Facultad de Ingeniería-UNAM - Minimización del makespan ......En todo sistema de producción las...

Ingeniería Investigación y Tecnología, volumen XIV (número1), enero-marzo 2013: 43-51 ISSN en trámite, FI-UNAM

(artículo arbitrado)

Minimización del makespan en máquinas paralelas idénticas con tiempos de preparación dependientes de

la secuencia utilizando un algoritmo genético

Makespan Minimization for The Identical Machine Parallel Shop with Sequence Dependent Setup Times Using a Genetic Algorithm

Información del artículo: recibido: mayo de 2010, aceptado: abril de 2012

Descriptores:

• máquinas paralelas idénticas• algoritmos genéticos• heurísticas

Salazar-Hornig E.Facultad de Ingeniería

Universidad de Concepción, Concepción, ChileCorreo: [email protected]

Medina-S.J.C.Facultad de Administración y Negocios

Universidad de las Américas, Santiago, ChileCorreo: [email protected]

Resumen

Sepresentaunalgoritmogenéticoparalaprogramacióndetrabajosenunsistemademáquinasparalelasidénticas,contiemposdepreparacióndepen-dientesdelasecuencia,conelobjetivodeminimizarelmakespan(Cmax).Elalgoritmogenéticosecomparaconotrosmétodosheurísticossobreuncon-juntodeproblemasdepruebageneradosaleatoriamente.Posteriormenteseintroduceunprocedimientodemejoraenelprocesoevolutivodelalgoritmogenéticoquemejorasignificativamentesudesempeño.

Abstract

A genetic algorithm for the parallel shop with identical machines scheduling prob-lem with sequence dependent setup times and makespan (Cmax) minimization is pre-sented. The genetic algorithm is compared with other heuristic methods using a randomly generated test problem set. A local improvement procedure in the evolu-tionary process of the genetic algorithm is introduced, which significantly improves its performance.

Keywords:

• identical parallel machines• genetic algorithms• heuristics

Minimización del makespan en máquinas paralelas idénticas con tiempos de preparación dependientes de la secuencia utilizando un algoritmo genético

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Introducción

Entodosistemadeproducciónlasnecesidadesdelosclientesse traducenenórdenesdeproducciónqueseliberany“transforman”entrabajosconfechadeentre-gaasociada.Laprogramacióndeproducciónqueasig-naestostrabajosarecursosproductivoslimitados,deberealizarsedemaneradetalladayeficienteparapermitirunmejorcontroldelasoperacionesdentrodelsistemaproductivoyconstituirunaventajacompetitivadifícildeimitar.Losdiferentesproductos requierenensu fabrica-

cióndistintasoperaciones,lascualesserealizanenunorden y configuración productiva determinada, quedependedeltipodeproducto,elvolumendeproduc-ción,lavariedaddeproductosqueseproducenenelsistema,etcétera.Eltaller de máquinas paralelasconsisteenunsistema

demmáquinas dispuestas en paralelo (multicapaci-dad),queprocesantrabajosquerequierenunaopera-ción,lacualpuederealizarseencualesquieradelasmmáquinas.Pararesolverlaprogramacióndeuntaller de máqui-

nas paralelasexistendiferentesmétodosexactosyheu-rísticos, constructivos o de mejora. La heurística LPT(Baker, 1974; Baker y Trietsch, 2009; Blazewicz et al.,1996;Pinedo,2008)esunadelasheurísticasclásicasdebuendesempeñoqueresuelveelproblemasintiemposdepreparacióndependientesdelasecuenciayminimi-zacióndemakespan.Esta heurística puede adaptarse para resolver el

casodetiemposdepreparacióndependientesdelase-cuencia(verestudioexperimental).Sehantratadodiferentesproblemasdemáquinas pa-

ralelas idénticasconsetupaplicandodiferentesmetaheu-rísticas y métodos de búsqueda local. Mendes et al.(2002)planteanunalgoritmoquecombinatabu searchyalgoritmos meméticosparaminimizarCmax.Radhakrish-nanyVentura(2000)tratanelproblemademinimizarlasumatotaldelaprontitudytardanzaatravésdeunalgoritmosimulated annealingqueincorporaunaheurís-tica de búsqueda localparaconstruir lasolución inicial.LinyLiao(2004)tratanelproblemademinimizarCmaxsujetoaltiempomínimototaldeflujobasadoenunmé-tododeprogramaciónmatemática.Anglani et al. (2005) planteanunmodelo fuzzy de

programaciónmatemáticaqueconsideralaimprecisiónen los tiemposdeproceso,balanceando los costosdesetupconlasatisfaccióndelademanda.Behnamianet al.(2009)proponenunalgoritmohíbridoparaminimi-zarCmaxutilizandoant colony optimization, simulated an-nealing y variable neighborhood search.

El taller de máquinas paralelas

Enestetrabajosetrataelproblemadel taller de máquinas paralelas idénticas con tiempos de preparación dependientes de la secuencia,queconsisteenresolverlaprogramacióndetrabajosenunsistemadecapacidadmúltipleconm máquinasquerealizanoperacionesiguales,dispuestasenparaleloyntrabajosaprocesarenuna,ysólouna,de las máquinas. El concepto de máquinas idénticassignificaquecadatrabajopuedeserprocesadoencadaunade lasmáquinas con igual tiempodeproceso.Eltiempodepreparaciónenelqueseincurrealprocesaruntrabajoenunamáquinadependedeltrabajoprevia-menteprocesadoenlamisma.Estetipodeconfigura-ción está presente en diferentes ambientes demanu-facturacomoenlaindustriatextil,industriadelama-dera,etcétera.Eltiempodeprocesodecadatrabajoestáfijoyexis-

tentiemposdepreparacióndemáquinasquedependendel orden en el que se procesan los trabajos en cadauna.Elobjetivoconsideradoenestetrabajoesminimi-zarelmakespan(Cmax),queconsisteenminimizarelin-tervalodetiempoentreeliniciodelprocesamientodelprimertrabajo(tiempodereferencia0)yeltiempodeterminación del procesamiento del último trabajo, esdecir,elintervalodetiempoenelqueseprocesacom-pletamentelatotalidaddelostrabajos(órdenesdepro-ducción).Seconsideranlossiguientessupuestos:

1. Cadatrabajodebeserprocesadoenuna,ysólouna,máquinak,k=1,2,...,m.

2. Eltiempodeprocesodeltrabajoi,independientedelamáquina,estádadoporpi(i =1,...,n).

3. Lostiemposdepreparación(setup)paraprocesareltrabajojdespuésdeltrabajoi,independientedelamáquina,estádadoporsij(i =1,...,n;j=1,…,n),don-desiirepresentalapreparacióninicialcuandoeltra-bajoieselprimertrabajoprocesadoenunamáquina.

4. Cadamáquinapuedeprocesarsólountrabajoalavez.

5. Elprocesodeuntrabajoenunamáquina nosepue-deinterrumpir(nonpreemption).

6. Todoslostrabajossonindependientesentresíyseencuentrandisponiblesenelinstanteinicial.

7. Lasmáquinasoperan sin fallas en elhorizontedeprogramación.

8. ElobjetivoesminimizarCmax.

BajolanotaciónintroducidaporGrahamet al.(1979)elproblemademáquinasparalelascaracterizadoporlossupuestosmencionadossedenotaporPm/sij/Cmax,yes un conocido problema NP-Hard (Blazewicz et al.,

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1996;Pinedo,2008),loquehaceimpracticablelaobten-cióndelasoluciónóptimaparaproblemasdemedianoagrantamaño.EnestetrabajoseresuelveelproblemaPm/sij/Cmax

medianteunalgoritmo genético,comparándoloconotrasheurísticas.Larelevanciadelosproblemasdeprogra-macióncontiemposy/ocostosdepreparacióndepen-dientes de la secuencia, queda de manifiesto en unaampliagamadeconfiguracionesproductivas(Allahver-diet al.,2008).Unesquemasimplepararesolverlaprogramación

paraesteproblemaesdefinirunordenamientodelostrabajosdeacuerdoauncriteriodeterminado,yluegocontinuarde acuerdoalprocedimientode asignacióndetrabajospresentadoenlafigura1.

Figura 1. Pseudocódigo de procedimiento de asignación de trabajos a máquinas

Amododeilustración,consideremosunproblemade2máquinasparalelasidénticasy6trabajosaprogramar,cuyosparámetrossepresentanenlastablas1y2.

Tabla 1. Tiempos de proceso de los trabajos (pi)

Tabla 2. Matriz de tiempos de setup (sij)

UtilizaremoslareglaLPT(largest processing time)paragenerar la ListaTrabajos inicial del procedimiento deAsignación de Trabajosdelafigura1.Lalistaobtenidaordenalostrabajosdemayoramenortiempodepro-

ceso,resultando:4–2–5–1–6–3,paraluegoasig-narlosalasmáquinasdeacuerdoalprocedimientodelafigura1.EsteprocedimientodeasignacióngeneralaprogramaciónquesemuestraenlacartaGanttdelafigura2.Paraeltrabajo4,tantoenlamáquina1(M1)como

enlamáquina2(M2)eltiempodeterminaciónes0(dis-ponibilidaddemáquina)+4(setupinicial)+15(tiempodeproceso)=19;seasignaaM1utilizandoelcriteriodedesempate al asignar a lamáquina demenor índice.Luego el trabajo 2 se asigna a M2 terminando en eltiempo0+6+12=18 (enM1habríafinalizadoeneltiempo19+8+12=39).Acontinuación,eltrabajo5seasignaaM2contiempodeterminación18+2+10=30(enM1habríafinalizadoeneltiempo19+6+10=35)yasí hasta obtenerunaprogramación conCmax = 48 (eltrabajo3,últimotrabajoqueseprocesa,terminaeneltiempo48).

Algoritmo genético

Los algoritmos genéticos fueron introducidos por Ho-lland (1975), utilizan un lenguaje de genética naturalmodelando,enformaartificial,mecanismosdelaevo-luciónnatural aplicados a la optimizacióndeproble-mas.Asocian el conceptode individuo auna soluciónfactibledelproblemayeldepoblaciónaunconjuntodeindividuos (soluciones factibles). Los individuos estánformadosporgenes(elementosordenadosenunasuce-siónlineal),queseevalúanatravésdeunafuncióndeaptituddenominadafitness,quecorrespondeauname-didadelacalidaddelindividuocomosolucióndelpro-blema (Goldberg, 1989; Davis, 1991 y Michalewicz,1999).Otrosenfoquesevolutivosactualeseinspiradosenprocesosdelanaturaleza,extendidostambiénamás

procedure Asignación de Tabajos Definir ListaTrabajos ordenada por un criterio. while (ListaTrabajos no vacía) do Asignar primer trabajo de la lista a la máquina donde finaliza antes. Eliminar primer trabajo de ListaTrabajos. endwhileendprocedure

Trabajo 1 2 3 4 5 61 3 8 6 7 2 42 9 6 5 4 2 73 6 7 4 8 4 94 7 8 7 4 6 65 8 4 3 9 2 36 6 5 4 9 3 2

Trabajo 1 2 3 4 5 6

pi 9 12 7 15 10 8

Figura 2. Carta Gantt–Procedimiento de asignación

procedure Algoritmo Genéticot 0

inicializar Pt

evaluar Pt

while (t < Ng) dot t+1seleccionar padres de Pt-1

formar población Pt

evaluar Pt

endwhileendprocedure

Figura 3. Pseudocódigo de un algoritmo genético (Michalewicz, 1999)



deunobjetivopuedenrevisarseenCoelloet al.(2010).Lafigura3muestraunaestructurageneraldeunalgo-ritmogenético.Lapoblacióninicialdesoluciones(P0)sedetermina

demaneraaleatoriayelprocesodeselecciónduranteelprocesoevolutivoserealizadeacuerdoconunadistri-bucióndeprobabilidades,quedeterminaqueunindi-viduo tiene una probabilidad de ser seleccionadoproporcionalasufitness(Michalewicz,1999).Estosig-nificaqueenelprocesodeselecciónlosindividuosdemejorfitnesstienenmayorprobabilidaddeserseleccio-nados.Laformacióndelapoblacióndelageneraciónt(Pt),

apartirdelapoblacióndelageneraciónt–1(Pt-1),serealizadeacuerdoconunprocesodecruzamientodedos individuos, sujeto a una probabilidad de cruza-miento (pc), generando descendencia (hijos). Sobre ladescendenciaoperaunamutacióndeacuerdoconuna probabilidaddemutación(Pm).Laevaluacióndelapo-blaciónPtevalúaacadaindividuodeterminandosufit-ness. El proceso evolutivo utiliza un operador decruzamientoyunoperadordemutación,y se realizahastaqueseevalúanNggeneraciones.El algoritmo genético definidoutiliza individuos con

estructuradecromosomadenelementos,querepresentaunalistaordenadadelostrabajosaprogramar.Elindi-viduoesevaluadoobteniendoelmakespan delaasigna-ciónde trabajos a lasmáquinasde acuerdo al proce-dimientoindicadoenlafigura1.Seutilizóestaestruc-turadelcromosoma,dadoqueelalgoritmo genético secomparóconotrasheurísticasquegeneran laprogra-maciónbasadaenunasecuenciadetrabajos;elmismoargumentoanteriorexplicatambiénelporquétampo-coseadoptóincluirelitismoenelprocesodeevolución.Para el problema de programar un conjunto de 6

trabajos,comoenelejemplodelasección2,lasecuen-cia:4–2–5–1–6–3representaunindividuo,quedefineunalistaordenadadetrabajosasignadosalas2máquinasdelejemplo,siguiendoelprocedimientodelafigura1,loqueproducelaprogramaciónconCmax=48presentadaenlafigura2.Elvalordelmakespaniguala48queoriginalamencionadasecuenciacorrespondealvalordelindividuo.Comosetratadeunproblemademinimización, un individuo representa unamejorsoluciónmientras estevalor seamenor (individuodemejorfitness).SeutilizanlosoperadoresgenéticosPMXpropues-

tosporGoldbergyLingle (1985) (Michalewicz, 1999)como operador de cruzamiento y swap (o exchange)comooperadordemutación.Estosoperadoressonclá-sicos y frecuentemente se utilizan en la literatura enproblemasdesecuenciación.EloperadorPMXseleccio-

nademaneraaleatoriadosposicionescopiandolasub-secuenciacentraldedospadresendosdescendientes(hijos). Las posiciones restantes de los hijos se llenanconlostrabajosaúnnoasignadosenlamismaposicióndelpadrequenoaportólasubsecuenciacentralalhijo,estoes,sieltrabajonoseencuentraenlasubsecuenciacentralpermaneceenlamismaposición,encasocon-trario,sereemplazaporeltrabajoqueestáenlamismaposiciónde lasubsecuenciacentral traspasadaalotrohijo.Eloperadorswap intercambiadostrabajosdeunindividuoenformaaleatoria.

Figura 4. Operador de Cruzamiento PMX

Paraelejemplode lasección2, lafigura4muestraelcruzamientodedosindividuos(padres)deunapobla-ciónconmakespan58y45,respectivamente,aplicandoeloperadordecruzamientoPMXseleccionandoenfor-maaleatorialasubsecuenciaqueincluyelasposiciones3a5,procesoquegeneradoshijos,ambosconmakespande47.Paraelmismoejemplo,lafigura5muestralamuta-

cióndelhijo1intercambiandolasposiciones2y6,pro-cesoquegeneraelmutanteconmakespan46.

Figura 5. Operador de mutación swap

Posteriormente, se introduce un algoritmo demejoraqueoptimizalaasignacióndelostrabajosencadamá-quina.El algoritmodemejoraque se introduce en laevaluacióndecadaindividuobuscareducirlostiemposdeterminacióndecadamáquinadelsistema,paralo-grar unadisminucióndelmakespan. La reduccióndeltiempodeterminaciónencadamáquinasetrataresol-viendoproblemasindependientesdesecuenciamientode trabajos enunamáquina con tiemposdeprepara-cióndependientesdelasecuencia.Esteproblematieneestructurasimilaraunavariante

delproblemadelvendedorviajeroasimétricoATSP(as-ymmetric traveling salesman problem),enelqueunvende-dorquedebevisitarnciudadescondistanciasasimétricasentreellas(estoesdij≠dji),minimizandoeltotaldeladis-tanciarecorridasinretornaralaciudaddeorigen.Lostrabajosseasocianalasciudadesylostiempos

desetupsijseasocianalasdistanciasdij(notequedij≠dji

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Salazar-Horning E. y Medina-S.J.C.

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Padre 1 : 5 – 2 | 3 – 1 – 6 | 4 (58) Padre 2 : 4 – 6 | 1 – 5 – 2 | 3 (45)

x – x | 1 – 5 – 2 | 4 4 – x | 3 – 1 – 6 | x

Hijo 1 : 3 – 6 | 1 – 5 – 2 | 4 (47) Hijo 2 : 4 – 2 | 3 – 1 – 6 | 5 (47)

Individuo : 3 – 6 – 1 – 5 – 2 – 4 (47)

Mutante : 3 – 4 – 1 – 5 – 2 – 6 (46)

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dadoquesetienentiemposdepreparacióndependien-tes de la secuencia sij≠sji), así,minimizar la distanciatotalrecorridaporelvendedorseasociaconminimizarlasumatotaldesetups,queesequivalenteaminimizarCmax.Por lo anterior, se aplica para su resolución una

adaptacióndeunaheurísticagreedyclásicaaplicadaalproblemadelvendedorviajero,denominadaheurística del mejor vecino(nearest neighbor heuristic),queconstruyeunasecuenciadeciudadesavisitar,demaneraquees-tandoenunaciudad,elvendedorescogelaciudadmáscercanaaúnnovisitada.Elprocedimientoaplicadoenestetrabajoseindicaenlafigura6.Paraelejemplodelasección2,elindividuo4–2–5

– 1–6–3fueasignadomedianteelprocedimientodeasignacióndelafigura1,obteniéndoseunaprograma-ciónconCmax=48(figura2).AM1seasignalasecuenciadetrabajos4–1–3,mientrasqueaM2seasignalase-cuenciadetrabajos2–5–6,loqueproducetiemposdeterminaciónde48y41enM1yM2,respectivamente.Así,paracompletarlaevaluacióndelindividuo4–

2–5–1–6–3seresuelvendosproblemasdesecuen-ciamientodeunamáquina,uno(enM1)queconsiderasólolostrabajos1,3y4,yotro(enM2)queconsiderasólolostrabajos2,5y6.Resolviendoestosproblemasmediante la heurística del mejor vecino se obtienennuevosordenamientosdetrabajosenM1yM2,comoseilustraenlafigura7.Lasecuenciadetrabajos3–1–4enM1,finalizaen

M1contiempo44,mientrasquelasecuenciadetraba-jos6–5–2,finalizaenM2contiempo39,porloqueelmakespan resultante es 44, mejorando en este caso elmakespanobtenidoporelprocedimientodeasignación.

Estudio experimental

LosmétodosevaluadosfueronlosalgoritmosgenéticosAG (estándar con operador de cruzamiento PMX yoperadordemutación swap) yAG+MV (AG incorpo-rando laheurística del mejor vecino comoalgoritmodemejora)presentadosenlasección3,LPT*(extensióndelaHeurística LPT al problema demáquinas paralelasidénticasconsetup)ySMC(simulaciónMontecarlo).Losparámetrosdeprobabilidaddecruzamiento(pc)

ymutación(pm),yeltamañodepoblación(Np)delalgo-ritmo genético se calibraron mediante experimenta-ción.Enunestudiopreliminarseanalizaron5instanciasdelproblema(distintasalasconsideradaseneltrabajo)convalorespc=0.5,0.6y0.8;pm=0.10,0.20y0.50;Np=50,100y200procesando10réplicasde200generacio-nes por instancia. Se observó el makespan promediopara cada combinación de valores en cada instancia,obteniéndoseconmayorfrecuenciaelmenorpromedioparalosvalorespc=0.8,pm=0.5yNp=200.Finalmente,elnúmerodegeneracionesparalaexperimentaciónseestablecióen500paraposibilitarunabúsquedaexhaus-tivayseprocesaron10réplicasparacadainstanciaen-tregandocomoresultadodelmétodolasecuenciaconmenormakespan. Estosparámetros seutilizaron tantoparaelalgoritmogenéticobásicoAG,comoparalaver-sióndelalgoritmogenéticoconmejoraAG+MV.

Heurística LPT*

La heurística LPT, aplicada con buenos resultados alproblemademáquinasparalelassinsetup(Baker,1974;Baker yTrietsch, 2009), se extiende en este trabajo al

procedure Heurística del Mejor VecinoDefinir ListaTrabajoswhile (ListaTrabajos no vacía) do Asignar primer trabajo de ListaTrabajos como primer trabajo de Secuencia Definir ListaSecuencia (todos los trabajos salvo primer trabajo de la Secuencia).

while (ListaSecuencia no vacía) doAsignar trabajo de ListaSecuncia que genere menor setup a continuación.Eliminar trabajo asignado de ListaSecuencia.

endwhileEvaluar Secuencia.Eliminar primer trabajo de ListaTrabajos.

endwhileendprocedure

Figura 7. Carta Gantt–asignación con mejoramiento del mejor vecino

Figura 6. Pseudocódigo Procedimiento Heurística del Mejor Vecino (MV)



casodemáquinasparalelas idénticasconsetup,deno-minándolaheurística LPT*.LaheurísticaLPT*redefinelostiemposdeprocesodecadatrabajoi estimandosutiempodeocupacióndemáquina(pei)comolasumadesutiempodeprocesoyelpromediodelostiemposdesetupquepuedetenercadatrabajo,estoes:

En lugar de ordenar los trabajos de mayor a menortiempodeprocesopicomolohacelaheurísticaLPT,lostrabajosseordenandemayoramenortiempoestimadodeocupacióndemáquinapei,formandoasílaListaTra-bajosinicialparaelprocedimientodeAsignación de Tra-bajosdelafigura1.

Simulación Montecarlo

ElmétododesimulaciónMontecarlogeneraenforma(pseudo) aleatoria una muestra de tamaño N de se-cuenciasdentrabajos;cadaunadelasNsecuenciasdelamuestraseconstruyeseleccionandoconigualproba-bilidadelsiguientetrabajodeentrelostrabajosaúnnoseleccionadosmedianteunprocedimientodemuestreo(pseudo) aleatorio. Cada secuencia de la muestra seevalúamedianteelprocedimientodeasignacióndetra-bajosdelafigura1,entregandocomoresultadodelpro-cedimientodemuestreolasecuenciadelamuestraconmenormakespan.Enestetrabajoseconsideraron10ré-plicas(muestras)detamañoN=50.000secuencias,cadaunaden=50trabajos,entregandocomosoluciónlase-cuenciademenormakespanentrelas10secuenciasen-tregadaporcadaréplica.Laevaluacióndelosalgoritmosserealizóutilizan-

doinstanciasgeneradasenformaaleatoriadeacuerdoadistribucionesdetiemposdeprocesoydesetuputili-

zadas en la literatura. Los tiemposdeprocesode lostrabajossegenerarondeladistribuciónuniformedis-cretaentre1y100(pi~UD[1,100]).Lostiemposdepre-paracióndependientesdelasecuenciadelostrabajossegenerarondeladistribuciónuniformediscretaentre1y30(sij~UD[1,30]).Seconsidera,porlotanto,unentornoproductivodondelostiemposdepreparaciónsonesen-cialmentemenoresalostiemposdeproceso.Segeneraron30 instanciasdeproblemasde5má-

quinas(m=5)y50trabajos(n=50),esperandoenpro-mediolaasignaciónde10trabajospormáquina.Laevaluacióndelaheurísticaserealizópormedio

derutinasadaptadasdelsoftwareSPS_Optimizer(Sa-lazar, 2010), herramienta diseñadapara la programa-cióndeoperaciones.Para evaluar el desempeño se utilizó elmakespan

(Cmax)comomedidadedesempeño.Elmakespanentre-gadoporelmétodosecomparacontra lamejor solu-ción conocida (MSC), correspondiente a la mejor so-luciónobtenidaentretodoslosmétodos.Paradetermi-narelporcentajedeincrementosobreelmejormakespanconocido(%MSC),seutilizalamedida:

SolMétodoeselvalordelmakespanobtenidoconelméto-doenestudioyMSCeslamejorsoluciónconocidadelarespectivainstancia.Losresultadosdelmakespanobtenidosporcadaal-

goritmo en cada instancia semuestran en la tabla 4(columnasGA,LPT*,SMCyAG+MV).Enlafigura8segraficanestosresultados,enelejehorizontalsetie-nen las 30 instancias y en el eje vertical el valor delmakespan.EnésteseapreciaqueelalgoritmoLPT*presenta

el desempeñomás bajo (prácticamente en todos los

n

jij 1

s n i ipe p=

= +∑

Figura 8. Comparación de métodos

Sol MSC%MSC * 100

MSCMétodo −=

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problemas su gráfica está por sobre la de todos losotros métodos), mientras que los algoritmos AG ySMCpresentanunrendimientomuysimilar(lassolu-ciones de estos métodos prácticamente se superpo-nen).De la tabla4seobtienequeGAesmejorenel63.33%(19sobre30)yLPT*en50%(15sobre30)delasinstancias, existiendo4 instanciasen las cualesestosalgoritmosobtienenigualresultado.Loquesedestacaen lafigura8eselbuenrendi-

miento que logra AG+MV, mejorando significativa-mente sudesempeño respectodeAG, obteniendo lamejor solución en 100%de las instancias evaluadas.PorestemotivoserealizalacomparacióndetodoslosalgoritmosconrespectoalassolucionesobtenidasporAG+MV,detallandoenla tabla4 lasdiferenciaspor-centuales%MSCporinstanciaparacadamétodo(co-lumnas%AG,%LPT*y%SMC).Latabla3resumelasdiferenciasporcentualespro-

mediodelosalgoritmosAG,LPT*ySMCconrespectoaAG+MV,loqueseinterpretadelasiguienteforma:enpromedio las soluciones del algoritmo AG+MV son,respectivamente,8.18%,14.41%y8.39%mejoressolu-cionesquelosalgoritmosAG,LPT*ySMC.

Tabla 3. Comparación de algoritmos

Algoritmo AG LPT* SMC%MSCpromedio 8.18 13.41 8.39

Tambiénen la tabla3 severificael similar comporta-mientopromedioentrelosalgoritmosAGySMCconunaleveventajadeAGsobreSMC,presentandotam-biénpocavariabilidad.Laúltimacolumnadelatabla4(columna%AG/SMC)muestraladesviaciónporcentualdeladiferenciaabsolutaentreAGySMCporinstancia,laqueenpromedioindicaunadesviaciónde0.55%conunamáximadiferenciade1.49%enunainstancia.ElprocesamientoserealizóenuncomputadorIntel

Core2DuoT7500de2.2GHzde2GBdeRAM.Elor-dendemagnituddeltiempoCPUparalaejecucióndelosalgoritmossepresentaenlatabla5.Losresultadospresentadosseobtuvieronconbaseenlaejecuciónde10réplicasparalosalgoritmosAG(15s/réplica),SMC(3s/réplica)yAG+MV(60s/réplica).

Tabla 5. Tiempo CPU de algoritmos

Algoritmo AG LPT* SMC GA+MVCPU[s] 150 0,00 30 600

Instancia AG LPT* SMC AG+MV %AG %LPT* %SMC %AG/SMC1 661 693 667 617 7,13 12,32 8,10 0,972 642 671 639 593 8,26 13,15 7,76 0,513 567 603 566 523 8,41 15,30 8,22 0,194 525 551 528 486 8,02 13,37 8,64 0,625 568 580 567 522 8,81 11,11 8,62 0,196 531 557 532 486 9,26 14,61 9,47 0,217 582 624 584 539 7,98 15,77 8,35 0,378 603 622 604 561 7,49 10,87 7,66 0,189 620 651 620 578 7,27 12,63 7,27 0,0010 573 611 579 534 7,30 14,42 8,43 1,1211 651 689 648 605 7,60 13,88 7,11 0,5012 646 653 646 597 8,21 9,38 8,21 0,0013 654 675 652 606 7,92 11,39 7,59 0,3314 600 620 604 558 7,53 11,11 8,24 0,7215 515 535 514 470 9,57 13,83 9,36 0,2116 576 602 571 530 8,68 13,58 7,74 0,9417 556 583 556 516 7,75 12,98 7,75 0,0018 617 646 609 571 8,06 13,13 6,65 1,4019 594 615 599 552 7,61 11,41 8,51 0,9120 586 599 584 531 10,36 12,81 9,98 0,3821 578 605 585 537 7,64 12,66 8,94 1,3022 612 647 611 565 8,32 14,51 8,14 0,1823 589 642 595 549 7,29 16,94 8,38 1,0924 572 595 574 527 8,54 12,90 8,92 0,3825 568 596 570 522 8,81 14,18 9,20 0,3826 557 591 562 513 8,58 15,20 9,55 0,9727 581 607 584 534 8,80 13,67 9,36 0,5628 580 601 588 538 7,81 11,71 9,29 1,4929 558 612 556 513 8,77 19,30 8,38 0,3930 598 634 598 555 7,75 14,23 7,75 0,00

Promedio 8,18 13,41 8,39 0,55

Tabla 4. Resultados de algoritmos por instancia



Laincorporacióndelalgoritmodemejoraenelalgorit-mogenéticoestándar,mejoraentornoa8%lacalidaddelassolucionesobtenidas,cuadruplicandoelcostoentiempoCPU.LosalgoritmosAGySMCobtienensimi-laresresultados,peroesteúltimolohaceenunquintodeltiempodelprimero.Porotrolado,eltiempocom-putacionaldelalgoritmoLPT*esprácticamentedespre-ciableobteniendosolucionesquesonsóloalrededorde5%peorquelosalgoritmosAGySMC,ysealejanenpromedio aproximadamente un 13.5% del algoritmoAG+MV.

Conclusiones

Seutilizóunalgoritmogenéticoestándarpararesolverelproblemadeprogramacióndetrabajosenelsistemademáquinasparalelasidénticascontiemposdeprepa-racióndependientesdelasecuencia,alqueseleintro-dujo la heurística del mejor vecino como algoritmo demejora,queoptimizalaasignacióndelostrabajosresol-viendo un problema independiente de minimizacióndemakespanencadamáquina.Alintroducirelalgoritmodemejora,elaumentoen

el desempeño del algoritmo genético es significativo,mejorandoenpromediolassolucionesobtenidasconelalgoritmogenéticoestándarencercadeun8%,supe-randoatodoslosotrosalgoritmosentodaslasinstan-cias;sinembargo,sutiempocomputacionales4vecesmayor.ElalgoritmogenéticoestándarylasimulaciónMon-

tecarlopresentanunrendimientosimilar,peronounaventaja significativaporpartedel algoritmogenético,yaqueesteúltimoutiliza5vecesmásdetiempocom-putacionalquelasimulación Montecarlo.El algoritmoLPT* es el algoritmoquepresenta el

rendimientomásbajo entre los algoritmos considera-dos,siendoelqueobtienelapeorsoluciónentodaslasinstanciasevaluadas,sinembargo,sutiempocomputa-cional es prácticamente despreciable, alejándose sóloalrededorde5%delalgoritmogenéticoestándarysi-mulaciónMontecarlo,y cercade13.5%del algoritmogenéticoconlamejora.Parauntrabajofuturo,elenfoquedelprocedimien-

toAG+MVpuedemejorarseenvariosaspectos,porunlado,respectoalacomposicióndelalgoritmogenético

esposibleexplorarelefectoquetendríaqueconsiderarcromosomasdediferenteestructura,comotambiénlainclusióndelconceptodeelitismo;porotrolado,tantoparaelprocedimientodebúsqueda(AG)comoparaelprocedimientodemejora(MV)utilizadosenestetraba-jo,esposibleconsiderarotrasmetaheurísticas,pudien-doserextendidotambiénalcasodemáquinasparalelasnoidénticas.

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Este artículo se cita:

Citación Chicago

Salazar-Hornig Eduardo, Juan Carlo Medina-S. Minimización del makespan en máquinas paralelas idénticas con tiempos de prepa-ración dependientes de la secuencia utilizando un algoritmo ge-nético. Ingeniería Investigación y Tecnología XIV, 01 (2013): 43-51.

Citación ISO 690

Salazar-Hornig E., Medina S.J.C. Minimización del makespan en máquinas paralelas idénticas con tiempos de preparación depen-dientes de la secuencia utilizando un algoritmo genético. Ingenie-ría Investigación y Tecnología, volumen XIV (número 1), enero-marzo 2013: 43-51.

Semblanza de los autores

Eduardo Salazar-Hornig.EsingenieromatemáticoporlaUniversidaddeConcep-ción(1984),obtuvoelgradodemagístereninvestigacióndeoperacionesenlaRWTHUniversityofAachen,Alemaniaen1992.Sulíneadeinvestigaciónin-cluyesistemasdeproducción,planificaciónyprogramacióndeproducciónysimulación.EsprofesordetiempocompletoenelDepartamentodeIngenieríaIndustrialyProgramadeMagísterenIngenieríaIndustrialdelaUniversidaddeConcepción,Chile.

Juan Carlo Medina-S.EsingenierocivilindustrialporlaUniversidadCatólicadelaSantísimaConcepción(2006)ycandidatoamagísterdelprogramademagístereningenieríaindustrialdelaUniversidaddeConcepción.Actualmentesedes-empeñacomoprofesordelaUniversidaddelasAméricasenSantiagodeChile.

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