Fisica II Laboratorio Desviacion Estandar

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERIA

E.A.P AGROINDUSTRIALCONSTRUCCIÓN DE GRÁFICAS Y ECUACIONES

EMPÍRICAS

CURSO : FISICA 1

GRUPO : “C”

DOCENTE : LIC. VERA MEZA SECUNDINO.

INTEGRANTES : VEGA VIERA JHONAS ABNER.

MUÑOZ ROJAS ANDREA GISELA

CICLO: “III”

NUEVO CHIMBOTE - PERÚ

2013

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA FACULTAD DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL

I. RESUMEN

La construcción de gráficas nos sirve para predecir el comportamiento de variables relacionadas entre sí a través de una ecuación, en el presente informe trataremos sobre tres experiencias.

La primera experiencia basada en la Ley de Hooke; muestra una función lineal con variables de deformación experimentado por el resorte (Li) y del peso aplicado al resorte (Pi), la cual realizaremos mediante el método visual y el método de los mínimos cuadrados.

La segunda experiencia basada en la caída libre de los cuerpos; muestra una función potencia con variable de tiempo (Ti) y de espacio recorrido (Hi); realizado mediante el método de los mínimos cuadrados.

La última experiencia, basada en la descarga de un condensador nos muestra una función exponencial con variables de tiempo de descarga (Ti) y de diferencia potencial en el condensador (Vi); realizado mediante el método de los mínimos cuadrados.

II. OBJETIVOS

Dados los datos experimentales de tres experiencias realizadas en la UNS, graficarlos en papel milimetrado, identificar el tipo de curva y determinar su ecuación empírica.

Aplicar cambio de variables y/o logaritmos para transformar la ecuación de una curva (exponencial, potencial, logarítmica, etc.) a una recta.

Aplicar el método de los mínimos cuadrados para hallar la ecuación empírica de una recta y representarlo gráficamente.

III. FUNDAMENTO TEÓRICO

Una variable es un símbolo como x, y, z, etc. que representa a una cantidad a la cual puede asignársele, a una variable se le puede asignar un número ilimitado de valores.

Si a cada valor que puede tomar una variable x corresponde uno o más valores de una variable y se dice que y es función de x y se escribe:

y = f(x)

C O N S T R U C C IÓ N D E

G R Á F I C A S Y E C U A C I O N E S

E M P Í R I C A S


X Variable IndependienteY Variable Dependiente

A la variable “x” se le llama Independiente, porque toma el valor el valor que se le asigne; y a la variable “y” se le llama Dependiente, porque toma los valores que satisfacen la relación particular.

Las funciones se representan gráficamente en un sistema de coordenadas rectangulares, mediante puntos que satisfacen la ecuación: y = f(x).

Estas gráficas pueden ser líneas rectas o curvas, las que representan el lugar geométrico de los puntos que cumplen la ecuación.

La pendiente “b” de la ecuación de una recta y = a + bx, tal como la representada en la figura1, que pasa por los puntos P(x, , y,) y Q(x, , , y, , ) , se define por :

Muchas leyes de la física se expresan mediante la ecuación de una recta,

como ejemplo tenemos el M.R.U.: e = v.t. donde y=e, x =t, a=0, b=v

Así también tenemos funciones de la forma:

FUNCION POTENCIAL FUNCION EXPONENCIAL


FUNCION LOGARITMICA y=A+Blnx

La prolongación de una pequeña cantidad de una línea recta o curva por

cualquiera de sus extremos se llama “extrapolación” y es una técnica útil

para obtener coordenadas en forma aproximada, propias de la gráfica que

no se tenían inicialmente obteniéndose valores fuera del intervalo

experimental. La extrapolación no es un proceso seguro, por lo que se debe

tener cuidado en su utilización.

Otra técnica es la “interpolación”, que consiste en obtener una de las

coordenadas por ejemplo x’, fijada la otra, es decir y’, a través de la

correspondencia que establece entre ambas la gráficas.

Figura N°04

e−A /BX

Y


Si la gráfica no es una recta, ¿Cómo encontrar los valores de A y B en la

función potencia?. Una técnica muy empleada es aplicando logaritmos y

cambio de variable.

Tenemos: y = AxB

Aplicando logaritmo: ln y = ln A + B ln x

Cambio de variable: r = ln y, x = ln x, a = ln A, b = B

Reemplazando: r = a + bx …………..Ecuación de la recta

METODOS DE LOS MINIMOS CUADRADOS

En un experimento realizado en el laboratorio se han medido cantidades de

2 magnitudes físicas x e y , con el propósito de descubrir o de verificar la ley

física que las vincula. Como consecuencia, se han obtenido n pares de

valores (xi , yi) que representados gráficamente muestran un conjunto de

puntos que sugiere la forma de una línea recta.

Existe 2 formas de hacer éste gráfico:

1. Trazando directamente la línea recta entre los puntos (Método

visual).

2. Encontrando los parámetros a y b de la ecuación de la recta y = a +

bx, por el método de los mínimos cuadrados y luego graficarlo. Donde

a y b se calcula con las siguientes fórmulas:

a=∑i=1

n

xi2∑i=1

n

y i−∑i=1

n

x i∑i=1

n

(x i y i)

n∑i=1

n

x i2−¿¿

……. (2) a=n∑i=1

n

(x i y i)−∑i=1

n

x i∑i=1

n

y i

n∑i=1

n

xi2−¿¿

…….. (3)


Las desviaciones estándar de a y b se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:

Sa=∑i=1

n

ei2∑i=1

n

x i2

n¿¿……. (4) Sb=

∑i=1

n

e i2

n∑i=1

n

x i2−¿¿

…… (5)

donde : ei= y i−a−b x i

IV. PARTE EXPERIMENTAL

4.1 Instrumento y materiales:

Calculadora

Juego de pistoletes, regla, lapiz y borrador.

5 unidades de papel milimetrado.

4.2 Procedimiento:

Los puntos de las gráficas deben tener sus incertidumbres bien

marcadas sobre ellos (con un rectángulo o una cruz), y los ejes

están debidamente identificados. Tanto el tipo de incertidumbre

como cualquier símbolo empleado para rotular los ejes deberán de

identificarse explícitamente en forma claro, sobre o junto a la

gráfica.

Para representar una curva o recta gráficamente en un papel

gráfico, indique cada punto experimental con una señal encerrada

por un círculo pequeño o cruz, previamente escoger una escala para

cada variable física en forma adecuada. Después de indicar los

puntos experimentales, dibuje lo mejor posible una curva o recta

continua que pase entre los puntos. Algunas veces no es posible

dibujar una curva o recta que pase por todos los puntos trazados. En

este caso, quedarán algunos puntos a uno y otro lado de la curva o

recta.

Cuando aparezcan dos o más curvas en la misma gráfica se deberán

utilizar distintos símbolos para cada grupo de datos.

4.3 TABULACIÓN DE DATOS


En el laboratorio de Física de la UNS se realizaron los siguientes

experimentos:

a. Experimento Nº 01: Ley de Hooke

Tabla Nº 1

Li (m) 0,052 0,102 0,155 0,206 0,258

Pi (N) 1,96 2,94 3,92 4,90 5,88

Donde:

Li = Deformación experimentada por el resorte

Pi = Peso aplicado al resorte que esta suspendido por uno de

sus extremos.

b. Experimento Nº 02: Caída libre de un cuerpo

Tabla Nº 2

Ti (s) 0,112 0,155 0,189 0,216 0,264 0,306 0,334 0,362 0,391 0,419

Hi(m) 0,08 0,10 0,15 0,20 0,30 0,40 0,50 0,6 0,7 0,8

Donde:

Ti = Tiempo que demora en recorrer el espacio Hi.

Hi = Espacio recorrido por el cuerpo que cae.

c. Experimento Nº 03: Descarga de un condensador

Tabla Nº 3

Ti(s) 0,00 4,14 7,58 11,87 13,97 16,92 20,24 24,16 28,65 37,10 46,51

Vi(v) 15 12 10 8 7 6 5 4 3 2 1

Donde:

Ti = Tiempo de descarga.

Vi = Diferencia de potencial en el condensador.

Con estos datos experimentales hacer las siguientes gracficas:


P versus L H versus T V versus T

V. RESULTADOS

1. Experimento: Ley de Hooke

Cuadro 1: Ley de Hooke

n L (m) P (N) L2 (m2) L P(Nxm) P2 (N2)

1 0.052 1.96 0.002704 0.10192 3.8416

2 0.102 2.94 0.010404 0.29988 8.6436

3 0.155 3.92 0.024025 0.60760 15.3664

4 0.206 4.90 0.042436 1.00940 24.01

5 0.258 5.88 0.066564 1.51704 34.5744

Total 0.773 19.6 0.146133 3.53584 86.436

Utilizando la fórmula 2

a=(0.146133)(19.6) – (0.773)(3.53584)

5 (0.146133)– (0.773)2

a = 0.983974882


b=5 (3.53584)– (0.773)(19.6)

5(0.146133)– (0.773)2

b = 18.99110684

Fórmula Empírica: P = 0.983974882 + 18.99110684 L

Buscando “r” (coeficiente de correlación lineal)


Cuadro 2 : Ley de Hooke

N Li (m) Pi (N)

1 0.052 1.97129

2 0.102 2.92095

3 0.155 3.92759

4 0.206 4.89624

5 0.258 5.88383

Total 0.773 19.59996

Reemplazando los Datos:

2. Experimento: Caída Libre de un Cuerpo

H = A T B

Haciendo un cambio de variable:

H = A T B

LnH = lnA + B lnT

H = a + bt, donde: h = lnH

a = ln A

b = B

t = lnT


Cuadro 3 : Caída libre de los Cuerpos

n t = lnT (s) h = lnH (m) t 2 (s 2) t h (m.s)

1 -2.189264080 -2.995732274 4.79286 6.55846

2 -1.864330162 -2.302585093 3.47573 4.29279

3 -1.666008264 -1.897119985 2.77559 3.16062

4 -1.532476871 -1.609437912 2.34849 2.46643

5 -1.331806176 -1.203972804 1.77372 1.60346

6 -1.184170177 -0.9162907319 1.40226 1.08504

7 -1.096614186 -0.6931471806 1.20255 0.16012

8 -1.016111067 -0.5108256238 1.03248 0.51906

9 -0.939047719 -0.3566749439 0.88185 0.53493

10 -0.869884359 -0.2231435513 0.75669 0.18411

Total -13.68970569 -12.7089301 20.44216 20.97497


a=(20. 44216018)(−12.7089301)– (13.68970569)(20.97496599)

10(20.44216018) –¿¿

a=1. 607137281

lnA = a ea = A A = 4.988510065



b=10 (20.97496599)– (−13.68970569)(−12.7089301)

10 (20.44216018)– ¿¿

b = 2.102331875 B = 2.102331875

H = A TB

H = 4.988510065 T2.102331875

Buscando “r” (coeficiente de correlación lineal)


n t (s) h (m)

1 -2.18926 -2.99733

2 -1.86433 -2.31394

3 -1.66601 -1.89683

4 -1.53248 -1.61599

5 -1.33181 -1.19394

6 -1.18417 -0.88343

7 -1.09661 -0.69927

8 -1.01611 -0.52996

9 -0.93905 -0.36789

10 -0.86988 -0.22241

Total -13.68971 -12.72099

Reemplazando datos:

c) Experimento: Descarga de un Condensador


V = A e BT

Haciendo un cambio de variable:

V = A e BT

LnV = lnA + BT

v = a + bt, donde: v = lnV

a = ln A

b = B

t = T

Cuadro 5: Descarga de un Condensador

n t (s) V (v) t 2 (s2) t v (v.s) v2 (v2)

1 0.000 15 0.00000 0.000000 225

2 4.14 12 17.1396 49.68 144

3 7.58 10 57.4564 75.8 100

4 11.87 8 140.8969 94.96 64

5 13.97 7 195.1609 97.79 49

6 16.92 6 286.2864 101.52 36

7 20.24 5 409.6556 101.2 25

8 24.16 4 583.7056 96.64 16

9 28.65 3 820.8225 85.95 9

10 37.10 2 1376.410 74.2 4

11 46.51 1 2163.180 46.51 1

Total 211.14 73 6050.716 15413.22 673

∑i=1

n

x i=211.14∑i=1

n

x i2=6050.716n=11

∑i=1

n

yi=73∑i=1

n

(x¿¿ i y i)=15413.22¿



a=(6050.716)(73) – (211.14)(15413.22)

11(6050.716)– ¿¿

a = -127.9767776


b=11(15413.22)– (211.14 )(73)

11(6050.716)– ¿¿

b = 7.013093463

Buscando “r”


n t (s) v (v)

1 0.000 2.74297

2 4.14 2.50624

3 7.58 2.30955

4 11.87 2.06424

5 13.97 1.94417

6 16.92 1.77548

7 20.24 1.58565

8 24.16 1.36150

9 28.65 1.10476

10 37.10 0.62159

11 46.51 0.08353

Total 211.14 18.09968

Reemplazando datos:


VI. CUESTIONARIO

1. De las gráficas obtenidas, con qué tipo de funciones los puede relacionar.

El primer Experimento (Ley de Hooke); como se pudo observar que se trata de una función lineal:

P = a +bL

El segundo Experimento (Caída Libre de los Cuerpos); trata sobre una función Potencia:

H = A T B

El tercer Experimento (Descarga de un Condensador); trata sobre una función exponencial :

V = A e BT

2. Una vez identificadas las gráficas, la que corresponde a una recta, determinar su ecuación empírica por el método visual y también por el método de los mínimos cuadrados.

La gráfica que corresponde a una recta, es la gráfica del primer experimento (Ley de Hooke), cuya ecuación empírica es:

o Método Visual: P = + Lo Método de los Mínimos Cuadrados: P = 0.983974882 +

18.99110684 L

3. Para las gráficas curvas, transformarlos a una recta y determinar la ecuación empírica de las curvas.

En el segundo y tercer experimento se puede observar que sus gráficas pertenecen a curvas.

o El Segundo Experimento: Caída Libre de los Cuerpos. Trata sobre una curva de la forma: H = A T B (potencial).

Transformación a una recta:

H = A T B

LnH = lnA + B lnT

H = a + bt, donde: h = lnH

a = ln A

b = B

t = lnT


Ecuación Empírica: h = 1.60712 + 2.1032 t

La ecuación de la curva es: H = 4.98862 T 2.10236

o El Tercer Experimento: Descarga de un Condensador. Trata sobre una curva de la forma: V = A e BT (Exponencial)

Transformando a una recta:

V = A e BT

LnV = lnA + BT

v = a + bt, donde: v = lnV

a = ln A

b = B

t = TEcuación Empírica: v = 2.74297 – 0.05718 tLa ecuación de la curva es: V = 15.53305 e –0.05718 t

4. Dar tres ejemplos de leyes de ecuaciones físicas que correspondan a una función lineal y de potencia. Identifique cada variable y constantes.

Función Lineal

1. e = v.t, y = e (espacio)

x = t (tiempo)

a = o

b = V (velocidad)

2. VF = g.t y = VF (velocidad)

x = t (tiempo)

a = o

b = g (aceleración de la gravedad)

3. F = K.s y = F (fuerza de fricción)

x = s (deformación)

a = o

b = K (constante elástica)


Función Potencial

1. h = ½.g.t 2 y = h (altura)

x = t (tiempo)a = ½.g (½ de la gravedad)b = 2

2. f = T -1 y = f (frecuencia)

x = T (período)a = 1b = -1

3. T = 2.w -1 y = T (período)

x = w (velocidad angular)a = 2b = -1

5. Para trazar una gráfica que corresponda a una recta, con cual método es más conveniente trazar, con el Método Visual o empleando el Método de los Mínimos Cuadrados. Porque?

Para el trazado de gráficas que corresponden a una rectas, es más conveniente trazarla por el método de los mínimos cuadrados, ya que posee mucha más exactitud que el método visual. Con el método visual se corre el riesgo de trazar una recta equivocada, debido a que las variables dependiente e independiente sufrirían cambios.

VII. DISCUSIÓN Y CONCLUSIÓN

Haciendo un análisis para el método visual y método de los mínimos cuadrados, se llegó a la conclusión que:

El método visual es un análisis de la gráfica del cual se extraen los elementos necesarios (pendiente y constante) para realizar la fórmula empírica (Y = a + bx). Este método no es el más adecuado ya que se trabaja en base a datos obtenidos mediante instrumentos de medición, los cuales por más precisos que sean siempre tienen un pequeño margen de error.

El método de los mínimos cuadrados trabaja en base a la aplicación de los datos en fórmulas (fórmula 2 y fórmula 3), las cuales permiten hallar con mayor exactitud la pendiente (b) y la constante (a); datos necesarios para encontrar la fórmula empírica.

Por lo cual es recomendable utilizar el método de los mínimos cuadrados.


VIII. BIBLIOGRAFÍA

D. C. BAIRD Experimentación Una Introducción a la teoría de Mediciones al diseño de experimentos – 2° Edición – Editorial “Melo S.A.” – México 1991.

http://www.google.com.pe/#q=construcci%C3%B3n+de+graficas.

http://dc306.4shared.com/img/ufUgxJQT/preview.html

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