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F i n i t e e l e m e n t s i m u l a t i o n o fw a t e r c i r c u l a t i o n i n t h eN o r t h S e aC . A . B r e b b i a a n d P . W . P a r t r i d g e *Department of Civil Engineering, University of Southampton, Southampton S09 5NH, UK(Received February 1976)

The mode l l i ng o f t i da l e f fec ts , s to rm surges and cur ren ts i n l a rgebod ies o f water i s cons idered . The so lu t i on i s a t tempted us ing theev o l u t i ona r y s ha l l ow w a t e r equa t i ons w i t h v e l oc it i e s and w av ehe i gh ts as unk n ow n s . T w o f i n i te e l em en t s i m u l a t i on m ode l s a redesc r i bed based on s i x noded t r i angu la r e lements . Spec ia lc ons i de r a t i on has been g i v en t o t he adequac y o f t he m ode l s w h i c hw e r e app l i ed to the Nor th Sea on l y a f te r ex tens i ve tes ts i n channe l s .Resu l t s fo r ve loc i t i es and wave he igh ts a re compared and d i scussed.A se t o f conc lus ions on the app l i cab i l i t y and scope o f the mode ls i sp resented .

I n t r o d u c t i o nT h i s p a p e r i s c o n c e r n e d w i t h t h e m o d e l l i n g o f t i d a le ff ec t s, s t o r m s u r g e s a n d c u r r e n t p a t t e r n s i n l a r g eb o d i e s o f w a t e r . T h e s o l u t i o n i s a t t e m p t e d u s i n g t h es h a l l o w w a t e r e q u a t i o n s , w h i c h a r e e v o l u t i o n a r ye q u a t i o n s w i t h v e l o c i t i e s a n d w a v e h e i g h t s a su n k n o w n s . T h e y r e q u i r e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s a s w e l la s th e b o u n d a r y c o n d i t i o n s t o b e k n o w n .T h e s o l u t i o n o f t h e s e e q u a t i o n s i s u s u a l l y f o u n d b ya p p l y i n g a n u m e r i c a l t e c h n i q u e . T h e m e t h o d u s e d i s o ff u n d a m e n t a l i m p o r t a n c e . I n a f i n i t e e l e m e n t o r f i n i t ed i f f e rence app r oac h th e g r id s ize wi l l de te r m in e thet y p e o f p h e n o m e n o n w h i c h c a n b e i n v e s t ig a t e d . Inadd i t io n g r id size r e la te s to s tab i l i ty c r i t e r ion an da c c u r a c y i n e v o l u t i o n a r y p r o b l e m s .

T h e r e f i n e m e n t o f a m o d e l , t h o u g h d e s i r a b l e i np r in c i pl e , m a y d e m a n d a l a r g e n u m b e r o f p a r a m e t e r sw h i c h r e q u i r e m o r e e x p e r i m e n t a l d a t a . T h e s e d a t a c a nb e d i ff i cu l t t o o b t a i n a n d p r o d u c e a n e w t y p e o f e r r o ra f f ec t i n g t h e c o n f i d e n c e o n e c a n h a v e i n t h e r e su l t s.T h e a n a l y s t u su a l ly h a s t o c o m p r o m i s e b e t w e e n h a v i n ga s o p h i s t i c a t e d m o d e l o r a p r a c t i c a l o n e , g i v i n g re l ia b l er e s u l ts f o r t h e v a r ia b l e s u n d e r c o n s i d e r a t i o n . I na d d i t i o n , l a r g e m o d e l s a r e e x p e n s i v e t o r u n .W e d e s c r i b e h e r e t w o f i n i t e e l e m e n t m o d e l s . B o t hm o d e l s h a v e b e e n d e v e l o p e d u s i n g s i x n o d e d t r i a n g u l a re l e m e n t s , b u t o n e i s b a s e d o n a n i m p l i c i t i n t e g r a t i o ns c h e m e , t h e o t h e r i n a n e x p l i c it o n e ( t h e f o r m e r a l l o w sf o r e l e m e n t s w i t h c u r v e d s id e s) . S p e ci a l c o n s i d e r a t i o nh a s b e e n g i v en t o t h e a d e q u a c y o f th e m o d e l s a n d o n l y*Present address: Federa l Universi ty , Porto Alegre , Brazi l .

a f t e r e x t e n s i v e t e s ts o n c h a n n e l s 1 w e r e t h e y a p p l i e d t oN o r t h S e a s t u d i e s . T h e N o r t h S e a i s a n i m p o r t a n t a n db u s y s e a w a y , e s p e c i a ll y s in c e t h e d i s c o v e r y o f g a s a n do i l. F r o m t h e n u m e r i c a l p o i n t o f v i e w , t h e a r e a i s w el l-c o n d i t i o n e d , N o r t h S e a t o p o g r a p h y b e i n g r e g u l a r a n dc h a n g e s i n d e p t h g r a d u a l . N e v e r t h e l e s s , t h e m o d e l s c a nand have been app l ied to d i f f e r en t r eg ions ( e . g . , theS o l e n t in E n g l a n d 2. O t h e r m o d e l s o f th e N o r t h S e aex is t : an exp l ic i t f in i te d i f f e r ence s chem e by He aps a , ani m p l ic i t t h r e e -n o d e f in i te e l e m e n t o n e b y G r o t k o p 4 a n da q u a r t i c q u a d r i l a t e r a l f i n i t e e l e m e n t m o d e l b y D a v i sa n d T a y l o r 5.T h e p r e s e n t m o d e l i s b a s e d o n t h e s h a l l o w w a t e re q u a t i o n s w h i c h a r e v e r t i c a l l y a v e r a g e d v e r s i o n s o fN a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s , a n d t a k e i n t o c o n s i d e r a t i o nt ides , bo t tom f r ic t ion , advec t ive f o r ces , cor io l i s , windt a n g e n t i a l s t r e s s e s a n d a t m o s p h e r i c p r e s s u r e g r a d i e n t s .R e s u l t s f o r v e l o c i t i e s a n d w a v e h e i g h t s i n t h e N o r t hS e a a r e c o m p a r e d a n d d i s c u s s ed . A s e t o f c o n c l u s i o n so n t h e a p p l i c a b i l i t y a n d s c o p e o f t h e m o d e l s i sp r e s e n t e d , i n d i c a t i n g a r e a s w h e r e f u r t h e r w o r k i sr equ i r ed .

S h a l l o w w a t e r e q u a t io n sT h e e v o l u t i o n a r y e q u a t i o n s u s e d i n m a r i n e a n d c e r t a i nt y p e s o f e s t u a r ia l m o d e l l i n g a r e c a l l e d t h e s h a l l o ww a t e r e q u a t i o n s . T h e y a r e a v e r t i c a l ly i n t e g r a t e dv e rs io n o f N a v i e r - S t o k e s m o m e n t u m e q u a t io n s a n dt h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n w h i c h a c t s a s a c o n s t r a i n tc o n d i t i o n . I n a d d i t i o n i n it i al a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n sh a v e t o b e f u l fi ll e d . T h e d i f f e r e n t a s s u m p t i o n s i n v o l v e d

Appl. Math. Mod el l ing, 1976, Vol 1, September 101

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S i m u l a t i o n o f w a t e r c k c u l a t i o n i n the No r th S ea . C. A . Bre bb ia an d P. W. Par t r i dge, X 3 v 3

-q

h

. . . . .

Figure I Geom etrical notation for the shallow water eq uations

D

X I v I

a r e t r e a t e d i n d e t a i l e l s e w h e r e 2 '6 . T h e t w o s h a l l o ww a t e r m o m e n t u m e q u a t io n s a r e :

c~- + VI-~x1 + Vz~x 2 = B1(1 )

(~V2 (~V2 V (~V2 = B 2

w h e r eB l = ~ '~ V - - g ~ X 1 r l (2 )B 2 - -- -- - - ~ ' ) V 1 - - g O x 2 - - 272 s

Vii a r e t he ave rag ed ve l oc i t i e s :'L- l ) i d x 3 (3 )v , f i h

H i s th e t o t a l d e p t h , H = r / + h , w h e r e q i s t h e w a v eh e i g h t a b o v e a c e r t a i n d a t u m p l a n e a n d h i s t h e d e p t hf r o m t h e d a t u m t o t h e b o t t o m o f t h e s ea . x 3 is th ec o o r d i n a t e i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n (Figure 1) , f2= 2e~ s i n i s t he co r i o l i s coe f f i c i en t , q~ i s t he l a t i t u dea n d c o t h e a n g u l a r r o t a t i o n o f t h e e a r t h , g i s g r a v i t y , pth e w a t e r d e n s i t y a n d p , t h e a t m o s p h e r i c p r e s s u r e . T h es u r f a c e a n d b o t t o m s t r e s s e s a r e w r i t t e n a s :

z i 7 W ~ 2 W 2 ) 1 / 2= ~ ~ - ( W 1 J r- i = 1;2 (4)= - p (V2~ + V~) i /2 i = 1 ,2

c is t h e C h e z y c o e f f i c i e n t , W~ a r e t h e w i n d s p e e dc o m p o n e n t s a n d ? i s a p a r a m e t e r r e l a t e d t oa t m o s p h e r i c d e n s i t y p , ( u s u a l ly g iv e n as a c o n s t a n tm u l t i p l i e d b y p , ) .I n a d d i t i o n e q u a t i o n s ( 1 ) h a v e t o s a t i s f y t h ev e r t i c a l l y i n t e g r a t e d c o n t i n u i t y e q u a t i o n , i . e . ,~ t + ( H V , ) + (HV2) = 0 (5)

T h e s y s t e m s o f e q u a t i o n s ( 1 ) a n d ( 5) d e s c r i b e th em o v e m e n t o f l a rg e b o d i e s o f s h a l lo w w a t e r. T h e f a c t o r sa f fe c ti n g t h e m o v e m e n t a r e m a n y : t h e m o r p h o l o g y a n d

p o s i t i o n o f th e s e a b e d , t h e s h a p e a n d v a r i a t i o n i ns h a p e o f t h e c o a s t l i n e , f r i c ti o n be twe e n the s e a b e d a n dt h e w a t e r , h e n c e t h e m a t e r i a l o f th e s e a b e d , th em e t e o r o l o g i c a l c o n d i t i o n s , in c l u d i n g w i n d , e t c.A l t h o u g h t h e c i r c u la t i o n o f t h e e a r t h a n d th ea s t r o n o m i c a l f o rc e s o f t h e s u n a n d t h e m o o n a c t o n th ew a t e r a s b o d y f o rc e s , t h e m a i n c a u s e o f ti d a l w a t e rm o v e m e n t s i n a re a s s u c h a s t h e N o r t h S e a is t h ed r i v in g f o r c e c a u s e d b y t i d a l m o t i o n o f th e w a t e r o nth e b o u n d a r i e s o f t h e a r e a u n d e r c o n s i d e r a t i o n .T h e s h a p e o f t h e l a n d s u r f a ce c o n t a i n i n g t h e b o d yo f w a t e r i s u s u a l l y v e r y c o m p l e x , in s o m e c a s e s n o te v e n s t a t ic , t h o u g h t h e e f f e c ts o f e r o s i o n g e n e r a l l yo c c u r o v e r t o o l a r g e a p e r i o d o f t i m e t o b e i m p o r t a n t .B o t t o m f r i c t i o n i s i n t r o d u c e d i n t h e m o d e l v i aC h e z y c o e f f ic i en t s. T h e i n a d e q u a c y o f u s in g c o n s t a n tC h e z y c o e f f i c ie n t s f o r a l l t h e m o d e l i s e v i d e n t . T h ed i f f e re n t m a t e r i a l s m a k i n g u p t h e s e a b e d h a v e d i f f e re n tf r i c t i o n a l r e s i s t a n c e s a s t h e w a t e r d e p t h a n d thev e l o ci ti e s c h a n g e . I t m u s t b e p o i n t e d o u t t h a t b o t t o mf r ic t io n a n d w i n d a r e o f g r e a t i m p o r t a n c e i n th em o v e m e n t o f s h a ll o w w a t e r .T h e m a i n c a u s e s o f i n a c c u r a c i e s i n ti d a l p r e d i c t i o n sa r e t h e w i n d f o r c e s a n d a t m o s p h e r i c p r e s s u r ev a r i a ti o n s , w h i c h a r e i m p o r t a n t f o r la r g e a r e a s s u c h a sth e N o r t h S e a .B o u n d a r y a n d i n i t i a l c o n d i t i o n sT h e s o l u t i o n o f e q u a t i o n s ( 1) a n d ( 5) r e q u i r e th ek n o w l e d g e o f t h e c o r r e s p o n d i n g b o u n d a r y a n d i n it ia lc o n d i t io n s . T h e b o u n d a r y c o n d i t i o n s o f t h e m o d e l a r eo f t w o t y p e s : ( a) f i x e d o r l a n d b o u n d a r i e s s u c h a s t h o s eg i v e n b y t h e c o a s t l i n e s , w h e r e t h e n o r m a l v e l o c i t i e s a r ez e r o , a n d t h e t a n g e n t v e l o c i t y c a n b e s e t f re e ; (b ) o p e nb o u n d a r i e s w h e r e t h e e l e v a t i o n o f t h e s e a l e v e l ( o r th en o r m a l c o m p o n e n t o f v el o c it y ) is p r e s c ri b e d .T h e d e t e r m i n a t i o n o f th e i n i ti a l c o n d i t i o n s r e q u i r e sth e k n o w l e d g e o f t h e f r e e s u r f a c e p o s i t i o n a t t = 0 .U s u a l l y t h is k n o w l e d g e i s n o t p o s s ib l e a n d t h e m o d e l sh a v e t o b e s t a r te d w i t h z e r o e l e v a ti o n a n d z e r o v e l o c i t yc o n d i t i o n s . T h i s i s c a l le d a ' c o l d s t a r t ' .F i n i t e e l e m e n t m o d e lI n o r d e r t o b u i l d f i n i t e e l e m e n t m o d e l s t h e t w om o m e n t u m e q u a t i o n s ( 1) a n d c o n t i n u i t y ( 5) , i n c l u d i n gi n f lu x - t y p e b o u n d a r y c o n d i t i o n s h a v e t o b e w r i t te n i nth e f o l l o w i n g w e i g h t e d r e s i d u a l w a y :f f o v , ~1 ~V1}V l ~ x 1 + V 2 ~x 2 - B 1 b V , d A = O( &

f ; f ~ V 2 V ~ V 2 ~ Y 2 }+ , e x ~ + Y 2 ~ x 2 - B 2 b V z d A = O (6)f f { + ? I (H V i ) + 6 H d A = f ( H V . -

H ~ ) 3 H d ST h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n i s u s u a l l y i n t e g r a t e d b y p a r t st o r e n d e r a s i m p l e r e x p r e s s i o n . T h i s i n t e g r a t i o n g i v e s :

[ ~ + HV2 ~x2 & j d A= f H V . 6 H d S (7 )

102 App l . Math. Mo del l ing, 1976, Vol 1, September

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S i m u l a t i o n o f wa t e r c i r c u l a t io n i n t h e No r t h Se a . C . A . B r e b b i a a n d P . W . Pa r tr i d g e

a

Figure 2

v bSix node elements. (a) Stra ight s ides: (b) curved sides

T h e a b o v e w e i g h t e d r e s i d u a l s t a t e m e n t s [ e q u a t i o n s ( 6 )a n d ( 7) 3 a r e t h e s t a r t i n g p o i n t f o r t h e f i n i te e l e m e n tm o d e l s . A s s u m e t h a t o v e r a n e l e m e n t t h e s a m ein te rpo la t io n fu nc t io n app l ie s fo r the 1 /1 , V2 and Hunknowns , i . e . Vl = ~)~ 1, V = ~b t~2, H = 4)/ t" (8)

i s t h e i n t e r p o l a t i o n f u n c t i o n a n d I ~'~ ,/ -P a r e n o d a lvalu es of Vi, H.I n w h a t f o l l o w s s i x n o d e d t r i a n g u l a r f i n i t e e l e m e n t sw i t h c u r v e d b o u n d a r i e s w e r e u s e d i n o r d e r t o d e f i n et h e b o u n d a r i e s b e t t e r (Figure 2). T h e s e e l e m e n t s a r ec a ll e d is o p a r a m e t r i c a n d c a n b e f o r m u l a t e d b y as i m p l e c o o r d i n a t e t r a n s f o r m a t i o n , t h e d e t a i l s o f w h i c hh a v e b e e n g i v e n b y C o n n o r a n d B r e b b i a 7. C u r v e de l e m e n ts h a v e t h e i m p o r t a n t f e a t u re t h a t t h e y t e n d t oe l i m i n a t e t h e s p u r i o u s f o r c e s t h a t m a y b e g e n e r a t e d o nt h e b o u n d a r i e s b y s t r a i g h t s i d e e l e m e n t s j o i n i n g a t a nangle .S u b s t i t u t i n g e q u a t i o n s ( 8) i n t o ( 6) a n d ( 7 ), o n eo b t a i n s :

M ~ + K ~ - f ~M W 2 + G1 nn + FI = 0 ( 9 )MI~2 + f ~ M W 1 + KI~2 + G 2 H n + F2 = 0

a n dM /-P - C I ~ - C2 V~2 + FH = 0

w h e r e

a n d

H dpdAG , = g f r ~ r , , d A M = f C p ~ d A

P~ dA + J~ - - i f(W, + W2) / 2 dA, = 4 , T ~ , ,i = 1 , 2

c , = f 4 , S H 4 , d A , F n = f H v . T d A

( ) , i = ~ x , ' ( ) = ~ tE q u a t i o n s ( 9 ) c a n b e w r i t t e n a s

M 1 v ~ ( B o I " i l [t i M K V [-- C 1 -- C2 H " J +

F2 = (10)F .

o r m o r e s i m p ly ,M Q + K Q = r (11)F o r m u l a ( 1 1 ) i s v a l i d f o r e a c h u n c o n n e c t e d e l e m e n t .T h e n e x t s t a g e i s t o a s s e m b l e a l l t h e e l e m e n t e q u a t i o n si n t o a g l o b a l s y s t e m a n d i m p o s e b o u n d a r y c o n d i t i o n si n H a n d V~. T o e l i m i n a t e p r o l i f e r a t i o n o f n o t a t i o n t h eg l o b a l s y s t e m w il l b e d e f i n e d w i t h t h e s a m e n o t a t i o n a se q u a t i o n ( 11 ).

T i m e i n t e g r a t i o nT w o t i m e in t e g r a t i o n s c h e m e s w e r e u s e d , o n e a ni m p l i c i t a n d t h e o t h e r a n e x p l i c i t s c h e m e . T h e i m p l i c i ti n t e g r a t i o n p r o c e d u r e i s t h e t r a p e z o i d a l r u l e . S t a r t i n gw i t h :

M Q + K Q = F (12)o n e a s s u m e s :

Q = Q t - Q o Q _ Q , + Q oA t 2 (13)Fo + F ,F - - -2H e n c e e q u a t i o n ( 1 2 ) b e c o m e s :

2 M( 2 M + K ) Q , = ( F o + F , ) + ( ~ - K ) Q o (14)or

X * Q t = F * (15)T h e r e c u r r e n c e r e l a t i o n s h i p i s t h e n :

Q , = (K *)- 1F* (16)T h e K * m a t r i x t o b e i n v e r t e d g e n e r a l l y i s a l a r g e n o n -s y m m e t r i c b a n d e d m a t r i x o f s iz e a p p r o x i m a t e l y t h r e et i m e s t h e n u m b e r o f n o d e s b y s i x ti m e s t h e e l e m e n tb a n d w i d t h ( i.e ., t h e m a x i m u m d i f f e r e n c e b e t w e e ne l e m e n t n o d a l p o i n t n u m b e r s p l u s o n e ) . T h e c o m p u t e rp r o g r a m h a s b e e n o p t i m i z e d b y t a k i n g b o u n d a r yc o n d i t i o n s i n t o a c c o u n t i n s u c h a w a y t h a t t h ec o r r e s p o n d i n g r o w s a n d c o l u m n s a r e e l i m i n a t e d f r o mt h e e l e m e n t m a t r i c e s b e f o r e a s s e m b l i n g . T h i ss i g n i f ic a n t l y r e d u c e s t h e m a x i m u m s iz e o f t h e g l o b a lm a t r i x . I t w a s a l s o a d v a n t a g e o u s t o s t o r e t h e m a t r i xi n a o n e - d im e n s i o n a l f o r m s u c h t h a t o n l y o n e a n d n o tt w o a d d r e s s e s n e e d t o b e e v a l u a t e d e a c h t i m e a ne l e m e n t o f t h e a r r a y i s ac c e s se d .T h e e x p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o n s c h e m e u s e d w a s t h ew e l l- k n o w n fo u r t h o r d e r R u n g e - K u t t a s ch e m e.N o r t h S e a m o d e lT h e a b o v e f i n it e e l e m e n t f o r m u l a t i o n h a s b e e n a p p l i e dt o m o d e l t h e N o r t h S e a . T h i s i s a s h a l l o w s e a v a r y i n gi n d e p t h f r o m u n d e r 5 0 m i n t h e s o u t h t o 4 0 0 m i n at r e n c h o f f t h e c o a s t o f N o r w a y . D e p t h s w e r e o b t a i n e df r o m A d m i r a l t y c h a rt s S e c t i o n s w e r e d r a w n a td i f f e r e n t a n g l e s a c r o s s t h e w h o l e r e g i o n t o d e t e r m i n e

A p p l . M a t h . M o d e l l i n g , 1 9 7 6 , V o l 1 , S e p t e m b e r 1 0 3

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Simulation of water circulation in the North Sea: C. A. Brebbia and P. W. PartridgeI - E R W I C K B E R G E N

~ A L T I C SE A

I ir 30 Km 2 5 0

Figure 3 F i n i te e l e m e n t m e sh fo r t h e No r th S e athe best locations for nodes and the more accurate wayo f r e p r es e n t in g t h e b o t t o m t o p o g r a p h y . E l e m e n t s w e rec a r e fu l l y p o s i t i o n e d i n o r d e r t o o b t a i n t h e b e s t p o s s ib l er e p r e s e n ta t i o n o f t h e t o p o g r a p h y u s i n g a p r e d e t e r m i n e dn u m b e r o f n o d e s . T h e f in a l m e s h c o m p r i s e s 2 28 n o d e sa n d 9 7 s i x n o d e d e l e m e n t s a s s h o w n i n Figure 3 .T h e t i d a l c h a r a c t e r is t i c s o f t h e N o r t h S e a a r ec o m p l i c a t e d , ti d a l a m p l i t u d e s v a r y f r o m z e r o t o s i xm e t r es a n d h i g h w a t er t im e s c h a n g e t h r o u g h o u t t h ec y cl e a r o u n d e a c h o f th e t h r e e a m p h i d r o m i c p o i nt s .T i d a l h e i g h ts f o r b o u n d a r y c o n d i t i o n s w e r e ta k e nf r o m t h e c h a r t s o f c o - t i d a l li n es . T h e w a v e h e i g h tf o r c i n g f u n c t i o n s w e r e s p e c i f i e d i n t h e f o r m (Figure 4)

~ = a o / s l n [ - ~ - + e + (1 7)o n e a c h o f th e e x t r e m e s o f t h e t i d a l b o u n d a r i e s , w i t ht h e i n t e r m e d i a t e h e i g h ts b e i n g l i n e a r l y i n te r p o l a t e d .T h i s f o r m u l a t i o n a p p r o x i m a t e s t h e f f~ os t i m p o r t a n tt id a l c o m p o n e n t f o r t h e N o r t h S e a . T h e s e c u r v e s h a v eb e e n t a k e n f r o m t h e A d m i r a l t y T i d e T a b l e s . T h e y a r ea s s u m e d t o b e r e f e r r e d t o t h e s a m e d a t u m s in c e o t h e ri n f o r m a t i o n i s n o t a v a i l a b l e . B e c a u s e o f th i s , th e r e s u l t sp r e s e n t e d i n t h i s p a p e r m a y n o t b e q u a n t i t a t i v e l yc o r r e c t b u t t h e c o m p a r i s o n b e t w e e n m o d e l s a r e st il lv a li d . T h e c h a r t s o f c o - t id a l l i ne s g i v e th e a p p r o x i m a t et i d a l r a n g e a n d h i g h w a t e r t i m e s f o r t h e i n t e r i o r p o i n t so n t h e g r i d . T h e c i r c u l a t i o n p a t t e r n a n d v e l o c i t ym a g n i t u d e s f o r p a r t s o f t h e S e a m a y b e s e e n i n t h et i da l s t r ea m a t l a ses 8 ,9 .

W i n d a n d s t o r m s u r g e s w e r e n o t m o d e l l e d a s t h i ss e ri e s o f te s t s w a s c a r r i e d o u t t o i n v e s t i g a t e t h e g e n e r a lp e r f o r m a n c e o f th e m o d e l .A f t e r s e v e r a l t e s t s i t w a s d e c i d e d t o t a k e ac o n t i n u o u s t i d a l b o u n d a r y i n t h e N o r t h e r n p a r t f r o mn o d e 4 1 t o 1 a n d 1 t o 1 1 (Figure 4) , o t h e r w i s ei n s ta b i l it y o r i g i n a t e d f r o m t h e S h e t l a n d I s la n d se l e m e n t , s h o w i n g t h a t o n e e l e m e n t i s i n a d e q u a t e t or e p r e s e n t a d i s c o n t i n u o u s t i d a l b o u n d a r y p r o p e r l y .T i d a l c o n d i t i o n s w e r e a l so s p e c i f ie d a t t h e D o v e r S t r a i t( p o i n t s 2 2 6 t o 2 2 8 ) a n d a f t e r a n u m b e r o f t r ia l s a l s o f o rt h e B a l t i c S e a b o u n d a r y ( n o d e s 8 6 - 8 7 - 1 0 9 ) . I t w a sf o u n d t h a t i n c l u s i o n o f t h e B a l t ic S e a i m p r o v e d t h ew a v e h e i g h t r e s u l t s .

O n t h e l a n d b o u n d a r i e s , t h e n o - s l i p b o u n d a r yco nd i t i on 1'11 = V2 = 0 i s spec i f i ed . T h i s a s su m pt i o ns im p l if ie s t h e n e c e s s a r y c o m p u t i n g a n d is r e a s o n a b l e a st h e N o r t h S e a is a r e g u l a rl y s h a p e d r e g io n . B e c a u s e o ft h e i m p o s i t i o n o f t h is c o n d i t i o n , c u r v e d b o u n d a r ye l em e n t s , w h i c h a r e m o r e e x p e n s i v e t o r u n , w e r e n o tn e c e s sa r y . B y c o n t r a s t w h e n m o d e l l i n g t h e S o l e n t ,c u r v e d s i d e d b o u n d a r y e l e m e n t s w e r e u s e d a l l o w i n gt h e t a n g e n t i a l v e l o c i t y t o r e m a i n f r e e 2 .S t a b i l it y a n d a c c u r a c yT h e s m a l l e s t s t a b i l i t y l i m i t f o r t h e N o r t h S e a a s g i v e nb y t he F r i e d r i c k s - L e w y - C o u r a n t c o n d i t i o n , o c cu r s f o ra n e l e m e n t o f f t h e N o r w e g i a n c o a s t . I t g iv e s :

At ~ 450 sec (18)T h e w o r s t c a s e o n a t i d a l b o u n d a r y g i v e s A t ~< 6 5 0 s e c.T h i s i s i m p o r t a n t a s i n s t a b i l i t i e s a l w a y s s t a r t a t t h e s eb o u n d a r i e s . T h e a v e r a g e v a l u e i s a r o u n d 9 0 0 s e c a n df o r th e s h a l lo w s o u t h e r n N o r t h S e a t h e c r i te r i o ns u g g e s t s a l i m i t i n g t i m e s t e p o f le s s t h a n 2 0 0 0 s e c.T h e e x p l i ci t p r o g r a m m e w h i c h u s e s a fo u r t h - o r d e rR u n g e - K u t t a p r o c e d u r e w as r u n w i t h a t im e s t ep o f6 0 0 s e c . F o r t h e i m p l i c i t p r o g r a m m e i n s t e a d a t i m e s t e po f 3 0 m i n w a s u s e d .T o o b t a i n s t a b l e r e s u l t s w i t h b o t h m o d e l s r e q u i r e st h e a p p l i c a t i o n o f s p e c ia l t e c h n i q u e s . F o r t h i s w o r kt h r e e d i f f e r e n t t e c h n i q u e s w e r e u s e d . T h e f i r s t a n ds i m p le s t o f t h e m i s t o w o r k a l w a y s w i t h a c o n s t a n tv a l u e o f f r ic t i o n o v e r a l l th e r e g i o n , s t a r t i n g w i t h a l o wv a l u e ( c = 1 0 m l / Z /s e c ) a n d i n c r e a s i n g i t b y 1 0 o v e r t w ot o f o u r c y c l e s . T h i s t e c h n i q u e d i d n o t g i v e g o o d r e s u l t sa n d t h e s o lu t i o n t e n d s t o b e c o m e u n s t a b l e f o r la r g eva l ue s o f c , i .e ., sma l l va l ues o f f r ic t i on . I n add i t i on i t isu n r e a l i s t ic o a s s u m e t h a t t h e C h e z y c o e f f i c i e n t w i ll b et h e s a m e o v e r a l l t h e d o m a i n .

T h e s e c o n d t e c h n i q u e w a s t o p r e s c r i b e a h i g h e ro r d e r o f fr i ct i o n fo r t h e e l e m e n t s o n t id a l b o u n d a r i e sa n d a s m a l l e r v a l u e f o r i n t e r n a l e l e m e n t s . T h i s i sb e c a u s e t h e r e i s a g e n e r a l t e n d e n c y f o r t h e t i d a lb o u n d a r y t o g e n e r a t e d i s t u r b a n c e s . T h e s ep e r t u r b a t i o n s m a y b e d u e t o a n u m b e r o f f a c t o r s a n dc a u s e t h e t ra n s m i s s i o n o f s h o r t w a v e s t h r o u g h t h es y s t e m . T h e s p e c i f ic a t i o n o f h i g h e r v a l u e s o f f r ic t i o n f o rt h e t i d a l b o u n d a r y e l e m e n t s r e d u c e t h e p r o p a g a t i o n o fe r r o r s .I t w a s d e c i d e d t o a p p l y a C h e z y c o e f f i c i e n tc = 2 0 m l / 2 / se c a t t h e b o u n d a r i e s , w h i c h p r o d u c e ss t ab l e r e su l t s .

i6'

4

2E)

O

Ho u r s : 8 " 5 6 5 41 5 2 .5 O -51 1 "5 2 [ 5B e f o r e H i g h w a t e r D o v e r A f t e rFigure 4 T i d a l b o u n d a r y co n d i t i o n s fo r t h e No r th S e a . . . . . . . ,Be r g e n ; , Le r w i ck ; . . . . . , K i r kwa l l ; , Do ve r

104 Appl. Math. Modelling, 1976, Vol 1, September

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S i m u l a t i o n o f w a te r c i r c u l a t i o n i n t h e N o r t h S e a . C . A . B re b b i a a n d P . W . P a r t r i d g eT h e t h i r d d i f f e r e n t s t a b i l iz i n g t e c h n i q u e i s t o s t a r tw i t h a r e ~tl is tic v a l u e o f fr i c t i o n f r o m t h e b e g i n n i n g a n dt r y t o r e m o v e t h e s h o r t w a v e s b y ' n u m e r i c a l

s m o o t h i n g ' . T h i s s m o o t h i n g c a n a l s o b e a p p l i e d e v e r yt i m e t h e l e v e l o f f r i c t i o n is d e c r e a s e d . T h e o p e r a t i o nn e e d s t o b e c a r r i e d o u t f o r a n u m b e r o f s t ep s a n d a f t ert h e p e r t u r b a t i o n s h a v e b e e n r e m o v e d t h e s o l u t i o n d o e sn o t n e e d t o b e s m o o t h e d a n y l o n g e r . T h i s n u m e r i c a ls m o o t h i n g c o n s i st s o f ta k i n g f o r th e n e x t t i m e s t e p n o tt h e a c t u a l n o d a l v a l u e s j u s t o b t a i n e d b u t w e i g h t e da v e r a g e s . T h e s e a v e r a g e s a r e c a l c u l a t e d b y w e i g h t i n ge v e r y n o d a l v a l u e b y a c o n s t a n t a n d a d d i n g t o it th ew e i g h t e d v a l u e s o f t h e n e i g h b o u r i n g p o i n t s . F o r t h ep r o g r a m m e s d e s c ri b e d h e re t h e n o d e u n d e rc o n s i d e r a t i o n h a s h a l f t h e w e i g h t a n d t h e o t h e r h a l f i sd i s t r i b u t e d a m o n g s i x n e i g h b o u r i n g p o i n t sp r o p o r t i o n a l l y t o t h e i r a r e a o f in f lu e n c e . ( F o rb o u n d a r y n o d e s o n l y 3 n e i g h b o u r in g p o i n t s a r e t a k e ni n t o c o n s i d e r a t i o n . ) I n g e n e r a l , t h e c o a r s e r t h e m e s ht h e m o r e r e l at i v e w e i g h t t h e c e n t r a l n o d e w i ll h a v e .T h e a c t u a l w e i g h t u s e d d o e s n o t s e e m t o b e t o oi m p o r t a n t p r o v i d e d t h a t t h e c o e ff i ci e n t f o r t h e n o d eu n d e r c o n s i d e r a t i o n i s r e a s o n a b l y l a r g e b y c o m p a r i s o nw i t h t h e c o e f f i c i e n t s f o r t h e n e i g h b o u r i n g n o d e s . As i m p l e r w a y o f w e i g h t i n g m a y b e f o r in s t a n ce , t om u l t i p l y t h e s o l u t i o n v e c t o r b y t h e m a s s m a t r i x .S m o o t h i n g h a s b e e n s u c c e s sf u ll y a p p l i e d b y t h ea u t h o r s i n s m a l l e s t u a r i a l a r e a s , s u c h a s t h e S o l e n t i nE n g l a n d b u t i t i s l e s s n e c e s s a r y f o r t h e N o r t h S e a a st h e s y s t e m i s m o r e s t a b l e .

Tes t sM a n y t e st s w e r e r u n w i t h d i f f er e n t t i m e i n t e g r a t i o ns c h e m e s , f ri c t io n c o e f f ic i e n ts a n d s m o o t h i n g s c h e m e sb u t o n l y t w o o f th e m w i ll b e p r e s e n t e d f o r b r e v it y . T h ef i r s t, T e s t 1 , uses i mp l i c i t i n t eg r a t i o n ( A t = 30 mi n) andt h e s e c o n d , T e s t 2, e x p l ic i t f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a( A t - 1 0 m i n ) .T e s t 1 w a s s t a r t e d w i t h a C h e z y c o e f f i c ie n t o f10 ml/2/sec, a f t e r t w o t i d a l c y c l e s t h i s w a s i n c r e a s e d t o1 5 a n d a f t e r a n o t h e r t w o t o 2 0 . T h e n t h e f r i c ti o n 2 0w a s l ef t f o r t h e e le m e n t s o n t h e t id a l b o u n d a r y b u t t h ev a l u e o f t h e i n t e r n a l f r i c t i o n w a s d e c r e a s e d t o = 4 0o v e r f o u r t i d a l c y c le s . F i n a l l y , th e i n t e r n a l C h e z yc o e f f i c i e n t w a s t a k e n a s a v a r i a b l e g i v e n b y :

c = 151og~(0.9H) [ in mU 2/sec ] (19)T h i s f o r m u l a g i v e s l o w f r i c t io n i n t h e i n t e r i o r o f th eN o r t h S e a ( e .g . f o r H = 5 5 m , c = 6 0) . T h e s a m e f r i c t i o nw a s a p p l i e d d u r i n g 6 m o r e t id a l c y c le s t o o b t a i nr e p e t i t i o n o f r e su l t s. I n a d d i t i o n t h e r e s u l t s w e r en u m e r i c a l l y s m o o t h e d o v e r 3 h ( i. e., 6 s te p s ) a f t e rc h a n g e o f C h e z y ' s c o ef f ic i en t , t h e n t h e s m o o t h i n g w a ss t o p p e d . F o r t h e l e v e l o f f r i c t io n g i v e n b y f o r m u l a (1 9)t h e v e l o c i t y e l li p s e s te n d t o i n c r e a s e i n s i z e a n d t h e i rd r i f t i s a c c e n t u a t e d a s t h e l e v e l o f f r i c t io n i s r e d u c e d .A s t h e f r i c t i o n i s v a r i a b l e , t h e r e s u l t s a r e n o t b e i n go b t a i n e d u n d e r c o n s t a n t c o n d i t io n s o f d a m p i n g a n dt h e e l l i p s e s d o n o t q u i t e c l o s e e v e n a f t e r t h r e e o r f o u rt i d a l c y c l e s . I t i s s u r p r i s i n g t h a t g o o d r e s u l t s w e r er e p o r t e d b y D a v i s a n d T a y l o r 5 a f t e r o n l y t h r e e t id a lc y c l e s f r o m c o l d s t a r t , u s i n g t h i s v a r i a b l e f r i c t io nf o r m u l a .T e s t 2 w a s r u n w i t h t i d a l b o u n d a r y e l e m e n t s f r i c t i o n

0 8 0 t

- O 8 0, : 8

L- 0 8 0

~A

I I IO O 8 0

I I

O 0 - 8 0

I I

B

I I I I I

J J i a

I I I bVelocity, V (m/see)Figure 5 Velocity ellipses for (a) implicit and (b) explicitmodels. A, Node 51; B, node 57; C, node 105; D, nod e 148c = 2 0 (m l / Z /s e c ) a n d v a l u e s o f i n t e r n a l f r i c t i o n o f 4 0a n d 6 0 . T h e s o l u t i o n w a s i n i t i a t e d f r o m t h e i m p l i c i tm o d e l r e s u lt s fo r c = 2 0 t h r o u g h o u t i n s t e a d o f d i r e c tc o l d s t a r t . ( T h i s w a s d o n e s i m p l y t o s a v e c o m p u t e rcos t s . )Resu l t sV e l o c i t y e l li p s e s a r e u s e f u l t o f i n d o u t i f s t e a d y s t a t eh a s b e e n r e a c h e d , i f t h e r e a r e a n y d i s t u r b a n c e s p r e s e n ti n t h e s y s t e m w h i c h a r e l i k e l y t o c a u s e i n s t a b i l i t y , th em a g n i t u d e o f d r i f t v e l o c i ti e s , t h e c h a n g e s i n v e l o c i t ym a g n i t u d e s d u e t o c h a n g e s i n C h e z y ' s c o e f fi c ie n t s, t i m es t ep , e t c .

T w o c o m p a r a b l e s e ts o f r e s u lt s o b t a i n e d u s i n g t h es a m e t i d a l b o u n d a r y C h e z y c o e f f i c i e n t ( 2 0 m X /2 /s ec ) a n dt h e s a m e i n t e r n a l f r i c t i o n (c = 4 0 ) a r e s h o w n i n Figure5 . I t can be s een " tha t t he e l l i pses f o r t h e ex p l i c i ts c h e m e t e n d t o b e s m a l l e r ( t h i s i s a l s o t r u e f o r o t h e rp o i n t s ) t h a n t h o s e o b t a i n e d w i t h i m p l i c i t i n t e g r a t i o n .T h e d r i f t i s a l s o l e s s i n t h e e x p l i c i t m e t h o d . T h i s m a yb e d u e t o t h e l a r g e t i m e s t e p u s e d i n t h e i m p l i c i ts o l u t io n . A s a s m o o t h e r c i r c u l a t i o n p a t t e r n a n d s m a l le rd r i f t s a r e o b t a i n e d o n e c o u l d c o n c l u d e t h a t t h e e x p l i c i ts o l u t i o n i s m o r e a c c u r a t e i n t h i s c a s e . T h e r e a r e a l s os l ig h t d i f f e r e n c e s i n t h e s h a p e o f t h e e l li p s es .T h e l a rg e d r i f t ( in t h e o r d e r o f 1 0 t o 2 0 c m / s e c f o rs o m e p o i n t s ) m a y a l s o b e e x p l a i n e d b y t h e c o a r s e n e s so f th e g r i d . A t y p i c a l p l o t o f v e l o c i ti e s o v e r a l l t h e S e ai s a l s o s h o w n i n Figure 6 ( r e s u l t s a r e f r o m t h e i m p l i c i tp r o g r a m m e , t h e C h e z y c o e f f i c ie n t i s 2 0 o n t i d a lb o u n d a r i e s a n d 4 0 in s id e ), w h e r e t h e y a r e c o m p a r e da g a i n s t r e s u l t s p u b l i s h e d i n t h e t i d a l s t r e a m a t l a s e sa v a i l a b l e in B r i t a i n . T h e g e n e r a l t r e n d o f t h e v e lo c i t i e sc o m p a r e s w e ll .W e s h o u l d b e a w a r e , h o w e v e r , t h a t t h e t i d a l s t r e a ma t la s e s v e lo c i ti e s a r e s m o o t h e d o u t , t h e o b s e r v a t i o n sa r e m a d e i n o n l y t h e t o p l a y e r o f th e w a t e r . T h ep r o g r a m m e i n s t e a d y ie l d s d e p t h a v e r a g e d v e l o c it ie sg i v en b y e q u a t i o n ( 3 ) . H e n c e t h e c u r r e n t s w o r k e d o u tb y t h e p r o g r a m m e a r e n o t e x a c t l y a s t h e a t l a s e sc u r r e n ts . T h e p r o g r a m m e r e s u l t s a r e b e i n g a f fe c t e d b yl o c a l f l u c t u a t i o n s i n d e p t h t o a g r e a t e r d e g r e e t h a n t h ef i gur es i n t he a t l a ses .G r a p h s s h o w i n g t h e w a v e h e i g h t s o l u t i o n s f o r t h es a m e t e s t s a n d a t t h e s a m e p o i n t s a s t h e v e l o c i t i e s a r es h o w n i n Figur e 7. T h e r e a r e c o m p a r a t i v e l y h i ghv a r i a t i o n s i n t i d a l r a n g e a n d h i g h w a t e r t i m e s . T h ef l at n e ss o f th e w a v e h e i g h t c u r v e s a t n o d e s n e a r a na m p h i d r o m i c p o i n t i s a l s o n o t i c e a b l e .

A p p l . M a t h . M o d e l l i n g , 1 9 7 6 , V o l 1 , S e p t e m b e r 1 0 5

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6/7

S i m u l a t i o n o f w a t e r c i r c u l a t i o n i n th e N o r t h S e a . C . A . B r e b b i a a n d P . W . P a r t r i d g e/ _ . ./ . C -" , , ' ~ ' , . . . . \

(, - . . . , . _ /

" I ~ " - ' ' ' " ..

\ . . , . . : : . )\ , , , , \ - : - /\ ' , ' ~ , ", . ,

/ - . ' . .

Figure 6a Veloci ty vectors obtaine d with the im pl ic i t programme2 hours after high water at Dov er

A BERD

GREATB R I T A I N ~

% " t

b ~ - ~IB ANTWERP

Figure 6b Veloci ty vectors f rom the Admiral ty charts 2 hoursafter high water

F i n a l l y t h e c o - r a n g e l i n e s c h a r t f o r t h e N o r t h S e ah a s b e e n c o m p u t e d f r o m r e s u l t s o b t a i n e d u s i n g t h ei m p l ic i t p r o g r a m m e w i t h f ri c t io n c = 2 0 m l @ s e c o nt id a l b o u n d a r y a n d f o r in t e r i o r e l e m e n t s c a s g iv e n b yf o r m u l a (1 9 ) a n d s h o w n i n Figure 8. I f t h e c o - r a n g el i n e s a r e c o m p a r e d a g a i n s t t h e r e s u l t s s h o w n i nA d m i r a l t y c h a r t 5 0 5 8 t h e a g r e e m e n t i s r e a s o n a b l e .S i m i l ar c u r v es w e r e a l s o r e p o r t e d b y G r o t k o p 4 a n dN i h o u l 6.

C o n c l u s i o n s

F o r a c o n s t a n t l ev e l o f f r i c ti o n t h r o u g h o u t t h e g r id t h er e s u l ts b e c a m e u n s t a b l e f o r a v a l u e o f C h e z y ' sc o e f f i c i e n t o f 6 0 m l / 2 / s e c u n l e s s s p e c i a l p r o c e d u r e s a r eu s e d . S u d d e n r e d u c t i o n s o f t h e l e v e l o f f r i c ti o n ( i. e. ,i n c r e a s e s i n c ) c a u s e a s m a l l s h o c k t o b e t r a n s m i t t e dt h r o u g h t h e s y s t e m . S h o r t w a v e s a r e a l s o g e n e r a t e d o nt h e t i d a l b o u n d a r y b y t h e d i s c r e t e c h a n g e s i n t h ei m p o s e d t i d a l h e i g h t a t e a c h t i m e s te p . A w a y o fd a m p i n g o u t t h o s e e f f e ct s is b y d e c r e a s i n g t h e cc o e f f ic i e n ts i n e le m e n t s o n t h e t i d al b o u n d a r y a n d t h ist e c h n i q u e h a s b e e n u s e d f o r a l l t h e r e s u l t s s h o w n i nt h is p a p e r . A n o t h e r d a m p i n g p r o c e d u r e is th en u m e r i c a l s m o o t h i n g , f o r w h i c h t h e m o d e l c o u l d b es t a r t e d w i t h a r e a l is t i c l ev e l o f f r i c ti o n a n d t h e r e s u l t sn u m e r i c a l l y s m o o t h e d u n t i l t h e d i s t u r b a n c e c a u s e d b y

4 . 02 0 A ~

I v ,'- . 0 60 12 . O4 0' o L~o 2 . B

O 6"0 12-OT i m e af te r low water (Bergen)

a

b

i i i i

FixTure 7 Wavelength for (a) impl ic i t and (b) expl ic i t models. A,Point 51 B, point 57: C, point 105; D, point 148

2,am

2 , O mI.Om

Figure 8 Co-range tidal l ines

1 0 6 A p p l . M a t h . M o d e l l i n g , 1 9 7 6 , V o l 1 , S e p t e m b e r

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7/7

S i m u l a t i o n o f wa t e r c i r c u l a t i o n i n t h e No r t h Se a : C . A . B r e b b i a a n d P . W . Pa r t r i d g et h e c o l d s t a r t h a s b e e n r e d u c e d . S i n c e i t i s n o tn e c e s s a r y t o a l t e r t h e f r i c ti o n p a r a m e t e r a f t e r t h is t h ei n t r o d u c t i o n o f f u r t h e r s h o r t w a v e s m a y i n s o m e c a se sb e a v o i d e d . F o r t h e r e s u l t s r e p o r t e d i n t h i s p a p e r t h en u m e r i c a l s m o o t h i n g t e c h n i q u e w a s o n l y u s e d o n c e f o ra s h o r t t i m e , t o s t a b i l i z e t h e i m p l i c i t m o d e l r e s u l t sw h e n t h e C h e z y c o e f f i c ie n t c h a n g e d f r o m 4 0 t o th ev a l u e g i v e n b y f o r m u l a ( 1 9 ) .B o t h t i m e i n t e g r a t i o n s c h e m e s , i m p l i c i t a n d e x p l i c i t ,g i v e s i m i l a r r e s u l t s ; h o w e v e r , t h e f o u r t h - o r d e rR u n g e - K u t t a is m o r e a c c u r a t e u s in g A t = 1 0 m i nw h i c h i s t h e h i g h e s t a l l o w a b l e t i m e s t e p i n t h i s c a s e .B u t i t s h o u l d b e a l s o p o i n t e d o u t t h a t t h e i m p l i c i tp r o g r a m m e ( A t = 3 0 m i n ) n e e d s l es s t h a n h a l f t h ec o m p u t e r t i m e r e q u i r e d f o r t h e e x p l ic i t p r o g r a m m e .F o r e v o l u t i o n a r y p r o c e s s es o f th e t y p e h e r ed e s c r i b e d c o m p u t e r t i m e c a n b e v e r y e x p e n s iv e a n d t h ep r o g r a m m e s h o u l d b e f u r th e r o p t im i z e d b e f o reu n d e r t a k i n g p r o d u c t i o n r u n s . It s ee m s , h o w e v e r , t h a tf o r a p r o b l e m w i t h t h e d i m e n s i o n s o f t h e N o r t h S e aa n d a f i n i t e e l e m e n t g r i d s i m i l a r t o t h e o n e u s e d h e r e ,t h e e x pl ic i t p r o g r a m m e m a y b e m o r e c o n v e n i e n t tou s e . T h i s i s n o t t h e c a s e w h e n t h e d o m a i n i s s m a l l e r( f o r i n s t a n c e f o r t h e S o l e n t ) o r t h e g r i d v e r y f in e . I no t h e r w o r d s i m p l i c it s c h e m e s a r e m o r e e x p e n s i v e p e rt i m e s t e p t h a n e x p l i ci t o n e s b u t a l l o w f o r l a rg e rt i m e s te p s . T h i s c a n b e o f i n t e re s t i n p r o b l e m s w h e r e

t h e t i m e s t e p m a y b e i n c r e a s e d c o n s i d e r a b l y o v e r as i m p l e r s c h e m e , w i t h o u t s i g n i f i c a n t l y a f f e c t i n g t h ea c c u r a c y o f t h e r e s u l t s.T h e v i a b i l it y o f t h e s i x n o d e s f i n i t e e l e m e n tc i r c u l a t io n m o d e l f o r t h e N o r t h S e a h a s b e e ne s ta b l is h e d . S e c o n d o r d e r e l e m e n t s o f t h is t y p e a r ee s p e c i a l l y s u i t a b l e t o r e p r e s e n t a c c u r a t e l y t h et o p o g r a p h y o f t h e r e g i o n ( i.e ., v a r i a b l e d e p t h a n dc u r v e d b o u n d a r i e s ).

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