Filosofía de Wittgenstein de Las Matemáticas (Stanford)

17/10/2015 Filosofía de Wittgenstein de las Matemáticas (Stanford Encyclopedia of Philosophy)

http://plato.stanford.edu/entries/wittgensteinmathematics/ 1/42

Stanford Encyclopedia of PhilosophyFilosofía de las Matemáticas de WittgensteinPublicado por primera vez vie 23 de febrero 2007; revisión sustantiva lun 21 de marzo 2011

Filosofía de Ludwig Wittgenstein de las matemáticas es, sin duda, la parte más desconocida y pocoapreciada de su obra filosófica. De hecho, más de la mitad de los escritos de Wittgenstein desde 1929 através de 1.944 están dedicados a las matemáticas, un hecho que el propio Wittgenstein enfatizó en 1944por escrito que su "contribución principal ha estado en la filosofía de las matemáticas" (Monk 1990,466).

El núcleo de la concepción de Wittgenstein de las matemáticas se ajusta en gran medida por el TractatusLogicoPhilosophicus (1922; en lo sucesivo, Tractatus), donde su principal objetivo es trabajar en laconexión del lenguaje la realidad mediante la determinación de lo que se requiere para el lenguaje, o eluso del lenguaje, a se acerca el mundo. Wittgenstein responde a esta pregunta, en parte, al afirmar quelas únicas proposiciones verdaderas que podemos utilizar para hacer afirmaciones sobre la realidad soncontingentes ('empírica') proposiciones que son verdaderas si están de acuerdo con la realidad y false encaso contrario (4,022, 4,25, 4,062 , 2.222). De esto se deduce que todas las demás proposicionesaparentes son pseudoproposiciones de varios tipos y que todos los otros usos de la "verdadera" y"verdad" desviarse notablemente de la verdad por correspondencia (o acuerdo) que las proposicionescontingentes tienen en relación con la realidad . Así, desde el Tractatus a por lo menos 1944,Wittgenstein sostiene que "las proposiciones matemáticas" no son proposiciones verdaderas y que "laverdad matemática" es esencialmente noreferencial y puramente sintáctico en la naturaleza. En vista deWittgenstein, inventamos los cálculos matemáticos y ampliamos las matemáticas de cálculo y la prueba,y aunque nos enteramos de una prueba de que un teorema puede derivarse de axiomas por medio deciertas reglas de una manera particular, es no el caso de que esta prueba path preexiste nuestraconstrucción de la misma.

Como veremos, Filosofía de la Matemática de Wittgenstein comienza de una manera rudimentaria en elTractatus, se desarrolla en un constructivismo finitista en el período intermedio (ObservacionesFilosóficas (192930) y Filosófica Gramática (193133), respectivamente; en lo sucesivo PR y PG ,respectivamente), y está desarrollado en direcciones nuevas y viejas en el MSS utiliza paraObservaciones sobre los Fundamentos de Matemáticas (19371944; en lo sucesivo, RFM). Como vistassustantivas de Wittgenstein sobre las matemáticas evolucionan a partir de 1918 a través de 1944, susescritos filosóficos y estilos evolucionan desde el asertórico, estilo aforístico del Tractatus de un estiloargumentativo más clara en el período intermedio, a un estilo dialéctico, interlocutoria en RFM y lasInvestigaciones filosóficas (en adelante PI).

1. Wittgenstein en Matemáticas en el Tractatus2. El medio de Wittgenstein finitista Constructivismo

Intermedio formalismo Constructiva 2.1 de Wittgenstein2.2 de Wittgenstein Intermedio finitismo2.3 de Wittgenstein Intermedio finitismo y Algorítmica DecidibilidadCuenta Intermedio 2.4 de Wittgenstein de inducción matemática y algorítmica Decidibilidad2.5 Cuenta Intermedio de Wittgenstein de los números irracionales2.6 de Wittgenstein Intermedio Crítica de la Teoría de Conjuntos

3. El Wittgenstein Posteriormente Matemáticas: Algunos Preliminares

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3.1 Matemáticas como una invención humanaMás tarde finitista Constructivismo 3.2 de Wittgenstein3.3 El Wittgenstein Posteriormente Decidibilidad y Algorítmica DecidibilidadCrítica tarde 3.4 de Wittgenstein de la Teoría de Conjuntos: no Enumerability vs. NoDenumerability3.5 Aplicación extramatemática como una condición necesaria de la significatividadMatemática3.6 Wittgenstein de Gödel y indecidibles Matemáticas Proposiciones

4. El impacto de la Filosofía de la Matemática en MatemáticasBibliografía

Escritos de WittgensteinNotas sobre Conferencias de Wittgenstein y conversaciones grabadasFuentes secundarias y Literatura Primaria Relevante

Herramientas AcadémicosOtros recursos de InternetEntradas relacionadas

1. Wittgenstein en Matemáticas en el Tractatus

No referencial de Wittgenstein, formalista concepción de las proposiciones matemáticas y términos seinicia en el Tractatus. [1] En efecto, en la medida en que él esboza una filosofía rudimentaria deMatemáticas en el Tractatus, lo hace por contraste matemáticas y ecuaciones matemáticas con genuinos(contingentes) proposiciones , sensación, pensamiento, signos proposicionales y sus nombresconstituyentes, y la verdad por correspondencia.

En el Tractatus, Wittgenstein afirma que una proposición verdadera, que se basa en las convenciones, esutilizado por nosotros para afirmar que un estado de cosas (es decir, un hecho elemental o atómica;'Sachverhalt') o de hecho (es decir, varios estados de cosas; 'Tatsache') obtener (s) en el único mundoreal. Una proposición elemental es isomorfo al posible estado de cosas que se utiliza para representar:debe contener tantos nombres, ya que hay objetos en el posible estado de cosas. Una proposiciónelemental es verdadera si y sólo si su posible estado de cosas (es decir, su "sentido", "Sinn ') obtiene.Wittgenstein establece claramente esta teoría de la correspondencia de la Verdad en (4.25): "Si unaproposición elemental es cierto, existe el estado de cosas; si una proposición elemental es falso, no existeel estado de cosas. "Pero las proposiciones y sus componentes lingüísticos son, en sí mismas, muertounapropuesta solo tiene sentido porque nosotros, los seres humanos han dotado con una convencionalsentido (5.473) . Por otra parte, los signos proposicionales pueden ser utilizados para hacer cualquiernúmero de cosas (por ejemplo, insulto, llamar la atención de alguien); con el fin de afirmar que un estadode cosas obtiene, una persona debe 'proyecto' sentido de su posible estado de la proposición de cosaspor"pensamiento" de (por ejemplo, imaginando) su sentido como se habla, escribe o piensa la proposición(3,11 ). Wittgenstein conecta uso, sentido, la correspondencia, y la verdad al decir que "una proposiciónes verdadera si utilizamos con decir que están las cosas de una determinada manera, y lo hacen" (4.062;la cursiva es nuestra).

Los Tractatus concepciones de auténticos (contingentes) proposiciones y el concepto central (original y)de la verdad se utilizan para construir teorías de 'proposiciones' lógicas y matemáticas por el contrario.Dicho con audacia y sin rodeos, tautologías, contradicciones y proposiciones matemáticas (es decir,ecuaciones matemáticas) no son ni verdaderas ni falsas, decimos que son verdaderas o falsas, pero, alhacerlo, usamos las palabras 'verdadero' y 'falso' en muy diferentes sentidos del sentido en el que unaproposición contingente es verdadera o falsa. A diferencia de las proposiciones verdaderas, tautologías y



contradicciones "no tienen 'objeto'" (6.124), "carecen de sentido", y "no hablar" sobre el mundo (4.461),y, análogamente, ecuaciones matemáticas son "pseudoproposiciones" ( 6.2) que, al "verdadero"("correcta"; 'richtig' (6.2321)), "más que marcar [...] ... [la] equivalencia de significado [de 'dosexpresiones']" (6.2323). Teniendo en cuenta que "[l] autología y la contradicción son los casos de hecholimitan la desintegración de la combinación de signos" (4.466; la cursiva es nuestra), donde "lascondiciones del acuerdo con el mundolos representacionales relaciones cancelan entre sí, por lo que que[ellos] no [] no se colocan en cualquier relación de representación a la realidad ", tautologías ycontradicciones no imaginan la realidad o posibles estados de cosas y los posibles hechos (4.462). Dichode otra manera, tautologías y contradicciones no tienen sentido, lo que significa que no podemos usarlospara hacer afirmaciones, lo que significa, a su vez, que no pueden ser verdaderas o falsas. Análogamente,matemáticas pseudoproposiciones son ecuaciones que indican o muestran que dos expresiones sonequivalentes en significado y por lo tanto son intersubstitutable. De hecho, llegamos a ecuacionesmatemáticas por "el método de sustitución": "a partir de una serie de ecuaciones, avanzamos a nuevasecuaciones mediante la sustitución de las diferentes expresiones de acuerdo con las ecuaciones" (6,24).Probamos 'proposiciones' matemáticas 'true' ('correcta') por "ver" que las dos expresiones tienen el mismosignificado que "debe manifestarse en las dos mismas expresiones" (6,23), y por la sustitución de unaexpresión para otro con la El mismo significado. Al igual que "se puede reconocer que [" proposicioneslógicas "] son verdaderas desde el símbolo solo" (6.113), "la posibilidad de probar" las proposicionesmatemáticas significa que podemos percibir su corrección sin tener que comparar "lo que expresan" conhechos (6,2321; cf. (RFM App. III, § 4)).

La demarcación entre proposiciones contingentes, que puede ser usado para representar correctamente oincorrectamente partes del mundo, y las proposiciones matemáticas, que se puede decidir de manerapuramente formal, sintáctico, se mantiene por Wittgenstein hasta su muerte en 1951 (Zettel §701, 1947;PI II, 2001 Ed, pp 192193e, 1949)... Teniendo en cuenta las convenciones lingüísticas y simbólicas, elvalor de verdad de una proposición contingente es del todo una función de cómo es el mundo, mientrasque el "valor de verdad" de una proposición matemática es del todo una función de sus símbolosconstituyentes y el sistema formal de la que es una parte. Por lo tanto, una segunda manera,estrechamente relacionado de afirmar esta demarcación es decir que las proposiciones matemáticas sondecidible por medios puramente formales (por ejemplo, cálculos), mientras que las proposicionescontingentes, siendo sobre el mundo "externo", sólo pueden ser decididas, en todo caso , mediante ladeterminación de si un hecho particular obtiene (es decir, algo externo a la proposición y el idioma en elque reside) (2,223; 4,05).

La teoría formal Tractarian de las matemáticas es, en concreto, una teoría del formales operaciones. Enlos últimos 10 años, la teoría de las operaciones de Wittgenstein ha recibido el examen considerable[(Frascolla 1994; 1997), (Marion, 1998), (Potter 2000), y (Floyd 2002)], que curiosamente se haconectado y la teoría ecuacional Tractarian de aritmética con elementos de λcálculo de Alonzo Iglesia ycon el cálculo ecuacional de RL Goodstein (Marion 1998, capítulos 1, 2 y 4). Muy brevemente dicho,Wittgenstein presenta:

a. ... El signo '[un, x, O' x] 'para el término general de la serie de formas a, O' una, O 'O' una, ....(5.2522)

b. ... La forma general de una operación Ω '(η) [como]

[Ξ, N (ξ)] '(η) (= [η, ξ, N (ξ)]). (6.01)

c. ... La forma general de una proposición ("función de verdad") [como] [p, ξ, N (ξ)]. (6)d. La forma general de un entero [número natural] [como] [0, ξ, ξ + 1]. (6,03)

y agregó que "[e] l concepto de número es ... la forma general de un número" (6.022). Como Frascolla (y



Marion después de él) han señalado, "la forma general de una proposición es un caso particular de laforma general de una" operación "" (Marion 1998, p. 21), y las tres formas generales (es decir, deoperación, proposición, y número natural) toman como modelo la variable presentado en (5.2522)(Marion 1998, p. 22). Definición de "[a] n la operación [como] la expresión de una relación entre lasestructuras de su resultado y de sus bases" (5,22), Wittgenstein afirma que mientras que "[a] la funciónno puede ser su propio argumento, ... una operación puede tomar uno de sus propios resultados como subase "(5.251).

On (5.2522) en cuenta de Wittgenstein '[un, x, O' x] '", el primer término de la expresión entre corcheteses el comienzo de la serie de las formas, la segunda es la forma de un término x arbitrariamenteseleccionados de la serie y el tercero [O 'x] es la forma del término que sigue inmediatamente a x de laserie. "Teniendo en cuenta que" [e] l concepto de aplicaciones sucesivas de una operación es equivalenteal concepto' y así sucesivamente '"( 5,2523), se puede ver cómo los números naturales pueden sergenerados por iteraciones repetidas de la forma general de un número natural, a saber '[0, ξ, ξ 1]'. Delmismo modo, las proposiciones veritativofuncionales se pueden generar, como dice Russell en laIntroducción al Tractatus (pág. Xv), a partir de la forma general de la proposición '[p, ξ, N (ξ)] "por"tomar cualquier selección de proposiciones atómicas [donde p "significa todas las proposicionesatómicas"; "La barra sobre la variable indica que es el representante de todos sus valores" (5.501)],negando todos, luego de tomar cualquier selección del conjunto de proposiciones ahora obtenidos, juntocon cualquiera de los originales [donde x "representa cualquier conjunto de proposiciones ".] y asíindefinidamente" En Frascolla (1994, 3 ss) cuenta, "una identidad numérica" t = s "es un teoremaaritmético si y sólo si la ecuación correspondiente" Ω t 'x = Ω s 'x ", que se enmarca en el lenguaje de lateoría general de las operaciones lógicas, pueden ser probadas." Al probar' la ecuación "Ω 2 × 2 'x =Ohmio 4' x", que traduce la identidad aritmética "2 × 2 = 4 "en el idioma operativo '(6.241),Wittgenstein con ello esboza" una traducción de la aritmética numérica en una especie de teoría generalde las operaciones "(Frascolla 1.998, 135).

A pesar de que Wittgenstein claramente qué no tratar de reducir las matemáticas a la lógica, ya sea enforma de Russell o manera de Frege, o tautologías, ya pesar del hecho de que Wittgenstein critica deRussell logicismo (por ejemplo, la Teoría de los Tipos, 3,313,32; el axioma de reducibilidad, 6.1232,etc.) y logicismo de Frege (6.031, 4.1272, etc.), [2] un buen número de comentaristas, temprana yreciente, han interpretado la teoría Tractarian de Wittgenstein de las matemáticas como una variante dellogicismo [(Quine 1940 [1981 , 55]), (Benacerraf y Putnam 1964, 14), (Negro 1966, 340), (Savitt 1979[1986], 34), (Frascolla 1994, 37; 1997, 354, 35657, 361; 1,998, 133 ), (Marion 1.998, 26 y 29), y (Potter2000, 164 y 182 a 183)]. Hay por lo menos cuatro razones ofrecidas para esta interpretación.

1. Wittgenstein dice que "[m] athematics es un método de la lógica" (6.234).2. Wittgenstein dice que "[l] a la lógica del mundo, que se muestra en tautologías por las

proposiciones de la lógica, se muestra en las ecuaciones por las matemáticas" (6,22).3. Según Wittgenstein, averiguamos la verdad de las dos proposiciones matemáticas y lógicas por el

símbolo solo (es decir, por las operaciones puramente formales), sin hacer ('externos', nosimbólicos) observaciones de los estados de cosas o hechos en el mundo.

4. De Wittgenstein iterativa (inductiva) "interpretación de los números como exponentes de unavariable de operación" es una "reducción de la aritmética a la teoría de operación", donde"operación" se interpretará como una "lógica de funcionamiento" (la cursiva es nuestra) (Frascolla1994, 37), lo que demuestra que 'la etiqueta "sin clases logicismo" coincide con el Tractatus vistade la aritmética "(Frascolla 1998, 133; 1997, 354).

Aunque al menos tres interpretaciones logicista del Tractatus han aparecido en los últimos 8 años, lassiguientes consideraciones [(Rodych 1995), (Wrigley 1998)] indican que ninguna de estas razones es



particularmente convincente.

Por ejemplo, al decir que "[m] athematics es un método de la lógica", tal vez Wittgenstein sólo estádiciendo que ya que la forma general de un número natural y la forma general de la proposición son dosejemplos de la forma general de un (puramente formal ) la operación, al igual que las proposicionesveritativofuncionales pueden ser construidos usando la forma general de una proposición, (verdaderos)ecuaciones matemáticas se puede construir usando la forma general de un número natural.Alternativamente, Wittgenstein puede significar que matemáticos inferencias (es decir, no sustituciones)están de acuerdo con, o hacer uso de, inferencias lógicas, y la medida en que el razonamiento matemáticoes el razonamiento lógico, la matemática es un método de la lógica.

Del mismo modo, al decir que "[l] a la lógica del mundo" se muestra por tautologías y verdaderasecuaciones matemáticas (es decir, # 2), Wittgenstein se puede decir que desde la matemática se inventópara ayudar a contar y medir, en la medida que permite inferir proposición contingente (s) proposicióncontingente (s) (véase 6.211 más adelante), por lo tanto refleja hechos contingentes y "[l] a la lógica delmundo." A pesar de la lógica inherente a naturales ('todos los días') idioma (4.002, 4.003, 6.124) y que haevolucionado para satisfacer nuestra comunicativa, exploratoria, y la supervivencia en las necesidades noestá inventado de la misma manera, una inferencia lógica válida capta la relación entre posibles hechos yun sonido inferencia lógica captura la relación entre hechos existentes.

En cuanto a # 3, Negro, Savitt y Frascolla han argumentado que, puesto que averiguar la verdad detautologías y ecuaciones matemáticas sin ninguna apelación a "estados de cosas" o "hechos" verdaderasecuaciones matemáticas y tautologías son tan análoga que podemos "acertadamente" describir "lafilosofía de la aritmética del Tractatus ... como una especie de logicismo" (Frascolla, 1994, 37). Laréplica a esto es que la similitud que Frascolla, Negro y Savitt reconocen no hace la teoría deWittgenstein una "especie de logicismo" en el sentido de Frege o Russell, porque Wittgenstein no definelos números "lógicamente", ya sea en forma de Frege o manera de Russell, y la similitud (o analogía)entre tautologías y verdaderas ecuaciones matemáticas no es ni una identidad ni una relación dereducibilidad.

Por último, los críticos argumentan que el problema con el nº 4 es que no hay evidencia para laafirmación de que la operación relevante es lógico en el sentido de la de Wittgenstein o Russell o Fregetérmino parece una operación puramente formal, sintáctica (Rodych 1995). "Las operaciones lógicas serealizan con proposiciones, unos aritméticas con números", dice Wittgenstein (WVC 218); "[E] lresultado de una operación lógica es una propuesta, el resultado de un solo aritmética es un número." Ensuma, los críticos de la interpretación logicista del Tractatus argumentan que ## 4/1 no lo hacen de formaindividual o colectiva constituyen convincente motivos para una interpretación logicista del Tractatus.

Otro aspecto crucial de la Tractarian teoría de las matemáticas es capturado en (6.211).

De hecho, en la vida real de una proposición matemática no es lo que queremos. Por elcontrario, hacemos uso de las proposiciones matemáticas solamente en inferencias a partir deproposiciones que no pertenecen a las matemáticas a otras que igualmente no pertenecen alas matemáticas. (En la filosofía a la pregunta, '¿Qué es lo que realmente utilizan esta palabrao esta proposición para?' Lleva varias veces para información valiosa.)

Aunque las matemáticas y la actividad matemática son puramente formal y sintáctico, en el Tractatus deWittgenstein tácitamente que distingue entre los juegos puramente formales con signos, que no tienenaplicación en proposiciones contingentes y proposiciones matemáticas, que se utilizan para hacerinferencias de proposición contingente (s) al contingente propuesta (s). Wittgenstein no lo diceexplícitamente, sin embargo, la forma en matemática ecuaciones, que son no proposiciones verdaderas,



se utilizan en inferencias de proposición verdadera (s) a la proposición verdadera (s) [(Floyd 2002, 309),(Kremer 2002, 29394) ]. Como veremos en §3.5, el último Wittgenstein vuelve a la importancia de laaplicación extramatemática y la utiliza para distinguir un mero "signo del juego" de una amenaza real,matemática juego de lenguaje.

Esta es, en resumen, es la teoría Tractarian de Wittgenstein de las matemáticas. En la Introducción alTractatus, Russell escribió que "la teoría del número" de Wittgenstein "tiene necesidad de un mayordesarrollo técnico," principalmente porque Wittgenstein no había mostrado cómo podría hacer frente alos números transfinitos (Wittgenstein 1922, xx). Del mismo modo, en su revisión del Tractatus, FrankRamsey escribió que "cuenta" de Wittgenstein no cubre todas las matemáticas en parte debido a lateoría de las ecuaciones de Wittgenstein no puede explicar las desigualdades (Ramsey 1923, 475).Aunque es dudoso que, en 1923, Wittgenstein habría pensado estos temas problemáticos, sin duda escierto que la teoría Tractarian de las matemáticas es esencialmente un boceto, especialmente encomparación con lo que Wittgenstein empieza a desarrollar seis años más tarde.

Después de la finalización del Tractatus en 1918, Wittgenstein hizo prácticamente ninguna obrafilosófica hasta el 2 de febrero de 1929, once meses después de asistir a una conferencia del matemáticoholandés LEJ Brouwer.

2. El medio de Wittgenstein finitista Constructivismo

No hay duda de que Wittgenstein fue fortalecido por la LEJ Brouwer 10 de marzo 1928 Vienaconferencia "Ciencia, Matemáticas y Lenguaje" (Brouwer 1929), a la que asistió con F. Waismann y H.Feigl, pero es una exageración bruta decir que regresó a la filosofía, porque de esta conferencia, o que suinterés intermedio en la Filosofía de las Matemáticas emitió principalmente de la influencia de Brouwer.De hecho, el regreso de Wittgenstein a la Filosofía y su obra intermedia en las matemáticas también sedebe a las conversaciones con Ramsey y miembros del Círculo de Viena, al desacuerdo de Wittgensteincon Ramsey sobre la identidad, y varios otros factores.

Aunque Wittgenstein no parece haber leído ninguna de Hilbert o Brouwer con anterioridad a lafinalización del Tractatus, a principios de 1929 Wittgenstein sin duda había leído el trabajo de Brouwer,Weyl, Skolem, Ramsey (y posiblemente Hilbert) y, al parecer, había tenido uno o más conversacionesprivadas con Brouwer en 1928 [(Le Roy Finch 1977, 260), (Van Dalen 2005, 566567)]. Por lo tanto, eltratamiento rudimentario de las matemáticas en el Tractatus, cuyas influencias principales eran Russell yFrege, fue sucedido por el trabajo detallado sobre las matemáticas en el período intermedio (1929 hasta1933), que fue fuertemente influenciado por la década de 1920 obra de Brouwer, Weyl, Hilbert y Skolem.

Intermedio formalismo Constructiva 2.1 de Wittgenstein

Para entender mejor la filosofía intermedia de Wittgenstein de las matemáticas, hay que apreciar sufuerte variante del formalismo, según el cual "[w] e hacer las matemáticas" (WVC 34, Ft # 1;. PR §159)inventando cálculos matemáticos puramente formal, con axiomas 'establecidos' (PR §202), las reglassintácticas de transformación, y los procedimientos de decisión que nos permiten inventar "la verdadmatemática" y "falsedad matemática" al decidir algorítmicamente llamados 'proposiciones' matemáticos(PR §§122, 162 ).

La idea central del formalismo de Wittgenstein desde 1929 (si no 1918) a través de 1944 es que lamatemática es esencialmente sintáctico, carente de referencia y la semántica. El aspecto más obvio deeste punto de vista, que ha sido señalado por numerosos comentaristas que no se refieren a Wittgensteincomo "formalista" [(Kielkopf 1.970, 360 a 38), (Klenk 1976, 5, 8, 9), (Fogelin 1968 , 267), (Frascolla



1994, 40), (Marion 1998, 1314)], es que, contra el platonismo, los signos y las proposiciones de uncálculo matemático no se refieren a nada. Como dice Wittgenstein al (WVC 34, Fort # 1.), "[N] umbersno están representados por apoderados; los números están ahí. "Esto significa no sólo que los númerosestán ahí en el uso, significa que los números son los números, ya que" [a] aritmética no habla denúmeros, funciona con los números "(PR §109).

¿Qué tiene que ver con la aritmética es el esquema | | | |.Pero hace charla aritmética sobre laslíneas que dibujo con lápiz sobre papel Arithmetic no habla de las líneas, se? Opera conellos. (PG 333)

En una línea similar, Wittgenstein dice que (WVC 106) "la matemática es siempre una máquina, uncálculo" y "[a] cálculo es un ábaco, una calculadora, una máquina de calcular", que "las obras por mediode golpes, números, etc. "El" lado justificada de formalismo ", según Wittgenstein (WVC 105), es que lossímbolos matemáticos" carecen de un significado "(es decir, 'Bedeutung') que no" ir proxy para "cosasque son" su significado [s] ".

Se podría decir que la aritmética es una especie de geometría; es decir, lo que en lageometría son las construcciones en el papel, en la aritmética son cálculos (en papel) . Sepodría decir que es un tipo más general de la geometría. (PR §109; PR § 111)

Este es el núcleo del formalismo de toda la vida de Wittgenstein. Cuando probamos un teorema o decidiruna proposición, operamos en un puramente formal manera, sintáctica. En hacer las matemáticas, nodescubrimos preexistentes verdades que eran "ya está ahí, sin que nadie sepa" (PG 481) nos inventan lasmatemáticas, poco a poco bits. "Si quieres saber lo que 2 + 2 = 4 medios", dice Wittgenstein, "usted tieneque preguntarse cómo trabajamos hacia fuera", porque "tenemos en cuenta el proceso de cálculo como loesencial" (PG 333). Por lo tanto, el único sentido (es decir, el sentido) de que una proposiciónmatemática tiene es intrasistémica significado, que está determinada totalmente por sus relacionessintácticas a otras proposiciones del cálculo.

Un segundo aspecto importante de la fuerte formalismo del Wittgenstein intermedio es su opinión de quela aplicación (y / o referencia) extramatemática es no una condición necesaria de un cálculo matemático.Cálculos matemáticos no requieren aplicaciones extramatemáticos, Wittgenstein sostiene, ya que"podemos desarrollar la aritmética totalmente autónoma y su aplicación se ocupa de sí mismo, ya dondequiera que es aplicable también podemos aplicarlo" (PR §109; cf. PG 308, WVC 104 ).

Como veremos en breve, el Wittgenstein media también se señala a la fuerte formalismo por una nuevapreocupación por cuestiones de decidibilidad. Sin duda influenciado por los escritos de Brouwer y DavidHilbert, Wittgenstein utiliza fuerte formalismo para forjar una nueva relación entre significadomatemático y decidibilidad algorítmica.

Una ecuación es una regla de sintaxis. ¿Eso no explica por qué no podemos tener preguntasen las matemáticas que son, en principio, sin respuesta? Porque si las reglas de la sintaxis nopueden ser captadas, son de ninguna utilidad en absoluto .... [Esto] hace inteligibles losintentos de la formalista para ver las matemáticas como un juego con signos. (PR §121)

En la Sección 2.3, veremos cómo Wittgenstein va más allá tanto Hilbert y Brouwer por el mantenimientode la ley del medio excluido de una manera que restringe las proposiciones matemáticas a las expresionesque son algorítmicamente decidible.

2.2 de Wittgenstein Intermedio finitismo



La diferencia más importante entre el Wittgenstein Temprano y Medio es que, en el período intermedio,Wittgenstein rechaza la cuantificación sobre un dominio de matemática infinita, afirmando que, contra suTractarian vista, tales 'proposiciones' no son conjunciones infinitas y disyunciones infinitos simplementeporque no hay tales cosas.

De Wittgenstein principales razones para el desarrollo de una filosofía finitista de Matemáticas son lossiguientes.

1. Matemáticas como invención humana: Según el Wittgenstein medio, que inventan las matemáticas,de la que se deduce que no existen las matemáticas y los llamados objetos matemáticosindependientemente de nuestras invenciones. Todo lo que es matemático es, fundamentalmente, unproducto de la actividad humana.

2. Matemática Cálculos compuestas exclusivamente por intensiones y extensiones: Dado que hemosinventado sólo extensiones matemáticas (por ejemplo, símbolos, conjuntos finitos, secuenciasfinitas, proposiciones, axiomas) y intensiones matemáticos (por ejemplo, reglas de inferencia ytransformación, números irracionales como reglas), estas extensiones y intensiones, y los cálculosen los que residen, constituyen la totalidad de las matemáticas. (Cabe señalar que el uso deWittgenstein de «extensión» y «intensión» en lo relativo a las matemáticas se diferencianotablemente de uso contemporáneo norma, en el que la extensión de un predicado es el conjuntode entidades que satisfacen el predicado y la intensión de un predicado es el significado de, oexpresado por el predicado. Ponga sucinta, Wittgenstein piensa que la extensión de esta noción deconcepto y la extensión del dominio de la existente (es decir, física) se opone a la llamada dedominio de "objetos matemáticos" se basa en una analogía defectuosa y engendra confusiónconceptual. Ver # 1 justo debajo.)

Estas dos razones tienen al menos cinco inmediatas consecuencias para la Filosofía de la Matemática deWittgenstein.

1. Rechazo de infinitas extensiones de Matemáticas: Teniendo en cuenta que una extensiónmatemática es un símbolo ("signo") o una concatenación finita de símbolos extendidos en elespacio, hay una diferencia categórica entre intensiones matemáticos y (finitas) extensiones dematemáticas, de la que se desprende que " el infinito matemático "reside sólo en reglas recursivas(es decir, intensiones). Una extensión matemática infinita (es decir, un completado, la extensiónmatemática infinita) es una contradicción en términos

2. Rechazo de Unbounded Cuantificación en Matemáticas: Dado que el infinito matemático sólopuede ser una regla recursiva, y dado que una proposición matemática debe tener sentido, sededuce que no puede haber una proposición matemática infinita (es decir, un producto lógicoinfinito o una lógica infinita SUM).

3. Algorítmica Decidibilidad vs. Indecidibilidad: Si las extensiones de matemáticas de todo tipo sonnecesariamente finita, entonces, en principio, todas las proposiciones matemáticas sonalgorítmicamente decidible, del que se desprende que una "proposición matemática indecidible" esuna contradicción en términos. Además, dado que la matemática es esencialmente lo que tenemosy lo que sabemos, Wittgenstein restringe decidibilidad algorítmico para saber cómo decidir unapropuesta con un procedimiento de toma conocido.

4. Cuenta antifundacionalista de números reales: Dado que no existen extensiones matemáticosinfinitos, los números irracionales son las reglas, no las extensiones. Teniendo en cuenta que unconjunto infinito es una regla recursiva (o una inducción) y ninguna regla puede generar todas lascosas que los matemáticos llaman (o quieran llamar) "números reales", se deduce que no existe unconjunto de "todos" lo real números y no hay tal cosa como el continuo matemática.

5. El rechazo de diferentes cardinalidades Infinite: Dada la inexistencia de extensiones matemáticosinfinitos, Wittgenstein rechaza la interpretación estándar de la prueba diagonal de Cantor como una



prueba de conjuntos infinitos de mayor y menor cardinalidades.

Como nos inventamos las matemáticas en su totalidad, no descubrimos objetos o hechos matemáticos oque los objetos matemáticos tienen ciertas propiedades preexistente, porque "uno no puede descubrirninguna conexión entre las partes de las matemáticas o la lógica que ya estaba allí sin que nadie sepa"(PG 481). En el examen de matemáticas como una invención puramente humana, Wittgenstein trata dedeterminar qué es exactamente lo que hemos inventado y por qué exactamente, en su opinión, queerróneamente pensar que hay extensiones matemáticas infinitas.

Si, en primer lugar, examinamos lo que hemos inventado, vemos que hemos inventado los cálculosformales que consiste en extensiones finitas y reglas intensionales. Si, lo más importante, nos esforzamospara determinar por qué creemos que existen extensiones matemáticos infinitos (por ejemplo, ¿por quécreemos que el infinito real es intrínseco a las matemáticas), nos encontramos con que nos confundenmatemáticos intensiones y matemáticas extensiones, erróneamente pensando que no hay " un dualismo"de" la ley y la serie infinita obedecerla "(PR §180). Por ejemplo, creemos que debido a un número real"produce sin cesar los lugares de una fracción decimal" (PR §186), que es "una totalidad" (WVC, cuando,en realidad, "8182, # 1 Ft.) [a] n número irracional no es la extensión de una fracción decimal infinito ...es una ley "(PR §181), que" produce extensiones "(PR §186). Un derecho y una lista sonfundamentalmente diferentes; ninguno puede "dar" lo que el otro da (WVC 102103). De hecho, "el erroren el enfoque conjunto teórico consiste una y otra vez en el tratamiento de las leyes y las enumeraciones(listas) como esencialmente el mismo tipo de cosas" (PG 461).

En estrecha relación con esta fusión de intenciones y extensiones es el hecho de que por error actuamoscomo si la palabra "infinito" es una "palabra número", porque en el discurso ordinario respondemos a lapregunta con ambos ("¿cuántos?" PG 463; cf . PR §142). Sin embargo, "'[i] nfinite' no es una cantidad",Wittgenstein insiste (WVC 228); la palabra "infinito" y una palabra igual número "cinco" no tienen lamisma sintaxis. Las palabras 'finito' y 'infinito' no funcionan como adjetivos en las palabras "clase" o"set" (WVC 102), por los términos "clase finita" y el uso de "clase infinita" 'clase' en formascompletamente diferentes (WVC 228). Una clase infinita es una regla recursiva o "inducción", mientrasque el símbolo para una clase finita es una lista o extensión (PG 461). Se debe a una inducción tienemucho en común con la multiplicidad de una clase finita que erróneamente llamamos una clase infinita(PR §158).

En suma, debido a una extensión matemática es necesariamente una secuencia finita de símbolos, unaextensión infinita matemática es una contradicciónintérminos. Este es el fundamento de finitismo deWittgenstein. Por lo tanto, cuando decimos, por ejemplo, que "hay un número infinito de números pares,"estamos no diciendo "hay un número infinito de números pares" en el mismo sentido que podemos decir"hay 27 personas en esta casa"; la serie infinita de números naturales es otra cosa que "la posibilidadinfinita de serie finita de números" "[e] s no tiene sentido hablar de la toda la serie número infinito,como si también fuera una extensión" (PR §144 ). El infinito se entiende con razón cuando se entiende,no como una cantidad, sino como una "posibilidad infinita" (PR §138).

Teniendo en cuenta el rechazo de Wittgenstein de extensiones matemáticos infinitos, adopta vistasfinitistas, constructivas sobre la cuantificación matemática, decidibilidad matemática, la naturaleza de losnúmeros reales, y la prueba de la diagonal de Cantor de la existencia de conjuntos infinitos de mayorescardinalidades.

Dado un conjunto matemático es una extensión finita, no podemos significativa cuantificar más de undominio de matemática infinita, simplemente porque no hay tal cosa como un dominio de matemáticainfinita (es decir, la totalidad, set), y, por derivación, hay cosas tales como conjunciones infinitas odisyunciones [(Moore 1955, 3.2); cf. (AWL 6) y (PG 281)].



[E] s todavía se ve ahora como si los cuantificadores no tienen sentido para los números.Quiero decir: no se puede decir '(n) φ n', precisamente porque "todos los números naturales'no es un concepto limitado. Pero entonces tampoco debe uno decir una proposición generalse sigue de una propuesta sobre la naturaleza del número.

Pero en ese caso, me parece que no podemos utilizar generalidadtodo, etc. en matemáticasen absoluto. No hay tal cosa como "todos los números ', simplemente porque hay infinitos.(PR §126; PR §129)

'Extensionalists' que afirman que "ε (0) .ε (1) .ε (2) y así sucesivamente", es un producto lógico infinito(PG 452) asumir o afirmar que las conjunciones finitos e infinitos son primos cercanosque el hecho deque no podemos escribir o enumerar todas las oraciones conjuntivas »contenido» en un conjunto infinitoes sólo una "debilidad humana", porque Dios podría sin duda hacerlo y Dios podría seguramenteencuesta tal conjunción en un solo golpe de vista y determinar su valor de verdad. Según Wittgenstein,sin embargo, esto es no una cuestión de humano limitación. Porque pensamos erróneamente que "unconjunto infinito" es similar a "un enorme conjunto," erróneamente razonar que, así como no podemosdeterminar el valor de verdad de un enorme conjunto porque no tienen tiempo suficiente, de manerasimilar no puede, debido a las limitaciones humanas, determinar el valor de verdad de un conjuntoinfinito (o disyunción). Pero la diferencia aquí no es de grado sino de tipo: "en el sentido en el que esimposible comprobar un número infinito de proposiciones también es imposible tratar de hacerlo" (PG452). Esto se aplica, según Wittgenstein, a los seres humanos, pero lo más importante, se aplica tambiéna Dios (es decir, un ser omnisciente), incluso para Dios no puede escribir o encuesta infinitamentemuchas proposiciones, porque para él también la serie no tiene fin o ilimitada y por tanto la "tarea" no esuna tarea genuina, ya que no puede, en principio, ser hecho (es decir, "infinitos" no es una palabranúmero). Como dice Wittgenstein al (PR 128; cf. PG 479): "'¿Puede Dios conocer todos los lugares de laexpansión de π? habría sido una buena pregunta para los escolásticos que preguntan, "para la pregunta esestrictamente" sin sentido ". Como veremos en breve, en la cuenta de Wittgenstein, "[a] declaraciónsobre todos los números no se representa por medio de una proposición, sino por medio de la inducción"(WVC 82).

Del mismo modo, no hay tal cosa como una proposición matemática sobre algún número hay tal cosacomo una proposición matemática que cuantifica existencialmente más de un dominio infinito (PRSección 173).

¿Cuál es el significado de una proposición matemática como '(∃ n) 4 + n = 7'? Puede ser quesea una disyunción (4 + 0 = 7) ∨ (4 + 1 = 7) ∨ etc. ad inf. Pero, ¿qué significa eso? Puedoentender una proposición con un principio y un fin. Pero ¿se puede también entender unaproposición sin fin? (PR §127)

Estamos particularmente seducidos por el sentimiento o creencia de que un infinito matemáticodisyunción tiene sentido en el caso en el que podemos proporcionar una regla recursiva para generar cadasiguiente miembro de una secuencia infinita. Por ejemplo, cuando decimos "Existe un número perfectoimpar" estamos afirmando que, en la secuencia infinita de números impares, hay (al menos) un númeroimpar que es perfecto, estamos afirmando 'φ (1) ∨ φ (3) ∨ φ (5) ∨ y así sucesivamente 'y sabemos lo queharía más verdadero y lo que haría falsa (PG 451). El error aquí realizado, de acuerdo con Wittgenstein(PG 451), es que estamos implícitamente 'comparar la proposición "(∃n) ..." con la proposición de ..."Hay dos palabras extranjeras en esta página", "que no prevé la gramática de la antigua 'proposición',pero sólo indica una analogía en sus respectivas reglas.

En finitismo intermedia de Wittgenstein, una expresión más de la cuantificación de un dominio infinito



es que nunca un asunto significativo, ni siquiera cuando hemos demostrado, por ejemplo, que un númerodeterminado n tiene una propiedad particular.

El punto importante es que, incluso en el caso en que se me da que 3 2 + 4 2 = 5 2, debo nodecir '(∃ x, y, z, n) (x n + y n = z n) , ya tomada extensionalmente eso es sin sentido, yllevados intensionalmente esto no proporciona una prueba de ello. No, en este caso, deboexpresar sólo la primera ecuación. (PR §150)

Por lo tanto, Wittgenstein adopta la posición radical que todas las expresiones que cuantifican más de undominio infinito, ya sea 'conjeturas' (por ejemplo, la conjetura de Goldbach, el Primer Conjetura doble) o"demostraron teoremas generales" (por ejemplo, "Primer Número Teorema de Euclides", el FundamentalTeorema de Álgebra), son de sentido (es decir, 'sin sentido'; expresiones 'sinnlos') en lugar de "auténticamatemática propuesta [s]" (PR §168). Estas expresiones no son significativas () proposicionesmatemáticas, según Wittgenstein, porque la Ley del tercero excluido no se aplica, lo que significa que"no se trata de proposiciones de las matemáticas" (PR §151). La pregunta crucial por qué y exactamenteen qué sentido la Ley del tercero excluido no se aplica a este tipo de expresiones será contestada en elsiguiente apartado.

2.3 de Wittgenstein Intermedio finitismo y Algorítmica Decidibilidad

El Wittgenstein medio tiene otros motivos para rechazar la cuantificación sin restricciones enmatemáticas, para en su cuenta idiosincrásico, debemos distinguir entre cuatro categorías deconcatenaciones de símbolos matemáticos.

1. Probada proposiciones matemáticas en un cálculo matemático en particular (sin necesidad de que"la verdad matemática").

2. Refutado las proposiciones matemáticas en (o de) un cálculo matemático en particular (sinnecesidad de "falsedad matemática").

3. Las proposiciones matemáticas para los que sabemos que tenemos en la mano un procedimiento dedecisión aplicable y eficaz (es decir, sabemos cómo decidir ellos).

4. Concatenaciones de símbolos que no son parte de cualquier cálculo matemático y que, por esarazón, no son proposiciones matemáticas (es decir, no son proposiciones).

En su (van Aten 2004, 18), Mark van Aten dice que "[e] ntuitionistically, hay cuatro [" posibilidades deuna proposición con respecto a la verdad "]:

1. p se ha experimentado como verdadero2. p se ha experimentado como falso3. Ni 1 ni 2 ha ocurrido todavía, pero sabemos que un procedimiento para decidir p (es decir, un

procedimiento que resultará p o probar ¬ p)4. Ni 1 ni 2 ha ocurrido todavía, y no sabemos un procedimiento para decidir p ".

Lo que se llama la atención de inmediato Wittgenstein ## 13 y Brouwer de ## 3/1 [(Brouwer 1955,114), (Brouwer 1981, 92)] es la enorme similitud. Y, sin embargo, para todo el acuerdo, el desacuerdo enel # 4 es absolutamente crucial.

Tan radical como los respectivos # 3 son, Brouwer y Wittgenstein acuerdo en que un indeciso φ es unaproposición matemática (por Wittgenstein, de un cálculo matemático en particular) si sabemos de unprocedimiento de decisión aplicable. También coinciden en que hasta φ se decide, no es ni verdadera nifalsa (aunque, para Wittgenstein, "verdadero" significa que no hay más que "demostrado en cálculo Γ").



Lo que ellos no están de acuerdo acerca es el estado de una conjetura matemática ordinaria, como laconjetura de Goldbach. Brouwer admite como una proposición matemática, mientras que Wittgensteinrechaza porque no sabemos cómo decidir algorítmicamente ella. Como Brouwer (1948 [1983, 90]),Wittgenstein sostiene que no hay "verdad desconocida [s]" en matemáticas, pero a diferencia de Brouwerque niega la existencia de "proposiciones indecidibles" sobre la base de que una "proposición" tal tendríano 'sentido' ", y la consecuencia de esto es, precisamente, que las proposiciones de la lógica pierden suvalidez por ella" (PR Sección 173). En particular, si no son proposiciones matemáticas indecidibles(como sostiene Brouwer), entonces por lo menos algunas proposiciones matemáticas no sonproposiciones de cualquier existente cálculo matemático. Para Wittgenstein, sin embargo, es unacaracterística definitoria de una proposición matemática que se haya decidido o decidible por unprocedimiento de decisión conocida en un cálculo matemático. Como dice Wittgenstein al (PR §151),"donde la ley del tercero excluido no se aplica, no hay otra ley de la lógica se aplica tampoco, porque enese caso no se trata de proposiciones de las matemáticas. (Contra Weyl y Brouwer). "El punto aquí esque no que necesitamos la verdad y la falsedad en matemáticasno lo hacemos, sino que toda proposiciónmatemática (incluyendo aquellos para los cuales se conoce un procedimiento de decisión aplicable) esconocido para ser parte de un cálculo matemático.

Para mantener esta posición, Wittgenstein distingue entre (, genuinos significativos) proposicionesmatemáticas, que tienen sentido matemático, y sin sentido, sin sentido ('sinnlos') expresiones al estipularque una expresión es una significativa (genuina) propuesta de un cálculo matemático si y sólo si nosconocemos de una prueba, una refutación, o un procedimiento aplicable decisión [(PR §151), (PG 452),(PG 366), (AWL 199200)]. "Sólo cuando hay un método de solución de [un" método lógico paraencontrar una solución "] ¿hay algún problema [matemática]", nos dice (PR §§149, 152; PG 393). "Sólopodemos hacer una pregunta en matemáticas (o hacer una conjetura)", añade (PR §151) ", donde larespuesta corre: 'tengo que resolverlo'."

A (PG 468), Wittgenstein enfatiza la importancia de decidibilidad algorítmica clara y enfáticamente: "Enmatemáticas todo es algoritmo y nada es lo que significa ['Bedeutung']; incluso cuando no se ve asíporque parece que estamos usando palabras para hablar acerca de las cosas matemáticas. Incluso estaspalabras se utilizan para construir un algoritmo. "Por tanto, cuando Wittgenstein dice (PG 368) que si"[la Ley del Medio Excluidos] se supone no celebrar, hemos alterado el concepto de proposición ", quieredecir que una expresión es sólo una proposición matemática significativa si sabemos de unprocedimiento de decisión aplicable para decidir que (PG 400). Si una verdadera proposición matemáticaes indeciso, la Ley del Medio Excluido sostiene en el sentido que nosotros sabemos que vamos a probaro refutar la proposición mediante la aplicación de un procedimiento de decisión aplicable (PG 379, 387).

Para Wittgenstein, simplemente no hay distinción entre la sintaxis y la semántica de las matemáticas:todo lo que es la sintaxis. Si queremos delimitar entre "las proposiciones matemáticas" frente a"matemáticos pseudoproposiciones," como lo hacemos, entonces la única manera de asegurarse de queno hay tal cosa como una significativa, pero indecidible (por ejemplo, independiente), la proposición deun determinado cálculo es estipular que una expresión sólo es una propuesta significativa en un cálculodeterminado (PR §153) si bien se ha decidido o que saber de un procedimiento de decisión aplicable. Deesta manera, Wittgenstein define tanto un cálculo matemático y una proposición matemática en laepistémicas términos. Un cálculo se define en términos de las estipulaciones [(PR §202), (PG 369)],conocidas reglas de operación, y conocidos los procedimientos de adopción, y una expresión es sólo unaproposición matemática en un cálculo determinado (PR §155), y sólo si ese cálculo contiene (PG 379) unprocedimiento de decisión conocida (y aplicable), porque "no se puede tener un plan lógico de búsquedade un sentido que no sabes" (PR §148).

Así, la media Wittgenstein rechaza las proposiciones matemáticas indecidibles en dos motivos. En primerlugar, expresiones de números teórico que cuantifican más de un dominio infinito no son



algorítmicamente decidible, y por lo tanto no son proposiciones matemáticas significativas.

Si alguien dice (como lo hace Brouwer) que por (x) f 1 x = f 2 x, no existe, así como sí y no,también el caso de la indecidibilidad, esto implica que '(x) ...' se entiende extensionalmente ypodemos hablar del caso en el que todos x sucede que tiene una propiedad. En verdad, sinembargo, es imposible hablar de un caso en absoluto y el '(x) ...' en aritmética no puede sertomada extensionalmente. (PR §174)

"Indecidibilidad", dice Wittgenstein (PR §174) "supone ... que el puente no puede hacerse con lossímbolos", cuando, de hecho, "[a] conexión entre símbolos que existe pero que no pueden serrepresentados por las transformaciones simbólicas es un pensamiento que no puede pensar ", para" [s] i laconexión está ahí, ... debe ser posible para verlo. "Aludiendo a decidibilidad algorítmica, Wittgensteininsiste (PR §174) que" [w] e puede afirmar cualquier cosa que puede ser verificado en la práctica ",porque" se trata de una cuestión de la posibilidad de comprobación "[la cursiva es nuestra].

Segunda razón de Wittgenstein para rechazar una proposición matemática indecidible es que es unacontradicción en términos. No puede haber "proposiciones indecidibles", Wittgenstein sostiene (PRSección 173), debido a una expresión que no es decidible de alguna real cálculo no es simplemente unamatemática propuesta, ya que "toda proposición en matemáticas debe pertenecer a un cálculo de lasmatemáticas" (PG 376).

Esta posición radical en los resultados decidibilidad en diversas declaraciones radicales y contraintuitivas sobre la cuantificación matemática sin restricciones, la inducción matemática, y, sobre todo, elsentido de una proposición matemática recientemente demostrado. En particular, Wittgenstein afirma queconjeturas matemáticas no controvertidos, como la conjetura de Goldbach (en lo sucesivo 'GC') y laconjetura antiguo "Último Teorema de Fermat" (en lo sucesivo "FLT"), no tienen sentido (o, tal vez, nodeterminado sentido) y que el no sistemático prueba de una conjetura como le da la sensación de que notenía anteriormente (PG 374) porque "es incomprensible que debo admitir que, cuando tengo la prueba,que es una prueba de precisión esta proposición, o de la inducción entiende por esta proposición "(PR§155).

Así [Último Teorema] de Fermat no tiene sentido hasta que pueda buscar una solución a laecuación en números cardinales. Y 'buscar' debe significar siempre: buscar sistemáticamente.Serpenteando por el espacio infinito en el puesto de observación para un anillo de oro hayningún tipo de búsqueda. (PR §150)

Yo digo: el llamado "último teorema de Fermat 'no es una proposición. (Ni siquiera en elsentido de una proposición de la aritmética.) Más bien, corresponde a una inducción. (PR §189)

Para ver cómo el último teorema de Fermat no es una propuesta y la forma en que podría corresponder auna inducción, tenemos que examinar la cuenta de la inducción matemática de Wittgenstein.

Cuenta Intermedio 2.4 de Wittgenstein de inducción matemática y algorítmicaDecidibilidad

Dado que no se puede cuantificar más de un dominio de matemática infinita, surge la pregunta: ¿Cuál es,en todo caso, no cualquier número teórico demostración por inducción matemática realmente probar?

En la vista estándar, una demostración por inducción matemática tiene la siguiente forma paradigmática.



Base inductivo: φ (1)Paso inductivo:∀ n (φ (n) → φ (n + 1))

Conclusión: ∀ n φ (n)

Si, sin embargo, "∀ n φ (n)" es no una significativa (genuina) proposición matemática, lo que vamos ahacer de esta prueba?

Primera respuesta de Wittgenstein a esta pregunta es decididamente enigmática. "Una de inducción es laexpresión para la generalidad aritmética", pero "la inducción no es en sí una propuesta" (PR §129).

No estamos diciendo que cuando f (1) se cumple y cuando f (c + 1) se sigue de f (c), laproposición de f (x) es, por tanto, cierto de todos los números cardinales: pero: "laproposición de f (x) tiene para todos los números cardinales "significa" que tiene para x = 1,y f (c + 1) se sigue de f (c) ". (PG 406)

En una demostración por inducción matemática, sí hay realmente demostrar la 'proposición' [porejemplo, ∀ n φ (n)] que suela ser interpretado como la conclusión de la prueba (PG 406, 374; PR §164),en lugar este pseudo proposition o 'declaración' representa 'proxy para la "posibilidad infinita" (es decir,"la inducción") que venimos a' ver 'a través de la prueba (WVC 135). "Quiero decir," Wittgensteinconcluye que "una vez que tienes la inducción, que todo ha terminado" (PG 407). Por lo tanto, en lacuenta de Wittgenstein, una prueba particular mediante la inducción matemática debe entenderse de lasiguiente manera.

Base inductivo: φ (1)Paso inductivo: φ (n) → φ (n + 1)Declaración de Poder: φ (m)

Aquí la "conclusión" de una prueba inductiva [es decir, "lo que se ha demostrado" (PR §164)] utiliza 'm'en vez de 'n' para indicar que 'm' representa cualquier particular, número, mientras que 'n' representacualquier arbitraria número. Para Wittgenstein, la declaración de representación "φ (m)" es no unaproposición matemática que "afirmar [s] su generalidad" (PR §168), es un eliminable pseudoproposiciónde proxy de pie para la base inductiva probada y el paso inductivo. Aunque una prueba inductiva nopuede demostrar "la posibilidad infinita de aplicación" (PR §163), que nos permite "para percibir" queun directo a prueba de cualquier particular, la proposición se puede construir (PR §165). Por ejemplo,una vez que hemos demostrado "φ (1)" y "φ (n) → φ (n + 1)," no tenemos que reiteramos modus ponensm 1 veces para probar la proposición particular "φ (m)" ( PR §164). La prueba directa de, por ejemplo,"φ (714)" (es decir, sin 713 iteraciones del modus ponens) "no puede tener una aún mejor prueba, porejemplo, por mi realización de la derivación por lo que esta proposición en sí" (PR §165 ).

Un segundo impulso, muy importante para la posición radicalmente constructivista de Wittgenstein sobrela inducción matemática es su rechazo de un indecidible proposición matemática.

En las discusiones de la demostrabilidad de las proposiciones matemáticas a veces se diceque hay proposiciones sustanciales de las matemáticas cuya verdad o falsedad debepermanecer indeciso. Lo que la gente que dice que no se dan cuenta es que talesproposiciones, si podemos utilizarlos y quiere llamarlos "proposiciones", no son en absolutolo mismo que lo que se denominan "proposiciones" en otros casos; porque una prueba alterala gramática de una proposición. (PG 367)



En este pasaje, Wittgenstein está aludiendo a Brouwer, quien, ya en 1907 y 1908, afirma, en primerlugar, que "la cuestión de la validez del principium tertii exclusi es equivalente a la pregunta de si existenproblemas matemáticos irresolubles", segundo, que "[n] o no es un fragmento de una prueba de laconvicción ... de que no existen problemas irresolubles matemáticas", y, tercero, que no sonproposiciones significativas / 'preguntas', tales como "No hay ocurrir en la expansión decimal de piinfinitamente muchos pares de dígitos consecutivos iguales? ", a lo que la ley del tercero excluido no seaplica porque" debe ser considerado como incierto si problemas como [esto] tienen solución "(Brouwer,1908 [1975 109110] ). "Con mayor razón no es seguro que cualquier problema matemático puede o bienser resuelto o resultó ser irresoluble, 'Brouwer dice (1907 [1975, 79]),' aunque Hilbert, en"Mathematische Probleme ", cree que cada matemático es profundamente convencido de la misma. '

Wittgenstein toma los mismos datos y, en cierto modo, llega a la conclusión opuesta. Si, como diceBrouwer, somos incierto si todos o algunos "problemas matemáticos" tienen solución, entonces saberque nosotros no tenemos en la mano un procedimiento de decisión aplicable, lo que significa que lassupuestas proposiciones matemáticas son no decidible, aquí y ahora. "¿Qué parte" cuestionesmatemáticas 'con preguntas genuinas ", dice Wittgenstein (PR §151)," es simplemente que ellos puedenser contestadas. "Esto significa que si no sabemos cómo decidir una expresión, entonces nosotros nosabemos cómo que hacen que resultó bien (true) o refutada (falso), lo que significa que la ley del terceroexcluido "no se aplica" y, por tanto, que nuestra expresión es no una proposición matemática.

Juntos, finitismo de Wittgenstein y su criterio de decidibilidad algorítmica arrojan luz sobre susdeclaraciones muy controvertidas sobre supuestamente significativas conjeturas como FLT y GC. GC noes una proposición matemática porque no sabemos cómo decidir, y si alguien como GH Hardy dice que'cree' GC es cierto (PG 381; LFM 123; PI §578), debemos responder que él / ella solamente "tiene unacorazonada sobre las posibilidades de ampliación del sistema actual" (LFM 139) que sólo se puede creertal expresión es "correcta" si uno sabe cómo demostrarlo. El único sentido en que GC (o FLT) se puedeprobar es que puede "corresponder a una prueba por inducción", lo que significa que el paso inductivo noprobada (por ejemplo, "G (n) → G (n + 1)") y la expresión "∀ n G (n)" no son proposicionesmatemáticas porque no tenemos medios algorítmicos de buscar una inducción (PG 367). Una "propuestageneral" no tiene sentido antes de una prueba inductiva ", porque la pregunta que sólo habría tenidosentido si un método general de decisión se había conocido antes de que se descubriera el comprobanteen particular" (PG 402). 'Inducciones' no probadas o pasos inductivos no son proposiciones significativasporque la Ley del tercero excluido no se sostiene en el sentido de que no sabemos de un procedimientode decisión mediante la cual podemos probar o refutar la expresión (PG 400; WVC 82 ).

Esta posición, sin embargo, parece que nos roban de cualquier razón para buscar una «decisión» de una"expresión" de sentido como GC. El Wittgenstein intermedia sólo dice que "[a] matemático es ... guiadopor ... ciertas analogías con el sistema anterior" y que no hay nada "malo o ilegítima si alguien se refierea sí mismo con el último teorema de Fermat" (WVC 144).

Si por ejemplo tengo un método para mirar los números enteros que satisfacen la ecuación x2 + y 2 = z 2, entonces la fórmula x n + y n = z n me puede estimular. Puedo dejar que unafórmula que me estimulan. Por lo tanto voy a decir, aquí hay un estímulo pero no unapregunta. Problemas matemáticos son siempre tales estímulos. (WVC 144, 01 de enero 1931)

Más específicamente, un matemático puede permitir que una conjetura sin sentido como FLT estimulan aél / ella si s / él quiere saber si un cálculo se puede ampliar sin alterar sus axiomas o reglas (LFM 139).

Lo que aquí se va [o] n [en un intento de decidir GC] es un intento sistemático en laconstrucción de un cálculo. Si el intento tiene éxito, voy a volver a tener un cálculo frente amí, sólo una diferente de cálculo que he estado usando hasta ahora. [la cursiva es nuestra]



(WVC 17475; 21 de septiembre 1931)

Si, por ejemplo, tenemos éxito en probar GC por inducción matemática (es decir, lo demostramos "G (1)"y "G (n) → G (n + 1)"), que tendrá entonces una prueba de la fase de inducción, pero dado que el pasoinductivo no era algorítmicamente decidable de antemano [(PR §§148, 155, 157), (PG 380)], en laconstrucción de la prueba hemos construido un nuevo cálculo, una nueva máquina de calcular (WVC106) en la que nos Ahora sé cómo utilizar esta nueva "máquinaparte" (RFM VI, § 13) (es decir, el pasoinductivo no sistemática demostrado). Antes de la prueba, el paso inductivo no es una proposiciónmatemática con sentido (en un cálculo en particular), mientras que después de la prueba de la etapainductiva es una proposición matemática, con un nuevo, el sentido determinado, en un cálculo reciéncreado. Esta demarcación de expresiones sin sentido matemático y proposiciones probadas o refutadas,cada uno con un sentido determinado en un cálculo concreto, es una vista que Wittgenstein articula enuna miríada de formas diferentes a partir de 1929 a través de 1944.

¿Es o no es en última instancia defendible, y esto es una cuestión absolutamente crucial para la Filosofíade la Matemáticaeste aspecto fuertemente contraintuitiva de cuenta decidibilidad algorítmica, la pruebay la de Wittgenstein de Wittgenstein sentido de una proposición matemática es una pieza con su rechazopredeterminacy en matemáticas. Incluso en el caso en que algorítmicamente decidimos una proposiciónmatemática, las conexiones con ello realizados no preexisten la decisión algorítmica, lo que significaque incluso cuando tenemos una "cuestión matemática" que decidamos por el procedimiento decodecisión, la expresión sólo tiene una determinada sentido qua proposición cuando se decide. A causade Wittgenstein, tanto medio y después, "[a] nueva prueba da la proposición de un lugar en un nuevosistema" (RFM VI, § 13), que "lo ubica en todo el sistema de cálculos", aunque "no lo hace mención,ciertamente no describe, todo el sistema de cálculo que está detrás de la proposición y le da sentido "(RFM VI, § 11).

Posición poco ortodoxa de Wittgenstein aquí es un tipo de estructuralismo que en parte como resultadode su rechazo a la semántica matemáticos. Nos erróneamente pensar, por ejemplo, que la GC tiene unsentido totalmente determinada, ya que, dada "la forma engañosa en la que el modo de expresión de lapalabra en lengua representa el sentido de las proposiciones matemáticas" (PG 375), llamamos a la mentefalsas imágenes y confundido , referenciales concepciones de las proposiciones matemáticas mediante elcual GC es sobre una realidad matemática y así tiene sólo un sentido determinado como "Existen seresinteligentes en otros lugares del universo" (es decir, una proposición que es determinadamente verdaderoo falso, si estamos o no siempre conocemos su valor de verdad). Wittgenstein rompe con esta tradición,en todas sus formas, haciendo hincapié en que, en matemáticas, a diferencia del reino de contingente (oempíricas) proposiciones, "si voy a saber lo que una proposición como el último teorema de Fermat,dice," tengo que saber su criterio de verdad. A diferencia del criterio de verdad de una proposiciónempírica, que puede ser conocido antes de que se decida la proposición, no podemos saber el criterio deverdad de una proposición matemática indecisos, aunque somos "familiarizados con los criterios para laverdad de semejantes proposiciones" (RFM VI , §13).

2.5 Cuenta Intermedio de Wittgenstein de los números irracionales

El Wittgenstein intermedio gasta una gran cantidad de tiempo luchando con números reales eirracionales. Hay dos razones distintas para esto.

En primer lugar, la verdadera razón por la que muchos de nosotros no están dispuestos a abandonar lanoción del infinito real en matemáticas es la concepción predominante de un número irracional comonecesariamente extensión infinita. "La confusión en el concepto de" infinito real "surge" [la cursiva esnuestra], dice Wittgenstein (PG 471), "desde el concepto claro del número irracional, es decir, del hechode que, lógicamente, muy diferentes las cosas se llaman" irracional números "sin ningún límite claro está



dando al concepto '.

En segundo lugar, y más fundamentalmente, el Wittgenstein intermedia lucha con los irracionales contanto detalle porque se opone fundacionalismo y especialmente su concepto de "sin pausas matemáticacontinuo", su concepto de una amplia teoría de los números reales (Han 2010), y establecer lasconcepciones teóricas y "pruebas" como una base para la aritmética, la teoría de los números reales, y lasmatemáticas en su conjunto. De hecho, la discusión de Wittgenstein de los irracionales es uno con sucrítica de la teoría de conjuntos, porque, como él dice, "[m] athematics está montado hasta la médula conlos modismos perniciosos de la teoría de conjuntos", como "la forma en la gente habla de una línea comocompuesta de puntos ", cuando, de hecho," [a] la línea es una ley y no se compone de nada en absoluto "[(PR Sección 173), (PR §§181, 183, y 191), (PG 373, 460, 461, y 473)].

2.5.1 de Wittgenstein Antifundacionalismo y números irracionales genuinos

Dado que, en términos de Wittgenstein, las matemáticas se compone exclusivamente de extensiones yintensiones (es decir, "reglas" o "leyes"), una irracional sólo es una extensión medida en que es un signo(es decir, una "numeral, 'tales como' √2 'o' π '). Teniendo en cuenta que no hay tal cosa como unamatemática infinita extensión, se deduce que un número irracional no es una única infinita expansión,sino más bien una regla recursiva único o ley (PR §181) que produce los números racionales (PR §186;PR § 180).

La regla para la elaboración de los lugares de √2 es en sí mismo el número para el númeroirracional; y la razón por la que aquí hablo de un "número" es que puedo calcular con estossignos (ciertas reglas para la construcción de los números racionales) del mismo modo quepuedo con números racionales sí mismos. (PG 484)

Debido, sin embargo, a su antifundacionalismo, Wittgenstein toma la posición radical que no todos losnúmeros reales recursivas (es decir, los números computables) son genuinos números reales una posiciónque distingue a su juicio incluso de Brouwer de.

El problema, como Wittgenstein lo ve, es que los matemáticos, especialmente fundacionalistas (porejemplo, establecer los teóricos), han tratado de acomodar continuidad física por una teoría de que'describe' la continuidad matemática (PR §171). Cuando, por ejemplo, pensamos en movimiento continuoy la (mera) densidad de los racionales, razonamos que si un objeto se mueve continuamente de A a B, yviaja sólo las distancias marcadas por "puntos racionales", entonces debe saltar algunas distancias(intervalos o puntos) no marcados por números racionales. Pero si un objeto en movimiento continuoviaja distancias que no pueden ser medidos conmensurablemente por racionales por sí solos, debe haber"lagunas" entre los racionales (PG 460), por lo que hay que llenarlos, en primer lugar, con losirracionales recursivas, y luego, porque " el conjunto de todos los irracionales recursivas "todavía dejahuecos, con" irracionales sin ley ".

[E] l enigma del continuo se debe a que el lenguaje nos engaña en la aplicación de ésta unaimagen que no encaja. La teoría de conjuntos conserva la foto inapropiada de algodiscontinua, pero hace declaraciones acerca de lo que contradicen la imagen, bajo laimpresión de que está rompiendo con prejuicios; mientras que lo que debería realmentehaber hecho es señalar que la imagen no encaja ... (PG 471)

Añadimos nada de lo que se necesita para el diferencial y los cálculos integrante de 'completar' la teoríade los números reales con pseudoirracionales y los irracionales sin ley, en primer lugar porque no haylagunas en la recta numérica [(PR §§181, 183, y 191 ), (PG 373, 460, 461, y 473), (WVC 35)] y,segundo, porque estos números irracionales alegados no son necesarios para una teoría del 'continuum',



simplemente porque no hay continuidad matemática. Como dice el último Wittgenstein (RFM V, § 32), "[l] a imagen de la recta numérica es uno absolutamente natural hasta cierto punto; es decir, siempre ycuando no se utiliza para una teoría general de los números reales. "Hemos ido mal por malinterpretar lanaturaleza de la línea geométrica como un conjunto continuo de puntos, cada uno con un número realasociado, que nos ha llevado mucho más allá de la imagen «natural» de la recta numérica en busca deuna "teoría general de los números reales" (Han 2010).

Por lo tanto, la razón principal Wittgenstein rechaza ciertos números constructivos (computable) es queson creaciones innecesarias que generan confusiones conceptuales en matemáticas (teoría especialestablecido). Uno de los principales objetivos de Wittgenstein en sus largas discusiones de númerosracionales y pseudoirracionales es mostrar que los pseudoirracionales, que están supuestamentenecesarios para la continuidad matemática, no son necesarios en absoluto.

Con este fin, Wittgenstein exige (a) que un número real debe ser "compar [poder] con cualquier númeroracional tomada al azar" (es decir, "se puede establecer si es mayor que, menor que, o igual a un racionalnúmero "(PR §191)) y (b) que" [a] número debe medir en sí mismo "y si un" número "" deja a losracionales, no tenemos necesidad de ella "(PR §191) [(Frascolla 1980, 242243); (Shanker 1.987, 186192); (Da Silva 1993, 9394); (1995a Marion, 162, 164); (Rodych 1999b, doscientos ochenta y uno hastadoscientos noventa y una); (Lampert 2009)].

Para demostrar que algunos reales recursivas (computables) no son auténticos números reales, ya que nosatisfacen (a) y (b), Wittgenstein define el número real recursivo putativo

5 → 3√2

como la regla "Construir la expansión decimal de √2, reemplazando todas las ocurrencias de un '5' con un'3'" (PR §182); se define de manera similar π "como

7 → 3π

(PR §186) y, en un trabajo posterior, redefine π "como

777 → 000π

(PG 475).

Aunque un pseudoirracional como π '(en cualquiera de definición) es "tan inequívoca como ... π o √2"(PG 476), es' sin techo ', según Wittgenstein, ya que, en lugar de utilizar "las expresiones de laaritmética" ( PR §186), que depende de la notación particular, 'incidental' de un sistema particular (esdecir, de alguna base particular) [(PR § 188), (PR §182), y (PG 475)]. Si hablamos de los diversossistemas de bases de notación, podríamos decir que π pertenece a todos los sistemas, mientras que π'pertenece a una sola, lo que muestra que π' no es un verdadero irracional porque "no puede habernúmeros irracionales de diferentes tipos "(PR §180). Por otra parte, los pseudoirracionales qué nomiden, ya que son personas sin hogar, construcciones artificiales parasitarias en los números que tienenun lugar natural en un cálculo que se puede utilizar para medir. Simplemente no necesitamos estasaberraciones, porque no son suficientemente comparables a los racionales y los irracionales genuinos.Ellos son no números irracionales de acuerdo con criterios de Wittgenstein, que definen, Wittgensteinafirma interesante ", precisamente lo que se ha destinado o buscado bajo el nombre de 'número



irracional" (PR §191).

Por la misma razón, si definimos un "sin ley irracional" como (a) la no regla del gobernado, no periódica,la expansión infinita de alguna base, o (b) una "secuencia de libre elección," Wittgenstein rechaza"irracionales sin ley", ya que, en la medida en que no se rijangobernar, no son comparables a losracionales (o irracionales) y no son necesarios. "[W] e no se puede decir que las fracciones decimales sedesarrollen de acuerdo con una ley que todavía necesitan complementar por un conjunto infinito defracciones decimales infinitos irregulares que se 'cepillado debajo de la alfombra" si tuviéramos querestringir a nosotros mismos a los generados por una ley "Wittgenstein argumenta, para" [w] aquí es quehay un decimal dicha infinita que se genera por ninguna ley "" [a] nd ¿cómo podríamos notar quefaltaba? "(PR §181; cf. PG 473, 483 84). Del mismo modo, una secuencia de libre elección, como unareceta para "bisección sin fin" o "cortar en cubitos sin fin," no es una infinitamente complicada leymatemática (o regla), sino más bien ninguna ley en absoluto, porque después de cada lanzamientoindividual de una moneda, el punto sigue siendo "infinitamente indeterminada" (PR §186). Por razonesestrechamente relacionadas, Wittgenstein ridiculiza el multiplicativo axioma (axioma de elección), tantoen el período intermedio (PR §146) y en el segundo período (RFM V, § 25; VII, § 33).

2.5.2 de Wittgenstein real Número esencialismo y los peligros de la Teoría de Conjuntos

Superficialmente, al menos, parece que Wittgenstein está ofreciendo un argumento esencialista a laconclusión de que el número real de la aritmética no debe ser extendido de tal y tal manera. Talesencialista cuenta de los números reales e irracionales parece estar en conflicto con la libertad real delos matemáticos tienen que extender e inventar, la reivindicación intermedia de Wittgenstein (PG 334)que "[p] or [él] un solo cálculo es tan buena como otra", y con la aceptación de Wittgenstein de losnúmeros complejos e imaginarios. Crítico fundacionalista de Wittgenstein (por ejemplo, pusimosteórico), sin duda, decir que hemos ampliado el término "número irracional" a transgresores y pseudoirracionales porque son necesarios para la continuidad matemática y porque tales "números concebibles"son mucho más como gobernada por reglas irracionales que racionales.

Aunque Wittgenstein insiste en las diferencias donde otros ven similitudes (LFM 15), en sus ataquesintermedios en pseudoirracionales y fundamentalismo, que no es sólo enfatizando las diferencias, se estáatacando "modismos perniciosos" de la teoría de conjuntos (PR Sección 173) y su "más cruel imaginablemala interpretación de su propio cálculo "(PG 46970) en un intento de disolver" malentendidos sin lacual [la teoría de conjuntos] nunca habría sido inventado, "ya que es" de ningún otro uso "(LFM 1617).Los números complejos e imaginarios han crecido orgánicamente dentro de las matemáticas, y que handemostrado su valía en aplicaciones científicas, pero pseudoirracionales son inorgánicos creacionesinventadas exclusivamente en aras de objetivos fundacionalistas equivocadas. Punto principal deWittgenstein es no que no podemos crear más números de hecho reales recursivas, podemos crear tantoscomo queramos, su punto es que sólo podemos hablar realmente de diferentes sistemas (conjuntos) denúmeros reales (RFM II, § 33) que son enumerable por una regla, y cualquier intento de hablar de "elconjunto de todos los números reales" o cualquier intento por partes para agregar o considerar nuevasreales recursivas (por ejemplo, los números de la diagonal) es un esfuerzo inútil y / o inútil basado enconceptos erróneos fundacionales . De hecho, en 1930 MS y TS pasajes sobre los irracionales y Cantorde la diagonal, que no fueron incluidos en PR o PG, Wittgenstein dice: "El concepto" número irracional"es un pseudoconcepto peligroso" (MS 108, 176; 1930; TS 210 , 29; 1930). Como veremos en lasiguiente sección, en la cuenta de Wittgenstein, si no entendemos los irracionales con razón, que nopodemos dejar de generar los errores que constituyen la teoría de conjuntos.

2.6 de Wittgenstein Intermedio Crítica de la Teoría de Conjuntos



La crítica de Wittgenstein de la teoría de conjuntos comienza algo benignamente en el Tractatus, dondedenuncia logicismo y dice (6.031) que "[l] a teoría de las clases es completamente superflua enmatemáticas", ya que, al menos en parte, "la generalidad requerida en matemáticas es generalidad no esaccidental ". En su período medio, Wittgenstein comienza un asalto completo sobre la teoría deconjuntos, que nunca disminuye. La teoría de conjuntos, dice, es "un disparate" (PR §§145, 174; WVC102; PG 464, 470), "mal" (PR §174), y 'ridícula' (PG 464); sus "frases hechas perniciosas" (PR Sección173) nos engañan y la más cruda mala interpretación posible es el ímpetu de su invención (Hintikka1993, 24, 27).

Critica intermedia de Wittgenstein de la teoría de conjuntos transfinitos (en adelante "la teoría deconjuntos") tiene dos componentes principales: (1) la discusión de la distinción intensiónextensión, y (2)su crítica de la no denumerability como cardinalidad. A finales del período medio, Wittgenstein pareceser más conscientes del conflicto insoportable entre su fuerte formalismo (PG 334) y su denigración de lateoría de conjuntos como puramente formal, no calculomatemático (Rodych 1997, 217 a 219), que,como veremos en la Sección 3.5, conduce a la utilización de un criterio de aplicación extramatemáticapara demarcar la teoría transfinito conjunto (y otras inscripciones juegos puramente formales) a partir decálculos matemáticos.

2.6.1 intensiones, extensiones y el Simbolismo ficticio de Teoría de Conjuntos

La búsqueda de una teoría completa de los números reales y continuidad matemática ha dado lugar a un"simbolismo ficticia" (PR §174).

La teoría de conjuntos intenta comprender el infinito en un nivel más general que lainvestigación de las leyes de los números reales. Se dice que no se puede comprender elinfinito real por medio del simbolismo matemático en absoluto, por lo que sólo puede serdescrito y no representados. ... Se podría decir de esta teoría que compra un gato por liebre.Vamos a lo infinito acomodarse en este cuadro de la mejor manera posible. (PG 468; cf. PR§170)

Como Wittgenstein pone al (PG 461), "el error en el enfoque conjunto teórico consiste una y otra vez enel tratamiento de las leyes y las enumeraciones (listas) como esencialmente el mismo tipo de cosas yorganizándolos en series paralelas de modo que uno llena los vacíos dada por el otro. "Esto es un error,ya que es" absurdo "decir" no podemos enumerar todos los números de un conjunto, pero podemos daruna descripción ", para" [e] l no es un sustituto de la otro "(WVC 102; 19 de junio 1930); "No hay undualismo [de] la ley y la serie infinita obedecerla" (PR §180).

"La teoría de conjuntos está mal" y sin sentido (PR §174), dice Wittgenstein, porque presupone unsimbolismo ficticio de signos infinitos (PG 469) en lugar de un simbolismo real con señales finitas. Elgran indicio de la teoría de conjuntos, que comienza con "concepto de Dirichlet de una función" (WVC10203), es que podemos, en principio, representan un conjunto infinito de una enumeración, pero debidoa las limitaciones humanas y físicas, que en su lugar describir que intensionalmente. Pero, diceWittgenstein, "[n] o puede no ser posible y la realidad en las matemáticas," para las matemáticas es unverdadero cálculo, el cual "se refiere únicamente a los signos con los que realmente opera" (PG 469).Como Wittgenstein pone al (PR §159), el hecho de que "no podemos describir las matemáticas, sólopodemos hacerlo" y "de sí mismo suprime todos los 'teoría de conjuntos'."

Tal vez el mejor ejemplo de este fenómeno es Dedekind, que al dar su "definición de una" clase infinita"como" una clase que es similar a una subclase apropiada de sí mismo "(PG 464)," trató de describir unaclase infinita "( PG 463). Sin embargo, si tratamos de aplicar esta "definición" a una clase particular conel fin de determinar si es finito o infinito, el intento es 'ridícula' si lo aplicamos a un finito de clases,



como "una cierta fila de árboles "y que es" absurdo "si lo aplicamos a" una clase infinita ", ya que nopodemos siquiera intentar" para coordinar ella "(PG 464), ya que" la relación m = 2 n [no] secorrelaciona la clase de todos los números con una de sus subclases "(PR §141), se trata de un" procesoinfinito ", que" se correlaciona cualquier número arbitrario con otro. "Por lo tanto, a pesar de quepodemos utilizar m = 2 n en la regla para la generación de los naturales (es decir, nuestro dominio) y porlo tanto la construcción de los pares (2,1), (4,2), (6,3), (8,4), etc., al hacerlo, no correlacionamos dosinfinitos conjuntos o extensiones (WVC 103). Si tratamos de aplicar la definición de Dedekind como uncriterio para determinar si un determinado conjunto es infinito mediante el establecimiento de unacorrespondencia 1.1 entre dos reglas inductivas para la generación de "extensiones infinitas", uno de loscuales es un "subconjunto extensional" del otro, no es posible que aprender nada que no supiéramos ya,cuando se aplicó el 'criterio' a dos reglas inductivas. Si Dedekind o cualquier otra persona insiste enllamar una regla inductiva un "conjunto infinito," él y que todavía tiene que marcar la diferenciacategórica entre dicho conjunto y un conjunto finito con una determinada, cardinalidad finita.

De hecho, en la cuenta de Wittgenstein, el hecho de no distinguir adecuadamente extensiones yintensiones matemáticos es la causa fundamental de la interpretación errónea de la prueba diagonal deCantor como una prueba de la existencia de conjuntos infinitos de cardinalidad menor y mayor.

2.6.2 Contra no Denumerability

La crítica de Wittgenstein de la no denumerability es principalmente implícita durante el períodointermedio. Sólo después de 1937 no se proporcionan argumentos concretos que pretenden mostrar, porejemplo, que la diagonal de Cantor no puede probar que algunos conjuntos infinitos tienen mayor«multiplicidad» que otros.

No obstante, la intermedia Wittgenstein rechaza claramente la idea de que un conjunto infinito nonumerable es mayor en la cardinalidad de un conjunto numerable infinito.

Cuando la gente dice 'El conjunto de todos los números trascendentales es mayor que la delos números algebraicos', eso es una tontería. El conjunto es de un tipo diferente. No es 'no'numerable, es simplemente no numerable! (PR §174)

Al igual que con sus puntos de vista intermedios en los irracionales genuinos y el multiplicativo Axioma,Wittgenstein aquí se ve en la prueba de la diagonal de la no denumerability de "el conjunto de númerostrascendentales" como uno que sólo muestra que los números trascendentales no se pueden enumerar deforma recursiva. No tiene sentido, dice, para pasar de la conclusión garantiza estos números no son, enprincipio, enumerable a la conclusión de que el conjunto de los números trascendentales es mayor en lacardinalidad que el conjunto de números algebraicos, que es recursivamente enumerable. Lo que tenemosaquí son dos concepciones muy diferentes de un tipo de número. En el caso de los números algebraicos,tenemos un procedimiento de decisión para la determinación de cualquier número dado de si es o no esalgebraico, y tenemos un método para enumerar los números algebraicos tal que podemos ver que "cada"número algebraico "será" enumerados. En el caso de los números trascendentales, por otro lado, tenemospruebas de que algunos números son trascendentales (es decir, no algebraica), y tenemos una prueba deque no podemos enumerar recursivamente cada cosa que podríamos llamar un "número trascendental. "

A (PG 461), Wittgenstein habla igualmente de "pseudoconceptos matemáticos" de la teoría de conjuntosque llevan a una dificultad fundamental, que comienza cuando inconscientemente presuponemos que noes de sentido a la idea de ordenar los racionales por tamaño "que el intento es pensable "y culmina enforma similar pensando que es posible enumerar los números reales, que luego descubrimos esimposible.



Aunque el Wittgenstein intermedia parece ciertamente muy crítica de la supuesta prueba de que algunosconjuntos infinitos (por ejemplo, los reales) son mayores en la cardinalidad que otros conjuntos infinitos,y aunque se discute el "procedimiento diagonal" en febrero de 1929 y en 1930 junio (MS 106 , 266; MS108, 180), junto con un diagrama de diagonal, estas y otras reflexiones principios de mediana no hicieronen los mecanografiados, ya sea para PR o PG. Como veremos en la Sección 3.4, el último Wittgensteinanaliza Cantor de diagonal y reclamaciones de no denumerability con algún detalle.

3. El Wittgenstein Posteriormente Matemáticas: AlgunosPreliminares

El primero y más importante que hay que tener en cuenta sobre la filosofía de Wittgenstein de lasmatemáticas es que RFM, publicado por primera vez en 1956, consta de selecciones tomadas de unnúmero de SMS (1937 a 1944), la mayoría de un solo manuscrito grande (1938), y tres cortosmecanografiados (1938), cada uno de los cuales constituye un apéndice (RFM I). Por esta razón y debidoa que algunos MSS que contiene mucho material sobre las matemáticas (por ejemplo, (MS 123)) no seutilizan en absoluto para RFM, los filósofos no han sido capaces de leer los comentarios posteriores deWittgenstein en las matemáticas como fueron escritas en el MSS utiliza para RFM y no han tenidoacceso (hasta el lanzamiento 20002001 del Nachlass en CDROM) para gran parte de la obra tardía deWittgenstein en las matemáticas. Hay que destacar, por lo tanto, que esta enciclopedia artículo estásiendo escrito durante un período transitorio. Hasta que los filósofos han utilizado el Nachlass paraconstruir una imagen completa de la filosofía completa y la evolución de Wittgenstein de lasmatemáticas, no vamos a poder decir definitivamente que considera retuvo el último Wittgenstein, quecambió, y que él cayó. Mientras tanto, este artículo se describen de Wittgenstein tarde Filosofía de lasmatemáticas, dibujo principalmente en RFM, en un grado mucho menor LFM (1939 conferencias deCambridge), y, en lo posible, material inédito en Wittgenstein Nachlass.

También hay que señalar en primer lugar que los comentaristas están de acuerdo sobre la continuidad dela media de Wittgenstein y más tarde Filosofías de Matemáticas. Algunos sostienen que las opinionesposteriores son significativamente diferentes de los puntos de vista intermedios [(Frascolla 1994),(Gerrard 1991, 127, 13132), (Floyd 2005, 105106)], mientras que otros sostienen que, en su mayorparte, Filosofía de las Matemáticas de Wittgenstein evoluciona desde la mitad del período posterior sincambios significativos o renuncias [(Wrigley 1993), (1998), Marion (Rodych 1997, 2000a, 2000b)]. Elresto de este artículo adopta la segunda interpretación, la explicación de Wittgenstein tarde Filosofía delas Matemáticas como en gran parte continuo con sus puntos de vista intermedios, a excepción de laimportante introducción de un criterio de aplicación extramatemático.

3.1 Matemáticas como una invención humana

Tal vez la constante más importante de la filosofía de las matemáticas, media y tardía de Wittgenstein, esque él mantiene consistentemente que la matemática es nuestra, la invención humana, y que, de hecho,todo lo que en matemáticas se inventa. Así como dice el Wittgenstein media que "[w] e hacen lasmatemáticas", el último Wittgenstein dice que 'inventar' matemáticas (RFM I, §168; II, § 38; V, §§5, 9 y11; PG 469 70) y que "el matemático no es un descubridor: él es un inventor" (RFM, Apéndice II, § 2;(LFM 22, 82) Nada. existe matemáticamente a menos que y hasta que hayamos inventado.

Al argumentar contra el descubrimiento matemático, Wittgenstein no sólo rechaza el platonismo,también está rechazando una visión filosófica en lugar norma según la cual los seres humanos inventancálculos matemáticos, pero una vez que un cálculo se ha inventado, que a partir de entonces descubrir unnúmero finito de su infinitos demostrable y verdaderos teoremas. Como el propio Wittgenstein pregunta



(RFM IV, §48), "¿no podría decirse que las normas conducen de esta manera, aunque nadie fue eso?" Si"alguien presente una prueba [de" teorema de Goldbach "]", "[ c] ouldn't uno decir, "Wittgensteinpregunta (LFM 144)," que la posibilidad de esta prueba era un hecho en los reinos de la realidadmatemática ", es decir" [e] l [a] la encuentra, se debe en algún sentido estar allí "" [e] s debo ser unaposible estructura "?

A diferencia de muchos o la mayoría de los filósofos de las matemáticas, Wittgenstein resiste la respuestaes "Sí" que descubrimos verdades acerca de un cálculo matemático que vienen a la existencia elmomento en que inventamos el cálculo [(PR §141), (PG 283, 466), (LFM 139 )]. Wittgenstein rechaza lareificación modal de posibilidad como la realidadque demostrabilidad y constructibilidad son (reales)hechos con el argumento de que es al menos dirigieron mal el mismo que decir con el platónico quedebido a "una línea recta puede ser trazada entre dos puntos ... la línea ya existe, aunque nadie hadibujado ", para decir" [w] ue en el mundo ordinario que llamamos una posibilidad es en el mundo unarealidad geométrica "(LFM 144; RFM I, § 21). Se podría decir también, Wittgenstein sugiere (PG 374),que "el ajedrez sólo tenía que ser descubierto, siempre estaba allí!"

En (MS 122, 3v, 18 de octubre 1939), Wittgenstein, una vez más hincapié en la diferencia entre eldescubrimiento matemático ilusoria y genuina invención matemática.

Quiero alejarme de la formulación: "Ahora sé más sobre el cálculo", y reemplazarlo con"Ahora tengo un cálculo diferente". El sentido de esto es tener siempre ante los ojos de laescala completa de la brecha entre un saber matemático y no matemática saber. [3]

Y como con el período medio, el último Wittgenstein dice de manera similar (MS 121, 27r, 27 de mayo1938) que "[e] s ayuda si uno dice: la demostración de la proposición de Fermat no debe ser descubierto,pero para ser inventé ".

La diferencia entre el 'antropológico' y la cuenta matemática es que en el primero no estamostentados a hablar de "hechos matemáticos, 'sino que en esta cuenta los hechos nunca son losmatemáticos, no hacen matemáticas proposiciones verdaderas o falsas. (MS 117, 263; 15 demarzo 1940)

No hay hechos matemáticos al igual que no existen (genuinos) proposiciones matemáticas. Repitiendo suvisión intermedia, el último Wittgenstein dice (MS 121, 71v, 27 de diciembre 1938): "Las matemáticasconsiste en [cálculos | cálculos], no de proposiciones "Esta concepción constructivista radical de lasmatemáticas indicaciones Wittgenstein para hacer notorias observacionescomentarios que prácticamentenadie más podría hacer, tales como el infame (. RFM V, § 9):" Sin embargo maricón que suene, la másexpansión de un número irracional es una mayor expansión de las matemáticas ".

3.1.1 de Wittgenstein tarde Antiplatonismo: La historia natural de los números y la vacuidad delplatonismo

Al igual que en el período intermedio, el último Wittgenstein sostiene que la matemática esesencialmente sintáctico y no referencial, lo que, de por sí, hace que la filosofía de Wittgenstein de lasmatemáticas antiplatónicos medida en que el platonismo es la opinión de que los términos y lasproposiciones matemáticas se refieren a los objetos y / o hechos y que las proposiciones matemáticas sonverdad en virtud de estar de acuerdo con los hechos matemáticos.

El último Wittgenstein, sin embargo, desea 'advierten' nosotros que nuestro pensamiento está saturadocon la idea de "[a] aritmética como la historia natural (mineralogía) de números" (RFM IV, § 11).Cuando, por ejemplo, Wittgenstein discute la afirmación de que las fracciones no pueden ser ordenados



por magnitud, dice que esto suena 'notable' de manera que una proposición mundana del cálculodiferencial no lo hace, para la última proposición se asocia con una aplicación en la física ", mientras queesta proposición ... parece ['exclusivamente'] preocupación ... la historia natural de los objetosmatemáticos a sí mismos" (RFM II, §40). Wittgenstein insiste en que él está tratando de "advertir"nosotros contra esta 'aspect'la idea de que la proposición anterior acerca de las fracciones "nos introduceen los misterios del mundo matemático", que existe en algún lugar como una totalidad completa,esperando nuestra insistencia y nuestra descubrimientos. El hecho de que consideramos que lasproposiciones matemáticas como acerca de los objetos matemáticos y la investigación matemática "comola exploración de estos objetos" es "la alquimia ya matemática", afirma Wittgenstein (RFM V, § 16), yaque "no es posible apelar a la lo que significa ['Bedeutung'] de los signos en matemáticas, ... porque essólo matemáticas que les da su significado ['Bedeutung']. "platonismo es peligrosamente engañosa,según Wittgenstein, porque sugiere una imagen de pre Existencia, pre determinación y descubrimientode que está completamente en desacuerdo con lo que encontramos si realmente examinar y describir lasmatemáticas y la actividad matemática. "Me gustaría ser capaz de describir", dice Wittgenstein (RFM IV,§ 13), "¿cómo se trata acerca de que las matemáticas nos aparece ahora como la historia natural deldominio de los números, ahora de nuevo como un conjunto de reglas. "

Wittgenstein, sin embargo, no no se esfuerzan por refutar el platonismo. Su objetivo, en cambio, es deaclarar lo que el platonismo es y lo que dice, implícita y explícitamente (incluyendo variantes delplatonismo que dicen, por ejemplo, que si una proposición es demostrable en un sistema de axiomas,entonces ya existe un camino [es decir, un prueba] de los axiomas a esa proposición [(RFM I, § 21);(Marion 1998, 1314, 226), (Rodych 1997; 2000b, 267280), (Steiner 2000, 334)]). Platonismo es o bien"una mera perogrullada" (LFM 239), Wittgenstein dice, o se trata de una "imagen" que consiste en "unainfinidad de mundos oscuros" (LFM 145), que, como tal, carece de "utilidad" (cf. PI §254), ya que noexplica nada y se engaña a cada paso.

Más tarde finitista Constructivismo 3.2 de Wittgenstein

Aunque los comentaristas y críticos no están de acuerdo sobre si el último Wittgenstein sigue siendo unfinitista y si, si lo es, su finitismo es tan radical como su rechazo intermedio de cuantificación matemáticasin límites (Maddy 1986, 300301, 310), la abrumadora la evidencia indica que el último Wittgensteintodavía rechaza el infinito real (RFM V, § 21; Zettel §274, 1947) y las extensiones matemáticas infinitas.

La primera, y quizás la más definitiva, indicación de que el último Wittgenstein mantiene su finitismo essu continuo y constante insistencia en que los números irracionales son reglas para la construcción deampliaciones finitos, no extensiones matemáticas infinitas. "Los conceptos de decimales infinitos en lasproposiciones matemáticas no son conceptos de la serie", dice Wittgenstein (RFM V, § 19), "sino de latécnica ilimitada de expansión de la serie." Estamos engañados por "[l] os definiciones extensionales defunciones, de los números reales, etc. "(RFM V, § 35), pero una vez que reconocemos la Dedekind cortócomo" un extensional imagen, "vemos que no estamos" llevados a √2 por medio del concepto de un corte" (RFM V, § 34). A causa de la tarde de Wittgenstein, simplemente no hay propiedad, no la regla, no haymedios sistemáticos de definir todas y cada número irracional intensionalmente, lo que significa que nohay un criterio "de los números irracionales ser completa" (PR §181).

Como en su posición intermedia, el último Wittgenstein afirma que 'ℵ 0 "y" serie infinita "conseguir sususos matemáticos de la utilización de' infinito 'en el lenguaje ordinario (RFM II, § 60). Aunque, en ellenguaje ordinario, a menudo utilizamos "infinito" y "infinitos", como respuestas a la pregunta "¿cuántos?," y aunque nos asociamos el infinito con el, el director enormemente grande el uso que hacemos de'infinito' y 'el infinito 'es hablar de lo ilimitado (RFM V, § 14) y un número ilimitado de técnicas (RFMII, §45; PI §218). Este hecho se pone de manifiesto por el hecho de "que la técnica de aprendizaje ℵ 0



numerales es diferente de la técnica de aprendizaje 100.000 números" (LFM 31). Cuando decimos, porejemplo, que "hay un número infinito de números pares" queremos decir que tenemos una técnicamatemática o regla para la generación de números pares, que es ilimitada, lo cual es muy diferente deuna técnica limitada o regla para generar un número finito de números, como 1100,000,000. "Nosenteramos de una técnica sin fin", dice Wittgenstein (RFM V, § 19), "pero lo que está en cuestión aquí noes una extensión gigantesca".

Una secuencia infinita, por ejemplo, no es una extensión gigantesca porque no es una extensión, y 'ℵ 0'no es un número cardinal, porque "¿cómo es esta imagen relacionada con el cálculo", dado que "suconexión no es tan de la imagen | | | | con 4 "(es decir, teniendo en cuenta que 'ℵ 0' no está conectado a unaextensión (finito))? Esto demuestra, dice Wittgenstein (RFM II, § 58), que nosotros debemos evitar lapalabra "infinito" en matemáticas donde quiera que parece dar un significado al cálculo, en lugar deadquirir su significado del cálculo y su uso en el cálculo . Una vez que vemos que el cálculo no contienenada infinita, no hay que ser 'decepcionado' (RFM II, § 60), sino simplemente señalar (RFM II, § 59) queno es "realmente necesario ... para evocar la imagen de la infinito (del enormemente grande) ".

Un segundo indicio de que el último Wittgenstein mantiene su finitismo es su tratamiento continuo yconsistente de 'proposiciones' del tipo "Hay tres 7s consecutivos en la expansión decimal de π" (de aquíen adelante "PIC"). [4] En el medio periodo, PIC (y su negación putativo, ¬PIC, a saber, "No es el casoque hay tres 7s consecutivos en la expansión decimal de π") es no una "declaración en absoluto"significativa matemática (WVC 81 a 82: Nota # 1). En vista intermedio de Wittgenstein, PICcomo FLT,GC, y el teorema fundamental del álgebraes no una proposición matemática, ya que no tenemos en lamano un procedimiento de decisión aplicable por el cual podemos decidir en un cálculo determinado. Poresta razón, podemos afirmar única significativa finitistas proposiciones relativas a la expansión de π,como "Existen tres 7s consecutivos en los primeros 10.000 lugares de la expansión de π" (WVC 71; 8182, Nota # 1).

El último Wittgenstein mantiene esta posición en varios pasajes de RFM (Bernays 1959 [1986, 176]). Porejemplo, para alguien que dice que dado que "el imperio de la expansión determinar [s] la serie porcompleto", "se debe determinar de manera implícita todas las preguntas acerca de la estructura de laserie," Wittgenstein responde: "Aquí está pensando en serie finita" (RFM V, § 11). Si fuera un PICmatemática de interrogación (o problema), si estuviera restringido finitisticallysería algorítmicamentedecidable, que no es [(RFM V, § 21), (LFM 3132 111, 170), (WVC 102 03)]. Como dice Wittgensteinal (RFM V, § 9): "La pregunta ... cambia su estado, cuando se convierte en decidible", "[f] o unaconexión se hace a continuación, que antes no estaba allí" Y si, además, uno. invoca la Ley del MedioExcluido establecer que PIC es una proposición matemática, es decir, al decir que uno de estos "dosfotografías ... debe corresponder a la realidad" (RFM V, § 10) uno simplemente plantea la pregunta(RFM V , § 12), por si tenemos dudas sobre el estado de matemática de PIC, vamos a no dejarse llevarpor una persona que afirma "PIC ∨ ¬PIC" (RFM VII, § 41; V, § 13).

Finitismo de Wittgenstein, el constructivismo, y la concepción de decidibilidad matemática estánconectados curiosamente al (RFM VII, § 41, párr. 2.5).

¿Qué daño se hace por ejemplo, diciendo que Dios conoce todos los números irracionales? Obien: que ya están allí, a pesar de que sólo conocemos algunos de ellos? ¿Por qué son estasimágenes no inofensiva?

Por un lado, se esconden cierta problems. (MS 124, p 139;. 16 de marzo 1944)



Supongamos que la gente va en y en el cálculo de la expansión de π. Así que Dios, que losabe todo, sabe si habrán llegado a '777' por el fin del mundo. Pero, ¿puede su omniscienciadecidir si se han alcanzado después de que el fin del mundo? No puede. Quiero decir: Nisiquiera Dios puede determinar algo matemático solamente por las matemáticas. Inclusopara él el mero imperio de la expansión no puede decidir nada que no se decida por nosotros.

Podríamos decirlo así: si la regla para la expansión se nos ha dado, un cálculo puededecirnos que hay un '2' en el quinto lugar. ¿Podría Dios haber sabido esto, sin el cálculo, sóloa partir de la regla de la expansión? Quiero decir: No. (MS 124, pp 175176; marzo 23 a 241944).

Lo que Wittgenstein quiere decir aquí es que la omnisciencia de Dios podría, por cálculo, encontrar que'777' se produce en el intervalo [n, n 2], pero, por otro lado, Dios podría ir en el cálculo para siempre sin'777' jamás a aparecer . Desde π no es una completa extensión infinita que puede ser completamenteexaminado por un ser omnisciente (es decir, no es un hecho que puede ser conocido por una menteomnisciente), incluso a Dios sólo tiene la regla, y así la omnisciencia de Dios es ninguna ventaja en estecaso [(LFM 10304); cf. (Weyl de 1921 [1998, 97])]. Al igual que nosotros, con nuestras mentesmodestas, una mente omnisciente (es decir, Dios) sólo puede calcular la expansión de π hasta cierto n º

lugardonde decimal nuestra n es minuto y de Dios n es (relativamente) enorme y sin n º decimal lugarpodría cualquier mente con razón la conclusión de que debido a '777' no ha aparecido, es, por lo tanto,nunca apareció.

3.3 El Wittgenstein Posteriormente Decidibilidad y Algorítmica Decidibilidad

En una interpretación bastante estándar, el último Wittgenstein dice que "la verdadera en el cálculo Γ" esidéntica a "demostrable en el cálculo Γ" y, por lo tanto, que una proposición matemática de Γ cálculo esuna concatenación de señales que es ya sea comprobable (en principio) o refutable (en principio) en elcálculo Γ [(Goodstein 1972, 279, 282), (Anderson 1958, 487), (Klenk 1976, 13), (Frascolla 1994, 59)].En esta interpretación, el último Wittgenstein se opone a las proposiciones matemáticas indecidibles,pero permite que algunos indecisos expresiones son proposiciones de un cálculo porque son decidible enprincipio (es decir, en ausencia de un conocido, el procedimiento de decisión aplicable).

Existe considerable evidencia, sin embargo, que el último Wittgenstein mantiene su posición intermediaque una expresión es una proposición matemática sentido sólo dentro de un cálculo determinado y si ysólo si a sabiendas tenemos en la mano un procedimiento de decisión aplicable y eficaz por medio delcual podemos decidir él. Por ejemplo, aunque Wittgenstein vacila entre "demostrable en PM" y"demostrado en la PM" al (RFM App. III, § 6, § 8), lo hace con el fin de utilizar la antigua considerar lasupuesta conclusión de la prueba de Gödel ( es decir, que existen verdaderos pero indemostrablesproposiciones matemáticas), que luego rebuts con su propia identificación de "verdadero en cálculo Γ"con "demostrado en cálculo Γ" (es decir, no con "demostrable en el cálculo Γ") [(Wang 1991 , 253),(Rodych 1999a, 177)]. Esta conceptualización es corroborado por numerosos pasajes en los queWittgenstein rechaza la concepción heredada que un prov capaces proposición, pero no probada escierto, como lo hace cuando afirma que (RFM III, § 31, 1939) una prueba "hace nuevas conexiones", "[e] s no establece que están ahí ", porque" no existen hasta que los hace ", y cuando dice (RFM VII, § 10,1941) que" [a] nueva prueba da la proposición de un lugar en un nuevo sistema ". Además, comoacabamos de ver, Wittgenstein rechaza PIC como un nopropuesta con el argumento de que no esalgorítmica decidible, si bien admitió versiones finitistas de CFP porque son algorítmicamente decidible.

Tal vez la evidencia más convincente de que el último Wittgenstein mantiene decidibilidad algorítmicacomo su criterio para que una proposición matemática radica en el hecho de que, al (RFM V, § 9, 1942),



dice de dos maneras distintas de que una 'cuestión' matemática puede llegar a ser decidible y que cuandoesto sucede, una nueva conexión está 'hecho', que antes no existía. De hecho, Wittgenstein nos adviertecontra las apariencias diciendo que "parece como si un terreno para la decisión ya estaban allí", cuando,en realidad, "que aún no se ha inventado." Estos pasajes militan fuertemente en contra de la afirmaciónde que el último Wittgenstein concede que φ proposición es decidible en Γ cálculo si y sólo si escomprobable o refutable en principio. Por otra parte, si Wittgenstein sostuvo esta posición, él reclamaría,contraindicado (RFM V, § 9), que una pregunta o proposición no vuelven decidible ya que simplemente(siempre) es decidible. Si es demostrable, y simplemente no sé que este es el caso, no es ya una conexiónentre, por ejemplo, nuestros axiomas y reglas y la proposición de que se trate. Lo que dice Wittgenstein,sin embargo, es que las modalidades comprobables y refutables son formas oscuras de la realidad, esaposibilidad no está actualidad en matemáticas [(PR §§141, 144, 172), (PG 281, 283, 299, 371, 466,469)], (LFM 139)]. Así, el último Wittgenstein está de acuerdo con el Wittgenstein intermedio que elúnico sentido en el que un indeciso proposición matemática (RFM VII, § 40, 1944) puede ser decidible esen el sentido que nosotros sabemos cómo decidir por medio de un procedimiento de decisión aplicable .

Crítica tarde 3.4 de Wittgenstein de la Teoría de Conjuntos: no Enumerability vs.No Denumerability

En gran parte un producto de su antifundacionalismo y su crítica a la fusión de extensión intensión, lacrítica después de Wittgenstein de la teoría de conjuntos es muy consonante con su crítica intermedio[(PR §§109, 168), (PG 334, 369, 469), (LFM 172, 224, 229), y (RFM III, § 43, 46, 85, 90; VII, § 16)].Teniendo en cuenta que la matemática es un "MOTLEY de técnicas de prueba" (RFM III, §46), que norequiere de una fundación (RFM VII, § 16) y no se puede dar un evidente fundamento [(PR §160), (WVC34 y 62), (RFM IV, § 3)]. Desde la teoría de conjuntos fue inventado para proporcionar las matemáticascon una fundación, que es, como mínimo, innecesario.

Aunque la teoría de conjuntos es innecesaria, aún podría constituir una base sólida para las matemáticas.En su crítica fundamental de la teoría de conjuntos, sin embargo, el último Wittgenstein niega esto,diciendo que la prueba de la diagonal no prueba no denumerability, para "[e] s significa nada que decir:"Por lo tanto los números X no son numerable "(RFM II, § 10). Cuando la diagonal se interpreta comouna prueba de mayor y menor conjuntos infinitos es una "prueba engreído", que, como se argumentóPoincaré (1913b, 6162), que pretende probar o demostrar más que "sus medios lo permiten" (RFM II, §21).

Si se dice: "La consideración de los shews procedimiento diagonales que el concepto de'número real' tiene mucho menos analogía con el concepto 'número cardinal" de lo que, deser engañados por ciertas analogías, se inclinan a creer ", que tendría un bueno y honestosentido. Pero sólo el opuesto sucede: una aparente para comparar el 'set' de los númerosreales en magnitud con la de los números cardinales. La diferencia de naturaleza entre lasdos concepciones se representa, por una forma de sesgo de expresión, como la diferencia deextensión. Yo creo, y espero, que una generación futura se reirá de este abracadabra. (RFMII, § 22)

La enfermedad de un tiempo se cura por una alteración en el modo de vida de los sereshumanos ... (RFM II, §23)

El "abracadabra" de la prueba recae en diagonal, como siempre por Wittgenstein, en una fusión deextensión e intensión, por el hecho de no distinguir adecuadamente conjuntos como reglas para lageneración de extensiones y extensiones (finitas). Por medio de esta confusión "una diferencia enespecie" (es decir, el imperio ilimitado vs. extensión finita) "está representado por una forma de sesgo de



expresión", es decir, como una diferencia en la cardinalidad de dos infinitas extensiones. No sólo puedela diagonal no prueban que un conjunto infinito es mayor en la cardinalidad que otro conjunto infinito,según Wittgenstein, nada podría demostrar esto, simplemente porque "los conjuntos infinitos" no son lasextensiones no es así, y por lo tanto infinitas extensiones. Pero en lugar de interpretar la prueba diagonalde Cantor honestamente, tenemos la prueba de "show hay un número más grande que el infinito", que"establece toda la mente en un torbellino, y da la sensación agradable de la paradoja" (LFM 1617) un"vértigo nos ataca cuando pensamos en ciertos teoremas de la teoría de conjuntos" "cuando estamosllevando a cabo un pedazo de prestidigitación de la mano lógico" (PI §412; §426; 1945). Este vértigo yagradable sensación de paradoja, dice Wittgenstein (LFM 16), "puede ser la razón principal por la [teoríade conjuntos] fue inventado."

Aunque Cantor de la diagonal no es una prueba de la no denumerability, cuando se expresa en una formaconstructiva, como el propio Wittgenstein expresa al (RFM II, § 1), "que da sentido a la proposiciónmatemática que el número tany por lo que es diferente de todos los del sistema "(RFM II, § 29). Esdecir, la prueba demuestra no enumerability: resulta que para cualquier propuesta definitiva concepto denúmero real (por ejemplo, bienes recursiva), no se puede enumerar "todos" esos números porque siemprese puede construir un número diagonal, que cae bajo el mismo concepto y no está en la enumeración."Uno podría decir:" Wittgenstein dice: "Me llamo número concepto X no numerable si se ha estipuladoque, independientemente de los números incluidos en este concepto a organizar en una serie, el númerodiagonal de esta serie es también caer bajo que concepto "(RFM II, § 10; cf. II, §§30, 31, 13).

Una de las lecciones que debemos aprender de esto, según Wittgenstein (RFM II, § 33), es que "existendiversos sistemas de puntos irracionales que se encuentran en la recta numérica", cada una de las cualesse pueden dar por una regla recursiva, pero "ningún sistema de los números irracionales", y "tampocosúper sistema, no" un conjunto de números irracionales "de orden superior infinito." Cantor hademostrado que podemos construir "infinitos" diversos sistemas de números irracionales, pero nopodemos construir un exhaustivo sistema de todos los números irracionales (RFM II, § 29). Como diceWittgenstein al (MS 121, 71r, 27 de diciembre 1938), tres páginas después del paso utilizado para (RFMII, § 57): "Si ahora llama al procedimiento cantoriana uno para la producción de un nuevo número real,se quiere ahora ya no será inclinado a hablar de un sistema de todos los números reales "(la cursiva esnuestra). De la prueba de Cantor, sin embargo, establecer teóricos erróneamente la conclusión de que "elconjunto de los números irracionales" es mayor en la multiplicidad que cualquier enumeración de losirracionales (o el conjunto de números racionales), cuando la única conclusión a extraer es que no hay talcosa como la conjunto de todos los números irracionales. El aspecto verdaderamente peligroso'proposiciones' tales como "Los números reales no se pueden arreglar en una serie" y "El juego ... no esnumerable" es que hacen la formación de conceptos [es decir, nuestra invención] "parezca un hecho de lanaturaleza" (es decir, algo que descubrimos) (RFM II §§16, 37). A lo mejor, tenemos una vaga idea delconcepto de "número real", pero sólo si se restringe esta idea de "número real recursivo", y sólo sireconocemos que tener el concepto no significa que tiene un conjunto de todos los números realesrecursivas .

3.5 Aplicación extramatemática como una condición necesaria de la significatividadMatemática

El director y el cambio más significativo del centro hacia los escritos posteriores en las matemáticas es(re) introducción de Wittgenstein de un criterio de aplicación extramatemática, que se utiliza paradistinguir meros "Signjuegos" de matemáticas juegos de lenguaje. "[E] s esencial a las matemáticas quesus signos también se emplean en mufti", Wittgenstein afirma, porque "[e] s es el uso fuera de lasmatemáticas, por lo que el significado ['Bedeutung'] de los signos, que hace que el firmar el juego en lasmatemáticas "(es decir, un matemático" juego de lenguaje ") [(RFM V, § 2, 1942), (LFM 140141, 169



70)]. Como dice Wittgenstein al (RFM V, § 41, 1943), "[c] onceptos que se producen en lasproposiciones 'necesarias' también deben ocurrir y tener un significado ['Bedeutung'] en las nonecesarias" [la cursiva es nuestra]. Si dos pruebas demuestran la misma proposición, dice Wittgenstein,esto significa que "tanto demuestran como un instrumento adecuado para el mismo propósito", que "esuna alusión a algo fuera de las matemáticas" (RFM VII, § 10, 1941; la cursiva es nuestra) .

Como hemos visto, este criterio estaba presente en el Tractatus (6.211), pero notablemente ausente en elperíodo intermedio. La razón de esta ausencia es probablemente que el Wittgenstein intermedia quisohacer hincapié en que en las matemáticas todo es la sintaxis y nada es lo que significa. Por lo tanto, ensus críticas a las matemáticas de Hilbert 'contentual' (Hilbert 1925) y la dependencia de Brouwer en laintuición para determinar el contenido significativo de (especialmente indecidibles) proposicionesmatemáticas, Wittgenstein redactado su constructivismo finitista en fuerte formalismo, haciendo hincapiéen que un cálculo matemático no necesita una aplicación extramatemática (PR §109; WVC 105).

Parece que hay dos razones por las cuales el último Wittgenstein reintroduce aplicación extramatemáticacomo condición necesaria de una matemática juego de lenguaje. En primer lugar, el último Wittgensteintiene un mayor interés en el uso de las lenguas naturales y formales en diversas "formas de vida" (PI§23), que le pide que destacar que, en muchos casos, un matemáticos funciones 'proposición' como sifuera una proposición empírica "endurecido en una regla" (RFM VI, § 23) y que las matemáticasdesempeña diversos roles aplicados en muchas formas de la actividad humana (por ejemplo, ciencia,tecnología, predicciones). En segundo lugar, el criterio de aplicación extramatemática alivia la tensiónentre la crítica intermedia de Wittgenstein de la teoría de conjuntos y su fuerte formalismo, según la cual"un solo cálculo es tan bueno como los otros" (PG 334). Por la demarcación de matemáticas juegos delenguaje de los nomatemáticos de signosjuegos, Wittgenstein ahora puede afirmar que, "por elmomento," la teoría de conjuntos no es más que un signo del juego formal.

Estas consideraciones pueden llevarnos a decir que 2 ℵ 0> ℵ 0.

Es decir: podemos hacer las consideraciones nos llevan a eso.

O bien: podemos decir esto y dar a esta como nuestra razón.

Pero si decimos que, ¿qué vamos a hacer ahora? En la práctica lo que está anclada estapropuesta? Es por el momento, una pieza de arquitectura matemática que flota en el aire, yse ve como si fuera, digamos, un arquitrabe, pero no es compatible con cualquier cosa yapoyar nada. (RFM II, §35)

No es que las críticas posteriores de Wittgenstein del cambio la teoría de conjuntos, es, más bien, que unavez que vemos que la teoría de conjuntos no tiene ninguna aplicación extramatemática, nos centraremosen sus cálculos, las pruebas, y la prosa y "sujeto al interés de los cálculos a una prueba "(RFM II, § 62).Mediante de Wittgenstein "sumamente importante" 'investigación' (LFM 103), nos encontraremos,Wittgenstein espera, que la teoría de conjuntos es poco interesante (por ejemplo, que la no enumerabilityde los "reales" no es interesante e inútil) y que nuestra entera interés en que se encuentra en el 'encanto'de la interpretación errónea de la prosa de sus pruebas (LFM 16). Más importante, sin embargo hay "unnúcleo sólido a todos [sus] brillante concepto formaciones" (RFM V, § 16), una vez que lo vemos como"como un error de ideas", veremos que proposiciones como "2 ℵ 0> ℵ 0 "no están anclados en una prácticaextramatemática, que" el paraíso de Cantor "" no es un paraíso, "y vamos a continuación, dejar" de[nuestra] propia voluntad "(LFM 103).

Hay que destacar, sin embargo, que el último Wittgenstein sigue manteniendo que las operaciones dentro



de un cálculo matemático son operaciones puramente formales, sintácticas que se rigen por las reglas dela sintaxis (es decir, el núcleo sólido del formalismo).

Por supuesto, es evidente que el matemático, en la medida en que realmente está 'jugando unjuego' ... [es] actuando de acuerdo con ciertas reglas. (RFM V, § 1)

Decir las matemáticas se se supone que un juego para decir: en probar, nunca necesitamosun llamamiento al sentido ['Bedeutung'] de los signos, es su aplicación extramatemático.(RFM V, § 4)

Cuando, durante el período intermedio, Wittgenstein habla de "la aritmética [como] una especie degeometría" al (PR §109 y § 111), el último Wittgenstein habla igualmente de "la geometría de pruebas"(RFM I, Ap. III, § 14), la "contundencia geométrica" de las pruebas (RFM III, § 43), y una "aplicacióngeométrica", según la cual la "transformación de signos" de conformidad con "transformaciónrules"(RFM VI, § 2, 1941 ) muestra que "cuando las matemáticas es despojado de todo contenido, seguiríasiendo que ciertos signos pueden ser construidos a partir de otros de acuerdo a ciertas reglas" (RFM III, §38). Por lo tanto, la cuestión de si una concatenación de signos es una proposición de un hechomatemático de cálculo (es decir, un cálculo con una aplicación extramatemática) está siendo una,pregunta sintáctica interna, que podemos responder con conocimiento de las pruebas y procedimientos detoma de el cálculo.

3.6 Wittgenstein de Gödel y indecidibles Matemáticas Proposiciones

RFM es tal vez más (in) famoso por Wittgenstein (RFM tratamiento App. III), de "verdaderos peroindemostrables" proposiciones matemáticas. Los primeros han dicho que "[l] os argumentos son salvajes"(Kreisel 1958, 153), que los pasajes "en el teorema de Gödel ... son de mala calidad o contienen erroresdefinitivos" (Dummett 1959, 324), y que (RFM App. III) "arroja ninguna luz sobre el trabajo de Gödel"(Goodstein 1957, 551). "Wittgenstein parece querer legislar [" [q] reguntas sobre integridad "] fuera de laexistencia", dijo Anderson, (1958, 48687) cuando, en realidad, él ciertamente no puede disponer de lasmanifestaciones de Gödel "al confundir la verdad con la demostrabilidad ". Además, Bernays, Anderson(1958, 486), y Kreisel (1958, 15354) afirmaron que Wittgenstein no apreció" premisa bastante explícitode Gödel de la consistencia del sistema formal considerado "(Bernays 1959, 15), con lo que no apreciarla naturaleza condicional de primer teorema de incompletitud de Gödel. En la lectura de estos cuatrorevisores expertos tempranas, Wittgenstein no alcanza a comprender el teorema de Gödel porque él nopudo entender la mecánica de la prueba de Gödel y erróneamente pensó que podía refutar o socavar laprueba de Gödel simplemente mediante la identificación de "verdad en la tarde" (es decir, PrincipiaMathematica ) con "probado / demostrable en la tarde."

Curiosamente, ahora tenemos dos piezas de evidencia [(Kreisel 1998, 119); (Rodych 2003, 282, 307)]que Wittgenstein escribió (RFM App III.) En 193738 después de leer solamente lo informal, 'casual'(MS 126, 126127; 13 de diciembre 1942) la introducción de (Gödel 1931 ) y que, por lo tanto, su uso deuna proposición autorreferencial como la "proposición verdadera pero indemostrable" puede basarse enintroductoria de Gödel, declaraciones informales, a saber, que "la proposición indecidible [R (q); q]afirma ... que [ R (q); q] no es demostrable "(1931, 598), y que" [R (q); q] dice de sí misma que no esdemostrable "(1931, 599). Desconcertantemente, sólo dos de los cuatro revisores famosos siquieramencionados de Wittgenstein (RFM VII, §§19, 21 a 22 de 1941)) declaraciones explícitas 'de Gödel'Primer teorema de la incompletitud [(Bernays 1959, 2), (Anderson 1958, 487) ], que, aunque imperfecto,captar el carácter número teórico de la proposición Gödeliana y el funcionamiento de Gödelnumeración,probablemente porque Wittgenstein tenía para entonces leer o desnatada cuerpo de papel de Gödel 1931(Rodych 2003, 30407).



Lo primero a tener en cuenta, por lo tanto, sobre (RFM App. III) es que Wittgenstein piensa de nuevo porerror, tal vez porque Wittgenstein había leído solamente Introducci'on de Gödel (a) que Gödel demuestraque existen proposiciones verdaderas pero indemostrables de PM (cuando, de hecho, Gödel demuestrasintácticamente que si PM es ωcoherente, la proposición Gödeliana es indecidible en PM) y (b) que laprueba de Gödel utiliza una proposición autorreferencial para mostrar semánticamente que existenproposiciones verdaderas pero indemostrables de PM.

Por esta razón, Wittgenstein tiene dos objetivos principales en (RFM App III.): (1) para refutar omenoscabar, en sus propios términos, la supuesta prueba de Gödel de proposiciones verdaderas peroindemostrables de PM, y (2) para demostrar que, en sus propios términos, en "verdadero en cálculo Γ"se identifican con "demostrado en cálculo Γ," la idea misma de una proposición verdadera, peroindemostrable del cálculo Γ tiene sentido.

Por lo tanto, al (RFM App. III, § 8) (en lo sucesivo simplemente "§ 8 '), Wittgenstein comienza supresentación de lo que se necesita para ser una prueba de Gödel por tener a alguien decir:" He construidouna proposición (usaré' P 'para designar a ella) en el simbolismo de Russell, y por medio de ciertasdefiniciones y transformaciones que puede ser tan interpretarse que dice:' P. No es demostrable en elsistema de Russell '"Es decir, Gödeliana de Wittgenstein construye una proposición que essemánticamente auto referencial y que específicamente dice de sí mismo que no es demostrable en PM.Con esta errónea, autorreferencial proposición P [utilizado también en (§ 10), (§ 11), (§ 17), (§ 18)],Wittgenstein presenta una prueba de dibujo muy similar a la del propio Gödel informal prueba semántica'boceto 'en la Introducción de su famoso papel (1931, 598).

No debo decir que esta proposición, por una parte es cierto, y por otra parte es imposible dedemostrar? Para supongo que eran falsas; entonces es cierto que es demostrable. Y queseguramente no puede ser! Y si se demuestra, a continuación, se demuestra que no esdemostrable. Por lo tanto, sólo puede ser verdad, pero indemostrable. (§ 8)

El razonamiento que aquí hay una doble reductio. Supongamos (a) que P o bien debe ser verdadera ofalsa en el sistema de Russell, y (b) que P o bien debe ser demostrable o indemostrable en el sistema deRussell. Si (a), P debe ser cierto, porque si suponemos que P es falsa, ya que P dice de sí mismo que esindemostrable, "es cierto que es demostrable," y si es demostrable, debe ser cierto ( que es unacontradicción), y por lo tanto, dado lo que P significa o dice, es cierto que P no es demostrable (que esuna contradicción). En segundo lugar, si (b), P debe ser indemostrable, porque si P "se demuestra, acontinuación, se demuestra que no es demostrable", lo cual es una contradicción (es decir, P escomprobable y no demostrable en PM). De ello se sigue que P "sólo puede ser verdad, peroindemostrable."

Para refutar o socavar esta "prueba", Wittgenstein dice que si usted ha demostrado ¬ P, que hademostrado que P es demostrable (es decir, ya que han demostrado que es no el caso de que P no esdemostrable en el sistema de Russell), y "usted ahora presumiblemente renunciar a la interpretación deque es indemostrable" (es decir, 'P no es demostrable en el sistema de Russell'), ya que la contradicciónes sólo probó si usamos o mantenemos esta interpretación autorreferencial (§ 8). Por otra parte,Wittgenstein sostiene (§ 8), "[s] i se asume que la proposición es demostrable en el sistema de Russell,que significa que es cierto en el sentido de Russell, y la interpretación" P no es demostrable "de nuevotiene que ser abandonado ', porque, una vez más, es sólo la interpretación autorreferencial que engendrauna contradicción. Por lo tanto, 'refutación' de Wittgenstein de "prueba de Gödel" consiste en mostrar quehay contradicción surge si nosotros no interpretamos 'P' como 'P no es demostrable en Russell system' de hecho, sin esta interpretación, una prueba de P no lo hace el rendimiento una prueba de ¬ P y unaprueba de ¬ P no producen una prueba de P. En otras palabras, el error en la prueba de ello es lasuposición errónea de que una proposición matemática 'P' "puede ser tan interpretarse que dice: 'P. No es



demostrable en el sistema de Russell'" Como dice Wittgenstein al (§11), " [q] es lo que viene decompensar esas frases ".

Esta "refutación" de la "prueba de Gödel" es perfectamente coherente con la concepción sintáctica deWittgenstein de las matemáticas (es decir, en el que las proposiciones matemáticas no tienen sentido ypor lo tanto no puede tener el significado 'necesaria' autorreferencial) y con lo que dice antes y después (§8), donde su principal objetivo es mostrar (2) que, en sus propios términos, ya que "la verdadera encálculo Γ" es idéntico a "demostrado en cálculo Γ," la idea misma de una proposición verdadera, peroindemostrable del cálculo Γ es una contradicciónentérminos.

Para mostrar (2), Wittgenstein comienza preguntando (§ 5), lo que se necesita para ser, la cuestióncentral, a saber, "¿Hay proposiciones verdaderas en el sistema de Russell, que no pueden ser probadas ensu sistema?". Para abordar esta cuestión, se pregunta "Lo que se llama una proposición verdadera en elsistema de Russell ... ?," que responde de manera sucinta (§ 6): "'p' es verdadera = p." Wittgensteinluego aclara esta respuesta reformulando la segunda pregunta de (§ 5) como "¿En qué circunstancias esuna propuesta afirmado en el juego de Russell [es decir, el sistema de]?", que luego responde diciendo:"la respuesta es: en el extremo de una de sus pruebas, o como un ' ley fundamental "(pp.)" (§ 6). Esto, enpocas palabras, es la concepción de Wittgenstein de "verdad matemática": una proposición verdadera dePM es un axioma o una proposición probada, lo que significa que "cierto en PM" es idéntico, y por lotanto puede ser suplantado por "demostrado en PM ".

Habiendo explicado, a su satisfacción, al menos, la única verdadera noción, no ilusoria de "cierto enPM," Wittgenstein responde a la (§ 8) pregunta "¿Debo no dice que esta proposición ... es verdad, y ...indemostrable?" Negativamente por (re) afirmar su propia (§§56) concepción de la "verdad en la tarde",como "probó / demostrable en PM": "'True en el sistema de Russell' significa, como se dijo: probado enel sistema de Russell; y 'falsa en el sistema de Russell' quiere decir:. lo contrario ha sido demostrado en elsistema de Russell "Esta respuesta se da en una forma ligeramente diferente al (§ 7), donde Wittgensteinpregunta" puede no ser verdaderas proposiciones que están escritas en este [Russell de ] simbolismo,pero no son demostrables en el sistema de Russell? ", y luego responde" 'proposiciones verdaderas', porlo tanto, las proposiciones que son verdaderas en otro sistema, es decir, con razón se puede afirmar enotro juego. "A la luz de lo que dice en (§ § 5, 6 y 8), de Wittgenstein (§ 7) punto es que si unaproposición es "escrito" en "el simbolismo de Russell" y es cierto, debe ser probado / demostrable enotro sistema, ya que es lo "matemática la verdad es. Análogamente (§ 8), "si la proposición se suponeque es falsa en algún otro que el sentido Russell, entonces no contradice esto para que se demostró en elsentido de Russell," por '[w] ue se llama "perder" en el ajedrez puede constituir ganar en otro juego. "Esta evidencia textual ciertamente sugiere, ya que casi dijo Anderson, que Wittgenstein rechaza unaverdad pero indemostrable proposición matemática como una contradicción en términos, basándose enque "verdadero en cálculo Γ" no significa nada más (y nada menos) que "ha demostrado en cálculo Γ ".

En esta interpretación (naturales) de (RFM App. III), la conclusión de los primeros revisores queWittgenstein no entiende la mecánica del argumento de Gödel parece razonable. En primer lugar,Wittgenstein piensa erróneamente que la prueba de Gödel es esencialmente semántica y que utiliza yrequiere una proposición autorreferencial. En segundo lugar, dice Wittgenstein (§ 14) que "[a] lacontradicción no se puede utilizar" para "una predicción" que "que tal y tal construcción es imposible"(es decir, de que P no es demostrable en PM), que, al menos superficialmente (1999a Rodych, 19091),parece indicar que Wittgenstein no tiene en cuenta el "supuesto de coherencia" de la prueba de Gödel(Kreisel, Bernays, Anderson).

Si, de hecho, Wittgenstein no leyó y / o no entendió la prueba de Gödel por lo menos hasta 1941, ¿cómohabría reaccionado si y cuando él lo entendía como (al menos) una prueba de la indecidibilidad de P enla tarde en el supuesto de PM coherencia 's? Dada su concepción sintáctica de las matemáticas, incluso



con el criterio de aplicación extramatemática, no haría más que decir que P, en tanto expresiónsintácticamente independientes de PM, no es una propuesta de la tarde, y si es sintácticamenteindependiente de todos los juegos de lenguaje matemáticos existentes , no es una proposiciónmatemática. Por otra parte, no parece haber ninguna convincente no semántica razones, ya sea intrasistémicas o extramatemáticosde Wittgenstein para acomodar P mediante su inclusión en la tarde o porla adopción de una concepción nosintáctica de la verdad matemática (como Tarskiverdad ( Steiner2000)). De hecho, Wittgenstein cuestiona la intrasistémica y extramatemática usabilidad de P en variasdiscusiones de Gödel en el Nachlass (Rodych 2002, 2003) y, al (§19), enfáticamente dice que no sepuede "hacer la verdad de la afirmación ['P' o "Por lo tanto P"] plausible para mí, ya que se puede hacerningún uso de ella, sino de hacer estos bits de prestidigitación. "

Después de las iniciales, críticas mordaces de RFM, se prestó muy poca atención a la de Wittgenstein(RFM App. III) y (RFM VII, §§2122) discusiones de Primera teorema de incompletitud de Gödel (Klenk1976, 13), hasta simpático (1988b de Shanker ). En los últimos 11 años, sin embargo, los comentaristas ycríticos han ofrecido varias interpretaciones de las observaciones de Wittgenstein sobre Gödel, un pocode ser en gran medida simpático (Floyd 1995, 2001) y otros que ofrece una evaluación más mixta[(1999a Rodych, 2002, 2003), (Steiner 2001), (Sacerdote 2004), (Berto 2009a)]. Recientemente, y tal vezlo más interesante, (Floyd y Putnam 2000) y (Steiner 2001) han suscitado debates nuevos e interesantesde reflexiones de Wittgenstein sobre la indecidibilidad, la verdad matemática, y de Gödel primer teoremade incompletitud [(Rodych 2003, 2006), (Bahías 2004) , (Sayward 2005), y (Floyd y Putnam 2006)].

4. El impacto de la Filosofía de la Matemática en Matemáticas

Aunque es dudoso que todos los comentaristas están de acuerdo [(Wrigley 1977, 51), (Baker y Hacker1985, 345), (Floyd 1991 145, 143; 1.995, 376; 2005, 80), (Maddy 1993, 55), (Steiner 1996 202204)], elsiguiente pasaje parece captar de Wittgenstein actitud a la filosofía de las matemáticas y, en gran parte, laforma en la que se veía su propio trabajo sobre las matemáticas.

¿Qué va a distinguir a los matemáticos del futuro de los de hoy será realmente una mayorsensibilidad, y que lo hará, ya que las matemáticas eranciruela; ya que las personas seránentonces más empeñado en absoluta claridad que en el descubrimiento de nuevos juegos.

Claridad Philosophical tendrá el mismo efecto sobre el crecimiento de las matemáticas comola luz solar tiene sobre el crecimiento de los brotes de patata. (En un sótano oscuro quecrecen yardas de largo.)

Un matemático está destinada a ser horrorizado por mis comentarios matemáticas, ya quesiempre ha sido entrenado para evitar caer en pensamientos y dudas de la clase quedesarrollo. Ha aprendido a considerarlos como algo despreciable y ... que ha adquirido unarepulsión de ellos como infantil. Es decir, que sacan a relucir todos los problemas que unniño que aprende aritmética, etc., encuentra difíciles, los problemas que la educaciónreprime sin resolver. Me digo a esas dudas reprimidas: usted es del todo correcto, vayapidiendo, exigen una aclaración! (PG 381, 1.932)

En sus períodos intermedios y posteriores, Wittgenstein cree que está proporcionando claridad filosóficasobre aspectos y partes de las matemáticas, en concepciones matemáticas, y en concepciones filosóficasde las matemáticas. A falta de tal claridad y no con el objetivo de una claridad absoluta, los matemáticosconstruyen nuevos juegos, a veces debido a una concepción errónea del significado de sus proposicionesmatemáticas y términos matemáticos. La educación y la educación, especialmente avanzado enmatemáticas no fomenta la claridad sino reprimepreguntas que merecen respuestas son o no pidieron o



sean despedidos. Los matemáticos del futuro, sin embargo, va a ser más sensibles y esto (en variasocasiones) podar extensiones e invenciones matemáticas, ya que los matemáticos vendrán a reconocerque las nuevas extensiones y creaciones (por ejemplo, las proposiciones de la aritmética cardinaltransfinito) no están bien conectados con el núcleo sólido de las matemáticas o con las aplicaciones delmundo real. Claridad filosófica será, con el tiempo, permitir a los matemáticos y filósofos para"conseguir al grano" (PG 467).

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