1
Esteban Hernández Esteve Universidad Autónoma de MadridChairman of the Board of Trustees
of The Academy of Accounting Historians
* * *
Uberlândia, 19-20 de noviembre de 2009
EL PENSAMIENTO MATEMÁTICO PACIOLIANO, CULMINADO EN LA OBRA DE DIVINA PROPORTIONE, Y EL
DESARROLLO DE LA ENSEÑANZA COMERCIAL
2
LA M DISEÑADA POR LUCA PACIOLI Y PUBLICADA EN DE DIVINA PROPORTIONE ES HOY EL LOGO DEL
METROPOLITAN MUSEUM DE NUEVA YORK
3
EN MATEMÁTICAS Y EN LAS ARTES SE DICE QUE DOS CANTIDADES ESTÁN EN PROPORCIÓN ÁUREA SI LA SUMA DE LAS DOS CANTIDADES ES A LA MAYOR COMO LA MAYOR ES A LA MENOR
LA EXPRESIÓN ALGEBRAICA ES: AC + CB : AC = AC : CBY LA GEOMÉTRICA:
LA SECCIÓN ÁUREA, EL NÚMERO ÁUREO O LA PROPORCIÓN ÁUREA, COMO SE PUEDE LLAMAR INDISTINTAMENTE, ES UN NÚMERO IRRACIONAL, DE UN VALOR APROXIMADO DE 1,6180
LUCA PACIOLI FUE EL PRIMERO EN LLAMARLA DIVINA PROPORCIÓN
MATEMÁTICAMENTE SE DESIGNA CON LA LETRA GRIEGA PHI, USUALMENTE EN MINÚSCULAS (φ), EN MEMORIA DE PHIDIAS
DE ESTE MODO, SE DICE QUE DOS CANTIDADES ESTÁN ENPROPORCIÓN ÁUREA O φ SI:
4
ESTA ECUACIÓN DEFINE φ CON PRECISIÓN. EL TÉRMINO IZQUIERDO MUESTRA QUE a ES MAYOR QUE b, MIENTRAS EL DERECHO NOS INDICA QUE a = bφ, POR LO QUE SUSTITUYENDO a POR SU VALOR EN LA ECUACIÓN TENDREMOS:
MULTIPLICANDO AMBOS LADOS POR φ Y DESPEJANDO, TENDREMOS:
LA SOLUCIÓN A ESTA ECUACIÓN ES:
ALGÚN AUTOR TAMBIÉN LLAMA φ A LA SECCIÓN ÁUREA INVERSA, O SEA, A LA SOLUCIÓN NEGATIVA DE LA ECUACIÓN, TOMADA EN SU VALOR ABSOLUTO: 0,6180… = SEGMENTO CB
LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES PROPORCIONAN LA PRIMERA DEFINICIÓN CONOCIDA DE LA SECCIÓN ÁUREA: “SE DICE QUE UNA RECTA HA SIDO CORTADA EN EXTREMA Y MEDIA RAZÓN CUANDO LA RECTA ENTERA ES AL SEGMENTO MAYOR COMO EL SEGMENTO MAYOR ES AL SEGMENTO MENOR”
DIVIDIENDO LOS TÉRMINOS POR b DARÁ
5ALGUNAS FIGURAS TRAZADAS DE ACUERDO CON LA SECCIÓN ÁUREA
6
LA DISTANCIA ENTRE COLUMNAS Y LA LONGITUD DE LA NAVE, DEL CRUCERO Y DEL CORO SON MÚLTIPLOS DE LA SECCIÓN ÁUREA
LA CATEDRAL DE CHARTRES
7NOTRE DAME DE PARÍS
8PÁGINAS DEL MANUSCRITO AMBROSIANO DE DE DIVINA ROPORTIONE EN LAS QUE PACIOLI EXPLICA LAS RAZONES DEL NOMBRE
9
EL COCIENTE ENTRE EL LADO DEL CUARADO Y EL RADIO DE LA CIRCUNFERENCIA DA EL NÚMERO ÁUREO
10
PRIMERA PÁGINA DEL ALGORITMI DE NUMERO INDORUM (AÑO 1130), TRADUCCIÓN EN LATÍN DE LA OBRA DE AL-KHWARIZMI (AÑO 825) HECHA EN LA ESCUELA DE TRADUCTORES DE TOLEDO
11
12
EL MONJE VIGILA, PINTADO POR ÉL MISMO, MOSTRANDO EL CODICE AL LECTOR
13FOLIO 12 vº DEL CODEX VIGILANUS (AÑO 976)
14
EL MONASTERIO DE SUSO DE SAN MILLAN DE LA COGOLLA, EN EL QUE FUE COPIADO EL CODEX VIGILANUS, TERMINÁNDOSE EL AÑO 992 CON EL NOMBRE DE CODEX EMILIANENSIS
15
UBICACIÓN DE AURILLAC, DEL MONASTERIO DE SANTA MARIA DE RIPOLL Y LA RIOJA
16
REPRODUCCIÓN DE UNA PÁGINA DEL EJEMPLAR MÁS ANTIGUO QUE HA LLEGADO A NESTROS DÍAS DEL LIBER ABACI NO ESTÁ FECHADO, PERO LA TRADICIÓN LO SITÚA HACIA LA DÉCAD DE 1290.
EL EJEMPLAR ES UNA TRADUCCIÓN INCOMPLETA EN ITALIANO ANTIGUO DEL MANUSCRITO ORIGINAL EN LATÍN, COMPUESTO EN 1202
17
COMPARACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DEL CODEX VIGILANUS Y DEL LIBER ABACI
18
GRABADO DE LA DIOSA ARITMÉTICA, CON SU VESTIDO SALPICADO DE NÚMEROS ÁRABES, PRESIDIENDO UNA COMPETICIÓN ENTRE BOECIO, EL ALGEBRISTA, Y PITAGORAS.
LA DIOSA ARITMÉTICA MUESTRA UNA CLARA PREDILECCIÓN POR BOECIO, QUE SONRÍE Y TIENE UNA CARA LLENA DE SATISFACCIÓN, MIENTRAS, PITAGORAS, POR EL CONTRARIO, MUESTRA UNA EXPRESIÓN TRISTE Y PREOCUPADA
19
ESTE NO ES EL UNICO GRABADO QUE REFLEJA LA DURA PUGNA ENTRE LOS NUMERALES INDO-ARÁBIGOS Y ROMANOS. HAY MUCHOS EN EL SIGLO XVI
20
21
22
23
24 FIGURAS SIMBÓLICAS REPRESENTANDO BIENES MATERIALES (TRIGO, REBAÑOS, MUEBLES) MESOPOTAMIA, 8.OOO A 3.500 AÑOS A.J.
25
BOLA DE ARCILLA EN LA QUE SE INTRODUCÍAN LAS FIGURILLAS REPRESENTANDO BIENES. EN LA SUPERFICIE DE LA BOLA SE MARCABAN ALGUNAS VECES LAS FIGURILLAS PARA SABER EL CONTENIDO DE LA BOLA.
26
HACIA EL AÑO 3.200 A.J. LOS MESOPOTÁMICOS SE PERCATARON DE QUE NO LES HACÍAN FALTA LAS BOLAS DE ARCILLA CON LAS FIGURILLAS DENTRO: CON LA IMPRESIÓN DE LAS FIGURILLAS EN UNA ALMOHADILLA DE ARCILLA TENÍAN SUFICIENTE. DE AHÍ AL NACIMIENTO DE LA ESCRITURA PROTO-CUNEIFORME SÓLO HUBO UN PASO
27
LA TARJA MÁS ANTIGUA QUE SE CONOCE: EL ISHANGO BONE 20.000 AÑOS A.J.
TARJAS PREHISTÓRICAS
MODERNAS TARJAS, USADAS POR LAS COOPERATIVAS QUESERAS FRANCESAS HASTA PRINCIPIOS DEL SIGLO XX
EJEMPLO DE TARJA DOBLE: UNA MITAD PARA EL DEUDOR, LA OTRA PARA EL ACRREDOR
28
GABAN VARIAS CUERDAS SECUNDARIAS, UNA PARA CADA CLASE DE CUENTA O IMPUESTO. ERA POSIBLE INCLUSO QUE UNA CUENTA TUVIERA DOS CUERDAS SECUNDARIAS: UNA PARA LAS DECENAS DE MILLAR Y OTRA PARA LOS IMPORTES MENORES. CADA CUERDA SE DIVIDÍA EN TRAMOS PARA DIFERENCIAR UNIDADES, DECENAS, CENTENARES, ETC.
HABÍA UN CUERDA PRINCIPAL DE LA QUE COL-
EJEMPLOS DE QUIPUS INCAS
29
REGISTRO DE DISTRIBUCIÓN DE CAMPOS DE CULTIVO ENTRE MÁS DE CIEN FAMILIAS, MIEMBROS DE UNA COMUNIDAD (2.600 A.J.)_________________________________
CUENTA DE LA FABRICACIÓN DE PRODUCTOS LÁCTEOS (2.600 A.J.)
CANTIDAD DE INGREDIENTES UTILIZADOS EN LA PRODUCCIÓN DE CERVEZA: CEBADA Y MALTA (3.000 A.J.)
TABLETAS DE ARCILLA DE MESOPOTAMIA
30
ESTO ES TODO LO QUE QUERÍA DECIRLES.
MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCIÓN
CUBIERTA POSTERIOR DEL MASNUCRITO AMBROSIANO
DE DIVINA PROPORTIONE
