Flexão.torção.vigas - 344

7/25/2019 Flexo.toro.vigas - 344

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ESFORO CORTANTE E MOMENTO FLETORFORAS INTERNAS

Quais so as intensidades dos esforos interno no ponto B ? Sabendo queeles so as fora normal, a fora cortante e o momento fletor

Para projetar uma estrutura mecnica necessrio conhecer ocarregamento agindo dentro do membro para que sejamos capazes deassegurar que o material ir suportar o carregamento. . As forasinternas so calculadas utilizando o mtodo da seo. Veja o exemploda viga em balano abaixo.


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Foras Internas


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Conveno de sinais: N, V, M so positivos quando


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Exerccio: Determine a fora normal, fora cisalhante e o momento fletor noponto B. Primeiro calcule as reaes dos apoios. Faa o diagrama de corpolivre.


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Diagrama de corpo livre do corpo todo e do segmento AB


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Exerccio: Determine a fora normal, fora cortante e momento fletor noponto C. Faa os diagramas de corpo livre de todo o corpo e da segmento AC.Calcule as reaes do apoio.


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Exerccio: Determine a fora normal, fora cortante e momento fletor noponto C. Faa os diagramas de corpo livre de todo o corpo e da segmento AC.Calcule as reaes do apoio.


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TIPOS DE VIGAS e TIPOS DE CARREGAMENTO

Viga so membros estruturais projetados para suportar cargas aplicadas perpendiculares aos

seus eixos. Em geral, elas so longas e retas, e possuem uma rea da seo transversalconstante. Normalmente so classificadas de acordo com a forma como so apoiadas. Porexemplo, uma viga que simplesmente apoiadas com um pino em uma extremidade comum rolete na noutra est mostrado abaixo.


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VIGAS ENGASTADA (kip = kilopound)


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TIPOS DE CARREGAMENTO


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CLASSFIFICAO DE VIGAS


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CLASSIFICAO DE VIGAS


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CLASSFICAO DE VIGAS


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Exerccio 1: Dada a viga fixa em A com carga distribuida triangular determineas reaes nos apoios. Calcule o esforo cortante V e o momento fletor M noponto C.


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Exerccio 2: Determine a fora normal, fora cortante e momento fletorno ponto a 4m do ponto A. Faa os diagramas de corpo livre de todo ocorpo e da segmento AD. Calcule as reaes do apoio. O ponto A

pinado e D rotulado. Calcule o esforo cortante e momento fletor noponto D. Apoio duplo em A e apoio simples em C. A viga soldada em B.


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Exerccio 3: Determine a fora normal, fora cortante e momento fletorno ponto C. Faa os diagramas de corpo livre de todo o corpo e dosegmento da extremidade esquerda at o ponto C. Calcule as reaes nos

apoios. O ponto A apoio duplo e o ponto B apoio simples.


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Exerccio 4: Determine a fora normal, fora cortante e momento fletorno ponto C. Faa os diagramas de corpo livre de todo o corpo e dosegmento AC. Calcule as reaes nos apoios. O ponto A apoio simplese o ponto B apoio duplo.


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FLEXO

- Vigas e eixos so importantes elementos estruturais emecnicos usados em projetos de engenharia.

- Assim como os diagramas de fora cortante e momento

fletor proporcionam um meio til para determinar a maior

fora de cisalhamento e o maior momento fletor em um

elemento e especificam onde esses mximos ocorrem.- Uma vez determinado o momento interno em uma seo a

tenso de flexo pode ser calculada. Em primeiro lugar,

consideraremos elementos retos, com seo transversal

simtrica e feitos de materiais homogneos lineares elsticos.


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Diagramas de Fora Cortante e Momento Fletor de uma viga


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Exemplo: Representao grfica da fora cortante e momento fletor de uma viga.


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DEFORMAO POR FLEXO DE UM ELEMENTO RETO

Aqui discutiremos as deformaes que ocorrem quando uma vigaprismtica reta, feita de um material homogneo, submetida flexo. Adiscusso ficar limitada a vigas com rea de transversal simtrica emrelao a um eixo e a um momento fletor aplicado em torno de uma linhacentral perpendicular a essa linha de simetria, como mostrado na figura

abaixo


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A Figura Abaixo Mostra uma Viga no Deformada que tem seotransversal quadrada e marcada por uma grade de linhas longitudinais

e transversais. Quando o momento fletor aplicado, as linhas dagrade tendem a se distorcer segundo o padro mostrado figuraposterior


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Viga Deformada Devido a Aplicao de Momento Puro.

Aqui, podemos ver que as linhas longitudinais se tornam curvas e aslinhas transversais verticiais continuam retas, porm sofrem rotao.

O comportamento de qualquer barra deformvel sujeito a um momentofletor positivo provoca o alogamento do material na parte inferior da barra e acompresso do material na poro superior da barra. Por consequncia, entreessas duas regies deve existir uma superfcie, denominada superfcie neutra, naqual no ocorrer mudanas nos comprimentos das fibras longitudinais do material.


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Trs premissas em relao ao modo como a tenso deforma o material de uma vigas longasem flexo:- A primeira premissa que o eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfcieneutra, no sofre qualquer mudana no comprimento.-A segunda que todas as sees transversais da viga permanecem planas e

perpendiculares ao eixo longitudinal durante a deformao.- A terceira que qualquer deformao da seo transversal dentro de seu prprio planoser desprezada. Em particular, o eixo Z, que se encontra no plano da seo transversal eem torno do qual a seo transversal gira, denominado eixo neutro,sua localizao serdeterminada adiante.


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-Para mostrar como essa distoro deformar o material, isolaremos um segmento da vigalocalizado distncia (veja figura anterior) ao longo do comprimento da viga com espessura antes da deformao. A figura abaixo mostra uma vista lateral desse elemento tomado da vigaantes e aps a deformao.- Observe que qualquer segmento de reta , localizado na superfcie neutra, no muda decomprimento, ao passo que qualquer segmento de reta ,localizado distncia arbitrria acima da superfcie neutra, se contrair e se tornar aps a deformao. Por definio, adeformao normal ao longo de determinada pela equao


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Agora, representaremos essa deformaoem termos da localizao do segmento edo raio de curvatura do eixo longitudinal do elemento.-Antes da deformao, .-Aps a deformao,

tem um raio de curvatura

com centro de curvatura no

ponto O.-Visto que define o ngulo entre os lados da seo transversal do elemento,

.Da mesma maneira, o comprimento deformado de

( ).

Substituindo na equao acima, obtemos

0()

ou


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Esse importante resultado indica que a deformao normal longitudinal de qualquer

elemento no interior de uma viga depende de sua localizao na seo transversal edo raio de curvatura do eixo longitudinal da viga no ponto.Em outras palavras, para qualquer seco transversal especfica, a deformao normallongitudinalvariar linearmente com em relao ao eixo neutro.Assumiremos aqui que se somente um momento aplicado viga, esse momento

provoca tenso normal somente na direo , devido as premissas adotadas. esseestado de tenso uniaxial que faz o material ter a componente da deformao normallongitudinal e consequentemente a tenso dada por essas deformaes faro com que as dimenses da


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A Frmula da Flexo


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Desenvolveremos uma equao que relaciona a distribuio de tensolongitudinalem uma viga e o momento fletor interno resultante que age naseo transversal da viga. Para isto, partiremos da premissa de que o material

se comporta de uma maneira linear elstica, de modo que a lei de Hooke seaplica, isto . Ento, uma variao linear da deformao normal deveser a consequncia de uma variao linear da tenso. Logo, assim como avariao a variao da deformao normal, variar de zero no eixo neutrodo elemento at um valor mximo, distncia mais afastada do eixoneutro. Temos que

Essa equao representa a distribuio de tenso na rea da seotransversal. Aqui, a conveno de sinal definida significativa. Para Mpositivo, que age na direo +valores positivos de do valores negativospara , isto uma tenso de compresso, visto que age na direo negativa. De maneira semelhante, valores negativos de daro valorespositivos ou de trao para

.


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Podemos localizar a posio do eixo neutro na seo transversal satisfazendo acondio de que a fora resultante produzida pela distribuio de tenso na rea

transversal deve ser nula. Observando que a fora age sobre oelemento arbitrrio da viga, exige-se que

0

0

Visto que

0, ento

0Essa condio s pode ser satisfeita se o eixo neutro tambm for o eixo docentroide horizontalpara a seo transversal analisada. Por consequncia, umavez determinado o centroide para a rea da seo transversal do elemento, alocalizao do eixo neutro conhecida.


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Podemos determinar a tenso na viga pelo fato de que o momentointerno resultante deve ser igual ao momento produzido peladistribuio de tenso em torno do eixo neutro.

O momento de na figura em torno do eixo neutro .

Esse momento positivo, visto que, pela regra na mo direita, o polegarest direcionado ao longo do eixo positivo quando os dedos socurvados no sentido da rotao causada por .


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Nessa expresso, a integral representa o momento de inrcia da rea daseo transversal, calculada em torno do eixo neutro,

.Por consequncia, pode-se representar como


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Visto que

, a tenso normal em uma distncia normal em uma

distncia intermediria

pode ser determinada por

Observe que o sinal negativo necessrio, j que est de acordo com oseixos

,

e

definidos. Essa formula usada para determinar a tenso

normal em um elemento reto e momento aplicado perpendicularmente aoeixo.


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Exemplo: a viga tem seo transversal retangular e est sujeita distribuiode tenso linear. Determine sabemdo-se que o momento internoM , a viga est engastada.


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Exerccio 1. Dado o problema abaixo determine no meio da viga.Sabendo que o perfil da viga retangular.

Determine tambm em 1,5m e 0,5m do ponto A.


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Exerccio 2 - Determine em 1,5, para a viga simplesmenteapoiada mostrada na figura abaixo. Apoio simples de um lado e apoio duplodo outro lado.


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Exercco 3- Determine em 3, para viga simplesmente apoiada.Apoio simples de um lado e apoio duplo do outro lado. O perfil da viga estmostrada na figura. A carga distribuda e 5kN/m.


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Exercco 4- Determine em 0,3a direita de A, para vigasimplesmente apoiada. Apoio simples de um lado e apoio duplo do outrolado. O perfil da viga est mostrada na figura. Sendo D=30cm.


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Flexo Assimtrica

Quando desenvolvemos a frmula da flexo, impusemos a condio de que area da seo transversal fosse simtrica em torno de um eixo perpendicularao eixo neutro e tambm que o momento interno resultando agisse aolongo do eixo neutro. isso o que ocorre nas sees em T ou em U. Porm,essas condies so desnecessrias, e, nesta seo, mostraremos que a

frmula da flexo tambm pode ser aplicada tanto a uma viga com rea deseo transversal de qualquer formato, como a uma viga com momentointerno resultante que aja em qualquer direo.


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Momento Aplicado ao longo do eixo principal

Considere a seo transversal da viga tem a forma assimtrica mostrada nafigura abaixo. Como na seo anterior, o sistema de coordenadas ,,orientado para a direita definido de modo tal que a origem esteja localizadano centroide C da seo transversal e o momento interno resultante aja aolongo do eixo

+.


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A distribuio de tenso que age sobre toda a rea da seo transversal deveter fora resultante nula, momento interno resultante em torno do eixo nulo e momento interno resultante em torno do eixo

igual a

.

Assim temos

; 0 (1)

; 0 (2)

; (3)

A primeira equao satisfeita desde que o eixo passe pelo centroide darea da seo transversal.


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Alm disso, visto que o eixo representa o eixo neutro para a seotransversal, a deformao normal variar de zero no eixo neutro para a seotransversal, a deformao normal variar de zero no eixo neutro a mxima em

um ponto localizado maior distncia do eixo neutro, como mostra afigura abaixo.


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Contanto que o material se comporte de maneira linear elstica, adistribuio de tenso normal na rea da seo transversal tambm ser

linear, de modo que .


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Quando essa equao substituda na eq. 3 acima e integrada, resulta na frmulada flexo

.Quando substituda na eq. 2 acima, obtemos

0

Que exige que

0

Essa integral denominada produto de inrcia para a rea. Ela ser nula desde

que os eixos e sejam escolhidos como os eixos principais de inrcia para area. Se a rea tiver um eixo de simetria, fcil definir os eixos principais vistoque eles sempre estaro orientados ao longo do eixo de simetria eperpendiculares a ele.


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Ento, resumindo, as equaes 1 e 3 acima sempre sero satisfeitasindependentemente da direo do momento aplicado M.

Visto que M aplicado em torno de um dos eixos principais (eixo ) temosque como pode ser visto na figura acima.


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Momento Aplicado Arbitrariamente

As vezes, um elemento pode ser carregado de tal modo que o momentointerno resultante no aja em torno de um dos eixos principais da seotransversal. Quando isso ocorre, em primeiro lugar, o momento deve serdecomposto em componentes dirigidas ao longo do eixos principais. Ento, afrmula da flexo pode ser usada para determinar a tenso normal provocada

por cada componente do momento. Por fim, usando o princpio dasuperposio, a tenso normal resultante no ponto pode ser determinada.


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Orientao do Eixo Neutro


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Vigas Compostas

Vigas construdas com dois ou mais materiais diferentes so denominadasvigas compostas. Visto que a frmula da flexo foi desenvolvida para vigas demateriais homogneo, ela no pode ser aplicada diretamente paradeterminar a tenso normal em viga composta. Nesta seodesenvolveremos um mtodo para modificar ou transformar a seo

transversal da viga em uma seo feita de um nico material. Feito isso, afrmula da flexo poder ser usada para a anlise de tenso.


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Toro

Nesta seo, discutiremos os efeitos da aplicao de um carregamento detoro a um elementos longo e reto, como um eixo ou tubo. Inicialmente,consideraremos que o elemento tem seo transversal circular. Mostraremoscomo determinar a distribuio da tenso no interior do elemento e o ngulode toro quando o material se comporta de maneira linear elstica.


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Deformao por Toro de um eixo circular

Torque um momento que tende a torce um elemento em torno de seu eixolongitudinal. O efeito do torque uma preocupao primria em projeto deeixos de acionamento utilizado em veculos e estruturas diversas. Podemosilustrar fisicamente o que acontece quando um torque aplicado a um eixocircular considerando que este seja feito de um material de alto grau dedeformao, como a borracha. Como mostra a figura abaixo.


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Quando o torque aplicado , os crculos e as retas longitudinais dagrade, marcados originalmente no eixo, tendem a se distorcer segundoo padro mostrado na figura abaixo.


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Examinando a figura acima no estado deformado, vemos que atoro faz com que os crculos continuem como crculose cada linhalongitudinal da grade se deforme na forma de uma hliceque intercepta os

crculos em ngulos iguais. Alm disso; as sees transversais nasextremidades do eixo continuam planas, e as linhas radiais nessasextremidades continuam retasdurante a deformao como pode ser vistona figura acima que mostra um eixo deformado. Por essas observaes,podemos considerar que, se o ngulo de rotao for pequeno, ocomprimento e o raio do eixo permanecero inalterados.

Se o eixo estiver preso em uma de suas extremidades e for aplicadoum torque sua outra extremidade, o plano sobreado na figura abaixo serdistorcido.


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Aqui uma linha radial localizada na seo transversal a uma distncia da


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Aqui, uma linha radial localizada na seo transversal a uma distncia daextremidade fixa do eixo girar de um ngulo (). O ngulo (),definido dessa maneira, denominado ngulo de toro, depende da posioe variar ao longo do eixo como a figura acima.

Para entender como esta distoro deforma o material, isolaremosagora um pequeno elemento localizado distncia da linha central do eixo.


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Devido a deformao observada na figura acima, as faces anterior e posteriordo elemento sofrero uma rotaoa face posterior, de()e a faceanterior,()+.


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O resultado que, em razo da diferena entre essas rotaes, , o elemento submetido a uma deformao por cisalhamento. Para caluclar essa deformao,observe que, antes da deformao, o ngulo entre as bordas AB e AC 90;todavia, aps a deformao, as bordas do elemento se tornam AD e AC e o ngulo

entre elas . Pela definio de deformao por cilhamento, temos

=lim

Esse ngulo, est indicado no elemento e pode ser relacionado com ocomprimento do elemento e com a diferena no ngulo de rotao, , entreas faces sobreadas. Se e , temos

(4)


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Visto que e so os mesmos para todos os elementoslocalizados em pontos da seo transversal em , ento constantenesta seo, e a eq. (4) acima indica que o valor da deformao por

cisalhamento para qualquer um desses elementos varia com sua distnciaradial em relao linha central do eixo. Em outras palavras, a deformaopor cisalhamento no interior do eixo varia linearmente ao longo de qualquerlinha radial, de zero na linha central do eixo at um valor mximo emseu contorno externo. Visto que

,Ento,


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A frmula da Toro

Quando um torque externo aplicado a um eixo, ele cria um torque internocorrespondente no interior do eixo. Nesta seo, desenvolveremos umaequao que relaciona esse torque interno com a distribuio da tenso decisalhamento na seo transversal de um eixo.

Se o material for linear elstico, ento a lei de Hooke se aplica

,E, por consequncia, uma variao linear na deformao por cisalhamento,como observado na seo anterior, resulta em variao linear na tenso decisalhamento correspondente ao longo de qualquer linha radial na seotransversal. Consequentemente, assim como ocorre com a deformao porcisalhamento para um eixo macio, variar de zero na linha central do eixolongitudinal a um valor mximo

na superfcie externa. Assim temos que

U d li di i


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Usando essa equao, aplicaremos agora a condio que exige que o torqueproduzido pela distribuio de tenso por toda a seo transversal sejaequivalente ao torque interno resultante T na seo, o que mantm o eixo emequilbrio.

Especificamente, cada elemento

, localizado em

, est sujeito a uma

. O torque produzido por essa fora ( ).

P t t t d t l t


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Portanto, para toda a seo transversal, temos

Visto que constante,

.A integral nessa equao depende somente da geometria do eixo. Elarepresenta o momente polar de inrcia da rea transversal do eixo calculadaem torno da linha central longitudinal do eixo. Esse valor ser representadopelo smboloe, portanto,

.


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A tenso de cisalhamento da distncia intermediria pode ser determinadapor:

Qualquer uma das duas citadas frequentemente denominada frmula datoro.

Exemplo 1.

A distribuio de tenso em um eixo macio foi representada em grfico aolongo de trs linhas radiais arbitrrias, como mostra a figura abaixo.

Determine o torque interno resultante da seo.


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Soluo: O momento polar de inrcia para a rea da seo transversal

()

9,82X10


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56 10 50 109,8210

1,0998 10.


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Exemplo 2. Sobre o eixo mostrado na figura abaixo 56 nasuperfcie externa. Determine o torque interno resultante na seo. Tomando 50.

Resoluo:


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Resoluo:

Momento polar de inrcia:

J

(5010)(2510)

9,2039 10

Clculo do torque interno resultante T :

= 56 10 ,

1,0308 10.

Observao: Aqui, a regio sombreada mais clara resiste a aproximadamentea 94% do torque do eixo macio, o ncleo retirado resiste a 6% do torque do

eixo macio.

Exemplo: O eixo mostrado na figura est apoiado em dois mancais e sujeito a


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Exemplo: O eixo mostrado na figura est apoiado em dois mancais e sujeito atrs torques. Determine a tenso de cisalhamento mximo na seo a-a doeixo.

Soluo:


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Soluo:

As reaes dos mancais sobre o eixo so nulas contanto que o pesoseja desprezado. Alm disso, os torques aplicados satisfazem o equilbrio demomento em torno da linha central do eixo.

O torque interno na seo a-a determinado pelo diagrama de corpolivre do segmento esquerdo


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Temos

0

4250. 3000. 0 1250

Propriedade da seo: O momento polar de inrcia para o eixo

2 75 10 4,97 10Tenso de cisalhamento:

1250 75 10

4,9710 1,89

E i O t b t d fi b i t di t i t d 80


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Exerccio : O tubo mostrado na figura abaixo tem dimetro interno, de 80mme dimetro externo de 100mm. Se sua extremidade for apertada contra oapoio em A usando-se uma chave em B, determine a tenso de cisalhamentodesenvolvida no material nas paredes interna e externa ao longo da porocentral do tubo so aplicadas foras de 80 N chave.

Sendo que J .


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Flexão.torção.vigas - 344

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