+ All Categories
Home > Documents > fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... ·...

fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... ·...

Date post: 13-Oct-2019
Category:
Upload: others
View: 4 times
Download: 0 times
Share this document with a friend
65
Transcript
Page 1: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

Bevezet�es az �altal�anos relativit�aselm�eletbeBene GyulaE�otv�os Lor�and Tudom�anyegyetem, Elm�eleti Fizikai Tansz�ek1117 Budapest, P�azm�any P�eter s�et�any 1/A2002. de ember 13.1 El}oad�asTematika: ld. http://arpad.elte.hu/~bene/Aj�anlott irodalom:� Landau-Lifsi : Elm�eleti �zika II. Klasszikus er}oterek (Tank�onyvkiad�o, 1976).� Hrask�o P�eter: Bevezet�es az �altal�anos relativit�aselm�eletbe (M}uegyetemi kiad�o,1997).� Hrask�o P�eter: Relativit�aselm�elet (Typotex, 2002).� Perj�es Zolt�an: �Altal�anos relativit�aselm�elet (ELTE E�otv�os Kiad�o, 1999).� http://nedwww.ipa . alte h.edu/level5

1

Page 2: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

Eredeti ikkek:�Altal�anos relativit�aselm�elet:A.Einstein, Die Feldglei hungen der Gravitation, Berl. Ber. 44 (1915) 844. ).E�otv�os Lor�and szerepe. Az E�otv�os-k��s�erlet, 1908-1909.[1℄ R. v. E�otv�os, Mathematishe und Naturwissens haftli he Beri hte aus Ungarn,8,65,1890.[2℄ R. v. E�otv�os, Verhandlungen der 16. Allgemeinen Konferenz der Internatio-nalen Erdmessung (London-Cambridge, 21-29 September 1909)[3℄ R. v. E�otv�os, D. Pek�ar, E. Fekete: Beitr�age zum Gesetz der Proportionalit�atvon Tr�agheit und Gravit�at; a Beneke Alap��tv�anyhoz beny�ujtott p�alyam}u, 1909.

2

Page 3: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

1.1 El}ozm�eny: a spe i�alis relativit�aselm�elet (A.Einstein, 1905)� Esem�enyek, vonatkoztat�asi rendszer, iner iarendszer� Lorentz-transzform�a i�o x0 = x� vtq1� v2 2y0 = y (1)z0 = zt0 = t� v 2xq1� v2 2A klasszikus elektrodinamika egyenletei kovari�ansak a Lorentz-transzform�a i�oran�ezve (a transzform�alt mennyis�egek k�oz�otti kap solat ugyanolyan alak�u, mintamilyen a nem transzform�alt mennyis�egek k�oz�ott volt).! A f�enysebess�eg minden iner iarendszerben ugyanakkora. Mi helson-k��s�erlet,1881 �es Mi helson-Morley-k��s�erlet, 1887.� Nin s kit�untetett iner iarendszer: a term�eszet minden t�orv�enye azonos alak�u ak�ul�onb�oz}o iner iarendszerekben (relativit�as elve)!A Lorentz-transzform�a i�oa t�erid}o tulajdons�agait jellemzi.�Ivhossz: s2 = 2t02 � r02 = 2t2 � r2(Levezet�esek: az ��vhossz invarian i�aja, Lorentz-transzform�a i�o) M�ask�eppens2 = gikxixkahol x0 = t; x1 = x; x2 = y; x3 = z�es gik = diag(1;�1;�1;�1)3

Page 4: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

Saj�atid}o: � 2 = t2 � r2= 2Minkowski-t�er. Id}oszer}u, t�erszer}u, f�enyszer}u ��vhosszak.� Az egyidej}us�eg relativit�asax1 6= x2; t1 = t2! t01 6= t02 (2)A Lorentz-transzform�a i�o szerint ui.t02 � t01 = � v 2 (x2 � x1)q1� v2 2 (3)� Lorentz-kontrak i�oMozg�o m�eterr�ud v�egei (t,x) a K rendszerb}ol m�erve: (0; 0) �es (0; L)A K' (egy�uttmozg�o) rendszerben ugyanezek az esem�enyek: (0; 0) �es (t0; L0)A Lorentz-transzform�a i�o alapj�anL0 = Lq1� v2 2 (4)azaz L = L0r1� v2 2 (5)� Id}odilat�a i�oMozg�o �ora adott (0 ill. �) mutat�o�all�asai a K rendszerb}ol m�erve: (0; 0) �es (t; x)A K' (egy�uttmozg�o) rendszerben ugyanezek az esem�enyek: (0; 0) �es (�; 0)A Lorentz-transzform�a i�o alapj�ant = �q1� v2 2 (6)4

Page 5: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

x

t

abszolút jövõ

abszolút múlt

abszolút

elválasztott

abszolút

elválasztott

�abra 1: A t�erid}o egyes tartom�anyainak kauz�alis kap solata az orig�oban t�ort�ent esem�ennyel.5

Page 6: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

x

z

y

x

z

y

|| |AB C

�abra 2: Az A pontb�ol kibo s�ajtott f�enyjelek a K' rendszerb}ol m�erve egyidej}uleg �ernek a B �es C pontokba, m��g a Krendszerb}ol m�erve k�ul�onb�oz}o id}opontokban.

6

Page 7: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Ikerparadoxon� Sebess�egek transzform�a i�oja vx = v0x + V1 + v0xV 2vy = v0yq1� V 2 21 + v0xV 2vz = v0zq1� V 2 21 + v0xV 2(a sebes�eg ir�any�anak megv�altoz�asa, f�enyaberr�a i�o)� N�egyesvektorokAz id}o �es a koordin�at�ak transzform�a i�os szab�alya szerint transzform�al�od�omennyis�egek.t; x; y; zE; px; py; pz�;Ax; Ay; Az� Relativisztikus me hanikaN�egyessebess�eg: ui = dxid�ux = v q1� v2 2ut = 1q1� v2 27

Page 8: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

N�egyesimpulzus: pi = muiAz id}oszer}u komponens az energia.Legkisebb hat�as elve. S = �m Z ba dsL = �m 2r1� v2 2 !1 hat�ar�atmenet.1.2 Gyorsul�o koordin�atarendszerek� Az eredeti k�erd�esfeltev�es: megfogalmazhat�ok-e a term�eszeti t�orv�enyek olyanalakban, amely tetsz}oleges koordin�atatranszform�a i�ora n�ezve kovari�ans?� Forg�o koordin�atarendszerx = x0 os!t� y0 sin!t; y = x0 sin!t+ y0 os!t; z = z0�Ivelemn�egyzet:ds2 = � 2 � !2(x02 + y02)� dt2 � dx2 � dx02 � dy02 � dz02 + 2!y0dx0dt� 2!x0dy0dtAz ��velemn�egyzet invari�ans (skal�ar), de a koordin�atadi�eren i�alokkal kifejezettalakja m�as �es m�as.� Metrikus tenzor �Altal�anos esetbends2 = gikdxidxk� Az ekvivalen ia elve(Hasonl�os�agok �es k�ul�onbs�egek) 8

Page 9: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

�abra 3: A forg�o korong ker�ulete ment�en elhelyezett m�er}orudak Lorentz-kontrak i�ot szenvednek, m��g a sug�ar ment�enelhelyezett m�er}orudak hossza v�altozatlan.9

Page 10: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� G�orbevonal�u koordin�at�ak xi = f i(x00; x01; x02; x03)dxi = �xi�x0kdx0kKontravari�ans n�egyesvektor: Ai = �xi�x0kA0kN�egyestenzorok. Kontravari�ans metrikus tenzor:gikJa obi-determin�ans:(levezet�es) J = �(x0; x1; x2; x3)�(x00; x01; x02; x03) = 1p�gInvari�ans t�erfogatelem: p�gd� T�avols�agok �es id}otartamokAdott pontban eltelt id}o:(levezet�es) � = 1 Z pg00dx0K�et pont t�avols�aga: 10

Page 11: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

(levezet�es) dl2 = ��dx�dx� �� = �g�� + g0�g0�g00 �� = �g��� Egyidej}us�eg, �or�ak szinkroniz�al�asa(levezet�es) �x0 = �g0�dx�g00

11

Page 12: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

2 El}oad�as2.1 Ism�etl�es� Gyorsul�o koordin�atarendszerekben az ��velemn�egyzet ds2 = gikdxidxk ! g�orbe-vonal�u koordin�at�ak� Lok�alisan a gravit�a i�os t�er gyorsul�o rendszerrel ekvivalens (ekvivalen ia elve)� A gravit�a i�os t�er a t�erid}o nem-Minkowski geometri�ajak�ent jelenik meg az �altal�anosrelativit�aselm�eletben� A vonatkoztat�asi rendszer fogalma� Kovari�ans �es kontravari�ans n�egyesvektorok �es n�egyestenzorok2.2 P�elda (t�avols�agok, id}otartamok, �or�ak szinkroniz�al�asa): forg�o vonatkoztat�asi rend-szer� �Ivelemn�egyzet:ds2 = ( 2 � !2r2)dt2 � 2!r2d'dt� dz2 � r2d'2 � dr2� Id}otartam: � =r1� !2r2 2 t(! v�or�oseltol�od�as)� Szinkroniz�al�as z�art g�orbe ment�en nem lehets�eges:�t = �1 I g0�g00 dx� = 1 2 I !r2d'1� !2r2 2 � ! 2 I r2d' = �2! 2 S12

Page 13: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� T�avols�ag: dl2 = dr2 + dz2 + r2d'21� !2r2 2A ker�ulet �es a sug�ar ar�anya: 2�q1� !2r2 2 > 2�! nemeuklideszi geometria2.3 Mozg�as g�orb�ult t�erid}oben� A metrikus tenzor (gik) tulajdons�agai (szimmetrikus, 10 f�uggetlen komponens,+| szignat�ura)� G�orb�ult t�erid}o: a metrikus tenzor semmilyen koordin�atatranszform�a i�oval nemhozhat�o minden�utt Minkowski-alakra.� Kovari�ans di�eren i�al�as.{ Ai = �x0k�xi A0kdAi = �x0k�xi dA0k + A0kd�x0k�xi = �x0k�xi dA0k + A0k �2x0k�xi�xldxl! dAi nem transzform�al�odik vektork�ent!Ok: nem azonos pontbeli vektorokat vontunk ki egym�asb�ol.{ P�arhuzamos eltol�asDAi = (Ai + dAi)� (Ai + ÆAi) = dAi � ÆAi13

Page 14: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

In�nitezim�alis eltol�as eset�en ÆAi homog�en line�aris f�uggv�enye a vektorkom-ponenseknek �es az eltol�asnak:ÆAi = ��iklAkdxl�ikl: Christo�el-szimb�olum (\aÆne onne tion"). Nem tenzor!ÆAi = �kilAkdxl{ Kovari�ans di�eren i�al, kovari�ans deriv�alt:DAi = ��Ai�xl + �iklAk� dxlDAi = ��Ai�xl � �kilAk� dxlAi;l = �Ai�xl + �iklAkAi;l = �Ai�xl � �kilAkAik;l = �Aik�xl � �mklAim + �imlAmk{ A Christo�el-szimb�olumok als�o indexeikben szimmetrikusak(levezet�es){ A Christo�el-szimb�olumok �es a metrikus tenzor kap solataDAi = gikDAkDAi = D �gikAk� = gikDAk + AkDgik14

Page 15: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

! A metrikus tenzor kovari�ans deriv�altja nulla.gik;l = 0Ezt felhaszn�alva �ikl = 12gim��gmk�xl + �gml�xk � �gkl�xm�(levezet�es){ A kovari�ans deriv�altakra vonatkoz�o hasznos �osszef�ugg�esek� R�esze ske mozg�asa gravit�a i�os t�erben.A legkisebb hat�as elve: ÆS = �m Æ Z ds = 0Mozg�asegyenlet: DuiDs = 0(ahol ui = dxids a n�egyessebess�eg), azazd2xids2 + �ikldxkds dxlds = 0� Hamilton-Ja obi-egyenlet pi = m uipipi = m2 215

Page 16: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

gik �S�xi �S�xk �m2 2 = 0� F�eny terjed�ese dkid� + �iklkkkl = 0� Gyenge gravit�a i�os t�erNemrelativisztikus Lagrange-f�uggv�eny:L = �m 2 + mv22 �m'ds2 = ( 2 + 2')dt2 � dr2g00 = 1 + 2' 2� �Alland�o gravit�a i�os t�er, gravit�a i�os v�or�oseltol�od�asSaj�atid}oben m�ert frekven ia:! = !0pg00 � !0 �1� ' 2��! = '1 � '2 2 !� Az elektrom�agness�eg egyenletei gravit�a i�os t�erben.T�erer}oss�egtenzor: Fik = Ak;i �Ai;k = �Ak�xi � �Ai�xk16

Page 17: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

N�egyes �arams}ur}us�eg: ji = � pg00 dxidx0Maxwell-egyenletek: �Fik�xl + �Fli�xk + �Fkl�xi = 0F ik;k = 1p�g ��xk �p�gF ik� = ji�0 2T�olt�ott r�esze ske mozg�asa elektrom�agneses �es gravit�a i�os er}ot�erben:m�duids + �iklukul� = qF ikuk

17

Page 18: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

3 El}oad�as3.1 Ism�etl�es� Vektor megv�altoz�asa akkor transzform�al�odik vektork�ent, ha azonos pontban lev}ovektorokat vonunk ki egym�asb�ol.� Vektor p�arhuzamos eltol�asa, Christo�el-szimb�olumok, kovari�ans deriv�altak� A Christo�el-szimb�olumok als�o indexeikben szimmetrikusak� A metrikus tenzor kovari�ans deriv�altja nulla� ! A Christo�el-szimb�olumok kifejezhet}ok a metrikus tenzor deriv�altjaival.� Mozg�as g�orb�ult t�erid}oben, geodetikus mozg�as� A Maxwell-egyenletek �altal�anos��t�asa g�orb�ult t�erid}ore3.2 A g�orb�uleti tenzor� K�erd�es: milyen lok�alis mennyis�eg jelzi, hogy g�orb�ult a t�erid}o?� Vektor p�arhuzamos eltol�asa: a komponensek lok�alisan Minkowski t�erid}obenv�altozatlanok.� P�arhuzamos eltol�as sor�an a p�alya �erint}oj�evel bez�art sz�og �alland�o.� P�arhuzamos eltol�as z�art g�orbe ment�en� �Ak = I �iklAidxl�Ai�xl = �nilAn� Stokes t�etele18

Page 19: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

A

B

C

1

2

3

1’

�abra 4: G�orb�ult fel�uleten szakaszonk�ent geodetikus z�art g�orbe ment�en v�egzett p�arhuzamos eltol�as eredm�enye nemegyezik meg a kiindul�asi vektorral.� �Ak = 12 "� ��ikmAi��xl � � ��iklAi��xm #�f lm� �Ak = 12RiklmAi�f lm� Riklm = ��ikm�xl � ��ikl�xm + �inl�nkm � �inm�nkl� �Ak = �12RkilmAi�f lm19

Page 20: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Ai;k;l �Ai;l;k = AmRmikl� Ai;k;l � Ai;l;k = �AmRimkl� A g�orb�uleti tenzor tulajdons�agai{ Riklm = ginRnklm = 12 � �2gim�xk�xl + �2gkl�xi�xm � �2gil�xk�xm � �2gkm�xi�xl�+gnp (�nkl�pim � �nkm�pil){ Riklm = �Rkilm = �Rikml{ Riklm = Rlmik{ Riklm +Rimkl +Rilmk = 0{ Bian hi-azonoss�ag: Rnikl;m + Rnimk;l + Rnilm;k = 0Bizony��t�as lok�alisan geodetikus rendszerben:Rnikl;m = �2Rnikl�xm = �2�nil�xm�xk � �2�nik�xm�xl{ Ri i-tenzor: Rik = glmRlimk = RmimkRik = Rki{ Invari�ans g�orb�ulet: R = gikRik20

Page 21: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ K�etdimenzi�os eset: R = 2P1212 P2 = K = 1�1�2(levezet�es){ Weil-tenzorCiklm = Riklm� 12Rilgkm+12Rimgkl+12Rklgim� 12Rkmgil+16R (gkmgil � gklgim)

21

Page 22: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

4 El}oad�as4.1 Ism�etl�es� A g�orb�uleti tenzor de�n�� i�oja (z�art g�orbe ment�en k�orbevitt vektor v�altoz�as�avalar�anyos)� A g�orb�uleti tenzor tulajdons�agai (antiszimmetria az els}o ill. a m�asodik in-dexp�arban, szimmetria az indexp�arok fel ser�el�es�ere, iklikus �osszeg elt}un�ese,Bian hi-azonoss�ag)� Ri i-tenzor, skal�ar g�orb�ulet, Weil-tenzor4.2 Klasszikus t�erelm�eleti bevezet}oq(x; y; z; t): t�ermennyis�eg (pl. elektrom�agneses t�erer}oss�eg komponense, metrikustenzor komponense)� (q; q;i): Lagrange-s}ur}us�eg (a t�ermennyis�egekt}ol �es azok koordin�at�ak szerinti ill.id}oderiv�altj�at�ol f�ugg, itt q;i = �q�xi )S = Z � (q; q;i) d(d = dV dt)ÆS = Z ����q Æq + ���q;iÆq;i� d = Z ����q Æq + ��xi � ���q;iÆq�� Æq ��xi ���q;i� d = 0Euler-Lagrange-egyenlet (mozg�asegyenlet):��xi ���q;i � ���q = 0Energia- �es impulzusmegmarad�as:Mivel a Langrange-s}ur}us�eg nem f�ugg expli iten a koordin�at�akt�ol �es az id}ot}ol,���xi = ���q �q�xi + ���q;k �q;k�xi22

Page 23: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

A mozg�asegyenletet felhaszn�alva:���xi = ��xk ���q;k q;i + ���q;k q;k;i = ��xk �q;i ���q;k�Null�ara reduk�alva: ��xk �q;i ���q;k � Æki �� = 0Energia-impulzus-tenzor: T ki = q;i ���q;k � Æki �A �T ki�xk = 0 kontinuit�asi egyenletet a t1 �es t2 id}opontok k�oz�otti n�egyest�erfogatraintegr�aljuk: dP idt = 0ahol P i = Z T ikdSka megmarad�o n�egyesimpulzus.T ik hat�arozatlan: T ik + ��xl iklis kiel�eg��ti a kontinuit�asi egyenletet, ha ikl = � ilk. A megmarad�o n�egyesimpulzus�ert�ek�et ez nem befoly�asolja, mivelZ � ikl�xl dSk = 12 Z �dSk� ikl�xl � dSl� ikl�xk � = 12 Z ikldf �kl = 0ahol df �kl = �klmndfmn a dfmn = dx(1)mdx(2)n � dx(1)ndx(2)m n�egyes fel�uletelemdu�alisa. A v�egtelen t�avoli fel�uleten az integrandus elt}unik.Az impulzusmomentum megmarad�asa (skal�ar t�erre):23

Page 24: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

Az impulzusmomentum n�egyestenzora:J ik = Z �xidP k � xkdP i� = Z �xiT kl � xkT il� dSlAz impulzusmomentum megmarad�asa ekvivalens az impulzusmomentum-s}ur}us�egn�egyesdivergen i�aj�anak elt}un�es�evel:0 = J ik(t2)� J ik(t1) = I �xiT kl � xkT il� dSl = Z ��xl �xiT kl � xkT il� d! ��xl �xiT kl � xkT il� = 0De ��xl �xiT kl � xkT il� = xi�T kl�xl � xk�T il�xl + ÆilT kl � Ækl T il = T ki � T ikteh�at az impulzusmomentum megmarad�as�ab�ol T ki szimmetrikuss�aga k�ovetkezik.4.3 El}ok�esz��t�es (n�eh�any fontos azonoss�ag levezet�ese)Determin�ans deriv�altja:�g�xk = ��xk �i0;i1;i2;i3g0i0g1i1g2i2g3i3 = �i0;i1;i2;i3�g0i0�xk g1i1g2i2g3i3 + :::�g0i0�xk egy�utthat�oja �i0;i1;i2;i3g1i1g2i2g3i3a 0. sorhoz �es i0-ik oszlophoz tartoz�o el}ojeles aldetermin�ans, azaz g g0i0. (Hasonl�oana tov�abbi tagokra.) Ezzel �g�xk = g gij �gij�xkMivel gijgij = Æjj = 4, gij �gij�xk = �gij�gij�xk24

Page 25: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

A Christo�el-szimb�olum de�n�� i�oja,�ikl = 12gim��gmk�xl + �gml�xk � �gkl�xm�alapj�an �iki = 12gim��gmk�xi + �gmi�xk � �gki�xm� = 12gim�gmi�xk = 12g �g�xkVektor kovari�ans n�egyesdivergen i�aja:Ai;i � DAiDxi = �Ai�xi + �ikiAk = �Ai�xi + 12g �g�xkAk = 1p�g � �p�g Ai��xi4.4 A gravit�a i�os er}ot�er hat�asintegr�alja� A gravit�a i�os t�er egyenletei a �zika m�as �agaib�ol nem vezethet}ok le (�uj �zikait�orv�enyek, 1916). Csup�an anal�ogi�ak haszn�alhat�ok motiv�a i�ok�ent: m�asodrend}ut�eregyenleteket v�arunk (els}o deriv�altak a Lagrange-s}ur}us�egben), a Lagrange-s}ur}us�eg skal�ar, t�ermennyis�egek: a metrikus tenzor komponensei.� Probl�ema: A metrikus tenzor els}o deriv�altjaib�ol (Christo�el-szimb�olumokb�ol)nem k�epezhet}o skal�ar, a rendelkez�esre �all�o egyetlen nemtrivi�alis skal�ar mennyis�eg,a skal�ar g�orb�ulet (R) viszont m�asodik deriv�altakat is tartalmaz. Megold�as: mi-vel R a m�asodik deriv�altakat sak line�arisan tartalmazza, megmutatjuk, hogyZ Rp�gd = Z Gp�gd+ Z � �p�g wi��xi dahol G sak a metrikus tenzor els}o deriv�altjait tartalmazza. (A wi mennyis�egnem transzform�al�odik vektork�ent!). Tekints�uk ehhez Rp�g kifejez�es�eben am�asodrend}u deriv�altakat tartalmaz�o tagokat:Rp�g = p�g gki Rmkmi = p�g gki ���mki�xm � ��mkm�xi + �mnm�nki � �mni�nkm�25

Page 26: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

M�asodik deriv�altak sak a Christo�el-szimb�olumok deriv�altjaiban szerepelnek.Ezeket a tagokat tov�abb alak��tva:p�g�gkm ��ikm�xi � gki ��mkm�xi � = ��xi �p�g �gkm �ikm � gki �mkm��� �ikm� �p�g gkm��xi � �mkm� �p�g gki��xi !Teh�at wi = gkm �ikm � gki �mkm�es G = gki (�mnm�nki � �mni�nkm) + �mkmp�g � �p�g gki��xi � �ikmp�g � �p�g gkm��xiA metrikus tenzor deriv�altjait kifejezz�uk a Christo�el szimb�olumokkal (gik;l = 0):�gim�xl = ��ikl gkm � �mkl gikKapjuk:G = gki (�mnm�nki � �mni�nkm) + �mkm �nin gki � �mkm �ini gnk � �mkm �kni gin��ikm �nin gkm + �ikm �kni gnm+�ikm �mni gknTeh�at G = gki (�mni�nkm � �mnm�nki)� A Lagrange-s}ur}us�eg � 316�kRp�gA negat��v el}ojel biztos��tja, hogy a hat�as pozit��v de�nit legyen. k = 6:67 �10�11 m3kgs2 a gravit�a i�os �alland�o. 26

Page 27: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

4.5 Energia-impulzus-tenzor� �Uj levezet�est adunk az energia-impulzus-tenzorra, amely azonnal szimmetrikusTik-t eredm�enyez� Gondolatmenet:{ V�egtelen kis �altal�anos koordin�atatranszform�a i�ot v�egz�unk.{ Ennek k�ovetkezt�eben az anyag hat�asf�uggv�enye (mivel a Lagrange-s}ur}us�egskal�ar) nem v�altozhat, ÆS = 0.{ Fel��rjuk a hat�as koordin�atatranszform�a i�ob�ol ered}o megv�altoz�as�at �es egyenl}ov�etessz�uk null�aval.{ Az anyagot jellemz}o t�ermennyis�egek (pl. elektrom�agneses t�erer}oss�egtenzor)kiel�eg��tik a mozg�asegyenleteket, ��gy a koordin�atatranszform�a i�ob�ol ered}omegv�altoz�asuk a hat�as kifejez�es�eben els}o rendben nem ad j�arul�ekot.{ Csak a metrika megv�altoz�asa eredm�enyez nemtrivi�alis v�altoz�ast. Eredm�eny:egy szimmetrikus tenzor (Tik) kovari�ans n�egyesdivergen i�aja nulla. (Ez mostnem jelenti automatikusan megmarad�o mennyis�eg l�etez�es�et!)� S = 1 Z �p�g d� In�nitezim�alis koordin�atatranszform�a i�o:x0i = xi + �i(�i ki si) dx0i = dxi + ��i�xldxl = �Æil + ��i�xl� dxl� g0ik(x0l) = gmn(xl)�Æim + ��i�xm��Ækn + ��k�xn� � gik(xl) + gim ��k�xm + gkn ��i�xn27

Page 28: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

�Atalak��tjuk a baloldalt:g0ik(x0l) = g0ik(xl + �l) = g0ik(xl) + �g0ik�xl �l � g0ik(xl) + �gik�xl �lV�eg�ul teh�at g0ik(xl) = gik(xl)� �gik�xl �l + gim ��k�xm + gkn ��i�xn�i;k + �k;i = gkn ��i�xn + gkm�iml�l + gim ��k�xm + gim�kml�l= gim ��k�xm + gkn ��i�xn + �gkmgin + gimgkn� 12 ��gnm�xl + �gnl�xm � �gml�xn � �l= gim ��k�xm + gkn ��i�xn + gkmgin�gnm�xl �l= gim ��k�xm + gkn ��i�xn � gkmgnm�gin�xl �l= gim ��k�xm + gkn ��i�xn � �gik�xl �lTeh�at g0ik(xl) = gik(xl) + Ægik(xl) ; Ægik = �i;k + �k;iHasonl�oan (mivel g0ikg0kl = Æil)g0ik(xl) = gik(xl) + Ægik(xl) ; Ægik = ��i;k � �k;i� ÆS = 1 Z 8<:� (p�g�)�gik Ægik + � (p�g�)� ��gik�xl � Æ��gik�xl �9=; d28

Page 29: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

= 1 Z 8<:� (p�g�)�gik � ��xl 0�� (p�g�)� ��gik�xl � 1A9=; Ægik d� Legyen Tik = 2p�g 8<:� (p�g�)�gik � ��xl 0�� (p�g�)� ��gik�xl � 1A9=;(Szimmetrikus!)� Ekkor ÆS = 12 Z TikÆgik p�g d� Ægik kifejez�es�et behelyettes��tve:ÆS = 12 Z Tik ��i;k + �k;i� p�g dM�ask�eppen: ÆS = 1 Z Tik�i;k p�g d = 1 Z T ki �i;k p�g d= 1 Z �T ki �i�;k p�g d� 1 Z �i T ki;k p�g dAz els}o tagban felhaszn�aljuk a vektorok kovari�ans n�egyesdivergen i�aj�ara vonat-koz�o azonoss�agot. Kapjuk:Z �T ki �i�;k p�g d = Z ��xk �p�g T ki �i� dEzt a n�egydimenzi�os Gauss-t�etel seg��ts�eg�evel �atalak��tva null�at kapunk.29

Page 30: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Marad: ÆS = �1 Z �i T ki;k p�g dMivel �i tetsz}oleges, T ki;k = 0k�ovetkezik. Ez s��k t�erid}oben az energia-impulzus-tenzor kontinuit�asi egyen-let�evel azonos alak�u.

30

Page 31: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

5 El}oad�as5.1 Ism�etl�es� A gravit�a i�os t�er Lagrange-s}ur}us�ege � 316�kRp�g� Az anyag szimmetrikus energia-impulzus tenzoraTik = 2p�g 8<:� (p�g�)�gik � ��xl 0�� (p�g�)� ��gik�xl � 1A9=;� T ki;k = 05.2 P�eld�ak energia-impulzus-tenzorra� Elektrom�agneses t�erLagrange-s}ur}us�eg (p�g n�elk�ul):� = ��04 FikF ikEnergia-impulzus-tenzor:Tik = �0��FilF lk + 14FlmF lmgik�� Makroszkopikus anyag (por, g�az, folyad�ek stb.)Tik = (p+ �)uiuk � p gik5.3 Az Einstein-egyenletek, sz�armaztat�asuk, tulajdons�agaik� Vari�a i�os elv: Æ(Sg + Sm) = 0A metrikus tenzor komponensei szerint vari�alunk.31

Page 32: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� ÆSg / Æ Z Rp�gd = Æ Z gikRikp�gd= Z �Rikp�gÆgik + gikRikÆp�g + gikp�gÆRik� d� Æp�g = �12p�g gik Ægik� Æ Z Rp�gd = Z �Rik � 12gikR� Ægikd+ Z gikÆRik p�gd� Megmutatjuk, hogy a m�asodik tag elt}unik:{ Æ�kilAkdxl vektor, mert azonos pontokban lev}o vektorok k�ul�onbs�ege. EszerintÆ�kil tenzor.{ Lok�alisan geodetikus rendszerben sz�amolunk. Ekkor a metrikus tenzor els}oderiv�altjai elt}unnek.{ gikÆRik = gik � ��xlÆ�lik � ��xkÆ�lil� = �wl�xlahol wl = gikÆ�lik � gilÆ�kik{ �Altal�anos esetben teh�atgikÆRik = 1p�g � �p�g wl��xlA Gauss-t�etelt alkalmazva bizony��tjuk az eredeti �all��t�ast.� Teh�at ÆSg = � 316�k Z �Rik � 12gikR� Ægikd32

Page 33: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Az anyag hat�asintegr�alj�anak vari�a i�oja (ld. az energia-impulzus-tenzor leveze-t�es�et): ÆSm = 12 Z TikÆgik p�g d� V�eg�ul teh�at a teljes vari�a i�o:� 316�k Z �Rik � 12gikR � 8�k 4 Tik� Ægikdamib}ol megkapjuk az Einstein-egyenleteket:Rik � 12gikR = 8�k 4 TikM�ask�eppen: Rki � 12ÆkiR = 8�k 4 T kiAz indexeket �osszeejtve: R = �8�k 4 TEz�ert ��rhatjuk: Rik = 8�k 4 �Tik � 12gikT�� Az Einstein-egyenletek tulajdons�agai33

Page 34: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

6 El}oad�as6.1 Ism�etl�es� Az Einstein-egyenletek levezet�ese vari�a i�os elvb}ol:Æ Z �1 �� 316�kR�p�gd = 0(a metrikus tenzor komponensei szerint vari�alunk)� Rik � 12gikR = 8�k 4 Tik� Az Einstein-egyenletek tulajdons�agai (nemlinearit�as, anyag �es gravit�a i�os t�erkezdeti �ert�ekei nem f�uggetlenek, sak a metrikus tenzor t�erszer}u komponensei-nek fordul el}o a m�asodik id}oderiv�altja, �osszesen nyol f�uggetlen kezdeti felt�eteladhat�o meg)6.2 Megmarad�asi t�etelek. Az energia, impulzus, impulzusmomentum, t�omegk�oz�eppontmegmarad�asa gravit�a i�os t�erben.� G�orb�ult t�erid}oben az energia-impulzus-tenzor aT ik;k = 0koninuit�asi egyenletnek tesz eleget, ami fel��rhat�oT ki;k = 1p�g � �T ki p�g��xk � 12 �gkl�xi T kl = 0alakban. Ebb}ol nem k�ovetkezik megmarad�asi t�etel!� Magyar�azat: sak a gravit�a i�os t�er �es az anyag egy�uttes energi�aja �es impulzusamarad meg.� A megmarad�o, teljes n�egyesimpulzus meghat�aroz�asa34

Page 35: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

Az Einstein-egyenletek felhaszn�al�as�aval olyan kifejez�est keres�unk, amely a gra-vit�a i�os t�er kikap sol�asakor (azaz lok�alisan geodetikus rendszerben) az anyag T ikenergia-impulzus-tenzor�abamegy �at, t�erfogati integr�alja megmarad�o mennyis�eg,�es melynek �altal�anos esetben T ik-t�ol val�o elt�er�ese a metrik�anak legfeljebb els}oderiv�altjait�ol f�ugg.{ Lok�alisan geodetikus rendszerben sz�amolunk (az adott pontban a metrikustenzor els}o deriv�altjai ill. a Christo�el-szimb�olumok elt}unnek){ Az adott pontban T ik;k = �T ik�xk = 0{ T ik-t az Einstein-egyenletek seg��ts�eg�evelT ik = ��ikl�xlalakra hozzuk (m�eg mindig lok�alisan geodetikus rendszerben), ahol�ikl = ��ilk(Ekkor a kontinuit�asi egyenlet azonosan teljes�ul.)Ehhez� kiindulunk az Einstein-egyenletekb}ol:T ik = 48�k �Rik � 12gikR�� Felhaszn�aljuk, hogy lok�alisan geodetikus rendszerbenRik = 12 gimgkpgln� �2glp�xm�xn + �2gmn�xl�xp � �2gln�xm�xp � �2gmp�xl�xn�� Kapjuk: T ik = ��xl � 416�k 1(�g) ��xm �(�g) �gikglm � gilgkm���(f::g = �ikl) 35

Page 36: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ Legyen �iklm = 416�k (�g) �gikglm � gilgkm��es bikl = ��xm�iklm(�ikl = 1(�g)bikl){ Lok�alisan geodetikus rendszerbenT ik = 1(�g) �bikl�xlvagy (�g)T ik = �bikl�xl{ Visszat�er�unk �altal�anos g�orbevonal�u koordin�at�akra. Ekkor(�g) �T ik + tik� = �bikl�xlahol tik sak a metrikus tenzor els}o deriv�altjait�ol f�ugg. Expli iten (T ik-tism�et a t�eregyenletb}ol v�eve):tik = 416�k ��gilgkm � gikglm� �2�nlm�pnp � �nlp�pmn � �nln�pmp�+ gilgmn ��klp�pmn + �kmn�plp � �knp�plm � �klm�pnp�+ gklgmn ��ilp�pmn + �imn�plp � �inp�plm � �ilm�pnp�+ glmgnp ��iln�kmp � �ilm�knp�tik a gravit�a i�os t�er energia-impulzus pszeudotenzora.{ Mivel bikl = �bilk36

Page 37: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

azonosan teljes�ul, hogy ��xk (�g) �T ik + tik� = 0Emiatt P i = 1 Z (�g) �T ik + tik� dSkmegmarad�omennyis�eg. Ez az anyag �es a gravit�a i�os t�er egy�uttes \n�egyesimpulzusa".(T�enylegesen nem n�egyesvektor, mivel a n�egyesvektorok a t�er k�ul�onb�oz}opontjaiban k�ul�onb�oz}ok�eppen transzform�al�odnak, P i pedig egy teljes h�aromdimenzi�oshiperfel�ulethez tartozik.)� Mivel (�g) �T ik + tik� szimmetrikus az i; k indexekben, megmarad a n�egyes im-pulzusmomentum:J ik = Z �xidP k � xkdP i� = 1 Z �xi �T kl + tkl�� xk �T il + til�� (�g)dSl� A t�omegk�oz�eppont megmarad�asa a J0� mennyis�eg megmarad�as�anak felel meg:x0 Z �T �0 + t�0� (�g)dV � Z x� �T 00 + t00� (�g)dV = onst:M�ask�eppen: X� = onst:0 + P �P 0x0ahol X� = R x� �T 00 + t00� (�g)dVR (T 00 + t00) (�g)dV� A n�egyesimpulzus �es a n�egyes impulzusmomentumkifejez�ese fel�uleti integr�alk�ent:P i = 1 Z �bi0l�xl dV = 1 Z �bi0��x� dV = 1 I bi0�df�37

Page 38: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

Hasonl�oan bel�athat�o, hogyJ ik = 1 I �xibk0� � xkbi0� + �i0�k� df�� Nemrelativisztikus hat�areset:{ T ki = � 2uiukahol a n�egyessebess�eg: u� = 0; u0 = u0 = 1{ g00 = 1 + 2' 2{ R00 = 4�k 2 �ahol R00 � R00 = ��l00�xl � ��l0l�x0 + �l00�mlm � �m0l�l0m � ���00�x�(az id}o szerinti deriv�altak elhanyagolhat�oak a t�erkoordin�at�ak szerinti de-riv�altakhoz k�epest, 1 �:::�t � �:::�x� , valamint k�et � szorzata m�asodrendbenki siny) ��00 = 12g�j �2�gj0�x0 � �g00�xj � � 12 �g00�x�Ezzel R00 � 12 �2g00�x� 2{ V�eg�ul a t�eregyenlet 0,0 komponense:12 �2g00�x� 2 = 4�k 2 �azaz 4' = 4�k�38

Page 39: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ �Ivelemn�egyzet (levezet�es k�es}obb):ds2 = �1 + 2 2'(r)� 2dt2 ��1� 2 2'(r)��dx2 + dy2 + dz2�Itt '(r) = �kXa majr � raj{ Energia{ Impulzus{ T�omegk�oz�eppont{ Impulzusmomentum

39

Page 40: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

7 El}oad�as7.1 Ism�etl�es� P i = 1 Z (�g) �T i0 + ti0� dVaz anyag �es a gravit�a i�os t�er megmarad�o \n�egyesimpulzusa". tik a gravit�a i�ost�er energia-impulzus pszeudotenzora (lok�alisan geodetikus rendszerben elt}unik).� J ik = 1 Z �xi �T k0 + tk0�� xk �T i0 + ti0�� (�g)dVaz anyag �es a gravit�a i�os t�er megmarad�o \n�egyes impulzusmomentuma". (J i0megmarad�asa fejezi ki a t�omegk�oz�eppont egyenesvonal�u egyenletes mozg�as�at).� Nemrelativisztikus hat�aresetben a newtoni gravit�a i�o k�epleteit kapjuk vissza.7.2 Gravit�al�o testek er}otere. G�ombszimmetrikus gravit�a i�os t�er. S hwarzs hild met-rika.� G�ombszimmetria: a t�erid}o-metrika a k�oz�eppontt�ol egyenl}o t�avols�agokban lev}opontokban azonos. Az ��velemn�egyzet leg�altal�anosabb g�ombszimmetrikus kife-jez�ese ds2 = h(r; t)dr2 + k(r; t)(sin2�d'2 + d�2) + l(r; t)dt2 + a(r; t)drdtAz r = f1(r0; t0); t = f2(r0; t0) alak�u transzform�a i�ok meg}orzik a g�ombszim-metri�at. El�erhet}o, hogy a(r; t) = 0 �es k(r; t) = �r2 legyen. �Igy az �altal�anoss�agotnem sorb��tva ��rhatjuk, hogyds2 = e� 2dt2 � r2(d�2 + sin2�d'2)� e�dr2� x0 = t; x1 = r; x2 = �; x3 = ' v�alaszt�assal a metrikus tenzor null�at�olk�ul�onb�oz}o komponenseig00 = e� ; g11 = �e�; g22 = �r2; g33 = �r2 sin2�40

Page 41: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

ill. g00 = e��; g11 = �e��; g22 = �r�2; g33 = �r�2 sin�2�� A null�at�ol k�ul�onb�oz}o Christo�el-szimb�olumok:�111 = �02 ; �010 = �001 = � 02 ; �233 = � sin� os��011 = _�2e��� ; �122 = �re��; �100 = � 02 e����212 = �221 = �313 = �331 = 1r ; �323 = �332 = oth�; �000 = _�2�110 = �101 = _�2 ; �133 = �r sin2�e��(Itt � 0 = ��=�r �es _� = ��=�t)� Ebb}ol az Einstein-egyenletek:�e���� 0r + 1r2�+ 1r2 = 8�k 4 T 11�12e���� 00 + � 022 + � 0 � �0r � � 0�02 �+ 12e�� ��+ _�22 � _� _�2 ! = 8�k 4 T 22 = 8�k 4 T 33�e��� 1r2 � �0r �+ 1r2 = 8�k 4 T 00�e�� _�r = 8�k 4 T 10

41

Page 42: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Anyagmentes esetben (az er}oteret l�etrehoz�o t�omegen k��v�ul) sak h�arom f�ugget-len egyenlet van: e���� 0r + 1r2�� 1r2 = 0e����0r � 1r2�+ 1r2 = 0_� = 0� A v�akuumbeli egyenletek megold�asa:{ � nem f�ugg az id}ot}ol{ � + � = F (t), ahol F (t) null�av�a tehet}o az id}o alkalmas t = f(t0) alak�utranszform�a i�oj�aval{ e�� = e� = 1 + onst:r{ Nagy t�avols�agok eset�en g00 = 1 + 2' 2 = 1� 2kM 2r , ez�ert onst: = �rg = �2kM 2� S hwarzs hild-metrika (K.S hwarzs hild, 1916):ds2 = �1� rgr � 2dt2 � r2(d�2 + sin2�d'2)� dr21� rgr(t�erbeli metrika, ker�ulet, sug�ar, id}otartamok)Nagy t�avols�agban �erv�enyes k�ozel��t}o alak:ds2 = ds20 � 2kM 2r �dr2 + 2dt2�42

Page 43: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� e�� = 1� 8�k 4r Z a0 T 00 r2dr = 1� 2kM 2r! M = 4� 2 Z a0 T 00 r2dr(gravit�a i�os t�omeghi�any)7.3 Mozg�as g�ombszimmetrikus gravit�a i�os t�erben. Perih�elium-elfordul�as, f�enysug�ar-elg�orb�ul�es.� Hamilton-Ja obi-egyenlet: gik �S�xi �S�xk �m2 2 = 0m az er}ot�erben mozg�o r�esze ske t�omege.� �1� rgr ��1��S �t�2 � �1� rgr ���S�r�2 � 1r2 ��S�'�2 �m2 2 = 0� A megold�ast S = �E0t+ J'+ Sr(r)alakban keress�uk (E0 �es J �alland�o). Kapjuk:Sr(r) = Z �E20 2 �1� rgr ��2 ��m2 2 + J2r2��1� rgr ��1�1=2 dr� Az r = r(t) f�ugg�est az �S=�E0 = onst: egyenletb}ol kapjuk: t = E0m 2 Z dr�1� rgr � h� E0m 2�2 � �1 + J2m2 2r2� �1� rgr �i1=243

Page 44: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� A p�aly�at a �S=�J = onst: egyenletb}ol kapjuk:' = E0m 2 Z J drr2 hE20 2 � �m2 2 + J2r2 � �1� rgr �i1=2(elliptikus integr�alra vezet)� rg=r szerint sorbafejtve kapjuk a perih�elium-elfordul�ast:Æ' = 6�k2m2M2 2J2 = 6�kM 2a(1� e2)a az ellipszis nagytengelye, e az ex entri it�asa.� F�enysug�ar terjed�ese: m = 0 (eikon�al-egyenlet)' = Z J drr2 h 1�2 � 1r2 �1� rgr �i1=2Itt � = J!0 a sz�or�asi param�eter.� Gravit�a i�os t�erben teh�at a f�enysug�ar elg�orb�ul. rg=r szerint sorbafejtve kapjuka f�enysug�ar ir�any�anak megv�altoz�as�at:Æ' = 2rg� = 4kM 2�7.4 Gravit�a i�os kollapszus.� A S hwarzs hild-metrika szingularit�asa nem jelenti a t�erid}o szingularit�as�at (g =�r4 sin2� pl. nem szingul�aris ), sak azt, hogy r < rg eset�en az r; �; ' merevkoordin�atarendszer val�odi testekkel nem val�os��that�o meg.� Koordin�atatranszform�a i�o: � = � t� Z f(r)dr1� rgr ; R = t+ Z dr�1� rgr � f(r)44

Page 45: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Az �uj koordin�at�akban az ��velemn�egyzet:ds2 = 1� rgr1� f 2 � 2d� 2 � f 2dR2�� r2(d�2 + sin2�d'2)f(r) = prg=r v�alaszt�assal a szingularit�as elt}unik �es szinkroniz�alt koordin�atarendszerhezjutunk: R � � = Z (1� f 2)dr�1� rgr � f = 23 r3=2r1=2gr = �32(R� �)�2=3 r1=3gds2 = 2d� 2 � dR2h 32rg (R� �)i2=3 � �32(R� �)�4=3 r2=3g (d�2 + sin2�d'2)� S hwarzs hild-g�omb: 32rg (R� �) = rg

45

Page 46: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

8 El}oad�asAz �altal�anos relativit�aselm�elet k��s�erleti bizony��t�ekai I. F�enyelhajl�as gravit�a i�os t�erben,len s�ez�es. Perih�elium-elfordul�as. Gravit�a i�os v�or�oseltol�od�as.

46

Page 47: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

9 El}oad�as� Gravit�a i�os len s�ek

�abra 5: A len s�ez�es sematikus rajza

47

Page 48: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

�abra 6: A 2237+0305 Einstein Kereszt (Geraint Lewis and Mi hael Irwin, William Hershel Teles ope.)

48

Page 49: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

�abra 7: Len s�ez�es okozta keresztek az A2219-ben.9.1 Az �altal�anos relativit�aselm�elet k��s�erleti bizony��t�ekai II. Gravit�a i�os hull�amok: kett}osrendszerek gravit�a i�os sug�arz�asa.� Gyenge gravit�a i�os hull�amok{ metrika: gik = g(0)ik + hik(jhikw � 1) gik = g(0)ik � hikg = g(0)49

Page 50: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ in�nitezim�alis koordin�atatranszform�a i�o hat�asa:h0ik = hik � ��i�xk � ��k�xi{ m�ert�ekv�alaszt�as: alkalmas koordin�atatranszform�a i�oval el�erhet}o, hogy� ki�xk ki = hki � 12hÆki(h = hii)� Gravit�a i�os hull�amok kisug�arz�asa{

50

Page 51: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� A Hulse-Taylor kett}ospulz�ar

51

Page 52: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

10 El}oad�as10.1 Relativisztikus kozmol�ogia I. Homog�en �es izotrop t�er. Friedmann-Robertson-Walker metrika. Z�art, ny��lt, s��k modell.� A kozmol�ogiai �alland�o bevezet�es�enek lehet}os�ege:Sg = � 316�k Z (R + 2�)p�gdRik � 12Rgik = 8�k 4 Tik +�gik� Homog�en �es izotrop t�er: v�alaszthat�o olyan vil�agid}o, amely adott pillanat�aban at�er metrik�aja minden pontban �es minden ir�anyban ugyanaz.dl2 = ��dx�dx�� H�aromdimenzi�os g�orb�uleti tenzor �es invari�ansai homog�en, izotrop t�erben:P�� Æ = � ( � �Æ � �Æ � )P�� = P � � = 2� ��P = P �� = 6�A g�orb�uleti tulajdons�agokat az egyetlen, t�erben �alland�o � param�eter jellemzi.� > 0: �alland�o pozit��v g�orb�ulet}u t�er� < 0: �alland�o negat��v g�orb�ulet}u t�er� = 0: euklideszi t�er52

Page 53: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� �Alland�o pozit��v g�orb�ulet}u homog�en, izotrop t�er metrik�aj�anak megkonstru�al�asa:{ Fikt��v negyedik dimenzi�o (ez nem az id}o!) bevezet�es�evel a h�aromdimenzi�osg�orb�ult teret euklideszi n�egydimenzi�os t�erbeli g�ombfelsz��nnel azonos��tjuk:x21 + x22 + x23 + x24 = a2{ A fel�uleten lev}o ��velemn�egyzet kifejez�ese:dl2 = dx21 + dx22 + dx23 + dx24 = dx21 + dx22 + dx23 + (x1dx1 + x2dx2 + x3dx3)2a2 � x21 � x22 � x23� a �es � kap solata:{ Mivel az orig�o k�ozel�eben �� = Æ�� + x�x�a2 ;az orig�oban a Christo�el-szimb�olumok elt}unnek, ��gy{ P�� Æ = 12 � �2 �Æ�x��x + �2 � �x��xÆ � �2 � �x��xÆ � �2 �Æ�x��x �amib}ol{ � = P6 = 1a2� Az ��velemn�egyzet g�ombi koordin�at�akban:dl2 = dr21� r2a2 + r2 �sin2 �d'2 + d�2�53

Page 54: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Val�odi t�avols�agok �es t�ergeometria pozit��v g�orb�ulet}u t�erben:{ k�or ker�ulete: K = 2�r{ k�or sugara: R = Z r0 drq1� r2a2 = a ar sin�ra�{ ker�ulet �es sug�ar ar�anya: KR = 2� � ra�ar sin � ra� < 2�(x > sinx! ar sinx > x)� Az ��velemn�egyzet n�egydimenzi�os g�ombi koordin�at�akban (r = a sin�):dl2 = a2 �d�2 + sin2 � �sin2 �d'2 + d�2��� Pozit��v g�orb�ulet}u t�er t�erfogata (=n�egydimenzi�os g�omb felsz��ne):V = Z 2�0 Z �0 Z �0 a3 sin2 � sin �d�d�d' = 2�2a3� A pozit��v g�orb�ulet}u t�er z�art, benne az �osszt�olt�es, a teljes megmarad�o n�egyesimpulzus�es n�egyes impulzusmomentum is nulla. (A fel�uleti integr�alok ui. mindk�et olda-lon v�eges t�erfogatot hat�arol�o fel�uletekre vonatkoznak, a k�et t�err�esz j�arul�eka afel�uletelem k�et ellent�etes ir�any��t�as�anak megfelel}oen sak el}ojelben k�ul�onb�ozik.)� �Alland�o negat��v g�orb�ulet}u t�er: � ! ��, a ! i a (\k�epzetes sugar�u g�omb-felsz��n", t�enyleges geometriai be�agyaz�as h�etdimenzi�os t�erben lehets�eges)dl2 = dr21 + r2a2 + r2 �sin2 �d'2 + d�2�ill. r = ash� helyettes��t�essel:dl2 = a2 �d�2 + sh2� �sin2 �d'2 + d�2��54

Page 55: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Val�odi t�avols�agok �es t�ergeometria negat��v g�orb�ulet}u t�erben:{ k�or ker�ulete: K = 2�r{ k�or sugara: R = Z r0 drq1 + r2a2 = aar sh�ra�{ ker�ulet �es sug�ar ar�anya: KR = 2� � ra�ar sh � ra� > 2�(x < shx! ar shx < x)� Negat��v g�orb�ulet}u t�er t�erfogata v�egtelen:V = Z 10 Z �0 Z �0 a3sh2� sin �d�d�d' =1� Z�art izotrop modell (az Einstein-egyenletek megold�asa){ N�egyes ��velemn�egyzet: ds2 = 2dt2 � dl2ahol a dl2-beli a sak az id}o f�uggv�enye. Id}of�ugg�es�et az Einstein-egyenletekhat�arozz�ak meg.{ konform id}okoordin�ata bevezet�ese: dt = a d�Ezzel ds2 = a2(�) �d�2 � d�2 � sin2 � �sin2 �d'2 + d�2��{ g00 = a2 ; g11 = �a2 ; g22 = �a2 sin2 � ; g33 = �a2 sin2 � sin2 �55

Page 56: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ �000 = a0a ; �0�� = � a0a3g�� ; ��0� = �a0a �� ; �0�0 = ��00 = ��� = 0{ R00 = 3a4 �a02 � aa00�R0� = 0R�� = � 1a4 �2a2 + a02 + aa00� ��{ R = R00 + R�� = � 6a3 (a+ a00){ Tik = (p+ �)uiuk � pgikA v�alasztott vonatkoztat�asi rendszerben az anyag nyugalomban van, ez�ertT 00 = ���gy a (0,0) index}u Einstein-egyenletb}ol (R00 � 12R = 8�k 4 T 00 )8�k 4 � = 3a4 �a2 + a02�integr�alva: � = � Z daaq8�k3 4 �a2 � 1{ T i0;i = 0! �0 + 3a0a (�+ p) = 0Integr�alva: 3 ln a = � Z d�p+ � + onst:56

Page 57: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ \Porszer}u" anyag �allapotegyenlete:� = � 2 ; p = 0Ekkor �a3 = onst: = M2�2a = a0(1� os �)a0 = 2kM3� 2t = a0 (� � sin �)� � 1 eset�en a = 12a0�2 ; t = 16 a0�3a = �9a0 22 � 13 t 23� = 16�kt2{ Ultrarelativisztikus anyag (pl. sug�arz�asi t�er) �allapotegyenlete:p = �3Ekkor �a4 = onst: = 3 4a218�ka = a1 sin �t = a1 (1� os �)� � 1 eset�en a = p2a1 t� 2 = 332�kt257

Page 58: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

� Ny��lt izotrop modell� S��k modell� T�agul�as, v�or�oseltol�od�as� Relativisztikus kozmol�ogia II. Kozmol�ogiai �alland�o �es k�ovetkezm�enyei.

58

Page 59: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

11 El}oad�as� Friedmann-egyenlet:{ Z�art modell: 8�k 4 � = 3a4 �a2 + a02�{ Ny��lt modell: 8�k 4 � = 3a4 ��a2 + a02�{ S��k modell: 8�k 4 � = 3a4 �a02�{ �Osszefoglalva: 8�k 4 � = 3a4 �Ka2 + a02�vagy Ka2H2 = � 1Itt K =1, -1 vagy 0 (z�art, ny��lt ill. s��k modell eset�en),H = da=dta = a da=dta2 = a0a2a Hubble-"�alland�o", = �� �es � = 3H2 28�ka kritikus t�omegs}ur}us�eg.{ 3 ln a = � Z d��+ p(T i0;i = 0 miatt) 59

Page 60: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ d2adt2a = �4�k3 4 (�+ 3p)(A (0; 0) index}u Einstein-egyenletb}ol levonva a h�arom (�; �) index}u Einstein-egyenletet)11.1 Relativisztikus kozmol�ogia II. Kozmol�ogiai �alland�o �es k�ovetkezm�enyei. In �a i�o� A kozmol�ogiai �alland�o form�alisan olyan energia-impulzus tenzornak felel meg,ahol az energias}ur}us�eg �� = 48�k��es a nyom�as p� = � 48�k�Negat��v nyom�as!� Einstein-f�ele statikus univerzum-modell:{ Z�art, statikus (id}oben �alland�o) modell{ Kozmol�ogiai �alland�ot tartalmaz{ Kis perturb�a i�okra instabil{ �+ 3p = 0! �m � 2�� = 0! � = 24�k�{ � = 1a2� de Sitter-t�erid}o:{ A kozmol�ogiai �alland�o domin�al{ S��k t�ermetrika 60

Page 61: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ Friedmann-egyenlet: _aa =r�3 ! a = a0eHt(Most H =q�3 = onst:) Exponen i�alis t�agul�as! (In �a i�o){ Z�art modell domin�ans kozmol�ogiai �alland�oval:a =r 3� h r�3 (t� t0)!{ Ny��lt modell domin�ans kozmol�ogiai �alland�oval:a =r 3�sh r�3 (t� t0)!� Sz�ogek �es t�avols�agok a t�agul�o univerzumban� Olbers-paradoxon� R�esze skehorizont, esem�enyhorizontA t0 pillanatban a kauz�alis m�ult hat�ara:dH = a(t0) Z t00 dta(t)A t0 pillanat kauz�alis j�ov}oj�enek hat�ara (v�egtelen id}o m�ulva):r = Z 1t0 dta(t)� Horizont-probl�ema, �nomhangol�as probl�em�aja, szerkezetkialakul�as probl�em�aja� Skal�art�er mint a gravit�a i�os t�er forr�asa, in �a i�os dinamika:{ L = 12������� V (�)61

Page 62: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

{ T �� = ������� g��L� = 12 _�2 + V (�) + 12 (r�)2p = 12 _�2 � V (�)� 16 (r�)2{ ��+ 3H _��r2�+ dVd� = 0{ Az in �a i�o v�ege, �ujrameleged�es

62

Page 63: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

12 El}oad�asRelativisztikus kozmol�ogia III. Skal�art�er mint a gravit�a i�os t�er forr�asa. In �a i�o.13 El}oad�asTermodinamika gravit�a i�os t�erben. Az univerzum entr�opi�aja.Hivatkoz�asok[1℄ Landau-Lifsi : Elm�eleti �zika II. Klasszikus er}oterek (Tank�onyvkiad�o, 1976)[2℄ Hrask�o P�eter: Relativit�aselm�elet (Typotex, 2002).

63

Page 64: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

�abra 8: A kett}ospulz�ar gravit�a i�os hull�amok kisug�arz�asa r�ev�en energi�at vesz��t64

Page 65: fizweb.elte.hufizweb.elte.hu/download/Fizikus-MSc/Altalanos-relativitaselmelet/altrel_Bene... · esimpulzus: egy N p i = mu Az u oszer } id} omp konens az energia. Legkisebb as hat

�abra 9: Az 1993. �evi �zikai Nobel-d��j65


Recommended