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7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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T h e L a z y S t u d e n t M a n u a l t o M a t h 0 2 3 a t D a r t m o u t h
A s t u d y g u i d e b y y o u r n e i g h b o r h o o d f r i e n d l y N i c k C e m e n e n k o f f
1
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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B a s i c D e f i n i t i o n s
O r d i n a r y D i e r e n t i a l E q u a t i o n ( O D E ) : a d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t o n l y h a s o r d i n a r y d e r i v a t i v e s i n i t
( i . e . n o t h i n g p a t h o l o g i c a l o r c r a z y , j u s t w h a t y o u ' d e x p e c t )
P a r t i a l D i e r e n t i a l E q u a t i o n ( P D E ) : a d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t c o n t a i n s p a r t i a l d e r i v a t i v e s
L i n e a r D i e r e n t i a l E q u a t i o n : c h a r a c t e r i z e d b y t w o t h i n g s : ( 1 ) t h e r e a r e n o p r o d u c t s o f y (t) a n d i t s d e r i v a t i v e s , a n d ( 2 )
y (t) a n d i t s d e r i v a t i v e s a r e o n l y r s t o r d e r
N o n l i n e a r D i e r e n t i a l E q u a t i o n : a n y d i e r e n t i a l e q u a t i o n w h i c h v i o l a t e s o n e o f t h e p r o p e r t i e s d e s c r i b e d
i n t h e d e n i t i o n o f a l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n
I n i t i a l C o n d i t i o n s : v a l u e s o f t h e s o l u t i o n a t s p e c i c p o i n t s
I n i t i a l V a l u e P r o b l e m : a p r o b l e m t h a t g i v e s a d i e r e n t i a l e q u a t i o n w i t h a n a p p r o p r i a t e n u m b e r o f a s s o -
c i a t e d i n i t i a l c o n d i t i o n s ( e x . 4x2y + 12xy + 3y = 0 , y (4) = 18 , y (4) = 364 )
G e n e r a l S o l u t i o n : a s o l u t i o n t o a d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t d o e s n ' t t a k e i n i t i a l c o n d i t i o n s i n t o a c c o u n t
( e x . g i v e n 2ty + 4y = 3 , a g e n e r a l s o l u t i o n w o u l d b e y (t) = 34 + ct2 )
A c t u a l S o l u t i o n : a s p e c i c s o l u t i o n t h a t s a t i s e s t h e g i v e n d i e r e n t i a l e q u a t i o n a s w e l l a s t h e a s s o c i a t e d
i n i t i a l c o n d i t i o n s
E x p l i c i t S o l u t i o n : a n y s o l u t i o n g i v e n i n t h e f o r m y = y (t) ; b a s i c a l l y a s o l u t i o n w r i t t e n w i t h y o c c u r i n g o n l y o n t h e l e f t h a n d s i d e o f t h e e q u a t i o n a n d r a i s e d t o t h e r s t p o w e r ( e x . y (t) = t2 + t + 1 i s a n e x p l i c i t s o l u t i o n )
I m p l i c i t S o l u t i o n : a n y s o l u t i o n t h a t i s n ' t e x p l i c i t ( e x .
sin (xy) = y2x2 + 4 i s a n i m p l i c i t s o l u t i o n )
2
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S o l v i n g S e p a r a b l e D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s
O u r m a i n g o a l i s t o n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m y = y(t)
1 . T h i s m e t h o d i s u s e d t o s o l v e a l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t h e f o l l o w i n g f o l l o w i n g f o r m :
N(y)dy
dx= M (x)
I f t h e g i v e n e q u a t i o n i s n o t i n t h i s f o r m , t h i s m e t h o d w i l l f a i l .
2 . T r e a t t h e
dydx
t e r m a s i f i t w e r e a n o r m a l f r a c t i o n , a n d t h e n s e p a r a t e t h e e q u a t i o n s o t h a t a l l y t e r m s
a r e o n t h e l e f t s i d e , a n d a l l x t e r m s a r e o n t h e r i g h t .
N(y) dy = M(x)dx
3 . I n t e g r a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n t o a r r i v e a t a g e n e r a l i m p l i c i t s o l u t i o n .
N(y) dy =
M(x)dx
4 . I f r e q u i r e d , c h a n g e t h e g e n e r a l i m p l i c i t i o n s o l u t i o n t o a g e n e r a l e x p l i c i t s o l u t i o n , o r i f g i v e n i n i t i a l
c o n d i t i o n s , s o l v e f o r t h e a c t u a l s o l u t i o n i n e x p l i c i t f o r m .
( a ) I f a s k e d f o r t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y , n d t h e d o m a i n o f o f t h e a c t u a l s o l u t i o n i n R , w r i t e o u t
t h e p o s s i b l e i n t e r v a l s o f v a l i d i t y , a n d t h e n p i c k t h e o n e c o n t a i n i n g t h e v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t
v a r i a b l e g i v e n i n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s ( s e e t h e f o l l o w i n g e x a m p l e f o r c l a r i c a t i o n ) .
E x a m p l e :
S o l v e
dydx
= 6y2x2 g i v e n t h a t y (1) = 125 , a n d n d t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y .S e p a r a t e t h e e q u a t i o n a n d t h e n i n t e g r a t e f o r a g e n e r a l i m p l i c i t s o l u t i o n .
1
y2dy = 6xdx
y2dy = 6
xdx
1y
= 3x2 + c
U s e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s t o n d t h e a c t u a l i m p l i c i t s o l u t i o n .
1 125 = 3 (1) + c
25 = 3 + c
c = 28
1y
= 3x2 28
I s o l a t e y t o g e t t h e a c t u a l s o l u t i o n i n e x p l i c i t f o r m .
3
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#
"
!y (x) =
1
28 3x2
F i n d t h e d o m a i n o f y ( x ) .
domain of y(x)| 28 3x2 = 0
domain of y(x)| x2 = 283
domain of y(x)| x =
28
3 3.06
S i n c e i n t e r v a l s o f v a l i d i t y m u s t b e c o n t i n u o u s b y d e n i t i o n , w e a r e t h e r e f o r e o n l y l e f t w i t h t h r e e p o s s i b l e
i n t e r v a l s o f v a l i d i t y :
, 28
3
28
3, 28
3 28
3,
N o w w e j u s t p i c k t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y t h a t c o n t a i n s x = 1.
i n t e r v a l o f v a l i d i t y
283 ,
283
4
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S o l v i n g L i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s v i a a n I n t e g r a t i n g F a c t o r
O u r m a i n g o a l i s t o n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m
y = y(t)
1 . T h i s m e t h o d i s u s e d t o s o l v e a l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i n t h e f o l l o w i n g f o l l o w i n g f o r m :
dy
dt+p(t)y = g(t)
I f t h e g i v e n e q u a t i o n i s n o t i n t h i s f o r m , t h i s m e t h o d w i l l f a i l .
2 . M u l t i p l y t h e e q u a t i o n b y a n i n t e g r a t i n g f a c t o r (t) . W e d o n ' t k n o w w h a t (t) i s j u s t y e t , b u t w e w i l l s o l v e f o r i t l a t e r .
(t)dy
dt+ (t)p(t)y = (t)g(t)
3 . N o w w e ' r e g o i n g t o a s s u m e t h a t w h a t e v e r (t) i s , i t ' s d e r i v a t i v e w i l l b e e q u i v a l e n t t o (t)p(t) . A g a i n ,d o n ' t w o r r y a b o u t w h y w e a r e d e n i n g (t) t h i s w a y . O u r r e a s o n i n g f o r d o i n g s o w i l l b e m a d e c l e a r a t s t e p 9 .
(t) = (t)p(t)
4 . D i v i d e b o t h s i d e s b y (t).(t)(t)
= p(t)
5 . N o t i c e
(t)(t) =
ddt
[ln|(t)|]. S u b s t i t u t e i n t h i s f a c t a n d t h e n i n t e g r a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i t h r e s p e c t t o t.
d
dt[ln|(t)|] = p(t)
d
dt[ln|(t)|]
dt =
p(t)dt
ln|(t)| = p(t)dt + c6 . E x p o n e n t i a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n t o i s o l a t e (t) .
eln|(t)| = ep(t)dt+c
|(t)| = ep(t)dt ec = ce
p(t)dt
* N o t e t h a t
ecw i l l a l w a y s s i m p l i f y t o a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t . B e c a u s e o f t h i s , w e c a n j u s t r e d e n e
t h i s t e r m a s a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t , c .
7 . S u b s t i t u t e i n t h e s o l u t i o n f o r (t) i n t o t h e o r i g i n a l e q u a t i o n m u l t i p l i e d b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .
cep(t)dt
dy
dt
+ cep(t)dtp(t)y = ce
p(t)dt g(t)
8 . W e e l i m i n a t e c f r o m t h e e q u a t i o n b y d i v i d i n g t h e e n t i r e t h i n g b y c. ( W e a s s u m e c = 0 , b e c a u s e i f c = 0 ,t h e n o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w o u l d r e d u c e t o 0 = 0 . I n o t h e r w o r d s , o u r i n t e g r a t i n g f a c t o r w o u l d b e a s u s e l e s s a s m u l t i p l y i n g b o t h s i d e s o f t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y z e r o f r o m t h e o u t s e t o f t h e
p r o b l e m . )
cep(t)dt dy
dt+ ce
p(t)dtp(t)y
c=
cep(t)dtg(t)
c
ep(t)dt dy
dt+ e
p(t)dtp(t)y = e
p(t)dtg(t)
5
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9 . N o w n o t i c e
ddt
ep(t)dt y
= e
p(t)dt dy
dt+ e
p(t)dtp(t)y b y t h e P r o d u c t R u l e . T h i s i s e q u i v a l e n t t o t h e
l e f t h a n d s i d e o f o u r e q u a t i o n ! R e w r i t e i t a s s u c h :
d
dt
ep(t)dt y
= e
p(t)dtg(t)
1 0 . I n t e g r a t e b o t h s i d e s w i t h r e s p e c t t o
t.
d
dt
ep(t)dt y
dt =
ep(t)dtg(t)dt
ep(t)dt y =
ep(t)dtg(t)dt + c
1 1 . I s o l a t e
yb y d i v i d i n g e a c h s i d e o f t h e e q u a t i o n b y
ep(t)dt
.
y =
ep(t)dtg(t)dt + c
ep(t)dt
Y o u ' r e d o n e !
E x a m p l e :
S o l v e
dydt
+ 12y =12e
t3
g i v e n t h a t y(0) = 1.
F i r s t w e c h e c k i f t h e e q u a t i o n i s i n t h e f o r m
dydt
+p(t)y = g(t). I t i s .N o w w e m u l t i p l y b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r (t) .
(t)dy
dt+ (t)
1
2y = (t)
1
2et3
S i n c e w e k n o w
ddt
[(t) y] = (t) dydt
+ (t)y , w e n e e d t o s o l v e f o r a (t) s u c h t h a t (t) = 12(t).
(t) =1
2(t)
(t)(t)
=1
2
d
dt[ln|(t)|] = 1
2
d
dt[ln|(t)|]
dt =
1
2dt
ln|(t)| = 12
t + c
eln|(t)| = cet2
W e c a n j u s t l e t c = 1 h e r e b e c a u s e i t w i l l b e j u s t b e r e m o v e d f r o m o u r e q u a t i o n l a t e r .
let c = 1
(t) = et2
N o w w e p l u g o u r i n t e g r a t i n g f a c t o r b a c k i n t o o u r o r i g i n a l e q u a t i o n w i t h t h e m u l t i p l i e d i n t e g r a t i n g f a c t o r
a n d s i m p l i f y .
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et2
dydt
+
et2
12
y =
et2
12
et3
et2
dy
dt+
1
2et2 y =
1
2e56 t
S i n c e w e k n o w
ddt
e
t
2 y
= et
2
dydt +
12et2y
i s t r u e ( A c t u a l l y d o t h i s d e r i v a t i v e t o m a k e s u r e t h i s i s t r u e ! ) , w e
c a n n o w r e w r i t e t h e e q u a t i o n a n d i n t e g r a t e .
d
dt
et2 y
=
1
2e56 t
d
dt
et2 y
dt =
1
2e56 tdt
et2 y =
3
5e56 t + c
y =35
e56 t + c
e
t2
y =3
5et3 + ce
t2
P l u g i n t h e g i v e n i n t i t i a l c o n d i t i o n s y(0) = 1 a n d s o l v e f o r c .
1 =3
5e(0)3 + ce
(0)2
1 =3
5e0 + ce0
1 =3
5+ c
c =2
5
P l u g i n
25 f o r
cb a c k i n o u r o r i g i n a l a n s w e r , a n d w e ' r e d o n e !#
"
!y =
3
5et3 +
2
5e
t2
7
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S o l v i n g E x a c t D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s :
L i k e a l w a y s , o u r m a i n g o a l i s t o n d a s o l u t i o n o f t h e f o r m y = y(t).
F o r t h e p u r p o s e s o f c l a r i t y h o w e v e r , r s t w e ' r e g o i n g t o g o t h r o u g h a n e x a m p l e t o u n d e r s t a n d w h y t h e
m e t h o d t h i s s t u d y g u i d e o u t l i n e s w o r k s r s t , t h e n w e w i l l g o i n t o a c t u a l l y a p p l y i n g t h e m e t h o d .
S u p p o s e y o u a r e g i v e n a n d a s k e d t o s o l v e 2xy 9x2 + 2y + x2 + 1 dydx
= 0. T h e m e t h o d w e w i l l l e a r n i n v o l v e s u s n d i n g a f u n c t i o n (x, y) t h a t w i l l h a v e c e r t a i n s p e c i a l q u a l i t i e s t h a t , w h e n a p p l i e d t o o u r p r o b l e m , m a k e s o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o l v a b l e . F o r t h i s p a r t i c u l a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n , t h e f u n c t i o n w e
n e e d i s (x, y) = y2 +
x2 1 y 3x3 . D o n ' t w o r r y j u s t y e t a b o u t h o w w e w i l l a c t u a l l y n d t h i s f u n c t i o n i f i t ' s n o t g i v e n . W e w i l l d o t h a t l a t e r . R i g h t n o w w e w i l l f o c u s o n w h y t h i s p a r t i c u l a r (x, y) i s t h e o n e t h a t w i l l m a k e o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o l v a b l e .
L e t ' s t a k e t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e s o f (x, y) = y2 +
x2 1 y 3x3 .x = 2xy 9x2 y = 2y + x2 + 1
T a k i n g a l o o k a t o u r o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n , n o t i c e w e c a n n o w r e w r i t e t h e e q u a t i o n a s :
x + ydy
dx= 0
N o w h e r e c o m e s t h e t r i c k y p a r t . R e m e m b e r t h e m u l t i v a r i a b l e v e r s i o n o f t h e C h a i n R u l e f r o m c a l c u l u s ?
I t t e l l s u s :
d
dt[ (x, y)] =
x[ (x, y)]
dx
dt+
y[ (x, y)]
dy
dt
N o w w e c a n m u l t i p l y t h e e n t i r e C h a i n R u l e e q u a t i o n b y t h e o p e r a t i o n
dtdx
t o g e t s o m e c o o l c a n c e l l a t i o n
w h i c h g e t s r i d o f a l l d t t e r m s .dt
dx
d
dt[ (x, y)] =
x[ (x, y)]
dt
dx
dx
dt+
y[ (x, y)]
dt
dx
dy
dt
d
dx[ (x, y)] =
x[ (x, y)] +
y[ (x, y)]
dy
dx
N o w w e c a n c h a n g e t h e n o t a t i o n t o h a v e i t m a t c h o u r p r e v i o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n .
d
dx[ (x, y)] = x + y
dy
dx
W e c a n n o w r e w r i t e o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n ( b y t h e C h a i n R u l e ) a s :
d
dx[ (x, y)] = 0
I n t e g r a t i n g w e g e t :
(x, y) = c
T h i s m e a n s (x, y) i s a n i m p l i c i t s o l u t i o n t o o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n ! S o l e t ' s g e n e r a l i z e t h e c h a r a c t e r - i s t i c s o f (x, y) t h a t w e s a w i n t h i s e x a m p l e .
I f w e h a v e a n e q u a t i o n o f t h e f o r m M(x, y) + N(x, y) dydx
= 0 , a n d i f t h e r e e x i s t s a f u n c t i o n (x, y) s u c h
t h a t x = M(x, y) a n d y = N(x, y), t h e n w e c a n r e w r i t e o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n a s x+ ydydx
= 0 . T h i s a l l o w s u s t o i n t e g r a t e a n d n d a n i m p l i c i t s o l u t i o n (x, y) = c .
8
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S o h o w d o w e n d (x, y) ? A n d p e r h a p s m o r e i m p o r t a n t l y , b e f o r e w e t r y t o n d i t , h o w c a n w e b e s u r e i t a c t u a l l y e x i s t s ?
I f (x, y) i s c o n t i n u o u s w i t h c o n t i n u o u s r s t - o r d e r p a r t i a l d e r i v a t i v e s , t h e n w e k n o w xy = yx b yC l a i r a u t ' s T h e o r e m f r o m m u l t i v a r i a b l e c a l c u l u s . T h e r e f o r e w e o b s e r v e :
xy = (x)y = (M)y = My
yx = (y)x = (N)x = Nx
H e n c e , o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s o n l y e x a c t ( i . e . s o l v a b l e b y n d i n g a n a p p r o p r i a t e f u n c t i o n (x, y) ) i fa n d o n l y i f My = Nx . S o b e f o r e w e t r y t o u s e t h e m e t h o d o f n d i n g a f u n c t i o n (x, y) t o s o l v e a d i e r e n t i a l e q u a t i o n , w e s h o u l d a l w a y s c h e c k f o r e x a c t n e s s u s i n g My = Nx a s a t e s t .
E x a m p l e :
S o l v e 2xy 9x2 + 2y + x2 + 1 dydx
= 0 g i v e n t h a t y (0) = 3 a n d n d t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y .1 . W r i t e o u t M a n d N a n d t h e n c h e c k t o s e e i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s e x a c t u s i n g My = Nx a s a t e s t .
M = 2xy 9x2 My = 2x
N = 2y + x2 + 1 Nx = 2x
My = Ny exact
2 . W e k n o w x = M a n d y = N, t h e r e f o r e w e c a n i n t e g r a t e f o r (x, y) b y i n t e g r a t i n g x w i t h r e s p e c t t o x o r i n t e g r a t i n g y w i t h r e s p e c t t o y ( O n l y c h o o s e o n e ! Y o u d o n ' t w a n t t o n e e d l e s s l y i n t e g r a t e t w i c e ! ) . F o r t h i s e x a m p l e , w e w i l l i n t e g r a t e w i t h r e s p e c t t o x .
xdx =
M dx
(x, y) =
2xy 9x2
dx
(x, y) = yx2 3x3 + h (y)( a ) W e w r i t e h ( y ) b e c a u s e w h e n t a k i n g t h e d e r i v a t i v e o f (x, y) w i t h r e s p e c t t o x , a n y t e r m s c o n t a i n -
i n g c o n s t a n t s , y , o r a n y c o m b i n a t i o n o f t h e t w o b e c o m e z e r o . W e r e p r e s e n t a l l o f t h e s e t e r m s a s a
f u n c t i o n o f y , n a m e l y , h ( y ) . N o w w e n e e d t o n d h ( y ) i n e x p l i c i t t e r m s . F i r s t w e w i l l d i e r e n t i a t e
(x, y) w i t h r e s p e c t t o y :y = x
2 + h (y)
( b ) S i n c e w e k n o w
N = y , w e s e t x2 + h (y) e q u a l t o N , s o l v e f o r h ' ( y ) a n d t h e n i n t e g r a t e w i t h
r e s p e c t t o y t o n d h ( y ) .
x2 + h (y) = 2y + x2 + 1
h (y) = 2y + 1
h (y) dy =
(2y + 1) dy
h (y) = y2 + y + k
3 . N o w w e c a n c o m b i n e e v e r y t h i n g t o w r i t e o u t (x, y) c o m p l e t e l y .
(x, y) = yx2 3x3 + y2 + y + k
(x, y) = y2 +
x2 + 1
y 3x2 + k
9
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
10/86
4 . R e c a l l t h a t s i n c e
ddx
[ (x, y)] = 0 , (x, y) = c , s o l e t ' s s e t e v e r y t h i n g e q u a l t o c a n d s i m p l i f y .
(x, y) = y2 +
x2 + 1
y 3x2 + k = c
(x, y) = y2 +
x2 + 1
y 3x2 = (c k) (x, y) = y2 + x2 + 1 y 3x
2 = c
* N o t e t h a t i f w e s u b t r a c t k f r o m b o t h s i d e s , t h e r i g h t s i d e j u s t b e c o m e s t h e d i e r e n c e b e t w e e n t w o
u n k n o w n c o n s t a n t s w h i c h w i l l a l w a y s s i m p l i f y t o a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t . B e c a u s e o f t h i s , w e c a n
j u s t r e d e n e t h i s d i e r e n c e a s a s i n g l e u n k n o w n c o n s t a n t , c .
5 . N o w w e a p p l y t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n t o n d t h e a c t u a l s o l u t i o n i n i m p l i c i t f o r m .
(0, 3) = (3)2 +
(0)2
+ 1
(3) 3(0)2 = c
c = 6
y2 +
x2 + 1
y 3x2 = 6
6 . W e c a n n o w n d t h e e x p l i c i t s o l u t i o n b y i s o l a t i n g y . T h i s w o n ' t a l w a y s b e n e c e s s a r y a n d i s a b i t
t e d i o u s , b u t w e ' l l g o t h r o u g h i t j u s t i n c a s e . I n t h i s s i t u a t i o n , w e ' l l h a v e t o u s e t h e q u a d r a t i c f o r m u l a .
y2 +
x2 + 1
y 3x2 6 = 0
y (x) = x2 + 1(x2 + 1)2 4(1)(3x3 6)
2(1)=
x2 1 x4 + 12x3 + 2x2 + 252
7 . N o t i c e t h e
o p e r a t o r g i v e s u s t w o p o s s i b l e e q u a t i o n s a s t h e e x p l i c i t f o r m f o r o u r a c t u a l s o l u t i o n . T o
g u r e o u t w h i c h o n e w e n e e d , j u s t s e e w h i c h e q u a t i o n s a t i s e s t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n .
y (0) = 3 = 1
25
2=
1 52
= 3, 2
8 . S i n c e i t ' s g i v e n t h a t y (0) = 3, t h e n e g a t i v e v e r s i o n o f t h i s e q u a t i o n g i v e s u s t h e a c t u a l s o l u t i o n i n e x p l i c i t f o r m .
#
"
!y (x) =
x2 1 x4 + 12x3 + 2x2 + 252
9 . S i n c e w e a r e a s k e d t o g i v e t h e i n t e r v a l o f v a l i d i t y , w e n e e d t o n d t h e d o m a i n o f o u r s o l u t i o n . I n
o r d e r t o e n s u r e a l l s o l u t i o n s a r e e l e m e n t s o f R, e v e r t h i n g u n d e r n e a t h t h e r a d i c a l c a n n e v e r b e l e s s t h a n z e r o .
W e ' l l h a v e t o u s e a g r a p h i n g c a l c u l a t o r t o g u r e o u t t h e r o o t s o f t h e e q u a t i o n x4 + 12x3 + 2x2 + 25 = 0 .C h e c k i n g o n a c a l c u l a t o r , w e n d t h e r o o t s o f t h i s e q u a t i o n a r e x
11.816,
1.397, a n d l o o k i n g a t t h e
g r a p h , w e c a n e a s i l y s e e t h a t t h i s f u n c t i o n i s o n l y n o n - n e g a t i v e ( i . e . g r e a t e r t h a n o r e q u a l t o z e r o ) o n t h e
i n t e r v a l (, 11.816] [1.397, ). S o t h i s i n t e r v a l i s t h e i n t e r v a l o n w h i c h a l l s o l u t i o n s a r e e l e m e n t s o f R, b u t i t i s d i s c o n t i n u o u s . B y d e n i t i o n , a n i n t e r v a l o f v a l i d i t y m u s t b e c o n t i n u o u s . T h e r e f o r e , o u r p o s s i b l e
i n t e r v a l s o f v a l i d i t y a r e (, 11.816] a n d [1.397, ) . S i n c e o u r g i v e n v a l u e o f t h e i n d e p e n d e n t v a r i a b l e i s x = 1, t h e
i n t e r v a l o f v a l i d i t y i s [1.397, ) .
1 0
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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C h a n g i n g a D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n i n t o E x a c t F o r m v i a a n I n t e g r a t i n g F a c t o r
S o m e t i m e s w h e n w e c h e c k t o s e e i f a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s e x a c t , w e n d t h a t o u r t e s t , My = Nx , f a i l s ( i . e . My = Nx ) . H o w e v e r , s o m e t i m e s w e c a n c h a n g e a n i n e x a c t d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t o a n e x a c t o n e b y m u l t i p l y i n g b y a n i n t e g r a t i n g f a c t o r
.
G e n e r a l l y w e h a v e :
M(x, y) + N(x, y)dy
dx= 0
T h e n w e m u l t i p l y b y a n i n t e g r a t i n g f a c t o r .
M (x, y) + N (x, y)dy
dx= 0
S o n o w w e k n o w o u r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w i l l b e e x a c t i f a n d o n l y i f (M)y = (N)x . N o w l e t s a p p l y t h e p r o d u c t r u l e f o r t h e p a r t i a l d e r i v a t i v e o n b o t h s i d e s o f t h i s e q u a t i o n .
(My) + Md
dy= (Nx) + N
d
dx
W h e r e d o e s t h i s g e t u s ? N o w w e h a v e a n o t h e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n t h a t l o o k s s i m i l a r l y d i c u l t t o t h e
o n e w e s t a r t e d o u t w i t h . I n m o s t s i t u a t i o n s , t h i s d e r i v e d e q u a t i o n w o n ' t s a v e u s a n y t i m e b e c a u s e n d i n g
w i l l b e n e e d l e s s l y c o m p l i c a t e d . H o w e v e r , i f w e c a n s h o w t h a t t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r i s o n l y d e p e n d e n t
o n x o r o n l y d e p e n d e n t o n y , t h e n w e w i l l e a s i l y b e a b l e t o n d , u s e i t t o c h a n g e o u r o r i g i n i a l d i e r e n t i a l
e q u a t i o n i n t o e x a c t f o r m , a n d t h e n s o l v e o u r p r o b l e m .
L e t ' s l o o k a t h o w (M)y = (N)x c h a n g e s i f w e a s s u m e o n l y d e p e n d s o n x .
(M)y = (N)x
(My) = (Nx) + Nd
dx
(My Nx) = Nddx
d
dx=
(My Nx)N
W e s e e t h a t i f
(MyNx)N
d e p e n d s o n l y o n x ( i . e .
(MyNx)N
c o n t a i n s n o y t e r m s ) , t h e n t h e p r o d u c t
(MyNx)N
w i l l o n l y d e p e n d o n x , t h e r e f o r e w e ' l l b e a b l e s e p a r a t e v a r i a b l e s a n d i n t e g r a t e b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i t h
r e s p e c t t o x t o n d t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .
ddx
=
(My Nx)N
ddx dx =
(My Nx)
N dx
ln || =
(My Nx)N
dx + c
eln|| = e(MyNx)
Ndx+c
= ce(MyNx)
Ndx
1 1
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
12/86
N o w l e t ' s l o o k a t h o w (M)y = (N)x c h a n g e s i f w e a s s u m e o n l y d e p e n d s o n y .
(M)y = (N)x
(My) + Md
dy= (Nx)
Md
dy= (Nx My)
d
dy=
(Nx My)M
S o s i m i l a r l y , w e n o w s e e t h a t i f
(NxMy)M
d e p e n d s o n l y o n y ( i . e .
(NxMy)M
c o n t a i n s n o x t e r m s ) , t h e n
t h e p r o d u c t
(NxMy)M
w i l l o n l y d e p e n d o n y , t h e r e f o r e w e ' l l b e a b l e t o s e p a r a t e v a r i a b l e s a n d i n t e g r a t e b o t h
s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i t h r e s p e c t t o y t o n d t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .
ddy
=
(Nx My)M
ddy
dy =
(Nx My)
Mdy
ln || =
(Nx My)M
dy + c
eln|| = e(NxMy)
Mdy+c
= ce(NxMy)
Mdy
W h a t c a n w e t a k e f r o m a l l o f t h i s i n g e n e r a l ? I f w e w a n t t o t a k e a n i n e x a c t e q u a t i o n a n d c h a n g e i n t o
i n t o a n e x a c t o n e v i a a n i n t e g r a t i n g f a c t o r
, r s t w e c h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n
ddx
=(MyNx)
No n l y
c o n t a i n s x ' s i n t h e r i g h t h a n d s i d e ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f
) . I f i t d o e s , t h e n e v e r y t h i n g i s g r e a t a n d w e c a n
i n t e g r a t e t o n d , m u l t i p l y t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y t o m a k e i t e x a c t , a n d t h e n s o l v e t h e e x a c t
d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y d e r i v i n g (x, y) u s i n g t h e m e t h o d p r e v i o u s l y d e s c r i b e d i n t h i s s t u d y g u i d e .
I f
ddx
=(MyNx)
Nf a i l s t h e t e s t , t h e n w e c h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n
ddy
=(NxMy)
Mo n l y c o n t a i n s y ' s
o n t h e r i g h t h a n d s i d e ( a g a i n , w i t h t h e e x c e p t i o n o f ) . I f i t c h e c k s o u t , t h e n w e c a n i n t e g r a t e t h i s e q u a t i o n
t o n d w h i c h w i l l l e t u s s o l v e t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y d e r i v i n g (x, y) . I f b o t h e q u a t i o n c h e c k s e n d u p f a i l i n g , t h e n y o u ' r e i n f o r s o m e m o r e w o r k , b u t w e ' l l l e a r n t h e s t e p s f o r s o l v i n g t h e s e k i n d s o f
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a l i t t l e l a t e r .
E x a m p l e :
S o l v e
y +
2xy e2y dydx
= 0 i m p l i c i t l y .
1 . W r i t e o u t M a n d N a n d t h e n c h e c k t o s e e i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s e x a c t u s i n g My = Nx a s a t e s t .
M = y My = 1
N = 2xy e2y Nx = 2yMy = Ny not exact
2 . C h e c k t o s e e i f t h e e q u a t i o n
ddx
=(MyNx)
No n l y c o n t a i n s x ' s o n t h e r i g h t h a n d s i d e ( w i t h t h e e x c e p t i o n
o f
) .
d
dx=
(1 2y)2xy e2y
1 2
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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3 . B e c a u s e t h e a b o v e e q u a t i o n c o n t a i n s s o m e y t e r m s , w e s e e t h a t i t d o e s n ' t p a s s o u r t e s t . ( I t ' s i m p o r t a n t
t o n o t e t h a t y o u m u s t s i m p l i f y t h i s e q u a t i o n a f t e r y o u p l u g i n t h e v a l u e s . S o m e t i m e s t h e e q u a t i o n
m a y i n i t i a l l y c o n t a i n y t e r m s , b u t a f t e r s i m p l i c a t i o n t h e y m a y c a n c e l o u t ! ) N o w l e t s c h e c k t o s e e i f
t h e e q u a t i o n
ddy
=(NxMy)
Mo n l y c o n t a i n s y ' s o n t h e r i g h t h a n d s i d e ( w i t h t h e e x c e p t i o n o f ) .
d
dy=
(2y 1)y
4 . O u r e q u a t i o n c o n t a i n s n o x t e r m s ! L e t ' s s e p a r a t e v a r i a b l e s a n d i n t e g r a t e t o n d
.
ddy
dy =
(2y 1)
ydy
ln || =
2 y1 dyln || = 2y ln |y| + c
eln|| = e2yln|y|+c
=
e2y
y1
ec
=ce2y
y
let c = 1
=e2y
y
5 . M u l t i p l y t h e o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n b y t h e i n t e g r a t i n g f a c t o r .
ye2y
y + e2y
y 2xy e2y
dy
dx= 0
e2y +
2xe2y y1 dydx
= 0
6 . W r i t e o u t M a n d N a g a i n a n d c h e c k t o s e e i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s n o w e x a c t u s i n g My = Nx a sa t e s t .
M = e2y My = 2e2y
N = 2xe2y y1 Nx = 2e2y
My = Ny exact
7 . C h o o s e w h e t h e r t o s o l v e
M dx o r
N dy .
M dx l o o k s e a s i e r t o i n t e g r a t e , s o t h a t ' s t h e o n e w e ' l l b e
d o i n g .
(x, y) =
M dx
(x, y) =
e2ydx
(x, y) = xe2y + h (y)
1 3
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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8 . D i e r e n t i a t e w i t h r e s p e c t t o y , t h e n s e t y = N, i s o l a t e h(y) , a n d t h e n i n t e g r a t e w i t h r e s p e c t t o y t o
n d h ( y ) .
y = 2xe2y + h (y) = 2xe2y y1
h (y) = y1
h (y) dy = y1 dy
h (y) = ln |y| + k
9 . C o m b i n e e v e r y t h i n g , w r i t e o u t (x, y) , a n d t h e n s e t i t e q u a l t o c a n d s i m p l i f y .
(x, y) = xe2y ln |y| + k = c
xe2y ln |y| = c
1 4
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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I n t r o d u c t i o n t o S e c o n d O r d e r L i n e a r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s
A s e c o n d o r d e r l i n e a r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e f o r m ay + by + cy = g (t) . T h e c o e c i e n t s a , b , a n d c a r e n ' t a l w a y s c o n s t a n t s , b u t f o r t h e e q u a t i o n s c o v e r e d i n t h i s s e c t i o n o f t h e s t u d y g u i d e ,
t h e y a l w a y s w i l l b e ( S o l v i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n s f o r n o n - c o n s t a n t c o e c i e n t s c a n b e e x t r e m e l y d i c u l t ! ) .
N o w f o r s o m e d e n i t i o n s . A s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s k n o w n a s h o m o g e n e o u s i f g (t) = 0 a n dn o n h o m o g e n e o u s i f
g (t) = 0 . S o l v i n g s e c o n d o r d e r l i n e a r h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i s q u i t e a b i t e a s i e r t h a n s o l v i n g n o n h o m o g e n e o u s o n e s , s o w e ' l l b e c o v e r i n g h o w t o s o l v e t h e h o m o g e n e o u s o n e s r s t a n d
t h e n t h e n o n h o m o g e n e o u s o n e s l a t e r ( w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s f o r b o t h k i n d s o f c o u r s e ! ) .
S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -
t i o n s
A c o n s t a n t c o e c i e n t s e c o n d o r d e r l i n e a r h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s a d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n
t h e f o r m ay + by + cy = 0 , w h e r e a , b , a n d c a r e c o n s t a n t s . F o r c l a r i t y ' s s a k e , l e t ' s s t a r t o u r e x p l a n a t i o n o f s o l v i n g t h e s e t y p e s o f d i e r e n t i a l e q u a t i o n s b y l o o k i n g a t a s i m p l e e x a m p l e .
C o n s i d e r s o l v i n g t h e e q u a t i o n y9y = 0 . I f w e t r a n s l a t e t h e s y m b o l s t o E n g l i s h , t h i s e q u a t i o n i s a s k i n g u s t o n d a f u n c t i o n t h a t , w h e n d i e r e n t i a t e d t w i c e , i s n i n e t i m e g r e a t e r t h a n t h e o r i g i n a l f u n c t i o n . I f w e
t h i n k f o r a b i t , i t ' s c l e a r t h a t t h e t w o f u n c t i o n s y 1 (t) = e3t
a n d
y2 (t) = e3t
s a t i s f y t h i s c o n d i t i o n .
y1 (t) = 3e3t y2 (t) = 3e3t
y1 (t) = 9e3t y2 (t) = 9e
3t
9e3t 9 e3t = 0 9e3t 9 e3t = 0M o r e o v e r , i f w e c r e a t e a f u n c t i o n t h a t i s j u s t a c o m b i n a t i o n o f t h e s e t w o f u n c t i o n s , t h e c o n d i t i o n i s s t i l l
s a t i s e d .
y (t) = e3t + e3t
y (t) = 3e3t 3e3t
y (t) = 9e3t + 9e3t
9e3t + 9e3t 9 e3t + e3t ?=
0
0 = 0, as desired, .
W e c a n e v e n m a k e t h i s s o l u t i o n m o r e g e n e r a l b y p u t t i n g c o n s t a n t c o e c i e n t s i n f r o n t o f t h e t e r m s o f o u r
s o l u t i o n y ( t ) .
y (t) = c1e3t + c2e
3t
y (t) = 3c1e3t 3c2e3t
y (t) = 9c1e3t + 9c2e3t
9c1e3t + 9c2e
3t 9 c1e3t + c2e3t ?=
0
0 = 0, as desired, .
1 5
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
16/86
T h i s p r o p e r t y a b o u t d i e r e n t i a l e q u a t i o n s i s e x p l a i n e d b y a n i m p o r t a n t t h e o r e m k n o w n a s t h e P r i n c i p l e
o f S u p e r p o s i t i o n . I t s t a t e s :
I f c1y1 (t) a n d c2y2 (t) a r e t w o s o l u t i o n s t o a l i n e a r h o m o g e n o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n ,t h e n
y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t) i s a l s o a s o l u t i o n .
N o t i c e t h a t t h i s p r i n c i p l e i s n o t l i m i t e d t o d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f s e c o n d o r d e r w i t h c o n s t a n t c o e c i e n t s .
T h i s a p p l i e s t o a l l l i n e a r h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s . B u t g o i n g f u r t h e r , t h i s p r i n c i p l e s t a t e s t h a t :
F o r l i n e a r s e c o n d o r d e r h o m o g e n o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n s , t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h e d i e r e n t i a l
e q u a t i o n i s g i v e n b y y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t).
S o a n i m p o r t a n t q u e s t i o n t h a t w e m i g h t a s k r i g h t n o w i s h o w t o n d t h e c o e c i e n t s c1 a n d c2 . S i m p l y
p u t , w e m a y o n l y n d t h e m i f g i v e n t h e a p p r o p r i a t e n u m b e r o f i n i t i a l c o n d i t i o n s . G e n e r a l l y , t h i s m e a n s o n e
i n i t i a l c o n d i t i o n p e r u n k n o w n c o e c i e n t , a s w e w i l l s e e i n t h e f o l l o w i n g e x a m p l e .
E x a m p l e :
S o l v e y 9y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 2 a n d y (0) = 1
W e k n o w f r o m p r e v i o u s w o r k t h a t t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h i s d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s
y (t) = c1e3t+c2e
3t,
s o n o w a l l w e n e e d t o d o i s a p p l y t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n s t o n d t h e a c t u a l s o l u t i o n .
y (t) = 3c1e3t 3c2e3t
y (0) = c1e(0) + c2e
(0) = 2 = c1 + c2 = 2
c1 = 2 c2
y (0) = 3c1e(0) 3c2e(0) = 1 = 3c1 3c2 = 1
3 (2 c2) 3c2 = 1
6 3c2 3c2 = 1
6c2 = 5
c2 =5
6
c1 = 2
5
6
c1 =7
6
y (t) =
7
6e3t +
5
6e3t
1 6
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B u t h o w d o w e n d t h e s o l u t i o n s a n d c o m b i n e t h e m i n t o a g e n e r a l s o l u t i o n i f t h e y a r e n ' t i n t i a l l y g i v e n ?
L e t ' s j u s t a s s u m e a l l s o l u t i o n s t o ay + by + cy = 0 a r e i n t h e f o r m y (t) = ert . T o c h e c k i f a s o l u t i o n w o r k s ,w e c a n a l w a y s j u s t p l u g t h e s o l u t i o n ( a n d i t ' s d e r i v a t i v e s ) i n t o o u r o r i g i n a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n a n d s e e i f
t h e r e s u l t i n g e q u a t i o n i s t r u e .
a r2ert + b re
rt
+ c ert
= 0ert
ar2 + br + c
= 0
H e r e c o m e s a l i t t l e t r i c k y p a r t . N o t i c e t h a t a n y e x p o n e n t i a l e q u a t i o n o f t h e f o r m ex(t) c a n n e v e r e q u a l
z e r o a t a n y p o i n t ! T h e f u n c t i o n m a y , i n s o m e c a s e s , g e t a r b i t r a r i l y c l o s e r t o z e r o a s t a p p r o a c h e s i n n i t y ,
b u t t h e r e e x i s t s n o t s u c h t h a t ex(t) = 0 . W i t h t h i s i n m i n d , t h e o n l y w a y f o r o u r e q u a t i o n t o h o l d t r u e f o r s o l u t i o n s o f t h e f o r m y (t) = ert i s i f t h e q u a n i t i t y
ar2 + br + c
= 0. T h i s e q u a t i o n i s k n o w n a s
t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n . I f w e s o l v e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n , s i n c e i t ' s q u a d r a t i c , w e ' l l g e t t w o
r o o t s , r1 a n d r2 . D e p e n d i n g o n w h a t ' s u n d e r t h e r a d i c a l w h e n w e s o l v e t h e c h r a c t e r i s t i c e q u a t i o n w i t h t h e
q u a d r a t i c e q u a t i o n , w e ' l l g e t e i t h e r t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s , t w o c o m p l e x r o o t s , o r t w o r e p e a t e d r o o t s ( i . e .
(x 1)2 = 0 = x = 1 ) . W e ' l l b e f o c u s i n g o n d i s t i n c t r e a l r o o t s r s t . S o i f w e s o l v e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d g e t t w o d i s t i n c t r e a l r o o t s , w e j u s t p l u g e a c h r o o t i n t o t h e g e n e r a l f o r m o f t h e s o l u t i o n g i v e n
b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n ( i . e . y (t) = c1er1t + c2e
r2t) . A f t e r w e o b t a i n t h e g e n e r a l s o l u t i o n , w e c a n
s o l v e f o r a n a c t u a l s o l u t i o n o r i n t e r v a l o f v a l i d i t y i f w e a r e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n s .
1 7
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S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -
t i o n s w i t h R e a l R o o t s
E x a m p l e :
S o l v e y + 11y + 24y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 0 a n d y (0) = 71 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e i t u s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m u l a ( o r f a c t o r i n g i n t h i s i n s t a n c e ) .
r2 + 11r + 24 = 0
(r + 8) (r + 3) = 0
r1 = 3 r2 = 82 . S i n c e t h e r o o t s a r e r e a l a n d d i s t i n c t , p l u g t h e m i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n g i v e n b y y (t) = c1e
r1t+c2er2t
.
y (t) = c1e3t + c2e8t
3 . T a k e t h e d e r i v a t i v e o f t h e g e n e r a l s o l u t i o n a n d u s e t h e s o l u t i o n a n d i t s d e r i v a t i v e a l o n g w i t h t h e g i v e n
i n i t i a l c o n s i d t i o n s t o s o l v e f o r t h e u n k n o w n c o n s t a n t s c1 a n d c2 .
y (t) = 3c1e3t 8c2e8t
y (0) = c1e(0) + c2e(0) = 0 = c1 + c2 = 0c1 = c2
y (0) = 3c1e(0) 8c2e(0) = 7 = 3c1 8c2 = 73 (c2) 8c2 = 7
5c2 = 7c2 =
7
5
c1 = 75
4 . P l u g e v e r y t h i n g b a c k i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o g i v e t h e a c t u a l s o l u t i o n .
y (t) =
7
5e3t +
7
5e8t
E x a m p l e :
S o l v e
y 2y 2y = 01 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e i t u s i n g t h e q u a d r a t i c f o r m u l a .
r2 2r 2 = 0
r1,2 = (2)
(2)2 4(1)(2)2(1)
r1,2 =2 4 + 8
2=
2 122
=2 23
2
r1,2 = 1
3
2 . S i n c e t h e r o o t s a r e r e a l a n d d i s t i n c t , p l u g t h e m i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n g i v e n b y y (t) = c1er1t+c2e
r2t.
y (t) = c1e(1+3)t + c2e(13)t
1 8
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S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -
t i o n s w i t h C o m p l e x R o o t s
A g a i n , w e a r e g i v e n a s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e f o r m ay + by + cy = 0 , w h i c h h a s a c o r r e s p o n d i n g c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ar2 + br + c = 0 , b u t t h i s t i m e w e w i l l c o n s i d e r t h e r o o t s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n t o b e c o m p l e x . I n o t h e r w o r d s , r1,2 = i y1 (t) = c1e(+i), y2 (t) = c2e(i) .H o w e v e r , s i n c e o u r c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s d e n e d b y r e a l n u m b e r s , w e ' d l i k e a s o l u t i o n d e n e d b y r e a l
n u m b e r s a s w e l l . F o r t h i s , w e ' l l h a v e t o u s e E u l e r ' s F o r m u l a :
ei = cos + isin
a n d a v a r i a n t o f E u l e r ' s F o r m u l a :
ei = cos () + isin () = cos isinS o i f w e a p p l y E u l e r ' s F o r u m l a t o o u r t w o s o l u t i o n s w e ' l l g e t :
y1 (t) = et eit = et (cos (t) + isin (t))
y2
(t) = et
eit = et (cos (t)
isin(t)
A n d b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n w e c a n c o m b i n e t h e s e s o l u t i o n s i n t o o n e s o l u t i o n .
y1 (t) = y1 (t) + y2 (t) = 2etcos (t)
T o e l i m i n a t e t h e 2 , w e ' l l j u s t d i v i d e i t o u t ( w h i c h i s e s s e n t i a l l y s a y i n g t h a t c1 = c2 =12 ) , a n d r e d i n e
12y1 (t) a s u (t).
u (t) =1
2y1 (t) +
1
2y2 (t) = e
tcos (t)
N o w w e c a n c o m b i n e o u r t w o s o l u t i o n s b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n i n a n o t h e r w a y .
y2 (t) = y1 (t) y2 (t) = 2ietsin (t)T o e l i m i n a t e t h e 2i , w e ' l l j u s t d i v i d e i t o u t ( e s s e n t i a l l y s a y i n g c1 = 12i , c2 = 12i ) , a n d r e d e n e 12iy2 (t)
a s v (t).
v (t) =1
2iy1 (t) 1
2iy2 (t) = e
tsin (t)
F i n a l l y , w e c a n c o m b i n e u ( t ) a n d v ( t ) u n d e r t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n o n e l a s t t i m e t o g e t t h e g e n e r a l
f o r m o f t h e s o l u t i o n f o r c o m p l e x r o o t s i n t h e f o r m
r1,2 = i , b u t t h i s t i m e i n r e a l n u m b e r s !
y (t) = c1u (t) + c2v (t)
y (t) = c1etcos (t) + c2e
tsin (t)
E x a m p l e :
S o l v e
y 4y + 9y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 0 a n d y (0) = 8 .1 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e f o r i t s r o o t s .
r2 4r + 9 = 0
r1,2 = (4)
(4)2 4(1)(9)2(1)
1 9
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20/86
r1,2 =4 16 36
2=
4 202
=4 451
2
r1,2 =4 25i
2
r1,2 = 2
5i
2 . S i n c e t h e r o o t s a r e c o m p l e x ( i . e . o f t h e f o r m r1,2 = i ) , p l u g t h e m i n t o t h e f o r m o f t h e g e n e r a l s o l u t i o n d e r i v e d f r o m E u l e r ' s F o r m u l a g i v e n b y y (t) = c1e
tcos (t) + c2etsin (t).
y (t) = c1e2tcos
5t
+ c2e2tsin
5t
3 . D i e r e n t i a t e t h e s o l u t i o n , a n d t h e n u s e t h e d e r i v a t i v e , t h e s o l u t i o n , a n d t h e g i v e n i n i t i a l c o n d i t i o n s t o
s o l v e f o r t h e a c t u a l s o l u t i o n . W e ' r e g o i n g t o b e a l i t t l e t r i c k y a n d g e t o u t o f d o i n g n e e d l e s s w o r k b y
s o l v i n g f o r c1 r s t a n d u s i n g t h a t f a c t t o s i m p l i f y o u r d e r i v a t i v e c a l c u l a t i o n .
y (0) = c1 (1)(1) + c2 (1)(0) = 0
c1 = 0
y (t) = (0) + c2e2tsin
5ty (t) = c2e2t
5cos
5t
+ sin
5t
2c2e2t
y (t) = c2
5e2tcos
5t
+ 2c2e2tsin
5t
y (0) = c2
5 (1) (1) + 2c2 (1)(0) = 8c2
5 = 8
c2 = 85
4 . P l u g e v e r y t h i n g b a c k i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o g e t t h e a c t u a l s o l u t i o n .
y (t) =
85
e2tsin
5t
2 0
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
21/86
S o l v i n g C o n s t a n t C o e f f i c i e n t S e c o n d O r d e r L i n e a r H o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a -
t i o n s w i t h R e p e a t e d R o o t s
A g a i n , w e a r e g i v e n a s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n t h e f o r m ay + by + cy = 0 , w h i c h h a s a c o r r e s p o n d i n g c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ar2 + br + c = 0 , b u t t h i s t i m e w e w i l l c o n s i d e r t h e r o o t s t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n t o b e r e p e a t e d ( i . e . r1 = r2 = r ) . L e t ' s p l u g t h e s e r e p e a t e d s o l u t i o n s i n t o t h e f o r m u l a s f o r t h e g e n e r a l s o l u t i o n s .
y1 (t) = er1t = y1 (t) = e
rt
y2 (t) = er2t = y2 (t) = e
rt
U h o h ! O u r s o l u t i o n s a r e t h e s a m e , m e a n i n g w e c a n ' t c o m b i n e t h e m i n t o o n e g e n e r a l s o l u t i o n w i t h t h e
P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n . S o w h a t c a n w e d o f r o m h e r e ? L e t ' s t a k e a l o o k a t t h e n a t u r e o f o u r r e p e a t e d
s o l u t i o n s . T h e g e n e r a l s o l u t i o n t o t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n i s g i v e n b y
r1,2 =b b2 4ac
2a
B u t s i n c e w e k n o w o u r s o l u t i o n i s r e p e a t e d , b2
4ac = 0 , w h i c h c h a n g e s t h e g e n e r a l s o l u t i o n f o r t h e
r o o t s .
r1,2 = b2a
S o t h e r e f o r e , w e o n l y h a v e o n e s o l u t i o n .
y1 (t) = e b2a t
S o h o w d o w e n d a d i e r e n t s e c o n d s o l u t i o n t h a t w i l l e n a b l e u s t o u s e t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n t o
c r e a t e a s o l u t i o n i n g e n e r a l f o r m ? L e t ' s a s s u m e t h a t t h e s e c o n d s o l u t i o n i s j u s t t h e r s t o n e , b u t w i t h s o m e
s o r t o f o t h e r f u n c t i o n m u l t i p l i e d b y i t .
y2 (t) = v (t) y1 (t) = v (t) e b2a t
S o w h a t p a r a m e t e r s a r e c h a r a c t e r i s t i c o f v ( t ) t o m a k e
y2 (t) = v (t) e b2a t
a s o l u t i o n ? L e t ' s t a k e t h e r s t
a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f o u r p o t e n t i a l s o l u t i o n y2 (t) = v (t) e b2a t
.
y2 (t) = v (t) e
b2a t b
2av (t) e
b2a t
y2 (t) = v (t)
b
2ae
b2a t
+ v (t) e
b2a t b
2av (t)
b
2ae
b2a t
+ e
b2a t
b
2av (t)
y2 (t) = v (t) e
b2a t b
av (t) e
b2a t +
b2
4a2v (t) e
b2a t
S o n o w w e c a n p l u g y ( t ) a n d i t s d e r i v a t i v e s i n t o o u r o r i g i n a l e q u a t i o n a n d s i m p l i f y t o s e e i f w e c a n g a t h e r
a n y t h i n g u s e f u l .
a
v (t) e
b2a t b
av (t) e
b2a t +
b2
4a2v (t) e
b2a t
+ b
v (t) e
b2a t b
2av (t) e
b2a t
+ c
v (t) e
b2a t
= 0
W e c a n f a c t o r o u t t h e e x p o n e n t i a l t e r m , m u l t i p l y e v e r y t h i n g i n s i d e t h e p a r e n t h e s i s t o g e t h e r , a n d t h e n
c o l l e c t l i k e t e r m s .
eb2a t
a
v (t) b
av (t) +
b2
4a2v (t)
+ b
v (t) b
2av (t)
+ cv (t)
= 0
2 1
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
22/86
eb2a t
av (t) bv (t) + b
2
4av (t) + bv (t) b
2
2av (t) + cv (t)
= 0
eb2a t
av (t) +
b2
4a b
2
2a+ c
v (t)
= 0
eb2a t
av (t) +
b2
4a+ c
v (t)
= 0
N o w w e c a n d o s o m e s p e c i a l f a c t o r i n g t o n o t i c e s o m e i n t e r e s t i n g f a c t s .
eb2a t
av (t) 1
4a
b2 4ac v (t) = 0
A s b e f o r e , w e k n o w e x p o n e n t i a l e q u a t i o n s w i l l n e v e r e q u a l z e r o , a n d s i n c e w e a r e d e a l i n g w i t h a r e p e a t e d
r o o t , t h e q u a n t i t y
b2 4ac m u s t a l w a y s e q u a l 0 . T h e r e f o r e , w e c a n r e d u c e t h e e q u a t i o n f u r t h e r .
av (t) = 0
W e c a n s i m p l y d i v i d e o u t a , f o r i f a = 0 , t h e n w e w o u l d n ' t h a v e a s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n t o s t a r t w i t h ! S o n o w w e h a v e a n e v e n s i m p l e r e q u a t i o n .
v (t) = 0
L e t ' s i n t e g r a t e t h i s e q u a t i o n t w i c e a n d s e e w h a t w e g e t .
v (t) =
v (t) dt =
(0) dt
v (t) = c
v (t) =
v (t) dt =
(c) dt
v (t) = ct + k
S o n o w w e h a v e t w o s e p a r a t e s o l u t i o n s , y1 (t) = e b2a t
a n d y2 (t) = (ct + k) e b2a t
. L e t ' s u s e t h e P r i n c i p l e
o f S u p e r p o s i t i o n !
y (t) = c1e b2a t + c2 (ct + k) e
b2a t
B u t t h e r e a r e s o m a n y c o n s t a n t s ! L e t ' s r e a r r a n g e t h e m a n d s e e i f w e c a n d o s o m e r e d e n i n g .
y (t) = c1e b2a t + (c2ct + c2k) e
b2a t
y (t) = c1e b2a t + e
b2a tc2ct + e
b2a tc2k
y (t) = eb2a t (c1 + c2k) + te
b2a t (c2c)
T w o u n k n o w n c o n s t a n t s a d d e d t o g e t h e r i s s i m p l y a n u n k n o w n c o n s t a n t , a n d t w o u n k n o w n c o n s t a n t s
m u l t i p l i e d t o g e t h e r i s s i m p l y a n u n k n o w n c o n s t a n t s a s w e l l . T h e r e f o r e , w e c a n r e d e n e t h e c o n s t a n t s i n o u r
e q u a t i o n t o g e t a s i m p l e r f o r m f o r t h e g e n e r a l s o l u t i o n .
y (t) = c1e b2a t + c2te
b2a t
S o t o s u m m a r i z e , i f t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a r e r e p e a t e d ( i . e . r1 = r2 = r ) , w e c a n p l u g r i n t o a g e n e r a l s o l u t i o n o f t h e f o l l o w i n g f o r m :
2 2
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
23/86
y (t) = c1ert + c2te
rt
E x a m p l e :
S o l v e y 4y + 4y = 0 g i v e n t h a t y (0) = 12 a n d y (0) = 31 . W r i t e t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a n d s o l v e f o r i t s r o o t s .
r2 4r + 4 = 0
(r 2)2 = 0r1 = r2 = 2
2 . S i n c e t h e r o o t s o f t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n a r e r e p e a t e d , p l u g t h e m i n t o t h e g e n e r a l f o r m o f t h e
s o l u t i o n g i v e n b y y (t) = c1ert + c2te
rt.
y (t) = c1e2t + c2te
2t
3 . D i e r e n t i a t e t h e s o l u t i o n , a n d t h e n u s e t h e s o l u t i o n ' s d e r i v a t i v e , t h e o r i g i n a l s o l u t i o n , a n d t h e g i v e n
i n i t i a l c o n d i t i o n s a l l i n c o n j u n c t i o n t o s o l v e f o r t h e a c t u a l s o l u t i o n .
y (t) = 2c1e2t + c2t(2e2t) + e2t(c2)
y (t) = (2c1 + c2 + 2c2t) e2t
y (0) = c1 (1) = 12
c1 = 12
y (0) = (2 (12) + c2 + 2 (0))(1) = 324 + c2 = 3
c2 = 27
4 . P l u g e v e r y t h i n g b a c k i n t o t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o g e t t h e a c t u a l s o l u t i o n .
y (t) = 12e2t 27te2t
2 3
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
24/86
R e d u c t i o n o f O r d e r
N o w w e ' r e g o i n g t o t a k e a l o o k a t e q u a t i o n s o f t h e f o r m p (t) y + q(t) y + r (t) y = 0 w i t h n o n c o n s t a n t c o e c i e n t s . G e n e r a l l y , t h i s i s e x t r e m e l y d i c u l t , b u t i f w e a r e g i v e n o n e s o l u t i o n , t h e n w e c a n u s e a m e t h o d
c a l l e d r e d u c t i o n o f o r d e r t o o b t a i n t h e s e c o n d s o l u t i o n r e l a t i v e l y p a i n l e s s l y . F o r t h e s a k e o f c l a r i t y , w e
w i l l l e a r n b y e x a m p l e .
E x a m p l e :
G i v e t h e g e n e r a l s o l u t i o n f o r (1 t) y + ty y = 2 (t 1)2 et, 0 < t < 1, y1 (t) = et .1 . W e k n o w w e h a v e o n e s o l u t i o n i n t h e f o r m y1 (t) = e
t, s o l e t ' s w r i t e o u t t h e f o r m f o r t h e s e c o n d s o l u t i o n .
y2 (t) = v (t) et
2 . F o r c l a r i t y ' s s a k e w e ' r e g o i n g t o d e n o t e v (t) a s v ( a n d a l l o t h e r v a r i a b l e s f o r t h a t m a t t e r , u n t i l t h i n g s b e c o m e l e s s c l u t t e r e d ) .
3 . L e t ' s t a k e t h e d e r i v a t i v e s o f o u r s e c o n d s o l u t i o n a n d p l u g t h e m i n t o g i v e n d i e r e n t i a l e q u a t i o n .
y2 (t) = vet + vet
y2 (t) = vet
+ v2et
+ vet
(1 t) vet + v2et + vet + t vet + vet vet = 2 (t 1)2 etvet vtet + v2et v2tet + vet vtet + vtet + vtet vet = 2 (t 1)2 et
v
et tet + v 2et 2tet + tet = 2 (t 1)2 etvet (1 t) + vet(2 t) = 2(t 1)2 et
4 . I n a l l r e d u c t i o n o f o r d e r p r o b l e m s , a l l v t e r m s w i l l c a n c e l a n d l e a v e u s j u s t w i t h v a n d v t e r m s .W h a t w e ' r e g o i n g t o d o n o w i s r e a s s i g n v a r i a b l e s s o t h a t w e m a y c h a n g e t h i s s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l
e q u a t i o n i n t o o n e t h a t l o o k s f a m i l i a r a n d s o l v a b l e .
dw
dt= w = v w = v
dwdt
et (1 t) + wet(2 t)et(1 t) =
2 (t 1)2 etet (1 t)
dw
dt+ w
(2 t)(1 t) = 2e
2t (t 1)
5 . T h i s l o o k s l i k e a l i n e a r r s t o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n w e k n o w h o w t o s o l v e ! L e t ' s m u l t i p l y i t b y a n
i n t e g r a t i n g f a c t o r .
dw
dt+
(2 t)(1 t) w = 2e
2t (t 1)
6 . L e t ' s s e t u p t h e p a r a m e t e r s o n a n d s o l v e f o r .
= (2
t)
(1 t)
dt =
(2 t)(1 t) dt
ln || = t ln |t 1| + c (t) = cet (t 1)1
let c = 1
(t) = et (t 1)1
2 4
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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7 . L e t ' s p l u g t h i s i n t e g r a t i n g f a c t o r b a c k i n t o o u r e q u a t i o n .
et (t 1)1
dwdt
+
et (t 1)1 (2 t)
(1 t) w = 2e2t (t 1)
et (t 1)1
et (t
1)
1 dw
dt
+et (t 2)
(t 1)2 w =
2et
Remember that ddt
et (t 1)1 w
= et (t 1)1 dw
dt+ w
et (t 2)(t 1)2
!
d
dt
et (t 1)1 w
= 2et
d
dt
et (t 1)1 w
dt =
2etdt
et (t 1)1 w = 2et + c
8 . L e t ' s i s o l a t e w b y d i v i d i n g b o t h s i d e s b y et (t 1)1 .
w = 2e2t (t 1) + cet (t 1)
9 . R e c a l l t h a t v = w = v = wdt .
v =
2 (t 1)
e2tdt + c
t 1
etdt
v =1
2e2t (1 2t) ctet + k
1 0 . S i m i l a r l y t o w h a t w e s a w i n s o l v i n g d i e r e n t i a l e q u a t i o n s w i t h r e p e a t e d r o o t s , w e c a n l e t k = 0 a n dr e d e n e c a s c2 . Y o u m a y d o t h e w o r k t o p r o v e t o y o u r s e l f t h i s i s t r u e ( v i a r e d e n i n g c o n s t a n t s ) a s a n
e x e r c i s e o n y o u r o w n .
v = 12 e2t (1 2t) c2tet
v =(1 2t)
2e2t c2t
et
1 1 . N o w t h a t w e h a v e v , l e t ' s p l u g i t i n t o o u r f o r m o f t h e s o l u t i o n y2 (t) = v (t) y1 (t)
y2 (t) = et
(1 2t)
2e2t c2t
et
=
1
2et (1 2t) c2t
1 2 . N o w t h a t w e h a v e a n a n s w e r f o r a s e c o n d s o l u t i o n i n e x p l i c i t t e r m s , c o m b i n e b o t h s o l u t i o n s u n d e r t h e
P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n t o g e t a g e n e r a l s o l u t i o n .
y (t) = c1et +1
2et (1 2t) c2t
* N o t e t h a t w e d o n t ' n e e d t o m u l t i p l y y2 (t) b y a c o n s t a n t c2 b e c a u s e i t a l r e a d y c o n t a i n s t h e c o n s t a n t c2 .T h i s m a y s e e m l i t t l e b i t w o n k y , b u t j u s t r e m e m b e r t h a t s i n c e t h e s o l u t i o n y2 (t) a l r e a d y c o n t a i n s a u n k n o w n c o n s t a n t , i f i t ' s c o m b i n e d u n d e r t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n w i t h a n o t h e r s o l u t i o n , i t d o e s n o t h a v e t o b e
m u l t i p l i e d b y a n a d d i t i o n a l u n k n o w n c o n s t a n t .
2 5
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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F u n d a m e n t a l S e t s o f S o l u t i o n s
W h a t i f w e h a v e t w o s o l u t i o n s , b u t w e w a n t t o k n o w t h e c o n d i t i o n s t h a t m a k e s t h e i r c o m b i n a t i o n a
g e n e r a l s o l u t i o n ? T h e t h e o r y b e h i n d c l a s s i f y i n g a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s w i l l h e l p u s t o s o l v e t h i s
i s s u e . S o s u p p o s e w e a r e g i v e n t h e i n i t i a l v a l u e p r o b l e m p (t) y + q(t) y + r (t) y = 0 w i t h y (t0) = y0 a n dy (t0) = y0 . W e k n o w f r o m t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n t h a t y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t) i s a s o l u t i o n , b u t c a n w e s a y t h i s i s t h e g e n e r a l s o l u t i o n ? I n o r d e r f o r t h e s o l u t i o n t o b e g e n e r a l , i t m u s t a l w a y s s a t i s f y t h e
i n i t i a l c o n d i t i o n s , w h i c h , w h e n w r i t t e n o u t , g i v e u s :
y0 = y (t0) = c1y1 (t0) + c2y2 (t0)
y0 = y (t0) = c1y1 (t0) + c2y
2 (t0)
S i n c e w e a s s u m e t o a l r e a d y k n o w t h e s o l u t i o n s y1 (t) a n d y2 (t) b e f o r e h a n d , w e c a n t h e n s o l v e f o r c1 a n dc2 i n t h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s u s i n g C r a m e r ' s R u l e . T h i s g i v e s u s :
c1 =
y0 y2 (t0)y0 y2 (t0)
y1 (t0) y2 (t0)y1 (t0) y2 (t0)
c2 =
y1 (t0) y0y1 (t0) y0
y1 (t0) y2 (t0)y1 (t0) y2 (t0)
N o t i c e t h a t t h e d e n o m i n a t o r s a r e t h e s a m e i n t h e s o l u t i o n s f o r b o t h c1 a n d c2 ! T h e r e f o r e , t h e s o l u t i o n s
w i l l o n l y w o r k ( a n d h e n c e f o r m a g e n e r a l s o l u t i o n ) i f t h e i r d e n o m i n a t o r s d o n o t e q u a l z e r o . y1 (t0) y2 (t0)y1 (t0) y2 (t0) = y1 (t0) y2 (t0) y2 (t0) y1 (t0) = 0
T h i s d e n o m i n a t o r i s c a l l e d t h e W r o n s k i a n a n d i s d e n o t e d a s :
W (f, g) (t) =
f(t) g (t)f (t) g (t) = f(t) g (t) g (t) f (t)
S o w h a t c a n w e t a k e f r o m a l l o f t h i s ? I f y1 (t) a n d y2 (t) a r e t w o s o l u t i o n s t o a d i e r e n t i a l e q u a t i o n a n d t h e W r o n s k i a n o f
y1 (t) a n d y2 (t) i s n ' t z e r o ( i . e . W (y2, y2) (t) = 0) , t h e n t w o t w o s o l u t i o n s a r e c a l l e d a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s a n d t h e g e n e r a l s o l u t i o n i s g i v e n b y :
y (t) = c1y1 (t) + c2y2 (t)
E x a m p l e :
P r o v e t h a t y1 (t) = etcos (t) a n d y2 (t) = e
tsin (t) f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s .
1 . W e n e e d t o n d t h e W r o n s k i a n a n d s h o w t h a t i t ' s n e v e r z e r o t o p r o v e t h a t t h e t w o g i v e n s o l u t i o n s
f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s .
W =
etcos (t) etsin (t)etcos (t) etsin (t) etsin (t) + etcos (t)
W = etcos (t)
etsin (t) + etcos (t) etsin (t) etcos (t) etsin (t)
W = e2tsin (t) cos (t) + e2tcos2 (t)
e2tsin (t) cos (t) + e2tsin2 (t)
W = e2t
cos2 (t) + sin2 (t)
W = e2t
2 . W e s a w f r o m a p r e v i o u s e x p l a n a t i o n ( t h i n k b a c k t o t h e c h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n ! ) t h a t e x p o n e n t i a l s c a n
n e v e r b e z e r o . A d d i t i o n a l l y , = 0 , b e c a u s e i f i t d i d , w e w o u l d n ' t h a v e c o m p l e x r o o t s t o b e g i n w i t h !T h e r e f o r e , b e c a u s e n o t h i n g i n t h i s p r o d u c t c a n e q u a l z e r o , W c a n n e v e r e q u a l z e r o . B e c a u s e o f t h i s
y1 (t) a n d y2 (t) f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s g i v e n b y :
y (t) = c1etcos (t) + c2e
tsin (t) , as desired, .
2 6
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
27/86
S o l v i n g S e c o n d O r d e r D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s b y U n d e t e r m i n e d C o e f f i c i e n t s
S o s a y w e w a n t t o s o l v e n o n h o m o g e n e o u s s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l e q u a t i o n y + p (t) y + q(t) y = g (t)w i t h t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n y +p (t) y + q(t) y = 0. A n i m p o r t a n t t h e o r e m t e l l s u s :
I f Y1 (t) a n d Y2 (t) a r e t w o s o l u t i o n s t o t h e n o n h o m o g e n e o u s e q u a t i o n y +p (t) y + q(t) y = g (t) a n d y1 (t)
a n d
y2 (t)f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s t o t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n , t h e n
Y1 (t) Y2 (t)i s a s o l u t i o n t o t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n a n d c a n b e w r i t t e n a s
Y1 (t) Y2 (t) = c1y1 (t) c2y2 (t)
W h a t d o e s t h i s t h e o r e m d o f o r u s ? I f w e s u p p o s e y ( t ) i s t h e g e n e r a l s o l u t i o n t o a n o n h o m o g e n e o u s
d i e r e n t i a l e q u a t i o n , a n d Yp (t) i s a n y p a r t i c u l a r s o l u t i o n t h a t w e c a n n d , w e g e t t h e f o l l o w i n g :
y (t) Yp (t) = c1y1 (t) c2y2 (t)
y (t) = c1y1 (t)
c2y2 (t) + Yp (t)
I f w e d e n e
Yc (t) = c1y1 (t) c2y2 (t) a s t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n ( t o t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n ) , o u r g e n e r a l s o l u t i o n n o w l o o k s l i k e :
y (t) = Yc (t) + Yp (t)
S o t o s o l v e a n o n h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n , r s t w e s o l v e f o r t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n b y s o l v -
i n g t h e h o m o g e n e o u s v e r s i o n o f t h e e q u a t i o n a n d t h e n w e g e t o n e p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r t h e n o n h o m o g e n e o u s
v e r s i o n o f t h e e q u a t i o n . T h e n w e ' l l b e a b l e t o c o m b i n e t h e t w o a n s w e r s a n d g e t a g e n e r a l s o l u t i o n .
E x a m p l e :
W r i t e t h e g e n e r a l s o l u t i o n f o r y 4y 12y = 3e5t .1 . L e t ' s n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n b y s o l v i n g f o r t h e h o m o g e n e o u s v e r s i o n o f t h i s e q u a t i o n .
y 4y 12y = 0r2 4r 12 = 0
(r 6) (r + 2) = 0r1 = 2 r2 = 6
Yc (t) = c1e2t + c2e6t
2 . N o w l e t ' s g u e s s a t t h e f o r m o f a p a r t i c u l a r s o l u t i o n . B e c a u s e e x p o n e n t i a l s d o n ' t r e a l l y c h a n g e f o r m
w h e n t h e y a r e d i e r e n t i a t e d , w e ' l l g u e s s a f o r m Yp (t) = Ae5t
.
3 . T a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e g u e s s e d f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s
d i e r e n t i a l e q u a t i o n .
Yp (t) = 5Ae5t
Yp (t) = 25Ae5t
25Ae5t 4 5Ae5t 12 Ae5t = 3e5t
7Ae5t = 3e5t
4 . N o w w e n e e d t o c h o o s e a n A s u c h t h a t t h e c o e c i e n t s o f b o t h s i d e s o f t h e e q u a t i o n w i l l b e e q u a l , h e n c e
m a k i n g t h e e q u a t i o n t r u e .
7A = 3A = 3
7
2 7
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
28/86
5 . P l u g i n t h e v a l u e f o r t h e c o e c i e n t b a c k i n t o o u r i n i t i a l g u e s s f o r t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n .
Yp (t) = 37
e5t
6 . C o m b i n e t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n t o g e t t h e g e n e r a l s o l u t i o n ( i . e . y (t) =Yc (t) + Yp (t)) .
y (t) = c1e2t + c2e6t 3
7e5t
E x a m p l e :
F i n d a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y 4y 12y = sin (2t).1 . L e t ' s u s e
Yp (t) = Asin (2t) a s o u r g u e s s f o r a f o r m o f a p a r t i c u l a r s o l u t i o n .
2 . T a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e g u e s s e d f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s
d i e r e n t i a l e q u a t i o n .
Yp (t) = 2Acos (2t) Yp (t) = 4Asin (2t)
4Asin (2t) 4 (2Acos (2t)) 12 (Asin (2t)) = sin (2t)16Asin (2t) 8Acos (2t) = sin (2t)
3 . N o w w e n e e d t o p i c k a n A s o t h a t t h e c o s i n e t e r m o n t h e l e f t h a n d s i d e w i l l g o t o z e r o , a n d t h a t t h e
c o e c i e n t o f t h e s i n e t e r m o n t h e l e f t s i d e o f t h e e q u a t i o n w i l l m a t c h t h e o n e o n t h e r i g h t .
8A = 0 = A = 016A = 1 = A = 1
16
4 . L o o k s l i k e A h a s t o h a v e t w o d i e r e n t v a l u e s a t o n c e t o m a k e o u r e q u a t i o n t r u e ! T h i s m e a n s o u r i n i t i a l
g u e s s f o r a f o r m o f t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n w a s w r o n g . S i n c e c o s i n e p o p p e d u p , w e c a n u s e t h a t a s a
c l u e a n d a u g m e n t o u r g u e s s t o b e Yp (t) = Acos (2t) + Bsin (2t) .
5 . L e t ' s t a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f o u r n e w f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s
d i e r e n t i a l e q u a t i o n .
Yp (t) = 2Asin (2t) + 2Bcos (2t) Yp (t) = 4Acos (2t) 4Bsin (2t)4Acos (2t) 4Bsin (2t) 4 (2Asin (2t) + 2Bcos (2t)) 12 (Acos (2t) + Bsin (2t)) = sin (2t)
(12B 4B + 8A) sin (2t) + (8B 4A 12A) cos (2t) = sin (2t)(16B + 8A) sin (2t) + (16A 8B) cos (2t) = sin (2t)
6 . S o n o w w e n e e d t h e s i n e ' s c o e c i e n t t o b e 1 , a n d t h e c o s i n e ' s c o e c i e n t t o b e z e r o . L e t ' s s e t u p t h e
s y s t e m o f e q u a t i o n s a n d s o l v e i t .
16A 8B = 0 8A 16B = 1
+
16A 8B = 0
16A 32B = 240B = 2
B = 120
A =1
8+ 2B
A =1
8+ 2
1
20
=
5
40 4
40
A =1
40
2 8
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7 . P l u g i n t h e v a l u e s f o r t h e c o e c i e n t s b a c k i n t o o u r ( c o r r e c t ) g u e s s f o r t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d w e ' r e
d o n e .
Yp (t) =
1
40cos (2t) 1
20sin (2t)
E x a m p l e :
F i n d a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y 4y 12y = 2t3 t + 3 .1 . L e t ' s u s e Yp (t) = At
3 + Bt2 + Ct + D a s o u r g u e s s f o r a f o r m o f a p a r t i c u l a r s o l u t i o n .
2 . T a k e t h e r s t a n d s e c o n d d e r i v a t i v e s o f t h e g u e s s e d f o r m a n d p l u g t h e m i n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s
d i e r e n t i a l e q u a t i o n .
Yp (t) = 3At2 + 2Bt + C Yp (t) = 6At + 2B
6At + 2B 4
3At2 + 2Bt + C
12
At3 + Bt2 + Ct + D
= 2t3 t + 3
6At + 2B 12At2
8Bt 4C 12At3
12Bt2
12Ct 12D = 2t3
t + 312At3 + (12A 12B) t2 + (6A 8B 12C) t + 2B 4C 12D = 2t3 t + 3
3 . N o w w e n e e d t h e c o e c i e n t s f o r e a c h t e r m o n e a c h s i d e o f t h e e q u a t i o n t o m a t c h u p . L e t ' s s e t u p t h e
s y s t e m o f e q u a t i o n s a n d s o l v e i t .
12A = 2 = A = 16
12A 12B = 0 = B = 16
6A 8B 12C = 1 = C = 19
2B
4C
12D = 3 =
D =
5
27
4 . P l u g i n t h e v a l u e s f o r t h e c o e c i e n t s b a c k i n t o o u r g u e s s f o r t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d w e ' r e d o n e .
Yp (t) =
1
6t3 +
1
6t2 1
9t 5
27
S o l e t ' s s u m m a r i z e o u r t e c h n i q u e s f o r f o r m u l a t i n g a g u e s s b a s e d o n g (t) i n a t a b l e :
g (t) a g u e s s a t Yp (t)
a e
t Aet
acos (t) Acos (t) + Bsin (t)bsin (t) Acos (t) + Bsin (t)
acos (t) + bsin (t) Acos (t) + Bsin (t)nth d e g r e e p o l y n o m i a l Ant
n + An1tn1 + ... + A1t + A0
2 9
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U s i n g t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n o n N o n h o m o g e n e o u s D i f f e r e n t i a l E q u a t i o n s
I f Yp1 (t) i s a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y +p (t) y + q(t) y = g1 (t) ,
a n d Yp2
(t) i s a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y +p (t) y + q(t) y = g2
(t),
t h e n Yp1 (t) + Yp2 (t) i s a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r y +p (t) y + q(t) y = g1 (t) + g2 (t) .
E x a m p l e :
F i n d a p a r t i c u l a r s o l u t i o n f o r
y 4y 12y = 2t3 t + 3 + sin (2t)1 . W e ' v e a l r e a d y s h o w n i n p r e v i o u s w o r k t h a t Yp1 (t) = 16 t3+ 16 t2 19 t 527 i s a s o l u t i o n t o y4y12y =
2t3 t + 3 a n d Yp2 (t) = 140cos (2t) 120sin (2t) i s a s o l u t i o n t o y 4y 12y = sin (2t) , t h e r e f o r e b y t h e P r i n c i p l e o f S u p e r p o s i t i o n :
Yp (t) = Yp1 (t) + Yp2 (t)
Yp (t) =
1
6 t3 +1
6 t2 1
9 t 5
27 +1
40 cos (2t) 1
20 sin (2t)
3 0
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V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s
T h i s m e t h o d i s a l i t t l e b i t l o n g e r a n d m o r e a r i t h m e t i c i n t e n s i v e t h a n s o l v i n g s e c o n d o r d e r d i e r e n t i a l
e q u a t i o n s b y u n d e t e r m i n e d c o e c i e n t s , b u t i t m i g h t s a v e y o u s o m e t i m e b y e l i m i n a t i n g t h e g u e s s i n g f a c t o r i n
o b t a i n i n g t h e s o l u t i o n i f t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n i n q u e s t i o n i s a l i t t l e b i t t r i c k y . T h e t h e o r e m i s a s f o l l o w s :
G i v e n t h e n o n h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n
y + q(t) y + r (t) y = g (t), a s s u m e t h a t
y1 (t)a n d
y2 (t)f o r m a f u n d a m e n t a l s e t o f s o l u t i o n s f o r t h e a s s o c i a t e d h o m o g e n e o u s e q u a t i o n . I t f o l l o w s t h a t a p a r t i c u l a r
s o l u t i o n t o t h e n o n h o m o g e n e o u s d i e r e n t i a l e q u a t i o n i s r e p r e s e n t e d a s :
Yp (t) = y1
y2g (t)
W (y1, y2)dt + y2
y1g (t)
W (y1, y2)dt
E x a m p l e :
F i n d a g e n e r a l s o l u t i o n t o 2y + 18y = 6tan (3t).
1 . R e w r i t e t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o t h e V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s m e t h o d a p p l i e s .
y + 9y = 3tan (3t)
2 . F i n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n .
y + 9y = 0
r2 + 9 = 0
r = 3iYc (t) = e
(0)cos (3t) + e(0)sin (3t)
Yc (t) = c1cos (3t) + c2sin (3t)
3 . S e p a r a t e t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n i n t o t w o s e p a r a t e s o l u t i o n s , t h e n n d t h e W r o n s k i a n o f t h e t w o
s o l u t i o n s .
y1 = cos (3t) y2 = sin (3t)
Wronskian (y1, y2) = W (y1, y2) =
cos (3t) sin (3t)3sin (3t) 3cos (3t) = 3cos2 (3t) + 3sin2 (3t)
W (y1, y2) = 3
4 . P l u g e v e r y t h i n g i n t o t h e f o r m u l a g i v e n b y t h e V a r i a t i o n o f P a r a m e t e r s m e t h o d a n d s o l v e .
Yp (t) = cos (3t)
sin (3t) (3tan (3t))
3dt + sin (3t)
cos (3t) (3tan (3t))
3dt
Yp (t) = cos (3t)
sin2 (3t)
cos (3t)dt + sin (3t)
sin (3t) dt
Yp (t) =
cos (3t)
1 cos2 (3t)cos (3t)
dt + sin (3t) sin (3t) dt
Yp (t) = cos (3t)
(sec (3t) cos (3t)) dt + sin (3t)
sin (3t) dt
Yp (t) = 13
cos (3t) (ln |sec (3t) + tan (3t)| sin (3t)) 13
sin (3t) cos (3t)
Yp (t) = 13
cos (3t) ln |sec (3t) + tan (3t)| + 13
sin (3t) cos (3t) 13
sin (3t) cos (3t)
Yp (t) = 13
cos (3t) ln |sec (3t) + tan (3t)|
3 1
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5 . C o m b i n e t h e p a r t i c u l a r s o l u t i o n a n d t h e c o m p l i m e n t a r y s o l u t i o n t o g e t t h e g e n e r a l s o l u t i o n ( i . e . y (t) =Yc (t) + Yp (t)) .
y (t) = c1cos (3t)+c2sin (3t)1
3cos (3t) ln |sec (3t) + tan (3t)|
3 2
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S y s t e m s o f E q u a t i o n s a n d M a t r i x R e v i e w
S u p p o s e y o u a r e g i v e n n e q u a t i o n s w i t h n u n k n o w n s x1, x2, ..., xn :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
T h e c o r r e s p o n d i n g a u g m e n t e d m a t r i x i s :
a11 a12 a1n b1a21 a22 a2n b2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 ann bn
T o s o l v e t h i s , w e r e w r i t e t h e m a t r i x i n r o w e c h e l o n f o r m ( o r t r i a n g u l a r f o r m ) , m e a n i n g a l l e n t r i e s b e l o w
t h e m a i n d i a g o n a l ( t h e d i a g o n a l c o n t a i n i n g a11, a22, ..., ann ) a r e z e r o s , a n d t h e e n t r i e s o n t h e m a i n d i a g o n a l
a r e o n e s . W e r e w r i t e a m a t r i x w i t h r o w o p e r a t i o n s . T h e r e a r e t h r e e :
1 . W e m a y i n t e r c h a n g e t w o r o w s .
2 . W e m a y m u l t i p l y a r o w b y a c o n s t a n t .
3 . W e m a y a d d a m u l t i p l e o f o n e r o w t o a n o t h e r r o w .
E x a m p l e :
S o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s
2x1 + x2 x3 = 4
x1 + 2x2 + 3x3 = 13
3x1 + x3 = 1
1 . W r i t e t h e a u g m e n t e d m a t r i x . P u t z e r o s i n f o r c o e c i e n t s o f t e r m s t h a t a r e n ' t p r e s e n t .
2 1 1 41 2 3 133 0 1
1
2 . L e t ' s s w a p r o w s t o m a k e t h e t o p o f t h e m a i n d i a g o n a l h a v e a 1 .
R1 R2 1 2 3 132 1 1 4
3 0 1 1
3 3
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3 . L e t ' s m a k e t h e l a s t t w o e n t r i e s o f t h e r s t c o l u m z e r o b y a d d i n g m u l t i p l e s o f t h e r s t r o w t o t h e i r
r e s p e c t i v e r o w s .
3R1 + R3 R32R1 + R2 R2
1 2 3 130 5 5 300 6 8 40
4 . N o w l e t ' s m a k e t h e l e a d i n g e n t r y i n t h e s e c o n d r o w a 1 .
1
5R2 R2
1 2 3 130 1 1 6
0 6 8 40
5 . N o w w e ' v e g o t t o t u r n t h e - 6 i n t o a z e r o i n t h e t h i r d r o w .
6R2 + R3 R3 1 2 3 130 1 1 6
0 0 2 4
6 . N o w w e h a v e t o m a k e t h e - 2 i n t h e t h i r d r o w a 1 s o a l l m a i n d i a g o n a l e n t r i e s a r e o n e s , a n d a l l e n t r i e s
b e l o w a r e z e r o s .
12
R3 R3
1 2 3 130 1 1 60 0 1 2
7 . N o w w e c a n c o n v e r t b a c k t o e q u a t i o n s a n d s o l v e t h e s y s t e m .
x1 + 2x2 + 3x3 = 13
x2 + x3 = 6
x3 = 2
8 . J u s t p l u g a n d c h u g !
x1 = 1 x2 = 4 x3 = 2
9 . N o t i c e w e c o u l d h a v e s i m p l i e d o u r l a s t s t e p b y m a k i n g t h e e n t r i e s t o t h e r i g h t o f t h e l e a d i n g e n t r i e s
w h i c h w e r e a l r e a d y o n e s , z e r o s , s o t h a t w e c o u l d j u s t r e a d o w h a t e a c h v a r i a b l e e q u a l s . T h i s i s k n o w n
a s r e d u c e d e c h e l o n f o r m . F o r t h e s y s t e m a b o v e , t h e m a t r i x i n r e d u c e d e c h e l o n f o r m i s : 1 0 0 10 1 0 4
0 0 1 2
3 4
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S o m e t i m e s w e w o n ' t a l w a y s g e t s i m p l e s o l u t i o n s t h o u g h ! T h e n e x t t w o e x a m p l e s s h o w o t h e r p o s s i b l e f o r m s
o f s o l u t i o n s .
E x a m p l e :
S o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s
x1 2x2 + 3x3 = 2
x1 + x2 2x3 = 3
2x1 x2 + 3x3 = 1
1 . W r i t e t h e a u g m e n t e d m a t r i x a n d r o w r e d u c e i t . 1 2 3 21 1 2 3
2 1 3 1
R1 + R2
R2,
2R1 + R3
R3 1 2 3 20 1 1 1
0 3 3 5
R2 R2 1 2 3 20 1 1 1
0 3 3 5
3R2 + R3 R3
1 2 3 20 1 1 10 0 0 8
2 . C h a n g e t h e m a t r i x b a c k i n t o e q u a t i o n s .
x1 2x2 + 3x3 = 2
x2 x3 = 10 = 8
3 . T h e t h i r d e q u a t i o n d o e s n ' t m a k e a n y s e n s e ! W h e n t h i s h a p p e n s , t h i s m e a n s t h e r e i s n o s o l u t i o n t o
t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s !
E x a m p l e :
S o l v e t h e f o l l o w i n g s y s t e m o f e q u a t i o n s
x1 2x2 + 3x3 = 2
x1 + x2 2x3 = 3
2x1 x2 + 3x3 = 7
3 5
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
36/86
1 . W r i t e t h e a u g m e n t e d m a t r i x a n d r o w r e d u c e i t . 1 2 3 21 1 2 3
2 1 3 7
R1 + R2
R2,
2R1 + R3
R3
1 2 3 20 1 1 10 3 3 3
R2 R2 1 2 3 20 1 1 1
0 3 3 3
3R2 + R3 R3
1 2 3 20 1 1 10 0 0 0
2 . W e c a n m a k e a s i m p l e r s o l u t i o n b y r e d u c i n g t h i s f u r t h e r i n t o r e d u c e d e c h e l o n f o r m .
2R2 + R1 R1 1 0 1 40 1 1 1
0 0 0 0
3 . L e t ' s c h a n g e t h i s m a t r i x b a c k i n t o e q u a t i o n s .
x1 + x3 = 4
x2 x3 = 14 . S i n c e x3 i s i n b o t h e q u a t i o n s , w e ' l l s o l v e e a c h o n e i n t e r m s o f x3 .
x1 = x3 4
x2 = x3 1
5 . T h i s s o l u t i o n m e a n s w e c a n p i c k t h e v a l u e o f x3 t o b e a n y t h i n g a n d w e ' d s t i l l b e a b l e t o n d v a l u e s f o r
x1 a n d x2 . W e ' l l w r i t e t h e s o l u t i o n a s s u c h :
'
&
$
%
x1 = t 4
x2 = t 1x3 = t, t R
S o n o w w e h a v e a n i n n i t e a m o u n t o f s o l u t i o n s h e r e , o n e f o r e a c h v a l u e o f t .
S o s u m m a r i z i n g t h i s , w e c o m e t o a w e l l k n o w n f a c t o f a l g e b r a .
3 6
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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G i v e n a s y s t e m o f e q u a t i o n s , t h e r e c a n o n l y b e o n e o f t h e f o l l o w i n g :
1 . T h e r e i s n o s o l u t i o n .
2 . T h e r e i s e x a c t l y o n e s o l u t i o n .
3 . T h e r e a r e i n n i t e l y m a n y s o l u t i o n s .
S o l e t ' s l o o k a t t h i s s i t u a t i o n :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = 0
.
.
.
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = 0
T h i s i s c a l l e d a h o m o g e n e o u s s y s t e m b e c a u s e a l l e q u a t i o n s e q u a l z e r o . C o n v e r s e l y , t h e s y s t e m w o u l d b e
n o n h o m o g e n e o u s i f a t l e a s t o n e o f t h e e q u a t i o n s w i t h i n i t d i d n o t e q u a l z e r o . A d d i t i o n a l l y , n o t t h a t i n a
h o m o g e n e o u s s y s t e m , t h e r e ' s a l w a y s a s o l u t i o n i f w e l e t e v e r y t h i n g b e z e r o .
x1 = x2 = ... = xn = 0
T h i s i s c a l l e d t h e t r i v i a l s o l u t i o n . T h e s e f a c t s c a n b e s u m m a r i z e d a s f o l l o w s :
G i v e n a h o m o g e n e o u s s y s t e m o f e q u a t i o n s , w e w i l l h a v e o n l y o n e o f t w o p o s s i b i l i t i e s f o r t h e n u m b e r o f
s o l u t i o n s :
1 . T h e r e i s e x a c t l y o n e s o l u t i o n ( t h e t r i v i a l s o l u t i o n ) .
2 . T h e r e a r e i n n i t e l y m a n y n o n z e r o s o l u t i o n s i n a d d i t i o n t o t h e t r i v i a l s o l u t i o n .
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7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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B a s i c D e f i n i t i o n s o f M a t r i c e s a n d B a s i c M a t r i x A r i t h m e t i c
T h e s i z e o r d i m e n s i o n o f a m a t r i x i s n o t e d a s f o l l o w s :
A =
a11 a12 a1ma21 a22 a2m
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 anm
= (aij)nxm
w h e r e t h e r e a r e n r o w s , m c o l u m n s , a n d a n e n t r y aij i s d e n o t e d a s t h e e n t r y i n t h e ith
r o w a n d t h e jth
c o l u m n .
A s q u a r e m a t r i x i s a m a t r i x w i t h :
n x n d i m e n s i o n h a s a m a i n d i a g o n a l t h a t s t a r t s i n t h e u p p e r l e f t a n d e n d s i n t h e l o w e r r i g h t
A z e r o m a t r i x i s a m a t r i x w h e r e a l l e n t r i e s a r e z e r o s .
A n i d e n t i t y m a t r i x i s a m a t r i x :
d e n o t e d a s In o r I . a m a t r i x w h o s e m a i n d i a g o n a l c o n s i s t s o f 1 s , b u t a l l o t h e r e n t r i e s a r e 0 s h a s t h e p r o p e r t y t h a t a n y m a t r i x m u l t i p l i e d b y t h e i d e n t i t y m a t r i x i s i t s e l f
A c o l u m n o r r o w m a t r i x i s r e p r e s e n t e d a s :
x =
x1x2
.
.
.
xn
y = y1 y2 ym
a n d t h e s e a r e o f t e n r e p r e s e n t a t i v e o f v e c t o r s .
S c a l a r m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n i s s h o w n a s f o l l o w s :
a
x1 x2x3 x4
=
ax1 ax2ax3 ax4
A d d i t i o n / s u b t r a c t i o n o f m a t r i c e s i s s h o w n a s f o l l o w s :
x1 x2x3 x4
y1 y2
y3 y4 = x1 y1 x2 y2
x3 y3 x4 y4 M a t r i x - m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n ( b e t t e r k n o w n a s s i m p l y m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n ) i s s h o w n a s f o l l o w s :
A =
2 1 0
3 6 1
B =
1 0 1 24 3 1 0
0 3 0 2
AB =
(2 + 4 + 0) (0 3 + 0) (2 1 + 0) (4 + 0 + 0)
(3 24 + 0) (0 + 18 + 3) (3 + 6 + 0) (6 + 0 + 2)
3 8
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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AB =
6 3 3 4
27 21 9 8
A n d r e m e m b e r f o r m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n ,
AB = BA !
T h e d e t e r m i n a n t o f a m a t r i x i s s h o w n a s f o l l o w s :
A =
a c
b d
det (A) = ad cb
A =
a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
det (A) = a11
a22 a23a32 a33
a12
a21 a23a31 a33
+ a13
a21 a22a31 a32
det (A) = a11 (a22a33 a23a32) a12 (a21a33 a23a31) + a13 (a21a32 a22a31)
I f a m a t r i x ' s d e t e r m i n a n t e q u a l s z e r o , t h e m a t r i x i s s i n g u l a r .
I f a m a t r i x ' s d e t e r m i n a n t d o e s n o t e q u a l z e r o , t h e m a t r i x i s n o n s i n g u l a r .
3 9
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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F i n d i n g t h e I n v e r s e o f a M a t r i x
T o n d t h e i n v e r s e o f a m a t r i x , w e j u s t t a c k o n a n a p p r o p r i a t e l y s i z e d i d e n t i t y m a t r i x , a n d t h e n u s e
r o w o p e r a t i o n s m a k e i t s w i t c h s i d e s . S e e t h e e x a m p l e b e l o w f o r c l a r i c a t i o n .
E x a m p l e :
F i n d t h e i n v e r s e o f t h e f o l l o w i n g m a t r i x i f i t e x i s t s :
A =
2 1 15 3 0
1 1 1
1 . N o w w e ' r e g o i n g t o t a c k o n a 3 x 3 i d e n t i t y m a t r i x , a n d t h e n u s e r o w o p e r a t i o n s m a k e i t s w i t c h s i d e s .
A =
2 1 1 1 0 05 3 0 0 1 0
1 1 1 0 0 1
R3 R1
A = 1 1 1 0 0 15 3 0 0 1 0
2 1 1 1 0 0
5R1 + R2 R2, 2R1 + R3 R3
A =
1 1 1 0 0 10 2 5 0 1 5
0 1 3 1 0 2
1
2R2 R2
A =
1 1 1 0 0 10 1 52 0 12 520 1 3 1 0 2
R2 + R3 R3
A =
1 1 1 0 0 10 1 52 0 12 52
0 0 12 112
12
2R3 R3
A =
1 1 1 0 0 10 1 52 0 12 52
0 0 1 2 1 1
5
2R3 + R2 R2, R1 + R3 R1
A =
1 1 0 2 1 20 1 0 5 3 5
0 0 1 2 1 1
R2 + R1 R1
A =
1 0 0 3 2 30 1 0 5 3 5
0 0 1 2 1 1
4 0
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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#
"
!inverse, A1 =
3 2 35 3 5
2 1 1
F a c t s a b o u t I n v e r s e s o f M a t r i c e s
G i v e n a s q u a r e m a t r i x A :
1 . I f A i s n o n s i n g u l a r ( i . e . detA = 0 ) , t h e n A1 w i l l e x i s t .2 . I f A i s s i n g u l a r ( i . e . detA = 0) , t h e n A1 w i l l n o t e x i s t .
4 1
7/30/2019 Everyman Diff Eq's
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R e d e f i n i n g S y s t e m s o f E q u a t i o n s
S a y w e a r e g i v e n :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2
.
.
.
an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn
W e c a n c o n v e r t e a c h s i d e o f e a c h e q u a t i o n i n t o a v e c t o r .
a11x1 + a12x2 + + a1nxna21x1 + a22x2 + + a2nxn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1x1 + an2x2 + + annxn
=
b1b2
.
.
.
bn
W e c a n n o w t h i n k o f t h e l e f t s i d e a s a m a t r i x m u l t i p l i c a t i o n .
a11 a12 a1na21 a22 a2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an1 an2 ann
x1x2
.
.
.
xn
=
b1b2
.
.
.
bn
T h i s g i v e s u s , n o t a t i o n a l l y , Ax = b , w h e r e x i s a v e c t o r