Slide 1 1 Slide Universidad Diego Portales Facultad de Economía y Negocios Martes 30 de Marzo, 2010 ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 2 2 Slide Capítulo 3 Estadística Descriptiva: Métodos Numéricos n Medidas de Localización n Medidas de Variabilidad n Medidas de localización Relativa y Detección de Outliers n Análisis de Datos Exploratorio n Medidas de Asociación entre dos Variables n La Media Ponderada y Datos Agrupados x ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ Slide 3 3 Slide Medidas de Localización n Media n Mediana n Moda n Percentiles n Cuartiles ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________ ___________________________________
n Medidas de localización Relativa y Detección de Outliers
n Análisis de Datos Exploratorio
n Medidas de Asociación entre dos Variables
n La Media Ponderada y Datos Agrupados
x
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___________________________________
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3Slide
Medidas de Localización
n Media
n Mediana
n Moda
n Percentiles
n Cuartiles
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4Slide
Ejemplo: Renta de Apartamentos
Se presenta una muestra de valores de arriendo mensual ($) para departamentos de un ambiente. La muestra es de tamaño 70 en una ciudad particular. Los datos son presentados en orden ascendiente.
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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___________________________________
___________________________________
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5Slide
Media
n La media de un conjunto de datos es el promedio de todos los valores de los datos.
n Si los datos son muestrales, denotamos a la media mediante
n Si los datos provienen de la población, denotamos a la media por m (mu).
xx
ni
x
Ni
x
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Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Media
xx
ni
34 356
70490 80
,.
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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Mediana
n La mediana es la medida de localización más frecuentemente usada para ingresos anuales y todo tipo de datos de valores de propiedad.
n Si existen algunos datos extremadamente grandes de ingreso o valores de propiedad, esto puede inflar a la mediana.
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8Slide
Mediana
n La mediana de un conjunto de datos es el valor que se encuentra justo en el medio cuando los datos se ordenan en orden ascendente.
n Para un número impar de observaciones, la mediana es también el valor de en medio.
n Para un número par de observaciones, la mediana es el promedio de los dos valores centrales.
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9Slide
Ejemplo: Renta de apartamentos
n Mediana, ¿Dónde se encontrará? ¡ En i !
Mediana = 50th percentil
i = (p/100)n = (50/100)70 = 35.5Promediando el valor 35vo y 36vo tenemos (n par) :
Mediana = (475 + 475)/2 = 475
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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10Slide
Moda
n La moda de un conjunto de datos es el valor que ocurre con mayor frecuencia.
n La mayor frecuencia puede ocurrir en dos o más valores diferentes
n Si el conjunto de datos tiene exactamente dos modas, los datos se denominan bimodales.
n Si el conjunto de datos tiene más de dos modas, los datos se denominan multimodales.
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11Slide
Ejemplo: Renta de apartamentos
n Moda
450 es el valor que más se repite (7 veces)
Moda = 450
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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12Slide
Percentiles
n Un percentil provee información acerca de cómo se encuentran esparcidos los datos sobre un intervalo, desde el valor más pequeño hasta el más grande.
n Los puntajes de admisión a los colegios y universidades, por ejemplo, son comúnmente expresados en términos de percentiles.
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13Slide
n El pth percentil de un conjunto de datos es un valor tal que al menos un porcentaje p de los elementos toman dicho valor o menos, y al menos un porcentaje (100 - p) de los datos toman dicho valor o más.
• Primero hay que ordenar los datos de manera ascendente.
• Después computar el índice i, la posición del p-ésimopercentil.
i = (p/100)n
• Si i no es entero, redondear. El percentil p-ésimo es el valor que se encuentra en la i-ésimo posición.
• Si i es un entero, el percentil p-ésimo es el promedio de los valores en las posiciones i-ésima y (i+1) -ésima.
Percentiles
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14Slide
Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Encontremos el percentil 90vo
i = (p/100)n = (90/100)70 = 63
Promediando los valores 63vo y 64vo:
90vo Percentil = (580 + 590)/2 = 585
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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15Slide
Ejemplo: Renta de Apartamentos
¡Ahora es su turno! Calcule (Por ½ Puntos en Control)
a) 10 percentil
b) 30 Percentil
c) 50 Percentil
d) 60 Percentil
e) 80 Percentil
Recuerde, i = (p/100)n
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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16Slide
Cuartiles
n Los Cuartiles son únicamente percentiles con valores específicos
n Primer Cuartil = 25th Percentil
n Segundo Cuartil = 50th Percentil = Mediana
n Tercer Cuartil = 75th Percentil
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17Slide
Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Tercer Cuartil
Tercer Cuartil = 75th percentil
i = (p/100)n = (75/100)70 = 52.5 = 53
Tercer Cuartil = 525
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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18Slide
Ejemplo: Renta de Apartamentos
¡Ahora es su turno! Calcule
a) Primer Cuartil
b) Segundo Cuartil
Recuerde, i = (p/100)n
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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19Slide
Medidas de Variabilidad
n Muchas veces es deseable considerar medidas de variabilidad o de dispersión, así como medidas de localización.
n Por ejemplo, al escoger un proveedor A o un proveedor B, podríamos querer considerar no solo el promedio de tiempos de entrega de insumos que tiene cada uno, sino cuanto varían, en promedio, sus entregas de insumos.
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20Slide
Medidas de Variabilidad
n Rango
n Rango Intercuartil
n Varianza
n Desviación Estándar
n Coeficiente de Variación
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21Slide
Rango
n El rango de un conjunto de datos es la diferencia entre el valor más grande y el valor más chico.
n Es la medida más simple de variabilidad.
n Es muy sensible en relación a los valores muy grandes, o muy pequeños, de los datos.
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22Slide
Ejemplo: Renta de apartamentos
n Rango
Rango = Mayor Valor – Menor Valor
Rango = 615 - 425 = 190
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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23Slide
Rango Intercuartil
n El Rango Intercuartil de un conjunto de datos es la diferencia entre el tercer y el primer cuartil.
n Es el rango para el 50% de los datos centrales.
n Ventaja: supera la sensibilidad en relación a valores extremos.
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24Slide
Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Rango Intercuartil
3er Cuartil (Q3) = 525
1er Cuartil (Q1) = 445
Rango Intercuartil = Q3 - Q1 = 525 - 445 = 80
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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Varianza
n La varianza es una medida de variación que utiliza toda la información proveniente de los datos.
n Se encuentra basada en la diferencia entre el valor de cada observación (xi) y media (x en una muestra, para la población).
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26Slide
Varianza
n La varianza es el promedio de las diferencias cuadradas entre cada valor de los datos y su media.
n Si los datos son muestrales, denotamos a la varianza mediante s2.
n Si los datos son poblacionales , denotamos a la varianza mediante 2.
sxi x
n
22
1
( )
2
2
( )x
Ni
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27Slide
Desviación Estándar
n La desviación estándar de un conjunto de datos es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
n Se mide en las mismas unidades que los datos, lo que la hace más intuitiva y fácil de interpretar, que la varianza.
n Si los datos son muestrales, la desviación estándar se denota mediante s.
n Si los datos son poblacionales, la desviación estándar se denota mediante (sigma).
s s 2
2
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28Slide
Coeficiente de Variación
n El coeficiente de variación indica que tan grande es la desviación estándar con relación a la media.
n Si los datos son muestrales, el coeficiente de variación se computa de la siguiente forma:
n Si los datos son poblacionales, el coeficiente de variación se computa de la siguiente forma :
s
x( )100
( )100
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29Slide
Ejemplo: Renta de apartamentos
n Varianza
n Desviación Estándar
n Coeficiente de Variación
sxi x
n
22
12 996 16
( ), .
s s 2 2996 47 54 74. .
s
x 100
54 74
490 80100 1115
.
..
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30Slide
¡Su Turno!: Datos de Coeficiente Intelectual
n Varianza
n Desviación Estándar
n Coeficiente de Variación
1
2)(2
n
xix
s
2ss
100x
s
114 99 131 124 117
102 106 127 119 115
98 104 144 151 132
106 125 122 118 118
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___________________________________
___________________________________
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___________________________________
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31Slide
¡Su Turno!: Datos de Coeficiente Intelectual
n Varianza
n Desviación Estándar
n Coeficiente de Variación
1
2)(2
n
xix
s
2ss
100x
s
78 99 122 118
102 106 112 119
98 109 144 151
103 124 122 162
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___________________________________
___________________________________
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32Slide
Medidas de Localización Relativa y Detección de Outliers
n Valores z
n Teorema de Chebyshev
n Regla Empírica
n Detección de Outliers
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33Slide
Valores z
n Los Valores z son llamados a veces valores estandarizados.
n Es un número que denotan a cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor xi de la media.
n Si el valor del dato es Menor que la media muestral, tendrá un Valor z Menor a cero (Negativo).
n Si el valor del dato es Mayor que la media muestral, tendrá un Valor z Mayor a cero (Positivo).
n Un valor igual a la media tendrá un Valor z de cero.
zx x
si
i
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___________________________________
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Slide 34
34Slide
n Valores z para el valor más pequeño (425)
Valores z para todos los datos de nuestro ejemplo:
¡Su Turno! Calcule los Valores Z para los valores marcados con Rojo de nuestro ejemplo
Respuesta (-0.93, -0.01, 1.99, -0.56, -0.20)
s
xxz i
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36Slide
Teorema de Chebyshev
Dice que por lo menos (1 - 1/k2) de los elementos en cualquier conjunto de datos se encontrará a k desviaciones estándar de la media. Aquí, k es cualquier valor mayor a 1.
• Por lo menos el 75% de los elementos se encontrarán alrededor de k = 2 desviaciones estándar de la media.
• Por lo menos el 89% de los elementos se encontrarán alrededor de k = 3 desviaciones estándar de la media.
• Por lo menos el 94% de los elementos se encontrarán alrededor de k = 4 desviaciones estándar de la media.
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Slide 37
37Slide
Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Teorema de Chebyshev
Sea k = 1.5 con = 490.80 y s = 54.74
Por lo menos (1 - 1/(1.5)2) = 1 - 0.44 = 0.56 o 56%
de los valores de arriendo deben estar alrededor de
- k(s) = 490.80 - 1.5(54.74) = 409
y
+ k(s) = 490.80 + 1.5(54.74) = 573x
x
x
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
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38Slide
n Teorema de Chebyshev (continúa…)
En realidad, el 86% (los primeros 60 valores con n=70) de los valores de arriendo están entre 409 y 573.
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
Ejemplo: Renta de Apartamentos
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Regla Empírica
Para datos con distribuciones en forma de campana:
• Aproximadamente el 68% de los datos están alrededor de una desviación estándar de la media.
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Regla Empírica
Para datos con distribuciones en forma de campana :
• Aproximadamente el 95% de los datos están alrededor de dos desviaciones estándar de la media.
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Regla Empírica
Para datos con distribuciones en forma de campana:
• Casi todos (99.7%) de los datos están alrededor de tres desviaciones estándar de la media.
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Ejemplo: Renta de apartamentos
n Regla Empírica
Intervalo % en Intervalo
Alrededor +/- 1s 436.06 a 545.54 48/70 = 69%
Alrededor +/- 2s381.32 a 600.28 68/70 = 97%
Alrededor +/- 3s326.58 a 655.02 70/70 = 100%
425 430 430 435 435 435 435 435 440 440
440 440 440 445 445 445 445 445 450 450
450 450 450 450 450 460 460 460 465 465
465 470 470 472 475 475 475 480 480 480
480 485 490 490 490 500 500 500 500 510
510 515 525 525 525 535 549 550 570 570
575 575 580 590 600 600 600 600 615 615
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Detectando Outliers
n Un outlier es un valor inusualmente pequeño o grande en un grupo de datos.
n Un dato con un valor z menor a -3 o mayor que +3 puede ser considerado un outlier.
n Puede tratarse de un dato que ha sido incorrectamente capturado, escrito o digitalizado.
n Puede ser un dato perteneciente a otro grupo de datos, y erróneamente incluido en el conjunto de datos en el que estamos trabajando.
n O puede ser un dato correcto que sí, efectivamente, corresponde a nuestro conjunto de datos de interés!
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Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Detectando Outliers
Los valores z más extremos son -1.20 y 2.27.
Usando la regla de |z| > 3 como criterio para la detección de outliers, no tenemos outliers en nuestro conjunto de datos
n La covarianza es una medida de la asociación lineal entre dos variables.
n Valores positivos de la covarianza indican una relación positiva entre las variables.
n Valores negativos de la covarianza indican una relación negativa entre las variables.
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n Si los datos son muestrales, denotamos covarianza mediante sxy.
n Si los datos son poblacionales, denotamos covarianza mediante .
Covarianza
sx x y y
nxy
i i
( )( )
1
xyi x i yx y
N
( )( )
xy
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Coeficiente de Correlación
n El coeficiente puede tomar valores entre -1 y +1.
n Valores cerca de -1 indican una fuerte asociación lineal negativa.
n Valores cerca de +1 indican una fuerte asociación lineal positiva.
n Si los datos son muestrales, denotamos al coeficiente mediante rxy.
n Si los datos son muestrales, denotamos al coeficiente mediante .
rs
s sxy
xy
x y
xy
xy
x y
xy
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Ejemplos de Correlación
¡Sinusoide!
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La media ponderada y cómo trabajar con datos agrupados
n Media Ponderada
n Media para datos agrupados
n Varianza para datos agrupados
n Desviación Estándar para datos agrupados
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Media Ponderada
n Una Media Ponderada es cuando la media es calculada asignando a cada dato un peso específico que refleja su importancia dentro del grupo.
n El cálculo de una promedio de grados (GPA en USA), es un ejemplo del cálculo de una media ponderado. En ese caso, los pesos asignados son los números de horas-crédito ganados para cada nota.
n Cuando los datos varían en importancia, el analista debe escoger el peso que mejor refleje la importancia de cada valor.
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Media Ponderada
x = wi xi
wi
Donde:
xi = Valor de la observación i
wi = Peso para la observación i
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Datos Agrupados
n El cálculo de Media Ponderada puede ser usado para obtener aproximaciones para la media, la varianza y la desviación estándar de datos agrupados.
n Para calcular la media ponderada, tratamos al punto medio de cada clase como si fuera la media de todos los elementos de dicha clase.
n Calculamos una media ponderada de los puntos medios de clase usando las frecuencias de clase como pesos.
n Similarmente, al calcular la varianza y la desviación estándar, las frecuencias de clase son usadas como pesos.
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n Datos Muestrales
n Datos Poblacionales
Donde:
fi = Frecuencia de la clase i
Mi = Punto medio de la clase i
Media para Datos Agrupados
i
ii
f
Mfx
N
Mf ii
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Ejemplo: Renta de Apartamentos
Abajo se muestran los mismos datos de rentas mensuales pero se presentan como datos agrupados en la forma de una distribución de frecuencias.
Renta ($) Frecuencia
420-439 8
440-459 17
460-479 12
480-499 8
500-519 7
520-539 4
540-559 2
560-579 4
580-599 2
600-619 6
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Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Media para Datos Agrupados
Esta aproximación difiere $2.41 de la Media Real de $490.80
Renta ($) f i M i f iM i
420-439 8 429.5 3436.0
440-459 17 449.5 7641.5
460-479 12 469.5 5634.0
480-499 8 489.5 3916.0
500-519 7 509.5 3566.5
520-539 4 529.5 2118.0
540-559 2 549.5 1099.0
560-579 4 569.5 2278.0
580-599 2 589.5 1179.0
600-619 6 609.5 3657.0
Total 70 34525.0
x 34 525
70493 21
,.
i
ii
f
Mfx
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Varianza para Datos Agrupados
n Datos Muestrales
n Datos Poblacionales
sf M x
ni i2
2
1
( )
2
2
f M
Ni i( )
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Ejemplo: Renta de Apartamentos
n Varianza para Datos Agrupados
n Desviación Estándar para Datos Agrupados
Esta aproximación difiere solo $0.20
de la desviación estándar efectiva de $54.74 que encontramos anteriormente
![109 w] ^ 0 [ ï}Ú}²Vóÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ ÿ - Nagasaki...n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n](https://static.documents.pub/doc/80x56/5f36fb8f1f26d128d06b20dc/109-w-0-v-nagasaki-n-n-n-n-n-n-n-n-n.jpg)
