+=

+=

tAtx

tAtx

00

0

cos

sin

( ) ( ) ttTtU =+ Cte,

( ) ( )( ) 0d

d=

+

t

tTtU


19

En choisissant 1t et 2t , tels que

si ( ) max1 UtU = alors ( ) 01 =tT

si ( ) 02 =tU alors ( ) max2 TtT =

on obtient la relation R2

valable pour les systmes conservatifs soumis des mouvements harmoniques. Ce principe de conservation est utilis :

pour obtenir des quations du mouvement, pour calculer directement la pulsation naturelle des systmes.

3.1 Equation du mouvement

Figure 1.19 Masse suspendue en vibration libre

Lnergie potentielle totale du systme est la somme de lnergie potentielle lastique du ressort et de lnergie potentielle gravitationnelle. Toutes les deux doivent tre exprimes comme un changement partir dune position arbitraire. On choisit ici (voir Figure 1.19) la position dquilibre 0x qui correspond une nergie lastique stocke dans le ressort

201 2

1xkU = .

Lnergie potentielle 2U une distance x de la position dquilibre correspond une

augmentation de lnergie lastique qui devient ( )2021

xxk + et une diminution de

lnergie potentielle mgx due au changement de position

( ) mgxxxkU += 202 21

.

La diffrence dnergie potentielle est

200

22012 2

121

21

xkxmgxxkxkxkUUU ++==

k

M

0 g

x

0x

maxmax TU =


20

et en considrant que mgkx =0 , il reste

2

21

xkU = .

Lnergie totale (cintique + potentielle) est

=+=+ 2221

21

xkxmUT Constante

et sa drive par rapport au temps (R1)

( ) 0=+=+ xxkxxmdt

UTd

Puisque la vitesse x nest pas identiquement nulle (quel que soit t ) dans lexpression prcdente, on peut en dduire lquation diffrentielle du mouvement

0=+ xkxm

3.2 Pulsation propre

La mthode nergtique peut aussi tre utilise pour obtenir la frquence propre (naturelle) des systmes oscillants conservatifs. Il suffit dappliquer la relation :

2max

2maxmaxmax 2

121

xkvmTU ==

Pour un mouvement priodique damplitude A et de pulsation propre 0 , Ax =max et Av 0max = , do

2220 2

121 AkAm =

ce qui conduit

m

k=0 .

3.3 Exemples

3.3.1 Pendule simple

La masse est suppose quasiment ponctuelle par rapport la longueur l du bras et la masse du bras est considre comme ngligeable. Dans ces conditions, le moment dinertie autour de laxe est

20 mlJ =


21

Figure 1.20 Pendule simple

Le dplacement angulaire est mesur partir de la position dquilibre. Lnergie cintique du systme est

,

21

21 222

0 lmJT ==

et lnergie potentielle ( ) ( )cos1== lgmhlgmU .

La drive de lnergie totale scrit alors

( ) ( ) 0cos121 22

=DE

F

+=

+ lgmlmdtd

dtUTd

( ) 0sin2 =+ lgmlm ( ) 0sin =+ gl .

La vitesse angulaire ( )t ne peut tre nulle tout instant donc 0sin =+ lg

et aprs

linarisation pour les petits mouvements ( sin ) 0=+

lg

Cette quation permet de calculer le dplacement angulaire et la pulsation naturelle lg=0 du pendule.

Note : La mthode nergtique peut aussi sappliquer directement sur

lapproximation des petits dplacements : 22

22

sin2cos122

2 =

= .

Pour obtenir directement la pulsation propre par la mthode nergtique, il faut crire

( )2max02max 21 lmT =

2

2max

max

lgmU =

lgTU == 20maxmax

3.3.2 Ressort pesant

Dtermination de la pulsation naturelle dun systme masse-ressort dont la masse du ressort nest pas ngligeable devant celle de la masse.

l

m

hm

g


22

Figure 1.21 Masse avec ressort pesant

On considre que dyl

mr est la masse dun lment dy du ressort. La vitesse des lments

dy varie linairement sur la longueur du ressort entre 0 et x : ( ) xlyyvdy = .

Lnergie cintique du ressort est lnergie cintique 221

dyr vdy

lm

de llment dy intgr

sur la longueur du ressort

2

0

32

3

0

223

0

2

321

321

21

21

xmy

xlm

dyyxlmdyx

ly

lm

T

r

lr

lr

lr

r

=DE

F

=

=

=

La masse effective du ressort correspond 31

de sa masse totale et lnergie cintique

totale du systme sont 2

321

xm

mT r

+=

Les nergies maximales sont 2max

20max 32

1x

mmT r

+= 2maxmax 2

1xkU =

et la pulsation naturelle du systme

3

0rmm

k

+

=

4 NOTION DE STABILITE DES SYSTEMES

Dans ce qui prcde, les coefficients m , c et k sont considrs comme positifs. Les solutions du mouvement peuvent se classer en 4 catgories : libre ( 0=c ), sous amorti, sur-amorti et avec amortissement critique. Lamplitude des mouvements est finie. Le systme est stable.

l

M

y

x

y dyy + kmr ,

Lnergie potentielle ne change pas , mais la masse du ressort rm doit entrer dans le calcul de lnergie cintique.


23

LAnnexe montre que dans le cas o 0>m , 0=c mais 0


24

et avec lhypothse des petits mouvements mgkl . Dans le cas contraire, le systme est instable et le

mouvement diverge


25

ANNEXE

Equations diffrentielles et mouvement harmonique

La variable y est une fonction de z et solution de lquation diffrentielle homogne du second ordre

022

=+ aydz

yd

En supposant que la solution est de la forme rzey = :

rzerdzdy

= , rzerdz

yd 22 = et ( ) 02 =+ rzear

La solution non-triviale ( )0y est donne par les solutions de lquation caractristique 02 =+ ar

qui possde deux racines relles ou imaginaires selon le signe de a

1) a ngatif : 2=a 02 = yy et 022 =r

Les racines sont =1r et =2r

et la solution zz eBeAy += ou zDzCy sinhcosh +=

(car zze z sinhcosh += et zze z sinhcosh = )

2) a positif : 2=a 02 =+ yy et 022 =+r

Les racines sont jr =1 et jr =2

et la solution zjzj eBeAy += .

A et B sont des constantes complexes. Dans le cas o une solution relle est recherche, la partie imaginaire doit tre nulle

( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )[ ]zBAzBAjzBAzBA

zjzjBBzjzjAAzjzBzjzAy

RRIIIIRR

IRIR

sincossincossincossincos

sincossincos

++++=

++++=

++=

Les relations suivantes entre A et B annulent la partie imaginaire II BA = et RR BA = , soit

= AB

et permettent dcrire la solution relle sous les formes { } zAzAeAeAeAy IRzjzjzj sin2cos2Re2 ==+=


26

zDzCy sincos += ou ( ) += zEy sin

car ( ) zEzEzE sincoscossinsin +=+ , donc sinEC = et cosED =

et 22 DCE += et

CD

arctan= .

Rsum ( ) ( ) 0 : harmonique Equation 22

2

=+ tudt

tud

Diffrentes formes quivalentes de la solution :

( )( )( ) ( )

CDDCEtEtu

EDECtDtCtuDjCAABeBeAtu tjtj

arctanetavecsin

cosetsinavecsincos2/2/etavec

22=+=+=

==+=

==+=

ENSIM - 2eme Anne Vibrations et Acoustique 1

II - REPONSE FORCEE DES SYSTEMES MECANIQUES

A UN DEGRE DE LIBERTE

1. REPONSE A UNE EXCITATION HARMONIQUE

1.1 - Excitation dun systme non-amorti 1.2 - Notation complexe 1.3 - Excitation harmonique des systmes amortis 1.4 - Excitation par la base 1.5 - Excitation par dsquilibre dynamique en rotation Application 1 : Acclromtre Application 2 : Isolation vibratoire techniques de base

2. DIFFERENTES FORMES DAMORTISSEMENT

2.1 - Amortissement de Coulomb 2.2 - Energie dissipe par cycle et amortissement quivalent 2.3 - Autres formes d'amortissement

3. REPONSE A UNE EXCITATION QUELCONQUE

3.1 - Rponse impulsionnelle 3.2 - Rponse une excitation non-sinusodale 3.3 - Rponse une excitation priodique quelconque 3.4 - Utilisation de la transformation de Laplace 3.5 - Rponses des excitations alatoires Application 3 : Analyseur de spectre Application 4 : Mesure des fonctions de transfert et de la

rponse impulsionnelle Application 5 : Mesure de l'amortissement 2

Annexe - Informations pratiques sur les mesures vibratoires

1107

I I Vibrations forces 1 ddl Vibrations Acoustique 1

28

Vibrations Acoustique 1 I I Vibrations forces 1 ddl

29

1 REPONSE A UNE EXCITATION HARMONIQUE

On tudie la rponse dun systme amorti 1 ddl une excitation harmonique sinusodale produite par une force extrieure au systme. Ce type dexcitation se rencontre frquemment dans lindustrie (machines tournantes, ventilateurs, moteurs, pompes ). Les rsultats obtenus avec une excitation sinusodale pourront stendre des excitations harmoniques plus complexes reprsentes par des sries de Fourier, en appliquant le principe de superposition. On suppose donc quil sagit de systmes linaires.

1.1 Excitation dun systme non-amorti

Equation du mouvement en x

( ) ( ) tFtxktxm cos=+

normalise par rapport la masse

Cette quation est une quation diffrentielle linaire non-homogne et sa solution est la somme de la solution de lquation homogne ( 0=f ) et dune solution particulire. La solution particulire peut souvent tre obtenue en supposant quelle a mme force que la fonction dexcitation

tAx p cos= .

En lintroduisant dans lquation du mouvement on obtient

tftAtA coscoscos 202 =+ do on tire

220

=

fA tant que 0 .

En ajoutant cette solution particulire de lquation non-homogne la solution gnrale de lquation homogne, la solution gnrale du systme est

( ) tftAtAtx

coscossin 220

0201

++= .

.

m

x

( )tFk

c

Dans un premier temps, lamortissement est considr comme ngligeable ( 0=c ). La force dexcitation harmonique est

( ) tFtF cos=

F amplitude crte, pulsation de lexcitation ou pulsation force.

( ) ( ) tftm

Ftxtx coscos20 ==+


30

Les coefficients 1A et 2A sont dtermins partir des conditions initiales

( ) 220

200

+==fAxx

( ) 1000 Avx == . La rponse force est donc

( ) tftfxtvtx

coscossin 220

0220

000

0

+

+= .

Le mouvement est trs dpendant des conditions initiales, comme le montre la figure ci-dessous.

(a) (b)

Figure 2.1 Rponse du systme non-amorti une excitation harmonique dont la pulsation est le double de sa pulsation naturelle : (a) conditions initiales 0x et 0v non nulles, (b) condition initiale 0v nulle.

Quand la pulsation d'excitation tend vers 0 un phnomne de battement apparat ( partir de l'expression prcdente du dplacement, il est possible de montrer qu'il peut s'crire comme le produit de deux fonctions harmoniques des pulsations 0 + et

0 ).

Remarque Quand la pulsation d'excitation est exactement gale la pulsation propre du systme, la solution utilise prcdemment n'est plus valide. Le choix de la fonction A t0 cos comme solution particulire n'est pas possible car elle est aussi une

solution de l'quation homogne. La thorie des quations diffrentielles propose une solution particulire de la forme

( )x t t A tp = 0 sin (cette solution peut aussi tre obtenue en faisant tendre vers 0 : vers TD) En reportant cette expression dans l'quation cosx x f tp p+ = 2 avec

sin cos

cos cos sin

x A t t A t

x A t A t t A tp

p

= +

= +

0 0

0 02

0

0 t

0

temps [s] 0 t

0

temps [s]

( )tx ( )tx


31

on obtient 2 0 A t f tcos cos=

et l'expression suivante pour la solution particulire

( )x t f t tp = 2 sin La solution totale et sa drive sont de la forme

( )

( )

x t A t A tf

t t

x t A t A tf

tf t

t

= + +

= + +

1 2

1 2

2

2 2

sin cos sin

cos sin sin cos

Les conditions initiales ( )( )

x x Av x A

0 2

0 1

00

= =

= =

permettent de dterminer compltement la solution

( )x t v t x t f t t= + +0 0 2 sin cos sin

La figure 2.2 illustre le phnomne de rsonance pour = =0 k m quand x0 0= et v0 0= . Si le dplacement initial et/ou la vitesse initiale ne sont pas nuls, une oscillation libre viendra ce superposer cette rponse force. L'accroissement constant de l'amplitude avec le temps montre le caractre artificiel de cette modlisation qui ne prend pas en compte l'amortissement.

Figure 2.2 Rponse du systme non-amorti une excitation harmonique dont la pulsation correspond sa pulsation naturelle (phnomne de rsonance).

1.2 Notation complexe

Rsultant d'une double drivation, l'acclration se trouve pour un mouvement harmonique en opposition de phase avec le dplacement et s'crira ( ) ( )txtx 2= . Pour un systme non amorti, la solution particulire du dplacement sera donc toujours en phase avec la force d'excitation en dessous de la pulsation naturelle du systme et en opposition de phase au dessus. Dans le cas des systmes amortis, l'quation du mouvement devient

( ) ( ) ( ) tFtxktxctxm cos=++

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-1

-0.5

0

0.5

1

temps [s] t

( )tx

tf2

tf2

0


32

Le terme li l'amortissement introduit une composante en quadrature (proportionnelle la vitesse) qui se traduit par un retard de phase du dplacement par rapport la force d'excitation. La rponse d'un systme amorti (solution particulire) est ainsi une fonction harmonique la mme pulsation que l'excitation mais avec une phase diffrente :

( ) ( )x t A tp = 0 cos

La mme mthode de recherche des solutions que pour le cas non amorti peut tre employe1. Cependant, la mthode complexe permet d'allger considrablement les calculs. Si on crit pour le second membre de l'quation du mouvement

( ) { }tjeFtFtF Recos ==

la solution particulire peut se mettre sous la forme

( ) { }tjp eXtx Re=

avec l'amplitude complexe jeAX = 0 qui contient l'information de phase (le signe moins introduit devant la phase met en vidence le retard de phase). Vitesse et acclration peuvent donc scrire

( ) { }tjp eXjtx Re= et ( ) { }tjp eXtx 2Re =

En omettant { }Re , l'quation du mouvement devient ( ) tjtj eFeXkjm =++ 2

ce qui permet d'obtenir facilement la solution particulire complexe

kjmF

eAX j++

==

20

Pour crire ( )tx p on calcule le module et la phase de X

{ } { }XXXA 220 ImRe +== et { }{ }XX

ReIm

arctan=

Par exemple, en considrant la forme ( u complexe)

u

e

u

j=

1 o jbau += et ( )( ) 22* bajbajbauuu +=+==

et a

barctan=

Cette dmarche est illustre par la section suivante.

1 par exemple dans D.J. Inman, Engineering vibrations, Prentice-Hall, 1996.


33

Remarque Une variante consiste utiliser des variables complexes tjeFF = et tjp eXx

=

(donc tel que ( ) { }FtF Re= et ( ) { }pp xtx Re= ). Vitesse et acclration s'crivent pp xjx = et pp xx 2= et l'quation diffrentielle

m

Fxxx =++ 2002

1.3 Excitation harmonique des systmes amortis

Sous la forme normalise par rapport la masse, l'quation du mouvement en excitation force s'crit

( ) ( ) ( ) ( )m

tFtxtxtx =++ 2002

avec 0 = k m , ( ) = c m2 0 . En notant comme prcdemment la force et la solution particulire sous la forme

( ) { }tjeFtF Re= et ( ) { }tjp eXtx Re=

on obtient lquation diffrentielle

et partir de cette dernire relation, lamplitude complexe de la solution particulire

avec

( ) ( ) 0202220 2AmFX =

+=

et 22

0

02arctan

=

La solution particulire ( ) ( )x t A tp = 0 cos est donc de la forme

La solution gnrale est la somme de cette solution particulire et de la solution gnrale du systme homogne.

Pour le cas sous-amorti ( )10


34

o 0A et sont les coefficients qui viennent dtre dtermins et A et sont obtenus laide des conditions initiales (on distingue bien la pulsation naturelle 0 et la pseudo-pulsation a ).

Pour les valeurs importantes de t , le premier terme disparat et la solution totale correspond la solution particulire : cest la rponse stationnaire (le premier terme correspond la rponse transitoire).

Figure 2.3 Solution gnrale du systme sous-amorti une excitation harmonique : rponse transitoire (ou libre : solution gnrale du systme homogne) et rponse stationnaire (solution particulire)

A et dpendent de 0x et 0v comme pour le systme libre mais aussi de F : les coefficients sont donc diffrents du systme libre.

Dans un grand nombre de cas on sintresse la rponse stationnaire du systme, sauf dans le cas o le systme est soumis une excitation par choc.

En factorisant par mk=20 , le module X s'exprime sous la forme

( ) ( ) DxkF

X stat2

0222

0

20

2=

+=

,

avec

le dplacement statique kFx =stat

l'amplification dynamique ( ) ( )222 211

rr

D+

= avec la frquence

rduite 0=r .

La phase s'exprime alors par 212

arctanr

r

=

.

0=tt

( )

( )

( )tx

tA

teA at

=

+

+

cos

sin

0

0


35

Figure 2.4 Rponse du systme sous-amorti une excitation harmonique.

Pour 1=r ( )0 = , cest la rsonance et la rponse dpend de lamortissement

21

=D et 2pi =

mais quand 1r alors 21r

D . En utilisant des chelles

logarithmiques pour lamplitude et la frquence, on obtient la reprsentation de la figure 2.5.

Figure 2.5 Rponse force dun systme un degr de libert en reprsentation logarithmique.

0 1 2 3 0

1

2

3

4

5

6

frquence rduite

= 1 = 0.5 = 0.1

0 1 2 3 0

2pi

pi

frquence rduite

= 1 = 0.5 = 0.1

amplification dynamique

D

phase

10-1 100 101-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

fr quence r duite

am

plitu

de [dB

]

2log20

octdB /12

Dlog20

Frquence rduite

Ampl

itude

[dB

]


36

Il est important de noter que par principe la rsonance apparat par dfinition quand 0 = (frquence naturelle du systme non-amorti), ce qui correspond une rotation de

phase de 90. Toutefois, pour un systme amorti 0 ne correspond pas exactement la frquence o la rponse en rgime stationnaire est maximale. Ainsi

( ) ( )222 21 rrkF

X+

= avec 0

=r ,

m

k=0

La valeur maximale de X apparat la valeur maxrr = qui correspond lannulation de sa premire drive

( ) ( )[ ] 021 21222 =

+=

rrdrd

kF

drXd

( ) ( )[ ] ( )( )[ ] ( ) 0214082122121 2222222 2.3

==++ rrrrrrr

donc 121 2max


37

Figure 2.6 - Diffrentes reprsentations de la fonction de transfert ( )H : amplitude (a) et phase (b) ou partie relle (c) et partie imaginaire (d).

Paramtres du cercle dans le plan de Nyquist :

Centre : A

BCD

+

+

4211

,

411 22

kk Diamtre :

+

211 2

k

Figure 2.7 - (a) Fonction de transfert dans un espace de reprsentation 3 dimensions. (b) projection de la fonction de transfert sur le plan de Nyquist ( { } { }HH Im,Re )

0 1 2 3

ampl

itude

|H

(

)|

0 1 2 3

frquence rduite r

pha

se

(

)

0 1 2 3

parti

e r

elle

de

H

(

) 0 1 2 3

frquence rduite r pa

rtie

ima

ginai

re de

H

(

)

1

(a)

(b)

(c)

(d)

0

0 0

2pi

pi

0

3 -5

5

frquence rduite r

(a)

partie relle de H( )

parti

e im

agin

aire

de

H(

)

0

(b) partie relle de H( )

parti

e im

agin

aire

de

H(

)

centre

= 0

1

2

0

max


38

Les pulsations aux lieux des tangentes verticales sont 1 et 2 auxquelles correspondent les amplitudes ( )1H et ( )2H

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2et1

2et1

max2max2

max1max1

HH

HH

=+=

==

o 20max 21 = est la pulsation correspondant l'amplitude maximale.

Ces caractristiques permettent de dterminer le taux damortissement partir du diamtre du cercle ou encore par la mthode de la bande passante 3dB prsente en fin de chapitre (Application 5).

1.4 Excitation par la base

Souvent une structure est excite par lintermdiaire des plots de suspension (machine excite par les supports, automobile excite par la route par lintermdiaire des suspensions)

Figure 2.8 Excitation d'une masse suspendue par la base (support vibrant)

En sommant les forces qui sexercent sur la masse m , on obtient lquation

qui peut se mettre sous la forme d'une quation diffrentielle avec second membre

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tytytxtxtx

tyktyctxktxctxm200

200 22 +=++

+=++

On suppose que le support possde un dplacement harmonique

( ) { }tjeYtYty Recos == , Y amplitude relle

et on cherche une solution particulire de la forme

( ) ( ) { }tjp eXtAtx Recos0 == avec jeAX = 0 amplitude complexe

En reportant cette expression dans lquation diffrentielle prcdente

( )txm

( )yxc ( )yxk

m

( )tx

support vibrant

k c ( )ty

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0=++ tytxktytxctxm


39

( ) ( )YjXj 2002002 22 +=++

il est possible d'obtenir l'expression de l'amplitude complexe du dplacement de la masse

( )

0

220

000 2

2j

YjeAX j

+

+==

Pour calculer 0A et , on pose

== jeAX 0 ( , complexes)

( )( ) ( )202220

220

0

*

02

2

+

+==

==

YXA

( )

===j

j

jj eX

e

eeA0 donc

022

0

0 2arctan2

arctan

==

soit

( ) ( )( ) ( ) ( )

EEF

+

+= tYtx p cos

22 2

1

20

2220

220

0

On a vu que la solution particulire pouvait reprsenter seule la solution stationnaire. En utilisant la frquence rduite 0=r , on appelle transmissibilit en dplacement le rapport des amplitudes des dplacements

Ce rapport dcrit comment le mouvement se transmet de la base vers la masse, en fonction de la frquence rduite r (voir Figure 2.9). La transmissibilit est infrieure 1 quand

2>r . A la rsonance elle dpend de .

Figure 2.9 Rapport de transmissibilit en dplacement en fonction de la frquence rduite et pour diffrentes valeurs du rapport damortissement.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

frquence rduite r

am

plitu

de X/

Y

= 0.3 = 0.1 = 0.025

( )( ) ( )

21

222

2

2121

EEF

+

+=

rr

r

YX


40

1.5 Excitation par dsquilibre dynamique en rotation

Les machines tournantes constituent des sources de vibrations trs courantes. De petites irrgularits dans la distribution des masses des parties en rotation causent des niveaux vibratoires importants. On schmatise une machine de masse m comportant une masse 0m en rotation une distance l de son centre. Un guidage sans friction autorise seulement un mouvement dans la direction x (voir Figure 2.10). En supposant la vitesse de rotation R constante

( ) tltx RR sin=

Figure 2.10 Excitation dune machine suspendue par une masse en rotation

La force de raction gnre par la rotation de la masse a une composante dans la direction x qui est proportionnelle 0m et l'acclration Rx . Cette force agit sur la masse m de la machine (les forces dans la direction y ne sont pas considres). Lquilibre des forces par rapport au rfrentiel du support scrit ( 0m fait partie de la masse m de la machine)

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )txctkxtxtxmtxmm R =++ 00

ce qui conduit lquation ( ) ( ) ( ) )(0 txmtkxtxctxm R =++ .

Le terme au second membre est la force )()( 0 txmtF R= qui excite le systme. Ce dernier peut s'crire en normalisant l'quation par rapport la masse

( ) ( ) ( )m

tFtxtx =++ 2002

avec la force qui s'exprime par

( ) ( ) ( ) tmltdtd

mltxmtF RRRR sinsin2

02

2

00 ===

La mthode dobtention de la solution particulire est semblable celle des problmes prcdents en utilisant la notation complexe, pour la force

( ) { } { }tjtjRRR RR eFemljtmltF ReResin 2020 ===

m

( )tx

( )ty

k c

0m l

machine

support


41

donc l'amplitude complexe est 20 RmljF = et pour l'expression de la solution particulire recherche

( ) ( ) { }tjRp ReXtAtx Recos0 == avec jeAX = 0

ce qui conduit

( )RRR

jmlmj

X

022

0

20

2+

=

ou, avec 0 Rr =

( ) ( )2222

00

21 rr

r

m

lmXA

+==

et

{ }{ } 21

2arctan

21

arctanReIm

arctan 2

2 pi

=

==

r

r

r

r

XX

.

Finalement la solution particulire s'crit

( ) ( )

=

+

== 20200 12

arctansin21

2arctancoscos

r

rtA

r

rtAtAtx RRRp

pi

Lamplitude de dplacement en rgime stationnaire est une fonction de la vitesse de rotation (Figure 2.11). Quand 1>>r , la valeur normalise du dplacement tend vers 1 indpendamment de . Pour les machines tournantes, la suspension sera calcule pour que

0 soit en dehors de la gamme de fonctionnement.

Figure 2.11 Rponse du systme 1 ddl une excitation par une masse tournante.

0 1 2 3 4 0

1

2

3

4

5

6

frquence rduite r

= 1 = 0.25 = 0.1 lm

Xm

0


42

AABCAABCAABCAABCAAAAAAAAAAAAAcclromtre

Une importante application de lanalyse des vibrations forces et de lexcitation par la base se rencontre dans la ralisation de transducteurs pour la mesure des vibrations. Cest le cas de lacclromtre.

Figure 2.12 Schma de principe dun acclromtre.

Lquilibre des forces appliques la masse m conduit la relation

( ) ( )yxkyxcxm =

La base est solidaire de la structure dont le dplacement est ( ) { }tjeYtYty Recos == , (Y amplitude relle). Le mouvement de la masse par rapport la base dont dpend le signal lectrique produit par le cristal pizo-lectrique est

( ) ( ) ( )tytxtz =

Lquation diffrentielle peut tre crite en terme de dplacement relatif

( )tYmymkzzczm

kzzcyzm cos

02

==++

=+++

La solution a la mme forme que prcdemment

( ) ( ) ( )

+= 22

0

0

20

2220

2 2arctancos

2

t

Ytz

Le rapport YZ des amplitudes correspond la rponse en frquence du transducteur

( ) ( )2222

21 rr

r

YZ

+= avec

0

=r

alors que sa rponse en phase est 212

arctanr

r

=

.

( )txm

( )yxc ( )yxk

m

( )tx

structure vibrante

k c ( )ty

m

cristal pizo-lectrique


43

.Figure 2.13 Rponse du systme de la figure 2.12

Fonctionnement en sismographe Pour des valeurs importantes de r ( 3>r ), lamplitude du rapport YZ tend vers 1 : le dplacement relatif et le dplacement de la base ont la mme amplitude. Il est donc ncessaire que la frquence de rsonance 0 soit petite car la gamme de mesure dbute

01 3 .

Fonctionnement en acclromtre La solution peut aussi scrire sous la forme

( ) ( ) ( ) ( )222202

222

2

21

1

21 rr

Y

rr

YrZ

+=

+=

On remarque que YY =2 est l'amplitude de l'acclration et quand

( ) ( ) 121 222 + rr , l'amplitude Z est donc proportionnelle lacclration de la base Y :

20

YZ

Figure 2.14 Courbes de rponse et sensibilit des acclromtres en fonction de leur masse.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

frquence rduite r

ampl

itude

Z/

Y

= 0.25 = 0.5


44

La sensibilit est donc inversement proportionnelle mk /20 = . La masse m doit tre faible (i) pour ne pas charger la structure, (ii) pour que la frquence de rsonance soit suffisamment leve (typiquement, plusieurs dizaines de kHz), mais la sensibilit diminue.

La sensibilit des acclromtres pizo-lectriques est exprime en pC/ms-2 ou en pC/g. Un conditionneur spcifique (amplificateur de charge) est ncessaire. Certains acclromtres possdent une lectronique intgre qui ralise le conditionnement du signal et leur sensibilit est exprime en mV/ms-2 ou en mV/g. Un conditionneur au standard ICP est alors ncessaire pour alimenter l'lectronique intgre par un courant constant (2 mA) par l'intermdiaire du cble signal.

Figure 2.15 Alimentation et conditionnement des acclromtres (en haut) et principaux types dacclromtres : compression (gauche) et cisaillement (droite)

M : masse, P : lments pizo-lectriques, R et S : systmes de prcontrainte

Sensibilit transversale des acclromtres Les acclromtres peuvent prsenter une sensibilit maximale dont la direction ne correspond pas exactement leur axe. La composante perpendiculaire est une quantit parasite qui est quantifie par sa sensibilit transversale

.

Figure 2.16 Sensibilit transversale dun acclromtre

P M

S

Z Y

amplificateur de charge

analyseur

alimentation ICP

analyseur

analyseur avec alimentation ICP intgre

pC/g

mV/g


45

AADCAADCAADCAADCAAAAAAAAAAAAIsolation vibratoire : Techniques de base

L'isolation vibratoire en basse frquence concerne deux types de problmes diffrents :

Isolation vibratoire d'une machine : limiter la transmission l'assise des efforts dus au fonctionnement d'une machine,

Isolation vibratoire d'un quipement : limiter la transmission du mouvement de l'assise l'quipement.

A2.1 - Transmissibilit Isolation vibratoire d'un quipement : Transmissibilit en dplacement

Figure 2.17 Equipement isol d'une assise vibrante illustrant la transmissibilit en dplacement

La masse est excite par les vibrations de la base et la transmissibilit en dplacement a t prcdemment dfinie dans la section 1.4 par

( )( ) ( )222

2

21

21

rr

r

YX

T

+

+==

Isolation vibratoire d'une machine : Transmissibilit de la force

Figure 2.18 Machine vibrante isole pour ne pas transmettre de vibrations illustrant la transmissibilit de la force.

m

( )tx

Assise : support vibrant

k c ( )ty

quipement

plots anti-vibratiles

plots anti-vibratiles

machine

Assise rigide

m ( )tx

k c

( )tF

( )tFt


46

Sous une excitation stationnaire ( ) { }tjeFtF Re= le dplacement du systme sous-amorti est ( ) { }tjeXtx Re= (ici jeAX = 0 est une amplitude complexe), avec

( ) ( )2220 211

rrkF

AX+

== .

La force transmise l'assise est ( ) ( ) ( ) { }tjtckt eFtFtFtF Re=+= , soit en notation complexe ckt FFF +=

- la force transmise par la raideur est )()( txktFk = soit kXFk =

- la force transmise par l'amortissement est ( ) ( )txctFc = soit XmjcXjFc )2( 0 ==

d'o ( ) ( )rjkXmjkXFt 212 0 +=+= et 2)2(1 rXkFt +=

La transmissibilit de la force est dfinie par

Les transmissibilits de la force et du dplacement correspondant deux problmes diffrents ont cependant la mme expression. La transmissibilit peut galement tre exprime en dB :

La transmissibilit est reprsente en linaire sur la Figure 2.19a et en dB avec une chelle logarithmique des frquences sur la Figure 2.19b.

Figure 2.19 Transmissibilit en fonction de la frquence rduite et pour diffrentes valeurs du rapport damortissement. a) reprsentation linaire (gauche), b) reprsentation en dB (droite).

frquence rduite r

tran

smis

sibi

lit = 0.1 = 0.01 = 0.001

1

0 0

Zone d'attnuation vibratoire

10-1 100 101-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

frquence rduite r

= 0.01

= 0.001

= 0.1

[dB]

001.001.0

=

=

1.0=

2=r

( )( ) ( )222

2

2121

rr

r

FF

T t +

+==

[ ]dBlog20 10 TLT =


47

Remarques

1) Pour diffrentes valeurs du taux d'amortissement les courbes passent toutes par le point 1=T et 2=r .

2) Pour que la force transmise l'assise soit infrieure la force d'excitation ou que le dplacement de la masse soit infrieur celui de la base il faut que la frquence rduite soit

200

>== ff

r

3) Dans la zone d'attnuation ( 2>r ), la transmissibilit est pratiquement indpendante du taux d'amortissement si celui-ci est infrieur 10%. Elle peut alors s'approcher par la formule

Quand 1>>r , la transmissibilit exprime en dB vaut approximativement rLT log10 , c'est dire qu'elle dcrot de 40 dB/dcade ( 1012 =rr ) ou de

12 dB/octave ( 212 =rr ).

A2.2 - Attnuation

Pour les oprations de rduction du niveau vibratoire, le taux d'attnuation (souvent exprim en %) est galement utilis

Attention : Quand l'attnuation (ou gain) est exprime en dB, c'est la quantit TLT

=

1log20 10 (positive pour 2>r ) qui est employe.

La frquence d'excitation f pour laquelle on obtient une attnuation A se dduit des quations prcdentes :

===

12

00 AA

ff

r

Pour une frquence d'excitation f , l'attnuation A dpend seulement de la frquence propre 0f de la suspension. Ces rsultats sont prsents sous forme d'abaques (Figure 2.20).

11

2

rT

12

0

=

AAff

121 2

2

==

r

rTA


48

Figure 2.20 - Abaques d'attnuation vibratoire donnant les relations entre la frquence d'excitation f et la frquence propre 0f . a) pour des attnuations TA = 1 , b) pour des affaiblissements

( )T1log20Att 10= (en dB).

A2.3 - Dtermination d'une suspension lastique

Un cas frquent est celui d'une excitation due un mcanisme en rotation. Une attnuation A est recherche dans une plage de fonctionnement dfinie par l'intervalle de frquence [ ]21 , ff . C'est la frquence d'excitation minimale 1f qui reprsente la contrainte la plus importante et qui sert dterminer la frquence propre 0f de la suspension lastique.

Exemple : une attnuation 90=A %, correspond 1.01 == AT , soit un gain de 20 dB. Si la plus petite frquence attnuer est 301 =f Hz, l'abaque donne une frquence propre de la suspension de 9 Hz (qui se calcule aussi par

( ) ( ) ( ) ( ) 929.019.030210 == AAff Hz. La relation 00 xg= permet de connatre la dflexion statique : === 2220

20 9481.94 pipi fgx 0.003 m.

Le centre de gravit de l'ensemble mcanique suspendre permet de dterminer le nombre et la position des points de fixation pour que la charge soit galement rpartie (dans le cas o la position des points de fixation est impose, on peut tre conduit choisir des supports de rigidits diffrentes).

101

102

100

101

102

frquence d'excitation f

frqu

enc

e pr

opr

e f 0

A = 0.80A = 0.85A = 0.90A = 0.95A = 0.99

101

102

100

101

102

frquence d'excitation f

frqu

enc

e pr

opr

e f 0

Att = 10 dBAtt = 20 dBAtt = 30 dBAtt = 40 dB

Frq

uence

pr

opr

e f 0

Frq

uence

pr

opr

e f 0


49

Exemple : Pour une charge de 300 daN rpartie sur 6 points, il faut chercher dans le catalogue du fournisseur des supports ayant une frquence propre de 9 Hz (ou une dflexion statique de 3 mm) sous 50 daN.

Dans le cas d'une machine tournante, le rgime de fonctionnement est atteint aprs le dmarrage en passant par la frquence propre ( 1=r ). La transmissibilit passe par un maximum qui est contrl par le taux d'amortissement

21

max T

Les lastomres utiliss dans les suspensions ont des taux d'amortissement compris entre 0.02 et 0.1 et jusqu' 0.2 pour des synthtiques.

Exemple : Au passage 9 Hz, le support qui possde un taux d'amortissement de 5% ( 05.0= ) assure une transmissibilit 10max =T , soit 20 dB. Pour une machine suspendue, l'amplitude du dplacement est ( ) maxmax TkFX . Pour un quipement suspendu, l'amplitude des vibrations de l'assise est multiplie par 10.

Remarques

1) la plupart des supports en lastomre de formes gomtriques simples ont un comportement "presque" linaire dans la plage de fonctionnement recommande. Par exemple la raideur est donne par (voir Figure 2.21) :

support en compression : lSEk = (Figure 2.21a)

support en cisaillement : h

GSk = (Figure 2.21b) avec E module d'Young [ ]2mN S section du support hl, paisseur du support

( )+= 12EG module de cisaillement ( coefficient de Poisson).

Figure 2.21 - Supports lastiques travaillant : a) en compression, b) en cisaillement.

S

S


50

Figure 2.22 Diffrentes formes de supports anti-vibratoires.

2) dans le cas de support dont la rigidit statique diffre de la rigidit dynamique, la relation entre la frquence propre de la suspension et l'crasement statique n'est plus valable. Par exemple, les supports "Evidgom" de Paulstra ont une caractristique de rigidit reprsente sur la Figure 2.23. La rigidit dynamique est dtermine par la tangente au point de fonctionnement.

Figure 2.23 - Rigidit dynamique et rigidit statique d'un support lastique ("Supports lastiques", Documentation Paulstra).

Charge

dplacement 0x

Charge statique

tangente xFk

dd

=


51

2 DIFFERENTES FORMES DAMORTISSEMENT

2.1 Amortissement par frottement solide (ou amortissement de Coulomb)

L'amortissement de Coulomb est l'amortissement par frottement solide. Il est difficile de donner une forme mathmatique correcte pour modliser un amortissement. Contrairement la masse et la raideur, l'amortissement ne peut pas tre dtermin par des tests statiques. L'amortissement visqueux en xc est la forme la plus courante mais l'amortissement par frottement solide se rencontre frquement dans les mcanismes. Il est dfini par la relation

( )B

C

D

==

000

0x

x

x

N

NxFF dd

dF force de dissipation, N force normale, coefficient de frottement.

Figure 2.24 Frottement solide : notation

La force dF est toujours oppose la direction du mouvement (son signe est contraire celui de x )

0pour =+ xNkxxm

Figure 2.25 Dcomposition de l'quation du mouvement pour un frottement solide. Dans ce cas particulier, la masse est pose sur le plan et mgN = .

C'est le signe de x qui dtermine la direction de la force de frottement

( ) 0sign =++ kxxNxm

avec la fonction 'signe'

m

( )tx k

( )tx

mgNFd == N

mg kx

( )tx

mgNFd == N

mg kx


52

( )B

C

D

=

0quand10quand00quand1

signu

u

u

u

Cette quation ne peut pas se rsoudre directement par les mthodes employes prcdemment car c'est une quation diffrentielle non-linaire. Pour obtenir la rponse libre du systme, on va considrer sparment les tronons temporels entre les changements de direction de x .

Conditions initiales : ( ) 00 xx = et ( ) 00 =x 0x se trouve droite du point d'quilibre et la force 0kx est plus forte que dF

Dplacement vers la gauche : 0x et a pour solution

( ) 00 =x

0x 0


53

( )kN

tBtAtx += 0202 sincos

pour 20

tt


54

Remarques :

a) L'amplitude des oscillations dcrot linairement comme t

kN

xpi

20

b) La frquence d'oscillation du systme amorti par frottement solide est la mme que pour le systme non amorti.

c) La position d'arrt peut tre diffrente de la position d'quilibre initial.

2.2 Energie dissipe par cycle et amortissement quivalent

La rponse harmonique force d'un systme avec amortissement de par frottement solide est la solution de l'quation

( ) tFkxxNxm cossign =++

Plutt que de rsoudre cette quation directement, on recherche une solution approche en considrant la solution du systme amortissement visqueux qui dissipe la mme nergie par cycle. C'est une hypothse raisonnable tant que la force d'excitation est bien plus importante que la force de friction ( NF >> ).

On suppose une rponse stationnaire de la forme

( ) tXtx sin=

L'nergie dissipe par cycle E par un systme dont le coefficient d'amortissement visqueux vaut c est

=

==

pipi 2

0

2

cycle

2

0

dtxcdtdtdx

xcdxFE dV

avec ( ) tXtx cos=

===pi pi

pi2

0

2

0

222222

2cos XcdtXcdttXcEV

(car tt 2cos21

21

cos2 += ) Par ailleurs, l'nergie dissipe par cycle par frottement solide est

( ) ( ) =

==

pipi

2

0cycle

2

0

signsign dtxxNdtdtdx

xNdxFE dS

En sparant cette intgrale en 3 zones en fonction du signe de x


55

XNdttXN

dttdttdttXNE

CBAS

pi

pi

pi

pi

pi

pi

4cos4

coscoscos

2

0

2

23

23

2

2

0

==

EEE

F

+=

(en considrant [ ]

pipi 1sin

1cos

1 20

20

== uduu ).

Pour qu'un systme amortissement visqueux dissipe la mme nergie qu'un systme amortissement par frottement solide : SV EE = , il faut qu'il ait un coefficient d'amortissement visqueux quivalent

XN

cpi

4eq = ,

ou en terme de rapport d'amortissement quivalent

XmN

m

c

pi

00

eqeq

/22

==

On constate qu'il dpend de l'amplitude et de la frquence d'excitation. Ainsi le systme frottement visqueux dont le mouvement est dcrit par

tm

Fxxx cos2 200eq =++ ,

dissipera la mme nergie par cycle que le systme frottement solide. Sa solution est de la forme ( ) ( ) = tXtx cos , X amplitude relle

( ) ( ) ( ) ( )2222eq22 4121 kXNrkF

rr

kFX

pi +=

+=

En rsolvant cette expression pour X

( ) 222222 411

=

EEF

+

kF

kN

XrX

pi

on obtient pour l'amplitude ( )

2

2

141

r

FNkFX

=

pi

Par ailleurs, la phase s'crit

( )22eq 14

arctan12

arctanrkX

Nr

r

=

=

pi

A

B

C


56

En substituant dans cette dernire quation l'expression de X

( )2414

arctanFNF

N

pipi

= (le signe dpend de 21 r )

ainsi quand 01 >< r et quand 01 r .

Remarque

Contrairement au systme amortissement visqueux, la rsonance ( 1=r ), le modle de systme frottement solide prsente une amplitude infinie et une discontinuit pour la phase. Les expressions pour la rponse sont valables seulement dans le cas o FN pi


57

Si on considre la force ncessaire pour dplacer la masse d'un systme amortissement visqueux

xckxF +=

avec tXx sin= et tXx cos= . Avec tt 2sin1cos = , il est possible d'crire

22 xXckxF =

Dans le plan ( )xF , , cette relation est reprsente par l'ellipse de la Figure 2.27a. C'est une boucle d'hystrsis dont l'aire correspond l'nergie perdue par cycle 2XcEV pi= . Pour 0=c , l'ellipse devient la droite kxF = .

Figure 2.27 - (a) Ellipse reprsentant la boucle d'hystrsis dans le cas d'un amortissement visqueux. (b) Boucle d'hystrsis dans le cas d'un amortissement structural.

En mesurant les contraintes et les dformations de matriaux excits par des efforts harmoniques, il apparat galement des boucles d'hystrsis semblables. Elles sont dues des dissipations d'nergie appeles amortissement hystrtique ou amortissement structural. L'aire ferme dans la boucle correspond la perte d'nergie par cycle

2XkEH pi=

qui est proportionnelle la raideur, au carr de l'amplitude et la constante d'amortissement hystrtique ( est indpendant de la frquence). Si on compare cette dernire expression celle de la perte d'nergie par cycle par amortissement visqueux

22eq XkXcEE HV pipi ==

le coefficient d'amortissement quivalent d'un systme amortissement visqueux qui dissiperait ma mme nergie par cycle

X

Xc

Xc

kx ( )tF

( )tx ( )t

( )t


58

kc =eq

tant dtermin exprimentalement partir de la courbe d'hystrsis. L'quation du mouvement d'un tel systme est

tFkxxkxm

cos=++ .

Si la rponse en rgime stationnaire est de la forme ( ) ( ) = tXtx cos , on obtient le mme type de solution que prcdemment

( ) ( )2eq22 21 rrkF

X+

= et 2eq

12

arctanr

r

=

o rkmc 222 0eqeq === , soit

( ) 2221 += rkF

X et 21arctan

r=

.

Contrairement au cas de l'amortissement visqueux, on observe que l'amplitude maximale de FXk lieu la frquence de rsonance 1=r . Autre particularit, la rponse n'est jamais en phase avec la force d'excitation.

En utilisant des variables complexes (voir la remarque de la section 1.2)

tjeFxkxkxm

=++

avec tjeXx = et xjeXjx tj == , d'o

( ) tjeFxjkxm =++ 1

L'amortissement hystrtique (ou structural) peut donc tre pris en compte sous la forme d'une raideur complexe

( )jkk += 1 .


59

3 REPONSE FORCEE A UNE EXCITATION QUELCONQUE

3.1 Rponse impulsionnelle

La rponse impulsionnelle dun systme un degr de libert se dfinie comme la rponse une excitation de la forme ( ) ( )tFtF 0= o ( )t est la fonction de Dirac :

( ) ( )thFtx 0=

La rponse impulsionnelle est donc

avec la pseudo-pulsation 20 1 =a ,

La rponse impulsionnelle est donne pour une impulsion unitaire ( ) t applique t = 0 . Une excitation impulsionnelle2 applique l'instant t t= 1

( ) ( )10 ttItF = aura pour rponse

( ) ( ) ( ) ( )1010 sin10 ttem

ItthItx a

tt

a

==

pour t t 1 et ( )x t = 0 pour t t< 1 . Cette solution s'entend au sens d'une solution particulire, une solution gnrale viendrait s'ajouter si les conditions initiales n'taient pas nulles (existence d'un mouvement pour t 0 ).

3.2 Rponse une excitation non-sinusodale

La rponse une excitation quelconque ( )F t correspond au produit de convolution de cette excitation par la rponse impulsionnelle du systme 1 ddl

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t F t h t F h t d= =

+

*

Puisque la rponse impulsionnelle est causale ( ( )h t = 0 pour t < 0 ) ( ) ( ) ( )x t F h t d

t

=

.

Si l'excitation est-elle aussi causale, on pourra crire ( ) ( ) ( )x t F h t dt

= 0

.

2 Limpulsion ( ) ( ) 00 IdttIdttF == ++ sexprime en Ns ou kg m s-1 et ( )thI0 a bien la dimension dun

dplacement.

( ) ( )B

CD

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ENSIM2A Vibrations&Acoustique 1

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