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"ESTUDIO DE LA ESTABILIDAD ESTACIONARIA Y
EN LINEAS DE TRANSMISIÓN"
Tesis previa a la obtención delTítulo de Ing-eniero en la espe-cialización de Potencia, en laFacultad de Ingeniería Eléctricade la Escuela Politécnica Nacio-nal.
FERNANDO R. RUIZ S.
Quito, Marzo de 1980
Certifico que el presente trabajode tesis ha sido realizado e/i sutotalidad por .s/l r. Fe jMÍ n d o R u i z
"6/I/G. ALFREDO MENA P/ DIRECTOR DE TESIS
D E 'D I C A T 'O -R- T 'A'
A MIS QU ER IDO S P A D R E S
A 'O' "R A' 'O £ C 1 'M I E N' T O
Para todas las Autoridades de la Escuela, y
los profesores del Departamento de Potencia, especial-
mente de los laboratorios; conjuntamente con el perso-
nal del DOSNI y. para un magnífico profesor como el Ing
Alfreda Mena por sus valiosas sugerencias y su ayuda
personal, y para todos los que en una u otra forma han
contribuido al mejor desarrollo del presente trabajo.
ÍNDICE GENERAL
Página
CAPITULO I.
ESTUDIO DE LA CAPACIDAD DE TRANSMISIÓN Y LA
ESTABILIDAD ESTACIONARIA
1 .1 Potencia límite de un sistema de trans-
misión 1
1.2 Efecto de la caída de voltaje y del cri-
terio de estabilidad en la cargabilidad
de la línea 15
1.3 La estabilidad estacionaria 18
1.4 Métodos para elevar la potencia de trans-
misión , 27
CAPITULO II
OBTENCIÓN DE LAS CURVAS PQTENCIA-ANGULO •
2,1 Análisis teórica de la carga estática ».. 34
Z.Z Uso del laboratorio para obtener las cur-
vas Potencia-Angulo de varios casos de
carga estática ,...,.....»*. 39
Z^3 Curva Potencia-Anguio del caso Generador-
Barra Infinita - 47
. 11
P agina
2.4 Estudio de la carga estática en el Anali-
zador de Redes , ,.... 52
CAPITULO III
LIMITACIONES DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
3.1 Generalidades 53
3.2 Tensión 59
3.3 Corriente 62
3.4 Distancia límite del suelo 64
3.5 Límite térmico en conductores 65
3.6 Cálculo de la temperatura final de equi-
librio térmico 73
CAPITULO IV
PROGRAMA DIGITAL PARA CALCULAR LA CARGABILIDAD DE
UNA LINEA DE TRANSMISIÓN MEDIANTE UN MODELO MATE-
MÁTICO
4.1 Modelo, diagrama de flujo y objetivos ... 83
4.2 Presentación del programa y resultados .. 90
4.3 Análisis de resultados y limitaciones del
programa 93
» i 1 Í
Página
CAPITULO 'V
APLICACIONES DEL P R O G R A M A DIGITAL PARA CALCULAR
LA CARGABILIDAD EN LINEAS DE TRANSMISIÓN
5.1 Generalidades 99
5.2 Resultados- de las diversas alternativas
para las líneas que forman el Sistema
Nacional Interconectado Actual 1QQ-A
5..3 Interpretación de los Resultados y Al-
cances del programa. 101
CAPITULO VI
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 103
APÉNDICE 106
BIBLIOGRAFÍA * 110
5 U >í A R- 1 'O' '
La Inestabilidad en estado estacionario es un
evento posible pero improbable en grandes Sistemas Eléctri-
cos de Potencia. Consideraciones de Estabilidad han sido
reconocidas como una parte esencial del planeamiento del
SEP durante mucho tiempo. Documentos fundamentales sobre
la materia fueron publicados en las TRANSACTIONS de la IEEE
hace cerca de 50 anos (en pocos años, los estudios de esta-
bilidad se han hecho rutina). Como el comportamiento es-
table de un gran SEP lo difícil de predecir, este trabajo
de tesis enfoca el estudio de la estabilidad estacionaria
dirigido a una parte esencial del SEP como es la línea de
transmisión. Se presentan análisis teóricos, así como el
estudio de los fenómenos en el laboratorlOj acompañados
de un programa digital que predice el comportamiento de
una lañea en lo referente a su-"Cargabilidad", para ter-
minar haciendo un análisis completo del límite térmico de
un conductor. Se pretende, pues encontrar qué parámetros
influyen en la cargabllidad de una línea de transmisión y
cuáles son sus limitaciones a medida que varían ciertos'
factores tanto del diseño mismo como eventuales.
CAPITULO ' I •
ESTUDIO DE LA CAPACIDAD DE TRANSMISIÓN Y LA
ESTABILIDAD' ESTACIONARIA' '
1.1 POTENCIA LIMITE DE UN SISTEMA DE TRANSMISIÓN
La búsqueda de la potencia límite para el caso
de voltajes en los bornes constantes se puede hacer median-
te el siguiente ejemplo: una máquina sincrónica alimenta a
través de un transformador y de una línea de transmisión de
reactancias dadas. -X , X^, y X. respectivamente, a un circuí-s T L r
to metropolitano. Se exige que el voltaje V en el lado—s
secundario del transformador, sea igual al voltaje del cir-
cuito de carga _V_R . Primeramente se hará el cálculo para
líneas cortas, es decir despreciando las capacitancias en
paralelo de la línea de transmisión. También supondremos
que las pérdidas de la línea son despreciables; es decir,
que la potencia P en el borne 2 del circuito de la Figura
2.1, es igual que la potencia Pe en el borne 1 de la máqui-
na sincrónica. La condición:
.2
(1.1)
implica que 1.a potencia reactiva Q en el borne Z no sea de
carácter aleatorio, sino que dependa más bien de la poten-
c i a d e t r a n s m i s i ó n P :
Q ( P ) (1 .2)
P+J'Q
Figura 1.1. Ejemplo para determinar la Potencia Límitebajo la condición _ V ~
Sea = u. + j u ' = ( j , X ._I2. L ( 1 . 3 )
la caída de tens ión relativa a lo l a rgo de la l ínea; e n -
tonces pa ra que se c u m p l a la cond ic ión (1) y hac i endo
V a V / O = V / 0
.3
= V
por lo que se deberá cumplir que:
(1 + uj)2 + u'2 (1.4)
Sea A u - u + i u la caída de tensión total re-— m n
lativa entre E_ y _V_R. Hagamos:
XA + XL= B (1.5)
* —2Como S9 - 3 V Iw, entonces I9 =- - - -
A h o r a , u ' =
9- i,
J XL ¿2Re<; Au' i> = Re < — ™--/= Re
q x
3V
3V
L (P-jQ)
3V
P X
Lz-J!3V
(1.6)
- , de donde
f 1 L. además u' = Im < A u ' > = *-- , en tonces^ I "J 3V 2
Q X,n B u
3V(1.7)
u1 =P X
3V.-CA3V2
Ahora, a partir de la ecuación (A) se obtiene
1 / + / ?u = 4 - - 1 - v / 1 - (B u rm B \
A partir de las ecuaciones (7) y (8) se puede
encontrar la relación buscada Q = Q(P).
Si asuminos que existe un defasamiento 5 entre
E y V, entonces se cumplirá que:
u u_ n nÓ - "T~Z~ñ ~ ~
Como u es una medida de la potencia activa, lan _ J
ecuación (1.9) establece la dependencia entre la potencia ac-
tiva de transmisión y el ángulo 6 bajo la condición de que
En la Figura 2.2 se establece el curso de u yy m 7
de u así como de la correspondiente tensión interna e = E/Vn r
en dependencia de ó , para un Valor de B - 0.35. .El valor
máximo de u y por consiguiente el de la potencia activa de
transmisión se localiza para ó - 123 .
.5
Si llamamos a al ángulo entre V y V, tendremos— b —
U.V .s e n a = — de donde u'/ , ^ = 1
1 q(max »;
y por lo tanto, de acuerdo a la ecuación (1.7) se tiene:
u , , , = 1/B, P, , Nn(max) (max)
3V 1 3V,2(1.10)
O 30 60 90 120 150 ¡80 8
Figura 1.2, Caídas de tensión activa y reactiva como medidapara las potencias reactivas y activas en depen-dencia de 6 para un sistema de transmisión se-gún la Figura 1.1 y bajo la condición:
V - i y B = 0.35
.6
Como el ángulo entre _y~ y \ en este caso ascien-
de a 90 , entonces 6 será mayor que 90 encontrándose más
allá del límite de la estabilidad estacionaria. El punto más
alto de la potencia de transmisión de estabilidad estaciona-
ria ocurre cuando 'ó - 90 , Como tg 90 = <*> , el denomina-
dor del lado derecho de la ecuación (1.9) debe ser cero. Es-
to ocurre cuando:
"zxT '(90) = , / _ £ _ - 1 = ./ 1 + * (1.11)
XL
2de donde P P(90) = - — 1 + 2 (1.12)
L
La correspondiente tensión interna es, para
= 90j igual a la caída de tensión reactiva
E(f,Q) = e(90) = u (90) (1.13)
En la Finura 1.3 están representadas P/ , % y^ (max ;
P(90) de acuerdo a un diagrama vectorial.
Cuando la máquina puede ser exitada sobre el
valor E(90) o sea cuando E, , x s E(90) entonces la poten-(max) r
cía P(90) representa la potencial límite de transmisión. Pa-
ra este caso entonces*.
.7
M , ., x(limite)= P(90) (1 .
Si por el contrario, la máquina no puede ser
excitada hasta el valor E(90) o sea cuando E/ , \" E(90),Cmax) \
entonces la máxima potencia de transmisión está limitada por
la mayor excitación y la potencia límite es en este caso:
P,, , ., x = P(E ,(limite) max (1.15)
(a)
Figura 1.3. Diagrama vectorial de la transmisión según elcircuito de la Figura 2.1 para (a) P = Py (b) P = P(9Q).
.8
La caída de tensión reactiva perteneciente a
P(E , ) se obtiene de la expresiónmax r
e2 = (1 4- u )2 + u2 (1.16)m n
para e - e, , ^ = E/ , ^/V y según la ecuación (1.8)r (max) 7 y
2 / 2e 1 / e , - 1/ N / máx / 2 maxun(emáx) =
— I
En la Figura 1*2 está registrado este valor pa-
ra una tensión E f r > <f E (90) o. de otra manera, para e/ ^ x(max) N ' K (max)
< e (90).
El valor de P(e , ) se obtiene de la ecuaciónmax
(1.7)
P(e , ) = u (e , ) ~ (1.18)max q max X
El cálculo de P(90) tomando en consideración los
elementos conectados en shunt es esencialmente complicado,
si bien el método de cálculo es el mismo. El circuito equi-^
valente de una red de transmisión sin pérdidas puede siempre
.9
ser representado como un modelo en PI compuesto de inductan-
clas y capacitancias. En general los elementos en serie son
inductivos mientras que los elementos en paralelo con capa-
citivos. En la Figura 1.4 se encuentra representado este
circuito. • i
Xs XT
VS
P + jQ P+;Q
Fig. I.4 Circuito Equivalente de Transmisión con elementos
capaci t ivos conectados en shunt.
Los dos elementos en paralelo del circuito en
PI son iguales cuando la red de transmisión entre los bor-
nes G y 2 es simétrica. Para la misma condición anterior
VR
la potencia máxima de transmisión estable
ser a :
.10
2 / XP(90) ^ ' 3V „ „ R \ (1 - XAB )2 + 2 -A (1 - X B ) (1.19)
XA + XL ~ XA XL BS V L . A b
El término óhmico B« en el borne 2 no tiene nin-
guna influencia siendo ésta más bien determinada por V.
Sin la condición (1) la máxima potencia transmi-
tióle sería
p - 3 E V (1 20")r / y v — T7 rr v V 5 ^ ' ••¿-u/Cmax) X + X - X A / X B "
La t ens ión i n t e r n a c o r r e s p o n d i e n t e a P ( 9 0 ) es
7 / Xfl W \) - V / (1 - X.B.r + 2 / 1 - X B (1 .21)
r t - J \ ] / \ I
Es fácil demostrar que las ecuaciones (1.19) y
(1.21) para Bq ~ O se convierten en las correspondientes
ecuaciones (1,12) y (1.13). El desarrollo del presente sub-
capítulo se encuentra ampliamente detallado en la referen-
cia J_/.
En la siguiente sección se hará un breve estu-
dio de la carqabilidad 'de 'la 'línea 'y de sus factores limi- -
tan tes 2/.
Como la expresión "capacidad de uns línea" tra-
dicionalmente usada es fácilmente confundida con las propie-
dades físicas de la línea (corno capacidad térmica) se usa
una expresión modificada, a saber, "cargabilidad de la lí-
nea", que describe la habilidad en el transporte de carga de
una línea de transmisión operando bajo un conjunto especifi-
cado de criterios de operación.
A continuación, en la Figura 1.5 se muestran las
curvas de la cap acidad de transferencia de potencia de la
línea de transmisión, también conocidas como curvas "St.
Clair" y publicadas por primera vez erí el año 1953,
3.0
2.0
I.S
o.a
CURVA A = CARGA N O M I N A L
CURVA B = S O B R E C A R G A
A
O I D O 200 300 400 500 60O
Longitud de la LÍ nsa en M i l l as ;
Fig. 1.5 C u r v a s St. Cíaír
De todos los factores limitantes que normalmen-
te determinan cuánta potencia puede ser llevada por una lí-
nea de transmisión particular se consideran aquí los siguien-
tes :
a) limitación térmica
b) limitación de caída de voltaje de la línea
c) limitación de estabilidad de estado estacio-
nario
La limitación térmica puede ser considerada co-
mo un problema en el diseño de la línea antes que como un
problema de operación. Es básicamente el problema de la co-
rrecta elección del conductor una vez que son conocidos los
requerimientos 'de transporte de corriente y sus condiciones
ambientales de operación. La limitación térmica es crítica
especialmente en casos de líneas de bajo voltaje (138 Kv)
y de una longitud de 50 millas o menos.
En cuanto a la segunda limitación, según estu-
dios previamente realizados en los Estados Unidos se ha de-
terminado que es razonable un límite del 5% en la caída de
voltaj e .
.13
Por otro lado, la 1imilación de estabilidad en
estado estacionario se define en términos del margen desea-
do entre la habilidad de transferir máxima potencia (Pmáx)
y el nivel de operación (Pnominal).
P , - P . ,% Margen de Estabilidad = max ^ nomina^ 1QQ (1.22)
máx
Se considera según estudios ya realizados que
un margen del 30 - 35?¿ es razonable para situaciones en las
que la línea está bastante cargada.
Según se muestra en la Figura 1.6, esto corres-
ponde a un desplazamiento angular de alrededor de 44 - 40°
a través del sistema, esto es, desde la fuente hasta la car-
ga, incluida la línea bajo estudio junto con la reactancia
equivalente de los sistemas en los bornes del transmisor y
del receptor.
.14
P. m a x
1.0 - -
MARGEN DE E S T A B I L I D A D EN
ESTADO E S T A C I O r t A R I O
O 30° 60° 9O° iaO° 160° 180°
© C U R V A P O T E N C Í A - Á N G U L O
r a f a l
6 f o f a l
90o-
O % 20% 40 % 60% 80% 100%
(b) M A R G E N DE ESTABIL IDAD EN
ESTADO E S T A C I O N A R I O .
Figura 1.6, Margen de estabilidad en estado estacionario,
.15
Conviene, antes de pasar a la siguiente sección,
-51indicar el significado del SIL
SIL (Surge Impedance Loading) se define como la
carga de factor de- potencia unitario que puede ser entrega-
2da por una línea sin resistencia tal que el valor de I X sea
igual a los Kva de carga de la línea. Bajo esta condición
los dos voltajes terminal y las corrientes serán iguales en
magnitud pero diferentes en fase. El valor numérico del SIL
se define como :
(KVL L )SIL (Mw) = — -r— (1.23)
V C
1.2 EFECTO DE LA CAÍDA DE VOLTAJE Y DEL CRITERIO
DE ESTABILIDAD EN LA CARGABILIDAD DE LA LINEA
CRITERIO DE LA CAÍDA DE VOLTAJE DE LA LINEA
La Figura 1.7 muestra el efecto del criterio de
la caída de voltaje de la línea en la cargabilidad de la lí-
nea para un nivel de 1100 Kv, Este criterio para líneas de
longitud corba o moderada sigue la ley de los retornos de
disminución. Se puede observar que a medida que la caída'
de voltaje permisible aumenta, la cargabilidad de la línea
.16
mejora rápidamente hasta un punho - en este caso 6% o mayor -
donde la cargabilidad máxima esté determinada por el crite-
rio de estabilidad. En ese punto, sin importar cuan grande
sea la caída de voltaje, la cargabilidad podrá ser mejorada
si se permite un margen menor de estabilidad. Para líneas
largas, la cargabilidad está generalmente restringida por el
margen de estabilidad antes que por la caída de voltaje.
3-5
3.0
U 00 Kv.
CAÍDA DE VOLTAGE:
O IOO £00 300 400 500 600
LONGITUD DE LA LINEA EN MILLAS
Figura 1.7. Efecto de la caída de voltaje en la cargabilidadde la línea.
.17
1.2.2 CRITERIO DE LA ESTABILIDAD EN ESTADO ESTACIO-
NARIO
La Figura 1.8 muestra el efecto de la variación
del margen de estabilidad en la cargabilldad de la línea.
La variación de la cargabilidad de la línea parece estar
relacionada de una manera lineal con el cambio en el margen
de la estabilidad; esto es, iguales decrementos en el mar-
gen de la estabilidad traen consiga iguales incrementos en
la cargabilidad de la línea. Esto sin embargo, solamente
es verdad para líneas largas, donde la estabilidad es un
factor de control, mientras que para líneas cortas, la re-
ducción en el margen de la estabilidad trae menos mejoras
a no ser que se permitan altas caídas de voltaje lo cual es
poco razonable. Consecuentemente; para líneas cortas, una
manera de mejorar la cargabilidad de la línea consiste en
escoger una aceptable combinación entre la.caída de volta-
je y la estabilidad en estado estacionario.
.18
3.0
0.5
UOOKv.
MARGEN DE ESTABILIDAD
C A Í D A ' DE VOLTAGE'= 5%
O 100 200 300 400 5OO 600
LONGITUD DE LA Ll N E A EN MI LLA3
Figura 2.8. Efecto del criterio de estabilidad en estadoestacionario sobre la cargabilidad de la línea.
1 .3 LA ESTABILIDAD ESTACIONARIA
1.3.1 INTRODUCCIÓN
El "American Institute of Electrical Engineers"
define la estabilidad y el límite de estabilidad en la for-
.19
ma siguiente — . La estabilidad usada con referencia a un
sistema de energía, es el atributo del sistema, o parte de
é 1, que le permite desarrollar en sus elementos fuerzas res-
tauradoras, iguales o mayores que las fuerzas perturbadoras,
que permitan establecer un estado de equilibrio entre los
elementos .
El límite de estabilidad es el máximo flujo posi-
ble de energía que puede pasar por un punto particular de-
terminado del sistema, cuando todo el sistema o la parte de
él a la que se refiere el límite de estabilidad, está en
régimen de estabilidad.
Los términos estabilidad y límite de estabilidad
se aplican tanto al régimen permanente cono al transitorio.
El limite de estabilidad en régimen permanente se refiere
al máximo flujo posible de energía que puede pasar por un
punto determinado sin que haya pérdida de estabilidad cuan-
do se.aumenta la energía muy gradualmente — .
1.3.2 MUDOS DE INESTABILIDAD
Se conoce que ocurren cambios discretos en las
condiciones de operación de un sistema, en operación nor-
mal o "planeada", cuando tienen lugar cambios en la gene-
.20
ración y en la carga o cuando los circuitos san modificadas
para establecer configuraciones especificadas de grupas de
circuitos. Cuando los cambios ocurren, independientemente
o en combinación no-correlacionada, a través de la operación
normal del sistema, ellos sugieren una interpretación del
estado estable como un proceso dinámico continuo. Este es
un proceso que, mientras el nivel de operación del si'stema
está en un estado de fluctuación continua, permite que se
formen fuerzas de contrabalanceo que, en operación estable,
retornan al sistema hacia su equilibrio estable cuando ocu-
rre una desviación a partir del balance. Normalmente no apa-
recen efectos adversos a partir de estos cambios continuos
pero pequeñas en el nivel de operación o a partir de los
períodos de oscilación amortiguada que los siguen, cuando
un sistema está operando bien dentro de estos límites, pe-
ro adquieren significancia cuando el nivel de carga se in-
crementa gradualmente. En realidad, en condiciones de pro-
gresivo incremento de carga, se alcanza un punto en el cual
las fuerzas restauradoras generadas por el pequeño impacto
de un cambio operacional son insuficientes para asegurar un
retorno a la operación normal de estado estable y entonces
se inicia la inestabilidad. Esta es una primera forma de
inestabilidad, provocada en el nivel más alto de la trans-
misión de potencia activa por los pequeñas momentos transí-
.21
torios de operación a los cuales está sujeto el sistema a
través de toda su operación normal.
Cortocircuitos súbitos en líneas de transmisión y
otros aspectos dentro del funcionamiento del sistema, dan
lugar a que aparezcan disturbios de impacto más severos e
inestabilidad a niveles más bajos de carga que cuando las
condiciones transitorias de operación son de pequeña magni-
tud. Consecuentemente la inestabilidad subsiguiente a gran-
des desviaciones de las condiciones normales de operación
es una segunda forma de inestabilidad, que aparece de con-
diciones de operación no-planeadas o no-esper adas. En com-
paración con los cambios continuamente cercanos en el esta-
do estacionario planeado, los disturbios grandes tienen una
incidencia mucho menor y su extensión y forma son descono-
cidas e- impredecibles antes de su presencia. Estas son las
diferencias esenciales en las causas y condiciones en las
cuales puede aparecer la inestabilidad que sugieren una di-
visión preliminar de interés que se origina de las condicio-
nes de carga gradualmente increméntales en pasos discretos
en el estado estacionario3 por una parte, y del impacto se-
vero de un disturbio mayor, por otra,
Aplicada a generador es sincrónicos, ya sea de una
.22
simple unidad o en combinación arbitraria, la inestabilidad
subsiguiente a un pequeño incremento en el nivel de opera-
ción de la carga, es conocida como .INESTABILIDAD SINCRÓNICA
EN ESTADO ESTABLE, cuyo estudio no corresponde a la presen-
te Tesis de Grado,, y el nivel de operación en el cual ésta
ocurre, es el LIMITE DE ESTABILIDAD ESTACIONARIA SINCRÓNICA
que tampoco nos ocupa. El término INESTABILIDAD SINCRÓNICA
TRANSITORIA e-s reservado para el caso de la inestabilidad
que sigue a un gran disturbio, y la potencia de la carga de
un pre-disturbio, sobre la cual un gran disturbio de severi-
dad dada, no puede ser resistido sin inestabilidad, es el
LIMITE DE ESTABILIDAD SINCRÓNICA T'RANS ITORIA >
Si bien pueden ser distinguidas por la forma del
disturbio que las origina, ambas formas de inestabilidad con-
ducen a una PERDIDA DE SINCRONISMO dentro del sistema y ello
se deriva de desbalances en la potencia activa.
Igualmente, la inestabilidad puede aparecer de
desbalances de potencia reactiva, y, como en el caso de des-
balances de potencia activa, éstos pueden ser separados en
las pequeñas desviaciones operacionales y los grandes dis-
turbios transitorios. El primer caso, en el que la inesta-
bilidad aparece de pequeños disturbios de potencia reacti-
va, y de las fluctuaciones asociadas de voltaje, es conoci-
.23
da como INESTABILIDAD DE VOLTAJE EN ESTADO ESTACIONARIO y
el límite en el cual ésta ocurre es el LIMITE DE ESTABILI-
DAD DE VOLTAJE EN ESTADO ESTACIONARIO. La inestabilidad si-
guiente a grandes disturbios de potencia reactiva es llama-
da INESTABILIDAD DE VOLTAJE TRANSITORIA y las condiciones
límites de operación del pre-disturbio en las cuales-se lo-
caliza es el LIMITE DE ESTABILIDAD DE VOLTAJE TRANSITORIA.
A estas formas básicas de inestabilidad} la ines-
tabilidad sincrónica y la de voltaje, cada una con divisio-
nes correspondientes a pequeños disturbios operacionales y
a grandes impacto's transitorios, puede ser añadida una ter-
-cera forma separada: la de la INESTABILIDAD TÉRMICA. Los
límites térmicos de operación siempre dan lugar a que apa-
rezcan los bien definidos límites superiores de la carga en
las partes individuales de la planta, en circuitos de trans-
misión y distribución, y en sistemas ínterconectados. La
operación más allá del límite térmico puede iniciar una se-
cuencia de operación, en las partes individuales de la plan-
ta y en sistemas integrados, teniendo las propiedades y c a -
racberísticas esenciales de un proceso inestable. En este
caso, la inestabilidad lleva a un desbalance térmico diver-
gente, el cual puede aparecer durante las condiciones de
cambio gradual de carga o cuando la operación normal es re-
pentinamente perturbada por un gran disturbio. Existirán
TABLA
1-1
PRINCIPALES
MODOS
DE
INESTABILIDAD
INESTABILIDAD
SINC
RÓNI
CA
ESTA
CION
ARIA
TR
ANSI
TORI
A
INESTABILIDAD
DEVO
LTAJ
E
ESTA
CION
ARIA
TR
ANSI
TORI
A
INESTABILIDAD
TÉRM
ICA
ESTACIONARIA
TRA
NSIT
ORIA
PARÁ
METR
OAS
OCIA
DOPO
TENC
IAAC
TIVA
POTENCIA
REAC
TIVA
CORR
IENT
E
PART
EDISPUESTA
-A LA
- INESTABILIDAD
GENE
RADO
RES
Y MOTORES
SINC
RÓNI
COS
GENE
RADO
RES
SINC
RÓNI
COS
MOTO
RES
ASINCRÓNICOS
CIRC
UITO
SIN
TERC
ONEC
TADO
S
.25
pues, según lo visto anteriormente, INESTABILIDAD TÉRMICA
ESTACIONARIA e INESTABILIDAD TÉRMICA TRANSITORIA, y los lí-
mites superiores de carga de la operación estable serán los
LIMITES TÉRMICOS E S T A C I O N A R I O _ Y TRANSITORIO respectivamente.
En la Tabla 1.1 se establecen estos distintos modos de ines-
tabilidad, junto con los parámetros del sistema a los que se
encuentran asociados, y las partes afectados por ellos.
1.3.3 ESTABILIDAD DE VOLTAJE EN ESTADO ESTACIONARIO
En la Figura 1.9 se muestra una curva típica de
terminales para un circuito de transmisión en la cual la p o -
bencia activa transmitida hacia el receptor es expresada co-
mo función de dicho voltaje terminal. La figura ha sido de-
terminada para c^r ga estática y ésta indica que, dependien-
do del valor del factor de potencia de la carga, hay un lí-
mite superior en la potencia activa que puede ser transmi-
tida. Cuando la carga transmitida se incrementa en pasos
discretos, es alcanzado un punto de máxima potencia trans-
ferible, cuando el incremento de la carga hace que baje el
voltaje en el receptor en una cantidad igual al aumenbo en
la componente de fase de la corriente en dicho •terminal.,•'•-..•• . -< '-•'•"-•" -
Cualquier intento posterior de cargar el circuito reduce' '; "' '
la potencia transferida y la parte más baja de•la curva po-i '. - •
tencia activa vs. voltaje tiene la característica de un pro-/
OOÍBS8
VO
LT
AG
E
EN
E
L
RE
CE
PT
OR
(P.u
.)
0.4 0.2 0.0
O 10
0 2
00
300
¿00
50
0 60
0 70
0 80
0 90
0 10
00
1(00
PO
TE
NC
IA
AC
TIV
A
EN
E
L R
EC
EP
TO
R
(Mw
)
Fig
. 1.
9 P
ote
nci
a A
cti
va
vs,
Vo
lto
ge
Pa
ra
275
Kv,
.27
ceso inestable. Las dos formas de compensación, en serie
y en shunt, que reducen los cambios del voltaje en el lado
de la fuente cuando varía la carga, mejoran la estabilidad
de la carga; sin embargo este aspecto será estudiado en
otra sección .
1.4 MÉTODOS PARA ELEVAR LA POTENCIA DE TRANSMISIÓN
De las diversas posibilidades para elevar la po-
tencia de transmisión o para mejorar la estabilidad, serán
estudiados en la presente sección, el uso de condensadores
en serie y en paralelo así como la toma de potencia reacti-
va. Para elevar la potencia de transmisión, existen dos po-
sibilidades: elevar la tensión interna _E_ o bien disminuir
la reactancia de acople. Para conseguir el primer objeti-
vo se tomará potencia reactiva de la máquina, mientras que
para conseguir el segundo, se utilizarán condensadores dis-
puestos en la red de transmisión.
1,4.1 QPTIMIZACION DE LA ESTABILIDAD MEDIANTE EL USO
DE CONDENSADORES EN LA RED DE TRANSMISIÓN
Es fácil observar que la reactancia del circuito
de transmisión se reducirá mediante el uso de condensadores
en serie debido al carácter negativo de su reactancia. En
la Figura 1.10 se encuentra representada una línea de t
misión, que consta de un generador, un transformador, y la
línea misma interrumpida por condensadores en serie.
XT
Xc
Zo
Xc
Hh
IMPEDANCIA CARACTERÍSTICA
Zo
Figura 1.10. Ejemplo para estudiar el comportamiento de uncondensador en serie en la reactancia de aco-plamiento de una línea de transmisión sin pér-didas .
Para el cálculo de la reactanc ia de acoplamiento
entre los terminales 1 y 2 ha sido cor toc i rcu i tado el ter-
minal 2 y encon t rado el coc iente _E/_Io P a r a V. ~ ® * ^e en~
cuentra luego de un estudio nada compl icado, que haciendo
las cons tan tes de fase 3 = 3 , , + $0
.29
XX.0 - 2 sen( B ) -*- X. cos( ft ) - Xn eos fe 0) [ eos fe ,) - -=— sen1 2 o A C . 2 ^ 1 Z
o
De acLierdo con la ecuación (1,24) una reducción
de la reactancia de acoplamiento solamente tendría lugar
cuando la expresión que se encuentra encerrada entre parén-
tesis sea mayor que cero. Para conseguir una mayor reduc-
ción en la reactancia de acoplamiento, cuando se use un con-
densador de determinada capacidad, se deberá escoger conve-
nientemente el sitio en donde se colocará al condensador.
Una similar reducción de la reactancia de acopla-
miento puede hacerse por medio de la conexión de un conden-
sador en paralelo según indica la Figura 1 . 1 1 . Para este
caso la reactancia resultante será:
z2X12 = ZQ sen(
Z / X \ + X. cos( 5 ) - -^ sen ( 3 , ) sen ( B ) + =£ cos( S , )
A Xc 2. \. ¿ i i
(1.25)
.30
i Xd Xk
XAZo
r Xc
Xc
Figura 1.11. Ejemplo para estudiar el comportamiento de uncondensador en paralelo en la reactancia deacoplamiento de una línea de transmisión sinpérdidas.
1.4.2 OPTIMIZAC10N DE LA ESTABILIDAD MEDIANTE TOMA
DE POTENCIA REACTIVA
Por principio puede ser mejorada la estabilidad
de la transmisión mediante la elevación del voltaje interno
_E del generador de alimentación. En la Figura 1.12 está re-
presentado un circuito de transmisión, a través de una línea
de reactancia X. , con el correspondiente diagrama vectorial
.31
de tensiones. En este diagrama se han consider-ado los valo-
res de _E y de _\ para potencia de transmisión constante. Al
elevarse la tensión interna desde E hasta EL y permanecien-—a —b ' r
do la potencia de transmisión constante (P - const), se pre-
senta una disminución en el ángulo 6 ( 6 < 6 ), mientrasu a
que la tensión _V5 se agranda (V- )> YS ) y la potencia reac-b a
tiva de transmisión aumenta en el sector inductivo.
P4-JQ
Figura 1.12. Efecto de la elevación de la tensión interna desdeE hasta E, . Se harán V- S Vc y <5U / 6 .a b S ^ S . y b \ < - aa b
.32
Una elevación de la tensión interna sin que aumen-
te la tensión _ V q , es posible, cuando simultáneamente es to-
mada en el borne G un.a apropiada cantidad de potencia reac-
tiva a través de una bobina. El análisis de esta condición
se encuentra indicado en la Figura 1.13.
El aumento de E hasta E - E, , permaneciendo in-a c b r
variable _V_ e I9 , hace que el ángulo 6 disminuya ( ó < ó )3o z. c a
el cual es sin embargo mayor que ó, de la Figura 1.12. Es-
te tipo de mejora en la estabilidad es mayor, cuando la má-
quina en la condición (a) está entregando potencia con un
eos $ cercano a la unidad corno es el caso de las Figuras
1 .12 y 1 .13.
.33
Figura 1- Análisis de la elevación de la tensión internadesde E hasta E = E, (ver figura anterior);mediante1 toma simultánea de potencia reactiva,de tal forma que _V 'no varíe. Se hace $ c<$ .
CAPITULO' II
OBTENCIÓN DE LAS CURVAS POTENCIA ÁNGULO
2.1 ANÁLISIS TEÓRICO DE LA CARGA ESTÁTICA
Es común observar en la casi totalidad de libros
que tratan de la estabilidad estacionaria en Sistemas Eléc-
tricos de Potencia información suficiente sobre todos aque-
llas casos que consideran carga rotativa, más éstos no traen
ninguna información sobre la obtención de las curvas Poten-
cia-Angulo para los casos de carga estática; es por esta ra-
zan que indicaremos la casi totalidad del presente capítulo
a tal estudio. El estudio se considera sólidamente realiza-
do si se considera que ante la obtención de una curva en el
laboratorio, se acompaña la curva proveniente del estudio
teórico correspondiente.
Empezaremos por realizar el estudio de la máxima
transferencia de potencia en un sistema que advierte la pre-
sencia de carga resistiva (estática) en su extremo receptor,
El circuito base que servirá para nuestro análisis es el si-
guiente ;
.35
/v /-AVWV TiTSW
R jXi .
Xs
7777777777
Fig. 2.1
Como podrá observarse en el circuito, el voltaje
en el borne 2 no permanecerá constante a medida que aumenté
la potencia 'transmitida debido al aumento de corriente que
provoca una ma'yor caída de tensión a lo largo de la línea
simulada de la manera más sencilla por el conjunto R •* j X, *
Sin embargo el voltaje en el borne 1 trataremos que permanez-
ca constante variando la excitación de la máquina sincróni-^
ca para obtener así mayor claridad en los resultados.
La. expresión que nos permita obtener la potencia
de transmisión viene deducida a continuación;
.36
I = TR + r) + JX.(2 .1)
S = V . I
S = V .V
(R + r) - ji
R+r
2(R+r) +
(2 .2 )
(2 .3)
De donde obtenernos
P =V ( R + r )
(R + r)(2.4)
Como no nos interesa estudiar un caso aislado, si'
no obtener la forma general de la 'curva, asignaremos Valo-
res en cierta manera aleatorios a los parámetro del circui-
to." Sean, entonces:
R
X
60 V
0.004
50
Así pues, la expresión (2,4) se convertirá en la
siguiente:
.37
P - 3600 (D.004 4- r)
(0.004 + r)2 + 2500
El gráfico de la ecuación anterior puede verse en
la siguiente página. Podrá verse en el que hemos cumplido
con el teorema de máxima transferencia de potencia; es decir
que obtenemos potencia máxima transmitida para el valor:
r s \ XL2 -i- R2
LIJ
J.,..t„/
. L.
/,/../:„/
./...y
/
|5
16
17
18
19
2O
21
22
23
2Í
25
2E
27
->B
OF
FS
ET
A
MA
ZO
NA
S .
QU
ITO
Flg
. 2
.2
PO
TE
NC
IA
TR
AN
SM
ITID
A
A
UN
A
CA
RG
A
ES
TÁ
TIC
A
.39
2.2 USO DEL LABORATORIO PARA OBTENER LAS CURVAS
POTENCIA-ANGULO DE VARIOS CASOS DE CARGA ES-
TÁTICA
A continuación mostraremos el estudio realizado
en el laboratorio de Máquinas Eléctricas para los distintos
casos de carga estática considerados.
Hemos hecho uso esencialmente de una bobina exis-
tente en el laboratorio con núcleo de hierro desmontable,
y además, se construyó especialmente para el efecto una bo-
bina en el taller con dos tapSj a saber: de 45 vueltas y de
90 vueltas.
Se deberá de indicar sin embargo que el método
para medir la desangulación a lo largo de la línea no ha
sido ni mediante el uso del osciloscopio ni mediante el uso
de los medidores del factor de patencia (eosfímetros) pues
ambas maneras daban lugar a mucha inexactitud en las medi-
ciones. Se procedió sin embargo de la manera siguiente:
medimos los módulos de los voltajes tanto al comienzo como
al final de la bobina así como la caída de voltaje en la
misma. Habíamos obtenido así un triángulo de vectores que
por la conocida ley de los cosenos nos permite encontrar el
ángulo de defasaje entre los voltajes terminales de la línea
.40
de transmisión.
Presentamos, pues, en las páginas siguientes, la
tabulación de las mediciones, así como las correspondientes
curvas.
Para la obtención de la curva teórica haremos uso
de la conocida expresión para la estabilidad estacionaria:
V1 V2 sen 6 (2,6)p - _.—_
pues de acuerdo a las mediciones tanto de la resistencia co-
mo de la reactancia en la bobina observamos que la primera
es despreciable comparada con la segunda. 5e anotará que
estas mediciones fueron realizadas en el Laboratorio de Cir-
cuitos de la EPN.
Sin embargo, para obtener mayor exactitud debe con-
siderarse la expresión completa que será deducida en el Ca-
pítulo IV de la presente tesis:
Pij = R (Vi - Vj coso ) + X V j ' s e n ó (2 ,7)
TABL
A 2.1. M
EDICIONES
EN L
A BO
BINA DEL
LABO
RATO
RIO
(SIN NÚ
CLEO
)
V1 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
' 60
V3
1.7
7
2.3
2
2.8
5
3.4
0
3.93
5.00
5.75
8.58
10
.95
'
13.0
0
15.9
0
19
.20
19.8
6
20
.30
21.4
5
22
.33
23.0
0
23
.95
26
.00
V2
58
.25
57
.80
57.8
0
57
.33
57
.00
56
.22
55
.45
53
.70
52
.00
50
.75
48
.48
45
.22
45.0
0
44
.50
43.1
5
42
.50
41
.82
40.8
0
38
.50
W1
15.0
20
.0
25
.0
29
.0
33.5
41
.3
-
50.0
74.1
92
.5
110.
0
132.
0
153.
7
157.
5
16
0.0
165.
0
17
0.0
17
2.5
17
7.5
189.
0
W2
15.0
20
.0
24
.5
28
.0
'
32
.0
40
.0
47
.5
67
.3
82
.3
95
.7
110.
5
12
2.5
12
4.4
12
4.8
125.
0
126.
5
12
7.0
12
9.0
130.
3
¿12 0.2
6
0,7
3
1.4
7
2.0
6
2.4
8
3.23
3.49
5.8
8
7.6
7
9.5
0
11
.66
13.5
1
14
.40
14.5
7
14.9
9
15.7
9
16
.17
16.6
4
17.5
0
Fíg. 2,3 B O B I N A del LABORATORIO (sin núcleo)10 U
C u r / a o b t e n i d a de m e d i c i ó n es;
TABLA
2.2.
MEDICIONES EN LA.BOBINA
DEL LABORATORIO
(CON NÚCLEO)
V1 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
V3
8.2
5
15 23 30 38.4
46 51.8
54.7
55
.52
56 57
.0
V2
57
.5
55.3
51
.7
47.7
40.5
31
.7
22
.26
15
.25
13.3
0
12
.25
8
W1
7,7
5
14.5
0
20 24
.25
27
.50
26
.60
23
.50
19
.10
17 16
.25
13.5
W2
7.7
5
14
.0
19
.5
22
.5
25
.0
23
.25
18
.30
.
13
.25
11.5
0
11 7.5
61
2
7.7
2
. 1
4.2
1
22
.21
29
.63
39.2
1
49
.13
58
.08
62
.66
64.2
1
65.3
1
64
.39
35°
22
232*
25
26
27
28
OFFSET AMAZONAS - QUITO
TABL
A 2.3.
ME
DICI
ONES EN LA
BO
BINA
CO
NSTR
UIDA (90 VU
ELTA
S)
V1 60 60 60 60 60 60 60 •60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60
.V3
0.0
0
0.55
1.10
1.45
1.80
2.3
6
2.8
8
2.9
0
2.9
8
3.0
0 f
3.0
88
3.15
3.2
0
3.2
9
• 3.
35
3.5
0
3.67
3.85
4.08
4.4
0
V2
59
.00
59.3
0
59
.20
59
.00
58.8
0
58
.70
58
.50
58
.35
58
.25
58.1
3
58
.25
58
.30
58.1
5
58.1
3
58
.00
58
.00
58
.00
58
.00
58
.00
57.8
0
W1 7 42
,5
80.5
105
128
139.
5
197.
5
200
20
4.2
5
205
210
215
220
22
5.0
23
0.0
238
25
2.5
26
1.2
5
27
6.5
0
29
7.5
0
W2 7 42.5
80.5
105
128
.
137.
5
197.
5
200
20
2.2
5
205
210
213.
6
21
8.2
5
22
4.0
22
7.5
236
250
258.
50
27
3.8
5
29
5.0
612
- - 0.7
3
1.01
- 1
.29
1.90
2.3
8
2.31
2.3
3
4.3
2
2.47
2.5
7
2.5
3
"2.6
3
2.6
1
2.7
9
2.9
9
3.2
0
3.45
3.71
•p-
Fig. 2.5 BOS1NA CONSTRUIDA (DOvueitas) -AB-
Curvo 'obtenida de mediciones
_ Curva W- S23 46+VElHI 18 Sen í-
i 1 u
2.3 CURVA POTENCIA-ANGULQ DEL CASO GENERADQR-
B A R R A INFINITA
Para este caso indicaremos que se hizo uso de la
línea existente en el laboratorio, para una longitud de
100 Km. (ver referencia 6_/ ) cuyos parámetros reales se
muesbran en la siguiente figura:
3.7^- 95 rsiH.
-A/VW1 íTSTT
0.57
Fig. 2.6
La fórmula para potencia transmitida será la mis-
ma que (2.7) corno se comprueba a continuación. Sea el cir-
cuito de la figura siguiente:
1 <;
H-
LO H"
H-
t_j.
11
U
11
X <H
- ^~
s X
N3
«C
n<
¿11
11
X
o
x:
H-
0H
"-—
.
r-^
^
1
|0)
vo
v^
O
^4-
H
-C
_i.
- — f
OP 1 VO O
4
:N
3
+
-J-
0.
t-j
x
ror-
ND
4 Xx~-
í
<:
ro
t-j 4
rc.
.. xr-
r->. \ o
4<^ H
- 0.
r-^
><
t °
H-
< H- *
+
on
+ 4-
4-H
j
H t
C-i. X
•<
1H
-r—
-^
C-J
-! '
x
Oí
X<c
r~
H- t
«^
H- l <-
C-i.
<c C_t
.
<;
wj.
r° 03
X o
*
H
<
l < Cj,
.49
Sij = - j ~ + V1 -o (Vi2 - ViVj eos 6 - jViVj senxc r + X ¿
De donde
PÍJ r Vi ( r (Vi - Vj coso ) 4- X. V. sen 6 ] (2 .9 )2 2 \
•n L_ Y ¿ \
Esto se debe a que no existe dispersión de poten-
cia activa en las ramas en paralelo debido a que la conduc-
tancia es cero (C _ 0). Las curvas así detenidas se mues-
tran a continuación. Se debe notar además que la admitancia
en paralelo influye directamente en los niveles de voltaje
Vi y Vj.
TABL
A 2-4
MEDICIONES D
EL S
ISTEMA
GE
NERA
DOR
- BA
RRA
INFINITA
LI
NEA
DE 100 KM.
V1
' 19
5
: 19
5
195
: 19
5
195
195
; 19
5
; '
195
195
: 19
5I
195
; 19
5
195
195
195
¡
V2
200
200
200
200
200
200
200
200,
20.0.
200
200
200
200
20.0
200
V3
6 8.2
5
8.7
5
11 12
.15
13.8
15.7
5
17
.5
18.7
5
19.4
20.7
5
22 22.2
5
22.7
5
23.4
5
P12
(w)
med
ido
17.5
35.7
42.1
58.2
66
.3
77.1
90.2
100.
4
108.
1
112.
6
121.
2
130.
1
132.
5
136.
. 3
14
2.2
61
2
0.9
6
1.9
0
2.3
1
3.1
6
3.5
7
4.1
5
4.8
2
5.4
1
5.8
3
6.0
4
6.4
9
6.9
1
6.9
9
7.1
6
7.3
9
P12
(w
)ca
lcu
lad
o
18
.25
36
.11
' 4
3.9
0
60
.04
67
.81
78
.81
91
.51
10
2.6
8
11
0.6
3
11
4.6
0
12
3.1
0
13
1.0
3
13
2.5
4
13
5.7
4
14
0.0
8
o
C U R V A P O T E N C I A - Á N G U L O: >/)
GENERADOR-LÍnoa 100 Km-Bar ra Infinito Fíg. 2.6
Curva de Mediciones
Curva Co I cu lada
.52
2.4 ESTUDIO DE LA CARGA ESTÁTICA EN EL ANALIZADOR
DE REDES
Las curvas obtenidas en el analizador pueden
apreciarse en tla gráfica siguiente.
.53
CAPITULO III
LIMITACIONES DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN
3.1 GENERALIDADES
Las limitaciones que se encuentran en una línea
de transmisión' obedecen en general a dos causas principa-
les :
1) Limitaciones de diseño; y,
2) Limitaciones del sistema.
Las primeras se deben a las principales carac-
terísticas que el proyectista de líneas ha colocado como
hipótesis de funcionamiento de la línea. Será convenien-
te mencionar, con la debida demostración matemáticaj ca-
sos de limitaciones en que el sistema, del cual forma par-
te la línea se ve imposibilitado de operar correctamente,
a causa de la línea de transmisión.
Entre estas últimas, podemos mencionar la d e -
sangulacidn que se produce entre los puntos extremas de
.54
una línea, al transmitir potencia por ella y que refleja
en un cierto grado la capacidad de la totalidad del sis-
tema (fuentes de energía, consumos de ella y configuración
del sistema) para permitir esta transmisión. La obtención
de la potencia de transmisión se obtiene como sigue:
Sea el siguiente sistema simple de línea de
transmisión:
-AAA/VV
Figura 3.1
en•
tonces Sij = Vi (lij)
r - jx~ (VÍ " Vj)
VÍ ' (Vi - Vjr - jx
.55
Vi (r + jx) ,.,. . . . x . . . . . ,—~ ^— (Vi - Vj eos ó - j V j señó )2 2r 4- x
Sij - —^ o" ^r ^V i " ^^ COS 5 ) + x VJ senr + x
(x (Vi - Vj eos 6 ) - r Vj senr + x
de donde:
• 2
r + x
2 7
r + x"
Vl r (Vi - Vj eos ó ) + x Vj sen ó j (3.1)
x (Vi - Vj eos 5 ) - r Vj sen 6 j (3.2)
a p a r t i r de lo c u a l , si se d e s e a o b t e n e r la p o t e n c i a m á x i -
ma de t r a n s m i s i ó n se d e b e r á i g u a l a r la p r i m e r a d e r i v a d a a
c e r o , l o que nos d a , pa ra l a p o t e n c i a a c t i v a :
r Vj sen 6 = ~ x Vj sen 6
o tg j5 = -~~ _ (3.3)
y para la potencia reactiva:
.56
xVj sen ó = rVj eos ó
tg 6 (3.4)
Se deberán, pues, satisfacer las condiciones
(3.3) y (3.4) para obtener máxima potencia activa y reacti-
va respectivamente.
Si reemplazamos la expresión (3.3) en (3.1) ob-
tendremos :
Plj (máx) ViV;Zl
ViVj
eos O - 1 (3.5)
y reemplazando (3.4) en (3,2) se obtiene para la potencia
reactiva:
Qij(máx)ViVj
mViVj
sen 9 - 1 (3.6)
en las cuales Z2 2r * x (3,7)
tg-1 x (3.8)
.57
Estas ecuaciones se transforman en las siguien-
tes ecuaciones, si se desprecia la resistencia de la línea,
quedando sdlo la reactancia, es decir, para
Z ^ x / 90°
sen 6 (3.9)
Qij = - - (Vi - Vj eos 6 ) (3.10)
Si el sistema no es capaz de trabajar en estas
condiciones, la tensión de llegada bajará fuera de los lí-
mites permitidos, lo que obligará por una parte a aumentar
5 para obtener la potencia PR requerida por el. receptor, y
por otra, a aumentar las componentes activa y reactiva de
la corriente. Este aumento de ó también aumenta Q^ y Q R.
Para mejor comprensión, haciendo uso de la misma simplifi-
cación de considerar sólo la parte reactiva de la impedan-
cia de la línea, se tendrán las siguientes ecuaciones:
Eq ERP5 = x sen ó (3.11)
E EPR = ~V~ sen 6 r PS (3.12)
*- C '-D / *- C \q = % " ' cos6 - -=2 (3.13)ü A I HR /
.51
QR = y - coso + (3.14)R X \ I
Esta sucesión de aumentos de los valores de
y de la corriente, traen consigo nueva variación de E „ , es3 R ?
decir se llega a una situación inestable al pasar este lí-
mite. En algunos casos el límite de regulación puede llegar
antes del límite de estabilidad, y aún provocar un problema
de operación por sobrepasar antes el límite de corriente
permisible por diseña de la línea.
En resumen, para dejar nombrados los límites de
operación de sistemas en algún orden, podemos decir que exis-
te una potencia de transmisión en las líneas, que está limi-
tada por uno o varios de los factores siguientes;
- c Oa) Estabilidad Permanente: Pn - - n -
K A
b) Estabilidad transitoria: valor de ó de
recuperación estable,
c) Regulación de la Tensión: reglamentos y
suministro de KVAR.
Entremos ahora en la exposición de las limita-
. 59
ciones de diseno de una línea. - Una línea está sometida a
dos tipos de influencias físicas: aquellas controlables a
voluntad, y las eventuales. Las primeros pueden considerar-
se relativamente constantes en toda la línea; las restantes
son de carácter aleatorio, es decir, dependen del lugar y
del tiempo considerado, y para las cuales pueden utilizarse
criterios probabilísticos.
Las características controlables a voluntad en
cierto modo son la tensión de servicio y la corriente, ya
que en general existen medios de protección contra sobreco-
rrientes y aún contra sobretensiones. Las eventuales son
las condiciones meteorológicas que rodean la línea, los ve-
hículos o personas situadas en su cercanía, etc.
3.2 ' TENSIÓN
El diseño correcto deberá contemplar con dife-
rente probabilidad los siguientes casos:
3.2.1 TENSIÓN DE SERVICIO
Como es lógico el proyecta de aislación consti-
tuida tanto por los aisladores soportes corno por el aire
circundante, debe considerar la máxima tensión de operación
.60
posible en 60 ciclos y asignarle un carácter permanente en
el tiempo. A lo largo de la línea, especialmente en el ca-
so de desconexión involuntaria, el valor de la tensión pue-
de ir en aumento por el llamado efecto Ferran ti, que en lí-
neas de muy alta tensión es considerable.
La tensión como magnitud variable a voluntad,
estará limitada al valor de diseño correspondiente.
3.2.2 TENSIÓN DE MANIOBRA
En general se trata de trenes de ondas produ-
cidas por el cambio de configuración del sistema, al ope-
rar algún elemento de el que provoque conexión o descone-
xión de algún tramOj con el consiguiente cambio de energía
que representa las partes frente al todo. Se caracterizan
por tener forma rectangular de unos 400 x 2000 microsegun-
dos de duración, con magnitudes que pueden alcanzar entre
2,5 y 5 veces el valor nominal. Como su ocurrencia en ple-
na magnitud es de baja probabilidad ya que dependen del es-
tado del sistema y del momento en que se produce la conexa.ón
o desconexión frente a la sinusoide de voltaje, a este fe-
nómeno se le asigna coincidencia con los estados meteoroló-
gicos más permanentes (sin sobrecargas de hielo y vientos
moderados) en el caso de su aislación a estructuras.
.61
En lo que respecta a distancia al suelo, puede
considerarse también una ocurrencia simultánea con objetos
permanentes bajo la línea, reconociendo la bajísima proba-
bilidad combinada que ocurre entre estas sobretensiones en
plena magnitud y la presencia de vehículos o personas bajo •
la línea. Excepción posible de realizar en el proyecto de
una línea, es la que constituye caminos principales y auto-
pistas, en que se sabe de un tránsito casi continuo de ve-
hículos, puntos especiales en los que se deberá tener espe-
cial cuidado para mantener mayor distanciaj mediante el sub-
terfugio de no proyectar estos cruces de manera de dejar-
los en el lugar más desfavorable de la catenaria para el
conductor.
Estas tensiones no son posible controlar direc-
tamente, sino en forma indirecta a través del cumplimiento
de las instrucciones para maniobras, que deben ser redacta-
das de acuerdo a las hipótesis de funcionamiento del siste-í.
ma . Su valor máximo está relacionadoj entre otras cosas,
con la tensión de servicio a que se hace operar.
3.2.3 TENSIONES DE ORIGEN ATMOSFÉRICO
Al igual que las anteriores, no es posible con-
.62
trolarlas directamente, sino a través de un correcto mante-
nimiento de la aislación, puestas a tierra, cable de guar-
dia y en ciertos casos, también del funcionamiento del pa~
rarr ayos .
Por otra parte, tanto las sobretensiones ante-
riores como éstas, provocan daños relativamente moderados,
que son de carácter transitorio en la mayoría de los casos
y que permiten una reconexión exitosa, dada la caracterís-
tica de fugacidad que tienen estos fenómenos.
3.3 CORRIENTE
En el análisis de los efectos de la corriente
en las líneas, no- debemos perder de vista los fenómenos an-
teriores, ya que sus condiciones se suman. En efecto, con
el paso de la corriente por el conductor, su temperatura va-
ría, modificando sus condiciones de templado, de manera de
aumentar su flecha. A manera de ilustración puede indicar-
se que la flecha aumenta aproximadamente 3 a 4 cm. por C
de temperatura en líneas de cobre, ACSR o aluminio puro,
para luces entre 300 y 500 mt,
Este último factor, dada su importancia y am^-
plias posibilidades de variación, lo analizaremos en detalle
Como se indicó anteriormente, la corriente de
una línea de transmisión depende de muchos facbores y pue-
de considerarse como la suma de dos componentes: las partes
activa y reactiva de ellla.
La componente' activa de la corriente está go-
bernada única y exclusivamente por la desangulación entre
las tensiones de los extremos terminales, la que obedece a
la potencia que está entregando en su extremo receptor.
La componente reactiva de la corriente se debe
al factor de potencia del consumo y al paso de la corriente
total a través de la inductancia x de la línea. 5u valor
es función de las magnitudes de las tensiones de los extre-
mos emisor y receptor.
Desde el punto de vista de calentamiento3 la
corriente total resultante de estas condiciones, causará,
a su vez, pérdidas de potencia activa 3 llamada efecto Joule,
y además pérdidas de potencia reactiva.
Junto a las características del ambiente, (tem-
peraturas del aire, presencia de viento y de sol) la co-
rriente resulta ser el único parámetro que finalmente 1 i m i -
.64
tara la patencia transmitida por una línea, si se quiere ob-
tener distancias al suelo superiores a un valor fijado. An-
tes de proseguir el análisis del proceso de calentamiento
de un conductor, deberemos referirnos a este límite de dis-
tancia .
3.4 DISTANCIA LIMITE DEL SUELO
Como expresamos anteriormente, la experiencia
reflejada en los reglamentos de los diversos países consi-
dera corno criterio de distancia mínima, un valor tal que se
tenga cierta "seguridad" en la distancia escogida, aplica-
da a una posición o configuración límite.
Existe la posibilidad de mirar este problema des-
de un punto de vista probabilístico, siempre que se tenga
adecuada información sobre:
a) Probabilidad de tener una forma de carga
(corriente en funci6n del tiempo) dada,
b) Probabilidad de existir temperatura y vien-
to (brisa) de ciertas magnitudes en la lí-
nea considerada.
.65
c) Errores de per Til topográfico y errores de
templado posibles.
d) Dispersión de la tensión de descarga entre
electrodos sumergidos en el aire.
Considerar simultáneamente estas probabilidades
es un trabajo que se está realizando recién en estos anos
en todos los países, buscando un método menos laborioso que
el simple establecimiento matemático de estos parámetros.
3.5 LIMITE TÉRMICO EN CONDUCTORES
Las materiales de las cuales se fabrican actual-
mente conductores, han sido objeto de numerosas investiga-
ciones para determinar cuál sería el límite térmica acepta-
ble para conductores. Los resultados de estas investiga-
ciones indican que es posible trabajar permanentemente con
cobre, aluminio, o las aleaciones de aluminio hasta 90 C
sin hacer peligrar sus características mecánicas. Sin em-
bargo debe considerarse las condiciones más desfavorables
que pueden producirse, por ejemplo: bajo las uniones graffl—
pas o aún prensas de mal diseña o en mal estado, por lo que
se adopta un valor de 10 C inferior a este máximo. Por otra
.66
parte, debe aceptarse que estos 10 C cubrirán también cual-
quier error de apreciación o variación en la temperatura am-
biente, en la carga transmitida por la línea, en la topogra-
f í a o a ú n e n e l t e m p l a d o .
A estas condiciones permanentes podrán superpo-
nerse condiciones transitorias como por ejemplo: corrientes
de corto - circuito, que por su carácter momentáneo pueden
aceptarse siempre que no acerquen la temperatura final de
los conductores a los valores de recocido de los metales,
lo que sería peligroso. Aún cuando las temperaturas de fu-
sión de los metales son bastante diversas, la temperatura
de recocido es relativamente cercana entre ellos. Se reco-
mienda no sobrepasar por cálculo las temperaturas de 210 C
en el cobre y 200 C en el aluminio. En todo caso, debe te-
nerse presente que este tipo de esfuerzos térmicos, si al-
canzan a valores mayores de 90 C en los conductores, van de-
bilitando acumulativamente el conductor.
£1 calentamiento de los conductores es un pro-
ceso físico bastante conocido. Las reglas a las que está
sometido pueden resumirse diciendo que un conductor elemen-
tal, por ejemplo-un trozo de longitud unitaria recibe la
influencia de fuentes calóricas que aumentan su temperatu^
ra respecto del medio ambiente con lo que provoca inmedia-^
.67
tamente una transmisión de esa energía calórica, motivada
por la diferencia de temperatura entre el conductor y el
medio ambiente.
Los fenómenos termodinámicas que esta diferen-
cia provoca son principalmente dos: convección del aire al-
rededor del conductor; y radiación al ambiente. El tercer
fenómeno termodinámico, la conducción del calor, es despre-
ciable en su magnitud frente a los otros dos.
Investigaciones realizadas en los laboratorios
de la firma ALCOA permiten establecer las siguientes fórmu-
las para la convección y radiación, respectivamente:
= 0.072
= 0.138 E D
Donde1.
/¿[
' Kc100
(te - ta) W/pier
Ka100 Vi/pie
(3.15)
(3.16)
potencia calórica disipada por convec-
ción, en vatios por pie de conductor,
potencia calórica disipada por radia-
ción, en vatios por pie de conductor^
.68
Pf - densidad relativa del aire, a nivel del
mar = 1; depende de la temperatura del
aire y de la altura sobre el nivel del
mar .
D - diámetro del conductor en pulgadas.
te = temperatura media del conductor en °C,
ta - temperatura ambiente, en grados C.
E = factor de superficie del conductor - 0,23
para conductor nuevoj - 0?91 para conduc-
tor ennegrecido; - 0,5 promedio consi-
derado aceptable.
Kc - temperatura Kelvin-del conductor (0°K -
273Í16°C).
Ka ~ temperatura Kelvin del ambiente»
La ecuación (3,15) se refiere a la convección
natural del conductor al medio ambiente considerado quieto.
Sin embargo, su valor cambia notablemente si se considera que
el ambiente que lo rodea está en movimiento, como suele es-
tarlo debido al tiraje por diferencia de temperatura entre
el aire inmediatamente en contacto con el conductor y el res-
to, aún cuando no haya brisa alguna.
Los valores de esta brisa artificial que se han
.69
medido son del orden de 0,1 a 0,2 m/seg.
Por otra parte, sólo en situaciones de orogra-
fía muy especiales las máximas temperaturas ambiente, y por
ende, las condiciones más desfavorables de temperatura de
los conductores, se desarrollan sin presencia de vientos sua-
ves, por lo que en general es costumbre asociar a estas tem-
peraturas, una brisa mínima de 0,6 m/seg. en total (2 Km/h),
a no ser que las circunstancias de la orografía que atravie-
sa la línea indiquen lo'contrario. En este caso, la ecuación
(3.15) que representa la convección natural se rremplaza por
las siguiente que toman en cuenta la convección forzada:
1,01 + 0,371D V \2
KF (te - ta) W/pie (3.17)
Siempre que:
O , 1000
D o/ Vy qcf = 0,1695
para valores 1000
0,6
Kf (te - ta) W/pie (3 ,18)
Do o/ V18000
.70
donde, además d é l o s parámetros definidos anteriormente,
V = Velocidad del flujo de aire (pie/Km)
yf - Viscosidad absoluta del aite (Ib/h.pie)
que varía entre 0,0415 y 0,0526 con la
temperatura del aire entre O y 1QQ°C.
Kf = Coeficiente de la conductividad térmica
del a i r e ? (W/pie cuadrado . C) y que
varía entre 0,00739 y 0,00966 p-ara una
temperatura (t,,) promedio del ambiente
entre 0° y 100°C, donde tf = tc * ta
Do = Diámetro medido en- pies = " 1 ? •
Fórmulas más aproximadas en ambos casos son las
siguientes, que pueden utilizarse con menos cálculos:
q f = 0.5388 (1.01 + 43.22 D°*32) W/pie (3.19)
para viento de 0,6 m/seg.
S i e m p r e que D é=: 1 , 6 "
q f = 22,5 O 0 ' 6 W/pie (3 .20)
.71
Si D > 1 ,6"
la pérdida por radiación tiene también una fórmula aproxima-
da:
^ = 6.73 D W/pie para E = 0,5 (3.21)
El conductor, atravesado por una corriente I,
constante, irá recibiendo energía calórica debido a las pér-
2didas Joule a razón de P = r I (Vi/pie) si r es la resis-
tencia por unidad de longitud (ohm/pie)a la temperatura
considerada.
Este conductor, antes de ser energizado, tenía
la temperatura del ambiente. A medida que las pérdidas Jou-
le le van entregando energía calórica, estas calorías hacen
que suba la temperatura. Esta alza de temperatura sigue has-
ta buscar un equilibrio entre la temperatura he (y Kc) de
las fórmulas para q y q , que produzca una pérdida de ener-
gía calórica tal que compense las pérdidas joule. Sin embar-
go, no debe olvidarse la posibilidad de recibir calor median-
te la radiación solar. En el equilibrio, es decir en el e s -¿
tado permamente final, se puede escribir:
.72
qc + qr = qs + l r W/pie (3'22)
si q = a . A1 . Qs . sen Q (3.23)
Donde : '
q = calor recibido del sol (W/pie ) .
a - coeficiente de absorción solar - 0,23
para conductor nuevo; - 0,95 para con-
ductor ennegrecido; - 0.5 promedio a c e p •
tado .
A' = proyección del área del conductor,
Qs = radiación total del sol y del cielo
( W /pie cuadrado) ; en el cénit r^j 105
2mV//cm
9 - are eos ( (eos He) eos (Zc-Ze) ).
He - altitud del sol en gradas sexagecimales.
Zc - Azimut del sol en grados sexagecimales.
Ze = Azimut de la línea en grados sexagecima-
Como en los casos anteriores, se puede tener
una fórmula aproximada más útil considerando:
.73
a - 0,5 y una línea de Este a Oeste a los 30 de latitud
qs = 3.87 D (W/pie) (3.24)
Exi s t e t a m b i é n la n e c e s i d a d de t o m a r en c u e n t a
la v a r i a c i ó n de la r e s i s t enc ia del c o n d u c t o r en f u n c i ó n de
su t e m p e r a t u r a te s e g ú n l a c o n o c i d a f o r m u l a :
re = ra p +hf\(tc - ta) ) _ • (3.25)
00.en que e l c o e f i c i e n t e d e p e n d e del ma te r i a l en c u e s t i ó n :
a _ 0.004 para aluminio a 25°C.
o t = 0.00353 para aleación de aluminio 5005
c t = 0.00347 para aleación de aluminio 6201
a = 0.00374 para aleación de cobre
3.6 C A L C U L O DE LA T E M P E R A T U R A FINAL DE EQUILIBRIO
T É R M I C O
C u a n d o s e t i e n e u n a v a r i a c i ó n e n t r e u n a p o t e n -
c i a t r a n s m i t i d a p e r m a n e n t e , y u n a n u e v a c o n d i c i ó n d e c a r g a
p e r m a n e n t e , es i n d u d a b l e que de la t e m p e r a t u r a que equil i-
b r a b a el p r o c e s o t é r m i c o de c a l e n t a m i e n t o y el de c o n v e c -
c i ó n - r a d i a c i ó n a l a m b i e n t e , d e b e r á p a s a r s e a una n u e v a t e m -
.74
peratura final en que se restablezca el equilibrio enbre
energía calórica entregada al conductor y la energía perdi-
da por éste al ambiente.
Con las ecuaciones indicadas anteriormente, pue-
den escribirse las ecuaciones de equilibrio térmico en la
forma siguiente, tomándolas•por unidad de longitud.
1) Temperatura anterior al cambio de potencia:
(1 +oí te) Ro I; = K(tc - ta) + LKc100 Ka
100- 3.87 D (3.26)
2) Temperatura de equilibrio final a que se
llega:
(1 + <* tf) Ro l = K (tf - ta) + L
Donde :
4Kf100
Ka100 - 3.87 D (3.27)
te = temperatura del conductor ( C), antes
del cambio.
tf - temperatura del conductor ( C ) , después
del cambio.
.75
Ro = resistencia a O C de la unidad de longi-
tud del conductor.
I - - corriente circulando antes del cambio
( ver Figura 3.2).
I ? - ' corriente circulando después del cambio .
( ver Figura 3.2).
K = constante de convección del conductor
considerado .
ta - temperatura del ambiente ( C).
L = constante de radiación del conductor con-
siderado .
K c , Ka, K P - valor en Kelvin de las tempera-
turas te , ta, y tf.
D = diámetro del conductor en pulgadas.
Los valores numéricos de las constantes K y L
serían; como antes:
0.52
1.01 + 0.371 °
L = 0.138 ED W/pie °¡<
Kf W/pie C (3.28)
(3.29)
3) Conocidos los valores te y tf, temperaturas
del conductor antes y después del cambio puede calcularse
.76
en forma muy aproximada y haciendo algunas hipótesis, el
tiempo que se demora en llegar al estado final de equili-
brio térmico.
Se supone que el proceso de cambio de una tem-
peratura inicial te hasta llegar a la temperatura final tf,
podrá dividirse en intervalos iguales y suficientemente pe-
queños para que pueda considerarse lícitamente que todo otro
parámetro permanece invariable en el intervalo.
I A
Fig. 3.2 Var iac ión de Régimen dtí Corr iente en
.77
íc
A
A3T, Ag"2 AST,
F ig , 3.3 V a r i a c i ó n de R é g i m e n de t empera tu ra en C o n d u c t o r e s
La c a n t i d a d de e n e r g í a c a ló r i ca r ec ib ida por
c a d a u n i d a d d e l o n g i t u d d e l c o n d u c t o r , d u r a n t e e l i n t e r v a -
lo c o n s i d e r a d o AFi; s e rá :
Ei (1+ a h i ) Ro I¡? - K (ti - ta)
.78
Ki100
Ka100 3.87 D > . Afi (W . S)
(3.30)
donde el subíndice "i" se aplica a la temperatura del con-
ductor en el intervalo _ AF i considerado, y los valores a j
K, Lj se mantendrán constantes durante todo el intervalo
AFi.
Toda la energía calórica A Ei, producto de las
pérdidas que no es capaz de disipar el conductor, pot tener
sólo la temperatura ti, provocará un alza de su temperatura
que supondremos se hará efectiva.en el último instante del
intervalo. Esta aproximación será más real mientran más
pequeña sea la duración de AFi . El alza de temperatura al
final del Íntervalo • será pues;
A ti Ce(3.31)
en la que Ce es la c a p a c i d a d ca lór ica del m a t e r i a l en:
/ . . i T - L i o~ , / - i . e - . L t / 0.860 / KcalKcal / unidad longitud C y K es el factor K - ^ (-rpg—
.79
para convertir unidades de energía eléctrica en calorías.
Algunos valores de Ce son los siguientes:
Cobre 0,09.28 Kcal/Kg °C
Aluminio 0,214 Kcal/Kg °C
Acero 0,115 Kcal/Kg °C
Para ACSR deberá formarse la suma panderada se-
gún los pesos de sus componentes.
Obtenido _ A t i de la ecuación (3.31), al fin del
intervalo, la temperatura del conductor habrá subido a:
t. , = t. + At. ' (3.32)i+l 1 1
De una nueva aplicación de la fórmula (3.30),
hecha para el nuevo valor t. . que reemplazará a t. en ella,
variando el parámetro K que se ve afectada por la tempera-
tura del conductor a través de Kf, según las ecuaciones
(3.28), (3,17) y (3.16), se podrá obtener el nuevo At.
de la ecuación (3.31).
Este proceso deberá extenderse desde el ínter va-
.80
lo i, que comprenderá al momento inicial de cambio de I1
al valor I« , con t. = t , hasta que los intervalos sucesi-
vos, aplicando -(3.32), de finalmente t. . = t - de la ecua-
ción (3.27). Sin embargo, debido a que la temperatura del
conductor va subiendo, AEi 'disminuye con los pasos sucesi-
vos y, en los últimos intervalos AF el alza _A t. es mínima,
acercándose ti + 1 a tf como asíntota, es decir el tiempo
que ocupa en llegar (suma de AFi) es infinito.
Se ha desarrollado un programa para la computa-
dora Hewlett Packard modelo 9100 B en la empresa ENDESA de
nacionalidad chilena, en que puede calcularse este proceso
de integración y dar como resultado la suma de intervalos
necesarios, mediante la aproximación de dar por finalizado
el proceso cuando la temperatura del conductor es tal que
la energía de pérdidas disipada por convección y radiación)
restada la energía solar, ha sobrepasado el 95% cíe la e n e r --
gía de pérdidas (Joule). De este programa (referencia J3/)
se han sacado los siguientes resultados, a manera de ilus-
tración :
.81
SE INCLUYE ACCIÓN DEL SOL' '
Conductor (sección)
Material
Diámetro mm
1
I,
A
A
Te (°C)
ta (°C)
tr (°otiempo total (seg.)
1/0 AWG
cobre
9.36
145
300
50
35
80
580
1/0
cobre
9.36
145
300
50
40
80 '
330
2/0
cobre
10.5
170
340
' 50
35
80
980
4/0
ACSR
14.31
170
340
50
35
74
1310
4/0
AASC
14.31
170
340
49
35
72
1210
TABLA 3.1
COMENTARIOS
1, Las dos primeras columnas corresponden al
mismo conductor a diferente temperatura am-
biente (35° y 40a).
2, Las tres últimas columnas corresponden al
mismo conductor equivalente sometido a las
mismas cargas. La temperatura inicial te
es muy semejante, difiriendo sólo la alea-
ción en 1 C.
3, En los cinco casos se vio que existe una de-
mora en alcanzar 80 C. En los dos últimos
conductores, el proceso se había detenido a
los 74 y 72 C respectivamente por acción de
la aproximación lenta, citada arriba. Para
las temperaturas de 74 y 72 en el conductor,
las energías disipada y recibida tenían una
relación inferior a 0.95.
4, Este programa integra por intervalos de 10
seg . de dur ación,
.83
CAPITULO ' ' IV
PROGRAMA DIGITAL PARA CALCULAR LA CARGABILIDAD
DE UNA LINEA DE TRANSMISIÓN MEDIANTE UN MODELO MATEMÁTICO
4.1 MODELO MATEMÁTICO Y DIAGRAMAS DE FLUJO
El modelo matemático de una línea de transmisión
junto con las impedancias terminal "del sistema se muestra
a continuación:
1, P ( lOr-£ > ra i ¡ '5
.. -joornnrin
ÍX |
- . 100- N| B!00 2 —
Gen s rací on
(E
E3 E./VWVL /ínraTTn
R i "00- NJ 100 A
. 100- Np B
J 100 £
• L/T
4) L_:-, Pf^-f-jOR
-4
J ^ 2
R a c o p c i o ' n
Figura 4,1. Modelo Maternabico de una L/T
Donde :
} Vienen expresados en p.u. del
SIL de la línea estudiada
N - % de compensación en serie
N., , N „ - % de compensación en shunt.
(E.)L = Valor límite de voltaje definido por
la caída de voltaje.
(9.) = Ángulo límite definido por el crite-
rio de estabilidad estacionaria.
Este programa; como se verá a continuación, em-
plea el llamado equivalente Trde una línea en vez del nomi-
nal TT. Como es conocido, el primero es mucho más apegado
a la realidad> sobre todo para líneas de longitud bastante
grandes ( 500 Km.). La diferencia que existe entre ta-
les circuitos se muestra a continuación en la siguiente ta-
bla:
.85
Nominal
. Z .
Y2
Equivalente
Zo Sinh ( --yl)
1- tan ~yi20 tgtl 2
Impedancia Serie
Admitancia Shunt(a cada extremos dela línea)
TABLA 4.1. Diferencias entre los circuitosequivalente y nominal.
En la siguiente página se muestra el diagra-
ma de flujo del programa principal y posteriormente el de
la subrutina principal que utiliza el método de Newton -
Raphson para resolver el circuito, Existen además subru-
tinas de grafización de resultados que no han sido expues-
.tas en forma de diagramas de flujo por considerarles dema-
siado elementales. Ante todo, conviene indicar que todo el
programa está codificado en lenguaje BASIC aplicable a la
computadora TEXTRONIX 4051 existente en el departamento de
electrónica de la Escuela Politécnica Nacional. La opera-
ción del programa se la hace por medio de una unidad de
disco en la cual se encuentra grabado el presente trabajo
y su manipuleo no presenta la menor complicación. Cualquier
persona con mínimos conocimientos del manejo del HARDV/ARE
está perfectamente capacitada para poner en funcionamiento
el programa que nos ocupa en el presente capítulo de éste
trabajo de tesis.
Por otro lado, indicaremos los datos con los
cuales ha sido corrido el programa para obtener los resul-
tados que luego se expondrán:
Resistencia Serie de la L/T = 0.0003323 p. u . /Km..
Reactancia Serie de la L/T = 0.0015907 p.u./Km.
Conductancia = O
Susceptancia de la L/T - Q.o'Q1Q224 p.u./Km.
Reactancias Terminal en ambos extremos (trans-
misor y receptor) = 0.20 p.u.
Voltaje al comienzo de la línea = £3 = 1,06 p.u.
Voltaje en el extremo recBptor = E2 = 1.0 p.u.
Hargén de estabilidad - 35!£
Voltaje límite al final de la línea - 1.01 p.u.
o caída de volt-aje a lo largo de la línea máxi-
ma -del 5%.
Ángulo incremental para £ 1 - 1 grado.
Se trata, pues de obtener las llamadas Curvas
de St. Clair publicadas por primera vez en 1953 y que no son
otra cosa que el estudio de la cargabilidad de una línea de
transmisión como función de su longitud. Las bases de po-
tencia y voltaje escogidas para resolver el presente circui-
to son de 125 M V A y de 200 KV indicándose que el proceso si
se realiza en forma manual resultaría muy tedioso y extrema-
damente largo pues se obtiene un sistema de ecuaciones cu-
yas variables se encuentran en forma implícita y que reco-
miendan necesariamente el uso de una computadora. El pro-
grama es en extremo versátil y solamente tiene dos limita-
ciones importantes que se indicarán en otro apartado del
presente capítulo.
DIAGRAMA DE FLUJO
.. .lo
Leer: R ?X ?B constante de la línea por Km.X-], X2 reactancias terminalN> Np, S compensación£2 i 3 voltajes
limitaciones: ( £4 )L, (Qq)L
Inicializar la longitud de la líneaL = 50 Km.
Conversión del nominal al equiva-lente y ejecutar la compensación'de la línea
inicializar LAZO DE SOLUCIÓN CENTRAL
CalcularE^ = f( e-])
NO
Cargabilidad limitadapor la restricción decaída de voltaje
Cargabilidad limitadapor el margen de esta-bilidad estacionaria
resolver el circuito y calcularla Cargabilidad de la línea
L = L LNO SI
Figura 4.2. Programa Principal
N ¿ O
X = Y
CALCULAR W (X)
N + 1
CALCULAR ~ ( X1 )d/\a 4.3. Cálculo de ER :
Newton - Raphson
f (9.) por el Mébodo-de
El método de Nev/ton - Raphson para resolver un
sistema de ecuaciones cuyas variables se encuentran en for-
ma implícita se muestra a continuación:
Sea X un vector de variables y W(X) el. sistema
de ecuaciones; entonces se tendrá:
W (X) = O (4.1)
c u vSea ahora A X5- + (4.2)
Se resuelve el sistema de ecuaciones cuando se
encuentre el valor de AX que se obtiene del producto ma-
tricialsiguiente:.
(4.3)
Como se verá, esta solución sería demasiado
larga hacerla manualmente.
__ÍW /« i }rv V \\CÍA
A X 1
3 J 4 7 a 10 11 U U H 15 U 17 1S 19 !0 71 77 _ ._. *.
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44 (4 47 48 49 50
51
57 S3 54 5!
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270
280
285
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310
325
330
340
345
347
350
300
305
375
.380 390
395
400
•PAfiE
PRINT -JJJJJJJJJPROGRAMA PARA OBTENER LAS CURVAS DE CARGABILIDAD DE'
PRINT • #í;*#####';H':t;:fí#:f-'###
'
PRINT "JJJUNA LINEA DE TRANSMISIÓN HEDÍANTE UN MODELO MATEMÁTICO"
PRINF '%%%%%%% %%%%X%X%XX$%%%XX%%XXXX^^^
'PF
-INT ' JJJJJJJJJJJ
PRESIONE CRETURN3 '
INPUT AS
REM ENTRADA DE DATOS DE LOS PARÁMETROS DE LA LINEA Db.
f'KÁ
rtbr
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PARA UN CIRCUITO *PI' NOMINAL
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» El / E2
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PRINT 'JJENTK'AÜA DE ÍJA f US Üt LA
Li
Nfc.
Au
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PRlNi
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PRINT 'Xl(2)-Re3ct3nci'3 terminal del lado de la fuente <p«u.)s
PKiN
"XüCrfíJ-Kesctancis
terminal del isoo oe ia cars*
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PRINT 'JJJ"
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REM ENTRADA DE DATOS DE VOLTAJES
PAGE
PRINT "E
3=mo
L-Pd
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del
voltsJe al comienzo de
la
linea"-
• -
- ... --
PRINT 'SE ASUME EL VOLTAJE £2 COMO REFERENCIA1
PRINT ' JJJJJJJJJJ
PRESIONE CRETURND '
INPUT C*
PAGE
"
....
PRINT 'JJJJJJJE3= •/
"
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PRINT "E2= 'i
INPUT E 2
Ktn
c.f>íi«Hi.iH
i.i¿ Lüo Vi
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RE^
DE COMPENSACIÓN
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-
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PRINT 'JJJJENTRADA DE LOS VALORES DE COMPENSACIÓN'
PRINT JN=corai*ens3cioHxn en serie íen porcentaje)"
PRINT •Nl^cQiiiPerissciofcTri shunt al comienEo de la linea (en '¿) '
h'KlN
"N^-canipensacioti T¡ snunt al Tinal de
¿a
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/-
>PRINT "JJJJJJJJJJJJJJ
PRESIONE CRETURN3 "
1
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L
J t 7 S 9 10 11 13 14 li U IB
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460
Jló5
' 470
INPUT
PAGE
INPUT
INPUT
INPUT
REM
REM
PAGE
n* -JJJJJN= '?
N NI Na"
RESTRICCIONES
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• -
- •
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DE CAÍDA DE VÜLÍAJb. V DhL Ll
hlíf
c. Ub.
L-tí fAK
lLlü
f-UI
EN ESTADO ESTACIONARIO
DE LUÜ MñLuktb iiL LAs K'ttí
KiUCiUNtb-
'mite del atPnsfulo en el lado de la fuente (rsd>"
475 PRINT
480 PRINT
485 INPUT
"Z9=motPdulQ del voltaje si final de la
'JJJJJJJJJJJJ
PRESIONE CRETURND1
4vo FASE
495 PRINT 'JJJJZ8=
74 7J 24
T7 28 79 30 31 3!
33 3J 36 37
3» 3? 40 41 43 44
45 n 47 48
JO
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REM
CONVERSIÓN DEL NOMINAL "PI' AL EQUIVALENTE
VPI'
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KEM
Ul==
Uani
ma * longitud (Km /-constarle oe propasación
REM
ZO-ifTipedancia csrscteristics
REM
ZO=(Z/Y)"0*5
REM
21=nuev3 impedancia serie del circuito SPI' eaui.valente
-REM
Z1=20*SINH<U1)
' -'
- -
- - ~
RLM
Yl-nueva admitancia shunt del circuito \J.' equivalente
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YÍ = U/ZO>Tsíh<Ul/2>
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CALCULO DE GAMMA CU1)
LiLLblE
úl
DIM
Ul (5)
"* "
"
- "
-U1C1)=-S1(2)*P1<2)
. .
...
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Ul(4)=ATN(Ulí2)/Ulíl»-fPI
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'JZQ(4)=ATNCZO(2)/ZOÍ1)>
. -
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573 20(2)
574
=ZO(4)/2
5/5 Züí2)~/0\ ÍKÜJ.NUUUT)
577 REM CALCULO DE LA NUEVA IMPEDANC1A SERIE
578 REM CALCULO DEL SINK(U1)=W(1)+JW(2)
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Í168
288
248
230
FIG,4«5
CARGABIL1DAD DE UNA LINEA HODELQ COH COMPENSACIÓN SERIE
w
CARG
flBI
LIDA
D.<.
p« ¡i. SIL)
240
280
Kn
CARGABILIDAD DE UNA LINEA MODELO CON COMPENSACIÓN
SHUNT
.93
4.3 ANÁLISIS DE RESULTADOS Y LIMITACIONES DEL
PR O G R A M A
Antes de analizar este preciso tema conviene
para fines de mejor comprensión del programa, ampliar el
concepto del SIL (carga de la irnpedancia de sobretensión)
el cual será usado indistintamente junto con el concepto de
Potencia Natural.
Supondremos conocidas las siguientes ecuacio-
nes (referencia 7/ ):
V = VD cosh Yl + ID Zo senh Yl (4,4)n K
VR
7— senh • yl (4.5)
para la tensión y la corriente en cualquier punto de una
línea. Si suponemos una línea sin pérdidas de potencia ac-
tiva (R = C = 0) obtendremos a partir de las anteriores, las
siguientes ecuaciones:
VR eos ( (31) + j IR 2o Sen ( gl) (4.6)
VRI = IR eos ( 31) + j _£ Sen ( 31) (4.7)
.94
Además indicaremos que la impedancia caracte-
rística (Z o) y la 51 (Seurge Impedance), impedancia de so-
bretensión serán conceptos usados indistintamente para una
línea de transmisión sin pérdidas. Ahora bien, en lo que
a los resultados mismos del programa se refiere podemos e x
presarlosiguiente:
1) La curva de cargabilidad de una línea de
transmisión [nuestra dos zonas: la primera
debida a la limitación de caída de voltaje
que se refiere a líneas de longitud corta
y la segunda debida a la restricción del
margen de estabilidad que se refiere a una-
longitud mayor para las mismas líneas.
Z) Un aumento de la compensación serie se tra
duce en un aumento de la cargabilidad de
la línea ,
3) Un aumento de la compensación shunt casi
no produce variación alguna en la cargabi-
lidad de una línea.
4) Asumiendo una línea sin pérdidas de poten-
,95
donde Zo es la impedancia característica, 1 es la longitud
de la línea, y es la constante de propagación y 3 es la
constante de fase como es comúnmente conocido.
Si colocamos al final de la línea una carga igual
a la impedancia característica Zo la potencia en el extremo
receptor será:
y la ecuación (4,6) se transforma en la siguiente:
V 2V = Vp eos ( gl) + j -J? . Zo sen (
rí ¿.o V n.rí
o lo que.es lo mismo:
V =' VR (eos 31 + j sen 31) = V eJP (4.9)
esto es, la tensión a lo largo de la línea permanece en va-
lor absoluto invariable, encontrándose únicamente una dife-
rencia de ángulo entre.el comienzo y el final de la línea
de <5 = 31 .
V ^R
Es por esto que la potencia P^ = •= es llama-
da Potencia Natural,
cia activa (R = C = 0), el cociente enbre
la cargabilidad de la línea y su SIL es in-
dependiente de los parámetros eléctricos de
la línea, dependiendo exclusivamente de la
línea y de sus voltajes terminales, como
puede verse a continuación.
Conociendo que:
Zp • = impedancia serie de la línea por Km.
Yp - admitancia shunt de la línea por Km,
Zo = \ Zp/Yp7 - (4.10)
Y - a + j P ~
propagación ' (4,11)
a - constante de atenuación,
fj = constante de fase.
Es, Er ~ voltajes en los extremos emisor y
receptor (complejos) (4.12)
Is3 Ir = corrientes en los extremos de la lí-
nea (complejas) (4.13)
Entonces:
R
5 -
Donde;
•2 ER
2E(
Siendo:
Zo thg Yl
2E - ZYE:r r2 Z
.97
(4,15)
(4.16)
como se indicd anteriormente.
Cuando todas las cantidades están expresadas en
p . u. , se tendrá:
SIL
SI
r r
SI
2 ES
Si2EC - 2E - ZYE *
§ _ i_52Z
51
Zo'
- 2 - (Zo sinh Yl) (~~ tgh — -)
2Zo sinh (
- eos ( Yl)
sinh ( 3 1) (4.17)
Ahora, como la resistencia R de una línea es
mucho menor que su reactancia inductiva-X, la constante de
.98
atenuación, a , es muy pequeña, y la consbante de propaga-
ción y se aproxima a la constante de fase, j 3 j y también
•x-Zo se aproxima a SI. Entonces la ecuación (4.17) se redu-
ce a :
/ Es \SD -r2- - COS ( SiK • \n /SIL (4.18)
Como limitaciones del programa, podemos indicar
que el proceso es relativamente lento, tardándose aproxima-
damente una hora para la obtención de hodos los resultados.
Además no funciona cuando se hace la compensación shunt igu-al
al 100% porque en este caso se trabaja con coeficientes muy
grandes que salen del marco de capacidad de la máquina. En
cualquier otra situación funciona perfectamente bien.
.99
CAPITULO V
APLICACIONES DEL P R O G R A M A DIGITAL PARA CALCULAR LA
CARGABILIDAD EN LINEAS DE TRANSMISIÓN
5.1 GENERALIDADES
Se ha estimado conveniente; y como aplicación del
programa que se presenta en el capítulo anterior, realizar
un estudio de las líneas que conforman la red actual del
Sistema Nacional Interconectado en lo referente a su car-
gabilidad. En el plano que se presenta a continuación se
puede apreciar dicha red que nos facilita su estudio. Con-
viene indicar, además, que se han contemplado p a r a l a s di-
versas líneas cuyo estudio se muestra también a continua-
ción, varias posibilidades en lo que a compensación se re-
fiere. Así3 pues, los primeros resultados de Cargabilidad•
corresponden a la cargabilidad de la línea sin ningún tipoi
de compensación y luego se consideran tanto ciertos casos
tomandos al azar de compensación serie porcentual como de
compensación shunt, y ésta a su vez dividida a manera de
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IHSTITUTO ECUATORIANO DE ELECTRIFICACIÓNQUITO-ECUADOR .
ÍÍIAGRAMA UNIFILAR SIM^-IFICADOPRIMER SEMESTRE. AfJO 1930.
SISTEMA HACIOKA WTERCONECTADO.
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dos alternativas que no significan otra cosa que un estu-
dio más completo de la línea; estas alternativas son, a sa-
ber , N1 que es la compensación shunt al comienzo de la li-
nea mirada desde el lado de transmisión y N2 que es la com-
pensación shunt al final de la línea.
Por otro ladoj y en lo que a las dos restriccio-
nes del programa se refiere, se ha creído necesario presen-
tar los resultados para varios casos de dichas restriccio-
nes que son: Margen de Estabilidad y Caída de Voltaje a
lo largo de la línea. No debe olvidarse, sin embargo-, que
los resultados de cargabilidad vienen expresados en por uni-
dad de la potencia natural o SIL que tiene un valor deter-
minado para cada línea y que se ha explicado ampliamente
en capítulos antera.ores, . _ .
,10
0-A
5.2
RESULTADOS
DE LAS
DIVERSAS
ALTERNATIVAS
PARA U5 LINEAS
qüE FORMAN
EL
SISTEMA
NACIONAL
INTERCDNECTADD
ACTUAL
LINEA PASCUALES--
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53. ANÁLISIS DE RESULTADOS Y ALCANCES DEL PROGRAMA
Ante todo, se debe indicar, que en todos los ca-
sos se ha introducido como dato del programa un voltaje en
el lado de transmisión de 1.06 p.u. el cual se toma 'como
referencia para estudiar las diferentes posibilidades de
caída de voltaje a lo largo de la línea. Por otro lado, es
de tener en cuenta la utilidad práctica que presenta el pro-
grama para poder realizar cualquier tipo de estudio de car-
gabilidad aplicado a una línea indiferente de nuestro sis-
tema de transmisión poniendo especial cuidado en introducir
correctamente los datos que requiere el programa; es decir,
las constantes de la línea de transmisión vendrán expresa-
das en p.u./Km. y la longitud de la línea/en Km.
En cuanto al análisis de resultados se refiere,
estos no son otra cosa que una manera de comprobar los es-
tudios teóricos realizados anteriormente y que a simple vis- >
ta puede decirse son los siguientes:
a) La compensación serie optimiza la cargabili-
dad de una línea de transmisión independien-
temente de su longitud.
b) La compensación shunt consigue similar efecto.
.102
Sin embargo puede observarse de acuerdo a los
resultados presentados que en ciertos casos
se consigue diferentes respuestas para los
mismos valores de compensación N1 y N2 pero
ambos están orientados en el mismo sentido,-
es decir a'aumentar la máxima potencia de
transmisión.
c) En una línea de transmisión, y a medida.que
aumenta su longitud, es la restricción de caí-
da de voltaje la que actúa primero y luego se
hace la restricción del margen de estabilidad
indiferentemente de cuáles sean los valores
a ellas asignados.
Sin embargo, debe decirse, que la duración de
una corrida completa oscila entre 20 y 30 minutos lo cual
puede explicarse por el hecho que la computadora 1se vuelve
bastante lenta para programas que tienden a copar su memo-'
ria .
,104
neas convencionales aéreas aparece como el
más favorable en los tiempos actuales.
e) La limitación de estabilidad de líneas largas
no está presente para transmisión en corrien-
directa. Las ventajas de transmisión con co-
rriente continua se incrementan con la distan-
cia de transmisión y con el costo de la línea
por unidad de longitud.
f) La compensación shunt, la cual es generalmen-
te requerida para propósitos de control de
sobrevoltaje tiene un efecto decreciente en
la cargabilidad.
g) 'El criterio de la caída de voltaje tiene una
influencia primaria en la cargabilidad de lí-
neas cortas, mientras que el criterio de es-
tabilidad tiene una influencia primaria en
líneas largas .
h) Asumiendo una línea sin pérdida, el cociente
de la cargabilidad de la línea a su SIL es
independiente de los parámetros eléctricos
.105
de la línea. Depende exclusivamente de la
longitud de la línea y de los voltajes ter-
minal.
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. 106
APÉNDICE
FORMA DE UTILIZACIÓN DEL PROGRAMA DIGITAL PARA OBTENER
LAS CURVAS DE CARGABILIDAD DE UNA LINEA DE TRANSMISIÓN
MEDIANTE UN MODELO MATEMÁTICO
El modelo matemático utilizado es el que se
muestra en la Figura 4.1 y contempla los • siguientes pará-
metros de entrada que corresponden a un sistema simple con
un circuito PI nominal:
51(1)
51 (2)
P1 (2)
X1 (2)
X2(2)
E3
resistencia serie del circuito PI nominal de la
L/T en p . u . /Km,
reactancia serie del circuito PI nominal de la
L/T en p.u./Km,
suscephancia en paralela del circuito PI nomi-
nal de la L/T en p.u,/Km .
reactancia terminal del lado de la fuente en
p.u.
reactancia terminal del lado de la carga en p.u
módulo del voltaje al comienzo de la línea en
p.u.
.107
E 2 = módulo del voltaje en el lado de la carga (nor-
malmente este valor será de 1 p.u. y se lo toma-
rá como voltaje de referencia).
N - compensación en serie de la L/T (en /ó) •
NI - compensación en shunt al comienzo de la L/T
(en %) ,
N2 - compensación en shunt al final de la L/T (en %).
Z8 - valor límite del ángulo en el lado de la fuente
(en radianes). Este valor corresponde a la res-
tricción del límite de estabilidad en estado es-
tacionario.
Z 9 - módulo del voltaje al final de la línea en p.u.
Z7 - longitud inicial de la línea de transmisión (en
Km. ) .
NGTA: el valor de Z 9 corresponde a la segunda restric-
ción del programa que es el de la caída de v o 1 -
•taje a lo largo de la línea.
T1 - valor inicial (en radianes) del ángulo en el la-
do de la fuente .
Las variables de salida del programa son las si
guientes;
E 4 = valor del voltaje al final de la línea en p.u.
.108
E1 = voltaje en el lado de la fuente en p.u.
T1 - valor del ángulo (en radianes) en el lado de la
fuente.
N - número de iteraciones que se han efectuado. Si
se hubieren realizado 500 iteraciones el progra-
ma se detiene automáticamente pues se considera
que es un número suficientemente alto.
W7 = módulo de la cargabilidad de la línea en p.u .
del SIL (o Potencia Natural).
E6(1) - cargabilidad real de la línea en p.u, del SIL.
Además tenemos las siguí e-n tes variables:
U1 - constante de propagación.
Zo = impedancia característica.
Z1 - nueva impedancia serie del circuito PI e *q u i v a -
. lente .
Y1 - nueva admitancia shunt del circuito PI equiva-
lente..
Se debe indicar que si se hubieran obtenido en
la unidad de salida los valores de cargabilidad conjunta-
mente con los valores de longitud de la línea, en la panta-
lla aparecerá lo siguiente:
. 109
STOP IN LINE 5260 PRIOR Tu LINE 6000
entonces, y únicamente si se desea grafizar estos valores
se deberá accionar en el teclado lo siguiente:
RUN 6150
y luego se deberá presionar la tecla RETURN.
1 10
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