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Experimental Synchronization of Two Resistively Coupled Duffing-type Circuits

Date post: 30-May-2018
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  • 8/14/2019 Experimental Synchronization of Two Resistively Coupled Duffing-type Circuits

    1/6

    N o n l i n e a r P h e n o m e n a i n C o m p l e x S y s t e m s , v o l . 1 1 , n o . 2 ( 2 0 0 8 ) , p p . 1 8 7 - 1 9 2

    E x p e r i m e n t a l S y n c h r o n i z a t i o n o f T w o R e s i s t i v e l y C o u p l e d

    D u n g - t y p e C i r c u i t s

    C h . K . V o l o s , I . M . K y p r i a n i d i s , a n d I . N . S t o u b o u l o s

    P h y s i c s D e p a r t m e n t , A r i s t o t l e U n i v e r s i t y o f T h e s s a l o n i k i , 5 4 1 2 4 T h e s s a l o n i k i , G R E E C E

    ( R e c e i v e d 1 D e c e m b e r , 2 0 0 7 )

    L a s t d e c a d e s c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n b e c a m e a v e r y i m p o r t a n t r e s e a r c h e l d a m o n g t h e s c i e n t i s t s ,

    b e c a u s e o f i t s a p p l i c a t i o n s i n s e c u r e c o m m u n i c a t i o n s . T h i s w o r k e x p l o r e s t h e p h e n o m e n o n o f c h a o t i c

    s y n c h r o n i z a t i o n b e t w e e n t w o i d e n t i c a l n o n l i n e a r c i r c u i t s . T h e c i r c u i t s w e u s e d a r e t w o s e c o n d o r d e r

    n o n l i n e a r e l e c t r i c a l c i r c u i t s d e s c r i b e d b y t h e w e l l k n o w n D u n g ' s e q u a t i o n . W e c o u p l e d t h e c i r c u i t s

    v i a a l i n e a r r e s i s t o r a n d w e e x a m i n e d t h e b e h a v i o r o f t h e s y s t e m i n t w o d i e r e n t c a s e s o f c o u p l i n g ,

    ( b i d i r e c t i o n a l a n d u n i d i r e c t i o n a l ) . I n b o t h c a s e s o f c o u p l i n g , w e f o u n d o u t , t h a t t h e s y s t e m w a s

    s y n c h r o n i z e d f o r d i e r e n t v a l u e s o f t h e c o u p l i n g r e s i s t o r . F i n a l l y , w e c o m p a r e d t h e t h e o r e t i c a l r e s u l t s ,

    f r o m t h e s i m u l a t i o n , w i t h t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s , a n d w e s a w t h a t t h e s y s t e m h a d t h e e x p e c t e d

    b e h a v i o r .

    P A C S n u m b e r s : 0 5 . 4 5 . X t ; 9 5 . 1 0 . F h

    K e y w o r d s : c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n , c o u p l e d D u n g - t y p e c i r c u i t s

    1 . I n t r o d u c t i o n

    S y n c h r o n i z a t i o n b e t w e e n c o u p l e d c h a o t i c

    s y s t e m s a p p e a r s t o b e a p h e n o m e n o n , w h i c h a t r s t

    l o o k , g o e s a g a i n s t t h e b a s i c r u l e s o f c h a o s t h e o r y .

    N e v e r t h e l e s s , a f t e r t h e p u b l i c a t i o n o f P e c o r a ' s a n d

    C a r o l l ' s p i o n e e r w o r k o n t h e s y n c h r o n i z a t i o n o f t w o

    c o u p l e d n o n l i n e a r s y s t e m s [ 1 3 ] , m a n y r e s e a r c h e r s

    s t u d i e d t h e a p p e a r a n c e o f t h i s k i n d o f d y n a m i c a l

    b e h a v i o r [ 4 ] . S y n c h r o n i z a t i o n o f c h a o t i c s y s t e m s p l a y s

    a v e r y i m p o r t a n t r o l e i n m a n y r e s e a r c h a r e a s . F o r

    e x a m p l e , i t h a s b e e n o b s e r v e d , t h a t n e u r a l s i g n a l s

    i n t h e b r a i n h a v e a c h a o t i c f o r m , s o a p o s s i b l e

    s y n c h r o n i z a t i o n o f t h e s e s i g n a l s i s a v e r y i m p o r t a n t

    s u b j e c t [ 5 ] . O t h e r i n t e r e s t i n g e x a m p l e s a r e a r t i c i a l

    n e u r o n a l n e t w o r k s [ 6 ] , b i o l o g i c a l n e t w o r k s [ 7 ] , c o u p l e d

    c h a o t i c n e u r o n s [ 8 ] , a s w e l l a s c o u p l e d e l e c t r i c a l

    o s c i l l a t o r s [ 9 ] . A l s o r e c e n t l y , r e s e a r c h e r s a r e v e r y

    i n t e r e s t e d i n s y n c h r o n i z a t i o n b e c a u s e o f i t s p o s s i b l e

    a p p l i c a t i o n s i n t h e e l d o f c o m m u n i c a t i o n s a n d

    e s p e c i a l l y i n t h e e l d o f s e c u r e c o m m u n i c a t i o n s

    [ 1 0 , 1 1 ] .

    F I G . 1 . T h e D u n g - t y p e c i r c u i t .

    G e n e r a l l y , t h e r e a r e t w o b i g c a t e g o r i e s o f c h a o t i c

    s y n c h r o n i z a t i o n i n b i b l i o g r a p h y . I n t h e r s t o n e , w h i c h

    w e o w e t o P e c o r a a n d C a r o l l [ 1 ] , a s t e a d y s u b s y s t e m

    (a) (b)

    F I G . 2 . ( a ) T h e n o n l i n e a r e l e m e n t o f t h e c i r c u i t a n d ( b )

    t h e c h a r a c t e r i s t i c c u r v e o f c u r r e n t (i) v e r s u s v o l t a g e (v)

    f o r t h i s e l e m e n t .

    F I G . 3 . B i f u r c a t i o n d i a g r a m o f x1 v e r s u s B f o r = 0.25 ,b = 1 , = 0.18 , = 0.8 .

    o f t h e o r i g i n a l c h a o t i c s y s t e m c a n s y n c h r o n i z e w i t h a

    d i s c r e t e c h a o t i c s y s t e m , u n d e r c e r t a i n c i r c u m s t a n c e s .

    T h e s e c o n d m e t h o d o f s y n c h r o n i z a t i o n b e t w e e n t w o

    i d e n t i c a l n o n l i n e a r s y s t e m s c a n b e a c h i e v e d w i t h

    r e s i s t i v e c o u p l i n g , w i t h o u t t h e n e c e s s i t y o f c r e a t i n g

    1 8 7

  • 8/14/2019 Experimental Synchronization of Two Resistively Coupled Duffing-type Circuits

    2/6

    1 8 8 C h . K . V o l o s , I . M . K y p r i a n i d i s , a n d I . N . S t o u b o u l o s

    ( a ) ( b )

    F I G . 4 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t x2 v e r s u s x1 , o ft h e D u n g - t y p e c i r c u i t f o r ( a ) B = 27 a n d ( b ) B =28.2 ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 5 V / d i v . ) . T h e c i r c u i t a p p e a r s c h a o t i c b e h a v i o r .

    F I G . 5 . T w o D u n g - t y p e c i r c u i t s b i d i r e c t i o n a l l y c o u p l e d

    v i a a l i n e a r r e s i s t o r .

    s u b s y s t e m s [ 1 2 1 5 ] .

    I n t h i s p a p e r , w e s t u d i e d t h e s e c o n d c a s e

    o f c o u p l i n g w i t h t w o w a y s ( b i d i r e c t i o n a l a n d

    u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , o f t w o i d e n t i c a l n o n l i n e a r

    D u n g - t y p e c i r c u i t s . I n s e c t i o n 2 w e d e s c r i b e d

    t h e D u n g - t y p e c i r c u i t w e u s e d , i n s e c t i o n 3 w e

    i n t r o d u c e d t h e c o u p l i n g m e t h o d s a n d p e r f o r m e d t h e

    s t a t e e q u a t i o n s o f t h e s y s t e m s . F i n a l l y , i n s e c t i o n 4 w e

    F I G . 6 . T w o D u n g - t y p e c i r c u i t s u n i d i r e c t i o n a l l y

    c o u p l e d v i a a l i n e a r r e s i s t o r .

    (a)

    (b)

    F I G . 7 . B i f u r c a t i o n d i a g r a m o f x1x

    1 v e r s u s f o r B = 2 7 , i n t h e c a s e o f ( a ) b i d i r e c t i o n a l a n d ( b ) u n i d i r e c t i o n a l

    c o u p l i n g .

    F I G . 8 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t x1 v e r s u s x1 , o ft h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =406k( = 0.005 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f s y n c h r o n i z a t i o n .

    e x p e r i m e n t a l l y c o n r m e d t h e e x p e c t e d b e h a v i o r o f t h e

    s y s t e m f o r v a r i o u s v a l u e s o f t h e c o u p l i n g r e s i s t o r RC.

    2 . T h e p r o p o s e d c i r c u i t

    I n t h i s w o r k , w e c o n s t r u c t e d a c i r c u i t t h a t

    i m p l e m e n t s o n e o f t h e m o s t f a m o u s a n d w e l l k n o w n

    n o n l i n e a r e q u a t i o n s , t h e D u n g e q u a t i o n . I t i s a v e r y

    i n t e r e s t i n g s e c o n d o r d e r e q u a t i o n , b e c a u s e i t a p p e a r s

    a v a r i e t y o f d y n a m i c b e h a v i o r , s u c h a s c h a o s a n d

    b i f u r c a t i o n s . T h e D u n g e q u a t i o n h a s t h e f o l l o w i n g

    f o r m .

    d2x1

    dt2+

    dx1

    dt+ x1 + bx

    31 = B cos(t) ( 1 )

    O n e o f t h e p o s s i b l e i m p l e m e n t a t i o n s o f t h e

    D u n g e q u a t i o n w a s p r o p o s e d b y K y p r i a n i d i s e t a l .

    . 1 1 , 2 , 2 0 0 8

  • 8/14/2019 Experimental Synchronization of Two Resistively Coupled Duffing-type Circuits

    3/6

    E x p e r i m e n t a l S y n c h r o n i z a t i o n o f T w o R e s i s t i v e l y C o u p l e d D u n g - t y p e C i r c u i t s 1 8 9

    F I G . 9 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =98.4k( = 0.02 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . P e r i o d - 2 a t t r a c t o r .

    F I G . 1 0 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =5.2k( = 0.22 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . P e r i o d - 3 a t t r a c t o r .

    F I G . 1 1 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r

    RC = 2.7k( = 0.3 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 1 2 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r

    RC = 455( = 0.45 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s i n

    c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 1 3 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =78k( = 0.025 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 1 4 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =9.6k( = 0.15 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s i n

    c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n .

    [ 1 6 ] , ( F i g . 1 ) . T h e p r o p o s e d c i r c u i t i s a s e c o n d o r d e r

    n o n l i n e a r c i r c u i t e x c i t e d b y a n e x t e r n a l s i n u s o i d a l

    v o l t a g e s o u r c e , u(t) = V0 cos(t) . A l s o , c o n t a i n s t w o

    o p - a m p s ( L F 4 1 1 ) o p e r a t i n g i n t h e l i n e a r r e g i o n . T h e

    n o n l i n e a r e l e m e n t i m p l e m e n t s t h e c u b i c f u n c t i o n o f

    E q . ( 2 ) .

    i(v) = pv + qv3 ( 2 )

    I n F i g . 2 w e c a n s e e t h e n o n l i n e a r e l e m e n t w h o

    w a s c o n s t r u c t e d w i t h r e s i s t o r s a n d d i o d e s ( 1 N 4 1 4 8 )

    a n d t h e c h a r a c t e r i s t i c c u r v e o f c u r r e n t (i) v e r s u s v o l t a g e (v), f o r t h i s e l e m e n t .

    I f w e d e n o t e w i t h x1 a n d x2 t h e v o l t a g e s a c r o s s

    t h e c a p a c i t o r s C2 a n d C4 r e s p e c t i v e l y , w e h a v e t h e f o l l o w i n g s t a t e e q u a t i o n s .

    dx1

    dt=

    1

    C2R2x1 +

    1

    C2R3x2 ( 3 )

    dx2

    dt=

    R0

    C4R5f(x1) +

    V0

    C4R5cos(t)

    ( 4 )

    w h e r e f(x1) = px1 + qx31 i s t h e c u b i c f u n c t i o n o f E q .

    ( 2 ) .

    F i n a l l y , f r o m E q s . ( 3 ) a n d ( 4 ) w e t a k e t h e D u n g

    e q u a t i o n ( 1 ) , w h e r e , = 1C2R2

    , = pR0C2C4R3R5

    , b =rR0

    C2C4R3R5a n d

    B = V0C2C4R3R5

    , a r e t h e n o r m a l i z e d

    p a r a m e t e r s o f t h e s y s t e m . I f w e c h o o s e t h e f o l l o w i n g

    v a l u e s f o r t h e e l e m e n t s o f t h e c i r c u i t , R0 = 2.05k,

    R1 = 8.11k, R2 = 5.248k, R3 = R5 = 1k,R11 = R12 = 0.557k , C2 = 105.9nF, C4 = 9.79nFa n d

    f = 1.273kH z , t h e n o r m a l i z e d p a r a m e t e r s t a k e t h e f o l l o w i n g v a l u e s = 0.25 , b = 1, = 0.18, = 0.8

    . A s y o u c a n s e e f r o m t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m

    o fx1 v e r s u s B , t h e c i r c u i t a p p e a r s t h r e e c h a o t i c

    b a n d s [ F i g . 3 ] . I n t h i s p a p e r w e c h o o s e t o w o r k w i t h Bi n t w o o f t h e s e t h r e e b a n d s ,

    B = 27 a n d B = 28.2 . F o r t h e s e v a l u e s , t h e c i r c u i t a p p e a r s c h a o t i c b e h a v i o r [ F i g .

    4 ( a ) a n d ( b ) ] .

    3 . T h e c o u p l i n g m e t h o d

    T h e s y s t e m o f t w o i d e n t i c a l ( h a v e e x a c t l y t h e

    s a m e v a l u e s f o r t h e e l e m e n t s ) D u n g - t y p e c i r c u i t s ,

    b i d i r e c t i o n a l l y c o u p l e d v i a a l i n e a r r e s i s t o r RC, i s

    s h o w n i n F i g . 5 . T h e s t a t e e q u a t i o n s o f t h e s y s t e m

    h a v e t h e f o r m o f E q s . ( 5 - 8 ) , w h e r e x1 a n d x

    2 a r e

    t h e v o l t a g e s a c r o s s t h e c a p a c i t o r s C2 a n d C

    4 o f t h e

    s e c o n d c i r c u i t r e s p e c t i v e l y a n d = R0RC+2R0

    i s t h e

    c o u p l i n g f a c t o r . S o , t h e c o u p l i n g f a c t o r

    i s a f u n c t i o n

    o f t h e c o u p l i n g r e s i s t o r RC.

    N o n l i n e a r P h e n o m e n a i n C o m p l e x S y s t e m s V o l . 1 1 , n o . 2 , 2 0 0 8

  • 8/14/2019 Experimental Synchronization of Two Resistively Coupled Duffing-type Circuits

    4/6

    1 9 0 C h . K . V o l o s , I . M . K y p r i a n i d i s , a n d I . N . S t o u b o u l o s

    F I G . 1 5 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =6.3k( = 0.245 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 1 6 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r

    RC = 455( = 0.45 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s i n

    c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 1 7 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =2.6k( = 0.306 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    ( a ) ( b )

    F I G . 1 8 . B i f u r c a t i o n d i a g r a m o f x1 x

    1 v e r s u s f o r B = 2 8 . 2 , i n t h e c a s e o f ( a ) b i d i r e c t i o n a l a n d ( b )

    u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g .

    dx1

    dt =

    1

    C2R2 x1 +

    1

    C2R3 x2 ( 5 )

    dx2

    dt=

    R0

    C4R5f(x1) +

    V0

    C4R5cos(t)

    R20C4R5(RC + 2R0)

    (f(x1) f(x1)) ( 6 )

    dx1dt

    = 1

    C2R2x1 +

    1

    C2R3x2 ( 7 )

    dx2dt

    = R0

    C4R5f(x1) +

    V0

    C4R5cos(t)

    R20C4R5(RC + 2R0)

    (f(x1) f(x

    1)) ( 8 )

    I n t h e c a s e o f u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g w e a d d a b u e r a t t h e b r a n c h o f c o u p l i n g , a s i t i s s h o w n i n F i g . 6 , a n d t h e

    s t a t e e q u a t i o n s o f t h i s s y s t e m t a k e t h e f o l l o w i n g f o r m .

    dx1

    dt =

    1

    C2R2 x1 +

    1

    C2R3 x2( 9 )

    dx2

    dt=

    R0

    C4R5f(x1) +

    V0

    C4R5cos(t) ( 1 0 )

    dx1dt

    = 1

    C2R2x1 +

    1

    C2R3x2 ( 1 1 )

    dx2dt

    = R0

    C4R5f(x1) +

    V0

    C4R5cos(t)

    R20C4R5(RC + 2R0)

    (f(x1) f(x

    1)) ( 1 2 )

    4 . E x p e r i m e n t a l r e s u l t s

    W e c o n s i d e r t h e c a s e , t h a t t h e t w o c i r c u i t s

    a r e i d e n t i c a l ( h a v e t h e s a m e v a l u e s o f t h e c i r c u i t s

    p a r a m e t e r ) , s o t h e t w o c i r c u i t s h a v e t h e s a m e

    . 1 1 , 2 , 2 0 0 8

  • 8/14/2019 Experimental Synchronization of Two Resistively Coupled Duffing-type Circuits

    5/6

    E x p e r i m e n t a l S y n c h r o n i z a t i o n o f T w o R e s i s t i v e l y C o u p l e d D u n g - t y p e C i r c u i t s 1 9 1

    F I G . 1 9 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =201k( = 0.01 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 2 0 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =6.75k( = 0.189 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . P e r i o d - 1 a t t r a c t o r .

    F I G . 2 1 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =1.2k( = 0.387 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . P e r i o d - 1 a t t r a c t o r .

    F I G . 2 2 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 3 ( b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =960( = 0.405 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s i n

    c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 2 3 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =78k( = 0.025 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 2 4 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =16.4k( = 0.1 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s i n

    c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n .

    n o r m a l i z e d p a r a m e t e r s = 0.25 , b = 1 , = 0.18 , = 0.8 . A l s o , w e c h o s e n B = 27 a n d B = 28.2 .I n b o t h c a s e s o f B , t h e c o u p l e d c i r c u i t s a r e i n c h a o t i c

    s t e a d y s t a t e , a s w e s a w b e f o r e . N e x t , w e h a v e s t u d i e d

    t h e c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n a s t h e c o u p l i n g f a c t o r

    i s

    i n c r e a s e d . T h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m s o f x1x

    1 v e r s u s a r e s h o w n i n t h e f o l l o w i n g g u r e s . W h e n t h e d i e r e n c e

    x1x

    1 b e c o m e s e q u a l t o z e r o , t h i s m e a n s t h a t t h e t w o

    c i r c u i t s a r e i n c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n .

    4 . 1 . T h e C a s e B = 2 7

    I n F i g s . 7 ( a ) a n d ( b ) t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m s o f

    x1 x

    1 v e r s u s a r e s h o w n f o r B = 2 7 , i n t h e c a s e o f ( a ) b i d i r e c t i o n a l a n d ( b ) u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g . A s

    w e c a n o b s e r v e , i n t h e c a s e o f b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g a

    p h a s e - l o c k e d s t a t e o f p e r i o d - 2 i s c r e a t e d i n t h e r a n g e s

    o f v a l u e s 0.017 < < 0.022 a n d 0.387 < < 0.392[ F i g . 9 ] . I n t h e r a n g e o f v a l u e s 0.212 < < 0.229w e c a n s e e a p e r i o d - 3 s t a t e [ F i g . 1 0 ] . A l s o , i n F i g s . 8

    a n d 1 1 w e c a n s e e t h e c h a o t i c b e h a v i o r o f t h e s y s t e m .

    C h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n i s o b s e r v e d f o r > 0.444 [ F i g .

    1 2 ] .

    I n t h e c a s e o f u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g w e c a n s e e f o u r

    b a n d s o f c h a o t i c b e h a v i o r [ e . g . F i g s . 1 3 , 1 5 a n d 1 7 ] a n d

    f o u r w i n d o w s o f c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n [ e . g . F i g s . 1 4

    a n d 1 6 ] .

    4 . 2 . T h e C a s e B = 2 8 . 2

    I n F i g s . 1 8 ( a ) a n d ( b ) , t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m s

    x1 x

    1 v e r s u s a r e s h o w n f o r B = 2 8 . 2 . A s w e c a n o b s e r v e , i n t h e c a s e o f b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g , a p h a s e -

    l o c k e d s t a t e o f p e r i o d - 1 i s c r e a t e d i n v a r i o u s r a n g e s

    o f v a l u e s : 00187 < < 0.191

    ,0.286 < < 0.297

    a n d 0.368 < < 0.401 [ e . g . F i g s . 2 0 a n d 2 1 ] . I n F i g . 1 9 w e c a n s e e a n e x a m p l e o f t h e c h a o t i c

    b e h a v i o r o f t h e s y s t e m . A l s o i n F i g . 2 2 w e c a n o b s e r v e

    t h e c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n o f t h e s y s t e m w h e n t h e

    c o u p l i n g f a c t o r i s g r e a t e r o f 0 . 4 0 2 .

    I n t h e c a s e o f u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g w e c a n s e e t h r e e

    b a n d s o f c h a o t i c b e h a v i o r [ F i g s . 2 3 , 2 5 a n d 2 6 ] a n d

    t h r e e w i n d o w s o f c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n [ e . g . F i g s .

    2 4 , 2 7 ] , a s w e e x p e c t e d a c c o r d i n g t o t h e b i f u r c a t i o n

    d i a g r a m .

    5 . C o n c l u s i o n s

    I n t h i s p a p e r , w e e x p e r i m e n t a l l y c o n r m e d t h e

    c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n o f t w o i d e n t i c a l n o n l i n e a r

    e l e c t r o n i c c i r c u i t s . W e c o u p l e d t w o D u n g - t y p e

    c i r c u i t s , v i a a l i n e a r r e s i s t o r a n d w e f o u n d

    t h e a c h i e v e m e n t o f c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n i n

    b o t h c o u p l i n g c a s e s , w e t e s t e d ( b i d i r e c t i o n a l a n d

    N o n l i n e a r P h e n o m e n a i n C o m p l e x S y s t e m s V o l . 1 1 , n o . 2 , 2 0 0 8

  • 8/14/2019 Experimental Synchronization of Two Resistively Coupled Duffing-type Circuits

    6/6

    1 9 2 C h . K . V o l o s , I . M . K y p r i a n i d i s , a n d I . N . S t o u b o u l o s

    F I G . 2 5 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =4.3k( = 0.245 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 2 6 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r

    RC = 2.7k( = 0.3 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s o u t o f

    s y n c h r o n i z a t i o n .

    F I G . 2 7 . E x p e r i m e n t a l p h a s e p o r t r a i t s

    x1 v e r s u s x1 , o f t h e s y s t e m o f F i g . 4 ( u n i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g ) , f o r RC =1.76k( = 0.35 ) ( H o r i z . : 1 V / d i v . , V e r t . : 1 V / d i v . ) . T h e s y s t e m i s i n

    c h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n .

    u n i d i r e c t i o n a l ) . T h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m s o f x1 x1

    v e r s u s t h e c o u p l i n g p a r a m e t e r

    , f o r t w o d i e r e n t

    v a l u e s o f t h e p a r a m e t e r B ( B = 2 7 a n d B = 2 8 . 2 ) ,

    r e v e a l e d t h e r i c h n e s s o f d y n a m i c a l b e h a v i o r , w h i c h

    t h e s y s t e m a p p e a r s , e s p e c i a l l y i n t h e c a s e o f t h e

    b i d i r e c t i o n a l c o u p l i n g . F i n a l l y , t h e c o m p a r i s o n o f

    t h e e x p e r i m e n t a l r e s u l t s w i t h t h o s e t h a t w e r e t a k e n

    f r o m t h e b i f u r c a t i o n d i a g r a m s , c o n r m e d t h e d e s i r e d

    b e h a v i o r o f t h e s y s t e m f o r t h e v a r i o u s v a l u e s o f

    .

    R e f e r e n c e s

    [ 1 ] L . M . P e c o r a a n d T . L . C a r r o l l , S y n c h r o n i z a t i o n i n

    C h a o t i c S y s t e m s , P h y s . R e v . L e t t . , 6 4 ( 1 9 9 0 ) , 8 2 1 -

    8 2 4 .

    [ 2 ] L . M . P e c o r a a n d T . L . C a r r o l l , D r i v i n g S y s t e m s w i t h

    C h a o t i c S i g n a l s , P h y s . R e v . A , 4 4 ( 1 9 9 1 ) , 2 3 7 4 - 2 3 8 3 .

    [ 3 ] T . L . C a r r o l l a n d L . M . P e c o r a , S y n c h r o n i z i n g C h a o t i c

    C i r c u i t s , I E E E T r a n s . C i r c . S y s t . C A S , 3 8 ( 1 9 9 1 ) ,

    4 5 3 - 4 5 6 .

    [ 4 ] P . T a s s , M . G . R o s e m b l u m , M . G . W e u l e , J . K u r t h s ,

    A . P i k o v s k y , J . V o l k m a n n , A . S c h n i t z l e r a n d H . J .

    F r e u n d , D e t e c t i o n o f n : m P h a s e L o c k i n g f r o m N o i s e

    D a t a : A p p l i c a t i o n t o M a g n e t o e n c e p h a l o g r a p h y , P h y s .

    R e v . L e t t . , 8 1

    ( 1 9 9 8 ) , 3 2 9 1 - 3 2 9 4 .

    [ 5 ] C . S c h a f e r , M . G . R o s e m b l u m , J . K u r t h s a n d H .

    H . A b e l , H e a r t b e a t S y n c h r o n i z e d w i t h V e n t i l a t i o n ,

    N a t u r e , 3 9 2 ( 1 9 9 8 ) , 2 3 2 - 2 4 0 .

    [ 6 ] A . N e i m a n , X i n g P e i , D . R u s s e l l , W . W o j t e n e k , L .

    W i l k e n s , F . M o s s , H . A . B r a u n , M . T . H u b e r a n d K .

    V o i g t , S y n c h r o n i z a t i o n o f t h e N o i s y E l e c t r o s e n s i t i v e

    C e l l s i n t h e P a d d l e s h , P h y s . R e v . L e t t . , 8 2 ( 1 9 9 9 ) ,

    6 6 0 - 6 6 3 .

    [ 7 ] M . B a z h e n o v , R . H u e r t a , M . I . R a b i n o v i c h a n d

    T . S e j n o w s k i , C o o p e r a t i v e B e h a v i o r o f a C h a i n

    S y n o p t i c a l l y C o u p l e d C h a o t i c N e u r o n s , P h y s i c a D ,

    1 1 6 ( 1 9 9 8 ) , 3 9 2 - 4 0 0 .

    [ 8 ] I . M . K y p r i a n i d i s a n d I . N . S t o u b o u l o s , C h a o t i c

    S y n c h r o n i z a t i o n o f T w o R e s i s t i v e l y C o u p l e d

    N o n a u t o n o m o u s a n d H y p e r c h a o t i c O s c i l l a t o r s ,

    C h a o s S o l i t i o n s a n d F r a c t a l s , 1 7 ( 2 0 0 3 ) , 3 1 7 - 3 2 5 .

    [ 9 ] C . W . W u , S y n c h r o n i z a t i o n i n C o u p l e d C h a o t i c

    C i r c u i t s a n d S y s t e m s , W o r l d S c i e n t i c , ( 2 0 0 2 ) .

    [ 1 0 ] H . D e d i e u , M . P . K e n n e d y a n d M . H a s l e r , C h a o s S h i f t

    K e y i n g : M o d u l a t i o n a n d D e m o d u l a t i o n o f a c h a o t i c

    C a r r i e r U s i n g S e l f - S y n c h r o n i z i n g C h u a ' s C i r c u i t s ,

    I E E E T r a n s C i r c . S y s t - I I , 4 0 ( 1 9 9 3 ) , 6 3 4 - 6 4 2 .

    [ 1 1 ] C . K . T s e a n d F . L a u , C h a o s - b a s e d D i g i t a l

    C o m m u n i c a t i o n S y s t e m s : O p e r a t i n g P r i n c i p l e s ,

    A n a l y s i s M e t h o d s , a n d P e r f o r m a n c e E v a l u a t i o n ,

    B e r l i n , N e w Y o r k : S p r i n g e r V e r l a g ( 2 0 0 3 ) .

    [ 1 2 ] K . M u r a l i a n d M . L a k s h m a n a n , D r i v e - r e s p o n s e

    s c e n a r i o o f c h a o s s y n c h r o n i z a t i o n i n i d e n t i c a l

    n o n l i n e a r s y s t e m s , P h y s i c a l R e v i e w E , 4 9 , 6 ( 1 9 9 4 ) ,

    4 8 8 2 - 4 8 8 5 .

    [ 1 3 ] T . K a p i t a n i a k , L . O . C h u a a n d G . Q Z h o n g ,

    E x p e r i m e n t a l s y n c h r o n i z a t i o n o f c h a o s u s i n g

    c o n t i n u o u s c o n t r o l , I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f

    B i f u r c a t i o n a n d C h a o s , 4 , 2 ( 1 9 9 4 ) , 4 8 3 - 4 8 8 .

    [ 1 4 ] K . M u r a l i , M . L a k s h m a n a n a n d L . O . C h u a ,

    C o n t r o l l i n g a n d s y n c h r o n i z a t i o n o f c h a o s i n

    t h e s i m p l e s t d i s s i p a t i v e n o n a u t o n o m o u s c i r c u i t ,

    I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f B i f u r c a t i o n a n d C h a o s , 5

    , 2

    ( 1 9 9 5 ) , 5 6 3 - 5 7 1 .

    [ 1 5 ] I . M . K y p r i a n i d i s a n d I . N . S t o u b o u l o s , C h a o t i c

    s y n c h r o n i z a t i o n o f t h r e e c o u p l e d o s c i l l a t o r s w i t h r i n g

    c o n n e c t i o n , C h a o s S o l i t i o n s a n d F r a c t a l s , 4 7 , ( 2 0 0 3 ) ,

    1 3 4 9 - 1 3 5 1 .

    [ 1 6 ] I . M . K y p r i a n i d i s , C h . K . V o l o s a n d I . N . S t o u b o u l o s ,

    E x p e r i m e n t a l S t u d y o f a N o n l i n e a r C i r c u i t D e s c r i b e d

    b y D u n g ' s E q u a t i o n , J o u r n a l o f I s t a n b u l K u l t u r

    U n i v e r s i t y , S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g , 4 , 2 ( 2 0 0 6 ) ,

    4 5 - 5 4 .

    . 1 1 , 2 , 2 0 0 8


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