Exercicios CALCULO Cap. 5.10 - Resolvidos (1)

Resoluo dos exerccios de GONALVES, M.B.; FLEMMING, D.M. Clculo B: Funes de vrias variveis, integrais mltiplas, integrais curvilneas e de superfcie. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007, p. 190 - 192.

210

CAPTULO 5 5.10 - EXERCCIOS

pg. 190 - 192

1. Encontrar, se existirem, os pontos de mximo e de mnimo globais das funes: a) 224 yxz

yyz

xxz

2

2

0202

yx

0,0 um ponto crtico. Este ponto um ponto de mximo global; no existe um ponto de mnimo global. b) 522 yxz

yyz

xxz

2

2

00

yx

0,0 um ponto crtico. Este ponto um ponto de mnimo global; no existe ponto de mximo global c) 4yxz

1

1

yzxz

No existem mximos ou mnimos globais. d) 222 yxz


211

2221

22

2221

22

22.2

21

224.2

21

yxyyyx

yz

yxxxyx

xz

Em (0,0) as derivadas no existem e como a funo um cone com concavidade voltada para cima, (0,0) mnimo global. No existe ponto de mximo global. e) ysenxz cos

senyyz

xxz cos

00cos

senyx

Znk ,nk ,2,22

so pontos de mximo global e

Znk ,nk ,12,22

3 so pontos de mnimo global.

f) 44, yxyxf

3

3

4

4

yyf

xxf

00

yx

0,0 um ponto crtico. Este ponto um ponto de mnimo global; no existe ponto de mximo global. g) 122 22 yyxxz Estamos diante do hemisfrio superior de uma esfera, centrada em (1,1,0) e raio igual a 1. Assim,


212

1,1 ponto de mximo global e os pontos sobre a circunferncia de centro em 1,1 e raio 1 so pontos de mnimo global.

2. Verificar se o ponto (0,0) ponto crtico das funes: a) 22 22 yxz

00.44

00.44

yyz

xxz

ponto crtico

b) 224 yxz

22

2221

22

4

42.4

21

yxy

yz

yxxxyx

xz

Temos que para , 0,0x y , 00yze

xz . Portanto (0,0) um ponto crtico.

c) 0,0,,0

0,0,,24

3, 22

2

yx

yxyx

xyxf

2

2 2

0

0

2

2

0

0

3, 0,0 ,4 2

0 ,0 0,00,0 lim

,0 0,0lim

30

4lim

3 1lim .4

x

x

x

x

xx y f x yx y

f x ffx x

f x fx

xx

x

x


213

A funo dada no diferencivel em (0,0). Portanto, temos um ponto crtico. Nos exerccios de 3 a 16 determinar os pontos crticos das funes dadas.

3. 92 224 yxxz

yyz

xxxz

2

44 3

Resolvendo o sistema temos:

002044 3

yyxx

11

44044

0044

2

2

2

2

xx

xx

xxx

Portanto, temos os seguintes pontos crticos: (1,0), (-1,0) e (0,0).

4. 22 yxz

22

2221

22 2.21

yxy

yz

yxxxyx

xz

Para , 0,0x y as derivadas parciais no so ambas nulas. Portanto, esses pontos no so pontos crticos. Esta funo no diferencivel em (0,0), portanto (0,0) um ponto crtico.

5. 122 2244 yxyxz

3

3

8 2

8 2

z x xxz y yy


214


028028

3

3

yyxx

21

41

4128

0280028

028

2

2

2

2

2

y

y

yy

yyyxx

e

21

41

4128

0280

2

2

2

x

x

xx

x

Portanto, temos os seguintes pontos crticos:

21,

21,

21,

21,0,

21,

21,

21,

21,

21,0,

21,

21,0,

21,0,0,0 .

6. 22cos, yxyxf

2cos .

2

f x senxxf yy


020.cos2

ysenxx

Temos que os pontos crticos so:

Zn n ,0,2

7. xyxf cos,

0yf

senxxf

Resolvendo a equao temos:


215

kkxsenx

,0

Pontos crticos bkbk ;;, .

8. 5632 243 yxxyz

22

3

66

1212

xyyz

xyxxz

Resolvendo o sistema temos

00

06601212

22

3

22

3

xyxyx

xyxyx

ou

2

3

3

3 0

xyxxy

xxyxyx

22 2

4 2

2 2

0

0

1 0

01

x x

x x

x x

xx

e 1y . Pontos crticos: (1,-1), (-1,-1) e (0,0)

9. 222 yxz

yyz

xxz

2

22


002202022

yyxxx

Ponto crtico: (2,0)

10. 22 2xyez yx


216

2 2

2 2

2 2

4 2 .

4 2

2 2 1

x y x y

x y x y

x y x y

z e x y x ex

xe y x e

z e y y x ey


2 2

2 2

4 2 0

2 2 0

x y

x y

e x y x

e y y x

ou 2 2 2 2

2 2 2 2

4 2 0 2 42 2 0 2 2

x y x y x xy y x y x y

Assim, 2 22 2 4 2 0

2 4 02 02

y x x xy x

y xy x

2 2

2

4 2 2 0

2 4 00 02 4

x x x

x xx yx y

Assim, os pontos crticos so: (0,0) e (2,4).

11. 22 yxxez

yxeyz

exxexz

yx

yxyx

2

2

22

2222


02

01222

222

yx

yx

xye

ex

21

2112

012

2

2

2

x

x

xx

e


217

002

yxy

Assim, os pontos crticos so: 0,2

10,2

1 e .

12. yyxyz 33 23

333

6

22 xyyz

xyxz


033306

22 xyxy

Da primeira equao temos que x=0 ou y=0. Para y=0 temos

11

33033

2

2

2

xxx

x

Para x=0, temos:

2

2

3 3 03 3

yy

Impossvel.

Assim, os pontos crticos so: (1,0) e (-1,0).

13. yxz 2cos

yxsenyz

yxsenxz

2

2.2


kkyxyxsen

,202

.;2; aakyax Assim, os pontos crticos so:

.,,2, kaaka


218

14. xyxyz 22421

21

yyyz

xxz

2.214

12.21

3


0401

3 yyx

Da primeira equao temos que 1x e da segunda equao temos:

.21;140

01404

2

2

3

yyouy

yyyy

Portanto, os pontos crticos so: 0,121,1,

21,1 e .

15. 126822 yxyxz

62

82

yyz

xxz


362062482082

yyyxxx

Portanto temos o ponto crtico (-4,3).

16. xyxy

yxf 641,

xyy

f

yxx

f

2

2

1

64

Resolvendo o sistema vem:


219

01

064

2

2

xy

yx ou

01

064

2

2

2

2

yxy

xyx

Da segunda equao temos:

222 1101

yxexyxy

Aplicando este resultado na primeira equao temos:

.41

641

641641

0164

0.164

3

33

3

4

y

yy

y

yy

Dessa forma 16

16111

2yx . Temos, ento o ponto crtico

41,16 .

Nos exerccios de 17 a 34 determinar os pontos crticos das funes dadas, classificando-os quando possvel.

17. 2210 yxz

2

2

z xxz yy

Igualando as derivadas a zero encontramos o ponto crtico (0,0). Temos que:

020,0

0420

02,

2

2

xf

yxH

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (0,0) um ponto de mximo.

18. 52 22 yxz


220

yyz

xxz

2

4


040,0

082004

0,0

2

2

xf

H

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (0,0) um ponto de mnimo.

19. 22 324 yxz

yyz

xxz

6

4


040,0

00,0

02460

04,

2

2

xf

H

yxH

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (0,0) um ponto de mximo.

20. 72622 yxyxz

22

62

yyz

xxz

122022362062

yyyxxx



221

042002

, yxH

021,322

xf


21. senyxyz .

yxyz

senyxz

cos.1

yxseny

cos10

Da primeira equao temos que kky , . Substituindo esse valor na segunda equao vamos obter:

101101

0110cos1

xxxx

xkx

Assim temos:

. com 12,1;2,1

par ,,1zeroou impar ,,1

kkkou

kkkk

Assim, igualando as derivadas a zero encontramos os pontos crticos kkk com 12,1;2,1 .

Temos que:

0cos.cos

cos0, 2 y

senyxyy

yxH

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que todos os pontos so pontos de sela.

22. yxsenz 2

2.2cos.

2

yxyz

ysenxz


222

02cos202

yxysen

Da primeira equao temos

2ou ,202 kykkyysen

Aplicando na segunda equao vem:

002

0120cos.2

02

.2cos.2

xxx

kx

kx

Temos que kk ,2

,0 so pontos crticos. Temos:

02cos42.222cos2

2cos20, 2 y

yxsenyy

yxH

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que 2

,0 k so pontos de sela.

23. 22 yxez

yeyz

xexz

yx

yx

2.

2.

22

22

02

0222

22

yx

yx

ye

xe00 yex


2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2

22 2

2

2

2 .2 .2 4,

2 .2 2 .2 .2

. 16 8 8 4 16

. 8 8 4 0

0,0 2 0

x y x y x y

x y x y x y

x y x y

x y

xe x e xyeH x y

xe y ye y e

e e x y x y x y

e x y

fx



223

24. xyz 4

xyz

yxz

4

4

Temos o ponto crtico (0,0), que um ponto de sela pois 0 4

0,0 16 04 0

H .

25. 3 2 28 2 3 1z x xy x y

yxyz

xyxxz

22

6224 2

02206224 2

yxxyx


xyyx 0

Aplicando o resultado obtido na primeira equao vem:

3113

001380824

062242

2

x

xx

xxxx

xxx

Temos que31,

310,0 e so pontos crticos

Temos que:

169641296222648

, xxx

yxH

0160,0H


224

2

2

1 1 1, 96. 16 03 3 3

1 1 1, 48. 6 03 3 3

H

fx

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (0,0) um ponto de sela e 31,

31

um ponto de mnimo.

26. yxxyxyxf 12153, 23 2 23 3 15

6 12

f x yxf xyy

012601533 22

xyyx

ou

020522

xyyx

Da segunda equao temos que .22x

youxy Aplicando o resultado obtido na

primeira equao vem:

1214

045054

054

22

24

24

22

xexxex

xxxx

xx

Assim temos os pontos crticos: (1,2); (-1,-2); (2,1) e (-2,-1). Temos que:

04.36362,1

36366666

, 22

H

yxxyyx

yxH

04.36362,1H


225

2

2

2

2

2,1 36.4 36 0

2,1 12 0

2, 1 36.4 36.1 0

2, 1 6. 2 0

H

fx

H

fx

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (1,2) e (-1,-2) so pontos de sela; (2,1) um ponto de mnimo e (-2,-1 um ponto de mximo.

27. 121234 22 yxyxyxz

223

1238

yxyz

yxxz

022301238

yxyx


232322xy

xy

Aplicando este resultado na primeira equao vem:

.7

180187

024961602432316

0122

32.38

x

xxx

xx

xx

Assim,

.720

7542

21

2718.32

y

Temos o ponto crtico 720,

718 .

Temos que:


226

2

2

8 3, 16 9 0

3 2

18 20, 8 07 7

H x y

fx

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que 720,

718 um ponto de mnimo.

28. 1531

41 354 yxyxz

24

3

3.315.

41

14

yyyz

xxz

045

014

24

3

yy

x

Da primeira equao temos, .4

1143

3 xoux Da segunda equao temos:

.0 ,0145 22 yyy

Assim, temos o ponto crtico 0,4

13

.

Temos que:

00,4

1

2512220.410

012,

3

323

2

H

yyxyyx

yxH

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que nada se pode afirmar a respeito do ponto

720,

718 .

29. 78222 yxyxz


227

82

22

yyz

xxz

082022

yx

.482.122

youyxoux

Dessa forma temos o ponto (1,4) para analisar. Temos que:

024,1

042002

,

2

2

xf

yxH


30. 24 24 yxxyz

yxyz

xyxz

44

44 3

044044 3

yxxy


yxyx 0

Usando o resultado obtido na primeira equao vem:

11

001

0044044

2

2

3

3

3

xxx

xxxx

xxxx

Temos assim os pontos: (0,0), (1,1), (-1,-1). Temos que:


228

0160,0

164844

412, 2

2

H

xx

yxH

0121,1

016481,1

2

2

xf

H

2

2

1, 1 48 16 0

1, 1 12 0

H

fx

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (0,0) um ponto de sela; (1,1) um ponto de mximo e (-1,-1) um ponto de mximo.

31. 422 yx

xz

222222

22

222

222

222

22

42

42.0.4

424

4214

yxxy

yxyxyx

yz

yxxyx

yxxxyx

xz

2 2 4 0

2 0x yxy

Da segunda equao obtemos: .00 youx Aplicando este resultado na primeira equao vem:

2

2

2

2

2

0 4 04

0 4 04 04 2.

x yy no

y xxx x

Temos os pontos (2,0) e (-2,0) para analisar. Para a anlise vamos precisar das derivadas de segunda ordem:


229

2 2

22 2

22 2 2 2 2 22

42 2 2

22 2 2 2 2 22

42 2

22 2

4

4

4 . 2 4 .2 4 .2

4

4 .2 4 .2 4 .2

4

2

4

z x yx x y

x y x x y x y xzx x y

x y y x y x y yzy x x y

z xyy x y

422

22222

2

2

42.42.22.4

yxyyxxyxyx

yz

Assim,

422

22222

422

2222222

422

2222222

422

2222222

42.42.22.4

42.42.42.4

42.42.42.4

42.42.42.4

,

yxyyxxyxyx

yxyyxyxyyx

yxyyxyxyyx

yxxyxyxxyx

yxH

Temos que:

2

2

1 0162,0 0

1016

2,0 0 0

H

zH ex

00,20,2

0

1610

0161

0,2

2

2

xzeH

H

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (2,0) ponto de mximo e (-2,0) ponto de mnimo.


230

32. xyz cos

xyz

ysenxxz

cos

nnxx

senxouyysenx

;2

120cos

000

Assim, temos os pontos: 0,2

12n com n .

Temos que:

010,2

12

0cos

, 2

nH

xsensenx

senxxyyxH

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que os pontos 0,2

12n com n ,

so pontos de sela

33. 23 9431 xyxyyz

94331

24

2 xyyz

xyxz

094024

2 xyxy

Da primeira equao temos que

.24

224

xxy

xy

Substituindo este valor encontrado na segunda equao temos:


231

2

2

4 9 04

16 36 02 18

x x

x xx x

Dessa forma temos os pontos crticos: (2,1) (-18,-9) Temos que:

0201641,2

1642442

,

H

yy

yxH

18, 9 4. 9 16 36 16 20 0H 2

2 18, 9 2 0z

x

Dessa forma usando a Proposio 5.6.1 temos que (2,1) ponto de sela e (-18,-9) um ponto de mximo.

34. yx

yz

22

1.0.yxy

yxyyx

xz

222

1.1.yx

xyx

yyxyx

yyxyz

No existem pontos crticos no domnio da funo. Nos exerccios de 35 a 43 determinar os valores mximo e mnimo da funo dada, na regio indicada. Vamos aplicar o Teorema de Weierstrass (seo 5.7) nos exerccios de 35 a 43.

35. yxyxf 2, no retngulo de vrtice (1,-2), (1,2), (-1,2), (-1,-2). Neste caso no temos pontos crticos no interior do retngulo dado (ver Figura que segue), pois,

2

1

yzxf


232

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

BC

D A

Dessa forma vamos analisar a fronteira.

11, 1 2 , 2 2

AB xf y y y

No tem pontos crticos. 1, 2 1 2 2 1 4 3 min

1,2 1 2.2 5

f

f mx

2 ; 1 1

,2 4No tem pontos crticos.

1,2 1 4 3 min

1,2 1 4 5

BC y xf x x

f

f mx

1

1, 1 2 ; 2 2No tem pontos crticos.

1, 2 1 2 2 5 min

1,2 1 2.2 3

CD xf y y y

f

f mx

2

, 2 2 2 4No tem pontos crticos.

1, 2 1 4 3

1,2 1 4 5

DA yf x x x

f mx

f

Dessa forma temos que:

(-1,-2) ponto de mnimo e o valor mnimo -5;


233

(1,2) ponto de mximo e o valor mximo igual a 5.

36. 1, 22 yxyxf no crculo 122 yx A figura que segue mostra o domnio em anlise.

-1 1

-1

1

x

y

xyxzf 2.1

21

21

22

yyxyz 2.1

21

21

22

01

01

22

22

yxyyx

x

Resolvendo o sistema obtemos o ponto (0,0) no interior do domnio. 10,0f .

Para a fronteira temos todos os pontos tais que 122 yx . Para esses pontos vamos

sempre obter a imagem da funo igual a .2111, 22 yxyxf Dessa forma:

(0,0) ponto de mnimo da funo e o valor mnimo igual 1; Todos os pontos da fronteira, pares (x,y) tais 122 yx so pontos de mximo e o

valor mximo igual a 2 .

37. yxyxz 2222 no tringulo de vrtices (0,0), (3,0), (0,3). A Figura que segue mostra o domnio em anlise.


234

-1 1 2 3

-1

1

2

3

x

y

B

C A

22

22

yyz

xxz

10221022

yyxx

No interior temos o ponto (1,1)

021,1

042002

,

2

2

xf

yxH

Pela proposio 5.6.1 temos que (1,1) um ponto de mnimo. Vamos agora analisar a fronteira do domnio.

30;33 xxyyxAB 22

2 2

2

3 2 2 3

9 6 2 6 22 6 3

' 4 6 4 6 04 6

3 .2

z x x x x

x x x x xx x

z x xx

x

Temos assim o ponto (3/2,3/2) para ser analisado, sendo que em x=3/2 vamos ter um ponto de mnimo.

122'2

30;02

yyzyyz

yxBC

Temos assim, o ponto (0,1) para ser analisado, sendo que vamos ter um ponto de mnimo.


235

2

0;0 32

' 2 2; 1

CA y xz x xz x x

Temos o ponto (1,0) para ser analisado sendo que em x=1 temos um ponto de mnimo. O quadro que segue ajudar na definio dos valores mximo e mnimo.

PONTOS LOCALIZAO IMAGEM DO PONTO (1, 1) Interior do tringulo -2 (mnimo) (0,3) Fronteira 3 (mximo) (3,0) Fronteira 3 (mximo)

(3/2,3/2) Fronteira -3/2 (mnimo) (0,1) Fronteira -1 (mnimo) (0,0) Fronteira 0 (mnimo) (3,0) Fronteira 3 (mximo)

Portanto o valor mnimo da funo do domnio dado igual a -2 e o valor mximo igual a 3.

38. yexyxsensenysenxz 00 . A Figura que segue mostra o domnio a ser considerado.

/2

/2

x

y

yxyyz

yxxxz

coscos

coscos

0coscos0coscos

yxyyxx

Subtraindo as equaes termo a termo temos


236

cos cos 0cos cos , j que 0 ,0

x yx y x y x y

Substituindo este valor na primeira equao vamos ter:

.1cos

21

42cos

431

4811cos

01coscos20cos1cos2

02coscos

2

2

xe

x

x

xxxx

xx

Considerando-se que 1cos22 xxsen , e aplicando os valores encontrados, podemos escrever que:

23

21.

23.22

00.22cos22

230

43

411

011

2

2

xsen

xsenxsenxxsen

senxesenx

xsen

xsen

Assim, temos:

233

23

23

23

0

z

z

O valor mnimo zero e o valor mximo .2

33

Observao. Para a fronteira deve-se proceder como no exerccio anterior.

39. xyz ; no crculo 2 2 1x y .

A figura que segue mostra o domnio em anlise.


237

-1 1

-1

1

x

y

0

0

xyz

yxz

Temos assim o ponto 0,0 para analisar.

0

1

0

2

2

2

2

2

yzyxz

xz

010110

, yxH

Assim, o ponto (0,0) um ponto de sela. Para 122 yx temos:

yyz

yx

.1

12

2


238

21

211

1

21

21

12021

01

01

1

2.121.1'

2

2

2

2

22

2

22

21

22

x

yx

yy

yy

yy

yyy

yyyyz

Resumindo temos: 00,0f - ponto de sela

21

21,

21

21

21,

21

f

f

valores mximo.

21

21,

21

21

21,

21

f

f

valores mnimo.

Portanto, o valor mximo 21 e o valor mnimo

21 .

40. 2222 yexxyz A figura que segue mostra o domnio em anlise.


239

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

yBC

D A

No interior j foi analisado no exerccio anterior.

22

' 22, 2 4 valor mnimo

2,2 4 valor mximoSimilarmente:

2,2 4 valor mnimo

2, 2 4 valor mximo

AB xz yzf

f

f

f

Portanto, o valor mximo 4 e o valor mnimo -4.

41. 10032, yxyxyxyxf A figura a seguir mostra o domnio em anlise.

1

1

x

y

C


240

A funo no tem pontos crticos no interior do domnio. Na fronteira, tambm no h pontos crticos. Por exemplo, no segmento que une os pontos (1,0) e (0,1), temos:

yxyx1

1

2'23

312

zyz

yyz

Basta, ento, verificar o valor de f nos pontos (0,0), (1,0) e (0,1). Temos:

mximoff

mnimof

5321,0120,1

20,0

Portanto, o valor mnimo 2 e o valor mximo 5.

42. 3130333 yxxyyxz A figura que segue mostra o domnio em anlise.

1 2 3

-1

1

2

3

x

y

BC

D A

033

033

2

2

xyyz

yxxz

2

2 2

4

3

3

000

1 0

0 01

1 1

x yy x x yy y

y y

y xyy x


241

Pontos para anlise (1,1) e (0,0). Analisando a fronteira temos:

3

2

2

2

3, 1 327 9

' 3 93 9 03 9

3

x yz y yz yyy

y

Pontos para anlise: 3,3 .

3

3,0 327 9

3

y xz x x

x

Pontos para anlise: 3,3 .

3

2

0, 1 3

' 3 0

x yz yz y y

Pontos para anlise: 0,0

3

2

2

2

1,0 31 3

' 3 33 3

1

y xz x x

z xx

x no valores

Vamos fazer o quadro resumo:

PONTOS LOCALIZAO IMAGEM DO PONTO (0,0) Fronteira 0 (1,1) Interior -1

3,3 Fronteira 3627 3,3 Fronteira 3627

(0,-1) Fronteira -1 (0,3) Fronteira 27 (3,-1) Fronteira 35 (3,3) Fronteira 27

Portanto o valor mnimo da funo do domnio dado igual a -1 e o valor mximo igual a 27.


242

43. 2211333 yxxyxyz A figura que segue mostra o domnio em anlise:

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

x

y

BC

D A

033

033

2

2

xyyz

yxxz

Resolvendo o sistema temos

00

2

2

xyyx

Da primeira equao temos 2xy . Substituindo este resultado na segunda equao obtemos:

110

010

3

3

4

xxx

xxxx

Temos assim os pontos 1,10,0 e para analisar. Analisando a fronteira vem:

3

2

2

1, 2 21 3

' 3 33 3

1

x yz y yz yy

y

Assim, temos os pontos (1,1) e (1,-1).


243

3

2

2

2

2, 1 18 6

' 3 63 6 03 6

y xz x xz xxx

Neste caso no temos pontos para analisar.

3

2

2

1, 2 21 3

' 3 33 3

x yz y yz yy

No existem pontos para analisar.

3

2

2

2

2, 1 18 6

3 6 03 6

2

2

y xz x x

xx

x

x

Os pontos 2,22,2 no pertencem a regio analisada. Estabelecendo o quadro resumo vem:

PONTOS LOCALIZAO IMAGEM DO PONTO (0,0) Interior 0 (1,-1) Fronteira 1 (1,1) Fronteira -3 (1,2) Fronteira 1 (-1,2) Fronteira 15 (-1,-2) Fronteira -13 (1,-2) Fronteira -3

Dessa forma temos que o valor mximo 15 e o valor mnimo -13.

44. Dada a funo cbyaxz 22 , analisar os pontos crticos, considerando que:

a) 0a e 0b b) 0a e 0b c) a e b tm sinais diferentes.


244

a) Temos um parabolide virado para cima, com vrtice em (0,0,c). Portanto, 0,0 ponto de mnimo; b) Temos um parabolide virado para baixo, com vrtice em (0,0,c). Portanto, 0,0 ponto de mximo; d) Neste caso temos que 0,0 ponto de sela.

45. Um disco tem a forma do crculo .122 yx Supondo que a temperatura nos pontos do disco dada por 22 2),( yxxyxT , determinar os pontos mais quentes e mais frios do disco.

yyT

xxT

yxxyxT

4

12

2),( 22

Resolvendo o sistema:

04012

yx

obtemos o ponto 0,21 na regio interior do disco.

Analisando a fronteira temos: 2 2 2( , ) 2(1 ) 2

2 12 1 0

1/ 2

32

T x y x x x x xT x

xx

y

Assim temos os pontos 1 3,2 2

.

Verificando as imagens dos pontos dados temos: (1/ 2,0) 1/ 4

1 3, 9 / 4.2 2

T

T


245

Os pontos mais quentes do disco so 1 3, 2 2

e o ponto mais frio 0,21 .

46. A distribuio de temperatura na chapa circular 122 yx .1052),( 22 yxyxyxT Achar as temperaturas mxima e mnima da chapa.

Temos:

52

22

yyT

xxT

Resolvendo o sistema

052022

yx

obtemos o ponto (1,-5/2), que est fora do domnio.

Na fronteira, usando 21y x , temos 2 2 2

2

2 5 1 10

9 2 5 1

T x y x x

x x

e

.152

2xxT

Fazendo 0152

2xx

, obtemos o ponto 2 5, .29 29

Observe que 229

x no satisfaz a equao ' 0T .

Ainda, na fronteira, usando 21y x , temos 2 2 2

2

2 5 1 10

9 2 5 1

T x y x x

x x

2

52 .1

xTx

Fazendo ' 0T , obtemos o ponto 2 5, .29 29


246

Analisando as imagens dos pontos vem:

2 5, 9 2929 29

2 5, 9 29.29 29

T

T

Portanto, a temperatura mxima da chapa 299 e a temperatura mnima 9 29 .

47. Achar as dimenses de uma caixa com base retangular, sem tampa, de volume

mximo, com rea lateral igual a 5 cm2. O problema pode ser modelado por

.522..max

acbcabasabc

Usando a funo lagrangeana temos:

0522

022

02

02

)522(

acbcbL

ababcL

caacbL

cbbcaL

acbcababcL

Resolvendo o sistema vamos obter as dimenses da caixa iguais a 32

535

35 , , .

48. Entre todos os tringulos de permetro igual a 10 cm, achar o que tem maior rea.

Supondo o tringulo de lados a,b e c, a situao dada pode ser modelada por:

10..))()((max

cbaascsbsass

sendo que s o semipermetro. A funo lagrangeana fica:


247

010

0)5)(5(5

0)5)(5(5

0)5)(5(5

)10()5)(5)(5(5

cbaL

bacL

cabL

cbaL

cbacbaL

Resolvendo vamos obter todos os valores das dimenses iguais a 3

10 cm. Dessa forma

estamos diante de um tringulo equiltero.

49. Achar o ponto da esfera 4222 zyx mais prximo do ponto )3,3,3( . A situao dada pode ser modelada por:

4..

)3()3()3(min222

222

zyxas

zyx

A funo lagrangeana fica:

.04

02)3(2))3()3()3((21

02)3(2))3()3()3((21

02)3(2))3()3()3((21

)4()3()3()3(

222

2/1222

2/1222

2/1222

222222

zyxL

zzzyxzL

yyzyxyL

xxzyxxL

zyxzyxL

Resolvendo o sistema vamos obter o ponto 3

32,3

32,3

32 .

50. Em uma empresa que produz dois diferentes produtos, temos as funes de demanda

212

211

35240

PPQPPQ

onde iQ , 2,1i , representa o nvel de produo do i-simo produto por unidade de tempo e iP , ,2,1i os respectivos preos. A funo custo dada por

102221 QQC


248

e a funo receita dada por .2211 QPQPR

a) Sabendo-se que lucro = receita custo

encontrar a funo lucro. A funo Lucro dada por 1022212211 QQQPQPL .

b) Achar os nveis de produo que maximizam o lucro. Temos:

2835185327087

10)35()240()35()240(10

22

21212

1

221

221212211

22

212211

PPPPPP

PPPPPPPPPPQQQPQPL

Derivando vem:

18568

270814

212

211

PPPL

PPPL

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema obtemos 1 243, 7,2

P P que um

ponto de mximo. Assim, os nveis de produo que maximizam o lucro so:

.2

1335

29240

212

211

PPQ

PPQ

c) Qual o lucro mximo? Quando aplicamos esses valores na funo lucro vamos obter o lucro mximo que igual a

75,98 .

51. Determinar o ponto ),,( zyxP do plano ,623 zyx cuja distncia origem seja mnima.

A situao dada pode ser modelada por:

623..min 222

zyxaszyx


249

Usando a funo lagrangeana vem:

)623(222 zyxzyxL .

Derivando vamos ter

)623(

2221

3221

221

2/1222

2/1222

2/1222

zyxL

zzyxzL

yzyxyL

xzyxxL

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema vamos obter o ponto 76,

79,

73 .

52. Determinar trs nmeros positivos cujo produto seja 100 e cuja soma seja mnima.

Podemos modelar essa situao como:

100..min

xyzaszyx

A funo lagrangeana fica )100(xyzzyxL

Derivando vem:

)100(

1

1

1

xyzL

xyzL

xzyL

yzxL

Igualando a zero e resolvendo o sistema vamos obter os valores 333 100,100,100 zyx .

53. Uma firma de embalagem necessita fabricar caixas retangulares de 64 cm3 de volume. Se o material da parte lateral custa a metade do material a ser usado para a tampa e para o fundo da caixa, determinar as dimenses da caixa que minimizam o custo.

Supondo a caixa com dimenses da base igual a e b e altura c. Supondo tambm que o custo


250

da tampa e fundo igual a x, vamos ter que a situao pode ser modelada por:

64.

)22(2

2min

abcas

bcacxabx ou 64.

2minabcas

bcxacxabx

A funo lagrangeana dada por: )64(2 abcbcxacxabxL

Calculando as derivadas, vem:

abcL

bcacabxL

abbxaxcL

accxaxbL

bccxbxaL

64

)(2

)(

)(2

)(2

Igualando a zero e resolvendo o sistema obtemos as dimenses da caixa como: 333 322,32,32 cba .

54. Determine, pelo mtodo dos mnimos quadrados, a reta que melhor se ajusta aos dados: a) )2,1( ; )0,0( e ).3,2(

Para estruturar o sistema de equao que nos d a soluo vamos calcular:

.5302

83.20.02.1

3201

5201

1

1

1

1

2222

n

kk

n

kkk

n

kk

n

kk

y

yx

x

x

Temos, ento, o sistema

.533835

baba

Resolvendo esse sistema, obtemos

23a e

61b .


251

Assim, a reta que melhor aproxima o conjunto de pontos dados a reta

61

23 xy .

A Figura que segue ilustra o resultado.

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

b) )1,0( ; )2,1( ; )3,2( e ).4,2( Para estruturar o sistema de equao que nos d a soluo vamos calcular:

.104321

164.23.22.11.0

52210

92210

1

1

1

1

22222

n

kk

n

kkk

n

kk

n

kk

y

yx

x

x

Temos, ento, o sistema

.10451659

baba

Resolvendo esse sistema, obtemos

1114a e

1110b .

Assim, a reta que melhor aproxima o conjunto de pontos dados a reta

1110

1114 xy .

A Figura ilustra esse exemplo.


252

-3 -2 -1 1 2 3

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

55. Determinar as dimenses do paraleleppedo de maior volume que pode ser inscrito no

tetraedro formado pelos planos coordenados e pelo plano .121

31 zyx

A situao pode ser modelada por:

.121

31..

max

zyxas

xyz

Escrevendo a funo lagrangeana e derivando, temos:

2/3/1

2/

3/

)121

31(

zyxL

xyzL

xzyL

yzxL

zyxxyzL

Resolvendo o sistema vamos encontrar 32,1,

31 para as dimenses do paraleleppedo.

56. Precisa-se construir um tanque com a forma de um paraleleppedo para estocar 270 m3 de

combustvel, gastando a menor quantidade de material em sua construo. Supondo que todas as paredes sero feitas com o mesmo material e tero a mesma espessura,


253

determinar as dimenses do tanque. A situao pode ser modelada por:

270..222min

abcasbcacab


abcL

abbacL

accabL

bccbaL

abcbcacabL

270

22

22

22

)270(222

Resolvendo o sistema vamos encontrar 333 103103103 , , para as dimenses do paraleleppedo.

Nos exerccios 57 a 61, determinar os pontos de mximo e/ou mnimo da funo dada, sujeita s restries indicadas:

57. yxz 324 ; 122 yx Vamos definir a funo lagrangeana

)1(324 22 yxyxL . Calculando as derivadas temos:

221

23

22

yxL

yyL

xxL

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema vamos encontrar dois pontos:

133,

132 que ponto de mnimo e

133,

132 que ponto de mximo.

Observe que o mtodo de Lagrange no permite classificar os pontos. Isso foi feito atravs de uma visualizao geomtrica.


254

58. yxz 2 ; 422 yx Vamos definir a funo lagrangeana

)4(2 22 yxyxL . Calculando as derivadas temos:

224

21

22

yxL

yyL

xxL

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema vamos encontrar dois pontos:

52,

54 que ponto de mnimo e

52,

54 que ponto de mximo.

Veja observao no final do exerccio anterior. 59. ;22 yxz 1yx Vamos definir a funo lagrangeana

2 2 ( 1)L x y x y . Calculando as derivadas temos:

2

2

1

L xxL yyL x y

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema vamos encontrar um nico ponto

21

,21 . Observando que estamos diante de um parabolide virado para cima, temos que este ponto

um ponto de mnimo. 60. xyz ; 162 22 yx

Vamos definir a funo lagrangeana

)162( 22 yxxyL . Calculando as derivadas temos:


255

2216

2

4

yxL

yxyL

xyxL

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema vamos encontrar quatro pontos para serem analisados. Basta lembrar-se da geometria do grfico da funo (funo com um ponto de sela), e conferindo as imagens dos pontos podemos dizer que 22,2 e 22,2 so pontos de mximo e 22,2 e 22,2 so pontos de mnimo.

61. 222),,( zyxzyxf ; 9zyx

Vamos definir a funo lagrangeana )9(222 zyxzyxL .

Calculando as derivadas temos:

zyxL

zzL

yyL

xxL

9

2

2

2

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema vamos encontrar um nico ponto: 3,3,3 . Analisando geometricamente o problema conclumos que o mesmo ponto de

mnimo. 62. Determinar o ponto do plano 12423 zyx para o qual a funo

222 54),,( zyxzyxf tenha um valor mnimo. A situao pode ser modelada por:

012423..54min 222

zyxaszyx



256

)12423(

410

28

32

)12423(54 222

zyxL

zzL

yyL

xxL

zyxzyxL

Igualando a zero e resolvendo o sistema obtemos o ponto 118

,115

,1130 , que um ponto de

mnimo. 63. A reta t dada pela interseo dos planos 1zyx e .632 zyx

Determinar o ponto de t cuja distncia at a origem seja mnima. A situao pode ser modelada por:

6321..

min 222

zyxzyxas

zyx ou

6321..

min 222

zyxzyxas

zyx


zyxL

zyxL

zzL

yyL

xxL

zyxzyxzyxL

326

1

2

32

22

)632()1(222

Igualando a zero e resolvendo o sistema obtemos o ponto 35,

37,

31 .


257

64. Determinar a distncia mnima entre o ponto (0, 1) e a curva .42 yx A situao pode ser modelada por:

yxas

yx

4..

)1()0(min2

22

ou yxasyx

4..)1(min

2

22

Derivando a funo lagrangeana temos:

2

222

4

4)1(2

22

)4()1(

xyL

yyL

xxxL

yxyxL

Igualando a zero e resolvendo o sistema vamos encontrar o ponto (0,0). Dessa forma a distncia mnima 22 )1()0( yx = 1)10()00( 22 .

65. Achar os valores extremos de xyz 2 sujeitos condio .2yx

Vamos definir funo lagrangeana )2(2 yxxyL .

Calculando as derivadas temos:

yxL

xyL

yxL

2

2

2

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema vamos encontrar o ponto 1,1 que ponto de mximo. 66. Determinar o ponto do plano 1zyx cuja distncia ao ponto (1, 1, 1) seja mnima. Como o ponto (1,1,1) pertence ao plano dado, a distncia mnima zero e portanto o ponto

do plano (1,1,1).


258

67. Mostrar que o paraleleppedo retngulo de maior volume que pode ser colocado dentro de uma esfera tem a forma de um cubo.

Vamos considerar que o paraleleppedo tem dimenses a, b e c. A esfera tem raio r. A nica hiptese para termos um paraleleppedo de maior volume inserido na esfera de raio r que a sua diagonal ( )222 cba tenha a medida do dimetro, ou seja, 2r. Dessa forma podemos modelar um problema de maximizao como segue:

2222 4..max

rcbaasabc

Escrevendo a funo lagrangeana e derivando, temos: 2 2 2 2

2 2 2 2

(4 )

2

2

2

4

L abc r a b cL bc aaL ac bbL ab ccL r a b c

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema obtido vamos obter que cba , o que caracteriza que o paraleleppedo um cubo.

68. Calcular as dimenses de um retngulo de rea mxima inscrito numa semi-

circunferncia de raio 2. Ao inscrever um retngulo, de dimenses a e b, de rea mxima, na

semicircunferncia de raio 2, fica estabelecida uma relao tal que 4

22

22 ab .

Dessa forma a modelagem da situao fica:

2 2

max1. . 44

ab

s a a b



259

22

22

(4 )4

/ 2

2

44

aL ab b

L b aaL a bbL ab

Igualando as derivadas a zero e resolvendo o sistema, obtemos ba 2 e 2b , caracterizando as dimenses do retngulo 2,22 .

Date post:	06-Mar-2016
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Exercicios CALCULO Cap. 5.10 - Resolvidos (1)

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