1. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Proyecto 1: Estudio del Robot KUKA KR 6-2. Universidad NACIONAL de Colombia. Nelson Ariel Sierra. - nasierras@unal.edu.co 7 de junio de 2013 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

2. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Caractersticas tecnicas Espacio de trabajo Parametros de articulacion Descripcion del Robot Item Descripcion Carga util nominal 6[kg] Carga en el brazo 10[kg] Carga en el eslabon del brazo variable Carga en la columna de ro- tacion 20[kg] Carga distribuida total 36[kg] Carga distribuida total 36[kg] El robot KR 6, es un robot de 6 grados de libertad de juntas de revolucion optimizado para las siguientes tareas: Manipulacion. Ensamblaje. Aplicacion de adhesivos y sellantes . Maquinado. Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

3. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Caractersticas tecnicas Espacio de trabajo Parametros de articulacion Caractersticas del Robot Eje Posicion Velocidad 1 185[] 156[/s] 2 -125 a 65 [] 156[/s] 3 15 a -130 [] 156[/s] 4 350[] 343[/s] 5 130[] 362[/s] 6 350[] 659[/s] Angulos tomados desde la posicion Homedel Robot. Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

4. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Caractersticas tecnicas Espacio de trabajo Parametros de articulacion Espacio de trabajo 680 100 670 2412 675 35 1320 260 115 1081530 1027 1611 120 2026 R118 +35 +154---130 ---155 1611R ---185 +185 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

5. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Caractersticas tecnicas Espacio de trabajo Parametros de articulacion Parametros de articulacion (Denavit-Hartenberg) Denicion Se trata de un procedimiento sistematico para describir la estructura cinematica de una cadena articulada constituida por articulaciones con un solo grado de libertad. Para ello, a cada articulacion se le asigna un sistema de referencia local con origen en un punto. Donde: ai distancia entre zi a zi+1 medido por xi. i angulo entre zi a zi+1 medido por xi. di distancia entre xi1 a xi medido por zi. i angulo entre xi1 a xi medido por zi. Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

6. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Caractersticas tecnicas Espacio de trabajo Parametros de articulacion Parametros de articulacion q2 q1 q3 q4q5 q6 zR z0,z1 z4 z6 x2 x0,x1 xR x3 x4,x5 x6 y2 y3 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

7. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Caractersticas tecnicas Espacio de trabajo Parametros de articulacion Parametros de articulacion Cuadro : Tabla de parametros DH modicada i i1 ai1 di i 1 0 0 0 1 2 /2 x(21) 0 2 3 0 z(32) 0 3 4 /2 z(43) x(54) 4 5 /2 0 0 5 6 /2 0 x(65) 6 {SR} =(0, 0, 0) {S0} = {S1} =(0, 0, 675) {S2} =(260, 0, 675) {S3} =(260, 0, 1355) {S4} = {S5} =(930, 0, 1320) {S6} =(1045, 0, 1320) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

8. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Caractersticas tecnicas Espacio de trabajo Parametros de articulacion Parametros de articulacion Cuadro : Tabla de parametros DH modicada i i1 ai1 di i 1 0 0 0 1 2 /2 260 0 2 3 0 680 0 3 4 /2 -35 670 4 5 /2 0 0 5 6 /2 0 115 6 Todas las medidas en milmetros. Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

9. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica directa Denicion La cinematica directa es una tecnica usada para calcular la posicion de partes de una estructura articulada a partir de sus componentes jas y las transformaciones inducidas por las articulaciones de la misma. La cinematica directa se reere al uso de ecuaciones cinematicas para calcular la posicion de su actuador nal a partir de valores especcos llamados conjunto de parametros. (1, 2, ..., m) (x1, x2, ..., xn) . Cinematica Directa.m Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

10. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica directa Denicion Para hallar la cinematica directa se utiliza la matriz de transformacion homogenea basada en la tabla de parametros Denavit-Hartenberg anteriormente denida. i1 i T = ci si 0 ai1 sici1 cici1 si1 si1di sisi1 cisi1 ci1 ci1di 0 0 0 1 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

11. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica directa 0 1T = c1 s1 0 0 s1 c1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ; 1 2T = c2 s2 0 260 0 0 1 0 s2 c2 0 0 0 0 0 1 ; 2 3T = c3 s3 0 680 s3 c3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 4T = c4 s4 0 35 0 0 1 670 s4 c4 0 0 0 0 0 1 ; 4 5T = c5 s5 0 0 0 0 1 0 s5 c5 0 0 0 0 0 1 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

12. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica directa 5 6T = c6 s6 0 0 0 0 1 115 s6 c6 0 0 0 0 0 1 ; 0 3T = c23c1 s23c1 s1 20c1(34c2 + 13) c23s1 s23s1 c1 20s1(34c2 + 13) s23 c23 0 680s2 0 0 0 1 3 6T = c4c5c6 s4s6 c6s4 c4c5s6 c4s5 115c4s5 35 c6s5 s5s6 c5 115c5 + 670 c4s6 c5c6s4 c5s4s6 c4c6 s4s5 115s4s5 0 0 0 1 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

13. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica directa 0 6T = r11 r12 r13 0Px r21 r22 r23 0Py r31 r32 r33 0Pz 0 0 0 1 r11 = s1(c4s6 + c5c6s4) c23c1(s4s6 c4c5c6) + s23c1c6s5 r12 = s1(c4c6 c5s4s6) c23c1(c6s4 + c4c5s6) s23c1s5s6 r13 = s1s4s5 s23c1c5 + c23c1c4s5 r21 = s23c6s1s5 c23s1(s4s6 c4c5c6) c1(c4s6 + c5c6s4) r22 = c1(c4c6 c5s4s6) c23s1(c6s4 + c4c5s6) s23s1s5s6 r23 = c23c4s1s5 s23c5s1 c1s4s5 r31 = s23(s4s6 c4c5c6) + c23c6s5 r32 = s23(c6s4 + c4c5s6) c23s5s6 r33 = c23c5 s23c4s5 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

14. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica directa 0 6T = r11 r12 r13 0Px r21 r22 r23 0Py r31 r32 r33 0Pz 0 0 0 1 0 p6ORGx = 20c1(34c2 + 13) + 115s1s4s5 + c23c1(115c4s5 35) s23c1(115c5 + 670) 0 p6ORGy = 20s1(34c2 + 13) 115c1s4s5 + c23s1(115c4s5 35) s23s1(115c5 + 670) 0 p6ORGz = 680s2 s23(115c4s5 35) c23(115c5 + 670) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

15. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa Denicion La cinematica inversa es la tecnica que permite determinar el movimiento de una cadena de articulaciones para lograr que un actuador nal se ubique en una posicion concreta. El calculo de la cinematica inversa es un problema complejo que consiste en la resolucion de una serie de ecuaciones cuya solucion normalmente no es unica. La cinematica inversa se reere al uso de la posicion y orientacion del efector nal (o sistema) para calcular los parametros de articulacion. (x1, x2, ..., xn) (1, 2, ..., m) . Cinematica Inversa.m y KUKA KR 6 2.m Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

16. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa Se parte del hecho que se conoce la orientacion y la posicion del punto que se desea alcanzar, (es decir 0 6T) es conocida: 0 P4ORG =0 6 T 6 P4ORG 0 P4ORG = r11 r12 r13 0 Px r21 r22 r23 0 Py r31 r32 r33 0 Pz 0 0 0 1 0 0 115 1 0 P4ORG = 115r13 +0 px 115r23 +0 py 115r13 +0 pz 1 = 0 p4ORGx 0 p4ORGy 0 p4ORGz 1 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

17. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa A su vez se dene como igualdad 0 P4ORG =0 3 T 3 P4ORG Al realizar dicha multiplicacion: 0 P4ORG = 35c23c1 670s23c1 + 20c1(34c2 + 13) 35c23s1 670s23s1 + 20s1(34c2 + 13) 35s23 670c23 680s2 1 = A B C 1 = 0 p4ORGx 0 p4ORGy 0 p4ORGz 1 Al realizar la comparacion entre A/c1 y B/s1, se obtiene: [A/c1] 35c23 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGx/c1 [B/s1] 35c23 670s23 + 20(34c2 + 13) =0 p4ORGy/s1 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

18. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa 0 p4ORGx c1 = 0 p4ORGy s1 tan(1) = 0 p4ORGy 0p4ORGx 1 = atan2(0 p4ORGy,0 p4ORGx) o 1 = atan2(0 p4ORGy, 0 p4ORGx) Para obtener un angulo diferente se toma la relacion (A/c1)2 y (C)2 . La cual utilizando reduc- ciones algebraicas puede ser expresada de la forma: 35c3 670s3 = 1 1360 0 p4ORGx c1 260 2 + (0 p4ORGz)2 352 6702 6802 35c3 670 1 (c3)2 = 1 1360 0 p4ORGx c1 260 2 + (0 p4ORGz)2 352 6702 6802 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

19. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa Finalmente, para el seno y coseno de este angulo se obtiene una solucion de la forma: c2 3 6702 + 352 K2 2c3 35 K + 1 670 K 2 Donde: K = 1 1360 0 p4ORGx c1 260 2 + (0 p4ORGz)2 352 6702 6802 Ademas: s3 = 1 1360 670 0 p4ORGx c1 260 2 + (0 p4ORGz)2 352 6702 6802 35 670 c3 Entonces: 3 = atan2(s3, c3) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

20. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa Para el siguiente angulo se relaciona (A/c1) y (C), y se expresa un sistema de ecuaciones 22 en funcion de las incognitas s2 y c2: s2 c2 b 35s3 670c3 35c3 670s3 + 680 (0p4ORGx/c1) 260 35c3 + 670s3 680 35s3 670c3 0p4ORGz Las soluciones de este sistema son: s2 = 34840 c1 c3 136 c1 0 p4ORGz 134 c3 0 p4ORGx 1820 c1 s3 + 7 0 p4ORGx s3 + 7 c1 c3 0 p4ORGz + 134 c1 0 p4ORGz s3 5 c1 18005 c3 2 1904 c3 + 18005 s3 2 36448 s3 + 18496 c2 = 35360 c1 136 1820 c1 c3 + 7 c3 0 p4ORGx 34840 c1 s3 + 134 0 p4ORGx s3 + 134 c1 c3 0 p4ORGz 7 c1 0 p4ORGz s3 5 c1 18005 c3 2 1904 c3 + 18005 s3 2 36448 s3 + 18496 Entonces: 2 = atan2(s2, c2) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

21. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa Para los ultimos 3 angulos se hace uso de la relacion (Dado que se conocen los 3 primeros angulos, entonces 0 3T es conocida): 3 P6ORG =3 0 T 0 P6ORG 3 P6ORG = 0 3T 1 0 P6ORG 115c4s5 35 115c5 + 670 115s4s5 1 = 3p6ORGx 3p6ORGy 3p6ORGz 1 De la comparacion termino a termino se obtiene: c5 = 3p6ORGy 670 115 donde |s5| = 1 (c5)2 Entonces: 5 = atan2(s5, c5) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

22. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa 115c4s5 35 =3 p6ORGx y 115s4s5 =3 p6ORGz c4 = 3p6ORGx + 35 115s5 y s4 = 3p6ORGz 115s5 Entonces: 4 = atan2(s4, c4) Para el ultimo de los angulos (6) se toma la relacion de transformacion: 3 6T =3 0 T 0 6 T 3 6T = 0 3T 1 0 6 T Con la comparacion termino a termino se tiene: 3 6T(2, 1) = c6s5 = 0 3T 1 0 6 T (2, 1) 3 6T(2, 2) = s5s6 = 0 3T 1 0 6 T (2, 2) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

23. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica inversa c6 = 0 3T 1 0 6 T (2, 1) s5 s6 = 0 3T 1 0 6 T (2, 2) s5 Finalmente: 6 = atan2(s6, c6) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

24. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Cinematica diferencial Denicion El jacobiano del manipulador relaciona las velocidades articulares con las velocidades cartesianas del extremo. V = J() = J1 () V V = vx vy vz x y z T Es de notar, que existan valores de para los que el jacobiano es singular. Estas singularidades se presentan en los lmites del espacio de trabajo, o en su interior cuando dos o mas ejes de articulacion estan alineados. Jacobiano.m Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

25. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Velocidades angulares y lineales Se calculan las velocidades (lineales y angulares) de las articulaciones de atras haca delante (Es decir del marco {0} al de la Herramienta). Ademas se dene una nueva matriz para la herramienta con la misma orientacion del ultimo marco, pero desplazada segun sea la distancia de la herramienta. 6 HT = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 35 0 0 0 1 i+1 i+1 =i+1 i R i i + i+1 i+1 Zi+1 Velocidad Angular i+1 vi+1 =i+1 i R (i vi + (i i i Pi+1)) Velocidad Lineal Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

26. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Calculo del Jacobiano Se realizan las derivadas pertinentes ((iVj)/ k), calculando el cambio entre la posicion j del vector de velocidad, descrita en el marco i y la variable k. i Ji() = i vx 1 i vx 2 i vx 3 i vx 4 i vx 5 i vx 6 i vy 1 i vy 2 i vy 3 i vy 4 i vy 5 i vy 6 i vz 1 i vz 2 i vz 3 i vz 4 i vz 5 i vz 6 i x 1 i x 2 i x 3 i x 4 i x 5 i x 6 i y 1 i y 2 i y 3 i y 4 i y 5 i y 6 i z 1 i z 2 i z 3 i z 4 i z 5 i z 6 donde i Vi = i vi i i = i vx i vy i vz i x i y i z Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

27. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Calculo del Jacobiano J11 = s6(c4(35c23 + 670s23 680c2 260) 115c23s5 + 115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 680c2 260)) J12 = s6(c4(35c23 + 670s23 680c2) 115c23s5 + 115s23c4c5) + c6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 680c2)) J13 = s6(670s4 + 115c5s4) c6(115c4 35s5 + 670c4c5) J14 = 115c5s4s6 115c4c6 J15 = 115s5s6 J16 = J26 = J34 = J35 = J36 = J66 = 0 J21 = c6(c4(35c23 + 670s23 680c2 260) 115c23s5 + 115s23c4c5) s6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 680c2 260)) J22 = c6(c4(35c23 + 670s23 680c2) 115c23s5 + 115s23c4c5) s6(115s23s4 + c5s4(35c23 + 670s23 680c2)) J23 = s6(115c4 35s5 + 670c4c5) + c6(670s4 + 115c5s4) J24 = 115c4s6 + 115c5c6s4 J25 = 115c6s5 J31 = s4s5(35c23 + 670s23 680c2 260) J32 = s4s5(35c23 + 670s23 680c2) J33 = 35c5 670c4s5 J41 = c6(c23s5 s23c4c5) + s23s4s6 J42 = c6(c23s5 s23c4c5) + s23s4s6 J43 = c4s6 c5c6s4 J44 = c4s6 c5c6s4 J45 = c6s5 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

28. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Cinematica directa Cinematica inversa Cinematica diferencial Calculo del Jacobiano J46 = s6 J51 = s23c6s4 s6(c23s5 s23c4c5) J52 = s23c6s4 s6(c23s5 s23c4c5) J53 = c5s4s6 c4c6 J54 = c5s4s6 c4c6 J55 = s5s6 J56 = c6 J61 = c23c5 s23c4s5 J62 = c23c5 s23c4s5 J63 = s4s5 J64 = s4s5 J65 = c5 150[mm] Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

29. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Descripcion de la trayectoria c1 c2c3 c4 [xp, 350, 400] [xp, 50, 400] A B C D EF G H [xp, 0, 450] [xp, 0, 550] [xp, 50, 600][xp, 350, 600] [xp, 400, 550] [xp, 400, 450] [xp, 200, 500] [xp, 350, 450] [xp, 350, 550] [xp, 50, 550] [xp, 50, 450] zP xP 12 1113 14 15 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Dimensiones (400 200 30)[mm] y Ubicacion del centro de la placa = [xP , 200, 500][mm] Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

30. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Parametrizacion de la trayectoria (Desplazamiento) [A-B] (y decrece) z = 450 (B-C] (y decrece) z = 502 (y c1(y))2 + c1(z) (C-D] (z crece) y = 0 (D-E] (y crece) z = 502 (y c2(y))2 + c2(z) (E-F] (y crece) z = 600 (F-G] (y crece) z = 502 (y c3(y))2 + c3(z) (G-H] (z decrece) y = 400 (H-A] (y decrece) z = 502 (y c4(y))2 + c4(z) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

31. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Parametrizacion de la trayectoria (Rotacion) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

32. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Parametrizacion de la trayectoria (Rotacion) Se asume en cada tramo que la pareja (y, z) cambia segun se desplace y el punto en x se mantiene constante. La orientacion de los intervalos parametrizados, en el segmento recto, es constante debido a que la orientacion se mantiene constante; pero en los curvos dicha orientacion se calcula con base en un angulo denido por el vector que apunta al centro de la trayectoria. xH zH yH xH zH yH El angulo (j) de rotacion en el i-esimo segmento curvo con (ci) centro de rotacion, esta dado por el coseno inverso entre el producto punto del vector unitario dirigido desde el k-esimo punto (xP , yk, zk) de la trayectoria y el i-esimo centro de rotacion, y el vector unitario del eje z: ai = (xP , y, z) ci ||(xP , y, z) ci|| j = arc cos(ai Z) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

33. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Parametrizacion de la trayectoria (Rotacion) Trayectoria [A-B]: 0 H R = Ry(/2) Rz() Trayectoria (B-C]: . .....El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites: Cambia de (1 = 0) a (1 = /2) 0 H R = Ry(/2) Rz() Rx(1) Trayectoria (C-D]: 0 H R = Ry(/2) Rz() Rx(/2) Trayectoria (D-E]: . .....El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites: Cambia de (2 = /2) a (2 = ) 0 H R = Ry(/2) Rz() Rx(2) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

34. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Parametrizacion de la trayectoria (Rotacion) Trayectoria (E-F]: 0 H R = Ry(/2) Rz() Rx() Trayectoria (F-G]: . .....El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites: Cambia de (3 = ) a (3 = 3/2) 0 H R = Ry(/2) Rz() Rx(3) Trayectoria (G-H]: 0 H R = Ry(/2) Rz() Rx(3/2) Trayectoria (H-A]: . .....El angulo cambia, ya que se evalua en cada iteracion, entre los lmites: Cambia de (4 = 3/2) a (4 = 2) 0 H R = Ry(/2) Rz() Rx(4) Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

35. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Descripcion de la trayectoria 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Muestras [] 1199 1199.5 1200 1200.5 1201 0 100 200 300 400 400 450 500 550 600 xy z Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

36. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Gracas de articulacion - Velocidad Las posiciones de articulacion se hallan evaluando la parametrizacion de posicion y rotacion en la funcion de cinematica inversa y optimizando tales resultados. Las velocidades se articulacion se hallan ayudados por la denicion del Jacobiano inverso, tomando en cuenta que unicamente en los segmentos curvos existe velocidad angular y que la velocidad lineal (tangencial) es constante durante toda la trayectoria. H vH = [0, 100, 0]T [mm/s] p = 2r 4 = 2(50) 4 = 25[mm] ttrayectoria = p v = 25 100 = 4 [s] |x| = ttrayectoria = /2 /4 H H = [2, 0, 0]T [rad/s] Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

37. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Gracas de articulacion - Posicion 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Grficas de Posicin para 1 [rad] 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1.3 1.25 1.2 1.15 1.1 1.05 1 0.95 0.9 0.85 Grficas de Posicin para 2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 Grficas de Posicin para 3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Muestras [rad] Grficas de Posicin para 4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 Grficas de Posicin para 5 Muestras 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 4 3 2 1 0 1 2 3 4 Muestras Grficas de Posicin para 6 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

38. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Gracas de articulacion - Velocidad 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 4 2 0 2 4 6 8 10 [rad/s] Grfica de velocidad angular para q1 . [rad/s] . Muestra Muestra Muestra 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 Grfica de velocidad angular para q2 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Grfica de velocidad angular para q3 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 Grfica de velocidad angular para q4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Grfica de velocidad angular para q5 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 3 2 1 0 1 2 3 Grfica de velocidad angular para q6 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

39. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Modelacion en Matlab c Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

40. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Modelo de Matlab c - SimMechanics Tierra Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q6 theta6T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q5 theta5T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q4 theta4T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q3 theta3T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q2 theta2T Tiempo de trayectoria y Posiciones Angulares para q1 theta1T Soldadura B F Referencias Velocidad y Aceleracin Angular para q6 0 Referencias Velocidad y Aceleracin Angular para q5 0 Referencias Velocidad y Aceleracin Angular para q4 0 Referencias Velocidad y Aceleracin Angular para q3 0 Referencias Velocidad y Aceleracin Angular para q2 0 Referencias Velocidad y Aceleracin Angular para q1 0 Junta de Revolucin 6 B F Junta de Revolucin 5 B F Junta de Revolucin 4 B F Junta de Revolucin 3 B F Junta de Revolucin 2 B F Junta de Revolucin 1 B F Eslabon {SH} CS1 Eslabon {S6} CS1CS2 Eslabon {S5} CS1CS2 Eslabon {S4} CS1 CS2 Eslabon {S3} CS1 CS2 Eslabon {S2} CS1 CS2 Eslabon {S0} {S1} CS1 CS2 Eslabon Referencial {SR} CS1 CS2 Ajuste Herramienta B F Actuador Junta R6 Actuador Junta R5 Actuador Junta R4 Actuador Junta R3 Actuador Junta R2 Actuador Junta R1 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

41. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Descripcion de la trayectoria Gracas de articulacion Modelacion en Matlab c Resultado de Matlab c - SimMechanics Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2

42. Dinamica de Robots Caractersticas del Robot Cinematica Simulaciones Bibliografa Bibliografa Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Craig. John J. 3rd. Edition, Pearson Editorial. KUKA c KR6 robot specication. KUKA Robotics Disponible en: http://www.kuka-robotics.com/es/products/industrial_robots/low/kr6_2/ Simulaciones realizadas en Matlab 2011a. MathWorks c Version: 7.12.0.635 Universidad NACIONAL de Colombia. Dinamica de Robots - KUKA KR 6-2