Випуск 349 Математика -...

ЧЕРНІВЕЦЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ

Рік заснування 1996

Випуск 349

МатематикаЗбірник наукових праць

ІП Е Г Ш Ш Ш М ;

Чернівці “Рута ”

2007* Ч І ! У

НАУКОВА БІБЛІО ТЕКА

Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук, праць. Вип. 349. Математика. - Чернівці: Рута, 2007. - 140 с.

N aukovy V isnyk Chernivetskogo U niversitetu: Zbirnyk Naukovyh Prats. Vyp. 349. M atem atyka. - C hernivtsi: R uta, 2007. - I.4O p.

До збірника увійшли статті з таких розділів: алгебра, звичайні диференціальні рівняння і рівняння з частинними похідними, диференціально-операторні рівняння, інтегроди- ференціальні рівняння, теорія функцій дійсної і комплексної змінної.

The collection includes articles on such sections: algebra, ordinary and partial differential equations, differential-operator equations, integral differential equations, theory of real and complex functions.

Редколегія випуску:Городецъкий В.В., доктор фіз.-мат. наук, професор (науковий редактор);Матійчук М. I., доктор фіз.-мат. наук, професор;Маслюченко В.К., доктор фіз.-мат. наук, професор;Петришин Р.І., доктор фіз.-мат. наук, професор;Попов М.М., доктор фіз.-мат. наук, професор;Пукальсъкий І.Д., доктор фіз.-мат. наук, професор;Сопронюк Ф.О., доктор фіз.-мат. наук, професор;Черевко І.М ., доктор фіз.-мат. наук, професор;Ясинсъкий В.К., доктор фіз.-мат. наук, професор;Романенко Н.В. (відповідальний секретар).

Свідоцтво Міністерства України у справах преси та інформації № 2158 серія КВ від 21.08.1996

Загальнодержавне видання

Збірник входить до переліку наукових видань ВАК України Друкується за ухвалою Вченої ради Чернівецького національного

університету імені Юрія Федьковича

Видання збірника праць здійснено за фінансової підтримки ТзОВ ’’СофтСерв“ .

Адреса редакції: 58012 м.Чернівці, вул. Університетська, 28, тел. 58-48-70

© “Рута”, 2007

Свідоцтво про державну реєстрацію Д К №891 від 08.04.2002 р.

Підписано до друку 31.10.2007. Формат 60 х 84/16. С^ОПапір офсетний. Друк офсетний. Ум. друк. арк. 15,3. Д ^ ? \

Обл.-вид. арк. 16,5. Зам. 93-п. Тираж 100.Друкарня видавництва “Рута” Чернівецького національного університету

58012, Чернівці, вул. Коцюбинського, 2

ЗМІСТБедратюк Л. Теорема Робертса для тернарних ф о р м ................................................................5Бігун Я.Й. Усереднення в задачі про коливання струни і багаточастотної системи

із запізненням ................................................................................................................................14Данилюк А.О. Про фундаментальну матрицю розв’язків задачі Коші '

для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь ............................................ 18Довжицька І.М., Пукальський ІД . Нелокальна задача з косою похідною

та задача оптимального керування для лінійних параболічних рівнянь .......................25Івасишен С.Д., Івасюк Г.П. Про властивості фундаментальної матриці розв’язків

задачі Коші для 26-параболічних систем ............................................................................... 32Клевчук 1.1. Дослідження стійкості розв’язків різницевих рівнянь у критичному

випадку ........................................................................................................................................... 37Ковдриш В.В. Ширина вербальних підгруп групи utn(F), що породжуються

словами хк, к Є к ........................................................................................................................ 42Креневич А.П. Про існування і единість розв’язків стохастичних диференціальних

рівнянь в гільбертовому просторі не розв’язаних відносно ’’похідної” ............................46Крецу В. І., Маслюченко В. К. Неперервність за Стеллінґзом, нарізна неперервність

та функції з замкненим графіком ............................................................................................50Ленюк О.М. Задача коші для еволюційних рівнянь з псевдо-бесселевими операторами 55Лінчук Н. Є. Про один клас операторних рівнянянь, що містять оператори

узагальненого диференціювання ..............................................................................................66Лінчук С. С. Поточкова застосовність інтегральних операторів нескінченного порядку

до деяких класів цілих функцій.................................................................................................70Лінчук Ю. С. Деякі властивості операторів, іцо є лівими оберненими до множення

на незалежну змінну ............................................................................................................ 74Лозинська В.Я., М ’яус О.М. Функціональне числення в згорткових алгебрах

узагальнених функцій експоненціального типу ....................................................................79Лучко В.М. Про періодичний розв’язок параболічного рівняння вищого порядку

по t з імпульсною дією ................................................................................................................83Матвій О.В., Стельмащук Л.В., Черевко І.М. Про апроксимацію системи

різницевих рівнянь .......................................................................................................................88Михайлюк В. В. Берівська класифікація нарізно напівнеперервних

і монотонних функцій ................................................................................................................. 95Нестеренко В. В. Сукупна квазінеперервність многозначних відображень .......................98Слюсарчук В.Ю. Нелінійні диференціальні рівняння з обмеженими розв’язками .........101Снітко Г. А. Ідентифікація молодшого коефіцієнта в параболічному рівнянні ............ 110Торган Г.Р. Мішана задача для еволюційного рівняння типу Ейдельмана

в необмеженій області за часом ..............................................................................................118Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність стрибкової процедури

стохастичної апроксимації у марковському середовищі ................................................... 128Чуйко С.М., Чуйко О.С. Імпульсні крайові задачі для систем із перемиканнями .........134

Науковий вісник Чернівецького університету. 2007. Випуск 349. Математика. З

CONTENTSBedratyuk L. The Roberts theorem for ternary form s................................................................5

Bihun Ja. Jo. Averagings in a problem on oscillation of a string and a multi-frequency system with delay ....................................................................................................................... 14

Danylyuk A. 0. On the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problemfor a parabolic system of integro-differential equations ........................................................18

Dovzhyts’ka I. M., Pukal’s ’kyj I. D. A nonlocal problem with skew derivative anda problem of optimal control for linear parabolic equations..................................................25

Ivasyshen S. D.. Ivasyuk G. P. On properties for the fundamental matrix of solutions—>

of the Cauchy problem for 26-parabolic systems ....................................................................32Klevchuk I. I. An investigation of the solutions stability for difference equations

in a critical case ........................................................................................................................... 37

Krenevych A. P. On the existence and uniqueness for solutions of stochasticdifferential equations unsolved relatively to the "derivative"in a Hilbert space ................ 46

Kretsu V. I., Maslyuchenko V. K. Continuity according to Stalling, separate continuity and closed graph functions...........................................................................................................50

Kovdrysh V. V. The width of the verbal subgroups of the group UTn(Z) generatedby the words x k, k e N ................................................................................................................ 42

Lenyuk O. M. The Cauchy problem for evolution equations with pseudo-Bessel operators . 55Linchuk N. E. On a class of operator equations, containing generalized derivation operators 66Linchuk S. S. Pointwise applicability of integral operators of infinite order

to some classes of entire functions ............................................................................................. 70Linchuk Ju. S. Some properties of operators which ar.e the left inverses

for the multiplication by an independent variable .................................................................. 74Lozyns’ka V. Ja., Myaus 0 . M. Functional calculus in the convolution algebras

of generalized functions of exponential type .............................................................................79Luchko V. M. On the periodic solution of a parabolic equation of a higher order

on t with an impulse action .........................................................................................................83Matviy O.V., Stelmaschyuk L.V., Cherevko I.M. On'approximation of system

of difference equations .................................................................................................................. 88Mykhaylyuk V. V. The Baire classification of separately continuous and monotone functions 95Nesterenko V. V. Joint quasicontinuity of m ultifunctions...........................................................98Slyusarchuk V. Ju. Nonlinear differential equations with bounded solutions ........................ 101Snitko G. A. Identification of the lowest term in a parabolic equation ...................................110Torhan G. R. Mixed problem for an evolution equation of the Bidel’man type

in an unbounded on time domain ............................................................................................. 118Chabanyuk Ja. M. Asymptotic normality of jumping procedure of the stochastic

approximation in an Markov environment ..............................................................................128Chujko S. M., Chujko O. C. Impulse boundary value problems for systems with switchings 134

4 Науковий вісник Чернівецького університету. 2007. Випуск 349. Математика.

УДК 512.815

© 2 0 0 7 р . Л . Б едратю к

Хмельницький національний університет

Т Е О Р Е М А Р О Б Е Р Т С А Д Л Я Т Е Р Н А Р Н И Х Ф О Р М

Д ля тернарних форм доводяться аналоги добре відомої в теорії інваріантів теореми Робертса. Встановлено, що незвідні коваріанти, контраваріанти та змішані конкомітанти тер- нарної форми однозначно визначаю ться їхніми старшими членами.

Analogues of the invariant theo ry ’s well-known R oberts theorem are proved for te rn ary forms. We established th a t invariants, contravariants and mixed concom itants of a te rn ary form are uniquely determ ined by the ir lead coefficients.

В с т у пРозглянемо К-векторний простір Tn тернарних

форм степеня n :

i ( x і, x2, хз) =i+j<n i ! j ! ( n - ( i + j ) ) ! i,j 1

n - ( i+j ) i j°2x 3,

де аі}2 Є К , а К - поле нульової характеристики. Координатне кільце Я п простору Тп ототожнимо з алгеброю многочленів к[А] := К [а0, о, а 1, о , . . . , а0,п]

від ^ ( п + 1)(п + 2) змінних, а координатне кільце

простору Я п ® К 3 ® (К 3)* ототожнимо з кільцем многочленів К [ А , Х , и ] := К [ А , х 1, х 2, х 3, и 1, и 2, и 3]. С тандартна дія групи Б Ь 3 підстановками на Тп індукує дію Б Ь 3 і на кіль ці К[А, Х , и ].

Поліноміальні ф ункції з Я п , та К [ А , Х , и ], які залиш аю ться інваріантними відносно дії групи Б Ь 3 утворюють кільця Я ^ 3, та К [ А , Х , и , як і називаю ться, відповідно, кільцями інваріантів та змішаних конкомітантів тернарної форми степеня п. К ільце К[А, X ]вЬз та кіль це К[А, и називаються кільцями коваріантів та контраваріантів тер

пи ( х 1, Х2, х з ) буде коваріантом степеня п. Д ля довільного многочлена який є однорідним по кожному на-

А, Х и,наборів називаю ться відповідно степенем, порядком та класом.

Знаходження явного вигляду комітантів - породж ую чих елементів вищеозначених кілець інваріантів, є основною задачею класичної теорії інваріантів, я ка була розв’язан а ще Горданом [2], але лише для п < 3. Найвищим досягненням того періоду було обчислення в докторській дисертації Е. Нетер [3] мінімальної системи із 331 породжую чих кільця інваріантів К[А]ЙЬз для п < 4.

М айж е всі відомі конкомітанти отримані в неявному вигляді символічним методом, коли конкомітанти зображ ую ться через трансвектанти, тобто як

результат дії деякого 5Х з-інваріантного диференціального оператора на конкомітанти менших степенів.

Одним із підходів до вивчення комітантів могло би бути встановлення аналогу теореми Робертса для тернарних форм. В класичному формулюванні теорема Робертса стверджує [4], [5], що всякий кова- ріант бінарної форми степеня п відносно дії групи ЯЬ 2 однозначно визначається своїм старшим членом - коефіцієнтом біля хп. В свою чергу, старший член всякого коваріанта бінарної форми є інваріантом одновимірної підалгебри верхніх трикутних матриць, іншими словами, він є старшим вектором деякого незвідного в/2-модуля. Тому проблема опису кільця коваріантів бінарних форм зводиться до питання опису кільця інваріантів підалгебри верхніх трикутних матриць в алгебрі Л і в/2 .

В даній роботі для комітантів тернарних форм п

ореми Робертса. Показано, що коефіцієнти незвідного комітанта породжую ть незвідний в/3-модуль в к[А] і старш ий коефіцієнт комітанта буде старшим вектором цього модуля. Справедливе і обернене твердж ення - всякий інваріант алгебри верхніх трикутних матриць и Т 3 є старшим вектором деякого в/з-модуля. Таким чином, встановлені твердж ення зводять задачу знаходження породжую чих елементів кільця К[А, X , и до простішої задачі знаходження породжую чих елементів кільця К[А]УТз.

Е л е м е н т и К а з и м ір аД ам о означення елемента К азим іра, який буде

головним обчислювальним засобом при вивченні комітантів тернарної форми.

О з н а ч е н н я 1. Симетричним добутком и ■ V векторних просторів V та и назвемо підалгебру симетричної алгебри Б ( и ® V ), породжену елементам и вигляду и и , де V Є V, и Є и

Якщ о простори и, V Є в/з-модулями то їхній симетричний добуток и ■ V також буде в/3-модулем,

n

Н ауковий вісник Чернівецького університ ет у. 2007. В ипуск 349. М атематика. 5

якщ о покласти

g(uv) = g(u) v + ug(v),

для всіх g Є sl3, v Є V, u Є U.

О зн ач ен н я 2. Всякий інваріант s l s -модуля U ■ V називається елементом Казиміра.

Т ео р ем а 1. Припустимо, що U, V - два sls -модулі. В s l s -модулі U ■ V елемент Казиміра існує тоді і ли ше тоді, коли U = V *.

Доведення. Припустимо,що U = V *, m = dim U. Виберемо в просторах V і V * дуальні баз пси {vi }, {v*}, i = 1 . . . m. Довільний елемент z Є sl3 діє як

V V *триці C = {ci j }, C * = {c*j } цього оператора в дуальних базисах зв ’язані співвідношенням C* = (—C )т . Покажемо, що елемент

vpe* + v2v2* + + vmvm Є V ■ V *,

є інваріантом. М аємо

mz ^ Y ^ viv*( J 2 viv *) = J 2 (z(vi )v* + vi z ( v *))

i= 1 i= 1m m^ ( ^ cij vj v * + vi z ( v * =i=1 j=1m mХ л И д * щД* + vi z ( v *)

або, баж аю чи явно вказа-т 1 } т 2 ( v ) . РО ЗМ ІРН ІС Т Ь ПрО -

М ож на показати, що елемент К азим іра не залеж ить від вибору пар дуальних базисів в просторах П і V *.

Р еа л іза ц ія в/3-м одул ів в к[А].Незвідний в/3-модуль з старшою вагою [т1, т 2]

будемо позначати Г ті , т2, ти старш ий вектор V - Гт стору Гт і , т2 дорівнює [6]

^ ( т і + 1) (т2 + 1) (ті + т 2 + 2).

Старший вектор в/3-модуля Гт і ,т2 є інваріантом підалгебри и Т з верхніх трикутних матриць. Аналогічно молодший вектор цього модуля є інваріантом підалгебри В Т 3 нижніх трикутних матриць. Якщ о вектор V є старшим вектором етарш ої ваги [т1, т 2], то справедливе співвідношення [7]

Гт і ,т2 (V) = и ( Б Т з ) ^ ) ,

де через и (Ь ) позначено універсальну огортую чу алгебру алгебри Лі Ь. Аналогічно для молодшого вектора V ваги [ - т 1, - т 2] отримаємо

2(v) = U(UT3)(v).

3 ViVj + Vi II =і=1 і=і т т

= Ш щ ( Ш сз + г(,и* = ° -і=і 3 = 1

Припустимо тепер, що елемент

'01П1 + 'Є2П2 +------- + Єт ит Є V ■ П

є інваріантом. Аналогічно знаходимо

т т тг(У~] V i u ^ = ^ 2 V, ( ^ 2 С]іи і + г ( щ ) } .

і=1 і=1 3=1

Рівність нулю мож лива лише тоді, коли для всіх іт

буде виконуватися ^ ^ Д и ^ + г ( и і ) = 0, тобто д ія г3=1

на и є контрагредієнтною до д ії на V, а це означає, що П = V *. □

Елемент К азим іра в/3-модуля П ■V будемо позначати А ( и ^ ). Якщ о в просторах П, V задано кон- трагредієнтні базиси

П := (и1 ,и2 ,. . . и т ), V := ^1 Щ 2, . . лет),

Позначимо через Е і д, і, і = 1 . . . 3, матричні одини-і

та і-го стовпчика знаходиться одиниця, а на всіх інших місцях нулі. М ає місце співвідношення

[Еі 3 , Е кІ] := Е із Е кІ Е кІЕ із = &зк Е іІ діІЕ кД .

Е1 2 , Е2 3 , Е1 3 бри ПТз верхніх трикутних матриць, матриці Е 21, Е 32, Е з 1 утворюють базис підалгебри В Т 3 нижніх

Е1 1 - Е2 2 , Е2 2 - Е3 3 , та Е 11- Е з з , породжую ть картанівську підалгебру в в/з.

Д ля довільного в/з-модуля V позначимо через В 1, В 2, В 3 лінійні оператори з E n d (V ), які відповідають дії на V відповідно елементів Е 12, Е 23, Е 13. Аналогічно оператори В 1, В 2, В з відповідають дії на V відповідно елементів Е 21, Е 32, Е 31, оператори Е 1 , Е 2 , ЕзЕ 11- Е 22, Е 2 2 Е 3 3, Е 11- Е 33.

Випишемо комутаційні співвідношення між цими операторами, які нам будуть потрібні в подальшому:

[Е 1, D 1 ] = 2 D 1 ,[Е 1, D 1] = —2 D 1 ,[D1,D 1] = Е 1 , [Е1 , D 2] = —d 2, [ [D3 , D 1] = —D 2 ,

[E1 , D 3] = D 3 ,[E1 , D 3] = —D 3,[D1 , D 3 ] = —D 2 , [D2 , D 3 ] = —D 1 , [D3 , D 3 ] = —D 1 ,

D 2 , D 1] = 0 , [E1, D 2] = D 2, [D1 , D 2] = 0,[D2 , D 2] = E 2 ,[D3 , D 2] = E 2 .

TO

A(U, V ) = U1v1 + U2v2 + -----+ u mvm .

Алгебра sl3 діє на векторному просторі

X := {Х1,Х2,Х3),

6 Н ауковий вісник Чернівецького університ ет у. 2007. В ипуск 349. М атематика.

диференцію ваннями, а саме

д2

д= - х 2 д--- :дх-\ - - х зт,—

д х 2д ід

Е 2 =д 2

д= х 2 ^ -------д х 2 х і Ъ— >д х і - х з д-------

д х 3х 2 т;—

д х 22д 3д

= - х і т .— ■ д х 2г 2 - х 2 "X

дх3д 2

Е3 =д 3

д= - х з ъ — :дх і - х 3 д-------

д х 3 х і а —д х і

В з — —х \ —— .дхз

Векторний простір X є стандартним незвідним в13- модулем ізоморфним до Г 0, 1 , а векторний простір и :— (и 1 , и 2 , и 3 ) — X * є незвідним в13-модулем ізоморфним до Гі, 0. Відповідний елемент К азим іра

и :— А ( Х , и ) — х і и і + х 2и 2 + хзиз,

називається універсальним коваріантом.Симетричні степені Б т ( Х ) і Б т ( и ) є незвідними

в13-модулями ізоморфними ВІДПОВІДНО ДО Г 0т І Гт 0 .Вивчимо дію алгебри в13 на породжую чі елемен

ти кільця Е п .

Т в е р д ж е н н я 1. В в13 -модулі Е п відповідні диференціальні оператори діють за формулами

В 1 (аіЦ ) — І а і—1 Ц, В 2 (аіЦ ) — З ^і+ІЦ — І:В 1 (аі,Ц ) — (п (І + 3 )) аі+1 Ц: В 2 (аіЦ ) — І аі—1,3 + 1 , —з Д і ц ) — (п — (І + і))о,іц+і, В з ( а і ц ) — іо,іц—і,Е і Д г , 3 ) = (п - (2 і + з))с 'г,3 > Е 2 ( а щ ) = (і - Д<- 4,31

Е з (аг ,з) = Д - (і + 2з))(- 4,з ■

Доведення. Д ля доведення використаємо той ф акт, що ф орм а и ( х 1 , х 2 , х 3 ) є коваріантом і тому кожен з операторів В і , В і повинен зануляти її. Зокрема, для

В і ,

В і ( и ( х і , х 2 , хз)) —

^ П' т)-,(Ві(аіц )хпД {г+:і) х 12х {+3 п ! ( п - ( і +

+а 4,зВ і ( х п (г+3 ')х г2х 3 ))

Е і(ао, і )хп іх 3 + ■ ■ ■ + В\ (ао ,п )—т х п+п!

Еі+І < п

і > 0

В і (аг,з) і аг-і,з )х і<і-(г+з) г і

ь2х 3-

Я кщ о елемент а є К [Я] є власним вектором оператора Е і , і — 1,2, то його власне значення будемо позначати Ді (а) і називати і-вагою елемента а, а та-

аІ

єю на множині вагових векторів. Однорідний многочлен а з К [Я] називається ізобарним, якщ о він буде

Е і , Е 2 .випадку набір [д1 ( а ) ,д 2 (а)] буде називатися вагою

а.

Т ео р ем а 2. Нехай V :— { и Д V * :— { и Д - два дуальні в13 -модулі, причому всі базисні вектори є ва-

Ім е н т иі є V є с т а р ш а , вектором у V, то и* буде молодшим вектором у V *.

Доведення. О скільки базисні вектори є ваговими, то ваговим буде і елемент иіи*, його вага рівна

Д і Д ) + Ші(и*),Ш2 (иі) + М2 (и*)].

Із умов Е 1 ( А ( У Д *)) — Е 2 ( А ( У Д * ) ) — 0 випливає що і Е 1 (иіи*) — Е 2 (иіи*) — 0 звідки знаходимо, що Д 1 (и*) — —Д 1 (иі ), Д2 (и*) — —Д2 (иі ). Нехай для деякого номера і елемент иі є старшим вектором в13- модуля V старш ої в аги [і+1 (иі ) , д 2 (иі )]. Тоді вектор и* має вагу — [д1 (иі ) , д 2 (иі )] і ця вага буде молодшою вагою віз-модуля V *. □

Наступні теореми встановлюють правила обчислень в віз-модулі и ( и Т 3 )(а), де а є старш им вектором в к[А].

амногочлен з к[А]. Тоді

Е і ( В а В в В і (а)) = Д і ( а ) - 2 а + в - Д В ?В в В % (а)

Тому рівність В 1 ( и ( х 1 , х 2 , х 3 )) — 0 мож лива лише за умови, що всі коефіцієнти рівні нулю, отже, маємо В 1 (а0ц ) — 0 для всіх 0 < 3 < п, і В 1 (аіц ) — І а і—1 ц , що і потрібно було показати. В такий самий спосіб визначається д ія інших операторів на кільці Е п . □

Е 2 (В°х В 2 В І (а)) — (Д2 (а) + а - 2р + Д В ? В 2 В~< (а).

(І)відношення [Е1: В і] — —2 В 1 отримаємо, що

Е і -Оі (а) — [Еі , -6 і ](а) + В і ( Е і (а)) —

— —2 В і(а) + д і ( а ) В і (а) — (д і(а ) — 2 ) В і(а ).

В загальному випадку маємо, що

Е 1В Д а ) — ( д 1 (а) — 2 а ) В Д а ) .

Враховуючи співвідношення [Е1: В 2] — В 2, та [Е1, В 3] — — В 3 знаходимо, що

Е і В в2 (а) — (ді (а) + Д В в ( а ) ,

Е і В 1 (а) — (ші(а) — Д В 1 (а).

В загальному випадку отримаємо

Е і ( В а В в В З (а)) = Д і ( а ) - 2а + в - Д Е а В 2 В 3 (а)

і

і

3

Н ауковий вісник Чернівецького університ ет у . 2007. В ипуск 349. М атематика. 7

(іі)А налогічними міркуваннями, враховуючи спів- К о в а р іа н т и т е р н а р н о ї ф о р м и відношення Наступне твердж ення є аналогом відомої теоре

ми Робертса про коваріанти бінарної форми.[Е2 , В і] = В , , [Е2 , і ) 2] = —2 В ъ [Е2 , А ] = - І )3 , Т е о р е м а з , Нехай

знаходимо ^ 6 . <1-(і+і) і і г , г /Л/ = Е т - ( г + т а х і ^ а є т

Е 2 ( і)аів£)33 (а)) = (ш2(а) + а — 2 в — у ) В Т ТЦ(а). г+3^- пезвідпий коваріант порядку 6 . Тоді :

(і) векторний простір Ба := { { к у } , і + і < 6 ) будеЯ к наслідок отримуємо, що довільний незвідний нєзвідним ^ - м о д у л е м ізоморфним до г ^ о.

в/з-модуль V в к[А] із старшим вектором а старш ої (іі) елемент о буде старшим вектором в/зваги [6 1, 62] розкладається в суму вагових підпро- модуля Ба з старшою в агою [б 0]сторів V(i ,j), де

(Ні) коваріант / е елементом Казимира,У(і3) = {А ^ А А (а), Х1 = і ,Х 2 = і }. / = А ( Б а, БСІ(Х)) і записується у вигляді

Т ут А1 := ш1 (а) — 2а + в —1 , А 2 := ш2 (а) + а — 2 в — 7 / = 5 3 0 6 . ^ 1 (Ьо,о) х і ( 3 '>х2х 3з.і [—6 Ь —62] < [і,і] < [6 1 , 6 2 ]. і+ 3^ а

Т в е р д ж е н н я 3. Нехай, а - однорідний ізобарний Доведення. (і) Очевидно, що / є інваріантом вк - многочлен з к[А]иТз Тоді модуля Б а ■ 4 а ( X ). Тому із теореми 1 отримуємо

Ба = 5 а( Х )* =Г а , о.В 1( А ^ Б 2 Ь 3 (а ) )= а (А1+ а + 1 ) Ь ( - 1 А 2 Ь 3 (а )— (іі) Аналогічно, я к і у пропозиції 1 знаходимо дію—^Е>а Е>в+ 1 Е>1 - 1 (а ) на Б а диференціальних операторів, які відповіда-/ 1 2 3 ' ' 7п /А а А в А і б чч о/ { \ о . і \ А а А в - 1 А і б ч . ють породжуючим елементам алгебри віз :В 2 ( В ,( В 2 В з (а)) = в(ш2(а) — в + 1 ) В ( В ) В ) ( а ) + ^ * 1 з+ у В ^ + 1 В в В І - \ а ) . В 1 (Ьіз) = і Ь і - 1 ,3 , В 2 (к, і ) = і к + 1 ,3- 1 ,

А 1 (Ьі,з) = (6 — (і + і ) ) Ьі+1,3, В 2 (Ьіз) = і Ь і - 1 ,3+1 .Доведення. Доведемо лиш е першу формулу, оскіль-

БаВ Т з , а саме Ьо,о, тому Ьо,о є старш им вект ором в/з- модуля Б а з вагою [6 , 0].

В 1 В з (а) = (В 1 В з](а) + В зВ 1(а) = — В 2(а) (Щ) Оскільки Ьоо є старшим вектором незвідногомодуля Ба, то Б а = Я (В Т з )(Ьоо) ( див., наприклад,

З а індукцією неваж ко показати, що [7]). Тому всі Ьі 3 можна виразити через степені опе-А 1 , А 2 , А 2 .

В 1 В 1 (а) = —у В 2 В з (а), дії цих операторів неваж ко показати, що

і, враховуючи комутативність операторів В 1 і В 2, ЬіЛ = — -.-------—-------.------- -------;— ту А В \ (Ь о, о).знаходимо ш ( ш — 1) . . . (т — (і + і — 1)

6 \ , 1 ( 1

і. І .Г>1 Ь ‘в Ь і (а) = - У і * 1 Ь Г Ч а ) . Б а з" “ А А + , ) ) \ Ьі 'Д = { і і Ь ‘і А з (Ьі з >} ™І а—(і+з) і з і • і • т

Д л я довільного однорідного ізобарного а' маємо \ х 1 х 2 х з ) , і+ і < 6 е взаємно дуальними, тому

В 1 А 1 (а')=[В 1 , А 1 ] (а ' )+В 1 В 1 ( а ' ) = ^ 1 ( а ' ) + В В 1 (0,'). / = А ( Б а , Б а( X ))= ^ і А ( Ь о Д х І - ^ X х 3і і ь2 х 3.

і і ,і + і < 6 . □

В 1 А а(а') =а- 1 О тж е, всякни нєзвіднии коваріант однозначно

= ( ^ ^ ^ ( Щ ( а' ) ) В <а-1 (а') + В <( В 1(а') = визначається своїм старшим коефіцієнтом, який єт=о інваріантом підалгебри ПТз , утвореної верхньо-три-

= а(ш 1 (а ) — а + 1 )В'а 1(а') + В ( В 1 (а'). кутними матрицями.Д ля формулю вання оберненої теореми введемо

Підставивш и а' = В2е В д (а), отримаємо необхідне поняття порядку многочлена відносно операторів співвідношення. □ Д 1 , В 2 ,.

8 Н ауковий вісник Чернівецького університ ет у. 2007. В ипуск 3)9. М атематика.

О зн ач ен н я 3. Д л я довільного многочлена другий доданок рівний нулю. Взявш и до уваги те,.г Є К [ А , Х , и ] набір [г] := [о гф Д ), о к \ 2 (г)], де що ші (а) = д, отримаємо

ОТф (г) := таф , В г (а) = 0 } , і = 1 , 2 Ві(Ьг,з) = а . і . _ ^ (д - і - з + 1 )В [ ~ і В 3 (а) =\а, і + ] 1]!

називається порядком z відносно опера тора D i .[d, і + j — 2 }\

D — D j (a) = f b - h j .Цілі числа о гф Д ), і — 1, 2 будемо називати і-

порядком многочлена 2 відносно диференцію вання Д алі,В і . К оректність означення порядку випливає із того, що оператори диференцію вання В 1, Д Д і (Ті ,) — _____ \______Д і + 1 6 3 (а) —но нільпотентними в кільці К\А, X , и ]. ’ _ \а,І + 3 — 1]!

П окажемо, що для однорідних, ізобарних еле- — д — (І + 3 ) Д і Д 1 В 3 (а) — (д — (і + і ) )Т і + 1 ■.ментів з К \А]иТз їхні порядки співпадають з відпо- \а , І + 3 ]!відними вагами. Справедливе наступне твердж ення . . . т

Аналогічно знаходимо, що В 2 (Тіц ) — 3 Ьі+1з—1 іТ в е р д ж е н н я 4. Нехай о, однорідний, ізобарний В 2 (Ті,з) — І ті—1 з +1. Таким чином, векторний про-елемент з К \А ]иТз . Т о д і \а] — \ші(а),Ш2 (а)]. етір Ба є в13-модулем, причому дія алгебри в13 спів-_ , _ , ч , , ч „ падає з ї ї дією на в13-модулі Е а, див. пропозицію

Доведення. Покажемо, що оМ а) — огаЦа). За озна- т ~ . . . т . п . .^ 1 К ; 1 К ' 1. О скільки розмірності просторів Б а і Е а рівніченням порядку елемента маємо, що і

- (а + 1)(б + 2), то Б р — Е а — Г а,0.

В о га і(а ) + 1 (а) — 0. (і і ) Розглянемо білінійну форму

З іншого боку, враховуючи пропозицію 2 отримаємо (•, •) : Б а х Ба( Х ) ^ К ,

В 1 ( В ° т6і (а)+1 (а )) — значення якої на базисних елементах відповідних— (ОГб 1(а ) + 1)(Д і(а ) — ОГа 1 (а) ) В °гаі (а)(а ) — 0 просторів визначається за формулою

О тж е, о 1 (а) — о гф (а ), що і потрібно було довести. (Ткі , х аД (і+3 Д Д ) — І '3 ' (д— (І + 3 5і к 5ц1,Аналогічно показується, що о 2(а) — оМ 2(а). □ а_ тт тут 5і ■ - символ Кронекера.

а_. лі пТ -і г т т т Перевіримо, що ця ф орм а є в<3-ш варіантною,барнии елемент з КІАІ 3 порядки \д, 0\. Іодг ^

1 J 1 J тоб-то для всіх д є в13, и є Б а, и є Б а( Х ) має місце(і) векторний простір співвідношення (д(и), и) + (и, д(и)) — 0 .

Д ля оператора В 1 маємо

а ( 3 ^ \а,І + 3 — 1]! Лі " 3 ■'а1 ( В і ( Ткі), х Д І ^ — к ( тк—і і ,х'а—(і+з)х г2х3) —1 ІЩ а — (І + Ду. 5 5 ( . І !з!(а—(І + 3 ) ) !

—к ---------- а. і з—( і + 1)--------- а\----------,і + j < d} ,

е незв ідним sl j- моду лем ізоморфн и м d o F d, 0. 1

(іі) елемент Казиміра A ( B d, S d( X )) є коваріан- (Ь „ ( d-(i+j) i j ), ( & k i (i+j+1'>х г2+ 1 х 33 )том порядку d тернарної форми. ( kh 1 1 х 2Хз)) ( d - ( i + j ) ) - 1

( j r ■) ) ( i + l ) ! j ! ( d - ( i + j + 1))U Доведення, (і) П окладемо = - ( d - ( i +j ) ) ------------------d\----------------°ki+idij =

h j = и • , - 1 }!D i D 3(a). d !1

[d,i + j - 1}!

Тоді

(i + 1 )!j!(d - (i + j))!

Таким чином

1 у ( B i ( ^ k i ) , x d1-^ i+j)x 2x i ) + (bki, B i ( x d1- (i+j)x i24 ) ) = 0 .D i ( k , j ) = B i ( d i , ■ 1}!D 1 D j ( a ) \ = ................................................ .........................................d, i j -= i(^ i ( a ) — i — j + 1) Д — j j j (a) — j j j i j j B j - 1 (a) для операторів D 1, B 2 i D 2. О тж е, білінійна ф орм а

[d,i + j - 1}! 1 3W J ^ ^ (, ) e sl3 -інваріантною і тому базиси

Враховуючи комутативність операторів D 2 гш В 3 і ( d! - 1 , d - (i+j) i j 3те, що ord2(a ) = 0, тобто B 2 (a) = 0, отримаємо, що j p j !(d — (i + j))! ^і ,Д та ix i x 2x 3 j , i + j <


взаємно дуальні. Базиси Г 6 У ^ ) = і — В * . В \ В { ( с о о ) )Відповідний елемент К азим іра є в/з-інваріантом [ і - і- (6 —(і + і ) ) \ ) { і \ і ]. ’ )

і має вигляд та { и Д (і+2 )и{ и { } , і + і < 6 є взаємно дуальними,п. тому

А ( Б а , Б а( Х ))= V ,, т -----— Візха~(і+3)х г2хз,. ~ , , і - 3 .(6 —(і + і ))! ’ ( і)і+з Ві Вз (с )и а-(і+3)и і изі+з<а А ( Б а Ба(П ) )= Е (— В 1В з (Со,о)из и 1 и 2

тобто є коваріантом степеня 6 . □ і+з<а

К о н т р а в а р іа н т и т е р н а р н о ї ф о р м и ППерейдемо до вивчення контраваріантів тернар- _

.. , А . . . О тж е, кожен незвіднии контраваріант однозна-ноі форми. Аналогічно, як і у випадку коваріантів .. .мають місце наступні теореми чно вичначає своїм старшим членом, якии є інварі-

В Т 3 .Т е о р е м а 5. Нехай справедливість оберненого твердження.

г 6 а-(і+з) і з [ ] а / = А - Ці\(6 —(і + і ) ) . Сізиз u l u2, Сі,з Є [ о барний елемент з к[А]иТз мультипорядку [0,6]. То

і+з<а д.

6 (і) векторний простір(і) векторний простір С а := {{сіу } , і + і < 6 ) е ^

незв ідним в/з -модулем ізоморфним г о, а. С а := и ( П Т з )а А А — т В І В) І (а), і + і < 6 і{[6 , і + і — 1 ]. )

со,о в/3л я С а з вагою [0, 6]. е незв ідним в/з -модулем ізоморфним до Г о а .

(Ні) контраваріант / є елементом Казимира (А елемент, Казиміра А ( С а, Б а(и )) є контраварі-6

/ = А ( С а , Б а(П)), і+з а з А* а )Доведення, (і) П окладемо сі ,з = ———-----:---- —— . То-

[6 , і + і - 1 ]! ді, використавши пропозицію 2, знайдемо

/ = Е В { в і ( с о Д и Г ^ д д .і+з<а і!і! ( - 1 )і+з

[d,i + j - Д /Доведення, (і) Очевидно, що f є інваріантом sl3- — ( — і ) 3+2і в в і —1

модуля C d ■ S d(U ). Тому, із теореми 1 отримуємо = Д Д Ї Д Д — Д . D 2 D 3 ( а = —iCi- 1 ,3+1-

C d = s d { X )* = r o,d. Н еваж ко переконатися, використовуючи індукцію, що D 1 D 2(а) = —j D 3 D2 1. Тому, знову взявши(ii) 2 2

v ' ' j г до уваги пропозицію 2, враховуючи комутативністьна C d диференціальних операторів, які відповіда- в ■ Вd D 1 , D3,ють породжуючим елементам алгебри sl3 : рівності

D 1 (сг,2 )= — і і—1 ,2+1 , D 2 (ci,2 )= — j ° i , 2 - i , c 2 (a)=ord2(a) = d,D 2 (ci,2 )= — (d — (i + j ) ) Ci,2+1 , D 1 (ci,2 ) = —j Ci+1 ,2—1 , після нескладних обчислень отримаємоD 3 (сі,2) (d (і + j ) ) сі+1,2, D 3 (сі,2) і сі—1,2. / . . . . \_ _. D (C D І ( — 1 )і+2D 2D 3 ( а ) \Очевидно, що в Cd є лише один інваріант алгебри D2(Ci,2) = D2 І ^ і + j — І =D T3, а саме с0,0, тому с0 0 є старшим вектором не- ( 1 )i+2—1j ’звідного в13-модуля C d з вагою [0, d]. = --У —У---------D2—1 D l3 (а)) = —jCi,2—1.(ііі) Оскільки елемент с0,0 є старшим вектором не- [ ,г + jзвідного в1 ^^одуля C ^ o C d = и ( т 3 )(с0Д . Т ому ДалІ! аналогічно знаходимо всі сз,2 мож на в и р ^ и т и через степені операторів D 1,D 2, l D 3. Використовуючи ЯВН И Й ВИГЛЯД ДІЇ ЦИХ one- В (C ) = —j ( — l ) i + 2 D 2 D 3+ (а) = з C

■ D 1 (Ci,2 ) г т ■ і ■ -| 11 jCi+1,2 — 1 ,раторів неваж ко показати, що [d,ri + j — 1]\

( — l )3+ 2 в . в 3 іЬг’2 [m, і + j — 1]\D ‘2 D ‘3 ^с°,0) . ) = —(d — (і + 3 ))сз,2 + 1 .


О тж е, векторний простір Са є в13-модулем, причому Доведення. (і) Очевидно, що / є інваріантом в13- д ія алгебри в13 співпадає з ї ї дією на в13-модулі Са, модуля Б ^ • Б аі ( X ) • Б а2 ( и ). Тому із теореми 1 отри-

(ІІ)

проеторів <СД Са рівні + 1 )(д + 2), то Са — Са — б ^ — (Б1 ( X ) • Б І 2 ( и ))* — (Б1 ( X ))* • (Б І 2 ( и ))*Г 0,а.(іі)Розглянєм о білінійну форм у в13-модуль Б аі ( X ) • Б а2 ( и ) мож на легко розкласти

т на незвідні підмодулі. Д л я цього знайдемо старші(•, •): Са х Б ( и ) ^ К, вектори в Б аі ( X ) • Б а2 ( и ), тобто вектори інваріантні

відносно алгебри В Т 3 . Н еваж ко переконатися, що за старші вектори мож на взяти такі многочленизначення якої на базисних елементах відповідних

просторів визначається за формулою

а—{і+з\л„.з\ — ( — 1)і+3 І!3 !(а — (І + 3 ) ) ! ,иі :— х 3і іи-і 2 іи і , і < 0 . . . І 0, І0 :— т і п Д і , д2 ),

/ — а—(і+з) і з\ ( 1) 1 ! .(а (і і 3) ) . г г\Ткі ,из илЩ) — ---------------------: 5ік 5зі . . „ .4 ’ 3 1 2 а а и :— х и і + у и + 2 из - універсальний коваріант.О скільки ога1(и1)—1Д о г а Д Д —оМ Ди) — 0, то

Аналогічно, як і у випадку коваріантів мож на пока- огф (щ ) — Д — і . Аналогічно знаходимо, що ізати, що ця ф орм а є .^-ін вар іантною і тому базиси о ^ Ю — д2 — і. О скільки, порядок інваріанта спів-

( ( 1 )і+3 а. 1 падає з його вагою, то вага кожного вектора и рів-\ , щттТі з > та { и аа—(і+3 ')и і и І ) \ , і + 3 < а, на \ді — І Д 2 —і], і має місце розклад

І!3 !(а (І і 3 ))!

Б а і(X ) • Ба ( и ) — Гаі , а2М + • • • + Га— і0,а2—і0К ).будуть взаємно дуальними.

Відповідний елемент К азим іра є в^-інваріантом Т ут Га—і , а—і Д і ) - незвідний віз-модуль із старшимі має вигляд вектором иі і вагою \д1 —і, д2 —І].

■ Повністю аналогічно мож на перевірити, що мно-А ( С а Б а( и ) ) — __ (— 1) 3— Т- ■ и а—(і+3 )и 1и 3 гочлени иі :— х аі—іи <і—іи і є молодшими векторами

■ < п і!3!(а— (і + 3 ))! ' ’З 3 2 віз-модуля Б аі ( X ) • Б а2 ( и ).Задамо лінійне відображення векторних проето-

тобто є контраваріантом порядку д. □ рів ф : Б аі ( X ) Б а2 ( и ) ^ Б ^ , яке кожному елементуз Б аі ( X ) • Б а2 ( и ) ставить у відповідність дуальний

З м іш а н і конк ом ітан ти т ер н а р н о ї ф о р м и йому елемент з Б ^ , тобтоПерейдемо до вивчення зміш аних конкомітантів

тернарної форми. Я к і у випадку коваріантів та кон- і р Д аі—(і+3)х Дх 3и аз —(к+і)и І{и '2)траваріантів маю ть місце наступні теореми

а 1 \а2 !В Д .Т ео р ем а 7. Нехай = - (і + j ) ) ! {d^ - (k + l))!B i j

d 1 !.d2 !B ,:’ix dl-(i+j)x 2 x 3ud2- ( k +l)u ku l Врахувавш и теорему 2, отримаємо, що відображенаf = — '! ' !kUUd— С'----')M(d------(k— Tv\!— , ^ переводить молодший вектор sl j -модуля S dl ( X ) •

i+j < d 1 i j ! ! 1 (i + j))!( 2 ( + ))! S d2 (U) у старший вектор s ^ -модуля B ^2 .П означимоk+l < d2 через w i := Д Хі) відповідні старш і вектори, а через

Г d1 - i ,d2- i (wi ) - відповідні незвідні підмодулі. Має

- незвідний змі шаний конкомітант класу [d1 , d 2\ . М1СЧЄ розкладТут B j Є k[A} і d i , d 2 > 0. Тоді: r>d2 Г ( ) , , Г ( )

У із 1 J B d2 = r di,d2 ^ о Н ••• + r di -io,d2-io (wi0) .(i) векторний простір „ т,17 г г Розглянемо тепер тепер елемент К азим іра

B d2 := ({B i j } , i + j < d i , k + l < d2) A ( B d l , S dl ( X ) • S d2 (U)).

є незв ідним sl3 -M0dyAeM ізоморфним r di,d2 . Очевидно має місце розклад

(ii) елемент В ° 0 є старшим вектором sl j- моду- А ( B ^2, S dl ( X ) • S d2 ( U ) ) = A ( r dl ,d2 (w0), r d l ,d2 (v0))+ л я В Д з вагою [d1 , d 2}.

+ • • • + А (Г’ dl - i o ,d2- i o (vio ) , Г' dl - i o ,d2- i 0 ( wi 0 )) .f

d2 d1 d2мира, причому f = A ( B d1 , S l ( X ) • S 2 (U)). останього, є змішаним конкомітантом, тому елемент


А ( Б ° 2 , Б аі ( X ) ■ Б а2 (П)) буде незвідним лише тоді, коли всі змішані конкомітанти правої частини меншого класу будуть рівні нулю, а це можливо лише у випадку, коли всі старші вектори ті = 0 , і = 1 . . . іо, а то = 0. Таким чином отримаємо

Доведення, (і) П рям а перевірка показує, що В ^ є віЗ-модулем. Оскільки простір В^2 побудований таким чином, що в ньому існує лише один старший вектор ваги [6 1, 62], а саме В 0’0 = а, то В ^ є незвідним віЗ-модулем, причому В ^ = и ( и Т 3 )а.

А ( В 02, Б 01 ( X ) • Б 02 ( и )) = Д ( Г ^ ^2 (™о), Гаг,а2 (уо)), (іі) Розглянемо білінійну форму

звідки зразу випливає, що Б °2 = Г аі ,а2 (то) = Г а 1 ,а2. (іі)

Аналогічно до того, як це було зроблено в пропозиції 1, знаходимо дію породжую чих елементів ал-

в/з Б ааі2 :

В 1 ( Б кі з ) = ( 6 1 — (і + і ) ) Б * з —/ Б 0* 1,1- 1 ,к-І+ 1 і-і ’Б 2 (Вк:0 ) = і В к - і і +і — (б2 — (к + і))В,

Ь з( В к :0 )= (б 1 — ( і + і ))Вк:0+1 —(б2 — ( к + т Б і ( В к іІ) = і В & , і — кВ к - 1 -І+1,

к+ 1 -І г-3 ’

В 2 ( В к0) = і В і + 1 і - 1 — іВ ,Б з( В к :0 ) = ІВ*— — к В 0 - 1 і .

Звідси зразу отримуємо, що

Б і В 0) = в 2 ( в 0;0 ) = о,

і— 1 - І ?к - І к - І- 1

В 0 - 0 ~Г)&2о о ~ старший вектор у В ^ .(ііі)

02

61 . 62 !в к -І

і І . к . І . (61 —(і + 3)) . (62 — (к + І)) . г

та

уІ г>, 2 — {к+І) к„ 12х ЗиЗ и ки 2 } , і + І ^ 6 1 , к + І ^ 61

ДУ<альні, то / = Д ( В 02, Б 01 ( X ) • Б 02 ( и )).

амент з к [А]иТз порядку [61 , 6 2]. Розглянемо вектор-

Бс аа2 Бс ік зІс о о с кІБ о о :=а, Б ікзІ

б 1 ( в к і ) = (61 — ( і + і ) ) в к +1 і — ів к + 1 -1 - 1 , П 2 (вк 1 ) = і в к - 1 і + 1 — (62 — (к + і ))вк;І+ 1 ,Б з ( в к -І ) = ( 61 — ( і + і ))Вк -і+ 1 —(62 — (к + і ) )Вк+ 1 -1,

та із умов рівності нулю елементів ті , і = 1 . . . і0.

(•, •) : В 02 х Б 01 ( X ) • Б 02 ( и ) —— К,

значення якої на базисних елементах відповідних просторів визначається за формулою

п к І 01 —(і+і) і' і 02 (к' + І' ) к' І' В і і , х 1 х 2 х З иЗ и 1 и 2

і .і . к . і . (61 —(і + і ) ) . (62 — (к + і)) . 61 .62 .

ді - і' ді - і' дк - к' дк -к'.

Аналогічно, я к і у випадку коваріантів та контрава- ріантів мож на показати що ця ф орм а є невиродже-

в/з

6 1 .6 2 . кІ_______п кі .і . к . і . (6 1 —(і + і )) . (62 — (к + і)) . і і

та

□

де

Т ут гсі утворюються із ті заміною Б і з на В і з .

абарний елемент з к[А]иТз мультипорядку [6 1, 62].Тоді:

(i) вект,орний простір В 02 := и ( П Т з )а є незвідним в/з- моду лем ізоморфн и м до Г а і, а2 .

(ii) елемент Казиміра А ( В 0), Б аі ( X ) ■ Б а2 (П)) є зм іш ани м конкомітантом тернарної класу [6 1, 6 2 ].

{ х ^ ^ + Я х Ц ^ ^ и к и І2} , і + і < 6 1, к + і < 62,

є дуальними, а відповідний елемент К азим іра

Д ( В 02, Б 01 ( X ) • Б 02( и )),

є змішаним конкомітантом тернарної форми класу [6 1 , 62]. □

П р и к л а д . Д л я п = 3, розглянем о в к[А] много- 2 ~член а := ао- оа2- о — а \ -о якии є інваріантом підалге-

бри к[А]ОТз. Оскільки Б з (а) = 0 шіе Б 2 (а) = 0, то огб1(а) = 2 . Аналогічними міркуваннями отримуємо, що огб2(а) = 2, отж е, порядок а рівний [2, 2 ], і а буде старш им вектором зі старшою вагою [2 , 2 ] зіз- підмодуля = и ( и Т З)а в к[А], ізоморфного стандартному віз-модулю Г 2 -2 . Відповідно до вагової діаграми знайдемо базисні вектори вагових підпро-


еторів B ( i s/3-модуля U(UT3)a

(2,2) (0,3)(3, 0)

{Bgg = a},{D 0(a) = 2 B 00},

B (4, - 2) B ( - 2 ,4)

00 1 0}

{D o(Bgg) = - 2 B g i } ,V ( a ) - 0 4 0;2]= {D 2(a) = 2Bg ; 2 },

= {D2(a) = 2Bgg},B ( - 3 , 3) = {D\D3(a) = - 4 B 2 ;0} B ( - 4,2) = { D 2 D 2 (a) = 4 B ° ; g}, B(3,-3) = { D 2 D 2 (a) = 4Bg - 2}, B (2 , - 4) = {D 2 D 2 (a) = {4Bg$} ,B ( - 2 , - 2) = { D4(a) = 24B0 ;2 }

d д) = {D3(a) = 2 B g;0 - 2B°;g,D D ( a ) = - 4 B ° Л0 + 2 B 1 ’0},

( - 0, 2) = {D oDs(a) = - 4 B 0;g + 2B 0; 0, 8B0’0 - 4Bg ’01

B

BD 2 D 2 = 0 - 4 B 2 0 },B (2 - ) = {DoD2(a) = 4 B 2$ - 4B0;0,D 2D 3 (a) = 2B0-0 - 4 B 0'00 0 0 1 },

(-2 Д) = {DoD 3 (a) = 4B2;g - 8B 0;0,D 2D 2D 3 (a) = - 8B 2 ’g + 4B2 ’g + 8B 0-0},

(0; - 2) = {D 2D22(a) ’= 8B0;I ’- 4Bg;O,0 2

B

BD 0D 2D 3 (a) = 4 B 0 ;2 - 8B0;0},

( - 0; - 0) = {D 0D 2D2(a) = 8B 0;0 - 8B0;0 + 4 B t D 2 DO D 3 (a) = - 1 6 B 0) 0 + 8B0;0},

( - 3 ; 0) = { D 2 D 2 D O (a) = - 1 6 B O - 0 },(0 ; - 3) = { D 0D 2 D O (a) = - 8 B 0 ; 0 },(0; 0) = {D O(a) = -8B0; 0 + 2Bg;g + 2 B 0;g,

D 0 D 2D 3 (a) = 4 B 0-0 - 2BO'g - 4Bg-0 + 4Bg'gD 2 D 2(a) = - 1 6 B I)1, + 4 B O $ + 4 B o2;0}.

B 0 ; 2 0 2 ,

Тоді вектори

r t v 0 ) = Bg; 2 + B0;g + B g g ,D 0(?(v 0)) = B '-g + Bg;10 + B g; 0,D0D3(<f(v0)) = - B ^ - BO0 - B 2;g,D 2£>3(v(v0)) = - B g i 2 - B g;0 - B 2;2 ,D 0Do(<p(v0)) = BOg - BgO - Bg;0 + Bg;2Do(<p(v0)) = - B ^ - Bg;0 - B2;O,D 0 d 2 £>3 (v (v 0)) = b 0; 0 + b0;2 + Bg;g, D3(<p(v0)) = - B 0’,g + B 0; 1 - B i,o + B

0 0

Поклавш и ^ ( у і ) = 0, ^ ( и 2 ) = 0 знайдемо необхідні 9 рівнянь. Р о з’язавш и в М аріє отриману систему із 36 рівнянь знайдемо значення всіх 27 базисних елементів В к 3 О тже, ми отримали реалізацію незві- дного в/з-модуля В 2 = Г 2 , 2 в и(в ї 3 )а. Відповідний елемент К азим іра буде змішаним конкомітантом

f := A ( B O , S 2 ( X ) ■ S 2 (U)) =

J - ( i + j ) ,b2x 3a32- ( k+l) k і

i!j!k!l!(2 - ( i + j ))!(2 - (к + l))\

О тримали 27 рівнянь для 36 невідомих Б к■. Інші 9 рівнянь знайдемо із наступних міркувань.

В віз-модулі Б ) • Б 2 ( и ) розглянемо молодші вектори

иі — х і и і и — х і и і ( х і иі + х 2и 2 + хзиз) —2 2— х 2 и 2 + х і х 2и і и 2 + х і х з иіиз,

У2 — и 2 — ( х і и і + х 2и 2 + х з и з ) 2 .

Обчисливши всі коефіцієнти B ^ j мож на знайти явний вигляд f , який ми тут не подаємо в силу гро- міздскості.

СП И С О К Л ІТ Е РА Т У РИ1. Grace J.H., Young . I . The Algebra of Invariants.

- L o n d o n ,1903.2. Gordan P. U eber die Theorie der te rnären eubi

schen Formen / / M ath.A nn.I. - 1869. 1. P.57-89.3. Noether E. Über die B ildung des Form ensystem s

der te rnären biquadratischen Form / / J. für M ath. - 1908. - 134. - P .23-90.

4. Glenn О. E. T reatise on theory of invariants. - B oston,1915.

5. Спрингер T. Теория инвариантов.-М .: М ир,1981.-192 c.

6 . Fulton W., Harris J. R eptesem ation theory: a first course, 1991.

7. Humphreys J. In troduction to Lie Algebras and R epresentation Theory,1978.

V(v 0) = Bg; 2 + Bg; g + Bg; 0,

p (v2 ) = B 0;0 + B O. ,O + b 2 ’O + 2 B ° n + 2 B ° ’ 2 + 2 B 0;02 0 0 2 0 0 0 0 0 0 ,

В 22[1,1] і [0,0]. Розмірність Г д ( ^ ( и і )) рівна 8 і розмірність Г 0 , о(^ (и2)) рівна 1. Одномірні вагові підпро- стори Г і ,і ( ^ ( и і )) породжую ться такими елементами

j


УДК 517.929

© 2 0 0 7 р. Я .Й .Б ігун

Чернівецький національний університет імені Ю рія Федьковича, Чернівці

У С Е РЕ Д Н Е Н Н Я В ЗА Д А Ч І ПРО К О Л И В А Н Н Я С Т РУ Н И І БАГАТО ЧАСТО ТН ОЇ СИ СТЕМ И ІЗ ЗА П ІЗН Е Н Н Я М

В ивчається початкова задача для гіперболічного рівняння і багаточаетотної системи диференціальних рівнянь із запізненням. Обгрунтовано метод усереднення за швидкими змінними на скінченному проміж ку часу в тому випадку,коли система в процесі еволюції проходить через резонами. О держано оцінку похибки методу усереднення, я к а явно залеж ить від малого параметра.

The object of th is paper is to study a system of hyperbolic differential equation and a m ultifrequence differential equation system s with delay. An averaging m ethod over fast variables is justified for system which pass through the resonance in the evolution process. For the error of the m ethod, an estim ate explicitly dependent of a small param eter is obtained.

Вступ. Коливання систем із зосередженими і розподіленими параметрами, які взаємодіють між собою, досліджувалось в багатьох роботах. Зокрема, в задачі про керування коливним процесом, коли один із об’єктів описується хвильовим рівнянням, а інші - диференціальними рівняннями із звичайними похідними [1], струнного генератора з підсилювачем [2], про керування динамічною системою під дією високочастотних збурень [3] та ін.

У даній роботі розглянемо задачу обгрунтування методу усереднення для збуреного рівняння коливання нескінченної струни. Збурення є результатом дії багаточа- стотної системи із запізненням. Дослідженню багаточастотних систем присвячена монографія [4] та ін. Застосування асимптотичних методів для гіперболічних рівнянь вивчалась, наприклад, в [5, 6], а питання існування розв’язку для гіперболічних функціонально-диференціальних рівнянь - в [7].

1. Постановка задачі. Розглянемо систему диференціальних рівнянь вигляду

д 2п 2 д 2п 2д ё = ° д Х 2 + Є І ( х ’т’а’аД’^ ’^ Д ) ’ (1)

йа— = Л (т ,а ,ад ,р ,рд ) , ат

dp и(т)— = -------- + B ( r , a , a A , p , p A), (2)dr є

де є - малий параметр, є Є (0,є 0], т = єї, x Є R , т Є [0,L ], c > 0 А > 0 аА (т) = а(т — є А) , р А (т ) = р(т — єА ). Функції A, B і f 2^ -періодичні за компонентами р, ра-

Перше з рівнянь описує коливання нескінченної струни під дією збурення, що залежить від амплітудних змінних а Є D , D - обмежена область в Кп, і фазових змінних р Є Rm, m > 1, а також від цих змінних із сталим запізненням. Система (2) назива-

mявище резонансу частот. Умовою резонансу

т

Yki(т,є) w 0, (3)

де y кі(т,є) = (k, ш(т)) + (ї,ш(т — єА)) , k, l Єz m l|k|| + ||l|| = 0 .

А = 0т

рівності

(p, и(т)) = 0, p = k + l = 0.

Якщо А > 0 і k + l = 0, то система (2) може знаходитися в околі резонансу (k ,u (T ) — ш(т — єА)) w 0 як завгодно довго, тому в усередненій системі зберігаються відповідні складові.


Задамо для (1), (2) початкові умови:

и(х, 0 , є) = ь(х),

ди(х, 0 ,є)ді

ю (х ) ,х Є Е; (4)

а(т, є) = а°(т), р(т, є) = р°(т), т Є [—є А, 0],

Д 6

V Є С 2(Е ),ш є С Е ) , (а0, р 0) Є С [ - є А , 0].

Як показано в [8], умовою незастрягання системи (2) в околі резонансу (3), коли к +І = 0 , є виконання умови

V(т) = 0, т Є [0,1], (5)

де V (т) - вронскіан системи функцій[<хі(т) , . . . , и т(т)}.

Відповідна (1), (2) усереднена за швидкими змінними система, в якій враховано резонанси (3) для к + І = 0 , набуває вигляду

д2и 2 д 2и 2— ___д р = ° д х 2 + є ^ ), (6)

і а —г ___— = А(т, а, ад), ат

і р ш(т) . ._.— = -------- + В(т, а, ад), (7)ат є

3. О б ґр у н т у в ан н я м ето д у у сер ед н ен ня.

Т ео р ем а . Нехай виконуються наступні умови:

1) функції Є С т[0,Б], V = 1 , . . . , т , і справджується умова (5);

2) вектор-функція, Б(х ,т ,а ,Ь ,р ,9) неперервно диференційовна І1 > 2 раз з а х, т, а, Ь і І2 > 2т + І раз за змінними (р, 9) в області Е х [0, Т] х Б х Б х Е т х Е т і обмежена разом, із похідними сталою а 1;

3) на, проміжку [0,Ь] існує розв’язок системи (7), причому а(т, є) лежить в області Б разом із своїм р-околом для всіх: є Є (0 ,єо];

4) в області Є 1 = Е 1 х [0, Ь] х Б х Б

к+і=0 Сі

X І вирСі

дБкдт

+ вирСі

У івир

к+і=0 Сі

кі + Оі^ в

дБкі \ \дЬ ) )

1

\ \к+ 1\\X

СідБ,кіда

+

< 0 2 -

де

Б (х ,т,а,ь)(2п )

2п 2п

. . . Б (x ,т,a ,b, p ,0 0

р — гф)др\ . . . д р т = ^ Бкі(х, т, а, Ь)е г(к’ф),к+і=0

ф = ш(т)А, Б : = (4 , А , В ) .

Усереднена система простіша, ніж (1), (2), оскільки рівняння для а не залежить від швидких змінних, а знаходження и і р зводиться до задачі інтегрування.

Задача полягає в доведенні існування розв’язку 1), (2) із початковими умовами (4) та знаходженні оцінки відхилення розв’язків систем вихідної та усередненої систем для т Є [0, Б] і х Є Е , якщо їх початкові умови збігаються.

Тоді для досить малого є0 > 0, всіх: (х,т,є) Є Е X [0,Б] X (0 ,є0] існує єдиний розв’язок систем,и (Б), (2) з початковими умовами (4 ) і справджується оцінка

\\а(т,є) — а(т,є)\\ + \\р(т,є) — Р (т,є)\\ +

+ \\и(х,т/є,є) — и(х,т/є,є)\\ < е3є 1/т. (8 )

Д о в е д е н н я . За формулою Даламбера [9] для розв’язків рівнянь (1) і (6) маємо

2 г х+с(г—в)

и (х , і , є ) — и (х , і , є ) = — J де J [4 (г,єв,0 х—с(г—в)

а(в, є), а(в—А, є ) , р ( в , є ) , р ( в —А ,є ) ) — 4 (х,єв,

а(в,є),а(в — А,є))]бг.

тТ

\и(х ,т/є ,є)—и(х ,т/є,є)\ < 2 о ^ ( т —з ) ||а (з ,є ) —0


1

—a (s ,e ) ||d s+ — Yk+i=0

x+f (t- s)

ds fki(z,T, a, a a ) xx + sup \fki \ + L sup

Gi G1dfkidT

<

x - f (t-s)

x exp[i(k, p) + i(/, p A)]dz

Введемо позначення:

x+f (t- s)

gki ( x , T , s , e ) = J fk i(z ,T ,a ,aA )x

x - f (t-s)

x exp - - J Yki(s\,£)ds\+i(k, p)+i(l , фа) о

< є 1/т(а1с1Ь 2+с2а2(Ь(1+ а 1) + 1))а2) = с3є 1/т.

Якщо 2с3Є^т < р, то оцінка (8) виконується для всіх (х,т,є) Є К х [0,Т] х (0,єо].

Теорему доведено.4. Приклад. Розглянемо модельний

приклад системи із т = 4 частотами вигляду

д2п 2д2п 2дії? = С дХ2 +Є ( С08(2^ і - ^ 2 + ^ з - ^ 4 - ^ і а ) +

+ 4 ^ ( < £ 1 + ^ 2 - < 1А - <£2а)), (12)dz■ da

— = bi cos(2^ i - ф2 + фз - ф4 - Фіа) +dT

Скористаємося оцінкою [8]

||a(T, є) - d(T,e)H < с1є 1/т,

+b2 COs(^i + ф2 - ф1А - ф2А), (13)

(10)

правильною для всіх (т, є) Є [0,Т] х (0 ,єо] в разі виконання умов 1) - 3) теореми для функцій ш, А і Б , та оцінкою осциляційного інтеграла

dpi 1 d p 2 1 + тdT є dT є

1 + T + T2 , dp4 1 + т2 + 4т3є dT є

Т

/ gki(x,т,s, є) expГ s -і

- Yki ( s i ^ ) d s iє

dsJо о

<

< 02є 1/т ( sup \gki \ +v G2 Ik + Ill G f

dgkids

^ 3йтТут с > 0 Ъ„, - деякі сталі, 0 < А <

п /4 , фі(т,є) = т /є ф2(т,є) = (т + 0.5т2) /є при т < 0 <£3(0 ) = <4(0) = 0 .

т =0 оскільки у (1) = 2ш1 — ш2 + ш3 — ш4 — и 1А = — 4т3. Крім того, при т > є А виконується резонансне співвідношення у (2) = ш1 — ш1а + &2 — &2а = єА. Відповідні ф ази набувають вигляду: ^ (1) = А — тА/е і

G 2 = R x [0,L] x [0,L] x (0 ,є]- Із умов 1 і ф (2) = ( t + 2 - є Д /2)Д , t > 0. Умова (6) 4 для (х , т, є) Є R x [0, ■L ] x (0 ,єо] одержимо виконується, оскільки V(т) = 24.

\gki(х,т,,в,є)\ < — sup \fki\є G1

dgki (х,т,,в,є) 2с(1 + aiL)

Усереднимо перші два рівняння:

d 2U 2 d 2иd t2

дт<

є ( llk ll + lll ll)su p \f ki\ +G1

с -7-^r + є d2 cosAt + 2)Д,д х 2

da , . . .— = b2 cos(T + 2)Д.dT

2cL + sup

є G1

dfkidT

(11)

На підставі (10), (11) із (9) маємо

\и(х,т/є,є) - и(х,т/є,є)\ < а 1с1Ь 2є 1/т+

Маємоt 4

a(T, є) - a(T ^ ) = bA cosД co s— dT+

+ 2с2с £ | (L + (1 + aiL)k+i=1

16

T T

/ Т*4 \ I P Дsin — dTj + b2 (co s(t+ 2 — —)Д —

0 0

Н ауковий вісник Чернівецького університ ет у. 2007. В ипуск 349. М атематика.

Т

Т

1

— соб(т + 2 )А)іт.1 п

Нехай Ь = 1, а = Г ( - ) о о ^ , Г (г ) - гама-4 8

функція. На підставі асимптотичного розкладу узагальненого інтеграла Френеля [10]

1 1/ Д

є Л 2 є Л ,- є в ) + 2d2 s in — — s in ^ s + 2 -----— )Л ) іх

cos — dr = v є j cos Л і г0

= (а + O( $ є))

та аналогічного розкладу для інтеграла від4sm т одержимо

па(1,є) — а(1,є) = 2 ^єаЬ\ c o s ^ — А) +

4Ь2 є А 2 А А є А+ —— sin —— sin — sin —( 5 --------) =

А 4 2 2 К 2

= O ( № ) + 0 (є) = O ( t f i )

при є ^ 0 .Зауважимо, що усереднивши в (12) і (14)

за всіма компонентами векторів ^ і без врахування резонансу у (2), одержимо

da о dr

Тоді для т Є [0,1]

т4а(т,є) — а = b\ cos(------- Л)іт + Ь2х

0

} єЛх cos(t + 2 ----— )Літ =

= 2 \ /sbia cos(4 —А )+ А cos А c o s(5 -єА )А =

= 0 (1).

Отже, в цьому випадку розв’язки точної та усередненої задач не будуть близькими для т Є [0,1^, тобто для t Є [0,1/є\.

Д ля розв’язків гіперболічного рівняння маємо

t x+c(t-s)

4 41 єЛ 2

= 2acd\ є — 2 d\C\[e + c4 sin — — + o ( є),

2/ 2 . Л . . д2 n . , n де C4 = - ^ s i n ^ c o s ^ — єЛ — 2 ) /2 +cos(5 — є Л ) Л / 2 , тобто маємо оцінку вигляду (8).

СП И С О К Л ІТ Е РА Т У РИ

1. Егоров А.И. , Знаменская JI.H. Управление колебаниями связанных объектов с распределенными и сосредоточенными параметрами / / Ж урн ал выч. матем. и матем. физики. — 2005. — 45, 10. - С.1766 - 1784.

2. Рубаник В. П. Колебания сложных квазилинейных систем с запазды ванием .— Минск: Изд-во "Университетское", 1985.— 143 с.

3. Акуленко Л.Д. Асимптотический анализ динамических систем, подверженных высокочастотным воздействиям / / ПММ. — 1994. — 58, вып. 3. - С. 23 - 31.

4. Самойленко А .М. , Петпришин P.I. М атематичні аспекти теорії нелінійних коливань. - Київ: Н аукова думка, 2004. - 474 с.

5. Митропольский Ю.А. , Хома Г.П., Громяк Н.И. Асимптотические методы исследования квази- волновых уравнений гиперболического типа. - Київ: Н аукова думка, 1991. - 232 с.

6 . Митропольский Ю.А. , Лимаренко О. С. К вопросу асимптотических приближениях для медленных волновых процессов в нелинейных диспергирующих средах / / Укр. мат. ж ури. — 1998. — 50, 3.- С. 357 - 371.

7. Р. Brandia Р ., Salvadoria A ., Kamontb ^.Existence of generalized solutions of hyperbolic functional differential equations / / Nonlinear Analysis.- 2002. - 50. - P. 919 - 940 p.

8 . Бігу н Я . И. Про усереднення в багаточаето- тних крайових задачах із постійним запізненням / / Наук. вісн. Чернів. ун-ту: 36. наук. пр. Вии. 150. М атематика. - Чернівці: Рута, 2002. - С. 15 - 20.

9. Перестюк М.О., Маринець В .В . Теорія р ів нянь математично ї фізики. - Київ: Либідь, 2001.- 333 с.

10. Б ей т м ен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М,: Наука, 197'4- - Т. 2. - 295 с.

п ( х , і , є ) —п (х , і , є ) = є2 ds (d\ cos(Л —0 x-c(t-s)

T


УДК 123.456

© 2 0 0 7 р. А .О . Д анилю к

Чернівецький національний університет імені Ю рія Федьковича

ПРО Ф У Н ДА М ЕН ТА Л ЬН У М АТРИ Ц Ю Р О З В ’Я ЗК ІВ ЗА Д А Ч І КОШ І Д Л Я П АРА БО Л ІЧ Н О Ї СИ СТЕМ И ІН Т ЕГРО -Д И Ф Е РЕ Н Ц ІА Л Ь Н И Х

РІВ Н Я Н ЬВстановлено умови існування фундаментальної матриці розв’язків задачі Кош і д ля па

раболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь.

Existence conditions for the fundam ental m atrix of solutions of the initial problem for a parabolic system of integro-differential equations have been established.

При моделюванні різних біологічних, ф ізичних процесів часто виникають задачі з інтегро-диференціальними рівняннями. Питання класифікації та розв’язності певних типів інтегро-диференціальних рівнянь висвітлені у монографії Вольтерри [1], де міститься велика бібліографія по даній тематиці. Зокрема, звичайні інтегро-диференціальні рівняння Вольтерри досліджені у праці Ландо [2], де будується фундаментальний розв’язок рівняння, встановлюються умови існування та єдиності розв’язку задачі Коші у класах неперервних та кусково- неперервних функцій.

У даній статті згідно позначень Ландо методом Леві будується фундаментальна матриця розв’язків (ФМР) Г задачі Коші для параболічної системи інтегро- диференціальних рівнянь у класичних просторах Гельдера. Головною складовою даної ФМР Г є ФМР Л задачі Коші для параболічної системи диференціальних рівнянь. Питання побудови та встановлення диференціальних властивостей ФМР Л, починаючи з другої половини XX століття, добре вивчені у багатьох монографіях. Зокрема, фундаментальними є праці С. Д. Ейдельмана, А. Фрідмана, С. Д. Івасишена [3,4,6], де побудова ФМР Л здійснюється в просторах Гельдера, О. А. Ладиженської [5], де розглядаються крім того простори узагальнених функцій. Д ля просторів Діні результати одержані у монографії М. І. Матійчука [7].

В області П = (0 ,Т ) х Е п розглянемо задачу Коші для параболічної системи інтегро-диференціальних рівнянь

л к(і , х ) Б І и +\к\<2Ь

dud t

+ / * / К ^ х Л и (т, 0 } ( і , х ) , (1)

0 Е' и | (=0 = ф ) . (2)

Побудуємо ФМР задачі Коші (1)-(2), встановимо умови, за яких можна її побудувати, та знайдемо оцінки для ФМР та її похідних.

Введемо підстановкуdud t

Y A k{ t ,x )D ku = y( t ,x ) ,\k\<2b

(3)

де у(ї, х) - невідома У-вектор-функція. Тоді задача (3)-(2) - це задача Коші для параболічної системи з неоднорідністю у(і ,х) . Д ля цієї задачі Коші у припущенні, що у Є С(а)(П), розв’язок записується через ФМР Л у вигляді [3, с. 269]

и ( р х ) = І Л ( і -0 ' х М І ) *+Е'

J d J Z d (4)0 En

Z

\DkxZ (t , T , x , 0 \ < Ck(t - t )- ^ e-cp(t’T’xÂ),

\k\ < 2b. (5)

t


Підставимо вираз для u (4) у вихідну си- Квазірегулярність ядра H буде встановленастему (1): нижче. Тоді розв’язок рівняння (6;) зобра-

t y ( t , x ) = f ( t ,x )+ зиться у вигляді

+H K ( t ’T x ' °JZ T z M z ) d z ‘* + y(t, x) = F ( t , x ) + / d r f B.(t ,r ,x, & F ( t , №0 En En J Jт 0 En

+f dTf K ( t , T , x , o j dß f Z ( t ,P,C, z )y (ß, z)dzdß або

0 En 0 En y (t ,x) = f ( t , x ) + [ H ( t , ° , x , 0 ^ (0 dC+(6) t En

Одержано інтегральне рівняння Вольтерри- t „ nФредгольма 2-го роду відносно невідомої + dT R( t ,T ,x , £ ) f (t , i ) d ^+

y 0 Enформулою Діріхле змінимо порядок інтегру- tванв я , щоб виділити ядро +J j ^ R f a ^ x , £)J H(t , 0 ,£ ,z )v (z)dzd£. (7 )

[dT[ K ( t , T , x , 0 jdßj Z ( T , ß , i , z )y (ß ,z )dzd i = 0 En Enj j J J Отже, якщо підставити y(t, x) у зображе-0 En 0 En ння для u (4), то розв’язок вихідної задачіt t

Коші (l)-(2) набуде вигляду:V(T, Z m , r

u ( t , x ) = Z (t, б.х, +dr dß K ( t ,ß ,x , z )Z (ß,T,z,Z)dz

0 En t Enяке позначимо через Еп

* іН х , о = « Л х , г ) Е V , г, г , № . + 1 ^ 2 (І,т,х, & / {г, Ж +

т Еп 0 ЕпЯкщо у другому доданку інтегрального * т

рівняння (6) змінити порядок інтегрування + сІ т Е (ї,т,х, £ ) І в Е ( т , в , £ ф ) / ( в ^ +за просторовими змінними, то буде виділено З З У У0 Еп 0 Епце саме ядро Н і тоді рівняння перепишеться *у вигляді і + ГІТ И 2 (і , т,х, £ ) [ \н(т, 0 Д , 5)+у (г ,х) = я (г ,х ) ^ Н ( г ,т, х , £)у (т, £)І£ , 0 Е, Еп

0 Еп Г Г(6;) + І в Е(т,в,£ф)H(в,0 ,z,s)dz ф(s)ds>d£. (8)

де „ о ЕпР ( ї , х ) = / ( ї , х ) + Н ( ї , 0, х , 0 ф(0 І І- Запишемо розв’язок (8) через оператор сим-

Еп

Згідно з теорією інтегральних рівнянь з ре- и = ( % + Z **Е )** /+ Z **[(Н+Е**Н)*ф] гулярним чи квазірегулярним ядром ядруН(ї, т, х, £) відповідає резольвента і розглянемо останні два доданки

Е (г ,т,х, £) = Е Ни(ї, т,х, £), Z * ф + Z * *[(Н + Е * * Н ) * ф>\ =и=1

де і = ^ + Z * *Н + ^ * *(Е * * Н )]} * ф =

Н и (і,т,х,£)= dв |H l ( t , в ,x , z )H v - l(в,т,z,£)dz, = { Z + Z **[Н+ Е **Н]}* ф = { Z + Z **Е}*ф,t En ш

0 0 тт тт оскільки R = H v і H + R * *H = R.' = 2 , = П. V=1


У результаті для розв’язку одержимо зо- по P перейдемо до В-функції: браження: t

Г fp-cd-^P&exz) e- c(1- £)p(e,T,z,i) u = { Z + Z v + { Z + Z * * R } * * f . \H2\< C2I d p i — ---------- dz <

2bT En

(t - в ) ^ (в - г )Отже, виділено ядро оберненого операто-

і Коші (1)-(2)Г(і, т, х, 0 = Z(t , т, х Д ) + < С1Сє ■ в t 1 + 2b, 1 + И)

ра задачі Коші (1)-(2) e-c(i-2e)p(t,T,x,i)~і2^ тх (і і а і і а ' eє V 2Ю 2Ь ) /, \ n-2b- 2a ■(t — т) 2b

J dP J Z ( t ,P , x , z ) R ( 0 ,T , z , £ ) d z , (9) По індукції будемо мати:

т E~ \Hv\ < c v c v -1 ■ в (і + 2a , і + a ) ■ ... xза допомогою якого розв’язок запишеться у -c( i-v^ P(t т х а)вигляд і: , х в ( і + 2b, ( v —1) (1+ 2b ) ) - — , n- {vl w L va.

u ( t ,x) = / r ( t , 0 , х ,Д Д £ ) di+ (і — Т) 2ЬЕ Як видно з останньої оцінки, починаючи з

* V > Щ = [пЬ+а] + 1 яДРа не матимуть осо-+ J dТ J Г(і Т х £ ) / (Т £) d$t бливості і для Н„0 правильна нерівність

0 Е' \Нио \< Сиое-с" 0 А , еио = с(1 — ЕоЄ).З ’ясуємо, якому класу належить інте-

КГ

значимо, за яких умов можна побудувати н + \< С С тС • В (1+ — 1)В (1+ -0-2 + -0-)хрезольвенту R для рівняння (6). Припусти- — w КУ1

МО, що х . . . • B (1 + 2b , (m - 1)(1 + 2b ) + 1) х

e-cip(t, т,х, о x ( t — г )m(l+2b )e-Cv° р(і’ T’x ’ ,\D m K (t , т ,х ,0 \ < Cm n+,b+m-„ ■

(t — т) 2b яка одержиться, коли в показнику експо-

\m\ = 0 , 1. (10)ненти відщеплювати від с(1 — є) величину cv0 і користуватись нерівністю p ( t , P , x , z ) +

Оцінимо ядро Н, користуючись оцінками р(/3,т,г,£) > р(і ,т,х,2), у результаті чого(5) та (10): матимемо інтеграл типу інтеграла Пуассо-

* „ на, а в інтегралі по часовій змінній перейти\Н\ < ^ / 3 \ К ( г , в , х , г ) \ \Л ( в ,т , г ,2 ) № < до В-функції.

4 З Якщо розглянути залишковий рядТ і ^/ г е - сір(*’в’хА е - ср(в’т >0 Е Н і сталі, що фігурують в оцінках

dP -' + 2Ь-а ТД-------------------- dZ. »=»0 + 17 (і — в) 2ь (в — Т) 2Ь повторних ядер

т Е'На основі леми про оцінку невласного об’єм- A m = B 0+ 2b , ^ . :B (1+ 2b , (m -1 )(1+ 2b ) + 1)=

ного інтегралу [3, C.39J одержимо: Гт (1 + —)

е-с(і-є)р(ь ,т , х ,£) Г(т (1 + -Ьь) + 1) 1\ Н \< С і --------------------, Сі = Со • Сє. (11) ... • • о1 1 _ (і — Т )112Ь 4 у в яких здійснено перехід від В — до

Г—

Е А т за ознакою Даламбера збігається, аH 2знову скористаємось лемою про оцінку не- m=l власного об’ємного інтегралу, а в інтегралі значить функціональний ряд за критерієм


Вейєрштрасса збігається рівномірно і абсолютно. Це дозволяє будувати резольвенту, для якої з нерівностей для повторних ядер можна одержати наступну оцінку:

ІЕ (Г т ,х ,С )|< С 'О - т) V е- >. (12)

Тепер повернемось до розв’язку (4) задачі Коші (3)-(2), для знаходження якого робилось припущення щодо гельдеровості функції у за просторовою змінною. Покажемо, що функція у гельдерова з тим самим показником а , що коефіцієнти та ядро інтегрального оператора вихідної системи. Д ля цього встановимо спочатку оцінки для приростів ядер К , Н та резольвенти. Д ля ядра К правильна оцінка (10), з якої випливає оцінка для приросту ядра при \к\ = \Дх\ >2У і —Т ■.

\А%К(ї,т,х ,£)| < С , ч п+2Ь(ї — т) —

X

X Є-С!р(і,т,х+Ь,0 + е - с1Р(*’Г,х,0

С-сір(і,т,х+0Н,£)

, ч п + 2Ь+1 —а(ї — т) 2Ьщ .

\х+вн—£| А Ч

\х+вН—£\ \х— £\(і — т )1/2Ь) < е 2\(і — т )1/2Ь) е V (і — т )1/2Ь> <

\х—£\< СопМ ■ е V (і—т)1/2Ь

О С К ІЛ ЬК И *і- ^ 1/2Ь < 1■ Тому

\щ\\ А І К (і ,т,х ,£) \ < С

х е —С2р(і'т'хА < С

(ї — т )1/2Ь) (ї — т)

1—ап+2Ь2Ь

х

, . п+2Ь(ї — т) 2Ь

— С2 р(і,т,х,0

що ядро задовольняє нерівномірну умовуа

Оцінимо приріст ядра Н. Нехай \к\ > — т. Тоді оцінка приросту ядра Н ви

Н

| Д нН ) |< |Н (і ,т,х+к,^) | + 1Н {і,тХ , 0 |<

\к\аС

(ї — т)е—ср(і,т,х+Ь,0 + е—ср(*,т,х,0 (14)

Нпри \к\ < 2 (ї — т) 2ъ\

А хиН ( ї , т , х , 0 =

І в Д ь.К ( t , в , x , z ) Z ( в , т ^ , £ )dzт Еп

і1 *—\Щ2Ь і

(13)

Якщо \к\ < 7 ї — т, то за теоремою Лагранж а

\ А І К ( ї ,т ,х ,£ ) \ = \ВхК ( ї ,т ,х + вк ,£ ) \ ■ \щ\ <

= ] . . . + ] . . . + у . . . = 11 + 12 + ! „т і1 і—\к\2Ь

де Ц = т + і——т. На основі оцінки (13) і того,що ї — в ^ 2~ і маємо

і1\Ь а Г Г е—С1р(і,в,х+Н,г) + е—С1р(і,в,х,г)

^ С — М е— — *т Еп

е—Ср(в,т,г£)х — ------гп~ dz <І 2Ь

Розглянемо е у-(і—т)1/2Ь> _ з а лемою з[8 , с. 144] знайдеться така стала с2 > 0, що С

|к|

(ї — т)

(в — т)

е—Ср(і,т,х+Н,І) + е—Ср(і,т,х,І)

Оцінимо другий доданок, де скористаємось теоремою Лагранж а про приріст:

і-\Н\2Ь

У2 \ < ! і А \ к \і 1 Еп

е—С1р(і,в,х+6Н,г) е—Ср(в,т,г,£) , п+2Ь+1 — а / п \ п(ї — в ) -2Ь (в — т) 2Ь

■dz <

< С | к |

і— \ н\2Ье—СрХт,х ,0 г ї в

(ї — т )п/2^ (ї — в ) 2Ь+1 — а 2Ь

Отже, для приросту інтегрального ядраК С|к|

е

і1

— Ср(і,т,х,£)

(ї — т )п/2Ь'


і

Ч Ч Чне

Ч

К

е—сір{і,в,х+вн,А) < Сопвї • е с2Р(і,в,х,а)

оскільки \к\ < Ь — в-Д ля оцінки І 3 скористаємось оцінкою (10)

К

С р-ср(і,х+к,£] і р-ср(і,х£]< С № • Ы 2Ь+а ------------ ^ 7+ ^ <іп/2Ь

Еп

< С І^І2Ь+а • |Л|“ ; (18)

і

\/3\< J ( і , в, Х + h , z ) Z ( в , г , г , ^ ) к г

і-\к\2Ь Еп

і

<

+А ь ] ^ і К(І,Т ,Х ^ ) ! ( т ’^)^

0 ЕпіГ Г р-ср(і,т,х+к,І]+ р-ср(і,т,х,£]

<С І! Іа \Щ\а кт --------- ^ \п /2Ь---------- ^ <

+ К (і, в , х, z ) Z (в, т, z, ^)dz

і-\к\2Ь Еп

(і — т)п/2Ь< 0 Еп

< С І! Іа • і • Щ\‘ (19)і

С кв(і - в )

2Ь-а2Ь

X

зЕп

і-\к\2Ь' р-сір(і,в,х+Ь,х] + р-с1р(і,в,х,х] р-ср(Р,г,г,£]

А Ч кТ] Е ( І ’ Т’ Х’ О Н(Т’ 0 ’ )к^0 Еп Еп

і

<

(і — в) (в г Ь < < с М 2ь+« т а т* ,‘ р-ср(і,т,х+Н,£]+р-ср(і,т,х,£]

С нп ) 2Ь

р-ср(і,т,х+Н,£] + р-ср(і,т,х,І](і — Т)

На основі оцінок для І \ , І 2 ,13 та (14) остаточно одержимо:

Д кН (і,Т ,Х ,С) | <

Щ

х

0 Епр-с(1-є]р(т,0, ,г]

пТ 2Ь

(і — Т) 2Ь

dzd£dт <

■х

Еп2Ь + а

< С ІфІ2Ь+а • І 2Ь • Щ (20)

С(і — т)

р-ср(і,т,х+Н,£] + р-ср(і,т,х,£] (15)

З нерівностей (17)-(20) випливає, що у задовольняє умову Гельдера з показником а , тобто правильна оцінка

Д ля приросту резольвенти матимемо анало- і д у(і Х) \ < \ Д Х\а ^С\ + С2 \р\2Ь+ + С гічну оцінку

3\! \а

С І Чп ) 2Ь

Д хкЯ(і,т,Х,С)| <

р-ср(і,т,х+Н,£] + р-ср(і,т,х,І] (16)(і — Т)

убражається у вигляді (7), є гельдеровою за

х /припущенням, тобто

Ч х / ( і , х ) \ < С \А х \а .

Використовуючи нерівності (15) та (16), оцінимо прирости наступних доданків:

Тепер встановимо оцінки для ФМР (9) та її похідних. Д ля Л маємо оцінку (5). Оцінимо похідні об’ємного потенціалу в (9), пе- репозначивши його через Ж. За лемою про диференціювання об’ємного потенціалу [З, с.68] молодші похідні знаходяться безпосереднім диференціюванням під знаком інтеграла, а старші похідні за рахунок гельдеро- вості резольвенти Я вираховуються за спе-

(17) ціальними формулами:

Б 2хЬШ (і,т,Х,£) =

Д х Н(і , 0 ,х Д ) Д £ )%

Еп

іі< у Д Н\\<р\% <

Еп= у <ів] Л Z

т Еп


і

і

а

+ J d f t j D x Z( t . в , x, z)[R(e, t , z, £) —ti En

—R(e, t , x , £)]dz + dp [DXbZ(t, в , x —z, z ) —ti En

В А 3 спрацьовує гельдеровість фундаментальної матриці розв’язків Z по четвертому аргументу:

іГ Г е—Ср(і,в,х,г) е—Сп0р(в,т,х,()\Аз\< С ї в \x—z \а --------- — ----------— dz<

ti En

—DXbZ ( t ,P ,x — z , y )] R(P ,T ,x ,£ )dz+y=x < C

( t - - в ) - (в — t )

e—Cv0 p(t,r,x£), ч n — 2a '(t — t ) —

n-a2b

+ d U D X bZ (t , P , x — z. y) R ^ . T . x . U z = На основі властивостей ФМР Z A 4 = 0.y=x

ti En

Ai + A 2 + A 3 + A 4.

Оцінка A 1 одержується одразу з оцінок (5) та (12):

Отже,і n +1 k\—a — 2b /1 /-\

\Dkx W(t, t , x , £) \ < C ( t—T)---- -------- e-cp(t,T,xA .\k\ < 2b. (2 1 )

\Ai\ < Co- 0p(t,T,X,£)

(t — T)n-a2b

ПравильнаТеорема. Нехай систем,а (1) рівномірно

параболічна, коефіцієнти систем,и А к (ї ,х) визначені в шарі А, неперервні по ї, причому рівномірно щодо х при \к\ = 2Ь, А к є

А 2 о ц і н ю є т ь с я за рахунок нерівномірної С ^ Ь А ) . Ядро інтегрального оператора си- умови Гельдера (16) резольвенти Е по тре- стеми К = (К ^)^ 1=1 є С ^ ^ А ) , має сумов- тьому аргументу:

і, Г e—cp(te,x,z) \x z І a\ A 2 \ < C и в I ----------^ - k ------U x

ну особливість, тобто

\DmKij( t .T ,x ,£ ) j< Cm

X

(t — в )*№ (в — T)

dz

e-cip(t,T,x,0, s n + 2b+\m\-a(t — T) 2b

ti E

e-cp{y,T,z, ) + e-cp(y,T,x ,0

\m\ = 0 . 1 ;

\ U K \ < C\Ax\

, v n+2b(t — t)—e—cip(t t , x+Ax, 0+g-cip(t, t, x, £)

<d в f e-(c-e)P(t,e,x,z)

j (t — в ) j (t — в )ti En

■X

е-ср(в,г,г£) + е-ер(в,г,х,І)х тд------ГЕ----------Лг,

{в — т)

де ми скористались очевидною нерівністю

е~‘р(’т ) < С V ' є > 0 ■

Далі, застосовуючи лему про оцінку об’ємного інтегралу і користуючись тим, що в — т > ; остаточно одержимо

Тоді існує ФМР Г(і, т, х, І) системи (1), яка при і > т задовольняє однорідну систему, а розв’язок задачі Коші для неоднорідної системи за, умов р Є С (2Ь+а'){Еп), / є С ^ І А ) визначається, сумою потенціалів

и Х Ь ^ Щ ' о м і )Еп

і

+ / Г{к т' х ' і ) / {т ' і) л і '0 Еп

де

r ( t , T , x , 0 = Z ( t ,T , x . 0 +

\ A 2 \ < ce-cp(t,T,x,£)

n-a2b

+ J d ^ Z( t . в . x. z )R(P, t , z .£) dz = Z + W.

T En(t - r )


t

t

t

a

t

Т у т Я - р е з о л ь в е н т а в ід п о в ід н о ї с и - В силу асоц іативності оп ератора згортки

H ***Z = (Z **K )**Z = Z **(K **Z ) = Z **H,стеми інтегральних рівнянь Вольтерри- Фредгольма 2-го роду, повторні ядра якої виражаються через згортку інтегрального томУ ^оператора К системи (1) та, ФМР Л відпо- ш * = Л * *Н1 + У Д Н * 1 * *Л) * *Н 1

=-Д л я похідних об’ємного потенціалу Ш р озглянемо

правильні оцінки (21). Н *-1 * *Л =З а у в а ж е н н я . Якщо розглянути інший = ^((Н * * *Н*) * *Н*) * * • • • * *Н*) * *Л =

підхід до побудови ФМР задачі Коші для 4--------------------- ^ 'вихідної системи інтегро-диференціальних и-ірівнянь (1)-(2), а саме: взяти за неоднорі- = Л * *{Н і * * (Н і **••■* *(Ні * *Н і )■)) =Д Н ІС Т Ь СИСТ0М И і/—1

} г = Л * *Н„-і.J d^ К ( і , Т , х ,С)и(т,С)^ + / ( і , х ) , Отже0 Е'

Г

Г*( і ,т ,х Д = Л (і , т , х Д )+і

-м гсг*W * = Z * * Щ + J ^ i Z * *HV_і ) * *Нг =

ГС v=2

Z * *(Ні + ^ ' H v_і * *Н і ) = Z * *R = W.v=2

0 En

+ J dß J R (t , ß , X, Z)Z (ß , T, Z, ')dZ = Z + W ’ Тоді розв’язок задачі Коші (1)-(2) за умов т еп теореми зображається у вигляді

де _ u (t,x ) = / г * ( і , 0 , х ,С)р (£) Д +R*(t , T , x ,c н Х ! H *( t ,T ,x ’0 , t En

t . + [ d,T f T*(t , T , x , O f ( t , 0 d£.H*v( t , T , x , 0 = J d ß J H * H * _ i d z , v = 2, 3,..., 0 En

т En СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ- резольвента системи інтегральних рівнянь 1. Вольтерра В. Теория функционалов, Вольтерри-фредгольма 2-го роду интегральных и интегро-дифференциальных

уравнений,—М.: Наука, 1982,—304 с. f f 2. Ландо Ю.К. Элементы математической те-

u( t ,x ) = F(t , x) + I dT І H * (t, T, x, 6 )u(t , £)d£ ории управления движением.—M.: Просвещение,1984.-88 с.

3. Эйдельман C.Д. Параболические системы.— 3 ядром М.: Наука, 1964,— 444 с.

t 4. Фридман А. Уравнения с частными производ-H * (t T x б) = I dß I Z (t ß x z ) K (ß t z 6 )dz ньіми параболического типа.—М.: Мир, 1968.-427 с.

’ ’ ’ J J ’ ’ ’ ^ Ладыженская O.A., Солонников В.А., Ураль-т En

параболического типа,—М.: Наука, 1967.— 736 с. Покажемо, що W W , а значить Г Г. g Ивасишен С.Д. Матрица Грина параболи-

Wсимволічної згортки: 7. Матійчук М.1. Параболічні сингулярні кра

йові задачі.—K.: Ін-т математики ПАН України, W * = R * * * Z = (H* + £ H*_1 * *H*) * *Z = 1999,- 176 с.

v=2 8. Гельфанд И.M. и Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений (Обоб-

= H* * *Z + У (H * і * *H*) * *Z щенные функции, вып. 3).—М.: Физматгиз, 1958.—V=2 ’ 274 с-


УДК 517.956

© 2 0 0 7 p. І.М . Д овж и цьк а, І .Д . П укальський


Н Е Л О К А Л Ь Н А ЗА Д А Ч А З КОСОЮ П О ХІДН ОЮ ТА ЗА Д А Ч А О П ТИ М АЛЬН О ГО К Е Р У В А Н Н Я Д Л Я ЛІН ІЙ Н И Х П А РА Б О Л ІЧ Н И Х

РІВ Н Я Н ЬУ гельдерових просторах доведено коректну розв’язність задачі з косою похідною та

інтегральною нелокальною умовою за часовою змінною для рівномірно параболічних лінійних рівнянь. Знайдено оцінку розв’язку задачі у відповідних просторах. Розглянуто задачу вибору оптимального керування системою, як а описується нелокальною задачею з косою похідною з обмеженим внутрішнім і крайовим керуванням. Функціонал якості задається об’ємним інтегралом.

We prove the well-posed solvability of a problem w ith skew derivative under an integral nonlocal condition on a tim e variable for uniform ly parabolic linear equations in Holder spaces. Besides, we estim ate solutions of the problem in the corresponding spaces. We consider also a problem of choice of an optim al control for a system which is described by a nonlocal problem w ith skew derivative and w ith bounded interior and boundary control. The quality functional is given by a volume integral.

Необхідність оптимального керування процесами, що описуються рівняннями параболічного типу, виникає при розв’язанні багатьох прикладних задач, зокрема при дослідженні процесів нагрівання й охолодження масивних елементів конструкцій, поширення полів температури або концентрації.Вивчення таких задач проводилося в [1 - 3].

Дослідженню коректної розв’язності першої крайової задачі з нелокальною інтегральною умовою за часовою змінною для параболічних рівнянь другого порядку, які вироджуються за сукупністю змінних, присвячено працю [4].

У цій статті встановлено необхідні та достатні умови оптимального керування системою, яка описується задачею з косою похідною та нелокальною інтегральною умовою за часовою змінною у випадку обмеженого внутрішнього і крайового керування, з критерієм якості типу об’ємних і поверхневих інтегралів.

Постановка задачі та основні обмеження. Нехай D - обмежена випукла область в R™ з межею dD. В області Q =(0 , T ] х D розглянемо задачу знаходження функцій u ( t , x ,p ( t , x ) ) та p(t ,x ) , які реалізу-

ють мінімум функціоналу

т

І (Р) = І а , х , ї ї )& (і)о э

у класі функцій

V = {р( і ,х ) : р(Ь,х) Є С (а](Я),

Фі(ь,х) < р(г,х) < ф2^ , х ) } ,

де и( і ,х ,р ) є розв’язком нелокально'! крайової задачі

, . du ґ ч д2пLu( t ,x ) = — - aij(t , x )

dt ^ J дхідх.i,j=i

du- У a i ( t ,x ) ao(t,x)u = f (t , x , p ), (2 )

i=l dx.

T

u(0,x) + J q (r ,x )u(T ,x )dr = p(x), (3)0

Bu(t, x)n du

У bk(t, x) — +bo(t, x)uГ \ k=l k

= g ( t , x ) , (4)Г


Г = ( 0 ,Т ) х д Б , ї ї = (и ,иХ1 , . . . , и Хп ,р) = де у(Ь,х) - розв’язок задачі з косою похі-

= (ио,Щ, . . . ,ип,ип+і). ДНОЮ

Нехай для задачі (1) - (4) виконані умови: (Ьу)(Ь,х) = / і (Ь,х),у(0,х) = <р(х),а) аіу Є Са(0 ) , аі Є С а ^ ) , і Є ( в )(' ) = )

{0 , 1 , . . . , п} і для довільного вектора £ = ( в у ) ( і , х ) \г = g(t ,x) , (7)(£ і , . . . , £п) виконується нерівність Е(Ь, х, т, £) - функція Гріна однорідної кра

га нової задачі

^ < Е (ЬиКі ' Х) = = Ф ) ,

™ (Бу)(г ,х)\г = 0 . (8)2 _ С2.п ь п2 - фіксовані додатні сталі, |£12 = > £і2; „ • ч ч ,і

т дачі (7) існує і для нього правильна оцінка

б) д Є С 2+a(Q), J \д(т,х)\ їт < М < б \и\С2+а{я) <

Ьк Є С 1+а(Г), к Є { 0 °1 ,... ,п}, д Б є С 2+а, < с(\їі\с«(я) + \<р\с2+до) + \д\с1+а(г)) . (9)т Задовольнивши нелокальну умову (3),

то І ґп , [ ( \ ( одержимоБр\хедо = д ( 0 , х ) + д(т, х)д(т, х)ат,О т0 т

£ Ьк(г.ху дди і дхкк=1

и(0 ,х) + & Е(т,х, 0 ,Є)и(0 ,Є)д(т,Є)іїЄ == 0 ; 0 І

г тв) функції / {Ь, х , р{Ь, х )) = ї і (ь, х ) , р (х), = _ Г ( ) ( (10)

д(Ь, х) як функції (Ь, х) належать відповідно = / д(т,х)у(т,х) т. ( )просторам C a(Q), С 2+а(Б), С 1+“ (Г); о

г) функції Б (і , х , ї ї ї / ( ї , х , р ) мають Розв’язок інтегрального рівняння (10)гельдерові похідні другого порядку за аргу- шукаємо методом послідовних наближень.

иі рних (ь,х). наближень мають вигляд

Існування та зображ ення розв’язку тзадачі (2) - (4). Розглянемо в області Q и 0 (0,х) = - д(т,х)у(т,х)їт = Б(х),

оорема.

Теорема 1. Нехай виконуються умови Т па) - в). Тоді існує єдиний розв’язок зада- ик(0,х) = Б ( х ) + їт д(т,х)Е(т,х, 0 ,£ )хчі (2) - (4 ) у просторі С 2+а ) г для нього 0 ісправджується оцінка х Щ-і(0 ,£ )д£,к Є {1} 2 , . . . }.

\и \с2+а(я ) < Оскільки Е(Ь,х,т,£) > 0 0 <

< с ^ М с ^ ^ ) + \<р\с2+а(о) + \д \с1+а(г)) . (5) [ е (Ь,х,т,£)а£ < 1, тоДоведення. Розв’язок задачі (2) - (4) о

шукаємо у вигляді

и (і , х) = І Е Х х , о . о л и ж + Ф х ), (6)І

т

І лт] г‘ (т,х)Е (т,х’0 ,е )ае0 І

<


т

< / \д(г, х)\йт < М.* ї і ( в , у)Лу + у С і (т, х ) 0 , у ) ^ (у)Уу+

Тому, оцінюючи різниці між послідовними наближеннями, одержимо

\ии(0 , х) — ии- і (0 ,х)\ < М к\v\cQ).

+ у dp j С 2 (т, х , в , у ) д ф , у)Уу0 до

де (Оі , О 2) - функція Гріна задачі (7) із [5], і змінивши порядок інтегрування, отримуємо

Отже, розв’язок інтегрального рівняння (10) зображається рівномірно збіжним фун- Т />кціональним рядом и(0 ,х) = dт Г l (T ,x ,т ,£ ) f l (т,£)d£+

те 0 ои(0 ,х) = Т (х) + ^ ^ ( и к (0 ,х) — Пк- і (0 ,х)) г

к=1

і для нього справедлива оцінка

М\и (0х ) \ < 1 _ М ^\с(Я)- (11)

Встановимо формулу зображення дЄ розв’язку задачі (2) - (4). Враховуючи обмеження М < 1, визначаємо розв’язок інтегрального рівняння (10) у вигляді

+ J г і (Т , х , 0 , 0 ^'(£,)^ + о

т

+ / іїт J )у (т, Б,о дэ

т

г j ( Т , х , т , 0 = І Ы в , х ) С2 ( в , х ,т ,С) +

и (0 , х ) = Б (х ) + К (х, у ) Б (у)Уу , (12) ,Э + R (x , y )q(/3,y)G j (р , у , т, С Є { 1 , 2 } .

де R(x, у) - резольвента, яка задовольняє інтегральне рівняння

т

Щ х , £ ) ^ У q(т,x) E (т,х, ° , № =о

т

= - ! q(т,x)dт J Е (т,х, 0 , у Щ у ,€ № у , о о

звідки отримуємо оцінку

МЩ х , у ^ у < 1 М

о

Поклавши у рівність (12) замість Б (у) значення

т

Б(х) = — J q(т, х) о

J dв J G l (т,x, в , у ) х о о

ои(0, х)

невий інтеграл рівності (6) і змінивши порядок інтегрування, одержимо зображення

І

и Х х ) = ! * 1 ° (і , х , т, Є ) М т , № +0 о

+ 1 Оі (^,х) ° ’ ^ )^ (^ )^ +о

І

+ I dт J О2(і,х,т, £)д(т, £)dzБ+0 до

т

+ / ^ J г і (і , х ,т, 0 Ь (т, £№ +0 о

+ ! г і (і , х , ° , & ф(£№ + о


Т

Т

0 dDде

Т г Якщо функція Н(Ь,х, ї ї , X) є спадною за+ І dт І Я2(г,х,т, 4)д(т, 4 ^ Б, (13) аргументом р для р Є V, то оптималь

ним є керування р0 = ф2(Ь,х), а оптимальним розв'язком задачі (1) - ( 4 ) єи ° ( і , х ,р ) = и(Ь,х,ф2 (і,х)) .

Д о в е д е н н я . Нехай А р - деякий допустимий приріст керування р°(і ,х) . Позначимо через А и приріст функції и(ї, х, р0) . Тоді А и в області Q буде розв’язком крайової задачі

Zj (t , x , T, 0 = E ( t , x , 0 ,У)Г3(Т ,У,Т, 0 dy,D

j Є { 1. 2 }.

Враховуючи оцінки функції Гріна E ( t , x , 0 , 4,) і співвідношення (10), маємо

\u( 0 ,x) \a 2 + a(D) <

< c(\f l \oa(Q) + M c 2+“(D) + \^\с1+“(Г))- (14)

Тоді, враховуючи зображення u(t, x) формулою (6) і оцінку (14), одержуємо нерівність (5).

К р и т е р ій о п ти м ал ь н о ст і р о з в ’я з к у за д а ч і (1) — (4). Позначимо через

T

X(t,x) = [ dr І ( D U0 F (т,4, ~u°)Gi(r ,4 ,t ,x ) +

(LAu)( t , x) = f (t, x , rp°(t, x) + A p ) -

- f ( t , x ,p°(t , x)) = A f ( t , x , p).T

A u (0 ,x ,p ) + q(T ,x)Au(T ,x ,p(T ,x))dT = 0,

(16)

(BAu)( t , x) 0 .

За допомогою формули Тейлора знаходимо приріст функціонала I (р):

T

A I = dt0 D

DuiF(t, x, ї ї ,p )Aui+i=0

D

+ D UiF (т’ 4 1 1 0)Dii G 1(T’ 4 t ’ x n d4++DPF ( t , x , ~u ,p )Ap+O(\Ap\2)+ O (\Au \2) dx.

i=1

T

+ J dT J I Du0F ( t ,4 , 11 ° )Z i(T ,4 , t ,x ) +t D ' n \

+ ^ 2 D uiF ( t , 4 , 1 0)Du z i ( t ’4 t ’x ) ) d4, i=1 J

(17)A u

використавши формулу (13), одержимо

A u ( t ,x ,p ° ) = J dT J G 1( t ,x,T, 4)х0 D

T

H ( t , x , 1 , \ ) = F ( t , x , 1 ) + X ( t , x ) f ( t ,x,p). x A f ( t ,4 ,p°( t , 4))d4 + dT Z 1(t ,x ,T, 4 )х0 D 0x A f ( t , 4 ,p 0(t, 4))d4

dT D XiG 1(t ,x,T , 4 )x

Сформулюємо необхідні та достатні умови оптимальності керування р(і ,х ) .

Правильними є наступні теореми.Т ео р ем а 2. Нехай виконуються умови А и . = А и

а) - г). Тоді, якщо функція Н (Ь,х, ~и , \ ) єр

для р Є V, то оптимальним, є керуванняр° = фі (і ,х) , а оптимальним розв’язком за- x А f (т,4 ,р°(т, 4 ))d4 + / dт / Б х. Яі (і,х,т, 4 ) х дачі (1) - (4 ) є и°( і ,х ,р ) = и ( і , х ,ф і (і,х)) .

0 Dт

28

0 D


г

t

х А / ( т , £ , гр°(т,£))а£,і Є { 1 , . . . , п } . (18) 2) для довільного ненульового векторатт- ґ-ч-,\ ■ ■ ~У = (у0 , . . . ,Уп,Уп+і ) і (Ь,х) Є Q виконує-Підставляючи (18) у (17) і змінюючи по- у і у 'ться нергвнгстьрядок інтегрування, знаходимо

п+іТ „ и ТЛ2К (t,x, ~у ) = Y D liUjF l u °)yiyj+

А ї ( р ° ) _ J ді ! ОрИ(Ь,х, ї ї ° ) А р д х + і ^ =0

0 І + К І , х )° 1 р І (і , х ,р°)у2а+1 > 0+ 0 (\А и \2). (19) Д о в е д е н н я . Д о с т а т н іст ь . Доведення

Якщо р р0 (Ь х) і И (Ь х ї А) задоволь ДЗ<ної теореми проведемо, використовуючиняють умови теореми 2, то при досить малих метоДикУ доведення теореми 1 із [6]. НехайА р А ї > 0

Нехай ' р°(Ь,х) - оптимальне керуван- Функціонала за формулою Тейлораня, тобто А ї > 0. Перевіримо викона- тння умов теореми 2. Якщо И (Ь,х, !и , А) а ї (р0) _ дЬ

рОрИ(Ь, х, ~п , А) - знакозмінна величина, тобто ОрИ (Ь,х, !и,А) > 0 в Q+ С ^ і і іОрИ(Ь,х, ї ї , А) < 0 в Q - _ Q \ Q +. Вико- + 2 К (Ь ,х >А и ) + 2 К *(Ь,х> А и ')риставши теорему про ’’середнє“ значення,

0 DDpH(t, x, ї ї 0, А)Др+

маємо: деn+1

f+ ^ + I I — TSU ~ А„Л _ \ Л n 2Д І = DpH (t+,x+, ~u+, \ +) J J Д p d t d x - К (t ,x, Ди) = Y D l iUj F (t ,x, ~и0) Д щ Д и з +

Q+

- \ D pH (t , x , и ,X )\ J J Дpdtdx+

Q-

+ J J ( й ( \ Д гр\2) + O(\Дu\2))dtdx.

QПри досить малих Др м а к Д І визначає-

i,j=0

+X(t, x )Dl p f (t , x , p0(t, x ) ) ^ p )2,n+1 0

K *( t , x , Ди) = Y D v-iUj( F ( t , x >u )i,j=0

—F(t, x, l ï ° ) ) A u i A u j + X{t, x) x

x D lp{ f {t, x ,p{t ,x)) — f ( t , x ,P0 (t , x) ) ) (^ P )2 ■

ться першими двома членами суми. Різниця Позначимо 5{t,x ) = _mf K {t,x , y ) . За умо-перших двох доданків з ш т е знак в зале- вою ^ маємо, що 5{t,x) > 0 для всіх (t ,x) Єжності від величин mes Q + mes Q , Ар. При q Тодідосить малій mes Q+ і А р > 0 маємо А І < 0 інавпаки А І > 0, якщо мала mes Q і А р > 0. K ( t , x , Au) > ô{ t ,x )\Au\2. (20)

Використовуючи умови гельдеровостіОтже, функціонал не досягає мінімуму.

Т ео р ем а 3. Нехай виконуються умови . .> > . » . ТТ/. —> лч других похідних функцій F (t ,x, u ) таа г г функція H (t ,x, и , X) не є моиотои- 1/ , у '„ - f (t, x, p), знаходимоною за аргументом p. Д л я того, щоб керування р° і відповідний розе’язок u°(t ,x,p°) K * ( t , x , An) < C \Аи \2+а. (2 1 )крайової задачі (2) - (4 ) були оптимальни-

Apвалися умови: , \ і/а

1) функція, H ( t , x , ~и , X) за аргументом p \ A u \ < | — 8 (t x)мае в точці p° мінімальне значення; \ 2с


одержуємо оцінку

т

А І ( гр°) > 4 ! dt J 8 ( t , x ) \А u \2dx > 0. о э

р0

шев Q + шев Q - : при достатньо малійшев Q - АІ(р°) > 0 . Отже, при знакозмінній формі К(Ь,х, Аи) функціонал не досягає мінімуму.

Існування (и°,р°) встановлюємо наступним чином.

0\ гт Нехай р 0(г,х) - оптимальне керу-оптимальне, тобто А І ( р ) > 0. Якщо при- гр • п тти —>0 \\ п’ _щ0' / 0 вання. годі и рН (і ,х, и , X) = 0 тапустити, що ОрН (і ,х , и ,Х) = 0 , то А І ( р ) В 2 Н ( і , х , — 0 Х ) > 0- Застосовуючи те-змінюватиме знак в залежності від знаку і. . . л J орему про неявну функцію до рівнянняА ркціоналу І(р) в точці р°. Записавши приріст А І у вигляді

т

А І = dt [БрН (і ,х ,и°,иХ,р° + 9Ар)Ар+

+ 0 ( \ А и \ 2) ^ х ,

бачимо, що ПрН > 0 при р > р° та В РН < 0 при р < р°. Тому в точці ро функція Н досягає мінімуму.

Якщо К ^ , х , Аи) < 0 в області Q, то за умовою 1) одержимо, що А І < 0 , що неможливо.

Нехай К , х , Аи) > 0 в облас ті Q+ С Q та К х, Аи) = — \ К ^ , х, Аи)\ < 0 в області Q - = Q \ Q +. Використовуючи теорему про

А І

А І р )

+

я -

я

J ! К ^ , х , А u )d td x—

я+

\ К ^ , х, Аu) \dtdx+

К * , х, Аu)dtdx =

= К ^ +, х +, А и +)шев Q+ — \ К ( Г , х - , А и - )х

хшев Q- + ! J К * ^ , х , Аu)dtdx.

Я

При достатньо малому А р м а к АІ(р°) визначається першими двома доданками. Різниця цих доданків змінює знакА І

В РН ^ , х, и ,Х) = 0,

одержуємо, що існує така диференційовна за и та за А функція Ш ^ , х, и° ,и^,Х), що

р° = Ш ^ , х, и°,иХ,А).

Використовуючи зображення (13) та (15), ставимо у відповідність задачі (1) - (4) систему інтегральних рівнянь

иі^ р° ) = ! < * « ’ * ' 0 в * ® * +в

і

+ ! dт J G l (t,x,т, ®)х 0 э

* 1 (т,®,Ш (т,®,и0 , и 0°, А т +

і

+ I dт J G2(t,x,т, ®)д(т, ®)di Б +0 дэ

+ ! г в , х , 0 , 0 * (0 ^ + э

т

+ ! dт J Z l (t,x,т, ®)х 0 э

* 1 (т,®,Ш (т,®,и0 ,и 0°, А т +

т

+ / & J Z 2 (t,x,т, 0 д(т> Б0 дэ

и В , х / р ° ) = ! в тО і ^ , х , 0 , £ ) * ( £ № + э

зо Н ауковий вісник Чернівецького університ ет у. 2007. В ипуск 349. М атематика.

+ у у В х0 і (г ,х ,т ,е)^0 І

х I (т,ф,Ш (т,е,и°,и°°,А))де+

і

+ I дт ! О хС 2(Ь,х,т,е)я(т,е)д$Б+0 дІ

+ У в т 1(ь, х , 0,е )^ (е)дС+І

т

+ ! дт J Б х2 і(г,х,т,Є)х0 І

X I (тф,Ш (т,Є,и°,и°°,А))дЄ+

т

+ / д^ ° хг 2 (г,х ,т ,е)д (т,е )д(. Б,0 д І

т

и(Ь,х,р(Ь,х),т(Ь,х)) та (р(Ь,х),т(Ь,х)), які реалізують мінімум функціонала

т

1 ( р , г ) _ І й } р « , х , 1 )<Ь+0 І

т

+ J дЬ ^ Б2(Ь,х,и,т)дхБ0 дІ

у класі функцій

VI = {(р,т): р Є С а^ ) , т Є С 1+“ (Г),

ф1(Ь, х) < р(Ь, х) < ф2(Ь, х), т1(Ь, х) < т(Ь, х) < < Т2( і , х ) ,ф і ,ф 2 Є С а^ ) , П ,Г2 Є С 1+а(Г)},

де и(Ь,х,р,т) є розв’язком нелокально!' крайової задачі

ди ФЧ д2и(Ьи)[ і ,х) = — - ^ аИ(Ь,х)дЬ ^ ~>%і> ' д х ідхі

і,3=1

ди- афі,х) — - аа(і, х)и _ I ( і , х ,р ) ,

А(Ь, х ) _ дтІ

і=1

БиБ(т,Є,и ,и ? т

и(0 ,х) + д(т, х)и(т, х)дт _ <р(х),

Ш(т,Є,и ,и^, А))Є1(т,Є,Ь,х) +(Ви)(Ь,х)\г =

+ О щ Б (т, Ф и° , и \ , Ш(т, е , и° , и0 , А) ) х ьк(Ь,х)д— + Ь0( і , х )иі=1 к=1 к

_ д (Ь,х,т)-

х П іі С і (т, ф і ,х)

гСП И С О К Л ІТ Е РА Т У РИ

дф+

т

Ч дт]і І

1. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионны ми процессами. - М.: Наука, 1978. - 463 с.

2. Лионе Ж .-Л . О птимальное управление си- О и Б ( т , Є , и ° , и 0 , Ш ( т , Є , и ° , —0, А ) ) х стемами, описываемыми уравнениями с частными

производными. - М.: Мир, 1972. - 614 с.3. Лурье К.А. Оптимальное управление в зада

чах математической физики. - М.: Наука, 1975. - 478 с.

4. Пукальський І .Д. Н елокальна задача Діріхле для лінійних параболічних рівнянь з виродженням / / Укр. мат. ж ури. - 2007. - 59, N 1 . - 0 . 109 - 121.

д ф (22) 5. Матійчук М.І. Параболічні сингулярні крайові задачі. - Київ: Інститут математики НАН У країни 1999 — 176 с

Р о з в ’я з о к с и с т е м и (22) з н а х о д и м о м е т о - а Пукальский а д > Мати йч ук М.И. О приме

нениях функций Грина параболических краевы х за-

xZ l (т ,е , t , x ) + ^ ОщБ(т, ф, и0, и°і=1

Ш(т,Ф и ,и ( ,А))Ой Z l (т,Ф t ,x )

дом послідовних наближень.Аналогічні результати мають місце при дач к задачам оптимального управления / / Укр.

дослідженні задачі знаходження функцій мат- ж ури. - 1985. - Т. 37, N 6. - С. 738 - 744.

і


УДК 517.956.4

© 2 0 0 7 р. С .Д .Івасиш ен, Г.П .Івасюк

Чернівецький національний університет ім. Ю .Федьковича, Чернівці

ПРО ВЛ А С ТИ ВО С ТІ Ф УН ДА М ЕН ТА Л ЬН О Ї М АТРИ Ц І Р О З В ’Я ЗК ІВ ЗА Д А Ч І К О Ш І Д Л Я 26-П А РА Б О Л ІЧ Н И Х СИСТЕМ

Встановлені деякі нові властивості фундаментальної матриці розв’язків задачі Коші для 26-параболічних систем.

Some new properties for the fundamental matrix of solutions of the Cauchy problem for 26- parabolic systems are investigated.

26-параболічним системам рівнянь із частинними похідними, які означені С.Д.Ейдельманом [1, 2], присвячені праці ряду авторів. Одержані для таких систем результати підсумовані в монографії [3], в якій наведена детальна бібліогріфія відповідних праць. Зокрема, в цих працях досить детально досліджена фундаментальна матриця розв’язків задачі Коші (ФМ РЗК) та наведені різноманітні застосування цієї матриці. У даній статті встановлені деякі властивості Ф М РЗК для 2Ь-параболічних систем, які до цього часу були невідомими. Аналогічні властивості для параболічних за Петровським систем доведені в [4].

Нехай и, N ЬІ5 . . . , Ьп - задані натуральні числа, Т - задане додатне число. Використовуватимемо такі позначення: 2Ь := (2Ь1;. . . , 2Ьп); Ь - найменше спільне кратне чисел Ьц . . . , Ьп ; т 0 := 2Ь, т := (т 1, . . . , т п),т := Ь/Ьз, і Є { 1 , . . . , и Ь Яз := 2Ьз/ (2Ьз — — 1 ) і Є { 1 ,. . . ,и}, - сукупність усіх и-вимірних мультиіндексів а := (а 1, . . . , а п), Ж++1 - сукупність усіх (и+1)-вимірних мультиіндексів а := (а 0,а ) , де а Є П я :=

{(г,х) Є Е п+1 г Є Н, х Є Е п}, де Н С Е; і - уявна одиниця. Д ля а Є ГЕ \ покладе-

мо а aj, a дл я а Є Z+3 = 1

Iа ! := ; m j a j-j=0

Зважаючи на нерівноправність змінних Х\, . . . , х п у 26-параболічних системах, використовуватимемо таку спеціальну відстань між точками х і у із Е п:

1/2p (x; у ) І > 3 - Уз\2/m> (1)

j=1

Властивість гельдеровості функцій буде розумітись відносно відстані (1). Так, функція / : Q ^ С, де Q деяка множина точок (і ,х) є к п+1, називатиметься гельдеровою за х рівномірно щодо і з показником \ є (0,1) в якщо існує така стала Н > 0, що для довільних {( і ,х ) , (і, у)} С Q справджується нерівність

\/ ( і , х ) - / ( і , у ) \ < Н(р (х ;у ))Х-

Розглянемо систему N рівнянь вигляду

Ь ( і , х ,д і ,д х)п( і ,х) :=

( ї в , - £ «V \\а\\<2Ь

aa ( t ,x )d<a \u ( t ,x ) = f ( t,x) ,

( і ,х) є П(0)Г], (2)

де I - одинична матриця порядку N аа, | |а | < 26, - матриці розміру N х N п := со1(пі, . . . , п м ) і / := со1(/і,.. . , / м )•

Припускатимемо виконаними такі умови: (А1) система (2) рівномірно 26-параболічна

в п [о,т] [1 ^3 ];(А2) коефіцієнти аа , ||а || < 26, обмежені, не

перервні за і (при N > 1 неперервність


за і аа з ||а || = 2Ь рівномірна щодо З „ пх є Е п) і гельдерові за х рівномірно + № В ’ ^ ,п ] ( 0 , у )уз 1 БУ, (5)щодо і з показником А в П[0 ^^ ^ Г ’=1

(Аз) існують похідні д%аа, ||а || < 2Ь, які єобмеженими, неперервними за і і гель- ле (^ і , . . . , їп ) - орт зовнішньої нормалі додеровими за х рівномірно щодо і з по- межз Г 'казником А в П[оТ]. З а у в а ж е н н я . Д ля вектор- чи матриць-

На підставі умови Аз для системи (2) Функцій п і таких, що вирази В \ и М (0, у )існує спряжена за Лагранжем система 3 є { >.. ■> п } '' Досить швидко прямують до

нуля при \у\ ^ то, з формули (5) випливаєЬ*(т,£,дт ,д? )у(т,£):= формула

9тУ(Т , 0 — ^ 2 ( — дІ )а(а'а (т,0 к (т,0 )*2

= —дт V чіиі <26

9 (т , 0 , (т, 0 Є П [0,Т), (3)

J 90 J (і їЬи — (Ь*V)'и)(0,у)9у =іі Кп

де риска над аа означає комплексне спря- = (у'п)(і2 , у )1 у — (у'п )( і1, у ) 1у, (6)ження, а штрих - транспонування матриці. 9 9

у ° мп мпВикориставши формули для виразів Ь і

Ь* із (2) і (3), одержимо таку диверген- а 3 неї’ в свою чергУ’ випливає, що якщо, тну рівність для будь-яких досить гладких кр*м ТОГО’ п 1 ь ~ розв язки відповідно рів- вектор- або матриць-функцій п і V відповід- нянь Ьп = 0 і Ь ь = 3 то інтеграл них розмірів:

(^ и ) (і , у )йу

V Ь п — (Ь*v)u = ді(V'п) + 2 дХ:іВ ’ [V,п]. (4)з=1 не залежить від і.

А 1А3 для системи (2) існує Ф М РЗК Z з такимивластивостями.

В ’ [V, п] := — У У (—дХі)аі х 10. Д ля матриці Z справджуються оцінки/ у у У ^Хі,0<\а\<26 Vj=0

аз-К — Я УУзп',х . . . (—дх-і)) - (—дХ]) j ( у ' а Ж І '

х д Х + . . . дХпи , і Є { 1 , . . . , и } ,

( г ,х ; т , с) | <

< С (г — Т )^- (м +\\а\\)/(2Ь)Е с(і — Т,х — Д

Х :т ’ ” Хп . ’ ’ ’ ’ ’ . 0 < Т < г < Т, {х ,£ } С Е п, ||а || < 2Ь, (7)де при аз = 0 відповідна сума дорів-нює нулю. Інтегруванням рівності (4) по с > з > з м V"' Е (і )[і1, і 2] х П, де і 1 < і2, а П - область у ДЄ ’ с ’ ' - т ’ с , хпросторі Е п з кусково-гладкою межею Г,

/ У "з і3=о

Остроградського:

І2

одержується така важлива формула Гріна- ехр ^ — с ^ Д 1-9і\х’ Д

20. Ф М РЗК Z є нормальною, тобто ма-триця

90 (V'Ьп — (Ь*v)'u)(0 ,y)dy = іі п 2 *(т,£; г ,х) := ^ ( і , х ; т, Д ,

] (^ и ) (г2 , у )9У — у (^ и)(г1, у )9 у+П П

0 < т < і < Т, {хД} С Е п, (8)

є Ф М РЗК для спряженої системи (3).


aj - 1

30. Матриця 2 задовольняє функціональ- (Ь*2*)(9,у) = 0, а (Ьї) (9 ,у ) = —а0 (9,у), то не рівняння на підставі (8)

/ і-є2 ((,х; 0 , у ) г (0 , у; т, Є) і у , - Г т [ г ^ к в у Ы в у )ёу =

Кп 0 0т Кп0 < т < Ь < Т, {х , £} С К™. г г

_ . . . = / 2 (Ь,х; Ь — є , у ) і у — 2 (Ь,х; т,у)іу.Далі ці властивості доповнимо новими. ./ ./4 ° . Існує тільки одна норм альна

ФМРЗК, яка задовольняє нерівності (7). Звідси при є ^ 0 одержуємоД о в е д е н н я . Нехай 2 \ ї 2 2 - д а нор- і

мальні Ф М РЗК, які задовольняють нерівно- [ сів [ 2 (Ь х • 9 у)а (9 у ) і у =сті (7). Тоді, поклавши в (6) у у ’ ’ ’ ’

т КпУ(9 , у ) = 2 *(9 , у • і , х ) , и (0 , у ) = 2 2(9 , у • т, 0 , Г

= 2 (ь,х; т,у )су — ї . (И )т < 9 < Ь, 9’ кп

скориставшись рівністю (8) і зауваженням, На підставі теореми про середнє значенняодержимо, що інтеграл маємо

I 2 Л , . г , 9 , у ) 2 2 І9 , у \ т,С)іу, т < 9 < і , (Ь — т) - 1 Г св І 2 (Ь, х; в ,уЫ 9 ,у )сС у =кп з ат Кп

не залежить від 9. Позначимо його через гУ (Ь,х; т,€). Спрямувавши 9 спочатку до т, = 2 (Ь,х; Y , У)ao(Y , У) і У, т < 7 < Ь- (\ 2 )а потім до Ь та скориставшись означеннямФ М РЗК, прийдемо до рівностей | 3 і (]_2) випливає співвідношення (9).

У (З, х; т, €) = 2 1(Ь, х; т, €) = 2 2(Ь, х ; т, €), Поклавши тепер у формулі (6) и(9, у) =’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ ’ (у — х )л і залишивши у(9, у), Д та Д попере-

що й треба було довести. ► дніми, одержимо5° . Правильними є рівності —є

[ і в [ 2 (Ь,х; 9 ,у )Ь (9 ,у ,дв,ду)(у — х )л і у = Иш ( (і — т ) - 1 | і 2 (і , х • т, у )су — Л | = т КпT—*t

,a, = z ( t , x ; t - € ,y ) (y - x ) edy- Z (t,x; r , y ) x= ao(t,x), (9) J J

Rn Rn

lim | (t — т) -1 f Z ( t ,x ; T,y)(y — x )ed y \ = x ( y — x) dy 'V Rn J Звідси за допомогою означення Ф М РЗК ма-

„ и ємов \ар( t , x ) , 0 < 11 1 < 2b, (t x) .0 , | |в | > 2b ( ,x) Є И(0’т] ’ t Г

(10) dy z (t , x ;y , y ) L ( 9 , y ,de , dy )(y — x)e dy = д е в є Z + в \ := Є і\ . . .0n\ . T Rn

Доведення. Нехай 0 < є < t —т. Викори- r.стаємо для u(9, y) = I , v ( 9 , y ) = Z*(9 ,y ; t , x ) , = — Z( t ,x ; T,y)(y — x )edy. (13)t 1 = т і t 2 = t — є формулу (6). Оскільки Rn


Далі, < Со(г — 0 )1-м / і 2Ь)е с(і — 0 х — у ) х

Ь(0 , у ,дв ,ду )(у — х )вх ^ П у — хз 1

аЄЦ (в) 3=1— х ■ ''вj -a j

Со(г — 0)1-м/ (2Ь)Ес(г — 0 ,х — у ) х^ аа(0,у )да (у — х ) в .

\\а\\<2Ь

За заданим мультиіндексом в є Z+ розгля- п

х Е П и ^ 0)1/(2Ь,)’= 1 V( )

\уз — х з\в -a j

(г—0 )\ ?-«||/(26) <

Г ї ( в ) := {а Є Z1 а 2Ь,аОвЖв (в) 3=

< С1 ^ (і—0 )1- (м - \\в -а \\)/(2Ь)Есі(і—0 , х —у), а€Щ(в)

т < 0 < і, {х , у} С Е п,

де с1 є (0,с). Звідси випливає, що

і

ЗІ Є { 1 , . . . , и } : аі > в і},

%п( в ) := {а Є Z+ ||а || < 2Ь,

ЗІ Є { 1 ,.. . , и} : а і < ви

У І Є { 1 , . . . ,І — 1,І + 1 , . . . ,и } : аз < в з}.

Очевидно, що

д ; ( х — у)в = ,

■ „ а = ГЧґЛ < С1 У ! ( і — 0 )\в -а \/(2Ь)ёвх0, якщо а Є ^1 (в), / ^ І_ У-П7П ( V

90 Е( і ,х; 0 , у )К в (0 ,у ,х )9 у <

в !, якщо а = в,п

П (вз (в’ — 1)х ’=1х . . . (вз — а з + 1)х х(уз — хз)в - а і ), якщо а є Жп(в).

| в| < 2Ь

Ь(0, у, дв,ду)(у — х )в =

= —в!ав (0, у ) — К в (0, у , х ) , (14)

Д 6

пК в (0 , у , х ) : = ^ аа (0,у ) \ \ (в3 (в3 — 1)х

аЄІ%(в) 3=1

х . . . (вз — а з + 1)(уз — х з)вз а]),

| в| > 2Ь

Ь (0 ,у ,д в ,ду )(у — х )в = —К в (0,у ,х). (15)

Використовуючи оцінку (7) для Z тааа

А 2

\Z ( і , x ;0 , у )К в (0 , у , х ) \ <

(в)

Д = mj І /(2Ь) х Есі (і — 0 ,х — у)(і — 0) у / 9у

і

= С2 ^ [ ( і — 0)\в -а \\/ (2Ь)90 <аЄЩ(в) Т

< С3 ^ (і — Т)1+\\в -а \\/ (2Ь). (16)а Ж’ПП (в)

Із (13) - (16) одержуємо

/ Z ( і , х ; т,у )(у — х )в і у

в ! І 90 І Е (і,х; 0 ,у)ав(0,у)9у+

— Т )1+\\в -а \\/(2Ь)+ 0 ( ^ (і — Т)

V а^Ж (в)

0 ( ^ (І — Т)\аЄІП(в)

1+|в -а \/(2Ь)

< 2Ь,

> 2Ь.


і

Поділивши обидві частини цих рівностей на то на підставі (17) маємо і — т і перейшовши до границі при т ^ і /прийдемо до рівностей (10). ► ( т)ді — V аа(і, хУДІі , т)да ) х

60. Д л я правильності рівності \ о < м <2ь

( Z( t ,x ; т,у)ду = і х ^ Ь , х; т,у) = оабо

необхідно й досить, щоб а0 = 0. т, х , У, х; т, у ) ■=Д о в е д е н н я . Необхідність безпосередньо

випливає з (9). Нехай тепер а0 = 0. Тоді = І Ід г— У и 0 1{і,т )аа {і ,х)иоіі,т УХ 1 х( ї в - Y ,\ 0<||а||<L I = 0 і тому інтеграл V о<|Н|<2Ь

r x Z o ( t , x ; т,у) = 0. (19)/ Z(t, x; т, y)dy TTJ ; Через те, що характеристичне рівняння

Rn для системи

не залежить від т. А оскільки він має ї сво- L 0(t т x dt dx)u = 0 (20)єю границею при т н t, то він дорівнює ї . ►

70. Нехай коефіцієнт a0 системи (2) за- еквівалентне характеристичному рівняннюлежить тільки від t, тобто a0 = a0 (t), для системи (2), то система (20) є 2 Ь- t є [о , T ]. Тоді матриця параболічною. Із рівностей (18) і (19) ви

пливає, що Z 0 - Ф М РЗК для системи (20). U(t т ) .= / z ( t x ; т y)dy 0 < т < t < T Оскільки ця система задовольняє умову із

J властивості 60, тоRn

t т ї = Z 0 (t x; т y) dy =задачі

^ = a0 (t)U, (17) t Г лdt = U- (t ,т) Z ( t , x ;т, y )dy = Uo (t ,т)U(t ,т) ,U \t=r = I , (18) Rn

тобто U є фундаментальною матрицею ЗВІДКИ випливає, що U (Ь,т) = ) і вла-розв’язків системи звичайних диференці- стивість 7 доведен а. ►альних рівнянь (17). СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

Д оведення. Нехай Щ и,т), 0 < т < t < г— , • z'17 'i Oq'i тт~1(+ \ І' Эиделъман С.Д. Об одном классе параболиче-T U0 (t, т)матриця, обернена до матриці Щ ^ ,т ). По- _ q 40 - 43кладемо Z 0 (t,x; т,у) .= U,Д Д щ )Z(t ,x ; т,у), 2. Ивасишен С.Д., Эйдельман С.Д. 2b-так що Z(t ,x; т,у) = 1б0 (1,т)Z 0(t,x; т,у). параболические системы / / Тр. семинара поОскільки для t > т Функц. анализу. - К.: Ин-т математики АН УССР,

1968. - Вып. 1. - С. 3 - 175, 271 - 273.0 = L(t, x, dt , dx)Z(t , x; т, у) = L(t, x, dt , dx) X 3- Eidelman S.D., Ivasyshen S.D., Kochubei A.N.

Analytic methods in the theory of differential anddUQ(t т) pseudo-differential equations of parabolic type. - Basel-

х ( щ у , т )Z 0(t,x; т,у)) = df7 — X Boston-Berlin: Birkhäuser Verlag, 2004. - 390 p. -dt

x Z 0(t,x; т,у) + ( Д Д щ )dtZ0 (t,x; т ,у ) - 152).4. Слободецкий Л.H. О фундаментальном peme-

'У ' aa(t, x)U0 (t, т)ö%Z0 (t, x; т,у), НИИ и задаче Коши для параболической системы / /ьа \||а||< 2b Мат. сб. - 1958. - 46, № 2. - С. 229 - 258.


УДК 517.929

© 2 0 0 7 р . І . І . К л е в ч у к


Д О С Л ІД Ж Е Н Н Я СТІЙ КО СТІ Р О З В ’Я ЗК ІВ РІЗН И Ц Е В И Х Р ІВ Н Я Н Ь У К РИ Т И Ч Н О М У В И П А Д К У

Розглядається система нелінійних різницевих рівнянь. Доведено існування інтегральних многовидів та принцип зведення для дослідження стійкості. Стійкість тривіального розв’язку системи еквівалентна стійкості триваільного розв’язку деякої системи різницевих рівнянь на многовиді.

We consider a system of nonlinear difference equations and prove the existence of integral manifolds. We prove the reduction principle for investigation of stability. The stab ility of th e trivial solution of a system is equivalent to the stab ility of the triv ial solution of some system of difference equations on a manifold.

Д ля звичайних диференціальних рівнянь питання існування і стійкості інтегральних множин у критичному випадку розглядалися, зокрема, у працях [1 - 3], а для різницевих рівнянь - в [4 - 7]. У цій статті досліджується стійкість тривіального розв’язку нелінійної системи різницевих рівнянь у критичному випадку.

Розглянемо систему різницевих рівнянь

уп+1 А пуп + / п (уп у гп) у

гп+1 В пгп + дп(уп,гп)у (1)

де п Є Д уп Є Е у гп Є Е т - У А п - послідовність матриць розмірності V х V, В п - послідовність матриць розмірності (ш — V) х (ш — V), функцїї / п та дп задовольняють умови

/п (0 , 0) = дп(0 , 0) = 0 ,

\\fn(y,z) - fn(y,z)\\ < L ( \\y - y\\ + ||z - z \і

\\9n{y,z) - gn{y,z)\\ < L (||y - y\\ + \\z - z\(2)

yn+1 A nyny zn+1 B nzn ■ (3)

фундаментальні матриці розв’язків систем(3), такі, що С + (з ,Д = Е , С - (в,в) = Е , де Е - одиничні матриці відповідних розмірностей. Нехай виконуються нерівності

l|G+(n,s)\| < K p n

| |G _ (n ,s ) ||< K y n

n > s, (4)

n < s, (5)

де 0 < р < у < 1 К > 1.

Позначимо чрез х п = (уп розв’язок системи (1) і визначимо норму ||хп || = \\уп \\ + ||гп ||, х п Є Е т . Також будемо позначати через х п(п0, х по) розв’язок системи (1) з початковими даними п = п0, х п = х п0.

Теорема 1. Нехай виконуються умови (2), (4), (5). Тоді при

L < Y - Р(6 )

(7)при всіх п Є Д {у,У} С Е у { г , г } С Е т - У

Поряд із системою (1) розглянемо лінійні системи

Нехай матриці B n невироджені при всіх n Є Z. Позначимо через G+(n, s) та G - (n, s)

8К 2існує послідовність поверхонь

£ + = {(У,г) г = Нп(у),п Є Д ,у Є Е^

г Є Шт-и},

які задовольняють умови Нп(0 ) = 0 ,

|Нп(у) — М у)II < 2 \\у — у \\ { для Р°з в ’яз - ку систем,и (!) з початковими даними уп0, гпо, п0, які задовольняють рівняння (7), виконується нерівність

||хпII < 2КІІупо Ь п-п0,


d e n > n0, /і = (p + y ) / 2 .. {k),, 2K 2L\\c\\'TT T-T ' / \ zn II -- 1

Y - IД оведення. Поряд із системою (1) розглянемо систему різницевих рівнянь | 3 цИХ НЄрівносте{| випливає, що якщо

п-і Ь < (у — р ) / ( 8К ), ц = (р+ у ) / 2 , то нерівністьУп = 0 + (п,ио)е + С +(и,в + 1)ф3(у3, г3), (Ю) виконується.

«=по Покажемо, що хПе)(е) задовольняє умову(8) Ліпшиця

%п = — ^ С - ( п , в + 1)у3(у3, г 3) , УПЧе) — хПДе)]] — 2 К ||е — е\\цп-по (1 1 )3=п

„ і при цьомуде е - сталии р'-вимірнии вектор.Систему (8) будемо розв’язувати методом м (к)/ \ (к Л-мі ^ 2К 2Ь ТТ1 тгаб ТТТД'.Ь-АТТЇ. ШДбтттд'.ь-Аттттст тзтд-зтт;:»- ІІ^п (е) ^п (е) \ ..послідовних наближень. Наближення визна

чимо за допомогою таких формул:

\ c - c \ \ n n-n0 ,Y - I

n > n0. (1 2 )

(°) — І Уп0\ (k) _ ( \ Оцінки (11) і (12) встановимо індукцією.xn = (0) , x n = I (k)г п ’ Г п \ г(1 ) ) ’ Нульове наближення задовольняє ці оцінки.

Припустимо, що (к — 1)-е наближення їх за- уУ"1 = 0+(п, п 0)е+ довольняє, тоді із формули (9) одержимо не

рівності

+ С+ ( п , 8 + 1) ї з(у3 1,г3 1), ІУ(г')(е) — У<)( е ) \ — К\\е — е\\рп-по +

n— 1

s=noсю

„ ^ - -II rin-no_in \ ) nnn- 1

2 Г II ~r> 11 yn—s— 1 (s-non = - Ё G - ( n , s + i)g.(ysk-1), 4 k-1)), + ^ 2k 2l \ ° - c \ pH-‘- '>‘s=no

к = 1, 2>--- (9') \\г{к)(е)—г {к) (е)|| — ^ 2 К 21 \ е —е \у п - 3-1у 3-по.Покажемо, ЩО при будь-якому е ВСІ ПО- 3=п

слідовні наближення визначені і задоволь- Звідси, так само, як і раніше, одержимо няють оцінки оцінки (11) і (12).

к\x(k)\ - 2K\\c\\ in-no, n > no. (1 0 ) ться нерівність

Оцінку (10) встановимо індукцією. Ну- / k l \ k - 1льове наближення, очевидно, задовольняє Цх,к)(с) — х Д - 1 (с)|| < K ||с|| І ------- I y n-n0,п пцю оцінку. Нехай (к — 1 ^ наближення за- \ ' — р ,довольняє (10). Тоді із формул (9) і умов те- (13)ореми випливає де ц = (р + у ) / 2 , п > по.

При к = 1 ця нерівність, очевидно, ви- 2 Т II МІ п - 3 - 1 , 3-п , конується. Припустимо за індукцією, що

(13) виконується. Оцінимо різницю \ х п +11 — Хпк\. Із (9) знаходимо

,, - K\\c\\pn-no ^ J 2 2 K 2L \ c \ p n - s - 1i ^ no

i k)\\ - Y ^ 2 K 2L\\c\\yn—s—1I s—no. n - 1- г/ f i l - £ K p n - s - 1L\xSk) - х Щ

Звідси s=no

< K м р — » + 2 K 2 pn-n„ I\znk+1) — 4k)ll < £ К - Г — П Ц х'к — xSk-1)|.У — р s=n


Звідси, згідно з (13), одержимо

И ^ + н _ уПк)ц < K цс ||

у{к+1) _ (кЦ < к•'lYt -L і-

\ к-14K L \ K L

n > no.

Звідси знаходимо, що

7 _ Р J ß _ р

к-14 K L \ K L

-ßП—П0

Y _ Р Y _ ßß

П—По

Нехай тепер гпо(п0 ,у) = Нпо(у). Із оцінок (14) і (15) випливає, що функція Нп (у) задовольняє твердження теореми. Із умови (6) випливає оцінка ||Нп(у) — Нп <Теорема 1 доведена.

Т ео р ем а 2. Нехай виконуються умови (2), (4), (5), (6). Тоді існує послідовністьповерхонь S = {(y ,z ) У H n(z) ,n ЄZ , z Є v ,y Є }, які задовольняютьумови

(k+i) _ x (kU < k | / 4 K L

\ Y _ РßП—П0

п > п0 .

Ми одержали нерівність вигляду (13), якщо замінити к на к + 1. Отже, нерівність (13) доведена.

Із оцінки (13) випливає, що якщо Ь <Y _ Р 4 K

то послідовність xifc)(no,c) збігається рівномірно для всіх c та n > n0. Позначимо lim х П \ п 0 ,с) = xn (n0 ,c), x n (n0 ,c) =к^ж

yn (n0, с)Zn(n0,c ) ,Із нерівності (10) випливає нерівність

|xn(no,c)|| < 2K \\с\ П—П 0

Із нерівностей (11) і (12) випливають нерівності

7511 ,,П-П0||xn(no,c) _ Xn(no,c)|| < 2 K ||с _ с

2K 2 Т\zn (no,c) _ Zn(no,C)\ < llc _ c \ ß n-n0,

Y _ ß

n > no.

Ип (0 ) = 0 , \\Ип(г) - Ип (г)\| < ^ 1к - г\\ (16)

г для розе ’язку систем,и (1) з початковими даними упо, гпо, п0, які задовольняють рівняння у = Ип (г ), виконується нерівність

X( И < 2K llz

Р + Y

По l

n > no. (14)

(15)

Якщо перейти до границі у формулах (9), то переконаємося, що послідовність х п (п0, с) є розв’язком системи рівнянь (8) і системи

(1)-Із рівностей (8) при п = по одержимо

упо (п0,с) Су гпо (п0,с)

У G -(no ,s + 1)&(ys(no,c),Zs(no,c)).

де п < п0, уДоведення теореми 2 можна провести

тим же шляхом, що і доведення теореми 1.Перейдемо до встановлення принципу

зведення для системи (1). Д ля цього аналогічно [2] використаємо побудовані поверхні Б - , Б + і доведемо, що стійкість системи (1) рівносильна стійкості деякої системи меншої розмірності.

Нехай п = р - деяке число (початковий момент). Будемо розглядати тепер поверхні Б - п > р Б -стійкі в тому розумінні, що вони притягують

хп (п > р )Зауважимо, що поведінка розв’язків си-

Б -

сується рівнянням

Шп+1 -- В пШп + дп(Нп(^п) у ^п) • (17)

Вектор-функція дп (Нп (ш) , ш) перетворюється в нуль при ш = 0 і задовольняє умову Л ІП Ш И Ц Я ВІДНОСНО Ш.

урНехай xp Є Rm, xp =

Уп(Р, xp)Zp

x-п ( p, xp )

8=П0

pzu(_p,xp) J

ТКОВИМИ даними n = p, x u = xp.


c

кc

П По

Теорема 3. Нехай х п(р,хр) - довільний розе ’язок систем,и (1) з початковими даними п = р, х п = хр. При умовах теорем, 1 та,2 існує розв’язок р п (р,а), а Є Е т - ^г систе- поверхонь ми (1), що належить Б - і такий, що вірна оцінка

Покажемо, що існують такі ир і а, що для розв’язку хп (р,хр) системи (1) і розв’язку ип, Уп системи, що лежить на послідовності

виконуються рівності

\\х п — Рп(р , а ) \\ < 2 К \\ур — Нр( а ) \\уп р,

п > р, 0 < у < 1• (18)

Б-розв’язок, ДО ЯКОГО х п (р, хр) прямує при п ^ + ж . Позначимо через х п = р п(р,а), де а - сталий вектор, а Є Мт - Л розв’язок системи (1), що міститься на Б- . Позначимо

/ ч ґ ф п (р , а ) \р п(р, а) = , тоді розв язок х п =\ Х п (Р, а ) )

р п(р, а ) буде мати початкові дані х р(р, а ) = а , Фр(р,а) = Нр(а). Покажемо, що при фі-

р ш хр відповідає (ш — V)-вимірний вектор а такий, що

\\хп(р,хр) — р п( р , а ) Ц ^ 0 при п ^ ж.(19)

Зробимо в системі (1) заміну зміннихип уп фп(р ,а ) , Уп гп х 'п(р,а)-, ТОДІодержимо систему

ип+1 Аип + ип(ипЩп, а) ,

Уп+1 = ВУп + Уп(ип,Уп,а), (20)

ДЄ и п (ип , Ьп, а ’) / п (уп , гп) / п ('Фп, х п)',Уп(ип Н п , а ') дп (уп) гп) дп (фп , х п)-Вектор-функції и п та Уп неперервні за всіма своїми аргументами і задовольняють умову Ліпшиця з константою Ь відносно ип та ьп . За теоремою 1 система (20) має інтегральні поверхні Б+ вигляду Уп = Нп (ип,а), де вектор-функція Нп задовольняє такі умови:

Нп(0 ,а ) = 0 , \Нп(и,а) — кп (й,а)\\ < - \\и — и||.

2 (21)Функція Нп залежить від а неперервно. Кожний розв’язок ип, Уп системи (20) з початковими даними п = р, ип = ир, Ур = Нр(ир,а) задовольняє нерівності

ип = уп(р, хр) — Фп(р, а),

Уп = гп(р,хр) — хп (р,а), (22)

звідки і буде випливати (19).п =

рджуються і при всіх п > р. При п = р (22) МИЮТЬ вигляд

ир = ур — Н р(а), Нр(ир, а) = гр — а. (23)

Розглядаючи (23) як систему рівнянь від- ир а

а гр Нр(ур Нр( а ) ,а ) . (24)

Покажемо, що це рівняння має розв’язок при довільних ур та гр. Розглянемо відображення С(а) = гр — Нр(ур — Нр( а ) , а ) . Використовуючи властивості (21) функції Нр, знаходимо оцінку ||С (а) — гр || < 0 ,5||ур — Нр(а)||, звідки ||С (а) — грЦ < 0 ,5||ур — Нр(гр)|| + 0, 5||Нр(гр) — Нр(а)||. Функція Нр задовольняє умову Ліпшиця (16), тому із останньої нерівності випливає, що ||С (а) — гр || < 0, 5||ур — Нр(гр) || + 0 , 25||а — грЦ.

Розглянемо в (ш — V)-вимірному просторі кулю М , що визначається нерівністю (відносно а) І|а — гр || < Цур — Нр(гр)||. Із нерівності

||С (а) — гр^ < 0, 7 5 |ур — Нр(гр) || (25)

випливає, що відображення С(а) перево- М

Брауера це відображення має нерухому точку а*.

а =а *

Iа * — ЛІІ < 0 > 7 5 ІІур — Ир(гр) (26)

а *

няння (23), знаходимо, що пара а*, ир, де и* = ур — Нр(а*), задовольняє систему (23).

\ип \\ + ||^п \| < 2 К ||ир ||уп р,п > р, 0 < у < 1. Теорема 3 доведена.


Т ео р ем а 4. Нехай виконуються умови теорем, 1 та 2. Якщо нульовий розв’я зок систем,и (17) стійкий, асимптотично стійкий або нестійкий, то і нульовий розв ’язок систем,и (1) відповідно стійкий, асимптотично стійкий або нестійкий.

Д о в е д е н н я . Нехай нульовий розв’язок системи (17) стійкий. Візьмемо довільне є >0. При вибраному є згідно з означенням стійкості знайдеться таке 5 > 0 , що якщо ||о | < 5, то розв’язок юп системи (17) з початковою умовою юр = а при п > р задовольняє нерівність

м и Є , ,ІК Ц < от-, , , _ • (27)

2K + 1, 5 ‘

Розглянемо розв’язок x n = (yn zn) стеми (1) з початковими даними n

T сир

уп = Ур, гп = гр, що задовольняють оцінку ІІУР\І + І|гр || < 5/2. Із оцінки (26) випливає нерівність ||а* | < 5, а із нерівностей (18) і (27) випливає, що

||хп|| = ІІУпІІ + І\гпІІ — ІІРп(р,а)\І + \\хп—

—Рп(р,а)\\ — ЦНп^Хп)! + ||юп| + 2 К Цур—

— Нр(а) || < є.

Це і доводить стійкість нульового розв’язку системи (1).

Якщо нульовий розв’язок системи (17) асимптотично стійкий, то із оцінки (18) випливає асимптотична стійкість нульового розв’язку системи (1).

Нарешті, якщо нульовий розв’язок системи (17) нестійкий, то за означенням і нульовий розв’язок системи (1) нестійкий. Теорема 4 доведена.

З а у в а ж е н н я 1. Нехай система (1) є лінійною, тобто функції / п (у, г) та дп(у, г ) лінійні відносно у, г. У цьому випадку функції бп (у) та Нп(г) також будуть лінійними відносно у, г. Із теореми 3 випливає існуванняЗамІНИ уп — ип + Нп (юп)і гп — Юп + бп(ип) ,яка розщеплює систему (1) на дві незалежні системи

ип+1 А пип + Іп (ип ) hn(Un)') ,

Юп+1 В пЮп + дп(Нп (юп) ,Юп) •

З а у в а ж е н н я 2 . Нехай матриці A n = A, B n = B те залежать від n, всі власні значення матриці B за модулем рівні одиниці, всі

Aші одиниці, а функції f n ( y , z ), gn (y,z) можна розкласти в степеневі ряди з періодичними коефіцієнтами. Тоді функцію Hn(z) також можна шукати у вигляді степеневого ряду і теорема 4 дозволяє обгрунтувати алгоритм дослідження стійкості у критичному випадку.

З а у в а ж е н н я 3. Теореми 1 та 2 можна узагальнити на випадок рівнянь у банахово- му просторі, а теореми 3 та 4 - на випадок,

yn zn- скінченновимірному простору.


1. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука, 1974. - 502 с.

2. Плисе В .А. И нтегральные множества периодических систем диф ф еренциальны х уравнений. - М.: Наука, 1977. - 304 с.

3. Самойленко А.М. Элементы математической теории многочастотных колебаний. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

4. Самойленко А .М. , Мартынюк Д .И . , Пере- стюк H.A. Существование инвариантных торов систем разностных уравнений / / Д иф ференц. уравнения. - 1973. - 9, № 10. - С. 1904 - 1910.

5. М артынюк Д .И . Лекции по качественной теории разностных уравнений. - К .: Наук, думка, 1972.- 246 с.

6 . Гулов Х .М. , Перестюк H.A. Интегральные множества систем разностных уравнений / / Укр. мат. жури. - 1993. - 45 , № 12. - С. 1613 - 1621.

7. Марданов И Дою. , Валеев К.Г. Принцип сведения для разностных уравнений. - Баку: Элм, 1991.- 264 с.


УДК 517.956

© 2 0 0 7 р. В .В . К овдриш

Чернівецький національний університет ім. Ю рія Федьковича

Ш И Р И Н А В Е Р Б А Л Ь Н И Х П ІД Г Р У П Г Р У П И UTn (Z), Щ О П О Р О Д Ж У Ю Т Ь С Я С Л О В А М И x k, k є N

Встановлено, що ш ирина вербальної підгрупи групи UTn (Z ), яка визначається за певних обмежень словом х к дорівнює 1, а в інших випадках не перевищує n — 1.

T he w idth of the verbal subgroups of UTn (Z) generated by the words х к, k є N is found.

1 . Унітрикутні матричні групи над кільцем цілих чисел відіграють важливу роль в теорії нільпотентних груп. А саме, за теоремою Мальцева [1] на кожній скінченно породженій нільпотентній групі без скруту мож на ввести “цілочисельні координати”, що дає можливість занурити ці групи в групу унітрикутних матриць деякої розмірності над кільцем цілих чисел. Такий спосіб зображення скінченно породжених нільпотентних груп без скруту істотно використовується при їх дослідженні, що в свою чергу, потребує докладного вивчення будови унітрикутних груп матриць над кільцем цілих чисел. Зокрема, проблема дослідження тотожностей, які можуть виконуватись в нільпотентних групах призводить до необхідності вивчення вербальних підгруп в групі унітрикутних матриць над кільцем цілих чисел.

Однією з важливих числових характеристик вербальної підгрупи є ї ї ширина. Нагадаємо, що шириною вербальної підгрупи тЄ ( д е ' ш - множина групових слів, якою визначається вербальна підгрупа) називається таке найменше число к, що будь-який елемент із підгрупи тЄ можна подати у вигляді добутку не більше ніж к значень слів із т в групі Є або обернених до них; якщо такого числа к те існує, то вважається, що тЄ має нескінченну ширину. Оскільки група унітрикутних матриць над довільним полем є алгебраїчною, то згідно з результатами [2,3] кожна її вербальна підгрупа має скінченну ширину. При переході до групи унітри-

кутних матриць над кільцем цілих чисел ці результати перенести безпосередньо не вдається, а тому виникає проблема дослідження ширини вербальних підгруп в цих групах.

Оскільки кожен многовид нільпотентних груп має скінченну базу [4], то в нільпотентній групі кожна вербальна підгрупа може бути визначена тільки одним словом, а тому достатньо розглянути в цій ситуації лише такі вербальні підгрупи. Кожне слово є еквівалентне в сенсі теорії групових много- видів парі слів [4], одне з яких є комутаторним (належить до комутанта вільної групи), а друге має вигляд х к для певного натурального числа к. Дослідженню ширини вербальних підгруп в групах унітрикутних матриць над кільцем цілих чисел, які породжуються найприроднішим типом комутаторних слів - простими комутаторами - присвячено нашу попередню публікацію [5]. Метою даної замітки є знаходження ширини

кх к

кутних матриць над кільцем цілих чисел.

2. Нехай UTra(Z) — група верхніх унітрикутних матриць над кільцем цілих чисел Z. Символом е позначимо одиничну матрицю п-го п о р я д к у , СИМ ВОЛОМ Єіз і , І = 1 ,2, . . . ,п будемо позначати матричні одиниці, тобто

претині і-го рядка і і -го стовпця знаходиться одиниця, а решта елементів є нулями. Довільну матрицю Ю з UTra(Z) можна подати


у вигляді суми

x = e + Хц eij'-'iji<j

Символом xjm^ позначимо суму всеможли-

• •• + c j 1 Х Д lxj - 1j + iij ik) =

= x ij + C lx f 2 + C ‘l x \j + ... + C 3j г 1 x ij г)+

+ C i x + C 2x(2) + C 3x (3 + + Cj - ix (j - г) =+ Ck x iy + Ck x гj + Ck x гj + ... + Ck x гj =гj

вих “впорядкованих добутків” m елементівx

x (m) \ лij / y x г,klx ki,k2 ■■■x km-i, j .

i<ki <k2<...<km — 1<j

= iCk+ Ck)x ij + iCk + C2 )x(f + (C2 + Cfc )x j3) + ...

... + (Ck - г- 1 + C j- i ) x j - i =

Ck+ix ij + Ck+i x j + Ck+ix(f + .

... + Cj+ix j-г = & ik + 1)Нехай j - г& (k) = £ o p x f f ,

p=i(1) Таким чином

де Ol. k!'к - рД-Ру. = к(к 1]'рк Р+1} (ПРИ р > к

Ср = 0) Справедлива така теорема. Теорема 1. Д л я довільної матриці з групи и Т п(Е) і довільного натурального числа к

x k+i = e + у e+ У ] eijСij (k + 1))

x = e + У ] eijCij (k)i<j

Доведення. Індукція за числом к. База індукц ії— випадок к = 1 . Згідно з (1) отримаємо

у-г

&j (1) = CPpxi3) = x(j ] = x ij

i<j

що і треба було показати. Теорему доведено. Нагадаємо, що два цілих числа а та b, які

mодну і ту ж остачу, називаються конгруен-

mзначається наступним чином

а = b (mod m).

Розглянемо деяку систему конгруенції

p=i

Припустимо, що (2)

x = e + У ; eijCij (k)i<j

покажемо, що

x k+i = e + eijCij (k + 1)i<j

Дійсно, нехай x k+i = e + < р гуeij = x kxТОДІ

'pij У ; Cis(k)x sj

- x ij + Д і+i (k)xi+i,j + Ci,i+2(k ')x i+2,j + ...

... + Ci,j-i(k)xj-i , j + Cij (k) =

x ij + Ck ixl1i)+ ix i+i,j + ... + x i]j-ix j - i , j ) +biJ T ^k 2 (2)

k = 1 (mod 2 ), k = 1, 2 (mod 3),

k = 1 , 2 ,..., (n — 2 ) (mod (n — 1)),

де запис x = a \ ,a 2 , ■■■,ai (mod m), де i 1, 2 , ... , (n — 1)

x = a — 1 (mod m), x = a2 (mod m),

x = аг (mod m).

Теорема 2.

kконгруенції! (2), то для довільної матриці а з групи UTn (kZ) рівняння

kx k = а

+ Ck ixY,i+2x г+2,j + ... + x(2)- i xj - i , j ) + ... має єдиний розв’язок в групі UTn(Z)

Науковий вісник Чернівецького університету. 2007. Випуск 349. Математика. 43

2) Якщо число к не є розв’язком системи системи (2). Покажемо, що х , Є Неважк і , то для довільної матриці а з грипи (р)'Д ; , а ко переконатися, що х.і,- виражається черези 1 п(к£) ргвняння ■ ■Г елементи матриці х, які знаходяться в три

кутнику обмеженому і-м рядком, І-М стовпцем і першою над головною діагоналлю. Наприклад

Xk-Луп_ і

має розв’язок в групі UTn (Z)

Доведення. 1) Нехай а є UTn (kZ), тоді

+ ^ у eij k a tj}

Xi,i+1 а г,г+1)

a = e + 2_^ еi<j

де a ij є Z. Покажемо, що в групі UTn(Z) існує розв’язок рівняння x k = а. Згідно з теоремою 1

Xi,i+2 a i,i+2

a i,i+2

f c - 1 .(2)Xi,i+2

fc — 1 (2)2 a i,i+2,

x = e + 2_^ e i<j

+ ^ ] eijCij(fc)

_ k — 1 (2) (fc — 1)(k — 2) (3)xi,i+3 a i,i+3 2 Xi,i+3 ~ш X■3! i,i+3

= a i,i+3fc - 1 (2)

2 a i,i+3-

тому

e + ^ 2 eijCij (fc) = e + ^ eijfcai<j

e + 2 ^ e i<j

(fc— 1f — 2 - ^Д 1 )2KWij ij

ЗВ ІД К И

(k) = kaij

Далі згідно з (1) матимемо

j- i

Звідси випливає, що рівність (3) задає ціле число, тобто матриця

x = e +i<j

Xij eij

CkXji = fcaijP=1

тобто

c f c j + Cl X<i f + ••• + Ck %xk(j l) = fcaij

належить до и Т п (£).2) Довільну матрицю а з и Т п (к£) можна

подати у вигляді добутку п — 1 матриці наступним чином

па — (е+ кап - 1,пеп - 1,п')(е+ 2 2 кап - 2,, еп - 2,, ) ...

абоj=n- 1

fcX(1) + к(к - ^ X(2) + fcXij + 2 ! Xij + •••

+ к(к - Ь Л к — U — і ) + 1) X(j-i) = kaij(j — i)!

ЗВ ІД К И

...(е + ^ 2 к а і ’, е і>,) ,=2

кматриці з групи и Т п(£). Нехай

(fc — 1Д (2)Xij = a ij 2] Xij — •••

(к - - (j - і) + 1Д (j-i)

ai = e + 2 2 fcan-l,jen-l,j ,j=n-l + 1

(j — i)!X.ij (3)

де l = 1 , 2 , . . . ,n — 1.Покажемо, що в групі UTn (Z) знайдеться

єдина матриця х і така, що

будуть цілими числами, бо k є розв’язком (хі)к = аі


Коефіцієнти при X j , при 2 < p < (j — і)

(хі )к = е + ^ ЄЦ {Сі )ц {к) = і<І

Пе + каи—1,і еи—1,і

І=и-1+1

Але для даної матриці а1

{Сі ')п—1,і {к) к(х 1 \n -l j

Томуп

х 1 е ^ ^ а п—1,і еп - 1,іІ=п-1+1

Таким чином а = х\х^к...хП- \ ■ Теорему доведено.

Н аслідок 1. Д л я довільного натураль- к

и Т Д і ї ) , яка визначається словом, х к, збігається з підгрупою UTn{kZ).

Н аслідок 2.

кконгруенцій (2), то вербальна підгрупа групи иТДЖ), яка визначається сло-

х к

ну 1 .

к(2), то ширина цієї вербальної підгрупи не перевищує п — 1.

СП И С О К Л ІТ Е РА Т У Р И1. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы те

ории групи. - М.: Н аука, 1977. - 238с.2. Мерзляков Ю.И. Алгебраические линейные

группы как полные группы автоморфизмов и замкнутость их вербальных подгрупп / / Алгебра и логика. - 1967. - Т .6 , .V'!. - С .83-9 I.

3. Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. - М.: Н аука, 1987. - 326с.

4. Нейман X. М ногообразия групп. - М.: М ир, 1971. - 452с.

5. Ковдриш В.В. Ш ирини членів нижнього центрального ряду групи верхніх упі грику т и х матриць над комумативним кільцем з одиницею / / Н ауковий вісник Чернівецького університету. - 2006. - Випуск 314-315. - С. 91-93.

Дійсно, згідно з теоремою 1 будемо мати


УДК 517.9

© 2 0 0 7 р. А .П .К реневи ч

Київський національний університет імені Тараса Ш евченка

ПРО ІС Н У В А Н Н Я І Є Д И Н ІС Т Ь Р О З В ’Я ЗК ІВ С ТО Х А С ТИ Ч Н И Х Д И Ф Е Р Е Н Ц ІА Л Ь Н И Х РІВ Н Я Н Ь В ГІЛ Ь Б Е РТ О ВО М У П РО С ТО РІ НЕ

Р О З В ’Я ЗА Н И Х ВІДН О СН О ’’ПО ХІДН ОЇ”

В даній роботі використовуючи метод послідовних наближень П ікара отримано результати щодо існування і єдиності сильних розв’язк ів стохастичних диференціальних рівнянь не розв’язаних відносно "похідної" в гільбертовому просторі.

Using the P icard m ethod, we obtain sufficient conditions for the existence and uniqueness of strong solutions of stochastic differential equations unsolved relatively to the "derivative"in a H ilbert space.

Вступ Розглядається простір (Н, (■, ■), || ■ ||) - сепарабельний гільбертовий простір з скалярним добутком (■, ■) та нормою || ■ ||. В ньому, на ймовірнісному просторі ( А , ¥ , Р ), розглядається стохастичне диференціальне рівняння

і [ х (г) + д (г , х (ї))] = [ А ^ х (г)+

/ ( ї , Х (ї ))]& + а ( ї , Х (і))дШ (ї ), (1)

X (0 ) = Хо, (2)

ї Є [0,Т], х Є Н, А(ї) : [0,Т] х Н ^ Н - лінійний, неперервний по ї оператор, такий, що для кожного ї Є [0, Т ], А(ї) - обмежений оператор; / (ї, х), а(ї, х) ,д( ї , х) : [0,Т] х Н ^ Н - неперервні по ї оператор-функції; Ш(ї) - скалярний вінерівський процес, визначений для ї > 0 , на ймовірнісному просторі ( А , ¥ , Р ); {Г-ьА Є [0 , Т ]} - потік а-алгебр узгоджений з процесом Ш (ї).

Існує низка робіт, присвячених існуванню і єдиності сильних та слабких розв’язків стохастичних звичайних диференціальних рівнянь як в скінченновимірних так і гільбер- тових просторах, та розроблені методи їх побудови (див. [1-3]).

Також багатьма авторами досліджувалася проблема існування, єдиності та асимптотичної поведінки розв’язків стохастичних рівнянь нейтрального типу в просторах скінченної розмірності (див. [4-7]).

Питання існування і єдиності розв’язків стохастичних рівнянь нейтрального типу в гільбертових просторах залишаються відкритими. Подоланню цих проблем і присвячена дана робота.

Існування і єдиністьУ гільбертовому просторі H поруч з рів

нянням (1) розглянемо звичайне диференціальне рівняння вигляду

d X (t) = A ( t ) X (t )d t , (3)

з тим же оператором A(t), що і у рівнянні (1). Очевидно, що існує додатна стала K a , така що

sup \\A ( t ) \\ < K a . (4)te[0,T ]

Нехай U(t, s) - еволюційний оператор рівняння (3). З [8 ,с. 147], очевидним чином отримуємо, що існує додатна стала К и , така, що

sup \\U(t,s ) || < К и . (5)0<s<t<T

Припустимо, що існують додатні сталі К, L, такі, що для t Є [0,Т] ,x ,y Є H виконуються наступні співвідношення.

II/( t , x ) \\ + h ( t , x ) \\ + \\g( t , x ) \\ <

< К (1 + \\x\\), (6)

\\f ( t , x ) - f ( t , y ) \ + h (t ,x) - v (t , v ) \\+

+ \g (t ,x) - g ( t , y)\\ < L(\\x - y \ ) . (7)


Розглянемо банаховий простір B T - простір И-значних, F t - вимірних, з ймовірністю 1 неперервних по t випадкових процесів £(t ,u ) : [0 , T ] х Q ^ И , з нормою

Ш\бт = 1 E sup ||£( t) ||2} < то. (8)[ t£[0,T ] J

Д ля подальшого дослідження нам буде необхідна наступна лема.

Л е м а . Розв ’язок інтегрального рівняння

X (t) = U(t, 0)(x q + g(0 , xo)) - g ( t , X ( t ) ) -

— J U(t, s )A( s )g( s , X( s ) )ds+0

t

+ J U( t , s ) f ( s , X( s ) ) ds+0t

+ f U( t , s ) a ( s , X( s ) ) dW( s ) (9)

є сильним розв’язком рівняння (1) з початковою умовою (2).

Д о в е д е н н я . Д ля доведення досить переписати рівність (9) у вигляді

х (г) + д ( г , х (г)) = и (г, о)(хо + д(о,хо))—

І

— [ и( г , в )А(в)д( 8 , Х (s))ds+

и ( г ^ ) / ^ , х (s))ds+01

+ ! и(г, . з)а( . в,Х( s ) ) dWД)о

і обчислити стохастичний диференціал від обох частин останньої рівності.

Д ля довільних / , а Є В Т розглянемо наступне стохастичне рівняння

X (0) = хо,і визначимо оператор Ф : B T ^ B T, що діє за правилом

^ X )(t) = U(t, 0 )(хо + g ( 0 ,xo)) —t

—g ( t , X (t)) — ! U ( t , s )A(s)g ( s , X (s))ds+

+ U(t, s ) f (s)ds+

+ U(t , s )a(s)dW(s) . (11)

Д ля доведення існування і єдиності розв’язку рівняння (1) нам необхідні будуть деякі допоміжні результати.

Т ео р ем а 1. Нехай виконуються умови(4), (5), (6), (7), причому сталі К , Ь, К А, К ц нов ’язані співвідношенням

КЦ + Ь 2К 2 + Ь 2 + Т 3К АКЦЬ 2 < 1. (12)

Тоді рівняння (10) має єдиний розв’язок на відрізку [0 , Т ].

Д о в е д е н н я . Д ля доведення теореми використаємо вище означений оператор Ф. Легко показати його середньоквадратичну неперервність, оцінивши для X Є Б?, і Є [0 ,Т ] і досить мал ого к вираз

Е ||(Ф Х )(і + к) - (ФХ)(і)\ \2.

Покажемо, що Ф(Бт) С Б т. Дійсно легко бачити, що для X Є Б т,Ь Є [0,Т]Е вир ||(Ф Х )(і)\\2 < то.

ге[о,т ]Д-вимірність елемента (Ф Х )(ї) очеви

дним чином виплаває з його представлення. Таким чином ми отримали, що Ф : Б т ^ Б т

ФФ

є відображенням стиску. Виберемо довільні Х , У Є Бт, тоді проводячи очевидні оцінки, отримаємоd [X (t) + g ( t , X (t))] = [A ( t ) X (t) +

+ f (t)]dt + a ( t ) dW (t), (10)


E sup | | ^ X )(t) — (ФУ)(t)\\2 <te[o,T ]

47

t

tt

t

< f3E sup \\X(t) — Y(t ) \ \2 , Використаємо метод послідовних набли-te\°,T] жень Пікара. Побудуємо послідовність X n є

де в = 4(KU + L 2K 2 + L 2 + T 3KUKA L 2). B t за наступними рекурентними співвідно-3 умови теореми випливає, що в < 1, а шеннями

значить оператор Ф є оператором стиску і X (t) U(t 0)( (0 ))має єдину нерухому точку, котра є розв’яз- п( ) ( ’ )(Х° + g( ,Х°))ком рівняння (10). Теорему доведено. t

Визначимо оператор Ф: BT ^ В т насту- —д ^, Xn(t )) — f U(t, s)A(s)g(s, Xn(s) )ds+пним чином J

0

Ф ( ї х ) = X , t

X( t ) = U(t, 0 )(x° + g(0 , x°) )— + j U( t , s ^f (s , X n - i ( s ))ds+t °

—g (t , X( t ) ) — I U( t , s )A(s )g ( s , X( s ) ) ds + }J + U ( t , s ) a ( s , Xn- i ( s ) ) dW (s), (16)

t t °+ [ U( t , s ) f (s)ds + [ U( t , s )a(s )dW(s) , n - 1, t є [0, T ] X °( t визначимо як розв’я-

J J зок рівняння (13) з f = a = 0.° 0 Очевидно, що

де X (t) - розв’язок рівняння (10). X = Ф( f (■ X A )) a (■ X А )))Л е м а 1. Нехай виконуються

умови (4), (5), (6), (7), причому де Ф - оператор визначений в (13).L < 1/2, K < 1 /л / Ї0 _ Тоді існують до- Побудуємо оператор П: B T ^ В т, що дієдатні сталі Мф, Мф, Вф, такі, що для за правиломдовільних f l , a l , f 2 , a2 є B T виконуютьсянерівності ( n X )(t) = M f ( , X (■)),*(; X ( m ( t ) .

2E sup \№(fi ,ai)(s)\ \ < „ n rn • Л ■se[°)t] Леми 2. Іодг існують додатні сталі

D n , М п , М п , такі, що для довільних X , Y є r В т виконуються оцінки

< Dф + Мф (E\ \ f i (T) ||2 + E | М т )\\2)dr. У° E sup II( n X )(s ) \\2 <

(14) « e[°,t]

E SUP \\Ф(Ь , а 1)(А — Ф(Ь , а 2)(А\ \2 < _ rtse[°,t] < D n + М п E sup ||X (r)\\2 ds, (17)

t J° r €[°,s]

< м Л ( e \ \ f i ( T ) — f 2(T) \ \2 + E sup ||(n X )(s) — (ПУ)(s)|\2 <° V se[°,t]

+E\\ai(T) — a2 (T) \\2)dT. (15) < M u Ґ E sup ||X (r) — Y(r) \ \2ds. (18)/ 7 ° [° s]

Д оведення даних нерівностей базується Д оведення даної леми легко отримати зна оцінці лівих частин виразів (14) та (15) леми 2.з використанням означення оператора Ф та Теорема 2. Нехай виконуються умовиузагальненої леми Гронуолла-Беллмана. Теореми 1 та Леми 2.


Тоді рівняння (1) має єдиний сильний розв’язок на відрізку [0 , T ].

Доведення. Існування.З побудови послідовності X n можемо лег

ко отримати, що існує додатна стала C, незалежна від t така, що E sup ||X i(s) —

s€[0,t]X 0(s) ||2 < C 2. З вигляду оператора П, за лемою 3 можемо записати

E sup ||Xn+i(s) — Xn(s)H2 <se[0,t]

< Mn [ E sup HXn(r) — Xn- i ( r )H2ds.Jo r€[0,s]

(19)звідки, інтегруючи останню нерівність маємо, що

E sup ||Xn+i(s) — X n(s) | |2 < C 2 ,s€[0,t] n -

з чого слідує фундаментальність послідовності X n в Б т. Позначимо X := lim X n. Пе-n—реходячи в (16) до границі, отримаємо (9).

Д ля доведення єдиності припустимо, що X , Y - два розв’язки рівняння (1). За лемою З

E sup ||X (s) — Y (s) | |2 <s€[0,t]

< Mn f E sup ||X (r) — Y (r ) ||2ds.J0 r€[0,s]

Останнє виконується тільки тоді, колиE sup ||X (s) — Y (s) ||2 = 0.. Теорему дове

де [0,t] дено.

СП И С О К Л ІТ Е РА Т У Р И

1. Barbu D., Bocsan G. A pproxim ations to mild solutions of stochastic sem ilinear equations w ith non-lipschitz coefficients//Czechoslovak M athem atical Journal.—2002,— 5 2 .-p p .8 7 -9 5 .

2. Taniguchi, Takeshi; Liu, Kai; Truman, Aubrey Existence, uniqueness, and asym ptotic behavior of mild solutions to stoc hastic functional differential equations in H ilbert spaces./ / J. Differ. Equations.—2002,—181, No.1,—p p .72-91.

3. С т анж ицький O.M. Обмежені і періодичні розв’язки лінійних та слабко нелінійних стохасти- чних систем Іто //Т В іМ С .—2003.—68,—С. 155-163.

4. Kolm anovskii, V.; Koroleva, N .; Maizenberg, Т.; Мао, X .; Matasov, A . N eutral stochastic differential delay equations w ith M arkovian switch in g .//S to ch astic Anal. Appl.—2003.—21, No.4.— pp.819-847.

5. Mao, Xuerong A sym ptotic properties of neutral stochastic differential delay eq u a tio n s.// Stochastics Stochastics R e p .-2 0 0 0 .-6 8 , N o.3-4.-pp.273-295.

6 . Rodkina, A .E . On existence and uniqueness of solution of stochastic differential equations w ith hered ity .//S tochastics.—1984,—12,—pp. 187-200.

7. Liu, Kai; X ia , Xuew en On th e exponential s tab ility in m ean square of neu tral stochastic functional differential eq u a tio n s.//S y st. Control L e tt.—1999.—37, No.4.—pp.207-215.

8 . Д а лец ки й Ю .Л ., К рейн М.Г. Устойчивость решений диф ференциальны х уравнений в банаховом пространстве.— М .: Наука— 1970.—534с.

9. Дороговцев А .Я . Периодические и стационарные реж имы бесконечномерних детерминированых и стохастических динамических систем.—К .:В ищ а ш кола—1992.—319с.

10. Царьков Е.Ф . Случайные возмущения функционально диференциальны х уравнений.— Рига:3инатне—1989.—421с.


УДК 517.51

© 2 0 0 7 р. К рец у В .І ., М аслю ченко В .К .

Чернівецький національний університет ім. Ю .Федьковича

Н ЕП Е РЕ РВН ІС ТЬ ЗА С Т ЕЛ Л ІН ҐЗО М , Н А Р ІЗН А Н ЕП Е РЕ РВН ІС ТЬ ТА Ф УНКЦІЇ З ЗА М К Н Е Н И М ГРАФІКОМ

Доведено, що кож на неперервна за Стеллінґзом ф ункція f : R ^ R з замкененим графіком є неперервною.

We prove th a t every S tallings’ eontinuous function f : R ^ R w ith closed graph is continuous.

1. У математиці XX століття з ’явилося багато ослаблень поняття неперервності, як-от: квазінеперервність, майже неперервність, ледь неперервність, тощо (див. огляди [1-3] і вказану там літературу). Ще одне з таких понять, про яке не згадується в оглядах [1-3], увів Д ж . Стеллінґз у праці [4] під назвою "майже неперервність". Оскільки цей термін зараз прийнято вживати в іншому сенсі, як у [3], то ми будемо називати введене Стеллінґзом поняття неперервністю за Стеллінґзом. А саме, нехай X і У - топологічні простори і / : X ^ У — деяке відображення. Ми кажемо, що / - неперервне за Стел- лгн/зом, якщо для кожної відкритої множини Ш у добутку X х У, яка містить графік О г ( / ) = {(х , / (х)) : х Є X } відображення / , існує таке неперервне відображення д : X ^ У , що От(д) С Ш . Неперервні за Стеллінґзом відображення ми будемо коротше називати Б-неперервними. Це поняття вивчалося у працях [5-7]. Виявляється [6], що Б- неперервних функцій / : [а,Ь] ^ К настільки багато, що кожна функція / : [а, Ь] ^ К

Брезультат уточнив З.Ґранде в [7]. Крім того, в праці [7] було наведено приклад нарізно неперервної функції / : [0 , 1]2 ^ К,

Бконструкцію Ґранде, пропонуючи загальний

Б/ : [0 , 1]2 ^ К, який показує, що крім прикладу Ґранде і класична нарізно неперервна функція Ш варца, що задається співвідноше

нням вр(х,у) = ^2+^2; якщо (х,у) = (0 , 0), і вр(0,0) = 0, те є Б-неперервною. Цей результат був анонсований у [8].

У праці [9] досліджувалося питання: які умови треба додати до того чи іншого ослаблення неперервності, щоб отримати звичайну неперервність. Зокрема там були встановлені теореми про неперервність функцій, які мають замкнений графік і є ослаблено неперервними в тому чи іншому сенсі.

Серед різних ослаблень неперервно-Б

неперервності. Тому виникло природне бажання дослідити: по-перше, як пов’язані

Бфункції замкненого графіка і, по-друге,чи

Бу функції замкненого графіка звичайну неперервність.

К .Е.Барґес [10] помітив, що кожна локально обмежена функція / : К ^ К із замкненим графіком обов’язково неперервна. Зауважимо далі, що функції / : К ^ К із замкненим графіком самі по собі не дуже розривні. А саме, І.Баґґс [11] показав, що підмножина числової прямої К є множиною точок розриву деякої функції / : К ^ К із замкненим графіком тоді і тільки тоді, коли вона замкнена і ніде не щільна в К.

Результат Б аґґса узагальнив И.Добош у [12], який довів, що для довільного топологічного простору X , множина Щ / ) точок розриву функції / : X ^ К із замкненим графіком є замкненою множиною першої катего


рії в Х і , навпаки, кожна замкнена множина першої категорії в досконало нормальному просторі X є множиною точок розриву деякої функції f : X ^ Е із замкненим графіком.

Таким чином, ми бачимо, що функції із замкненим графіком, як правило, не дуже розривні. Тому первісні спроби пояснення того, що Б-неперервна функція f : Е ^ Е із замкненим графіком є неперервною, базувалося на результатах Барґеса і Баґґса. Так в [13] було анонсовано результат про те, що кожна Б-неперервна функція f : Е ^ Е зі замкненим графіком та ізольованими розривами є неперервною. Доведення здійснювалося на основі теореми Барґеса. Далі в [14] було оголошено, що з допомогою теореми Б аґґса умову ізольованості розривів можна зняти. Детальніший аналіз первісного доведення цього ф акту виявив одну перершко- ду, яку не вдалося подолати. В пошуках інших підходів ми ввели новий клас функцій, названих нами перехідними, і встановили, що кожна перехідна Б-неперервна функція f : Е ^ Е є неперервною. Оскільки кожна функція f : Е ^ Е із замкненим графіком є перехідною, то тим самим ми отримали поЗИТИВНу ВІДПОВІДЬ НИ ПОСТИВЛ6Н6 ВИІЦ6 питання.

2. Почнемо наш виклад з наведення двох прикладів, які показують, що Б- неперервність і наявність замкненого графіка для відображення f : Е ^ Е ніяк не пов’язані між собою.

Т в е р д ж е н н я 1. Функція f : Е ^ Е , яка задається формулою: f (х) = X пРи х = 0 і f (0 ) = 0 , має замкнений графік в Е 2, але не

БДоведення. Ми будемо використовува

ти просте твердження про те, що графік неперервного відображення f : X ^ У зі значеннями у гаусдорфому просторі У обов’язково замкнений у добутку X х У. Розглянемо множину С = Е \{0}, яка, очевидно, відкрита в Е. Оскільки звуження д = f |с неперервне, то Сг(д) є замкненою множиною в добутку С х Е , а значить, його доповнення в множині С х Е є відкритою множиною в

G х Е, а тому і в R 2, бо G х Е є відкритою в Е 2. Тому для того, щоб встановити, що множина H = E 2\G r ( f ) є відкритою в R 2, досить довести, що кожна точка р0 = (0 ,у0), де у0 = 0, є внутрішньою для H. Але це легко випливає з того, що lim 1 = + го іx^+0 xlim - = —го. Таким чином, G r ( f ) замкне-x^ - 0 x

Е 2 HЕ 2

Покажемо, що f те є S'-неперервною функцією. Розглянемо три множини:

W\ = {(x, y) Є R 2 : x > 0 ,у > 0 і x + у > 1},

W 2 = {(x,y) Є Е 2 : x < 0, у < 0 і x+ y < —1},

W 31 14 ’ 4

Зрозуміло, що всі ці множини і множина W = W\ U W2 U W3 відкриті в Е 2. Крім того, множини W i, W2 і W3 попарно не перетинаються. Оскільки x + X > 2 для всіх x > 0, то G r ( f |(0,+т е )) С Wb G r ( f |(- т е ,0)) С W2 і (0, 0) Є W3, отж е, G r ( f ) С W. Якщо припустити, що функція f є S'-неперервною, то існує неперервна функція g : Е ^ Е, у якої Gr(g) С W. Розглянемо три точки pi = (1 ,g (1)) ,p 2 = (—1 ,g (—1)) і рз = (0, д(0)). Зрозуміло, що рі Є Wi ПGr(g), отже Wi П Gr(g) = 0 для кожного і = 1, 2, 3. Гра-

G r (g)Е

множиною, при неперервному відображенні h : Е ^ Е 2, h(x) = (x,g(x)). Але зв ’язну множину не можна розбити на три непоро-

fS-неперервною функцією.

Твердження 2. Функція, f : Е ^ Е , яка задається формулою: f (x) = sin 1 при x = 0 і f (0) = 0 , є S -неперервною, а ї ї графік G r (f ) Е 2

W Е 2G r (f ) С W

чка (0,0) Є W, бо f (0) = 0, тобто (0,0) Є G r (f ) Wіснує таке 8 > 0 що [—8 , 8]2 С W . Розглянемо Нулі функції f , тобто Т О Ч К И xn = пл;де n Є Z \{0 } . Оскільки x n ^ 0 при n ^ го ,

2


то існує такий номер N що \хп \ < 8 при \п\ > N. Розглянемо тепер функцію д : К ^ К ,д(х) = / (х) при \х\ > / п і д(х) = 0 при \х\ < діл - Зрозуміло, що ця функція неперервна і От(д) С Ш.

Легко переконатися в тому, що Єт( / ) не є замкненою множиною в К 2. Д ля цього розглянемо точки ап = п/2+2пп при п Є N в яких / (ап) = 1. Точки рп = (ап , 1) належать до От( / ) і рп ^ р0 = (0 , 1) при п ^ ж. Але при цьому р0 Є С т ( / ). Це показує, що множина От( / ) не замкнена в К 2.

3. Приступимо тепер до викладу загального способу побудови функцій / : [0 , 1]2 ^ К, які не є Б-неперервними. Нагадаємо, що символом Р ( / ) ми позначаємо множину точок розриву функції / , а символом С ( /) - множину ї ї точок неперервності.

/ :[0 , 1]2 ^ К задовольняє такі умови:/ (х , х) = 1 при 0 < х < 1, / (0 , 0 ) = 0 і Б ( / ) = {(0, 0)}. Тоді / не є Б-неперервною.

Доведення. Розглянемо множини

Wl

Щ2 = {{х, у, г ) : (ж, у) Є [0, 1]2 \ { (0 , 0)} і

/ ( х , У) — 4 < г < / ( х , У) + 4 } ’

Щ = Щі и Щ2.

Очевидно, що множина Щ1 відкрита в добутку Р = [0,1]2 х М. Доведемо, що множина Щ2 є відкритою в Р. Нехай до = (хо,уо, г0) Є

Тоді ро = (хо,уо) Є [0,1]2 \{ (0 , 0)} і / (Ро) - у < го < / (ро) + 4- За умовою фун

/ рокий окіл и точки ро в квадраті [0, 1]2 і таке число 8 > 0 що (0 , 0 ) Є и / (р) — 4 < го — 8

і / (р) + 4 > го + 8 , як тільки р Є и . Множина и х [го — 8 , го + 8] є околом точки до

РЩ2. Це показує, що множина Щ2 є околом кожної своєї точки, а значить, є відкритою

РЗ відкритості множин і Щ2 випли

ває відкритість множини Щ. Зрозуміло, що

Ст(/ ) С Щ. Припустимо, що існує така неперервна функція д : [0, 1]2 ^ Е, що От(у) С Щ. Розглянемо діагональ к(х) = д(х, х) функції д. Ця функція неперервна на відрізку [0,1]. Розглянемо мкожини С 1 = [0 , 2) х(—1 , 4 ). С 2 = (0 , 1] х (4 , 4 ) і с = С і и с 2.Легко перевірити, що Ст(к) С С. Справді, нехай х Є [0,1]. Тоді точка д = (х, х, к(х)) = ( х , х , д( х , х ) ) Є Ст(д), а значить, д Є Щ. Якщо д Є ЩІ5 то 0 < х < 1 і — 4 < к(х) < 4, отже, (х , к(х) ) Є С у. Якщо ж д Є Щ2, то 0 < х < 1 і к(х) Є / (х, х) — 4, / (х, х) + у) =(4 , 4 ) , бо / ( х , х ) = 1 тому (х ,к (х)) Є С 2-

(0 , к (0 )) (1 , к (1)) функції к, а значить, належать до множини С. Оскільки 0 Є (0,1] і 1 Є [0, 4), то обов’язково (0,к(0)) Є С у і (1, к(1)) Є С 2. Тому к(0) < 4 і к(1) > | . Нехай у - довільне число з інтервалу (4, 4). За теоремою про проміжне значення, існує таке число с Є (0,1), що к(с) = 7 , адже к(0) < ^ < к (1) і функція к неперервна. В такому разі (с, 7 ) = (с, к(с)) Є Ст(к) С С, отже, (с, 7 ) Є С. З другого боку, (с, 7 ) Є С, бо 1 < Ч < 4- Отримана суперечність показує, що не існує неперервної функції д : [0 , 1]2 ^ М, такої, що Ст(д) С Щ, отже, функція / те є А-неперервною.

Розглянемо функцію Ш варца, яка визначається рівностями: вр(х,у) = хг+Д якщо х2 + у 2 = 0 і вр(0, 0) = 0. Ця функція нарізно неперервна і для неї Б(вр) = {(0 , 0)}, вр(х, х) = 1 при х = 0 і вр(0,0) = 0. Тому на основі твердження 3 функція вр не є А-неперервною на квадраті [0,1]2. Таким чином з нарізної неперервності функції не випливає ї ї А-неперервність. Приклад, який навів З.Ґранде [7], теж підпадає під дію твердження 3.

4. В цьому пункті ми введемо новий клас функцій, який допоможе нам розв’язати за-

Акцій із замкненим графіком.

Нехай / : М ^ М - функція і а Є М. Верхнім /н и ж н ім / переходом для / у точці а ми називаємо множину Р = (а — 8 , а + 8) х {у}, де 8 > 0 і у > / (а) / у < / (а )/, якщо Р П Ст(/ ) = 0 . Функцію / назвемо пере


хідною зверху / з н и з у / у точці а, якщо для кожного є > 0 існують такі числа у і 8 > 0 , що f (а) < у < f (а) + є / f (а) - є < у < f (а)/ і множина Р = (а — 8 , а + 8) х {у} є верхнім /ниж нім / переходом для ^ ^ точці а. Фун

аа

функція f називається перехідною чи перехідною зверху або знизу , якщо вона є такою

ЕТ в е р д ж е н н я 4. Нехай функція f : Е ^

Е Бчці а Є Е. Тоді f є неперервною зверху в

ає > 0

знайти таке 8 > 0 що для всіх х з околу и = (а — 8 , а + 8) точки а виконується нерівність f (х) < f (а )+ є. Оскільки f перехідна зверху в точці а, то існують окіл и = (а — 8 , а + 8) і число у Є ( f (а )Д (а ) + є), такі, що ( и х { у } ) П С r ( f ) = 0 . Доведемо, що f (х) < у для

х Є иточка хо Є и , така, що f (х0) > у ■ Насправді f (хо) > у, бо хо Є и і ( и х {у}) П С r ( f ) = 0 . Зауважимо, що х0 = а, адже f (х0) > у, а f (а) < у. Тому можливі два випадки: а — 8 < х 0 < а і а < х 0 < а + 8 . Розберемо їх окремо.

Нехай а — 8 < х 0 < а. Розглянемо ламану

Ь = ({х0} х (—ж , у]) и ([х0, а] х {у})и

и({а} х [у , + ж ) )Е 2

її доповнення Ж = Е 2 \ Ь розпадається на дві диз’юнктні відкриті множини

Ші = ((—ж , х0) х Е) и ([х0,а) х (у, + ж ))

і

Ш2 = ((х0, а] х (—ж , у)) и ((а, + ж ) х Е).

Ясно, що Ь П С r ( f ) = 0, адже ({х0} х (—ж , у]) П С г(! ') = 0 бо f (х0) > у, ({а} х [у, + ж ) ) П С г^ ) = 0 , бо f (а) < у і ([х0, а] х {у}) П С г (І ') = 0 , 6о [Xо, а] х { у } С и х {у } і и х {у} - верхній перехід для ^ ^ точці а. Тому С r ( f ) С Ж. Оскільки f є Б-неперервною, то існує неперервна функція д : Е ^ Е, така, що С г (д) С Ж. Зрозуміло, що

0 = С г^ і- ^ хо)) С С і = Жі П Сг(д)

і

0 = Сг(д|(о,+«,)) С С 2 = Ж П Сг(д).

Множини С і і С 2 непорожні і відкриті в С г (д), причому С і П С 2 = 0 . Таким чином, ми розбили графік Сг(д) неперервної функції д : Е ^ Е на дві непорожні і відкриті в

С і С 2зв’язності.

Нехай а < х 0 < а + 8 . В цьому випадку ми розглядаємо ламану

Ь = ({х0} х (—ж ,у ]) и ([а,х0] х {у})и

и({а} х [у , + ж ))і відкриту множину Ж = Е 2 \ Ь, яка подається у вигляді диз’юнктного об’єднання двох відкритих множин

Ші = ((—ж , а) х Е) и ([а,х0) х (—ж , у))

і

Ж = ((а ,х 0] х (у, + ж )) и ((х0, + ж ) х Е).

Далі міркування продовжуються аналогічно і ми отримуємо, що f (х) < у для ко

х Є иОскільки у < f (а) + є, то f (х) < f (а) + є

для всіх х Є и. Отже, функція f неперервна а

Бхідна зверху функція, f : Е ^ Е є напівне- перервною зверху.

Переходячи від функції ^ ^ н к ц і ї —f ,ми з допомогою твердження 4 отримуємо такі результати.

Т в е р д ж е н н я 5. Нехай функція, f : Е ^ Е Бчці а. Тоді f є неперервною знизу в точці а

Бхідна знизу функція, f : Е ^ Е є напівнепе- рервною знизу.

З отриманих результатів негайно випливають основні результати цієї статті.

Бкція f : Е ^ Е , яка є перехідною в точці а Є Е а


Т ео р ем а 2. Кожна перехідна S- неперервна функція f : R ^ R e неперервною.

Нехай функція f : R ^ R має замкнений графік. Розглянемо довільну точку a Є R і число y = f (a). Зрозуміло, що (a,y) Є G r ( f ). Оскільки G r ( f ) - замкнена множина в R 2, то існує таке ö > 0, що

((a — ö,a + ö) х (y — ö,y + ö)) П G r ( f ) = 0 .

Тоді і ((a — ö,a + ö) х {y}) П Gr ( f ) = 0 . Звід-f

a f Таким чином, ми встановили наступний результат.

Т в е р д ж е н н я 6 . Кожна функція, f : R ^R

Звідси і з теореми 2 отримуємо:S

кція f : R ^ R із замкненим, графіком, є неперервною.

Приклад функції Діріхле f : R ^ R, для якої f (x) = ^ ^ щ о x Є Q i f (x) = 0, якщо x Є Q) показує, що функція може бути перехідною, не маючи при цьому замкненого графіка і будучи скрізь розривною.

Властивість перехідності хоча і дуже слабка, але все ж не притаманна усім функціям f : R ^ R. Наприклад, S-неперервна функція f : R ^ R із твердження 2 не тільки не має замкненого графіка, але й не

0У зв’язку з цим виникає питання: чи існує функція f : R ^ R, яка не є перехідною в

x Є R

СП И С О К Л ІТ Е РА Т У Р И1. Piotrowski Z. A survey of results eoneer-ning

generalized continuity on topological spaces / / Acta M ath. Univ. Comen. - 1987-1988. - 52-53 . - P.91-110.

2. Neubrunn T. Q uasi-continuity / / Real Anal. Exeh. - 1988-1989. - 14, .V'3. - P.259-306.

3. Natkaniez T. A lmost continuity. - Bydgoszcz: Wyzcza Szkola Pedagogiczna w Bydgozczy, 1992. - 131p.

4. Stallings J. Fixed point theorem for connectivity m aps / / Fund. M ath. - 1959. - 47. - P.249-263.

5. Kellurn K .R ., Garrett B .D . Almost continuous real functions / / Proc. Amer. M ath. Soc. - 1972. - 33. - P.181-184.

6 . K ellum K .R . Sums and lim its alm ost continuous functions / / Collog. M ath. -1974. - 31. - P.125-128.

7. Grande Z. Quelques rem arques sur les functions presque continues / / Zesz. Nauk. W SP Bydgoszezy Probl. M at. - 1988. - 10. - P.60-70.

8 . К рецу В. П риклади нарізно неперервних ф ункцій, які не є майже неперервними за Стеллінґзом / / М атеріали студентської наукової конференції, присвяченої 130-річчю Чернівецького університету. Фіз.-мат. науки. - Чернівці, 2005. - С .71-72.

9. Piotrovski Z., Vallin R. W. Conditions w ith im ply continuity / / Real Anal. Exch. - 2003/2004.- 29, № . - P.211-218.

10. Burgess G.E. Continuous functions and connected graphs / / Amer. M ath. Monthly. - 1990.- 97. - P337-339.

11. Baggs I. Functions w ith a closed graph / / Proc. Amer. M ath. Soc. - 1974. - 43. - P.439-442.

12. Dobos J. On the set points of discontinuity for functions w ith closed graphs / / Casopis pro pestovani m atem atiky. - 1985. - 110. - P.60-68.

13. К рецу В. З в ’язки м іж неперервністю за Стеллінґзом, наявністю замкненого граф іка і неперервністю / / М атеріали студентської наукової конференції. Фіз.-мат. науки. - Чернівці, 2006. - С .410-411.

14. К рецу В. Неперервність S'-неперервних ф ункцій із замкненим графіком / / М атеріали студентської наукової конференції. Фіз.-мат. науки. - Ч ернівці, 2007. - С .405-406.

54 Ріауковий вісник Чернівецького університ ет у. 2007. В ипуск 349. М атематика.

УДК 517.96

© 2 0 0 7 р. О .М . Л еню к


ЗА Д А Ч А К О Ш І Д Л Я ЕВО Л Ю Ц ІЙ Н И Х РІВ Н Я Н Ь З П С ЕВДО -БЕС С ЕЛ ЕВИ М И ОПЕРАТОРАМ И

Встановлюється коректна розв’язність задачі Коші для еволюційного рівняння з псев- додиференціальним оператором, побудованим за негладким у точці 0 однорідним символом та початковою умовою, я ка є узагальненою функцією типу розподілів.

We establish the correct solvability of the Cauchy problem for an evolution equation w ith an initial condition, the right hand side of which is a generalized function of a d istribution type.

У теорії задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних рівнянь (ППДР) на теперішній час добре відомі результати про будову та оцінки фундаментальних розв’язків задачі Коші (Ф РЗК), за допомогою яких одержані інтегральні зображення розв’язків. Псевдодиференціальні оператори (ПДО), які входять до таких рівнянь, формально можна подати у вигляді Е-_^Х[а(г,х; а )Е х^а], [ х , о ] С Шп, ї > 0 , де а - функція (символ), що задовольняє певні умови, Е , Е -1 - пряме та обернене перетворення Ф ур’є. Якщо символ не залежить від ї, х (тобто а = а(а)), то задача Коші коректно розв’язна в просторі узагальнених функцій типу розподілів; при цьому розв’язок подається у вигляді згортки Ф РЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцією.

До псевдодиференціальних рівнянь формально можна віднести і сингулярні еволюційні рівняння з оператором Бесселя (Б- параболічні рівняння), який вироджується по певній просторовій змінній, а саме рівняння при цьому вироджується на межі області, оскільки оператор Бесселя

B d2 + 2 v + 1 dv dx2 x d x '

можна визначити за допомогою співвідношення Б ир = - Е — [о'2ЕВі/ [р]], де ЕВі/ - перетворення Бесселя, р - елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорія задачі Коші та крайових

задач для сингулярних параболічних рівнянь побудована в працях М.І.Матійчука, В.В.Крехівського, І.А.Кіпріянова,В.В.Ка грахова. С.Д.Івасишена,В.П.Лавренчука, І.І.Веренич та інших математиків. Задача Коші для сингулярних параболічних рівнянь у класах розподілів та у класах узагальнених функцій типу Б' та вивчалась Я.І.Ж итомирським,В.В.Городецьким, І.В.Ж итарюком,В.П.Лавренчуком, () .В.Мартишок.

До класу псевдодиференціальних рівнянь природно віднести еволюційні рівняння з оператором А = Е-^[а ■ Е Ві/ ], де а - однорідний негладкий у точці 0 символ. Д ля таких рівнянь задача Коші не вивчена.

АБесселевим оператором. Отже, актуальним є питання про розвиток теорії задачі Коші для еволюційного рівняння вигляду

( ’ ) + Аи( ї , х ) = 0, г Є (0 ,Е ],х Є Е + ,

(!)одержання для такого рівняння результатів, подібних до відомих у теорії задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних рівнянь зі сталим символом а = а(а) (тобто символом, не залежним від ї, х). У цій роботі вивчається вказане питання для рівняння (1) в класах початкових даних, які є узагальненими функціями типу розподілів.

1. Простори основних та узагальне

dt


н их ф у н к ц ій . Нехай у - фіксоване число з множини (1, +то) \ {2, 3, 4 , . . . }, V - ф іксоване число з множини {3/2; 5/2; 7 /2 ; . . . }, ро := 2v + 1 70 := 1 + [у] + ро, М (х) := 1 + |х|, х Є Ж Елементами простору Ф, за означенням, є нескінченно диференційовні на К функції р, які задовольняють нерівності

І ° 1 Р(х)| < ^ ,І - (1 + |х|)70+Г

х Є Ж,ск > 0, к Є 2+.Ф

ваного простору за допомогою норм:

||р||р := ^ М ( х )10+ к р (х)| 1 ,и =о )

р є Ф,р є 2;+.Позначимо через Фр поповнення Ф за р

ою нормою. Фр - банаховий простір, при цьому, як доведено в [1], вкладення Фр+ 1 С Фр, р Є 2+ , є неперервним, щільним і компа-

СОФ = Фр Ф

р=0лий зліченно нормований простір. Зазначимо, що збіжність послідовності {рз , і > 1} С Ф у просторі Ф до функції р Є Ф можна охарактеризувати так [1]: { рз , і > 1} С Ф збіга-

Фр Є Ф т о д і і т і л ь к и т о д і , коли вона:

Ф

Ур Є 2+ Зс = с(р) > 0 У і > 1 : \\рз ||р < с;

Фдовільного а Є 2+ послідовність {ОХ(рз — р) , І > 1} збігається до нуля рівномірно на кожній обмеженій замкненій множині К С Ж.

Фрації зсуву аргументу та диференціювання.

Фставі загальних результатів теорії досконалих просторів (див. [2]) твердимо, що опе-

Фше неперервна, але й нескінченно диферен- ційовна, тобто граничні співвідношення

р (х + Д х) — р (х) ,-----------л------------------ > Р (х)Д х Аж 0

виконуються у розумінні збіжності в просторі ф.

оф

фо о

ки ф утворює підпростір ф, то в ф природним способом вводиться топологія. Цей простір з відповідною топологією називатимемо основним простором, а його елементи - основними функціями.

оф

ретворення Бесселя FBv [3]:

сю

FBv [И ( 0 = У P (x)jv(x £)x2v+1dx, р є <1 0

(тут j v - нормована функція Бесселя). При цьому FBv [р] - парна, обмежена, неперервна на R функція. Наведемо ще деякі властивості функції FBv [р], встановлені в [4]:

о1) якщо р Є ф, то FBv [р] - нескінченно

диференційовна на R \ {0 } функція;2) у функції f bv [р ], £ = 0 к є

Z+, існують скінченні односторонні границіk О^Іііл D ^FBv [р](£), р Є ф; при цьому функція

D 2kFBv [р], £ = 0 к Є N У т0 4 ці £ = 0 маєусувний розрив;

о о3) функції з простору ф = FBv [ф] задо

вольняють умову:

Уз Є Z+ 3cs > 0 :

sup |£SDS (£) | < Cs, ф є Ф•?єк\{0}

4) £SD SFB [р] є b 1(R ) з Є Z+, для довіль-о

р Є фНа підставі властивості 3) в праці [4] у

опросторі ф вводиться структура зліченно нормованого простору за допомогою системи норм

Ш р := suP £2k |D | V (£ )|1 >«Є(0,ю) [ k=0 J

ф Є ф ,р Є Z+.


Символом ТХ позначимо оператор узагальненого зсуву аргументу, який відповідає оператору Бесселя [3]:

П

0

х sin2v udu , р Є Ф,

де bv = r ( v + 1)/(Г (1 /2)Г (^ + 1/2)).Говоритимемо, що оператор Tf визначе-

° f ° ний у просторі ^ ^ щ о Tf р Є Ф для ко°

жного р Є Ф. У праці [5] доведено, що оператор узагальненого зсуву аргументу Tf ви

°Ф

ція узагальненого зсуву аргументу р ^ Tf р°Ф

ченно диференційовна).Простір усіх лінійних неперервних фун

°Ф

°тимемо символом (Ф);- Оскільки в основно

°Ф

° °ної границі просторів Фр (Фр складаєтьсяз парних функцій простору Фр), причому

° °вкладення Фр+і С Фр, p Є Z+, неперервні, щільні та компактні, то

° ° °(Ф ) = ( lim pr Фр) = lim ind (Фр);.р^Ж р^Ж

° °Отже, якщо f Є (Ф)/ то f Є (Фр) при деякому p Є Z+. Найменше з таких p називається

f°

кція f Є (Ф ) має скінченний порядок.°Ф

ція узагальненого зсуву аргументу, то згор-°

тку узагальненої функції f Є (ФрУ з основною функцією задамо формулою

( f * р )(х) = < f f , T f р (х) >=< f f і Ц р ^ ) >>

при цьому f * р є нескінченно диференційов- ною на R функцією, бо операція узагальненого зсуву аргументу нескінченно диферен-

°Ф

1 ◦ ◦ Оскільки Е— [р] Є ^ ^ щ о р Є Ф, топеретворення Бесселя узагальненої функції

О/ Є (Ф)' визначимо за допомогою співвідношення

О< Ев^,[/] , р > = < І' ,Ев ^ [р} >, у р Є Ф-

Звідси, з властивостей лінійності і неперерв- /

селя (прямого і оберненого) випливає лінійність і неперервність функціоналу ЕBv [/]

ОФ

[5] встановлено, що якщо узагальнена фун-О О

кція / Є (Ф)' - згортувач у просторі Ф, тоО

р Є Фформула Ев„ [/ * р] = Ев„ [/] ■ Ев„ [р], при цьо-

Ому Е вV [/] є мультиплікатором у просторі ф.

2. Задача Кош і. Нехай а: Е ^ [0, +го) - неперервна, парна на Е функція, однорідна порядку у Є (1, +то) \{2 , 3, 4, . . . }, тобто а(Ах) = А7а(х), X > 0, яка:

х =0

аву

Ук Є N Зок > 0 Ух Є Е \ {0} :

\БХа(х) \ < Ск\х \7-к ;

3) З£ > 0 Ух Є Е: а(х) > £\х\7.а

Омультиплікатором у просторі ф. У зв’язку з

О Оцим розглянемо оператор А: Ф ^ Ф, який визначимо за допомогою співвідношення:

ОА р = Е в [аЕвV [р ]], у р Є Ф-

Із властивостей перетворення Бесселя (пря-а

ний і неперервний оператор, який, як ми і домовлялись раніше, називатимемо псевдо- Бесселевим оператором.

Перейдемо до дослідження еволюційного рівняння (1). Під розв’язком, (1) розуміти-

Омемо функцію и Є С ((0 ,Т ], Ф), яка задовольняє це рівняння.


Передусім дослідимо властивості функції Урахувавши (2) подамо в(Ь,а) , а = 0, уВ И ГЛ Я ДІ!сю

G(t ,a) = F— [e-ta(x)](a) = cv J e-ta(x)x G(t, a) = А Д , a) + Л2Ц, a),

0 де

x j v(ax)x 2u+1dx, t Є (0 , T] ,a Є R. ю /t - і -тл Л At a ) = Cn e-ta(x)xn+1 чі Д x^ _ ^ 2 _ |xІз властивостей нормованої функції Ьесселя a n+1 / I 2 /

G 0a при фіксованому t Є (0 , T ] і нескінченно / 1 \диференційовна по a. Отже, x f І — І dx

axсю

DmG ( t , a ) = e-ta(x)D j (ax )x 2v+ 1dx, cn /' t ( ) +-, / ппа У J 1 > ’ ^ 2(t ,a) = - Cn-T e-ta(x)x n+1 cos x a - s/

an+ 1 J ~ ~ — \ — 2 '

^ = n + 1/2, n Є N ,m Є Z+.

Розглянемо випадок m = 0 і скористає- x Q n | ax l dx-мося зображенням бесселевих функцій на- півцілого аргументу [6]: Введемо позначення:

• w x> = J -2 i sin(x - т Д x ) + ч д = t + + ч д = t < +

+ COS(x - x > 0 M t . a ) = Cn t

Тодіn

bk

де Pn I — I - многочлен степеня n відносно

n ank=0

x I T /, \ I —t.a(x) n—k+1 • і ппh , k( t , a ) = j e ta(x)xn k+ 1 sinj x a — )dx,

d~ 1 Qn( — І _ многочлен степеня п — 1; приX \ Х І п-1

цьому Рп(0) = — Qn(0) = 0 . Оскільки нор- Л2(і, а) = Сп2_^ п+к+1І 2,к(А а),мована функція Беселя пов’язана з фун- к=ікцією Бесселя 3 формулою °2 / \

2йГ(и + 1 / 2) І 2,к(ї,а) = е-а(х)х п - к +1 соП ха — ^ ^ х .з»(х) = -------хз 3 (х), х > 0 , 0 V /

У подальшому нам потрібні будуть оцін- то маємо наступне зображення для функції ки ПОХщНИХ функції ехр{—а(£)}. Скористав-Зп+ 1/2' шись формулою Фаа де Бруно диференцію-

( / \ / \ вання складеної функції

Ч х —т ) Ч х ) + „ _ _ = + ^D (F («(*))) = £ — F (g)xm=1

+ cos( x - Д Д Д - I }, n Є N ,x > 0. 3 w) Vx / J ^ mi! . . .mi !/ r\\------------------------ ---+mi=m(2) mi + 2m2+--+(mi = s


k

(знак суми поширюється на всі розв’язки в цілих невід’ємних числах рівняння в = т 1 + 2ш 2 + • • • + Іті, т = т 1 + • • • + ті) та поклавши тут Г = еа, д = —а(х) знайдемо,

5\ Б 3Хе-а(х) \ < е-<5|х|7 с(т, в)\х\ут-3 (3)

т=1

(якщо в = 0 то сума відсутня, якщо в = 1 , то т = 1 і т.д.).

Оцінимо І \к (і, а). Здійснивши заміну змінної інтегрування х = і - 1/ і у та врахувавши властивість однорідності функції а(х) знайдемо, що

І і к (і ,а) = 10^ (г),

де

якщо l = n — k + 1 (в сталі, конкретні значення яких та даний момент не важли-

із значеннями вІ пп п

ві; л = в т І гу - — + в

точці у = є та у нескінченності). Зазначимо, що якщо І = п — к +1, то в — 1 — І = [у]. Звідсита з оцінки (3) випливає, що для 0 < у < 1справджується нерівність

\D(t3- l - l ) e-a(y)\ =\ = \D[y(]e-a(y)\ < c y (-h] = cy{Y}

Якщо 0 < l < n — к,то (yn k+l )(l) = const• ya, де а Є N Звідси випливає, що lim Ф(є, z) =є^+00 для кожного z. На нескінченності вказані позаінтегральні доданки перетворюються в нуль за рахунок спадання на нескінченності функції exp{—a(y)} та ї ї похідних.

Отже, врахувавши формулу диференціювання добутку двох функцій дістанемо, що оцінка \I0k\ зводиться до оцінки суми інтегралів вигляду:

Д д (z ) e-a(y) yn - k +1 sin ( z y - ) dy,

z = t l / l a.

— limZs є^+0

D 3 (e-a(y)yn-k+1)x

1I0k(z)\ < Т- s \Dy(e-a(y))yn-k+l \dy <\z\s y

0

Оскільки, за припущенням, z = 0, то інтегруючи s = n — k + 2 + [ 7 ] разів частинами подамо I 0 k(z) у вигляді:

I0k(z) = lim f e-a,y,y"-k+1xS + 0 I

• I nn 1 Jx sin ( z y — ) dy

<\z\s

\Dy (e-a(y)) \ • yn-k+ldy+

+ s(n — k + 1) / \D3- l (e-a(y))\yn-k dy + ••• +

+ , (П , k + 1)!. . ,C - [ \D3- j (e-a(y))\x(n — k + 1 — j )!

x yn-k+l-j dy +------- +

+ (n — k + 1)! / \Dl+M(e-a(y))\dy (4)

• I nn П .x sm ( z y — — + s 2 \ dy + ф(с z)

Символом Ф(є,г) позначається позаінте- гральний вираз, який складається з доданків вигляду с(уп-к+і)(1) (е-а(у)) (з-1-і) • Л, якщо 0 < І < п — к, та доданку с(е-а(у')) (з-1-1') • Л,

Із оцінок похідних функції ехр{—а(у)} випливає, що всі інтеграли є збіжними. Справді, розглянемо один з інтегралів у сумі (4), який відповідає індексу п — к + 1 — д. В околі точки у = 0 (0 < у < 1) підінтегральна функція внаслідок (3), допускає оцінку

уп-к+1- і \В в- і(е -а (у))\ < суп-к+1-у • уУ-(з- і) =

1


= Су {і}-1 = С Підсумуємо отримані результати у вигля-у ді наступного твердження,

звідки і випливає збіжність відповідного ін- Т ео р ем а 1. При кожному Ь Є (0 ,Т ]теграла, бо 0 < 1 — {р } < 1 Є (Ь} а ), як функція аргументу а, є елемен-

Отже, якщо а = 0 , то том, простору Ф. Д л я функції Є та її похг-п дних правильними є оцінки (5).

< сп^ ^ 2 Ьк-і-(п+к+1)/т д - (п-к+2)А х Оскільки і (0) = 1 а(0) = 0,

е- «.«> = [С(«,а)]К) =

О

= / Є (г, а )і и )а 2и+Ча ,

то звідси дістаємо, що має місце формула

к=0

х г -(п+к+1) \І°1к (г)\ < Сп,V -У2 ЬкГ(2п+3)/іхк=0 =

і-(п+к+1) _ її- (п -к + 2+[7І) = 0х\ г\ - ( ) • \г \

ї - (2п+з)/ 7 •\г \ - (2п+з+[7])Сп Ьк , г = і -1/у а.

Зауважимо, що

пСпх • Ьк

к=о І С( і , а ) а21'+ О а = 1.

Ю Функція О є розв’язком рівняння (1).\І0к(г)\ < е-а(у')уп-к+1 дьу = ск, Уг Є Е , Справді,

пп /І і т І 0 к(г) = — Пп — б-а(у)уп-к+Чу = а к ,г^ 0 ’ 2 І

0

Д « , * ) = = г - 1

З іншої сторони,

д є- Н 0д і є

\ак\ < Ск. А ° (і ,а ) = р в Л а(£)рВ [О (і,а)]]

Звідси дістаємо, що

\Л1( ї, а)\ < с1 і -(2п+3)А • і (2п+3+С])У х Р ф '№ 0 е-іа(°] = —Р - 1 д е- іа(0З і 6

х(£ 1/ і + \а \) - (1+д0) = Звідси вже випливає, що функція О задовольняє рівняння (1).

= щ Л ]/7(і 1/7 + \а \) - (1+7о), 7о = Ы + Ро, Теорема 2. О( і , •) — 5 при і — +0 у

Ро = 2и + 1 = 2п + 2. просторі (Ф)'.Аналогічно оцінюємо \Л2( і ,з)\. Таким чи- ю Д оведення. Урахувавши, щоном, правильною є нерівність [ 2v+ 1 . . .

/ О( і , х ) х ах = 1 , для довільної функції\О(і, а)\ < Сі[7]/7 (і1/7 + \а \)-(1+7о), а Є Е, 0

О• , р Є Ф маємо:С

За наведеною вище схемою розглядаємо \ < о ( і , ^),р > — < 5, р > \ =випадок т Є N СЮ

В результаті прийдемо до нерівності: [ 2v+1О( і , х ) х р (х )ах —

\Рс О (і , а)\ < а ті [7]/7 (і1/7 + \а\)- ( т + 1+70),(5) ю

і Є (0, Т] , іг Є К, т Є N ,70 = [7І + ро, — Г С(г,х )х 2^+ 1р(0)ахде стала а т те залежить від і. 0

<


< J \С( і , х) \ х2і'+1\ф(х) — ф(0)Дх = І (і). о

Д ля доведення твердження досить показати, що

Ує > 0 Зі0 = і0 (є) У і :

0 < і < і0 х І (і) < є.

де

^ і в(2-+2)/^ вва(п)3и( у у ) у 2и+Ч у

0= г і2„+2)/7 До(у),

Со(у) = Е в ’ Д ^ К у ) .Отже,

і і(г) ^ у \Go(y)\y2v+ldy = ь < +то, Уг > 0. 0

Оскільки ф Є Ф, ТО ЗаСТОСуваВШИ форму- . / м 2 +1Г. (і) <Г І І (у) І у и+ Л'»« —лу про скінченні прирости знайдемо, що \ф(х) — У(0)\ < \ф'(0 \ • \х \ < М • \х \, де М = ХєР \ ф (х ) " ®*зьмемо тепеР є 3 пРоміж_ Далі, врахувавши обмеженість функції ф на

/п т\ ■ , г .1/(2т) т К, а також оцінкуку (0 ,Т ) і покладемо і0 = є, о = і0 . 1о- •’ді \ф(х) — ф(0)\ < М • є 1/(2і \ якщо тільки а 0і [і']/і

\С ( і , х )\ < (і1/ 1 + \х\)1+[1]+2^+1 >

для кожного і: 0 < і < і0 = є прийдемо до

\х\ < ІІ/{27). Отже,

1/(27)0

I (г) < М ■ є1/ (27) ■ \G(t , x) \x2v+1 dx+ нерівності:

І 2(г) < 2 а 0оі'17/ і ^ 2 а оС ,[7]/7^

+ І \G(t,x)\■ \р(х) — р (0 )\x2v+1dx = 1/(27)х 1+[7 [д]

т ™ 7 х

і1/(27)0

= М • є 1/(2^ І 1( і ) + І 2(і).

І 1 (і )Ю

І 1(і) < ! \0 ( і , х) \ х2і'+1дх.0

Поклавши х = і 1/ і у дістанемо, щоЮ

[ \С( і , х) \ х2и+1дх = і ^ + У ^ х

х у \С( і , і 1/7у ^ + Ч у .0

амо, що

С ( і , і 1/7 у) =

ХгВ-[7]/(27) < 2а о С (27) = ь1 ■ Є[7]/(27)[7] "0

о = т а х \р(х)\хЄІ

Отже,

СV евЩ()з,. (г1/7у О Є ,+1<%І1/7 £=ц

Ує Є (0 ,Т ) 3 і0 = є Уі :

0 < і < є х І (і) < МЬє1/(2‘7') + .

Аналогічна оцінка встановлюється для довільного є > Т; при цьому за і0 = і0(є) мож на взяти довільне фіксоване число з про-

(0 , Т )

< С(і, •), ф > — ^< 5, ф > , і —— +0,О

для довільної функції ф Є Ф.Теорема доведена.

ОН а сл ід о к 1. Нехай f Є (Ф)',

ш(і,х) = ( f * С)( і , х) , ( і ,х) Є (0, Т ] х К.

Тоді граничне співвідношення и(і , • ) — f ,О

і — +0, виконується у просторі (Ф)'.


0

Зауваження 1. Надалі функцію С(і , •) називатимемо фундаментальним розв’я з ком, задачі Коші (ФРЗК) для рівняння (1).

ОСимволом (Ф*)' позначатимемо суку

пність усіх узагальнених функцій з просто-О О

(Ф)' ФД ля рівняння (1) задамо початкову умо

вуи (і , •) \і=0 = f , (6)

Оде f Є (Ф*)'. Під розв’язком задачі Коші (1), (6) розумітимемо розв’язок рівняння (1), який задовольняє початкову умову (6) у том,у сенсі, що и(і, •) — / п р и і — + 0 у

О(Ф)'

дження.Теорема 3. Задача Коші (1), (6) коре

ктно розв’язна, в класі узагальнених фун-О

кцій (Ф*)'. Р озв’язок подається у вигляді згортки:

и(і, х) = ( f *О)(і , х), ( і ,х) Є (0, Т ] хК + = П+,

де О - Ф РЗК для, рівняння (1).Д оведення. Передусім переконаємося в

и (і, х )ння (1). Справді,

Ч т - І " -О 1« - « - ^ • > ■ « ) -

д= * д)tО (і,x ) ,

А и (і ,х ) = Р - [а(0 Г ь „[(f • О)](Ш х )-О

Оскільки f - згортувач у просторі Ф, то

Ре„ [f • о ] « ) = Рв „ [ / ](С) • Рв „ [О] =

Ев„[ /Д ) ■ евЩ().Отже,

Аи(г , х) = ЕBv1[a(C)e М ° Ев„ [/](С)](х) =

Е -1в v

дд-Щ ’ Е в , [/ Д )

Е -1вV ЕвV д е Е вV [/]

(х )

(х )

Е -1Bv ЕBv / * ^ дг

д(х) = —/ * дttG ( t ,x )■

Звідси дістаємо, що функція и(і , х) , ( і ,х) Є П+, задовольняє рівняння (1). З наслідку 1 випливає, що и(і, •) — / п р и і — + 0 у про-

О(Ф)' и

изалежить від початкової функції f , оскільки операція згортки володіє властивістю неперервності.

Залишається переконатися в тому, що задача (1), (6) має єдиний розв’язок. Д ля цього розглянемо задачу Коші

ди— — А*и = 0, (і, х) Є [0, і 0] х (0, то) = П+,

0 < і < і 0 < Т, (7)О

v(і, •) \і=іо = gо, д0 Є (Ф*)' , (8)А * = А

О Отора до оператора А на простір Ф С (Ф)'. Умова (8) розуміється в слабкому сенсі. Розглянемо функцію

О* (і — і0 ,х ) = Р- 1[е{і-І0)а{°](х).

Аналогічно тому, як це було зроблено у випадку задачі Коші (1), (6) доводимо, що розв’язок задачі Коші (7), (8) дається формулою

и(і, х) = (д0 • О*)(і — і0 ,х), (і, х) Є П+,

Опри цьому и(і, •) Є Ф при кожному і Є [0, і0).

О ОНехай Q tt : (Ф*)' — Ф - оператор, який

Озіставляє функціоналу д Є (Ф*)' розв’язок

Ои(і, •) Є Ф задачі (7), (8) з початковою уза-

д

у д Є (Ф*У : $ 0д = (д • О*)(і — К ,х) = и ( і ,х )

(і, х) Є П+.

Оператор Qtto є лінійним і неперервним, оскільки такими властивостями володіє операція згортки. Він визначений для довіль-

і і0 0 < і < і0 < Т


що функція 1 — v є мультиплікатором у про-О

сторі Ф. Оскільки

властивостями: Якщо f = 0 на інтервалі (a , b) С Е , якиймістить точку 0 , то u( t , x ) ^ 0 при

Wg Є (Ф*); : — — — A*Qttog = 0 , t ^ + 0 рівномірно на довільному відрізкуdt [—c,c] С (a,b).

lim Q\o g = g Д о в е д е н н я . Нехай [—c,c] С [—bi,bi] Сt^ t° (a,b). Побудуємо фінітну парну функцію

/ . ґ О\п v є Ф таку, що supp v = [—b1, b1].l 0 < v (£) <(границя розглядається у просторі (Ф) )■ і ур [ b b ]■ v (€) = 1 V£ Є [ c c]'

Розглянемо тепер розв’язок u(t , x) , \ У „ [ 1’ . 1 З V г 7 7 л о [ ’ ]’(t x) g О чяттячі Копті m (в) який v (€) = 0 Для € Є Е \ [—b1,b1]- Зазначимо,(t ,x) є о + задачі ivoiiii \®)і чкиитрактуватимемо як функціонал з простору

О О(Ф ) 7 Ф. Доведемо, що задача Коші (1),(6) може мати лише єдиний розв’язок у {v (£)т?G(t x ) (1 — v (£ ) )Д G(t x)} С Ф просторі (ФУ- Д ля цього досить довести,ЩО ЄДИНИМ розв’язком рівняння (1) при ЯК Функції € при кожному t Є (0, Т ] і x Є Е , нульовій початковій умові може бути лише тофункціонал u( t , x) = 0 . Застосуємо фун- и ч _ f (с\гтігч+

О О W (t,x )= < f 5, v (€ )Tx G( t , x) > +кціонал u( t , x) до функції Q1 g Є Ф С (ФУ,

ф + < f , П(€)ТХG(t , x) >,де g - довільний елемент з простору Ф.Диференціюючи по t знайдемо, що де ц = 1 — v. Урахувавши, що узагальне

на функція f рівна нулю на інтервалі (a,b), — < u (t ■) Qt g >= і — Qt g \ + a supp (v (£ )Т |G(t , x) ) С (a,b), з останньогоdt ’ ’ 0 \ d t ’ 0 / співвідношення дістаємо, що

/ OCQ^g\ x [ t , x ) = ta < f , t -a n(0 T; G ( t , i ) >,

+ \ u ' - s r ) = > 0 ..x 1 де а > 0 - деякий параметр, конкретне зна-= — < A u ,Q t0g > + < u , A*Qt g >= чення якого ми вкажемо пізніше. Оскільки

_ л гй л ДО — о кожна узагальнена функція f Є (Ф ) має— < A u , Qt0g > + < A u , Qt0g > 0, о

скінченний порядок, тобто f Є (Фр) при де- Wg Є Ф, 0 < t < t 0 < Т. якому p Є Z+, то

Звідси випливає, що < u(t, ■),Qtt0g > є \u( t , x ) \ < t a \\f ||р ■ ||Фщ||р,сталою величиною. Використовуючи початкову умову u\t=o = 0 знаходимо, що ця ве- ДеЛИЧИНа ріВНа нулю при ВСІХ t, 0 < t < to- .ту ( ґ \ х—а {ґ\гТ1 т{х \ X—а /C\rTixK'i{x с\о х х і' е: ■ ^ t,x (€) t п(€ )Тх G( t , x) = t П(€)Д G( t ,€) ,Зокрема, при t ^ t0 (у слабкому розумінні границі) дістаємо, що < u(to, ^),g >= 0 \\f ||р - норма функціоналу f . Отже, дляОскільки g - довільний елемент з просто- доведення того, що u( t , x ) ^ 0 при t ^ ру Ф, то u (t0, ■) є нульовим функціоналом. + 0 рівномірно на відрізку [—c, c] С (a, b) Оскільки t0 Є (0 ,Т ] вибране довільно, то досить встановити, що сукупність функцій u(t, ■) = 0 для всix t Є (0, Т ]. Фщ обмежена та нормою простору Фр, тоб-

Теорема доведена. то ІДдо |р < cp, причому стала щ не залеТ А И “ f а (фV ^ т а ь від параметрів М x, які змінюються

е о р ем а . ехан ( ) , вказаним способом (t Є (0 ,Т ^ x Є [—c, c]).

u( t , x ) = ( f * G)(t, x) =< f , Т І G(t, x) >= Оскільки Фt)x(€) = 0 дая £ Є [—c, c], тооцінку ІІФ/ДІр < c довести ДЛЯ € Є

=< Д ,7 ix G ( t ,€ ) >, (t ,x) Є (0, Т ] х Е. Е \ [—c,c], ’


Функція V Є Ф = І І Ф^ тобто V Є ФР, зСуВу аргументу та нормованої функції Бес-3=0

Ю І3 властивостей оператора узагальненого

С6ЛЯ випливзщ що

( p ї sup \Dm (TxG ( t , 0 ) \ < Pmt[l]h(tl/Y+ |e |) - (m+Y0\||v||p = sup I M(C)10+k\Dkv(C)\ f < Co, x€[-c>c]

=0 C Є R , t > 0 ,m Є Z +,jo = 1 + [7]+Po,Po = 2v+1,

Co = c0(p) > 0 . стала в т залежить від v і те залежить від t.Тоді, урахувавши формулу диференціюван- Д ля С Є R \ [—C с] маємо> Щ° ня добутку двох функцій та властивості one- sup \Dm(TXG(t C))\ < в t^]/ 1 \£\-(m+Y0)ратора узагальненого зсуву аргументу зна- xe\-c,c} ■> — m >йдемо, що

m Є Z+.

Д(С) := Е M(C)Y0+k\D k № ) T ? G ( t ,0 ) \ = 1 Wk=o

+ E M ( Q Y0+k\Dk((1 - v(C))7^G(i,C))i <

A(C) < ‘2potb]hM(C)Y0\C\- Y0 + €otb ] h xM (C)Y0\(1 - v (C))TXG(t,C)\+ p k

x Ц Ml (C)Y 0 Ck p k - iM (Q-bo+n x- L/\ck,))±S ,^ \h ^ )) \ ^ k=l i=0

k=l f f \ Yot x\C\-(k -i+Y0) = t ^ Y l 2 0 o( M N +

< 2M ( c)yo\G(t,c)\ + e m (c )Yo+kx v V Ю )

k + C C-Yo^T V C ‘0 _ ( M (C) ^x Е C l D v (C)\ ■ \Dk- 1 (TXG(t,C))\. 0 k = T=0 1 V Ю /

i=0 Далі, врахувавши нерівністьУ просторі Ф визначена операція узагаль- м (£) 1 + \£\ 1

неного зсуву аргументу. Отже, —г—;— = —гл— < 1 +— , : \С\ А с,Ю \С\ с

TXG(t С) = cvTX ( J e - ta(a) j v(аС)c 2u+ida ) = знайдемо, що Д (С) < vo ■t Y / l , де

o

Cv e-ta(a)TXjv (oC)a2v+lda

1 . Yovo = 2Po | 1 + c ) +

p k / 4 k-i+ CoC Yo ^ ^ CkPk-il 1 +

OO

Cv e ta(a)j v(aC)jv(ax)a2v+lda.Ck=l i=0

стала ш0 не залежить від і і х. Покладемо 0 тепер а = [у] /у . Звідси вже випливає, що

Звідси випливає, що ||Фщ||Р < v0 . Тоді

В т (Т Х О (і , і)) = \и(і ,х)\ < Vо • і / ||р • і Ь / = VlіM/Y,

/°° де стала v1 те з ^ е ж и т ь від і \ х . Цим дове-е-іа(а)втХі^(а£ )Д (ах)а2и+1д,а,т Є N. дено, що и( і , х ) — 0 при і — +0 рівномірно

0 [—с, с] С (а, Ь)


Теорема доведена.О

Символом М ф позначимо клас усіх муль-О

типлікаторів у просторі ф.Т ео р ем а 5 (в л асти в ість л о к ал іза ц ії) .

ОНехай f Є (Ф*)', и( і , х) - р озв’язок задачі Коші (1), (6), побудований за функцією f . Якщо узагальнена, функція, f збігається, на, інтервалі (а,Ь) С Е який містить точку

О0, з функцією д Є М ф, то и( і , х) — д(х) при і — +0 на, довільному відрізку [—с, с] С (а,Ь) .

Д о в е д е н н я . Нехай [—с, с] С [—Ь1,Ь1] С (а,Ь), V - основна функція, побудована при доведенні теореми 4. Оскільки V( f — д) = 0

(а, Ь)

< V( f — д) , Т х ° ( і , І) > — ° і — + 0 ,

< (1 — V)і:,Тх° ( і , І ) > — ° і — + 0 ,рівномірно по х Є [—с, с]. Крім того,

и (і,х ) = < Ь , Т Х С ( і £ ) > =

= < Vи — д ) , ТХС( і , 0 > +

+ < (1 —V ) f ,TXG(і , £) > + < vg, TXG( і , Z) >,

причому

<» g , T X G( t , 0 >

= £ т ; с ( г х л Ш О Т Д О = і (г,х) .0

Отже, для доведення теореми ДОСИТЬ встановити, що I(Ь,х) ^ (*д)(х) при Ь ^ + 0 на відрізку [—с, с] С (а,Ь). Із властивостей функції vg та оператора узагальненого зсуву аргументу випливає, що

О

/ т ;в ( г , о * Ш О Є ' +1 <% =

G(t, o t ? ( v 2v+1

Оскільки vg Є M ф, то на підставі теореми 2 твердимо, що

1 ( t , x ) ^ 0 < k T ( v Ш О ) >=

=< k , TX(v (x)g (x)) >=п

= T °(v (x)g(x)) = bv • v(x)g(x) sin2v u d u =

= bvv(x)g(x) • J sin udu,0

де bv = r ( v + 1 ) /( r (1 /2 ) r (v + 1/2)). Скориставшись формулою

П

/ sin2v u c b = ДП r (v + 1 / 2) , v > 0,J r ( v + 1)0

знаходимо, що I (t ,x) ^ v (x)g(x) до и t ^ +0 у кожній точці x Є [-c, с]. Теорема доведена.


1. Городецький В. В. Граничні властивості гладких у ш арі розв’язків рівнянь параболічного типу. - Чернівці: Рута, 1998. - 225 с.

2. Гельфанд И .М ., Ш илов Г.Е. П ространства основных и обобщенных функций. - М.: Физматгиз, 1958. - 307 с.

3. Л евит ан Б .И . Разложение по функциям Бесселя в ряды и интегралы Фурье / / Успехи мат. наук.- 1951. - Т. 6 , вып. 2. - С. 102 - 143.

4. Городецький В .В ., Леню к О.М. Перетворення Фур’є-Бесселя одного класу нескінченно диферен- ційовних функцій / / Крайові задачі для диференціальних рівнянь: 36. наук. пр. - Чернівці: Прут, 2007. Вин. 15. - С. 51 - 66.

5. Л еню к О.М. П еретворення Бесселя одного класу узагальнених функцій типу розподілів / / Н ауковий вісник Чернівецького університету: Вип. 336- 337. М атематика. - Чернівці: Рута, 2007. - С. 95 - 102.

6. Тихонов A .H ., Самарский A .A . Уравнения математической ф изики. - М.: Н аука, 1977. - 736 с.

Таким чином,

I ( t , x ) =< G(t, £),TX(v(£)g(£)) > .


П

УДК 517.51

© 2 0 0 7 р. Н .Є . Л інчук

Чернівецький національний університет ім. Ю .Федьковича

П РО О ДИ Н К Л А С О П ЕРАТО РН ИХ Р ІВ Н Я Н Ь , Щ О М ІСТЯТЬ ОПЕРАТОРИ УЗАГАЛЬН ЕН О ГО Д И Ф Е РЕН Ц ІЮ В А Н Н Я

В класі лінійних неперервних операторів, що дію ть у просторах ф орм альних степеневих рядів, як і наділені нормальною топологією Кете, описані розв’язки деяких операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого диференціювання.

Solutions of the operator equations, which contain operators of th e generalized derivation, are described in a class of linear continuous operators which act in spaces of the formal power serieses allocated by the norm al K othe topology.

При вивченні різних класів лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій, важливе значення має задача знаходження всіх лінійних неперервних операторів Т, що задовольняють рівняння Т А = ВТ , де А, В фіксовані лінійні неперервні оператори, що діють у вказаних просторах. Найважливішими є операторні рівняння вказаного виду, що пов’язані з операторами узагальненого диференціювання. Д ля розв’язування таких рівнянь в класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторах аналітичних функцій, використовувалися різні методи: матричний метод [1], інтегральне зображення лінійних неперервних операторів [2], перехід до спряжених операторів [3], характеристичні функції лінійних неперервних операторів [4], зображення лінійних неперервних операторів у вигляді диференціальних операторів нескінченного порядку [5], опис лінійних неперервних операторів за допомогою послідовностей лінійних неперервних функціоналів [6]. У цій статті останній метод розв’язування операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого диференціювання, розповсюджується на аналогічні рівняння у класі лінійних неперервних операторів, що діють у просторах формальних степеневих рядів.

Через Н позначимо векторний простір

над полем комплексних чисел формальних степеневих рядів (ф.с.р.) виду

те/ (*) = £ / , ^ ,

п=0

де / п Є С, п = 0 ,1 , . . . . Вважатимемо, що Н містить усі многочлени. Через Н а позначимо двоїстий простір до Н , тобто Н а - це

тепростір таких ф.с.р. виду ь(г) = Е Упгп, що

п=0числові ряди

теРь ( / ) = X ! \уп\\їп\

п=0

збігаються для кожного елемента / Є Н. Система переднорм {рь : V Є Н а} задає нормальну [7] топологію V (топологію Кете) на

Н Н сконалий, тобто Н аа = Н. Зауважимо, що

Нна повноті простору (Н ^ ).

Нехай (ап) - така послідовність відмінних від нуля комплексних чисел, що оператор узагальненого диференціювання Б а, який визначається формулою ( Ва/ ) ( г ) =те теЕ ^ Їп2п-1, де / (г ) = Е ІпА 1 Є Н ,п=1 п=0діє в просторі Н. Оператор О а є лінійним. Оскільки Н - досконалий, то Щ неперервно діє в (Н, V). Система (гп) утворює базис у


просторі ( И , и ). Кожен ф.с.р. f ( г) Є Н єдиним способом розкладається в (Н, V) у ряд

виду f (г) = ^ 2 С п ^)гп , де (сп) - послідов-п=0

ність лінійних неперервних функціоналів на просторі (Н щ ).

Нехай Ні - досконалі простори ф.с.р., які містять усі многочлени, і = 1, 2 , І Т - л і н і й ний неперервний оператор, що діє з (Н і, V) в (Н2щ ). Тоді для довільного ф.с.р. f (г ) Є Н 1:

(Т і )(г) = £ І п ( і )гпп=0

сконалі простори ф.с.р., які містять усі многочлени, Б а - оператор узагальненого диференціювання, що породжений послідовністю (ап) і лінійно та неперервно діє в (Н2щ ), А - фіксований лінійний неперервний оператор, який діє в (Н 1, V), а ш - деяке натуральне число. Д л я того, щоб лінійний неперервний оператор Т : (Н 1щ ) ^ (Н2щ ) задовольняв рівність

П ш т = т а (2 )

(1) необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді

де (Ьп) - послідовність лінійних неперервних функціоналів на просторі ( Иі , и ), бо Ьп = сп (Т ), п = 0 , 1 , . . і ряд в правій частині (1) збігається до ( Ті ) ( г ) для довільного ф.с.р. і ( г ) Є И 1 за топологією простору (И2 , V) .

Через 1(И1, И 2) позначимо множину всіх таких послідовностей лінійних неперервних функціоналів (Ьп) на просторі ( И \ щ ), що довільний лінійний неперервний оператор Т : (Иі, V) ^ (И2, V) подається у вигляді (1), причому ряд в правій частині (1) збігається для кожного ф.с.р. і ( г ) Є И 1 за топологією простору (И2щ ). У тому випадку, коли

И імірної обмеженості множина 1(И1, И 2) збігається з множиною усіх послідовностей лінійних неперервних функціоналів (Ьп) на просторі (И2 , V), для яких ряд у правій частині (1) збігається для довільного ф.с.р. і Є И 1 за топологією простору (И2щ ). Зауважимо, що у випадку, коли И 1 = И 2 = Аж , де Аж- простір цілих функцій, що наділений топологією компактної збіжності, множина всіх лінійних неперервних операторів Т : Аж ^ Аж описується формулою (1), де (Ьп) - послідовність лінійних неперервних функціоналів на Аж , яка задовольняє умову: І іт ^ \Ь Д Д ) \ = 0 У і Є А х . Це зо-п^жбраження лінійних неперервних операторів використовувалося в [8] при побудові оператора перетворення для диференціальних операторів скінченого порядку.

Т ео р ем а 1. Нехай И ь і = 1,2, - до-

ж т—1

( Т і )(г) = £ £ ^ Ьг ( А і )г«т+г, (3)д=0 т=0 а т

де Ьі} і = 0 ,ш — 1 - деякі лінійні неперервні функціонали на просторі ( Н1, V) для яких виконується умова:В) Уг = 0 ,ш — 1 послідовність функціоналів (адт+гЬг (Ая))^=0 належить до класу 1(Н 1,Н 2) .

Д о в е д е н н я . Н ео бх ід н ість . Нехай лінійний неперервний оператор Т : (Н 1щ ) ^ (Н2щ ) задовольняє рівність (2). Тоді Т подається у вигляді (1), де (Ьп) - деяка послідовність лінійних неперервних функціоналів на (Н2щ ). Оскільки для довільного ф.с.р. f (г) Є Н 1

Ж(Б '^Т ) / (г) = £ Іп+т( і ) — гп,

п=0 ап+т

то рівність (2) рівносильна тому, що

^ ] Ьп+т( і )а п п

а п+т)г

п=0 п=0

для довільного ф.с.р. і ( г ) Є И 1. Тому

Ьп+т( і ) = ^ Ь п ( А і ), п = 0, 1, . . . . (4)а п

З (4) випливає, що У у = 0 ,1,..., Уг = 0 ,т — 1 виконується рівність:

дт+т(і) = Ьт (Ад і ) .а т


п

Тому оператор Т подається у вигляді (3). З неперервності оператора Т випливає, що умова В) виконується.

Достатність. При виконанні умови В), формулою (3) визначається лінійний неперервний оператор Т : ( Иі , и ) ^ (И2, и ). Д ля довільного ф.с.р. f (г) Є И маємо

ж m—1a qm±r

q=0 r=0

D a ( T f )(z) =

Lr (Aq f ) (D a z qm+r)ar

ж m— 1a „ l r (Aq f )z (q—1)m±r

q=0 r=0

m 1

a r

= V У ЬгШ +Д ) г дт+г = Т Щ ) ( г ).и а

Теорему 1 доведено.При т = 1 з теореми 1 одержуємо насту

пне твердження.Н аслідок. Д л я того, щоб лінійний непе

рервний оператор Т : ( И , и ) ^ (И2 ,и ) був розв’язком, операторного рівняння Б аТ = Т Щся у вигляді

( T f )(z) = YJ — Lo(Anf )Zna 0n=0

(5)

Нехай (\ n) - послідовність додатних чисел, яка монотонно зростає і прямує до безмежності, причому lim 1ЛПп = 0 Д ля & Є Rп ^ х Лпрозглянемо наступні простори послідовностей комплексних чисел:

Da = { f (z) = Y ^ П п : lim \f n\Xn < e —J}; ' ^ п^жn=0

D = { f (z) = Д f„z" : lim \f n \■& < e- },' ^ П^Жn=0

(див. [9]). Зауважимо, що спряжений простір до (V a, V) ізоморфний до простору D - a . Нехай (on) та (ßn) - послідовності відмінних від нуля комплексних чисел, що задовольняють умови:

lim

limn

a n 1

a n

1

< 1,

ßn±1

ßn< 1.

Тоді оператори узагальненого диференціювання П а та узагальненого інтегрування Д@ лінійно та неперервно діють у кожному з просторів та Т а. Дослідимо розв’язки операторного рівняння виду

D aT = T J ß (6 )

де Ь0 - деякий лінійний неперервний функціонал, на, ( Иі , и ) для, якого виконується умова:С) послідовність лінійних неперервних функціоналів (—Ь0 (Лп)) належить до класу 1(Н 1,И 2). “°

Д ля застосування теореми та наслідку з неї до конкретних операторних рівнянь виду (2) та певних просторів ф.с.р. ^ та И 2 потрібно в зручній формі описати множину 1(И1, И 2) та знайти ті лінійні неперервні функціонали Д , і = 0 , т — 1 на просторі ( И1, и ), для яких виконується одна з умов В) чи С).

Розглянемо застосування одержаних результатів для одного класу просторів ф.с.р. і деяких операторних рівнянь.

в класі операторів Т : (Ва, V) ^ ( Б а , V).Теорема 2. Нехай для, деякого фіксова

ного а < 0 оператори узагальненого диференціювання Б а та, узагальненого інтегрування Де лінійно та неперервно діють у просторі Н а, а, послідовності комплексних чисел, (ап) та (вп) задовольняють умови:1) З С > 0 Ук, п > 0 : \вк+п \< С\Д\\вп\,2) І іт \апв п \ = 0 .п^жТоді загальний розв’язок опера шорного рівняння (6 ) в класі л ін ійних неперервних операторів операторів Т : (Т>а, V) ^ (Т>а, V) дається формулою (5), в якій Ь0 - довільний лінійний неперервний функціонал на, просторі Т а.

Д оведення. За наслідком з теореми 1 достатньо перевірити, що при виконанні

n


умов теореми 2 для довільного лінійного неперервного функціоналу L 0 на просторі (V a , v ) послідовність лінійних неперервних функціоналів (OyL 0( Jß) ) належить до класу l ( Va , V a). Нехай L 0 - довільний лінійний неперервний функціонал на просторі (Va , v ). Тоді існує послідовність комплексних чисел (vn), для якої lim \vn \^ < ва іn^-жЖдля довільного ф.с.р. f (z) = f nzn C Da :

n=0

L 0f = fnvn . Д ля доведення теореми по-n=0

трібно перевірити, що для довільного ф.с.р.

f (z) = f nzn Є D a виконується умова:n=0

lim \anL0( J n f )\ xn < e (7)

ЖАле L 0 (Jß f ) = ßTfkvk+n-, тому вико-

k=0ристовуючи умову 1), одержимо, що при n = 0 , 1 , . . .

ж\L0 J f ) < C \ \ vn+k \ ■ (В)

k=0

Виберемо є 1 > О таким, щоб lim \vn \х™ <n—ea—м. Тоді існує стала C1 > О така, що при n У О \vn \ < C 1e(a Єі)Л". Візьмемо є2 : О <є2 < Є\. Тоді lim \fn \ < e а+Є2. Тому існуєn^-жстала С2 > 0 така, що при n > 0 \fn \ < С2е(~а+Є2')Хп. Тоді, використовуючи монотонність послідовності (An) і те, що а < 0 для

n

Y , \ f k Hvn+k\ < C Æ j ] e (є2 Є1)Лкk=0 k=0

З умови lim = 0 випливає, що числовийж

ряд ^2 е(є2~Єі)Хк збігається. Тому, використо-k=0

вуючи (8), одержимо, що при n > 0

\L o ( jn f ) \ < C3 \ßn\, (9)

де С3 - деяка стала. З (9) і умови 2) випливає, що (7) виконується.

Умова 1) теореми 2 виконується, наприклад, для послідовності (ßn = П ), яка породжує звичайне інтегрування.

Твердження, аналогічне до теореми 2 буде правильним також і для розв’язків операторного рівняння (6) в класі лінійних неперервних операторів T : (V a , v ) ^ (V a , v ). Як встановлено в [9], простори та Da, що наділені нормальною топологією, є ізоморфними до просторів аналітичних va та va, що зображаються рядами Діріхле.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ1. Фаге М.К., Нагнибида H.H. Проблема экви

валентности обыкновенных линейных дифференциальных операторов . - Новосибирск; "Наука", 1987.- 280 с.

2. Коробейник Ю. Ф. Об одном классе линейных операторов / / Годишник на ВТУЗ.Математика. - 1973. - Т. IX. Книга 3. - С. 23-30.

3. Царьков Ю.М. Изоморфизмы некоторых аналитических пространств, перестановочные со степенью оператора дифференцирования. / / Теория функций, функцион. анализ и их прилож. - 1970.- Вып. 2. - С. 86-92.

А.Подпорин В.П. О решениях операторного уравнения р\ (D)A = Ap2 (D) в некоторых классах линейных операторов. / / Докл. АН СССР.- 1978. Г.2 І0.Х1.- С.28-31.

Ь.Подпорин В.П. О представлении линейных операторов в виде дифференциальных операторов бесконечного порядка. / / Сиб. матем. ж ,- 1976.- T.17,N 1,- С.148-159.

6.Лінчук Н.Є. Про один клас операторних рівнянь, що містять оператори узагальненого диференціювання . / / Наук, вісник Чернівецького ун-ту. - 2004,-Вип. 228,- С.42-44.

7. Käthe G. Topologische lineare Räume. Bd.l.- Berlin, I960,- 307 p.

8. Delsartes J., Lions J. L. Transmutations d’operateurs differentieles dans le domaine complexe //Comment. Math. Helv. - 1957. - 32, У2. - p.113- 128.

9. Хапланов M.Г. О пространстве аналитических функций, представимых одним классом рядов Дирихле / / Сиб. матем. журн.— 1976.— 17, N 5.— С.1141-1159.


УДК 517.51

© 2 0 0 7 р. С .С .Л інчук


П О Т О Ч К О В А З А С Т О С О В Н ІС Т Ь ІН Т Е Г Р А Л Ь Н И Х О П Е Р А Т О Р ІВ Н Е С К ІН Ч Е Н Н О Г О П О Р Я Д К У Д О Д Е Я К И Х К Л А С ІВ Ц ІЛ И Х Ф У Н К Ц ІЙ

Д осліджені критерії поточкової застосовності інтегральних операторів нескінченного порядку зі сталими коефіцієнтами до простору [р, а ].

C riterias of pointwise applicability of integral operators of an infinite order w ith constant factors to the space [р, a] are researched.

Д ля різних класів диференціальних операторів нескінченного порядку в працях Г. Мугглі, Р. Сіккеми, Р.П. Боаса, М.Г. Ха- планова, Ю.Ф. Коробейніка, В.В. Моржако- ва та інших математиків вивчені необхідні та достатні умови їх застосовності для різних просторів аналітичних функцій (див. історичний огляд цих питань в [1]). Значно менше вивчені умови застосовності інтегральних операторів нескінченного порядку до просторів аналітичних функцій. Деякі з таких досліджень проведені в працях [2]- [4]. Разом з тим практично не досліджені умови застосовності інтегральних операторів нескінченного порядку до підпросторів простору цілих функцій. При розв’язуванні різноманітних задач комплексного аналізу природним чином виникає простір цілих функцій [р,а], (р > 0 ,0 < а < то), тобто простір функцій, порядок яких менший зар рку тип не перевищує а. Цей простір і його позначення введені В.Л. Гончаровим при розв’язуванні інтерполяційних задач і грунтовно вивчається в монографіії [5]. Простір [р, а] є лінійним простором і функція f (z) =Ж

f nzn належить до простору [р, а] тоді іn=0тільки тоді, коли lim n ї n \fn \ < (аер) ї . То-

[р, а]

мою норм (Ц • ||є : 0 < є < то}, де

є = ma x ( max l f ( z ) l e Ч+£Ю j . (1)0<т<ж у \z\<r )

В цій статті вивчаються умови поточкової застосовності інтегральних операторів нескінченного порядку до простору [р,а]. Система степенів Д га)(Д0 утворює базис у просторі [р,а]і \\г°||є = 1,

Л іn

pe(a + є)n = 1 , 2 ,

Наведемо деякі допоміжні твердження Л е м а 1. Якщо 0 < Є\ < є, то числовий

ряд J 2 збігається.n=0

Л е м а 2. Д л я кошеного є > 0 і довільних цілих невід’ємних чисел, т та п виконується нерівність

Л І Л І < І Л +пф.

Л е м а 3. Д л я довільного є > 0 і для ко-

жног функції / (г) = ^ / пгп з просторуп=0

[р, а] при п = 0 , 1 , . . . виконуються нерівності

lfn l < (2 )

Д о в е д е н н я . Використовуючи формулу (1) і оцінки Коші для коефіцієнтів розкладу

р

nz ь1

єnz є


цілої функції f (z) у степеневий ряд, одержуємо

\ fnІЛ ІІЄ = \f n \ m a x (rnene-(a+£)rP\ _0<r<^

_ m a x (\fn\rne-(a+£)rP) <0<r<^>

< m a x ( m a x ( \ f (z ) \e -((J+£:')rP0< r < ^ \ \z\<r V

звідки випливають нерівності (2).Нехай (a n ) |= 0 _ деяка послідовність від

мінних від нуля комплексних чисел. Оператор узагальненого інтегрування J a , що побудований за послідовністю (a n ) |= 0, на елементах степеневого базису діє за правилом:

J azn _ z n+1, n = 0 , 1 , . . . . (3)a n

Т ео р ем а 1. Д л я того, щоб оператор узагальненого інтегрування J a, який на елементах степеневого базису визначається

(3)ним, і неперервним, чином продовжити до лінійного неперервного оператора, що діє в просторі [р,а], необхідно і достатньо, щоб

a) lim a n+1 < 1 , при а > 0 ;

limу. n a n+1

a r,< ж, при а _ 0 .

a n+1< C-, \М

|z n+1\\e '

є > 0нього Єї > 0 та С > 0 згідно (4). Добуваючи

ппеня і переходячи в одержаній нерівності до верхньої границі при п ^ то матимемо

limna n+1 < limn

\£1

\zn+1 \\є <

<а + Єї

Звідси випливає правильність умов а) та б).Д о с т а т н іст ь . Нехай умова а) або б)

виконується. Тоді для довільної фун

кції / (г) = ^2 / пгп Є [р, а] функціяn=0

J2 f n an±1 zn+l належить простору [р,а].n=0Тому формулою

( J a f )(z) _ £ f, a n+1 ^n+1

n=0(5)

Д о в е д е н н я . Н ео бх ід н ість . Допустимо, що оператор узагальненого інтегрування Да лінійно та неперервно діє в [р, а]. Тоді для нього виконується умова неперевності, тобто

Ує > 0 Зєї > 0 З С > 0 У/ Є [р, а]

І Ш І < С іі/ Ц .

Покладаючи тут / (г) = гп , п = 0 ,1 , . . . , одержимо, що

Ує > 0 3є1 > 0 ЗС > 0 Уп > 0

визначається оператор Да, який діє в просторі [р, а]. Його лінійність є очевидною, а неперевність одержується за принципом рівномірної обмеженості, оскільки Д а є пото- чковою границею в [р, а] послідовності скін- ченновимірних операторів.

Оператор звичайного інтегрування Д , що

діє за правилом (Д / ) ^ ) = / / (ї)^ї, є ча-0

стинним випадком оператора узагальненого інтегрування і за теоремою 1 Д лінійно та неперевно діє в кожному з просторів [р,а].

Вивчимо далі умови поточкової застосовності інтегральних операторів нескінченного порядку до простору [р,а]. Нехай оператор узагальненого інтегрування Да побудований за послідовністю (ап) Д 0, яка задовольняє умови теореми 1. Допустимо, що послідовність комплексних чисел (оп)2 2 0 така, що ряд

)(z) (7)n=0

(4)збігається для довільної функції / Є [р, а] в

г


n

nz

< £ с \ т г . к і і ^ г ) )к=о

<для кожної фіксованої точки г Є С і для до- / 1 ~ і \ п+квільної функції / Є [р, а] числова послідовність (сп(Д^/)(г))Пі=о є обмеженою. Це означає, що послідовність лінійних неперервних функціоналів (Ьп)^=0, які на просторі [р, а] діють за правилами: Ьп/ = сп (3 "П/ )(г), п =0,1 . . . , є поточково обмеженою. Оскільки Таким чиноМ) у п л )(го)| < С і ( ^ )- п [р, а] є простором Фреше, то ця послідов- ^ність функціоналів є одностайно неперервною, тобто

< с \\/ \ и - Т £к=0

Ы\г\

Уг Є С Зє > 0 ЗО > 0 У / Є [р, а) Уи = 0 ,1,. .

і Л / )(г)і < Оі і і ф . (8)

Покладаючи в (8) / (г) враховуючи, що Д ^ г к = мо, що

г к, ка п+к ^а+к

1

а к

0 , 1,одержи-

0 ,1 ,. . ., де Оі - деяка стала. Тому ряд (7) збігається при г = го. Теорема 2 доведена.

Розглянемо випадок, коли Д а є звичайним інтегруванням Д , тобто а а = ар и = 0 , 1, . . .

Уг Є С Зє > 0 ЗО > 0 Vи, к = 0 ,1, . . .

ісп'і~к!

ігіа+к < Оіігкф . (10)

Уг Є С Зє > 0 ЗО > 0 Vи, к = 0,1,

|са | а а+ка к

ігіа+к < Оіігкі (9)

(и + к)!

к = 0

У г є С Зє > 0 З О > 0У и = 0 ,1 , . . .

Таким чином, ми довели необхідність умови наступної теореми.

Т ео р ем а 2. Нехай оператор узагальненого інтегрування Да неперервно діє в просторі [р,а], а (са)0=о - деяка послідовність комплексних чисел. Д л я того, щоб числовий ряд (7) збігався для довільної функції / з простору [р, а) в кожній точці г компле-

|са | < Ои ! |г|

Звідси одержимо, що

І ітаІСаіи !

(11)

Легко перевірити, що з (11) випливає (10) і■ А ' ^ є правильним наступне твердження.ксног площини, необхідно і достатньо, щоб 1

виконувалася умова (9). о Н асл 1 д о к ' Д л я того- щ о 6 рядД о в е д е н н я . Д о с та тн ість . Допустимо, ^ сп (Д а/ )(г ) збігався для довільної фун-

а=0о кцгг / з простору [р, а) в кожній точці

ну функцію 1 (г) = ^ / аXа з простору [р ,а) г комплексної площини, необхідно і до-і довільну точку го Є=С. Оцінимо загальний статньо щоб послідовність комплексних член ряду (7) в точці г = го. Вибере мо г Є С чисел (са)0=о задовольняла умову (11). таким, щоб іг0 і < ігі, і нехай є > 0 та О > 0 СП И С О К Л ІТ Е РА Т У РИ

гТоді, використовуючи лему 3, одержимо, що ВЬІХ семейетвах,— Ростов: Изд-во Ростовского ун-та,

1983.— 154 с.при и = 0 , 1 ,. ..

іс а (д а / )(го)і = а а+к „а+к/ ,!к гоа кк=о к

о

< ^ 2 і /к іі са і к=о

а а+ка к

\гф+к ( і °і

2. Кирют енко Ю .А. О ператоры интегрирования и связанные с ними операторы бесконечно-

< го п орядка,- Дне. канд. физ.-матем. н ау к ,- Ростов“ н /Д ,- 1977,- 105 с.

3. Л инчук С.С. О применимости дифференци- п+к альных и интегральны х операторов бесконечного

< порядка. / / Черновицкий гос. ун-т. - 1982. - Деп.~ в В И Н И ТИ 6.04.82. - 25 с.


0

с

4. Л інчук С. С. Про застосовність інтегральних операторів нескінченного порядку / / In ternational conference m odern problem s and new trends in probability theory. A bstract II - 2005.- C. 12.

5. Л еонт ьев А .Ф . Обобщение рядов экспонент. - М.: Наука, 1981.-320 с.


УДК 517.983

© 2 0 0 7 р. Ю .С . Л інчук


Д Е Я К І В Л А С Т И В О С Т І О П Е Р А Т О Р ІВ , Щ О Є Л ІВ И М И О Б Е Р Н Е Н И М И Д О М Н О Ж Е Н Н Я Н А Н Е З А Л Е Ж Н У З М ІН Н У

У класі лінійних неперервних операторів, які діють у просторах аналітичних у довільних областях функцій, одержано зображення комутанта довільного оператора, який є лівим оберненим до множення на незалеж ну змінну, а також досліджені умови еквівалентності операторів вказаного вигляду.

We obtain representations of the com m utant for any operator which is the left inverse to the m ultiplication by an independent variable and investigate conditions for equivalence of operators of an indicated form in the class of linear continuous operators acting in spaces of analytic functions w ith a rb itra ry domains.

Нехай С - довільна область комплексної площини. Через Н (С ) позначимо простір усіх аналітичних в області С функцій, що наділений топологією компактної збіжності [1], а символом С(Н(С)) - множину всіх лінійних неперервних операторів, що діють у Н ( С ) . Якщо С - довільна область комплексної площини, яка містить точку д = 0 і є зірковою відносно цієї точки, то формулою

( Д / )(д) = / / (ї)бї, де інтегрування здій- 0

снюється по відрізку, що з ’єднує точки 0 та г, визначається лінійний неперервний опе-

Н (С )вигляд лінійних неперервних операторів, що

Н (С )ми до диференціювання, дається формулою

А = Д + Ь, (1)

де Ь - довільний лінійний неперервний фун-Н (С )

та його учні досконало вивчили різні властивості лінійних неперервних операторів, що є правими оберненими до диференцію-

Н (С )С

Н (С )вана нетривіальна згортка (згортка Берга- Дімовского), знайдено зображення усіх неперервних згорток для операторів виду (1),

описані усі мультиплікатори згортки Берга- Дімовського та комутант кожного оператора виду (1). Ці результати а також їхні застосування систематизовані в монографі- ї ї [2]. Пізніше в [3] вивчені умови еквіва-

Н (С )нійних неперервних операторів, що є правими оберненими до диференціювання. В[4] деякі з цих результатів узагальнені на випадок операторів, які є правими оберненими до узагальненого диференціювання ГельфондаДІеонтьєва.

Сплощини, яка містить точку д = 0 , то формулою (А /)(д ) = ^ (0) при д = 0 і (А /)(0 ) = / '(0) визначається оператор Помм’є А, який належить класу С(Н(С)) . Оператор Помм’є є частинним випадком оператора узагальненого диференціювання і за своїми властивостями в певному сенсі близький до оператора диференціювання. В роботах [5], [6] задачі, аналогічні до перерахованих вище, розв’язані для операторів, що є правими оберненими до оператора Помм’є.

Сплощини, яка містить початок координат. Тоді формулою

бВ = — + и ^ о , (2)


де Д - оператор множення на функцію р(г) з простору Н(С) , а, 80 (ф) = f (0), описується множина всіх лінійних неперервних операторів, що діють у просторі Н( С) і є лівими оберненими до оператора інтегрування Д . Тому цілком логічно виникає питання про розв’язання подібних задач для операторів виду (2). Але кожен оператор виду (2) еквівалентний у просторі Н( С) до оператора диференціювання. Звідси одразу випливає, що кожні два оператори, які є лівими оберненими до оператора інтегрування, є еквівалентними між собою в просторі Н(С) . Кому- тант оператора диференціювання в просторах Н( С) описаний в [7]. Використовуючи ці твердження, легко одержати опис комутанта кожного оператора виду (2) в класі С(Н(С)) .

У зв’язку зі сказаним вище цілком природно виникають аналогічні задачі для операторів, що є лівими оберненими до оператора множення на незалежну змінну у просторі Н ( С ) . Якщо С - довільна область комплексної площини, яка містить початок координат, то загальний вигляд лінійних неперервних операторів, що діють у просторі Н( С) і є лівими оберненими до оператора множення на незалежну змінну, дається формулою

С — А + и ^ 8о,

Т ео р ем а 1. Нехай О - довільна область в С, яка містить початок координат, а р(г) - фіксована функція з Н(О) . Д л я того, щоб оператор Т є С(Н(О)) , був переставним з оператором С — А + и Д 0, необхідно і достатньо, щоб він подавався у вигляді

( Т І )(*) — Ь (г)Ф(С) - С !(С Ж * ) * - С

(4)

де Ь - довільний лінійний неперервний функціонал, на просторі Н(С) , а ф(г) = 1 — г ф ) .

Д о в е д е н н я . Н ео бх ід н ість . Нехай лінійний неперервний оператор Т Є С(Н(С)) з характеристичною функцією Ї(А, г ) =Т [угу] [1]> переставний з О, тобто виконується рівність:

Т С — СТ. (5)

(3)

де р ( г ) - довільна фіксована функція з простору Н(С) . Комутант оператора Помм’є в просторах Н( С) описано в [8], [9]. Оператор (3) буде еквівалентним у просторі Н( С) до оператора Помм’є А тоді і тільки тоді, коли функція 1 — г Д г ) не має нулів в області С. Тому скористатись властивостями оператора Помм’є для вивчення відповідних властивостей операторів (3) в загальному випадку неможливо.

В цій статті вивчається зображення операторів, які переставні з фіксованим опера-

ОДосліджені також умови еквівалентності двох довільних операторів, які є лівими оберненими до оператора множення на незалежну змінну. Зауважимо, що основні результати цієї статті анонсовані в [10].

Подіявши рівністю (5) на функцію у і у , одержимо, що на множині Т [6] виконується співвідношення

1 (і (Х, г ) + р 1(г)) = + ^ (г)і (\ } ^А где рі (г) = (Тр)(г) , <р\ Є Н(С) . Розв’язавши останнє рівняння відносно Ї(А, г), одержимо, що на множині Т

) г,М г) , (1 — г ф ))Аі (А, 0)і (А,г) = - ---- - + ----------- . ^

Оскільки функція Ї(А, г ) є локально аналітичною на множині СС х С, то функція 1(А) = Ї(А, 0 ) є аналітичною на множині СС. Тому існує лінійний неперервний функціо-

Ь Н(С)і(А, 0) є характеристичною, тобто і(А, 0) =ЬС А-С [!]•

Розглянемо оператор Ті, який діє за правилом: (Т \І )(*) — г р 1 ( * ) / (г) +

+ (1 — гіб (г))Ь(*) - а « )

* - с

Зрозуміло, що Т г Є С(Н(С)) і характери-Т і

функцією ї ( А, г ), яка визначається формулою (6). Тому Т = Тг. Д ля знаходження

і


функції р 1(г) подіємо оператором Т на р ( г ). Одержимо: р 1 (г)(1 — гр (г)) =

( 1 — г ф ) ) Ь г Р (г) — Ср(С) г — С

Оскільки 1 — гр(г) ф 0 в О, то з останньої рівності випливає, що при г Є О

р і (г) = ь

Таким чином,

( Т І )(г ) гЬС

г Р (г) — ( Ф ) г — С

г Ф ) — Ср(С)г — С

І (г) +

+ (1 — г ^ (г))ьг І (г) — СІ (С)

ЬС

г — С

г І (г )(1 — С Ф )) — С1 (С)(1 — г Р (г)) г — С

И хс(1 — г р (г))

г — До: с є С (7)

(г — до) і (г) = с(1 — г Р (г)), (8)

де с - деяка стала, яка відмінна від нуля. З (8) випливає, що число А = 0 буде власним значенням для оператора С тоді і

д0кції 1 — др(д). При виконанні останньої умови, відповідне власне значення А = А буде однократним і множина функцій { / Є Н( С) : С / = / } збігається з (7).

Д ля оператора Т Є С(Н(С)) через К е г Т позначатимемо ядро оператора Т, а через Е - одиничний оператор з класу С(Н(С)) .

Скомплексної площини, яка містить початок координат, р Є Н(С) , а д0 Є С і є и- кратним нулем функції 1 — др(д). Тоді:а) Ук = 1,и : К е г ( С — -0Е ) к =к- і

1, п

к-1-і (у— ЩД! Сі Є С ,і = 0, к — 1};

Позначивши ф(д) = 1 — др(д), одержимо, що Т

Достатність умов теореми 1 є очевидною. Дослідимо далі умови еквівалентності

двох різних операторів, які є лівими оберненими до оператора множення на незалежну змінну.

Скомплексної площини, яка містить початок координат і р Є Н(С) , а д0 Є С, причом у д0 = 0 Д л я того, щоб число А = -0 було власним, значенням, оператора, С = А + и^50, необхідно і достатньо, щоб д0р(д0) = 1

Н (С )власному значенню А = —, є таким,

{ ^0 Сі (г-го)кб ) У ш Є N : К е г ( С — -0Е )п+т = К е г ( С — і Е ) п . °го '

Д о в е д е н н я . Твердження а) доведемо індукцією по к. При к = 1 його правильність випливає з леми 1. Допустимо, що твердження а) є правильним для деякого к < и і перевіримо, що воно виконується для к + 1.

Нехай (С — гооЕ)к+і/ = 0. Тоді (С — ■0Е ) / Є К е г ( С — гооЕ)к і тому існують сталі Сі Є С, і = 0, к — 1, для яких

А /(д ) + / (0 )Р (д) — — / (д) =д0

£ ■і=0

г к 1 і (1 — гр(г) )(г — го)к-і

Тому при г Є О \{г0}

( 1 ------) І (г) = 1 (0)(1 — г Р (г)) +го

Д о в е д е н н я . Д ля того, щоб число —, де г0 Є О \{0}, було власним значенням оператора Є, необхідно і досить, щоб існувала ненульова функція І Є Н (О ), для якої С І = 0 1 • Останнє співвідношення рівносильне тому, що при г Є О

+ £ ■і=0

г к і (1 — г р (г ))1 (г — г0)к-і '

Звідси одержуємо, що при г Є О \{г0}

І (г ) =і=0

г к і (1 — гр(г)) (г — г0)к+1-і : (9)


де ві, і = 0 , к , - деякі сталі. Навпаки, оскільки є щ-кратним нулем функції 1 — гр(г ) і к + 1 < щ то для довільних сталих щ, і = 0 ,к, формулою (9) визначається деяка функція / , яка аналітична на множині С \ {0}, і для якої точка є усувною особливістю. То-

Н(С)Безпосередньою перевіркою переконуємося В тому, Щ О функція / Є Ке г ( О — Е ) к+1. Таким чином, твердження а) доведене.

Перевіримо правильність твердження б) при т = 1. Нехай / Є Ке г ( О — 1 Е )п+1. Тоді (О — -0Е ) / Є Ке г ( О — -0Е )п і, використо-

к = щщо при г =

/ (;) = £ ві — , (10)1 і (г — г0)п+1~і

де ві, і = 0, щ, - деякі статі. Оскільки / Є Н( С) і точка г0 є щ-кратним нулем функції 1 — г р ( г ), то спрямувавши в рівності (10) г до одержимо, що е0 = 0. Тому / Є Ке г ( О — -0Е )п і твердження б) виконується при т = 1. Правильність б) для довіль-

т,математичної індукції, подібно до того, як це робилося при доведенні твердження а).

Скомплексної площини, яка містить початок координат і функції р і Є Н(С) , і = 1, 2. Д л я того, щоб оператор О0 = А + 80 був

Н(С)тора О2 = А + ІД 2 80, необхідно і достатньо, щоб одночасно виконувалися умови: а) на С множ ини нулів функцій 1 — г р 0(г) та, 1 — г р 2(г) збігалися;

1 —г р 0(г) та, 1 — г р 2(г), які належать області С

Д о в е д е н н я . Н ео бх ід н ість . Нехай опе- О1 О2 Н(С)

Тоді існує ізоморфізм Т Є С(Н(С)) , для якого

ТОі = О2Т. (11)Оскільки у еквівалентних операторів множини власних значень збігаються, то правильність твердження а) випливає з леми 1.

Нехай z0 Є G - спільний нуль фу нкцій 1 — z p 1(z) та 1 — z p 2(z). З рівності (11) випливає, що для довільного натурального k

T (C1 — — E )k = (C2 — — E )kT. (12)zo zo

Оскільки T - ізоморфізм з к ласу C(H(G)) , то з (12) випливає, що для кожного

kK e r ( C 1 — 1 E ) k та Ke r ( C 2 — 0 E ) k збігаються. Звідси, використовуючи лему 2, одержуємо, що б) виконується.

Д о с т а т н іст ь . Нехай виконуються умови а) та б) теореми 2. Тоді функція ÿ( z ) =1-zw\(z) ■ •/'■'(•-,— є аналітичною на множині G 1 не пе-1-z^ 2(z)ретворюється в нуль на цій множині. Тому оператор множення T = Цф є ізоморфізмом простору H(G). Безпосередньою перевіркою переконуємося в тому, що (А + UV180) T = T (А + UV2 80 ).

Gкомплексної площини, яка містить початок координат і функція, р Є H ( G ) . Д л я того, щоб оператор А + Uv80 був еквівален-

H(G) Адостатньо, щоб 1 — z p ( z ) = 0 при z Є G.

СП И С О К Л ІТ Е РА Т У РИ1. Käthe G. D ualitä t in der Funktionentheorie / /

J . reine und angew. M a th .-1 9 5 3 .-1 9 1 ,- S.30-49.2. D im ovski I. Convolutional Caleulus. Series:

M athem aties and its Applications. -1 9 9 0 .- Vol. 43.208p.

3. Нагнибіда M .I., Л інчук C.C., Звоздецький ТІ. Про деякі властивості операторів, як і є правими оберненими до диференцію вання, в просторі аналітичних функцій / / Інтегральні перетворення та їх застосування до крайових задач: 36. наук, п р .- К иїв, 1996,- Вин. 13 ,- С. 148-164.

4. Zvozdetskyi Т.І. On the Equivalence of Some O perators R elated to Generalized Gelfond-Leontiev In tegration and D ifferentiation in Spaces of A nalytie Functions. / / U krainian M athem atical Bulletin.- 2005,- Vol.2, № 4.-P.495 - 506.

5. D im ovski I., M ineff D. Convolutions m ultipliers and com m utants for the backward shift operator / / Pliska stud ia m ath . bulgarica.-1981.-Vol.4.-P.128-136.

6 . Л инчук H .E. Свёрточное представление некоторых классов операторов, связанных с умножением на аналитические функции, и их применения. / / Укр. матем. Ж .-1984.-Т 36..Y"5. С .626-63!.


7. Коробейник Ю .Ф. Общий вид перестановочных с оператором диф ференцирования линейных операторов в пространствах аналитических ф ункций. / / Функц. анализ и их п ри лож ,- 1973.- Т.7,№ 1.-0 .74-76.

8 . Л инчук Н .Е. П редставление комутан- тов оператора Поммье и их приложения. / / Матем.зам ЄТКИ.-1988.-Т44, №6.-0.794-802.

9. D im ovski I.H ., Hristov V.Z. C om m utants of the Pommiez operator. / / Int. J. M ath. M ath. Sei. - 2005. - №.8 . - P. 1239 - 1251.

10. Л інчук Ю .С. Д еякі комутаційні властивості операторів, що є лівими оберненими до множення на незалеж ну змінну / / М атеріали ХІ-ої М іжнародної наукової конференції імені академіка М .К равчука (18-20 травня 2006 p., Київ) - К .: Т ов."Задруга", 2006. - С .494.


УДК 517.982.4

© 2 0 0 7 р . В .Я . Л озинська 1 , О .М . М ’яус2

Днетитут прикладних проблем механіки і математики ім.Я.С.Підстригана НАН України, Львів 2Національний університет "Л ьвівська політехніка", Львів

Ф У Н К Ц ІО Н А Л Ь Н Е Ч И С Л Е Н Н Я В З Г О Р Т К О В И Х А Л Г Е Б Р А Х У З А Г А Л Ь Н Е Н И Х Ф У Н К Ц ІЙ Е К С П О Н Е Н Ц ІА Л Ь Н О Г О Т И П У

Побудовано функціональне числення в згорткових алгебрах лінійних неперервних ф ункціоналів над деякими просторами цілих функцій експоненціального типу д ля генераторів сильно-неперервних груп обмежених лінійних операторів, що діють над довільним банахо- вим простором.

We construct a functional calculus in the convolution algebras of continuous functionals on the spaces of entire functions of exponential type for the generators of strongly continuous groups of bounded linear operators on a rb itra ry Banach spaces.

В даній роботі продовжується дослідж ення згорткових алгебр лінійних неперервних функціоналів над просторами цілих функцій експоненціального типу, розпочаті в роботі [2]. У Ф ур’є-образі таких згорткових алгебр узагальнених функцій експоненціального типу побудовано аналог функціонального числення від необмежених лінійних операторів, які є генераторами однопараметричних груп класу С 0 над банаховими просторами.

1. П р о сто р и осн ов н и х ф у н к ц ій . Нехай ш(ґ) (—ж < ґ < ж ) - ціла трансцендентна ф ункція нульового роду, нулі якої леж ать на уявній додатній півосі [3]:

ТО ,

“ « = С П 0 — у :) ■к= 1

де С = еоивЬ, С > 1, 0 < ґ 1 < <ТО

■ £ 1 жРозглянемо простір, який позначимо L 1

сумовних функцій R Э t ^ ф(і) з нормою

(m,a) ,

В класі цілих аналітичних функцій Ф(і + іт) Є С розглянемо підпростір М ( т ’а) (С) таких функцій Ф, що для кожного фіксованого т Є М відповідна ф ункція дійсної змінної М 3 і ^ Ф(і + іт) належ ить до простору Ь (m,a) / і має скінченну норму

ііфіі sup eте R

- v \t | |tmw(at)Ф (t + іт )\dt.

Простори М і складаю ться з функцій експоненціального типу [4].

Теорем а1.[2] (і) Відображ ення

М ( т’а) (С) 3 Ф(і + і т ) Д і ) := Ф(і + і0) Є Е р

є гзометргєю нормованих просторів.(іі) В кладення E (m,a С L p n,a)(R) ізомет ричні. Розглянемо об’єднання просторів з топологією

індуктивної границі

E m a := І І E (m ’a) = lim ind E (m ’a)V V—+TO

IMI, (m,*) (R) \tm u (a t)^ ( t) \d t < ж

при ф іксованих m ,a (m = 0 , 1, 2 , . . . ; a > 0).Д л я кожного v > 0 розглянемо підпроетір в

L (m,a) /

E (m,a) := Є L (y a)(

M ^ m ,* ) = supkeZ+

ID V ll ,<

.

т^(п.а) __ т (т.а)відносно неперервних вкладень Е І С Е ^ , деV < р. Простір Е (т,а) входить в область визначення оператора диференцію вання Б та є інваріантним відносно його дії.

П ростір Е (т,а) гаусдорфовий і квазіповний. Кож н а обмежена підмнож ина У простору Е (т,а) міститься і обмежена в деякому просторі Е ( п 'а\ 2 \.

Розглянемо перетин просторів з топологією проективної границі

E := aE (m’a) = lim pr E (m’a),

Простори E ( n 'a банахові та інваріантні відносно оператора диференцію вання [1,5].

m , aE (m+(,a+() с e (m,a) були неперервні. Простір

(

kv


Е секвенціально повний. Простір Е інваріантний відносно дії групи зсувів Т3 : ф(б) ^ ф(б — в), де в Є М.

2. А л геб р и уза га л ь н ен и х ф у н к ц ій експо-Е

значимо через Е ' і наділимо слабкою топологією спряженого простору. Елементи спряженого просто

Е 'Е '

клий лінійний топологічний простір. Канонічну бі-Е ' Е

їстість, позначаємо через ( / | ф), а саму дуальну пару (Е ' І Е ).

Д л я довільних / Є Е ' та ф Є Е співвідношення

( П кІ | V) = ( - 1 )к ( І І П кV),

Ф ур’є-образи функцій експоненціального типу є фінітними [4], тому обернене перетворення можна визначити формулою

Е - : Е Э (р(І ) — > ¥ (ї) = 2 П / егІ<'Е(^ ) ^ Є Е '

коректно визначає операцію диференцію вання узагальнених функцій.

Д л я довільної узагальненої ф ункції І Є Е ' та ф ункції V Є Е операцію згортки визначаємо співвідношенням

( І * V )(і) := (І(в) 1 V (і + в)) = ( І (в) 1 Т ^ (і)) =

= (І (в) | Т - М 8)).

де І (в) позначає дію ф ункціонала І на функцію Т - 3 v( t ) відносно змінної в.

Через С(Е) позначаємо алгебру лінійних непе-Е

раторною топологією.Т еорем а2 .[2 ] Н ехай І ,д Є Е ' V Є Е . Простір

Е '

значеної співвіднош енням

( І * д) * V = І * (g*v)■

Відображ ення Е ' Э І — > К ] Є С(Е) , де К f V = І * V, є алгебраїчним ізоморфізмом на комут ант групи зсувів Т 3 в алгебрі С(Е) . Згортка має власт ивост і

П к( І * V) = І * ( D kv ) = ( - 1 ) к ( П к І ) * V,

(Е ' | Е) відображення до оберненого

Е * = 2 п (Е - 1 )' : Е ' Э І — > Е Є Е ' .

Його образ Е ' , який породжує двоїстість вигляду (Е ' І Е ), наділяємо слабкою топологією. Відображ ення Е * є розш иренням перетворення Ф ур’є на

'( ' | ) ( Е ' | Е )

відношенням ( І І V) = 2 п ( І І V) ■

4. Ф інітн і ф у н к ц ії в ід ген ер ат ор ів С0-гр у п .Нехай у комплексному банаховому просторі {X , || • ||} задана рівномірно обмежена однопараметрична С0-група и і = е -і іА Є С ( Х ) з генератором - г Л ,д е С ( Х ) - алгебра лінійних обмежених операторів над X з рівномірною нормою || • | |д х ) . Генератор цієї групи є неквазіаналітичним оператором в банаховому просторі, тобто інтеграл

І п Ци І 1 + і 2

Зі (1)

є збіжним [3]. З групової властивості випливає нерівність

ІЮ ^ІІ < 11011-11011 (2)

Збіж ність інтеграла (1) і нерівність (2) забезпечують існування такої цілої трансцендентної ф ункції ^(б) нульового роду з нулями на уявній додатній півосі, що

ІЮІІ < |^ ( ї) | (—ж < б < ж)

Візьмемо довільну функцію ф(б) Є Е і побудуємо лінійний оператор

П ( І * д) = (в І ) * д = І * ( П д )

для будь-якого к Є Z+■3. П ер ет в о р ен н я Ф у р ’є. Д алі позначимо

СЮ

Е := I Ф( 0 = ! е- і і '5v( і ) Зі : v( і ) Є Е | ,

де £ Є М. П еретворення Ф ур’є здійснює лінійний ізоморфізм Е : Е з ф(б) — > <Е(£) Є Е . Простір Е наділяємо топологією, перенесеною відображенням Е з Е на Е.

Ф(А ) -іАі V (і)d t ■ и ^ ( і ) З і .

Інтеграл збігається сильно на всьому просторі і визначений ним оператор <Е(А) обмежений. Оскільки образ перетворення Ф ур’є ф (\) є ф ін ітна функція, то оператори ф(А) мож на трактувати як ф інітні

АТ ео р ем а 3. П рипуст имо, що ф Є Е . Тоді опе

ратори ф(А) задовольняю т ь співвіднош енням

{ В кф)(А) = і к А кЕ(А),

і

е


( і і )кр ( А) = ( В кф)(А),

(Ф * ф)(А) = ф(А) • ф(А ), (Vф ,ф є Е ).

Д о в е д е н н я . Інтегруючи частинами і використовуючи замкненість генератора групи, отримуємо:

Р )(А) и ф В кф)(і) Зі

= — ^ В к Щр(і ) Зі = і к А к р(А) ,— ТО

ТО

(іф ф (А ) = І Щ((іЬ)кф)(і) Зі = В кр) (А) .ТО

Визначеною є згортка функцій і виконуються рівності

ТО ТО

р ( А) • ф(А) = J ф ( і ) ^ и в+іф(в) Зв] Зі =—ТО —ТО

ТО ТО

[ / и г ф(г — в)ф(в) Зв] Зг = (р * ф)(А).-ТО —ТО

Л е м а 1. Згортка має властивості:

( І * д) * х = І * ( д * х ) ,

Б к( І * х ) = І * ( Б кх) = ( - 1 )к( Б кІ ) * х

для будь-яких І ,д Є Е '(М), х = х(Ф) Є Е(М; X ) та к Є Z+.

Д о в е д е н н я . З означення згортки та теореми випливають наступні рівності

( І * д) * х = ^ 2 х і ( ( І * д) *3 = 1

Фз

5. Ф ун к ц іон ал ь н е ч и сл ен н я д л я ген ер а т о рів Со-гр у п . Відомо [6] наступне ізометричне зображ ення ЕДМ; X ) ~ X (У)Ь 1 (М), де ЕДМ; X ) є бана- ховий простір всіх Х-значних сумовних функцій М Эі — > х( і ) є X з нормою \\х\\Ьі (х) := / к ||х ( і) | | Зі.

Позначимо через

Е (М; X ) := X ( Е(М)

- поповнення проективного тензорного добутку просторів X та Е (М). Згортку довільної узагальненої ф ункції І є Е '(М ) та вектор-функції х( і ) є Е (М; X ) визначаємо співвідношенням

( І * х ) ( і ) := ( I ( К { )х(і),

де I - одиничний оператор в X .З теореми Гротендіка [6] про зображ ення елемен

тів проективного тензорного добутку випливає, що елемент х(і ) є Е(М; X ) зображ ається абсолютно збіж ним рядом вигляду

ТОх(і ) = £ хр ( Фз (і), Де хз є X , рз (і) є Е (М). (3)

3=1

Використовуючи це зображення для довільної узагальненої ф ункції І є Е ' (М) та вектор-функції х( і ) є Е (М; X ), отримуємо

ТО

( І * х)( і ) = £ х з ( ( І *Фз ) ( і ) .з= 1

= І * ^ 2 х р ( ( д * Фз ) = І * ( д * х ) ,з= 1

ТОВ к ( І * х ) = £ хз ( В к ( І * Фз ) =

з= 1

ТО= £ хз ( ( — 1 )кВ кІ ) * р з = ( — 1 )кВ кІ ) * х .

з= 1

Л е м а 2. К ож ен підпростір вигляду

ТО

Е ( X ) : = \ х = / ( и ( I ) х ( і ) Зі : х( і ) є Е (М; X )

є банаховим відносно норми, індукованої відображен н ям х(Ф) — > х.

Д о в е д е н н я . П окажемо, що відображення Е (М; X ) 3 х (і) — > х Є Е ( Х ) є неперервним. Із (3) отримуємо

2 2 и Фх з ( Фз(і) з= 1

Зі

тоТ О Т О

= £ / и *х з ( Фз(і) Зі = £ фз ( А) х з . з = 1 АТО з= 1

ТООскільки ||ф(А)х|| < / \ и гх \ \ ф( і ) \ З і <

—ТО\\игх \\ \\ф\\е < \\ф\\е ||х || ^ х є X ), то

Т О Т ОР Ї І < £ і | х з || ІІф (А)Цс(х) < £ | | х , ІІІІФз ІЕ .

з= 1 з= 1

х(і )гляді абсолютно збіжного ряду, отримуємо ||ж|| < 11 х (і) || Е(щх ) і неперервність доведено. Я дро неперервного відображення Е(М; X ) — > X є замкненим, тому відповідний фактор-простір по цьому ядру є


банаховим. Згідно з означенням норми в просторі Е ( Х ), він є ізометричний побудованому ф актор- проетору.

Л е м а 3. К ож ен підпростір Е ( Х ) є інваріант ний відносно оператора

СЮ

K f : Е ( Х ) Э х — > K f х := І ( и ® ^ )х(і ) Зі.— Ю

Д о в е д е н н я . Враховуючи зображ ення (3) елементів х(і ) Є Е (М; Х ) для довільного І Є Е '(М), отримуємо

ІІ(І ® K f )х ( і) | < ^ 2 ІІхз 1 ||K f V3 ІЕ <3=1

Ю< К ||£ ( е ) £ Цхі|| I V І Е ,

3=1

або Ц(І <8> K f )х(і)Ц < ||K f ||£ (В) | |х ( і ) |В(К;Х). Отже, простір Е (М; Х ) є інваріантним відносно дії оператора І ® K f .

О скільки и і ® K f = (и і ® І ) ( І ® K f ) і І ® K f : Е(М; Х ) — > Е(М; Х ), то згідно з лемою 2 для будь- якої вектор-ф ункції х(і ) Є Е (М; Х ), маємо K f х Є Е ( Х ). Тобто K f : Е ( Х ) — > Е ( Х ). Л ем а доведена.

Через С(Е ( Х )) позначаємо алгебру всіх лінійнихЕ ( Х )

ною операторною топологією.Т е о р е м а 4. Відображ ення Е' (М) Э І ^ І ( Л) Є

С(Е ( Х )), де л ін ій н и й оператор І ( Л) е визначений співвіднош енням

І ( Л) : Е ( Х ) Э х ^

СЮ

^ Е(Л)х := ! ( и ® K f )х(і ) Зі Є Е ( Х ), (4)— Ю

здійсню є неперервний гомоморфізм алгебри символ ів Е' (М) на підалгебру алгебри С(Е ( Х )) операторів вигляду

К : Е ( Х ) Э х ^ К х := J ( и і ® K )х(і) Зі ,— Ю

де оператор K Є С(Е(М)) належ ит ь ком ут ант уТ3 .

( Б І ) ( Л ) = гк Л к Е(Л), (гКЕІ (Л) = ( П к Е)(Л).

Д о в е д е н н я . З а теоремою 2 довільний опера-Т3 ,

K f , де І Є Е '. З леми та означення простору Е ( Х )

випливає, що K f : Е ( Х ) — > Е ( Х ). З а означенням

норми в Е ( Х ) маємо, що х т ^ х тоді і тільки тоді, коли х т (і) ^ х( і ) в просторі Е (М ;Х ). Якщ о ж х т (і) ^ х(і ) , то з неперервності K f випливає, що ( І ® K f ) хт (і) ^ ( І <8> K f )х(і ) в просторі Е(М; Х ).

Е ( Х ) ,емо ( І ® K f ) хт (і) ^ ( І ® K f )х(і). Таким чином, K f Є С(Е ( Х )). З рівності K f = K f • д для будь- яких І , д Є Е ' , випливає К f *д = К f • К д. Тобто, ф ункціональне числення реалізує алгебраїчний гомоморфізм із згорткової алгебри узагальнених ф ункцій на алгебру неперервних операторів над простором Е ( Х ).

Доведемо неперервність функціонального чис-Е '

' , ' гію, то досить показати неперервність відображення Е' Э І ^ І ( Л ) х Є Е ( Х ) для кожного х Є Е ( Х ). Неперервність Е' Э І ^ K f Є С(Е) отримуємо з нерівності | |І * V !^ < НІ II ІІVІІE. Тому неперервним буде відображення Е ' Э І ^ ( І <8> K f )х(і) Є Е(М; Х ) для кожного х( і ) Є Е (М ;Х ). Нехай І т ^ І в просторі Е '(М ). Тоді ( І <8> К т )х(і ) ^ ( І ® K f )х(і ) в просторі Е(М; Х ). З а означенням норми в Е ( Х ), маємо K f m х ^ K f х в просторі Е ( Х ). О тже, відображення Е' (М) Э І — > K f х Є Е ( Х ) є неперервним.

Реш та твердж ень теореми випливає з лем 1,3 та теореми 3.


1.Л опуш анський О.В. Операторне числення на ультрагладких векторах / / Укр. мат. жури. - 1992. - 44 , № 4 ,- С .502-513.

2.Л озинська В. Я ., М ’яус О.М. Про узагальнені ф ункції експоненціального типу / / П рикладні проблеми механіки і математики. Науковий збірник. Випуск 4. - 2006. -С . 48-53.

3 .Любич Ю. И., М ацаєв В. И. Об операторах с отделимым спектром / / Матем. сборник - 1962. - 5 6 (9 8 ), № 4 - С. 433-468.

4.Н икольский С. М. П риближение функций многих переменных и теоремы вложения. - М.: Наука, 1977. - 456 с.

Ь.Радыно Я. В. Векторы экспоненциального типа в операторном исчислении и дифференциальны х уравнениях / / Д иф ференц. уравнения. - 1985. - 21 , № 9 ,- С. 1559-1569.

6 .Шефер X . Топологические векторные пространства. М.: М ир, 1971. - 359 с.


УДК 517.956.4

© 2 0 0 7 р. В .М . Л учко

Чернівецький національний університет імені Ю рія Федьковича, Чернівці

П Р О П Е Р ІО Д И Ч Н И Й Р О З В ’Я З О К П А Р А Б О Л ІЧ Н О Г О Р І В Н Я Н Н Я В И Щ О Г О П О Р Я Д К У П О t З ІМ П У Л Ь С Н О Ю Д ІЄ Ю

Доведено існування і встановлено оцінки періодичного розв’язку параболічного рівняння вищого порядку по t з імпульсною дією.

We prove th e existence and find estim ations for th e periodic solution of a parabolic equation of a higher order on t w ith an impulse action.

При описанні деякого реального процесу системою диференціальних рівнянь, що піддається імпульсній дії в різні моменти часу, виникають математичні моделі з імпульсною дією. Теорія систем звичайних диференціальних рівнянь з імпульсною дією глибоко вивчена у праці А.М. Самойленка і О.М. Перестюка [1] та інших авторів. Д ля відшукання періодичного розв’язку системи звичайних диференціальних рівнянь розвинута теорія Флоке [2].

Д ля квазілінійних параболічних рівнянь [3] отримано ознаки існування стійких періодичних розв’язків. Д ля дослідження даної задачі використовується метод, запропонований М.А. Красносельським (операторний метод). У [4] досліджено коректність крайових задач з періодичними умовами на торі за виділеною змінною та певними умовами за іншими координатами для широких класів лінійних і квазілінійних рівнянь, систем рівнянь з частинними похідними (гіперболічних, параболічних, безтипних) скінченого порядку, лінійних рівнянь нескінченного порядку, а також диференціально- операторних рівнянь. Д ля лінійних параболічних систем з імпульсною дією встановлена коректність задачі Коші в нормованих просторах Діні в праці [5]. У праці [6] доведено існування і встановлено оцінки періодичного розв’язку параболічного рівняння вищого порядку по ї.

У даній роботі ставиться задача про відшукання періодичного розв’язку параболі

чного рівняння вищого порядку по і з імпульсною дією.

Розглянемо неоднорідне рівняння

д ти діт

у u + f (t , x )|&|+26&о<26т

(1)і = ті, П = {і > то, х Є К™}, к0 < т — 1, та імпульсні умови

и(ті + 0 , х) — и(ті — 0 , х) == В (0)и (т — 0 ,х) + а1(х), щ(ті + 0 , х) — и'і(ті — 0 , х) == В (1')и'і(Ті — 0 ,х) + 02 (х),

и(т 1)(ті + 0 ,х) — и(т 1)(ті — 0 ,х ) == ВІт- 1 )и{(п~ 11 (ті — 0 ,х ) + ат(х),

(2)де Ак0к( і ) f (і, х) - неперервні, и - періодичні

(і) і В і

аі (х) - ВІДО М І неперервні функції, моменти Ті, такі, що

B,(j)i+p( j )B i J,Ti+p = Ті + и.

Задачі (1), (2) в образах Ф ур’є відповідає

dmV sr-^ . . . . . k dko V .= A kok (t )M + f ( t , a ) ,

\k\+2bko<2bm(3)

dt

dj-1 Vdtj - i

dj-1 V

t=Ti+0 dtji-i t=Ti—0


Б,— <3—і у

<і3- і + азі°) , (4)і=Ті- 0

X

М 2(і,Го,а) — К (г,ги , а ) х

У ( і + Б ? - 1 1) к ; (- ‘1(п ,г ,_ 1,а)\г=іі = 1 ,т , і% = - 1 .

Нехай К (і, Ті , а ) = {К\( і ,ті , а ) , ...,К т(і,ті , а)}, ті < і < ті+\- нормальна ПРИ ^ — 1 а Для р = 0 фундаментальна система розв’язків задачі Коші

і,з=і

М 2(і,Го,а) — К (і,то, а),

< Г К<іт

У Лад( і)(іоа)к^ К , М о( і , То ,а) = к ( і т ,а)П ((1+ Б *> ха іко и=к\к\+2Ько<2Ьт

О, К і\і=ті+0 — $1—1,3,

К(і , т , а)- функція Гріна задачі Коші

іїтК л \к ^ко К= 2 -^ Акок (і)(іоа)к

де

<і \к\+2Ько<2Ьш

Щ С \і=т = $т—і,3 ,

<іко ’

х К (ти ,ти- і , а ) ) і

((1 + Б и) К ( ту, Ту- і , а) ) і =

= ({ і + б ї У к У ' т , т- , * ) Г .\ / 1,3=1

Нехай М 0 (і,т0 ,а) = { М і 0 (і,т0 ,а), . . . ,Мто(і, То, а ) } , М 2(і, То, а) = { М і 2(і, то, а),..., М т2(і,т0 ,а)}. Д ля знаходження періодич-

I = 1 , т І = 0 , т — 1, 5 і - символ Кронеке- ного розв’язку задачі (3),(4) скористаємося ра. тим, що похідна від періодичної функції є

Розв’язок задачі (3)-(4) з початковими також періодичною функцією. Д ля однозна- = V ^ подається у ви- чності розв’язку використаємо умову періо-умовами V

гляді

(3 — 1)і=0

к іV (і, а ) — М о ( і , Т о , а ) У о / Мі ( і , Ту , т,а)х

т — 1

V( і + ш,а) = V(і , а), Щ « + ш,<т) = V, ( і . а) ,

(6 )V=і„Ти-1 у ( т—і)(і + и ,а) — У Д _ 1>(і,а).(т—і) .

х / ( т , а ) ^ + ! К ( і , т , а ) / ( т , а ) ^ +

тк — 1+ М 2(і,То ,а)а(а),

де введено такі позначення

( V і?') \

V} = С2(о)

Серед розв’язків, що зображаються формулою (5), періодичним буде той, для якого У0 задовольняє умови (6). Покладаючи в (6)

(5) і = то, отримаємо

(Е — А о ^ , ^ ^ ) ^ =

р-і У _^ / Аг(ш, Ту, т, а) / (т, а^т+V =і„Ти-1

\ уто ) )

X

М і ( і , н , т, а) — К (і, ^ , а ) х

^ ( і + Б ^ ) К ( у ,т,а) ^

^1 + Б ^ 1 К т , т, а)

+ J К (ш,т,а)!(т,а)<т + Л2(ш,то, а)а(а),Тр—1

У ( 1 + Б Ї т—і))) К (т—і)( ^ , т, а) у

де

Лі (ш, ^ , т, а)

( М і ( ш , ^ ,т,а) \ М 'і (ш, ^ , т, а)

\ М т і)(ш, ^ , т, а) )


ПІ

І

К(ш, т, а)

( К(ш,т,а) \К (ш, т, а)

^ К (т-1)(ш,т,а) )

А 2 (ш,то,а) =

( М 12 (ш,то,а) М І 2 (ш,то,а)

М т2(ш,то,а) \М' т2(ш,то,а)

\ М ^ 1}(ш,то,а) ... м т 1>(ш,то,а) )(т-1)

Ао(ш,то,а)

( М іо (ш,то,а)М' ю (ш,то,а)

Мто(ш,то,а) \М 'то(ш,то,а)

V м і о 1)(и,то , ^ ) ... м т о і>(и,то , ^ ) )

Припустимо, що існує обернена матриця Де (Е — А 0 ( и , т0 , а) ) - 1 , тоді періодичний розв’язок (3) можна подати у вигляді

V (і ,а) = Мо( і , то, а) (Е — Ао(и,то,а)) - 1 х

р-1 А. _х ^ / А 1(ш,т„, т, а)/(т, а)б,т+

V=1Т4-1

+Мо( і , то, а) (Е — Ао(и,то,а)) -1 хШ

х J К(и,т,а)Ь(т,а)в,т + М 0 (і,т0 , а ) х

тр—1

х ( Е — Ао(и,то , а) ) -1А 2(и,то,а)аа(а)+

р-1 А. _+ ^ / М 1(і,ти, т, а)Ь(т, а)йт+

"=4-1І

+ J К(і , т, а)/(т, а)dт + М 2(і, То, а)а(а).тр—1

(7)Застосовуючи до (7) обернене перетворення Ф ур’є, отримаємо зображення періодичного розв’язку рівняння (1) у вигляді

р-1

т- 1)

+ ] С 2 (г, т,ш,х - £)/ (т, £)№£+Тр-1 Ж"

+ 1 СМі,т„,ш ,х - £Ж )с І£ +Ж"

р—1 тV

+ ^ 2 \ ^ \ ° 4 (1, т", х - £ )ї т £ )№£+ " 4 4 І -

і

+ 1№т! ° о (і) т,х - £) (т’ £)№£+Тр-1 Ж"

+ І 0 4 , то,х - £)а(£)№£, (8)Ж"

, ш, х - £) = -т ^~ І е‘оМх-()х.(2 п)-

Ж"

х МоЬ, то , а ) ( Е - Ао(ш,то,а)) 1х

х А ^ ш , т", т, а)№а,

а 2 (і,т,ш, х - £) = 4 - І е‘°^ІХ -1)Х(2жУ

Ж"

хМо(Ь,то,а)(Е - Ао(ш,то,а)) І х

хК(ш, т, а)№а,

а 3 (і,т0 , ш, х - £) = 4 г- І е‘0’ (х-і)х(2п)-

Ж"

х МоЬ, то , а ) ( Е - Ао(ш,то,а))- 1 х

х А 2(ш, то, а)№а,1

С 4 (і,тV,х - £) =(2п )

еіоа(х- ^) х

Ж"х М 1(і, т", т, а)№а,

СЦг.то.х - і ) = 4 - [ еі0° (х-()х(2 п) -

"

V=1и (і ,х) = ^ 2 №т 4 4 , т" , ш , х - £ ) / (т,£)№£ + Со(і ,т,х - £)

х М 2(і, то, а)№а

1 Є

^ - і Ж" (2 п)-еіоа(х- $) х

"


хК( і , т, а) і а . \Бк0Б кхС 3(і ,то,и,х — £)| <

За умови рівномірної параболі- < с(і + и — Т})т-ко- 1- Щ; хчності рівняння (1), для функцій т . .К ^ о і ^ К т ^ ' а ) і х І ( * + - — ’О'Ть М . тїх похідних справедливі оцінки при компле- Якщо для норми матриці A (u , тo, а) викону- ксних аргументах 5 = а + і0р [7 , с.55] ється нерівність

\Бк0 Кі(і ,т3 ,5 ) |< ско (і — т3 )т-ко-1х І І А І І < а < 1 ,а , (Б)

\2ь т?і \2Ь\(+ м тоДІ допустиме розвинення в рядx e x p { ( - 8 \o\2b + F Y \ 2b)(t - т3)},

\D t°K( t , T, s ) \ < c(t - т)m-k0-1x (E - Л(ш,т0 , о ) ) - 1 = A k.

x e x p { ( - 8 \a\2b + F \y \2b)(t - т)},2Ь + Р\р\2ь )(і — т )}, к=0і _ -л , Х \ о - 2 — і Згідно із лемою 1.1 про перетворенняі 1, т , т і т , о 0 , іо 1 • -г- . . .. ооігр • . / /, N Фур є цілих функцій 7, с.38 , уточнюютьсяіому для похідних М о(і,то,о), . , , / 7 1 . у 3 .М ,1 Х т^ , т , о) та то, о) дістанемо ( ) . ( р ) функцій ^ ( і , Т», - х - 0 ,

і = 1, 2 та С 3(і,то, ш, х — £)' vоцінку

\Вк°Мо(рто,а)\ \ < c(t - то)т-ко-1х \D t °DkGl (І ,т,Ш,Х ^ <

k■\2Ь (

і і |k|+n< ck0k(t - т + ш - то)т 0 2Ь х

хе йМ ( Т° м (Е и) , (9) х exp{—С\ \ x - £ \2Ь- 1 (t - т + ш - т0) 21,-1}.v= 1

\Dk0Мі(рти,т,о) \ \ < c(t - т)m-k0- l xv= \Dk0DkG 3(t, то,ш,х - £) \ <

k•|2b (

і 1 I k I +n< ck0k (t + ш - то)т-к0- 1 - — x

x e slal2b(t M ( B v), (10) x ex p { -c i\x - £ \2b-1 (t + ш - то) 2Ь-1}.v=1 Нехай H (10) = C (Kn) П Ьі(Ш,п), H (1a) =

\ D k М 2^,то,а)\\ < c(t - тк)m-k0- 1x C1ka\ n ) й L 1( ^ n) клас функцій з нормою,k

x e -&Wi2b(t-T0) TT м (Bv) (11) Т ео р ем а 1. Якщо рівняння (1) рівно-v=1 мірно параболічне, коефіцієнти Л к0к (t) не-і) перервні при t > т0, неоднорідність рівня-

де М (B v) = ш ах ( 1 + B v ), то < тк, t > н , ння f (t , x) та коефіцієнти є періодичними зо Є ^ п . деяким періодом ш > 0 , виконується умо-

Будемо вважати, що збіжним є інтеграл ва (А), то для довільних функцій f ( t ,x) ЄH (1У ; al(x) Є H (1,0\ l = 1 , m , періодичний

I (t,т0 , c , ш) = e-clal Ь\ \Е - Л 0(ш,т0 ,а)\ \- 1д,а. розв’язок задачі (1), (2) визначається фор-n

(Л)З г ІД Н О ОЦ ІНОК (9), (Ю), (11), Д Л Я ПОХІДНИХ к0 к ( \\ ( m - k0-ШG ^ t E v , & , x - £), l = 1 , 2 \ G3 ( Р т о ш ^ - £), \D t °D kU( t , x ) \ < ck0k(t - то) 0 2b xотримаємо x I (t + ш - т0, т0, 8 , &) ( \ f \1 + ) + c\ f \a.

D 0D kGi(t ,Tv,ш, x - £)\ < Якщо виконується умова (В), то длярозв’язку рівняння (1) та його похідних

< c(t - т + ш - 'r0)m-k0- 1- k x справедлива нерівність

x I (t - т + ш - т0 , т0 , 8,ш), (12) \D t 0 D k U ( t , x ) \ < c( \f \h (la) + \a \n(i’0) ) ,


де 2Ьк0 + \к\ < 2 Ьш.Якщо визначник матриці (Е — Л(и,т0,&))

дорівнює нулю (резонансний випадок), то неоднорідне рівняння (1) не завжди допускає періодичний розв’язок.

Розглянемо спряжене рівняння до (1) [2, С.581

д mUi д (—т )п Е д ko

д (—т )ко (Akok (т)х2bko+\k\<2bm

х ( — i f l D k UI(T,x)),

в образах Ф ур’є дане рівняння має вигляд

dmVl d (—T) Е

dko(Akok (т )хm £_✓ d( — т )ko kok

2bko+\k \ <2bm

х ( —1) \k\(iaa)k Уг(т,а)).

5. М ат ійчук М .І., Лучко В .М . Задача Коші для параболічних систем з імпульсною д ією // Укр. мат. ж ури. -2006.-Т.58, № 11. - С .1525-1535.

6 . Л учко В .М . Про періодичний розв’язок параболічного рівняння вищого порядку по 1 / / Науковий вісник Чернівецького університету. —2005.— Випуск 269. М атематика.—С. 63-67.

7. Эйдельман С.Д. Параболические системы.— М .:Наука, 1 9 6 4 ,- 443 с.

8 . М ат ійчук М .І. Параболічні сингулярні крайові задачі.—К.: Інститут математики ПАН України, 1999.-176 с.

(14)

Справедлива теорема.Т ео р ем а 2. Нехай коефіцієнти Л ^ ма

ють к0 неперервних похідних при ї > 0 , однорідне рівняння допускає в лінійно незалежних розв’язків К 3(і ,а), 1 < в < ш. Тоді рівняння (14) має також в лінійно незалежних розв’язків, а відповідне неоднорідне рівняння (1) має періодичний розв’язок тоді і тільки тоді, коли виконується умова

р—1 ТV^ [ & [ щ С А(і , ти,х — 0 І (т,0 ^ +v=l Tv-l №

+ Ы т Go(t, т, х — С)ї (т,С)dC = 0

Tp-lСП И С О К Л ІТ Е РА Т У Р И

1. Самойленко A .M ., Перестюк М .А . Д и ф ф еренциальные уравнения с импульсным воздействием. - К .: Вищ а ш кола, 1987. - 258 с.

2. Д ем идович Б .П . Лекции по математической теории устойчивости,—М .:Наука, 1967.—472 с.

3. Колесов Ю .С. О некоторых критериях существования устойчевых периодических решений квазилинейных параболических уравнений / / Д окл. АН С С С Р .-1 9 6 4 .-1 5 7 . Ш . - е . 1288-1290.

4. П т аш ник Б .П ., Ільк ів B .C ., К м іт ь І .Я ., Пол іщ ук В .М . Нел окал ьні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними / / К .: Н аукова думка, 2002.—415с.


УДК 517.925

© 2 0 0 7 р. О .В . М атвій1, Л .В . С тельм ащ ук 2, І.М .Ч еревк о1

1 Чернівецький національний університет ім. Ю рія Федьковича 2 Тернопільський державний технічний університет імені Івана Пулюя

П Р О А П Р О К С И М А Ц ІЮ С И С Т Е М И Р ІЗ Н И Ц Е В И Х Р І В Н Я Н Ь

Д осліджено апроксимацію елемента запізнення в Rn у випадку розривної вхідної ф ункції. Обгрунтовано схему наближення системи різницевих рівнянь послідовністю систем звичайних диференціальних рівнянь.

Rn

driving-point function. The algorithm of the approxim ation for a system of difference equations by a system of ordinary differential equations is substan tia ted .

В сту п . У працях [1-5] вивчається апроксимація диференціально-різницевих рівнянь у різних функціональних просторах послідовністю звичайних динамічних систем. Перехід до систем звичайних диференціальних рівнянь дозволив побудувати алгоритми наближення розв’язків рівнянь із запізненням [1,3,4], а також одержати схеми апроксимації неасимптотичних коренів ква- зіполіномів.

У даній роботі досліджується апроксимація елемента запізнення в Я п у випадку розривної вхідної функції. Одержані результати застосовуються для обгрунтування схеми наближення системи різницевих рівнянь послідовністю систем звичайних диференціальних рівнянь.

1. П о стан о в к а за д а ч і. С х ем а ап р о кси м ац ії. Розглянемо систему нелінійних різницевих рівнянь вигляду

х(і) = — Ті), . . . , х ( і — тр)), (1)

з початковою умовою

x(t) = pit) , t Є [а — т,а], (2)

ки

р (а) = д{а, ф{а — ті ) , . . . , у{а — тр)) (3)

цей розв’язок буде неперервною функцією на [а — т,Т]. Якщо умова (3) не виконується, тоді розв’язок задачі (1)-(2) буде кусково неперервною функцією, що має на [а — т,Т] скінченне число точок розриву, в яких існують ліві та праві границі.

Розглянемо схему знаходження наближень розв’язку задачі (1)-(2) за допомогою розв’язків задачі Коші для послідовності систем звичайних диференціальних рівнянь, аналогічно як у випадку диференціально- різницевих рівнянь [4,5]. Відзначимо, що безпосереднє знаходження розв’язку задачі (1)-(2) методом кроків у випадку багатьох запізнень є достатньо складною задачею.

Нехай т Є N. Визначимо функції ті {ї) = (тіі ( і ) , . . . , тіп(і)), і = 1 , т , як розв’язки системи звичайних диференціальних рівнянь

йгЛї) т . . . . . . .= т (ї)) —

де х Є Я п, Ті , і = 1,р, — запізнення, 0 < ті < . . . < тр = т; д( ї , и і , . . . ,ир) — неперервна вектор-функція визначена для ї Є [а,Т], иі Є Я п, і = 1,р, д(ї) — задана неперервна на [а — т, а] вектор-функція.

Розв’язок задачі (1)-(2) можна знайти методом кроків. При виконанні умови "склей-

dzi(t) m . . . . . .= т (Zi-i(t) — Zi(t)),

і = 2,m, t Є [a, T ],

з початковими умовами

ті

(4)

Zi(a) = p \ a , і = l , m , (5)m


де індекси Їі однозначно визначаються нерівностями

Тіі т ,, < Ті < — (іі + 1).т т

Будемо говорити, що система звичайних диференціальних рівнянь (4)-(5) апрокси- мує систему рівнянь (1), якщо будуть виконуватись співвідношення

Т

\Х3 {і ) — Хіз {і)\ві ^ 0,з=і

т вх\{і) т ві

т вхі{і) т ві

+ Хі{і) = х{і),

+ Хі{і) = Хі-і (і),

(6)

і = 2,т, і Є [а, Т ],гт,

\Хі{і) — уі {і)\ <2Мт

ті Є [а,Т], і = 1,т. (8)

і = 1,т, при т ^ <х.

2. Апроксимація елемента запізнен-т

породжені деякою вхідною функцією х(і) і між собою послідовно з ’єднані

т 2ту і (і) = х( г — ) , у2(і) = х ( і -------) ,

т т ■ ■ ■, ут(і) = х( і — т), х Є Яп , і Є [а, Т ].

Поставимо їм у відповідність послідовність аперіодичних ланок, що описуються системою звичайних диференціальних рівнянь вигляду [1]

Випадок, коли х(і) Є С[а — т,Т], розглянуто в роботах [4,6]. Там встановлено, що в цьому випадку справджуються нерівності

\г і (і) — Уг(і ) \ < 2 ( т + Ш( х , Т Л , (9)т т

і Є [а,Т], і = 1,т,

де стала К > 0 незалежить від т, ати ( х , — ) = т а х \х(і') — х(і")\

т т 3',і"Є[а-г,Т\модуль неперервності функції х(і) на[а — т, Т]

Дослідимо точність апроксимації елементів запізнення у випадку, коли вхідна функція х : [а — т,Т] ^ Яп в системі (6)-(7) є неперервною та кусково-неперервною.

Нехай х(і) = (х1( і ) , . . . , х п(і)), г і (і) = (гі1(і),. ■ ■ , г іп(і)), і = 1,т. Тоді система (6)- (7) в координатній формі має вигляд

т вх\з (і) т ві + Хіз{і) = х з{і)>

т вХі3 { і + хіз {і) = Хі-і,зт ві

і = 2,т, і = 1,и, і Є [а,Т],іт

Хіз{а) = х з {а - — )т

(10)

( 11 )

і = 1,т, і = 1,и.

Розглянемо спочатку випадок, коли вхідна функція х(і), і Є [а — т,Т] є кусково неперервна. Введемо згладжені функції

гЛа) = х ( а ------ ), і = 1,т, (7)т

де х(і) вхідна функція першого елемента запізнення. Будемо досліджувати відхилення між функціями уі (і) та гі (і), і Є [а,Т], і = 1,т, в залежності від гладкості функції х(і).

Відзначимо, що система (6)-(7) досліджена в [1] у випадку, коли функція х(і) скалярна і задовольняє умову Ліпшица або має обмежену сталою М похідну на [а — т,Т]. При цьому встановлено справедливість нерівностей

1і+Н

ХЬ з = 2Й Хз {з)Ла'(12 )

і—Ні Є [а — т,Т], і = 1,и

(функції хз (і) продовжуємо нулем поза [а — т,Т]). Відомо [7], що якщо q > 1 і х(і) Є Ьд [а — т,Т], то

Т

Ііт \хЬз (і) — Хз {і)\д ві = 0,Н—ь 0

(13)

і = 1,и.

Позначимо


а—т

T

a ( h ) = J \xhj(t) - Xj(t)\dt, j = l , n .a—T

Із співвідношень (13) випливає, що aj (h)

Д ля оцінки величини \zi i \ t ) — y j ( t ) \ можна застосувати нерів-ність (8), так як х ^ 1 (ї), і = 1,и — неперервні функції. Д ля другого і третього доданка в правій частині нерівності (18), аналогічно0 І = 1, и при к ^ 0.

Якщо в системі (6)-(7) вважати, що як в праці [8], використовуючи співвідношех^ (ї) = х ^ 1 (ї) + х ^ \ і ) , де х ^ 1 (ї) = хщ (ї), ння (13), легко одержати оцінки1 = 1, и то згідно її лінійності розв’язок бу- тде сумою функцій, які є розв’язками таких систем:

т+ = j (t)(j)ldz jlj)(t)

m dt

T d Z^ + z f f m = z<" <f),m dt

i = 2, m , j = l , n , t Є [a, T ],

(j) ( \ ( iT \zij (a) = x j ( a ) ,mi = l , m , j = l ,n;

Л2),

i = 2, m, j = l , n , t Є [a,T],

г( 2 (а) = 0; і = 1,т, і = 1,и. (17)

Таким чином, враховуючи представлення функції х(ї) у вигляді суми двох доданків, маємо нерівності

T

\zij(t) - Vij(t) \dt <

T

\zij (t) + zij (t) - Vij (t) - Vii ( t ) \dt <ij ij

T T

< [ \ 4 j)(t) - v [(j)(t)\dt + [ \4 2)( t) \dt+

T

+ \Vi?( t) \dt, i = l , m, j = l , n. (18)

\zj )(t)\dt < a j (h) і

T

(14)

(15)

< ajih) , і = l ,m, j = l , n .

Отож, при h = — маємо m

T

\zij(t) - Vij( t ) \dt <

< 2(T - a)( j + u ( x j \ T )) + m m

T+ 2 a j (— ), i = l , m , j = l , n .

m(19)

(16) Додаючи нерівності (19) та позначаючи Km ax К і , й (—) = m ax и ( х ^ , —),

j m j J m— —

a (— ) = max a i (—) дістаємоm j m

T

Ej=j

\zi j (t) - Vij(t ) \dt <

< 2n(T - a) ( + ш(L ) + a (L ) m m m

i = l , m .

(20)

Відзначимо, що оскільки функції x j \ t ) ,j = 1 , n t Є [a — t , T ] є неперервними, то згі-

tдно теореми Кантора [71 lim —) = 0. Ізm^<x mостанньої нерівності одержуємо оцінки апроксимації елемента запізнення для кусково- неперервної вхідної функції.

Якщо ж вхідна функція x : [а—т,Т] ^ R n є неперервною, то аналогічно можна дістати


оцінкуп ( Кт

£ \Хіз{і) — У із {і)\ < 2 и ( ~ Т +3=1 уЯ т

+ й (т )) , і = 1,т, і Є [а,Т]. т

Т

£ \ % {і) — у а {і)\віз=1

<

2и{Т — а) ( К = + ш(т ) + а (т ) ) = т т т

т= в 1{— ), і = 1,т.т

£ \Хіз{і) — у із {і)\3 = 1

<

< 2 и | К— + й {- ) ) = в2{т ), т т т

вх1 (і)ві іі (С(і ) — х1(і))->

вХі(і)ві

хі (а) = 0, і = 1,т,

де С(і) — задана неперервна функція,і > 0.

Л е м а . Для, розв’язків систем,и (22) справджуються рівності

(21)

Хі(і) =' і

(і — 1)!е—н(І—3)(і — 8)

і 1 X

хС(8)в8, і = 1,т. (23)

Підсумуємо наведені вище міркування про апроксимацію елементів запізнення у вигляді такого твердження.

Т ео р ем а 1. Нехай вхідна функція, х(і), і Є [а — т, Т]неперервною. Тоді для розв ’язків задачі Коші (6)-(7) справджуються нерівності

Д о в е д е н н я . Методом матема- пічної індукції переконаємось, що рівності (23) мають місце. Д ля п = 1, застосовуючи формулу варіації сталих, дістаємо

І

гі(і) = у [ е- ^ І-з)0(8)д8.

Нехай рівність (23) справджується для п = іпри п = і + 1. Із системи (22), застосовуючи формулу варіації сталих і міняючи порядок інтегрування, маємо рівність

Якщо ж вхідна, функція, х(і), і Є [а — т, Т]

Хі+і(і) = ' е ^ 3 Хі(8~)в8 =

II І е - ^ і - з ) ____' ______X

4 е (і — І)' Х

X е- ^ 3-31)(8 — 8і)і-1С(8і)в8ів8і = 1,т, і Є [а,Т].

3. О б гр у н ту в ан н я схем и ап р о к си м ац ії. Наведемо спочатку одне допоміжне твердження, яке буде потрібне в подальшому.

Розглянемо систему диференціальних рівнянь вигляду

і+1 І 3

(і — 1)!е~а(і-31) (8 — 81)і—1 х

х С (8 1)в81в8 =і+1

(і — 1)'е— Д(і-31 С(81) х

х ( 8 — 8 1 ) і- 1 в( 8 — 8 1 ) в8 1

31і

= ' (Хі-1(і) — Хі(і)), і = 2,т, (22) I е- ^(І-3і) (і — 81 )іС (81 )в8 1 .

Лема доведена.Т ео р ем а 2. Нехай (гі (і), і = 1,т)

розв’язок задачі Коші (Д)-(5), а, х(і)


і

і

і

3

і

і

розв’язок початкової задачі (1)-(2). Припу- Д ля розв’язків системи (26)-(27) згідно тео- стимо, що справджуються нерівності реми 1 справедливі оцінки

< ^ | uij vij I ) k 1 , n ii=l j=l

Li > 0, L np = n p max L i < 1.i=l,p

Тоді мають місце співвідношення

T

J 2 \ x 3( t - — }-Z i3 ( t ) \dt <j=i

Tm

T

£ \x j (t — ) - uij ( t ) \dt < Р Л— ), j — —a j=__І = 1,—.

Визначимо функціїуі (і ) = и і (і) — гі (і), і = 1,т, як розв’язки системи рівнянь

(24)

dvi(t)dt

= y(g(t , x( t - ti ), . . . , x ( t - Tp)) -

g(t , zh ( t ) , - - - , ziP(t)) - v i(t ) ) , (28)

Якщо справджується умова "склейки"(3), дьфі)тоді dt

y(v—i(t) - vi(t)), i = 2,— ,

£ \x j (t - — ) - zi j (t)zi j( t) ) \ < f c ( — ), (25) j=i

і = 1 , т , і Є [а,Т].

Д о в е д е н н я . Перепишемо систему (4) (5) у вигляді

= д Ш Я к (і), . . . Я і Р (і)) —д(і, х( і — т1) , . . . , х( і — тр)) + х(і) —М (і)), дгфі)

dty ( z —i(t) - zi(t)), i = 2,— ,

ТІ-zi (a) = p ( a --------), i = 1,—.—

vi (0) = 0, i = 1,—. (29)

В подальшому будемо використовувати таку оцінку

1у

(і - 1)!

(і - 1)!

[y(t - s)]i - l e- "(t-s)ds =

[y(t - s)]i - l e- "(t-s)dy(t - s) <

<(і - 1):

\ i - l e- x d \ = 1.

Визначимо функції щ (і), і = 1, т як Одержимо оцінки для функцій щ (і ), ^^ розв’язки такої системи диференціальних 1, т - В и к о р и с т о в у ю ч и властивості функції дрівнянь

dul (t)dt

y(x( t ) - u l ),

та лему, маємо

\vi j ( t) \ < У(і - 1)

(y(t - s)i - l e- " (t-s)

dui (t)dt

y (u i - l - щ ), i = 2, — ,

Tiu i (a) = p ( a ------- ), i = 1,—.

—

(26)

(27)

\gj(s , x(s - ti '),-■ . , x(s - tp) ) -gj ( s , , z h ( s ) ■, zp (s ) ) \ds <

< y(і - 1)!

s)i— l e- d t -s)(y(t - s ) e


t

t1

1

t1

t1

p nY L ^ Y \x j (s - Tk) - zik,j (s) \ds <k=j j=j

< ßl

iß(t - s)i- je - ^ (t~s)Y Lk x

яку, враховуючи, що Lnp < l, можна переписати у вигляді

Lnv < -----;--- X

k=j(і — 1)!ап

\х і (в — Тк) — иік,з (в)І + \уік,і3=1

а Тючи порядок інтегрування одержимо

l L npTp [. n

Y Y \x j (s - Tk) - u ik,j(s) \ds . (3°)U 1 J А 1k=j a j=j

T T

ulk,j (s )\ + \vlk ,j (s) \)ß

/ Л p n\vi j ( t) \d t < Y l L k Y \ x j ( s - T k)

k=j j=jT

l

•/ 7 --

(i - l)!ß( t - s)i - j e-ß(t-s') dtds <

T/ p n

Y L k Y \x j (s - Tk) - u ik,j (s )\+a k=j j=j+\vlk,j(s) \ds <Tp n

l Y I Y \x j (s - Tk)k=j a j=j

< (s - Tk) - ulk,j (s ) \ +

+ K ,j ( s) \ds-

Додаючи ці нерівності для j = l, 2 , . . . ,n, маємо

T

Y \ vij ( t ) \dt <j=j

Tp j. n

< L n Y j Y \ x ( s - T k) - u Hk(s ) \+k=j i=j

+ \vi,lk (s)\ds,i = l , m .

Позначившиt „

v max £ \vij ( t ) \dti=j,m 3 = 1одержимо нерівність

Tp j. nL n Y 5 ^ \x i ( s - Tk) - ui,lk (s)\dsv

k=j i=j+L npv

Оцінюючи праву частину нерівності (ЗО), маємо

T

/і о

Y \ x j (s - Tk)j=j

x j (s - Tk) - u lk j (s) \ds

T

Y \ x j (s - Tk) - x j (s - Tlk)+j=j

+x j (s - Tlk) - u lk ,j ( s) \ds <T n

< Y \x j (s - Tk) - x j (s - Tlk) \ds+j=j

T

+ / Y x j (s — Tk ) — uik,j (s) \ds -a j=l

Введемо до розгляду функцію

T

Yo(r) = sup / \x(t + ti) — x( t + t2)\dt. \tl—t2\<r J

Очевидно, що j 0(r) монотонно зростаюча функція і lim j 0(r) = 0. Тоді маємо нерівно-г^0сті

T/ п

Y \ x 3(s — Тк) — 3 (s) \ds -а 3=- nYo(— ) + ß 2( — ) = ß3( — ) ,m m m

vL np

- & ( - ) .l - L np m(31)

Враховуючи тепер оцінку (ЗО) та умови


t

a—T

теорем и 1, одерж уєм о оцінку (24)

TЛ n Ti(t - m - Zij (t)ldt -

j=in

j 2 x j (t - mm - u ij (t)\dt+

/"'iim '1=1a J T n Ti

^ m j “чa j=1 T/ П

E lvn (t)ldt -a j=1 T T T< ß i ( - ) + Рз(— ) = ß i ( ~ ) , І = 1,m. m m m

Аналогічно нескладно дістати оцінку (25). Теорема 2 доведена.З а у в а ж е н н я . Функції ßi (r), І = 1,5 мо

нотонно неспадні і lim ßi(r) = 0.0


1. Репин Ю. М. О приближенной замене систем с запаздыванием обыкновенными диф ференциальными уравнениями / / Прикл. математика и механика. 1905. 29. N2.- С .226-245.

2. Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием.--М. : Наука, 1978.-416 с.

3. Оболенський А. Ю. , Чернецкая Л.Р1. Об одном способе исследования функциональнодиф ференциальны х моделей в задачах электродинамики / / Электр, моделирование. 1993. 15. N 4.-C .8-13.

4. Піддубна Л. А. , Черевко І .М. Апроксимація систем диференціально-різницевих рівнянь системами звичайних диференціальних рівнянь / / Нелінійні коливання.-1999 .-N 1 .-C .42-50.

5. Черевко І .М. , Матві й О.В. Про апроксимацію систем із запізненням та їх стійкість / / Нелінійні коливання. -2004.-Т .7 , N2.-С .208-216.

6 . Матві й О.В. , Черевко І.М. Апроксимація систем диференціально- різницевих та різницевих рівнянь з багатьм а запізненнями / / Наук, вісник Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 150. М атем атика,- Чернівці: Рута, 2002.-С .50-54.

7. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. - М.: Наука, 1974. - 480 с.

8 . Черевко I. М. Про наближену заміну різницевих і диференціально-різницевих рівнянь звичайними диференціальними рівняннями / / Наук, вісник Чернівецького ун-ту: 36. наук. пр. Вип. 134. М атем атика,- Чернівці: Рута, 2002.-С. 107-111.


УДК 517.51

© 2 0 0 7 р . В .В . М ихайлю к

Чернівецький національний університет ім.Ю .Федьковича

Б Е Р ІВ С Ь К А К Л А С И Ф ІК А Ц ІЯ Н А Р ІЗ Н О Н А П ІВ Н Е П Е Р Е Р В Н И Х І М О Н О Т О Н Н И Х Ф У Н К Ц ІЙ

Доведено належ ність до першого класу Б ер а функцій двох змінних, як і напівнеперервні зверху відносно однієї змінної і напівнеперервні знизу відносно іншої, і функцій, як і монотонні відносно однієї змінної і неперервні відносно іншої.

We show th a t functions of two variables which are upper sem i-continuous in the first variable and lower semi-continuous in th e second variable, and functions which are m onotonous in th e first variable and continuous in the second variable belong to the first Baire class.

1. Відображення f : X ^ R, визначене на топологічному просторі X , називається функцією першого класу Бера, якщо існує послідовність (f n) неперервних функцій f n : X ^ R така, що f (x) = lim f n (x)Д Л Я КОЖ НОГО x Є X . Д ля довільного не більш ніж зліченного ординала а відображення f : X ^ R називається функцією бе-

а(fn) функцій f n : X ^ R, які є функціями

аf (x) = lim f n (x) для кожнoro x Є X . Фун-

а абільш, ніж зліченний ординал, називаються вимірними за Бером.

Р. Бер у своїй класичній праці [1] показав, що відображення f : R ^ R e функцією першого класу Бера тоді і тільки тоді, коли для довільної множини E С R звуження f \е функції f на множину E є точково розривним. В [2] було узагальнено цей результат на випадок відображень f : X ^ R, визначених на спадково берівському досконалому

XЗ іншого боку, питання берівської класи

фікації нарізно неперервних функцій двох і більшої кількості змінних, чи функцій двох змінних, неперервних відносно однієї змінної і певного класу Бера відносно іншої, досить інтенсивно вивчалися в працях багатьох математиків (А. Лебеґа, Г. Гана, В. Морана, В. Рудіна, Г. Бери, В. Маслюченка,

О. Собчука, Т. Банаха, М. Бурке та інших). Зокрема, в [3] показано, що для метризов- ного простору А і топологічного простору У довільна функція / : А х У ^ М, яка неперервна відносно першої змінної і берів- ського класу а відносно другої, є функцією (а + 1)-го класу Бера за сукупністю змінних. Причому легко бачити, що, навіть, у випадку А = У = М існує невимірне за Бером відображення / : А х У ^ М, яке є функцією першого класу Бера відносно кожної змінної зокрема (для цього досить розглянути характеристичну функцію неборелівської підмножини діагоналі в М2).

У зв’язку з цим прородно виникають питання про берівську класифікацію функцій двох змінних, які відносно кожної змінної чи однієї із змінних замість умови неперервності задовольняють умову типу напівнепе- рервності зверху (знизу), монотонності, то

В даній статті ми, використовуючи вищезгаданий результат з [2], доведемо належність до першого класу Бера функцій двох змінних, які напівнеперервні зверху відносно однієї змінної і напівнеперервні знизу відносно іншої, і функцій, які монотонні відносно однієї змінної і неперервні відносно ін-

2 . Спочатку нагадаємо деякі означення.Функція / : А ^ М, визначена на топо-

Арозривною, якщо множина точок неперерв


ності функції f є всюди щільною в X .Топологічний простір X називається до

сконалим, якщо кожна замкнена в X множина є множиною типу Gs-

Xспадково берівським, якщо кожний замкнений його підпростір є берівським.

Функція f : X ^ R, визначена на топо- X

перервною зверху (знизу) в точці х 0 Є X , якщо для довільного є > 0 існує окіл U точки хо такий, що f (х) < f (х0) + є f (х) > f (х0) — є) для довільного х Є U. Функція f : X ^ R, напівнеперервна зверху (знизу)

х Є Xперервною зверху (знизу).

Нехай X - топологічний простір, Y - метричний простір з метрикою d, f : X ^ Y- відображення, A С X і B С Y - непорожні множини. Через Uf (A) позначатиме-

fні A, яке означається формулою Uf (A) =

sup d ( f ( Y ) , f (х")) . Якщо, крім того, х Єх',х"ЄАX і U - система всіх околів точки х в просторі X , то число inf (U) називається ко-U ш Jливанням відображення f в точці х і позначається Uf (х).

Наступна теорема дає берівську класифікацію нарізно напівнеперервних функцій.

X Yпростори такі, що простір Z = X х Y- спадково берівський (наприклад, повноме- тризовні простори), i f : X х Y ^ R - функція, яка напівнеперервна зверху відно-

хносно змінної у . Тоді f є функцією перил,ого класу Бера.

Доведення. Згідно з [2, теорема 2] до-f

ZЗафіксуємо довільні метрики \ • — • \х і

\ — \Y н а просто pax X і Y відповідно, які породжують їхні топологічні структури, і для довільних z 1 = (х 1, у 1)щ 2 = (х2 , у 2) Є Z покладемо \z1 — z2 \Z = ш ахЦ хі — х 2 \х , |уі — у2 \y}• Нехай F - довільна непорожня замкнена в Z множина, g = f і є > 0. До

статньо довести, що множина Оє = {z Є Б : ир ) < є} є щільною в Б.

Нехай С С Б - довільна відкрита в Б непорожня множина. Д ля кожного п Є N позначимо через Бп множину всіх точок (х, у) Є С таких, що

є є/ ( х ' ,у) < ї ( х ,у) + 7 і / ( х , у ) > / ( х , у ) — 7

для довільних X Є X ї у ' Є У з \х — Х \ х < ПО

і \у — у'\у < у Оскільки С = у Бп і Б -п=1

Бнепорожня множина Ш С С і номер п 0 Є N такі, що Ш С Бп0, причому без обмежень загальності ми можемо вважати, що \z1 — Z2\Z < по Д л я ДОВІЛЬН И Х Zl,Z2 Є Ш .

Покажемо, що и д (Ш) < є. Нехай z 1 = ( х і , у і ) щ2 = (Х2 , у2) Є Ш П Бп0. Тоді \хі —х2\х < і \уі — у2 \у < у* томУ 9 ( хі , у і ) </ ( х і , у2) + 7 < 9 (х2,у2) + 2 І 9 (х2,у2) < / (х2, уі ) + є < 9 (хі , уі ) + у - Отже, \д ^ і ) —9 Ш \ < 2 - _

Нехай ,ш = (х, у) Є Ш - довільна точка.Існує 6 Є (0, по) таке, що

є є/ ( х ' , у ) < / ( х , у ) + 7 і / ( х , у') > / ( х , у ) — 7

для довільних X Є X і у' Є У з \х — Х \ х < 6 і \у — у'\у < 6 . О с к іл ь к и множин а Бпо щільна в Ш, то існує z Є Бпо п Ш таке, що \ю — z \z < 6 . Тоді, як і раніше, одержимо, що \9 (ю) — д (г ^ < Ц.

Таким чином, для довільних точок ті ,т 2 Є вибравши відновідні точки z 1 =(х і , у і ) щ 2 = (х2 , у2) Є Ш ( ) Б по, одержимо

\д(юі) — д (Ю2) \ < \д(ші) — 9 (щ ^ +

6 є+\9 (а ) — 9(^ ) \ + \9(^ ) — 9 ( х 2) \ < -7 ■

Отже, и д (Ш) < є.3. Тепер розглянемо функції монотонні

відносно однієї змінної і неперервні відносно іншої.

Зауважимо, що оскільки кожна монотонна на К функція є функцією першого класу Бера, то згідно з [3] кожна функція / : К 2 ^


К, монотонна відносно однієї змінної і неперервна відносно іншої, є функцією другого класу Бера.

Наступний результат уточнює класифікацію таких функцій.

АУ

такі, що простір X = А х У - спадково/ :

А х У ^ М - функція, монотонна відносно змінної х і неперервна відносно змінної у. Тоді / є першого класу Бера.

Д о в е д е н н я . Нехай | • — • \у - метрика наУру. Візьмемо довільну непорожню замкнену в X множину Б і є > 0. Аналогічно, як при доведенні попередньої теореми, достатньо довести, що множина С є = [г Є Б : шд(г) < є} є щільною в Б, де д = / ^

Зафіксуємо довільну відкриту в Б непорожню множину С і довільне зліченне покриття (Іп : п Є N числової прямої М. інтервалами Іп довжини меншої, ніж є. Д ля довільних т , п Є N позначимо через Бтп множину всіх точок г = (х ,у) Є С таких, що д(х,у') Є Іп для кожного у' Є У

СО

3 \у — у'\у < т Оскільки С = у Бтп Іт,п=1

Бта в Б непорожня множина Ж С С і номери т 0 , п0 Є N такі, що Ж С Бтопо. Візьмемо довільну відкриту непорожню кулю V радіуса 2то т а к У, Щ ° С = С Рі ( А х V ) = 0 .

Припустимо, що |ргх (С{~\Бтопо)| < 2, де ртх : А х У ^ А , ртх (х,у) = х. Оскільки множина Бтопо щільна у відкритій в Б множині С, то |ргх (С )| < 2 . Врахувавши, що / у

д р С С С Сє С

Нехай г 1 = (х 1, у 1) , г 2 = (х2, у 2) , г 3 =(хз,уз) Є С П Бтопо, причому х 1 < х 2 < х 3.Тоді / ( [х 1} х V ) С Іпо і / ([хз} х V ) С І по ■

/ х / ( и х V ) С Іпо, де и = [х Є А : х 1 < х < х 3}. Тому шр ( и х V ) < є, зокрема, шд (г2) < є.

Сє С = 0

Н а сл ід о к 3 .Нехай X - повнометризов- ний простір i f : R х X ^ R - функція, монотонна відносно першої змінної і непе-

fкцією першого класу Бера.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1. В aire R. Sur les fonctions de variebles reeles / / Analli di Mat. pura ed appl., ser 3.1899.- T.3- P. 1-123.

2. Михайлюк В.В. Берівська класифікація точково розривних функцій / / Наук, вісн. Чернів. ун-ту. Вип. 76. Математика. - Чернівці: ЧДУ, 2000. - С.77-79.

3. Маслюченко В.К., Собчук О. В. Берівська класифікація і а-метризовні простори / / Мат. студії. - 1994. - 3. - С. 95-101.


УДК 517.51

© 2 0 0 7 р. В .В . Н естеренко


С У К У П Н А К В А З І Н Е П Е Р Е Р В Н іе Т Ь М Н О Г О З Н А Ч Н И Х В ІД О Б Р А Ж Е Н Ь

П оказано, що многозначне замкненозначне відображення F : X х Y ^ Z, яке горизонтально квазінеперервне зверху та знизу і неперервне /квазінеперервне/ зверху та знизу

XY Z

X Y Zshow th a t if a closed-valued m ultifunction F : X х Y ^ Z is bo th lower and upper horizontally quasicontinuous and b o th lower and upper continuous /quasicon tinuous/ w ith respect to the second variable, then it is jo in tly lower and upper quasicontinuous.

1. Поняття квазінеперервності, яке було введене С.Кемпістим в [1] для однозначних відображень, було перенесено на многозна- чні відображення і досліджувалось в працях багатьох математиків, зокрема в огляді Т.Нойбруна [2]. В [3] було встановлено, що однозначне відображення f : А х У ^ X, яке горизонтально квазінеперервне і неперервне /квазінеперервне/ відносно другої змінної буде сукупно квазінеперерв- ним, якщо А - берівський простір, простір Ученності і X - цілком регулярний простір. Остаточне покращення результату про сукупну квазінеперервність однозначних відображень, які горизонтально квазінеперерв- ні і квазінеперервні відносно другої змінної подано в [4].

В цій роботі перенесено згаданий результат з [3] на випадок многозначних відображень.

2. Нехай Х , У , 7 - топологічні простори. Многозначне відображення А : Х ^ X називається неперервним зверху /зн и зу / в точці х 0 Є Х , якщо для довільної відкритої непорожньої множини ^ 7 , такої, що А (х0) С Ш /А (х0) П Ш = 0 / існує окіл и точки х 0 Є Х , такий, що А (х ) С Ш / А ( х ) П Ш = 0 / д л я в с іх х Є и . Многозначне відображення А : Х ^ 7 називається квазі-

х 0 Є Хякщо для довільної відкритої непорожньої

множини Ш в 7 , такої, що А (х0) С Ш / А (х0) П Ш = 0 / і довільного о колу и то-

х 0 Є Хж ина и \ в А така, що иі С и і А (х ) С Ш / А ( х ) П Ш = 0 / для всіх х Є и 1. Многозначне відображення А : Х х У ^ 7 називається горизонтально квазінеперервним зверху /зн и зу / в точці р 0 Є Х х У, якщо для довільної відкритої непорожньої множини Ш в 7 , такої, що А (р0) С Ш / А (р0) П Ш = 0 / і довільних околів и та V точок х 0 Є Х та у0 Є У відповідно, існують відкрита непорож ня множина А в Х і точка у1 в У, такі, що и і С и , у і Є V I А(р) С Ш / А (р) П Ш = 0 / для всіх р Є и 1 х { у 1}. Многозначне відображення називається неперервним зверху /зн и зу /, квазінеперервним зверху /зн изу / чи горизонтально квазінеперервним зверху /зн и зу /, якщо воно є таким в кожній точці. Многозначне відображення називається за- мкненозначним, якщо образ кожної точки є замкненою множиною.

Хпростір, 7 - регулярний простір і А : Х х У ^ 7 многозначне відображення, яке горизонтально квазінеперервне зверху та зн и зу і виконується одна з наступних умов:

Ум у зліченності і А х неперервне зн и зу для

х Є Х У


злгченностг і Т х квазгнеперервне зн и зу для кожного х Є X .

Тоді Т квазгнеперервне зн и зу за сукупністю змінних.

Д о в е д е н н я . Нехай р 0 = (х 0, у 0) Є X х У. Покажемо, що відображення Т квазінепе- рервне знизу за сукупністю змінних в точці Ро- Візьмемо відкриту мн ожину Ш в Д таку, що Т (р 0) П Ш = 0 , і и та V - околи відповідно точок х 0 в X та у 0 в У. Оскільки простір Д регулярний, то існує замкнена множина ШІ7 така, що Ші С Ш іТ ( р 0) П \n iW i = 0 . Відображення Т гори-

Ротому існують точка у і Є V I відкрита множина и і С и такі, що Т(р) П \n tW i = 0 для кожного р Є и 1 х { у і } .

Припустимо спочатку, що виконується умова (а). Нехай {Уп : п Є М} - база околів точки у і в У. Розглянемо множини А п = = { х Є и і : (Уу Є Vn) (Т ( х , у) П і^ Ш і = 0)} .

ТСЮ

зу для кожного х Є X , то и А п = и і ■п=і

Тоді існує номер п І7 такий, що А п1 щільна в деякій відкритій непорожній множині и 2 С и І7 тобто и 2 С Апі і Уп С V.

Нехай тепер виконується умова (б) і {Уп : п Є М} - база прост ору У. Розглянемо множини Ап = { х Є и і : (Уу Є Vп ) ( Т ( х , у ) П іпіШі = 0 ) } - 3 квазінеперервності знизу відносно другої змінної відображення

СЮ

Т Ап = и іп=і

мер п 2, такий, що А п2 щільна в деякій відкритій непорожній множині и 2 С и і , тобтои'2 с А д с V.

В першому і в другому випадку ми одержали відкриту непорожню множину и 2 в X ,

и 2 Ажню множину Ц в У, такі, що и 2 С и і , и 2 С А , У і С V і Т ( х , у ) П іпдШі = 0 для всіх (х, у) Є А х ¥ 1.

Покажемо, що Т(р) П Ші = 0 для кожного р Є и 2 х Уі . Нехай це не так, і існує точка р і Є и 2 х Уі , така, що Т ( р і ) П Ші = 0 . Тоді множина Ш2 = Д \ Ші відкрита і Т ( р і ) С Ш2. З горизонтальної

квазінеперервності зверху маємо, що існують точка у 2 Є Ц і відкрита непорожня множ ина и 3 С и 2, такі, що Т (р ) С Ш2 для кожного р Є и 3 х { у 2}. Оскільки и 3 П А = 0 , то існує точка р 2 Є ( и 3 П А) х { у 2}. Тоді Т ( р 2) С Ш2 і Т ( р 2) П \n tW i = 0 . Отримали суперечність. Отже, Т (р ) П W l = 0 для кожного р Є и 2 х У1, а значить і Т(р) П W = 0 . Це означає, що відображення Т сукупно квазінеперервне знизу в точці р 0.

Т ео р ем а 2. Нехай X - берівський простір, У - нормальний простір і Т : X х У ^ У замкненозначне відображення, яке горизонтально квазінеперервне зверху та з н и зу і виконується одна з наступних умов:

Ум у злгченностг і Т х неперервне зверху для кожного х Є X ;

Узлгченностг і Т х квазгнеперервне зверху для кожного х Є X .

Тстю змінних.

Д о в е д е н н я . Нехай р 0 = (х0, у 0) Є X х У.Т

рервне зверху за сукупністю змінних в точці р 0. Візьмемо відкриту мн ожину W в У , таку, що Т ( р 0) С W і и х У - окіл точки р 0. Оскільки простір У нормальний, то існує замкнена множина W l і відкрита множина W 2, такі, що Т ( р 0) С W 2 С W l С W . Відображе-

Тху в точці р 0 тому існують точка у 1 Є У і відкрита непорожня множина и 1 С и , такі, що Т(р) С W 2 для кожного р Є и 1 х { у і } .

Припустимо, що виконується умова (а). Нехай {Уп : п Є Н} - база околів точки у 1 в У. Розглянемо множини А п = { х Є и 1 : (Уу Є Уп) ( Т ( х , у ) С W 2)}. Легко бачити, що

СО

У А п = Д . Тоді існує номер п І7 такий, щоп=1А П1 щільна в деякій відкритій непорожній множині и 2 С и І7 тобто и 2 С А пі і Упі СУ

Нехай тепер виконується умова (б) і {Уп : п Є Н} - база простору У. Розгля-


НЄМО М Н О Ж И Н И А п = { х Є и 1 : (Уу Є ^ )

( А ( х , у ) С Ш2)} . З квазінеперервності звер-А

СО

випливає, що У Л п = и 1. Тоді існує но-п=1

мер и 2, такий, що Л п2 щільна в деякій відкритій непорожній множині и 2 С и 1, тобто и ; С л п 2 і v : 2 С V.

В обох випадках ми одержали відкриту и 2 Х и 2

лV1 в У, такі, що и 2 С и 1у и 2 С Л ^ 1 С V і А ( х , у ) С Ш2 для всіх ( х , у ) Є Л х V1.

Покажемо, що А(р) С Ш1 для кожного р Є и 2 х V1. Нехай це не так, тобто існує точка р 1 Є и 2 х V1 така, що А (р1) С Тоді множина Ш3 = 7 \ Ш1 відкрита і А ( р 1) П Ш3 = 0 . 3 горизонтальної квазінеперервності знизу маємо, що існують точка у 2 Є V1 i відкрита непорожня множина и 3 С и 2, такі, що А(р) П Ш3 = 0 для кожного р Є и 3 х { у 2}. Оскільки и 3 П Л = 0 , то існує точка р 2 Є ( и 3 П Л) х { у 2}. Тоді А ( р 2) П Ш3 = 0 і А ( р 2) С Ш2. Отримали суперечність. Тоді А(р) С Ш1 для кожного р Є и 2 х V!, а отж е, і А (р) С Ш. Це і означає

А

Як наслідок з теорем 1 - 2 одержуємо наступні два твердження.

ХУ

м у зліченності, 7 - нормальний простір і А : Х х У ^ 7 замкненозначне відображення, яке горизонтально квазінеперервне зв ерху та знизу і неперервне зверху та зни-

Арервне зверху та з н и зу за сукупністю зм і н них.

ХУ

м у зліченності, 7 - нормальний простір і А : Х х У ^ 7 замкненозначне відображення, яке горизонтально квазінеперервне зв ерху та з н и зу і квазінеперервне зверху та

Анеперервне зверху та з н и зу за сукупністю змінних.


1. Kempisty S. Sur les fuctions quasiconti- nues / / Fund. Math. — 1932. — 19. — P. 184 - 197.

2. Neubrunn T . Quasi-continuity / / Real Anal. Exch. - 1988. -1989. -1 4 , №3. - P. 259 - 306.

3. Маспюченко B.K., Нестеренко В.В. Сукупна неперервність та квазінеперерв- ність горизонтально квазінеперервних функцій / / Укр. мат. журн. - 2000. - 52, №12 . - С. 1711 - 1714.

4. Нестеренко В.В . Про одну характериза- цію сукупної квазінеперераності / / Науковий вісник Чернівецького університету: Збірник наук, праць. Вип. 336 — 337. Математика. — Чернівці: Рута. — 2007, - С. 137 - 141.


УДК 517.9

© 2 0 0 7 р. В . Ю . С лю сарчук

Національний університет водного господарства та природокористування, Рівне

Н Е Л ІН ІЙ Н І Д И Ф Е Р Е Н Ц ІА Л Ь Н І Р І В Н Я Н Н Я З О Б М Е Ж Е Н И М И Р О З В ’Я З К А М И

Наведено твердж ення про обмежені розв’язки нелінійних диференціальних рівнянь.

We obtain sta tem ents on bounded solutions of nonlinear differential equations.

Нехай R - множина всіх дійсних чисел У м о в а A. Справджується співвідноше-і E - дійсний повний скінченновимірний нняЄВКЛІДОВИЙ простір ЗІ скалярним добутком lim ( f ( x) , x) = ^(x, y). Норма в E вводиться за допомогою |рц I|x||eрівності ag 0

M e = л/ ( жМ - ( f (x ) , x) = - œ _ (4)

Позначимо через C ° ( R , E ) банахів прос- ЩЩтір неперервних і обмежених на R функцій У м о в а B. Справджується нерівністьx = x(t) зі значеннями в E з нормою

( f (xi) - f X ) , X i - x 2) = 0 ,|x ||c 0(R,E) = SUp \\x(t)\\E,

teR ЯКЩО x i = x 2-2. О ц ін к а н ор м и п ер іо д и ч н о го р о з

в’язку.а через С * © Е ) - банахів простір функційж Є С°(Ж,Е ), похідна кожної з яких є еле- „ .Вважатимемо, що виконується умова А. ментом простору Є Си(М ,Е ), з нормою „ с. „Д ля кожного числа а > 0 розглянемо

множину

Е) І 0 а (Л = {ж Є Е : М ( х ) , х ) \ < а\\х\ІЕ},lx | c 1(R,E) = max< ||x II C0(R,E),

dxdt

Розглянемо диференціальне рівняння що завдяки умові A є обмеженою, і величину

+ f ( X(t ) ) = н х , t e r , (i) ) = , s s j ) l|x|lE•

де f : E — > E - неперервний обмежений Очевидно, що для кожного а > 0 оператор і Н e C ° ( R , E ), та диференціальний оператор L : C 1(R ,E ) — > C 0(R, E ), що Ua(f) <

Adx (t) рівняння (1), де Н e C ° ( R , E ), має періоди-

(Lx)(t) = — jr~ + f (x (t) ) , t e R (2) чний розв’язок y e C 1(R, E ). d Тоді

де x e C 1(R, E ).Наведемо умови існування обмежених \\y \\c0(r,e) < ( f ^ (^)

розв’язків диференціального рівняння (1) таL

1. Умови М і В. dy(t) (Використовуватимемо наступні умови. f (y(t)) = H(t),


то

( dyjt)\ dt

і, отже,

1 d(y (t ) ,y (t))2 dt

y ( t ) ) + ( f (y (t) ) ,y (t)) = (h( t) ,y (t))

+ ( f (y ( t) ) ,y (t)) = (h (t) , y (t))-

Завдяки періодичності функції (у (Ь),у (Ь)) існує точка Ь* Є Е , в якій ця функція досягає найбільше значення. Тоді на підставі де диференційовності функції (у (і ), у (і ))

> sup ( f (x),x) .||ж||_Е <W|| ЬІІ _ (f)II 1 - llftllcO(R,S)w '

Використаємо неперервний оператор g : E — > E , що визначається рівністю

g (x) =

f (x), ЯКЩ О ||x ||e < M l ,F(x) , якщо M l < ||x ||e < M 2 , kx, якщо ||x ||e > M 2,

(7)

(8)

d(y (t ) ,y (t))dt

F (x) = M H ^ П Л - X 1 +0 . M 2 — M\ x \\e

t=t*

Тому||x ||E — Mi f M 2k

+— — tr— I ,, ,, xM 2 — Mi у ||x ||e

( f ( y ( f ) ) , y ( f ) ) = ( h ( f ) , y ( f ) ) .

Звідси та нерівності Коші-Вуняковського [1]отримуємо, що

\( f (y(t*)) ,y(t*))\<Hh(t*)HEМ П І І Е <

k = max sup I f (x)|| E

< E ■\C°(R,E)Тому виконується нерівність (5).

Лему 1 доведено.

Мі<||х||е M2 ||х ||е

а також диференціальне рівняння

dx(t)dt

+ g(x(t)) = h(t), t Є R. (9)

Легко перевірити, що рівняння (9) рівносильне інтегральному рівнянню3. Іс н у в ан н я п ер іо д и ч н и х р о з в ’я зк ів .

Позначимо через Р т(К, Е ) банахів прос- ьтір всіх Т-періодичних елементів простору х (ь) _ е - к(*-8)(кх(з) — д(х(в)) + h(s))dsС°(Ж,Е) З нормоЮ || • ||с0(К,Е)- У

Т ео р ем а 1. Нехай:(I) виконується умова Л;(II) h Є Р т (К ,Е).Тоді диференціальне рівняння (1) має

розв’язок у Є С ^ Е Д ) П Р т( К , Е ), для якого

||y ||c°(R,E) < wIWIc°(r,e) ( f )■

Розглянемо оператор

Ш ( І ) =

t

= f e- i ( , - ‘}(ky(s) — g(y(s)) + h (s))rls,

(10)

Д о в е д ен н я . Спочатку розглянемо випадок, коли виконується співвідношення (3). що діє із с°(Ж, Е ) в С Е , Е ), і опуклу обме-

Візьмемо довільні числа числа М і і М 2, жеНу замкнену множину Д Л Я яких

M 2 > Mi > ( f )

inf ( f (x) ,x) >Ы е >Mi

(6)b r = {x Є p T (R , E ) : ||x | c°(r,e) < R } ,

де

R = sup I kx — д(х)ІІЕ + ||h||c°(R,E).xeE


1

*

М нож ина B R обм еж ена, оскільки Тоді

kx — g(x) = 0 ,

якщо

,E) < 4WIC°(r,e) (g)-

Оскільки на підставі (6) - (8)

ШМ СC°(R,E) (g) ^llhllc0(R,E) ( f )

dyijt)dt + f (Уі(t)) =

_ dy2(t)dt + f (y2(t))

\\x\\e > M 2 ,і завдяки неперервності kx — g(x) на E і скінченній розмірності простору E

sup \\kx — g(x)\\E < +то.xeE

Оператор B має властивості:(1) цей оператор неперервний;(2) B B r С B r П C i ( R , E );(3) множина B B R передкомпактна в про

сторі V t ( R , E ) (завдяки скінченній розмір-E

Завдяки теоремі Ш аудера про нерухому точку [2] оператор B має нерухому точку у* Є B R. Ця точка є розв’язком рівнянь (10) і (9). За лемою 1

d(y2 (t) — y i (t)) _ и dt = f (yl (t)) — f (y2 (t)).

Звідси ВИ IIл и вис. що

1 d(y2(t) — y i ( t ) ,y2(t) — y i (t)) _2 dt

= — ( / МИ) ) — / (уі(і)),У2 (і) — Уі (і)). (12)

Оскільки функція (у2 (і) —у 1(і) ,у 2 (і) —у 1(і)) є диференційовною і Т-періодичною, то існує точка і* Є К, в я к і й ц я функція досягає найбільше значення, причому

(у2(і*) — у і (і*) , у 2(і*) — у і (і*)) > 0 (13)

завдяки (11) і

d(y2(t) — y i ( t ) ,y2(t) — y i (t))

t=t*

1 тому9 (у*(і)) = / (у* (і)),

то розв’язок у* рівняння (9) також є розв’язком рівняння (1).

Отже, у випадку, коли виконується співвідношення (3), теорему доведено.

Випадок, коли виконується співвідношення (4), заміною і на —і з в о д и т ь с я д о розглянутого випадку.

Теорему 1 доведено.Т ео р ем а 2. Нехай.(I) виконується умова Л;(II) (/ (хЦ — / (х 2) , х 1 — х 2) = 0, якщо

Хі = Х2■Тоді для кожного Н Є Т т(К , Е ) диферен

ціальне рівняння (1) має єдиний розв’язок у Є С 1(К , Е ) П Т т(Ш,Е ).

Д о в е д ен н я . Припустимо, що функції у і ,у 2 Є Т т(К , Е ) є розв’язками рівняння (1)

dt

Тоді на підставі (12)

( / ( у2(і*)) — / Ш П Ш ? ) — у 1(і*)) = 0 -

Це співвідношення разом із (13) суперечить умові (II) теореми.

Отже, припущення, що рівняння (1) має Т

хибне.Теорему 2 доведено.

4. Л о к а л ь н о зб іж н і п о сл ід овн ост і.Говоритимемо, що послідовність функцій

х к Є С 0(К, Е ), к Є N локально збігається до функції х Є С ° ( К ,Е ) при к ^ і позначатимемо

., С°(К,Е)х к ----------- > х к ^ +то,

якщо ця послідовність обмежена і

lim max \\xk(t) — xk ^ +ж \t\<p E

yi = H2 - (11) для кожного p e N.


0

0

Аналогічно послідовність функций х к Є С ^ Е , Е ), к Є N локально збігається до функції х Є С Е , Е ) при к ^ +то:

Xk

якщоSUp \\Xk ||c 1(R,E) < k> 1

і для кожного p Є N

lim max \\xk(t) — x(t)\\E = 0k^+ x \t\<p

lim maxk^+ x \t\<p

dxk (t) dx(t)dt dt E

0 .

^ {nm,p : p Є N} D . . . ;

(2) для кожного m Є N послідовність Xnm,p(t),p Є N, є рівномірно збіжною на [—m, m].

Тоді діагональна послідовність

/V» /V» /V»^П1,1) ^П2,2 5 • • • ХПр,р ) • • •

буде рівномірно збіжною на кожному відрізку [a,b] С R i тому функція

x(t) = lim Xnpp (t), t Є R,p ^ x ’

буде неперервною і, очевидно, x Є S0. Звідси випливає, що

Далі розглянемо в просторах C ° ( R , E ) іC 1(R ,E ) замкнені кулі x n

C 0(R,E)■» x p ^ +ТО.

S %r = {x : ||x\ C l(R,E) < r}, i = 0 , 1 . Лему 3 доведено.Зазначимо, що у випадку Е = Е лему З

Важливим для подальшого є наступне наведено в [3].твердження.

Л ем а 3. Д л я кожної послідовності фун-x n Є S0 П S1, n Є N де r і R до-

5. с-Неперервні оператори.Оператор Т : Сг( Е , Е ) — > С і (Е, Е ), де

вільні додатні числа, існують такі строго і , і Є (0 ,1^, називатимемо с-неперервним, зростаюча послідовність натуральних чи- якщо для довільних функції х Є X і послі- сел п к, к Є N і функція х Є Бр, що

., С°(Ж,Е)x nk

довності x k Є X , к Є N, для яких

Xx k x к ,

F x i

Доведення. З умов леми випливає, що випливає, що функції х п = х п(ї), п Є N рівномірно обмежені і одностайно неперервні на Е. Тому на підставі теореми Ариела Асколі [1] та скін-

Епідпослідовності

YF x к .

x n1 1 ) x n1 2 >

x n2 ,1 , x n2,2 , x n2,p ">

x nm,1 , x nm,2 , xn

послідовності х п , п Є N що:(1) ПОСЛІДОВНОСТІ чисел пі,р, р Є N є стро

го зростаю чими для кожного І Є П і

{пі,р : р Є П} З {п 2,р : р Є П} З . . . З

сдено в розгляд Е. Мухамадієвим [4]. Нагадаємо, що лінійний неперервний оператор Л : С 0 (Е ,Е ) — > С 0 ( Е , Е ) називається с-не- перервним за Мухамадієвим, якщо для довільних числа є > 0 і відрізка [а, Ь] існують такі число 8 > 0 і відрізок [с, d], що справджується нерівність

Ц(Лх )(Ь)Це < є і Ь Є [а,Ь]

для кожного елемента х Є Сі0( Е , Е ), для якого

Цх(Ь) ||е < 8 і Ь Є [сД]

іx E) 1 .


, x n1

Означення с-неперервного оператора, що використовує локально збіжні послідовності, належить автору.

сщо діє із С *(Е, Е ) в С°(Ж,Е ), є, очевидно, оператор Ь, що визначається рівнястю (2). Цей оператор, очевидно, також є неперервНИМ.

Зазначимо, що не кожний нелінійний нес

сним [5].

6 . Іс н у в ан н я о б м еж ен и х р о з в ’я зк ів .Твердження, аналогічне теоремі 1, також

справджується у випадку к Є С°(Ж,Е ). Т ео р ем а 3. Нехай:

А(II) к Є С°(Ж,Е ).Тоді рівняння (1) має хоча б один роз

в'язок у Є С *(Е, Е ), для якого

\\у\\с°(Ж,Е) < ЧШІС0(кіВ) (М) (14)

Ідуdt

<E)

< supІМІЕ <ш|| h C0(R,E) (f )

\\f {x )\\e + ||k ||c0(R,E).

kn

i||c0(R,E) < ||k ||c0(R,E)

,E) 7-> k n ^ + to .

dyn(t)dt + f (yn(t))

kn(t), t є R, n є N, (18)

||уп||с°(К,Е) < І|Л||с°т .£) (/ ). п Є N. (19)

/Е

шенням (16), (18) і (19)

supteR, neN

dyn(t)dt

< + оо .

Тому за лемою 3 (тут ураховано також співвідношення (19)) для деякої строго зростаючої послідовності (пк)к>1 натуральних чисел та елемента у Є С 0(К, Е )

ynkC0(R,E)

(2 0 )

(15)Д о в е д ен н я . Нехай (Tn)n^ і довільна

строго зростаюча послідовність додатних чисел, для якої

lim Tn = +то.n—+ 0

Використаємо такі елементи hn Є Ртп (R E ), n Є N, щоб

Використаємо співвідношення

І

уп(і) — уп(0) + ! / =0

І

= 1 М Ь І Є ш , п Є0

що випливають із (18). Звідси на підставі/

муємо

І

у (і) — у(°) + [ / (у(»))Лв =

(16)

(17)

k(s)ds, t є R. (21 )

Елементи з такими властивостями існують завдяки умові (II). На підставі (16), умови(І) теореми та твердженню теореми 1 існують такі функції уп Є Р Тп (К, Е ), п Є Щ, що

І І

Функції J / (у(в))дв і J Н(в)дв є дифе-0 0

ренційовними, оскільки підінтегральні функції неперервні. Тому аналогічну властивість має функція у(і) і на підставі (21)

dy (t)dt + f (y (t)) = k (t ) , t є R . (22)


t

Звідси, з обмеженості та неперервності і функцій f (y(t)) і h(t) випливає, що

suptev,

dy (t)dt

< +ТО-

\u — v I E > r■

Отже, y Є C l (R , E ) .

Нерівність (14) випливає із (19) і (20). Нерівність (15) випливає із (14) і (22). Теорему 3 доведено.

7. Умови єдиності обмеж ених розв’язків.

Спочатку наведемо допоміжні твердження.

Л ем а 4. Нехай:(I) оператор g : E — > E неперервний;(II) (g(xl ) — g(x2) , x l — x 2) > 0, якщо

x i = x 2-Тоді для довільних чисел, r > 0 і R > 0

(r < R) існує таке число є > 0, що

inf (g(xl ) — g(x2) , x l — x 2) > є.Г<Цх-і-Х2ІІЕ

IIХ1IIЕ ||Х2 || E

Доведення. Припустимо, що твердження леми хибне. Тоді існують послідовності(un)n>l І (vn) n>l‘, ДЛЯ ЯКИХ

Цип ||Е < R, n > 1,

Цьп ЦЕ < R, n > 1 ,

Цип — Vn || Е > r, n > 1,

lim (g(un) — g(vn),Un — Vn) = 0. (23)n—

Тому на підставі умови (І) та співвідношень (23), (24) і (25)

(д (и) — д (х),и - V) = 0,

що суперечить умові (II) леми.Отже, твердження леми не є хибним. Лему 4 доведено.Аналогічним чином встановлюється Л ем а 5. Нехай:(I) оператор д : Е — > Е неперервний;(II) (д(х1) — д(х2),х\^ — х 2) < 0, якщо

хі = х 2■Тоді для довільних чисел, г > 0 і Н > 0

(г < Я) існує таке число є > 0 , що

(g(xi) — g(x2) , x i — X2) < —є.supТ<\\хі—Х2\\е

УхіУе<R, ІІХ2ІІЕ<r

Теорема 4. Нехай виконуються умовиЛ і Б.

Тоді для кожного h Є С 0 ( Е , Е ) рівняння(1) мас єдиний розв’язок у Є С 1(Е, Е ).

Доведення. Зазначимо, що завдяки теЛ

розв’язків рівняння (1) є непорожньою.Припустимо, що функції уг,у 2 Є С 1(Е, Е )

є розв’язками рівняння (1) і

yi = V2- (26)

Тоді

dm({} + f (yi (t)) = Е Д х f Ы Еdt

Завдяки скінченній розмірності простору 5 отже Е та обмеженості послідовностей (ип)п>1 і д{у2(і,) — у 1(ї))(хп)п>1 існують строго зростаюча послідов- _ність (пк)к>1 натуральних чисел та вектори и ,и Є Е , для яких

dt

dt

= f (y i (t)) — f (y2 (t))■

Звідси випливає, що

||u ||e < R,

||V|E < R, lim Unk = u,І—>+ 0

lim vn = vj 1 nkІ —+Х

(24)

(25)

d(y2(t) - yi(t), )/2 (t) — !/t(t)) =dt

= —2 ( f (y2(t)) — f (y i (t) ) ,y2 (t) — y i (t))■ (27)

Візьмемо довільну точку t* Є R, для якої

(y2(t*) — y i (t*) , y2 (t*) — y i (t*)) > 0 (28)


Така точка існує на підставі (26). Ж одна з таких точок не може бути для функції (у2(і) — у 1(і ) ,у2 (і) — у 1(і)) точкою екстремуму, бо тоді

d(y2(t) — y i ( t ) ,y2(t) — y i (t))0

t=t*dt

і тому на підставі (27)

( / ( у2(і*)) — / (у 1(і*) ) , у2 (і*) — у 1(і*)) = 0 .

що суперечить умові В.Отже, якщо справджується співвідноше

ння (28), то

d(y2(t) — y i (t ) ,y2(t) — yi (t))dt

= 0 .t=t*

До аналогічної суперечності приходимо у випадку виконання співвідношення (ЗО) (тут потрібно використовувати лему 5).

Теорему 4 доведено.

ЬТ ео р ем а 5. Нехай виконуються умови

А і Б.Тоді оператор Ь : С 1(Ш,Е) — > С 0 (Ш,Е)

має обернений обмежений неперервний і с

Ьоператор Ь - 1 на підставі теореми 4.

Обернений оператор Ь - 1 є обмеженим завдяки нерівностям (14) і (15).

стора. Припустимо, що ця властивість для Ь - 1

к Є С°(Ж,Е), у Є С 1(Ж,Е), кп Є С 0 (Ж,Е), уп Є С Ц Е ,Е ), п Є N відрізок [а,Ь] і число є > 0 , для яких

dy (t)dt + f (y (t)) = h (t)> t Є R >

dyn(t)dt

., C°(R,E)hn ----------- - h n —

maxt£[a,b] dt

Тому функція (y2(t) - y i ( t ) ,y 2(t) — yi(t)) Є строго зростаючою на [t*, + ж ) або є строго спадною на (—ж, t*]. Тоді

(y2(t) — y i ( t ) ,y2(t) — y i (t)) >

> (y2(t*) — y i (t*),y2(t*) — y i (t*)) > 0 (29) для всіх t > t* або

(y2(t) — y i ( t ) ,y2(t) — y i (t)) >

> (y2(t*) — y i (t*) , y2(t*) — y i (t*)) > 0 (30)для всіх t < t*.

Використаємо числа

R = max{\\yi\\E, \Ш \е }

Г = \y 2(t*) — y i (t*) \E •У випадку виконання співвідношення (29) існує таке число є > 0 (на підставі леми 4), що справджуватиметься нерівність

— 2 ( f (y2(t)) — f (y i (t ) ) ,y2(t) — y i (t)) > є

для всіх t > t*. Тоді завдяки (27) для всіх t > t*

(y2(t) — y i (t ) ,y2(t) — y i (t)) >

> (y2 (t*) — y i (t*) , y2 (t*) — y i (t*) ) + e (t — t *)•Це співвідношення суперечить тому, що

m a x { \\y i\\c0 (R,E), || y2 || C0 (R,E) } <


(31)

+f (y/nit)) = hn(t), t Є R, n Є N, (32)

(33)

dyn(i) dy(t)dt

+

+ \уп(і ) - у (і ) ^ > є, п Є N. (34)

Послідовність (кп)п>1 є обмеженою (на підставі (33)). Тому завдяки обмеженості оператора Ь - 1 послідовні с ть (хп)п>1 також є обмеженою (у просторі С Ц Е ,Е )). За лемою З існують функція у* Є С 0(Ж,Е) і строго зростаюча послідовність (пк)п>1 натуральних чисел, для яких

ynkC°

(35)

Оскільки на підставі (32)

t

ynk (t) — ynk (0) + У f (ynk (s ))ds 0

107

= J кпк (в)кв, Ь Є Е , п Є П, о

то завдяки (33), (35), неперервності оператора / та скінченній розмірності простору Е

І

у*(Ь) — у*(0) + У / (у*(в))Лв =о

І

= J к(в)г,в, Ь Є Е. о

Звідси отримуємо співвідношення

ку*(і)dt + f (y*(t)) = h( t) , t Є R >

і включення у* Є С ^ Е , Е ), що суперечать оборотності оператора Ь -1, оскільки завдяки співвідношенням (31) - (34) та неперервності відображення f : Е — > Е

\уп(і ) — у Ш > 0пЄН іЄ[а,Ь]

і тому* /y = y ■

limn— — h| Е) 0

sup | ynn i

Вважатимемо, що також

||y||c°(R,E) < R ■

Завдяки співвідношенням (31), (32), (36) іf

r > 0

(tn)n>lj ЩО

ЦУпЧп) — у Чп)Це > r, n Є N.

Припустимо, що виконується співвідно-є > 0

для якого

inf ( f (xl) — f (x2) ,x l — x 2) > є.Т<Цхі-Х2ІІЕ

| | х і | | е IIХ2 |E<R

nє

suP \(K * (t) — к (к) , уп*(t) — у Ш < - . (40) teR 2

Таке число існує на підставі (36), (38) і (39). Оскільки завдяки (31) і (32)

d y *(t) — У(і ) ,Уп*(t) — y (t)) ,dt

+ 2 ( f (Уп■(t)) — f (y (t)) ,yn*(t) — y (t)) =

= 2 (hn* (t) — h(t),yn* (t) — y(t)),

то на підставі (38) - (40)

Отже, оператор Ь - 1 є с-неперервним.Покажемо неперервність оператора Ь -1 .

Припустимо, що ця властивість для оператора Ь - 1 не виконується. Уснують елементи h Є Ср( Е , Е ), у є С 1( Е , Е ), Ьп Є Ср( Е , Е ), уп Є С 1(Е, Е ), п Є N і число ^ > 0, для яких справджуються співвідношення (31), (32),

d(yn■(t) — y (t ) ,yn*(t) — y (t))dt

< —є ■

(36)

ІІУп — у\\оцм.,Е) > 1, п Є N. (37)

Послідовність (кп)п>1 є обмеженою (на підставі (36)). Тому завдяки обмеженості оператора Ь - 1 для деякого числа Я > 0

Із цієї нерівності та неперервності функцій уп* (Ь), у(Ь), кп* (Ь), к(Ь) на (—ж, Я *] і від

/ Е(уп* (Ь) — у(Ь),уп* (Ь) — у(Ь)) є строго спадною на деякому проміжку [Т, Ьп* ]. Не існує такого числа Т < Ьп*, щоб

d(yn*(t) — y (t ) ,yn*(t) — y (t))dt t=T

d(yn*(t) — y ( t ) ,yn*(t) — y (t)) dt

(38) для всіх t Є (T , tn* ], оскільки тоді

< 0

(39)

є < ( f (yn■ (T)) — f (y (T ) ) , yn. (T) — y(T))є

= (h„. (T ) — h(T) ,y„■ (T ) — y ( T )) < - ,


t

t=tn*

n

0

що неможливо. З наведених міркувань отримуємо, що функція (уп* (і) — у ( і ) ,уп* (і) —у (і)) є строго спадною на проміжку (—ж , і п*]. То-Д1

д(уп*(і) — у (і ) ,уп*(і) — у (і)) ^ ^------------------- :------------------- ^ —Єйі

для всіх і < іп* - Звідси випливэщ що

(у п (і) — у (і ) ,уп*(і) — у (і)) >

> (уп* (іп* ) — у (іп* ) , уп* (іп* ) — у (іп* )) +

+є\і — і* \

для всіх і < іп*. Це співвідношення суперечить тому, що

т ах{\\уп* ||с 0(Ж,Е), | |у |с 0(К,Е)} < її.

Отже, припущення, що оператор Ь - 1 не є неперервним (у випадку виконання співвідношення (3)), хибне.

Аналогічним чином встановлюється не-Ь - 1

нання співвідношення (4).Теорему 5 доведено.З а у в а ж е н н я . Результати цього підроз

ділу не випливають із відповідних результатів про обмежені розв’язки диференціальних рівнянь із монотонними нелінійностями[6]. Відображення / , що задовольняє умо-

Атонних відображень, ні класу дисипативних відображень. Це підтверджується простим прикладом відображення / : К — > К, що визначається рівністю

/ (х) = х 3 — х.


1. Колмогоров .1. II.. Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1968. - 496 е.

2. Ниренберг Л. Лекции по нелинейному функциональному анализу. - М.: М ир, 1977. - 232 е.

3. Слюсарчук В. Е. Необходимые и достаточные условия существования и единственности ограниченных решений нелинейных дифференциальны х уравнений / / Нелінійні коливання. - 1999. - 2, № 4. - С. 523-539.

4. М ухамадиев Э. Об обратимости функциональных операторов в пространстве ограниченных на оси функций / / М атем. заметки. - 1972. - 11, N° 3. - С. 269-274.

5. Слюсарчук В . Ю. Неявні недиференційовні ф ункції в теорії операторів. Рівне: Вид-во Національного ун-ту водного господарства та природокористування, 2007. - 221 с.

6 . Трубников Ю. В ., Перов А . И. Д иф ф еренциальные уравнения с монотонными нелинейностями. - Минск: Н аука и техника, 1986. - 200 с.


УДК 517.95

© 2 0 0 7 р. Г. А . Снітко

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригана, Львів

ІД Е Н Т И Ф ІК А Ц ІЯ М О Л О Д Ш О Г О К О Е Ф ІЦ ІЄ Н Т А В П А Р А Б О Л ІЧ Н О М У Р ІВ Н Я Н Н І

Встановлено умови існування та єдиності розв’язків обернених задач д ля параболічного рівняння з невідомим залеж ним від часу коефіцієнтом при невідомій функції.

We establish conditions for the existence and uniqueness of solutions to inverse problem s for a parabolic equation w ith unknown tim e-dependent coefficient a t unknown function.

В даній роботі досліджено обернену задачу визначення залежного від часу коефіцієнта при невідомій функції в параболічному рівнянні другого порядку загального вигляду з різними типами крайових умов та умов перевизначення. Д ля дослідження вказаної задачі застосовуються методи, один з яких базується на використанні функції Грі- на для рівняння теплопровідності, а інший - функції Гріна для загального рівняння. Зазначимо, що в праці [1] досліджено обернені задачі для параболічного рівняння

пь = а(Ь)ихх + д(к)и + / (х ,Ь),

(х, Ь) Є (0, К) х (0, Т ), з невідомими коефіцієнтами а(Ь), д(Ь) з умовами перевизначення, аналогічними до даної роботи. В [2, 3] розглянуто задачі визначення д(Ь) в рівнянні, коли старший коефіцієнт відомий, а(Ь) = 1, а додаткові умови М Ш ІИ вигляд

п|х=хо = Ф(Ь), Хо Є (0,К),

У и(х ,{)кх = Е(Ь), Ь Є [0,Т], 0 < в(Ь) < К, овідповідно.

В області Ат = {(х ,Ь) : 0 < х < К, 0 < Ь < Т } розглянемо параболічне рівняння з невідомим коефіцієнтом с = с(Ь)

иь = а(х, Ь)ихх + Ь(х, Ь)их + с(Ь)и + / (х , Ь), (1)

(х ,Ь) Є Ат,

початкову умову

и(х, 0) = у(х ), х Є [0,к], (2)

крайові умови та умову перевизначення

пх (о,г) = ш(ь), пх (к,ь) = В2(ь), ь є [о,т], (з)

и(0,Ь) = Цз{Ь), Ь Є [0,Т]. (4)

Будемо розглядати такі задачі:З а д а ч а (А ). Знайти функції (с,и) Є

С [0,Т ] х С 2,1(Ат), що задовольняють рівняння (1) та умови (2) - (4).

З а д а ч а (В ). Знайти функції (с,и) Є С [0,Т ] х С 2,1(Ат) що задовольняють рівняння (1), початкову умову (2), крайові умови(4),

и(к,Ь) = іі4 (і), Ь Є [0,Т], (5)

та умову перевизначення

н

І и{хл)скс= ^ ь Є [0-п (6)0

1. Іс н у в ан н я т а єд и н ість р о з в ’я з к у за д а ч і (А ).

Т ео р ем а 1. При виконанні умов:

А1) /а Є С 1[0,Т],г = 1 ,3 , у Є С 2 [0,к],

а,Ь,1 Є С 1’0 (Пт);

А2) а(х,Ь) > 0, (х,Ь) Є Ат, аз(к) = 0,

ь є [0 , Т ];


А3) Д(0) = уг(0), 3 ( к ) = Ц2{0),

ф{°) = к з (0)можна вказати число П : 0 < П < Т, яке визначається вихідними даними, що розв’язок задачі (А) існує при (х, ї) Є Ац-

Доведення. Використовуючи рівняння (1) де и0 (х, ї) визначається формулою та умови (3), (4), зводимо задачу (А) до рівняння

х (а(£, т) - а(у, т))щ і (£, т) + Ь(£, т)щ(£, т) +

+с(т )и(£,т Л Д д т, (9)

н

с(і)1

к з (і)Д ( і ) - а(0 , і )ихх(0 , і ) -

- Ь(0 , і )у і (і ) - / ( 0 , і ) (7)

ио( х , і ) = у С 2(х А Д , 0 ; у ) Д £)д£ - 0

і

- 0 2(х, і , 0 ,т; у)а(у,т)уі(т)дт+

де и(х , ї ) - розв’язок прямої задачі (1)-(3). Зафіксуємо у Є [0, к] і подамо рівняння (1) у вигляді

Пі = а(у , і )ихх + (а(х, і) - а (у , і) )ихх+

+ ! С 2{х ,г ,к ,т; у)а(у,т)у2(г)дт+0

і Ь

+ f f С 2{х А Д ,т; у) / (£,т) Д д т.0 0

+Ь(х , і )их + с(і)и + / ( х , ї ) . (8) Введемо позначення их(х,ї) = у(х ,ї ) ,ихх(х,ї) = 'ш(х,ї). Тоді (7), (9) перепишемо у вигляді

X 1

Позначимо

С 2(хА Д ,т; у)1

X (ехрП= — Ж х

+ ехрІ -

п (е ( і , у) - ° (т,у ))

(х - £ + 2и к ) 2

с(і) ц'3(і) - а(0 , і )т(0 , і ) -

4 (в ( і ,у) - в (т,у ))

(х + £ + 2и к ) 2

+

к з (і)

- Ь(0 , і )у і (і) - / (0 , і ) і Є [0,Т], (10)

4 (в (і , у ) - в (т,у ))і Н

и(х , і ) = ио(х,і) + С 2(х , і ,£ ,т ; у )х

е ( і ,у) = у а(У,т)^т.0

Легко бачити, що в 2 (х , і ,£ ,т ; у) - функція Гріна другої крайової задачі для рівняння

иі а (у , І)ихх■

0 0

х (а(£ іт) - ^ т))ш(£’т) + Ь(£і т)у(£’ т )+

+с(т)и(£,т) \д£дт, (х, і) Є Ат. ( 11)

Пряма задача (8), (2), (3) у випадку довіль- Знайдемо другу похідну по х функції и(х, ї). ної неперервної на [0 , Т ] функції с(ї) еквіва- Продиференціювавши (11) двічі по х і по-лентна рівнянню

і Н

клавши у = х , отримаємо

і Н

и(х , і ) = и0 (х, і) + 4 у С 2 (х , і ,£ ,т; у ) х ,ш(х,і) = т0 (х, і) + 4 у С 2^ ( х , і , £ , т ; х ) х0 0 0 0


і

і

х ( а ( , т ) — а(х,т) ) і х ( ,т )к^кт — на [0,Т] функції с(Ь). Враховуючи це в (10),і н приходимо до умови (4). Отже, еквівален-

/ [ п , с \ ( и с \ (с \ тність задачі (А) та системи рівнянь (10),J &2^(х , і , , т;х ^ Ь, ,тм , т)+ (12) доведено_0 0

. стосуємо теорему Ш аудера про нерухому+ (Ь%, т ) + с(т))ч(£ т ) ) сі сіт (х Ь) Є Ат (12) точку цілком неперервного оператора. Д ля

/ цього спочатку встановимо апріорні оцінки, розв’язків системи. Позначимоде ,ш0 (х, і) має вигляд ^

h W (t) = max \w(x,t)\.xE[0,h]

wo(x , t) = J G2( x , t ,^ , О; (0 d£- 3 (1Q) одерж им о

t \c(t)\< C + C2W(t) . (14)

- J G 2(x , t , 0 ,т; x ) , ( r ) d r + Використовуючи оцінки

01 \G2( x , t , , r ;x ) \ < C^ 1+ 1

+ G2( x , t , h , r ; x ) , 2( r )d r—\J9(t, x) — 9(r, x)

h

0 ^ \ G2i ( x , t , , r ;x ) d < Cat h J ’ ’ ’ ’ , 9 (t ,x) — 9(r,x)I / G2j ( x , t , , r ; x ) f , , r )di dr - h

0 0 ^ \ g 2h ( x , t , , r ;x ) \\x —C\dC < C5Зауважимо, що функцію v(x , t ) можна по;да- J \ j0 ( t , x) — 9(r, x)ти у вигляді

v(x , t ) = ni(t) + і w ( , t ) d , (13)

9(t, x) — 0(r, x) > C6(t — r ),

з (12), враховуючи (13), (14), отримаємоt

0 W (t ) < C7 + C8 [ W 2( t I dT.Таким чином, враховуючи (13), задачу J y t — t

0з невідомими (c(t), w(x, t ) ) . Задача (А) т а Ввівши позначення W i (t) = W (t) + 1,остан- вказана система еквівалентні в тому сен- ню нерівність подамо у вигляді сі, що, якщо пара функцій (c(t ) ,u(x , t )) є tрозв’язком задачі (А), то (c(t) ,w(x, t) ) є не- t ) ^ с с f W 2(t ) d ^ ^перервним розв’язком системи (10), (12). i ( ) < 9 + 10 J ^ t — T T'

0

(c(t ) , w ( x ,t)) є неперервним розв язком си- Метод роз’язування нерівності (15) подано в(c(t) , u(x, t))

розв’язком задачі (А). Припущення теореми дозволяють продиференціювати (11) дві- W(t) < M i < t Є [°,t i],

x . 1 А • Де t 1, 0 < t 1 < T , визначається сталими(12), О ДерЖ И М О Uxx(x,t) = W(x,t) . ТО Д І MO- гі гі -г,v xx\ > > \ ^ C9, C 10. Використовуючи встановлену оцін-

u(x, t). . . КУ, 3 (14) одержимотрібну гладкість і задовольняє рівняння (8)та умови (2), (3) для довільної неперервної \c(t)\ < C 11 < ж, t Є [0 ,t1].


X

Отже, апріорні оцінки розв’язків системи Використовуючи рівняння (16) та умови рівнянь (10), (12) знайдено. (18)) (Ю), зводимо задачу (16)-(19) до рів-

Подамо систему рівнянь (10), (12) у ви- няння стосовно с(ї) гляді операторного рівняння

_ а {0 , І )иххЛ0 , І )и = Рш, с ( ) у 3(і) ■ ( }

де ш = (с(ї), т(х, ї)), а оператор Р визнана- За допомогою функції Гріна С2>(х , і , ^ , т) ється правими частинами рівнянь (10), (12). другої крайової задачі для рівнянняПозначимо / ,\ і / ,\ /,\ /Лі\иі = а(х, ї)ихх + Ь(х, ї)их + сі (ї)и (21)

N = {{с,,ш) Є С [0, ї і] х С ) : з врахуванням умов (17), (18) функціюи(х , ї ) подамо у вигляді\c(t)\ < C 11, \w(x,t)\ < M l}

t h

Перепишемо рівняння (20) у вигляді

Очевидно, що множина N задовольняє умови теореми Шаудера. Доведення компактно- и ( х , і) = / С 2( х , і , £ , т)с(т) щ (£, т)(1£(1т.сті оператора Р проводиться аналогічно як о оі в [4].

Отже, за теоремою Ш аудера про нерухому точку цілком неперервного операто- іра існує розв’язок (с(і), ш (х , і)) системи рів- с(л = к (і т )с(т )дт (22)нянь (10), (12) з класу С [0 , і 1] х С (< і і ), а, Уотже, і розв’язок задачі (А) (с(і) ,и(х, і) ) з класу С [0 ,і1] х С 2,1(0.і і ). Де

Теорему 1 доведено. н

К (і,т) = ( , .) [ С*2хх(0 , і ,£ ,т)и2(£,т)д£.Теорема 2. Припустимо, що виконую- (і) у

ться умова А2) теореми 1 та а, Ь Є Н а,0^ т). 0Тоді задача (А) не може мати більше одного Отже, ми отримали однорідне рівнян-розв’язку. ня Вольтери другого роду (22) з ядром,

Доведення. Нехай (с і ( і ) ,щ (х ,і ) ) , і = 1, 2, що має інтегровну особливість [5]. З єдино- два розв’язки задачі (А). Позначимо сті розв’язків таких рівнянь випливає, що

с(і) = 0, і Є [0,Т]. Використовуючи це в с(і) = Cl(і)—C2(і) , и ( х , і ) = и і ( х , і ) - и 2 ( х , і ). задачі (16)-(18), знаходимо, що и 1(х, і) =_ ... /,ч / ч и2 (х, і), (х, і) Є іїт.Функції с( і) ,и (х , і) задовольняють задачу: Теорему 2 доведено

иі = а(х, і)ихх + Ь(х, і )их + с1(і)и+2. Існування та єдиність розв’язку

задачі (В).+с(і)и2 , (х , і) Є &т, (16) Теорема 3. Нехай виконуються умови:

u(x, 0) = 0, x Є [0,h], (17)B 1) Pj є C 1[0,T], j = 3,5, p є C 2[0,h],

a є C ), b , f є H a’° (Пт );

ux(0, t) = ux (h,t) = 0, t є [0,T], (18) B 2) a (x , t) > 0 ( x , t) є ^ t , T 5(t ) = 0,t є [0, T ];

u(0 ,t) = 0, t є [0,T]. (19) B3) p(0) = p 3(0), p(h) = p 4 (0),


J у (x )dx = а 5(0 ),0

а'3(0) = а(0 , 0 )у ''(0) + Ь(0, 0)у'(0) +

+ с(0)у (0 ) + / (0 , 0 ),

а4(0) = а(к, 0 )у' '(к) + Ь(к, 0 )у '(к) +

+ с(0 )У(к) + / ( к , 0),

Д Є

с(0 )а5(0) а5(0) — у (а(х , 0) у ”(х)+

0

у(х, 0) = 0, х Є [0, к],

Г (х, Ь) = а(х, Ь)у''(х) + Ь(х, і)[ у ' (х) +

+ к (Ц4(Ь) - Ц4(0) - Ц3(Ь) + Цз(0))) +

+ / ( х , Ь) — ц,з (Ь)^ і — ^ — ц 4(к) к

КЦ6(Ь) = Ц5(Ь) - Ц5(0) + 2 (^ (0 ) -

-Цз(Ь) + Ц4 (0 ) - Ц4 (Ь)).Замінимо задачу (23) - (26) еквівалентною системою рівнянь. Проінтегрувавши рівняння (23) від 0 до К за змінною х і використавши умову (26), одержимо

+Ь(х, 0)у'(х) + / (х, 0))dx

Тоді можна вказати число Ь0 : 0 <Ь0 < Т, яке визначається вихідними даними, що розв’язок задачі (В) існує при (х,Ь) Є іїЬо.

Доведення. Ввівши нову функціюх

у(х ,Ь) = и(х,Ь) - у (х ) - - (цЛЬ) - Ц4(0)) +К

+ (ц3(Ь) - Ц3(0))^К - 1

задачу (В) зводимо до задачі з невідомими (с(і ) , в (х , і )):

уь = а(х, Ь)ухх + Ь(х , Ь)ух + с(Ь)(у + д(х, Ь)) +

+Г(х,Ь), (х,Ь) Є іїт, (23)

с(Ь) а5(Ь)(ах (х, Ь) — Ь(х, Ь))ух (х, t )dx—

—а(к, Ь)ух (к, Ь) + а(0 , Ь)ух (0 , Ь) + Ь(і) ,

де

(24)

у(0,Ь) = у(к,Ь) = 0, Ь Є [0,Т], (25)

у (x , t )d x = у 6(і), Ь Є [0,Т], (26)

хде d(x,t) = у(х ) + - ( у 4 (ї) — а 4 (0 )) +

к

+ (у з (Ь) — а 3(0)) ( 1 — к

Ь(Ь) = ц 5 (Ь) — J уа (х , і ) у " (х )+ Ь (х , і ) уу ' ( х ) + о

+ к ( Ц4(Ь)-Ц4(0 ) - Цз(Ь)+Цз(0)^ ^ + /(х ,Ь )^ дХ.

Тимчасово припустимо, що функція с(Ь) відома. Тоді пряма задача (23)-(25) еквівалентна рівнянню

ь ь

у(х , Ь) = J J с і (х > €>т )(с(т )(у (€>т)+о о

+Л(£,т)) + Т (£,т ))д^дт, (28)

де Сі(х ,ЬД ,т ) - функція Гріна першої крайової задачі для рівняння

Уь = а(х, Ь)Ухх + Ь(х , Ь)Ух.

Позначимо ух(х ,Ь) = г (х ,Ь) і рівняння (27) перепишемо у вигляді

ь

с(Ь)1

Вь (Ь)(ах (х,Ь) — Ь(x , t ) ) z (x , t )dx—


н

н1

н1

н

н

—а(к, і) г (к, і) + а (0 , і ) г (0 , і) + Ь(і) . (29)

Продиференціювавши (28) по х, отримаємо

і Ь

г(х, і) = J J С 1х (х , і, т)(с(т)(ь (С, т) +0 0

+й(£ ,т)) + А (с , т

Зауважимо, що для функції у(х, і), враховуючи (25), справджується рівність

V(х,і) = г (€ , № .

Ь

г(і)уіх6(і) + ! к (х , і )к х ^ = ц '6( і ) - j (а (х , і )х0

Позначимо

2 (і) = т а х \г(х,і)\.хЄ[0,Ь]

З (29) одержимо

\с(і)\ А С 12 + С\з2 (і). (32 )

(ЗО)З (ЗО), використовуючи (31), (32) та оцінки функції Гріна [6], отримаємо

г

2 (і) < Сі4 + Сі5 [ 2 (^ ^ 1 (Т) йт.л/Т— т

(31)

Отже, беручи до уваги (31), задача (23) - (26) еквівалентна системі рівнянь (29), (ЗО). Якщо пара функцій (с(і) ,ь(х , і)) є розв’язком задачі (23) - (26), то (с(і), г (х , і ) ) є неперервним розв’язком системи (29), (ЗО). І навпаки: якщо функції (с(і), г (х , і ) ) є неперервним розв’язком системи (29), (ЗО), то функції (с(і ) ,ь(х , і) ) є розв’язком задачі (23) - (26). Доведемо, що (с,у) Є С[0 ,Т ] х С 2,1(і їр) і задовольняє задачу (23)-(26). Продиферен-

хотриманої рівності (ЗО), одержимо ух (х,і) = г (х , і ) . Тоді можемо зробити висновок, що у(х , і ) має потрібну гладкість і задовольняє рівняння (23) та умови (24), (25) при довіль-

с(і)мо рівняння (29) до вигляду

х и хх(х, і) + Ь(х, і)их (х, і) + Т (х, і))йх.

Враховуючи те, що функція у(х, і) задовольняє рівняння (23), приходимо до умови (26).

Отже, еквівалентність задачі (23)-(26) і системи рівнянь (29), (ЗО) доведено. Д ля дослідження системи (29), (ЗО) використаємо теорему Ш аудера про нерухому точку цілком неперервного оператора. Встановимо апріорні оцінки розв’язків системи рівнянь(29), (ЗО).

Останню нерівність зводимо до нерівності(15), метод роз’язування якої подано в [4]. Отже, отримаємо оцінку

2 (і) < М 2 < ж, і Є [0, і0],

де іо, 0 < і0 < Т, визначається сталими С 14, С 15. Використовуючи вище встановлену оцінку, з (32) одержимо

\с(і)\ < С 16 < ж, і Є [0,іо].

Отже, апріорні оцінки розв’язків системи рівнянь (29), (ЗО) встановлено.

Подамо систему рівнянь (29), (ЗО) у вигляді операторного рівняння

V = ри,

де V = (с(і), г(х, і)), а оператор р визначається правими частинами рівнянь (29), (ЗО). Позначимо

М = { (с , г ) Є С [0,іо] х С (Пго) :

\с(і)\ < Сіб, \z(x,і)\ < М 2].

МШаудера. Доведення цілком неперервності

рприкладі оператора р2, де р2 визначається правою частиною (ЗО). Покажемо, що множ ина р2М є компактною в С(і їг0) або, згідно з теоремою Асколі-Арцела, р2М є рівномірно обмеженою і одностайно неперервною.

Легко бачити, що множина р2М є рівномірно обмеженою. Встановимо одностайну


X

Ь

неперервність множини р2М . Д ля цього за- отримуємо дамо є > 0 і розглянемо різницю

І2 Н

А

І2 Н

по о

і1 н

Оіх(х2 ,Ь2 ,С, т)Г(С, т)d£dт—А 1 А 3 + С и З У \а іх(х2,Ь2, С, Ь2 — о) —

і 0£

— Оіх(х 1, Ь2 , ^ ,Ь2 — & ) \ ^ ^ < 3 +

Оіх,(хі,Ьі,С, т)Г(С, т)d£dт0 0

І2 н

+ Сі7

х2

Сіхх(х,Ь2,С,Ь2 — o)dxі 0 хі

d£do .

з довільними точками (хі, и) Є Піо , г = 1, 2, 3відсИ) використовуючи оцінки функції Грі-(хі,Ьі) = (х2 ,Ь2)

Очевидно, що

АІ2 н

(Оіх(х2 ,Ь2 ,С, т) — Оіх(хі,Ь2, С, т)) х0 0

і2 н

хГ(С,т)d£dт + J J Єіх(хі,Ь2,С,т)х 0 0

і1 н

хF(С,т)dСdт — У / а х і х ^ г ) х 0 0

х Г (С,т )^ т А і + А 2.

і н

\аіх(х,Ь,с,т)№&т <6 Сі7 ’

0 0

коли 0 < Ь < Ь.

на [61, маємо

А 1 < 3 + С\8 ІХ2 - ХіУ

єВибираючи Д < —77—, встановлюємо оцін-

Є 8ку А! < 2 , толи Іх2 - Х\І < Д.

Вважаючи для визначеності Ь2 > Ь1, оцінимо другий доданок

Ь2 ь

А 2 < аіх (х і ,Ь 2, С, т )Г (С, т )d£dті1 0

+

+

і1 н

(а іх (х і ,Ь2 ,С,т) — а іх (х і ,Ь і,с ,т ))х0 0

Оцінимо перший доданок, зробивши заміну змінних Ь2 - т = а:

Ь2 ь

А 1 < С\7 J У І0 \ х (х2,Ь2,^ , І2 - а ) -о о

-С іх (х і , І2 , ^,Ь2 - а ) ^ ^ а .

Згідно з оцінками функції Гріна [6], для заданого є > 0 можна вказати таке і > 0 , що

х Г (С,т ) ^ т А 2,і + А 2,2 ■

(33)

Використовуючи оцінки функції Гріна [6],робимо висновок про існування такого Д >£0, що А 2і < — при \Ь2 — Ьі \ < 82.

. 6А 2,2

Ьі — т = о:і1 н

А 2,2 < Сі7 ^ J ( а іх(х і ,Ь2 ,С,Ьі — о) —0 0

—а іх (х і ,Ьі ,С,Ьі — o)\dСdo■

Беручи до уваги (33), приходимо до виснов-- £

ку про існування такого Ь > 0, що А 2,2 < —3Якщо Ь2 < Ь, то з (33) маємо А і < - . тттЛт , „ТІТТ„ ^^ 2 — ’ 1 ; і з пр и Ьі < Ь, Ь2 < Ь. У випадку Ьі > Ь маємо

Якщо ж Ь2 > Ь, то, розбиваючи інтеграл на суму двох інтегралів і застосовуючи (33),

л ^А 2,2 <77 +


£

ti h t2

+ C:26 Glxt(x l , t ,C ,t l - a)dtt O ti

d£ da.рівняння (21) та умови (17), (19), (34),

u(x, t)

Звідси слідує існування такого 83 > 0, що£при \і2 — і 1\ < ^ м а т и м е м о А 2,2 < Та-

3£ким чином, А 2 < 2 Об’єднуючи отриманіоцінки, одержимо А < £.

За теоремою Ш аудера про нерухому точку цілком неперервного оператора існує розв’язок (с(і), г (х , і ) ) системи рівнянь (29),(ЗО) з класу С [0, і 0] х С(О.г0). З еквівалентності системи рівнянь (29), (ЗО) і задачі (23)-(26) випливає, що існує розв’язок задачі (23)-(26), а, отже, і розв’язок задачі (В) (с(і) ,и(х, і)) з клас у С [0,і0] х С 2,1(О.І0 )•


Т ео р ем а 4. При виконанні умови В2) теореми 3 та а, Ь Є Н а,0(О.т) розв’язок задачі (В) єдиний.

Доведення. Нехай (сі ( і) ,и і (х , і )) ,г = 1, 2,- два розв’язки задачі (В). Позначимо

с(і) = с1 (і)—с2(і) , и (х , і ) = и 1(х, і ) —и 2(х, і ) .

с(і) , и(х, і)(16) та умови (17), (19),

и(к , і ) = 0, і Є [0,Т], (34)

u(x , t )d x = 0, t Є [0,T]. (35)

t h

u(x , t ) = J j G K x A , ^ ^ ) Д т )щ (£,т )dÇdт■OO

Підставляючи це в (36), отримаємо однорідне рівняння Вольтери другого роду з ядром, що має інтегров-ну особливість. З єдиності розв’яз-

c(t) = 0 ,t Є [0,T]. Використовуючи це в задачі (16), (17), (19), (34), одержимо, що u l (x, t) = u 2(x , t) , (x, t) Є QT .



1. П абирівська Н. В. Багат опарамет ричні коеф іцієнт ні обернені задачі для р івнянь параболічного т и п у: Дис. на здобуття наук. ступ. канд. фіз.-мат. наук,- Л ьвів, 2001.

2. М амаюеупов О. ПІ. Об определении коэффициента параболического уравнения / / Исслед. по инт- диф ф . уравн. - Вып. 22. - Фрунзе. - 1989. - С. 157 - 160.

3. Cannon J . R ., Lin Y., W ang S. D eterm ination of a control parameter in a parabolic partial differential equation / / J. A ustral. M ath. Soc. Ser. B . - 1991.- V.33.- P. 149 - 163.

4. Ivanehov M. Inverse problems fo r equations of parabolic type.- VNTL Publishers, 2003.

5. Фридман А. Уравнения с част ны ми производными параболического типа,- М.: Мир, 1968.

6 . Л ады ж енская O.A., Солонников В.А., Ураль- цева H.H. Линейны е и квазилинейны е уравнения параболического т ипа,- М.: Н аука, 1967.

hx

одержимо

c(t)І

ß5(t)(ax (x, t) — b(x,t) )ux (x , t )d x —

h

h

—a(h, t )ux (h, t) + a(0 , t )ux(0 , t) (36)

Використовуючи функцію Г рінаG ^ x A ^ M ) першої крайової задачі для


УДК 517.95

© 2 0 0 7 р. Г.Р. Торган

Львівський національний університет імені Івана Франка

М ІШ А Н А З А Д А Ч А Д Л Я Е В О Л Ю Ц ІЙ Н О Г О Р І В Н Я Н Н Я Т И П У Е Й Д Е Л Ь М А Н А В Н Е О Б М Е Ж Е Н ІЙ О Б Л А С Т І З А Ч А С О М

О держ ано достатні умови існування і єдності узагальненого розв’язку в класі типу Т ихонова мішаної задачі для еволюційного рівняння в необмеженій області за часом.

We obtain sufficient conditions for the existence and uniqueness of a generalized solution in a Tykhonov type class for a mixed problem for an evolution equation in an unbounded on tim e domain.

У 1960 році С. Д. Ейдельман [1] розглянув узагальнення параболічних за І Іе-

тровським систем, ввівши термін " 2Ь- параболічні системи". У цих системах диференціюванню за різними просторовими змінними приписують різну вагу по відношенню до диференціювання за змінною Ь. За цей час було достатньо повно розроблено теорію задачі Коші для лінійних систем вказаного типу (див. праці [2 - 21]).

ном

A(u) — Ut І ^ ' (aij ( z , t ) \uxixj \ uXiXj )xiXji,j=l

Ei=l

{ai{z,t)\uZi\p 2uZi)Zi + Y bi{z,t)uxi +i=l

І E b0i=l

b (z, t)uyi + b(z, t)u+

+g(z, t) \u\q 2u = f ( z , t ) ,У цій праці розглянуто нелінійне еволю

ційне рівняння з першою похідною за ча- 3 кРаиовими умовами сом, четвертими похідними за однією групою просторових змінних і другими похідними за другою групою просторових змінних. Такі рівняння можна віднести до де у - зовнішня нормаль до поверхні д ° х х

UI St о,

(1)

(2)dQx х Qy х (—ж,Т)

26-параболічних рівнянь типу Ейдельмана. Досліджено мішану задачу в необмеженій області за часом.

Нехай Ох - обмежена область в просторі з межею дОх Є С \ Оу - обмежена область в просторі з межею дОу Є С 1, О = Ох х Оу, Qт = О х (—то ,Т ), де Т < го, Qt1,t2 = О х ( г і , і 2), Ьі, І2 є (—то,т}, її < Ь2, От = Qт П {Ь = т}, т Є (—<х,Т], А-і;1 = д О х (Ь1,Ь2), к + 1 = п, г = (х,у), х Є°х} у Є Оу■

В області QT розглянемо рівняння з дій- снозначними коефіцієнтами і вільним чле-

Qy х ( - ж , T ). Нехай p > 1, q > 1 r > 1. Ведемо простори:

W£’p(Q) = { и : и Є W l’p(Q), u |dQ = о} ,

W01p(Q)/ n

Y \uzi \p dzr, i=l

l/p

W 02,r(Qx) = \ и : и Є W 2’r (Qx), uIdQx

д и 1d v ' dQx—— I = 0

(Qx)

k

Y I ui,j=l

l/r

dz


0

( t2 Л nL U tu h ) ; B) = I u : f Ц а Г О Д dt < ^ , +b(z.t )uv + ai{ z . ( ) \u z, r * u z, vz, +

tlt2 l/q +g(z , t) \u \q 2uv

\\и \\ья((tbt2);B) = I / W ^ ^ W b dt

дгдї = J / ( г А Д д г д ї (3)

Ят\ьі / для всіх т Є (—<х>,Т] і для довільних V Є

де у Є (1, + ж ) , В - деякий банахів простір; С ((—ж , Т ]; Со(П)), як 'і мають обмеженіносії в Qт.

Ья1ос((—Ж .ІТ]; В ) = | и : и Є Ья((ї0, Т ); В), Розглянемо рівняння (1) спочатку в обла-

V їо, їо < Т І ;

И гр(П) = {и : и Є Ь 2(ПУ; И г(Пх))П

ПЬ2( Д ; И ( П у)), І,у Є Н},

Припустимо виконання таких умов:(A)

^ ) агр Є Ь<х(Д т ) , і , І Є {1, . . . ,к},

аі) аіг Є Ь ^ т ), 1 Є І 1, •••) п } , ар(г ,і) > Л0 > 0 , аг(г, ї) > Л і > 0

майже всюди в Qт;(B)

Ьг, Ьи, Ь°°, Ь%, Ь, Ьи Ьгхг, Ь%. Є Ь “ ® т ),

і Є {1 , •••к} , і Є {1 , •••1};

Ь(г, ї) > В 0 > 0

для майже всіх Д, ї ) Є Qт;(О)

д , 9г Є Ь<х(д т ) , д (г ,ї) > до > 0

майже всюди в Qт.

сті Qt0,T з початковою умовою

u(z, t0) = u0 (z), z є Q

і крайовими умовами

ul r, du0 dV dQxxQy x (t0,T)

(4)

0 ,

to є ( - ж , Т ).

Припустимо виконання умови (F ):

f є L q (Qto,T) , де I - = 1, f t є L 2(Qt0,T); q q1

daij (•Ao) daij (•,to)є L X (Q),

d x s d x sx r _i , j , s , m є { 1 , .. . ,k};

aizs( , t o) є L<X(Q), i , s є {1, ■■■, n } ;

bixs f A o ) є L,X(Q). i ) s є {1, )

b0°ym (•,to) є L ^ ( Q ) , j , m є {1, . . . , l} .

О зн ач ен н я 2. Функцію u є Lp(( to ,T); W 0l’p(Q)) П L q(Qto,T) ПC([to,T]; L2(Q)) П L r((to,T) x Q ; W ^’rQ ) )

О зн ач ен н я 1. Функцію и Є такУ} Щ° и Є Ь 2^ г0 , Т ), називатимемо С ( ( - ж Д ] ; Ь 2(П)) П ЬРос(( -ж ,Т ]; Ш^’Р(П)) П узагальненим, розв’язком задачі (1), (І), Ьг ((—ж Т]-Ьг (П • Ш2,г(П ))) П ЯКЩ° вона задовольняє рівністьЦ ос((—<х>,Т]; Ь( П) ) називатимемо узагальненим розв’язком задачі (1), (2), якщо / ^ д х + вона задовольняє рівність У

г k

uvdz / - kaij ( z , t ) \uXiXj \

Qt Li’j = l

r - 2u vx' x ' \ ux ' x ' Vx' x '

QtQ,r

k

/ aij ( z , t ) \ux-x' |Г 2u x x ' Vx-x' +/ j j V ' /I xix' | x-xj x-xj 1Li,j=l

uvt + ^ 2 bi(z, t)uxiV + ^ 2 bo(z, t)uyiv+i=l i=l

k- u v t + ^ 2 bi(z, t)uxiv + ^ 2 bo(z, t)uyiv+ +b(z, t)uv + E ai ( z , t ) \uzi \p 2-Uzi vzi +

i=l i=l i=l


g(z, t) \u\q 2uv dzdt = u0 (z )vdz+

Qtn

+ J f ( z , t ) v d z d t

QtQ,T(6)

для всіх т Є (Ь0 , Т } і для довільних V Є С 1([і0 , Т }; С$І@)У

Т ео р ем а 1. Нехай виконуються умови (А), ( В ), (Є), (В ) і \uoxxj\Т-2иохіхз Є Ь 2(Оу; И 2(Ох)), \uozi\І)-2иогі Є Н 1(О), щ Є Н 1(О) П Ь 2(<і-1)(О). Тоді при р > 2, г >1 , у > 1 існує узагальнений розв’язок задачі (1), (4), (5). Якщо, крім того, Ьі =0, Ц = 0 для майже всіх: (г,Ь) Є Qt0,т і всіх і Є { \ , - . , к } , і Є {1, ■■■,!}, тоді існує сті узагальнений розв’язок задачі (1), (4), (5) і при 1 < р < 2 , г > 1 , у > 1■ J

Т ео р ем а 2. Нехай виконуються ум,о-

ви (А), ( В ), (Є), 2Ьо(г,Ь) — ^ Ьі(г,Ь) —і=1

де Ь3 = Т — в — 1, в = 1, 2, ■■■, а вільний член

гз,з (г Ь)= / / s ( z , t ), (г,Ь) Є ^1 (г,1) = \ 0 , (г,Ь) Є Qts ■

Послідовність { / 3} є такою, що

/ 3, /3 Є Ь2ос((—то,Т}; Ь 2(О)),

/ 3 ^ / в Ь 2ІОС((—то,Т]; Ь 2 (П)У

Продовжимо и нулем на всю область QT поза областю Qts:

us(z, t) = u(z , t) , (z , t ) Є Qts°, (z, t ) Є Qts

На підставимо (6), правильні такі рівно-

/- kaij ( z , t )\uSxix] Г

Qz Li’j=l

u v d z + I > ' aij ( z , t ) \uSxixj \r 2-USxixj vxixj -

u svt^2Ь°(г,Ь) > 0 для майже всіх: (г,Ь) Є

От, / Є Ц 0ж((—то,Т); Ь 2 (О)), де уо =шіп{у;, 2}■ Тоді при р > 2, г > 1, у > 2 існує узагальнений розв’язок задачі (1), (2). Якщо Ьі (г,Ь) = 0, Ь0(г,Ь) = 0 для майже всіх: (г,Ь) Є Qт і всіх і Є { 1 , - , к } , і Є { 1 , ■■■,!}, тоді існує узагальнений розв’язок задачі (1), (2) і при 1 < р < 2 , 1 < г < 2, У > 2.

Доведення. В теоремі 1 доведено існування узагальненого розв’язку в обмеженій області при Ь Є (Ьо,Т) з початковою умовою (4). Нехай и розв’язок задачі

А(и) = / s,s(z,t ), (г,Ь) Є Qts,T

+ + bi (z ’ t)uSxiv + Y ^ b0(z, t)urnv +i=l i=l

n+ b(z, t )usv + ai (z, t ) \и% \Р—2< vZi +

i=l

+g(z,t) \us\q 2usv - f s,s(z , t)v dzdt = 0 ,

kumvdz + [ J 2 aij ( z , t )\umixj \r ^ Z x A x n x -

Qt jk

umvt

з крановими умовами

u\ Sts,T 0dQxxQy x(ts,T)

і початковою умовою

+ bi ( z> t)umv + Y ^ b0 (z, t)um v +i=l i=l

n+b(z, t)umv + £ ai(z.t)\uTl \p—2u 7, vz. +

i=l

+g(z , t) \um \q—2umv - f m m (z , t)v dzdt = 0 ,

(8)для Vt Є (-<x>,T) і Vv ЄL q( ( - ж , T ); L q(Q)) П Ьр( ( - ж , T ); W0,’p(Q)) ПН ( ( - ж Д ) х Qy; W 02’r (Qx)) П H 0((- t t> ,T); L 2 (Q)) таких, що suppv С QT—s—l,T , s , m Є N, s = m.u(z, t s) = 0 ,


Віднімемо від (7) - (8) і приймемо V (иа - ит)'фі0 = и а’тфі0, де

< ^ [ \иат\4фг0ЛгЛі+

фіо (і)(і — іо)а, і > іо 0 , і < і 0,

Яг

+

\їо\ < 5, \їо\ < т, а > 1 .

Отримаємо рівність

(д — 2)8&\і — і0 \° 4- 2ЛгЛі,

Ятде 8 - довільне додатне число.

(Л)

2 / К т \2ФіоЛг +Ят

—1 К і Д і о +’В := УУ аи ( г , і ) (\иХі

Ят іі =1

аІІ ( г , ф ( \ихіХі \ ихіХі

+ X / аіІ (г ’ г ) (\иХіХу \' ~иХіХу — і, І=1

а \г—2„ .а— \ифіХ. \г - 2ифіХ.) иаХ™. фі0 ЛгЛі >

— \ифіХ]\г - 2ифіХ:]) и аХт . фі0 +

к+ £ Ьі(г ,г )иіГиа т Фіо+

і=1І

+ £ ьо с . щ т и атФ,о+

> Зо2 2~ Ч > ' \«ХД ГфіоЛгЛі,І, І=1

аі\ г , щ \иІ. \р 2иах. —л І О

в •= $ > о м к к \Ят і=1

—к г 2ит)и:тфя лглг >пі=1

+д(г, і)фіо {\и3\4-2щ — \ит\4- 2ит) и а>т +

П+ УУ фіоаі (г, і) (\Кі \Р 2< і —

і=1

— \иф\р -2иф) ифт + Ь(г, і)\иат \ ф

> А 122-р \иат\рфі0 ЛгЛі.

Ят і=1

(В)

ЛгЛі

„ кЗ3 := Ьі (г, і )иаХфиа,тфі0ЛгЛі =

Ят і=1

к= I / 3а - Г т)и атфг0йгМ. (9)Ят

Оцінимо доданки рівності (9) при р > 2, у > 2, г > 2. Використовуючи нерівності Гельдера і Юнга, одержимо

Вв := [ \иат\2ф[0Згбі <

- [ У]] ЬіХі(г, і)\иа’т \2фіоЛгЛі Ят і=1

З* : = Ь0 (г, і)ифти а ’ тфіоЯт і=1

Ят - 1 1 V

2/д

< \ \иа’т\4фі0ЛгЛі І х

о / у гу іЯт г=і

З умови (С) випливає

Ьіу.(г , і ) \иа’т\ фі0ЛгЛі.

х фііо

фіо

д/д-21-2/4

ЛгЛі <

З5 := J д(г,і)фіо (\иа\4 2иа —Ят

— \ит\4-2ит) и а,тЛгЛі >


д

> go22 q J фі0 \us,m\qdzdt.Qt

З умови (F) одержимо

J (f s,s(z, t) — m(z , t ) ) us'mÿ t0dzdt <Qt

< - І Фі0 \Us,m\ dzdt+q J

Qt

+ - *(z, t) — f m’m(z, t ) Y фі0dzdt.

Qt

Враховуючи оцінки інтегралів J 1 — J6, з (9) одержимо нерівність

+ \us,m\2] фіоdzdt + J \us,m\2 t 0dz <Qt

< Cl J a\t — t0\7 - T-2dzdt+Qt

+ C i J \ f s's(z, t) — f m'm(z ,t) \q' фіо dzdt.

Qt

При t0 < t i < t < t < T маємо

/ к n

E ' u î y \r + E \uzm\p+

Qiut ^ ’j=i i=i

+ \us m \q + \us’m \2} dzdt + \ti — to\a x

x \usm \2dz <

Qt

\usm \q (go23-q — q6 — - ) + Qt,\u*’m\q + E W Z j \ r+

Qto ,t n

+ E \uzm\p + \usm \

i,j=i

к i=i\t — t0 \7 dzdt+

+A„2 ‘- r Y . K Z , \r + A i 2 \ u ^ \ " +i=ii,j=i + J \us m \2\T — to\adz < C2\T — t o r 1 ~ ~ 2 +

qt

+ (2b(z, t) — J ] biXi (z, t) — J ] b°m ( z , t ) ) x +C2 \T — to\a \ f s,s(z, t) — f m’m(z ,t) \q' dzdt.i=i i=i

x \ u s,m\2] фЇ0dzdt + j \us,m\2фtodz <Qt

2 q

Qt

Отже, при p > 2 , q > 2 , r > 2 з (9) одержимо нерівність

<(q — 2 )6

v\t — t 0 \7 q- 2dzdt+Qt Qt, ,T

2+ q ï j f S(z, t) — Г m(z ,t) \q фіоdzdt.

Qt

\u‘m \q + E urn , , \r + E \ < t +i=i

\usm \2dz <u s,m

Qt,

Виберемо 6go22-q - . — — . Оскількиq q2

кза умовою теореми 2 b(z, t) — biXi (z, t) —

i=ik

J2b iXi(z, t) > 0 для майже всіх (z, t) Є QT ,i=1то з останньої нерівності матимемо

к n

\us m \q + e um \r + E \uzm\p+

< Ci

T — t0

T t 0

Qt

. . \Т - і о Г — +І 1 — І0

у \ ! ‘Ц м ) — г тс ж і і г і і і .Ят

Оцінимо доданки правої частини останньої нерівності.При і 0 ^ —ж

ti — to

i,j=l i=l I i —T to 1 q

\t — to\ — — o,

122

t 1 — t 0


q

7

(7

якщо q > 2 .Оскільки за f s ^ f в L 2 ( ( - < x , T ]; L 2(Q)), то

I 2 :=T ttl - t \ f s ■ s( z , t ) -

тобто правильна нерівністьn

\usm \q + Y ^ \uszm \p + \us m \

Qt1 ,T i=ldzdt+

Qt

- f m m (z ,t) \q'dzdt < є ,+ J \us’m r dz < є

Qt1при to < t l < t < T < T, де є ^0 . us

де є — довільне достатньо мале число.Отже, права частина останньої не

рівності прямує до нуля при їо ^ - ж . С г 2(П) )п Тд ( ( - Т]- Т*( П) ) ПТоді послідовність {иа}аЄн фундаменталь- в р ж ’ ); і•і_р)) )) 1ос(( ж, ]; ( ))на, а отже, сильно збіжна в просторі Ьіос((—ж ,Т ) ; ^ оС (( т ]• Ь2(П)) П Ь* (( оо Т]; Ь*(П)) П Розглянемо рівність (7) для послідовності

L L ( ( - ж , T ]; W 2 r(Qx) X Qy) nL L ( ( - ю , П W l ■p(Q)).

Перейдемо до границі в рівності (7) при s ^ ж

- k

розв’язків u s, де v = u svpt0

J \us\2 t 0dz + JQt Qt

k

- u 's ut ^ t 0 - \us \2^ t 0 +

uvdz +

Qt Qt 4 ■ j=l

k

/ гь k kaij (z , t )\uxixj \ uxixj vxixj + + aij ( z , t )\u>xixj \r K + bi ( z , t )usxi us^to +

i j=l i■ j=l i=ll

+ Y ^ bi ( z ’ t)uyi us^ t 0 + b(z>t ) \us \2 фto +i=l n

+ Y1 ai ( z ’t) K \Рфо + g (z . t ) \u s\q ф^ -

+ ^ ] bi (z, t)uxi v + J 2 ai ( z , t ) \uzi \(z, t)uxi vi=l i=l

ai(z,t)\uzi \p 2uzivzi +

+b(z, t)uv + g(z, t)\u\q 2uv + bo(z, t)z , t)uyi v - i=li=l

dzdt = ^ / (z ,t)vdzdt•

ЯтОтож, існування узагальненого розв’язку задачі (1), (2) у випадку р > 2 , д > 2 , г > 2 доведено.

Розглянемо рівність (9) у випадку, коли р > 2, д > 2, 1 < г < 2. Враховуючи оцінки інтегралів Зі — 36, будемо мати

- f s ■ s(z, t)us^ o dzdt = 0 . (10)

Оцінивши доданки останньої рівності, будемо мати

/ к пм * + £ К х , г + £ к |Р+ г , і=і г=іQ4,t

s 2+ \us \

Qt

\usm \q + ^ \uszm \p + \us m \2

i=lф-ь0 dzdt+

фtodzdt + J \us\ фtodz < M 6.

Qt1

+ J \us,m\ фtodz < M 4 J a\t - to\a q- 2dzdt+

Qt Qt

+ M AJ \ f s s(z, t ) - f m m (z ,t) \q' фto dzdt,

Qt

Отже,

\\u s \\l2(Qt0,T) < M 6 , (Qt0,T) < M 6.

де V(Qto,t) = Lp(( to ,T); W0l ,p(Q)) ПL q(Qtot ) П L r((to,T);Qy x W02 ■r Q ) ) .

Введемо оператор2 rB : L r((to, T ) x Qy; W J’r (Q))


а

и ((Ьо,Т) х Оу; W -2,г (О))

формулою

< Ви, V > ц ( г , і)\ихіхі \г - 2и хх' х ' \ х ' х 'Яг0,т і,3=1

у3 =< В ( и Мв) — В ( и ) , и ^ а — V > 1N.

^ 2 аи ( г , і ) ( \иГ \N. |г -2 N.и —

Яіо,т і,3 = 1

В ( и ^ ) ^ х

слабко в

Ьг' ((і о ,Т ) х Оу; W -2У (О))

при N ^ ж .Доведемо, Щ О В (и) = X■ Розглянемо

0 < у3 =< В ( и Мв) — В ( ь ) ,и Ме — V > 1=

=< В ( и Мв) ,и Мв > 1 — < В Д ) , и Мв — V > 1 —

— < В (и 3) ^ > 1

к

/ (г , і)и 3 До —

—Г ° Д о — ЬіГ и ^ Д о —і=1

— ^ Ь0иш3 и^ Г — Ь\и ^ \2іфо —

— ^ 2 аі (г) Ы \р Д о — g (z, Ь) Г 3\д Доі=1

дгвзі—

XV х іХ і Д 0 ігТЬ,

де < •, • > 1 - скалярний добуток між елементами простору Ьг ((Ь0 , Т ) х Оу; W -2,г (О)) И г(( іо ,Т) х Оу; W 02r (О)).

Розглянемо послідовність

— < В (и в) ^ > 1 — < В Д ) , и в — V > 1 .

Перейдемо в цій нерівності до верхньої границі. Використовуючи лему 5.3 [22], отримаємо

0

о ,т/ ( г , І)иДо — ^ Ьі(г , і )ихіиДо —

і=1

— ^ ь°і(г,і) иуі иГ — ^ аі ( г , і ) Г і \рФіо—і=1 і=1

—ь(z, ф\и \2До — g (z, ф\и \д Фіо

— \ ЩіХі \Г 2-ихНХз) { Г вхі — 'ОхіХ,) фіоде в = 1 , 2 ,... Очевидно, що у3 > 0 .

Враховуючи умову (А), легко показати,

\\ВиМ \\ьг' ((і0,Т)хПу ~2У (а)) < М 7,

причому стала М 7 те залежить від N. Отже, існує підпослідовність {и^в}мвЄН С {им}мєн така, що

— < х н > 1 — < В(V), и — V > 1 —

—1 І \и \2<КЗ-7-- (п)

У формулі (7) приймемо V = ифі0 і, враховуючи можливість інтегрування частинами, матимемо рівність

2 \и \Д +к

^ Ь П ) и х г ифьо +і=1

+ Х ! Сі^ФДуі иДо + Г Г Г Д оі=1

п— ^ Г Д Г \рДо — д ^ Г Г До-

і=1

і=1

< Х , и > 1= 0 . (12)

Додавши (11) і (12), отримаємо нерівність

< X — В Д ) , и — V > 1> 0.

Візьмемо и — V = Хю, V А Є Е, А > 0, ш Є Ьг((Ь0 , Т ) х Оу; Wl^,r(ОХ)), тоді отримаємо

< X — В (и — Аш), Аш > 1> 0 .

Оскільки А > 0, то можемо поділити отри- А. А


і, враховуючи семінеперервність оператора В

< X — В(и) ,ш > і > 0.

Оскільки ш довільне, можемо взяти ш і додатне, і від’ємне, тому

X = В (и).

Отже, ми довели, що узагальненийр > 2 , 1 <

г < 2 , д > 2 існує.1 < р < 2 , 1 <

г < 2, д > 2. У цьому випадку нерівність (9) оцінюється так:

+ Фо\uSm\q dzdt+

Qt

+ J \us,m\ фtodz < M 8 J \t — t0\° q-2 dzdt.Qt Qt

Отже, правильна нерівність

J \us’m r dz + J

Qt Qtl ,T

\us’m \q + \us’m \2 dzdt < є

+ \us \2

Отже,

фі0dzdt + J \us \ ^ todz < M 9. qt

L r ((t o ,T ) x Qy; W -2’r (Q)) +

+Lp (( to ,T); W - 1p (Q))

формулою< Cu, v >2-

/ k

aij ( z , t) \uxixj \

„ i j =1

\Г—2 _i_uXiXj \ uXiXj VXiXj +Qto,T

+ Y ^ ai ( z , t ) \uZi \P 2uZi VZ,i=1

фІ0 dzdt,

де < •, • > 2 - скалярний добутокL r ((t , T) x

Qy; W - 2r (Q)) + Lp (( to ,T); W - 1p (Q)) іЬг( ( іо ,Т )хП у ; Ш02,г(П))ПЦ>((іо,Т); ’Р(П)).

Аналогічно як у поперерньому випадку показуємо, що С (и) = х-

Отже, ми довели, що узагальнений розв’язок задачі (1), (4), (5) при 1 < р < 2 , 1 < г < 2 , д > 2 існує.

Теорему доведено.

Т ео р ем а 3. Нехай виконуються умови

(А), (В) , (Є), 2 Ьо(г,і) — ^ Ьі (г, і) —і=1

І'ффЩ(г,і) > 0 для майже всіх (г, і) Є

Ят, І Є Ц°ос((—ж , Т ); Ь 2(П)), де до = т іп {д ', 2}. Тоді при р > 1, г > 1, д > 2 узагальнений розв’язок задачі (1), (2) єдиний.

Доведення. Доведемо єдиність узагальненого розв’язку методом від супротивного. Припустимо, що задача (1), (2) має два різні розв’язки и 1 і и 2. Підставимо їх в (3), отримані рівності віднімемо і приймемо V = и 1,2фі0. У результаті матимемо

при ї0 < ї і < ї < т < Т, де є ^ 0.иа

С ( ( - ж , Т]; Ь 2(П)) П Ь о с ((_ ж , Т]; Ь( П) ) .Оцінивши доданки рівності (10) у випад

ку 1 < р < 2 , 1 < г < 2 , д > 2 , будемо мати

/ - k n\us\q + £ \uXiXj\r + E К ? +

qt L ^

1 [ \ul '2\2 todz +Qt\\L2(Qt0t ) < M 9, Hv(Qt0,T) < M 9.

Введемо оператор

C : L r((to, T ) x Qy; W 02,r(Q))n

HLp(( to ,T); W 0lp (Q))


+ Y ^ aij(z, t ) ( \uXiXj\r 2< x , —i,j=1

— \u2 \\г-2Д ) Д ’2 .ф +

125

+ ^ Ьі{г,і)иІ'^и1,2фго +і=1

+ ^ 2 Ь0(г ’ 1)и1у и1'2фг0 + Ь{г, і ) \и1'2 \2фг0 +і=1

+ ^ а ф ,ф ( \и\. \р 2и1. - \и1. \р 2и1г) и 12Фг0+і=1

+ д (г , і ) [ \и1\я 2и 1 - \ и 2\я 2и2) и 1,2ф-,

для всіх т Є (—ю , Т ].З оцінок інтегралів ■І1 — 36 випливає

J \и^2 \2фі0Зг + J

&>т Ят

к

\и12\2{ 2Ь(г,і) —

(г,і ) — ^ Ь0уі ( г , і ) ) +і=1і=1

+\и 1,2 \д(до2 3 я — дії) фі0ЗгЗі < є,

де є — довільне достатньо мале число. Оскільки ії довільне, а за умовою теореми

к І2Ь(г,і) - ЬіХі (г , і) - Ьі (г , і) > 0 для

і=1 і=1майже всіх (гф) Є Qт, то можемо зробити підінтегральний вираз лівої частини останньої нерівності додатним. Права частина даної нерівності прамує до нуля при О ^ —то. Тоді и 1 = и 2 майже всюди в Qт. Отже, розв’язок єдиний.

Теорему доведено.

СП И С О К Л ІТ Е РА Т У Р И1. Эйдельман С. Д . П араболические системы. -

М., Наука, 1964. - 443 с.2. М ат ийчук М. И ., Эйдельман С. Д . О ф ун

даментальны х решениях и задаче Коши для параболических систем, коэффициенты которых удовлетворяю т условию Д ини/ / Труды семинара по ф ункциональному анализу. - Воронеж, 1967. - Вып. 9. - С. 54-83.

3. Івасиш ен С. Д ., Кондур О. С. Про матрицю Гріна задачі Кош і та характеризацію деяких класів розв’язків для 26-параболічних систем довільного п о р яд ку // Мат. студії. - 2000. - Т. 14. - У 1. - С. 73-84.

4. М ат ійчук М. І. Параболічні сингулярні крайові задачі. - Київ, Ін-тут математики ПАН У країни, 1999. - 176 с.

5. М артыненко М. Д ., Бойко Д . Ф. 26- параболические граничные задачи/ / Д иф ф еренциальные уравнения. - 1978. - Т. 14. - N 12. - С. 22122222.

6 . Балабуш енко Т. М. Оцінки фундаментальної матриці розв’язків задачі Кош і для 26-параболічних систем у необмежених відносно часової змінної областях та їх застосуван ня// Вісник національного ун-ту "Л ьвівська політехніка". - N 411. П рикладна математика. - 2000. - С. 6-11.

7. Балабуш енко Т. М. Про оцінки в необмежених відносно часової змінної областях фундаментальної матриці розв’язків задачі Кош і для 26-параболічних си стем // Мат. студії. - 2002. - Т. 17. - N 2. - С. 163174.

8 . Балабуш енко Т. М ., Івасиш ен С. Д . Про властивості розв’язків 26-параболічних систем у необмежених за часовою змінною областях // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2002. - Т. 45. - N 4. - С. 19-26.

9. Эйдельман С. Д . Об одном классе параболических си стем // Д оклады АН СССР. - 1960. - Т. 133. - N 1. - С. 40-43.

10. М ат ійчук М. І. Ф ундаментальні матриці розв’язк ів загальних 26-параболічних і 26- еліптичних систем, коефіцієнти яких задовольняють інтегральну умову Г ельдера// Доповіді НА УРСР. - 1964. - N 8 . - 0 . 1010-1013. ^

11. Ивасиш ен С. Д ., Эйдельман С. Д . 26- параболические систем ы // Труды семинара по ф ункциональному анализу. - Киев. Ин-т математики АН УССР. - 1968. - Вып. 1. - С. 3-175, 271-273.

12. И васиш ен С. Д . И нтегральное представление и начальные значения решений 26-параболичееких си стем // У кр. мат. ж урн. - 1990. - Т. 42. - N 4. - С. 500-506.

13. Березан Л. П ., Івасиш ен С. Д . Фундаментальна матриця розв’язк ів задачі Коші для 26- параболічних систем з виродженням на початковій гіперплощ ині// Доп. ПАН України. - 1998. - N 12. - С. 7-12.

14. Березан Л. П ., Івасиш ен С. Д . Про сильно вироджені на початковій гіперплощині 26-параболічні систем и// Вісник держ . ун-ту "Л ьвівська політехніка". П рикладна математика. - 1998. - N 337. - С. 73-76.

15. Березан Л. П. Інтегральне зображення розв’язк ів узагальненої задачі Коші для сильно виродженої на початковій гіперплощині 26- параболічної системи/ / Наук, вісник Чернівецького ун-ту. 36. наук, праць. Вип. 46. М атематика. - Чернівці, ЧДУ. - 1999. - С. 13-18.


16. Березан Л. П. Д еякі властивості ф ундаментальної матриці розв’язків задачі Кош і для 26- параболічних систем з виродженням на початковій гіперплощ ині// Наук, вісник Чернівецького ун-ту. 36. наук, праць. Вип. 76. М атематика. - Чернівці, Рута. - 2000. - С. 5-10.

17. Івасиш ен С. Д ., П асічник Г. С. Про ф ундаментальну матрицю розв’язків задачі Кош і для дисипативних 26-параболічних систем з виродженням на початковій гіперплощ ині// Доп. ПАН України. -1999. - N 6 . - С. 18-22.

18. П асічник Г. С. Про ф ундаментальну матрицю розв’язків задачі Коші для дисипативних 26- параболічних систем/ / Вісник Львівського ун-ту. Сер. мех-мат. - 1999. - Вип 54. - С. 140-151.

19. П асічник Г. С. Про розв’язність задачі Коші для 26-параболічних систем зі зростаючими коефіцієнтам и/ / Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1999. - Т. 42. - N 3. - С. 61-65.

20. Івасиш ен С. Д ., П асічник Г. С. П ро задачу Коші для 26-параболічних систем зі зростаючими коеф іц ієнтам и // Укр. мат. ж ури. - 2000. - Т. 52. - N 11. - С. 1484-1496.

21. Івасиш ен С. Д ., П асічник Г. С. П ро ф ундаментальну матрицю розв’язк ів задачі Коші для одного класу параболічних систем з необмеженими коефіцієнтами і виродженням на початковій гіперплощині / / Наук, вісник Чернівецького ун-ту. 36. наук. праць. Вип. 76. М атематика. - Чернівці, Рута. -2000. - С. 82-91.

22. Гаевський X ., Грегер К ., Захариас К. Нелинейные операторные диф ференциальны е уравнения. - М., 1978.


УДК 519.21+62

© 2 0 0 7 р. Я .М . Ч абаню к

Національний університет "Львівська політехніка", Львів

А С И М П Т О Т И Ч Н А Н О Р М А Л Ь Н ІС Т Ь С Т Р И Б К О В О Ї П Р О Ц Е Д У Р И С Т О Х А С Т И Ч Н О Ї А П Р О К С И М А Ц ІЇ У М А Р К О В С Ь К О М У С Е Р Е Д О В И Щ І

Розглянуто асимптотичну нормальність стрибкової процедури стохастичної апроксимації в умовах збіжності процедури. Використано розв’язок проблеми сингулярного збурення для генератора двокомпонентного марковського процесу з новою тест-функцією.

In this paper we consider the asymptotic normality of the stochastic approximation procedure in the conditions averaging the procedure. We utilized by a solution of the singular perturbation problem for the generator of a two-component Markov process with a new test-function.

В ступ . В нашій роботі [1] встановлено асимптотичну нормальність неперервної процедури стохастичної апроксимації (ПСА) в марковському середовищі в схемі серій з малим параметром є ^ 0 + > 0 . На відміну від [2,3], в згаданій статті для вирішення проблеми асимптотичності використовується розв’язок проблеми сингулярного збурення для генератора розширеного процесу марковського відновлення неперервної ПСА в умовах збіжності процедури.

В даній роботі асимптотична нормальність стрибкової ПСА досліджується аналогічним методом. Особливість даної задачі полягає в тому, що приріст нормованої стрибкової ПСА має дві компоненти: неперервну і стрибкову, в той час, як неперервна ПСА має тільки неперервну компоненту.

1 . П о стан о в к а зад ач і. Стрибкова ПСА в схемі серій в марковському середовищі задається співвідношенням [4] (покладемо

5 ] а(тЄ)с(ик, х к) = °)к=0

v(t/є2) — 1пє(і) = ио + є2 ^ а(тЄ)С(иєк, х єк) , і > 0 .

к=0(1)

Тут х п := х(тп) ,п > 0, є вкладеним ланцюгом Маркова у рівномірно ергодичний марковський процес х ( і ) , і > 0 , у стандартному фазовому просторі станів (X, X ), що

128

задається генератором

Я ^ (х) = 9(х) У Р ( х , йу)[у(у) — ¥ (х)],X

тпцюга Маркова.

Генератор Q є зведено-оборотним з потенціалом Я 0 таким, що

RоQ = QRо = П — I.

Процес марковського відновлення х п , тп,п > 0 , задається стохастичним ядром

Р(х, В) = Р { х п+1 Є В \хп = х } , х Є X,

В є Х ,

а моменти відновлення задаються співвідношенням

Тп+1 = Тп + 0п+1,п > 0,

в якому час 9п+1 перебування в станах хп задається функцією розподілу

Ох(і) := Р[вп+і < і \хп = х} = 1 — в- ^ ,

х Є Х , і > 0,

тобто випадкові величини 9х,х Є X , мають показникові розподіли з інтенсивностями д(х) :


X £ X .

р = е- д(х)і Ь > 0 X £ X ® ПСА (1) мають місце вкладеності

Д ля моментів Тп рО ЗГЛ Я Н Є М О Л ІЧ И Л Ь Н И Й 2

процес ип ■— и (Тп) ,Хп ■— х(тп) ,Тп ■— Є Тпі, _ а

а(тп) — — ,а > 0 , п > 0 .Т V(Ь) ■— тах{п > 0 ■ Тп < ф ф > 0, п

Функція регресії С(и ,х) , и £ Я, х £ X , а також стрибковий процес відновлення така, що С(и, •) £ С 3(Я), тому має місце роз-

К Л Н Д

т Ф) ■— Ти(ь)ф > 0 .

Стаціонарний розподіл р(В ) , В £ X , с ( и , х ) — С 0 ( х ) + и С \ х ) + и 2С2(и,х), (2)вкладеного ланцюга Маркова х п , п > 0, задається рівнянням

C°(x) = C (0 , x ) , C 1(x) = Cl(0 ,x), (3)p(B ) = p(dx)P ( x , B ) , p ( X ) = 1,

X

і зв’язаний з стаціонарним розподілом C2 (u, x ) = 2 Cu ( 6u , x ) , 0 — 6 — 1-n ( B ) , B £ X , марковського процесу x ( t ) , t >0 ,

Теореми роботи [4]

n(dx)q(x) = qp(dx) ,q = n (dx)q(x),J u (t) ^ 0 , t ^ ж ,є — є0, (4)X

означає, що має місце рівністьабо

C (0) = 0 (5)1 І' 1n(dx) = p(dx)g(x) — , m = p(dx)g(x) = - , і точка u = 0 є точкою рівноваги системи

m J q

du(t) /d t = C (u(t)), (6)

3 g (x ) = ш де

Стаціонарні розподіли n ( B ) та p(B) ви- C(u) = q p (dx )C (u ,x ) . (7)значають проектори ^ a 1 X

3 (3), (5) і (7) маємо умову балансу

n 3 (x) := 0 1(x)X ■= f n(dx)¥ (x ) , 1(x) = 1, у Б; ПC 0 (x) = 0 .X

x X , x £ X ,

ступням нормуванням, як і в роботі [1], а

/ самеp(dx)p(x), 1 (x) = 1 ,

x v£(t) = ^/tvf (Ф)/ є ) (8)


тобто має місце зворотній зв’язок де

u (t) = eve( t ) /V t .

2. О сновн и й р езу льтат . Асимптотична нормальність нормованої ПСА (8) встановлюється при умовах збіжності ПСА (1)

С 1 : С (и)У'(и) < - с 0У(и),

С 2 : \С(и ,х )У ' (и)\ < е\ (1 + У(п)),

С 3 : \С (и ,х )К 0 [С(и,х)У'(и)]'\ < с2(1 + У(и)),

де С(и ,х ) := С (и,х)~ С(и), а У(и) - функція Ляпунова усередненої системи (11), а також при додаткових умовах:

D 1: р2 : = 2 j n (dx)C 0 (x )RoC 0( x) -X

- 2 q [ p(dx)(C°(x))2 > 0,X

деC°(x) := q(x)C°(x);

Ь := адЯ + ^ ■

З а у в а ж е н н я 1. Умова І )2 забезпечує виконання умови Ь < 0 звідки слідує стійкість граничного процесу £ (і), і > 0 , а умова Б 1 забезпечує дифузійність процессу £ (і), і > 0 .

З а у в а ж е н н я 2. Граничний процес Орн- штейна - Уленбека [5] з генератором Т в умовах теореми є ергодичним з стаціонарним нормальним розподілом N (0 , о0), де дисперсія обчислюється за формулою о0 = а2 р2/2Ь.

В и сн о во к 1. В умовах теореми ПСА ьє (і) має асимптотично нормальний розподіл N (0 ,о 0), тобто хє(і) ^ V ,є ^ 0 і ^ ж , де випадкова величина V має розподілN (0 , о 2).

3. В л асти в о ст і н о р м о в ан о ї П С А .Основна проблема полягає в тому, щоб побудувати породжуючий оператор (генератор) двокомпонентного марковського процесу

v£( t ) ,x£t := x ( t / e 2) , t > 0 . (и)

(9)

Л е м а 1. Генератор марковського процесу(11) на тест-функціях p(v, •) Є C 2(R) має представлення

a v0 2 : д1 < — 1 / 2ад,

де ф = / р (дх)С 1 (х).X

Т ео р ем а (А си м п т о ти ч н а н о р м а л ь н ість ). В умовах С 1 — С 3 збіжності стрибкової ПСА (1), та при додаткових умовах 0 1 , 0 2 має місце слабка збіжність

Vє(і) ^ С(і),є ^ 0 ,

в кожному скінченому інтервалі 0 < і0 < і < Т.

Граничний дифузійний процес £ (і), і > 0, є процесом типу Орнштейна- Уленбека [5], і визначається генератором

L £t p (v ,x ) = є 2q(x)P[p(v+e — C (є — , x ) , y ) -Д Д ’

- ^ ( v .x ) | + — Д (v,x) , ( 1 2 )

де

Р ^ (-,У) = ] Р ( У, Лг)р(-,г).X

Доведення. Спочатку обчислимо приріст А х є(і) нормованої ПСА (8) за малий проміжок часу А > 0 при умовах

Ує(і) = У,х‘Є = х.

Таким чином враховуючи (8) та розклад Д Т Т А = Д і ( А / 2 і + о(А)) , маємо

Lp(v) = bvp'(v) + ^ a2р2<р”(v), (10) A v £(t) := v£(t + A) — v £(t) = i ^ v R


+ Є 1(і + ТДД )Аиє(і) + о (А ) .

Оскільки приріст А и є(і) ПСА (1) при наявності стрибка має вигляд

А и є(і) ■— иє(і + А ) — иє(і) — є2- с (иє(і),хє,),

то для умовного математичного сподівання

Е [р (Е (і + А ),хє+А) \ує(г) — у ,хє — х ,

тє(і) — і} — Е у,х [<р (у + А у є (ь) , х ‘є+А)] —

— Е хД р Д + А у є( і ) ,хєі+А)][І(вх > є- 2А )+

+І(вх < є 2А)}

з урахуванням того, що І ( вх > є- 2А) — 1 — є- 2Ад(х))+о(А) і І (вх < є- 2А) — є- 2Ад(х) + о(А)

Ev,x[p(v + A v £(t) , x et+A)] = p ( v , x ) -

- є - 2 A q ( x ) p (v , x) +

+Ev,x[<f(v + є (є -^t , x ) , x ‘t+A)]e- 2 Aq(x) +

v+ A 2 t ^ v (v, x) + o(A)]-

З означення генератора [6] марковського процесу (11) отримуємо

lim А E v x [p(v + A v t (t) , Xl+A) — p(v,x)] =A^-0 ’

= L £t p ( v , x ) ,

де Lt має представлення (12).Н а сл ід о к 1. Генератор марковського

процесу (11) на тест-функціях p(v, ■) Є C 2(R) має представлення

—Р ^ , У )} + є29 (х )2 і ^ ( х , х ) - (14)

Доведення. Представлення (13) отримуємо з (12) використовуючи доданок + р Д , у ) в квадратних дужках.

Л е м а 2. Генератор (13) на тест-функціях р Д , •) £ С 3(Я) має асимптотичне представлення

Ьє^(ь ,х ) — є-2Q р(v ,x ) +

+ є - 1 — Ql(x)Qoр Д , х)++і

+ t Q 2(x )v (v ,x ) + 9£l p (v ,x ) , (15)

де

Qi(x)p(v ) = aC0 ( x )p \v ) , (16)

Qo := q ( x ) P ,

Q2(x)<p(v) = vb(x)p'(v), (17)

і

b(x) = aCll(x)Q0 + 1/ 2 , (18)

а залишковий член 9£Lp(v ,x ) такий, що

\\9£l p(v,x)\\ ^ 0 ,є ^ 0, 0 < t 0 < t < T < <x>.

Доведення. Виходячи з гладкості функцій p (v ,x ) маємо

p ( v + є a C (є x t ,x ) ,y ) =

+ p (v , y ) + є - j t C (є-^=, x ) pV(v, y ) + о(є). (19)

Згідно з (2) для C (є/д ,x) отримаємо роз-К Л с ІД

L tp ( v ,x ) = є 2Qp ( v , x ) + є 2q(x)L£0p(v ,x ) , C (є~^t,x) = C (x) + є X t C (x) + о(є)• (^0)(13) W i

де Підставляючи (20) і (19) в (14) маємо

L 0 + (v , x ) = P [+ (v + є - j r d (є -^ t , x ) , y ) - L0 + (v , x ) = є 2a t C° (x ) P+ 'v (v , y ) +


+є2 [аС 1 (х)Р + Д, У) + 0 (є) ■ п Q ) п 0і 2 Q p l (v ,x ) + Ql(x)Qoы(v) = 0

На завершення, використовуючи останнє,з (13) отримуємо (15) в позначеннях (16)- * Ум°ви балансу УБ маємо(18).

4. Р озв’язок проблеми сингулярного ~0 .збурення для оператора (15) на збурених ' і( 'и , х ') = Р ф (х) ^ р (х ) = аР°С (х)р (х),тест-функціях виду ~ 0 ' '

де С (х) обчислюємо за (9).1 1 Далі з умови розв’язності (23) і представ-

рЄД, х ) = ' ( V) + є =р ]_Д,х) + є2—р 2Д, х ) . лення (24) маємоі і

(21)Л е м а з. Розв’язок проблеми сингуляр- д р 2д , х ) + д 1д 0 ( х ) п 0д 1( х ) д 0<рД)+

ного збурення для оператора (15) на тест-функціях (21) з р(V) Є С 3(Я) має вигляд +Q 2(x ) ' ( v ) = Ь '(V) ,

—Ц ' є(у , х) = ^ 1 р(Д + в і ( х)р(Д , (22)

Ш ф ) = п 1 (х )п ч>(у ) , (25)де оператор Ь має представлення (1и), а залишковий член в і (х ) р Д) такий, що а\\вь ^ 0 ,є ^ 0

Доведення. Спочатку розглянемо розв’язок проблеми сингулярного збурення Д Л Я Р ( х ) ' ( и ) = Ф Ф о К о ^ Ш о Ф Н

зрізаного до (15) оператора, а саме+Q 2(x)p(v). (26)

L£t0p(v ,x ) = є Q p (v ,x )+Обчислення правої частини (25), врахо-

+Є- 1 Q (x)Q p(v x )+ вуючи (26) і (24), дає праву частину представлення (22).

1+ t Q2(x)P( v , x ) - данок в представленні (15) генератора L£t неtОскільки на функціях (21 ) має пред- ^ ^

х ' го збурення для оператора (2 2 ), тобто праваСТЛ В Л 6Н Н Я ° 1 і \ / 1 1

частина розв’язоку проблеми сингулярного збурення для оператора L \ має вигляд пра-

Yt (v x ) _є—2Qp(v) —+ є—і 1 [ Qp (v x )+ вої частини (23) (див. [7], висновок 5.1, с.\ f t 141).

. / м , 5. Д о в е д е н н я Т еорем и опирається на+Q l (x)Q0p(v ) \ + п , о .результати Лем 1-3 і реалізується за схемою,

що приведена при доведенні Теореми 6 .6 , [7].1

+ 1 [Qlp2(v,x) + Q i (x ) Q°p i (v , x ) + Q2(x)p(v ) \+ ність ПС А в R d , d > 1, можна отримати аналогічним чином з додатковими технічними

1

+9£l 0 (x)p(v) = - Lp(v) + 9£l 0 (x)p(v), (23) Автор висловлює подяку академіку НАНt

то з умови (слідуючи [7], твердження 5.2) деного матеріалу.


1. Чабанюк Я.М. Асимптотична нормальність для неперервної процедури стохасти- чної апроксимації в марковському середовищі / / Доп. НАН України. - 2004. - сер. А, № 5 . _ с . 37-45.

2. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. - М.:Наука, 1972. - 304с.

3 Ljung L., Pflug G., Walk H. Stochastic Approximation and Optimization of Random Systems. - Basel, Boston, Berlin: Birkhauser Verlag, 1992. -113P.

4. Чабанюк Я.М. Дискретна стохастична процедура у марківському випадковому середовищі / / Вісник Львів, ун-ту.-2000. - Серія ,чех-,чат.. 56. - С. 179-184.

5. Боровков А.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1986.- 431с.

6 . Hersh R. The birth of random evolution. / / M athematical Intelligencer. 2003. 25. P.53-60.

7. Koroliuk V., Limnios N. Stochastic Systems in Merging Phase Space. - World Scientific Publishing, 2005. - 330P.


УДК 517.9

© 2 0 0 7 р. С.М. Чуйко, О.С. Чуйко

Слов’янський державний педагогічний університет, Слов’янськ

ІМПУЛЬСНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ ДЛЯ СИСТЕМ ІЗ ПЕРЕМИКАННЯМИЗнайдено конструктивні умови існування розв’язків та побудовано узагальнений опера

тор Гріна загальної нетерової крайової задачі для лінійних систем диференціальних рівнянь із перемиканнями та імпульсним впливом типу "interface c o n d i t i o n s MB критичному випадку.

We obtain constructive conditions for the existence of solutions and construct the generalized Green operator for a general Noetherian problem for linear systems of differential equations with switching and impulse influence of the "interface conditions "type in a critical case.

1. Вступ. Систематичне вивчення імпульсно збурених крайових задач започатковано в 30-ті роки XX сторіччя М.М. Кри- ловим та М.М. БоголюбовихМ з моделювання руху анкерного механізму годинника, в якому затухання коливань, спричинене тертям, компенсується періодичними поштовхами анкера. Дослідження М.М. Крилова та М.М. Боголюбова були продовжені в роботах Р. Конті, С. Швабіка, А.М. Самойленка, а також О.А. Бойчука, котрими були знайдені необхідні і достатні умови існування розв’язків імпульсно збурених систем звичайних диференціальних рівнянь в різноманітних критичних та некритичних випадках, а також конструкції оператора Гріна задачі Коші й оператора Гріна періодичної крайової задачі з імпульсним впливом.

Покажемо, що за певних умов можлива побудова узагальненого оператора Гріна задачі Коші й оператора Гріна більш загальної нетерової крайової задачі з перемиканнями та імпульсним впливом типу "interface conditions". Таким чином, розглянемо задачу про знаходження розв’язків

z(t) = сої ^z(1)(i), ... ,

z w (-) Є С 1 j [а,Ь ] \ { г і } г | ,

z^( - ) є С[а,Ь], j = 1, 2, . . . , п

лінійного однорідного рівняння з перемика

ннями

dz/dt = Ai(t)z, t Є [тг;ті+1], (1)

які задовольняють крайову умову

С *(■) = 0 , г = 1, 2 . . . . .Р, (2)

тут А-г(-)— лінійні обмежені векторні функціонали вигляду

м - ) = і ; <“ *(•).j = 0

де

С [ц, тг+1 [ -> R k, г = 1, . . . , р — 1, ... ,

. . . z(-) :

С[тр, b] -> Rk-r

лінійні обмежені функціонали. Тут Л ( ї ) - (п х « )— вимірні матриці, неперервні на відрізках

[а;ті], [тцтг], , [тр^ т р}, [тр,Ь].

Задача (1), (2) являє собою узагальнення задач із невиродженим імпульсним впливом, докладно вивчених у працях А.М. Самойленка, М.О. Перестюка та O.A. Бойчука [2], імпульсних двоточкових задач, досліджен- них Р. Конті та С. Швабіком [3,4], а також імпульсних крайових задач [5-8] на випадок систем із перемиканнями. З іншого боку поставлена задача про знаходження розв’язку


системи (1) з перемиканнями являє собою частинний випадок задач для гібрідних систем [9,10].

2. Лінійні крайові задачі з імпульсним впливом типу "interface conditions "для систем з перемиканнями. Нехай W0(t) — нормальна (W0(a) = Іп) фундаментальна матриця системи (1) на відрізку [а; Ті], a ИДі) — фундаментальні матриці (і — 1,2, ... , р) системи (1) на відрізках [ті;т2], ... , [тр]Ь] Нормальна(Хо(а) = Іп) фундаментальна матриця Xo(t) системи (1) зображувана у вигляді

нормальна (Х0(а) = Іп) фундаментальна матриця Х0(£) системи (1) співпадає з традиційною неперервно-диференційовною матрицею [1].

Лема 2. Задача Коші г(а) = с, с Є Яп для системи (1), (2) з перемиканнями розв’язна тоді й тільки тоді, коли

PQl£ ^ X Q(.) = 0 ,

X 0(t)

[WQ(i) , te[a-,TX} ,W0(a) = In,t <E [т1;т2],Ло(т1) = Wx(tx),

Wp(t),t Є [rp;6], Wp(tp) = Wp^ x{tx)

Лема 1. Загальний розв’язок системи (1) звичайних диференціальних рівнянь з перемиканнями зображуваний у вигляді г(£,с) = Х 0(і)с, с Є Яп\ тут Х а(і) — нормальна (.Хо(а) = Іп) фундаментальна матриця системи (1).

Доведення. Дійсно, розв’язок системи (1) на відрізку [а;тг] неперервно- диференційовний, тому зображуваний у вигляді г(£,с) = Л'о(£)е, с Є Яп. За умовою в точці тх розв’язок системи (1) зберігає неперервність, тому на відрізку [ті;т2] розв’язок системи (1) визначає задача Коші г(гх) = \У0(тх)с, тому Иг0(тх) = У/х(тх). Нормальна (Но(а) = Д ) фундаментальна матриця И/0(£) системи (1) неперервно- диференційовна і невироджена на відрізку [а;ті], тому деі\У0(тх) ф 0 , отже задача Коші -г(ті) = ПДтДе для системи (1) на відрізку [ті;т2] однозначно розв’язна. Отже, розв’язок системи (1) на відрізку [ті;т2] зображуваний у вигляді 2 (і, с) = \¥х (£)с, с Є Яп. Побудова розв’язку системи (1) на відрізку [т2; 6] аналогічна.

У випадку задачі про знаходження розв’язку системи (1) з неперервно- диференційовною матрицею побудована

р - і

= 0, ... , 0.

3=0У випадку к > п, та за умови повноти рангу сталих (к х те) — вимірних матриць

<?і = - « і ’в д . % = - 4 2)в д ,

= - 4 " > х мзадача (1), (2) має розв’язок г(£, с) = У(£) с, с Є Яп. зображуваний нормальною (Х(а) = Іп) фундаментальною матрицею

X(t ) =

' X 0(t), t Є [a; Т і[,

X 0(t)Yx, і є [тХ]т2[, X Q(t)Y2,. t Є [т2, т3[,

, Xo{t)Yp, t Є [тр; Ь].

Тут У0 = Іп, Yx = Q i i ^ X o i - ) ,

у2 = с г ^ 4 0)а д + 4 1)а д > і 1 . •••

р-1

І = 1

Доведення. Для знаходження невідомої сталої (п х п)— вимірної матриці У., скористаємось крайовою умовою (2)

Q xYx = £?)X û{-), (3)

де <2і = — Х 0{-)— стала (к х те)— вимірна матриця. Рівняння (3) розв’язне тоді й тільки тоді, коли

= 0 . (4)


За умови (4), у випадку к > п, якщо матриця <21 повного рангу, то рівняння (3) має єдиний розв’язок

Уі =Тут - стала (п х к ) — вимірна псевдообер- нена за Муром-Пенроузом до (21 матриця[1], Р<зі~ ортопроектор Нк —> N((21). Тоді

Х ( і ) = Х о ( і № і ? )Х 0(-)} і Є [ти т2[.

Для знаходження сталої ( п х п ) — матриці У2,використовуємо умову (2); позначаючи (к х

(0\п)— матрицю <2г = —4 Хо(0> одержуємо рівняння для знаходження У2 ■

д 2у2 = 4 0)А0(о + 4 1)^о(-)У ,

розв’язне тоді й тільки тоді, коли

|4 0)а д + 4 1)вд*і} = о (5)і однозначно розв’язне за умови повноти рангу матриці С}2:

у2 = д2+{40) о(-) + 41) о(-Жі}-Таким чином, при ї Є [т2;тз[

х (і ) = х 0( о д 2+ | 4 0)^о(-) + 4 1)^ о (- )у } .

На проміжку [тр]Ь\ шукану матрицю А"(і) визначає (к х п )— матриця Ур, для знаходження якої одержуємо рівняння (Уо := /„)

р - і

2=о

розв’язне тоді й тільки тоді, колир-1

Р ч ; У У М Щ = 0. (6)3=0

За умови (6) у випадку повноти рангу (к х п)— матриці <2Р = —4^АГ0(’) на проміжку [тр,Ь] шукана матриця АГ(і) має вигляд

р-іх (( ) = х „ ( ( ) а ; ] Г 4 й х > ( щ

і=і136

Таким чином, лему 2 доведено. У випадку невиродженого імпульсного впливу нормальна фундаментальна матриця X (і) співпадає з матрицею [1,2]. Крім того нормальна фундаментальна матриця X(І) задачі (1),(2) узагальнює матрицю [6] на випадок систем з перемиканнями.

3. Узагальнена неоднорідна задача Коші для систем з перемиканнями.Узагальненням, як задач з невиродженим, так і з виродженим імпульсним впливом є задача про знаходження розв’язків системи звичайних диференціальних рівнянь з перемиканнями

dz/dt — Ai(t)z + fi(t), t Є [т,;ті+1], (7)

які задовольняють крайовим умовам типу "interface conditions"

£г z(-) = Oj, і = 1, 2 , . . . ,р, (8)

де йі сталі вектори, f i ( t )— п —вимірні вектор-функції, неперервні на відрізках [а; ті], [гі;т2], [тр;6]. Позначимо

71 = g f { 4 0) АГо(-)с + д Т ( - ) - а 1| ,

7і = Q t I W 0 - ai

72 = Q t i ^ X o i - b i + W O - W -

p- 1 • sx ^ ) % + w - ) - 4 •

j=і J

Тут Pqt : R k —> N( Q*) — (k x k)— вимірні матриці-ортопроектори, і — 1, 2, . . . , p.

Лема 3. Нехай умови леми (3) та рівності

PQÎ | W 0 - a i } = 0 ,

PQâ{41) o ( 0 7 i + W O - a 2} = 0 , ...

.■p q; { E Ф x oW i + W ) - ap \ = 0і j=і і

Науковий вісник Чернівецького університету. 2007. Випуск 349. Математика.

виконані. Неоднорідна задача Коші г(а) = с звідки 71 = Ухс + 7 1 , де для системи (7), (8) при цьому має єдиний

' Н = Я ї \ т - ) - а і \ -розв язок

г(і, с) = Х(Ґ)с + К

тут

/г(Д;Щ (*);

г

т = х 0(і) І Хо'мшдз,

к / і (5)) а.

\ т-ХоООТі + Т ( і ) , £ Є [ті,Т2[:

(і)

Таким чином, розв’язок задачі Коші г(а) = с для системи (7), (8) на [ті;т2[ має вигляд г(£,с) = Х{г)с + К"[/і(8);оі](<), де

К[фі(з)-,а і](£) = Х0(і)7 ! + Т(£).

Розв’язок задачі Коші г(а) — с для системи £ Є [а, тї[,(7)> (8) на Іт2’ Тз1 шукаємо у вигляді г{і, 72) =

Хо(і)ч2 +Т( і ) , 72 Є Нп. Для знаходження

Х 0( і ) 7 2 + і ( і ) , £ є [т 2 , т з [,кевідомої 72 одержуємо рівняння

я 2Ъ = 4 °) х о( - ) с + 4 1)^о(0>Ліс+

+ 4 1 о ( -)7і + ДД(') — °2,„ У 0(£)7р + Т(£), £ Є [тр, Ь]

узагальнений оператор Гріна задачі Коші для системи (7), (8).

Д оведення. Внаслідок неперервності на[а, т\ [ розв’язок задачі Коші г(а) = с для си- 0 , о н-і \ і п ґт\Є7\ /о \ * - г, \ РЯ‘Л 2 ^ о ( - )7 і + В Д - - а 2 > == 0. (10)стеми (7), (8) зображуваний сумою Д£,с) ~ п 1

для розв’язності якого, з урахуванням (5), необхідно і достатньо, щоб

За умови (10), враховуючи, що згідно лемі 2 к > п та матриця повного рангу), знаходимо 72 = У2с + у2, де

72 = д ^ | 4 1,^о(-)7і + З Д - ) а2

Х0(£)с +Х(£), де

І(£) = *о(<) Ґ Х ї \ з ) Ш < і з .J а

Розв’язок задачі Коші 2 (0) = с для системи(7), (8) на [ті\т2[ шукаємо у вигляді

г(£, с) — Хо(£)7 і + Х(£), 7 і Є Я . Таким чином, розв’язок задачі Коші г(а) =Для знаходження невідомої 71 одержуємо с для системи (7), (8) на [т2;т3[ має вирівняння гляд Д£,с) = Х(£)с + іД/Дя); о2](£), де

__ до) „ , х , ^ х ^ [ / (5 ) ;а 2](£) = Х0(£)72 +Х(£). Розв’язок за-<*і7і — щ Л-о(')с + п-Ц-) Сі , дачі Коші До) = с для системи (7), (8) на

для розв’язності якого необхідно і доста- проміжках [тг, ті+х [, де г — 3,4, . . . , р — 1 , атньо щоб також на відрізку [тр; Ь] шукаємо у вигляді

рЯІ { 4°} В Д с + ЯЦ-) — ах } = 0. *(*. Ті) = *о(*)7і + Ті Є Я"-

З урахуванням (4), остання умова спрощує- Для знаходження невідомої ур одержуємоться рівняння

Р(, ї { е д О - а 1 } = 0 . (9)За умови (9), враховуючи, що згідно лемі 2 к > п та матриця Я х— повного рангу), знаходимо

ЯрТр 4 » Хо(-)^- }с+ 3=0 ’

р - 1

7 і = < # | ^ Хф-)с+ £,!{■)- а ху

Науковий вісник Чернівецького університету. 2007. Випуск 349. Математика.

х ° (•)%•+5=1

137

а

для розв’язності якого, з урахуванням (6), де необхідно і достатньо, щоб

■ Ч І Е 4 > ” в д т , + « - ) - “Л = о. ( п ) 1=1 '

G (t) = X( t )Q +{ a - Œ (•)

+ K (t)За умови (11), враховуючи, що згідно лемі 2 к, > п та матриця С>р — повного рангу), узагальнений оператор Гргна задачі (7)- знаходимо 7 Р = Урс + де

% = Q t і Е е? М - ) Ъ + W - ) - %D — 1

(Ш).

Тут (ф = £Х(-)— стала (т х п)— вимірна матриця, Рд* - (д х п ) - вимірна матриця, складена з д — т — щ —

„ , . т/ • / \ лінійно-незалежних рядків (т х т) — ви-ііри цьому розв язок задачі Кони г{а) = с . .. „ Т™4 ' мірної матриц-ортопроектора Рф* : п —>

3 = 1

для системи (7), (8) на проміжку [тр; 6] має вигляд .s(f, с) = X (t)c + A"[/,:(s); gp](t), де N(Q*)

Схема доведення теореми цілком аналогічна доведенню відповідних теорем [11,12]. У випадку періодичних задач з невиродженим

У випадку невироджеиого імпульсно- імпУльсним впливом оператор G[fi(s), а](іі) го впливу оператор K[fi(s); а*](£) співпа- співпаДає 3 оператором [2]. Крім того, опе-дає з оператором [2]. Крім того оператор K[fi(s)-,a.i](t) задачі Коші для системи (7), (8) узагальнює оператор [5] на випадок систем з перемиканнями.

Розглянемо далі задачу про знаходження розв’язків системи звичайних диференціальних рівнянь з перемиканнями (7), які задовольняють крайовим умовам типу "interface conditions"(8) та крайовій умові

ратор С [/і (в); а] (і) узагальнює оператор [6] на випадок систем із перемиканнями.

П ри клад . Умови теореми виконуються для крайової задачі

dz/dt = 1, t Є [0; 3], t ф Ті, і ф т2;

£z(-) = а, а Є R n (12)

і і

h z {-) = J z(t)dt — J z(t)dt — 0, Ті

Тут £г(-)— лінійний обмежений векторний функціонал. Доведення наступного твердження цілком аналогічне доведенню теореми [6].

Теорема. Критична (Р<2* ф 0) крайова задача (7), (8), розв’язна тоді й тільки тоді, коли

1 2 з

£-2z {-) = J z(t)dt+J z(t)dt—2 J z(t)dtо 1 2

tz(-) = z(0+) - z ( 3 - 0 ) = 0.

1.

(13)

: 0 , t 2

PQ:{ a - Œ Л 0 0 ; a; (•) о

г мае r — параметричну сім ю розв язкгв

z(L, еф — X r{tdjcr T G fi (s); « ( t ) ,

Нормальна Х(0) = 1 фундаментальна матриця X (і) = Хф і) — 1 однорідної частини задачі (13) неперервна на відрізку [0; 3], і визначає оператор Гріна задачі Коші

ї + 1, і Є [0 Д [,[/і(5)і аг\{і) — { ї + 3, і Є [1; 2[,

і - 2, і є [2;3].


Оскільки в даному прикладі Q = Q+ — 0, то оператор G[f(s)] a](t) співпадає з оператором Гріна задачі Коші K [/,(s); а загальний однопараметричний розв’язок задачі (13) має зображення z(t,c\) = X(t)c\ + K[fi(s) \ аг](і), Cj Є R}.

Н аслідок. Некритична Pq* = 0 крайова задача (3)-(5) розв’язна для довільних неоднородностей fi(s), аг і має г = п — г?] — параметричну сім’ю розв’язків z(t,c) — X{t)c + G[fi(s)] üi](t).

Наприкінці статті, вважаємо приємним обов’язком висловити вдячність доктору фіз.-мат. наук, професору Київського національного університету ім. Тараса Шевченка Д.Я. Хусаїнову, який привернув нашу увагу до систем звичайних диференціальних рівнянь з перемиканнями, а також - доктору фіз.-мат. наук, професору, провідному науковому співробітнику Інституту математики НАН України O.A. Бойчуку та кандидату фіз.-мат. наук, доценту, завідувачу кафедри прикладної математики Чернівецького національного університету імені Юрія Федь- ковича Я.И. Бігуну за обговорення статті.


1. Boichuk A.A., Samoilenko A.M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems — Utrecht; Boston: VSP, 2004.-XIV+317 pp.

2. Бойчук A.A., ГІерестюк H.A., Ca- мойленко A.M. Периодические решения импульсных дифференциальных систем в критических случаях / / Дифференц. уравнения,- 1991.- 27, № 9.- С. 1516 - 1521.

3. Schwabik S. Differential Equations with Interface Conditions// Casopis Pro pestovani matematiky.- 1980.- roc. 105. - P. 391 - 410.

4. Conti R. On ordinary differential equation with interface conditions / / Journ. of Diff. Eq.- 1968.- № 1. 4 .- P. 4 - 11.

5. Чуйко С.М., Чуйко Е.В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием / / Доклады НАН Украины,- 1999.- № 6,- С. 43 - 47.

6. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием / / Дифференц. уравнения - 2001 - 37. № 8 - С. 1132 - 1135.

7. Чуйко С.М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием / / Доклады Академии Наук. Июль 2001- 379.- № 2.- С. 170 - 172.

8. Чуйко О. С. Слабконелінійні крайові задачі з імпульсним впливом загального вигляду / / Вісник Київського національного університету ім. Тараса Ш евченка- 2004,- № 5,- С. 51 - 52.

9. Myshkis A.D. On the relation between systems with switching and hybrid systems / / Funct. Differ. Equ.- 2004 - № 1 1 - P. 467 - 473.

10. Lakshmikantham V., Vasundhara Devi J. Hybrid systems with time scales and impulses / / Nonlinear Anal. - 2006. - 65 № 11, P. 2147 - 2152.

11. Бойчук A.A. , Чуйко E.В., Чуйко C.М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным импульсным воздействием / / Укр. мат. журн. - 1996 - 48, Xs 5. - С. 588 - 594.

12. Бойчук A.A ., Чуйко С.М. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями / / Нелінійні коливання. 2007. 10. Xs 1, C. 51 - 65.


КонкурсНаукового товариства ім. Шевченка в Америці

та фундації "Україна-США" для молодих математиків в Україні

при сприянні першого посла США в Україні дост. Романа Попадюка і Українського таКиївського математичних товариств

Наукове товариство ім. Шевченка в Америці та фундація "Україна-США" оголошують конкурс на здобуття премії для молодих математиків України. Щорічно переможцю конкурсу присуджується премія у розмірі 5000 дол. США. Мета конкурсу —

допомога молодим математикам, що займаються науковою роботою у себе на Батьківщині та стимулювання інтересу молоді до фундаментальних та прикладних наукових досліджень. У конкурсі можуть брати участь громадяни України віком до 35 років на момент терміну подачі заявки. Конкурсант повинен мати науковий ступінь кандидата або доктора фізико- математичних наук.

Учасники конкурсу подають• Коротку анотацію роботи (обсягом до 3 сторінок українською мовою), що подається

на конкурс

• Автобіографію (СУ), що включає список усіх наукових публікацій• Перелік основних робіт (не більше трьох), результати яких висуваються на конкурс

та файли цих робіт

• Перелік основних конференцій, на яких результати доповідалися, характер цих доповідей (пленарний, секційний чи ін.)

• Список можливих рецензентів (до трьох)

Заявку та відповідні матеріали конкурсант надсилає на електронну адресу Ученого

секретаря комітету конкурсу: [email protected] . При подачі заявки бажано надавати

документи у форматі Adobe РИБ чи РБ.

Комітет конкурсу відправляє проект на рецензію рецензентам із списку, запропонованого кандидатом, та додатковим рецензентам за власним бажанням. На основі

отриманих відзивів комітет відбирає три найкращі заявки, за якими проводиться голосування і ухвалюється рішення більшістю голосів.

Термін подачі заявок на 2008 рік — до 15 лютого 2008 року. Результати конкурсу планується оголосити в кінці травня 2008 року.

http://www.mathsociety.kiev.ua/SSSA-award.html

mailto:[email protected]

http://www.mathsociety.kiev.ua/SSSA-award.html

Date post:	31-Aug-2019
Category:	Documents
Upload:	others
View:	7 times
Download:	0 times

Випуск 349 Математика -...

Documents