Fisica Vol. II Campos y Ondas - Alonso, Finn

7/30/2019 Fisica Vol. II Campos y Ondas - Alonso, Finn

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Versión en español de:

CARLOS LBERTOHERAS

Coardinudor ientílicoUniversidad e Oriente.Venezuela

vJOSEA. BARRETO RAUJO

Departamentoe FísicaUniversídade Oríente,Venezuela

Con a colaboracióne

ROMULOE. BALLESTERO

Facultad e Ciencias LetrasUniversidade CostaRica



FISICA

VOTUMENI: CAMPOS ONDAS



Deportamentoe

FISICA

VOTUMENI: CAMPOS ONDAS

MARCELOALONSO

Departamentoe Físíca,UniversidadeGeargetownWashíngton,. C.

AsuntosCientlficos,Organizacióne los Estados merimnos

EDWARD I. FINN

Deparlamentoe Física, JniversidadeGeorgetownWashington,.C.

FONDO EDUCATIVO INTERAMERICANO,

Bogotá Caracas- X'féxico Panamá - San Juan - Santiago - Siro

S. A.

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r r ; ; r ¡ ; . . ; ii f ¡ , ; : : : r i i l ,ngiese i tu iada; , : : . 'L i- ' t t i i : t ; ¡ t t i ] l ' r l í i f . ! ,

i ' - : . r , : , ; ; ' . l " : , . ,, ¡ :d ic iót t i * 1967,l i i ; r 1: - ; ; ¡ ¡ ; ¡i . l ; : : l ¡ : ; ,ny,Read. i f lp . ,

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T¡:clos los rlrrechos han sido ¡esei"?.?(i¡s. Ni est¡: iibro rr i parte de él ¡lueden serr*pxo(irrri i j i )$ er¡ fornl:t algl:n:r $i n (i i i . .crf i l lso eicrl ta ¡j<:su editor. Printed in th eLlnitei Sl.; ' . icr ¡ i Ai lrcric¿r. nr¡-.¡¡rq"¿:rr o¡, i .II",] i . Tarjr' , ia del catálogo de la Biirt ic¡*teca ilri Co:rgiesc de !l :¡: -iE. Lir{-i . 7.1" !3:: l1 "



PROTOGO TITEDICIONEN ESPANOL

Uno de nosotros (J. A. B.), aprovechando Ia flexibilidad proporcionada pof elcarácter experimental de la Universidad de Oriente, habla comenzado a reestruc-turar el programa de ffsica general y a experimentar con él a fin de hacerlo másmoderno e interesantepara los estudiantes. Este trabajo lue completado por ambostraductores a principios de 1967 con la colaboración de algunos colegas. Se iba autilizar en cursosbásicoscomunesa todos los estudiantesde ingenierfay de ciencias(incluyendo los del área biológica). La diflcultad para ponerlo en práctica era lafalta de un texto apropiado, lo cual exigirfa de los profesores de l departarnintoun csfuerzo de asimilación de textos tales como The Fegnman Leclures on Pñysics.Fue entonces cuando llegó a nuestras manos el volumen I y poco despuésel Ilde esta serie de física fundamental universitarla. La adoptamos como texto gufadel curso de fisica general,conscientes e los inconvenientespedagógicosque implicautilizar a este nivel un libro €n otro idioma. Felizmente, el libro, particularmenteeste volumen II, resultó ncitante no sólo para io s estudiantessino también paralos profesores.El resultado fue un aumento sustancialen el rendimiento estudiantil,tradicionalmente bajo, especialmenteen el primer semestre del curso.

Una de las ventajas qu e hemos encontradoen esta seriees que.su nivel no esuniforme. Mediante una selección adecuada de temas, ejemplos y problemas, sopuede conseguir diversos niveles efectivos. Entendemos que esto será de sumautilidad en la América latina, ya que se podrá adaptar el libro a los niveles deenseñanza an dislmilesen la región.

El volumen II es particularmente revolucionario, tanto por el enfoque comopo r el contenido: a reducción del espaciodedicado a lo s campos estáticosa su sjustas proporciones, a posposiciónde l estudio de circuitos a problemas (lo querealme¡te son), el tr atamiento unificadode la s ondas,que permite un estudio azo-

nable de la s ondas electromagnéti cassobre as cuales se basa gran parte de lascom.odidades ue la civilización actual ha puesto a nuestro alrededor). La intro-ducción del conceptode fotón a esta altura nos parecesumamenteúti l , pues un ave z qu e el estudiantese conv€nce e que os rayos gamma, os X, la luz y las ondasde radio son de la misma naturaleza, a pregunta nvariable es ¿por qué, entonces,algunasde estas ondas pueden ser dañinas y otras ni las sentimos?

El trabajo de traducción ha sido a la vez un placer y un estlmulo. Un placerpo r Ia claridad y la concisióndel lenguajeuti l izado en el original - aparte de loshallazgosdidácticos; sólo introdujimos algunos cambios menores respecto al ori-ginal cuando consideramos ue ello redundaba en mayor precisión o claridad,El lector sabrá disculpar os defectos diomáticos que pueda hallar: consideramosqu e poner al alcancede los lectoresde habla castellanaun texto de alta calidaden la materia er a más urgente que lograr un castellanoperfecto. La traducciónfu e además estimulante, en primer lugar, porque dada el área de difusión qu etenciría a presenteedición en castel lano,deblamosevitar en lo posible el uso de



PROTOGO

La ffsica es una ciencia fundamental que tiene profunda influencia en todas lasotras ciencias.Por consiguiente,no sólo los estudiantes de flsica e ingenierfa, sinotodo aquel que pienseseguir una carrera cientfflca(biologfa, qufmica y matemática)debe tener una completa comprensión de sus ideas fundamentales.

El propósito primario de un curso de fisica general (y guizá la única razón paraque aparezcaen el plan de estudios) es dar al estudiante una visién uniflcada dela fisica. Se deberia hacer esto sin entrar en muchos detalles, analizando, sólo, losprincipios básicos,sus implicacione s sus limitaciones . El estudiante aprenderáaplicacionesespecfficas n cursos más avanzados. Asf, este libro presenta las ideasque creemos undamentalesy que constituyen el corazón

dela'flsica de hoy.

Flemostenido en cuenta cuidadosamente as recomendacionesde la Comission on CollegePhgsics Comisiónde Ffsica para Universitarios) para escogeros temas y el métodode presentación.

Hasta no hace rnucho tiempo, la ffsica se venfa enseñandocomo si fuera unconglomerado de varias cienciasmás o menos relacionadas,pero sin un punto devista realmente unitario. La división tradicional (en "ciencias"): mecánica, calor,sonido, óptica, electromagnetismoy ffsica moderna no se justifica al presente.Nos hemos apartado de este enfoque tradicional. En su lugar seguimos una presen-tación lógica uniflcada, haciendo énfasis en las leyes de conservación, en los con-ceptosde camposy de ondasy en el punto de vista atómico de la materia. La teor[ade la relatividad especial se usa sistemáticamenteen el texto como uno de losprincipios gufa que debe satisfacer cualquier teorla ffsica.

El cursoseha dividido en cincopartesl (1) Mecánica, 2) Interacciones Campos,(3 ) Ondas, 4) Flsicacuánticay (5) Fisica estadistica.Comenzamos or Ia mecánicaco n el fin de establecer os principios undamentalesnecesarios ar a descubrir los

movimientos que observamosa nuestro alrededor. Entonces, como todos los fenó-menos naturales son el resultado de interacciones y éstas se analizan en funciónde campos, en la parte (2) consideramos as clasesde interaccionesque compren-demos mejor: la gravitacional y la electromagnética, responsablesde muchos delos fenómenosmacroscópicos ue observamos, studiamos detalladamenteel elec-tromagnetismo, concluyendo con la formulación de la s ecuacionesde Maxwell.En la parte (3 ) discutimos os fenómenosondulatorios como consecuencia el con-cepto de eampo.Es aquf donde incluimos gran parte del materjal que generalmenteaparece bajo los tftulos de óptica y de acústica. Sin embargo, se ha puesto énfasisen las ondas electromagnéticas omo extensión ógica de las ecuacionesde Maxwell.En la parte (4) analizamos a estructura de la materia - átomos,moléculas,núcleosy particulas fundamentales , análisis que está precedido de las basesnecesariasde la meeánicacuántica. Finalmente, en la parte (5) hablamos de las propiedadesdela materia en conjunto. Comenzamos resentando os principios de la mecánicaestadística los aplicamosa algunoscasos implespero undamentales. studiamos





ADYERTENCIA AL PROFESOR

Con el fin de ayudar al profesor a organizar su curso, presentamos una breve reseñade este volumeu y algunas sugerencias sobre los conceptos importantes de cadacapittt lo. Como se dijo en el prólogo, este curso de flsica se ha desanollado en formainLegt'ada de rnodo qu e el estudiante pueda reconocer fáci lmente la s pocas ideasbásicas en qu e se funda la física (por ejemplo, Ia s leyes de conservación y el hechot le qu e es posible reducir ios fenómenos flsicos a interacciones e¡rtre partlculas fun-i lamentales). El estudiante deberla darse cuenia de que para l legar a ser l fsico oingeniero debe alcanzar una comprensió¡r clara de esta s ideas y desarrol lar la habi-l i tJatl para manejarlas.

I.os temas hásicos consti tuyen el cuerpo del texto. Muchos ejernplos han sido

incluidos en cada capltulo; algunos son simples aplicaciones numéricas de la teorlaqu e se está discutiendo, mientras qu e otros son realmente extensiones de Ia teorfa o,deducciones matenláticas. Se rccomienda aconsejar al estudiante qu e en la primeralectura de un capftulo omita fodos los ejelnplos. Luego, en una segunda lectura,qu e examinc los cjemplc¡s sugeridos po r el profesor. De €sta manera el estudiantecomprenderá separadamente las ideas básicas y su s aplicaciones o extensiones.

Hay una sección de problemas al final de cada capf ulo. Algunos son nlás difíci lesqu e el término medio de los problemas de fisica general y otros so n extremadamentesimples. Están dispuestos en un orden qu e corresponde aproximadamente al dela s seccionesde l capitulo, habiendo algunos problemas más difíci les al f lnal. El grannÍimero y la variedad de lo s problemas dan al instructor mayor l ibertad de elecclónen la adecuación de los problemas a las apti tudes de su s estudiantes.

Sugerimos al profesor que establezca una bibl ioteca de reserva basada en el¡naterial bibl iográfico qu e se enumera al f inal de cada capitulo y que incite alestr¡diantr: a usarla para desarrol lar el hábito de veriñcar las fuentes, con lo qu eobtendrá más de una interpretación

deun

tópico dadoy

adquirirá iniormaciónItistórica acerca de la flsica.l lste volumen esLá concebido para cubrir el segundo semestre. Como gufa hemos

sr:geri<lrr, obre l¿r base de nuestra propia experiencia, el número de horas de clasequ e s{.r ecesita para cubrir cónrodarnente el material. El t iempo indicado (43 horasde clase) no incluye el dcstinado a discusiones, esolución de problemas y evaluación.Flacenlos a ccntinuación un breve conlentario sobre cada caoftulo.

TAR,TE 2. INTER,ACTJIONESY CAMPOS

La Parte 2 se ocupa de la s interacciones electromagnéticas, que se desarrol lan enlo s capítulos 14 a 17 (en el capitulo 13 del 'u'olumen I se presentó la interaccióngravi i .acional). Estos cuatro capltulos consti tuyen una introducción al electromag-tuetismo, exc)uycndo las ondas electron'ragnéticas y la radiación, qu e se estudian*i r la lratte 3" En los capítulos 14 y 15 se introducen algunos conceptos cuánticos,



rr.les como ia cuantificación de la energia y del nromenlum angular. En el volu-me n III estos tópicos serán discutidos ná s extensa¡rlent.s,

Capftulo l^4. Interacción eléctricq1, i ir,¡;¡s]

Este capftrrlo se conc.fl t;a ni i- :, 4i i

' , 'OuJOioL. ic ;rr t , r¡s¡ l' f a :? " ' ' ¡ : ! -¡

$ecrr+:r J L2 iqta i 'a i : : ¡ i t ;1¡: ; i i : : ;

t 'epi ' i . l i I -.

i-: .,i l.,rcir parte de este c¿F!ii.rlo ¡itr¡rl¡rc¡:er, fornia dinámica el conccpto de!;. i i . f ' j nragnátrco,!" studia el movinrientc'de r¡irapartfcula cargadaen un canponr:gnLiico. Ei punto culminante se al.anza h¿ci.*ei l lnai riel cap[tulo con un a dis-,:usiórr e ia ti:ansformació¡re Loir:ntz del carnpoelectrümagnéti co una revisiónde ! principio de consen'acióndei ürrrnlrjntum.EI prolesor deberá hacer hincapiéen ¿sia parte del capltulo.

{*pftulo 1S" Compos eledramsgniti*r¡s¿sidticas5 horas)

lln ¿stecall l tülo se ntrtrducel variotr.:o.icapif]$nlportanles pero ha]" dos objetivospiincip:rlcs que cl;,rofesor rlqire ener i.rrescrtes. fn o es ccnlenrar un desarrolloCe i¡¡ t¡;oria generd Cei ca:npo eleetromagnéti cc le-ves i? Gaussy do Ampére) y"i ctro es rrl '.¡c:on,lr as propiedaCrr: lrctro:-nagnéticasle la materia en conjuntocon la estri¡c tura atómica de la misma. Sc ha relegarloa rrn plano secundariodentro

rlel exto. l"e¡nasale¡ cornoel de eapacitores circuitosCC,pero se es prestamayoratenció¡r en los problemas del flnai del capitulo"

Ca¡ltnio I?, Carnposelectromagnélicasependienlesel tiempo (4 horas)

La formulaciénde las ecuaciones e N{axwelles el tema principal de este capftulo.El tema de circuitosCA sólo se discute de paso en el texto, aunque hay muchosiruenos ejernplos resueltosy problernas al flnal del capftulo para ayudar al estu-diante a aciquirir cierta habil idad para nlanejar dichos circuitos. Es importanteque el estuCiantese dé cuenta de qui: las ecuacionesde lllaxwell proveen una des-cripción compacta del campo electromagnético y que ilustran la estrecharelaciónque existe entre las partes f y It de este campo.

PARTE 8. ONITAS

La Parte 1 tlio al estudiante una descripción "particulatoria" de los fenómenos

naturales.Ahora, presentamos n ia Parte 3 ia descripción ondulatoria" comple-rnentaria de lo s mismos, basada en e! conceptode campo, ya lntroducido.en laParte 2. tr,as deas que habitualmente se estudian bajo los tftulos de acústica y deéptica están considerados quf en forma integrada.

Capftulo 18. IVlauimienÍt ondulatario (5 horas)

Este capltuloconsidera l movint ientcoudulatorioen general, eterminando n cadacasosuspropiedades speclfic*a partir de as ecuaeionesecampoqu edescriben nasituación flsica determinada, de rnotk¡ que no es necesarjo recurrir a la imagenmecánica de moléculas novióndosehacia ariba y hacia abajo. Dos ideas son fun-damentales:una es comprender a ecuaciónde onda; la otra es entender gu e un aonda transporta tanto energfa como momentu¡n.

Ccpltulo 19. Ondos elcetromagnótír:as5 hriras)

Presentomcsaqu[ Ia s ondas eieclrcinagné ticas r edichas por las ecuacionesdellfaxv¡ell. l t ' r lo que el estudiantedel¡eentcn¡iera fondo las secciones 9. 2 v 19.3,



Aduertencia I prolesor ciii

Este capitulo también considera os rnecanismos e radiación ,v absorción. Introdueeademásel concepto rnportante de lotón corno resultado natural del hecho tle quela; ontlaselcctromagnéticasransportan ener¡¡la rnomentuni y de que estaspro-piedarles físicas estári relacionaiias por' la ecuación E : cp" 'fambién se discutebrevernente as transiciones radiativas enirc es!.adosestacionarios.

Cepftulo 90. Ilefletión, refraccíón,polarízación(4 horas)

Los textos eiementales recurren tradicionalmente al principio de Huygens paraestudiar la rcflexión y la retracción, aunque el principio que usan realmente es elteorema de Malus. Lo novedosode este capltulo es que encara este hecho. Se puedeomitir las secciones 0.8 a 20.13 sin perder la continuidad del desarrollo.

Cepftulo 91. Geometríade Ias ondas (3 horas)

Se puede on'ritir totalmente este capltulo que en cierto sentido se ocupa ¡ealmentede ia óptica geométrica.De todos modos, e! profesor debe hacer resaltar que elmaterial de estecapitulo no sólo se aplica a ondas umfnicas sino también a ondasen general.La convenciónde signos adoptada es la misma qu e la de OplÍcs,porF:orn y Wolf, Pergamon Press,1965.

Capftulo 29. Interlerencia(3 horas)

En estecapltulo se usa sistemáticamente l método de los vectores otantes. Puede

resultar provechoso ue el estudiante elea as secciones 2,7,12.8 y 12.9 del vo-lumen I. Ei ccncepto de gufa de onda que aquf se da es tan importante que no sedebe omitir.

Capftul<r 8. Dítracción (3 horas)

Este capltulo dependeastrechamentedel anterior por lo que el profesor debe con-siderarlos en conlunto. En este capftulo, como en el anterior, hemos tratado deseparar los pasos algetrraicosdel resto del material para que el instructor puedaomitirlos si asf lo desea.

C*pftulo 24. Fenómenosde transporte(3 horas)

La irnportancia t}e los fenó¡nenosde transporte está bien reconoeida,ya que losmismos tienen rrruchas plicaciones n ffsica, qulmica, biologla e ingenierfa.Estecapitulo constituye una introducciónbreve y coordinadaa estos enómenos, ando

tambiénal estudianteun a idea.sobre otros tipos de propagación

de campos.Siel

profesor está presionadopor el tiempo, puede encarar este capitulo como tareasolamente omit,ir os ejemplosy problemas.

tristees el mornento oportt¡no para concluir el segundo semestre.A esta alturael esludiantedeberá ener una corEprensión ólidade la ffsicano cuántica,y ademáshaber aprehendi<ioas ideas de fotón y de cuantificación do la energla y del rno-lnentum angular. El tercer semestreestará dedicado a la llsica cuántica y a lafisica estadist.ica, ue se presentarán como refinamiento de los conceptos fisicos alnivel de lo rnuy pequeño (o microscópico)y al nivel tle lo muy grande (o rnacros-có¡rico).

El npéndicemate¡náticoque se encuentraal f lnal del libro suministra u¡ra refe-rencia rápida a las f órmulas de usomá s recuentes n el texto y a algunas nforma-ciones tilcs. I)or conveniencia, lgunas órmulas relacionadas on la lranslorrna-lién de l,ole¡rtz t¡an sido agregadas. as mismas ueron deducidas n ei rr-' iumen ,





,{DYERTENCIALESTUDIANTE

Es este un libro sobro los fundamentos de la flsica para estudiantes que siguencarreras cientfficas o ingenieria. Los conceptos e üéas que aprenda en él entrarán,nru;. ¡lrobablemente, a formar parte de su vida profesional y de su modo de pensar.t-lr¡anto mejor los comprenda tanto más fácil le resultará el resto dc su educacióntu perir.rr,

El este cursv debe estar pi:eparado para abordar nur*erosos problemas arduos.L-)laprenrlcr las leyes y iécnicas de la ffsica puede ser, a veces, un proceso iento;; rir:loroso. Ant¡,s de tlue entre en €sas regiones de la ffsica que excitan srr magi-l¡zrr-' i4n"¡steri <icbe d.oininar otras menos llarnativas per$ muy funda¡nentales, *i nla s <'ualts no puedc uti l izar o comprender la l lsica en forma apropiada.

{-Td. deberá mantener dos objetivos principales al to¡nar este curso, Primero:fariiiliarizarse completamente con el puñado de leyes y principios básicos que cons-Litr-y'en Ia colum¡ra verlebral de la ffsica. Segundo: desarrol lar la habil idad de¡:a¡r,; jar estas ideas y aplicarlas a situaciones concretas; en otlas palabras, la habi-tidari de pensar y actuar como ffsico. El primer objetivo io puede alcanzar prin-cl¡-ralmelte ieyendo y releyendo aquelias seceiones impresas €n cuerpo grande.P:ira a¡'udailo a alcanza¡ el segundo abietivo hay a lo largo del texto, en letra¡rrqueíre, muchos ejemplos resueltos y están los problemas para resolver en casaal l lnal de cada capftulo. Recomendamos'encarecidamente qu e le a primero el textoprincipal y un a ve z famil iarizado con é1 , prosiga con los ejemplos y problemas;rsigrado; lror el profesor. En aigunos casos los ejemplos i lustran un a aplicaciónde la ter.¡rlaa una situación concreta, en otros amplfan la teorfa considerando nuevosilspeclüsdel problema elr discusión; a veces suministran un a justi f icación de la teorla.

Los problernas que están al final de cada capftulo tienen un grado variable deri i l i r.r ' : i t*r1.Oscilan entre lo má s simple ¡r lo complejo. En general, es bueno tratar

de ; 'esolver rt n problema primero en forma simbólica o algebraica, introduciendo¿¡l Jinal los valores numéricos. Si el problema que )e ha n asignado no puede resol-lerio en un tiempo prudencial, póngalo a un lado e inténtelo más tarde. Para el¡:aso dc ac¡ueliospocos problemas qus se resisten a ser resueltos, doberá procurarayurla. Ei I ibro How to Solue It (segunda edición), de G. Polya (Doubleday, Gardenr,i ty, N. \ ' ., 1957) es un a fuente de autoayuda qu e le enseñar á el método de reso-hición de prolrlernas.

Le l fsica cs una cie¡rcia cuantitativa qu e necesita de la matemática para lae.xpresión de sus ideas. Toda la matemática empleada en este l ibro se puede en -contrar en cualquier texto corriente de análisis matemático y deberá consultarlotoda vez que no comprenda una deducción matemática. No deberá, de maneraRlguna, sentirse desalentado ante un a diflcultad matemática; en caso de diflcul-tades rnatemáticas, consulte a su profesor o a un estudiante más avanzado. Paraei cir¡ntffico

-vel ingeniero la matemática es una herramienta y tiene importancia

secunclaria en la cornprensión de lo s conceptos fisicos. Para su comodidad, se





AGRADECIMIENTOS

Querernos cxpfesar nuestro reconocirnienttt a las siguientes persorlas v organiza-c iones por su anrabi l i t lad al permit i rnos publ icar material i lustrat ivo de su perte-nencia: Brookhaven National l ,aboratorl ' ( f igura 15-6); General Electr ic Company(f igura 17-5b); Pro{esor Harvey Fletcher (f igura 18-23); Educat ional Serv ices,Incorporated (f igura l8-37a); U. S. Naval Ordrtance Laboratory, Whi te Oak,Silver Spring, l fd. (f igura 18-37b); Yíbration an d Sound, po r Phil ip NI. Nlorse,McGlarv-II i l i Book Co., 1948 (figura 22-26); Ripple Tank Studies of lVaue l lol ion,con antorización de W. Llowarch, The Clarendon Press, Oxford, Inglai t rrra (f i -gura 23-2); Príncipl ts ol Opt ics, por Hard5' y Perr in, t r fcGraw-Hi l l L iook Co., 1932(figrrras 23-'12 y 23-14b); y Profesor B. E. Warren, del IVLI.T. (f igura 23-42)- De-

bemos especiai agradecimiento a Educational Services, Incorporated y al PhysicalScience Study Committee, de cuyo libro PSSC Pnysic.s,D. C. Heath and Co., 1960,hemos iomado las siguientes f iguras:0-13a, 18-22, 18-28b,20-6b,20-10b,20-11b,20-16dye,22-ty22-15.















15 4

IJna ve z entendidas as reglas generalesque g obii:raan el ¡novimiento, el pasosiguiente es investigar las interaccioncs responsables le dichos movimientos.Hay varios t ipos de interacciones. Lina es la inleraccióngrauítactonalque semanifiesta en el movimiento planetario y en el de la materia en conjunto. Lagravitación, a pesar de ser la más débil de todas la s interaccionesconocidas,es la primera interacción estudiada cuidadosamente,debido al interés que el

hombre ha tenido desde a antigüedad en la astronomia y porque la gravitaciónes responsablede muchos fenómenos qu e afectan directamente nuestra vida.

Otra es la inleraccíóneleclromagnétíca,a mejor comprendida y posiblemente lamá s importante desde el punto de vista de la vida diaria. La mayoría de losfenómenosqu e observamos nuestro alrededor, ncluyendo os procesos uímicosy biológicos, son el resultado de interacciones electromagnéticas entre átomos ymoléculas.Un tercer tipo es la ínleracción uerte a nuclear, que es responsablede qu e los protones y los neutrones (conocidoscomo nucleones)se mantengandentro dei núcleo atómico, y de otros fenómenos elacionados.A pesar de Iainvestigación intensiva realizada, nuestro conocimiento de esta interaccién esaún incompleto. Un cuarto tipo es la ínlcraccíóndébil, responsablede ciertosprocesosentre partículas Iundamentales, tal como la desintegración beta. Nuestroconocimiento de esta interacción es airn muy escaso.La intensidad relativa de

las nteracciones ombradases : Iuerte, tomada como 1; elec tromagnética- 10-2;débil - 10-5; gravitacional - trO-s. Uno de los problemas no resueltos de lafisica es por qué parece haber sólo cuatro interacciones y por qué hay una dife-rencia tan gmnde en sus intensidades.

Es interesante ver lo que Isaac Newton decÍa hace 200 años acerca de lasinteracciones:

¿No tienen acaso as pequeñasPartfculas de los CuerposciertosPoderes,o Fuerzas,po r medio de los cualesactúan.,,unas obre otras para producir gran Parte de losFenómenos de la Naturaleza'l Porque bien se sabe que los Cuerpos actúan unossobre otros por medio de las Atraccionesde la Gravedad,Magnetismo,y Electri-cidad;...yno lo tengáispo r improbablesinoqu epuedehabermás Poderes tractivosque éstos....De cómoestasatracciones uedenser realizadas, o Io considero qul....Las Atraccionesde la Gravedad,del Magnetismo,y de la Electricidad, alcanzan

distanciasmu y apreciables,,..y uede que haya otras qu e alcancendistancias anpequeñasque hasta ahora escapen la observación;.... Oplicks,Libro III, Inda-gación31 )

Para describir estas interacciones introducimos el concepto de campo. Enten-demos por campo una propiedad fisica extendida en una región de l espacio ydescrita por medio de una fun ción de la posición y el tiempo. Suponemosqu epara cada interacción una partícula produce a su alrededor un campo corres-pondiente.Este campo actúa a su vez sobreun a segundapartícula para producirla interacción necesaria. -a segundaparticula produce su propio campo, el cualactúa sobre la primera dando como resuitado un a interacción mutua.

Aunque se puede dcscribir las interacc;iones or medio de campos, no todoslos campos correspondena interacciones,ht,cho qu e cstá implicito en la defi-nicion dc c anlpo. I 'e-r ejernplo, l¡: meteri rriio;io rrrcde xpresar a presión y la

ternpemlrrrl at,rnos{éricasrr ¡ r¡:rrrir,rrlr ' l¿ }¡1,i.u,i y la longitud en la superficieter¡r:stri"- 'r le ia ¡¡lLurasohrq: isl. i : ."1' tr j ler l i( ]sntoncesdos cllripos escalares:el



\l:--\"\_

1;ó

eampo de presionesv el campo de temperaturas. En el movimiento de un flúidosu velocidad en cada punto constituye un campo vectorial. El concepto de campoes entonces de gran utilidad general en la física.

En el capítulo 13 del volumen I se estudió la inte¡acción gravitacional y el campogravitacional. En los capitulos 14 a 17 de este vclumen, consideraremoslas inter-acciones electromagnéticas.I:Iablaremos del resto de las interacciones en el vo-lumen I I l .



ENTEKAT{-g{}NfiTHCTRICAL4

14.1 Introdueción

i4.2 Carga,eléctrica

i4"3 L-eEde Coulomb14.4 üarnpo e\éetríeo

14.5 La cus¡ziizficíón e la carga eléctrica

14.8 F.stru,¿tt¡raíéctricade la materiaj'!.7 Estrueturaatémíca

14.8 Potencialeléctrico

Relacíones rrergétícasft un cempa eléctrico

14.1A Corriente eléctríca

14.1 Dípolo eléetríca

14.12 fulultipolas eléctríccsde orden superior

14.9



14"lj

74.7 Introdueeión

Inlraduccíón 457

Consideremos n experimento mr y simple. Supongamosque despuésde peinarnuestro cabelloun día muy secü¿rcercamosl peine a pedacitos igeros de papel:obser.,'amosque el peine los atrae. Fenó¡neno similar ocurre si frotarnos unavari l la de vidrio con un paño de seda o una vari l la de ámbar con un pedazo de

piel. Podemos concluir que, como resultado del frotamiento, estos materialesadquieren una nueva propiedad que llamamos electrícídad(del griego elektron,qu e signif icaámbar), y que esta propiedad eléctrica da lugar a una interacción

má s fuerte qu e la gravitación. Hay, además,varias otras diferencias undamen-tales entre las inte¡acciones eléctrica y gravitacional.

En primer lugar, hay solamente una clase de interacción gravitacionai, qu eda como resultado una atracción universal entre dos masas cualesquiera ;por elcontrario, hay dos clasrsde jnteraccioneseléctricas.Supongamosqu e acercamosuna vari l la de vidrio electrizada a una pequeña esfera de corcho suspendida deun hilo. Vemos que la varilla atrae la esfera.Si repetimos el experimento conuna varilla de ámbar electrizada, observamos el mismo efecto de atracción. Sinembargo, si ambas varillas se acercan a la esfera simultáneamente, en lugar deuna mayor atracción, observamosun a fue¡za de atracción menor o aún ninguna

atracción de la esfera fig. 14-1).Estos experimentossimples ndican que, aunqueambas varillas electrizadas, a de vidrio y la de ámbar, atraen la bola de corcho,lo haeendebido a procesos ísicosopuestos.Cuando ambas varillas actúan simul-táneamente, sus acciones se contrarrestan produciendo un efecto menor o nulo.Concluimos,entonces,que ha y dos clasesde estadosde electrización: uno qu e semanifiesta sobre el vidrio y el otro sobre el ámbar. Al primero le llamamos posi-tíuo y al otro negaliuo.

Varilla

de vidrio

Varilla

de ámba¡

\

Ambar

----G:]

Vidúo

(c )

electrizadas.

(b)¿r

Ftg. 14-1. Experimentos con varillas de vidrio y árnbar

Supongamos,ahora, qu e tocamos dos esferasde corcho con una varilla devidrio electrizada. Podemos suponer qu e ambas se electrizan positivarnente.Si las ace¡camos,observamosque se repelen (fig. 1 -2a). El mismo resultado

se obtiene cuando tocamos lasesferas con la varilla de ámbar electrizada, de

modo que ambas se electricen negativamerite (fig. 14-2b). Sin embargo, si tocamos



,158 Interacción léclrica

una de ellas coa la varilla de vidrio

adquiera electricidad positiva y ia

(fig. 14-2c).

(14.2

y la otra con ia de ámbar, de modo que un aotra negativa, observamos que se atraen

/1F---___._tl/*

(c )e) (b )

Fie. 14.2. Interaccione-q eléctr icas enlr¡r c¿l i 'gas de igual-v

de diferente signo,

Pt'r consiguiente,mientías u€ la irrteracci¡;u gravitacional es siernpre atrac-

trrra, ia intcracción eléctrica pucile ser etractiva o repulsiva.

Dos cuerpo.s on a misma clasede eleclrización posílíua o negalíua)

se tepelen,pe.rasí tienen diferenles clases le eleclrizacíón(una po-

si l iuag la otra negatíua), e atraen.

Este enunciado se ilustra esquemáticamente en la fig. 14-3, Si la interacción

eléctrica hubiera sido sólo repuisiva t¡ sóio atractiva, probabienlente nunca hu-

biéramos observado la existencia de la gravitación porque la interacción eléctrica

es má s fuerte. Si n ernbargo. a mayoria de lo s cuerposestán compuestosde can-

tidades iguaies de electricidad positiva y negativa, de nrodo que la interacción

eléctricaentre do s cuerposmacroscÓpicoss muy pequeñe o cero. De e ste modo,

co¡no resultado de i efecto acumulativo de las masas, a interacciónqu e aparece

macroscópicamentecomo dorninarite, es la interacción giavitacional, aunque

muchc más débil.

I '¿-\*1:J ,r-1 ¡'\:-r-*

jq'-\-*1li

Fig. i4-S. l iuerzas €utre cargíis de igual y de diferente sigtic-

74,2 Carga eléetriea

Del mismo modo que caracterizarno"qa inteirsitiad te la in teraccióngravitacional

asignando a cada cuerpo ulla masa gravitacicnal, caracterizamosel estado de

electriz¡¡:ión de un cuerpo ,iríinl'r:::tio ll:t r, 'r i. 'r{rlécírit:c, nás conrúnmente la-

¡"¡arl:r ¡¡rrii., l i rclr icci,eprttsi:nit<!:i ir ! ; ' i' : si : :;rtiQ r. Asi, cualquier porciÓn r! e

rnai..eria., . , l tat lujer pl i l l i . r ' . t la, :,i.¡i :¡il: i i:t ':, i,:.;¡til iior r los propiedades ndeperr-dier,tes ui'cianrentales: lasa v ci¡Lgí!.





Co¡rsiderenrosa interacción eléctric¿l r¡tre rlos pariÍculas cargada s,en replso,en el sisterna nercial de referc¡rr' ia lc i ribserr,-ador , cu¿indo nás , moviéndosea una velocidadmuy pequeira;e l resul tadode ta l in teracciónconst i tuye a elec-Iroslática. -a interacción elect¡ost¿iti eu rit.re ios part ic:ulascargadasestí¡ dadapo r la le,gde Coulornó,lamada asi en ironcil'dei ingeniero francés ChrtrlesA. deCoulomb (1736-1806) uien fue el pr imero en enunciar la,corno s igue:

La ínleraccíón eleclrostctlica ntre dos partlculas cargadas es"pro-porcíonal a sus caigas e í.nuersamente roporcional al ruadradode Ia distancía entre ellas g su dírección es según la recta queIas une.

Esto p uede expresarsematemáticamenLe or

160 lnteracción léctríca

74.3 Ley de Caulo'mb

0q 'F: R": ; - ,

)=f¡

Fig. 11-5. Ralanza de tor-s ión de Clvcnt l ish para vcri -l lcar la ler ' ¡ le la intcr¿tct ' i , i t le.léctrica e¡rtre do s cargas.

't a

(r4.2)

dondc ¡ e s a distancia entre las dos cargasq y q', F es Ia fuerza qu e actúa sobre

cada carga y K" es una constantc a determinar de acuerdo con nuestra elecciónde unidades. Esta ley es nruv sernejantea la ley de interacción gravitaciona l.Po r consiguiente, odemos aplicar aqui rrruchos esultados matemáticos que de -mostranrosen el capitulo 13 simplemente eemplazandoymm' p<tr K"qq' ' .

Irodemas experimentalmente verificar la ley de ia proporcionalidad inversarlei cuadradt¡de la dist¿ncia.midicndo las fuerzas entre dos cargas dadas colo-cadasa distanciasdist intas. Una posibledisposiciónexperimental se ha indicadoen la l ig. 14-5 parecida a la balanza de torsión de Cavendish de la figura 13-3.La fuerza I; entre la carga en -Ély ia carga en D se encuentra micliendo el án-gulo 0 según el cual la fibra OC rota para restablecerel equilibrio.

I)

La constanteKe en la ec. (14.2)es senrejantea la constante ' ¡ en la ec. (13.1) .Pero en el capí-tu lo 13 las unidadesde masa, distanciay fuerza

estaban 5.a definidasy el valor de y se determinóexperimental¡nente.En el prescnte caso, sin em-bargo, aunque las un idadesde fuerza y distanciaha n sido ya definidas, a unidad de carga no seha delinido todavía (l a definición dada en lasección2. 3 frie sólo preliminar). Si hacemosun aproposiciórrdellnida acerca de la unidad de car-ga , entoneespodemos determinar K" experimen-talmente. Sin embarg o, procederemos ¡r sentidoiriverso -¡ rasignando a K" un valor conveniente,f i jarnos, le cste rnodo, a unidad de carga.Adop-taremos estc scgundo nrétodo y, usando el siste-lna XiKSC cstablecemos l valor numérico de .I{.





















470 Inleraccíótt eléctrice (14.5

ocasionahnentc ¡lmbie sugiricndo il i c¡ml:io {r¡i :. r;:¡rqa le a gota. Iistos cam-bios son drl-.ido: ¿ la ioniz.:¡cion tiii it-rl,¡rl ' lr:.}.i¡ .- 'r¡r.,}¡ienirroa raJ¡os tisrrricos.La gota prrecle ,orul i lal¡ ;uitci ¡l c cst i, ir n¡jesnr('nl.rasse :nusl 'r a trar'és,:lelairc.I-os canbÍos en la carga pr:r:dtn ilCuciisc t¡¡r¡.:Lién:r,loca¡ric ercit de }as placasuna fnente de rayo; X u 1o lc'1, uaies slrmeili: l l: ]; t ionjzación dei airi:.

l) e acuerdo co n la er:. (14.11), os ia,,¡Lio:; Ao y :\u, de la carga y de la velo-

cidad hacia arriba están relecionaCcs |. r

0:r:l¡Aq : --:- ¡" , (r4.12)

Aigunas veces Aq es positiva'i 0ir¿1s eces r1e¡iativir, egún a naturaleza de lamodificaciórr ie la carga. Repitiencloel e:;pt:riinenlode la gota de aceil.emuchas'r'€c€s oi l diferentesgotas, os lis.icos an conclu!doque ios cambios Ag son siem-pre nrúitiplos de la carga filndi.lrrl; ]tai ¿ rirst()¿s , AÍ - ' ne), cuyo vaior e$

¿ : 1,6021x i i i - le C. (14.13)

La caatidacie se larna cargae¡emcntal.' i ' t¡Cc:;as crtgas qu ese obseruon n la na^

{uraleza onig¿ro¡€s-,o rnúliíplosde in :art¡t tlente.nfal ; hasta ahora

no se hanohservado excepc:ones est; regla" Parece ser, entunces,una ley fundamentalil,; la naturaleza quc la carga eléctrica est,acuaniizada. Hasta el presente, norc ha encontrario xpücación¿ estchcehoa prrrt.ir e conceptosmá s fundamentales.

Un segundoaspecto ritporl-rntede la carga eléctricaes que la carga elementaleslá s iempre asociadacon alguna masa deterininada, dando lugar a Io que lla-nramos wta partíclila fundamnlal. I i1n e] próximo capÍtulo (sección15.4), expli-carelnosaigunos métodos para medir la nroporciór qim" de modo qu e si se co-noceq, prieda obtenerse n; de esta mauera se ha n identificado varias particulasfundamentales.lPor el moinen!,o, odernos ¡tdicar que en la estructura del átomoentran tres partíeulas undi¡nlentair,s: l el¿clrón, ! prolón y el neutrón Sus carac-teristicas se indican er r el siguierite cuadro.

iPartícirla i___-t__

fe lcctrón { m.

IprOron I tn pneUlIOn I ¡n n

I

Masa I"rrgui--

- r r ,109l r l0 ' . r kg I - c

- t ,67?5 ,: r ' . r -2?g r + r:. 1",6748 10-r? s | 0

Olrsérvese ¡ue. l neuirón no tiene cargrr uléctrir:r; sin crnbargo posee otraspropietladeseléctricas, lue scl 'ándiscutidas eri cl cr,pitulo 1.-1.r l hecho de que lamasa iiel protón sea cerca de 1840 vecesmavor qu e la masa de l electró¡r ienegran inf luencia eri nir¡chos en ó¡i:enos isirros"

[' let+rnclr.loslhr)raa Ia iel inición preiirnilrar lel coulomb dada en la sección2.3,y ver i f iquclr ios ue el n¡ imerode el t :ct rc, r .es3' r r ro inrres ecestr ios arn a lcnnzar

llr)¿i ¿ifg¿¡rr'rsitiva )nrgativi¡ igui.ir i¡¡r :ouioriiL :s /1,6021x 10"rs:ü,Z-tr18x 0r 8qu r cs trl ¡iú rnero riuc a gr:rrcce lli,



14,6) Eslructura etéclrica de la maleria

74.6 Estructura eléctrica de Ia materia

Hemos recordadoal estudianteel hecho recuentementeobservadode qu e ciertoscuerpospueden electrizarse rot¿indolos on tela o piel. IlIuchos otros experimen-tos de laboratorio señalanel hecho de qu e los r.;en5fifuyentes ásicosde todos lo sátomos son partículas cargadas.Po r ejemplo, cuando se calienta un filamento,ésteemite.eleclrones, al como se evaporan as moléculas de un líquido al calen-

tarse. Este fen ómeno se llama emisión termoióníca.

Fie. 14-19. Electról isis. Lns iones semuel'en bajo la acción del campo eléc-trico producido por los electrodoscargados.

Otro fenómeno nteresantees el de la electrólísis. upongamosque se estableceun campo eléctr icoC (l ig. t4-19) en una sal fundida (tal como KHFJ o en unasolución que contiene un ácido (tal como HCI), un a base (tal como NaOH), oun a sa l {NaCL). Producimos este campo sunrergiendo n la solución do s barraso placas opuestamentecargadas lamadas eleclrodos. bservamosque las cargas:léctricas fluyen y que ciertas clases de átomos ca rgados se mueven hacia elelectrodopositivo o anodo, otras se mueven hacia el electrodonegativo o cáIodo.i,ste lenómenosugiere ¡ue as moléculasde la sustanciadisueltase ha n separado(o disociado)en do s partes diferentemcnte cargadas.o iones. Algunas están car-gadas positivanien tey se mueven en la dirección del carnpo eléctrico; otras están

cargadasnegativarnentey se mueven en dirección opuesta a la del campo eléc-l.rico, Por ejemplo, en el caso del NaCl, los átomos de Na se mueven hacia elcátodo y en consecuencia on ionesposit ivos, lamados caliones,mientras que losátomos de Cl va n al ánodo y son iones negativos, lamados aníones.La disocia-ción puede escribirse en Ia iorma

NaCl+Na.*Cl- .

Como las moléculas normales de NaCl no t ienen carga eléctrica, suponemosque eslán formadas de cantidades gualesde cargasposit ivasy negativas.Cuandolas moléculasde i\aCl se disocian, as cargasno se separan uniformemente. Un aparte de las moléculas ransporta un excesode electricidad negativa y la otraun cxceso de electricida d positiva. Cada una de estas partes es, por lo tanto,

un ion. Ilen'rosdicho qu e todas las cargasson múlt iplos de la unidad fundamental

471

Anodo

Cátodo/ " / ' ll/)7

| tt. ¡

I l Í !V'Q*

r¡\>'+l

\\\

w



472 Interacción eléctrica (14.6

de cargae. Supongamos ue los iones positivos ransportan la carga f ve, y losionesnegativosun a carga vedonde v es un nitrneroeli tero qu e determin¡trcmos¡násadelante.Cuando os iones legan a cada electrcdo,se neutralizan, ntercam-biando sus cargas con las cargas disponiblesen los electrodos.Generalmentesigue una ser ie de reacciones rr ímicasque no nos interesanahora, pero quesirven para identif icar la natu¡aleza de los iones qu e se mueven hacia cada

electrodo.Después e un cierto tiempo l, un número N de átomo s ha ido a cada electrodo.

La carga total Q transferida a cada electrodo es entonces ,en valor absoluto,

Q:Nr¿. Suponiendoque m sea a masa de cada molécula, a masa tota l Mdepositada en ambos electrodos€s M : Nm. Dividiendo la primera relaciónpo r la segunda, enemos

QIM : velm. (14.14)

Si .A{¡ es la constante e Auogadro el número de moléculasen un mol de cualquiersustancia), a masa de un mol de la sustancia es Ma : NA[r. En consecuencia,la ec. (14.14) puede escribirseen la forma

a'le N4v€ Fv

_:+

La cantidad

(14.r5)

(14.16)

es una constante universal llamada constante e Faradag. Esta representa a cargade un rnol de ionesqu e tiene v :1 . Su valor experimental es

F :9,6487 X 104C mol-r. (r4.17)

f)e este valor y del hallado previamente para e, obtenemos para la constantede Avogadro

lüa : 6,0225 x 1023mol-l, (14.18)

de acuerdo con o tros cálc ulos cie esta constante.La ec. (14.15)ha sido verificada experimentalntenley se ha hallado qu e v es

igual a la ualenciaquímíca clcl on correspondiente. , l hecho de que v sea a va-lencia quimica sugierequ e cuando dos átomos se rrnenpara formar una molécula,irrtercambian a carga ve, convirtiéndoseuno en un ion posit ivo y el otro en union ncgativo. La interacción eléctrica entre los dos iones los mantiene unidos.Podemos antbién sllponer, con bastante confianza,que las part iculas intercam-biadas son lo s electrones, a que se mueven má s fácilmente por ser más ligerosqu e Ios protones. Esta imagen del enlace quínrico, llamado enlace ónín, rlebeconsiderarse ól o conro una descripción prelimin:r sujeta a revisión y críticaulteriores.

En la s¡'cci(¡n 3.9 ndicarnos lu e las luerzrs gravitacionalesno eran suficien-

temente utrtes conlo para producir la atracción nccesariapara mantener unit losdo s áloulr,rs fornrar una ¡noldcula,o dos nloléculasy formar una porción de

M m Nem. M¡

F:N¡e











1,1 :\ Eslruclura alór¡tics 477

Para pequeñosvalores de l ¡rarárnetrode impacto 5, 'altas energías,cuando lapartir:ula ncidente l iega mu y cerca del ttúcleo, observamos que la le y cosecano se cumple.Esto indica Ia prest:icia de otras nteracciones, as fuerzasnucleares..\nalizando las discrepancias cn respectoa la dispersión puramente culombianadada por la ec. (14.22), obtenemos nforma,ción valiosa acerca de las fuerzasnucleares.

Los más simples y l ivianos de todos los átomos son los átomos de hidrógeno.Su rnasa es gual a la de un protón más la de un electrón, Por consiguientecon-cluimosque un átomo de hidr ógeno está compuesto de un electrón girando alre-dedor de un soloprotón. Entonces,Z:1, y el núcleode un átomo de hidrógenoes precisamente un protón (esto podria tomarse también como definición deprotón). Como el electrón está sujeto a la fuerza de atracción 1/r2, deberíamosesperar,por las mismas razonesdadas en el capítulo 13 para el movimiento pla-nétario, qu e las órbitas fueran elipses con el protón en un o de los focos. Lasórbitas electrónicas,sin embargo, requieren que dispongamosde técnicas espe-cialesantes de poder discutirlas , porque ell as poseencaracteristicaspropias quelas hacen diferentes de las órbitas planetarias. Estas técnicas corresponden a lamecánica cuántica. Sin embargo, podemosadelantar do s de los más importantesresultados de la mecánica cuántica.

(1) ,Lc energla del mouímienlo electrónícoeslá cuantizada. Esto significa quela energia de los electronespuede tomar sólo ciertos valores Ep Ei2,Es, . . ., En, . . .Los estados correspondientesa estas ener$as se llaman eslados estacíonarios.Elestado con la más baia energía posible es el eslado und.amenlal Determinar lasener$as de los estadosestacionarioses una de las tareas de la mecánica cuántica.Como la energía (en un sentido clásico) determina el "tamaño" de la órbita,solamenteciertas regionesdel espacioson posibles para eI movimiento electrónico.Esto está indicado esquemáticamentepor Ia región sombreada de la fig. 14-21.

(2) EI momentum angular del mouimiento electróni.co slá cuanlizado tanto enmagnitud como en direccíón. Esto significa que el momentum angular de unelectrón puede tener sólo valores discretos y gue, como el momentum angulares un vector, puede orientarse sólo en ciertas direcciones. A esta última pro-piedad nos referimos cuando hablamos d,e cuanlizacíón espacíal Pa¡a usar ter-

minología clásica de nuevo, podemos interpretar esta segunda propiedad comoimplicando que las órbitas del electrón sólo pueden tener ciertas "formas".

Para átomos más pesadosque el hidrógeno, la masa es mayor qu e la masade los Z protones que ellos contienen. La diferencia puede ser atribuida a lapresenciad, eneulronesen el núcleo. El número total de partículas en un núcleose llama el número másíco, y se designa por A. Por lo tanto, un átomo tiene Zelectrones,Z protones y A-Z neutrones. Lo s neutrones son nece sarios,apa-rentemente, para estabilizar el núcleo. Si los protones estuvieran solamentesometidos a su propia interacción eléctrica, se repelerían entre sí, por estar car-gados positivamente. El hecho de que pueden permanecer unidos en un núcleoindica qne, además de las interaccioneseléctr icas,hay otras interaccionesmu yIuertes, correspondientesa las llamadas fuerzasnucleares,as cuales contrarrestanla repulsión cléctrica. Los neutrones contribuyen a crear la s fuerzas nucleares

sin añadir reprrlsióneléctrica,produciendo de este modo un efecto estabilizado r.

L





dN Nn\¡zzzeal-1r] : -t(-*i;;ü

coseca r/'

qu e es la ec . (14.22).Aigunas veces os rcsulta.dos e los experimentr,srle dispersiónse expresanmeior

nsandoel conceptode seccírjn ficaz.La seccióneflcaz pará un procesoestá definid.apor

. , , 1 ldNlo(P/ Nr.. do i'

! i , t :

' : i ispersadasor unidad rie ángrrlosélido.Entonces

Estructuraalo¡¡ti¡.c t , ' :

(r4.24)

(14.25)

Las barras verticales están-para ]nolgq que usamos el valor absoluto de dN/do.

I-a cantidad o({) representa.la robabilidad de qu e un a particula ncidentese desl ' leun ángulo.entre{_ y # + d#: Se expresaen unidadesde área (mr), ya que n es unadensiiad im-u) y f es una distancia m); (obsérvese ue las unidad.Ls e N se can-:elan). Por io ianto, sustituyendo a .ec. 14.22)en ia ec. (14.24),obtenemos a sec-,: idn eficazdiferencialpara la dispersión ulombiana,

"(ó):

^;tZy;T coseca{.,

"' 2(4te)2m2oo

E,íEMPLO 74.5. Obtener la dlstancia de máximo acercamiento rle una partfculade carga ve dirigida con velocidad uo contra un átomo de número atómici

z.Solucló¡t:La flg. 14-24muestra la geometla delprobiema. De acuerdocon la discusiónhecha enla sección 13.5, la partfcula describe una ramade hipérbolacon el núcleo *Z e en el foco másdistante F' . La distancia de máximo acerca-miento es & : F',4,. Sea b : F'D el parámetrode impacto. Demostraremos primero que ó esigual al eje vertical OB de la hipérbola. St an-gulo f : POQ, entre las dos asfniotas,es el án-gulo de desviación de la partlcula debido a Iarepulsión coulombiana del nrlcleo.La distanciaOA : OA' : (I s€ mide en el eje horizontal, yde las propiedadesde la hipérbola tenemos queAF' : OC. Por lo tanto, los triángulos OF,Dy OCA' son iguales,de modo que ü : F,D:: CA' : OB. En la geometrfade la ñgura ve-mos que OF' : ó cosec y OA: ¿r D cotg cr .ForconslguienteR F' A : ó(cosec * cotgc).Pero 2a + Ó: zc,de modo {ue c: +"_-hi .Por Io tanto Figuro 14-24

R : ü(sec4 + te 14,¡ó(1 .cos-e:ó) .

cotg cUsandoel resultado 14.21), on e : Ze y g : y€,obtenemos

R : .. u?"^.

(1 * cosecf),4reo(mo!) '-

qu e da !a cl isi .anciacl e máximo acercamiento en función dela energla inicial de lapartfctrla- \mu^, y del ángulo de dispersión $. Para un choque de freñte, la partícul.r

Élt,lr









14.8)

La energía potencial de la carga q, es entonces

Eo - q" V : (0,2 :< 10-3 C) (2,25 x

Si cornparamos este ejenrplo co n ei 14.2, vemos Iaca¡npo eléctrico y con el potencial eléctri¡:c.

Potencialeléctrico 483

10 8V) ': 4, 5 x 10¡ J.

diferenciaentre trabajar con el

EJEjTIPLO 11.7. Calcular cl campo el icLrico y el potenciai eléctrico producidosDor un fi lanlento mu y iargo que porta la carga tr po r unidad

dc longitud.sabnii in: Dividarnos el f i lamento en pequeñas porc.lonesde longitud ds (fig. 14.27).La carga de cada una de estas porciones es dq : X ds. La nagnitud de l campocléctrioo qu e caoa elemento produce en P es

ot : - :gt - - -4ttcorz

dirigirlo segiln la l inea AP. Pero, debido a lasirr.retriadel problema, a cada el emento ds , a ladistanria s po r encima de O, corresponde otroelemento a la misma distancia po r debajo de O.F'or lo tanto, debemos considerar solamente la scomponentes paralelas a OP, dadas por dó cos a,y el campo eléctrico resultante según OP es

| 7. f d.sC: ld C cos6¡: . ' l lcosa.J 4Éeo t2

De la f igura se deduce qu e r : R se c a ys : R tg a, luego, ds : R scc2¿ da. Haciendoestas susti tuciones, integrando desde a - 0 as. .12, y multipl icando por do s (ya que las dosnritades dcl f i lamento da n Ia misma contribu-ción), obtenemos

Fig. 14-27. Campoeléctricopro-ducido por un filamento cargado.

como R-r. En forma vectorial,

¿ : - AVIAR, o cual nos da

Us r{,1

I t\g\

. l l ' - ' .;l+o--i-.i lo---- ' : 't lU

P

s- - - - \

D. l r t l2C::-"=l cosd.dz:

4aeof( J 6 2reoR

De modo qu e

Para hallar el

el campo eléctrico del f i lamento varía

-) . :

2?r€0R-u8 '

potencial eléctr ico usamos la relación

dvdR

La integración produce

2neo-R

v: R+c.

se acostumbra en este caso asignar el valor cero al potencial en el punto dondeR : 1, lo cual da C :0 . Luego el potencial eléctrico es

v : - ^]- ln n.2neo

Sugerimos al estudiante resolver este problema invirt iendo el orden, hal lando pri-mero el potencial y después el campo,

- ^l- rn2nen



484 Interaccíón léclrica

74.9 Relaciones energétieüs en un cerrt.Elr)eléctriea

I-a energiactal de unapartícula argarla de un:u¡r ie masamviéndose n un campocléctrico s

(14.e

E : Ex * E, ,: \mtt2 -¡ qV, (14.35)

Cuanrloel i on se nrueve de la posiciónP, (dondeel potencialeléctr icoes Vr) a laposiciónP2 (donde el potenciai es \'r), la ec . (14.35) combinada co n el pr incipiode conservaciónde la energía, da

¡mu! * Qvt : |nu, , ¡ qvr . (14.36)

O, recordandoque según a ec. (8.11) W:lmuzr- I^r1 es e l t rabajo hechosobre a particula cargadaal ntoversedesdeP, a Pr, tenemos

17 t 5nuf,- trnui : q()'1- V;). (14.37)

Esta última ecuaciónnos permite ditr una definición precisaclel voit : es la dife-rencia de pt-rtenr:ial través de la cual la carga de urr cculomb debe moverse,para ganar una cantidacl de errcrgía gual a un joule.

Obsérvese ue según a ec. (14.37),una particula cargadapositivamente q > 0)

gana energiacinética cuando se mueve, desdepuntos de mayor potencial, a pun-to s de menor potencial (V, > %) , mientras qu e una partícula cargada negat!van¡ente (q < 0), para ganar energía, debe moverse desde puntos de menorpotencial, a puntos de mayor potencial (% < %) .

Si escogemos l valor cero para el potencial eléctr ico en P" (Vr:0) y dis-ponemos ¡ruestro experimento de modo qu e en P, los iones tengan velocidadcero (V, :0), la ec. (14.36) se convierte (quitando los subíndices)en

$maz qV , (14.3B)

expresiónqu e da la energíacinética adquirida por una partícula cuando se muevea través de una dilerencia de potencial V. Este es, por ejemplo, el principio apli-cado en los acelerqdores leclroslalícos.

Un aceleradoripico (ng. 1A-28)consiste

en un tubo al vacio a través de l cualse aplica una diferenciade potencial entre sus extremos. E,n uno de sus extremosestá una fuente de iones inyectando particulas cargadas dentro de l tubo. Lasparticulas iiegan al otro exttemo con una energia dada por la ec. (14.38).Estosiones rápidos golpean un bial lco ?, construido cle un material escogido segúnla naturaleza lel experim ellto a ejecutar. El rcsuitado de estascolisiones s algúntipo de reacciónnuclear.La energÍaproducida po r el choquede los ionesse rans-fie¡e al blanc o, por lo cr.rai ste debe ser constantenient e nfriado, ya que de otromodo se fundiria o vaporizaria.

Hay varios tipos de aceieradoreselectrostáticos (Cockroit-Walton, Va n deGraaff, etc.). Cada uno de ellosproduce a diferenciade potencial V po r diferentesmétodos. En cualquier caso, la energia de lo s aceleradores lectrostáticosestál imitada por la diferencia de potencial máxima qu e se les puede aplicar sin qu e

salten chispas entre los rnateriales usaclos.Est-a diferencia de potencial no excedede unos pocosmillones de volts.

y carga g mo-

'|







i 1 .9\ Relatíones energéticasen un campa eléctrico 487

Suponiendoque la órbita sea circular, la ecuacirlndel movimiento del electrón es,:t .gi in Ia ec . (7"28), meu2lr Fx, ó

fflelJz Ze2:4",€ol ' '

Ce donde, DleuL Ze2f4reor, Substituyendo este valor en la expresión previa dela energla total, se obtiene

E:- Ze ,4re o(2r)

(14.40)

.Lrnde la constante eléctrica está €xpresada en el sistema MKSC de unidades. Coni:i-e valor, -E se expresa en J cuando ¡ está en m y ¿ e n C, Esta ecuación está dea-uerdo con la ec. (13.6) para el caso gravitacional si reemplazamos ymm'porZ=2t{t t€t

La ':xpresiórt (14.40) para Ia energla del sistema electrón-núcleo,será revisada':ás adelantepara tomar en consideraciónos efectos elat ivistay magnético ejem--- ¡,s 14.10y 1ir.15)"Para el átomo de hidrógeno Z : l), -E representa a energia:'.¡uerida para separarel electrón de l protón; o sea, a energfade ionización delir ;mo de hidrógeno. El valor experimental para esta energla de ionización es

-.:i7 y. 10-18 ó 13,6 eV; con este valor encontramosqr¡e el radio de la érbita:¡ l electrónes r:0,53 x 10-10m. El hechode qu e este adio sea del mismo orden:. . nragnitud que el estimado para las dimensionesatómicas, nos proporciona una

::ena verificaciónde nuestro modelo del átomo,En la sección 14.7 indieamos que la energfa del movirniento electrónico en un.:lmo está cuantizada. En el caso de átomos con un solo electrón, las energlas

:,siblesde los estadosestacionariosestán dadas, según a mecánica cuántica, por.¿ expresión

En : -m&rzt8e!ñr¡r '

: -9 xntS,

: :nde n es un nr lmeroenteroque puede omar los valores1,2,3, . . , y tr :2t th ::.t1256 10-3¿ J s es la constantede Planck, que se introdujo en el ejemplo ?.15.: relación con el momentum angular del electrón en el átomo de hidrógeno. Intro--:ciendo valores numéricos, enemos qu e

E1 --

:i estado fundamental corresponde a n : 1, ya que ésta es la mlnima energfa:,:sible para el átomo. Comparando la expresión anterior de En con la ec. (14.40),::nemos una €stimación del tamaño de las correspondientesórbitas electrónicas:ermitidas, Este resultado es

r: -nshzeo

:Rtao

rZezm. Z

donde

ao : hrcolrce'me 5,292 x 10-rrm

se lama radio de Boñ¡. Correspondeal radio del átomo de hidrógeno en su estadofundamental. Hemos indicado previamente que el movimiento electrónico no co-rresponde a órbitas electrónicasbien deflnidas, como en el caso de los planetas.Por consiguiente,el valor de r no debe tomarse al pie de la letra. Antes bien, sirve

sólo para dar una idea del orden de magnitud de la región en la cual es muy pro-bable que se encuentre el electrón.

2.777 x 70-r8Z' - 73.5982.J - - - - f , i -ev.

n2



488 Inleracción eléctrica (14.e

EJSMPLO 74.9. Usando el principio de conservación de la energía, calcular ladistancia mínima de aproximación dc un a partfcula cargana que choca de frentecontra un núcleo atónl ico.

Solución: Si la carga de l núcleo es Ze y la del proyecti l es ve , que correspondena % y Qzde la ec . (14.39), la energia total del sistema tici proyecti l más núcieo es

E:htu2*Ze 2

4reot '

siendo ¡,r,a masa reducida de l sistenra. Si la masa del.núcleo es mucho nlayor qu ela de l proyecti l , o si el núcleo está aiojado en un cristal, podemos reemplazar ¡rpor la nrasa del proyectil m, resultando

6 : lmuz \41- '4Íeor

Pero si, por ejemplo, dirigimos protones contra protones (v : Z: 1), debe¡nosusar a masa educida,qu e es p =. . mp (recordarel ejernplo9.3).Cuando a partfculaestá muy distante, toda su enerSía s cinética e igual a \mvf,. Llamamos u e suvelocidaden el punto .4. de máximo acercarnientoflg. 14-24) cuando ¡ : ft . Laconservación e la energia requiere qu e

lmuz*#:Lmut.En el punto A de máxim"

"p.o*i.,l""ión,la velocidad es totalmente transversal,

y por lo tanto el momentum angular es .L : mRo. Como ,L es una constante delmovimiento, podemosusar esta relaciónpara eliminar la velocidad a en el punto A,obteniendo

L2 ,¡Ze2

z^R' t 4". rR: tn l ,ó '

Ecuaciónde segundogrado en 1/fi que permite obtenerR en función de la en ergíay del momentum angular de Ia partÍcula. Para una colisión de frente, L : 0 y

R:vZe2

Ar<o(|mal) '

lo cual está de acuerdo eon el resultado previarnente obtenido en el ejemplo 14.5.

Clbsérvese que para r¡na colisión de frente, D : C en el punto de máxima aproxi-mación y toda la energfa cinética se ha transformado en potencial.

EJEMPLO 14.70. Estimar el orden de masnitud de la corrección debida a losefectos reiativistas qu e ha.v qur: hacer a ia energia de un electrón en un átomo.

Solueióm: En el capitulo 13 y en esfc capíluio, siempre que hemos tratado el mo-virniento regido po r ia ley de proporcionalidad inversa del cuaci.radode la distancia,como se hizo en el ejemplo 14.8, hemos usaCo a mecánica newtoniana despreciandoIos efectos reiativistas. El proceci imiento es correcto para el movimiento planetario,pero cuando se trata del movimiento de electrones en un átomo no siemprc se jus-ti f ica. En un átomo, ios electrones se nlueven con velocidades suficientementegrandes de modo qu e la corrección relativista puede medirse experimentalmente.Estimemos el orden de magnitud de este efeci.o.

Usando la cc . (11.18), encontramos qu e Ia energla total de un electrón qu e se

mueve con gran velocidad en un át,omo (restatrdo su energfa en r€poso) esE -' cl/ nt!c" + f ' + (-eV) - ¡n"¿2.





490 Interacción léctrica

En realidad, a expresión nteriorda la corriente nediaen ei tiempo ; la corrienteinstantáneaes

I : dQldt. (r4.42)

La corriente eléctrica se expresa en coulomb¡segund.o s-r C, unidad llamada

ampere abreviado A) en honor del fÍsicc¡ rancdsAndré M. Ampére (i775-1836).Lin ampere es la intensidad de una corriente eléctrica que correspondeal pasode un coulomb a través de una secciÓn el nraterial en un segundo.

La dirección de una corriente eléctrica se supone que es la del movimientode las partÍculas cargadaspositivament e. Es la misma dirección del campo eléc-tr ico aplicado o de la diferencia de potencial qu e produce el movimiento de la sparticulas cargadas fig. 14-29a).De ahi que, si un a corriente se debe al movi-

(14.10

I I

-\-LI

____q_

(a ) Cargaspositivas (b ) Cargasnegativas (c ) Cargaspositivasy negativas

Ftg. 14.29. Corrienteeléctrica .I resultante del movimiento de iones positivos ynegativosproducido por un campo eléctrico.

miento de partículas cargadas negativamente, tal como los electrones,el sentidode la corriente es opuesto al del movimiento real de los misrnos (fig. 1a-29b).

Mantener una corriente eléctrica requiere energia porque los iones son acele-rados po r el campo eléctrico,Supongamos ue en el t iempo I haya N iones,cadaun o co n carga q, moviéndosea través de una düerencia de potencial V. Cadaion adquiere la energíaqV, y la energía total adt¡uirida es Ng V : QV. La ener$apo r unidad de tiempo, o la potencia'requerida para mantener la corriente. esentonces

P:QVlt:VI. (14.43)

Esta expresión da, por ejemplo, la potencia requerida para hacer funcionar elacelerador estudiado en la sección antdior. También da Ia rapidez con que setransfiere energia al blanco del acelerador, y por lo tanto la rapidez con la cualel sistema de enfriamiento del blanco debe sacar energÍa. Vemos asi, que la ex-presión(1.1.43) iene validez general y da la potencia necesariapara mantener

una corriente eléctrica f a través Ce una diferencia de potencial V aplicada ado s puntos de cuaiquier medio conductor. Nótese que, según a ec . (14.43),





492 Inleraccíón eléctríca (14"11

Podemosexplesar 'a ec. (14.45)en coordenadascctanguiares usar a ec. (14.29)para obtener la intensidad del campo eléctr.ico recordar el ejemplo 13.7). De-jamos esto como ejercicioal estudiante.L,n su lugar determinaremos as compo-nentes de {' en coordenadas olare.s, sando a ec . (14.28),Para obtener a com-ponente radial C" , observemos que ds : dr, entonces

^ AV 2pcoso^-:_ _:0r 4".1

^ 1 AV psen0

r 00 Arer f

(14.46)

Para la componente transversal fe, usamos ds : r d0, con lo cual se obtiene

Ftgurr 14-81

(t4.47)

Estas dos componentesse ilustran en lafigura 14-31. Las lineas de fuerzas están in-dicadas en la fig. 1,1-32.Aunque en un di -polo eléctrico, por ser las dos cargas gualesy opuestas, la carga neta es cero, el ligero

desplazamiento que hay entre ellas es sufi-ciente para producir un campo eléctrico di-ferente de cero.

En general, si tenemos varias cargas q'

a 42,Qs, , . en los puntos P¡, P2,Pa, . . . , elmomento dipolar eléctrico de la distribu-

, ción de cargas es

p : Q{ t * qzr, * qcra+ .. . -) ertt.

[Esta definición coincide con la ec. (74.44), porque, siendo dos cargas igualesy opuestas, l momento es 0 : Qrt- grz: Q(\- r) : ga.] Tomando el eje Zen la dirección de p, la expresiónanterior para el momento dipolar eléctrico devarias cargas es, en módulo

(14.48)

siendo ¡ la distancia de cada carga al origen, 0¡ el ángulo que ri forma con eleje Z y 2¡ : ri co s 0i .

En los átomos, el cent ro de masa de los electronescoincide eon el núcleo, ypor consiguiente, el promedio del momento dipolar eléctrico del átomo es cero(fig. 1a-33a). Pero si se aplica un campo externo, el movimiento electrónico seperturba, lo que ocasionaqu e el centro de rnasa de los electronesse desplaceuna distanciar, co n respectoal núcleo (f ig. 1a-33b).Se dice que el átomo se ha

polarizado convirtiéndoseen un dipolo eléctrico de momentt¡ p. Este momentoes proporcionai al campo eléctr icoexterno f.



i4 . t , f-¡ípolo .l .éc tri rc 4 !i3

Fig. 14-82. Llneas de fuerza del campo eléctrico de un dipolo eléctrico.

(lt) Campo externo nulo (b) Campo oxterno

Fig. l4-33. Polarización e un átomobajo la acciónde un campoeléctr icoexterno.

Por otra parte, algunas moléculas pueden tener un momento dipolar eléctricopermanente. Tales moléculas se llaman polares. Por ejemplo, .en la moléculade HCI lf ig. 14-34), el electrón del átomo de H tarda más tiempo en su movi-miento alrededor del átomo de CI, que alrededor de l átomo de H. En conse-

cuencia,el c entro de las cargasnegativasno coincidecon el de las cargaspositivas,

Electrones::';tllI r;iiii'li!,;i





14.tJ

! 'AIILA 14-1 Momentos dlpolare¡ elóciricosde nisun¿s moléeules Beieccion¡adBs*

Molécula

Dipolo eléctrícs 495

Ftg. l4-8?. Dipolo eléctrico en uncampo eléctrico externo.

HCIHBr

HiCOHr OH, SSO ,NHgc:H5oH

3,43 x 10-302,60 x 10-30

1,26 x 10-¡o0,40 x 10-ao6, 2 x 10-305' 3 x 10-305, 3 x 10-305,0 x 10-303,66 x 10-so

II

-l I

Ii

* Entre las moléculas con momento dipolareléctrico igual a cero están: COz, H2 , CH 4(metano), C,"H. (etano) y CCl. (tetraclorurode carbono).

direccíón en que eI campo cf¿ce.Se obtiene un resultado contrario si el dipolo se

orienta antiparalelamente al campo. El estudiante observará que si el campoeléctrico es uniforme, la fuerza resultante sobre el dipolo eléctrico es cero.

La energíapotencial del dipolo es

Ep: qV - qV' : q(V - V') : - qa(-=I) ,

y usando a ec. (14.31),encontramosqu e si 0 esel ángulo entre el dipolo y el campoeléctrico, el último factor es la componente Co : {'cos 0 del campo f paraleloa o. Por lo cual Ep : - qa(a ó

Ep : - pC cos0 : -p.{ ' . (r4.4e)

Laenergia

potencial tieneun

valormínimo

cuando 0 :0, lo

queindica

queel dipolo está en equilibrio cuando se orienta paralelamenteaI campo. Si despre-r:iamos a peq ueña diferenciaentre f y f ' las fuerzasq('y - qC' sobre as cargasqu e componenel dipolo forman un pa r cuyo torque, de acuerdocon a ec . (4.13),es

t : e, * (Có) : (qtl) x (' : p x f. (14.50)

De la expresión anterior, así como de la fig. 14-37, deducimos que el lorque delcampo elécirico íende a alínear eI dípolo paralelamenteaI campo. El módulo deltorque es r : pC sen 0 y su dirección están indicados en la fig. t437. Si usamosla ec (8.26), z : - AEplA0,podemosusar la ec . (14.49)para obtener t, : - p(sen 0. La diferencia de signo para ? se debe al hecho que t da el módulo deltorque, mientras que rz da la componente del torque según la dirección Z, per-pertdicularal plano en el cual se mide el ángulo 0, y orientada en el sentido en

qu e avanza un tornillo de rosca derecha,qu e rota en el sentido en que 0 crece.



ItÍ. i 1; Dipolo eléctricu 497

,: joh¡¿:¡l1¡r::n el ejernpin 14.11 ¡btuvirn¡;s ei carnpo eléctrico prodrrcirlo por'ün dipoloa la dista¡rcia ¡. r, la;n:incio ¡r, su rnom€nto dipoiar elóctrico, podemos escribir

, 3u,(ur. pr)-- pr( ': - -- l ; t ' " -- '

Designando por ?¡ el momento del segurrdo dipoio, y usando la ec . (14.49) encon-trarhos qu e la energla de interacción entre lo s do s dipolos es

Ep,tz : - p" . (1 - -3(u" pt) (u¡' p') - pt'p"

4ne¿3(14.51)

\n,,,\

Ir2]+

I

¡lurl t ,

rlI

Pl

, P',

f ".1Pt Ir 2+---+

ur+-*r

(d )rr ) (lt (c)

, PtPz

- 4t€"t" '

Importantes conclusiones pueden derivarse de este resultado. Una de el las es qu ela energfa de interacción Ep,n es simétrica e n los dos dipolos porque si intercam-biamos Ft ! pz todo permanece igual. Este resultado er a de esperarse. Otra es qu ela interacción entre los dos dipolos no es ¿¿nfral porque depende de los ángulosqu e el vector de posición r o el versor u' forma co n pr y Z¡. Como consecuencia, enel movimiento debido a la interacción dipolo-dipolo, el rnomentum angular orbitalde lo s dipolos no se conserva. Otra consecuencia es qu e la fuerza entre lo s do s dr -polos no yace según la l inea qu e lo s une (excepto para ciertas posiciones especf-f ieas). Un a conclusión adicional es que, como la energfa potencial entre dos dipoloseléctricos varla con la distancia de acuerdo a ¡-3, Ia fuerza, que es el gradiente deia energla potencial, disminuye según r-{, y por lo tanto la interacción entre do sdipolos eléctricos disminuye con la distancia más rápidamente qu e la interacción

entre las cargas.

th t

FtS, 14-89. Interacción entre dos dipolos eléctricos.

La geometrla correspondiente a la ec . (14.51) se i lustra en la fig. 14-39, donde (a)corresponde al caso general. En (b) los dos dipolos están alineados según la rectaque los une. De este modo p¡.p2: ptpzru,.pt : pr y u¡.pz: pr, luego

Ep,tz : __ 2prp,-4ne¡t '

resultando una atracción entre los dipolos ya que el signo es negativo. En (c) tene-mO Spr' l tz : PtPz,pero ür 'pr :0 y ur'pz:0, de mOdO qUe

Ep,p:

Como este valor es positivo, indica una repulsión entre los dos dipolos. Finalrnente,en (d ) tenemospr.pz : - ptpzy entonces

L-.



(14.11

A i{)G-\:j V.'ov r:\ C-//--¡ \Ji l-...

unñ-Y \liFlS. 14-88. Efectos de polarizaciónde un io n en solución.

Iil signo negativo de r, confirn)a c..ií. i torque tientle a disminuir el ángulo 0.Eslas propiedadesde urr cii¡:ir ioeülo,.,arioil un carnpo eléctrico i enen impor-

tanies nplicaciones, or ejr:n.:il lr),-rr.ii l l,.¡:,tr;:c¡onrt¡nos¡¡ a discusiónde a iig. 14.i9ru*r r {ú hablarrosacerca i¿ ¿ r ; , ' .1 t ¡ r ; l i ,q i : . .! c . l inpo eléc. tnco r un io¡r en solu-c ión, polar i :a las uro!éculas ei ' ¡ ¡ | r ' ¡ r ¡ : i ' ( lu i r { id( ja l io l r " y entonces e c, r ientanr.l: la l,rrma rntlicaqla n la f ig. i4-3i-]. ,: ' iar nioleiculag rientadasse iigan más orrieno$ l icn. aurtrenta.ndc r¡ illasa riil1¡ij1';i;* tiismirtuyr:ndo u carga efectiva,la cual queda parc iaimente sin influeneia externa, por Ia pantaila que formaulrrs moléculas.F. l efecto netc es que ia moviiidad del ion en el campo externodisminuye. lambién, cuando un gas o un liquido cuyas rnoléculas orman dipolosprrmanentes,se colocaen un iugar donde exista un campo eléctrico, as molécu-las, colno resultado de los rnonrentosdebidos al campo eléctrico, ienden a ali-nearseco n su s dipolosparalelosal campo. En estecasodecimosqu e Ia sustanciaha sit lo polartzada ver la sección16,5).

EJEMPLO 74.77. Ex presar el campo eléctr icode nn dipolo en forma vectorial.

Solueión:En la fig, 14-31 observamosque

(' : t+{, -y u6(o: -; l "(r,2p cos 0 | uopsen g).

4:i€or"

De la misma figura obtenemosp : p(ur cos 0 - uo sen 0).

Usando esta relaciónpara eliminar p sen 0 en la ex presiónde C obtenemos

f - -- l - (3u,p cos {) - rr).4neor3

Además,p cr,rs : w.p. Por consiguiente

,' 3ur\u,'P) P : -4lt€or3

-- t

qu e d:r el rampo del dipolo eléctrico en fcrnr;i ., 'ectorial.

496 Inleracción eléclrica

Í : .JEl l IFL{t t / r-12, Obtener la energía dc !: : , -

l .sar t l ies i r l tat lo obtenic lo para est i r la i ' la " ; , , :la: r ie ogui : . Discut i r adr:rnás os efectos de o'

, ir ' i , ! 'i 1 iri l tre rios dip.olos elóct.riccs.

,, i : ' . r intrra.a¡5¡ gnt-re lc s tnolécu-r' , ;-aruir rela iiva.



498 Inleracción eléctrica (14-12

que signi f lca qu e ha¡'atracción de lo s rl ipolos.Estos resi l l tados están evidenlernentede acuerdo con ia imagen ffs ica del problema.

. La interaccién entre d.rs dipoios eiécl r icos es de gran irn¡rortancia porque lasfuerzas mt¡leculares se rleben, cu gran parte, a este tipo il e interacció¡r. Considere-mo s do s moléculas de agua en la ¡rosicit in rt: lativa de la i ig. 14-39b a distancia normalen !a l¿rsefquida de 3.1 x 10-10 l. Su rrtotnentodi¡rolnr elóctr ico es 6.1 x l0-30 C m,Por lo tanto, la energía potencial de interacción es

Ep,tz: I x-J{ a-2-)- ( l i '1- ' 1{)-3oie(3,1 r 10-ro)s-

t- " 2 '22 x 10"20 '

Este result-ado es diez veces nravor qu e la energfa de interacción mencio¡ada enla sección 13.9, qu e se estimó usando el valor del calor de vaporización. El estu-diante comprenderá, si n ernbargo, qu e el presente resultado corresponde a la energiade interaccióo instantánec entre do s moléculas de agua en la posición relativa dela f ig. 14-39b. Pero conto las moléculas de agua están en continuo movimiento,su orientación relat iva cambia cont inuamente. Por consiguiente, para obtener Iaenergia 8p,., debemos promediar los valores dados po r la ec . (14.51) en totlas lasorientaciones relativas posibles. Asl obtenemos resultados más concordantes.

Sugerimos qu e el estudiante compare el resultado anterÍor para la energla deinteracción elóctrica E¡,12, entre dos moléculas de agua, con la correspondienteinteracción gravitacional para la misma posición relativa.

74.72 Multipolos eléctrieos de orden super¿or

Es posibledefinir momentosmultipolares eléctricosde orden superioral segundo.Po r ejemplo, una d istribuiión de cargas como la indicada en la f ig. 14-40cons-tituye vn cuadrupolo eléctríco.Obsérveseque su carga total es cero y que sumomento dipolar eléctrico es también cero, en vi rtud de la ec . (14.48). No esfácil dar aquí una de{inición general del momenlo cuodrupolar eléctrico,de unmodo elementai. Sin embargo, podemos decir, que el momento cuadrupolareléctrico de una distribución de cargas respecto a un eje de simetría, tal comoel eje Z, se define por

Q:tZq,r?(3cos2o¡-1), (14.52)

Fig. 14-.10. Cuadrupoloeléctrico. Ficurs 14--11



' ,1 , i2 \ ,

II

(u )

ti9.74-42. Cuadrupolo

It ulti pob:; *ri..'.,'::í"..: : o tl en sup¿rior 499

I

(b ) (c)

eléctrico de distribuciones elipsoidales de carga.

donde ri es la distancia desde a carga i al centro, y 0¡ es el ángulo Qu e ?¡ fcrmacon el eje (fig. 14-41), Observamos Qü€z¡ : r¡ cos 0¡ . Entonces podemos €scribiria ec. (14.52)como

a:tZq,Q'?-r f ) . (14.53)

El ¡nomento cuadrqpolar eléctrico es cero para una distribución esférica de car-gas, positivo para una distr ibución de cargasalargada, y negativb para una dis-tr ibución de cargas achatada (ttg. 1+44. Por consiguienteel momento cuadru-poiar eléctrico da el grado en que una distribución de cargas se aparta de la formaesférica.Por ejemplc, en la sección14.7 sugerimosque los núcleosatómicos erancsféricos.Sin embargo,nrediciones uidadosas ndican que ciertos núcleos ienenmomentos cuadrupolares elativame ntc grandes, o que se ha interpretado comoindicaciónde que tales ¡rúcleos stán muy deformadosy en consecuencia l campoelcctr icoque ellosproducen difiere del de un a carga puntual. Esto a su vez afectaa la energía del movimiento electrónico.

I)ebemos observar que el potencial de una carga puntual disminuye como ¡-1

-vel campo como r-2. An álogamente hemos visto (sección 14.11) que para un

ciiprolo idctrico el potencial disminuyc como r-2 y el campo como ¡-3. De un

inodo similar puede probarse que el potencial de un cuadrupolo eléctrico varÍact)rno -3 y el campo como r-4. Resultadossimilares se obtienen para multipoloscie orden sup erior. Concluimos entonces que cuanto más alto sea el orden demultipolo, menor es el alcance dentro clel cual el campo eléctrico tiene efectosobservables.

i:,II)MPLO 71.73. Calcuiarel potencial eléctr icopara la distribución de cargas deia f ig . (14.13) , lamada cuadrupoloeléctr ico ineal .

Solución:La carga otal del sistemaes cero.También el momento dipolar eléctrico€sceroporque,usando a ec. (14.48) ,enemos : + A(+ a¡ - 2q(0)* q(-c) : 0.-Sinernbargo.el campo eléctricono es idénticarncntenulo. El potencial eléctrico' : r ei pU,rt tO 1) ,j S

v-

1 (! -4neo \ r, - l ; ) (14 54)

+'; i ) - ;É- i



500 Interacción e!éclrica Q4.12

De Ia figura deducimosque

r. : (r r -Zar cos 0 1 ar¡rr.

Suponiendo ue d es muy pequeñocomparadocon r, podemosescribir

/ . 2acos0 , d2\r/2r, : r l - -- !' \ r rz l

{14.55)

Usandc el clesarrol lo del binomio dado po r la ":c. (rI . 22i irasta el tercer térrnino{.:on n : - }, cbtenen-ros (1 -l x)*r¡t : | -- }r - i 8¡ t * ,.. En el presente caso,tene¡¡los r : -* 2o cos 6ir ., * a2l¡e. Lr:ego

-1- r ir - | (- ?s:-c + +\ + _3-- ?lsolo *t r i 2 \ r rz l 8 \ r

Tt ¿'

Desanollando el corchete y dejando sólo os tér-minos hasta el orden ¡3 en €l denominador, ob-tenem0s

1 : 1 * acqso+-gt (3cos¡o_- l )+. . .

tr I tz 2r t(14.56)

X Análogamente, ": (r , + za r cos 0 + a¡)r/2; orconsiguiente

-1 : 1 - ocoso++:(3cosro-r) + . . .

rz r lz 2r3(14.57)

(14.58)

+g

e

a

+q

rz l

Flgure i4-48

Sustituyendo os resultados 1a.56) '(14.57) en la ec . (14.s4)y slmplificanclo, bte-n€rnos para el potencial

v : ls-1Q_coso_ !)_4re.r3

Aplicando la ec. (14.52),cncolitrarnosqu c el momento cuad rupolar eléctrlco dela distribución de carga es

q : !{q(3a'z a2 \ 2q(0)+ St3(- a) á ael} : 2qa2.

Po r to tanto

rr Q(3 cos'10 1)

2(4xeo)r3

qu e da er l potencial eléetrico de un cuadruplo rléctrico l inea]. Podemos ubtener elcarnpo elóctrico aplicando la ec. (14.28), como lricimos para el dipolo eléctrico.

, 4 ' \ ' l-F/

- i " . i ,

P

--'./



Bíblíografta a01

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16. sourc¿ Book ín pñgsrcs,fv. F. Magie. Harvard university press, cambridgé,Mass. , 963,pág.92, Coulomb;pág.382, Gi lber t ; pag. +Og,Coir tomb;pag. ¿íOiGalvani; pág. 465, Ohm; pág. 5g5, Thomson17 . Foundations l Modern p/rgsicalscience, . Holton y l) H. l) n()iler. Addison_

Wesley,ReadingMass. ,19bg,caps.26,27,2g y 3i









1,1.32 Lfna vez más considerar ias car-gas rlel i ixrLrlema 14.29. ia ) Supongamosqu e se coloca una part. ici l la de carp:: nq 'en el origen, v se la ticja i ibre. ¿iJué su -cede? (b) ¿,Qué sucederia s i ia c:aiga aqu e nos ¡'cferircos en la parte (a) se se-parara de l origen l igeramente en la di -recciún d.el ej e Y ? (c) ¿,Qué sucr:dería

si se separara dci origen en la direcciór¡del eje X?

14.3:l En un sistema de caordenadasrectangulares urra carga de 25 x 10-{ Cse coloca en eI origen y otra carga de- 25 x 10a C se coloca en el punto3 : 6 m, i/ : 0. ¿.Cuál es el campcreléctr ico (a) en c:3 m, Y:0?, (b) et t¡ :3rn,g:4m7

14.34 Cargas eléctricas iguales a 1 Ccada una se coloca¡r en ios vértices deun tr iángulo equi látero de 10 cm de lado.Calcular (a) la fuerza sobre cada cargay Ia encrgfa potencial de cada una deellas co¡no resultado d e las interacciones

. con las ctras, (b) el cantpo y el potencialeléctrico resultantes en el centro dcltriángulo, (c) la energla potencial in -terna del sistema.

14.35 Refiriéndose al problema ante-rior, dibujar las l íneas de fuerza delcampo eléctrico producido po r la s trescargas. Dibujar también la s superficiesequipotenciales.14.36 Demostrar qu e las componentescartesianas del campo eléctrico produ-cido po r una carga g a la distancia r son

6, : qrl4ne¡x,etc.

1,4.37 Ifn un átomo de hidrógeno ensu estado de menor energia (tambiénllamado estado fundamental) el electrónse mueve alrededor de l protón en lo qu ese puede considerar una órbita circularde radio 0,53 x 10-to m. Calcular (a)la energta potencial, (b ) la energía ciné-tica, (c ) la energfa total, (d) la trecuenciadel movimientc. (A modo de compara-ción, Ia frecuencia de radiación emitidapo r el átomo de hidrógeno es de l ordende 1015Hz).

14.38 Usando el teorema virial paraun a partfcula, determinar la energfa deun electrón (carga - e) que gira alre-

dedor de un núcleo de carga I Ze a wadistancia r. Aplicarlos al átomo de hi-

L

Problemqs 50 5

drógeno (r - 0,53 x 10-10m) y contpa-ra r el resultado co n el obtenid¡¡ en (c )dei problema 14.37.

1.-1.39 Escribir la expresión que da lacne:"gia potencial eléctrica interna totalla) rir un átomo de helio, (b) de unan'.olécula de hidrLigeno.

L4.44 ¿Qué energía cinética, enjoules,

y qué velocidad, en m s-r, t ienc un nú-cleo de carbono (carga *6e) después dehaber sido acelerado po r una diferenciade potenciai de 10? V?

14.41 Estableber una relación numé-rica qu e dé la velocidad (en m s-1) deun electrón y un protón en función de ladiferencia de potencial (en volts) a tra-vé s de la cual se mueven, suponiendoqu e estaban inicialmente en reposo,

14.42 (a) ¿Cuál es la diferencia de po -tencial máxima a través de la cual unelectrón puede ser acelerado si su masano debe exceder en más del 1 ,i a su

masa en reposo? (b) ¿Cuál es la veloci -dad de tal electrón, expresada como frac-ción de la velocidad de la luz c? (c) Hacerlo s rnismos cálculos para un protón.

14.43 Calcular, usando la relatividad,la diterencia de potencial requerida (a )para qu e un electrón alcance Ia velocidadde 0,4c a partir de l reposo (b) paraaumentar su velocidad de 0,4c hasta0,8c y (c ) para aumentar su velocidaddesde 0,8c hasta 0,95c. Repetir lo scálculos para un protón.

74.44 Un a eierta máquina de alta ener=gi a acelera electrones a través de unadiferencia de potencial de 6, 5 x 100 V.(a) ¿Cuál es la relación entre la masa mde l electrón y su masa mo en reposo,cuando sale del acelerador? (b) ¿Cuál esel cociente entre su velocidad y la de Ialuz? (c ) ¿Cuál serfa la velocidad calcu-lada con lo s principios de la mecánicaclásica?

74.45 ¿Cuál es la velocidad final de unelectrón acelerado a través de una dife-rencia de potencial de 12.000 volts sit iene un a velocidad inicial de 107 m s-l?

14.46 En un cierto tubo de rayos X seacelera un electrón inicialmente en re-poso al pasar desde el cátodo al ánodo a

través de una diferencia de potencialde 180.000 V. Al l legar al ánodo, ¿cuál



506 Inleracci.óneléclríca.

I:-u nl cde iont.s. . \

Osci lat lorR/ r

Figuro 14-47

es {a.t su {rnergia c inét ica en e\ ' . (b) srtrnasa, (c) su vclocidad.

14"47 F-n rr:r ¿¿gl5'¡¡rior ineal, colnc eli !ustrat lo en ln t ig. 1-1-47, as seccic, , t rrrsal t r . rnas del tubo se cot icctan enlre s!

",srâpi ica r,rnadi lerencia rte pol .etrc ialos -r: i lanle entr i : lcs cics conjuuios. (a, t I ) t -lnr.r:rt¡"íIr iur, a i in Ce r¡ti t: ul l i rl l esl¡' r:t li : . lse cr-¡ l tel ¡rctenciai osr: i lante tua¡rr lc:¡,, iza i lesde l¡n tul ' ;t.¡al ¡tri-¡ i .si t:ttr{rt :t :t ' rrerqías lrr¡ ¡r-' lativistas), Ias lolr' . j i trrt lr-.qt lc lr s t ubos sucesivclsdeiie ser L, \ n. ,rirni ie 1-, cs la longitud tlel irrinterf ubo.

(hi l-fal lar I, si el voltaje aceíeraricr esl' o y su frecuencia es v. (c) Caicular laerrergia de l io n qu e emerge del enésimr.rtubo. (d) ¿Cuáiesdeben ser as longi tudcsde los tubos sucesi\.osdespuésqu e e1 onalcanza energfas relativistas ?

1.1.-18 Supongamos que la diferencia depotencial entre el terminal esférico de ungenerarlor de \¡an de Graaff y el puntoen el cual l i is cargas son esparcidas sobrela ct¡,r¡ea ¡r su movimiento iracia arribase a de 2 v: 10 4 \¡ . Si Ia correa cntregacarga negativa a la esfera a razón de2 x 10-s C s- r y toma carga positir-acon la nl isma rapidez, ¿qué potencia se

necesita pera mor,'er la cor¡e¡t contralas f i rerzas elóctr icas?

14.49 La se¡raración ¡nedia entre losprotones en un i rúcleo atónt ico es clelorden de 1{l -15m. Est inrar en . l } cnMeV el orden de rnagni tud de la energÍapotencial eléctr ica entre dos protonesde l núcleo.

14.50 Suponiendo qu e lo s protones enun núcleo atórnico de ratl io R estén uni-formemente distribuidos, la energía po -tencial eléctrica interna puede calcularsecon la expresión :,Z(Z*l)e¿l4nenR (verel problema 14.f i0 y el ejernplo 10.13).El radio nuclear se puede a su vcz calcu-

la r por R : 7,2 x 10-15 11,3m. l , lsct i -bi r las expresiones qu e da n la encrgia

Ll lanco

poterrcrial elér:trica nuciear en J y enl.leY en fulciótr <1t Z y ,4 .

f i. ¡ j tt ' ,arrdo los resrrl tarlos rlel r : rr¡-i , lerna 1J . i rr , c l r l t r l t r l ¡ o l tergía p,, i . r , -rial ¡:1i:ctrica tot al ¡ ; la .rr-rergia prrr

I , ¡r , tó:r l )¿i ' i l io s sigrr iertes núcleos:l i í) (Z =_. ), roca tZ -. 20),r\Zr (.2 =. 4t)\ .1{ri \d {z . t jü), )t, ' í .1.¿ .2 : g0 ) }. 2r8i_I(Z =..9?,). r,(luri lc dici ' t sus resr¡i t¿lrirrsrl(' l i {::: l dei elecio rlc 1a interacción tléc-tr i ra i - : l t . ¡eprot l t ted sobre la est¿.hi l idaclrt,ri ¡rucicc¡ Lísal ldo sus datos, haga elgráfico cie a cnprgfa potcncial en fr¡nción

del núrnero rnásicü.. l4.52 Un protón producido en un ace-

It¡'adt¡r de Va n de Graaff de 1 l \{eV sehace incidi r sobre una lámina de oro.Calcular la rl islancia de máxima apro-ximación (a) para un choque de frente,(b) para choques co n parámetros de im-pacto de 10-15 n y 10-t¿ m. ¿Cuál es ladeflección del ¡rrotón cn cada caso?

14.53 t. lna partlcula alfa con una ener-gi a cinética dc '1 lfeV se lanza en líneaiecta hacia el núcleo de un áto¡no delriercurio. Éll nirmero ¿ilómico del mer-cur"ic-, s 80, _v por lo tanto el núcleotierre una. carga ¡,.osit iva gilal a 80 cargas

t: lec i ré¡r icas. (a) Flal lar la distancia denl¡ixirna aproxinración tl e la partÍculaaifa al núrcleo. b) (iom¡>arar cl resultadocrrn el ¡'a¡1ionuclt:ar, - 10-14 l .

14.i ,1 Prcto¡res acelera'1ospo r un vol-taje t le 8 ;< 105 \ ' inciden sobre una lá-nrin¿rde or o (Z =- 79). Calcula¡ la seccióneficaz diferencial para dispersión coulom-biana en intervalos de 20' para é com-preudido entre 20 o y 180". Hacer ungráfico, uti l izando coordenadas polares,de o({). [Obseruación: la ec. (14.25) sehace infinita para { : 0. Esto se debea qu e hemos supuesto que el núcleo dis-prlsof es una carga puntual . Cuando se

toma er) consideración el tamaño finitode l núcleo esta anornalia desaparece.

( l0n( 'x i0n

tl óc t r i caIilef t rir{i0stubuiares

rt e aceleracidn

Tanqucal vacio

.L--- j j - +---J - i l -¿=-" l-- : ----- ' -----1.

r -T-- ._|_--_r- . .









510 Interaccién léctrica

de las lormas:

(a) Eo ). -::+,ii?o, +rc€orijlos pares

(b) E, : t¿ Qtv; ,todas

- las cargas

donde Yr es el potencial producido ttn grpor las ofr<ts orgas. (c) {-isando el resttl-tac lo hal lado en (b), probar que la energíaeléctr ica dt una distr ibur: ión cont inua drrcargas de densrdarl p es,L'p - ] J c l 'dr.(d) l-'sar csta c>:presióltPara ttrelt lostr' ;¡rquc la energía de un cor¡di tc tor esféri i r- tcon lrna carga Q distr ibr: ida uni fr . rme-rlrernt¿sobre su r, 'olumen es *(i¿l{;€Nll .(e) Apl icar t i ú i t imo t 'esul tadoal <:¿isoieun ¡ lúc ieo de núnrero atórnico Z.

14.81 Prob¡r t iue la s ecuacicncs t l i ie 'renciales para ias l ineas de fuerza sotrdtl{," : dAitu : dzlc',, do¡¡de dr , dg Ydz corresponden a la separació]t ei l tredo s puntos muJ" cercanos de la i Ínea defuerza. Apl icar estas ecuaciohes paraobtener Ia ecuación cl e las l ineas defue¡za de un dipolo eléctrico. fSugeren-cia r Obsérvese que, como en este casolas l lneas de fuerza so n curvas planas,Ia componente r '¿ es nula. Expresar C¡y (y de un dipolo elóctrico en coorde-nadas rectangulares,]

74.82 Probar qu e en coordenadas pola-re s la ecuación diferencial de las l lneasde fuerza es drlf, : r d0l(0. t lsar esteresultado para obtener la ecuaciótr de la slíneas de fuerza de uu cl ipolo eléctrico

en coordenadas polares. \ 'eri f icar co n clresul tado del problema 14.81.

14.83 El statcoulomb (stC) es utra uni-dad de carga que se define com<l a cargaque, colocada a 1 cnr de otra carga igualen el vaclo, la repele con una luerza de1 dina. (a) Probar qu e un statcoulombes -¡|c C (donde c es Ia velocidad de laluz), o aproximadamente i x 10rC.(b ) Expresar la carga elemental e enstatcoulomb. (c) Calcular el valor de laconstante K, y <o cuando la carga seexpresa en statcoulombs, la fuerza endinas, y la distancia en centí¡nelros.(d) Hal lar la relación entre las unidades

dina/statcoulcmb y N C- l para medir elcampo elóctr ico.

14.84 ¿Cuántos electrones equivalen aun statcoulomb ?

i4:85 EI abcoulomb es una u¡r i ¡ lad decarga equivalente a 1t ) C. Hallar el valorde las constantes R" y €o cuando lacarga se expresa en abcoulombs, Ia fucrzaen di¡ras y la distancia eri centímctros.¿Cuál es la relación eutre el abcouio¡l rb.v ei statcor.rlonrb

14.80 El s tatvol t (s t \ ' ) es la di ferenciade potencial que debc exist i r t 'ntre do spuntos para que al rnover i rna carga deun siai-coulomt-¡ ie u¡r pi lnto al otro seefectúe el t iabajo dc uri crg. (a) I)robarqrie un statvol t es iguai a c/106 ó apro-x in. iar lalnentc jO0 \' . (b) f{al lar la rela-c ión entrc el s tV crn-r ! ' e l V rn-r cc l ¡nounidades para rnedir el cam¡ro cléctr ico.Coniparar co n el resul tado (d) del pr 'o-blenla 14.83.

11.E7 Escribi r la explesión para el po-tcncial creado por ul )a carga q a la dis-iancia r cuando el potencial se rnicle enstV, la carga en stC, y la distancia en cnl .Repet i r para un canrpo eléctr ico mcdidoen stV cnr-r.

14.88 Se acostunrbra escribi r la expre-sión para la energia del estado estacio-na¡' io de lo s árotnos co n un clectrón enla forma E¡ : - IlZhzclnz, tlonde .Il esla l larnada constanledr l lgdberg. L.'sandola ex¡rresión dada rn cl ejernplr-'1.1.8 ar a€n probar quc I i es igual a 1,097-1 r 107rn-1.

14.89 Calcular la energÍa r le lo s cuatroprimeros estados estacionarios del H ydet He'. f {al lar, en cada caso, a energiarequerida para clet 'ar el s is tema, desdccl estado fundar-¡re¡rtal , l pr i rner estadoexci lado. Representar las energlas sobreuua cscala por nredio de I ineas horizon-tales adecuada¡nente espaciadas.Obsi ' r-vese que algunas cnergias coinciden. ¿Esposible deducir una regla general?

14.90 Usando el resul tado del pro-ble¡na 1^1.37,est imar la velocidad delelec.trón en un átomo cle hidrógeno ensu estado fundarnental y vcrif icar lo scálculoshechos al f inal del ejernplo 14.10.



15II\TERACCION {AGNETICA

15.1 Introduccíón15.2 Fuerzo rnagnéticasobre una carga en movimíento

15.3 Mouimíento de una carga,en un campo magnétíco15.4 Ejemplos de mouímiento de partículas cargadas

en un ca,mpomagnético/5.5 Fuerza magnética sobre una corríente eléctrica

15.6 Torque magnétíco sobreuna corríenteeléctricaI5-7 campo magnétíeo roducídopor ulul corriente cerrada

/5.8 Campo magnétieode una corriente reetíIíneo.15.9 Fuerzas entre corríentes

15.10 Campo magnéticode una corcíentecircular15.11 Campo rnagnétíco e una carga en mouimiento

(no relatiuísta)15.12 Electromagnetismoy eI principio de relatíuidad

15.13 campo electromagnéticode una carga en mouimíento

15.14 Intbracción electromagnéticaentre d,os cargasen tnouimíento





15.2) Fuerza magnétíca sobre una eargo.en mouimienlo 513

A continuación,podriamos ntentar medir la intensidad de un polo magnéticodefiniendo \na carga o masa magnélica,e investigar cómo depende la interacciónmagnética de la distancia entre los polos. E,sto es perfectamente posible, y dehecho, antes que los físicos comprendieran claramente la naturaleza del magne-tismo, aquél fue el nlétodo de estudio adoptado. Sin embargo, cuando se inten-taron estas mediciones, apareció una dificultad fundamental: aunque ha sidoposible aislar cargas eléctricas positivas y negativas y asociar una carga eléctricadefinida con las particulas fundamentales que constituyen todos los átomos, noha sido posible aislar un polo magnético o identificar una particula fundamentalque tenga solamenteun a clasede magnetismo,sea el N o el S. Los cue rpos mag-netizados siempre presentan pares de polos iguales y opuestos. Por otra parte,se ha encontrado qu e las nocionesde polo magnético y masa magnética no sonnecesariaspara describir eI magnetismo. Las interacciones eléctrica y magnéticaestán lntimamente relacionadas, siendo en realidad sólo dos aspectos diferentesde una propiedad de Ia materia: su ca.rga eléctrica; eI magnetísmoes un efeclodel mouimíenlode las caryase!éclricas. as interacciones eléctrica y magnética de-ben considerarse conjuntamente bajo la designación más general d.e nleraccíónelectromagnética,

1-5.2 Fuerda ,rrynéüct sobre uno corgd en mooírniento

Puesto ueobservemosnteraccionesntrecuerpos agnetizados,odemosecir,por analo$a con los casos-gravitacionaly eléctrico, que un cuerpo magnetizadoproduce un campo magnétícoen el espacio que lo rodea. Cuando colocamos unacarga eléctrica en reposoen un campo magnético, no se observa la misma fuerzao interacción especial alguna; pero cuando una carga eléctrica se mueve en unaregión donde hay un campo magnético, se observa una nueva fuerza sobre la cargaademás de las debidas a sus interacciones gravitacional y eléctrica.

Midiendo en el mismo punto de un campo magnético, la fuerza que experi-mentan dilerentes cargas moviéndose de diferentes maneras, podemos obteneruna relación entre la fuerza, la cargay su vclocidad. De este modo encontramos que

Ia fuerza ejercidapor un campo magnéticosobrc una carga cn moui-míento es proporcional a Ia carga eléclrica g a su uelocidad, U ladireccíón de la fuerza es perpendicula¡ a la uelocidad d.e a carga.

Podemos avanzar un paso más y, recordando la definición de producto vectorial,escribir tentativament¿ la fuerza F sobre una carga q que se mueve cdn velo-cidad r: en un campo magnético, en la forma

P:qoxT, (15.1)

la cual satisface os requisitos experimentalesmencionadosmás arriba. En estaccuación, ]J es un vector que se determina en cada punto comparando el valorobservado de F en es epunto con los valores de q y o. Este modo de proceder

ha demostrado ener éxito. El vector ') l puede variar de punto a punto en un



514 Intcraccíon maqnélica (15.2

campo m.agnél . i r :o, ; )ero rn c i ¡ t l ¡ : i ¡u l i tc $¡: ¡J i ic l i { . : . l l ' : t , , .>: l r t ¡ ; - i l l l r . ¡ i ta ine¡i te{ur) cS

el rnismo para todas las carg;:s;.,: elr-' , i ! i l i i i i tr:r..rol ir¡ i i i ¡i tr; i lescribc una propir:ciaclgue es caracterÍst ic t dci r. : lL¡rt t ,on*gnr: t r ic -;1; i ;dtnri ;s l iamarla írúensi t lod ¿lecamp7 rnur¡nél ico: rl tr0 nonti, i i 'c, tm¡tttr.ri-t i l¡ r ¡l i l i io. cs í¡tducrión magnélict.I ln esl.e te>;to irsartrl l ' lossolal)i ' r;te lr pri lnt:ri l t l t :sigi i l ición,

Cuando la partícuJa se nlue"-e r-rn lri¿l regrón dolde ha]' un carrlpo eléctricr_i

v ltt io magüético, l¿ r rterza toial es la ¡u¡na dr: la fi lerza cl ictrica qC y la fuerzarnagnética qu x (.13.es decir.

F '-=q(.('-r u x ')J). (15.2)

Esta expresitin se denomina fuerza deLore¡¡lz"

La ec. (15.1) da, por la def in ic ióndeproducto vectorial, un a fuerza no sftoperpendicular a la velocidad ü, como seinri icó anteriormentc, si¡to también alcampo magnético :)J.La ec. (15.1) mpii-ca taml¡ién que cuandoo es paralelaa :|J,la fuerza .ú'es cero; de hecho,se observa

qu e en cada punto de todo campo mag-nético hay una cierta dirección de movi-miento para la cual no se ejerce fuerzaalguna sobre a carga€n movimiento. Es-ta dirección define la dirección del campomagnético en el punto. En la fig. 15-zse ha ilustrado la relación entre los tresvectores a, )t y .[', tanto para una car-ga positiva como para una negativa. La

figura muestra la regla para determinar el sentido de la fuerza; esta regla usa lamano derecha.

Si a es el ángulo entre ?: y ?, el módulo de ^f,'es

F:QD )Jsen". (15.3)El máximo de intensidad de la fuerza ocurre cuando o : rl 2 o sc a cuando oes perpendicular a '7J, resultando

p : qu.)). (15.4)

El mínimo de la fuerza, cero, ocurre cuando ¿ : 0 o sea cuando tl es paralelaa ''JJ,como se dijo antcs.

A par t i r de la ec. (15.1) ,podemosdef in i r a unidad de campo magnét icocomoNi C rn s-r o sea kg -s-r6-r. Ilsta unid¿irl e de¡rornina esloen honor del irigenieronorteamericano acido en YugoeslaviaNichcrLrs esla (1856-!943).Se abrevia l ,po r lo qtie T -- = g s-1 C-1. Un tirsle colrespo¡rtle l campo rnagnético gu e pro-duce un a fnrrza

rle un ¡reuton solirr urla car'qade un corilo*i, qu* se mueveperpendicularme¡lte l campo a razón dc un metro por segundo.

Flg. 15-2. Relaciónvectorial entre afuerza magnética, el campo magnéticoy ia velocidad de la carga. La fuerza esperpendicular al plano que contienea?rvao.

negat iva)







15.3) Llouimiento de una carga en un campo magnélíco 517

F' .- ' p¡21v, donde F está dada por la ec. (1b.4). Escribimos por lo tanto

ñ, 2_-qúb

t

la rual da cl radio de la circunferencia escritapor Ia particrrla.porusandoos datosdel ejemplo15.1, emosque os protones escribirían

mu, - -;=,

qD

. : J-q..m

(15.5)

ejemplo,una cir-

cunfcrenciade radio 8 x 105m si el cam-po fuera uniforrne. Escribiendo r : (¡r,donde <¡ es la velocidad angular, tene-i-nosentonces

(15.6)

Po r lo tanto la velocidad angular esindependiente de la velocidad ineal u y

depende solamente del cociente qlm ydel campo cB. La expreión (1b.6) da elmódulo de c,:pero no su dirección. En laec. (5.58) indicamos que la aceleraciónen un movimiento circular uniforme sepuede esc¡ibir en forma vectorial comoü: e) x o. Po r lo tanto, la ecuacióndemovimiento,F ' : /7?l Ies

m@x?):qOxff )

* En rigor, tendrÍamos que haber escrito ú)trar ia; si n , .)¡nbargo a ec. (15.6) indica qu e

Flg, l5-4. Una carga que se mueveperpendicularmentea un campo mag_nético uniforme sigue una trayectoriacircular.

o, invirtiendo el productovectorial en el primer miembroy dividiendopor m,

@xn:_@lm)cl3xa,lo cual impiica que

@: - (qlm),ü, (15.7)

la cual da a¡ tanto en módulo como en dirección y sentido.*El signo menos in-dica que a¡ tiene dirección opuesta a la de ?3 para una carga positiva y la mismadjrección para una carga negativa. Llamaremos a a frecueicia ciclolrónica porrazolles que se explicarán en la sección 15.4(c) cuando tratemos el ciclotrbn.

Es costumbre representarun campo perpendicularal papel po r un punto (. )si está dirigido hacia el lector y por una cruz (x ) si está áirigloó hacia la página.

: - (qlm)T*

lo , donde ), es unaconstante arbi-debernos poner ). : 0.



518 Interacciónmaonética

qaoaaa

posit iva; G hacia arr iba,co hacia abaj<'r

(a)

aaaaaa

r¡ negativa (B y ro hacia arriba(b)

FiS. 1ó-5. Trayectorias circula-res positivas y negativas en uncampo magnético uniiorme.

(15.3

Fig. 16-6. Fotografia, tomada en una cá-mara de niebla, de trayectorias de partfculascargadas en un campo magnético uniformedirigido hacia la página. ¿Puedeel estudianteidentiflcar cuáles son las cargas positivas ycuáles as negativas?

La fig. 15-5 representa a trayectoria de una carga positiva (a) y una negativa (b)

moviéndoseperpendicularmentea un campo perpendicular a la página. En (a )@ está dirigida hacia la página y en (b) hacia el lector.

La curvatura de la trayectoria de un icn elt un campo magnético constituyeun método para dcterminar si su carga es uegativa o positiva, si sabemoscttáles el sen tido de su movimientc. La fig. l5-6 muestra las trayectorias de variasparticulas cargadasque se ha n hecho visibles rnediante una cámara de niebla*colocadaen un campo magnético. El campo magnético aplicado es valias vecesmás intenso que el de la tierra, de modo que el radio de la trayectr¡ria es del ordende la s djmensiones e la cámara de niebla. Nótese que las tra yectorias se curvan

* La cáma¡a de niebla es un disposit ivo qu e cont ienr: una mezcla de ga s y vapor en la cual latrayector ia de un a part ícula cargada se hace vis ible er: 'nCensando l vapor sobre iones del gas.Los iones son producidos por la interacción ent¡e ]es partlculas ca¡gá,das y las moléculas de l

gas. La condensaciónse logra enfr iando la mezcla meci iante un a expansión rápida (adiabát ica).La mezcla puede se r aire y vapot de agua.

-L



15.3\ l,Iouímiento de una carga en un campo magnético 519

trlg- 15-?" Fotografla de la trayectoriad.eun positrón (elecLrón ositivo) en uncampo magnéticodirigido hacia la .pá-gina, tomada por Anderson en una cá-mara de niebla. Esta lotogralla cc¡nsti-tuyó la primera (1932) evidenciaexpe-rimental de la existencia de los positro-nes, que habfan sido predichos teórica-mente por l)irac.

en sentidos opuestos, lo cual indica que algunas partículas son positivas y otrasnegativas. Puede observarseque algunas de las partículas describen una espiral

de radio decreciente; esto indica que la partícula está siendo frenada por coli-siones con las moléculas del gas. Esta disminución de la velocidad ocasiona,según la ec. (15.5), una disminución del radio de la órbita.

La ec. (15.5) nos dice también que la curvatura de la trayectoria de una par-ticula cargada en un campo magnético depende de la ener$a de la particula;cuanto mayor es la ener$a (o el momentum p - mu), mayor es el radio de Ia tra-yectoria y menor la curvatura. La aplicación de este principio condujo en 1932al descubrimiento del posítrón en los rayos cósmicos.El positrón es una particulafundamental que tiene la misma masa me que el electrón pero una cargapositiua

+ ¿; su descubrimiento fue fruto de los trabajos del físico norteamericano CarlD. Anderson (1905- ).* Fue Ande rson el qu e obtuvo en una cámara de nieblaIa fotograflía de la fig. 1t7. La banda horizontal que se ve en Ia figura es unaplancha de plomo de 0, 6 cm de espesorqu e se ha colocadodentro de la cámarade niebla y a través de la cual ha pasado la partfcula. La parte inferior de latrayectoria de la particuia está menos curvada que la superior, lo cual indicaque por encima de la plancha la partícula t iene menor velocidad y energia qu epor debajo; en consecuenciaa partícula se mueve hacia arriba ya qu e debeperderener$a al pasar a través de la plancha. La curvatura de la trayectoria de Iapartícula y el sentido del movimiento con respecto al campo magnético indicanr¡ue a partícula es posit iva. La trayectoria se parece mucho a la de un electrón-- pero de un electrónpositivo.Usando a ec. 15.5)podemosescribirp:¡ny:flJr;aur Io t*nto, si en Ia fotografía medimos ¡ y suponemosque q : J, podemoscalculrf p; el re sultado de este cálculo es que p tiene un orden de magnitud co-:respc;idi:rirtq una partícula que tiene la misma masa que el electrón. Un aná-

tSin ernbrrgo, la existencia de esta partfcula habfa sido predicha unos años antes de su des-cubrimiento, por el físico británico Paul A. M. Dirac (1902- ).



520 Inleracciónmagnética (1s.3

.lisismás d.etaiiadr nos perrrrite encontrar Ia veiecjtl¡lcl de la partícuia y por lo

ianto deterrninarsu masa, obtcnier¡doun acuerdo otai cr:n a masa de l electrÓn.

Si una particula cargada se ml,¡e'/e nicialmente en u.na dirección que no es

perpendicular al campo magnético, ,oder¡ltrs dcsct,rnpr.rriera velocidad en sus

componentesparalela y perpendicular al campo triaglrtitico. La componente pa-

ralela permanececonstante y !a perpcndicrrlarcambia conti nuamente de direc-

oión pero no de magnitud. El movimiento es euloncesel resultantc de un movi-' lniento uniforrne en la direccjól del canlpo y un movimicnto circular alredcdor,,1c1ampo co n velociCadanguiar dada pcr !a r,1.. li 'Si. I-a trayectoria es ulta

hei¡ce, cLirnüse rnuestra en i:: fig' 1!8 para tl ca-r¡' ¡le r::r ion positivo.

l i i r+ hech¡ nrásqu e se dedrieede la ec . í15.5)es {iui- :r.l. 'rrit-oravor es ei campc

ri iiEi;éi;.co,icrror es cl lacirc de la i.r;r-Yectoriag lr pr:rticllla eiirgada. Po r !o

¡:ini.r:$i t:j carnp¡r ta,-qlétici; ro r: s r:nilctn-,c, a f-¡:¡vtrtoria l lo es circt l l*r . La: : . ¡" l , ' ; ; ! : ' Int :c i i ¡ : : ¡ i r ; ;1: i : i ! { . t ! i th,r . : r ! i ) {r { i i i ' i ' , - : i i i l i l t , i . ' , i1, t ie i , ja a r l t ¡ ' . :cha Co n sl i

. , . t . , i ' , r ,1 : i l ; r . !e1l i l : : , i i . ' t i, ,i , . r ; . ' , " : .1; ' i 'Cei ' . i i , ¡ :o i 1r ' t l ' r r t t { t l i Í l t p: f t iCul: . i ¡ lvL' i ' "

: . ' . r i : : f i: ' l ' : , , . i ] : , . , i ; . , . . ' , r . ' . ; 'J ¡' ' r r r l l j ) i ) ¡ . l "Si . : ; i ' ' l l l i ' : , l¡ , i . f , : l l ;1 i . í ' l f ¡Ci¡ l . i l - l ¡ l i .v; le

. . : t : - . . . . . . . , : . I : , ; . r ' ¡ , r r . , . . i ' . : . t ; ] : ,1-. i , ,l if r ;¡ ; i , r : , : i ] tJ , : l : l ; ; , : t : i : l i : i , . l : : ; , t i ; l : ' ! . :

,; ; . ' . l ir i t ; ]1: ' jr 'j: : :l ;. i ¡ . i ; ; i1 t , . . -

,i ; t " ; ' : ' : i r i ' , : ; . \. t : i ' ; ' ) .1! l t r ! : ' . ir { - . i } .1-11: i i i : t

i . ' j . , , . ; : -r I i ; , ¡¡, tl i jt : j j=t : ' : ; . ¡ i i i-; ,e; ; i : is l l i i , l i . ". ' i . i e

:r r . . "¡ l l ; . ! i ; i . , i : ; l f ¡ .1. i ; r ! ; . .: . il : r l .1 .; r {t i : l : t , l l , '1+ ¡- i i { : r i , l . i r i r l { l t li : : i f lCnS;l l ¡e¿i , ] . , ]

I t , ! t . t , r ) . t : , . ' r i i i i ' r : ; ] f l . : ( i i l , . ¡ ;: l " . . .11;: ' i t . ' : . i ; r :1 l i i ' - i ; . 5 '- . r1i , ¡ . : r . 51. ' l i : i l iar f i )e gl 1 ' l l i l lF ' i

t , , , , , , , , . , i . ; r , r l s: : r s i¡ t l r icr ; t ¡ j i r r i , -1Lir i ' ¡ ig l , ' . . ' ' ¿l 1; : i i i . icuir r . . i í i i , :3{ i I } : : - \ ' ( } j !c?' o 5t¡ i e

. ¡ ! . i . t*{{ : . ,1; i r , i i ; i i i : r i . l ¡ : i ! l i : r l ii : . r i : . ¡ : l f t i } i - l r : lÉi) ' . ' i : l : f r"P.. l r l t ; i .at i l .O, ¡- ¡r iCt i ida Ctla Ui l

i i : i . i ; ; ' r ' r ¡ l lagr-{ i ' t :ú ' . } ¡ i l ¡ r la¡r ta ul¡ ; : . . i i ,^:¡ : i . jad,, ' ' t ¡ ¡ ¡ ; , , r , rO a ¡ct t¡¿r cíJ¡:rc iel lector d. :

I l . l r i icül¿t3 i :a;gad;s r) ] c: ' j t i r : t 3e . ' l - ' : r i ( ,n l t : ' i t r í Ier: t .c, c i i rcú r in e.{ptJc magriél ico"

Slste ¿feri'o se usa ampiiamrrntc Lr¡ra coitl-¿iier ases tni;.ados o pl:rsmas.

En ia !ig. 15-10 se hi l repiesentidc ctra li[uar:ión, i)ri la que ull campo mag-

rrét iüoperpe¡rdicular la piigina aurrenta de intensidad de derecha a izquierda.

También se ha indicado la trayectoria de un irln positivo inyectado perpendicu-larurente al campo; esta trayecilr ia está más curvada a la izquierda, donde ei

campo es más fuerte, qu e a la derecha,donde es más débil. La trayectoria no es

cerrada y la partícula avanza a través del campo perpendicularmente a la direc-ción e¡r que éste aumenta.

Un ejemplo interesante del movimiento de iones en un campo magnético esel caso de las partículas cargadas que inciden sobre ia tierra prevenientes delespacioexterior, las cuales constituyen parte de Io que se denomina ragos cósmi-cos. La fig. 15-11 muestra las líneas de fuerza del campo magnético terrestre.*Las partículas que inciden según €l eje magnético de la tierra no sufren desvia-ción alguna y llegan a Ia tierra aunque tengan energía muy pequeña. Las par-tículasque caerroblicuameirtecon respectoal eje magnético de la tierra, describenuna trayectoria.helicoidal, que puede ser tan cilrvada si las particulas se muevenmuy lentamente, que las mismas no ilegan a Ia superficie errestre. Las que llegan

r En; 'eal i t l¿ i i , e l cainpo magnét ico qu e rur:ea a t i t ¡ ra preserr la ver ias anomalfas locales y rrna

disto¡sión glol ia i en i i iecciún opuesta al s¡ l , ias cualcs no se ven cn la representación esque-mática de la f ls. 15-r i .



15.3\

Ftg. 16-9. Trayectoria de unio n positivo en un campomagnético no uniforme,

G ¡r) tenso

Mauímienlo de una carga en un campo magnélico 521

Fig. 15-8. Trayectoria helicoidal deun ion positivo que se mueve oblicua-mente respecto a un campo magnéticouniforme.

Fig. 16-10. Movimiento plano de un

ion arrastrado por un campo magnéticono uniiorme.





15.4) Ejemplos d.emouimienÍo de partlculas s23

Lss cíntt¡ronesde radiacíón de Yan AIIen son otro ejernplo de la interacciónde partículas cósmicas cargadas,con e] campo rnagnético terrestre. Estos cintu-rones están compuestosde partÍculas cargadas ápidas, principalmente electronesy protones, atrapados en ei cer$po magnetico terrestre. Ei primer cinturón seextiende aproximadamente entre los 800 y lss 4000 km de la superficie de latiema, mientras que el segundose extiende a unos 60.000 km de la tierra.* Fueron

descubiertosen 1958 por medio de aparatos que llevaba un satélite norteameri-cano Explorer e investigados por la sonda lunar Pioneer IIL Para comprendermejor cómo Ias partícnlas cargadas on atrapadasen los cinturones de Va n Allen,consideremos, or ejemplo, un electrón libre producido por la colisión entre unátorno y uira particula cósmica a muchos kilómetros de la superllcie errestre;la componentede la velocidad perpendicular al campo magnético terrestre haceque ei electrón viaje en una trayectoria curvada. Sin embargo, Ia intensidad delcampo es mayor más cerca de la tierra. EI resultado es un movimiento similaral mostrado en la fig. 15-10, desviándoseel electrón hacia el este debido a sucarga negativa (para cargas positivas Ia desviación es hacia el oeste).La compo-nente de Ia velocidad paralela al campo magnético terrestre da lugar a un efectoadicionai, que hace que las partículas avancen en espiral hacia un o de lo s polossiguiendo las líneas de fuerza magnéticas, en forma similar a la mostrada en

la fig. 1ts8. Debido al aumento de la intensidad de l campo magnético hacia elnorte o hacia el sur, el radio de giro se hace cada vez rnenor, disminuyendo almismo tiempo la componente paralela de la velocidad, como se explicó en rela-ción con el efecto de espejo magnético de la fig. 1il9. Cada electrón alcanza unalatitud norte o sur determinada para la cual se anula Ia componente paralelade la velocidad; latitud que dependede la velocidad nicial de inyecci ón. El elec-trón retrocede entonceshacia el polo opuesto. El movimiento resultante es porlo tanto un cambio de longitud hacia el este y una oscilación norte-sur en latitud.El movimiento se repite continuamente, quizás durante varias semanas, hastaque el electrón es expulsado del cinturón de Van Allen por una coüsión que ter-rnina con su condición de prisionero. Con los protones atrapados ocume unasituación similar.

75.4 Ejemplos d,e tnoairniento departlculas eargadaa enun earnlrornagnético

En esta sección lustraremosvarias situaciones oncretasen las cuales un ionse mueve en un campomagnético.

(a) Espectrómetroe mdsas" Consideremosl dispositivolustradoen a fig. 15.12.Alü f es una fu.ente e ones paraelectrones uedesersimplemente n filamento

* Hay bastante evidencia de que el cinturón interno está compuesto por protones y electronesprovenientes de la desintegración de neutrones quo han sido producidos por la inte¡acción de losrayos cósn.ricoscon la atmósfe¡a terrestre, El cinturón externo consiste principalmente en par-tfculas cargadas enritidas por el sol. La actividad solar está asociada con un ar¡mento de estas

partlculas, y su tlesaparición del cinturón de radiación es la causa de la actividad auroral y de lenmudecimiento rle las ¡adiotransmisiones,



524 Interacción maqnétíca {15.1

caliente)y ,Sr y 5" son dos ien.lijas est¡echas .r .i: 'o.,Ése iir-q ilr ies pasari osiones siendo acelerarlos or lrr diLerc¡cui dc polelciai 'v ' :r,riicadaenlre ambas.La veiocidadde sal idacie cs i i , l ¡ :s se c, ¡ lcu iaÉ p¡I i i i d t ia ec. 14.38i , a cu¿r l a

uz:2 {A } u.\ in l

(15.8)

Hn ia región qu e esti i po r rl:):ajrr ;lr: la:; renil:jrr hav un carcpo magnéticouniiorme dirigirio hacia el lectc¡'. i , i i : ¡ l ' jescribi:á cntcnccs una órh'ita circuier,*url'aiia cn un sentid{i G en otrr; srgúl sea el signr..:ie :;-r,l arga g. Después dedescribii una ser¡ricircunferenciac: r¡¡nrs trcrci.enobre ¡ing placa fotográfica P,dejando una marca. EI radio ¡ de la óririta está dado p.or a ec . (15.5),de la cual,

Pl¿reafotográf ic¿ 1)

FlS. 16-12. Espectrómetrode ma-sasde Dernpster. 1 es una fuente deiones.Las rendijas S, y Ss sirven de

colimadoresdel haz de iones. V esla diferencia de potencial acelera-dora aplicada entre ,S, y Sr. P esuna placa fotográfica que registrala llegada de los i ones.

despejandoIa velocidad u, obtenemos

v: Q cryr.m

Combinandoas ecs. 15.8) (15.9) araeliminaru, obtenemos

_g-2V

m -- (larz,

(15.e)

(15.10)

que da la razón qlmen función de tres cantidades V,(-tri, r) que pueden medirsefácilmente. Podemos apiicar esta técnica a electrones,protones y cualquier otrapartícula, átomo o molécuia cargada. Midiendo la carga q independientemente,podemos obtener la masa de la partícula. Estos son los método s que se men-cionaron anteriormente en la sección14.5.

El dispositivo de la fig. 15-12 constituye rn especlrómet¡o e masos, porquesepara los iones que tienen la misma carga q pero diferente masa m ya que deacuerdo con la ec, (15.10), el radio de la trayectoria de cada ion cambia segúnel valor de qlm del mismo. Este espectrómelrr; particular se denomina espectrGmetro de rnasas de Dempslr, Se ira.nde-carrcii¡rdo tros tipcs de espectrómetrosde masíis, .cdosbasadcsen rl r¡¡jsrrc principro. "os cirn tif¡cos que usa ban e::tatécnica,drrcubriercn err a décadad-sl (] qu e áisuros dei n.lisnrt¡ lenrentoquimico



15"4) Ejemplosde mouimienlo e partículas 525

no tienen necesariamentea misma masa. Como se indicó en la sección14.7, asdiferentesvariedades de átomos de un elemento químico, variedades que difierenen la rnasa, se denominan fso/opos.

El dispositivo experimental de la fig. 15-12 puede usarse ambién para obtenerel cociente qfm para una particula que se rnueve con velocidades düerentes. Seha encontrado que q/m depende de u como si q permaneciera constante y m vd-,

riara con la velocidad en la forma indicada en la ec , (1,1.7),es decir, m:mol/ | - vTF. Por lo tanto concluimos que

Ia carga eléctríca es un ínuarianle, siendo Ia misma para todoslos obseruadores n mouímíento relatíuo uníforme,

(b) Zos erperímenlosd.eThomson, Durante la última parte del siglo diecinueve,hubo una gran cantidad de trabajos experimentales sobre descargaseléctricas.Estos experimentos consistian en producir una descargaeléctrica a través de ungas a baja presión colocando dentro del mismo dos electrodos'y aplicándolesuna elevada diferencia de potencial. Se observaron varios electos luminosossegún fuera la presión del gas dentro del tubo. Cuando se mantenÍa el gas dentrodel tubo a una presión menor que un milésimo de atmósfera, dejaban de obser-

varse efectos visibles dentro del tubo, pero se observaba una mancha luminosaen la pared de l mismo en el punto O directamente opuesto al cátodo C (fig. 15-13).Por lo tanto se hizo la hipótesis de que alguna radiación era emitida por el cátodo,la cual se movía en línea recta hacia O: de acuerdo con esto la radiación fue lla-mada rcyos calódicos.

Fig. 1ó-18. Bxperimento de Thomson para medir qlm. Los rayos catódicos (elec-trones) emitidos por C y colimados por A y A' llegan a la pantalla S despuésdeatravesar una región en donde se aplica un campo eléctrico y uno magnético.

Lo s experimentadores ñadierondos placas paralelasP y P' dentro del tubo yaplicaronuna diferencia de potencial, produciéndose n campo eléctrico C dir i-gido de P a P', EI resul tado de aplicar este campo eléctr ico ue que la mancha

luminosa sa rnovió de O a O', o sea en el sentido correspondient e una cargaeléctrica negafivir. Esto sugir ió que los rayos catódicos son simplernenteun a

ffil= i=::: : :--: - -



526 Interaccíénmasnético. (15.4

la carga de cada particalcularse apiicando la

coniente tle partículas cargadas negativamente. Si qrescula y u su velocidad, la desviación d : OO' puedeec . (14.9): qf.aimuz dlL.

La fuerza eléctrica sobre la partícula es qd y está dirigida hacia arriba. Supon-gamos qu e a continuación aplicamcs.en la misma región donde está C, un campomagnético dirigido hacia cl papel. l ,a luerza magnética es, según la ec. (15.4),

qf lS .v está dirigida hacia abajo pt¡íijue q e$ una carganegativa. Ajustando ?3e¡r fortna a¡rropiuda,podemcs rírr:er',ti ic a fuer¿a magaética sea gual a la eléc-i . i icu; egto da i ina rcsui tante nr¡ la. . ' i i i l r l¿nr 'hÍ - .u¡n int¡sa t ¡e lve de O'a 0, esdecir qire ri o hay desviaciónde ios ¡a-"oscatóri icos.,¡rt,¡nres €-: qfl3S v : (: ' ' lr.

l lsto perrtite nredir la .,'etocidari c ia ;:ariicula cargada.Sustituyendo estevalor,. ie ¡ ün )a ec, (14.9), olrieneliros a ¡'a¿únqlm dt las prirtículas quc consti i .u,venirs rayos catódiccs,

qlm : iC|ü1.a.

ifste. ue u¡:o ire los priurerosexperirilent.r cl ignosde confianzapa.ra nedir qimv pi'cpi:r 'cicn ri ¡rürectamente un a irrueba de qrie ios rayos catóciicos onsistetrn prartículas argadasne¡;ativamentr', lamadas t:les-.tronesesdeentonces.

Estos y otrcs experimentossimiiares ueron publicados en 1897 por el fisicobritánico Sir J. J. 'I'homson (1856-1940),que invirtió muchos esfuerzosy tiempotra.tando de descubrir la naturaleza de los rayos catódicos. Hoy en día sabemosque los electrones libres presentesen el metal que constituye el cátodo C sonarrancados o evaporados dei cátodo como resultado del fuerte campo eléctricoapücado entre C y A, y son aceleradosa lo iargo del tubo por el mismo campo.

(c) El cíclolrón. El hecho de que la trayectoria de una particula cargada enun camJ)omagnético sea circnlar, ha permitido el diseño de aceleradoresde par-tlculas que luncionan cíclicamente. [Jna diflcultad con los aceleradoreselectros-tát icos (descritos en la sección 14.9) es que la aceleracióndepende de la dife-rencia total de potencial V. Como el campo eléctrico dentro del acelerador es( : Yid, si V esmuy grande, a longitud d del tubo del acelerador ambién debeser muy grande para impedir la formación de campcs eléctricos ntensos queproducirir.rrel salto de chispas e¡ri.re os mal;e iialesdel tubo de aceleración.Untubo de aceleración nu y iargo prt'senta, adtmás, varias diflruitarles técnicas"Pr¡r ei cont rario, en un act'leradcr cícl ico una carga eléctric a puede recit¡ir unaserie de aceleraciones asandomuchas vecesa trar'és de un a diferencia depoten-cial relativamente pequeña.El prirntrr nstruinento que trabajó según este prin-cipio fue el cíclotrón,diseñedo por ei físico norteamericanoE. O. Lawrence. E,lprimer ciclotrón práctico comenzó a luncionar en 1932. Desde entoncesnume-rosos ciclotronesha n sido construidosen todo el mundo, teniendo sucesivamentecada uno mayor energíay mejor diseño.

Un ciclotrón (fig. 15-1a)consis|eesenciaimerteen un a cavidad cilindrica divi-dida en dos mitades D, y D, (cada rina llam¡da "t le" po r su forma), la cual secoloca en un campo magrretico uili lorme paralelo a su eje" La s do s cavidades

están aislarias léctricamente ina de oira. J:-n¿-:le¡rtroclr : lespacioentre la.s t ies"se coioca r:na fuente Ce iones S v se aulica entre ias mism as una diferencia de



15.4\ Ejemptos de ntovímíenlo de partlculas 527

potencial alterna del orden de 104V. Cuando los iones son positivos, son acele-rados hacia la "de" negativa. Una ve z qu e el io n penetra en una "de", no expe-rirnenta fuerza eiéctricaaiguna, porque el campo eléctrico es nulo en ei interiorde un conductor. Sin embargo, el canrpo magnético obliga a los iones a describirun a órbita circular con un radio daclo por la tc, (15.5), : mulfb, y una velo-cidad angular igual a ia frecuencia ciclotrónica de las partículas, dada po r la

ec. (15.6), u : ()31m. La diferencia de potencial entre las "des" oscila con un afrecuencia gual a <¡. De esta manera la diferencia de potencial entre la s "des"está en resonanciaco n el movimiento circular de los iones.

I l- *l

Fie. 16-14. üomponentes básicos eun cicloirón. La l i¡:ea de trazostnur's t l 'a la tra¡rctoria dc un ion.

Despuesque ia partícula ha descrito media revolución, se nvierte la polaridadd* las "des" y cuando el ion cruza el espacio entre ellas, recibe otra pequeñaaceleración. a semicircunferencia ue describea continuación tiene entoncesunradio mayor, pero Ia misma velocidadangular. El pr<.rcesoe repite varias veceshasta que el radio alcanzael valor máximo R qu e es prácticamente gual al radiode ias "dcs". El campo magnético disminuye abruptamente en el borde de las

"des" y la partícula se mueve tangencial mente,cscapandoa través de una aber-tura conveniente. La máxima velocidad u-^* está relacionada con el radio Rpo r la ec. (15.5), es decir,

f f :

l lGl I

t l

l i

fB

umáx la\qgo.\ml

La energÍacinética de las partículasgue emergende A es entonces

E¡ : !muln6*-

tq (* ) .*o', (15.1 )

i l i l l l l i l { . l l l ' - '. ¿1--- - -z/a.;-===-7..

/ , ' t ' . t- - , f , 'n

y'---

-l-i\)

*-':-::-íi,



528 | nteracciótt naqnélíca (15.4

Y está determin: lCa por l : is c l t r ; t t " t r í5r-rc ls j t ' i : ' pí t l ' i ; " ' ; :1, i :r i i r t ' r ' : t ls i t la¡ l e i cam¡lo

niagnético y el radio <lei ciclot.rixr, [-1i] iu 's inrlcltr-' l t¡1:r: i i tci .-i ¡rotencial aceierador.

Cuando la ¡i i ferenci¿rcl e ¡rotcrr:.:: i l i is pc(l(i i j I l ¡ i: r puri. ir.:rri i l iene qite dar muchas

vueltas irasta aciqui l ir la ener,gla ;rrl t l ; cri¿trrÚí) s gl irrtde sÓlo se requieren unas

pocas vuel tas para ariqui r i r la i ¡ l is l l . t cn*r¡ i t {r .

La intensidad de l campo niagneiico rrstri l i ¡i i iLarla por lactores tecnoiógicos,

tales cr¡mo la disponibi l idad ,l e ntatr:ri¿.. ics ¡rrt ias propiedarlesrequeridas, pero

en principio, potlemos acelerar i: l ¡r; ir1.ír-¡rl i¿1i i tsta cualtluier energía, construyendo

irnales rl e radio suficienternente grtrnti t ' . Sin c:rnbargo. cuanto mavor es el imán,

rrlayL)r es el peso v el costo. Aric¡l i¿is. a ttedi i lu que ia trnergia autnenta, también

aumenta la velocidad de j ion, co¡l i l i ;ur, 'r:ambia la, rnasa de acuerdc co n la

ec . { i1.7), m: n¡y ' l - -r ; ¡ f . L l ta ' r , i ¡ i r energÍa es muY grande, la variac iÓn

tl e niasa cs suflciente como para ql,c cr.tnbie ¡preciableinente la frec.uencia ciclo-

ti :.ó¡ricaC* l i ,¡,n.En conse :uencia, a r1.) irr í]¡.!rt e cambie la lrecuencia ciel potcncial

r:léct¡:ico, la rir!:iLa de la ¡rartirulil \::-¡ !lo tsllr¿i €n fasc con el potencial oscilante

_1 : a será accier:t<.1a. s po r esio i irj ' . i t : l r ri i icictlór: la r:nergía cstá l imitada por

ei electtr r¡lati l ista ssbre la rnasa.

EJEM7LO 75.:]. El ciclotrón de ia Universided de Michigan tiene piezas polares

con.un diámetro cl e 2,1 m y un radio de extracción de 0,92 m. El campo magnéticomáximo es )J : 1,5 T y la máxima frecuencia alcanzabie po r el potencial acele-rador osci lante es 15 x 106 Hz. Calcular la energia de lo s protones y de las par-

tlculas d que se producen, y Ia frecuencia ciclotrónica de las mismas. Teniendo

en cuenta la variación relativista de la masa, ¿cuál es la diferencia porcentual entre1as frecuencias ciclotrónicas en el centro y en el borde?

Solueióm:Usando la ec. (15.11) con los valores de la carga y de la m&Sa correspork

dientes a los protones y a las partfculas alfa, encontramos que las energías cinéticasde ambos están dadas Po r

E¡:1,46 x 10-rrJ:91 NIeV.

La lrecuencia ciclotrónica de Ia partfcula alfa es aa:7,2 x 107 s-1, que corres-ponde a una lrecuencia vo : roof2n 77,5 x 706 Hz, que está dentro del alcancede la frecuencia máxima de la máquina. Para lo s protones encontramos el doblede esta frecuencia: '2 2 x 706Hz. Esta es la trecue ncia con qu e el potencial api icado

a las "des" debc variar; pero como la máxima frecuencia del ciclotrón es,po r

cons-trucción, 15 x 106Hz, esta máquina no puede acelerar protones hasta la energlateórica de 91 MeV. 'Iomando la máxima frecuencia osci latoria, tenemos qu e

o¡¡:9,4 x 10? s-1. El 'campo magnético correspondiente a la resonancia ciclotró-nica es 0,98 T y encontramos qu e la energfa cinética de lo s protones está l imitadapor la frecuencia a

p, : lmvz : lmtorRt : 0,63 X 10-1r J : 39 MeV.

A una energfa E : nTocz E4 la masa de la partlcula es

m:Elcz:moiEt lcz,

de modo que Erfcz es la variación de masa. f)e la ec. (15.6) deducimos que la fre-cuencia ciclotrónica es inversamente proporcional a la masa, por lo que, si o Y ooson las frecuencias correspondientes a las masas m V mo de la misma partlcula,podemos escribir co/oro mofm, ó

_@o_ _ rfl_nlj- : _ __E:l!,_ : _

E*_06 m mt, * Erfcz mocz ! Et



1s.4) Ejemplos de mouímiento de partlculas 529

El primer miembro da el cambio porcentual de la frecuencia ciclotrónica y el se-.gundo el de la masa. Para energías elativamente bajas podemosdespreciaren eldenoniinadora energia inéticaE¡ frente a mocz; oniendoA< ¡ <¿ oo,obtenemos

A<¡ Et; : - -^ ,ü

Po r lo tanto, mientras la energla cinética de la s partÍculas se a pequeña comparada

con su energía en reposo, la variación de frecuencia será mu y pequeña. En nuestrocaso tenemos: para partfeulas alfa, Acof<o - 0,024 : 2,4oA, y para protones,A<o1<r- -0,0.12 :4,2o/o.

Lo s resultados obtenidos en este ejemplo indican también que, como lo s electro-ne s tienen una masa en reposo alrededor de 1/1840 la de l protón (sección 14.5),la energía cinética hasta la cual se pueden acelerar (sin apartarse apreciablementede su frecuencia ciclotrón¡ca) es también 1i1840 la de lo s protones. Es po r estarazón qu e no se usan ciclotrones para acelerar electrones.

El efecto relativista sobre la masa puede corregirse, sea cambiando el campomagilético de modo qu e a cada radio el valor de (' permanezca constante a pesarde la variación de la masa, o cambiando la frecuencia de l potencial aplicado a las"des" y manteniendo el campo magnético constante mientras la partlcula gira enespiral, de modo qu e en cada instante haya resonancia entre el movimiento de lapartfcula y el potencial aplicado. El prlmer diseño se denomina sincrotrón y elsegundo sincrociclotrón. Un sincrotrón puede funciona¡ continuamente, mientrasqr¡e un sincrociclotrón funciona a chor¡os po r Ia necesidad de ajustar la frecuencia.

Algunas veces, como en el sinc¡ol¡dn prolónico, se varlan tanto la frecuencia como elcampo magnético para mantener constante el radio de la órbita.

EJEMPLO 75.4. Estudiar el movimiento de una partfcula cargada en camposmagnético y eléctrico cruzados.

Solución: En los ejemplos dados anteriormente en este capltulo, hemos consideradosolamente el movimiento de una partfcula en un campo magnético. Examinaremosahora el caso de que haya también un cam-po eléctrico, por lo que debe usarse la ec.(15.2). Consideraremossin embargo una si -tuación especial:cuando os campos eléctricoy magnético son perpendiculares,como semuestra en la f ig. 15-15. La ecuación demovimiento de la partlcula es

dtt

^ i :q( f+ox. I l ) .

Hagamos una transformación de Galileode l sistemaXYZ a otro sistemaX'Y'Z' quese mueve con respecto al anterior con velo-cidad relativa

Cxlgao: -$-

Luego, si rr: 'es la velocidad de Ia partlcula respecto a X'y'Z', podemos escribirtr : o' * oo y doldt: da' ldt. Por lo tanto la ecuación de movimiento puede escri-birse conro

* #-: q(C+ u' x 'lJ i- ro 'B).

z'Xxr

: Ur -7a.Figura 16-16



530 Interacción magnélica (15.5

Peroco")J:(uz€l ' i3)xut)--rcyd-:--(: .Entoncirs,elpri rneroyclúl t imodeIa ecuación precedente se cancelan y Ia ecuación de rnovin¡iento en cl sistemaX'Y'Z' CS

do ' : oÜ ' x ]) .dt

Vemos entonces que, co n respecto a X'Y'Z', ': l movimiento es como si no hubieracampo eléctrico, Si Ia partícula se mueve inicialmentc en el plano XY, su movi-

miento en el s is tema X'Y'Z'€s una c i ¡cunferencia de radio r : rnu' lq:B, descri tacc n velocidad angular c) : -- q')),|m. Corr respecto a X\'2, esta circunferenciaavanca según el eje X co n velocidad uo , resultanrlo alguna de la s trayectorias qu ese rnuestran en la f ig. 15-16. El proc)eso e re¡r i te en una distancia úoI> Zruofa.Si 2rruol<r 2trr, o se a si r : ucla, la traycctori:,¡ es la ricloiCe ttormal, seiralada (1).Pero si 2rttolaS2rr, o sea si ¡ i roi 'új,s. r obtienen las trtveclór' ias (2) o (3) correspon-rl ientes a cicloides largas o cortas. Si la partÍr:ula cargacla ticne inicialmente unacornpr-)nentc e ia velocirlad paralela rl €j e Z', les trarl 'eclorias representadas cn laÍig. 1í'-1ti se alejan rJelpiano X-v- a velocidarl constani.e,

I

i 2rr¡ IF_____- r___-.. ____-*l

*ig. i i"1{' i . 'Jlra-vtr:tori ;¡s¡ri¡idales rie i ;rra partf cuia respectozi r..hsrr-ia¡lO¡G. ( il j¡ :: : L?0,(ü,.:. ' ] .t i r,¡rr,".,3 } r { ¿ro,lo.

F.ste rjem¡:lc revela un a-specto nt-e:¡sr¡nte: l l ient,fa-s lue el observa-dorqlre us aei sistcnia { Y? observa lanlo ul c:l¡¡iro eléctrir:r; rcmo un o magnético, el obser-vadt l r que usa el s is tr¿maX' \"2 ' que se tni levc respecto a XYZ, observa ei movi-nrienlo de la part. icuia cargada correspondiente a un campo magnético solo. Estosugiere gu e los campos eléctrico v magnético dependen de l movimiento relativodel observadoi. Es esta una cuestión muy importante qu e se considerará co n mayordetal le en la sección 15.12.

75.5 Fuerza m.agnética sobre una carriente eléctríca

Comose explicó en la sección14.10,un a coniente eléctricaes un chorro de cargaseléctricasque se mueven en el vacío o a través de un medio conductor. La inten-sidad de la corriente eléctr icase ha definido como la carga que pasa por unidadde tiempo a través de un a seccióndel conductor.Consideremos na sección rans-versal de un conductor a través de la cual se están moviendo partículas concarga g y velocidad o. Si hay n partículas por unidad de volumen, eI númerototal de partículas qu e pasan por la unidad de área en la unidad de tiempo esno , y la densídadde corcíenle, ef inida como la carga que pasa a través de Iaunidad de área en la unidad de tie¡npo, es el vector

j : nqo. (15.12)

,r"r----'



15.5) Fuerza rnagnétícasobre una corriente eléclrica 53 1

Si S es el área de la sección dcl contLuctor perpendicular a j, Ia ccn'iente es el

escalar

f : jS:nqus, (15.13)

Supongamos ahora que el conductor está e¡r un campo magnético. La fuerza

sobre cada carga está dada po r la ec. (15.1) y, como hay n partÍculas po r unidad

de volumen, Ia fuerza fpor unidad de uolumen es

f :nqoxct l : i * 'n. (15.14)

La fuerza otalsobre npequeñoolumen V delmedioesdF : f dV : i x 'l) dV ,y la fuerza total sobreun volumen finito se obtiene ntegrando esta expresiónsobre odo es evolumen; es decir

o:J' ' r jx. '1dv.(15.15)

Consideremosahora el caso de una co-n'iente en un alambre o filamento. El

elemento de volumen dV es (fig. 15-17)

S dl por lo que la ec. (15.15) da

F:f J* 'v lsat^ J Filamento

Ahora bien, j : jr.4r, donde ilr es el vec-

to r tangente al eje del filamento. Se iene

entonces

F : I (iur) 'ctrsd¿ J 0", ur x cI)dI- (15.16)

Pero S - I, y la intensidadde corriente en el alambre es a misma en todos

suspuntospor la ley de conservación e la cargaeléctrica.Por lo tanto la fuerzamagnéticasobreun conductorpor eI que circula una corrientees

F:IIur" 'Bat. (15.r7)

Comoejemplo,consideremosl casode un conductor ectilíneocolocadoen un

campomagnéticounüorme% (fig.15-18).Como anto ?¿rcomocB sonconstantes,podemosescribir

F:Iuz '* | l5Jat,

o sea,si L : dI es a longitud del conductor ectilíneo,

F : ILur x':}.3.

El conductorestá sujetoauna fuerzaperpendiculara él y al campomagnético.

Este es el principio sobreel que se basael funcionamientode los motoreseléc-

Flgur¡ 16-1?



<2 9 Interaccíónmagnélica

. f is . 1í"18. I le lac ión vectorial ¡ t i t rela {r,¡erzamagnética sobre un r:ontluc-

lo r po r el r¡r. le : ircula una corricnt.e,el carrrpo magnéticcr ¡.' la corrientc.La fuerza cs ptrpendieular ai p)anotrue colitiene ur Y I) ,

(15.6

rQr ! -\L-,/

I

lp

Fig. 1ó-19" ' iorgue rnagnét ico sobre uncircri i t<reléctri t:o rectarrgular colocado en un

camp(! rnagnético. El tor que es cero cuandoel plano de l circuito es perpendicular alcarnpr) ¡nagnéiico.

tricos. Si 6 es el ángulo entre c! cc,nductory el canlpo nlagnético,e! lnóduio deIa fuerza .F es

F : l I lJ sen 0. (15.18)

La fuerza es sero si el conductor es paralelo al campo (0 : 0) y máxima si esper¡ rendicuiar é l (0 :

"12) .E lsent idode la fuerza se encuentraapl icando a

regla de la mano derecha, como se muestra en la lig. 15.18.

75.6 Torrlue rnagnético sobre u,n& eomiente eléctr ica

Podemcrs plicar la cc. (15.18)para calcular el torque debido a Ia fuerza qu e uncampo magnético ejercc sobre un circuito eléctrico.Para simplifi car, considere-mos en primer lugar uu circuito rectangular con una comiente f, colocado demodo que la nornral a¡ al plano quc lo contiene (orientada en el sentidoqueavanzü un tornillo derecho otando en el seut.idode la corriente), oruia un án-git lo I con el c¿rrnpo)9, y rlos lados del circuito son perpendiculares l campo({ ig. 15-19) .Las fuerzas.F 'que act i ran sobre os lados L'son de igual módulopcro direccionesopuestas; ienclen a delornrar el circuito pcro no dan lugar aun t r r rque. -as uerzas 'sobre Lts ados L t ienenmódulo F : I ) )L y const i tuyenun par cuyo blazo cs L'st 'n 0. Protlucen pues sobre el circuito un torque de



15.6)

módulo

Torque magnético sr.tt¡re tna coniente eléctrica SJS

t : (I'))L)(L' se n 0) .

Siendo LL' : S, donde S es el área del circuito, se t iene r : (1$:/l sen 0. Ladirección del torque, siendo perpendicularal plano de l par, es según a recta Pe .Si definimos un vector

M: ISUN

normal al plano del circuito, podemos escribir el torque r err la forma

t : M'13 sen 0,

o, en forma vectorial,

t :M x(11.

(15.1e)

(15.20)

(15.21)

Este resultado es matemáticamente similar a la ec. (14.50), que da el torquesobre un dipolo eléctrico,debido a un campo eléctrico externo. Por elio, la can-t idad .lPfdefinidaen la ec . (15.9),qu e es equivalentea p definido en la ec. (15.49),se denomina momenlo dipolar nrugnétíco

de la corriente.Notemos qu e según a ec .(15.19),el sentido de J}f es el de avance deun tornillo derecho que gira en el mismosentido de Ia corriente, o sea el sentido queda la regla de la mano derecha como semuestra en la f ig. 15-19.

Para obtener la energía de una corrien-te en un campo magnético, aplicamos elrazonamiento nversoal usadoen Ia sección14.11 para pasar de la ec. (14.49) a la(14.50),encontrandoque a energíapoten-cial de la corriente colocada en e l campomagnético '/J es

Ep:- M:D cos0: - M. ' .1J. (15.22)

Aunque las ecs. 15.21)y (15.22)se ha nobtenido para un circuito rectangular conuna orientación particular en un campomagnético uniforme, una discusión mate-mática más elaborada demuestra que son de validez general. Supongamos,por ejemplo, que tenemos un circuito pequeño e cualquíer orma, c uya área es S(fig. 15-20). El momento dipolar magnético llI del circuito está aún dado porla ec. (15.19),y el torque y la energia potencial cuando se coloca el circuito enun campo magnético están dados por las ecs. (15.21) y (15.22).

Usando Ia ec. (15.22), a unidad de momento magnético se expresa normal-mente

enjoules/tesla

ó J T*1. En función de las unidades fundanrentalesesm2 s- l C, de acuerdo con la d efinición (15.19).

-Fig. 1ó-20. Relación entre el mo -mento dipolar magnético de una co -rriente eléctrica y el sentido de lamisma,



(Ls.6

(b )

Ftg. 1ó-91. ta l Colpor,*ntes básicos de un galvanómetro de bobina móvil . (b) Vistasuperi..rrde l gaivanómetro mostrado en (a).

EJEMPLO 75.5, Discusión de los instrurnentos de rnedición de corrient-e tales comolo s galuanómel¡os.En la fig. 15-21 se i lustra un diseño simple. La corriente a medir

pasa por un a bobina suspendida entre lo s polos de un imán, En algunos casos labobina se enrolia sobre un cilindro de hierro C. El campo magnético produce untorque sobre la bobina rotándola un cierto ángulo. Establecer la relación entreeste ángulo y la corriente que pasa por la bobina.

Sotuclón: Sea S el área efectiva de la bobina (número de vueltas x sección de labobina). El torgue producido por el campo magnético, ec. (15.21), tiende a colocarla lobina perpendicularmente al campo, retorciendo el resorte Q. La bobina adoptauna posición de equilibrio rotada un ángulo ¿ cuando el torque magnético es com-pensado por el torque elástico ka del resorte, donde /< es la constante elástica deéste. Una aguja flja a la bobina indica el ángulo a. Las piezas polares tienen la formaque se ilustra en la figura, para que el campo magnétieo entre ellas y el cilindrode hierro C sea radial, como se muestra en la vista superior del instrumento, fig.15-21b. De este modo el campo 'R está siempre en el plano del circuito y en laec . (15.20) 0 es rl2 o sea sen e : 1. El torque es entonces t : fS.13, a que ¡14 IS .En el equil ibrio, cuando el torque debido al campo magnético es compensado po rel torque debido al resorte, se tiene 1S'8 : kc , de donde I : kslS%. Si se conocenk, S y ?3 ,esta ccuación da el valor de Ia corriente en función del ángulo a. Normal-mente Ia escalase calibra de morio que pueda leerse en alguna unidad conveniente.

EJEMPLO 15.6. Motnento magnético correspondiente al movimiento orbital de unapartfcula óargada, tal como un electrón girando alrededor de un núcleo atómico,

Soluctón: Consideremos una carga q que describe una órbita cerrada la cual, parasimpli f lcar, podemos suponer circular. Si v : o/2n es la frecuencia de su movi-miento, la corriente en cada punto de su trayectoria es f : qv , puesto que siendov el número de veces po r segundo qu e la carga q pasa por el mismo punto, qv es lacarga total que pasa po r el punto en la unidad de tienrpo. La corriente tiene elmismo sentido de la velocidad o el opuesto, según g se a positiva o negativa. Apli-cando entonces la ec . (15.19), encontramos qu r el momento rnagnético orbital t lela carga es

t I - (qvi( r rz¡ ( H ) (r r2) - - lqa,r ¡ . (15.23)

i





536 Interac:íón nagnétitu

f;::il:u]_r ;p: ; -" : : i t . {t ! l

¡r1. ,_ri

j - , i I 'c ,*r ; : t r ¡ ñtagni l l ' : { . ' : } L¡¡ i .aL i , . ' l r ;4" j t l ' "r r

i; i I i ; .2t¡r 1l i ' - ; l l t - , r t : t ; l ¡ : il t . r ; r . ' ; . l ' j l :1: : , j ' r : l

r : {¡¡ : : r ia j i i , Aná.1i l9¡ i ; le¡ l i r ' . e l hafr ! l r l '11!: : ; i i : :

* l t* l r ' i : r i : : Ct i :a , :¡ i :e l : ¡ e tm!;uJ: ' i i1:1í- '' . : : l il i

Fig" L5-93" F;l iorqtre ñagnr;t;ci l ¡ 16 'i :a ' . .n3 r '?. i1 lc: l ia ci) .F.a '1. : u i l : t t r ' ' . ¡ -

r t i ic i" . i . ¡ ¿g ;rc¡tr¡ ' ¡d i¿i : lar +i I}1jr , f ! : ) ' :u in

a:rgr--1ar l" il c Ia perl . Ícuia ¡-ci c i i r ; ; l ; :

magirútico ?i .

: ii : ' i : : ,

(ró.6

il ir i -c.t ig gu e sigue se

-1 li i; I

; ' . : , f l i r .1

: j , ; :1;r l

', : . , ; , : i i r , r i . r , r r¡- i ¡ . ¡ ¡ t . l i j ) . : l t l j g, i ¡ i , ) lLrr- i'i - - ; ' . ; - i i i ; r i r r . : : :: ; ¡ il l egt l i ¡Ci- l l ia in i l . i iAi , , ¡ , r le: ; ' ,1: .1 t: 1{ ei c i fe ¡ '€ i¡ te a ia r ir i

, j r rot i , , ; i { : i , ' j l tcre¡: i "¿ s l i" , ¿ir :1. ieci . : i ,n.

/-.\' { \ . - t*i' 't'lln--

'*-t --,r,¿:^ -*-"--*Cci \ i \ , / (B

\ i\. ,,

.:r) r¡ positiva

-;-

t--E.**u_;

!:, lnktf '} ' t i ] tr5.?, i ' r:rque ;' ei ier¡; ia dr". ;¡:¡- i¡a¡l !rr:L* rjar¡,;a,la ue s¡ i mile"re c:n ün 3l ( jgrún (¡on\ ie l ia¡ t tn cal ¡ i l - i , ' ¡ ' ; ' ; r, r i i,

Sotueéón:Suptingamos qu e se rolo.:- i: ¡ i-larti i :ul¿r el cjttrnpk; ant€ri(r¡ er t un camponragnót ico uni for¡r l r ( t ig. 15-23i . Em,i ;e.r¡)C{)a¡; ¡:cs. (1i j .21) v (15.26) encontra¡nosqu e €l torqr,re ejeir: i t lo si;bre la par.i icti i ; es

t :-n Í , \ n.=--- -3 i lx;, ,2m il¡ri

{.r)i negativa

Fic. l5-2d. Frccesi t in dei mcmerttumir-giri ;tr .J e i,rna part-ícula.car6,a.da l ie-.Jecit i¡deJ cti¡ rpr.¡ nagnético.

(1 .3r)

en tiirecc.ién ¡erpe:ldic.rilar i1 J; v i, .¡ j il1;i. i{,¡qug t-i¿nrit r. cambia-r el momel¡l"i-;rnangui;-r ori :; i i ¡l L tie la parl-i :ri ia Crra.' t;r ' i i ' :r- '¡, ' :¡ 't ec. i?.33), dr' l i í .- c. Deti¡iendo{2 - ^ (1i)m) t1, que rs la r¡' i lad ct: !: r .i , .^:;r.; ' , t l ¡i iclui¡"t ' ' i l i i :a .lada po r la ec, { l :}.7),terrr 'nr¡rsprl ra el lorque rl i id.i : p<;; :- c: . íi I :..-1,, i ,

N:Qxfu. (15.32)



Esta ecuacién es similar a la ec . (10.29) correspondient.e ai movimiento del giros-copio, por Io que en este caso se t iene el rnismo tipo dc precesión al l í estudiado.En el capitulo 10 la precesión se debía al torque producido po r la interacción gra-vitacional; aqul se debe al torque prolucioo po r la interacción rragnóiica. La fre-cesión de /, alrededor de )J prcduce una rotación de Ia órbita de la particula. Enla flg. 15-2 4 se ha indicado la dir ección de l) : 'el sentido de precesión para un acarga positiva y para una negativa.

La expresión (15.32) es vál ida solamente para una partlcula si n espfn. si la par-

tfcula tiene espÍn, el análisis es algr: más complicado, por lo que lo omi'-iremos.Podemos obtener la energía de una partrcula que se mueve e¡: una órbita d.entrode un campo magnético combinando las ecs. i15.22) y (15.26); resulta

E,:- ;^L.E:e-L.

15.6j Torque magnétíco obre una corúenle eléctr ica 5J 7

(15.33)

Si la partfcula tiene espfn, usamo$ paia el momentc tnagnético la ec. (15.30), ob -teniendo

Ep: -#ro¿ i Ys) 'D'

Estos resultados son muy importantes para ayudar a comprender el comporta-rniento de un átomo o de un a molécula en un campo magnético externo, temade interés tanto desde el punto de vista teórico como del experimental. po r ejem-plo, cuando se coloca un átomo en un campo magnético externo, se perturba elmovimi.ento de los electrones y la energla varfa de acuerdo con Ia ec . (15.34).Cuando se compara esi.evalor teórico de .Ep con los re sultados experimentales, seencuentra que las componentes Z de lo s momenta angulares orbital y de espfnestán cuantizados; es decir, L, y S, pueden tomar sólo ciertos valores que seexpresan en la forma

L" : mtñ, St : ttuh,

Conde la constante h : hl2¡c: 1,05 x 1C-s4 s. Esta constante fue introducidaen la sección 14.9 al discutir el movimiento orbital de lo s electrones, y ñ es la cons-tante de Planck. Los valores posibles de m¡ son 0, * 1, *2, + 3, . . . , mientras![u€ rzu puede tomar solamente do s valores, + t ó - ] . El número m¡ se denominanúmero cudntico magnético del electrón, mientras eu€ /nr es el número cudntico deesp[n. Para ]os neutrones y lo s protones se obtiene un resultado análogo, Po r es arazón se dice que e! electrón. eI protón y eI neutrón tienen espín |.

Po r otro lado, eI momentum angular orbítal L tambíén estd cuantízado, pudiendo

tomar solamente lo s valores dados po rL: [4¿;10¡,

donde / :0,1,2,3, . . . es un número natural que se denominanúmerocudnt icodel momentum angular, Como L" no puede ser mayor que I, , concluimos que losvalores de mr no pueden pasar de /, es decir

mt:0, * 1, + 2, . . . , + (¿- i ) , + ¿.

Por lo tanto, para Z 0 sóloes posiblemt : O. Para I : 1, podemos ener mt : O,* 1, y as f sucesivamente . or otra parte, como el número cuántico de espln t ienesolamente un valor, hay un único valor para el momentum angular de espins:/+t++rlh: tYzpn.

El hecho de qu e para un valor dado de I sólo ciertos valores de Z, son posiblesimplica qu e I, puede tener solamente ciertas direcciones en el espacio (l ig. 15-25a).En la sección 14.7 esto se denominó cuantización espacial. En el caso ciel espÍn,colrro rrr¡ iene sólo dos valores posibles ( + á) , concluimos qu e S puetle únicamente

(15.34)



538 I nteratctónmagnética. (15.7

s,: ;{4

- ,=- i

\4. , t ( l ,)

FIg. 16-25. P_osibles rientaciones(a) del molgentum angular conespondlente aI : 7, L : l t rh,y (b) del espfns : l , S :<y- 'p)n.

estar en dos direcciones especto al eje z, que generalmeniese denominan h¡ciaarriba ( f ¡ y hacia abajo ( { ). En Ia ng. 15-r5b Je muestran las orientacionesp6r-mitidas del espfn.

75.7 Campo rnognético producido fror una eorriente eerrada

Hasta ahora hemos dicho qu e nos damos cuenta de la presenciade un campomagnético por la fuerza que produce en una carga en movimiento. Tambiénhemosnombrado ciertassustancias ue en su estadonatural, producen un campomagnéticc.Examinemosahora co n mayor detal lecómo se produceun campo mag-

nético. En 1820, el físico danés Hans c. oersted (1277-1851), notando la des-viación de la aguja de una brújula colocada cerca de un conductor por el qu epasaba una corriente, fue el primero en observar que ana corríenle eléctrica pro-d"uce n campo magnétícoen el espacio que la rodea.

Después de muchos experimentos que varios físicos hicieron a través de losaños usando circuitos de formas diferentes, se ha obtenido una erpresión generalpara calcular el campo magnético producido por una corriente cerrada de cual-quier forma. Esta expresión, ilamada ley de Ampére-Laplace,es

'R: KÎ{ rit or, (15.35)

donde el signif icadode todos los simbolos está indicado en la fig. 1b-26, y la

integral se extiende a todo el circuito cerrado (es por eso que se usa el símbolo f) ,En la expresión anterior, Kr,. es una constante que depende de las unidades que

s- -]'¿ -2

t r " :i

ItII

hlT

s=¡/\iDñ





54 0 (1ó.

(15.40)

(15.41)

ilI

)¿ - l '01

o,en orma;,*f"

B:#"" .

FIg. 15-2?. Campo magnético produ- Fig. 15-98. Lfneas de fuerza magnéti-cido en un punto P po r t¡na corriente casalrededorde una corriente ectilínea.rectillnea.

Dela f igurasededuce üer : R cosec y I : -R cotg 0,de dondedI :Rcosecz 0d0. Su stituyendo en la ec . (15.39) resulta

,, :# tJ; F##r (R osecsdo) ff, fisendo,

donde I - - 6 colTespo¡rde 0 :0 y / : -| € a 0 : r. Luego,

El campo magnéticoes invetsamenteproporcionala la distancia R y las lineasde fuerza son circunferencias on centro en la corriente y perpendiculares lamisma, como se muestra en la fig. 15.28. En esta figura se indica también laregla de la mano derecha para determinar el sentido del campo magnético conrespectoa la corriente, El resultado (15.a1) se denomina fórmula de Bíot-Sauart.

En el caso de una cortiente rectilinea circulando por un alambre observamosel campo magnético pero ningún campo eléctrico; esto se debe a que, ademásde los electronesen movimiento que producen el campo magnético, están losiones posit ivosde l metai, que no contriiruyen al campo magnético porque estánen reposo con respecto al observador, pero que producen un campo eléctr ico

igual y opuestoal de los electrones.Es por ello qu e el carrrpoeléctr icototal esnulo, Por el contrario, para ionesrnoviéndose egúnel eje de un acelerador ineal,

tll





542 Interacción maqnétíca

usando a ec. (15.17) ,

F' : I ' | , r r , )J¿t ' .

Ahorabien, r i x )J: -un-iJ,donde ¿¡esel versor e a I,. por ousandoa expresión15.41) ara /J , ¿enemos

III\

Fig. 16-31. A racr , idn

(b)

¡zrepul;:ón

enire dcs c<lrrientes,

(r5.9

tanto

(15,43)

F' r,J(*"^ * )úr,*""(#) I ",: --?,n+#".

Este resultado indica que la corrientc I arraea ra corriente r, . un cárcuroanálogorl e la fuerza que I ejercesobre 1d a el r¡ism,:r esuitado pero co n signo más, cremodo qu e está dirigida según u¡ y también representaun a at¡acción. En resu-men-:dos corríenlesparalelasen el misna sentido e atrqen con fuerzasguclescomoresultado dc su interacción.magnética.)ejamcs al estudiante a tarea cleverificarque si corríentes arulelas ienen senlíd,ospuesfos, e repelen.

If-"'-'t \f\

I rt l

l i| ^ !-I lF¡¡J;l i\\

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J/' /--:

/ ' ./ ' ,f iJ it !

|*¡p*

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Il*{T--- !

Este resultadc pu.ede xten'Jersc corrieirr"ese cualquierforma. Ei esturiellepuede verificar g¡re as cor¡i¡:ntesdc !r fig. ii-3r(ai se atraen, mientras qu e la srie Ia fig' l5-31(b) se repeien. Est¿s inteiacciones entre cr¡rrientesson cle granimportancia práctica en los rnotores eléctricos y otras aplicacionestecnológicas.

Nota eobreunidades: Ai discutir la s unitlaties fundamentares n ra sección 2.3,in9-icamos ue el sistema-cle nidades p."t*ao internacionalmente s e l sistemafKsA y no el sistema

lf l isq,aunquc enia practicano hay diferencia ntre ¿r¡nbos.enenos cros evesoara elegir a cuarta uri'áaa bá;i; ;;r;"p;;;. ademásde la se ongi tud, t t " ia y t iempo..E l lar ,o, r , i , 1 .y r l . c" ;ü;b 'pr . í i " , r t - racción elec-rostática eirtre dcs cargas,dada pcr ia e,:. t4.2¡,

F : K" J9-,



r5.e) Fuerzasentreco¡ríentes 543

y ia tr1'dc int-eracciri¡rerrr, redrs corrientes recti l ineas, datia po r la ec. (15"43,] co n!t ci-'¡r-s+,ante agné,iic;r h.- er.'^ 'ez de ¡i"i4r,

I

- i - - l r , r - -¡t

¡ ' :2x i1i ;N

I

¡ltlt

deñnir el

- l '- .- '

//a)' - -

//

i//j t ll , ¡Iti i

Fig. 1ñ-32. Aparato palaíimpere expcr¡mentaimente.

Flg. f6-88- Balanza de corrientes paramedir una corriente en función de lafuerza magnética entre dos conductoresparalelos.

ñn la flg. 15-33 se muestra una disposición experimental para medir la fuerzaentre rlos conductores paralelos, Constituye vna balanza de corrientes. La misrriacorrienti) pasa pc r lo s rlos conductores, de modo qu e F :2 x 7A-1 zL' lR. Primerose equrl ibra 1a tralanza cuando no hay corrientes en el circuito, Cuando po r éstecircl: l¿¡ :crr; i i i l ,c, es necesario agregar pesas cn el plati l lo izquierdo para equil ibrarni levarnente ia balanza, Usando los valores conocidos d,e F, L' y R, podemos en -

contrar el valor de I. En la práctica se usan dos bobinas circulares paralelas.La expresión de la fuerza entre bobinas es diferente.



544 Interdcción maqnétíca $5.14

Como en luncién de las constantes auxi l iai 'es +$ v pr . terrer;;os K": l i {reo y(^: ptof4:t, e deduce qu e e. l cociente entre estas ,.losc¡, 'nst¿urtes s

K"1" -- r .K^ €ofro

-"t

donde ¿: 11f ; ;C Esta const.antees lqu;r l a la vt ' loc i , lad rie ls lu z (c de cuaiguierseñal electromagnética) en el .racio. conro se denrcsl.raráen e! capttulo 19 . La cons-

tantc c ha si. lo rr¡ediCa cxpet' inr.entai i-l l tnte on llran precisión. trn fr¡ncién de ei latenemcs que Ai r - Kmcz: iC?- t, qr-rees el vaior de K. tlado an ¡¡ secr-:ión 4.3..Fis+.oxplica nr¡estra e!ección anterior ¡;ata Kq . ' : l ' ¡cciólt (i t le rjnic)ncespudo pareceralgo arbit-raii;r.

l jn:i rl e las razol-l*s ¡ror i l ' .s , ' ' ' : l l 's ll r i , l t l t icirrr' .; (,.,;,r ' . ,; 'n*1,9rt:ccrnendó e] usodel e,r i .1;erl :. : r ' i i i r l r-1 u; ; : ' t¿i , i i i i ' j ; i : l f r ; ¡ t ¡ l ' . ¡¡ i . ¡¡ l¿l ' r f r r i :1, 'cs ¡ i r ís fár: i l pr*¡t ; l la i un' ¡a i l '4: , ! : ! i i Orr! f l : le v l" : l i : i1 i ; - i : , l . : t tza. i :n l l t - : l l i r : { ' / r i r je i l te i , t ¡ i . te ccnstr l i l f i1¡ i t ) : , i l :Ón,J t caiga:, ' l l r , . ' { l i r 1n fu: l : : l e i i i r ( -( i i - r1 ui t i ' -1}. i ' \ i ¡ : ?r i rbi l r 'g i} , r '1úsi i i r :l I ¡ ¡nto dc r . istai is lc, t , * : aí ' : r t ' { . l . r i } t ie el iga l- ' : t - ¡ ' i : r - .t ;1, . l i r l : . , '1r¿r : l l i t : r i :1r '¡ 'Olt : r . :n l .e. }--}e ¿¡ i j t ¡ r n lardos.is. i l to fr : l l i jsr)¿j i j t i j f ¡ . i iat iCr. :¡ i i ' r i : fy r r . i ; ¡ ' i ; : i r . ' r " los sis; ; t ¡ ' t¿¡S i ! i {SC } MI_{-S-1 _eír ; ' !qJ.Tr¡i; i t¡rt,-:1.

15.1* Caxe.pct mfrgr¿{,ticr} de un¿p" $"ffi-ente (ireular

Considere¡nos hora una corriente circuler Ce radic a (fig, 15-34), El cálculo del{;a;npo magnético en un puntc ¿rbit¡ario es un problema matemático algo com-plicado; pero en puntos sob re el ej e de la corriente, dicho cálculo es una tareabastante fácil. Veamos primero que la ec. (15.37) puede interpretarse matemáti-

FlS. 15-84. Cálculo del carnpo magné-tico a lo largo del eje de una coriienter:ircuiar.

camen¿e icie¡rdoque el campo maguético esilltante lJ producid$ ior Jaccryienteen P es la suma de un gran número de contribuciunes elementalesdill de cadauno de los elementos de longitud dl que componen el ,circuito, Cada contribuciónelemental es

dn __ yo 7 J:J_!:_ ¿¡.4r 12

Sin embargo, esta ecuacióndebe considerarse ól o en relación con la ec. (15.37)y no como un enunciado ndependiente.

En ei casode una corriente circul¡r.r'"i producia vectori¡rl rtr.yX ü¡ de la fig. 15-34es perpcn{iicuiaral plano P.tL'¡, ' i. i.-rii,-, mi'i}ul*

u¡ i idadpc,rque os

dosvs¡sores

son perpen,Jicrilares.lor lo tanto. ri carnpo d':13 roducido po r el element o de

¡

III)





En la fig. 15-35se ha repre-sentado l campo raagnético de una corriente circular.Ocurre un casomuy interesante cuando el circuito es an pequeñoque el radio a

puede despreciarserente a la tiistancia .R. La ec" (15.45) se reduce entonces a

M : I(¡caz); Iuego

1r-, v&-" ' - 2*1o"*Rz¡s'z '

646 Interacciónmagnétíca

! ' {g. I6-:Jr. í i ' - r iv¡ .¡ iúmeir<l r le ta i-r-gentÉ:s.

M v$ po(2II), - : - :_-

2 nJ?3 4 aRg

ñ) Fo 2/!f cos 0 ^d Fo M sen 0-ür : --:- -----:---, -ijo : -7

4tt , { 4n , '

'rr"-;r-v

' ,--4

(15.10

(15.4s)

(15.46)

Cuando comparamos a ec, (15.46)con la ec. (14.46) co n 0 :0, es decir, f. :

$l4neo\(2plÉ), vemosqu e el módulo del campo magnétic o a lo largo del eje de lape.queriacorriente es iddntico al carnpo eléctrico a lo largo del eje Ce un dipoloeléctrico si hacemos cor"responder ¡r.o/4r')Me pifr.er. Por esa razón el circuitoce dencmina dípola mdgnélico.En consecuencia, odemos ar¡iicar a u n dipolomagnéiico las ecs"(i4.46) y (1a"+?) correspcndientesa un Cipelo eléct¡"ico. esul-tando para el campo rnagnético fuera del eje (fig, 1t36),

(r5.47)

En el capítulo 14 vimos-Que as lineas de fuerza de un campo eléctrico van delas cargas negativas a las'iiositivas o, en aigunos casos, desde o hacia el inlinito.Por el contrario, podemos ver en las figs. 15-28 y 15-35 que las líneas de fueuade un campo magnético son ce¡radcs enlazando la corriente. La razón de estoes que el campo magnético no se origina en polos magnéticos. Un campo de estetipo, que ¡ro tiene fuentes puntuales, se denomina solenoidal.

EJDMPL0 75.8. Estudiar el galoanómetrode langentes.

Sotucló¡: Un galvanómetrode tarrgentesconsisteen una bobina circular (flg. 15-37)que tiene N vueltas y por la cual-circuia una corriente f. Se coloca en una región

donde hay un eampo magnético ]J de manera

que un diámetro de la bobina sea paralelo aIJ. La coniente f produce en el centro de labobina" rin campo rnagnético dadc po r la ec .(15.44) con R : 0; es deci r, ¿oI l2a. Y po r tenerN vrreltas" el campo magnético total producidoen el céntra es'.)Jc p.6IN 2a . Por consiguienteei campo magnético resultante )J'en el centrocie a bobina forma co n el eje de la bobina unángulo 6 dado po r

tg 0 =, 1ll])" - 2a-))i¡loliv".

Si se cr¡lcca un a pequeña aguja u:agnética ener cenir¿.idr la bobina, girará y quetlará en equi-i i i . , ; ' i+ c:¡:.: l r;do ri .nángui,.r,3:9n 6¡ eje. Esto no s;:]iarii;tíi r¡rcrlir el r-ra¡¡po xterno c,Usi ccnocemcs

il : r:r'a¡i t '=¡¡. c, i :rvtlsamente, meii ir la tor¡ien-te I si cü¡r$cetnos el carnpo ']J. Norr¡almente,

1

t1If;)



' . , fes e.lcampc magnéiir:o terrestre. Para mediciones <.le r*eisión debe corregirse laIt irrnula para [ener en cuenta l lr l i rngi iu<i f ini la de la aguja, ya que el cam"po queactúa -colrre l la no es exactamenli ' e! carnpo en ei centio. Ui nó¡nUie "galvanimeiródo ia¡lgentes" se de¡iva- de la fur,ción trigorrornétrica qu e aparece arriba.

EJEn'IpLG t5.9. Estudiar el campo magnétic<.r 4i : una corriente solenoidal.

Solucáón: Una corrientc solenoitlal, o sim¡rlemente un solenoide, es una corrientecu¡npuesta de varias espiras circuiares cogxiales y del mismo radio, todas co n la

t6su*U\T

Fis. 16.$8.

r,5.i0'¡

Ptg. 16-3,q, f.á.lcuio de l campottna corrient.e solerroidal.

Ceryrponagnélíco rJ¿una carfiente círcular 5tt7

debidas a una corriente solenoidal.

L

Hn-l

magnético en un punto P situado sobre el eje de

misma eorriente ng . 15-38).obtenemos su campo magnético sumando os de cadat¡na de las corrientescircularescorrespondientes. n Ia figura se ha indicado elcampopor medio de lfneasde fuerza, suprimiendoalgunas luctuaciones n e l espa-cio entre cspiras.calcularemosel eampo de l solenoideúnicamente en puntos {u eestán sobre su eje.

Iiir !t íig. 15-39 enemosun corte longitudinal de i solenoide.Si I es la longitud

-v -{ ei núnero de espiras,el número de espiraspo r

unidad de iongitud es Ni r yei núr¡rero de es¡rirasen una secciónde longituti tll? es (NiI)dR. Podemos calculir jlcarnpode cada espiraen un punto P del eje usando a ec. (15.-14); l campo debido







55 ü lnl¡,,, l r¿'ri t i t , ' :rr :¿.í irrr.

{ l l Iñp{ l i í11! ! : if i j . " l : i . r: r j 1i i ' : . ' i l

Ur i ; l i . , l t ' . . :: '. '

Segt l i i l; r , l i : . i 1 'r.J i; ,

L

!1E ,3fI I ¡, í t

'; I r ' ¡ r1¡ i - r i : : . ; r i i , i. ¡ , : : : i : : i-, {, t 1: lAii! }í : : : i t i i l i j

. . : r: i : ¡- ' , . , t : ,1. :1,. , r-. 1. . ' : ' i . r; ;1 t ; ; l1f i , i : i . { : 4: it ,

. . i tn tI . 'd!u i \x?a,

( ! ! . - . ' " - 4 -, ' - ' -- . - : - .4r. fz

i1i . i2)

i1 : j . ; i : , )

Fcro rccor t ian( loas ecs. i5"12i : r ( i5 . i : j } y el l :echo je r¡ucdV - Sdi , tenemas3 :,ltrr ¡; j ==nqD, lo cnal d;l

l:¡rr 1o tanta

{ dl uz. : (_lS)di wp : j dV - nqú d,\i.

,5:ggg?J_Y'_, , , ¡ ' ¡ .4r J

tl nur:rtr+ rl e ¡rrlrctri i i ¡ eri ei vol l¡nre¡r d\/. nuJt:tr:as ,nlerprdur

ci ie;uit¿ri i* a¡l . i j trr rl l ¡: icntl ,; í;ür .¡t i !.r parl i{rulacaigad.i ,nradi: ir {r n e} i i¡;¡rto . ,1 it ig. l i . ,-4i) tr ¡J"r¡1!Pr] f ¡ ] r r i t i r : i i :1J d: r l r . pr,r

¡'i .-- if t: q'11 A in r]J

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i l i : l l i-.i,-rlr ' '^ ]o rs

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i -r

' ¡ r. ; , , ; ;3¡. . i , ' . ! r, : i : ¡r j lP¡i l l ir: -¡] . ¡:j: i ¡ 1: á ¡. . . J :1..1

i:r i ' : ¡ ' : :¿;J; it i ' . ic: :s d¡ ' t t , ' t i : l i : : t , t : t i i i l ¡ ic t ' s ¡! ' r: ' l i i -

lr l t . ; t . t" . ' ) l . " r r : i r : " l ; i l i . ' I - ' . . ' j ; ¡t ¡; i , ' ¡ iq i ' -; t , . ¡: l l :

: -' , . . , . i i : ._: . . , i . ; .. ¡1. . i i i . , rt t . , t . !. l . ¡ ; , i. i t t i l i ' i r : j :¿i,_

I.--,!-

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l)r ; : l i . j ! -:^ ; : ' ;1 ;f:

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i ¡t i ' ' ' i j ¡ . i ; r . ' " -; -

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i i . . ' ruo-.¡ ..

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t'::i í;

¡: i! . ; ) .-¡







l .q t9\ Eleclromctqnelisnto el príncípio de relatiuidad SS J

vador o' mide un camp0 eléctricoc" y un campo n-ragnético l ', el campoeléctricoque mide O está dado por

c" =-c;. (u : ' ,.u-j- ' t) '- f , ::;-!=L!íL. (15.59)V1-¡¡zfcz l / l -uz¡¿z

Si la carga Q, en vez de estar en reposo con respecto a O', está también en

movimiento respectoa é1,el observadorO' observaun campo magnético '8 , ade-más del campo eléctrico '. un cálculo similar pero má s trabajoso* da en es ecaso

t)',: t),, , ';, -))y--L!!!L, ¡¡'": ))::'ül-'i. (15.60)Vl-D2lc2 l /7-uz¡sz

Aquí también, como o hicirnosen Ia ec. (15.58),podemosobtenerla transforma-ción inversa de la (15.60) ntercarnbiando os camposy reemplazandou por - u;resuita

B, : )J,. ¡¡ - !"---f!'e , )J. )Ljú--!!. fl5.61)l /1-u2¡sz l / t -ur¡¿z

Las ecs. 15.58)y (15.60) ,o sus nversas, as ecs. 15.59)y (15.61) ,const i tuyenla transfcrmación de Lorentz para

elcalrrpo

electromagnético.Estas ecuacionesdemuestran una vez más qu e los campos eléctricoy magnético no son entes se-parados,sino que forman un único ente físico l lamado el campo electromagnético.La separación de un carnpo electromagnétic oen sus componenteseléctrico ymagnét ico no es un procedimientoabsoluto sino que dependedel movimientode la s cargas espectoal observador.En consecuenciaepetimos que no debemoshablar de las interaccioneseléctrica y magnética como procesosseparados, in ocomo de dos aspectosde la ínlerqccíóneleclromagnélica.

EJEMPLO 15.72. Reconsiderar a situación discutida en el ejemplo 15.4 usa¡rdoIa transformaciónde Lorentz para el campo electromagnético, ara relacionar oscampos medidospor ambos observadores.

Sol*cidn.' Recordemosqu e en el ejemplo 15^4habfa un campo eléctrico según eleje Y y un camp o magntlticosegirnel eje Z. Haciendouna transformación cine-i -nát ica u¡r s istemade ejes X ' \ "2 'moviéndose en la direcciónX con velocidadv : CtA, redujimos el rnovintientoal de un a part icula en un campo magnéticosolo. Vayamos un paso más adelanteen este análisisy veamos as implicacionesde este ejemplo dentro de l marco de la teorta de Ia relatividad. En el sistemaXY Ztenemosó., : 6, Cc t" y (' " -= 0 para el catnpo eléctrico,y lJ" : )rv -- 0, )lz : I)para el carnpomagnét ico.Luego, usando as ecs. 15.58)y (15.60) ,encontramosque los camposque se observan n e l s istemade referenciaX'Y 'Z 'son

tí : o, (í : :=.L, c"j 0,l/ 7 - ttzlcz

)'J; 0, )t i : 0.

r Po r ejemplo, s i e l estudiante desea oblene¡ la segunda y tercera ecuacior¡esen ec. (15,60),suge¡imos qu e us e la ec - (15.58) para el iminar r' i

-: 't' ! de Ia transformación inversa (15.59),

y luego despejr ' ): ¡ t t t ; .





15.13) Campo e,ieclromagnéticoe una carga en movimie¡tlo 555

campc eléctrico con respectoa O en la forma

C, : t '" : 0' , . ' 'u- - ji =- : - --¡-{t - ¡ ¡ }z 2neol l l t I - i ; ¡sz

-2neoR'

Análogarncnte,as ecs. 15.61) an as s iguientes ompon€ntes el campo magnét icorespectoa O:

t j , - yv:0, y" : - -y i , ! l i : - : - - - ry\ ' - , , - - r 'q l - -Y1 -- t):-k' 27euR[ - utk" - 2nll'

clonrlehemos usado la relación €opo 11c2. n consecuencia, o sólo obtenemoscorrectamente l campo eléctr icoen el sistemaXl'Z r) euna distribución rectilfneade carga,s ino que tambión,usando a ec. (15.37) omo punto de part ida, hemosencontrado a expresión orrectapara e l carnpomagnét icoproducidopor una co-rr iente rect i l f ca. que habf sido obtenido previamente {ec. (15.41). Podemosconf iarentonces n que la ley de Ampére-Laplace15.37)es compat ib le con losrequisitosdel principio de relatividad y que da po r lo tanto el campo rnagnéticocorrecto asociado on una corriente elóctricacerradu.

15.13 Canryto eleetrontagnético de una cargú en tnoaitniento

En el capitulo 14 vimos que una carga en reposo produce un campo eléct rico( ' : (q l4nesr2)ur , y en la sección15.11 señalamosque cuando una carga estráen movimiento, produce,además,un campo magnético cuya expresión sugerimosqu e serÍa )J : (¡ro/4n)qo urlr2, Sin embargo,de acuerdo con la secciónprece-dente, los campos ( y '11 deben estar relacionados or las ecs. 15.58) y (15.60).En consecuencia ebemosempezar,desdeel principio, con un cálculo relatiüstapara obtener la s expresiones orrectasde t y '] J para un a carga en movimiento.

Consideremosuna carga q en reposo con respecto al sistema de referenqiaX'Y'Z', y que se está moviendo con respect o a XYZ co n velocidad u paralelaal eje X común. El observador O' no mide campo magnético alguno, sino sim-plemente un campo eléctrico, como se señaló anteriormente; por lo tanto'D'r : 'Hi : ' lJ ' , :0 , o sea ') r ' :0 ' Luego, las transformaciones15.59) parael campo eléctrico dan

C, : fi., t, : --!+=: , ('" : -:!:. (15.62)V1-ü¡cz Jfr-uz¡cz

Las ecs.(15.62) ndican que cuando os observadores , que ve moverse a carga,yO' , qu e la ve en reposo,comparan sus medidas de l campo eléctrico de la carga,obtienen a misma componentedel campo paralelaa la direccióndel movimiento,pero O obtiene una mayor componente perpendicular a la di¡ección de l movi-miento. Análogamente, las transformaciones 15.61) para el campo magnéticodan, si usanos Ias ecs. 15.62) para escribir as componentesdel campo eléctricorespecto a O,

iJ" o, ,t, : - Llt, tJ, t' . (r5.63)



556 Interatcíón magnétíca (15.13

la s cuales on equivalentesa '? J t x (' l*. Esta ri:i¿ciónes dt':ntica la ec. (15.54)que, como se señaló anteriormente, ts la rclacióri cutre ius campos eléctrico ymagnético de una carga moviénciose or.¡ 'rlcciCari co¡¡stanten. relación qu e esválida para todas las velocir iades.

t' l

Fig. 1á-i14. Transformación relai ivisia de ias componentes del campo eléctricopro;jucido po r una earga q en reposo rcspcr:lo a O' y situ¡¡da en O' ,

[,as cbservaiionesde O y'de O'se comparan en ia fig. 15-44.Si la carga estáen O', el absen'ador O' mirie en P' (sobre el plano -X'Y') un campo eléctricodado po r

¿. , :q

uJ__,Q_r"4nenr'? 4 ';eor'3

El ohservadorO ve el mismo punto en el piano XY pero. debido a la contracción

cle -oreni.z, a coordenadaX rJtr l runtc pareceacortatla en el factor / 1_úlr',mientras que ia coorder¡ada ' l ,er ry¡aner : :.gua! .E,s decir , Í =- Í ' l 1*u2lc2,

A: ! ' . f "uego,el ángulo I que ú| forrna con OX es di ferentedel ángulo É'qrreO'P ' fo l rna con O'X'( f ig . 15-aa) .F. ,mpleandoas ecs. 15.62) , emosque el campof qu e O nide. en P tiene rlna componenteX igual a la medida por O', pero la

componenteY es ma.vorcn un factor 1¡N' , - -L*¡ iL El resLi l tado s que f formaco n ei eje X el mismo ángulo 0 q'.te . Pcr io tanto, respecto al observador 0,el campo eléctr icoyace también en ia direccrón adial. Sin embargo, el campoya no es estéricamenti.. jnrétric{i con res¡recto a O. tin cálculo simple y directo(ver el e jemplo 15.1,1) uestra que

n 1 - n2l r2¿ -Á;i,; ¡ -ffi;.i, n,ro"' (15.64)

El factor que conbiene enen 0 haceque el campo cléctrico rlependade a dirección

de l vectar de posición r. Así, a distancias guales de Ia ca rga, el campo eléctrict¡es más fuerte en el plano ecuatorial (0 : n/2), perpendicular a la dirección del











j lL . i + ' t¡JrriQS en mqilimicnl',:t 5íJ

i :ne las part icr l las irl"teractilcí! C,islartri.a;s ciecir .si le carga g (f-rg.15.47')ser i t i t r . - : ' i lcn velocidar i , el ca¡ l r ; ' i i lect rc i r ragnét i r ; , rl r req prodoceen A al t iempo I, ,s, , ' l resul tad<l e i : r s i tuacir ' ,n1" icael¡ e! espacioc¡rcundantedebir la a la pre-sencia lc la ceriga :n la r.¡i¡sir:ii,. i tt\ t i-:mpo t, simultanea;nenteon ia obser.,'a-ción r:n A. trn otras palabi."rls.--odeinosupo!;.i que la interacción electromagné-tica .i ¿ propaga n-slaniánearnrnle co n velocidaC lrt lnita.

Otra si iposición a"zonables que la interacciónelectronragnética s el resultadot1e ciertas " señales" intercambiadas po r las partículas interactuantes, y que la"srñ¿i" se ptapaga con uelocidadíníta c, lo cual requiere un cierto tiempo paraalcanzar un punto dado en el espacio.Si la carga está en reposo, a velocidadfinita de propagaciónde la "señal" no t iene importancia ya q ue las circunstanciasIisicas no están varia.ndoen el tiempo. Pero para una carga en movimiento lasituaci<ines diferente y ei campo que se observa en ei punto ,4 al tiempo / nocorresponde la posiciónsimultánea de ia carga en P, sino a una posición ante-rior, o retardada,P' al tiempo /', tal que f - / ' es el t iempo que tarda la señalen ir de P' a A con velocidad c. Evidentemente P' P : u(l - f ').

Como veremosen el capi tu lo l9 y lo mencionamos a en var ias ocasiones,Ias interaccioneselectrornagnéticas e propagan con la velocidad linita c dadapc r la ec. (15.55). Esto elimina ia acción a distancia, por lo qu e e! análisis del

campo electromagnéticoproducido por una carga en movimiento requiere elsegundo de los enfoquesdados más arriba. Como c tiene un valor tan grande,el efecto de retardo es despreciable no se r qu e la part icula se mueva muy rápi-darnente.Es po r esta azón que no se consideróel retardo cuando en el capitulo 14estudiamos el movimiento rie partículas cargadas.Se supuso que las cargas sernovian muy lentamente, de modo qu e PP' fuera muy p equeño comparado conP¡l. I-ln efecto similar de retardo de biera exisl.irpara la interacción gravitacionalentre rnasasen rnovimiento ¡elat ivo; sin embargo, aún no se ha deterrninado avelocidad de propagación de señalesgravitacionales.

;\l escribir la ec. (15.35) no tuvimos en cuenta los efe ctos de retardo porqueun a corriente eléctricacerrada produce un campo rnagnéticoestacionarioo inde-pendiente del tienrpo. La razón de esto es que una corriente constantey cerradaes un cirorro de partí culas cargadas,y si éstas están espaciadasuniformemente

y se rnueven con la misma velocidad, la situación física qu e se observa es in-dependiente del tiempo" Por otro lado, se puede verif icar que las expresionesrel.ativistas 15.58)y (15.60)para Ios camposeléctrico y magnético de una cargaen rr¡ovirniento,ya incluyen el efe,:to de retardo.

Consideremos hcra dos cargash J gz qu e se muev€n con velocidadeso, y o,respectoa un otlservador nerciai O (fig. 15.48).La fuerza quc la carga qr ejercesolrregz es, de acuerdo co n o que O mide, Fr: qr({', * a, x }Jr),donde{', y ¡}J,

so n los camposeléctr icoy magnéticodebidosa q1 qu e O mide en la posiciónocu-p:rda por qr. Por otra parte, la fuerza que la carga qz ejerce sobre ql es, segúnlas rnedidas de O, F, : gr(t'z * Dr x )J). Comparemos rimeramente as partesrr¡agnéticas e F, y .F.r.Ei término o, x l)1es perpendicularal plano determinadopor ¿'^ '-}3r, oientras que Di x )J zes perpendicrrlaralplano de qy'132. En con-iccueiicia, ¡:g.tosérminos tienen en general dirección y módulo diferente s. En

'" ' lsl-a e Ia ec. ( i i . .64), la s partes eléctricasde F, v de F, tienen también difere¡rte



562 Interaceíón magnétíca (15.14

módulo j, si las cargas están aceleradas,direccionesdiferentes, Concluimos porIo tanto que

las fuerzasentre dos cargasen mouímienlono son ígualesen móduloni aclúan en direccionesopuesfas.

En otras palabras: la ley de accit in y reacción no es válida en presenciadeinteraccionesmagnéticas.EsLo mplica a sl l vez la conservación el mornentum,del mornentum angular y de la energíano serjanválidos para un sistema de dospartículasen movimien to. Este fracasoapcrente e leyes an imporiantes se debeai hecho siguiente; cuando en el capitulo 7 cscribimos a ley de conservación elmomentum e¡r a forma Pt * Fz : coilst.,estábamos ansidera¡¡d o ue O medíasimuilaneamenle t, y f¿ ; sin cmbargo, eu presenciade una interacción que sepropaga con velocidad finita, el efecto de retardo requiere que ia rapidez conqu e cambia el lnomentum de unt parlícrrla en un ins',antedado no esté relacio-nadr con la dei momentum dc ir otra particula en el mismo instante, sino conia correspartdie.nle un inslanle anteríor, e inversamente. No poderrrosesperar,entonces, eue pr -i- p2 sea constante si los momenta se determinan al mismotiempo.

El estudiante recordará que, según la sección7.4, podemos describir el resul-tado de una interacción como un intercambio de momentum ent¡e la s dos par-

Pz

ticulas, Para restaurar a ley de conservación el momentum,debemos ncluir el momentum que se está intercambiandoentre las dos part iculas y que, en un instante dado,está via-jando entre ellascon una velocidad inita. Esto es, enemosquetener en cuentael momentum "en vuelo". Decimosque el cam-po electromagnético transporLa este rnomentum y lo designa-mos con pcampo ng. 15-49).Por lo tanto la ley de conserva-ción del momentum requiere qu e

Pt 1- Pz * P"rmpo : cooSt. (15.68)Flcurg 16-49"

Análogamente,debemosatribuir un cierto momentum angulary una cierta energia al campo electromagnéti co {in de res-taurar los dos principios de conservac ión orrespondientes. ospondremos astael capitulo 19 la discusiónde cómo se obtienen el momentum, el moment¡mangular y la energíaasociados on el campo electromagnético.

El estudiante recordará qu e en la seccjón7.7, cuando presentamosun a apre-ciación crÍtica del concepto de fuerza, señalamos ue la ec. (7.5) se debia consi-derar sólo como preliminar, sujeta a una consideración ltcr ior de la mecánicade Ia interacción.Esta revisión se ha incorporildoahora en la ec. (15.68).Es po resto que el concepto de fuerza adquiere importancia secundariay es necesariodesarrollar écnicasespeciaies ara analizar ei movimiento de dos particulas eninteracción.

EJEIIIPL0 ló.1G. Comparar la interacción nragnética entre dos cargas con Iainteracción eléctrica entre las misrnas"

t i( i

i,t*-*

/-zo'9t



Bibliografla 563

Salucion: Cnmo qucrerros sólo órdenes de nragnitud, simpli f icaremos la esc¡iturade las fórmuias. l ,uegc,, dadas las cargas q y q', podemos decir que la fuerza eiéctricaejercida po r q' sobre g es qt' . I l l canrpo magnético producido por q' en q es, si em-pleamos la ec. (15.54), del orden de magnii-ud de u'( lcz. La fuerza magnótica sobreia carga q es , usando Ia ec . (15.1), del orde¡l rie magnitud de qtr(u'{lc2) "' (uu' lcz)q(.Por lo tanto

fuerza magnética uu '

f* . . . lé. t t ' t * = c '

Asl, si las velocidades son pequeñas respecto a Ia velocidad c de Ia luz, la fuerzamagnética es despreciable frente a la fuerza eléctrica y se puede ignorar en muchoscasos. En cierto modo, podernos decir que el magnetismo es una consecuencia dela velocidad finita de propagación de la s interacciones electromagnéticas. Por ejem-plo, si las cargas tienen una velocidad del orden de 106 m s-r, qu e corresponde ala velocidad orbital de lo s electrones en los átomos, tenemos qu e

fuerza magnética

f"""r^"lé"t.ia^

: ru"

A pesar de su valor pequeño respecto al de la fuerza eléctrica, la fuerza magnéticaes la que se usa en los motores eléctricos y otras aplicaciones tecnológicas, po r lasiguiente razón. La materia es normalmente neutra eléctricamente po r lo qu e la fuerzaeléctrica neta entre dos cuerpos es cero. Por ejemplo, cuando se ponen dos alambres

juntos la fuerza eléctrica resultante entre el los es nula. Si se mueven lo s alambres,la s cargas positivas y negativas se mueven en el mismo sentido, por lo qu e la co-rriente total en cada un o es cero, siendo entonces cero la fuerza magnética resultantetambién. No hay po r lo tanto ninguna fuerza entre lo s alambres. Pero si se apl icaun a diferencia de potencial a Ios alambres, Io cual origina un movimiento de la scargas negativas respecto a las posit ivas, se produce una corriente neta en cadaalambre que da como resultado un campo magnético. Como el número de electroneslibres en un conductor es muy grande, su efecto acumulado produce, aungue susvelocidades sean pequeñas, un giran campo magnético gue da como resultado unafuerza magnética apreciable entre los alambres.

Aunque la fuerza magnética es débil comparada con la eléctrica, es todavla muyfuerte comparada con la gravitacional. Recordando la discusión que hicimos en lasección 14.6, podemos decir qu e

interacción magnética

interacción gravitacional

Para velocidades comparables a la s de los electrones orbitales, este cociente es delorden de 1032.

x l}ss "uc2

Bibliografía

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2. "Radiation Belts", B. O'Brien; Scí. Am., mayo 1963, pág. 843. "' Ihe lfass Spectrometer",A. Nier; Sci. Am., n)arzo 1953,pág.4. "200 Ma¡r-Years f Life; T he Story of E. O. Lawrence", D. Wilkes;

Teacher&, 24 7 (1965)5. "Particle Accelerators",R. Wilson; Sci. Am., marzo 1958, pág. 6.1

marzo 1959,

68The Phgsics







56 6 Interacciénmaqnética

iguales y de carga opuesta, colocadas a2 cm una de otra. Cuando la diferenciade potencÍal entre la s placas es 300 V,no hay desviación de la s partfculas. ¿Cuáies la velocidad de la s part Íc t : las?

15.15 (a) ¿,Cuál es la velocidad de unhaz d¿ electrones cuatrdo la inf luencia

.; lmulthnea de un campo ek'cl.rico i l¡rinren¡;i l ¡ri l 3,{. r 10 ¡ \r rn-- i :i ( lc :rr'¡calnp.r i i ragnói ico ciel2. t l T t re, >ei l : i i t ' i i .la r ,: . rl .i a l h i . ¡2, f l ( f p i{Jt l i i ( ' { : 1 l . rr ' ' ¡ ;1¡ i ¡ , r i i

; - i ig, , ¡¡¡ r ' te lO.. r t ; { 'Ci in}res? l} ;} i i ' l ' ' i . r l ¡ t 'i , ; : i ; i i i i i : lgrai l ia l ;1 cr icr i : r ¡ i , i : l re l : ¡1, . . ' : :

i l : ' lo: : t rcctulr , : : a: " r" ', iJ . i r ' ) ¿Crr: : i ,: e. i¡¿i¡1!¡ : le Ia í¡n, i i : ¡ e ie¡: ! ¡¡ ,n ir . '¿r r ' ¡ i i r ' id{;a). .1:rrrp¡ ' i l rc ci c; t t r ¡ ; r t l l t i r t t ' ico I

i i .1í . i 'L,rre part- i t l r ia i l , : lna.st : ; ,ü. ' . j l - : "-

Ig t ;* : t i : urt :1 r 'a¡ '¿{a t* 2.:- ' ' . . . I t } -* C. i : t :ie irnpr lrrrc t i r l ¡ l ic i ¡ 'c i r l l i l in i r : ¡ : r l t r , . i i -z i ln i . r l d(r t i ,ú x 1.0a tr ' t t -r .

¿{ iu i i lcs so}iel rnóduio y la direeción del carnpc rrrae-nél. i r :o mínimi¡ qu e ¡nantendrá la par-

t icula moviendose en una dirección ho-r izon|aT, equi l ibrando la fuerza gravi ta-

ciana. l de la t ierra?

15.11 En un espectrómetro de masastal corno el qu e se lustra en la f ig. 15-12,una diferencia de potencial de 1000 Vhace qu e iones de 2alfg co n carga l- edesc¡iban una trayectoria de radio R.(a) ¿Cuál será el radio de la tral 's¡¡o¡¡,descrita po r los iones de 25Mg si se lesacelera a través del rnismo pctencial?(b) ¿Qué dife¡encia de potencial harÍaqu e los iones de $tr{g describieran trnatrayectoria del mismo radio R? (Srt¡ro-ner qu e la s masas son, en i lma, iguales:rl número rnásico indicado como super-fnr-j ice a la izquierda del símbolo quf-mico,)

15.18 Un espectrómctro t le l ¡asas t i i :neun \¡oltaje acelerad<;r de' 5 k\r -v ¿l ncarnpo nrrrgnético de 10-s T. Enconlrarla distancia cntre los dos isóto¡:os €¿Zn

y loZn de l zinc. Por distancia entende-mos la separación de las dos manchasque aparecen en Ia ernulsión de la placafotográfica después que Ios iones rleu"Zn y ToZncon carga -f e son acele¡adosprimero y luego obligados a rlescribirun a seü!icircunferencia. Ver f ig. 15-12.lSugerent in: no caicular cada uno deIos radios 's ino obtener una ecuación { jüe

dé directamente la separación. (c) (la!cu-la r la velr ic i r lad t ic los ioncs para ver s i

será nccesario hacer una corrección re-lat iv is ta. I15.19 El espectrómetro de masas deDen"rpster, i lustrado en la fig. l5-t2,empie¿ un campo magnét ico para sepa-iar iories qu c tienen ¡nasas ti i ferentesperrr ia m.isniu energia. El espectrómelro

d¿ nrr¡s¡r.s e IJnínhtidge (l ' ig. 15-5:3) es,.r t rr ; is¡rt ,s i t rr posi i r lc que separa i r l ¡resr¡i ir ' f i i : i rci l la ¡¡¡ls;r¡auelr,ci: lnd^ )espuósi i r ' ; , l r :1!cs¿¡l as iendi j i rs , lüs iones pasanJ)t)I r-ln i l !¡,. i rrr de velo..,: i rlai ies .). in-l l l :11ry dp u¡: r¿i i r ' l r¡ r . iér: t r l r 'o 'pr. . r i iu-r: idr-r¡¡¡ l Ji ls i : i :rl : i is cargadlrs ,t )' l t ' , yr : f t i rr ( i¿¡rnl i ) n¿gnrt ic(! ) / ¡r*- ' l 'pei ; i i i r l r iari il r ' t t f : i ) t ' t l r : t t r i . u. I . r 's ion,- 's l l te i r¡¡r¿¡¡r r i . i ¡r l r . i ¿i , : :os ca¡rpos cruzados si l l dcs-.,¡;,¡st i : l l l ra;r f-' t l ul t.1 rcgit i t i rionl lc hayri rr segundr- i anpo rlagnét i ro )J 'dcscri -i r ie;rr i t . ¡ r l i i tas sernic i rculares. . lna placafol .ográñca F regist : 'a su l legada. Derr¡rosfrar qur: qlm : t lrl)i) ' .

15.20 El carnp,r eléctrico entre las pla-ca s del selector de velocidades de unespectrómetrc¡ de n rasas de Bainbridgees 1,2 x 105 v m- l y ambos camposmagnéticos son de 0,60 'I". Un haz deiones de neón con carga +e se mueve

Placa r

Figur¡ ló-irf|

en una trayectoria circular de 7,4 cm deradio en el campo magnético. Determi-nar !a masa del isótopo de neón.

15.?1 Suponer que Ia intensidad eléc-tric¿¡ cntre la s placas P y .P' de laf ig. 15-53 es 1,5 x 10a V m-¡ y que

arnbos canrp(Jsmagnéticos son de 0,50 T.Si kr fuente cr¡ntiene los tres isótopos





568 Intcracción müqnelicü

problema se clenumi:ra ki le r",o'¡néíica

¿por qué? ie' ' ¿Eit rlué i i i f ierel ia s tralt ' l ;-torias de lo s elel:+.rcnes ne lia-a.n por: : )oriqen forntando ur i ángujo 0 1'o; ei: i :: i i ' . :del eje y ias de lo s qite pasan ioi: l ianrloel rnism{-¡ ángu}o po r debajo riel t ' je ?

1i.29 5e inyectan iiror.ones c¡ : i l l fe i

de ei:ergia a un cierto ánguio coli i ' r 's 'pecl.r) a ltn canlpo nragnétl.co unifot'-:;r:de 1 T. ¿A qrré distancia volr"¿r:án ¿¡particul*s a rin pun!-o coriiún i1e ititer-s¿ceión con el eje?

15.30 IJna partlcuia rle carga g v -;elo-c idad.un (seqún el eje X) entra .n ui ¡¡regiÓn donde hay un carnpc r!-¡íi¡4!1'ili{:o(segúir el cj e Y,i. $!o'; irar que, s! l¿ '¡r: i i l -cidad uo es suÍici+:rite¡.rel1te ru-nde íiui'Ilripa¡a que el ca¡nbio de dire¿ción ct adcspreciabie .'" ' a fuer¿a magnéllca iepueCa considrrrr col is tart te ¡ )araietaal ej c Z, la ecriación d€ la trnyecLoria dela partlcula cs z == (qül2vom)xg.

15,31 Una particula de carga I Y i¡t:-locidad uo (seg,1nei eje X) entra en unaregión (ng. 15-56) drlnde hay un campoeléctrico y uno magnético uniformes enIa mlsma dirección (según el eje Y). De -mostrar qu e si la velocidad a, es suffcien-temente grancie como para que el carn-bio en su dirección sea despreeiable y la

tII

I-entosRápidos

I{

i l lc¿s l:!¡. :znt¿tj ja ¡:cr:,t ' trl ic"lar a1 ej e -Y ,iodar le r Il :t i t , i i : :s 1ir. i t ,¿og&Ir l mismoco¡ic¡rte ür, 'n ¡rcidiráir a lo largo tle t inapxrábola rirt ia, intlcpendientemente de.;u teioc,t ' lerl inici: i l . i jor lo tanto habrául a paribtla para cad* lsóiopo presenlee; r el ha z inl iCe¡rte,

1i 32 Lina n-irt icula de cai 'ga q y masa¡l) se l íuel 'e erriLe dcg placas paralelasr' tr 'Éadasy separariasa una distancia ñ.Sc aplica un canrpo nragnético ulti formep;:raleio a la s plac.asy dirigiclo como seintl ica en ia 1ig. 15-57. Inicialmente ia¡rartlcula esiá en reposo sobre la placainf,:rior. la) EscriL¡ir ias ecuaciones de

Ficura 1ó-í¡7

movimiento de la partfcula. (b) Demos-trar qu e a una Cistancia y de la placainferior, p" : (qlm)'Bg. (c) Demostrarqu c el módulo de la velocidad está dadopo r a2 : 2(qlm)Cg. (d ) Co n lo s dos re -sultados precedentes mostra¡ queus : (qlm)trzÍ2{'J -(qlm)'"}3'gz|tt, Y gueIa pa.rtlcula pasará rasando la placa su-perior si ( : \(qlm)'B'h.

i5.33 ll n una tegión donde ha Y uncampo eléctrico y uno magnético uni-formes y en la misma dirección, se in-

yella una partfcula de carga q y masa mcon una velocidad ¿roen dirección per-pendicular a la dirección comirn de lo sdos carnpos. (a ) Escribir la ecuacién demovimiento en coordenadas cartesianas'(b) l'Iostrar por sustitución directa en laecuación de movimiento que las com-ponentes de la velocidad al tiempo Iso¡ L'¿ r,o coS (q'l3lm)t, v, : {qC!m,\t yrrz s€rl (q}lm)t. (c) Del resultado pre-cedente, ot¡tener las coordenadas de lapartfcula al tiempo f. (d) Hacer un grá-fico dc la trayectoria. (e ) ¿Cuál serfa el¡¡¡ovimiento de la partlcula si la veioci-da d iniciai de la misma fuera paralela a

lo s,rampos?

iSuge.rencia: Para la sres-

pue:tas da'Jas,el ej e X está en la direc-

Isótopo

pesado

Fignra 16-50

fuerza magnética se pueda considerarconstante y paralela al e¡e Z, (a) lascoorrienadas al t iempo ¿ so n c : üof,y : l@{ lm)tz y z : l(quo:l6ln)t2. (tr) Eli-minando f -v uo de estas ocuaciones.obte-ne r la relación z2lg: $(-1131()@lnn)'zr'z.El resultado tiene aplicación en uno de

lo s primero$ espectrógrafos de lnasasqu e fueron <l iseirados,porque si pone-

F&

\2

)

+++++++







srl l tante sobre la €spira y (b) el torqueresultante respecto a O.

15.47 Repetir el pr-oblema prececienteuuando se aplica el r;arnpo rrragnéticosegún el eje X,

15.48 tlna espira circrrlar de radio a ycorriente f está centrada er e l eje Z

y es perpendicuiar a ó1, Se .produce ur rcampo rnag;rético co n si¡nelria axial al-rededor del eje Z qu e forma un ánguic 0co n el eje Z en putrtos sobre la espira(n9.15-63). (a) Encontrar, para cada¡,¡no de ios seirt idos pos¡bles ci e ia cori iente, ei mócluio .r ' la dirección de lal:uerza, ib ) 3u¡roner qu e el c'. ircuito esta n pequeño que se puede considerar(:omo u¡'r cl ipolo magnético y qu e el{. ' Í t¡r¡pi} rragnético sigue la le y de lainversa de l crra¡lrado cl e la rl ist.anciai i ;t =. A' lr?),Demostrar que la fuerza so -L'¡e el circi¡i to es .F' -- r : Xí(d'),)ldr'),i* l¡¡ie M €s sii momento dipolar rnag-:rético qu e está arientado según el eje Z.F,sie resultarrro€s g€n€f&l y rnuestra queurt t l ipr: lo se moverá en la dirección enqtte el campo crece cuando está ol ' ie¡r-tado segirn el campo y en sent ido con-treriü cuando está orientado en sentirloopuesto al ciel campo. {Conrparar eon elresultado sirni lar encontrado para undiprj lo t1¿.t. ico, ser:ción 14. 1. )

Figura ló-63

15.49 (a ) Calcular a velocidadangularde precesióndel espin de un electrón enun campomagnéticode 0,5 T. (b ) Calcu-lar la misma cantidad para un protónen el mismo campo, suponiendoque elespfn de un protón es igual al de unelectrón. lSugerencia:Usar los valoresde y qu e se da n en la página536.115.50 Calcular el momento dipolar

Problemas 571

magnético de un electrón en un átomcde hidrógeno, suponiendo qu e describeun a órbita ci¡cular a una distancia de0.53 x 10-10 ln de l protén. üalcular la'vel¡;t: idadangular de precesión Ce l elec-trón si está en u¡l campo rnagnótico de10-5 t' (lue forma un ángulo de 30o co nel momentum angular orbital.15.51 Calcular el factor giromagnéticoy para un dísco rotante de radio R qu eticne ulra carga g distribuida uniforme-mente sobre su supr:rffeie.

15.52 Repetir el problema 15.51 paraun a esfera cargada uniformenrente entodo su volumen. ISugerencia.. DividirIa esfer¿ e¡r discos perpendiculares al ejede rutació¡r.] Del resultado de est.epro-blema, ¿qué puedc t j , l . conclui r acércade la estrut:tura del eiectrón?

15.53 El gauss es una r¡nidad frecuente-mente usada hasta hace poco para ntedirel campo magnético. La relr¡.ciénentre el

gauss y el tesla es 1 T : 10¿ gauss.Ifostrar que cuando se mide la fuerzaen ciinas. a carga en stC, el campo mag-lrético et r gauss y la velocidad €n cm s-1,ia fuerza magnética €stá dada po rF:{ v 1g*togr:r ) }.

1.5.54 Encontrar la fuerza sobre la por-ción circular del conductor de ia fis. 15-64si ia corr iente es I v ei campo magnét icounifornre lJ está cl irigido hacia arriba"Demostrar que es la misnra que si elconductor fuera recto entre P y Q.15.55 Demostrar que la fuerza sobreun a porción PQ de rur ala¡nbre conduc-to r (f ig. 15-65) qu e ileva una corriente f

y está colocado en un campo magnéticouniforme'tl , es /(F[) x ]J , siendo po r lotanto independiente de la forma de lconductor. Aplicar al problema prece-dente. Concluir de esto qu e la fuerzasobre una corriente cerrada colocada enun campo magnético uniforme es nula.

f5.56 Considerar una espira cuadradade alambre, de 6 cm de lado, cuandopor ella ci¡cula una corriente constantede 0,1 A y está en un campo magnéticouniforme de 10-{ T. (a) Si el plano de laespira está inicialmente paralelo al campomagnético, ¿se ejerce algún torque sobrela espira? (b) Contestar (a) cuando la es-

pira está inicialmente perpendicular alcampo magnético. (c) Expresar el torque





T050 cm

¡/ r :6 Aé

1\|^\i nrt-

100 cm \

l lsi 60cmI ,V-t50 cm

lPl ' Icurs 16-6? Fisure ló-68

15.66 Repetir el problema15.65 uandoIas corrientes stánen el mismo sentido.15,67 Una corriente de 2.5 A circulapor un a bobina de vueltas mu y juntasrlue ieneun diámetrode 0,4 m. ¿Cuántasvueltas debe tener para qu e el campomagnético nsucentroseal,272 10-{T?

15.68 Un solenoide e 0,3 m de longi-tud está constituido por dos capas dealambre.La capa nterna tiene 300 vuel-tas y la externa 250 vueltas. Por ambascapascircola una corriente de 3 A en elmismo sentido. ¿Cuáles el campo mag-nétieo en un punto cercanoal centro delsolenoide15.69 Una lámina conductorade granlongitud y ancho ru tiene una densidaduniforme de corriente i por unidad deancho; es decir, ftotal iu t (ng. 15-69).(a) Calcular el campo magnético en unpunto P a una distancia perpendicular)d por encima del centro de la tira, como

se rnuestra. fSugerencia:La expresiónde l campodebidoa un a ira rectay largade aneho d¡¿ es la misma que la de unalambre rect.oy largo.] (b ) ¿Cuáles eIcampo si d < zu,es decir, si la tira sehace un plano inf initc?15.70 Dos cor¡ir:ntescirculares de lamisma intensidad f y el mismo radio oestán separadaspor una distancia 20,como semuestraen a flg. 15.70. a) Pro-bar que el campo magnético sobre eleje está dado po r

(B : volaz . Ir * I J!!=o\_r,(a2+b2)3/2L 2 (a2+b2)z

, 15 (8b412oz6z ¡ f i ) I

g (a2 + bz\4 " ' l '

Prablemas 573

Ftguro 16-69

donde r se mide a partir de l punto medioentre las dos corrientes. (b) Veriñcar qu epara a : 2b, el campo en el centro esindependiente de ¡ hasta Ia tercera po -tencia. (Esta disposición se denominaóoóinas de trIelmholtz y se usa mucho enel laboratorio para producir un campo

magnético uniforme en pequeñas regio-ne s del espacio.) (c) Suponiendo qu e sesatisface la condición señalada en (b),encontrar el valor de c (en función de a)para el cual el campo diflere en 1o/o delcampo en el punto medio.

15.71 Un alambre largo horizontal A.B(ng. 15-71) reposa sobre la superflcie deun a mesa. Otro alambre CD , situadodirectamente encima del primero, tiene1,0 m de longitud y se puede deslizarhacia arriba y hacia abajo por las gulasmetálicas verticales C y D. Los dos alam-bres están conectados mediante los do scontactos corredizos y por el los circulauna corriente de 50 A. La

densidad l inealde l alambre CD es 5,0 x 10-3 kg nr-r.¿A qu é altura quedará en equil ibrio eIalambre CD a causa de la fuerza mag-nética debida a la corriente que circulapor el alambre AB?

75.i2 Un largo alambre recto y un aespira rectangular de alambre yacensobre una mesa (fig. 15-72). El lado dela espira paralelo al alambre tiene 30 emde longitud y el lado perpendicular50 cm. Las corrientes son /r : 10 A eI¿:20 A. (a) ¿Cuál es la fuerza sobrela espira? (b) ¿Cuál es el torque sobre laespira con respecto al alarnbre recto?¿Y con respecto a la l fnea de trazos?(c ) Encontrar el torque después que la



574 Inleraccíón maqnélícc

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' rr. . r i l : i ' i . : r ' , , . ' t l lr: : : - i ¡ : i - . r ' i l : l l : i . t ' i . i :: :l , '_j ! ' a. ¡

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I ' i : : r -¡ i ¡ ¡ l i i -7: i

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"i i ld ' ' . ' ) ! r l r , ¡ : , r : : : . : r i ; l ¡ ' i U; {) , ' i 0,5

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i, - "r i i - l ¡ , i l r l¿r t l r , ' r ' r¿:rr1.¡ ' ¡ r t ; 'e l : :s Yi '-1, , ' r ' ¡ . : i : : ! ' i t , i r - ' , r t l . : i . : i : i ¡ i l t ! . ' l ¡ i i : r ; .

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a,. i , . i¡ lr ' - i . , i . . :- , , : : i l , l- j01¡r' i i i t : f t ; ' t t l ' ¡f i . t : ¿r i, ,1: .. J :1.:¡.r '. ; ' i ¡ ¡ i i l r ¡ ,1 t le I i ¡6 r i 5 ') , r . . ¡ ¡ -

! ¡ , : : i i31 ' I i i¡ í i , ": i¿d: eit :ct¡ ' ir a y i : ragnt r t r ia,rri : i : r r ; l ( i t ¡ i l t : rn i l i r : un t ¡ l ;servador l i ; r t

:r i -l;t, i; i I r, ' l (i ..:up r- ) i i i t i t , - io c¡rro 1 is .¡¡. s--1

i' : i)r-rr. .uir ait l i l . -. ' ir i t l iAr i lna Vej{-¡(i ,Jail i1o

¡¡ j ' r¡ i1, ! -r¡ ; , ) .i , j ¿i . : rrál s la fuer¿a sügri ¡nr : i i1 .r .1i: . r ¡ .a i . ' t . IL: i l 5€. i i l ¡eVe CC n {(- \S

"ri i ' t i ¡+les' i i r, ' ; {r;;etir i¡ : ani-e;"iorparac.:- , : i r , . i t ut t ¡ r , r i i rc i t lad de 2.,1 .< i0!;, , i - i , \ l : t r I' s ¡ i ' l ; ¡ ' i r ' [5 t4.

' : . ; . .q i , i' ¡ ¡ ¡ , ¡ i i l i , l+ l j t : Ce\ i c1t ' : ¡ ¡¡ : rgia! : : , . . i r : , , in: i r j is i : l ¡ lc i r t ¡ ' i¿ 10-; i l r de un ! i ) :1. ., .a !- i , ; I I : -: r. r ' i ' . ; : :i r . l ¡ l ) r j CCnSi(t i ' t ' , i f CI i

: . . : i ' rr i . : ' . : :1: i' :' i tt . . ", , t ' i i í ' r i ¡ ! l fa¡- ri : , ¡f i . .

. , ' / i ' . , ! .r ; j. ' ' ; ;a: ¡' i i - i . i I l1! i i ) e lé¡ ' t t : r ' : irr:- .

. r , ' . , - " : -¡ . I ; ,1' ¡. . , : l; t : : r { j i ! i ' i !$p. r l : , : j ¡ .1! r i?.

', : r '. i ri t .r ' : : ! ¡ : ; ; . ;rr, ': t : " i¿ t - i: 1 t t r i t i ; : . i t " : : : .i ,

i' : l ; t : i i¡. : i : .n :i r . ¡ r ¡ . i1 ; ! : : , i !r. . : ' ' : i ; , -; ' i : t , l ' , l . ; f t : ¡. : ¡; -: i l { i l . i '" i' r

; i , ¡r i . t ¡, * l ' i ' i , ., , l1 va: - i ; r r l i : i l r i t l : t l¡ "

:-r;e r ' i i f t , r * ¡ ¡ l i r i ¡ r¿. ¡ ¡ rdo que a"s 4sr i l { r i i } { -

ni{' i rtr ai r'e!: ir ' i i .a{ioiei campc dtntro de}á-rrgr,.r' ni:oi l i r[r]u er1 (a). {c ) Rc¡rt ' t i r' l j i , . ¡ , . , ' ; : , ; rat t fcLt la i ¡ j r ' i }3sa q.5 t: ; r ' : , . . -i .:ri¡11ip r. r' i isnia energfa, en ve¡, ie i tnprot l : i i . ( . icr i jE. 15-73.)'i 5.:1 l, 'sarrio )a expr"esirin rciativisia(1.r. i : ) para el calrl l i ! magnéticc de u¡r¿rcar-íir].n rnof i Í] iento, obtener la cxple-

siói i para ei eampo rnagnético de un acorriente recti l í:rea.



15.82 Usando la regla gi:neral para latransformaciól ¡elativisla de i¡na frrerza(probleina 11.29),obtener las tra¡rsfcrrna-ciones relativistas de l ctrrn¡r+ tiectro-magnét ico, ecs. (15.53) ¡" 1i5.60).

!i="a"r iz \,'¡TF-r*"r*\u ' l \

Figurals-?3 / | \

15.83 Usar. ido ¿rs cs . (15.58) y (15.60),prolrar que las cantlcladesC'')J y c'2-?J€son invariantcs respccto a la transfor-mación de Lo¡entz.

15.84 [Ina partlcula de carga g y masa

Problemas 57 5

m se rtlueve en una región donde hav ur rcarrrpo eléctrico f y un campo magné-tico '}3. Demostrar qu e si el movimie¡rlode la partÍcuja se refiere a un sistenra deroor'(: len¿das ue rota con Ia frecuenciade l.a¡nror de la partícula, tot":--qBl2m

[ver cc . (15.7)J, su ecuación de movi-miento se transforma en ma':q[f f (mi

4)@t * (or * r¡¡. Estimar el valor de(o¿ para un electrón y verificar que elúltimo término es despreciable. En estaaproximación, la ecuación de rnovimien-to de Ia particula en el sistema rotantede ejes es no' : qf. La comparación deeste resultado con el ejemplo 15.4 nosmuestra cómo elirnina¡ eI efecto de uncampo magnético. [Sugerencia.' Emplearlas fórmulas de la sección 6.4 para cx-presar la velocidad y la aceleracién dela particula respecto al sistema rotantede ejes.l



CA}frtr]*S IF r,t"'É'f:i{,"1'ji t ¡

i,:. '"J ,-'g'f,{-}$

;6.1 fntroducción

i6"2 Fiujo d¿ it"n cailtpo i;ectoríal

J6.3 [-¿t¡ de Causs ¡inra ei cenl,poeléctrico

f6.4 Leg ic Gr¡ussen lorma diferenciul

lfi.S Polcrizeeiún d,e.a materin

16.6 Despíaznmíentaléctríco

1f,.7 Cúlcr,'ir, lc lcL usceptibilidnd léctricn

lb.B Capaeífinctn;capacitores

!6,9 ErLrrgía iel campo eléctrícal6.iü (--t:¡rc'¿¿c:líut,j.ad|"éctríca;eg cle Ohtn

i5"11 Fuerzoelectromotríz

16.12 Leg ,le Ampére pora eI cG.nlpomagnético

16.13 |,et¡ áe Am¡tire en forma diferencbl

16.14 Fluja magnético

/S./5 I\\agnetizací.óne Ic¡,matería

i6.16 Campo magnetízante!i1.17 iliiír¿¿io j,r Ic si¿sr::y;tibíiiclod agtztlüca

it:. ¿^ i iesirr i¡,r" irt o:i l rai,,s.Jec:scampcrs:;tátícos



"td,;l)

f S. f itzt.r*ú.treeion

Flui:¡ dr t i i l canrpo tecloríol 57 7

l-1, l ls ilos c*¡ril.ulosprecedenie: :gtridiarnos¿is nteraccioneseiectrrxiragnéticas

1 ei ri,lr ' imie¡it¡ ile parr;iculas :rigadai .i.ri:re onsecuencia leestas nieraccicnes.ii ' in;¡!:;:ar as i¡¡ieraccicl ¡es ieclromagnrifre : :ri:ro,lujimcs el conce¡:iade carnpoiJ¡:l:ir. 'c¡¡:agn.éticr.n este capítuio y cn ei pr,.riir ia, estudiaremosen deialic lasüar.;rierislic?:sd11 campo electromagnetic o mis¡no, considerándolo como una

t:¡t.iekd ndeperiil ieiite. n esteca¡rit.uio :ia¡ninaremos l ca.mpoelectronragnético,:si ir l . irca inde¡rarliente del tiernpr. i:]n el capítulc 17 considei'amos l campot l t , : t r ;magnéi icLr , lependientedel t iempo,

iü":l .i"iicr3rr Ét: t¿¡; aantpo r(etor¿al

. , . : : t1 , , : : , , . ¡ ; . i ¡ ,¿.1 i .; ' t lu ;o i t un ta;ní t t ¡vecl , ¡ i i t i ! .r , te es un concei : t ¡ j . : .1i : . i t j': . . . , , ' t , : - , , . ,h igf i r , , l f i l : t r + \, : : í iá:r l í ' i r f f j i ¡ñ* l t i ;¿i : ¡ Yrt{) t t3 i t f . r :? { ' , i : ; r ' . i . :

/ r : t :a, :1r. ,1 i ' , ¡ . : ' i - - : , ! , i ¡ !6¡9¡1r i i r : t : .1 -, ; j t , r r : iJ ic! ; :s l ¡ f i j , t ¡ . ¡ú l ; t : . i } . r !a r t 'g i , i ,n {r ; : . . . r .;i :: . - . , . ' i r : i . i 'i . .. ' , . V (t t i . . t ! , .1 l . i - ¡ i ' . ' i r l r i i : i ¡ ; : , l: ¡ : t , . t i , . r$: .¿a: . ¡ . I ' i i. i r - , i . .

., . , r1: : ' l . r , , ' , . ! rl r - ." ,Ci¡- ,S iJ¿. , . ;"0, , tl ' . : j . t l , . ' ; ' . .1, i j ( ; r i ;1t : : . r t : t. : t - ' t ! ; 1. . . : . ', ' , . :-

. . , . : ' ' ta : j , . if .. 1; , r ' : lndir lUi ; | , ' , r l ; : : r ¡ : $1:. i i r l i ' i , ' ": i ' - : l i : : : : { , i . ! i r r l r - lS r ! i } t ¡ t : . ;l ,: .

i : r ' "q i ¡ : : : 1, .11:r ; . , ¡ ¡ i1¡1-,: : j i r t ! s l t ¡ t i r :ú e ( i iüe i l \ r . i ;1 i ; r r , ; : i l - : ; ' ¡ i l lc r ie ¡ :+.", i : ,1- l i : : " t ' , - : i ¡a

r,¡;ar:Cr ;;t¡ i:¡l ¡.r? e¡ii¡.lo en que licmcs riecidi,io oi' ientar la periferia de ia su -:.;::tti ' i, ',cr'r:.tihn:' {:olir. 'enr::iónstabieciCaen la sección3.i0. Si la sr:perficiee$r,{riri:di!, l i : : vers4res ?JN apuntan ha,cí.r fuera. Sean fl1,02,03, . . los ángui oser¡ri.reos ','ectoresnoimales ?a1,t2,u3, . . , y los vectores de campo Vp V2, I'", . . .e* cada punto de la superfi r '. ie. ntcinces,oor definición,el f lujo O de l vector 7a través de Ia superficie es

i} : %dS, cos 0, * %dSrcos 0z+ VBdS. cos 0, * . . .

: I ¡ r . t¿rdsr * Vz.uzdsz * V". t t rdSs+ . . . ,

* : i" V cos dS J" V.uy dS, (1ri . )donde la integral sr ext ienrJca toda la superficie, o cual se indica con el sub-indice S. Por esta iaz.lri una expresión como la ec . (16.1) se llama integral desuperf icie.Debido al ía¿lor cos 0 en la ec . (16.1),el flujo a través de la superf icieelemental CS puede ser positivo o negativo,según 0 sea menor o mayor qu e rl2.Si el r:ampo I,' es paralelo o tangente ai clemento de dS, el ángulo 0 es zr/2 ycos 0 - 0, resultando un llujo nulo a través dc la superficiedS. El flujo totalpuede ser posit ivc, negativo o nulo. Si es positivo, se denomina "saliente", y sies negativo,"entrante". Si ia superficie s cerradacomo una esferao un el ipsoide,se escribe un círculo sobre el signo integral; de este modo la ec, (16.1) se con-vierie en

t:

f" V cosort:

f" lr.u;¡ dS.(16.2)





16.3\

Fig. 16-3. Flujo eléctrico de una cargapuntual a través de una esfera.

I-eu de Gauss nra eI campoeléctrico 579

Fig. 16-4. El flujo eléctrico a travésde esferasconcéntricasque rodean a lamisma carga es el mismo.

I. EL CAMPO ELECTNICO

76.3 Ley d,e Gauss para el campo eléetrícoConsideremoshora una cargapuntual q (fig. 16-3)y calculemos l llujo de sucampoeléctricoC'a travésde una superficie sférica on centroen la carga.Si res el radio de ia esfera,el campoeléctricoproducidopor la carga en un puntode la superficieesféricaes

t :l** 'u ' '

El versor normal a la esfera coincide con el versor ?¿rsegún la dirección radial.Luego el ángulo 0 entre el campo eléctrico f y el versor ?ú¡0s cero¡ y cos 0 : 1.Obsérveseque el campo eléctrico tiene la misma magnitud en todos los puntosde la superlicie esféricay que el área de la esfera es 4rr2; por lo tanto la ec. (16.2)

da para el flujo eléctrico

o^:d cds:cd Js Jsds:cs: rQ;(4rr2) :Q

+íf;€or" €o .

Entonces, el flujo eléctrico a través de la esfera es proporcional a la carga e inde-pendiente de l radio de Ia superficie. Por lo tanto si trazamos varias superficiesconcéntricas51, Ss ,Sr , . .. ( f ig. 16-4) con centro en Ia carga q, el f lujo eléctr icoa través de todas ellas es el mismo e igual a Qleo.Este resultado se debea qu eel campo depende de l/r2, y se aplica también al campo gravitacional de unamasa dado por la ec. (13.15).El l lujo del campo gravitacional se encuentra reem-plazando qlLnco por ym, donde m es la masa encerradapor la superlicie. Estasustitución da

Qs :4rrm.



580 Campos lectramagnéticossldtícos (16.3

Consideremosuna carga q en el interior cle una l*perlicie, arbttraria cen'ada S(ng, 16-5).Ei f lujo total a través de S del calnpo elÉctriccproducido por ia cargag

está dado po r

Pr:rc ¡fS cos 0/r2 es el ánguio sóliilo :,ubtendrrlcpor el elemento cle superficie dSvisto rl¿sCea r,argaq [recordar a ec. (2.3)"] Ccmo el ángulo sólido otal alredeilarde un prrnto e:i 4r, vemos que

o* :;L d on : _.-_91+,.)q

47r€c r *n€0 €0

E,ste esultado es el mismo que el encontrado previamente para una superficieesféricaco n centro en ia carga, po r lo cual es válido para cualquier superficiecerrada, ndependienternente e la pcsición ¡ ie la carga dentro de la superficie.Siun e carga al como q' está ucra de la superl icieccrtada,ei flujo eléctricoes cero,porque el flujo ent.rante :s gual al salientt'; uego,ei flujo neto es nulo. Por ejent-

¡rlc. el flujo eié.ctrico e q'a través de dS'es igual en magnitud, pero de signo

opucsto, al f lujc' elécl¡ ' icoa través de dS", y por consiguientesu suma es cero.

f ig. 16-6. El f lujo eléctrico a través de un a su - Ftg. 16-6. El f lujo eléctricoperflcie cerrada gue encierra una carga es inde¡ren- a través de eualquier super-diente de la forma de la superficie. ficie cerrada es proporcional

a la carga neta contenidadentro de la suoerñcie.

Si hay varias cargas 4t, Qz,Qz, . . en el interior de la superficie arbitraria S(fig. 1GG),el flujo eléctrico otal será a sum¿ide los flujos producidos por cadacarga. Fodemos pues establecer a leg de Gauss:

EI flujo e!é.ctrica lraués rie una superfícíecerraila que eÁcierra ascargasqp gz,Qs, . . €s

*o : $,c cos ds . g, ¡;?,;;cos fS==

?*1, f"jl-:,g,' !

tq

0r, :4 (.U_.-d5:-L,j .\" €o

oq "

(r6.3)



16.3) Leg de Gauss parc el campo eléctríco 581

dondeq :8 t * q2 % + .. . es Ia carga tolal en eI interíor de lasuperfície,

Si no hay cargas en el interior de la superficie certada, o si la carga neta es cero,

el flujo eléctrico total a través de ella es cero. Las cargas que están fuera de la

superficie cemada no contribuyen al flujo total"

La ley de Gauss es particularmente útil cuando queremos calcular el campo

eléctrico producido por distribuciones de carga que presentan cierbas simetrlas,como se muestra en los siguientes ejemplcs.

DJEMPLA 76,2. Usando la ley de Gauss, hallar el campo eléctrico producido por(a ) una carga distribuida uniformemente sobre un plano, (b) dos planos paralelos

co n cargas iguales y opuestas.

Solueión: (a ) Supongamos que el plano de la fig. 16-7 contiene una carga d por

unidad de área. De ia simetrla de l problema se deduce qu e la s l ineas de fuerza sonperpendiculares al plano, orientadas como ge indica en la ffgura si la carga es posi-

t iva, Tomando como superficie cerrada el ci l indro i lustrado en la figura, podemosseparar el f lujo eléctrico Os en tres térrninos: el f lujo a través de St qu e es *CS,siendo S el área de la base del ci l indro; el f lujo a través de Sr , qu e es también *C S

Flg. 16-7. Campo eléctricode una su-perficie plana cargada uniformemente.

Fts. 16-8. Campoeléctricoen el espaciocomprendidoentre dos superflciesplanas

y paralelas que contienen cargas igualesy opuestas,

ya que, por simetrla, el campo eléctrico debe ser el mismo en módulo y direcciónpero ae ientido opuesto en puntos situados a la misma distancia a ambos ladosdel plano; y el flujo a través de la superficie lateral del cilindro, que es nulo porqu_eel cámpo eléctrico es paralelo a la superficie. En consecuencia tenemos @e : 2CS.La carga en el interior de la superficie es la correspondiente al área sombreaday es iguai a g : oS. Por consiguiente, apl icando la ley de Gauss, ec. (16.3), tenemos2CS:cS7<oosea

a' :o

Zeo

lo cual indica que el campo e]éctrico es independiente de la distancia al planO y

es po r lo tanto uniforme. EI potencial eléctrico es, usando la relación C: - dVldr



582 Campos leclromagnél[cosstátícos

y suponiendo qu c el potencial en el plano es cero,

(16.3

" _ r:;,Estos resultados son idénticos a lo s de l cjemplo 13.8 para el caso gravitacionalsi se reemplaza y po r (4;rer)-' (ver acleinásel problema 14.62). EI estudiante apreciará

que la técrrica usacla ahora es más si i :rple detririo a la simetria del pro|lema.(b) f,a f ig" 16-8 muestra do s ¡;lanos paraiel-rsco n cargas guaies y opuestas. Obser-vanlr]s qt¡e en la región fuera tl¡: lc:s <!Gspl¿1r1o9ay carnpos eléctricos iguales etrnlódul ,r ¡ , ' t l i rección pero de di ret 'c loi¡es pue-<tasoos cl l ¡¡ iesdan un campo r isul tantenulo. Perc¡en ia regit in enttr lc s ¡ri lnos, ii s cá¡l lpos tienen la misnra dlrección, y elr.rampo esul¡.¿rnte s clos reces ma.vor que el de un solo ¡tiano. o se a C: c,/eo.Po rio tantc, do s planos paralelos ro n (:{rgas iguales v opuestas producen un campounifc¡rrne en el espacir-r ntre ¡l ios.

gJEMPto 1c,3. usando el teo¡e¡na de Gauss, hallar el campo eléctrico creado po rr¡na distribución esférica de ¡arga.

solutién: I lste problema ha sido estrrd-iadoen la sección 13.7, aunque de un modoti i fe¡ente, para el campo €Favitacionai producido po r un cuerpo esférico. Considere-\nos una esfera de rarl io a v carga Q (fiS. 1tj-9). La simctrla del problema sugiere

qu e el campo en cada punto debe se r radial ydc¡render sclo cle a distancia r de l punto al cen-tro de la esfera. Entonces trace¡nos un a $uper-flcie esférica de radio ¡ concéntrica co n la esferacargada. Encontramos qu e el f lujo eléctrico através de el la es

/L\

tlO¿ r I C dS : t '0 dS : t(4rre).

Js -,s

Supongamos primero ¡ > a; encontramos quela carga en el interior de la superflcie S es lacarga total Q de la esfera, Luego, apl icantlo Iale y de Gauss, ec. (16.3), obtenemos C(4rrr): Q/eo ó

¿: 04re¡z '

f igura 16-9 Este resulta.does el mismo qu e el obtenido para

Lfi :ff ;.iJJ,',::'o::';"J':gi:::'","::n;;#'"puntos fuera de eIIa es igual al que producirÍa si toda su carga estuuíera con-cenlredaen su centro.

consideremos a continuación, r < a; tenenros do s posibi l idades. si toda la cargaestá en la superficie de ia csfera, la carga en el interior de Ia superficie S, es ceró,y la le y de Gauss da C (4rr'a) 0, ó C : 0. De este rnodo, cuando la carga ¿sl¿Í is -tribuida en la superficie de la eslera eI campo eléctrícoen los puntos ínternos-de a esleraes nulo. Pero si la carga está distribuida uniformemente en todo su volumen y es 0,la carga en el interior de la superficie S; tenernos

nQf

O' : Z^^r/B (4rf ,3 ) : -k

-I









586 Carnposelectromagnéticosstáti.cos (16.4

EJnnrpLo 76.6, Verif icar qu e el potencial de u¡ia c:rrga satisface la ecuación deLaplace, ec. (16.7), en todc¡s os puntos exceptc) en el or igen donde la carga estásituada.

Solución: El potencial de una carga punlual es V : ql4nesr, según la ec . (14.32),Pero r3 -- Í2 * g2 + 22, de modo qu e derivanrlo respecto a r, tenemos

2r 0rl0s : 2t ó ?ri?r : r,'r.

Po r consiguiente

A 11\ L 0r Í_._t ._t :_

0r\r) Í2 Ar, ¡3

1

'€

v

#(+)-*(-+)Entonces

tr{ultiplicandoel resultado anterior po rmétodo matenráticono es válido para r

,3¡Ar 1 3x2- ' - r i ; ' : - r " - r

ts

Q/4¡eo, obtenemos la ec. (16.7). Nuestro: 0 porque Ia función 1l¡ t iende a infinitocuando ¡ t ie¡-rdea cero. En consecuencia,

el origen debe exch¡irse de los cálculos,Además, la ec . 16.7) no es apl icable a pun-tos ocupados po r cargas.

EJEMPLO76.7. Usando la ecuación deLaplace, obtener el potencial eléctricoy el campo eléctrico en la región vacfacomprendida entre dos planos paralelos,cargados a los potenciales V, y Vr .

Solución: La simetrfa del problema sugie-re qu e el campo debe depender sólo dela coordenada r(f ig. 16-12).Por consiguien-te , como no hay cargas en el espacio entrelos planos, debemos aplicar la ecuación deLaplace, ec . (16.7), a cual dadrV/dtt : O.Obsérvese qu e no usamos los simbolos dederivación parcial porque sólo hay unavariabie independiente, Í, Integrando,lenenros dVldx: const. Pero el campocléctr ico es f :-d\ ' /dr. Concluimosentonces que el campo eléctrico entre los

# (:) u#oO -' ::, +):--3 1 {" re112 : e

Flgura 16-12

planos es constante. Integrando la expresión { : - dV/dr, teniendo presenteque C es constante, obtenemos la siguiente ecuación

l l ot,-' - f" (ds : -t f ' d',Jl ' r J. t Jzt

de la cual resul ta l' - l/ r : -C (¿-¿t) ó' ' :

Vr-t(r - f t ) . Esto demuestraque el potencial eléctrico varía l inealmente co l la distancia ¡. Haciendo , :

"r ,tenemos \t : Vz. Por lo tanto

"I ' , , -1 ' , Í " -Y,re-fr d '



16.ó) Polarízaciónde la materia ó87

donde d .L? :rr . Estcl resuliados eslán cie acuerdo co n ni¡estra discusión hechaen la sección 14.8, que condujc a ia ec. (1 1.31).

EJEltrPLo 16.8, Resolver ei misnio problerna del ejempln 16.7, suponiendo que hayauna distribución uniforrne de cargrr entre io s clanos. E,sta situación puede encon-trarse, por ejemplo, entre las placas de un tubo electrónico.

Solución: Ahora debemos aplicar la ecuación de Poisson, ec . (16.6). Debido a lasimetria del problema, el potencial depende solamente de la coordenada r, y podemosescribir dzY/drz : * pl€s, con p : const. Integrando, tenemos

r' d2 V t tt

J' , a '"dx - ; J",

lo cual da

#-(-#),:",:{. ¡-¡,)o se a

dV-oqr €6

Pdr:- |€O Jt ,

^r t,t

dr,

donde C, : - (dYldr)r:c, eS el campoeléctrico en el punto r : rt, ComoC : - dY ldx., el campo entre los planos es

c: ct +3(¡-r .) ,€o

(16.8)

Flgure 16-18

lo cual demuestra que el campo eléctrico varfa linealmente con r, como se ilustraen la fig. 16-13. ntegrando de nuevo la ec. 16.8, el potencial eléctr icoen funciónde¡es

PV fÍ

I or : - l ( ,dr_J V, .J zl

o sea (16.e)V : Vt - c,(¡ - r,) - i; @- q),,

Ahora el potencial eléctrico varla con el cuadrado de c, como se muestra en la f i-gura 16-13. La cantidad C, puede deterrninarse haciendo Í : r2; se tiene

Vz : Vt - c' (r, - r ') - G/2eJ (rr- rr) ' ,

de donde se despeja C, .

76.5 Polarización de la rnatería

En esta secciónvarnos a discutir el efecto que un campo eléctrico produce sobreun a porción de materia. Recordemosque los átomos no tienen momentos dipo-lareseléctricospermanentesdebido a su simetría esférica,pero cuando se colocan

t I',,(r r,)dr























598 Camposelectromagnélicosslalicos (16.7

má s efectivamentevencenel efecto de alinea mientc del campo eléctrico aplicado.Esto ocasiona un a disminución en el promedio del nomento dipoiar según la

dirección del campo.Comparando a ec. (16.25) co n Ia ec" (16.20), obtenemosel promedio o pola-

r izabil idad efectiva de un a molécr¡lacomo z : pf;|3+okT . si hay n moléculaspo r uri idad de vc,lumen, a susceotibi l idadefectiva I¿ : l't¡ 8s

np'zoxe :

*1; '(16.26)

resulfeCcconocirlocomo fórrnuia ie í-snqet¡i¡¡.-ns ¡ii i,rnentosdipolareseléctricos:tr: as;r:eiéc¡¡.jason del orde¡rde ilagnitrrd de ia cargaelt,ctió¡ric a 1,{1 : 10-rs l)

rnui i lp l icadapr; r a.Cirnensjórr¿ l2 r ¡ ¡ l i :c i r lx 10' - i0m) o cercade 1ü--m l rn ( re-lcriiar la lai l i . ,r l4-li. h:t¡oduci.:,"ii,: ir l ', '¡¡lr-rretdc la s ¡ltra.cconstanr-es n iar:c. l i i i . ' j i i i i:ú¡rr:nns {ue. a teu:pelrt.rri '; l ; lnbtente T : ?i}8"i{), la suscepti}:i-lir i:;rl ¡:lect¡:r:rde n¡ia susirrllr,::l rntl,lr '3i: 'r ri e rrrrilétui::* r-!]artg s t.l¡rnbiéri i i : l, i. l '{ jel;1. !íjt tr ; r¡r¡i.ri arir los cóii¡?'i,:' ¡{j '- i i ,,;r::aos ga,;ts. o cu¡ t stá crj (ron-

¡t¡ri l t iC¿.i i ll Ios l '¡l i t ; lcs ,l e lrl ,;ci l t3 t: l i : .:. lr - ' i : .u,-'s.I)r: i :¡;no¡ rlbservsi r¡ue ia sr:gr¡ri i ] .,:-i i i rt i i ieci;ric;r dr.i- ' i ' - ' l : : ia ariei,, i r¿iór,je

tt i ; i i ' ¡.:r¡lasc+¡r momentos tl ipoiari ,; Pti ;riaí¡ei1!{.ar s irrve:-q?.r¡:enf.e:ri ' r.,rpoici¡inl l !ria Lerri¡;crat.ura ebsohitil. n¡irnLrari rlrr,.' 'i :::scr:pl.ibilir"laci rriéctric:¿- irt¡.luciti¡ tit'l¡id:r

;¡ i ' : distc: 'ri¡; l t : d¿ i ¡¡tovinrientc elt,¡,, l rirtt icr'r]:tr t(;rnos it r11ülécr.rlat,,:c. 1Éi.22),

rr$ l¿rr,1a;üeni;¡. is¡.,ntcndeprrndienlt , je i: l i i i rrpei: iura, exceptuando qut. n varia

r.nn in ¡¡ism:. rlebidc a la eapansión ttrrlrica. Esto i;frtce un rnedio de separar

i 'rs dos efectos experirnentalrnente. .F!idlendo 't e a t€mperatrrra.s diferentes obten-

dremcs ilna depend€ncia tie la temL:eratura de la fo¡ma

Un resultado más corriplejo se obtiene cuando cl campo elér:trico depende deltieinpo.

Llna ciase especialde sustantlas llaniadas ferrorléciricas resenta un a polari-zaeíónpermanente en ausenciade un <;ampo léetricoertcrno; esto sugierc quelo s dipclospr:rmanentes e su smolóculas ienen uria tcnritx.rcia atural a alinearse.Este aljnearnientoprobablenrente esulta de l¡s iniergccione smutuas de las rno-léculas, as cualesproducen ntensoscarnpos ocalesqu e lo favorecen.Entre estassustanciasmencionaremos a'fios, K¡{h03 v LiTaOr" Una de las sustancias erro-eléctricasmás antiguamenteconocidaes a sal de Rochelle: I{aK(CoHnO6).4H2O.

EJEMPLT 7(i.lI. Discutir la polarización de un átomo en un campo eléctricoexterno.

Soluctón:En este ejemplo intentaremos,usando un modelo muy simplificadoyfenomenológico, eterminar el efecto que un campo eléctrico externo producesobre el movimiento de los electrones n los átomos.

Supongr.rnos ue, cuando el centro del movimiento electrónicose desplazaunadistancia r con respectoal núcleo, una fuerza media .-/r¡ actúa sobre el electrón,

BAi--

'T





600 Campos Leclromagnélícasststicos

de donde obtenemos la polarizabil idad rl inámiea riei átomo como

(J6.8

" : - -* - t i - - - - .s/ñe(t :o¡ -.¡ ' )

Para ol ¡tener la suscept ibi l idad dinámica, usamos dey encontramos qu e

ne zXeld,námlta ) : -; -- e/ne(cufr - uttj ' (16.31)

qu e es esencialmente déntica a la ec. (16.23) si hav sóio la frecuencia ¿d0 D el espectroelectromagnético de la sustancia. LIna ve z má s obse:'vamos qu e nuestro burdomodelo fenomenológico no puede da r resultados precisos. Un a de las razones esque, como en el caso estático, estamos suponiendo un a frecuencia única c,ro. tr arazón es qu e estamos ignorando el hecho de qu e el movimiento del eleetrón siguelas leyes ti e la mecánica cuántica y :r o la s de la mceánica nervtoniana.

1,6,8 Capacitanciü ; capaeitores

Ilemosprobado sección 4"8) ue el potencial lictrico en la superlicie e una

esferade radio R y cargaQ es v : Ql4resR.Si la esferaestá rodearlapor undieléctrico,endremosen su lugar, reemplazando 0por €,

v-4xeR

I-a relación Q/V para la esferaes entoncesAneR,que es una cantidad constanteindependientede la carga 0. Esto es comprensible orque si el potenciales pro-porcional a la carga qu e Io produce, a razón de las dr¡sdebe ser una constante.Esta última proposición es válida para todo r:onductorcargado cualquiera quese a su íorma geométrica. En consecuencia,a capaci.tancí.ae un conductor ais-lado se definecomo el cocienteentre su carga y su potencial,

(16.32)

La capacitancia de un conductor esférico es, conto hemos indicado,

:4teR.

Si la esfera está rodeada por el vacío en lugar de un dieléctrico, tenemos parasu capacitancia c : 4nesR. Por consiguiente, rodear una esfera, y en generalcualquier conductor, con un üeléctrico, aumenta su capacitancia en el factore/eo. Esto se debe al efecto de pantalla que hacen las cargas opuestas gue sehan inducido sobre la superficie del dieléctrico adyacente al conductor. Estas

cargas reducen Ia carga efectiva del conductor disminuyendo su potencial en elmismo factor.

(1ü.30)

nuevc: a relacién X. - irs.,

a

C 9.v

c:9 v





602 Campos lectromagnélicosslaticas

del sistema,

C : eSld.

Esto sugiereun medic prácticc pa mde un nraterial. Primero rncdimosentre las Dlacas, esultando

(16.8

(16.34)

¡nedir a ¡rermir"ividad constantedieléctrica[a capacitancia dr un capacitor sin matcrial

Co : eoS/d'

Luego lienarnos el espacio entre las piacas con el material qlle se está investi-gandoy medimos a nuevacapaci tancia, adapor la ec, (16.34) .Entonces enemos

a:-:€r.

€o

Po r consiguiente el cociente entre la s do s capacitancias da Ia permitividad relativa

o constante dieléctrica del nraterial colocado entre las placas.

EJDMPLo 16.12. Estudiar la combinaciÓn de capacitores"

Solución.. Los capacitores pueden combinarse en dos formas: en se¡ie y en paralelo.En la combinación en serie (ver flg. 16-24a), la placa negativa de un capacitorse conecta a la posit iva de l próximo, y asi sucesivamente, En consecuencia todoslos capacitores tienen la misma carga, posit iva o negativa, sobre sus placas.

Cr Cz ci

FiS. f 6-24. Combinación de capacitores en serie y en paralelo.

Llamemos Vr , Vr , Vr, . . . V" a las di ferencias de potencial en los capaci tores.Si Cr, C2, . . . C" son sus respect ivas capaci tancias tenenros que V, : Q/Cr, Vr :QlCr, . . . , Vn: QiC". Por lc tanto la di fere¡rc ia de potencial total es

I /- l . r* \ ,2f . . .+\ , , : l iI 1\^

\ r ,

*

¿;+'

*

a)a 'El sistema se puede susti tuir po r ul l solo ca¡racitor cuya capacitancia C satisface

co

+Q ¡

-Qt

+O,!-- la, *







16.9)

Esta rnterpretación oe la energia tl e unbuidas en todo el espaciodonde existe elcusión de muchos procesos.

Energía d.el carnpoeléclríco 605

sistema de particulas cargadas distr i-campo eléctrico €s muy útil en Ia dis-

EJEDTPLO 76.79, Calcular la energía necesaria para formar un a esfera de cargasdistribuidas uniformemente en todo su volumen (fig. 16.26).

Solución: Llamemos R al radio de la esfera y Q a Ia carga distribuida uniformementeen su volumen (fig. 16-26). Dividamos el volumen de la esfera en ura serie de capasesféricas deigadas de radios crecie¡rtes desde cero hasta R. Poder..os imaginar qu ela distribución ha sido construida superponiendo capas esféricas hasta alcanzarun a esfera de ra<lio R, en forma parecida a como está formada un a cebolla. Paracalcular la energla de la distribución esférica de cargas, debemos sumar las energfasempleadas en la superposición de cada capa.

La densidad de carqa en el volumen de Ia esfera es

H_4¡rR3 3

Si el radio de la esferaes r, la cargaq contenida en ella es

C : p(i'r,¡) : (16.41)

o

QfR3

y el potencial eléctrico en la superficie es

y: I : Qt'4ne¡ 4zreoRs

Al incrementar eI radio en la cantidad dr con Ia superposición de una nueva capa,añadimos una carga dq obtenida diferenciando la ec . (16.41), de donde

. 39!_ ¿r.I? : -Ra

La energfa necesariapara agregar esta carga a la esfera es

: SQ"ndr .

4n<oRo

para obtener el valor flnal de la carga es entonces

dE6 : lt ¿q

La energfa total necesaria

"': J: dq:J;## *:-^-l*Ii-*Efectuando la integración, obtenemos

"':+(#o)' (16.42)

resultado que difiere de la ec. (16.37). Larazón está en que para obtenerla ec . (16.37)supusimos un a esfera de radio constante con car gas distribuidas sobre su superflciemientras que para la ec . (16.42) la carga está distribuida en todo su volumen y seha formado po r atl ición sucesiva de capas hasta obtener el tamaño final. Dejamosal estudiante la tarea de venficar qu e en este caso la relación (16.39) sigue siendoválida siempre qu e se ncluya la energia asociada con el campo eléctrico en el interior

de la esfera.



606 Campos eleclromagnéticoseslal icos

Una apl icación interesante de la ec. (16.42) es est i ¡nar abiana de un ní lc leo cuya carga es Q: - Zr: . Tenernc 's

E6 - -_ -J

ó R:3(t \ -q-5 \4::eo I mecz

Z2ez

(16.r0

energí¿¡ léctrica o coulom-

(16.43)

(16.45)

estrictamente geo-de la región donde

{reo R

Sin en-rbargo, n el caso de un núcleo compuesto de protones v neutroncs, no havun¿i distrÍbución u¡r i forme de carga en torlo el volumen de la esfera. La carga está

concentra<i¿robre Ios protones, r 'u¡ l anái is isnlás cuidadoso c la un resul t¿ido igera-mentc rl i ferente, en el cual Zz está rcen¡r lazado por Z(Z - 1),

EJtr:MI,L() 16,71. Est imar el "radi rr" del c lect l 'ón.

Soluúón: Es muy poco lo qu e conocemos lcercn de la fcrm¿rgeométrica de l electrón.Todo lo que podemos decir con certeza es que u¡r electrón es una part Ícula cargadanegat ivamenl-econ una carga ' -e. Estamos interesados en est imar el lamaño dela región t lont le esa carga está concent aC¡. Para simpl i f icar nuestros cálculos,consideremosqr-re l electrón es l lna esleia dc radio R. Podemos calcular su energÍaelóctr jca usando el método anterior y despuús hacer algunas suposic iones acercade cómo se distribuye la carga en ei volumen del electrón. Si suponemos, po r ejemplo,qu c el electrón es semejante a un a esfera sólida de radio R y carga -e, su energfa será

-3e2'c : 'T 4r*"R'

Podemos igualar..,"".*ü con la energía mec2 de l electrón en reposo, co n Iocual resul ta

4reo.R(16.44)

Esta expresión da el radio del electrón conforme aI modelo escogido. Si suponemosqu e el electrón, en lugar de estar cargado uniformemente, lo está sólo en la superficie,debemos usar la ec. (16.38) para la energia. La expresión qu e obtenemos para elradio es similar a Ia ec . (16.4.1),pero con el factor.! en lugar del factor !. Como elelectrón probablemente no corresponde a ninguno de estos modelos, se acostumbraadoptar como delinicirin del radio del electrón la cantidad

^ólleC' : -lJ

1p 2

":

4*r" ,*;: 2'8178 x lo-ts m'

Repetimos qu e este radio no puede considerarse en un sentidométrico, sino principalmente como ulra estimación de l tamañoel electró¡r está "concentrado",

16.70 Cond,uetitsidad eléctricü; le g cle Ohtn

En las tres últimas seccioneshemos'discutido ciertos aspectos del comporta-miento de una sustancia bajo la influencia de un campo eléctrico. Este com-portamiento se ha representado por la susceptibi l idad eléctrica del nraterial.I ixiste otra propiedad irnportante relacionada con el campo eléctrico externo.EsLr propiedad se llalna co¡¡¡/uclit:idad léclrit:u, se estudiará en esta seccióncn relacir)n con la c'.rnclucciónlócti ica e¡r ul : i¡retal.

Cuanritt se apliea un cainl)o eicctr ico ¿l u. j i {;rrjlt:cliir rc, lste se po!ariza. IJcrosi e l carüpose apl i t :aen una reg!ón donde r i ry ct fgas i ibr :es, stasse pon€n en



t6.1Gj Conductiuídad.eléctrica: ley de Ohm 607

inovtmiento resultando uha corriente elécLricaen lugar de Ia polarización de l¡nedio"El carrpo acelera as cargas,que de estemodo ganan energía. Esta situa-ción se consideróen la secciól 14.9).

Cuando en el int erior de un cuerpo existen cargas ibres, tales como electronesen un metal, sus movimientos son obstaculizados or la interacción con los ionespositivos que forman la red cristalina de l metal. Consideremos, or ejemplo, un

metal con lo s iones positivos regularmente dispuestosen tres dimensiones, omoen la fig. 16-27. Los electrones ibres se mueven en un campo eléctrico que muestra

Fig. 16-27. Movimiento de electrones através de la red cristalina de un metal.En la ffgura, ur es la velocidad térmicade los electrones.

la rnisma periodicidad que la red, y durante sus movimientos son frecuentementedispersados por el campo. Para describir este tipo de movimiento electrónicodebemos uti l izar los métodos de la mecánica cuántica. Debido a qu e los elec-trones se mueven en todas direcciones, no hay un transporte neto de cargas osea no hay corriente eléctrica. Sin embargo, si se aplica un campo eléctrico, unmovimiento de arrastre se superpone al movimiento natural al azar de los elec-trones, resultando una corriente eléctri ca. Parece natural suponer que la inten-sidad de la corriente debe estar relacionadacon la intensidad del campo eléctrico,y que esta relación es un a consecuencia irecta de la estructura nterna del metal.

Como guía para obtener esta relación, vamos a remitirnos primero a los resul-tados experimentales.Una de las leyes ísic asgue es quizás má s familiar al estu-

diante es la leg de Ohm, la cual estableceque, en un conductormetálícoa tempera-lura constanle, a razón de la diferencía de polencíal V entre dos puntos a Ia corcienteeléctrica es conslanl¿.Esta constante se llama resístenciqeléctrícqR entre los dospuntos del conductor. Po r Io tanto podemosexpresar a ley de Ohm por

Vll :R ó V:RI. (16.46)

Esta ley, formulada po r el f ísico alemán Georg Ohm (1787-1854), a siguen consorprendente precisión muchos conductores en un amplio intervalo de valoresde V, de 1 y de temperatura del conductor. Sin embargo, muchas sustancias,especialmente os serniconductores, o la obedecen.

En la ec . (16.46), vemos que R se expresa en volt/ampere ó m2 kg s-r q-2,

unidad llamada oñ¡n,abreviado O. Asi, un oh m es la resiStenci a e un conductor

pc r el cuai pasa una corriente dr un ampere cuando se estableceentrc sus extre-mo s un a diferencia de potencial igual a un volt.



Campos electromagnéticasstalica:: (.16.10

TABLA 1(i-2 Conductlvitl¡des léctr leaso temperetura amblente

Sustancia Sustancia ^(-]-l

Metalescobreplata

aluminiohienotungsteno

5,81 x 10?6,14 x 10'

3,54 x 10'1,53 x 10?1,82 x 10?

Sentica ductorescarbonogermanio

si l icio

2,8 x 10¿2,2 x 10-z

1, 6 x 10-5

Aleaci.onesmanganinaconstantánnicromo

:l is ador¿svidriolucitamtcacuarzoteflonpara{ina

10_10 a 10-1{< 10-13

10!1r a 10-151,33 x 1Q-ra

< 10-133,37 x 10-r?

2,27 x 70 E2,04 x 1061,0 x 108

Cor"rsideremoshora un conductor cilindrico de lcngitud / y sección ransver-sal S (l ig. 16-28), La corriente puede expresarsecomo 1:jS, donde es ladensidad de corriente. El campo eléctrico a io largo del conductor es é:VlI.

(Recordar la ec. 14.30). Por consiguientepodemos escribir la ec . (14.46) en laforma él : RjS ó

(16.47)

donde o : l/RS es una nueva constante lamada conductiuídad léclricadel ma-terial. Se expresa en o-1 m*1 ó m+ kft s C2.La relación entre o y R se escri-be más frecuentemente en la forma

R : //oS. (16.48)

La tabla 16-2 da la conductividad eléctricade varios materiales.

La ecuación (16.47) es una relación entrelos módulos de los vectores y f. Si supo-nemos qu e tienen la misma dirección,situa-ción que se da en la mayoría de las sustan-cias, podemos reemplazat la ec, (16,47)po rla ecuación vectorial

Figura 16-28 j : o(', (16.4e)

que es simplementeotro modo de escribir a iey de Ohm. Recordando a ec, (15.12),con { : -e, j - -enos; donde n es el número de electrones or unidad devolumelr y lrs cs la velocidad de arrastre debida al campo eléctrico aplicado {' ,tenemosque

t l6, : - o¿.

en

, : (*) €: 'é,

(16.50)

t------.i \





610 Campos electromagnétícosstdlicos

Sin embargo, algunos materiales no obedecen a le y de Oh¡n y para

ec. (16.53) no cs correcta, aunque la ec. (16.52) sigue siendo válida.ductor con ¡esistencia, ambién llamado un resistor, se representa con elmostrado en la fig. 16-29.

nez:,lñe

o--^---ufin¡v---<

Fig. 16-29. Sfmbolo para representar un resistor.

EJEMPí"O 16.75. Estudiar eI movimiento de los electrones de conducción en unmetal.

Solución: Her¡ ros indicado qu e podemos representar fenomenológicamente el efectoti r la i¡teracción entre la reC cristai lr¡a v l t¡s eiecirones de conducción de un metalpo r una fuerza "viscosa". Supcniendo que: esta fuerza es de la misma forma queIa considerada en el caso de l rnovimiento de ui¡ f luiclc¡ sección ?.i0), esto es,_-kc,escribimos la ecuación de movimiento de un eiectrón en un metal en la forma

-¿C -- ku. (16.54)

De este rnodo la velocidad llmite de arrastre, obtcnida haciendo do/dt : 0, esod : -et/k Si comparamoseste resultadq con la ec. (16.50), a conductividadeléctr ica$<s:ne2/k.

Poriemos xpresar ste esultadode un modo diferente ntroduciendo na cantidadliamada tietnpade relajamienfo.Supongamosque el campo eiéctrico se interrumpede pronto despuésque se ha alcanzado a velocidad fmite de arrastre. La ecuaciónde rnovimientopara el electrón es entonces

-ko,

cuya solución cs n =- 65¿'lkim)t.El estudiante puede verificar este resultado bienpor sustitución directa, bien reflriéndoseal problema 7.82.Entonces el tiempo nece-sario para que la velocidadde arrastre disminuya en el factor e es r: mlk. Estees el tiempo de relajamientt¡del movimiento del electrón,similar al que se ntrodujoen el ejempio 7.8 para el movi miento de un cuefpo a través de un tluido viscoso.

Luego, obtenernospara la conductividad a relación

dc* a:

dt¡

dI

(16.10

ellos laUn con-simbolo

(16.55)

SÍ se conoce o, se puede calcular ; y recfprocamente, ya que n, e y mz son cantidadesconocidas. Suponiendo que cada átomo contritruye con un electrón, podemos estimarqu e n es cerca de 1028electrones por rn { en la mayorla de los metales. Usando losvalores de e y nk , encontramos que, co n o del orden de 107Q- r m-r, el t iempo derelajamiento .r es del orden de 10-ié s.

Se debe comprender qu e todo Io qu e hemos hecho es idear un modelo fenomeno-lógico po r niedio del cual se obtienen los result:rdos requeridos po r la ie y dp Ohm;pero esto nc s ha conducido a introducir una nuel:a caniidad r. Para "explicar" lale y dc Oh m y la conductiviclad eióctrici l en l ' .r::metales, debemos reiacionarT co nla dinárnic¿rdel movimienlo electrónic¡r. Pi¡r¡, c' imo hemos indicado anteriormen!.e,este r¡rovi¡rriento tiene lugar según llrs ie;;es dr, la mecánica cuántica, po r lo cual

una discur. in má s detal iaCa de !a ec. 116.55)dr: l 'e postpon*rse. (Ver el volumen II I ,capftulo 4) .



Jrf. úr Conducíiuul',t'l leti¡ita: Ieg¡de úhnt 8I I

I)oricntos, sin ern¡)arlJoo sti iriar la l¡onclad de n¡¡esi l¡r modelc verif lcando lo scrd¿nes de magniturt de las cantit lades invojLtcradas. Es raeonable supoiler que elti¡:rn*o rie relajamien!¡ es dei misrn¡¡ orden de magnit.ud que el t iempo qu e tardaci rlectrón cn reaiizirr r i ; rs c¡¡i isi¡'nrs sucesir, 'as ün los iones de la retl cristal ina.Fcrc si I es a separación nedi ;¡e¡ l t ¡e cnes.y r rr ia veiocidad media de los electrones,el t iempc de coi isión prtede estimarse po r cl g4¡' .1,¡' i i¿; 'u. Fara la mayoria de los sól i-t ios i es del orden de 5¡ x 10{ m. Para obtener' ¡' . !r upongamos que podemos usarla rclación (9.59) propuesta para la s rnoléculas de gas" De este rnodo, a temperatura

ambiente, u es del orden de 10; m s-r. Concluimos entonces que r es cerca de 5 x 10-1a ,Este resultado concuerda con la estimación hecha previamente, usando la ec . (16.55)y lo s valores expcrimentales de c.

E,IEMPLO 1-8.16. Combinación de resistores.

Sotr¡cdór¡r os resistores pueden combinarse en dos tipos de disposición, similaresa los discrrt idos en eI ejemplo 16.12 para los cap acitores: s¿riey paralelo. En la combi-nácldn en serie {fig' 1€-30a), los'resistores se conectan de tal modo qu e la mismacor]' iente pasa a lo largo de el los. La cafda de potencial a través de cada resistor€s, segi¡n la ley de Ohm, V, : R,1, V¿ : RzI . . . , Vr: R"1. Por lo tanto ladiferencia de potencial total es

v : vt+ v, + . . . * v" :(R, * R¿ ... + R")/ .El sistemapuede reducirseefectivamentea un resistor único R qu e satisfaga a

relaciónV:RLLuegoR : Rr * Rz * . .. * R" (16.56)

da la resistencia esultante para una disposiciónde resistoresen serie.En la combinaciónen paralelo fig. 16-30b),os resistores econectande tal modo

gu e a diferenciade potencialV sea a misma para todos el los.La corrientea través

D¡! l t ^!?^ t ^ f t : . . ! :^ tvr vs

v---__

Fig. 16-30. Combinaciónde resistores n sene y en paralelo.

(a )

deLa

cada resistor es, según a ley de Ohm, f. : V lR.' I ¿ :corriente total f suministrada al sistema es

Y/Rz, . . . ,1": V/R".

* *)" : It -l - I, -f +In:(+.f+,

lI " R,I '



612 Cumposeleelromagnélicos sfuificos {16.11

El sistenrapuedereducirseefectlvamentea un resist;r¡único que satisface a ecuaciónI : V lR" Po r consiguiente

1111* -:-- (16-57)

R llr R2 If.'

da la resistencia esultante para una combinación de resistoresen paralelo,

'16.'t-1 Fuerza electrotnotri¿

Supongamos que una partícula se m'üeve de .,1a -B según una trayectoria I bajola acción de una fuerza F. trn el capítulo B hemos cxplicado que en este casoeltrabajo hecho por la fr.rerza s lV : ltF"Cl. donde el subíndice 1, sig nifica que!a integral se efectúa a io largo de Ia treye,:toda y dl es un elernento ineal de larnisma. lemos probado adeinásqu e cuanCo a fuerza es conservativa esto es, aiuerz¡t está relacionaCa con !a energia potencial por ,ú ' : - grad .Eo), el trabajoes independientede la trayectaria iuego F "al : Ep,A * Ep,a. Una consecuen-ci: l irnportante, también establecida n el capitulo 8, es qu e cuando a trayectoriaes cerrada, ei trabajo de una fuerea conserv'ativa es cero, ya que los puntos Ay B coincideny por lo tanto Epd : Ep,x.

Estos resultados se pueden extender a cualquier campo vectorial, tales comolos campos eléctrico o rnagnético. Designemos el vector de campo por I/ . La in -tegral curvilÍnea del campo vectorial I/ desde el ¡runto A hasta el punto B a lolargo de la trayectoria .L se define como

Integral curvilíneade l- :i L

V'dl. (16.58)

En general i:r integral curvilinea depende tle Ia trayecto¡ia. Si la trayectoria a lolargo de la cual se calcula la integral curvilinea es cerrada, ésta se liama circula-ción vectoriai. Se indica por medio de una circunferencia colocada sobre el signointegral:

Circutacióne V: +V.dI . (16.5e)Un caso mportarrte es aquél e¡i el cual el campo I/ se pucde expresarcomo

el gradiente de una función. Esta es la misnia situación encontrada en el casode fuerzas conservativas y por lo tanto potlemos decir que

cuando un campo uecloríal se puede eÍpresar como eI gradíentedeuna función, Ia ínlegral curuíIlnea del campo enlre dos puntos esíndependienlede Ia tragecloriaque une esfospunlos g Ia circulaciónalrededorde una tragectoriaarbitraria cerrada es nula.

A medida que avancemos en este texto, el estudiante descubrirá que los con-ceptos de integral curvilínea y de circulación de un campo vectorial son muy

útiles para formular las leyes del electromagnetismo. Aplicaremos ahora estasdo s nuevas definicione.s l campo eléctrico.



/6 .11) F'uerza eiecíronrctriz $ t;t

tlomo el carlito eiéctrico es tgual a la fuerz¿ por unidad de carga. ia integralcurvi!ínea de l campc eléctrico, j'tt.dI, es igr:al al trabajo hecl\o ar rrlover u1aunidad de cargaa io largs de ll truyectoria l. Si a trayectoria es.cerrada {ig. l6-31),la integral curvilinea se convieri,e en la circulación del campo eiéctrico y se deno-mlna fue.rzaeleclromotriz fem) aplicada a Ia tra,rrectoria cerrada. Designándolapo r Ve , tenemos qu e

fenr:V":$"C-At. (16.60)

Por consiguiente /a fuerza eleclromolrizaplicada a una tragecloríacerradaes ígualcI lrabajo hecho al mover una unídad de carga alrededor de la mísma. (La palabra"fuerza" no está correctamente usadaporqr¡e nos estamos refi¡iendo a "ener-{ra", no cbstante, es aceptadapor el usogencral). Naturalrnente, Ia fem se ex-presa en volts.

Consideremosahora el caso especialdeun campo eléctrico estacionario.Recor-dando que el campo eléctrico estaciona-rio se relaciona con el potencial eléctricopor f : - grad Y, podemos escribir

t -c.dt:v,+-vn,JL

(16.61)

dondeA y B son puntos unidos por latrayectoria . De este modo la integralcurvilíneaentre dospuntosde un campoeléctricoestacionario s gual a la dife-rencia de potencialentre esosdos puntos. Si el camino es cerrado, os puntosA y B coinciden, la ec . (16.61) a

u' : $€. i l :a .

Expresándolo en palabras, podemos decir que

Ia fem, o círculacíón, de un campo eléctrico estacionario alred.edorde un eamíno cerrado arbitrarío es nula.

Esta proposicién significa que el trabajo hecho por un campo eléctrico estaciona-rio al mover una carga en urra trayectoria cerrada es cero.

Si el campo eléctricose aplica a un conductor, podemoscombinar a ec. (16.61)con la ley de {Jhm y escribir la ec. (16.46) en la forma

! rc.at:RI, (16.63)

cit¡¡rde L es u¡r carnino a lo iargo del conductor y It es la resistencia eléctrica

¿:ntre os punt+s del conductor u¡üdos por el camino .L.

(16.62)

t'"t;Tl.X'$

Flgure 16-8l



614 Camposelectromagnéticosstálicos (16.11

Como hemos dicho previamente,mantener una corrionte entre dos puntosde un conductor mplica que debesuministrarse nergia l sistema or mediodela fuente de düerencia e potencial.El problemaque ahorase presenta s si unacorriente se iruedeo no mantener en un conductot cenadoo circuitoeléclrico.Cuandose aplica la ec. (16.63),qur esencialmenteo es otra cosaque Ia con-servaciónde la energÍaen el conductor,a un conductorcerrado,da

( ' i l l : RI . (16.64)

El prirner mielnbro de esta ecuaeión s a fem aplicadaal circuito y R es a resis-tencia total del mismo.

Si el conductorse colocaen un carnpoeléctricoestacionario,ntonces, egúnIa ec. (16.62), enemosque la fem es cero (Vs, :0) y la ec. (16.64)da I : p.En otras palabras,

un campo eléctríco tacío¡taríono puedemanleneruna corríenteenun eircuito cenado,

La razón de esto es que un campo eléctrico estacionarioes conservativo y laenergla otal neta suministrada a'una carga que

describeun camino cerrado esnula. Sin embargo,una carga moviéndoseen el interior de un conductor trans-fiere la energia recibida del campo eléctrico a la red cristalina y este proceso

Itg. 16-89. Una corriente eléctrica se mantiene en

un circuito cerrado por medio de generadoreseléctricos.

es rreversüle;esdecir, a red no retorna a energlaa los electrones. or Io tanto,a menosque se suministreuna cantidadneta de energíaa los electrones, stosno sepodránmoverunüormemente n un circuito cerrado.

En consecuencia,ara manteneruna corrienteen un circuito cerradoes nece-sario prrrveerener$a al circuito en ciertospuntos A,A',A",... (f ig. 10-32).A los dispositivos uesuplenenergiaos lamamos eneradoresléclrícos , G',G,,,...,y podemos ecirque constituyenas fuentesde fem. Luegoel campoeléctricoque aparece n Ia ec. 16.64) o es estacionario,a los puntosA,A',A,, , . . . ,correspondenamposocal izadosroducidos or los generadores,G',G,,, . . .

Hay muc.hasmanerasde generaruna fuerzaelectromotriz.Un métodocomún

es por medicde una reacción uimica, al comoen una pila seca en una bateria,en las cuales a euergia nterna tiberadaen la reacciónquírnicase transfierea

I

Jt



r6. í l i l-cei';c eiet:i¡rnnulri¿ *16

Jir¡l * lettf '*¡¡n:$" ,1t.rf i ' . : ,--t¡¡i i i ; ; i : i : l rl i¿ ¡¡::.c is Ft.1i. ¡:r,,._l iulr:. i ; i : .;f i ]er.,¡;;rt ia in;iuc**:i*;r ¿:ieCtra;s;r;;nc,lica, {lit:rr: ¡3X¡.i!;lrd s¡ : r: j brr,¡xil¡i1:.L:i:rjtilii},

! i :¡; l - f l le¿ftt ür l :::¡:, i t i i \r!,r:.,:... i : j -.tSL¡;teiri* i_ir-:: l ; ::f.ni.,.t i . ! l -r.{) , ir:di...t *" 1 i" l . f ig.: f l ' l i i , d*rrd,: t l ienti¡!;.1 i ' , i r, ," -1.' : i1: :,,1. ' - ;,.; ' r j t: : 1\ i ¡ i i , i l . :¡i tn ¿;rí . . r¡¡*a jd'fi¡cnle 4e f':r-r el tie:":¿ .! :{.[ir;-r.. i. ; !:rr"" .. ., . ,. r irüsiti.,'j. ¿.i Seg:nr.nr.OCrirt{". L. ¡¡)i)iú negst"¡a/ú,

Cnand* fi:riica:nc's i¡. irv de Llhnriec" ils.d$lj a l¡n circur:* simple conlü e! det* fig, 16-33, debernoe tener *r¡ cuentá q:le !a re"qi$tr.rcrá iqf.si p es la s¡rrna cle Ia

iesietenci*. interna f;¡ de Ia fi¡eute de fern y iayesisten*ia externa .ft" tl.el condustcy coneetadoai genenador o baterfa). Asi "R fi ¡ * R¿,y lalev de Ohm. se convierte en

Ve :(R"*R¡) / . (16.65)

E.qta ecuaciónpuede también escribirseen laJorrna V - filf - R¿I. Cada miembro de Iaecuaciónda la difereneiad¿ potencial entrelos polos del generador o baterla). Podcmosübservar gue esta düerencia de potencial es

menorque s fem.

Ftg. 16-88" Representación enslmbolos de un circuito con unafuerza electromotriz,

ñ,rEMPLo 78.77. Métodos para calcular las corrientes que existen en una redeléctrica.gotr¡olón.'Una red eléctrlca es una combinacién de.conductores y fuerzas electro-motrlces, ta l como la ilustrada en la ñg. 16-34. consideraremospor ahora sólo eleasoen,que las fem son constantesy en la red se ha alcanzadoun régimen estacio-nario, de rnodo que las corrientes ssr¡ ambién constantes.Usualmentl el problemac{}nsiite en encontrar las lntensldades de corriente en funcióh de las fem y de lasresiste¡eiac.Las reglaspára resolver sste tipo de problerna, reglas conocidascomolegesde KírcMrcff, €xpresan simplemente a conservaciónde la carga eléctrÍcay dela energfa. Las leyes de Kirchhoff se pueden enunclar como sigue:

(1) En un nudo de una red la suma de las intensidadeses cero.

(2) La swna d.e as catdas d.epotenciala Io largo de cualquier ca¡ninacenad.o en une red es nuia.

FtS. 1&84. Red eléctriea.

1"o



616 Camposeleclromagnélicossttittr';¡s (16.12

Al escribir a primera ley" debemos onsirlerar qi;eiias :orrie¡rt:sgu e salende unnudo como positivas y las qu e llegan como negai.ivas. a prirnera ey expresa aconservación le a carga porqtie, colnlr iasc¿¡rgas{i se acumuia¡ien un nudo, elnúmero de cargasque legaria un nu<!c': ;r .¡ n ierto ien:po lebeser gual al núrnerode cargas que saltn err el mismo tienirrr-'.

Al aplicar la segunda re y lehrerncsclncr en rucni.¿ as siguientes eglas. Unacalda il c potencial a tra.¡és de una resistr:¡r:ia s ¡ losit i .",a nagativa según qu erecorraÍnosel circuito en ei senlido dc ie r :i;rieni.e

o en sent.ido'opuesto. uantlopasalnosa trá-vésde una fem, toma;nos la rliterencia.Ce potencial como negativao positiva dependiendode quc l: ¡ at¡'a-r'esemr¡sn el s¡r¡¡tidc n que actúa la fe¡rr{ar::!enlo de poÍ-encial) en sentidoopuesto disininuciónde potencial)" a segundaiey expresa a ¿ons*rvaciónde la energÍa, ya quo ia var'iación rreta de energfade¡-illrrcarga despuésde haber recorrido u¡r cainilxr cerrad:; debe ser cero. En iaer . (10.ii5) esc¡ita en la forma R-f - yg ,.=0, donde ñ -= R¡ f R,, hernossatisfechovc ese requisito.

Ilustreremos ahora el uso de las leyes de l{irchhoff aplicándolasa la red de laf ig. 10-it4.La primera )ey aplicada a los nudos A, B y C da:

Nudo -4 : -1 , -r 1, a 1, : 9,Nudo 8: -I , * Ir + y'E 0,I . Iudo C: - I r -_ fn +.1": g.

I-a segu nda ey aplicadaa los recorridos1, 2 y 3 da:

Ilecorrido 1: -R"I , * R¡I, + Rrt. - Vs ¡ : 0,Recorrido 2: Ru/o Rrf. - Rnf. : g,Recorrido 3: Rr/, * R"I" * Rr/. - Ve r * Vs . : 0.

Estas seis ecuaciones on suficientespara determinar las seis corrientes en la red.[Ina regla práctica a seguir para encontrar las corrientes en una red con n nudos

es aplicar la primera ley a n - 1 nudos solamente,porque si la ley se satisfacepara n - f ¡t¡dss, se satisfaceautomáticarnente para eI restante. (El estudiantedeberá veriflcav esta aserción en la red de la fig. L6-3.1). a segunda ey se debesplicar a tan¿os ecorridoscertadoscuantos se equierana fin de que cada conductorseaparte de un recorrido aI menos una vez.

II . DL CAMPO MAGNNTICO78.72 Ley úe Arnpire pd,ra el carnllo rn$gnétieo

Estudiaren¡os ahora algunas de las plopiedades de los campos magnéticos esta-cionarios, o independientes del tiempo. consideremos primero una corriente .trrectilinea indefinida (lig. 16-35). El campo magnético :)J en un punto A es per-pendicular a OA y está dado por la ec . (15.41),o sea

,' f

tj :#u4.

Calculemos a circulación de ?J alrededor dc una trayectoria circu.larde radio r.El campo magnético?3 es tangente a la trayectoria, de modo qu e qJ "dl:WLy de mótlirlo constante^ Por lo tanto ia circuiación magnética (que designamospor .A.s)es

. r , .= ' ' { , l j .dI - . , f r i I : i )$ at,=f! , , , : f*ú) tr"n'¡ . r , JL \2rr l '



16.12) Leg de Ampére para eI campo nngnélico 61f

¡ 'l l . t -I i ' [L]]I

Fig. tB-!ió. Campomagnéticode unacorriente rectilfnea.

Fig. 1ú-36. La circuiacién magnélica alo largo de todas las trayeetorias circu-lares concéntriias alrededor de una co:rriente rectilf nea es la misma e iguala Po/.

porque L :Znr. De este modo

Ag : ¡r,01. (16.66)

l¿ circulación magnética es entonces proporcional a la corriente eléctrica f, yes independiente del radio de la trayectoria. Por consiguiente, si trazarrios variascircunferencias ., L2,Ls,..., ( f ig. 16-36)alrededor de la cor¡iente,f;la circula-ción maguética en todas ellas es a misma e igual a ¡rof, conforme a la ec. (16.66).

Conside¡emosa continuación una camino arbit¡ario Z rodeando la corriente /(fig. 1ü37)" La circulación magnética a lo largo de L es

¡ , " :ó (B.dt :+40 ue'dt .uL ¿r uL f

Pero uo.df es la componente de dt en la dirección del versor ?Je, por lo tanto

es igual a ¡ d0. Por consiguiente

^':,,01-

4 ¿u $ tr' l : pol,2¡t J t. 2¡r

ya que el ángulo plano total alrededor de un punto es 2n. Este es nuevarnentenuestro resultado anterior (16.66), el cual es por lo tanto válido para cualquierca¡'nlno que encieruea la corriente rectilínea, independientemente de la posiciónde ia misma con respectoal camino.

Un análisis más riguroso, qu e omitiremos, ndica qu e la ec. (16.66)es correctacualquiero- ea la forma de la corriente, y no sólo para una corriente rectilínea.$i fenemosvarias corrientes IL , Iz,ls,..., enlazadas or una linea ¿ (f ig. 16-38),cada corriente da una contribucrón a la circulación del campo magnético a loIargo de L, Podemos establecerentonces a ley de Ampére en la forma



618 Campos electrontagnéticossfálíccs

¡n:{ r }J.d l : ¡ ,01,

donde I : Ir -l - Iz -t- IB 1-tenüdapo r la lrar¡ecloria ,

F lgurr 1G-37 I ' l ¡¡. l6-38, [, a circulaci, in magné-t ica a lo l : rgo r ie cualquier cami¡¡olerrai lc i: sproporcional a la corrientencti l ci iaet'ri i ria ¡,r¡r el camino.

la círculdcíón e ¿r n :ütnp(tmuqriétíco Io krgo tle una i{nea ce.rradaqu e enlazq as corríeaies ,, 1r. Ir, . . ., es

(16.12

I{lI a?.

Á*\

(16.67)

repre$entaq corrienteolal conca-

Cuando lp l icamos a ec. (16.67) omirn ioscomo posi t iv l ia corr ienteque atra-r , iesa , e¡ i c l scnt id l ¡ ¡ r i i l r í r \ 'anzaun torni i lo de icsci¡ dercchaal rotar lo cn e l

":c¡'rtir ic,n rJi¡eestl ' roi:icntaila -, I 'rr,:galii 'a si el ser¡t,l ' l l l s opuesto, Así, cn la

í!g i ti- i8, i¡: corrir:nt.t 's , cr f* se tunriclt ii n I lnsit . i teq r l'í i /^ negativa.

Ci:endl l i t l i , r i j ¡ ; : lc : r¡ ' i l r . r *v l i r i 1.1 ¡: ; ¡¡ i ¡ | r .1 * ' ! . ! l i -¡ ' : t : r¡" i i ' i l fe elóctr ica prrerl t

r'>i l i r.,s¿,I 'sf ,.;nto al i i ri jode C¡:n.' ; id¡¡j lr r ' : ' .11'!-lrl i rt::pst;: ¡s. 1

-. JS" u.r' dS), pO -

de¡n¡¡:" t ! í i r t {--c : . ! t¿l i . . r" ' r i t , \ ¡ i i ¡¡ , ' r i " r ; , ' . i l i ¡ . í . . i } . i ,a iql r i t : l t t 'n i¿ i -ol 'uta

ti . ,i t ;i lt : I i í1.i13)

tlt in,,i¡: i l t 's tryilr¡qi,:r siitrttri ' irtir. '"t;;r ' '¡ i i:: . 'r ij ,.

lf l hqchride qiir ja circulaciir¡1 i¡ i leirpr' rLat-:n¡il. ic('¡tL)ta generailnente ulaindica que el campo mrgnét ico no t j rne u i l potencia l nragnét icoen el tn ismosentido qu e el campo elóct¡ico tierte potencial eléctrico. La Ley de Ampére esparticularrncnte útil cuando deseamoscalcular ei campo magnético prcducidopor distr ibuciones de corriente que tienen ciertas simetrias geornétricas, omose muestra en ios siguientesejenpias.

E,IEfrIPL0 7$.Í8. Lrsanrlo la iey de Ái lpere.: i tLr<l iar r i ( :af tpo magnét ico prodtt-cido po r urra corrientc c¡'uepasa a lo l :rrgo ¿le u;r ci l indro rccto de longitutt infinita.

¡

--¡z:-



ru. iat Leg de Arnpbe para e!. caranpümagnética 6jg

(16.6e)

;soir¡*dctn¡üor¡sideren¡o¡ !a corriente .l q'e pasa a lo iargo de un eilindro de radio aing 16-39). La simet¡ra tier pri-ibrema o,:qi*.* claranie¡ite ó; il ltneas de ruerzadei campc rnagnético son cirCur,ier,:nr:ias íon sr-¡s :entros sit-uarios a lo largo del ejede i cii:neirc, l" 9_ir9e. mú,i*L-..':):r el carnpo magnético en un punta d.epende sélodf is ri istancia-.del pL1:-j ir.¿r .j t ' i trcr. ¿'¡1., i¡ui.nie, euando .i" iJ"*o. un a circun_ferencia de'¡adio r csrn el cere'r¡r: cl,:rs i¿r'u,;:riente

"o*urru*rira trayectcria l,Ia eirculacién magnética es

,rrr: $_+t¿t : T, $ , i l : .tJ¡, :2tr¡{D.J f t -

Si el radio ¡ es rriyot que el radio del cilindro c, tr:cla a corriente .l quedaen el interiorde la circunferencia. or lo cual, apricando a ec . ró.021,"i.."i""I"

2;cr-ú iqi ó $: tI ,zfEl

que e$ precisamente el resultado encontrado en el capftulo 15 para la corrienteen un filamento. Por consíguiente,-en puntos luera de'uno r*rirnte cilÍ.nd.ríca, reunpo magnético es eI mismoque si ra colriente ástuuíeraa to t*-gi aet e¡e.

l-,,_¡I

rrgurs rs,-óu Flg. 16.40. Bobina toroidat.

Pero si ¡ es meno¡ que a, tenemosd.osposibilidades.si la corriente ci¡cula sólo3l.o lTgo-qe la-superficie.d.elcüindro (como puede ocurri¡ si er conductor es unahoja ciltndrica de metal) la corriente encerradi por L, es cero y ia rey de Ampérerra}rfr1 : $ ó cÉ : 0. Luego, e.rcampomagnétiioíÁ m pl¡¿loi'intíriorw de un cilindror¡ee ransportauna carri.ente,sobr,u'supei¡icie es cero.pero sita corriente está unl-formemente distribuida a través oe tó¿a la secclón transversat

¿erconau"torl-iaeorrienteen el interior de l, es

, ' : -+(nr¿):+En consecuencia, plicando ra ley de Ampére, obtenemos ?"rtt9 FnI' polrr/azs

,b: hL .2rra, (16.70)

I

\ 1,

Par lo tanto el campo magnético en yn punto interior de un ciltnd¡o que lg:ansportauna corrienle unilormemente d.istribuida u traué.sd.esu sección¡ansoer'sal t-

jr:opo"-eíonal a Ia distancia del punto aI eie del cilind.ro.

Flguro 16-30



620 Campos electromagnéIír.oseslalicrs (16.12

EJEMPLo 76.79, usando la ley de Ampore,discutir ei campo magnéticoproduci{opor un a bobina toroidal.

Salución:Una bobina to¡oidal consisteen un alambreuriiformemente rrollado enun toro o superficie nular, como en la f ig, 16-40.Se aN el número de vueltas, odasigualmente espaciadas, r la intensidadde la corriente que po r ellascircula. Lasimetria del problema sugiere que las llneas de fuerza clel campo magnético sonclrcunÍerenciasconcéntricas

con el toro, J'o¡nen¡os rimero como nuestro caminode integracién una circunferencia rlc¡rtro det toro. La circulación magnética esentonces rA :'13L. El camino l. concatena odas las vueltas alrededordel toro,y por io tanto la corriente totai que fluye a través de él es N/. Luego, ap.licandola ley de Ampére, obtenemosc6¿ : ¡¡NI ó

(Í l : uoNI/L.

Si el radio de la sección ransversal del toro es pequeñocomparado con su radlo,pcdemossuponerqu e I es práct.icamentea misma para todos ospuntos nteriorescel anii lc. Dado que n: N/1, es el núrnero de vueltas por unidad de longitud,concluimos que el campo nragnético en el interior del toro es uniforme v tiéne elvalo¡ constante

ej : ponl. (16.71)

Fara cualquier camino fuera del toro, tal como tr' e L",la corriente total conca-

tenada por él es cero, por lo que.ts

: 0. En otras palabras, el carnpomagnéticodeuna bobina toroidal está enteramente confinado en su interior. Esta situación esaplicable sólo a bobinas oroidales cuyas espirasestánnuy juntas.

e.tEMPLo 7820. usando la ley de Ampére hallar el campo magnético en el centrode u¡r solenoidemuy largo.

sotuclón: consideremosel solenoidede la ffg. 16.41,que tiene n espiraspor unidadde longitud cada una conduciendouna corriente 1" Si las espiraséstán muy cercaunas deotras y el solenoide smuy largo, podemosconsiderarque el campomagneticoestá confinado enteramenteen su interior y esuniforme, como se ndica ton la i lineasde fuerza en la ligura. Escojamoscomo camino de integración el rectángulopOns.

z'

Ftg. 1B-41, Solenoide Iig. 1$-42. Camino elementalpara esta-blecer a ley de Ampére en forma diferen-cial.



16.13) Leg de Ampére en forma diferencial 62I

La contr ibución de ios lados 0¡ t y sP a la ci iculación magnética es cero porque elcampo es perpendicular a el los; tantbién Ia contribución de l lado RS es cero porqueail l no hay campo. Por consiguiente sólo el lado PQ contribuye en la cantidad scde modo que A?,1 'lJc. La corrietite total concatenada por el camino de integraciónes ncf, ya que nr da el núrnero de espiras. For consiguiente la ley de Ampére da:lJa, ynnx.I ó (I l : ¡.ronl, conforme a nuestros resultaCos del ejemplo 15.9 para elcampo en el centro rle un solenoide largo.

El estudiante habrá comprendido co n estos ejemplos la uti l idad práctica de Ia

iey de Ampére para calcular campos magnéticos que tienen c¡ertas simetrfas.

16.73 Leg d,e Arnpére en forma d,ifereneial

Como sabemosque la ley de Ampére se puede aplicar a trayectorias de cualquierforma, apliquémosla a una trayectoria rectangular muy pequeña o infinitesimalPQ-RSdel plano XY, de lados dr y dg y área dr dg (frg- 1G42). El sentido de lacirculación alrededor de PQRS se indica con las flechas. La circulación constade cuatro términos, uno para cada lado; esto es,

¡o:d cn.d.I : i +i +f +[JPQR^S JPQ JQR J.RS J.SP

(16.72)

Ahora bien, a lo largo del caminoQR, cuya orientaciónes paralelaa la direcciónpositivade l eje Y, dI :uudg y

f

J oRW'dl : cbl'uudg : c)Ju Y.

Análogamente, ara el lado SP, que está orientadoen la direcciónnegativadeleje Y, d l : -uydg, y asl

r

J"r,%dI : -'B' .W¿g -c&i dg,

de modo que

Jn^ f"": (%u,Ei)

ay.Pero, omoPQ:dr, c$u-13;:dcl3v:(ff iol4x) dr, se iene

r| : ñ3ud., du.l+JQR JsP 0x

Por un razonamiento análogo, los restantes dos integrales de Ia ec. (16.72) son

i * f : -Y"a,as.Jee' Jns og

Sumando los dos resultados. obtenemos finalmente

^%:ó ' r 'dI : ( ry-{ ! ' \ a,av.Jepns \ or ou / (16.73)



622 Campos eleclromagnéli cossli l ícrrs (l6.IJ

Dado qu e d/ es ia cor¡iente qiie pasü a través d.: .trQ.RS, c.rienroselacio¡rarlacon la densidarlde corriente escribiendo

(16.74)

Escriiriinos i, porque esta es la única romponente de la densjdad de corriente3quc crtntribuye a la corijente ri1 :i ir¿lvés de PQR^S. ,as componerntesr y jucorrespond€¡l mcvimientos pa:ai,rios¿r ; i sul lecicie y no a través de ella. Sus-tituyendo las ecs. (16.73) y (iü.7a) er la ley cle Ampdre, cc. 1.16.07), odem<lsesc¡ibir

I fr, 0 J.'\ -,._\ , ,

- -e; )cxdu:¡ t ' t t t -vs izdrds'

cancelando ei fac tor conrún rlr dE en aribos mienbros, obtenemos a lev deAmpóre en su forma diferencial,

?t iv d'13, j-_-j : U^ l ' .

Ar Ay(16.75)

(16.76)

(16.77)

Podemos hora colocarnuestrasuperficiePqRs en los planos yz o zx, resul-tando as exDresionesqüvalentes

ffw,0g

tr)]"

f f iu-0z

acld,

tLoJ"

voJuArz

Las tres ecs. (16.75), 16.76)y (16.77)pueden combinarseen una sola ecuaciónvectoriai. obsérvesequ e los segundosmiembros so n as componentes el vectorj,la densidadde comiente,multiplicada por ir.. Análogamente, os primeros miem-bros pueden considerarse omo las componentes e un vector obtenidasa partir

de?3 combinando as derivadasen la lorma i¡rdicada;es evector se lama el rola-cional de r) l y se escribe rot ?J . Entonces las tres ecuacionesse pueden resumiren ia ecuaciónvectorial

rot .)J : poi. (16.78)

Esta es la expresión de la ley de Arnpére en forma diferencial. Podemos usar laec. (16.78) para obtener el campo magnético cuando conocetnos a distribuciónde corriente,y reciprocamente.En un a región tionde no haya corr ienteeléctrica,rot cl j : 0.

La ley de Ampére en iorma diferenciat esiableceun¿l relación focal entrc elcampo magnético 7JcI r ti n punto .r la Ce¡tsirla;i de corriente en el mismo puntodcl espar:ir. '.e un nlodo s irnilar D ro;rlo la i ; :y de G¿russtrlacionael carnpoeléc-

tr lc* y h"' , ¡¿¡g¿" t-'¡r l lnisriro prilto Cel esp:-icic. cd*¡nos de este l¡rocioclccirquc .lrs cocrientes léctricasso n ii¡s fuentes dt l campo magnético.



16.15)

La expresiónquivalente

rot { ' :0,

Xlagnetización de la malería 623

la ec. (16.78)para un campo eléctricoestacionarioes

Yf que hemos probado [ec. ( i6.62) ] que para tal campo(9rt 'dl : o¡.

(16.7e)

la circulación es cero

16.74 Flujo rnagnético

EI f lujo rnagnéticoa t ravés de cualquier superficie,cerrada o no , colocadaen unüanlpo magnético es

oo : | )J ' u.v dS.JS

(16.80)

El concepto de {lujo magnético a través de un a superficie es de gran impor-iancia, especialmentccuancio a superficie no es cerrada, como verernos en elrapitulo 17. Por elio es convenientedeflnir una unidad de flujo magnético. f ivi-rientemente,como el f lujo rnagnético es igual al campo rnagnético multiplicadopor *: l rrea,se expresaen T m2, unidad llamada weber en honor del físico alemán

Wilhelm E. \Veber (1804-1891). e abrevia Wb. Obsérvese ue corno T : kg s- li-1, \\¡b : T m2 : mz kg s-l C-1. Muchos textos expresan el campo magnéticoeir Wb m-2 en lugar de -I'.

Como no ha y masas nagnéticas polos (o al me nos no han sid o observados),ia s líneas cle fuerza del campo magnético )J son cerradas,como se indica en ele jemplo d iscut ido en el capi tu lo 15. Conclu imosque

ei flujo magnéticoa lrauésde unq superfície cerrada es síempre nulo.

E,.sto s, el f lujo entrante a través de cualquier superficiecerrada es gual al f lujos;rlie¡rte.Luegc

i ) r .¿¿vr1.S:0,i5

, i . : , : i i i . : r , i t : , { l i t r ) s( ; ! - . r ¡ t , i l r , r i t : ! t ' - i i l f r }¡ ' l i : - r l r , ¡nt i l i " : fntc l i i : pt l f l ; t :n¡ l , t do ]a ¡. :Xl ; fesi¡ ' : i l

: - , i r i ' t ' . !1 ' . ; ¡a l l iJ i i ;1¡. l r t ' rr t . : ' t , , . t. i, . i i i . I . l t Crr i r i ¡ rr . r i ¡ : l r i l i ¡ s ' , ¡ ' . : o lni t id l i . i js i i : i i ts i iJ-

;r ' -1: , t r_: t i : t i . l l i : r ' l : t: i - t : i t i ' . i i , ¡ : ¡ ' . ! : . i i i (¿ :: l r ;ur: i l t , ¡ ¡¡1 '1¡¡ ; ' ¡¿f i ¡ ; t i .,l l form* r i i ier , : i i , : . t i i

I tnt¡¡10s. pr- i ¡ xnal¡gia , :r . l j; ¡ rC . I l { ) . 1; ¡ l l t r l i el r- ' i im}to eiét: l r ico,

í . : .i, -___ :_ -- {)

¿:ó ttiv ,U ',=0.

Jsi. ; j ¡ 1i¡: .gnetizncióprJe la tnuteriu

t i r l t i t s l l i : i r : . : : i5"10 inci ic¿inic¡s ll e una pequcña corr iente, tal cornr¡ la debida

a los eleci rones err un átomo, const i t rrv t ,Lrn t l ipolo nragnét ico. Los áton.rospueden

o no presentar un rnornento dipoiar ni irgnético neto, derpendiendo de la sinretria o

t. , , ), tI

r, I iíl

-; --T- :" '(r (u

( r6.8r

(16.82)



624 Campos eleclromagnélicos slátícos (16.15

de la orientación elativa de sus órbitas electrónicas. omo a rnayoría de las mo-léculasno presentansimetría esférica,puedentener un momento dipolar magnéticopermanentedebido a orientaciónespecialde las órbitas electrónicas. or ejemplo,las moléculas diatómicas tienen sjmetiÍa axial, y pueden poseer un momentodipolar magnético paralelo al eje molecular. Una porción de materia, con laexcepción de los materiales ferromagnéticos, no presenta momento magnético

neto, debido a la orientación al azar de Ia s moléculas,situación similar a la en -contrada en la polarización eléctrica de la materia. Sin embargo, la presenciade un eampo magnético externo distorsionael movimiento electrónico dandolugar a una polarización magnética neta o magnelizacíónde l material. Lo que

\

PlS. 10-4S. Corriente superficial demagnetización en un cilindro magneti-zado.

Flg. 18-44. Corrientes elementales enun cilindro magnetizado.

sucede esencialmente, es que el campo magnético produce sobre los electronesun movimiento de prccesión o de rotación en torno a la dirección del campo

magnético local, como se explicó en la sección 15.6. Cada ele ctrón contribuyecon un momento dÍpolar magnético dado por la ec . (15.27).

Consideremos,por simplicidad, una susüancia en forma de cilindro que estámagnetizada en dirección paralela al éje del mismo (fig. 16-43). Esto significaqu e los dipolos magnéticosmoleculatesestán orientadosparalelamenteal eje delci l indro, y por lo tanto las corrientes electrónicasmolecularesestán orientadasperpendiculanncnte al eje del cilindro. Podemos ver en la fig. 16-43 (y con másdetalle en la vista de frente que se muest¡a en la fig. 16-44), que las corrientesinternas tienden a cancelarse ebido a los efectoscontrarios de las corrientesad -yacentes,de modo que no se observacorriente neta en el interior de la sustancra.Sin embargo, la magnetización da lugar a una corriente neta Im sobre a superficiedel mater ia l , que actúa como un solenoide,

El uectormagnelizució¡1l( rleun rnaterial se riefine como ei momento magnéticodel medio ¡ror unidad de volumen. Si rr esel ¡nomento dipolar magnéticode cada

Corriente superflcial



;6 . t6) Co,mpamugnetízanle 625

átomo o molécula y n es el nún:¡erode á.tom s o moléculas por unidad de volumerr,ir ma.gnetizaciónes c:ll( nrn. El momento magnético de una corriente elementalse expresaen A m2,y pcr consignicnte a magnetizacíónLlll se expresaen A m¿/ma.\ rn-1 ó m_l s-r C, y es equivalcr:te a corriente por unidad de longitud.

Existe una relacién muy irnportante entrc i: r corriente sobre la superficie de lcuerpo magnetizado y la magnetización ?fl. üi¡servamos en la {ig. 16-43 que Ie¡íluye en dirección perpendicular a cW. El cilindro mismo se comporta como ungran üpclo uragnético resultante de la superposición de todos los dipolos indi-.;iduales.Si S es el área de la sección transversal del cilindro y I su longitud, suvolunren es IS, y por consiguientesu momento dipolar magnético total es9/C(/,S)(.''¡?(-i)S.ero S es precisamente el área de la sección ransversal del circuito for-nado por la corriente superficial. Como momento dipolar magnético : corrienternultiplicada por área, concluimos que la corriente total de magnetización que¿parecesobre ia superficie del cilindro es()lU y en consecuencia a corriente porunidad de ongitud /f l sobre a superlicie del cilindro magnetizado es?tr, ó Ix :cl/(.Aunque este resultado se ha obtenido para una disposición geométrica particular,es de validez general. De este modo podemos decir que

la corrienlepor unídad de longitud sobre a superfícíede una porcíónde mqtería magnelizadaes ígual a la componenledel uectotmagneti-zación cll(. paralela aI plano langente a la superfície del cuerpo, gtiene dírección perpendicular a (ll(.

76,76 Carnpo mrynetieante

En la secciónprecedente imos que una sustanciamagnetizada iene ciertascorrientes obresu superficie ¡r dentro deella si a magnetización o es uniforme).Estascorrientes e magnetización, in embargo, stán"congeladas"en el sentidode que se debena electronesigadosa átomoso moléculasdeterminadas noson ljbres de moversea través de la sustancia.Por otra parte, en algunassus-tancias ales como os metales,hay cargas léctricas apaces e moversea través

de la sustancia. lamaremos orriente ibrea la corrienteeléctricadebidaa estas

Figuro 16-46 Ftgurr 16.46



626 Campos eledromagnélítose-ctalbr¡s (16.16

cargas ibres. El n muchos caso$ cr r ielcsita iii-*r:q{';!r er¡riicitanrenteentre co-

rrientes ii lrres v corrie¡rtes )t mli¿1n*'tizi¡¡:ir il l.', irnc ir lr€Inos en esta seccii) i l .Consiilers:l'¡rosc nut:r 'c l t l : plrcilrr rjlínili!t:t t ir: ¡-::a1'rin ro!ocada en ei inte-

r ior de urr srr le¡ ro i ( lear ,qc ci e l : i i te , ' i r r i t lu l l r i ¡ r , . ¡ i r ier ' , tef 1f i9. r j -4ó) . )stacorr-iente roilucreur! caürpc irirÉi;r ' i;co qurt: ;rtrqli ' i i¿a ': i .: i l iniirc y da lugar aun a rürrienie de rnagnet.lzali¡. 'r¡oi,: 'r i;¡ s:i '- i¡rJicie cl r¡¡isrnoen igi iai sentido

gu e i. L.a r:olric¡ltesupcrfir:i: i1i¡¡ ¡:,i, '¡¡r""!,1¡i:i¡ il irt.r:¡ rtit latl Ce r¡ngitud es igrralir t ] / i . Sj rel s;:ie¡roi¡leiene n esi,' i¡ '1):J::,rl-nr{ja¡i d" |+n:Jitud,ci sisl.ema o}erlrrideti¡á: *i ci l inci io rntg!:t:+iz;ld{i 1.,.rluj'-¡rlri-:te " r:l so}r¡gr:lenrtirli: r.re ranstori.auna cír¡l ' icnteps r uli i lad dt , iorgit';C iqulii z r l +- ' l l í . I i¡ l¿ corrientesrlenoidaief¿ct,iva ia irrga"r un frmcn ¡¡1:;¡¡;¡;11.i;1;;eql¡it¡i¡rteJ paraleloal eje del cilirdro,calr¡tlo {r¡1",'o1\ódüic :sl, lrda¡ill I '¡rrt ' i l tr:. ¡.i.ü,71.),on nl rtenip}azari<l rr latr,rrie¡te tr-;tq1io t unidad d¡¡ k¡¡rgiii;t i r: I ¡ ':/ i. Esio es. i i : iro(n.I .:)if¡ $

1-:_ -] j - ':tii :. nI "po

lrsl"ae;*prcsi('nda ias c<ll'denicsitrres. l dr crirrdu.cción or unidail de longitud"n.i, subre a supcrficiedei eiiind¡o, en f uníi iúnde i campc magnético )J en el mediov la magnetización lll del misrno nedio.5i ahserva¡nos ue'fJytlft son vectores

en la misma direcci ón, el resuitado anterior sugiere a irrtroducciónde un nuevocarnpo vectorial, llamado ca mpo nügnetizarüe, efiniCopo r

N : ]- 'N -:t l ( .l¿o

Se expresa en A m- r o m-¡ s-l C, qu e son las unidades de los dos términos queaparecen en el segundo miembro.

En nuestro ejemplo particular, tenemos )t : nI , que relaciona91 con la co-rriente l ibre o de conducciónpor unidad de longitud del solenoide,Cuando con-sideramos una longitud P0 : L a lo largo de Ia superficie, e nemos entonces

}tL : ln l :- lri¡.e, (16.8,1)

donde /¡1¡.. : I-nI es la corric::te lil: ie totai del soient-¡i ' le orrespondiente lalcni:ituri J," -aiculanrjri a circulac;rn de ':|f alrtderJor iel rectáirguloPQI?S" rne-niüsq' (e . \ j : : , : / { .L, ya que-} escexr i :er : r , - .1e}cl r ; io i ¡ i t / } f i i ( los¡ ;n)v losindos

Qn -v SP no cr.intrii:uyena ja circi,ri¡¡tión, loiqi le sr;n perpendiculares l campomagnético. De este modo la ec. (lti.48) puede t'scriii ir-se n la forma r\¡c:1¡1¡.*,donde fu¡," es a coni ente libre total a través cltl rectángrrloPQRS. Este resultadntiene validez más general d,-r o que nr-iestro:.¡nálisisimplificado puede sugerir.E¡r eiecto, puede verificflrsequ e la cí.rculación'J-eIampa mognelízante lo largodeuna llneu cerrada s ttuale la corrí¿.nteíbrt lt¡fala íreués e Ia lragectoric. st o es ,

. \ : * ==ü . | f . : j / : / ¡ , ," ,rI

i i r ' t l l i : : l t - ; : l j r : i i :1¡i l r l .

I t lr: ! i ' {. r " l I i . t r i ' ; iC, ' '

(16.83)

(16.85)

. . ¡ ' : ; r . l , , l t , ! ¡ i , l ri i : i : : l lgasl i i : ,.; , i ' , . :: ' rr :xt: lr;yenflc La q Co -



16.16) Campo magnelizanle 627

rrientes debidasa la magnetrzación e la materia.'Por ejemplo, si la trayectoria f-(ng. 16-46)enlaza a los circuitos 1r, / , y a un cuerpo con magnetización9ll, de -bernos ncluir en la cc. (16.85)s<rlamr:nteas conicntes 1, c /r, mientras qu e enla ley de Arnpire, ec. (16.67),para ei carnpo nagnético )J , debemos ncluir todaslas corrientes,esto cs, a 1, e Jr, dellir lasa i¿¡s '¡rgas qu e se mueven libremente,así co nro talnbié¡r ja s dr:bidasa la nagnetizacii,n J/l de l cuerpo proveniente de

lo s electrones igados.Escribamos a ec . ( i6.83) en la forma

13:vo(N+' l lc) . (16.86)

{ lot iro la magnetizacion :l l( del cuerpo está fÍsicamente elacionadacon la resul-tantc dei campo nragnct ico l . l , podr iarnosntroclucir rna elaci( lnentre,) / l y ' ) ls in; i l r r ra l¿r e iación,cn el casoeléctr ico, ntre I y t, dada en la ec. (16.10)"Siniril ltrar{Jo, or razonr'shistÓricas e acostulrbra a proceder de rnanera diferente,', ' rei¡cionar, en su lugar, ?/l y 7, escribiendo

'ltl : t-lt. (16.87)

l.a cantidad xr nse llama susceptíbílidad agnéticadel nraterial, y es un número

puro independiente de las unidades escogidaspara ff i y .X . Sustituyendo laec . (16.87)en Ia ec. (16.86),podemosescribir

donde

se lama la permeabílidaddel medio y se expresaen las mismas unidades lu e tro,es decir, en m kg-z C. La permeabilidad relativa se define por

i ¡ ¡ : t ¡ /po:1*Xm, (16.e0)

y es un número puro independientedel sistema de unidades.

Cuando vale la relación ,1 1 vc Y podemosescribir,en lugar de la ec. (16.85),

r1$ - ' l ' 'd l - / t i ¡ "" 'UL V

Si el medio es homogéneo,de modo que {¡ es constante, a circulación de l campomagnético es

'lJ : rro(Q( x'"cY) ¡,0(1 xñV : v2L

v :,)Jl l{: r,o(1f m)

nn:f , lJ .dI :

p/ ¡b,e.

(16.88)

(16.8e)

(16.e1)

E,ste esultado es simiiar a la ley de Ampére, ec. (16.67),pero con la corrientet+tal reemplazada por la corriente libre y p en lugar de po. Podenros entoncesronciuir que el efecto de la materia magnetizada sobre

el campomagnético

?J,' s reLrmplazaf ;.. rror ¡r . Por ejemplo, el ca mpo magnético de una corr iente rec-

¡E-.



rc.tn Cálculo d.e a suscepiibilídad magnélíea 629

aunque en muchas de ellas n se observa a causaadd efecto paramagnético ques¿ describe más adelante. La magnetización resultante está dada por

(16.e3)

donde 9{ es el campo magnetizante en la sustancia, n es el número de átomos

por unidad de volumen y ri es la distancia del electrón f-esimo al núcleo de unátomo. La suma se extiende a todos los electrones del átomo y el valor meüodebe calcularse de acuerdo a las prescripciones de la mecánica cuántica. Lasotras cantidades tienen el significado usual. EI signo menos se debe al hecho deque cll( es opuesto a ?f . Entonces, conforme a Ia ec. (16.87), la susceptibiüdadmagnética es

)ft -{# (4r) *,

kn-*E#(tr)

nmiwxm: zkr '

(16.e4)

y, como es negativa, la permeabilidad relativs [¿r 1 * x- es menor que uno.Si introducimos el valor conocido de las constantes, suponemos que n es apro-ximadamente 104 átomos por ms en un sólido y estimamos que ri es cerca de

10-10m (que es el orden de magnitud de la órbita electrónica), entonces tenemosque xm es del orden de magnitud de 10-5 para los sólidos, de conformidad con losvalores que aparecen en la tabla 16-3. El resultado (16.94) es el equivalente mag-nético de la susceptibilidad eléct¡ica estacionaria, dada por la ec. (16.22).

(b) Electo de oríentación. A continuación veamos el efecto de orientación.Como se indicó en el ejemplo 15.6, un átomo o molécula puede tener un momentodipolar magnético permanente,asociado al momentum angular de sus electrones.En este caso la presencia de un campo magnético externo produce un torqueque tiende a alinear todos los dipolos magnéticos según el campo magnético,co¡r Io cual resulta una magnetización adicional llamada paramagnetisrno.Elmagnetismo adquirido por una sustancia paramagnética tiene, por consiguiente,la misma dirección del campo magnético. Este efecto es mucho más intenso que

el diamagnetismo y, en el caso de sustanciasparamagnéticas, los efectos diamag-néticos están complet¿mente compensados por los efectos paramagnéticos.

La susceptibílidadparamagnélica de los gases está dada, aproximadamente,por una expresión similar a la ec. (16.26) para la susceptibilidad eléctrica debidaa las moléculas polares,

(16.e5)

donde mo es el mome¡tto magnético perrnanente atómico o molecular, I es latemperatura absoluta de la sustancia y k es la constante de Boltzmann. Comoen el casc eiéctrico, ¡- disminuye si la temperatura de la sustancia aumenta.Esta depen<iencia e la temperatura se debe al movimiento molecular, el cual

aurnenta con la temperatura y por consiguiente tiende a compensar el efecto de



628 Campos electromagnéfícossfdltr:;s

t i l inea 1 dentro de un medio magnetizati'u¿S

{16.17

(16.92)t! P' It ¡ :_7_

en lugar del valor d; : por la ec. (15.41).

16.77 Có,IcuIo d,e Ia susceptibilidad magnéticü

Como la susceptibilidad magnética ¡" . anáiogamente a la susceptibilidad eléc-trica x.¿,expresa la respuesta de un medio al campo magnético externo, estárelacionada con la s propiedades de los átomos y moléculas de l medio. En elfenómeno de la magnetización de la materia por un campo magnético externoentran dos efectos. Uno es una ¿rsfor.si¿inel movimiento electrónico debida alcampo rnagnético.El otro es ut efeclode orientación cuando el átomo o moléculatiene un momento magnético permanente.Ambos efectos contribuyen al valorde z- y serán discutidos separadamente.

(a) Efecto de distorsíón Sabemos que un campo magnético ejerce una fuerza

sobre una carga en movimiento. Por consiguiente, si se aplica un campo magné-tico a una sustancia, os electronesque se mueven en los átornos o moléculasestán sujetos a una Iuerza adicional debido al campo rnagnéticoaplicado. Estoocasiona una perturbación del movimiento electrónico. Si fuéramos a evaluaresta perturbación de un modo preciso, endríamos qu e usar ios métodos de lamecánica cuántica. Por lo tanto nos lirnita¡emos a establecer los principalesresultados, haciendo una ilustración simplificada en el ejemplo 16.21.

El electo de urr campo maguético sobreel movimiento elect¡ónicoen un átomoes equivalente a una cordente adicjonai inducida en el átomo. Esta corrienteesta orientada en un sentido tal que el momento dipolar magnético, a ella aso-ciado, tiene sentido opuestoal de l campo magnético. Como este efecto es inde-pendiente de la orientación dei átomo y es el mismo para todos los átomos, con-ciuimos que la suslancía ha odquir ido una magnetizución f( opuestaaI campo

magnélico, esultadoque contrastacon el encontradoen el casodel campoeléctrico.Este cornpcrtamiento, larnado diamagnelísmo, s común a tod as las sustancias,

TABLA 16-g Suseeptibilldad agnéticoa tempereiura emiriente

Sustancias paramagnéticas

nitrógeno (1 atm)sodiocobrebismutodiamante

mercuri ¡

--F, n v

---¿)" x

-1,0 x

i 0-ei 0-61i i -5! fl-6

1 ¡-é

10-5

tt

l. )

2,3rl R

7,1!n

?R

10-'6l0-s10-ó10-5L0-5i0-*

1ü-3

/.

x¡



(i30 Cani¡¡t ls elet: irl inaq¡¡i f i ¡ 'os es/iJlc¡;s { t r i " t 7

alin¡:amientrr i t ,1 lnrpo n)agDLt.!co.hora bie¡r, lr.i ¡esi:JtaCri ielprcblenra 5.it0,sabenlos1r :c i ordcn dc mr: ,gr i i t i r r lic l mol i rcnt . i túrn icc cs 10-23 - [ ' -1.)e estemodo al introducir los r,¿riorrs e las olr¿rscons|aiitt 's, ,i ec. (16.95)da para lasusceptibi i idadparamagnética a t{:rnperattira ambiente (298'K) un orclen demagnitud de l0-a para sólidosy ii)-z ¡raia gasesen condir:iones ormales. Flsteresultado concuerda satisfactori amentecon los valores dados en la tabla 16-3

para las sustanciasparanragnéticas.Uua conclusión mportante es que, tanto para ias sustanciasparamagnéticas

corno ltara las diamagnóticas,y'rr¡ s muv pequeña comparada con la unidad, yer t muchos casospuede reeinpiazars€ ": I * ¡rn por la unidad.

ic) Ol¡r¡s eiecto.sUn a tercera clase rl e sustancias maqnéticas son la s llama-dtis ftrr<ttiiagnéiicus.-a ¡ir,ii iciJral a¡¡cteríslit:a de estas sus'iancias s que pre-rr: i i tal l unh ntagiletieaciÓn el]Íit l i lent-t),lr!írsl¡grere'-rna endcncia naturai tje osrrof i ¡c i r i .OSr iagnt i l icosie srr : r i . r - i l ; r r ¡ . ;¡ l ; ro luculas ¡ l iüearse<lcbidca sus i i ter -¿r¿io:rcs¡¡ l tuas.La nagrret i i .a ,ct ros i i ¡ , in . : : i ¿ turales nenc. icnadosl pr i r ' rc ip ior le l capi t .u lo ¡ , ;on jempkrs de suslenci i is erromagnet icas. l fer romagnet ismoeEer; tonces i rn i lara la ferroclectr ic iCad i l su comDortanr iento enLrra l , unquesu origen es rliJi:rente. stá asocia.i oco n a interacción entre los cspinesS, y S,

i le d<. 's iectrones, ue undame¡rtaln¡ente s cie a {ornra -.*..ISl . 52 , donde a can-tidad ,,I, lamada ínlegral de íntertentbio,depende de la distancia entre los elec-troncs. Cuanrio J es ¡rosi.riva, l eclui l ibr iose obtiene si S, ,v S, son paralelos,

I."lL i' l

Fig. 16-.1?. Dominios rnagnét. l :os. a)

c iórt po r crecimiento de dorninios, 1c)

Sustancias no magnei izadas, (b) magnet iza-magnet ización por oi ientación de dominios.

resultantlo una oririntación de lo,sespinesclectrónicosen regionesmicroscópicasllamadas tlominíos(figs. 16.,17a ' 16-48a),cuyas riimensiones on del orden dc10-8 r 10-12m3 y que co¡rlienende 104 a 1017 tomos. La dirección de magneti-zación de un dominio depend e de la estructura cristalina de la sustancia. Po rejernplo en el hierro, cr¡yos c¡istales ienen est¡uctura cúbica, las direccionesdefácil magnetizaciónestán a lo largri de los tres ejes del cubo. En un a porciónde materia los dominios mismos puedcn estar orientadosen diferentesdirecciones,dandcrun efecto neto, o macroscópico, ue r)uedeser nulo o despreciable. npresencia e un campo magnét ico a ie¡ 'no,r¡s lominiosexper imentan osefectos:aqur l lcr i ' ior r in icsor i r - 'n laC,r l¡ r , ' r lL le l : r . .1t .1.a(r i i r . . 's l - rectol campü magl iét jco

cf i tc( i r l t i ' ' .1)€ l lsasle l ¡ ;s r i l j i tn tar l l : f r l l r i to : i' t r ' ¡ l ra l , ic¡ t ¡ r :nt rf ig . ' lf l -17b) 3 rne-i i r i : r t ¡ r r , - :¿ i r i tensid:¡ , i l , ; i t i i i , ¡ ; r ; i r ¡ tg i i i : t i r ' . . - ;: r t r t i ; tq 11:r : , tt i , l l ;n : rg" i :c t izació l



f .$.17) Cálculo de la suscepiibíIí dadmagnélícd 631

d¿ 1a::doy¡:irrjr¡sietide a alinearsec: r l¿¡ dirección slel campo {lig. i6-47c)i y la¡;Orcióndc nrs!.er.ia t convierÍ-i-rn rili ¡n¡in. El ferrirnagnetismo i:rr lna frro-¡:ied:r-'-i1-¡rdcpendc de la t¿¡:ri.i '.: iura, y para cada sultancia {erronagntitic:r,:,r*ist(rina trmpt'ratura, li¿¡i¡l:¡l! i;entl¡trtit:¡ 'tt le Cp.ríe,po t encima tle i¡r cr¡al la:ustariíi¡ sq: iRce p:r.ranragnét¡ca,lste fe¡rónir::¡o ilurre cu¡ntl i- , t l ;¡¡ovirnientoiér'¡nicr", s suiicientrrnente grande panl venr:e¡ as fuerzas de alineación, La s;i¡:;iai¡tia: qlie so n fcrromagnélicasa lenrperatura ambiente scn: hierro, niquel,cübal i . r ) gai lo l in ia.Sus empcraturasde Cur ie son 770"C,365"C,1075"C 15'C,r€spectiv¿mente.

Si¡r trmtrargo,es posil,l¿ ambien que para algunas sustanciasJ sea negativa.Xiitcnces, ei eauilibric se obtiene si los espines electrónico$son antiparaielos"

1{r lr i.e 0 0 0 0 0i i i t t l

Ferrornagnet ism

+t9? ,,,,+f ++ +

nt i f erromagnet ismo

I ' ig. 16-48. Orientación de io s mo -mentos dipolares magnét icos cie va-¡ias sustancias.

resultando una rnagnetizaci,6n neta nula (fig. 16-a8b)" En este caso la sustanciase ilarna antiferromognética. Algunas sustancias antiferromagnéticas so n MnO,FeO, CoO y NiO"

Otro tipo de magnetización es el llamado ferrímagnetismo. Es similar al anti-ferromagnetismo, pero los momentos nragnéticos atómicos o iónicos orie¡rtadosen un sentido so n diferentes de los orientados en sentido opuesto, resultandoun a magnetización neta (fig. 16-48c). Estas sustancias son l lamadas ferri tas, y

se representan generalmente por la fórmula quimica MOFerOr, donde M repre-senta Mn, Co , Ni, Cu, Mg, Zt, Cd, etc.¡ )bsérvese qu e si l f es Fe resulta el com-puesto F%On, o magnetita.

EJI:Mi,LO 76,27. Calcular el momento magnético atómico inducido po r un campornagnético externo.

Soluaión: Hcmos indicado qu e un campo magnético externo produce en un átomo¡i¡r momento magnético en la dirección opuesta al campo. Esto se puede justi f icarpo r medio de un modelo mu¡¡ simple. Considerernos un electrón cuya carga es -e ,moviértdose alrededor dc un nr'rcleoN, en una órbita qu e po r simplicidad supon-clremt¡s ircuiar, de radio p y en el plano X 1'. Si oo es a velocidad angular de l electrón¡: F ia fuerza sobre el mismo debida al núclco, la ecuación de movimiento de l electrónes entonces

mecofP ¡'

Si ahora se aplica un campo magnético )l según tl eje Z (esto es , perpendicular alplano rie la órbita), se ejerce sobrc el electrón una fuerza adicional F' : ---ez:x 11 .l l :¡ta fuerza estará en la misma Cirección que ¡' o en la opuesta, dependiendo de lairierrtaciót; rclativa de oo y )1 , ccmo se ini i ica en la f ig. 16.49. Como la fuerza radialcobre el eiect .rónvarírr, 1a frecuenci i r angular (suponiendo que el radio ¡i 'ermanezca

, . , )ó ¡ é ¿ ¿ 'I r

l l l? l '???Ferr irnagnet ismo



632 Campos leclronagnéticosstálícas (16.17

(a ) (b )

FtS. te-+9. I lxpl icaciór de i diarnagnet ismo.

r:cnst;rnle) tambiétr ver[a, y se hace igu*l a t¡, La ecuación de movirniento del electrórr.;s ahora usando e : @py el liecho de que ei tnóduio de F' es etft1,

mecotp:F:!eop.)?,

rionde se tonla ei signo ¡¡{s para cl casc, a) de la fig. (1€-49) y el menos para eI

caso (t¡). Restando ambas ecttaciones de nrovimieltto para elirninar F, encontramos

¡n (<o8 ü¡3)p= +eo']'j ó m.(o +- óo) (r,: _. o¡o) : +e¡'l%.

Ahora bien, el carnbio de frecuenci&, A<o r - ro , es muy pequeño y podemosree¡nFlazar o * <¿o or ?c¿ in gran error. Entonces tenemos

2¡t Aa : ¡e'B ó A¿o : -: =l-¡¡, 2mu

de modo que el cambio Ce fr,,cuencia es igual a Ia frecuencia de Larmor fJ¿, eu edefinimos en el ejelnplo 1ó.?. El signo más, que ccgesponde al caso (a), signif icalin aumento de loo, y Ar.,u stá ellto]1ce$ dirigido bacia la derecha, El signo menos,q¡.¡ecorresPonde al casi (b), signif ica un a disminución de fi lo,y Ar o está entonce$tambiér¡ diri¿ida iracia ia Ce¡ech¡. i) e mcd,c que en arnbcs casos podemos escribiria relació¡r vectorial

El cambio en la frecuencia del rnovimieril.o electrénico protluce una comiente neta-e(Lul?rl y por c':nsiguiente, usanCo la Cefinición (15.19), un monlento magnético

m .= - -r( 4o_r_\no,) : _ t'?'_n

i . 9r / ' 4ru

Po r lo tanto ei momento magnético del átomo está dirigido en sentido op¿estoal campo magtrético D, y la sustancia co¡1o un todo adquirirá una magnetizaciónopuesla al carnpo magnótico aplicado, Ctimo ni lestros cá.lculosha n sido mu y sim-pli f lcados, -si queremos obtener un resultado más general debemos tor¡ar en consi-deración la rl istribución al azar en ei espacic de la s órt¡i tas eiectrónicas y analizaren detal ie la naturaleza del campo nragnéiico local B que aciúa sobre el electrón.

En cualquler caso, nuestrcs cálculos fundamentalmente coinciden co n el resujtadoseñalado en la ec. (16.98).

Aot : d- 6.2a.

iI



Bibiiogruf{a 6JS

16.78 Resunnen d,e Las leyes de los carnpos est6tieos

En este capítulo herrros discutido los campos eléctrico y magnétic¡r estáticoscomo do s entidades sepal'adas, i n relación alguna entre ellas, excepto que la sirientes del campo eiéctri co son las cargas electricasy las del campo magnéticoso n l¡ls corrientes eléctr icas.En consecuenciá :mos obtenido dos conjuntos deeruaciones separadas, as cuales aparecen en la tabla 16-4 en arnbas forrnas,

integral y düerencial. Estas ecuacionesperrniten calcular el campo eléctr ico d', .el campo magnéticc .)3 si se conocen as cargasy las corrientes,y recÍprocamente.De este modo parece corno si los campos eléctrico y magnético se pudieran con-siderar como dos campos independientes. Sabemos, sin embargo, que esto no escierto, ya gu e en el capítulo 15 hemos deducido eglasque relacionan os camposeiéctrico y magnético, ta l comc los miden dos observadores en movimiento rela-tivn uniforme, usando la transformación de Lorentz, y notamos que c y ?3 estánintimamente rclacionados.De este rnodo podernosesperar que en lo s casos que,-iel..encienel tiempo las ecuacionesprecedentes equerirán algunas modilicaciones.Aprender cómo hacer estasmodificacioneses la tarea del próximo capítulo, dondecbtend¡emos un lruevo conjunto de ecuacionesbasadasen evidencias experimen-tales y que son extensionesde las ecuacionesprecedentes.

IABLA 16-4 Ecuaciones el campo olectromagnétlco ¡t¡oionrrlo

Ley

I. Ley de Gausspara el campo eléctricoIEcs. (16.3)y (16.5) l

Forma integral Forrnadiferencial

f r.""nr* divé P€o

Ley de Gausspara el campo magnéticoIEcs. (16.81)y (16.82) l ?9.¡¡,v S : 0 div ']l : 0

JS

Circulación del campo eléctrico.[€cs. (16.62) y (16.79)] $re

ar: o rot C:0

Circulación del campo magnético(Ley de Ampére) [Ecs. (16,67) y (16.78¡] $;t .at: *or rot ?J : pJ

Bibliografla

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Wesley, ReadÍng, Mass., 1960



634 Campos eleclromagnéticosstáIícos

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6. SourceBook in Physics, W. F. Magie. Ha¡vard University Press, Cambridge,Mass. ,1963,pág. 431 (vol ta) ; pá9.446 (Ampére) ; pá9. 465 (Ohm); pá9. 519(Gauss)

Problernas

16.1 Una esfera de radio Rr tiene unacavidaci central de radio l?s, Una ca¡ga qestá unif ormentente distribuida etr suvolumen. (a) I lal lar el campc' eléctricoy el potencial en puntos fuera de laesfrlra, en el intcrior de la esfera y en lacavidad central. (b) Hacer los gráficosde l caurpo y de l potencial eléctricos enfunción de la distancia al centro.

16.2 l. lna esfera conductora de radio I tt ien¿ una t;avidad cential de radio Rr .U¡r el eentro de la cavidad ha y urra

earg^ q, (a) Entontrar la carga sobrelas supcrficies itrterna y externa de l con-ductor" (b) Calcuiar el campo y el po -tencial eléctricos en puntos fuera de laesfera, en el inte¡ior de la esfera y enia cavidad. (c) Hacer los gráflcos delcampo y de l potencial en funcién de ladistancia al centro. f.Sugerencia:Recor-da r que el campo en el i¡rterior de unconductor es nulo. l

16.3 El electrón en un átomo de hidró-geno se puecle suponer "disperso" entodo el volumen atómico co n una den-sidatl p : Ce-2r¡do, onde cro 0,53 x10.-10m. (a) Hallar la constante l, cl e

morio qu e la carga total sea -r. (b )Determinar la carga total dentro de unaesfera de radio cio, qu e corresponde alradio de la órbita de l electrón. {c ) Obte-ne r el campo eléctrico en funcir'¡n de r.(d) ¿A qu é distancia el campo eléctrlcodif iere de -e/Areorz en 1o,'o7Suaerencia:Para la parte (a), dividir cl espacio encapas esféricas, cada una de volumen4rr2dr.l

16.4 Co¡rsiderar la superficie cúbicacerrarla de lado ú qu e se muestra enla fig. 16-50. tista superficie está cokr-cada en un a región donde hay un campoeléctr ico para!elo al eje.K. Hal lar el

f lujo eléctrico a través de la superl icicy la carga total en su interior si el carrrpo

eléctrico es (a) uniforme, (b) varia segúnC:Cc.

16.5 Hallar el f lujo eléctrico y la cargatotal en el interior de i cubo de lado a(fig. 16-50) si éste está colocado en unaregión donde el campo eléctrico es (a)f : ü¿crzt (b) f : c(v"E {usr). Hallartambién, en cada caso, la densidad decarga"

16.S Dos esferas c'.rnductorasde radios0,10 cm y 0,15 cm tienen cargas de10-? C y 2x 70-?C, respect ivamente.

Se ponen en contacto y luego se separan.Calcular la carga de cada esfera.

x Fieur¡ 16.60

16.7 Un a esfera metál ica de radio tr ml-icne r¡na carga eléctrica neta de 10-'eC.Se co¡recta mediante un alambre con-tluctor a una esiera de radio 0,30 cminicialmente descargada (muy lejos dela esfera mayor) de ¡nodo qu e ambastienen eI mismo potencial. (a) ¿Ctrál serála carga de equil ibrio en cada esferadespués de hacer la conexión? (b ) ¿Cuáles a energla de la esfera cargada antes dehacer ia conexión? (c) ¿Cuál es a energfade l sistema después de unir la s esferas?S: hay alguna pérdida, explicar dóndese encuentra esa encrgla perdida. (d) Mos-

trar que la carga se distribuye en iasesferasde radios Rr y R, unidas eléctrica-



Ilgure 16-61

mente de modo ![ue cr/c, : Rr/Rz, dondeo es la densidad superficial de cargaeléctrica. (e) Demostrar, entonces, queel valor del campo eléctrico en la super-ñcie de cada esfera es tal que Cr, ruptrficie/C2,mperricie Rr/ Rr. Para resolver esteproblema, ignorar el efecto del alambre.

16.8 Se coloca una carga q a una dis-

tancia a de un plano conductor inflnitomantenido a potencial cero. Se puededernostrar que el campo eléctrico resul-tante en un punto situado frente al planoe$ el mismo qu e el que se obtiene alreemplazar el plano po r una carga eléc-Li ' ica negativa -q situado a una dis-'rarrcia --a (ver la fig. 16-51). Esta se -gunda carga se llama imagen de la pri-mera. (a ) Demostrar qu e el potencialdel plano es cero y que el campo es per-pr:ndicular al prl¿no. (b ) Probar qu e ladensitlad de carga sobre el plano es qalÉ.(c ) Veri l icar que la carga total sobrecl plairc es igual a -9.

16.9 Se coloca una esfera conductorade radio c en un campo eléctrico uni-lorme Co omo se muestra en la fig. 16-52.Como la esfera debe estar a un potencialconstante, le asignaremos eI valor cero.El campo eléctrico actuando sobre lascargas libres de la esfera hace qu e éstasse muevan hacia la superl icie hasta qu eel campo eléctrico en su interior es nulo.,La esfera se polariza distorsionando elcampo eléetrico a su alrededor, aunquea grandes distancias el campo perma-nece esencialmente uniforme. Puede de-mostrarse qu e la solución de la ecuaciónde Laplace para el potencial eléctrico

qu e satisface las condiciones de esteproblemaes V: -C¡cos 0 (l -azl ¡a).

L-

Problemqs 635

Dirección dei campoeléctrico aplicado Flgurr 16-62

(a) Verificar que eI potencial de la esferaes cero- (b) Demostrar que a distanciasmuy grandes el potencial correspone alde un campo uniforme. (c ) Notar queel potencial V es la suma del potencialcorrespondiente a un campo unlfor¡ney el correspondiente a un dipolo eléc-trico. Otrtener el momento dipolar eléc-

trico de la esfera. (d) Obtener las com-ponentes radial y transversal del campoeléctrico. (e) Verificar que el campu eléc-trico en la superficie de l conductor esperpendicular al mismo. (f) Hacer elgráfico de las l ineas de fuerza de l campoeléctrico resultante. (g) Haliar Ia den-sidad superficial de carga. Discutir suvariación sobre la superficie de Ia esfera.(h) Verifiear que la carga total sobre laesfera es cero. (i ) Mostrar qu e el campoeléctrico en el centro de la esfera pro-ducido por la carga superficial es -Co.Lo ¡nisl lo ocurre para cualquier puntointerior de la esfera. ¿,Era de esperarseeste resultado?

16.10 Como resul tado de las ecs. 16.16)y (16.17), puede probarse que en la su-perficie de separación de dos dieléctricos,la componente tangencial de l campoeléctrico y la componente normal de ldesplazamiento eléctrico son continuases decir que tienen el mismo valor aambos lados de la superficie. (La segundaproposición vale sólo si la superficie estádescargada). Mostrar entonces que losángulos que las lfneas de fuerza formancon la normal a la superflcie satisfacenIa relación tg 9Jtg Az: €Jez.

16.11 La permitividad del diamante es

1,46 x 10-10C2 m-2 N-1. (a) ¿Cuál es laconstante dieléctrica del diamante? (b)

Cs



636 Campos eleclromagnélícosstdlict

Flgura 16"68

C2

*_,1

Figura 16-ü6

(' 1 (.lt cr

T-l

c2I

I

''T -'r-*--- ¿ I

:tff,T-"li.]"ai_I_FiEur¡ 16-ó6

Flgurr 16-6?

16.15 Se desea construi¡ un capacitorintercalando una hoja de papel de0,004 cm de espesor entre hojas de es-taño. I l l papel tiene una constante dieléc-trica relativa de 2,8 y conducirá la elec-tricidad si está en un campo eléctricode intensidad 5 x 10? V m-t (o mayor).Esto es, l,a lensil¡¡t de ruptura del papeles 50 II V m-1. (a) Determina¡ el áreade placa qu e se necesita para que uncapacitor de cste tipo tenga un a capaci-tancia de 0. 3 ¡rl . ' . (b) ¡Cuál es el poten-ci¡. i r-rá:¡i¡n¡.¡Ju e se puede aplicar si el

canrlr elécti irc en ei pal iel no riebecxceder ia rnitad dt-: a l"errsión cie rup-t.t¡ a?

i6.i t i Se dese¿r onstíuir un capauitorie piacas paraicias ¡¡sando goma com(idieláctrico. Esla goma tiene un a cons-tante dieiéctrica de 3 y un a tensión deruptura de 20 MV m-1. El capacitortlebe tener un a capacitancia de 0,15 ¡rFy debe sc,portar una diferen cia de poten-cial rnáxima rle 6000 V. ¿Cuál cs ei áreamlnima qu e ileben tener las placas de lcapacitor?16.17 L. a *apacilancia de trn capacitorvariable de radio se puede variar entre

50 i,i . y i}50 pF girando ¿i dial t ie 0oa 1800. ílon el dial en 180';. se conecta

{" r-"JFrLJil I__*

t l

HTc2

Flgura l0-64

¿Cuái es la susceptibilidad eléctrica deidia¡na.ntr?

16.12 El statlarud es la ur¡idad de capa-citancia qu e se deñne como la capaci-tancia de un conductor qu e adquiereel potencial de un estatvolt io cuando secarga con un statcoulornb. Probar gu erin statiar*rl e- qgual a 9 x 101¡F, Otrasuniclades úti les son ei nricraiarad (pF),igue! a 10-s ir . v el picofarad (¡. iF). gualc. JO-te F.

16.13 l lc l :ost iar que i* . ene¡gia elór-

i"rica de un {r}¡ri i . ., lci .rr islad,¡ . '3 i CV:.Probar '!ambii:rl r¡ue el rnismo rq:'¡l t-:rdr:es vál i i io paia ur-i rapacitor de pieca;

¡rlanas y parelel:s v, en general, paracualquier clrpacltor.

16.14 Lin capacitol gu e ccnsta dedo s piat:as paralelas rnu.y derca uria deotra t iene en el ¡¡ire una capacitanciade 1000 pli . La carga scbre ca<la placaes de I C. (a ) ¿Cuál es la diferenciade potencial entre la s placas? (i -r)Supo-niendo qu e la carga se mantiene cons-tante, ¿cuál será la ci i ferenrra de poterrcial en rr )as placas si la sep¡r,r¡: iónentrc las ¡ni rmas sr: dupl i ra? /¡r) ¿oui

trabaj,.r r.. nccesc_ric,ar a .Jupiicar la se.paración rntre la s 1;lrcas?



el capacitor a una baterfa de 40 0 V.Una vez cargado, el capacitor se des-conecta de la batería y se l leva eI diala 0o. (a) ¿Cuál es la carga dei capacitor?(b ) ¿Cuál es la diferencia de potencialen el capacitor cuando el dial marca 0o ?(c ) ¿Cuál es la energfa del capacitoren esta posición? (d) Despreciando el

roce, determinar la cantidad de trabajonecesario para girar el dial.

16.18 Se carga un capacitor de 20-¡rFa una diferencia de potencial de,1000 V.Luego se conectan lo s terminales de lcapacitor cargado a los de un eapacitorCescargadode 5-¡rF. Calcular (a ) Ia cargaoriginal en el sistema, (b) la diferenciade potencial f inal en cada capacitor,(c ) la energla final de l sistema, (d ) ladisminución de energfa cuando se co-nectan los capacitores.

16.19 (a ) Demostrar gu e la capacitanciade un capacitor esférico de radio s o y D

es1,1.1

x 10-10e,abl(a

- b). (b) Demos-trar qu e la capacitancia de un capacitorcl l tndrico de longitud I y radios a y bes 1,X1 x 10-18e,l/2 \n (bla).

16.20 Un cierto capacitor está hechode 25 hojas delgadas de metal, cada un¿tde 6G0 cmz de área. separadas entre sicurr papel parafinado (permitividad rela-tiva igual 2,6). Flai lar la capacitanciadel sistema.

J6.?1 Tres capacitores de 1,5 ¡rF, 2 ¡r Fy 3 pF se conectan (1) en serie, (2) enparalelo y se ies aplica una dilerenciatie potencial de 20 V, Determinar encatia t;aso a) la capacitancia del sistema,

(b) la cerga y la diferencia de potencialde cada capacitor, (c ) la energia de lsistema.

16.22 Determinar la capacitancia de ladisposición de capacitores qu e se ilustraen la f ig. 16-53. Si el voltaje apl icadoes de 120 V, hal lar la carga y la diferenciade potencial en cada capacitor as i comola energla del sistema.

16.23 En la disposición de capacitoresde la f ig. 16-54. Cr : 3 FF, Cz : 2 vFY Ct : 4 ¡rF. Ii l voltaje aplicado entreios puntos c y D es 300 V. Hallar (a )ia carga y la di lerencia de potencial decada capacitor, (b) la en ergia del sistema.

Usar dos métodos dif erentes para elcálculo de (b).

Problemas 637

16.24 Dada la combinación de capaci-tores que se muéstra en la fig. 16-55,probar qu e la relación entre C, y C,debe se r Cz : 0,618 C, para qu e lacapacitancia del sistema sea igual a C".16.25 Usando el resultado de l problemaanterior, mostrar que la capacitancia

de l sistema de la f ig. 16-55 es 0,618 Cr.fSugereneía: Observar que, si el sistemase corta según la l fnea de trazos, la sec-ción de la derecha sigue siendo igualal sistema original porque éste se com-PQne de un número infinito de capaci-tores.]

16.26 Un trozo de dieléctrico se intro-duce parcialmente entre las dos placasde un capacitor de placas paralelas. comose muestra en la f ig. 16-57. Calcular,en función de c, (a) la capacitancia de lsistema, (b) la energfa del sistema y (c)Ia fuerza sobre el trozo. Suponer qu eel potencial apl icado al capacitor es cons-tante.

ISugerencia:Se puede considerar

el sistema como dos capacitores enparalelo.l

16.27 La s placas paralelas de un capa-citor en el vaclo t ienen cargas *Q y

-Q la distancia entre las mismas es r.La s placas se desconectan de la fuentede voltaje que las carga y se apartan

Y ,-----z 1.i ,/ . / / l

,/ .///--- ---4 Flcur¡ 16-68

una pequeña distancia fu. (a ) ¿CuáIesla variacióndC en a capacitancia el ca-pacitor? b) ¿Cuáles a variación d.Esensu energfa? c) Igualar el trabajo F dral incremento de energia dEe y hallarla fuerzade atracciónF entre as placas.(d) Explicar por qu é F no es igu4la Q< 'siendo C la intensidad de campoeléctr ico entre las placas. Rehacer elproblemapara el casoen qu e V se man-t iene constante.16.28 Un electrómefro,uy o diagrama

se muestra en la fig. 16-58,se usa paradeterminardiferencias e potencial.Con-

l-



638 Camposelectromagnétícosstalícos

siste en una balanza cuyo platiDo iz -quierdo es un disco de área S colocadoa una distancia a de un plano horizontal.formando asl un capacitor. Cuando seaplica un a diferencia de potencial entreel disco y el plano, se pro, luce una fuerzahacia abajo sobre el disco. Para restaurarel equil ibrio de la balanza, se colocauna lnasa m sobre el otro plati l lo. De -r¡ostrar quc l ' : a{Zin!<oS. I r)hseruc..r¡r in. ' l ln el instru¡rrento rcal : l d iscoestá roi leario po r un anil lo m;rnl enicioai rn.isnio potr.nciai para ¿rsegurar {Jl l t:el cantl-rr-rea'.rni lornte en tod._¡ :i rl is-r:o.

16-29 f-u;rtrc c:i l ia<.ikrres sl ái i rl ispues-tos conlo se tnuestra cn la f ig. i6-¡9.ie api r, ,a t i l ra, l i lercnci i ¡ . l t , ¡ot t ,nc.¡ l i '

Figura 16-59

entre los terminales A y B v se conectaun electrómetro -& 'e¡.rtreC y D para de -terminar la di ierencia de potencial entreei los. Probar qtre el electrómetro marcacero si Cr/ Cz == CrlCo. Esta es un e dis-posición en puente qu e permite rleter-minar la capacit.ancia de un capacitor

en función de un capacitor patrón y de lcociente entre dos capacitancias.16.30 En un medio ionizado (tal comoun gas o un electrol i to) hay iones posi_tivos y negativos. Demostrar qu e si cadaio n l lcva una carga + ye la densidadde corriente esJ : pe(n+o+- n--u_), {on-

de n.¡ y n- so n el número cl e iones decada clase por uni t lad de volumen.i0.31 Se ha est imado que el cobre t ieneteica de 10zeclectrones ibres por metro¡-:ubico,Lis¡ndc el v¿rlor de la corrduct i -v i i ind del ¡obre dado en Ia tabia 16-2.c. i l ln: t Í e l t i r ' rr l ¡ ,o t i r , relaj r ln ierrIo f¡ara' ¡ i l c i r( ' t rón rJt l roi rrc.16.3J La corr icnle i: n un conel t ic toresiá Cada por 1 =. 4 + ztt , donde -I está€r l amperes y ¡ en segunrlos. Hallar elvalor medio y el valor medio cuadráticode la corrienie ent¡e ¡ : 0 y f : 10 s.16.33 Deterrninar la resistencia totalen carla un a de las combinaciones qu e

se muestran en Ia fig. I6-60. Determinarademás la corriente v la diferencia depotencial entre lo s éxtre¡nos de cadaresistor.

16.34 (a) Calcular Ia resistencia equi-valente entre ¡ e y de l circuito de Iaf ig. 16-61. (b) ¿Cuál es la di ferencia depotencial entre r y a si la comiente enel resistor de 8 ohms es de 0,S arnperes?16.35 (a ) El resistor largo entre a y óde ia fig. 16-62 tiene un a resistencia de30 0 ohms y derivaciones a un terciode su iongitud. ¿Cuál es la resistenciaequivalente entre r e g? (b) La diferencia

(-t,

YA

--\r I{ lI

cr

^Y^|, "

L_*

{ il )

, ,)(d )

Fieurs 16.60

12s) l, o3 0 ' - "

l {t J



Figura l6-8l

Flguro 16-64

de potencial entre ¡ e y es 32 0 V. ¿Cuál

es Ia diferencia de potencial entre ó y c?i6.36 Cada uno de los tres resistoresde la f ig. 16-63 tiene un a resistenciade 2 ohms y puede disipar un máximod.e 18 watts sin calentar se excesiva-mente. ¿Cuál es la potencia máxima qu eel circuito puede disipar?

16.37 Tres resistores guales se conectanen serie. Cuando se aplica una ciertadiferencia de potencial a la combinación,ésta consume una potencia total de10 watts. ¿Qué potencia consumirá siIos tres resistores se conectan en paraleloa la misma diferencia de potencial?

16.38 Dada la disposición de resistores

qr¡e se lnuestra cn la fig. 16-64, probarqu e la relación entre R, y R, es R, _- -1,618 Rr. fSugerencia: Observar qu e siel sistema se corta a través de la l ineade trazos, la sección de la derecha esaún igual al sistema original porque ésteestá compuesto de un núnrero infinitode resistores

16.40 La corriente máxima permisibleen la bobina de rr n instrumento eléctricoes 2,5 A. Su rcsistencia es 20 O. ¿Quéclebe hace¡se para insertarla (a) en unallnea eiéctrica que conduce una corrientede 15 A, (b) entre dos puntos que t ienenuna diferencia de potencial de 110 V?

16.41 ¿Cómo varla la resistencia de unalambre cuando (a ) se dupiica su lon-

Problemas

figura 16-62

IFlgure 16-66

gitud, (b) se duplica su sección trans-

versal, (c) se duplica su radio?16,42 Discutir los errores cometidos enla medida de una resistenciausando unvoltlmetro y un amperlmetro como semuestra en la f ig. 16-66 cuando las re-sistenciasRv y Rt de los instrumentosse desprecian.¿Cuá,1 étodo da el menorerror cuando R es (a ) grande, (b) pe -queño?Observarque, en general,Ry esmu y grande J/ Re es muy pequeño.16.43 Las medidas qu e aparecenen latabla 16-5 correspondena la corrientey a la diferencia de potencial entrelos extremos de un alambre'de ciertomaterial. (a ) Hacer el gráfico de V en

funcién de 1. ¿Sigueel material la leyde Ohm? Estima¡ en el gráfico a resis-tencia del material cuando la corrientees de 1,5 A. Esta resistenciase definecomo el cociente V/AI cuando as varia-ciones son pequeñas y se obtiene tra-zando a tangentea la curva en el puntodado, (c ) Comparar sus resultadosco nIa resistenciamedia entre 1,0 A y 2,0 A.

76.44 El gráficode la f ig. 16-67 lustrala variación del voltaje co n la corriente(sobreuna escala ogaritmica),para dife-rentes temperaturasde un semiconduc-tor. (a ) Estimar la resistenciadel semi-conductor a las temperaturas ndicadas

y hacerel gráfico de a resistenciaen fun-ción de la temperatura en escala semi-

#llf1"Flgura 16-68



640 Cantpos electromanétícrts stattcus

(a )

Figura 16-66

lcqari t rnica. (h) Suponiendo qr:e a r ' ¡r ia-c ión er¡ a resis iencia se debe lotai rr,¿nt¡a la r erirrrirjn r:;r el ¡rrirneri-r ie ('úigas

¡roI l ;ttri i i i t l dr voirlmen, trsti l l : :r el i :,1-ri :nl l ¿lrirl , sr: vr¡ior a i ir. i {j t 'C . sG r.i l ioaa ! i ) i l , ' { . .

T.4.iit,Á 16-é

i , amlr i l' , voits

L). : l 1.0 l0 100 r0ü)1, m.\

f isura 10-67

tt i i: l pu n ic . ?. coiocarr<1o sí ia p, i lair; i1"róir n r: l circr¡i lo ,: iei galvanórnetrr,¡.{- lu:urdo a derivación b cst .á a 0,36 dela r. i !s tr¡rc iaenire a ) ' c , cn ei galvanó-rJ ' i ' t ;u . r lcc cc lo. 1a) uCuál es la di fe-rel ic;a rlc potencinl entre lo s exttemosde i resist.c,r c? b) Se pone el conmutadoren el punlo 1 v se lee nuevamente ceroen el gaivanónetro cuando á está :r 0,47ie la distanci rr entre o y c. ¿Cuál es lalcrl dc la pi l :r :r?

i$".i8 T- a difcrencia de potencial entreic : terminalcs rle un¡r batei la es de 8,5 Vcu:.irirlo or el ia !¡!Sx ün{r colriente de 3 ¿\¡lrsrle ri ternri i¡ai rregativo al posit ivr-r-Cu.lrlrlc 1¿ cori. i .:n1.e s r. le2 A en sentidceor l rr¡ ' ic , 1a i i i ie lc¡tc i t ¡ de polencial se

t'

l ' isur¡ 16-tiE

hace igual a 11 V. (a) ¿Cuál es la resis-tencia interna de la baterÍa? (b ) ¿Cuáles su fem?

16..1q En el circuito de Ia fig. 16-70,

detcrminar(a )

la corriente en la batería,(b) lrr diferencia de potencial entre su s

tof

iI

si9rof! l

i).l-r 1,75t , t ) 5,812,,4 ' ' i ,454,0 , 8,¡ : { i

l r ! . . i i ] : i r : icui to t le l l f ig.16- i i l scl i i , t j i . i 1¡ , j . r--¡. ,, , 1 l , r ¡ , ¡¡/ ,r .r , ,¡ p. \(. ¡ i\ :1 l : . r I l i

¡r i rdi l i rrs i -c l t 'nt ' i : i .s .l t .mosl f¿rt { lur; t : i ; i : : i -{i ,.: l3 ca':-l ' i ,rntc l t-rar' , i : ; Cc l .¡rivl l :: i i -¡¡lrir ' rl i l €ir '1 i; i ' t l r¡ n':¡i i r qri¿rli s l iLirt i . ' r ' ') ) ' t t ' . r 's l ' . ' r r : l ¡ l t isrrt ' ; ; \ l r te i i f :¿: i ; . iacr;r; r t r ; l r i , ' i i¿ .- ¡ i rr í1," j . ' \s i - t l i : ; r . . .1¡o-c(i l .¡ l i , ', . , ,¡ c:ccit: i l te l l ., ' / ; ". F(i i l i ' i i tu:iobi .cn¿:r i i ¡ i rs is te¡rc ia [ i , .

1 i ; . , i6 l ,a f ig. l t j -61 ¡nu¡:st ;a url ¡ ;o1¿¡¿-ciót¡¡ttrr,¡usado prara n'rtrdir la Íeiri \' "de una pila r; B es una baterla -\ ,St es u tapila patrón de fe m I'st. Cuandr¡ el con-mutador se coloca en 1 ó en 2, sc lnuevela derivación D hasta qu e ci gaivanó-metro G marque cero. Dernostrar qtte sil. y /, son las distancias correspondientcsdesdeb hasta a, entonces l' , : I 's t(1r l lz).

16.47 \rolviendo aI potenciómetro dela fig. 16-69, a fem de -B es aproximada-mente lj V y su resistencia interna esdesconocid:r;

St es una pilapatrón

cu-vafe m es 1,0183 \' . Se pone el conmutaclor

100"c



Prcblenms 611

Flsure 16-6$

3\ ' , j ti cada pi la

Figura 16-70

Figuro 16.72

terminales y (c) la corriente en cada

conductor.16"50 Determinar la corriente en cadaconductor de la red qu e se muestra enla f ig. 16-71

16.51 (a) Determinar la diferencia depotencial entre lo s puntos a y ó de lafr9" 1$-72. (b) Suponiendo qu e d y óestén conectados, calcular la corrienteen la pi la de 12 V.

1ü.52 (a) En la l lg.-16-73a, ¿cuál es lari i ferencia de potencial yo ¿ cuando elinterruptor S está abierto? 1b) ¿CuáIes acc¡riente :i iravés del inte rruptor Scuando éste se cierra? (c) I in la fig.16-73b,

¿cuáles la diferencia de poten-

cial l /o¿ cuando el internrotor S está

Flguro 16-?3

abierto?(d) ¿Cuáles a corriente a través

del interruptor S cuando éste estácerrado? ¿Cuál es la resistencia equiva-lente del circuito de a fig. 16-73, e)cuan-do el interruptor S está abierto?, (f )¿cuándo está cerrado?16.53 Un conductor cillndrico hueco,de longitud I-, tiene radios Rr y R2 .Se apiica una diferencia de potencialentre su s extremosde tal modo que un acorriente 1 f luye paralelamente su eje.Demostrarque. si o es a conductividaddel material, la resistenciadel conduc-tor es

Llrc(R'zr- nb .

16.54 Un conductor ci l fndrico huecode longitud "L .tiene radios R, y Rr "

(1,)

Flgure 16-?l

l':3{.t v

60 6f ¡

a

3a

t ' :36 V12 ., I f )



642 Can pos eleclranmgnélicos:.siril i¡:r;s

! .e rr¡r i i , : i i i r¡ i r l ¡ l i fcret l ¡ ia <l e i :ol "c i : i , i i l:¡ ' , .r 'c l l i l st:¡ierficies nter;oi -r' t:r; lei iCr'r-r t noric {l i l r la crirrientr I f lu1': i tn di: te 'c !ó,r r: l r l i : ; r l ¡*r: i l ¡ e{ue¡a. I }cr¡t ¡ ; -s i . l ; ; i i l l ,: ¡ i ,; es in cor;rJ i r t t iv i i l f .d r lc l mrt+ri . : i ,r ,t -a$j rt i , ¡{) ,3 r: , ln{frr¡ l | i , } , i } :a}. .

r{ i i' ¡ l . , i ' : \ttr. i j : ,}c irn gairrunri¡1lt ' t tr 1¡G¿..,!1,.,lr,¡l : l i .¡]el;-r¡: ler,tr<., i ,:t.st, es,t.-rj i: ..; i l .Ji i ' i ¡],.¡[er,! 9¡a¡ri i i ¡ ]a l ¡¡ : i ¡c:l ie .: i. ii r ' . i rr¡ . \ l . ¡ res ister ' r ' ia l¿: l i ¡ l i " 'a: . ,1: . -r : ¡ i i i ; s i r !1. ¡Quó dr:be l ; rr¡rsc a: j tat-r:ri l : írrr'¡t¡;trirj ,ü) rÉ un afi i i ,erílnetrc) {l¡}c i.cu¡i rada div is ién correspondl a 0,? . t .{bt rrr' : un volt.í i letro en cl cu¡1 c:r' ja¡ i i i - ! " r l r i l r crresponda a 0,5 V?

1¿1.56 E) síoi ' ,trnperestA) cs una irni i l :dtlr, cc¡rie¡rte eléctrica currespi)qCientc Íi .un stC po r segundc. Evident"e¡:-¡erte1 ,r:3 x i f )e stA, Demostrar qi ¡ecuando el campo magnético se expresaen gri rss ve r problerna 15"53) ¡ corr ientern stA, la <i istancia en cn r !' la densid¿ddc corrientt ' ¡: n sl-A cm-x, la ec. (i6.i l7)se {onvitrt(r ert $ }i"d¿ == + x 10-'0 f l¡ l¿ec . (15.75) es rol )J :' l x 1i-i-10j.

1i i i r7 tr- l ¡¡a nidsri i lara' e! (irrrn;lumaíj-

rrei. izenlc cs er ogrs/cri . Se <iefi¡,c c,:Iuc'ei c;inr¡;ri mlrgtretizan.le prudurit i l ¡. ' ri run a r:orriente rrrt:t i l ínea de J ¡r iúic ::tAen un punto si tuado a iZ cm de la ccrr i , :n-te. (¡¡ i f)robar qu e t .r\ m-r es igurri a1L >: 1(l-s oerstori . (b) Demostrar r¡ue elcarnpo magnetizant.e de una corrienle¡ect i l ínea es -l : 21,/3 x 1010 , cuando

'{ se mide en oersted, / en st A y r encm . (c) Probar que, en fr:nc ión de lasmismas unidades, la ec. (16.85) se con-v ierte t : rr i { .d¿ - 4¡rI /3 x loto.

16.58 l i t c i i indro hrreco conductt ; r del : r f ig. 1i )-?.1, e rat i ios l? , ¡ - l i r , c(]nr luceul l r¡ i : , rr t ie¡ i t¿ I nni fcnnenr¡nte dl : i r i -

bulda t :n : : rrser:c iór¡ ransve¡sal . L, 'ga¡idcla le y ,-1+:\rnp,:iÉ. Ir,rb;ri qi ie el canrpo

1{ i - 5

:rr:r¡nilir.:c' i l istancias :- F¿ es Jj --=' , , .1' ) - r , qr re l rami io para R, < r < I i , es

q}(rr -,- n;),': ' iR] * fii),-,

1.: i1l€ei i lci{} I iaf: l r-

Rl .

. i i , .:, ' . ; !. n l ;ab,lc cr¡axial se foi¡n:l lc -

' j , i : ;,r;:ri i ¡rr i{}i t iuci-i :r ci i indr"ico s.i l idoi -r. l 'ar1io l?, cttri rin ci l indr,i condr¿r:irrir : r , : . : ; i . i l < ie la. l io inte¡nr¡ I t* v radio.. \ ! ' ¡-r tc I' . (f)g. 16-;5 r. En la práct.ir:a';: ' .r; i : tc cnl ia ü.i l ]-corrie¡¡te po r ei catrle

i i l i ¡ric¡ q11€ r.stresa or la capa extei ior.Us¡¡.dr'¡ la l t,y de ,{mpére, deterrninarel canpc nragnél ico en puntos en lasdjst intas regiones dentro

-vfuera dc |

cabie. Flacer el gráfico de / j en funciónde r. Sr:poner' rr e la clensidadde comien-te es uni forme.

l i i .¡¡6 I-a tabla 16-6 da medidas experi-mentales tle la susccptibi l idad magnéticadc i aluinbre de amonio irier¡o. I{acerun gráfico de 117,*e¡ r función de la tem-¡rrr¡t .ura absoluta ) ' determinar si valel.'.re^-vle Cr.rrie. ln caso afirmativo, ¿cuáles la cc¡n:t¿rrrte e Curie?

x. t BLA f r i "¿¡

--,2581n 2

-7 327

75,4 >:10- '11,3 x 10- l

5,65 x 10-a3,77 x 10-{

16.6i Usando el operador V : u'(7lAr)-¡ uuQ/7y) ¡ u,(0i02) definido en lasecci¡in 8.7, demostrar qu e se verif icanl.:. i : :grrir: i t tesdenti i lades: ri iv ut -= Y. A,roL -. ! . - V x l .

1d.t),: L,srrirclr.,i operador V, rcesr:ribirl :rs *r,t¡ cirrrtr::,<l i lcre ciales de! caurDo



eiectromagnético que apar:ecen en latabla 16-4.

16.63 Usando el resul tado def prablerna16.61, probar que rot grad l' : V x(VV) :0 v t¡ue div rot ¡ t : V' (V x a): 0. Dos resultados importanies se de -ducen de estas it lentidades: uno cs que,

como para el campo electrostático d :- grad V, entonces rot d : V x f : 0;

16-76

este resultado se estableció en la ec.(16.7S).La otra es qu e como para elcampomagnético iv'U : V.()l : 0, en -tonces existe un campo vectorial s{ talqu e T :9 x s{. El vector de campo slse llama potencial vectorial del campoelectromagnético.

16.64 Demostrar qu e el potencial vec-torial de un campo magnéticouniformees gl : * Zl , r, [Sugerencia.'Suponerqu e ?l está según el ej e Z. Obtener ascomponentescartesianas de -c l y luego

hallar vx

s{.116.65 Probar que en un medio en elcual existe una corriente eléctrica uni-forme de densidadconstante,el campomagnéticoes ? : *¡r¿J r. fSugerencía:

Problents 64:3

Verificar qr:e vele la relación ¡'ot ?l -Yx'?J:poJ. j1{i.66 Escribir el operador Vt : V.V.l,uego. demostrar qu e la ecuación deLar.iace 16.7)y la ecuación de Poisson(X6.6) se pr¡¿ds¡¡ escribir. respectiva-mente como V2! ' - . 0 y VzV: -p/eo.

16.67 En un a cierta región el módulodel campo magnético 'IJ es 2 T y sudirección la del eje positivo X de lafig. 16-76. a) ¿Curái s el flujo magnéticoa través de la superficie aócd de laflgura? (b) ¿Cuál ei el flujo magnéticoa través de la superficie belc2(c) ¿Cuáles el flujo magnético a través de lasuperficieaeld?16.68 Determinar el f lujo magnético através del circuito rectangular de la fi -gura 76-77 cuando por el alambre rectofluye una corriente .f .

F leura l6-77

16.69 Introduciendo en la ec. (16.78)el valor de (X dado por la ec. (16.83)probar que rot Q( : ¡ro(Juure rot ?/l).Interpretar este resultado como indica-

ción de que el efectode la magnetizacióndel medio es equivalente a la adiciónde una densidadde corriente de magne-tizaciÓn Jm : rot cll(.,a la densidad decorriente libre.

b--.



17CAMPOS

FILTCT'FT&,f T}NETIOSIltiPEniDiENT'}rlSJEL TIEI\{PO

17.I lntroduccíón

17.2 l.eg de Faradag-Henrg

17.3 El betatrón

17.4 lnducción electramagnétícalebidaal mouímíento elatiuo

de un conductorV un calnpo magnético

17.5 lndu.cción leetromegnética el príncípíode relatíuídad

17.6 Potencía!eiéctricoe induccíón electromagnétíca17.7 Leryde Faradag-HenrA n forma diferencíal

17.8 Autoínduccíón

l7.9 Energíadel campo magnétíco

17.10 Oscilaciones léctrícas

17.11 Círcuitosacoplados

17.12 Príncípio de conseruación e la carga

17.13 Leg de Ampére-Maxwell

17.14 Leg de Ampére-Maxtuell n forma diferencial

17.15 Ecuacíones e MaxweII



17.t)

17.1 I'lr,trod,uecíón

Ley de fr-aradug-ller'rt¿ 616

lin ei capitulo- anterior con$iCrri:lnos campos eléctrjcori y inagrrétjci,s indepen-{ iectes tlel tiernpo o, en otra.: i;alabras, 'siáticos..Jln esti: eapitrr.lcco¡ls;dera-rernos oaniposqu € dependen<i' . ' . iiempo, es rlrcir, rlue varian en el tiempo. Po -demos esperar que existan nuevas relaciones n r;ste caso" Hn la :;cc;ión 15.12virnos la íntima relación entre las pertes eléctriüa y magnética de un campoelectromagnético, especialmenteen lo que se refiere a las propiedades Ce tranrfor¡nació¡¡ riel campo electromagnético exigidas por el principio de relatividad.En este ,:apítulo veremos que un campo magnético variable exige la presenciade un eampo eléctrico, e inversamente: que un camprJ eléctrico variable exigeun campo magnético, y que esto es también un requisito del principio de rela-tividad. Las leyes que describen estas dos situaciones sedenominan leg de Faradag-Henrg g leg de Ampére-Marwell

77.2 Ley d,e Faraday.Henry

Uno de los muchos fenómenos electromagnéticos con los cuales el estudiante

está familiarizado es la inducción electromagnética, que fue descubierla casisimultáneamente hacia 1830 por Michael Faraday y Joseph Henry, aunqueestaban trabajando independientemente. La inducción electromagnética es elprincipio sobre el que se basa el funcionamiento de l generador eléctrico, el trans-formador y muchos otros dispositivos de uso diario. Supongamos que se colocaun conductor eléctrico en forma de circuito dentro de una región en la que hay uncampo magnético. Si el flujo magnéüco oo a través del conductor cerrado uarfaen el liempo, se puede observar una corriente en el circuito (mientras el flujo estávariando). La presencia de una corriente eléctrica indica la existencia o inducciónde una fem actuando en el circuito. Midiendo esta fem inducida se encuentra quedepende de la rapidez de variación dasidt del flujo magnético. Por ejemplo, sise coloca un imán cerca de un conductor cerrado, aparece una fem en el circuitocuarldo el imán (o el circuito) se mueve de tal modo que cambia el flujo mag-

'lr G aumenta

Fig, 1?-1. Campo eléctricotiempo : (a ) du.s dt posit iva,

(b) 6 disminuye

prorlucido por un campo magnético dependiente de lVs negativa; ($ dÚspt negativa, Vs positiva.



64 6 Camposelectromaqnrllcosleptrt,!;e¡tic.sei lietnr¡o (17.2

nético a travér di¡l t ' . in:uito. Il l v¡rirri 'ai¡¡olu.t ' , ' ue l: r i :n,- induciria depende dc si el

i rnán (c ri c i rr : rr i to) s(, i r i i i r 'vr rá¡, ida () l€ i l tcrrrür¡ i . t - l l rnnio Í I i i i - ! 'orsr-:aa rapidez

¿. r '1¡ js¡: i r i i r lei Í l r . : j l , : : l r ' ; ! : i 's l t ' i . i¿ r ¡r, ' . r¡ducida, I- l s , : l i i , idt ien oue act¡ i¿t a fe m

i¡rcitrcldr¡ t 'ai i", l i ia seiri i ri cüt, el t:enr,rr; II)l i i : ' rt:. ' l . ia{,!ri :tttt l l l .e ¿¡ rl isrninuve'

P.' i .rr! : i ri 1i; i ' :r )rcr:ir; i ls, iJ,l ' : i i i ; l ¡ ' , : , is á l :r i l , :-" i7 I" rj¡; l l¿Je, c ha o¡' icnt-at1i l a

i : t ¡T' i t ¡ , , : . : , , . : i l l iJ l : r . . ' t t : ¡ : ' {J iar. i r l ' ¡ , 'c¡ ' l i ¡ l l l . i0, t - ' , ¿! t r : ; r , e¡ l e l re¡1l i r l r¡ lc t ln

, rr i : ; . . l , : , ,. 1, ' : "r i ' l : . j : ¡ ' : , i : . . : . :' : r l . l¡: ,ni. l4l '14{nt if l t . l} Jj. (. l f . r ' lr lO

r 1 i l r ¡ t ' ; ' t ' ,1rl i : i lr: ) í : : . ; : r ' ¡ ' i : r i " ' , ' . " ' '' " t : : : t : : \ , r ' , . ¡¡¡ ' . ' - i ), ]A it ' in in¡ j r ¡ l i i l ; i ut ' /e

. t j , ' ; , : '1, j i j , i : , ir. ' , ¡: i , i : . ' . ' . : : ' , . : ; : , . i . : l - : t1. . ' : i ' r i ¡1t r ll :1: t i , ; ;nl¡f iÁ+; i¿+ '] i5¿'¡r¡i i ' ¡g' , . : r: , , . : . : i ! ; . r. i , ! l (, 1; t ' : { l ir ' : t , . i- ¡ : i , i , t . ' . , ; : ' ' , j. ; i. ; t {r: : l ; . , ' ¡. i ' t ) f ir l fSnl¡¡ ¡' l c, i l ; ; :O

¿'

-./'

F.igurr 1? ?

d* Ia it:n ;nrJrrL' jda V¡ siemlre e:r {}L}uest{} i l t lc d6.a/¿Jl. iedidas Inás exactas

r; ' r ' i l ¡r¡ , . i l , r 'c l ' - ' , : j ¡ i i , -1e a i , : : : r i l r tJ ' : t i¡ ! i c ,s . ; t l t l r ld* 3e irxpfef ta en vol ts , igual a

ia {r.r' i ' . rC,; ; l t ' l i l ' ,rj r: rn.i{r, ' ; ,;a,r i¡; ' te{:l( ' i -i r ai ' l . i*ttrirc, e:' :, i }r'esadll n Wb s--r.

l: i {' !t 5a.i'!,, t r:i . ¡ri:.,-lclttr)sf,t,-; -\ir

(1 . i )

r iu.r exl i i .üsa a le r de Farutla¡,,-ileri¡ 'vlarli l l irrducciórr -rlectromagnétice, r,palabra$ ia po<iem,rs stabiecerasi:

en Lrn cenpo mognétlca tariabk s¿ induce unT fem en cualquier cibcuilc cerrud¡t, ¡¡ cucl !.-t gucl o ¡renos la leri.uqda cln respectoaItiempo dd fktjo magt¿eticl \ traDés Lelcircuilo.

I is inrprrr"tante ¡eriJicar'lu0 la ec. (17.i) ri rroi'r-¡Datiblen cuanto a rrnidades.

Sairrlro:; lt¡e Vs se expresec¡: \¡ ó ¡i2 krj )- '? .-1.hecordemos (ie a secciÓn ü.14ill:e ri)r:i ,i r'xpresaen $,tb c ge:l ¡ii:l i¡ r .s-' "-' .lDi l,¡ tlue r-iítsi{l! se dei}e expresaT

l:ri l l 'rt¡ ",-l r; seit l i . ,? i¡ s-? l'-1. P'¡¡ ir tani.r--,.r¡rllo: nrirnibros de la ee. {17.1)es"t'. i i l rxllresarlog l las ¡¡rsrnas unidades,



;7.2') Leg de Faradeg-Henrg 647

Ilefiriéndonos a la ü9. 17-2, si dividimos Ia superficie imitada por L en ele-inenios inflnite.simaies e área, cada uno orientado de acue rdo con I a regle esta-r-.leciria n la sección3.10,el fiujt rlagnético a través de l; es ós : Js 7J.u:t dS,ci¡nforrne Ia sección16"1.1. de¡nás, a fenr l/s irnplica la existenciadc un campoeiéct ico € tal que V":út f "Cl , según a er . i te .Oo). Podemos por lo tanioescribi¡ la ec. (i7.1) en la forma equivaiente

4 c.al.L

lJ'¿¡udS. (r7.2)

Oividemos ahora que el camino I- coincide con un conductor eléctrico ta l cornoun alambre cerrado y consideremosen cambio un a región del espacio en qu eexiste un campo magnético variable en el tiempo, Entonces a ec. (17.2) es equi-valente a decir :

un campo magnéticodependíente lel tiempo ímplicá Ia exislencía d.eun campo eléclrico al que su círcu[ación a Io largo de un ca¡nínoarbitrario csrradoes ígual a menos a deriuada con respectoal tiempodel flujo rnagné!íco trauésde una superficie límitada por el caminc,.

Esta es otra manera de expresar la ley de Faraday-Henry para la inducciónelectromagnética.Da una visión más profunda del contenido fisico del fenómenode inducción electromagnética,es decir, del hecho de que siempre debe haberun campo eléctrico cuando ui campo magnético está variando en el tiempo,estando os dos campos elacionados or la ec . {17.2).El campo eléctri co se puededeterminar midiendo la fuerza que actúa sobre una carga en reposo en la regióndonde el campo magnético está variando. De esta manera se ha confirmado expe-rimentalmente nuestra interpretación de la ec. (17.2),

SJEMPLo77.L. Se coloca un circuito plano de N vueltas, cada un a de área S,perpendicularmente un campo magnético uniforme que varfa en el tiempo enforma alternada. ,a ecuacióndel campoes )J ')losen ¿,rf. alcular a fem inducidae¡r el circuito.

Soluelón: El flujo a través de una vuelta del circuito es (Ds : S?1 5¡o t.tt ty el flujo total a través de las N vueltas es

Oo : NS )3 0 en ol.

A,plicando a ec. (17.1) obtenemosentoncespara la fem inducida

Vs : -ry

:- NSiJ6rooscof,

la cual indiea qu e la fem inducida es oci latoria o alter na con la misma frecuenciaqu e cl campo magnético.

EJEIITPL{} y,z. En una región del espacio hay un campo magnético qu e es para-lelo al eje Z

-v liene simetrfa axial, es decir, que en cada punto su módulo depende

sólo de la distancia r al eje Z. El módulo lambién varia en el t iempo. Determinarel campo eléctrico C en cada punto de l espacio.

-d IdtJs

(17.3)



648 Campos electromagnéllccs ependienlesCe! tieritp0

(n j

Fig. l?-8. Campo eléctrico rroducidoportiempo que tiene simetrf axial; (a ) vista

(17.3

(b)

un campo magnético dcpendiente dellateral, (b) corte transversal.

Solución: Supongamosque el canrpo magnético decrecealejándosede l eje Z. L,afig. 1?-3(a)muestra una vista lateral del campoy la fig. 17-3(b)un a sección rans-versal.

La simetrla de l problema sugierequ e el campo eléctricoC debe dependerde rsolamente, y que debe ser perpendicular al campo magnético y al radio vector r.En otras palabras: as lfneas de fuerza del campo eléctrico son circunferencia scon centro en el ei eZ. Eligiendouna de estas ircunferenciasomo nuestrocamino.Lpara la ec . (17.2), enemos

v6: f¿¿.dl :C(2¡r ) .

Po r lo tanto, usando a ec . (17.1),obtenemos

(r7.4\

El campo magnéticopromed.io'iJ n una regién que cubre un área S se define comoB : éa/S o sea Os : 'ljs. En nuestro caso S : nr?, de modo que 66 : 'T{nrr).Entonces la ec. (17.4) nos da para el campo eléetrico a una distancia r del eje

{.(2nr) - #

c: -+.1 dTi\ .' \d . t l

Si el campo magnético es uniforme, A : n.

77.3 El, betatrón

(17.5)

Los resultadosdel ejemplo 17.2se han usa dopara diseñarun aceleradorde elec-trones lanrado betutrón,nventado en 1941por el físico norteamericanoD, Kerst.

La idea e: r nu y simpie en principio. Si se nyecta un electrón o cualquierpaltículacargada) en una regióa doncie hay un carnpo maguético variable que tiene sime,



I /.3) EI belat¡ón 649

tría -:xrai, el electrón será aceierado por el campo eléctrico asociado C dado pcrl. aec. {17.2) o la ec. (1?.5). A medida que ei eiectrón gane velocidad, el campomagnético ?J cu¡vará sir trayect"iia. Si se ajustan los campos eléctricp y magné-tico en fonna apropiaca, la óri;ita del eiectrón será una circunferencia. En cadarevohrción el eleetróngana energía,po r lo qr:r despuésde describ ir varias revo-luciones se ha acelerado adquiriendo una energia determinada; cuanto urayorsea el núrnero de revoiuciones, mayor será la energía.

Para ver el problema con más detalle consideremosel electrón en el punto p(fig. 17.3). Si las cosasse arreglan de modo tal que el electrón describa una cir-cunferencia de radio r, el campo eiéctricoproducirá un movimiento tangencial quese determina usando dpldt : Fa (versección 7.12) con una fuerza tangencialFr : - e(, de modo qu e

+ : - eé +,, !+\. (12.6)dt - \d¿l

Para generarun movimiento circular, elcampomagnéticodebeproducir la ace-leracióncentrípetanecesaria. l módulode la fuerza centrípeta es, según laec.(15.1),FN : etfl3.Usandopulr : Fy(ver sección .12),obtenemos

palr :eÑJ ó p:ef lJ , (17,7)

y derivando especto l tiempo, eniendoen cuenta que ¡ es constanteporque atrayectoria es una circunferencia, enemos

Si comparamos stacon a ec. (17,6),concluimos ue la condiciónnecesaria araque el electrón describauna órbita circular bajo Ia acción combinadade loscamposeléctrico magnético sque,a cualquierdistancia , el campomagnéticodebe ser

cY: lTj (17.8)

dontle * es el valor promedio de gg en la región entre Z y Z. Esto impone ciertosrequisitos en la manera cómo el campo magnético 7J puede variar en funciónde la distancia radial r al eje. La variación exacta de ri.Jcon ¡ se determina por elhecho de que es necesaria cierta estabilidad del movimiento orbit¿I. Esto es,dado el radio de Ia órbita deseada, as fuerzas que actúan sobre el electrón debenser tales que si se perturba ligeramente el movimiento del electrón (es decir, sise Ie empuja hacia un ladc o hacia otro de la órbita), las fuerzas eléctrica y mag-nética que actúan sobre el electrón tiendan a colocarlo nuevamente en la órbitacorecta.

L-.

Fig. 17-4. Tiempo de aceleraciónen unbetatrón.

dp ü3¿:el -d.t dt



Campos eleclrontagnéticos ependíente:se\ liempt {17.3

(b )

Fig. 17-6. (a ) Vista del tubo de aceleración de las piezaspolaresde un betatrón.(b) Ensamblandoel tubo de aceleración n un betatrón.

En general, el campo magnético tl3 es osciiatorio con una lrecuencia angular olAhora bien, de acuerdocon las ecs. 17.6)y (17.7),el electrónse acelerasolamentecuando el campo rnagnéticoestá aumentando. Po r otra parte, como en la prác-tica se inyectan los electronescon momentum muy pequeño, se debe hacerlocuando el campo magnético es cero. Esto signil icaque sólo un cuarto de l períodori e variació¡i del carnpo ntagnético

sin'e para acelerar os electrones.Los tiem-po s de ¿iceleración stán indicados por la s írrrras ombre¿¡dasn la f ig. 17.4.



o

L-

17.4) Induccíón electromegné!íct 651

El inomentum márjmo qu e ganan los electrones es, según la ec . (lT"I),

F*á, =. . f l)c, y en consecutncia a ellergia ci¡rética mirxi 'ma de lus e e i :onesacele¡"ados s

E; |-. , -

e2:2 f: .! ¡ ( ,ma.{-

2^ "I ' rnx-

2* "

si no se os aceleraa en ergías lta s con respectoa la energiaen reposomrcz,Pero

cuando la errergiaes bastante grande, comparable o rnayor que la energía enreposom"czclelelectrón,debemosusar as ecs. 11.i8) y (11.20),co n lo que resulta

-E¡,ma* tV;'"t ' + er"tfo- ¡n"¿2.

Los betatronesconsistenen un tubo toroidal (fig.17-5) colocadoen el camporeagrréticoprcducido por un imán a cuyas piezas polares se les ha dado unaforma tal ql ie se produzca a variación correcta del campo magnético /J co n rccnfor¡nea !a ec. (i7.8) y se satisfagan as condicionesde estabilidad. Los elec-trones se inyectarr al comienzo del peliodo de aceleracióny se los deflecta aIl inal de l mismo de modo r¡uepuedan ncidir sobreun blanco situado conveniente-;ncnte. La energÍa cinética de los electrones se disipa como energia de radiación(capítulo 19) y/o como energÍa nterna de l bianco qu e se calienta.. os hetatrones

se han construido para energíasde hasta 350 MeV. Se usan para estudiar ciertostipos de reaccionesnucleares y como fuentes de radiación para el tratamientodel cáncer.

77.4 Indueeión eleetrornagnética debida aI tnooitniento relatitsode un eond,uctor A un eúmpo rnagnétieo

La ley de la inducción electromagnética, expresada por la ec. (17.2), implica laexistencia de un campo eléctrico ocal siempre que el campo magnético en es epunto esté variando en el tiempo" Si se la expresa por Ia ec. (17.1), mplica Iaexistenciade una fem cuando el f lujo magnético a través del circuito vari a en eltiempo. Iis importante descubrir si se obtienen lo s mismos resultadoscuando el

cambio de flujo se debe a un movimiento o a un a deformació n de l camino L sinqu e necesariamente,'I J varÍe en ei tiempo. Consideremos os casossimples.

Consideremosa üsposición de conductores lustrada en Ia fig. 17-6, donde elconductor PQ se puede mover paralelamentea sí mismo con velocidad u man-teniendo contacto co n lo s conductoresR" y St/. El sistema PQRS forma uncircuito cerrado.Supongarnosambién que hay u n campo magnéticouniforme 91perpendicular al plano del sistema.

Cada carga g de l conductor móvil PQ está sujeta a una fuerza gu x ')J qu eactúa, de acuerdo con la ec . (15.1),segúnQP. Ahora bien, la misma fuerza sobrela cargasr podría suponerdebidaa un campo eléctr ico equivalente" é'"qdado por

qf"q

: 4a x tlT

f"q: o x ?t.



652 Campos electromagnéticosepertriíenles e! líempo

Como o y ?d scn perpendicu.lares,a relación e¡ttru los módulos es

F -- ,,11( , r :q- u rJ .

(17.4

(17.e)

Si P0 : /, hay entreP y Q una dilerenciade potencialV : Cuql .)ul. Sobrelas seccionesR, Rs y sP no seejercenuerzas orqlleno se mueven.En con-secuenciaa circulaciónde f"q a lo largo del

circuitop0Rs

(o sea a fem) essimplementeVe : V en la direcciénde p"

.li, es decir

Vs :Y,Jul.

Por otra parte, si llamamos al segmerrtop, el áreade pQRS es r y el flujo

Fls. l7-6. Fem nducida n un conductor uesemueveen un campomagnético.

magnéticoa través de PQ,RSes

a* : |"(D.u,v dS :lJls.

., PORS

La variación de flujo por unidad cle tiempo es entonces

dbs d.^^. . - . .dxdt :¿

\ ' t ) t r ¡ - ' l ) tdt

Pero ilxldt: u; por lo tanto

d@s-*

: : l l lu :v¿'

En otras palabras: obtenemos a ec. (17.i). El signo rnenos no apareceporquesólo estamosconsiderancloa relación entre módulos. Si n embargo, a ec . (t2.1)

x),.--'%



17.4) I nducción eleclromagnétíca 653

sigue siendo váiida en cuanto a signo, ya que el flujo oo está aumentando y elsigno de Ve es el de o x (8 , de modo que concuerda con la f ig. 17.1.

Conro segundo ejemplo, consiCeremosun circuito . rectangular rotando convelocidad angular to en un campo magnético unilorme cl l (fig. l7-7). Cuando lanormal uru al circuito forma un ángulo 0 : a;l con el campo magnético (8, todoslos puntos de PQ se están moviendo conuna velocidad o tal que el campo eléc-

trico "equivalente" Cuq : n x (B estádirigido de Q a P y su módulo esCsq rf}sen 0. Análogamente,para los puntos queestán sobre RS, el sentido de r: x ?J esde S a R y su módulo es el mismo. Encuanto a ios lados RQ y PS vemos qu e

a x cB es perpendicular a elios no ha-

biendo diferenciade potencial entre S y Py entre n y 0. Luego, si PQ : RS : /,ia ci¡culación del campo eltictrico equi-vaiente C"q alrededor de PQRS, o seala fern aplicada, es

\,, : #"f .dr c"q(PQ sR): 2l¡y,T en 0. Flg. 1?-7. Fe m inducida en una es-

[,os lacrosps y nQ no contribuyen a v6, H;?";itt#t"calqcada en un campo

prlrque en ellos deq es perpendiculara d! corno ya se dijo. Si r : SP, el ¡adio de la circunferencia descrita por lascargasque están sobre PQ y SR es |r , por lo que u : r(l¡) - *.r. Luego, como

S : ls es ei área del circuito y 0 : r,rl, podemos escribir

Ve == l(1"'")?3 sen at : a(ü(b) sen .i : oqJS selr <¡f

para ia lern inducida en ei circuito como resultado de su rotación en el campo

:nagnétl,:o. Por ctra parte, el flujo magnético a través del circuito es

Luego

Verificamos entoncesnuevamente que la fem inducida resultante del movimiento

de l conductor también se puede calcular aplicando la ec' (17.1) o la (17.2) envez de las ecs. (15.1) y (16.60) .

Aunque nuestro estudio ha tratado sólo circuitos de formas especiales,uncálculo matemático más detallado indica que para cualquier circuito

ta leg d.e Ia inducción electromagnélícaVt :-dasldt se puede

aplicar bíen cuando Ia uariación del flujo magnétícoos se d.ebea

Gs : c]3. ¡S : ?3Scos0 : ?3Scos<¡1.

- !!1: o,?js en ur ve.dt



654 Campos electromagnéfii*sdepen* cntesdel lí,ernpa {17.6

una uaríacién del mmpo rnagnétict(1,J,hiencuündose debeal moui-mienlo o a la d{ormación del circuilo a lo largo dt l cual se calculaIa fem, o cuando se debea ambós.

La fem inducida en el segundo caso se suele denominar fem de mouimienlo.

17.5 Ind,ueción eleetrontagnética y el prinaipio de relatioid,ad,

A pcsar de que, como se ndicó en el párrafo anterior, ia ley de la inducción elec-tronragnética expresadapo r las ecs. (17.1) y (17.2) es v¿íl idacualguiera sea elcrlgen ile la variación Cel ilujc nraglárico, hay una profunrla diferencia entrela¡; s¡iracioncs fisi i :ascorresn.¡nr.liei¡Lerlas dc s posibiiidades.Cuando el obser-vador r.e:,,,.¡e l car¡i'bio e iir ja ¡ri:.:j¡rúiic+ tra.¡és de un crrcui to estacio:rario\jn sl.i i lspiü sist*ma irr eierencias, ,C|lr¡ ;¡ un¡rv¿¡'iació:r el c¿lmfro agnético':lJ,,nidr ¿tl ni;mo tie:npo iin cí.rnl)0¿lr:,. ' ir-¡:ri' relar,ionado cn ilj en la fornra indi-cada p,lr la ec" (17"2),y reco¡roeea preserrtiade l campo electrico midiendo laIuerza qutr se ejerce sobre:una carga en repaso n su sistema de referenci a.Pero

Figura l?-B

cuandú el cbservador \:e que el cambio tle {iujo rnagnéticose debe a un movi-miento del conduci,or especto a su si¡tema de referencia, no obsetva campoeléctrico alguno y atribul'e la fem que mide la luerza aó x'-lJ ejercida por elcampo utagnético sobre las cargas del conductor móvil, de conformidad con laec. (15.1) .

¿Cómo puede ser qu e dos situacionesdiftrentes y aparentementesin relacióntengan una descripción omún? No es cuestión ie coincidencia ino estrictarnenteconsecuencia el principio de relatividad. No podernosentrar aquí en un análisismatemático completo; en su iugar, exar.ninarenlosa situación desde un puntode vista intuitivo. Consideremos l casodcl circuito rotante estudiadoen conexiónco n la fig. 17-7. En un sistemade relerenciaen el cua l el campo magnético cB

es constante fig. 17-8a)v el c ircuito está rotando, ro se observacampo eléctrico



I i .7 i Le1¡de Faladag-Henry en forrna difercntíai 855

:i iguno y' la fuerza qu e se ejerce sobre ios electronesdel circuito se debe a laic, i15.1). Pero un observador ijo a un sistema que se muevc con ei circuitove un conductor en reroso y lln campo magnético ?3 cuya d iiección rota en eltspacio (fig. 17-8b). l l .eiar iunt r'ntonces as fuerzas que actúan sobrc los elec-irones deJ circuito ccn el campo eiéctrico 1'' i , ,qciadoco n el camfo magnéticovariatole, eonforrrre a la iey ¡.le a inducción eiectromagnética según la expresala ec . (17.2)- El análisis matemático de este caso es algo complicado porqueinvolucra un sistema de referencia rotante; por ello será omitido).

Co¡rcluimosentoncesqu e la verjficación experimental de ia ley de la induc-ción electromagnética para campos magnéticos variables es simplemente unareafirmación de la validez general del principio de relatividad.

17.8 Potencial eléctrieo e índucción electromngnética

En los capitulos 14 y 16 indicamos que un campo eléctrico f está asociado conLln potencial eléctrico V de tal modo que las componentes de C según los ejesX, Y y Z son las derivadas de V respecto a Í, y y z con signo negativo" Esto es,fr:-AVl1r, etc.; o simplemente: el campo eléctrico es menos el gradientedel potencial eléctrico. Una consecuenciade esto es gue la circulación del campo

eléctrico estáüco a lo largo de cualquier camino (cerrado) es cero, propiedadque se expresa matemáticamente mediante la ec. (16.62) o

6 c'¿¿ o.JL

Sin embargo, cuando el campo electromagnético depende del tiempo, hemosvisto que la ecuación anterior ya no es r'álida; en su lugar tenemos la ec. (17.2)

Concluimos entonces que en un campo electromagnético depenüente del tiempola circulacióndel campo eléctr icono es nula, por Io qu e dicho campo no se puedeexpresar eomo menos el gradiente del potencial eléctrico. Esto no significa queel conceptode potencial es completamente napiicableen estecaso,sino solamenteque se debe usar en forma diferente. De hecho se necesitan dos potenciales; unose llarna patencíal escalar,similar al usado en el caso estático, y el otro potencialueclorial.No tendremos ocasión de usar estos potenciales en este texto; los men-cionamos aqui sólo para señalar ai estudiante qu e cuando pase de los camposestáticcs a los dependientesdel tiempo debe tener mucho cuidado acerca decuáles conceptos correspondientes l campo estático puede continuar usando.

17.7 Leg de Faradag.Henry en forma diferencíal

La ley de la inducción electromagnética, en la forma expresada en la ec. (17.2)se puede aplicar a caminos de cualquier forma. La aplicaremosahora a un camino

rectangular infinitesimal PQRS colocado en el plano XY y de lados dr y dg

{"r 'or:

- *J"?r'u¡v s.



656 CamposeleclrornagnéÍicosepentlienf¿s ¿, l itrnpa {17.7

(fig. 17-9). Debernoscalcular primeranrente a cir.; ulacióndel campo eléctr icoC,El procedimientoessimilaral que seguimos n a sección16.13cuandoestudiamosla ley de Arnpére en forma diferencial; os detalles os encont rará el estud ianteen aquella sección.Para la superficie nfinitesimal PQfiS en el plano XY podemosescribir

dc.dI : l + i +i +i c-dt .

"PoRs JP Q "'QR Jrls JsP

Ahara b ien, $9n C.dI : (ody y Jspd.d. t : -€ 'ur)g, d'emodo que

t faf ,I + | c"dl : (r"u cí,) du : df,,¿u : !- ! dr,dy.

J ¡r i t . 'sr ' " 0t

Esto es así porque d(,u : (.ACslAr,).r , va oue dóy es el incremento de C!, corrcs-pondiente a dos puntos separaclos or i:: ii i¡ta¡rcia Cr y que tienen los mismos

l] y z, Podenios escribir análogamente

Flg. 17-9. Ci¡cuito elemental ar a de -ducir la forma diferencial de la lev deFaraday-Henry.

t l 2F

| * l c.dI:_- ' l -¿'¿s.Jpe Jns og

Sumando os do s resultados.obtenemos

- /2.cr . r \ó c.¿t: (+s-"! ' laras., poRs \ di r oa I(17.10)

A continuacióndebemos alcularel flujomagnéticoa travésde la superficie.Co-mo la superficiePQ.RSestáen el planoXY, su versor normal uN es simple-mente u" y ctl.?rN 'T),tt, -cl lr. E\consecuencial flujo magnéticoes

I ü.?r .vds:c) .J ,drdg, (17.11)

J Ponsya que drdy es el área del rectáaguio. ustituyendoas ecs, 17.10) (17.i1)en a ec . f i.2) y cancelandol factorcomúndr dg en ambos niembr os,btenemos

ocr f'lJ"0g at

rectángulo en lo s planos

a€uAr

Colocando nuestropresiones:

o(, _o(u :_FIJ,0g 0z At

_a!t _a(z

_ _a tia

0z 0r At

(17.r2)

YZ y ZX obtenemostrasdosex-

(17.13)

(r7.r4)



17.8)

El ccnjunto de

FaradaY-HenrYley de AmPére,

Autr¡ind'ucción 657

las expresiones17'12)'17'13) (11'1,?,constituve

la ley de

en fcrma diferencial' óoô'"'hizo

en la sección 16'13 para la

se pueden combinar Jt " unu-tof" ecuación vectorial escribiendo

aclSrotd:- at,

Fig. 1?'10. Fluio magnético propio enun circuito.

Fls. 1?'11.Sentido

.d e

la te m

ináuci¿a en un circuito'

(17.15)

La ec. 1?.15), susequivalentes17.12),1?.13) (17.14)'.xpr:saasrelacionesouedeben xistir""#."i;'l;;i""ir

,".;u;,o'ui'ri"*po del campomagnético n

$",;;,;;";;rltli.l*Hi*$J;""'Hl'ru*;::fJ:':,ilHj';de una manera obvra la t'l""tt"'"^]-*-,-^

magnética de un campo electromagnético'

17.8 Autoiniluceión

consideremosn circuito-lor l.uu1^c1::t:"tucorrienteilÍ-}t'to)' l)e acuerdo

i"""i^'iü'ln¡:"'"T,"r,lT;;:lh5m::,""rfXU:nT:"'":t.l.iil:punto es Proporcronicuito debido ^ *o p*fio campo *"gr,eti.l v'ri"i""r"

"¡Iu¡o p'opio' Este fluio'

''(1",,' t ' i\,i

I en aumen(¿)

,,['it i\ . i

en disminución(b )

O

que designaremoson O¡. es entoncesproporcionala la corrienteI por lo que

podemosescrrbtr(12.16)

Q7 LI'

E lcoef ic ienteLdependedelaformageométr icadelconductorysedenomrnaauroiínd.uctancicel tittuito' Se expresa¡

il ¡-1' unidad llamada henrg en

honor eJoseph enrv q': :: "1':':?,il;';'; u : wl A-r mzk8c-2'

Si la corriente va¡ia-en- l tiempo' tf tf"¡J*áq"etico @-l través del circuito

tanbévaí y,d- i ", ; ;I : :1,::'j l*:'ruft'fffiil:H'X;':'lH:;;;-f.* en el ci¡cuito' Este caso especrar



658 Camposelectromagnéticosepenrlientes.ef íempa (17.8

autoinducción.ombinandoasecs. 17.1) (17.16),enemos ar a a fem nducida,

da. t . dI'v , :- -- :-dtdt (r7.17)

El signo menos indica que y¿ se opone a Ja variación de corriente, AsÍ, si la co-

rriente aumenta, dl ldl es positiva yyL

se opone a la corriente (fig. 17.11a).Sila corriente disminuye, dlldt es negativa y V¿ actúa en el mismo sentido que laccrriente (fig. 17.11b).Por lo tanto V¡ siempreactúa en un sentido qu e se oponea la uariaci¿in e corriente. Cuando escrlbimos a ec . (17.17),supusimosque elcircuito era rigido por lo que consideramos L constante al derivar respecto altiempo. Si la forma del circuito es variable, L no es constante y en vez de Iaec. (17.17) debemosescribir

(17.18)

Para indicar en un diagrama qu e r: n ronductor t ien¿ una inductanc.ia preciables{ usa el sím}¡olo nostracloen ia fig" 17-12 Sin en'lbarg+debemoshacer notar

que la autoindr.tctancia e un r:ircuitl ¡i o r:slá cr:ncrrrtrad¿cn un punto par-ticril;rr i:i:ri <¡u':e9 una propierJaii dr¡i crrcuito ¡:omo un tor-lo.

Fig" ti . i*, l i rFrr-lrcntación dc :¡nü ¿¡ri i-oinrj ' ¡clar¡cia. --:-/TlTStL..

a,J* ' . ¡ Í f j }¿{} ¡ : : .J1" I1s:ablel i r l , i rn i i . ] . Í r i t r i i . i j r { : ,cr i l .e *: l ii n Í i r i t t i l .A"

i io lrÉ,: ' iótr . ' { l : ,a¡:- iü rc aFl lca ür:r- i i ' r .^r : ' : "¡ , ¡- ! . i : . c l t<t 'r : i . i l i - ' r i iá i t \ lo !¡n tr tetr l ! l l ! ,úr

i , i i l , l ; ' i1:- !, ¡ ¡ : t ; ¡ ¡ i | l i t f ! : , r , ; , r lL: t : ¡ ¡ , . . :i '1 :ar i1;r i r i : j : ] { - ' : ; ' i . ; ' t i r ,¿}¡ ,¡ ¡r : : i l - i *or iespondietr t '¿rl i ll i r lv dl : {-r . ' ;* : , i i . ¡ t } i l f . !¿ t . . i i ' i1a::" . ; . r ¡ ; 'á, ;" ; , r l ¡ ¡11r i( : , ; ¡ r t f r ;Xrtr ; : ! .1. ,1: :r : t t i i i fOf¡Utf l tc i l i lai la ir l { i j .L i , . l i r } : i ' ' } : ' ¡ . ' r - l i ! ; ) .JL, :l : : l i t ' : , , , " St : t l i ; ¡ - ' t {i t r Í í : } . r : l l r lUCiCj¿t ' ¡ , Qü t t i ¡ ;í . ' ¡ .1üi l r i il l . , -¿f i i ¡ l iór : ri e lú r: t , ' : : : i ¡ : : f i t . , ' i j -q1. i

i r i?Sei i ie i . i r ie: t i i ' : . : i l: : i : t , l f i tnte aütylet l t Í l

Flg. 1?-18. Circuito eléctrico con un a re -sistencia y una autoinductancia.

vL:- !on.

desdecero hasta suentonces \rt: -l- Vt :

RT --

valor ffnai ccn$tante. La fem total aplicatta al circuito esVc-L(dI ld l i . La ley r ie Oir rn es.ahora

Vt, * 1/r ó f i I - Vc - L(dI idtJ. (17.19)



17.8'

Esta última se puede escrilrir en la formalas.¡ar iablesJyf ,

dI l t . .¡ - l / tn- : - -

-4l

Ai integrar, teniendo en cuenta que para f

nI:-L+

/tutoínd.uccíón 6a.

n( / - Velft) : - L{dIldt) o, separando

: 0 !a corriente es nula (/ : 0), tenemos

*1,0,in (/ __ VslR) ln (- VslR) : - (RlL)t.

Recordando que ln er : t, tenemo$

r -Vu- ,a - ¿-RtlL;,: o \r-c ).

El segundo término Ou,n*rérr,.ris disminuye con el tiempo y la corriente se apro-xima asintóticamente al valor VelR dado por la ley de Ohm (fig. 47'14). Si R/¿es grande, a corriente alcanzaestevalor muy rápidamente, pero si Rp es pequeñopuede transcurrir un largo tiempo antes de que la corriente se estabilice. El estu-diante puede reconocer a similitud matemática entre la expresión de I y la de laveiocidad de un cuerpo cayendo a través de un flúido viscoso (ejemplo 7.8) si se

establecen as siguientescorrespondencias:Vs ++ .F',L++ s y R<-+ K4.

FtS. 17-14. Establecimientode una corriente en un circuito.

EJEMPLGI7.4. Estudiar la caida de la corriente en el circuito de la fig. 17-15cuando se mueve el conmutador de la posición 1 a la posición 2.

Éolución:Si el ecnmutador ha estado en la posición 1 durante mucho tiempo' po-demos$uponerqu e la corrienteen el circuito ha alcanzadosu valor l lmite (o esta-cionario) Ve/R. Moviendo el conmutador a la posición 2, desconectamosa femaplicadasin abrir realmenteel circuito. La única fem qu e quedaes Y¡': -LdIldty la iey de 0hro estableceque

fI dl

Jo ¡ - ve/R

ó +:-*o'



660 Cantpos eledronngnéticosdependientes el tiempo (17.8

Si contamosel tiempo (l : 0) desdeel instante en qu e se desconectaVe de l cir-cuito, la corriente nicial es Va/R. Integrando ene¡nos

r ' dt :- ! l '0 ,Jvt /n I L Jo

o sealn / - ln (Ys/R) : - (RlL) t .

Eliminando los logaritmos tenemosI : (Vtlft 'S¿-Rttt'

I:a corriente decreceexponencialmentecomo se muestra en la fig. 17.16. Cuantomayor es la resistenciaR,o menor la inductancia , más rápida es a calda de lacorriente.El tiempo necesario ara qu e a corrientecaigaa 1/e,o aproximadamente63 o, desu valor inicial,es : l /R. Este tiempo sedenomina íempode elajamienlo.

Fig. 1?-16. Disposit ivopara eliminar lafenr aplicada a un circuito sin cam-biarla resistencia.

EJBMPLO 77.5. Un circuito está compuesto de do s láminas metál icas ci l fndricascoaxiales de radios a y b; po r cada una circula un a corriente f pero en sentidosopuestos. Calcular la autoinductancia po r unidad de longitud del ciróuito (fig. 17-17).El espacio entre Ios ci i indros está ocupado po r un a sustancia de permeabil idad p.

Soluclón: En el ejemplo 16.18 se obtuvo para el cat.¡tpomagnético de esta disposi-ción de co¡rientes: B - u.l lZrr entre los ci l indros ¡¡ cero en el resto del espacio.Aquf, r le confor¡nidat l con la sección 16.16, henroi reemplazado ¡ro (usada en elejemplo 16.18) po r p, ![ue es 1a pernreabil idad de] medio qu e llena el espacio entrelo s dos ci l indros. Para cclcula¡ la autoinductancia debemos calcular ei f lujo mag-nético a través de cualquier sección del conductor, ta l como la PQRS, qu e tiene

Vt-t

0.63+K

o

Fig. 1?- 16 . Caícla de la corriente cn un circui lo rlesoués de desconecta¡ la fem,



1/.3) EnerElc dei campo nragnélicc 661

lcngltud i Si dividimos esta secciónen tiras de ancbo dr, el área de cada tira esf d¡. Et campo rnag;rético l3es perpendicular a PQftS. En consecuencia

o,: | ? i ' rs: ¡ ' (-e{-) ' l raa Jpc¡s Jo\Znr)

:pI¿ [odr : n l l tnD.2n Jo r 2r a

Por lo tanto la autoinductancia de una porciónde longitud I es

- ó¡ r,¿l bL: - : l f i -

I2pa

rI IYt.I : RI 2 + LI -'

dt

:LIdIdt

u* : Il' dEs !' u ar tLIz.

(r7.20)I

Iú

y la autoinductanciapor unidad de ldngitud seráQ¡.l2zr)n bla.

Flguro 1?-17

77.9 Dnergla d,el compo tnagnético

Hemosvisto en la sección 6.10que para manteneruna corrienteen un circuitose debe suministrar energia.La energíaque se necesita por unidad de tiempo(o sea a potencia)es Ve1. Ahora bien, podemos scribir a ec.(17.19) n a forma

vs: R/+ L+-dt

Multiplicandoesta ecuaciónpor .I tenemos

De acuerdo con la ec, (16.53),el término R12 es la energia consumida por unidadde tiempo en mover los electronesa través de la red cristalina del conductory que se ransfiere a los iones que forman la red. Interpretamos entoncesel últimotérmino de la ec. (L7.21\ como Ia energía que se necesita por unidad de tiempopara establecer la corriente o su campo magnético asociado. En consecuenciala rapidez de aumento de la energía magnética es

dEs

(r7.2r)

(r7.22)

dt

La energía magnética necesaria para aumentar una corriente desde cero hastael valor .I es entonces

' i t II 11 i.-; l ! ' -

..,*---+t, -tI

- -J -- - ., - tYlra

"---i-,



662 Carnposeleclromagnéticosependíentes el liempo (17.9

Por ejemplo, en el circuito de l ejemplo 17.5, a energÍa magnética de una secciónde longitud I es, usando la ec. (17.20),

I, : vII' lnb

4ra

La energía magnética Es se puede también calcular empleando la expresión

un:*(# ' '+)

(r7.24)

donde la integral se extiende a todo el volumen en qu e eúste el campo mag-nético y du es un elemento de volumen' Por ejemplo, en el caso del circuito dela ftg. 17-17,que se ha dibujado nuevamente en la fig . 17-18,el campo magnético

está dado po r ?1 : gI lZt. Si tomam(.)s omo elemento de volumen una capa

ciiintlrica de radio r y espesordr , enccntramos que su volumen es du : (2rr)I dr.

Sustituyendo en Ia ec. {17.24}y recordandoque el c ampo se extiende sólo desder :d hasta Í :b, encontramosque

I lb / u I \2 vl lz lb dr vl lz . bu*:*J,( ; ; )

{z-t ,d,) : : íJJ, ; : i ; - t '7 ,

Obtenemospo r lo tanto el mismo resultado que en la ec. (17.23).Podemos interpretar la expresión (17.24) diciendo que la energia gastada en

establecer a corriente se ha almccenadoen el espacio circundante, de modo que

a un volumen du correspondeuna energia (c/,ylzv\ du, y la energia E6 por unidadde volumen almacenada en ei campo magnético es

E":+ !wou,

un:*rw.

,, lr o ^ USen0u:--- A-'n2

(r7.23)

(17.25)

Aunque hemos justificado la expresión (17.25) para la densidad de energía mag-nética usa ndo un circuito de simetrÍa muy especial,un análisis más detalladoque no se dará aqui, indicaría que el resultado es completamente general.Cuando

hay tanto un campo eléctrico como uno magnético presentes,debemosconsiderartambién la densidad de energia eléctrica dada por ia ec. (16.40), por Io que la

energía total por unidad de volumen en el campo electromagnéticoes

s: \eü* (r7.26)

aJDMPLO 77,6. Obtener la energía del canrpo magnético de un electrón qu e semueve lentamente y analizar el resultado.

Solución: Según la sección 15.11, una carga qu e se mueve lentamente produce un€mpo magnético cuyas lineas de iuerza son circunferencias perpendiculares a ladirección del movimiento y cuyo mórlulo es, segiin ia ec . (15.53),

I' aYrz

9, ,



í 7.t])

Figuro 1?-18

Energla del carnpo maqnáticc 663

2-,¡r en0

Flgure 17.19

con q : - ¿ para un electrón.Supongamosque podemos usar eI modelo burdodel electrón ntroducido en el ejemplo 16.14,donde R es el "radio" d.elelectrón.La energia del campo magnético en el exleriorde la carga se obtiene usando aec. (77.24),extendiendo a integral a todo el espacio uera de la carga. Tomare¡noscomo elementode volurnenal anil lo i lustrado en la f ig. 17-19.El mismo tiene un

perfmetro igual a 2rr¡sen 0 y su sección transversal tiene lados dr y r d0, por logue su área es r dr d0. El volumen es

dD : perfmetro x sección ransve¡sal : 2¡cr,sen 0 d¡ dg.

En consecuenciaa ec. (17.24) da

# [ J' (* "#-g)' '*"send¡do

-0", ,* + f ' r .n,odo:*p +g-)r, .f j r r ' Jn r 'Jo 2 \4:r 3R I

Este resu ltado no da la energlamagnética otal porque tenemosqu e agregarle acoritribución debida al campo magnéticodentrode la part lcula cargada,que a suvez requierequ e conozcamosa distribución de carga dentro de la particula. De

todos modos el resultado anterior da un a estimacióndel orden de magnitud. Lacaracterlstica más importante de .Eo es que dependede u2 por lo que recuerda aenergla cinética de un a partfcula cuya masa es

po 2q,m: L-

4* 3R'

En el caso del electrón, q:-e y m:me d€ modo que

!¿o 2ez 7 2e2rr l .=: :41 3R 4ne¡ 3Rc2'

donde hemos usado la ec . (15.55) para eliminar ¡.r,0. espejando R obtenemos

^ 2( e2 \o :

' . \* ;F):1" 'donde ¡e es el radio del electrón defi¡rido en la ec . (16.45). El hecho de qu e nuestrocálculo burdamente aproximado dé un resultado del mismo orden de magnitud



66 4 C¿n¡Iros ei ctr a n a11él i 'o.r dtrp erlr.-:r tzl :: dt I I ¿,-n,nL: {17.1t}

qu c el del e¡emuic 16.i ,1, cionde cbtuvirr,r-rs R -: j , ' -. e: un a ¡rueba de la compa-tibi l idad de rnri,¡stra teoria ya t¡ue sólc se purrle i :si irrrar ei ori ien de magnitud.Si combinamos el presente resultada co n el tiel cje¡¡irlo 16.14, parece razonablt:pensar que la energia en reposo ¡i .e ¡;ia i:artícula cargarla esiá asociada ccn la energíade su campo eléctrico, mientras r¡ue la energía cinética corresponde a la energla delcampo magnético, Iis lógico pensar tlue io s campos a.srciadosco n la s otras interac-ciotres qu e existeu cn la natrr raieza tambi(:n contribuven a las energias en reposoy cinét.ica de un a partlcula. Si n ernbargo, rrusstrs conocimiento incompleto de esas

interacciones no nos permite al presenl-r:dar una respuesta definida. De hecho, elproblema que hernos considerado, ?anto rn ei ejemplo 16.14 como aqul, es lo qu ese denomina la determinación de la erLerglapropiu de l electrón. El propósito denuestra discusión de este problema ha sido el de presentarlo al estudiante, Si de -seáramos tratarlo en forma apropiada, deberiamos emplear las técnicas de la me-cánica cuántica en un nivel muv superior al de este l ibro.

17.70 Oseilaeiottes e\éetrdeas

I-Iernc's isto en divcrsas ocasiones ue ha y tres parámetros que caracterizanell iujo de electr icidada travós de un r.ircuitr;eiéctr ico: a capacitanciaC, la resis-tencia R y Ia autoinductanci¿r ,. Analüalemos ahora el modo en que los tres

juntos tleterminan ia corriente producida po r una fe m dada. Suponiendoque lacon' iente1 en el circuit o de la fig. 17.2t)(a) stá en el sentido ndicado,aparecencargasq y -- q en las placas del capacitor C tales qu e

I : dqldt. (17.27)

Estas cargasproducenuna lem Vc : qlC. EI signo mrnos aparec e porque la femse opone a la cor¡iente ,¡ cornoresuitarlode la tendencia del capacitor a descar-garse a través del circuito. E, n le inr- luctancia, ha.votra fem Yr:.- L(dlldt)conÍornie ¡r la ec. (17.17)"Pueqlehabcr adeni:1s lguna otra fem aplicada al cir-cr i i tc, ta l cti.¡..oa i'-¡ mostrarJa n ia fig. i7.20(h).

(a) Osci/ccír¡ne.siÓ¡es. Consid¡,'rarcmosrinrcro cl caso cr r que están presentes

sóltr as dos fem l'¿ :. . I 'c. ilr¡ tst.¿cÍrsc a col'rientese nicia cargantloel capacitoro variando el flujti magnélicr-r traves dc la i¡iciuctancia intercalandoy di:spués

Figura 17-20



t / .10) Oscilacioneseléetricas 665

desconectando como en Ia fig, 17-15) una f em externa. Por lo tanto, aplicandola ley de Ohm, ec . (16.64), enemos

RI:Vr*Yc ó R¡:- #-+ (r7.28)

07.n)

Derivando la ecuación respecto a /, tenemos

^dI , d, I I dqI t - : -L-

dt dtz c dt

Usando la ec.(17.27)y pasando todos los términos al primer miembro de la ecua-ción, obtenemos

L üI + RlLdF di

+l¡ :0.C

Esta es una ecuaeión diferencial cuya solución da la corriente 1 en función de l.Los parámetros Z, R y C caracterizan el circuito.

Ahora bien, esta ecuáción es formalmente idéntica a la ec. (12.51), corres-

pondiente a las oscilacionesamortiguadas de una partícuia, si establecemos assiguientescorrespondenciasL e m, R +-r r, l/C<-+k. En consecuencia, odas lasexpresionesdadas allÍ se pueden aplicar en este caso. Las cantidades 1 y <odefi-nidas en las ecs. (15.52)y (12.5$ son ahora, cuando R2 <4LlC,

' r :Rl2L, . :VW-rc¡+ü, (17.30)

y la corriente está dada en función del tiempo por la misma expresión (12.54),que escribimos ahora en la forma

I : Ioe-f,sen (tof { al (17.31)

Fig. 1?-21. Variaciónt iempo; (a) cuanrto R2

de Ia corriente de descarga de un capacitor en función del< ALIC, (b) cuando Il 2 > ALIC.



666 Ca..nposelerlroma¡tnétícose¡;endienf¡:."el tíernptt {17.1(}

que el estudiantr.puede verif ical Dor sustitucicii: l lr i:ct¡¡ en la ec . (17.29). En

la fig. 17-21(r)se da . a grirficade la corriente en f ' ; :rciÓndel tiempo' Yemcs que

se estrblecc r¡;¡a cori' ienie cscll i tot ' i¡¡ c altcrna ctr3'aarnpiitud decrececon el

tiempo' Cuancio a resisttncia .R es niuy pequeila ei l colnl)aracióncon la induc-

tancia -L, podemos despreciar tanto i' cr¡nro ei Íriiirno termino en la expresión

dc o, con lo que resulta I : fo se n (rof * a), de rnoCoqu e las oscilaciones léc-

tricas no son amortiguadas y' tiene:r una frecuencia

ô: l t ¡ tc. (r7.32)

Esta se denomina rccuencia aracterlstícaie un circuito LC y es equivalentea la

frecuencia .o : lA'¡* de un oscilador no amortiguado. Obsérveseque el amor-

tiguamienta ci r iln circuito eléctrico proviene tle ia disipación de energia en la

resistencia R.Si la resistencia es suficienternente ¿trandecomo paru qtte RzlALz> 1'lLC ó

P;2> 4LlC, i:l irercucncia r se hac:emaginaria. En estecaso a cOrrientedisminuye

Fieuro 1?-22

graduaimente sin osciiar como se muestraen ia {ig. 17 -21(b). Las oscilacionesqu ehemos estudiado, en las cuales no hay una

fem externa aplicada, son las oscilacioneslibr¿s del circuito.

(b) Oscilacionu forzadas. Las oscilacioneseléctricas forzadas se producen cuandoagregamos al circuito mostrado en la fig.17-20una fem alterna de a forma Vs : Vooser <o¡1,omo se ilustra en la fig. 17-22"Porlo tanto, la ec. (17.28) iene ahora la forma

RI : Vt * Vc * Vs6 sen o¡f.

Repitiencloel procedimiento usado para obtener la ec. (17.2g), derivamos respectoal tiempo y ordenamos los tér¡ninos en la forma

" !# * o i¡" + :,¡vs¿ oso¡r. (17.33)

Esta ecuacióues mu¡r similar a la ec . (12"56)para la s oscilacionesorzadas deun a particula, pero con una diferencia mportante: la frecuencia , lt aparececomofactor en el segunrlomiembro de la ec. (17.33). La razón de esto es que, debidoa la relación I : dqidt, a corriente en un circuito eléctricocorresponde la ve-locidad a : hldt en ei movimiento de una partícula. Podemos ahora aplicarla s fórmulas de la sección12.i3 con la correspondencia propiada para ias can-tidades tal cual se rnuestra en la Talila 17-L. lenemos entoncesque la corienteestá dada nor

I : Io sen (.,:¡f - a) (17.34)

donde, si usamos a ec. (12.62)para la anpijtuC ao de la velocidad,co n la corres-

I/¿: I/c,o enoyf



17.10>

pondencia apropiada, la

Oseilacioneselécbícas 667

t-

amplitud de corriente es

vsu (17.35)11rc-6,r-\.,q'

TABLA 17-l Correrponilencla entre un ogcilailor rmortiguailo y un olroulto elóci¡leo

Oscilador Circuito eléctrico

masa, mamortiguamiento, Iconstante elástica, kdesplazamiento, rvelocidad, u : drldtfuerza aplicada, Fo

inductancia, -Lresistencia,Rinversade la capacitancia, lCcarga, gcorriente, I : dqldtfem aplicada, Ves

Usando asimpedancia de

obtenidas en la seccióneléctrico en la forma

12.14,podemosexpresar axpresronesr un circuito

z:] /Rr+ @ú- rl-ú)'.

I-a reactancia del circuito es

X: o, tL_ l la¡C,

de modo que

z: l /Rr+xz

y la dilerencia de fase a entre la corriente y la fem aplicada se obtiene de

l' ig" 17-28. Relación entre resistencia,

reactanciae impedancia.

(17.36)

(r7.37)

(17.38)

a)0 o ,rL>L^' @f '

Fig. 1?-24. Vectores rotantes de la co -

riiente y de la fem en un circuito decorriente alterna-

tgn:+: <¡tL-r l "ñ. (rz.B9)RR

l,as cantidades , R, X y ¿ están elacionadas omose muestraen la lig, 17-23,



66 8 Campos electromagnélícosependienle.s el tiempo (17-10

o) 0

Fig. 17-26. Variación de la corriente y de la fem en función del tiempo en uncircuito de CA.

qu e es una reproducc iónde la fig. 12.39.Nótese qu e tanto la reactancia como laimpedancia se ¿xpresanen ohms. Por ejemplo, expresando el término <¡L en fun-ción de ias unidades fundamentales se tiene s-r H : m2 kg s-r g-2. Esta es lamisma expresiónobtenida en la sección16.10para el ohm. El estudiantepuede

hacer la misma verificación para el término l/eoC. Si R y X se expresanen ohms,también Z, en vista de su definición (17.38), se debe expresar en ohms.

Se pueden representar la fem V6 y la corriente 1 mediante vectores rotantes,como se ilustra en la fig. 17-24. Las componentes de los vectores según el eje Xdan los valores instantáneos de Ve y de 1. La corriente I sigue o precedea Ia femsegún que c sea positivo o negativo, o que <o¡l sea mayor o menor que 1/<,:¡C.La fig. 17-25 da la gráfica de Ve y de f en función del tiempo. La potencia medianecesariapara mantener la corriente se obtiene de la ec. (12.70) con la corres-pondencia apropiada, es decir,

P : {Vc61e cos * - }R1fi. (17.40)

En este caso, Ia resonancia es equivalente a la resonancíade energla,estudiada

c: 0

Flg. 17-9C, Relación entre fem v corr ientc cuando la(resonancia).

t i i ferencia de fase es cero

o uL>J:' qlL

Iv st /- ,1- vL<,

(b)a)



17.10) Oscilacíones eléclrícas 669

en la sección12,13.Se obtiene cuando P es máxima, Io cua! ocurre cuando ¿ :0

o cuando a¡L:11.{ , correspondiendo una frecuenciao¡ : l t C, igual ala ec. (17.32). En la resonanciá, la corrignte tiene amplitud rnáxima y está enfase con la fem, lo cuai significa potencia media rnáxima. Los vectores rotantesVc e / están en fase o superpuestos'y a cor¡iente y la fem varían corno se muestraen la fig. 17.26.

Como en el caso de las oscilaciones forzadas de una particula, la solución ge-

ne¡al de la ec . (17.33) es la suma de la ec. (17.34) y de una corriente transitoria

dada por la ec, (17"31). Sin embargo, el térrnino correspondiente a la ec . (17.31)

se hace rápidamente despreciable a causa del amortiguamiento y sólo es nece-

sario tener en cuenta la ec . (17.34). No obstante, cuando ocurre una modificaciónen el circuito, tal como una variación en ¿, C o R, el término t¡ansitorio aparecepo r un corto i iempo hasta qu e el circuito se ajusta a la s nuevas condiciones.

EJEMPLO 77.7. Un 'circuito tiene una resistencia de 40 O, una autoinductanciade 0,1 H y una capacitancia de 10{ F. La fem aplicada tiene una frecuencia de60 Hz. Encontrar la reactancia, la impedancia, el defasaje de la corriente y la fre-cuencia de resonancia del circuito.

Soiueión: La frecuencia anguiar es <o¡ 2nv y como v : 6O llz, tenemos quea¡ : 37 7 s-1. Por lo tanto, usando la ec . (17.37) obtenemos

X:<ot l - l la¡C:227Cl.

La impedancia es entonces

z : y R+ Xr: 231o.El defasaje es, conforme a la ec. (17.39),

tga: XIR:-5,67 ó a:-80b.

Por lo tanto la corriente precedea la fem. Para la f¡ecuencia de resonanciaencon-tramos, usando a ec . (17.32),

^": lt llLC : 10s s-l ó v : u l2n: 159 Iz.

DJEMPLo 77.8. Estudiar un circuito de corriente alterna usando la técnica de losvectores rotantes.

Fig. 1?-27. Diagrama de vectores rotan-tes para el circuito mostrado en la fi$.7?-22.



670 Campaselectromagnétícosependientesel tíempo (17.11

solueión¡ Los resultados esta-biecidosn Ia sección 17,1Gse pueden obtener mu¡lfácilmente por medio de ia técnica de los vectoresrotantes. Obsérveseque la ecua-ción del circuito se puede escribir en Ia forma

Veo en<o¡t : RI - Vt -. - Vc : RI + L + + +.dtc

De l mismo modo que decimosque rQ.f s a difere¡rciade potencial en la resistenciaR,

podemosdecir que L(dIldt) y c¡lC son las diferenciasde potencial (o cafdasde vol-taje) en la inductancia y en la capacitancia respectivamente"Si suponemosque f : Io sen(:(D¡t- a), el vector rotante de la corriente queda

atrás del de la fem en un ánguio a (fig. 11-27>.Ahora bien, pudemos consideraral vector rotante de la fem como suma de los vectores otantes correspondientesa los tres términos del segundo miembro de la ecuación anterior. Notemos quedl ldt : <o¡ lo os .¡ f -c) y que q : I I dt : - (7 la¡) Iscos (o¡ f -cr ) . Podemosescribir entonces

Caida de potencial en la resistencia:

RI : RIo sen <¡t l- cr),en fase con f.

Cafda de potencial en la inductancia:

L(d.Ildt): atLIo sen <.r¡fa * *¡), delante de .I en {zr.

Cafda de potencialen el capacitor:qlC : (l/otQ fo sen(.rf - ¿- *rc), detrás de I en |:r.

Los tres vectores rotantes se muestran en la flg. 17-27,donde a llnea de referenciaestá dada por el vector rotante correspondiente Ve Sus amplitudesson R.Io,<o¡lfoe Islu¡C. Su resultante debe ser V6oya que la suma de las tres cafdasde potencialda la fem aplicada. Por lo tanto

vlo : R¡ro' (.'r -*a)'rt

o seaVeo : [/ R8 * (<¡¡I - Ll<'t¡C)ss'

Si despejamos Iode esta ecuación,el resuitadoes idéntico a la ec . (17.35).El án-gulo c se puede obtener de la flgura, resultando un valor que concuerda con la

ec . (17.39).La técnica de lo s vectores otantes es muy usada po r los ingenierosen el análisis de circuitos de corriente alterna.

1-7.17 Circuútos acoplados

Consideremososcircuitosalescomoel (1)y el (2)de a fig. 17-28. uando nacorriente I, circula por el circuito (1), se establece su alrededor n campomag-nético proporcionala Ir, y a través del circüto (2) hay un flujo magnético<D,que tambiénes proporcionala .¡1.Podemos ntoqces scribjr

Qr: MIp (t7.4r)

donde M es un coeficiente de proporcionalidad y representa el flujo magnéticoa través del circuito (2) por unidad de coniente en el circuito (l). Análogamente,



17.11\ Círcuítos acoplado:; 67 1

Fig. l?-28. Inducción mutua.

si una corriente 1, circula por el circuito (2), se produce un campo magnéticoque a su vez produce un flujo magnético ó, a través del circuito (1) el cual esproporcional a 1r. Podemos escribir entonces

Qt : MIz ' (17.42>

Nótesequeen la ec, 17 42)hemosescritoel mismo coeficienteM que en a ec.(17 41).

Esto significa reconocer que el flujo magnético a través del circuito (1) debidoa la unidad de corriente en el circuito (2) es el mismo que antes. Este coeficientecomún se denomina ínductancíamutua de los dos circuitos y se puede demostrarqu e detrese r Ia misma en ambos casos, omo hemos señalado.En otras palabras:la inducción mutua es simétrica. El coeficienteM depende de las formas de loscircuitos y de su orientación relativa. También se mide en henrys, ya que co-rresponde a Wb A-r.

Si la corriente I, es variable, el flujo o, a través del circuito (2) varía y se nduceuna fern Y¡a2 en este circuito. Esta fem está dada por

vMz:-M +.dt

Al escribirestaecuación emossupuesto ue os circuitossonrígidosy que

estánlijos en el espacio e modoque /Vl esconstante.Análogamente, i la corriente,I tes variable,se nduce en el circuito (1) una fem V¡a, dadapor

VMt:-M + (r7.43)

Esta es la razón por la cual M se llama "inductancia mutua", ya que describeel efecto o influencia mutua entre los dos circuitos. Además, si se mueven loscircuitos uno xespecto al otro, lo que origina una variación de /V1, ambiéñ seinducen fem en elios.

{Jsando a ley de Ohm podemos obtener las ecuacionesqu e relacionan la co -rriente en el circuito (1) con los parámetros del sistema. Todo Io que tenemosque hacer es sumar Ia tem V¡1,, dada por la ec. (17.43),a la ec . (17.28).Esto es,

RI l :Vh*Vct*Yvt '



672 Campos eleclromagnétícosependienles el tiempo (171

donde V¡ , - -- Lrd lr ld t y Vh: . - Qr iC, Por lo tanto, s i der ivamos a ecua-ción anterior respectoal tiempo y tenemosen cuenta qu e -I , : dqrld!,obtenemos,en vez de la ec. (17,25\,

L. .drl, + R. jll +1 r. : _ LI -q:r" .

' dtz dt cl ' dtz

Análogamente, obtenemos la siguiente ecuación para el circuito (2)

L,#:*o,+++Iz:-*#

(17.44)

electromag-incluyendoel principioel momen-un sistema

(17.46)

(17.45)

l,as ecs. (17.44)y (17,a$ forman un sistemade ecuaciones iferenciales imultá-neassirnilar a Ia ec . (12.36)correspondient e dos osciladores coplados. a cons-tante de acoplamiento es .&1.No consideraremosas solucionesgenerales,perodel estudio de los osciladorcs c opiados ue hicimosen la sección 2.10, oncluimosqu e habrá un intercambio de energÍaentre lo s circuitos. El transformadcr y elgeneradorde inducción son aplicaciones rácticas comunesde esteproceso.Otraapiicación de Ia inductancia mutua en un sentido ¡nás amplio, es la transmisiónde un a señal de un lugar a otro produciendo una corriente variable en un cir-

cuito llamado lrqnsmísor,'a su vez este circuito actúa sobre otro acoplado a é1,llamado receptor. ste es el caso del telégrafo , a radio, la televisión,el radar, etc.Sin embargo, pora estudiar estos dispositivos se necesita una técnica diferentequ e será desarrolladaparcialmenteen el capítulo 19 .

El aspecto más importante y fundamental de la inducción es que se puedeinlercambíar energta enlre dos circuítos por inlermedio del campo eleclromagnético.Podemos decir qu e el campo elebtromagnético roducido por las corrientesquecirculan por los circuitos actúa como portador de energia, transportándola através del espacio de un circuito a otro.

Pero la inducción mutua entre dos circuitos es un fenómenomacroscópico ueresulta de las interacciones lementales ntre las cargasen movimiento que cons-t i tuyen sus respectivascorrientes. Podemos co¡rcluir eqtonces de l fenómeno de

inducción mutua que la interacción electromagnéticaentre dos partículas car-gadassepuede describircomo un intercambiode energíapor intermedio del campoelectromagnéticomutuo.

Cuando dos partí culas cargadas están sujetas a una intcracciónnética, el principio de conservaciónde la energia se debe reformula¡la energia del campo. llecordar qu e también tuvimos que rcformularde conservación el momentum en la ec. (15.68)para tener en cuentatu m del campo. En consecuencia ebemosescribir a energia otal dedc do s particulas cargadas en interacciónen la forma

E:Er*Ezj 'E*po,

donde E, ! Ez so n las energías le cada particula, suma de sus energías inéticay poiencial quc resulta de

alguna fuerzaqr-ri:

ctú.r solrre elias,y

E"u*oo esla

energia ascciada co n su carnpo eiectromagnéticocomún.



!7 f 1) Circt¡í.losacoplarlos 673

Se puede demostra¡' ue en c¡rndiciones siáticas o que varian rnuy lentamenteen el tienrpo), li"o,npo 0rrespondrexactamente a la energía potencial

Ep : qrqrf reur',

dei:ida a la interacción coulombiana entre l¿rsdos cargas.Es Ia surna ci e os trcs términos en la ec. (17.46) a que permanececonstante

durante el movirniento de las dos nartículas si no están suietas a otras fuerzas.

EJnMPLa 17.{j. Una bobina que contieneN vueltas está arrollada en un solenoidetoroidal que tiene n vueltas po r unirlad de longitud y una sección ransversal denrea S. Calcular a inducta¡rciamutua de l sisterna fig. 17-29).

Sofr rc i r l r r . .Podenrosesolver l problcmaseacalculando l f lu jc magnét icoa t ravésriel solerlriir ie r¡andocircula una corriente por la bobina, sea calculando ei flujornagnético travós de a bobina cuandocircula un a corriente po r el solenoide.Siga-r¡ic: el segundoprocerlimiento, ue cs el rnás fácil de los dos. Podemos ecordar

l ' igura 17-20 Fig. 17-SO. Corriente a travésde una superficie cerrada quecontiene un a carga g.

tlcl ejernpio 16.19 qu e en el caso de un solenoide toroidal, el campo magnético estáconf inado a su interior y t iene un valor dado po r la ec. (16.71), l j : pon/. El f lu jomagnético a través de cualquier sección del solenoid e es

OS:, lJ ,S.-¡ronSf,

donde S es el área de la sección transversal del solenoide. Este flujo es el mismoqu e el que hay a través de cualquier vuelta de la bobina, aunque su sección se amayor. Luego, el f lujo rnagnético a través de la bobina es

Ctbobira:N(Ds:p'nNSI.

Cc:np::rando ésla cr.rna ec . (17.41), se obtiene para la induetancia mutua del sistema

Jf : ¡ronNS.

Este ariegio se usa mucho enmutua pat-rón. cl laboratorio cuando se necesita una inductancia

Solenoide



674 Campos eleclromagnélícos epen",lienlese! . íentpo (17.12

77.72 Principio de conseraaeiót¿ de Ia {-:íirg(l

En la sección 14.2 discutinlosei hechr: dc que ia cargr eldctrica se conscrva.En otras palabres: en todos los prroiesr'n u¿ (iúurre!1 n el universo, a cantidadneta r le ca.rgasietlpre deire iienn:nt'ir-t cr)n:rlant.rr-:stc enrtnr:iadose pucdeexpresAr 'i l ur'a fcrma cu¿r*titatira que cs rn.tr¡lui i i" ilr¡nsiderernos na stlper-f icic cerraiia S (f ig. 17.30)v lhnreirr'-- ¡i, '. l l chrga net"a lcntro cieella en un ins-la¡rte dado, Como nuesLio prcblei:ra es'Jinárnicov no estático, as cargas itrres

{ te le l ccrr ro ".s eleci i ' r ¡ ¡ i ts' .n r : :neLa! t 's o los iones e! , un t) la$nra) e mücvena i. lavésriel rneciio, travt'sdndc a superf;r : ie . A vrces prredr: ratrcr rnás cargassalieriiesque rltran[es, <lriginarrdo na tlii;¡tir.uc ir]n ie la carga neta r¡ encerrilúapoi la suprrficie S. Otr*s ver:cs a srtuaciónse puc,tic,nvert-ir v la s c.arg:is uccfitr"al lpiitt icr'. exccder t las rl l ie sl i l , :n, J¿rt¡ioo¡no r'tsultado u¡ i aurnenio cie acarga nrll g. i)or stpuesto que si l . ;s lujcs de r::irE;aue e¡rtran y salen de la su-

¡rerficie 5 sclr¡ os mismos, !a carga ireÍ.ag per'rnancce onstantr,.El principio der:ons:rvarrión rie la carga cxige ciÍri'amentr'.que

pérditla rle carga .- - flujo (ie carga saliente. - flujo decarga entrante : flujo neto de r:arga saliente. (17.47)

Ahora bien, se vi o en el ejemplo 16.1 qrreel flujo ne to de carga po r unidad detiempo, o corriente, a través de una superficieS es f :fsj.u¡dS, donde esla densidad de corriente. En el caso presente a superficie es cerrada, de modo que

(17.48)

da la carga neta que sale a través de la superficie por unidad de tiempo, es decir,Ia diferencia entre el flujo de carga saliente por unidad de tiempo y el entrante.Por otra parte, la pérdida de carga por unidad de tiempo dentro de S es - dqldt.Po r lo tanto, en tér¡ninos matemáticos a ec. (17.17)es - dqldt:/ o sea

(17.4e)

ecuación que expresa el principio de conservaciónde la carga suponiendoquela carga no se crea ni aniquila. Ahora bien, de acuerdo con la ley de Gaussparael campo eléctrico dada por la ec . (16.3), a caiga totai dentro de una superficiecerrada se expresa en funsión del campo eléctrico en la superficie mediante

I : eof, a .r¡NdS,

po r lo que

f .r¡N dS .

Sustituyendo este result¿do en la ec. (17.49), obtenemos

(17.s0)

- +': f' '"^-s'

t : $" .u¡ds

#:. ,#$"



I /.13't I.eg de Ampére-IlIanuell 675

(r7.52)

para expresar l principiode conservación e la carga de una man€raque incorpora a ley de Gauss.Cuando os campos onestáticos,a integral9s f .ux dS nodependedel tiempo. Luego, su derivad{ respectoal tiempo es cero, porlo que

Ó^ .u,v dS :0, para campos estáticos.JS '

(r7.51)

Esto significa que para campos estáücos no hay acumulación o pérdida de cargaen ninguna región del espaciopor lo que la corriente neta a través de una super-ficie cerrada es cero. (Este es esencialmenteel contenido de la primera ley deKirchhoff para el análisis de redes, que se introdujo en el ejemplo 16.17).

77.73 Leg de Arnpére-Nlanwell

La ley de Faraday-Henry, expresadapor las ecs. (17.2) o (17.15), establece unarelación entre el campo magnético y el campo eléctrico en la misma región delespacio. La íntima relación que existe entre los campos eléctrico y magnéticosugiere que debiera existir una relación análoga entre la derivada de un campoeléctrico respecto al tiempo y un campo magnético en el mismo lugar. Ahora

bien, la ec. (17.2), es deci¡

t, . t¿NdS,

relaciona la circulación del campo eléctrico con la deúvada respecto al tiempodel flujo del campo magnético. Podriamos esperar que una relación similar de-biera relacionar la circulación del campo magnético con la derivada del llujodel campo eléctrico respecto al tiempo. Hasta ahora hemos encontrado que lacirculación del campo magnético está expresada por la Iey de Ampére, ec, (16.68),

{ , ' 'o ' : -*1"

.'B.dt pols j. ü¡¿ s,

pero esta expresión no contiene ninguna derivada del flujo del campo eléctrico

Fig. 17-31. Superficie l imitada po r una curva I,. Cuandohasta convertirse en un punto, la superflcie se cierra.

i{ )

la curva L se encoge



67 6 Cam¡toselectromagnéticosependientes el líempo (17.1

respecto al tiempo. Esto no es sorprendenteyt r que se obtuvo en condlcrones

estacionarias. in enrbargopotieniossospechar ue la iey de Ampére puede nece-

sitar una revisión .oundo se la aplique a cainpos dependientes el tiempo'

Ahorabien, la leydeAnrpére.n lnf" ' - " (17.52)seapl icaaiasuperf ic ieSlimitada por la curva l. Eicepto por esta. limitada por la cutva L, la super-

ficie S es arbitraria. Si la curva L se encoge,el valor de pr,')-l 'dl disminuye

(f ig. 17-31). ri¡ralmente e anula cuanrio I se convierte en un punto y la super-f icie s se convierte en una super{icie cerrada. a ley de Ampdre exige, según a

ec. (17.52) ,que

F

o^* S : 0.9;' '?

Esto concuerdaco n la ec. (17.51)para Ia conservaciónde la carga, en tanto el

cattpo sc a estático.Si u emtargo, iabemos que cuando el canrpo no es estático

sinodependienter le l t iempo, iaec' (17 '51)yanoescorrecta 'Lacorrectaeslaec . irz.bO) que inciuye la ie y <ie Gauss.

!,stoconfirma nuestra sospecha e qu e

se ¿.¡. nroitif i.r, la ley cl e Ampérc al tratar campos dependientes el tiempo.

La ¡nodificaciónparecc eviriente; en la cc. 17.52)debenroseempiazar si 'ux ¿S

po r

j .¿¿NdS + €o f . ?¿NdS,

de confornridad co n la ec. (17.50)' Resulta

f

IS

(17.53)

Rccorclalrdo ue Jsj.1r.1 ds es Ia c.rriente I que pasaa través de la superficie ,

también podemosescribir a ec . (17'53) en la forma

+ n.at : Por (17.54)

$ n.at: p, ̂ i ' t r^- ls eorro* i"a ' t 'N ds'

J f, 's

*1"

.o*o-1 t ' r r*as.L1l ' .S

Ha y qu e comparar ésta con la t'c. (16.t17) ar a ia ley de Antpére. La ec. (17'54)

," ..dr.. a ta ley de Ampt:re pai 'a canlposcsi.át icos, a que entoncesel último

térnrino es cero; aclemássc t¡atlsfcrma t'.n a ec " (17.50) cuando la línea L Se

.naog" hasta convcrtirse en un punto, cerrántlose a superficies. Po r lo tanto'

v€mos que esta ecuaciónsatisface odas las condicioncs isicasencontradasante-

riormente.Hasta ahora hemos ugado ¡¡rer¡rne¡ite on la matemátlca tratando de hacer

la ley de Anrpére .o-poiit t" con la ley de conservaciónde la carga. Li n paso

adicional nece.sario s veriflcar experimentalmentequ e la ec. (17.53) es colTecta

V que clescribea situación ea l qu e sc cncuentraen ja naturaleza' Podemosanti-

l ip", qu., es así. La mejor prrreba es la exist.el lcia le ondas clectromagnéticas,

tema qttt : se estudiará tln el cal l íLulo 19 '

I-a p*..n,,a rlue prinrerosugir iC a 'roclificacióIt le la Jcy de Ampere e¡r a form_aque hern,,ssen:ilaciour el cienti l ico británico Jamcs Cierk Nlaxwell (1831-1879)



rd{ t .df : eopo* i t - i l ¡ds,u L oI 's

r aumentad @e/dt positiva

(¿/

ftS. 17-32. Campomagnéticotiempo.

e disminuyed {be dt negativa

(b )

| 7. í3 i Leg de Ampi,rc-Manlúí 6?I

en ia segundamitad del s iglo pasado; por ello !a ec . (17.53) se denomin;¡ ev deArrpért>Maxwell. r '{axrvellntrr-rdr¡joe modificaci(lnmás por la necesidatl lc com-pati l- . i l idadmatemátic¿¡ ue por los resullados experimentales.Lo s experimentosque c.arrotroraron as ide¿s de I'Iaxu'ell sób se realiz¡ron algunos años después.

I-a ley de Ampére, ec. (17.52),relaciona una c¡lttiente estacionaria con el campomagnético que produce. La ley de Arnpére-lúaxwell, ec. (17.53), va un paso más

adelante e indica que un campo eléctrico € dependiente del tiempo tambiéncontribuye al campo magnético. Por ejemplo, en ausencia de corrientes, tenemos

(17.5s)

que muestra más claramente la relación entrc un campo eléctrico dependientedel tiernpo y su campo magnético asociado.En otras palabras:

un campl eléclrícodependienledel líempo ímplíca Ia eristencíu ileun campo magnético en eI mismo lugar:

Si a ia circulación del campo magnético la llamamos fuerza magnetomotrizaplicada a la curva L y la designamoscon As, y designamoscon <D5,l flujo eléc-

Jr&F

producido por un campo eléctrico dependiente de l

trico a través de la superficie S limitada por la curva ¿, podemos escribir la ec.(17.55) en la forma

I\s : tdos

,ottodt

,

que el estudiante debe comparar con Ia ec (17.1) para la ley de la inducciónelectromagnética. La orientación relativa de los campos eléctrico y magnéticosi: muestra en la f ig. 17-32, correspondiente un campo eléctrico unlforme de-

pcndiente de l tiempo. Si el campo eléctrico aumenta (dismi nuye), la orientaciónde la s lÍneas nagnéticas e fuerza es gual (opuesta)al sentido de rotación de un





17 14). Lcy de Ampére-Maru¡eli e¡t forma di{erencíal 6T9

(17.53) y cancelando en

(17.5e)

(17.60)

(17.61)

(17.63)

Sustituyendoas ecs. 12.56),l7"bZ)y (17.58) n la ec.ambos niembrosel factor común dc dg resulta

6/30__())3, _ , oó,os au

: iro../z eou.o61 '

colocandonuestro ectánguro n los planos yz y ZX, obtenemos tras dosex_presiones:

6) j . ,6- l3u: ,0( ,Ag

-Ar:voJzt

tohat-

aJJ, 6¡d,A,

--A* : tlo/c-t- otto-fi

Las expresionesi7.59),(12.60) (12.61) onstituyen onjuntamentea rey deAmpére-Maxwell n forma diferencial. as podemos ombinaren una únicaecua-

Fls. 17-38. circuito elementalpara de- Flgr. 1?-84. La corriente de desplaza_ducir la forma diferencial de la ley de mi,ento de Maxrr-.ell.r ,

ur , capacitor.Ampére-Maxwell.

ción vectorial como ya hicimos para las leyes de Ampére y de Faraday-Henry,escribiendo

rot rB *, ( j * . r#) , (r7.62)

que expresa la relación entre la corriente eléctrica en un punto del espacio y loscampos eléctrico y magnético en el mismo punto. En ei espacio vacio, dondeno ha y corr ientes, :0 y la ec . (17.62) se convierte en

rot?J- ,roroff ,



680 Catnpos electronrugnélicosepenriienles el ttempo {17.15

que esel cr¡u iv: i t rentec la ec. l ; - .55)en foi ' ¡ r ia i i f r l " ¡ ; l ia l . Es s im. i la- rIa ec. 17"15)para la le¡'rle i: 'arada¡--ilenryv inuestr¿t larami.nte a rciación entre el carnpomagnéticoy la derrivada e! carnpoeleclrico espectoal t iempc,en el mis¡no punto.

Podenrosobscrv,:¡r ue €lr Ia et. (17.t2) el t:ftcÍ,ode un campo eléctricodepen-diente rJel iempo es añadir un té¡mino eo?{' i t i la la , lensidaddc ccrriente. }{ax-well intcrpretó este térrnino co rn0 ul)i i 'o¡rientc adiciona! y la llamó cr¡nienlede

d.esplazamíeni¿¡.l razonamientode líaxwcll fu e el siguiente,E, n un circuito querlontien€un capacitor C (fig. 17-34), éste interrurnpe la corriente 1. Para "cerrar"el circuito debe haber una corriente de u¡ia placa a la otra y esta co¡riente esprecisamente eottilAt)$, donde C es el camp() eléctrico en el capacitor y ^Sessu superficic. Sin embargo, el términu "corriente de desplazamiento" lieva aconfusiones la "imagen" de Nlaxwelles nnecesaria, a que no hay tai corrir:nteentre las placas de l capacitor, expresando a ec. (17.63) simplernenteun a corre-iación entre (', '13 y j en el mismo punto del espacio.

77.15 Ecuat:iones cle Ma.cwell

F{ecapitulemos esta altura nuestro estudio de! carnpoelectromagnético. lemosvisio que r¡na clase mportante Ce nteracciónentre las partículas undamentalesqrre componen la materia es la Ilarnada íntuaccíón elettromagnéli cq. st á rela-cionada con lrna ¡lropieclad aracteristicadr c¡rr,la articula que se denomina sut'urqaeléclrícc.P:¡ra eiescrihir a interacción ..leclromagnética,emos ntroducido!a nociirn tle tatnp,s cleclro¡neqnélico,a¡ecterizatlopor dos vectrrres,el campoeléctr lro 'y el crmpo r,tagnétíccJ, t¿les ciu* ia fuerza que se ejerce so}rreunacar¡¡a eléctrica es

F:q(C'+ux |J) . (17.64)

I-r-rs antpos -léctr icoC' y nagnético lJ cstán a su ve z determinadospo r la s posi-ciont ' ,s e las cargasv pr,r sus movimientos (o co rrientcs).La scparación el campoclrctromagnéticoen suscomponcntes léctrica

-vmagnéticr depende el movimieato

relat ivo del obser"'ador de las cargusqu e producen el r"ampo.Además os cam-po s f y 'ü están tlirectamente correlacionatios or las leyes de Anrpére-l\,lax*'elly de Fraraday-I{enry.Todas estas relacionesse rKprcsan mediante cuatro }eyesr¡ue hcmos ¡r¡ralizado n los capi tulos precedentes que se pueden escribir tantoen forma integral como en forma diferencialcomo en la tabla 17-2.

La teoría del campo electromagnéticoestá condensadaen estas cuatro leyes.Se denominan ecuacionesle Xlas utell porque fue Maxwell quien, además de for-mula¡ la cuarta ley, se dio cuenta que, junto co n la ec. (17.64),constif.uían aestructura básica de la teoria de las interacciones electromagnéticas.La cargaeléctrica q y ia corrienie 1 se denominan as fuentesdel campo elcctromagnéticoya que, dadasq e 1, las ecuaciones c Xax*r i i nos permiten calcularC y' lJ .

Debc,'nos otar oue ias leyesdc Gausspar:r ios camposeiéctrico y rnagnér:ico,

ecs. 16.3i v (16.81) , t obtuvieron,- 'nci c i i ¡ ; i i . l lo1t j pr i ra camposestát iccs. . loohstanl-o,as estamos ncor¡roraniit¡ hore a ur.¡aeoria tlrre nvolucra campos de-



17.f5) Eeuaciones de MonweII 681

pendientes el tiempo. El estudiantese puede preguntarsi no tendremosquüáque ccrregirlasdel mismo modo que tuvimos que modificar la ley de Ampérepara hacerlaapiicableen la situaciónde dependencia el tiernpo. La respuestaesnegativa.Seha eneonl.radcr:eel mencirnado onjunto de eyesestáconformea la experiencia, las consecu.enciaseducidas e ellas hasta ahora eoncuerdancon ios resultadosexperimentales. or io tantc, las dos leyes de Gausssiguen

siendoválidascuandose aplican a camposeléctricos magnéticosdependientesdel tiempo.

Le y Forma integral Forma diferencial

{" Ley cleGaussparaei campo eléctrico[(16.3)v {16"5) ]

II . Ley de Gaussparael campo magné-t ico [(16.81)

(16.82)liII. Ley de Faraday-

Éfenr.v (77.2) y{t7.r5)l

$ c.",' ds : -g-JS €6

divd: A€9

f ' f . . . ,"dS:0,

drdt fs

s,l-",6 ,8. rr¡ dS : 0 ódt Js

div (B: 0

f" 7B}.u¡¡ dS rotC:at

IV. Ley de Ampére-Maxwell [(17"54)y (17"62)l

2frot 'D: ¡roj * eo¡¡o:

Las ecuacionesde Maxwell forman también un conjunto compatible. Por un Ia-do, ias ecs. (16.3) y (17.54), que involucran una integral de superficie dei campor'léi:tric¡¡,scn compatibles porque éste fue nuestro requisito básico p¿ra corregiri* l ;y ,: .rAn:rpére" or otro lado, as ecs. 16.81)y i17.2),qu e involucran uile in-

i*gral dc superficie del campo magnético, tamtrién son compatibles. Por ejem-plo, aplicando la ec. (17.2) a la super{icie de la fig. 17-31, tenemos que cuandotracurva .t se encogehasta que Ia superficie se cierra, la circulación de C es cero.Iintonces

f"'tr 'n ds const,

que coincide csln la ec. (16.81) si anularnos la constante de integración.En el espacio ib¡.co vacío, donde no hay ni cargas(p : 0) ni corrientes (- l :0),

Ias ec¡iacicnesde Maxweli son algo más simples, siendo su forma diferencial

divf : ¡ , d iv f f :9,

(r7.65)rotC - +, rot?J €opo+,

TABLA l7-2 Ecusolon¿sle Moxwell pora el osmpo oleeúronagn6tleo



682 Campos electromagnélicosependienles e{ tíernpo (17.15

las cualespresentan cierta simetria. Sugerimosql¡e el estudiante as escriba endetal le usando las componentescartesianas'

El estudiante debe comparar las ecuacionesde l\faxwell, sea en forma integralo diferencial, con las ecuaciones ara el campo estático qu e se muesttan en latabla 16-'1,y notar las principales modificaciones introducidas. En particular,debe observar que las leyes de Faradav-Henry y de Ampére-Maxwell suministran

la conexión enire los campos eléctricoy magnético, a cual estabaausenteen lasecuacionespara los campos estáticos.

Según el problema a tesolver, las ecuacionesde Maxwell se usan en formaintegral o diferencial.En el capitulo 19, po r ejemplo, lustraremoscómo se usanpara estudiar ias ondas electromagnéticas.Puede parecer a primera vista querecordar todas estas ecuaciones s una tarea formidable. Si n embargo no es así.En primer lugar tienen una cierta simetria qu e (una ve z reconocida)ayuda aorganizarlasen Ia mente y por aplicacióncontinuada uno se familiariza gradual -

mente con ellas. Pero en segundo ugar, c omprender su si gnificado isico es má simportante qr¡e recordarlasen detalle.

La s ecuacionesde Maxrvell son compatibles co n el principio de relat ividaden el sentido de que so n invariantes frente a una transformación de Lorentz.Es decir, su forma no cambia cuando ia s coordenadas , A, z y el tiempo f se

transforman confonne a la transformación de Lorentz (6.33) y los campos f y tl lse transforman conformea las ecs. 15.59)y (15.61).La demostraciónnratemáticade esto pertenece un curso más avanzado,por lo que la omitiremosaquí aunqueno €s esencialmente difícil.

La síntesisde las interaccioneselectromagnéticas ue expresan as ecuacionesde Maxwell es uno de los mayores logros de la fisica y es o que coloia estas nter-accionesen una posición privilegiada. Son la s mejor comprendidasde todas la sinteraccionesy las únicas que, hasta ahora, se pueden expresar en una f o¡mamatemática cerrada y compatible. Esto es bastante afortunado para Ia huma-nidad, put'sto que gran parte de nuestra civilización ha sido posible gracias anuestra comprensiónde las interaccioneselectromagnéticas, a que son respon-sablesde la mayoria de ios procesos, aturales y dehidosa la mano del hombre,

que afectan nuestra vida diaria.No obstante, debemosdar¡roscuenta que las ecuaciones e Maxwell, t¿l cualhan sido presentadas, ienen sus limitaciones. Funcionan muy bien para tratarinteracciones entre gran número de cargas, corr¡o as antenas radiantes, los cir-cuitos eléctricosy aú n los hacesde átomos o de moléculas onizados.Pero se haencontrado que las interacciones electromagnéticasentre partículas elementales(especialmente a energíasaltas) se deben tratar en una forma algo diferente yconforme a las leyes de la mecánica cuántica, constituyendo una técnica deno-minada eleclrodinámica uánlica. Este tema nr.¡ ecibirá consideraciónulterior eneste libro. Aun dando por sentadasesf.as irnitaciones, os resultadosobtenidosde las ecui.rcionese Nfaxwell dadas en este capítulo so n un a aproximación exce-lentepara describir as nteracciones lectronragnéticasntre particulaselementales.Estc nrétrdo se c!enomint eleclrodintlnl.ica.lusfca. ls esta técnica aproximada

ia rlue se iisará en este libro cuancioestudienros as ondas electromagnétic asla estructura de la materia.





68 4 Campos elerlronagneticos epe.ndirr;l¡¿.tei liempo

piado dc Inod{) quc Ve sc mida tt r r,oi l-i¿s

-"-Oo erl rnaxlvei ls.

17,1 Ei carirpc magn¿tic,-: ) :) pr¡ ic¡io:,Ios puntr-.sde¡rtro de la cirrtrnlerenc-ia letrazos <le a flg. i7-3$ es igual :¡ t),¡1 ' .Está dirigido hai: ia el piano clcl papt.i )'dccrec,: a rat ,( :n dc ü.1 ' l 's-t . (al ¿Cur¡

es la irrnra dc las i ineas de fi i trrz¿ri l i

FIacer ;r; Éiál ir 'o esquemiit ico de ia fe mj¡rrjLlt , r l : . 'n la esirir:r en función de r,<l¿sdc ¡ -- - - : l í hasta r =. - l- 2I, re¡rre-se¡r i *ndo i racia arr iba la fern en eisen-tido de la s rgujas <iei cloj y hacia abajola de scnt i r i ¡ opuesto.17.7 Lina espira rectanguiar se muevca lravós tlc una rcgiórr cn !¡. cuai el(ámp¡) maqnól icn está dado por ' ) jv :t1".- i .t, tL -

(.€) it ) T (ver fig. 17-38).-dncontrar la fem inducida en la espira¿n f i tnc ión del t iempo, poniendo I : f )c,.r¿tndoa espira está e¡r la ¡rosi<:iónmos-t¡¿rr la cn la f igrrra, (a) s i u - 2 m s-r,l l i ) si la espira parte de l reposo y tiencrina aceleri¡ción rle ! nr s-s. (c ) l lepetir¡;aia cuautlo t' i rnovirniento es paraicl ir¡ i) Z et: ' i rgar de 0 )' . id l Encontrar lairxtierti*: si ??es¡ira-- i ohrns.

[ ' igura 1?-38

17.8 SLrponiendo Jl le a espira del pro-blenz ' i7,i rota al¡€de(iur del eie AZ ,(:r) ¡cuá1 ¡: s 1a ier¡r Inedia dur¿rnie lo s

prirneros 9t)" clc ¡oiación si cl pc'rír-rdo erctaciór e5 0,2 s? (b) Calcular la fe¡n vl¡ ¡ i ro;r ic l : lc i l i : : t r¡ t : ia l teas n función delt ietn l t ; ,1; . i i En Ia l ig. 1?-39 sean I : 1,5 m'ii : i .),5T y u : 4 n¡ s-1. ¿Cuát es la di -

fr-.renciade potencial entre los extremosde l ccrnductor? ¿Cuál extremo está apotenciai más al to?

17.1A E1 cubo de la f ig. 17-40, de unmetro de lado, está en un campo mag-nético uniforme dr 0,2 T dirigido segúnel eje Y. I-os alambrcs A, C y D senurelcn en las di reccioncs ndicadas, to-do s r:on una velocidad de 0,5 nt s-1. .Cuál

es la di lerenci¿r de potencial entre lo sextri :rrros de cada aiantbre?

,r' " gz,rñ;, "

" ll ' ir l tt " ¡¡

' l i ' /^ l ) "" \ \ / t /t', "

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aa ^ { x,/

' - l --__!.---

,x x x x

I

Figürr, 1?-36

campo eléclrico inducido dentro d¡: Iaci¡cunferencia de trazos? (b) ¿,Cuálcs oncl rnó<lulo y la dirección de este canlpoen cualquier pun'Lo dcl ari i l lo conductor,y c¡:á! es la fenl cn ei rnisnto? (c ) ¿Cuáles a corrlenl e eri el ani l l t-¡ i su resistenciaes 2 ohme? {d) ¿Cuál es ia difcrcncia depotencial clrtre dos ¡runtos cualesquieradcl ani l lo? (e) ¿{iómo col lc i l ie .sLrs es-puestal a (i :) y a (d)? Si se cc,rta elani l lo en al,.1útn unto ¡- se separari l i isextremos ligerarnente, ¿cuál será la ri i ie-ren¡:ia rle pltencial entrc lc.rs xtremfls?

17.t1 Lina espira cuatlrada de ¿i¡rnirre:o *tur:1"eCo:r r,,: locit laai¿, (tOns.latl l"eI i

¡l i r,-,ccíó¡r i l t is\-c! 'qal a rin l :t l i lprJ n'.¡i l -n¡., i ico rniforlre conllnado cu uila reÍtú¡ir- 'uadrarlact i l os larlos scn rie lorrgi t r idrloble cie os ¡l¡: a tsplra (ver fig, '17-3,1').

Z| 0, 2 rrts-.\

lf-ll.'l tl

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, l tXXx.Xx

I_, 'XXXXXXl

í r----l lll I ' ; x < ^ll . l¡ +ll I x x Y x ^lii l

lrtxxx

[ ' igura 17"87



Flgura 17-39 Flcuro 1?-40

t7.l l Un disco metál ico de radio o rotacon velocidad an€¡ular to en un planodonde hay un campo magnético uni-forme 'IJ paralelo al eje del disco (verfig. 17-41). Demostrar qu e la diferenciade potencial entre el centro y el bordees $coa2$.17.72 Un solenoide tiene una longitudde 0,30 m y una sección de 1,2 x 10-3 mr .LIna bobina de 300 vueltas está arrol ladsen su parte central. Dcterminar (a ) suinducción mutua, (b ) la fem inducida enla bobina si en 0,2 s se invierte el sentidode Ia corriente de 2 A que circula por elsolenoide.

17.73 La s bobinas A y B tienen 200 y800 vueltas respectivamente. Una co-rriente de 2 A en A produce un flujomagnético de 1,8 x 10-' Wb en cadavuelta de .8. Calcular (a) el coeflcientede inductancia mutua, (b) el f lujo mag-nético a través de A cuando hay unacorriente de 4 A en B, (c ) la lem indu-cída e¡r B cuando la corriente e¡r ávarla dc ll A a. 1 A en 0,3 s.

17"14 Se colocan dos bobinas coaxial-m€nte como s€ muestra en la f ig. 17- 42.

Probiemas

Flcur¡ 1?-41

La bobina 1 está conectada a una fuenteexterna V5, de fem. Suponer que la geo-metrfa es tal qu e un quinto del f lujomagnético producido po r la bobina 1pasa por la bobina 2 y viceversa. Lasresisterrcias de las bobinas son R, y R,y la bobina 2 está conectada a una re-sistencia externa como se muestra. Losnúmeros de vueltas de la s bobinas sonN. y N¡. El flujo total producido por la

bobina 1 está dado po r <D o (l¡lN1)I1,donde I, es la autoinductancia de la bo -bina 1. (a ) Encontrar la fem inducida enla bobina 2 cuando /, aumenta unifor-memente de 0 a .Ioen f s. (b) Encontrarla fem inducida en la bobina 2 cuandoIt : Io sen cof, c) ¿Cuánta energia se re-quiere del circuito 1 como resultado dela inducción en la bobina 2?

71 15 Se coloca una bobina de N vuel-tas alrededor de un solenoide muy largode sección S que tiene n vueltas por uni-dad de longitud (ver fig. 77-34). Demos-trar que la inductancia mutua del sis-tema es ponNs.

17.16 En el centro de una bobina circu-lar de radio c que tiene N, vueltas, hay

68.5

x-¡_-¡GI

I

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Figurr 17-42 Figura 17-43 Fig'r¡* 1t-n*

(8





+?[--_-l-rr' t ¡r

Ftgure 1?-4?

después de cerrar el interrüptor S, (a) lacorriente en el circuito es / : +dqldt,donde q es l¿ c¿¡g¿ acumulada en elcapacitor, (b) la ecuación del circuito esVt - ql C : Á/ , (c ) la carga en funcióndei t ienrpo es q : YsC(1 - el l?c), lacorriente en función del t iempo esI: {f '¿i¿l )e-úlsc. Representar g é 1

"nfuncién del t iempo.

17.30 Un circuito está compuesto deuna resistencia a la cual se aplica una

tsroblemas 68?

Flgura 17-49

fem alterna Ve : Vo sen of. Demostrarqu c a corriente stádadapor ¡ : ( yoiR)sen <ol, epresentar os vectores rotantesde la fem y de la corrientey mostrar queestán en fase.¿Cuáles a impedanciade lcircuito?17.31 Un circuito está conrpuestodeuna fem alterna de amplitud Vso y fre-cuenciaangular co, onectadaa un capa-citor C. (a) Encontrar la corriente. (b)Dibujar los.vectores otantes correspon-dientesa la fem aplicada a la corriente.

(c) Representar la coniente en fu¡rciónde<oydeC.

17.32 Se conectaun capacitor de 1pFa una fuente de CA cuya amplitud <kvoltaje se mantiene constante a 50 V,pero cuya frecuencia se puede variar.Encontrar la amplitud de conientecuando la frecuencia angular ee (a)100 sr , (b) 1000 s-r, (c) 10.000 s-1.(d) Construir un gráflco bilogarftmicode a corrienteen función de a frecuencia.

17.33 La amplitud de voltaje de unafuente de CA es 50 V y su frecuenciaangular es 1000 s-r. Encontrar la ampli-tud de corriente si la capacitanciade un

capacitor conectado a la fuente es (a)0,01 ¡.rF, b) 1,0 pF, (c) 100 ¡,tF. d) Cons-truir un gráflco bilogarltmico de la,co-rriente en función de la capacitancia.

77.34 Un ci¡cuito está compuesto deuna fem alterna de amplitud V6o y fre-cuenciaangular o conectadaa una auto-inductancia Z. (a) Encontrar Ia corriente.(b) Dibujar los vectoresrotantes corres-pondientesa la fe m aplicada,a la caldade potencialen la autoinductancia y ala corriente, (c) Representar a corrienteen función de coy de l.

77.35 A la fuente de l Problema 17.32

se conectaun inductor de autoinduc-

tancia 10 H y resistenciadespreciable.

Ftgura 1?-48

en se¡iecon un resistor R y un capacitordescargadoCr .(a) Demostrarque a ecua-cióndel c i rcni toesg/C¡ @o-ülCz:RI.(b) Determinar g e -I en lunción de ltiernpo.L7.28 Se coneeta un capacitor C quetiene una earga inicial qo a una autoin-ductancia I de resistenciadespreciatrle(f ig. 17-49).Si se cierrael interruptor S,el capacitor se descargaa través de lainductancia. Demostra¡ que (a) la co-r¡iente que cireula por el circuito es

I : -- dqidt, b) la ecuacióndel circuita esqlC-L dlldt:O, (c ) la cargaen elcapacitor al tiempo f es q : go cos úrl,dondeo : 1l]/LC , de modo qu e se esta-blecen oscilacioneseléctricas. Este cir-cuito se usa para obtener oscilacionesde alta frecuencia.17.29 Se conecta una baterla de femVs y resistencia nterna despreciableenserie con-un resistor R y un capacitordescargado (f lg.17-50).Demostrarque,

Figura l?-60r/*_.l.T-->__r-

R





Cam¡toseleúromagnéticos epenriientes e! tíempo

I7.49 Demostrar qu e si '¡i -- Cir se sa-t isface a ec . (17.8). ISugerencia-' alcu-lar ') 3 para r arbitrario, introducir elvalor en la ee. (1?.8)y calcular a deri-vada respectoa r.l17.50 Una cargag dc masam semueveen una órbita circular de radio p bajo la

acción de una fu erza centrlpeta F. Du-ranle cierto ntervalo de tienrpo,seesta-blebeun campomagnéticouniformeper-penclicular l plano de a órbita. Usandoia iey de la inducciónelectrontagnética,demostrar qu e la variación de l niódttlode a velocidaddel ion ss ¡i:--qp )l i2my qu e Ia variación correspondiente el;no¡nentomagnéticoes Arn -(l'?' l lm))J.Comparar on el e jenrplo 6.21. Su-ilerencia: Para obtener la aceleraciónlangcncialmient¡asel campomagnéticoestávariando,usar a ec. (17.6)obteltidaal discutir el betatrón.l1'7.51 Refirióndosea la situación des-

crita en la sección 17.5 (a ) demostrarque en el sistema de referenciaen elcual el circuito está en reposo y elcampo magnético rota con velocidadangular - er, A(nlAt x %, (b) Es-cribir la ec. (17.15) con este valor deQV3l7ty, usa¡rdo el resultado del pro-blema 16.64, demostrar qu e el campoeléctricoobservadoen estesistemade re-ferencia es d : 11co )l ) *

".(c) De-

mostrar que la fem producida po r estecampoeléctr icoes a misma que la fernmedida por el observador i jo al canrpomagnético. Sugerencia:Notar que ]r xdt es el área del triángulo determinadopo r ambos '€ctoresY qu e A \ R' C

--4.8 x f , .117.52 En una región donde ha y uncampo magnéticouniforme')I, el móduiodel campo está aumentandocon un a ra -pirlez constante, es decir, 0l1i?t : o,dondeb es un vector constanteparaieloa 19, a) Denrost¡ar que, cotrlormea la

ec. (17.15)" l campo eléctr icoen cadapunto es ¿ : - lb x t. (b ) Coiocandoel eje Z paralelo al campo magnético,obtener las componentes cartesianasdef. (e) Representar las llneas de fuerzatle los campos eléctrico y magnético.17.53 Encontrar el f lujo eléctr icoa tra-

vé s de una eslera con centro en unacarga qu e se mueve a alta veiocidad.lSugerencia:Usar la cxpresión (15.64)dc la ley de Gauss. l1?.54 Escribir la forma diferencial dela s ecuaciones e Maxwell (tabla 17-2)usando el operadorV.17.ó5 Demost.rar ue la forma diferen-t ial de a ecuación e continuidad117.51)xs AplAt - di v j.

17.5ij Demostrarque para qu e a ecua-ción de continuidad escrita en el pro-blema 1?.55permanezcanvariante bajouna tra¡rsformación de Lorentz para

todos os observadoresnerciales, s ne -cesarioque la corriente y ia densidad decarga se transformen de acuerdo conla ley

. . i t *ouj' , : -::=-:=, i'v : iv ,V - ¡¡21¿z

i 'z : iz ,

Escribir el lfmite no relativista de estasexpresionesy discutir su verosimilitud.[Sugerencíar ecordar qu e - pD es ladensidad de corriente para cargas quese muevencon velocidado. l

77.5i Verificar po r $ustitución directaque la ec. (17.3-t)es solucióncie a ec.(17.33) si io y ¿ están dados por lasecs. (17.35) y (17.39), espectivamente.ISugerencia.'Desarrol lar primero se n(r¡f -- a) y reemplazar sen .úy cos crporlos v alores obtenidos de la ec. (17.39).1

, ? - iúlcrtJ_.'- -r-_-

V7 - ullcz



68 8 Campos eleüromnqnélist¡; $.sp¡¡1rl i

Encontrar la anr¡r1i l .ud c cornerrte ¡:i¡an..do la frecuencia angular es (a) 1ü0 s-r.(b ) 1000 s-r, tc ) 10.000 s-' . (d) f lolstruirun gráflco biJogar'Ítmico de la arnpli lrrdde corriente en funci/rn de la frecuencia.

17.20 Encontra¡ la arnpli tud rie co-rriente si Ia autninductancia de un in -

ductor sl n rcsistencia ccneclario a !:¡fuent"ede l problerna 17,33 es (a ) {1.01 {,

¿¡r,¡,' ¿Jei ler,'ipr.

{:! l i i iar r i alnpi!.|;rt i }¡ le fase respecto ala f :: i l r lo cs Ciiercnci¡.s<i epotencial Voy.l ' r". Yea, 1'o., l ' rc. I,Swgerencia:DibujnrIo s correspcnrl icntes vector€s rotantescor'¡o r€ i¡rdicrl en la fig. 17-271.1?.4:, -{e ci.,r¡recta na fem alterna quet ie¡e 1rr valcr máximo de 100 V y una

frecuencia ang;ular de 120r s-r en serieLlolruna resistencia de 1 O, u¡ra autcl in-

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Fisica Vol. II Campos y Ondas - Alonso, Finn

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