8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

1/21

 

 TU-FREE FINAL

MATHEMATICS II

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

2/21

 

ตวฟร !!"#$%&'( # #%)&(#%!*+ $$ 

%  &'()*++, .(+-/*../01+(2'3 

%  4+3'5 6++572/'8)9 ความสัมพันธระหวางระบบพกัดฉากและระบบพกัดเชงขั ว 

ระบบพกัดฉาก  ระบบพกัดเชงขั ว 

ความสัมพันธ " # ……………………$ % # ……………………$ & # ……………………$ θ  # ……………………$

กราฟในระบบพกัดเชงขั ว 

'$ กราฟเสนตรง สมการ  ( ……………………$ หรอ ……………………$ หรอ ……………………$

)$ กราฟวงกลม สมการ  ( ……………………$ หรอ ……………………$ หรอ ……………………$

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

3/21

 

ตวฟร !!"#$%&'( # #%)&(#%!*+ $$ 

:  &'()*++, .(+-/*../01+(2'3 

*$ กราฟกลบกหลาบ สมการ  ( ……………………$ หรอ ……………………$

+$ กราฟหัวใจ สมการ  ( ……………………$ หรอ ……………………$

,$ กราฟลมาซอง 

สมการ  (……………………$ หรอ

……………………$

-$ กราฟเลมนสเคต สมการ  ( ……………………$ หรอ ……………………$

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

4/21

 

ตวฟร !!"#$%&'( # #%)&(#%!*+ $$ 

;  &'()*++, .(+-/*../01+(2'3 

:  #

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

5/21

 

ตวฟร !!"#$%&'( # #%)&(#%!*+ $$ 

>  &'()*++, .(+-/*../01+(2'3 

;  ?)(8+5  

คอ เวกเตอร • เวกเตอร  # สเกลาร กาหนดให  A

 # k a jaia 321

 

B

 # k  b j bi b 321

  สตร  BA

  #  332211  ba ba ba    

หรอ  BA

  #  θcosBA

 

กาหนดให  V

  # k c j bia

 

สตร  cos     av

   2 2 2

a

a b c  

cos     b

v   

2 2 2

b

a b c  

cos    c

v   

2 2 2

c

a b c  

ภาพฉายของเวกเตอร  u   บน v   สตร  (

./012& 3&24/01526  #  ………………………….………. 

70898& 3&24/01526  #  ………………………….………. 

70898& 02:326/61  #  ………………………….………. 

คอ เวกเตอร " เวกเตอร  # เวกเตอร กาหนดให  A

 # k a jaia 321

 

B

 # k  b j bi b 321

 

สตร  BA

  # 

 b b b

aaa

k  ji

 

321

321

 

หรอ  BA

  #  nθsinBA

 

ผลคณเชงเวกเตอร ! #$%&& '$%()#*

เวกเตอรภาพฉาย ! +,#*%$ -$%.,#*/%0

ผลคณเชงสเกลาร ! y$ '$%()#*

 โคไซนบอกทศทาง " #$%&'($)* ')+$*&

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

6/21

 

ตวฟร !!"#$%&'( # #%)&(#%!*+ $$ 

@  &'()*++, .(+-/*../01+(2'3 

  พ นท ของรปส เหล ยมดานขนาน A

และ B

 เปนดานประกอบของส เหล ยมดานขนาน 

สตร พ นท ส เหล ยมดานขนาน  # BA

 

  พ นท ของรปสามเหล ยม A

และ B

 เปนดานประกอบของสามเหล ยม 

สตร 

พ นท สามเหล ยม  # BA2

1    

  ปรมาตรของทรงส เหล ยมดานขนาน A

; B

 และ C

 เปนดานประกอบ 

สตร 

ปรมาตร  # )CB(A

 

สตร สมการเวกเตอร 

zy,x,   # c b,a,tz,y,x 000  

สมการองตัวแปรเสรม x  # atx 0   

y  #  bty0    

z  # ctz0    

สมการสมมาตร 

a

xx 0

 #

 b

yy 0

 #

c

zz 0

 # t 

สตร 

ระยะทางระหวางจดกับเสน#

v

 vPQ

 

พ นท และปร มาตร ! 3$,1 10( +%2)4,

เสนตรงในระบบพก  ดัฉากสามมต 

ระยะทางระหว างจดก  บัเสนตรง 

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

7/21

 

ตวฟร !!"#$%&'( # #%)&(#%!*+ $$ 

A  &'()*++, .(+-/*../01+(2'3 

ระนาบ คอ เซตของจด z)y,(x, ท สอดคลองกับสมการ  0 DCzByAx    สมการระนาบ 

สตร 

)zc(z)y b(y)xa(x 000     # 0 

มมระหวางระนาบ 

สตร  θ  #  

  

   

21

211

nn

nncos

 

 

รอยตัดระหวางระนาบ สตร  เวกเตอรท ขนานกับรอยตัด # 21 nn

 

 

ระยะระหวางจดกับระนาบ สตร  d  = ……………………………. 

ระนาบ

สมการระนาบ 

ระยะระหว างจดก  บัระนาบ 

มมและรอยตัดระหว างระนาบ 

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

8/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

9/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

10/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

11/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

12/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

13/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

14/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

15/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

16/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

17/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

18/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

19/21

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

20/21

 

!"#$ ........................................................................................ %&'()!*) ..........................................................................

#+ ,-."!%.-&/ ..................................................................................................................................................................... 

0" ,12' ,."!%.-&/234'567! ............................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

8942' ,."!%.-&/:!&;&*-+ ,)? ....................................................................................................................................................

……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

!"#$2' ,-($@AB70-)."!:&*  C1D*4E; .........................................................................................................................

!"#$"!%&"'()*(+,-

#+./#0 1#'  .0'"$  *2 345 6!276!8*

!"#$%&'()*)++,"!-&. 

/!"#$01#)*02$$#34+

5667#3#8)+3#6,"9:76"$

!"#$%& 

!"#$;6&

8/17/2019 Final Tufree Mathematics II 2.2558

21/21

!""#$"%&'(&)*)+,-./*012$3-4(05(1&26$'78#9:-";