Exact Solutions for Exact Solutions for 3-body and 4-body 3-body and 4-body Problems Problems in 4-dimensional Spacein 4-dimensional Space

Hideki IshiharaOsaka City University

1944 Research Institute for Theoretical Physics, Hiroshima

University was founded1948 RITP was re-build after the world war II at Takehara,

Hiroshima 1990 RITP Hiroshima University was closed and merged

together with Yukawa Institute, Kyoto University

Research Institute for Theoretical Physics

Journal of Science of Hiroshima University,Series A5 (1935)

•P. A. M. Dirac,

"Generalized Hamiltonian dynamics". Can. J. Math. 2: 129–48 (1950).

•R.Arnowitt, S.Deser and C.W.Misner,

"Canonical variables for general relativity,'' Phys. Rev. 117, 1595 (1960).

•B. S. DeWitt,

"Quantum theory of gravity. I. The canonical theory". Phys. Rev. 160: 1113–48 (1967).

　三村 剛昂 19 35

　岩付 寅之助 19 20

　細川 藤右衛門 19 20

　森永 覚太郎 19 26

　佐久間 澄 19 26

　藤原 力 19 20

　柴田 隆史 19 26

　原田 雅登 22

　 ( 　 )高久 浩俊 旧姓 熊川 22

　佐伯 敬一 22

　竹野 兵一郎 21 47

　池田 峰夫 23 38

　木村 利栄 23 1

　占部 實 23 26

　伊藤 誠 23 26

　宮地 良彦 24 35

　上野 義夫 25 56

　庄野 直美 26 27

　中井 浩 26 27

　脇田 仁 28 40

　成相 秀一 28 61

　冨田 憲二 38 2

　田地 隆夫 41 55

　横山 寛一 41 2

　永井 秀明 41 59

　久保 禮次郎 41 2

　寺崎 邦彦 41 2

　冨松 彰 48 60

　佐々木 隆 57 2

　藤川 和男 58 2

　上原 正三 59 2

　佐々木 節 61 2

　中澤 直仁 63

　細谷 暁夫 62 1

　須藤 靖 1 2

　二宮 正夫 1 2

Staff history of RITP

Early era

　三村 剛昂 19 35

　岩付 寅之助 19 20

　細川 藤右衛門19 20

　森永 覚太郎 19 26

　佐久間 澄 19 26

　藤原 力 19 20

　柴田 隆史 19 26

　竹野 兵一郎 21 47

Middle era　木村 利栄 23 1

　上野 義夫 25 56

　成相 秀一 28 61

　冨田 憲二 38 2

　田地 隆夫 41 55

　横山 寛一 41 2

　永井 秀明 41 59

　久保 禮次郎 41 2

　寺崎 邦彦 41 2

　冨松 彰 48 60

　佐々木 隆 57 2

　藤川 和男 58 2

　上原 正三 59 2

Students in the middle era　前川 敬好 35 38

　青木 正典 41

　江沢 康生 41 45

　登谷 美穂子 44 46

　田辺 健茲 44 58

　南方 久和 45 49

　岡 隆光 46 50

　 　小野 隆 47 58

　新谷 明雲 49 56

　堀内 利得 49 58

　東 孝博 50 55

　遠藤 龍介 51 58

　原田 和男 51 56

　中澤 直仁 55 63

　石原 秀樹 55 59

　矢嶋 哲 58 62

　葛西 真寿 58 62

Late era　冨田 憲二 38 2

　横山 寛一 41 2

　久保 禮次郎 41 2

　寺崎 邦彦 41 2

　佐々木 隆 57 2

　藤川 和男 58 2

　上原 正三 59 2

　佐々木 節 61 2

　中澤 直仁 63

　細谷 暁夫 62 1

　須藤 靖 1 2

　二宮 正夫 1 2

Students in the late era

　 　 ( 　 )山本 寿 同志社女子大学 生活科学部 60 62

　 　 ( )杉山 直 国立天文台 61 63

　 　 ( )南部 保貞 名古屋大学理学部 60 1

　 　 ( )早田 次郎 京都大学理学部 61 2

　 　 ( )中尾 憲一 大阪市立大学理学研究科 61 2

　 　 ( )鈴木 博 理化学研究所 62 2

　 　 ( )渡辺 一也 新潟大学理学部 62 2

　 　 ( )山本 一博 広島大学理学部 1 2

　 　 ( 　 )上田 晴彦 秋田大学 教育文化学部 1 2

　 　 ( )松原 隆彦 名古屋大学大学院理学研究科 2

Quantum field theory in the expanding universe (H.Nariai and T.Kimura)

• ADM formalism in expanding universes

H.Nariai and T.Kimura, PTP 28(’62) 529. [L.Abbot and S. Deser, (’82)]

• Quantization of gravitational wave and mater fields in expanding universes

H.Nariai and T.Kimura, PTP 29(’63) 269; PTP 29(’63) 915; PTP 31(’64) 1138. [A.Penzias and R.Wilson (’63)] [L.Parker PRL 21 (’68) 562 ] [S.W.Hawking, Nature 248 (’74) 30 ]

Development• Gravitational anomaly T.Kimura, PTP 42 (‘69)1191; PTP 44 (‘70)1353

• Removal of the initital singularity in a big-bang universe

H.Nariai, PTP 46 (‘71)433, H.Nariai and K.Tomita, PTP 46

(‘71) 776

• In theoretical physics, “unrealistic and non-urgent work” happens to turn to a cardinal issue.

• We should not ask a physically reasonable motivation so urgently.

In the special issue for 60th anniversary of prof. Nariai

But, it would be also necessary to keep a sort of soundness at each stage of research.

Humitaka Sato says

Exact Solutions for Exact Solutions for 3-body and 4-body Problems 3-body and 4-body Problems

in 4-dimensional Spacein 4-dimensional Space

Hideki IshiharaOsaka City University

Shall we start

3-dim Gravity

Introduction

Gravitational phenomena depend on spacetime dimension

Kepler motion in 3-dim. v.s. 4-dim.

0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0

10

5

5

0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 3 .0

10

5

5

V3(r) V4(r)

Stable bound orbits appear only in the 3-dimensional gravity

Black holes in general relativity

Black Ring

We shoud study Kerr black hole only

Myers & Perry (1986)

Emparan & Reall (2002)

Black Hole

(4+1)-dimensions

(3+1)-dimensions

N-body problemN-body problem under the gravitational under the gravitational interactioninteraction

3-body problem in 3-spatial 3-body problem in 3-spatial dimensionsdimensions

• 2-body (Kepler problem) : integrable → bound orbits are given by ellipses• 3-body : not integrable in general

small numbers of special solutions are known1765 Euler, 1772 Lagrange,

2000 Eight figure choreography

N-body problem in 4-dim. space

Equations of motion

Lagrangian , Energy

Potential is homogeneous in order -2.

Bounded orbits

Constant inertial moment

Examples

Exact solutions for 4-body problem 3-body problem in 4-dimensional space.

4-body problem

Special configuration with the same mass

Lagrangian

Graviational potential

Effective LagrangianLagrangian

Effective Lagrangian

Constants of motion

integrable !

Bounded solutionsEquations of motion

For bounded orbits

Exact solutions

For closed orbits

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

=4/1, =3/1

Closed orbits

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

= 2/1 , = 2/1

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

=6/5, =4/3

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

= 4/3 , = 5/3

Closed orbits 2

=3/2, =5/3

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5 0 .5 1 .0

1 .0

0 .5

0 .5

1 .0

=3/2, =5/2

Closed orbits 3

3-body problem in 4-dimensions

Special configuration with the same mass

Lagrangian

Graviational potential

Effective Lagrangian

Bounded solutionsEquations of motion

For bounded orbits

Exact solutions

Elliptic integral of the second kind

Elliptic integrals of the first kind and third kind

Condition for closed orbits

Closed orbit 1

1 .0 0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

0 .5 0 .0 0 .5

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0 0 .5

0 .00 .5

1 .0

0 .5

0 .00 .5

0 .5

0 .0

0 .5

Closed orbit 2

1 .0 0 .5 0 .0 0 .5 1 .0

1 .0 0 .5

0 .00 .51 .0

1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0 1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

1 .0 0 .50 .00 .51 .0 1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

0 .2 0 .0 0 .2

Closed orbit 3

1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

1 .0

1 .0 0 .5

0 .00 .51 .0

1 .0 0 .5 0 .0 0 .5 1 .0

0 .5

0 .0

0 .5

Constrained system

Constant of motion on the constraint

System admits conformal Killing vector

Killing hierarchy(T.Igata,T.Koike,and H.I.)

Conclusions

We consider systems of particles interacting by Newtonian Gravity in 4-dimensional space.

There exists a special class of solutions: vanishing total energy and constant moment of inertia

We obtain exact special solutions for 3-body and 4-body problems