Exercices d'application du cours d'hydraulique en charge
Paternité - Partage des Conditions Initiales à l'Identique : http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. AlbagnacINP Toulouse
31 janvier 2015
Table des matières
Introduction 5
I - Exercice : Siphon 7
II - Exercice : Écoulement gravitaire 9
III - Exercice : Réseau avec valve 11
IV - Exercice : Conduites en parallèle 13
V - Exercice : Réservoirs 15
VI - Exercice : Pompe de relevage 17
Conclusion 19
Ressources annexes 21
Solution des exercices 23
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac 3
Introduction
Chaque question conduit à un réponse sous forme valeur numérique comme par exemple 3 ou 3,1 suivant le nombre de décimales requises.
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I - Exercice : Siphon I
[Solution n°1 p 23]
Siphon : question 1
On considère le siphon de la figure avec cm. On néglige les pertes de charge
et on considère , e t Pa pour les
applications numériques.
1. Indiquer la pression normalisée en m au point
Siphon : question 2
2. On suppose que la pression au point est égale à la pression atmosphérique. Indiquer la pression normalisée en m au point
Siphon : question 3
3. Calculer la vitesse en m/s.
Siphon : question 4
4. Indiquer la pression normalisée en m au point
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac 7
Image 1 Siphon
Siphon : question 5
5. Indiquer la pression normalisée en m au point
Exercice : Siphon
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II - Exercice : Écoulement gravitaire II
[Solution n°2 p 23]
Écoulement gravitaire : question 1
On considère l'écoulement gravitaire entre deux réservoirs dont les surfaces libres, représentées par les points et d'altitudes respectives e t sont séparées d'un différence d'altitude
. Les réservoirs sont reliés par une conduite en fonte de longueur , de diamètre cm et de rugosité absolue (fonte). Il en résulte un mouvement gravitaire de débit . On suppose que les réservoirs sont alimentés ou vidés de manière à ce que les altitudes et restent constantes. On considère ,
et pour les applications numériques.
1. On suppose ici que l'on connait . Donner la valeur de en m (zéro décimale).
Le diagramme de Moody est disponible ici (cf. Diagramme de Moody p 21).
Écoulement gravitaire : question 2
2. Quelle hauteur en m (zéro décimale) obtient-on avec la formule de Hazen-Williams avec (fonte).
Écoulement gravitaire : question 3
3. On suppose ici que l'on connait cm. Donner la valeur de en avec deux décimales.
Écoulement gravitaire : question 4
4. Quelle débit a valeur en (une décimale) obtient-on avec la formule de Hazen-Williams .
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac 9
Image 2 Écoulement gravitaire
III - Exercice : Réseau avec valve III
[Solution n°3 p 26]
Réseau avec valve : question 1
On considère l'écoulement dans une canalisation dont le débit est l/s. Une conduite verticale de longueur m et de diamètre cm se prolonge en une conduite de longueur m et de diamètre cm. La rugosité absolue des conduites est ~mm. Un coude dont le coefficient de perte de charge singulière est le relie à une conduite horizontale de longueur m et de même diamètre. L'eau s'écoule alors à travers une valve dont le coefficient de perte de charge singulière est . On considère , et pour les applications numériques.
Calculer la valeur de la pression au point en Bar (avec une décimale).
Le diagramme de Moody est disponible ici (cf. Diagramme de Moody p 21).
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Image 3 Réseau
IV - Exercice : Conduites en parallèle IV
[Solution n°4 p 29]
Conduites en parallèle : question 1
On considère deux montages reliant le point de pression au point de pression . Le montage (a) est constitué de deux
conduites de longueur ~m et de diamètre ~cm. Le montage (b) est constitué d'une conduite unique de longueur
et de diamètre . La rugosité absolue de toutes ces conduite est mm. On suppose que ~hPa. On considère , et
pour les applications numériques. Calculer le rapport des débits des deux montages (une décimale). On pourra supposer dans un premier temps que le régime est rugueux puis vérifier cette hypothèse.
Le diagramme de Moody est disponible ici (cf. Diagramme de Moody p 21).
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Image 4 Conduites en parallèle ou conduite unique
V - Exercice : Réservoirs V
[Solution n°5 p 30]
Réservoirs : question 1
On considère le montage de la figure et on ajuste de telle sorte que le débit vers le réservoir intermédiaire soit nul.
Calculer le rapport en supposant que le coefficient de frottement est constant dans toutes les conduites.
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Image 5 Réservoirs
VI - Exercice : Pompe de relevage VI
[Solution n°6 p 30]
Pompe de relevage : question 1
Une pompe de courbe caractéristique avec m,
et m, relève de l'eau entre deux réservoirs dont les surfaces libres sont séparées par une hauteur m. La conduite reliant les deux réservoirs est de longueur m, de diamètre
cm et de rugosité absolue mm. On considère ,
et pour les applications numériques.
Calculer le débit de fonctionnement du montage en (une décimale). On pourra supposer que le régime est rugueux puis vérifier cette hypothèse.
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Image 6 Réservoirs
Conclusion
D'autres exercices peuvent être trouvés dans l'ouvrage de Bennis [Saad BENNIS]
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Solution des exercices
> Solution n°1 (exercice p. 7)
Siphon : question 110
On a m.
Siphon : question 210
On a m.
Siphon : question 33
Les égalités s'écrit e t entrainent
m/s.
Siphon : question 49,55
L'égalité s'écrit entraine m/s.
Siphon : question 59,10
L'égalité s'écrit entraine m/s.
> Solution n°2 (exercice p. 9)
Écoulement gravitaire : question 113
• Comme et , on a .
• Cette perte de charge est due au frottement dans la conduite et vaut .
• Le coefficient de frottement se lit sur le diagramme de Moody avec , puisque m/s et .
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• On trouve et donc m.
// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 1clear a// Colebrookfunction F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// D Q imposesD=.6;Q=1;// Calcul de Re et rA=%pi*D^2/4;V=Q/A;Re=V*D/nu;r=e/D;disp(sprintf('U=%3.1f Re=%3.2g , r=%3.2g',V,Re,r))// Calcul de ff=fsolve(0.01,col)disp(sprintf('f=%3.2g',f))// calcul de hh=L*f*V^2/(2*g*D)disp(sprintf('h=%3.1f',h))
Listing résultat :
U=3.5 Re=2.1e+06 , r=0.0001f=0.013h=13.3
Écoulement gravitaire : question 214
m.
// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 2clear// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// D Q imposesD=.6;Q=1;// Calcul de rr=e/D;// Formule de Hazen-WilliamsCHW=140;h=10.675*L*(Q/CHW)^1.852/D^4.87;disp(sprintf('h=%3.1f',h))
Solution des exercices
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Listing résultat :
h=13.6
Écoulement gravitaire : question 30,13
• La relation entraine que avec m/s.
• En itérant sur le diagramme de Moody ( , , , ) ou directement en résolvant cette équation implicite à l'aide d'une calculatrice, on obtient
et donc m/s.
// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 3clear// Colebrookfunction F=colhD(f)V=sqrt(2*g*h*D/(f*L));r=e/D; Re=V*D/nu;F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// Q h imposesh=.3; D=0.6;// Calcul de rr=e/D;// GuessK=sqrt(2*g*h*D/L);f1=0.012;V1=K/sqrt(f1);Re1=V1*D/nu;f2=1/(2*log10(r/3.71+2.51/Re1/sqrt(f1)))^2;disp(sprintf('K=%3.2g , r=%3.2g',K,r))disp(sprintf('f1=%3.3f V1=%3.2g , Re1=%3.2g, f2=%3.3f',f1,V1,Re1,f2))// Calcul de ff=fsolve(0.01,colhD)disp(sprintf('f=%3.2g',f))// calcul de QV=K/sqrt(f);Re=V*D/nu;Q=V*%pi*D^2/4;disp(sprintf('V=%3.2g, Re=%3.2g, Q=%3.2f',V,Re, Q))
Listing résultat :
K=0.06 , r=0.0001f1=0.012 V1=0.55 , Re1=3.3e+05, f2=0.016f=0.016V=0.48, Re=2.9e+05, Q=0.14
Solution des exercices
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Écoulement gravitaire : question 40,14
On a
// Scilab// Exercice "Gravitaire"// Question 2clear// Colebrookfunction F=colhD(f)V=sqrt(2*g*h*D/(f*L));r=e/D; Re=V*D/nu;F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametrese=6e-5; g=10; L=1e+3; nu=1e-6;// Q h imposesh=.3; D=0.6;// Calcul de rr=e/D;// GuessK=sqrt(2*g*h*D/L);f1=0.012;V1=K/sqrt(f1);Re1=V1*D/nu;f2=1/(2*log10(r/3.71+2.51/Re1/sqrt(f1)))^2;disp(sprintf('K=%3.2g , r=%3.2g',K,r))disp(sprintf('f1=%3.3f V1=%3.2g , Re1=%3.2g, f2=%3.3f',f1,V1,Re1,f2))// Calcul de ff=fsolve(0.01,colhD)disp(sprintf('f=%3.2g',f))// calcul de QV=K/sqrt(f);Re=V*D/nu;Q=V*%pi*D^2/4;disp(sprintf('V=%3.2g, Re=%3.2g, Q=%3.2f',V,Re, Q))
Listing résultat :
K=0.06 , r=0.0001f1=0.012 V1=0.55 , Re1=3.3e+05, f2=0.016f=0.016V=0.48, Re=2.9e+05, Q=0.14
> Solution n°3 (exercice p. 11)
Réseau avec valve : question 12,5On calcule la charge en partant de l'aval et en rajoutant les pertes de charge.
• La charge en , supposé situé à l'altitude m (par convention) est
Solution des exercices
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m.
• La vitesse dans la conduite de rayon est m/s.
• La perte de charge dans la valve est ce qui conduit à m.
• Le nombre de Reynolds dans la conduite de diamètre est et la rugosité est . On en déduit, à partir du diagramme de Moody, et donc
m.
• La perte de charge dans le coude est ce qui conduit à m.
• La perte de charge dans la conduite de longueur et le changement d'altitude conduisent à m.
• Le nombre de Reynolds dans la conduite de diamètre est et la rugosité est . On en déduit, à partir du diagramme de Moody, et donc
m.
• Comme , on a m.
• On en déduit Bars.
Pression (rouge) et charge (bleu) le long du réseau
// Scilab// Exercice "Reseau"// Question 1clearxdel(winsid())// Colebrook
Solution des exercices
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac 27
function F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// ParametresL1=1; L2=2; L3=3;D1=.04; D2=.02;e=4*1.e-4; nu=1e-6;g=9.81; rho=1000; rhog=g*rho;Q=.001;K3=1.5; K5=10;// Calcul de Re et rA1=%pi*D1^2/4;V1=Q/A1;A2=%pi*D2^2/4;V2=Q/A2;Re1=V1*D1/nu;Re2=V2*D2/nu;r1=e/D1;r2=e/D2;disp(sprintf('V1=%3.1f Re1=%3.2g , r1=%3.2g',V1,Re1,r1))disp(sprintf('V2=%3.1f Re2=%3.2g , r2=%3.2g',V2,Re2,r2))// Calcul de f1Re=Re1; r=r1; f1=fsolve(0.01,col)Re=Re2; r=r2; f2=fsolve(0.01,col)disp(sprintf('f1=%3.2g',f1))disp(sprintf('f2=%3.2g',f2))// calcul de hp6=1.e+5/rhog; H6=p6;disp(sprintf('H6=%3.2f',H6))H5=H6+K5*V2^2/(2*g);p5=H5-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H5=%3.2f, p5=%3.2f',H5,p5))H4=H5+f2*V2^2/(2*g*D2)*L3;p4=H4-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H4=%3.2f, p4=%3.2f',H4,p4))H3=H4+K3*V2^2/(2*g);p3=H3-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H3=%3.2f, p3=%3.2f',H3,p3))H2=H3+f2*V2^2/(2*g*D2)*L2;p2=H2+L2-V2^2/(2*g);disp(sprintf('H2=%3.2f, p2=%3.2f',H2,p2))H1=H2+f1*V1^2/(2*g*D1)*L1;p1=H1+(L1+L2)-V1^2/(2*g);disp(sprintf('H1=%3.2f, p1=%3.2f',H1,p1))P1=p1*rhog;disp(sprintf('P1=%3.2f',P1))// FigureL12=L1+L2;L123=L1+L2+L3;s=[0 L1 L12 L12 L123 L123];H=[H1 H2 H3 H4 H5 H6];p=[p1 p2 p3 p4 p5 p6];plot(s,H,'b-','Linewidth',2)plot(s,H,'bo','Linewidth',2)plot(s,p,'r-','Linewidth',3)
Solution des exercices
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac28
plot(s,p,'ro','Linewidth',2)xlabel("s","fontsize", 4);ylabel("p/(rho g) et H","fontsize", 4);a=gca();a.data_bounds(2)=7;a.data_bounds(1)=-1;//a.data_bounds(4)=1.2*Hm;set(gca(),"grid",[1 1])set(gca(),"font_size",3)xs2png(gcf(),'Reseau1');
Listing résultat :
V1=0.8 Re1=3.2e+04 , r1=0.01V2=3.2 Re2=6.4e+04 , r2=0.02f1=0.04f2=0.049H6=10.19H5=15.36, p5=14.84H4=19.17, p4=18.65H3=19.94, p3=19.43H2=22.48, p2=23.97H1=22.52, p1=25.48P1=249995.28
> Solution n°4 (exercice p. 13)
Conduites en parallèle : question 13,1
• La perte de charge linéique dans les deux cas est .
• Les vitesses dans les conduites de diamètre et de diamètre sont données par et .
• Les rugosités et conduisent au coefficient de frottement et en supposant que le régime est rugueux.
• On en déduit m/s et t m/s.
• En utilisant les nombres de Reynolds et et les rugosités et , on vérifie sur le diagramme de Moody
que les valeurs de et sont bien celles de régimes rugueux. Les débits sont alors et .
• Le rapport entre les deux débit est .
Listing résultat :
// Scilab// Exercice "Parallele"// Question 1clear// Colebrookfunction F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction
Solution des exercices
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac 29
// ParametresL=100; D=0.1; Dp=2.e+5;e=1.e-4; nu=1e-6;g=9.81; rho=1000; rhog=g*rho;// Perte de charge lineiqueJ=(Dp/rhog)/L;// Deux petits tuyauxDa=D; ra=e/Da; fa=0.02;Va=sqrt(2*g*Da*J/fa);Rea=Va*Da/nu;disp(sprintf('Va=%3.1f Rea=%3.2g , ra=%3.2g',Va,Rea,ra))r=ra; Re=Rea; fac=fsolve(fa,col);disp(sprintf('fa=%5.4f, fac=%5.4f',fa,fac))// Un gros tuyauDb=2*D; rb=e/Db; fb=0.017;Vb=sqrt(2*g*Db*J/fb);Reb=Vb*Db/nu;disp(sprintf('Vb=%3.1f Reb=%3.2g , rb=%3.2g',Vb,Reb,rb))r=rb; Re=Reb; fbc=fsolve(fb,col);disp(sprintf('fb=%5.4f, fab=%5.4f',fb,fbc))// DebitsQa=2*%pi*Da^2/4*Va;Qb=%pi*Db^2/4*Vb;ratio=Qb/Qa;disp(sprintf('Qa=%5.4f, Qb=%5.4f',Qa, Qb))disp(sprintf('ratio=%5.4f',ratio))ratiot=2*sqrt(2)*sqrt(fa/fb)disp(sprintf('ratioc=%5.4f',ratiot))
Va=4.5 Rea=4.5e+05 , ra=0.001fa=0.0200, fac=0.0203Vb=6.9 Reb=1.4e+06 , rb=0.0005fb=0.0170, fab=0.0171Qa=0.0702, Qb=0.2155ratio=3.0679ratioc=3.0679
> Solution n°5 (exercice p. 15)
Réservoirs : question 133
• Comme dans le tuyau de diamètre et dans le tuyau de diamètre , on peut écrire et .
• On en déduit que et d'où .
> Solution n°6 (exercice p. 17)
Pompe de relevage : question 10,14
Solution des exercices
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac30
• La rugosité conduit à un coefficient de frottement .
• La courbe caractéristique de la conduite avec .
• L'égalité des deux courbes caractéristiques conduit au débit de
fonctionnement .
• On en déduit ~m/. Comme et , on est bien en régime rugueux.
Point de fonctionnement
// Scilab// Exercice "Pompe"// Question 1clearxdel(winsid())// Colebrookfunction F=col(f,r,Re)F=1/sqrt(f)+2*log10(r/3.71+2.51/Re/sqrt(f));endfunction// Parametres de la pompeHm=100; Qm=1; bet=40;// Parametres du tuyauL=100; D=.15; h=20;e=1.5e-3; nu=1e-6;g=9.81; rho=1000; rhog=g*rho;// Rugosite
Solution des exercices
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac 31
r=e/D;f=0.038;alpha=8*f*L/(%pi^2*g*D^5);disp(sprintf('r=%3.2g, alpha=%6.4g',r,alpha))// Point de fonctionnementQs=sqrt((Hm-h)/(alpha+bet/Qm^2));Hs=h+alpha*Qs^2;disp(sprintf('Qs=%5.3g, Hs=%5.3g',Qs,Hs))// Verification frottementVs=4*Qs/(%pi*D); Res=Vs*D/nu;disp(sprintf('Vs=%5.3g, Res=%5.3g r=%3.2g',Vs, Res, r))Re=Res; fs=fsolve(f,col);disp(sprintf('fs=%5.4g',fs))// Courbe caracteritiqueQ=linspace(0,Qm,101);Hp=Hm-bet*(Q/Qm).^2;Hc=h+alpha*Q.^2;// Plotfigure("BackgroundColor",[1 1 1])plot(Q,Hp,'b-','Linewidth',4)plot(Q,Hc,'r-','Linewidth',4)xlabel("Q","fontsize", 4);ylabel("Hp","fontsize", 4);a=gca();a.data_bounds(3)=0;a.data_bounds(4)=1.2*Hm;set(gca(),"grid",[1 1])set(gca(),"font_size",3)xs2png(gcf(),'pompe');
Listing résultat :
r=0.01, alpha= 4135Qs=0.138, Hs= 99.2Vs= 1.18, Res=1.76e+05 r=0.01fs=0.03821
Solution des exercices
O. Thual, H. Roux, L. Cassan, J. Albagnac32