Date post: | 07-Jul-2018 |
Category: |
Documents |
Upload: | julinho-martinez |
View: | 232 times |
Download: | 0 times |
of 71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
1/71
ESTABIL IDAD Y DETERMINACIÓN
Andres Galan/ I.C. / M.Sc.(c)
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
2/71
Identificar la estabilidad e inestabilidad de una estructura.
Determinar los grados de indeterminación de las estructuras.
OBJETIVOS
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
3/71
Estabilidad e Inestabilidad de una estructura. Determinar los grados de indeterminación estática y
cinemática de una estructura.
CONTENIDO
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
4/71
ESTABIL IDAD E INESTABIL IDAD
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
5/71
1. INESTABILIDAD
Para establecer el estado de equilibrio estático que permita a una estructura
sustentar un sistema de cargas, ésta debe poseer suficientes restricciones de
apoyo y continuidad en sus elementos. Si la estructura es incapaz de lograr la
condición de equilibrio estático se dice que es inestable.
Cuando la inestabilidad de la estructura se presenta porque ésta, como un todo,
se encuentra en movimiento debido a una mala disposición de sus apoyos se
dice que el sistema es inestab le externamente .
Cuando la estructura es incapaz de lograr la condición de equilibrio estático enalgunos de sus elementos debido a la conectividad entre ellos se dice que el
sistema es inestable internamente .
ESTABILIDAD E INESTABILIDAD
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
6/71
1. INESTABILIDAD EXTERNA
Se presenta inestabilidad externa en una estructura cuando el número de
componentes de reacción es menor que el número de ecuacionesindependientes disponibles para el equilibrio estático. Es decir, que hacen falta
restricciones o apoyos.
También se presenta este tipo de inestabilidad cuando las reacciones son
concurrentes o paralelas.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
7/71
1. INESTABILIDAD POR FALTA DE RESTRICCIONES O APOYOS
Se presenta este tipo de inestabilidad cuando el número de componentes de
reacción es menor que el número de ecuaciones independientes disponibles
para el equilibrio estático.
Número de reacciones: 2
Número de ecuaciones estática (2D): 3
Número de reacciones: 2
Número de ecuaciones estática (2D): 3
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
8/71
2. INESTABILIDAD POR REACCIONES CONCURRENTES
Cuando las líneas de acción de los elementos de reacción concurren en un
punto se tiene otro caso de inestabilidad.
Número de reacciones: 3
Número de ecuaciones estática (2D): 3
Al concurrir todas las líneas
de acción se podrían
reemplazar por una fuerza
única aplicada en el punto de
concurrencia. Es evidente queno siempre la resultante de las
cargas aplicadas pasaran por
dicho punto, lo cual implica la
existencia de un momento que
haría girar la estructura.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
9/71
3. INESTABILIDAD POR REACCIONES PARALELAS
Las líneas de acción de las reacciones son todas paralelas, la estructura es
inestable, porque las resultantes de las mismas tendrán dirección definida y no
podrá balancear ninguna fuerza que no tenga su misma línea de acción.
Número de reacciones: 3
Número de ecuaciones estática (2D): 3
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
10/71
2. INESTABILIDAD INTERNA
La inestabilidad interna se presenta cuando los elementos o miembros de una
estructura están mal dispuestos.La inestabilidad interna depende del tipo de estructura. Conviene distinguir entre
armaduras y pórticos.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
11/71
1. ARMADURAS
Una armadura o cercha es una estructura compuesta de elementos o barras
unidos en sus extremos mediante nudos articulados, exentos de fricción. Dada
esta condición todos los elementos de una armadura solo podrán transmitir fuerzas axiales.
En el caso de armaduras en un plano, en cada nudo se pueden aplicar solo dos
condiciones de equilibrio: las de sumatoria de fuerzas en x y y iguales a cero,
pues la de sumatoria de momentos nula es irrelevante, para determinar tanto las
fuerzas en las barras como en las reacciones.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
12/71
Incógnitas: 2NB + NR’Ecuaciones: NB + 2NN
Donde NB es el número de barras, NN el número de
nudos y NR’ el número de componentes de reacciónrequeridas para la estabilidad externa. Nótese que
NR’ no es necesariamente el número de reacciones
existentes, pues lo que se pretende es independizar
la inestabilidad interna de la externa.
De lo anterior de desprende que un valor adecuado para NR’ será el número de
ecuaciones disponibles para el equilibrio estático, puesto que este número es
igual al de reacciones necesarias para la estabilidad externa.
La condición NB + NR’ < 2NN es un criterio suficiente para determinar que una
estructura es inestable internamente. Sin embargo, la condición NB + NR’
2NN no es un criterio suficiente para determinar si una estructura es estable.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
13/71
NB = 13
NN = 8
NR’ = 3
EL SISTEMA ES INTERNAMENTE ESTABLE
NB + NR’ = 16
2NN = 16
16 16
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
14/71
NB = 19
NN = 10
NR’ = 3
EL SISTEMA ES INTERNAMENTE ESTABLE
NB + NR’ = 22
2NN = 20
22 20
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
15/71
NB = 13NN = 8
NR’ = 3
EL SISTEMA ES
INTERNAMENTE ESTABLE
NB = 16NN = 9
NR’ = 3
EL SISTEMA ES
INTERNAMENTE ESTABLE
NB + NR’ = 162NN = 16
16 16
NB + NR’ = 192NN = 18
19 18
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
16/71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
17/71
LA ESTRUCTURA ESINESTABLE
las armaduras o cerchas siempre
deben tener una configuración
triangular
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
18/71
2. PÓRTICOS
Los pórticos son estructuras conformadas por elementos de vigas y columnas
unidas por nudos rígidos, por consiguiente con capacidad de transmitir fuerzas
de corte y de momento.
En el caso de un pórtico plano; un elemento es capaz de soportar cortante,
fuerza axial en un plano y momento en el eje perpendicular a este.
Incógnitas: 6NB + NR’
Ecuaciones: 3NB + 3NN
Donde NB es el número de barras, NN el número de nudos y NR’ el número de
componentes de reacción requeridas para la estabilidad externa.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
19/71
Entonces el número total de incógnitas independientes en un pórtico rígido será :
(3NB + NR’).
Para el equilibrio de un nudo, este sistema debe satisfacer las tres ecuaciones
de equilibrio, Fx = 0, Fy = 0, M = 0. Si el número total de nudosrígidos es NN, entonces podrá escribirse 3N ecuaciones independientes de
equilibrio para el sistema completo.
Puede suceder que se introduzcan articulaciones u otros dispositivos de
construcción en la estructura con el fin de proveer ecuaciones adicionales de la
estática, luego NC es el número total de condiciones. Así, el número total deecuaciones de la estática disponibles para la solución será: (3NN + NC).
El criterio para la inestabilidad de un pórtico plano se establece comparando
3NB + NR’ < 3NN + NC. Al igual que en las armaduras la condición 3NB + NR’
3NN + NC no es un criterio suficiente para determinar si el pórtico es estable.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
20/71
NB = 6
NN = 6
NR’
= 3
NC = 0
EL SISTEMA ES INTERNAMENTE ESTABLE
3NB + NR’ = 21
3NN + NC = 18
21 18
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
21/71
NB = 6
NN = 6
NR’
= 3
NC = 0
3NB + NR’ = 21
3NN + NC = 18
21 18
EL SISTEMA ES INTERNAMENTE ESTABLE
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
22/71
NB = 3
NN = 4
NR’ = 3
NC = 0
3NB + NR’ = 12
3NN + NC = 12
12 12
EL SISTEMA ES INTERNAMENTE ESTABLE
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
23/71
NB = 3
NN = 4
NR’ = 3
NC = 0
3NB + NR’ = 12
3NN + NC = 12
12 12
EL SISTEMA ES INTERNAMENTE ESTABLE
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
24/71
LA ESTRUCTURA ESINESTABLE
NB = 3
NN = 4
NR’ = 3
NC = 1
3NB + NR’ = 12
3NN + NC = 13
12 13
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
25/71
3. INESTABILIDAD GEOMETRICA
Una estructura es inestable geométricamente cuando su geometría debe
cambiar en forma observable antes de estar en capacidad de sustentar las
fuerzas que la solicitan.
Este sistema puede volverse estable sólo después de ocurrir algún
desplazamiento del punto A, y por esta razón debe considerarse como
potencialmente inestable.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
26/71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
27/71
DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
28/71
DETERMINACIÓN E INDETERMINACIÓN
Una vez clasificada la estructura como estable, es conveniente estudiar su gradode indeterminación. Este estudio se puede hacer en función de fuerzas o
desplazamientos, cuando nos referimos a las fuerzas se denomina
indeterminación estática y si es a los desplazamientos, indeterminación
cinemática. En las ecuaciones dadas a continuación se manejaran la siguiente
convención:
NB: Número de barras.
NN: Número de nudos.
NR: Número de reacciones existentes.
NC: Número de condiciones en la estructura.
1. INDETERMINACIÓN ESTÁTICA
El grado de indeterminación, está dado por el exceso de incógnitas sobre el
número de ecuaciones disponibles. Es conveniente diferenciar entre el grado de
indeterminación total, externa e interna.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
29/71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
30/71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
31/71
NB = 19
NN = 10
NR = 3
NC = 0
GITOTAL = NB + NR – 2NN – NC
GITOTAL = 19 + 3 - 20 - 0
GITOTAL = 2
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
32/71
NB = 16
NN = 9
NR = 3
NC = 0
GITOTAL = NB + NR – 2NN – NC
GITOTAL = 16 + 3 -18 - 0
GITOTAL = 1
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
33/71
2. ARMADURAS EN EL ESPACIO
La demostración es similar a la de Armaduras en el plano.
Incógnitas: 2NB + NREcuaciones: 1NB + 3NN
GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 2NB + NR – (NB + 3NN)GITOTAL = NB + NR – 3NN
Cuando a la estructura se le dan unas condiciones, las cuales permiten obtener
ecuaciones, entonces el grado de indeterminación total sería:
GI TOTAL = NB + NR – 3NN – NC
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
34/71
NB = 3
NN = 4
NR = 9
NC = 0
GITOTAL = NB + NR – 3NN – NC
GITOTAL = 3 + 9 - 12 – 0
GITOTAL = 0
LA ESTRUCTURA ES ESTATICAMENTE DETERMINADA
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
35/71
NB = 72
NN = 20
NR = 12
NC = 0
GITOTAL = NB + NR – 3NN – NC
GITOTAL = 72 + 12 - 60 - 0
GITOTAL = 24
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
36/71
3. PÓRTICOS PLANOS
Los pórticos son estructuras compuestas por nodos rígidos.
Incógnitas: 6NB + NREcuaciones: 3NB + 3NN
GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 6NB + NR – (3NB + 3NN)GITOTAL = 3NB + NR – 3NN
Cuando a la estructura se le dan unas condiciones, las cuales permiten obtener
ecuaciones, entonces el grado de indeterminación total sería:
GI TOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
37/71
GITOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC
GITOTAL = 18 + 6 - 18 - 0
GITOTAL = 6
NB = 6
NN = 6
NR = 6
NC = 0
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
38/71
GITOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC
GITOTAL = 18 + 6 - 18 - 2
GITOTAL = 4
NB = 6
NN = 6
NR = 6
NC = 2
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
39/71
GITOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC
GITOTAL = 183 + 11 - 120 - 5
GITOTAL = 69
NB = 61
NN = 40
NR = 11
NC = 5
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
40/71
4. PÓRTICOS ESPACIALES
Los pórticos son estructuras compuestas por nodos rígidos.
Incógnitas: 12NB + NREcuaciones: 6NB + 6NN
GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 12NB + NR – (6NB + 6NN)GITOTAL = 6NB + NR – 6NN
Cuando a la estructura se le dan unas condiciones, las cuales permiten obtener
ecuaciones, entonces el grado de indeterminación total sería:
GI TOTAL = 6NB + NR – 6NN – NC
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
41/71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
42/71
GItotal = 6NB + NR – 6NN – NC
GItotal = 438 + 48 - 236 - 18
GItotal = 232
NB = 73
NN = 41
NR = 48
NC = 18
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
43/71
5. ENTRAMADOS O PARRILLAS
Las parrillas son estructuras que solo soportan cargas verticales. Los elementos
están conectados por medio de nodos rígidos.
Incógnitas: 6NB + NREcuaciones: 3NB + 3NN
GITOTAL = Incógnitas - EcuacionesGITOTAL = 6NB + NR – (3NB + 3NN)
GITOTAL = 3NB + NR – 3NN
Cuando a la estructura se le dan unas condiciones, las cuales permiten obtener
ecuaciones, entonces el grado de indeterminación total sería:
GI TOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
44/71
GITOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC
GITOTAL
= 30 + 9 - 27 - 0GITOTAL = 12
NB = 10
NN = 9NR = 9
NC = 0
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
45/71
GITOTAL = 3NB + NR – 3NN – NC
GITOTAL = 75 + 9 - 54 - 6
GITOTAL = 24
NB = 25
NN = 18
NR = 9
NC = 6
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
46/71
2. INDETERMINACIÓN EXTERNA
Si el número de componentes de reacción es menor que el número de
ecuaciones de condición independientes para el equilibrio de la estructura
entonces, la estructura será externamente inestable. Si el número decomponentes de reacción excede al número de ecuaciones de condición
independientes para el equilibrio de la estructura, entonces la estructura es
externamente indeterminada.
GI EXT = NR – NE – NC
Donde NE es el número de ecuaciones disponibles de la estática.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
47/71
NE= 3NR= 4
GIEXT = 4 – 3 = 1
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
48/71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
49/71
NE= 3NR= 5
NC= 1GIEXT = 5 – 3 – 1 = 1
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
50/71
NE = 3NR = 4NC = 1
GIEXT = 4 – 3 – 1 = 0
LA ESTRUCTURA ES ESTATICAMENTE DETERMINADA
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
51/71
3. INDETERMINACIÓN INTERNA
Una estructura es indeterminada internamente desde el punto de vista estático si
las acciones internas, inducidas en los miembros de la estructura por las fuerzas
aplicadas, no pueden conocerse con base en consideraciones del equilibrioestático.
El procedimiento a seguir es parecido al realizado para el calculo de la
indeterminación total pero en vez de utilizar NR se utiliza NR’.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
52/71
1. ARMADURAS
GITOTAL
= NB + NR’ – 2NN – NC
2. PORTICOS PLANOS
GI TOTAL = 3NB + NR’ – 3NN – NC
3. PORTICOS ESPACIALES
GI TOTAL = 6NB + NR’ – 6NN – NC
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
53/71
GIINT = NB + NR’ – 2NN – NC
GIINT = 5 + 3 - 8 - 0
GIINT = 0
NB = 5
NN = 4
NR’ = 3
NC = 0
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
54/71
GIINT = NB + NR’ – 2NN – NC
GIINT = 16 + 3 - 18 - 0
GIINT = 1
NB = 16
NN = 9
NR’ = 3
NC = 0
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
55/71
El grado de indeterminación interna de los pórticos tiene poca importancia
práctica y puede hacerse rápidamente por inspección. Para pórticos planos se
puede calcular con la siguiente expresión:
GI INT = 3n - NC
Donde n es el número de espacios dentro de los límites del pórtico que se hallan
completamente rodeados por elementos del mismo. Los segmentos adyacentesal terreno no se cuentan.
Las condiciones que se deben tener en cuenta para el grado de indeterminación
interna, son las que quedan en los elementos del pórtico que forman los
espacios rodeadas por ellos.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
56/71
n = 3NC = 0
GIINT = 3n - NCGIINT = 9
n = 2
NC = 0
GIINT = 3n - NCGIINT = 6
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
57/71
n = 3NC = 4
GIINT = 3n - NCGIINT = 9 – 4 = 5
C dij ó ti l l d d i d t i ió i t d l
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
58/71
Como se dijo para pórticos planos el grado de indeterminación interna de los
pórticos tiene poca importancia práctica y puede hacerse rápidamente por
inspección. Para pórticos espaciales se puede calcular con la siguiente
expresión:
GI INT = 6n - NC
Donde n es el número de espacios dentro de los límites del pórtico que se hallan
totalmente rodeados por elementos del mismo. Los espacios cerrados en plantadeben contabilizarse una vez cada uno, no importando las veces que se repitan
en la altura.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
59/71
Pórtico s con co lumnas artic uladas en la cimentac ión.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
60/71
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
61/71
Colum na artic ulada en la base.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
62/71
Colum na articulada en la base.
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
63/71
Pórtico s con co lum nas articuladas en la cim entación.
2 INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
64/71
2. INDETERMINACIÓN CINEMÁTICA
Es el número de desplazamientos desconocidos en los nudos de la estructura.
Esto nos indica que se debe tener el número mínimo de parámetros que son
necesarios definir para describir su geometría deformada. Usualmente estos
parámetros son los desplazamientos lineales y rotaciones de los nudos.
Una estructura es determinada cinemáticamente cuando los desplazamientos de
sus nudos están completamente restringidos. Una estructura es
indeterminadamente cinemáticamente cuando uno o varios de sus nudospueden desplazarse libremente al someter la estructura a la acción de las
cargas.
El grado de indeterminación total cinemático de una estructura es igual a sus
grados de libertad.
1 ARMADURAS EN EL PLANO
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
65/71
1. ARMADURAS EN EL PLANO
GITOTAL = 7
2 ARMADURAS ESPACIAL
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
66/71
2. ARMADURAS ESPACIAL
GITOTAL = 6
3 PÓRTICO PLANO
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
67/71
3. PÓRTICO PLANO
GITOTAL = 7
3 PÓRTICO ESPACIAL
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
68/71
3. PÓRTICO ESPACIAL
GITOTAL = 24
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
69/71
EJERCICIOS
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
70/71
1. ESTATICONB = 21
NN = 11
NR = 4
GITOTAL
= 21 + 4 – 11 x 2 = 3
2. CINEMATICONodos = 9 x 2 = 18
Apoyos = 0
GITOTAL = 18
8/18/2019 Estabilidad y Determinacion en vigas
71/71
1. ESTATICONB = 25
NN = 12
NR = 12
GI 25 + 12 12 3 1
2. CINEMATICONodos = 3 x 8 = 24
Apoyos = 0
GITOTAL = 24