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Concreto Armado 1

28 Ing S.Chvez C.

Concreto Armado 29 1

II. Flexin.

2.1. MECNICA Y COMPORTAMIENTO DEL CONCRETO ARMADO.

En el presente captulo se desarrollaran los principios bsicos del comportamiento de los elementos de concreto armado sometidos a flexin. Es imprescindible comprender claramente este fenmeno para luego deducir las expresiones a usar tanto en el anlisis como en el diseo. El anlisis implica fundamentalmente la determinacin del momento resistente de una seccin completamente definida. El diseo es el proceso contrario: Dimensionar una seccin capaz de resistir el momento aplicado.

Los elementos que estn sujetos generalmente a flexin son las vigas, sistemas de pisos, las escaleras y, en general todos aquellos elementos que estn sometidos a cargas perpendiculares a su plano, los cuales ocasionan esfuerzos de flexin y corte; cuyos anlisis y procedimientos a seguir sern expuesto por separado.

2.1.1. Comportamiento de vigas de concreto reforzado.

Las vigas de concreto simple son ineficientes como elementos sometidos a flexin debido a que la resistencia a la tensin en flexin es una pequea fraccin de la resistencia a la compresin. En consecuencia estas vigas fallan en el lado sometido a la tensin a cargas bajas mucho antes de que se desarrolle la resistencia completa del concreto en el lado de compresin. Por esta razn se colocan las barras de acero de refuerzo en el lado sometido a la tensin tan cerca como sea posible del extremo de la fibra sometida a la tensin, conservando en todo caso una proteccin adecuada del acero contra el fuego y la corrosin.

Si imaginamos una viga simplemente apoyada con refuerzo en traccin (figura II-1) y le aplicamos carga de modo gradual desde cero hasta la magnitud que producir su falla, claramente puede distinguirse diferentes estados en su comportamiento (13):

Fig. II-1. Variacin de los esfuerzos y deformaciones con el incremento del momento aplicado.

1 ETAPA. La carga externa es pequea. Los esfuerzos de compresin y traccin en la seccin no superan la resistencia del concreto, por lo que no se presentan fisuras. La distribucin de esfuerzos en la seccin es la mostrada en la fig. II-1-a.

2 ETAPA. La tensin en el concreto casi alcanza su resistencia a la traccin. Antes que se presente la primera grieta toda la seccin del concreto es efectiva y el refuerzo absorbe el esfuerzo ocasionado por su deformacin. La deformacin en el concreto y el acero es igual, debido a la adherencia que existe entre ellos, los esfuerzos en ambos materiales estn relacionados a travs de la relacin modular (n). fs=nfc1 . donde:

fs: Esfuerzo en el acero.

fc1: Esfuerzo en el concreto.

La viga experimenta un comportamiento elstico y la distribucin de esfuerzos es la mostrada en la fig. II-1-b.

3 ETAPA. Se alcanza el denominado momento crtico, Mcr, bajo el cual se desarrollan las primeras fisuras en la zona central de la viga. El eje neutro asciende conforme la carga aumenta como se aprecia en la figura (II-1-c). El concreto, al agrietarse, no resiste el esfuerzo de traccin y este es absorbido ntegramente por el refuerzo. La seccin es menos rgida pues su momento de inercia disminuye. en esta etapa, el concreto tiene una distribucin de esfuerzos casi lineal. los esfuerzos en el concreto llegan hasta 0.50 fc. Conforme aumenta la carga, las fisuras se van ensanchando y se dirigen hacia el eje neutro.

4 ETAPA. El refuerzo alcanza el esfuerzo de fluencia aunque el concreto no llega a su resistencia mxima. Los esfuerzos en el concreto adoptan una distribucin aproximadamente parablica (fig. II-1-d). La deflexin se incrementa rpidamente y las fisuras se ensanchan. Conforme se incrementa la carga, el acero entra a la fase de endurecimiento por deformacin y finalmente el concreto falla por aplastamiento (fig. II-1-e).

En conclusin en el estado elstico, se puede distinguir lo siguiente:

ESTADO ELSTICO NO AGRIETADO(14). En este estado los esfuerzos en el concreto y en el acero se comportan elsticamente, la deformacin en el acero y en el concreto circundante es igual y sucede cuando:

fct fr. y fr. < 0.50 fc.

w(t/m)

. c fc

. . C . kd

e.n. jd

s fs T

ctKd = distancia de la cara ms alejada en compresin al eje neutro.

jd = brazo de palanca de las fuerza internas.

El mtodo elstico analiza al elemento en el estado agrietado.

2.2. MTODO ELSTICO. Llamado tambin mtodo de esfuerzos de trabajo o cargas de servicio, porque hace intervenir a las cargas tal como son; sin importar que tan diferentes sean su variabilidad individual y su incertidumbre. Si los elementos se dimensionan con base en dichas cargas de servicio, el margen de seguridad necesario se logra estipulando esfuerzos admisibles bajo cargas de servicio que sean fracciones apropiadamente pequeas de la resistencia a la compresin del concreto y del esfuerzo de fluencia del acero. En la prctica se considera estos esfuerzos admisibles que para el concreto sea el 45% de su resistencia a la compresin, y para el acero, la mitad de su esfuerzo de fluencia (15).

fcadm = 0.45 fc fsadm = 0.50 fy

2.2.1. Hiptesis de diseo.

a. Hace uso de las cargas de servicio que va ha soportar la estructura por disear, es decir las cargas no son multiplicadas por los llamados factores de carga.

b. Considera al concreto y al acero trabajando a determinados esfuerzos de trabajo dentro del rango elstico del material.

c. Se supone que las secciones planas permanecen planas antes y despus de las deformaciones.

d. Los esfuerzos y las deformaciones se mantienen proporcionales a su distancia al eje neutro.

e. Se desprecia la resistencia a traccin del concreto.

f. Dado el comportamiento elstico de los materiales y de acuerdo a la hiptesis (d), el diagrama de esfuerzos unitarios en compresin se lo supone de forma triangular.

g. El refuerzo de traccin se reemplaza en los clculos por un rea equivalente de concreto igual a n veces el rea del acero de refuerzo ubicada en el mismo nivel del acero de refuerzo, tal como se aprecia en la (fig. II-2).

c fc kd/3 kd C

d

h jd

(d-kd)

dc nAs s fs T

b Seccin

Seccin real transformada Def. Unitarias Esfuerzos

Fig.II-2: Seccin transformada de una seccin simplemente reforzada (estado agrietado)

Donde: ,

Del diagrama de deformaciones: ........................ (1)

Sabemos que: y , , entonces

..................................................(2)

(1) = (2) : , resolviendo tenemos que:

Del diagrama de esfuerzos, tenemos que:

, jd: brazo de palanca interno entre C y T.

Tambin tenemos que: donde:

Es necesario indicar que los valores de k, j y K, estn normalmente tabulados en funcin de las calidades del concreto y acero, es decir para diferentes combinaciones de fc y fy.

Cuando se trata de verificar o de trabajar con una seccin ya diseada y construida; no es posible conocer con que esfuerzos estn trabajando el concreto y el acero, por cuanto, no necesariamente, estos materiales tengan que estar trabajando con 0.50 fy y con 0.45 fc. En estos casos es necesario calcular k de otra forma que es la siguiente:

De la seccin transformada tomando momentos respecto al E.N, tenemos:

EMBED Equation.3

; dividiendo entre bd.

= cuanta del acero en traccin.

El momento de inercia ser:

Cuando el momento mximo de trabajo de la seccin (Mr) es menor que el momento de servicio actuante (M), se puede optar por aumentar las dimensiones de la seccin, o de lo contrario puede utilizarse acero en compresin.

c fc

Cc fs

s Cs As kd As jd (d-d)

= +

As s As1 fs As2 fs T1 T2

(1): Mr=M (2): Mr1=M1 (3): Mr2=M2

Llamemos M: Momento flector actuante a nivel de cargas de servicio.

Mr1: Momento mximo resistente de una viga simplemente reforzada.

Entonces cuando M > Mr1, el momento supera sus esfuerzos permisibles, ser necesario agregar acero en compresin, aumentar el peralte, o mejorar el fc para que la seccin resista el momento actuante.

;

Calculo de fs: del diagrama de deformaciones tenemos:

Para calcular el rea de acero en compresin (As), el valor de

donde ct = coeficiente del flujo plstico del concreto y se considera igual a uno.

Entonces n = 2 n (para el clculo del acero en compresin).

; S fs > fs , usar fs = fs As = As2

Cuando se trata de verificar o de trabajar con una seccin pre-existente, para determinar la resistencia y los esfuerzos de una seccin doblemente reforzada, el valor de k, ser:

En el diagrama de fuerzas: Tomando momentos respecto a la fuerza de traccin tenemos:

Determinacin de k, fs y fs

Del diagrama de deformaciones, por semejanza de tringulos, se tiene:

Del diagrama de fuerzas, por equilibrio tenemos: Cs + Cc = T

: Cuanta del acero en compresin

sustituyendo los esfuerzos y resolviendo la ecuacin:

Caractersticas de una seccin rectangular de viga.

b= Ancho de la seccin de la viga

h= Peralte total de la seccin de la viga

d= Peralte efectivo, distancia del centroide del

refuerzo en traccin a la cara ms alejada en

compresin.

dc= Distancia del centroide del refuerzo en traccin

a la cara ms alejada en traccin.

d= Distancia del centroide del refuerzo en compre-

sin a la cara ms alejada en compresin.

As = rea de acero en traccin.

As= rea de acero en compresin.

b eb eb = 2.5 cm.

1 1/3 t.m.a.g.

eL = 1 (mn.)

eb = Espacio libre entre varillas longitudinales

r.e.e.= 4 cm. eL = Espacio libre entre capas.

r.e.e.= Recubrimiento efectivo al estribo.

2.2.2. Problemas de verificacin:

Problema N 01 Para la seccin de viga que se muestra a continuacin determinar los esfuerzos producidos por un momento M = 5 t-m.

dc = 5 cm.

60 fc = 280 Kg/cm2.

fy = 4200 Kg/cm2.

3 1 fr = 2 (mdulo de rotura)

25 cm.

Solucin

Suponiendo que la seccin esta sin agrietar:

Clculo del eje neutro

55 E.N.

107.1 cm2

25 cm. It = 512,476.69 cm4Esfuerzo de traccin:

Por lo tanto la seccin no esta agrietada Esfuerzos de compresin:

Esfuerzo de traccin en el acero:

Problem a N 02 Para la seccin de la viga del ejemplo anterior, el momento se incrementa a M = 12 t-m. encontrar los esfuerzos mximos de compresin en el concreto y de traccin en el acero, as como el momento de inercia.

Solucin

M = 12 t-m fc = 280 Kg/cm2., b = 25 cm. It = 512,476.69 cm4 (sin agrietar) fy = 4200 Kg/cm2. h = 60 cm.

fr = 33.47 Kg/cm2. d = 55 cm.Suponiendo que la seccin no esta agrietada:

y

Esfuerzo mximo de compresin:

Esfuerzo de traccin:

Momento de inercia de la seccin agrietada.

Problema N 03 Para la viga que se muestra a continuacin, determinar los esfuerzos mximos en el concreto y en el acero, si fc = 210 Kg/cm2. y fy = 4200 Kg/cm2, la carga incluye el peso propio de la viga. w = 2.2 t/m

Estribos 3/8

4.50 m. 50 As = 4 = 11.36 cm2 r.e.e = 4 cm.

4

30 cm.

Solucin

d = h dc = 50-5.9 =44.1 d = 44.10 cm.

Suponiendo que la seccin esta sin agrietar 44.1

(n-1) As = (9-1) 11.36 = 90.88 cm2 90.88

30 cm.

Calculo del eje neutro

It = 343,760.00 cm4

Esfuerzo de traccin: ,

,

fct = 38.74 Kg./cm2. > fr = 28.98 Kg./cm2. La seccin esta agrietada.

k = 0.324 ,

Problema N 04: Para la viga del ejemplo anterior, calcular el momento mximo permisible.

As = 11.36 cm2. fc = 210 Kg./cm2. b = 30 cm. k = 0.324

d = 44.10 cm. fy = 4200 Kg./cm2. h = 50 cm. j = 0.892

Solucinfcadm = 0.45 fc = 94.5 Kg./cm2.

fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm2.

Mpermisible = 7.97 t - m.

Problema N 05.- Una viga de concreto doblemente reforzada, tiene una seccin transversal rectangular de b = 40 cm. y h = 80 cm. Calcular los esfuerzos en el concreto y en el acero cuando acta un momento de M = 25 t-m.

3 1 fc= 210 Kg/cm2 fy= 4200 Kg/cm2.

80 Estribos= 3/8

5 1 As= 5 1 (25.50 cm2)

As= 3 1 (15.30 cm2)

40 cm. r.e.e.= 4.0 cm Solucin

, Ct = 0 Al momento del desencofrado.

Ct = 1 Despus de 5 aos.

Para nuestro ejemplo de verificacin Ct = 0 , ya que el flujo plstico se manifiesta a largo plazo.

;

d = 80-6.22 = 73.78 cm. d = 6.22 cm.

kd = 0.298 x 73.78 = 21.99 cm. ,

Sabe que: fs = 6.45 fc ..... (2)

(2) en (1):

29,231.31 fc + 1,033.67 x 6.45 fc = 25 x 105 fc = 69.64 Kg./cm2. < fcadm.

fs = 6.45 fc = 6.45 x 69.64 = 449.18 Kg./cm2. fs = 449.18 Kg./cm2. < fsadm..

fs = 1476.46 Kg./cm2. < fsadm..

Comprobacin: La fuerza de compresin Fuerza de traccin.

T = As.fs = 25.50 x 1476.46 = 37.65 tn.

C = 37.49 tn.

C = 37.49 tn T = 37.65 tn ...... OK.

Problema N 06.- En el problema anterior (prob. 05), calcular el momento mximo que puede tomar la viga para que el esfuerzo en el concreto sea igual a fc = 94.5 Kg./cm2. y que esfuerzo se generan en los aceros.

Solucin = 0.0086, = 0.0052, n = 9, k = 0.298, j = 0.901

Clculo de los esfuerzos:

fs = 2003.53 Kg./cm2. < fsadm.

fs = 609.93 Kg./cm2. < fsadm.

Clculo del momento:

2.2.3. Problemas de diseo.

Problema N 01.- Disear el rea de acero para una seccin de b = 25 cm., h = 50 cm., fc = 280 Kg./cm2., fy = 4200 Kg./cm2.; cuando acta un momento M = 8.5 t-m., la seccin ser simplemente reforzada.

SolucinEsfuerzos admisibles:

fcadm = 0.45 fc = 126 Kg./cm2.

fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm2.

,

Considerando = 1 y estrib = 3/8, tenemos:

Mr = 8.72 t-m. > M = 8.5 t-m. Es una seccin simplemente reforzada.

As = 10.36 cm2. 2 3/4 + 1 1 (10.78 cm2)

Problema N 02.- Para la viga en voladizo, que se muestra a continuacin, disear el rea de acero; para que la seccin sea simplemente reforzada.

wD= 2.0 t/m. PD= 1 Tn.

wL= 1.0 t/m. fc = 280 Kg./cm2.

50 fy = 4200 Kg./cm2.

2.50 m.

30

Solucin

fcadm = 0.45 fc = 126 Kg./cm2.

fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm2.

para L = 1 , Estrib= 3/8

si dc = 6.22 cm. d = 43.78 cm.

n = 8;

Mr = 10.47 t-m. < M = 11.88 t-m. ; como hay que disear una seccin simplemente reforzada, entonces aumentamos el peralte de la seccin.

d = 46.64 cm. h = d + dc = 46.64 + 6.22 = 52.86 cm h = 55 cm.

d = 48.78 cm.

As = 13.00 cm2. 2 1 + 1 3/4 (13.04 cm2)

b x h = 30 x 55 cm.

Problema N 03.- Disear el rea de acero necesario, para la siguiente seccin de viga.

M = 30 t-m.

80 fc = 210 Kg. /cm2.

fy = 4200 Kg. /cm2.

35

Solucin

fcadm = 0.45 fc = 94.5 Kg./cm2.

fsadm = 0.50 fy = 2100 Kg./cm2. ;

,

; Considerando L =1, Estribos = 3/8 dc = 6.22cm., d = 73.78 cm.

Mr = 23.44 t-m. < M = 30t-m., Entonces hay que disear una seccin doblemente reforzada.

Mr2 = M2 = M Mr1 = 30 -23.44 = 6.56 t-m. M2 = 6.56 t-m.

EMBED Equation.3 ; considerando d = 6.22 cm. para: L = 1 y estrib= 3/8

As = 21.36 cm2. 3 1 + 2 3/4 (20.98 cm2)

As= 8.07 cm2. 3 3/4 (8.52 cm2)

2.3. MTODO PLASTICO, DE ROTURA O RESISTENCIA LTIMA.

2.3.1. Enunciado general.

Esta claro que cuando un elemento de concreto armado va ha colapsar o esta cerca de ella, los esfuerzos dejan de ser proporcionales a las deformaciones unitarias. Si la distribucin de los esfuerzos de compresin del concreto en la carga ltima o cerca de ella, tuviera una forma bien definida e invariable, parablica, trapezoidal u otra, sera posible desarrollar una teora racional y directa para la resistencia ltima a flexin, al igual que la teora elstica con su forma triangular de distribucin de esfuerzos.

Supongamos que la distribucin de los esfuerzos y deformaciones unitarias internas cuando la viga esta prximo a la falla; es lo que se muestra en la (fig. II-3)

k3fc Mur uc

k2c

Cc= k1k3fcbc c d k1E.N. z = (d-k2 c)

As s fs T = Asfs b

Seccin Deformacin Esfuerzos Fuerzas

unitaria unitarios

Fig. (II-3) Para calcular el Mur o Mn (momento ltimo nominal), se desea disponer de un mtodo para el cual la viga fallara bien sea por fluencia del acero sometido a tensin o por aplastamiento del concreto en la fibra extrema a compresin.

Se puede definir las propiedades del bloque de esfuerzos a compresin en el concreto, mediante los parmetros k1, k2 , k3 , as tenemos que la fuerza total a compresin en el concreto ser(16): Cc = k1 k3fc bc,

donde: k1k3fc= esfuerzo promedio., k1k3 = factor de esfuerzo medio,

k1 = coeficiente que le da la forma., k2 = factor de profundidad del E.N.

En realidad no se conoce un criterio exacto para la falla del concreto a compresin, pero que se han medido deformaciones unitarias para vigas rectangulares del orden de 0.003 a 0.004 justo antes de la falla.

Si se asume conservadoramente que el concreto esta a punto de fallar cuando la fibra extrema a compresin del concreto alcanza la mxima deformacin unitaria uc=0.003, la comparacin con una gran cantidad de ensayos sobre vigas y columnas de una variedad considerable de formas y condiciones de carga demuestra que puede realizarse una prediccin suficientemente precisa y segura de la resistencia ltima.

En realidad no es necesario conocer la forma exacta de la distribucin de esfuerzos en el concreto, lo que si es imprescindible conocer para determinada distancia c del eje neutro es(17 ):

1. La fuerza resultante total a compresin del concreto C.

2. Su localizacin vertical, es decir, su distancia desde la fibra extrema a compresin.

Para una viga rectangular el rea que esta en compresin es bc y la fuerza total que esta en compresin en esta rea puede expresarse como C = fav bc; donde fav es el esfuerzo promedio a compresin sobre el rea de bc. Evidentemente, el esfuerzo promedio a compresin que puede desarrollarse antes de que ocurra la falla resulta tanto mayor en cuanto sea mayor la resistencia del cilindro fc del concreto en particular.

Sea: ;

Para una distancia dada c al eje neutro, la ubicacin de C puede definirse como una fraccin de de esta distancia. Entonces, para un concreto con determinada resistencia es necesario conocer solo y con el fin de definir completamente el efecto de los esfuerzos de compresin en el concreto.

fc

c

C = fc bc

c c

d

h

(d-c) =z

As fs

dc s T =As fc b Deformaciones Esfuerzos Fuerzas

de ensayos de laboratorio se determino y , as:

= 0.72 para fc 280 Kg./cm2 y disminuye en 0.04 por cada 70 Kg. /cm2

por encima de los 280 Kg./cm2; para fc > 560 Kg./cm2, =0.56.

= 0.425 para fc 280 Kg./cm2 y disminuye en 0.025 por cada 70 Kg./cm2

por encima de los 280 Kg./cm2 ; para fc >560 Kg./cm2 , = 0.325.

La disminucin de y para concretos de altas resistencia se relaciona con el hecho de que estos concretos son ms frgiles, es decir, presentan un curva esfuerzo-deformacin unitaria con curvatura ms pronunciada y con una menor porcin casi horizontal; tal como se aprecia en la figura. (II-4).

0.80 y 0.60

Fig.(II-4).

0.40 Variaciones de y .

con la resistencia del concreto fc

0.20

0 140 280 420 560 700 fc

Si se acepta esta info.|macin experimental, la resistencia ltima puede calcularse apartir de las leyes de equilibrio y basndose en la hiptesis de que las secciones transversales planas siguen sindolo. El equilibrio exige que:

C = T fc b c = As fs

Entonces el momento flector, con el par conformado por las fuerzas C y T, puede escribirse como:

Mn = Tz = As fs (d-c).

Mn = Cz = fc bc (d- c).

2.3.2. Diagrama equivalente de esfuerzos. La distribucin de esfuerzos en compresin del concreto, puede sustituirse por otra ficticia con determinada forma geomtrica simple, siempre y cuando esta distribucin ficticia produzca la misma fuerza total de compresin C aplicada en la misma ubicacin que en el elemento real cuando est prximo a romperse.

Histricamente, investigadores de varios pases han propuesto una cantidad simplificada de distribucin ficticias de esfuerzos equivalentes. La distribucin de esfuerzos ampliamente aceptada en los Estados Unidos, y cada vez ms en otros pases, fue propuesta inicialmente por C. S. Whitney y despus fue desarrollada y revisada de modo experimental por otros investigadores(18 ) .El investigador Whitney a propuesto reemplazar la distribucin real del ploque de esfuerzos de compresin del concreto que tiene la forma de una parbola creciente, por un bloque rectangular equivalente, como medida de simplificacin para obtener la resistencia a la flexin. Este rectngulo tiene una profundidad de a y una resistencia promedio a la compresin de 0.85 fc, el valor de a es funcin de c, es decir a = 1 c, donde 1, tiene el siguiente valor.

1 = 0.85 para fc 280 Kg./cm2. y disminuye en 0.05 por cada 70 Kg./cm2. por

encima de los 280 Kg./cm2., pero 1 no debe ser menor que 0.65

En trminos matemticos, la relacin entre 1 y fc puede expresarse como:

;

fc

Mur uc=0.003 0.85 fc

c a/2

C = fc bc a C=0.85fc ab

c

d . (d-c) (d-a/2)

(d-c) fs fs

s T =As fs dc T=As fsLong. viga Seccin Deformacin Esfuerzos y Fuerzas Esfuerzos y fuerzas

unitaria reales equivalentes

fc 0.85 fc

a/2

b b C=fc bc a

c c C=0.85fc ab

E.N.

T=Asfs T=Asfs

REAL EQUIVALENTE

2.3.3. Hiptesis bsicas de diseo.

1. Las deformaciones unitarias en el concreto y en el acero son proporcionales a su distancia al eje neutro de la seccin excepto para vigas de gran peralte, para los cuales se asumir una distribucin no lineal de deformaciones.

2. La resistencia a la tensin del concreto es despreciada, excepto cuando se trata de concreto pre post-tensado.

3. El esfuerzo en el acero antes de alcanzar la fluencia es igual al producto de su mdulo de elasticidad por su deformacin unitaria. Para deformaciones mayores a la de fluencia, el esfuerzo en el refuerzo ser independiente de la deformacin e igual a fy. Esta hiptesis refleja el modelo elasto-plstico de la curva esfuerzo-deformacin del acero que asume el cdigo del ACI.

fs fs fy fy

fs = ?

s y s y s s

Si s < y fs = sEs Si s > y fs = fy

4. El diagrama real de esfuerzos en compresin del concreto, se le reemplaza por el diagrama equivalente de esfuerzos de forma rectangular, propuesto por Whitney.

5. El concreto falla al alcanzar una deformacin ltima de 0.003

6. Cuando el fy especificado es mayor de 4200 Kg./cm2., entonces debe disearse para un fy hipottico equivalente al 85% veces el fy especificado o 4200 Kg./cm2.; de ambos escoger el mayor .

Nota: Se considera viga de gran peralte aquella cuya relacin peralte/luz libre es mayor que 2/5,para vigas continuas, y que 4/5,para vigas simplemente apoyadas.

2.4. TIPOS DE FALLA DE LOS ELEMENTOS SOMETIDOS A FLEXIN(19).

Los elementos sometidos a flexin casi siempre fallan por compresin del concreto, sin embargo el concreto puede fallar antes o despus que el acero fluya. la naturaleza de la falla es determinada por la cuanta de refuerzos y es de tres tipos.

1. Falla por tensin: Se conoce como falla dctil y sucede cuando el acero en traccin a llegado primero a su estado de fluencia antes que el concreto inicie su aplastamiento en el extremo comprimido; o sea cuando en la falla s >y. se aprecian grandes deflexiones y fisuras antes del colapso lo cual alerta a los usuarios acerca del peligro inminente. Estas secciones son llamadas tambin sub.-reforzadas bajo armadas.

2. Falla por compresin: Se lo conoce como falla FRAGIL, sucede si primeramente se inicia el aplastamiento del concreto antes que el inicio de la fluencia del acero en traccin, es decir cuando en la falla s y s, Falla por compresin del concreto (uc =0.003, s < y fs < fy).

Es una seccin sobre armada.

Tomando momento con respecto a una de las fuerzas, en la figura anterior, tenemos:

; : C = T

:

Donde:

2.5.2. Anlisis de una seccin con comportamiento dctil.

Se presenta cuando s > y

fc 0.85 fc uc=0.003

a/2

Cc a Cc=0.85fc ab

c

d E:N. . (d-a/2) As fs=fy s = y T =As fy T

Deformacin real equivalente

Haciendo el equilibrio de fuerzas, tenemos:

Cc = T 0.85 fc ab = Asfy ;

Tomando momento con respecto a una de las fuerzas:

Escribiendo las ecuaciones en funcin de la cuanta , tenemos:

, , donde

Ejemplo: Calcular el Mn, para la siguiente seccin de viga que se detalla a continuacin:

fc = 280 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

45 Estribos = 3/8

r.e.e. = 4.0 cm

2 1 + 2

30 cm.

Solucin

< , es una seccin bajo armada.

Entonces podemos hacer uso de las siguientes formulas:

cm.

Tambin podemos hacer uso del mtodo de los tanteos:

Para , del diagrama de deformaciones.

s = 0.00219 > y fs = fy T = 15.88 x 4200 = 66.7 Tn.

Cc = 0.85 fc ab = 0.85 x 210 x 22.5 x 30 Cc = 102.4 Tn.

Cc > T

Para c < 22.5 , a = 1 c s > y T = 66.7 Tn.

Entonces: 66.7 = 0.85 x 210 x 12.46 x 30 a = 12.46 cm.,

Cc = 0.85 x 210 x 12.46 x 30 Cc = 66.7 Tn.

6.23 Cc=66.7 Tn Nota: Podemos tomar momentos, respecto al

E.N., E.G. en una de las fuerzas.

22.5 16.27

E.G. * Con respecto al E.G.:

Mn = 0.1627 x 66.7 + 0.1640 x 66.7

22.5 16.40

T = 66.70 tn. Mn = 21.79 t-m.

2.5.3. Anlisis de una seccin con comportamiento frgil.

Aunque no es de nuestro inters las secciones de viga sobre reforzada, haremos el anlisis para fines acadmicos. Se presenta cuando s < y .

uc=0.003

a/2

a C=0.85fc ab

c

d E:N. . .

(d-c) fs fs = s Es

,

Del diagrama de esfuerzos Cc = T.

, Entonces:

Ejemplo: Calcular el Mn, para la siguiente seccin de viga, que se detalla a continuacin:

fc = 210 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

50 Estribos = 3/8

r.e.e. = 4.0 cm

3 1 eL = 2.54 cm.

3 1

25 cm. Solucin

> Es una seccin sobre armadaEntonces: 0.85 x 210 x 0.85 x 25 c2 + 30.60 x 6000 c 30.6 x 6000 x 41.24 = 0

3793.12 c2 + 183600 c 7571664 = 0

c2 + 48.40 c - 1996.16 = 0

Para ,

s = 0.001649 < y fs = 0.001649 x 2 x 106 = 3298 Kg./cm2.

T = As fs = 30.60 x 3298 = 100.92 Tn. ; C TCc = 0.85 x 210 x 0.85 x 26.61 x 25 = 100.94 Tn.

11.31 Cc = 100.94 Tn

25 13.69

E.G.

Mn = 0.1369 x 100.94 + 0.1624 x 100.92

25 16.24

T = 100.92 tn. Mn = 30.21 t-m.

8.76

2.6. ANLISIS DE SECCIONES RECTANGULARES CON ACERO EN COMPRESIN.

En muchas circunstancias, las dimensiones de los elementos por calcular estn limitadas por cuestiones ajenas al diseo. No es extrao que en alguno de estos casos, la seccin predimensionada no sea capaz de resistir el momento aplicado aunque se le provea de la cuanta mxima permitida. En estas situaciones es posible incrementar la capacidad resistente del elemento aadindole refuerzo en la zona de compresin.

El momento ltimo resistente o momento nominal ser:

; respecto al E.N.

; respecto al E.G.

Ejemplo: Calcular el Mn, para la siguiente seccin.

4 5/8 fc = 175 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

55 Estribos = 3/8

r.e.e. = 4.0 cm

4 3/4 eL = 2.54 cm.

4 3/4

30 cm. Solucin

, Del diagrama de deformaciones tenemos: ,

Dando valores a c, debemos encontrar que C = Cs + Cc T

Para c = 27.5 cm.

s = 0.002113 > y = 0.0021 fs = fy T = 22.72 x 4200 = 95.42 Tn.

s = 0.002374 > y = 0.0021 fs = fy Cs = 8.0 x 4200 = 33.60 Tn.

Cc = 0.85 fcab = 0.85 x 175 x 0.85 x 27.5 x 30 Cc = 104.31 Tn.

C = 104.31 + 33.60 = 137.91 Tn. > T = 95.42 Tn.

Para c = 16.80 cm. a = 14.28 cm.

s = 0.005370 > y T = 95.42 Tn.

s = 0.001975 < y fs = 0.001975 x 2 x 106 = 3950 Kg./cm2 Cs = 31.60 Tn.

Cc = 0.85 x 175 x 0.85 x 16.80 x 30 Cc = 63.72 Tn.

C = 95.32 Tn. T = 95.42 Tn; Error = 0.10% < 1%.

Mn = 0.2176x31.60+0.2036x63.72+0.1937x95.42

Mn = 38.33 t-m.2.6.1 Determinacin de la cuanta balanceada.

Mnb 0.85fc Mn2

Mnb

Cs Cc Cs As ab

Cc cb

E:N. . = +

fs=fy As Tb Asb As2 T2

Tb

Asb = rea de acero balanceado de una seccin simplemente reforzada.

As = rea de acero en compresin.

Cs = Asfs = bdfs Tb = b bdfy = CcCc = 0.85 fc abb T2 = As2fy = CsTb = Asbfy =bbdfyPor equilibrio: Tb = Cc + Cs = Tb + Cs b bdfy = b bdfy + bdfs ; Cuanta balanceada para una seccin doblemente reforzada.

Entonces: si < b , es una seccin bajo armada.

> b , es una seccin sobre armada.

Determinacin de fs, sabemos que

Del diagrama de deformaciones:

(1) en (2):

Si el As, no fluye: s < y fs = s x Es

2.6.2. Cuanta mnima en traccin para que el acero en compresin fluya.

En una seccin doblemente reforzada debe asegurarse que el acero en compresin entre en fluencia, inmediatamente despus que ha empezado a fluir el acero en traccin.

uc

d Cs = Asfy = bdfy

As cmin s= y Cc = 0.85 fc ab

c-d

E:N. . .

As fs s = y T = Asfy = minbdfyPor equilibrio: T = Cc + Cs Asfy = 0.85 fc ab + Asfy minbdfy = 0.85 fc ab +bdfy

Del diagrama de deformaciones tenemos:

, como

, Cuanta mnima en traccin que asegura que el As en compresin fluya.

Si el As y As, fluyen:

Ejemplo: Calcular el Mn, para la siguiente seccin de viga.

2 5/8 fc = 175 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

55 Estribos = 3/8

r.e.e. = 4.0 cm

4 3/4

4 3/4

30 cm.

Solucin

dc = 8.13 cm., d = 46.87 cm, d = 5.74 cm.

,

;

fs = 4750.84 Kg./cm2. > fy fs = fy

min= 0.0151 < = 0.0162 < fs = fy ; fs = fyEntonces:

T = 22.72 x 4200 = 95.42 Tn.

Cs = 4 x 4200 = 16.80 Tn.

Cc = .85 x 175 x 17.62 x 30 = 78.62 Tn.

2.7. ANLISIS DE SECCIONES T.

Este tipo de secciones se presentan comnmente en concreto armado sobre todo en los sistemas de vigas y losas. En algunos casos, ambos elementos son vaciados simultneamente segn recomendaciones del ACI. En otros se vaca primero las vigas y luego las losas, tomando previsiones para que se comporten como una unidad. En ambos casos, la losa colabora con la viga para resistir las cargas aplicadas y es conveniente tomar en cuenta esta ayuda, analizndola como una seccin T.

El reglamento ACI, da las siguientes recomendaciones para vigas interiores y exteriores. As mismo para seccin T aisladas.

SECCIN T : VIGA INTERIOR Y LOSA.

b Ln/4

b bw + 16 hf EL MENOR b bw +B+B

2

SECCIN L: Viga perimetral Y LOSA T-ASIMTRICA

b bw + 6hf b bw + B EL MENOR 2

b Ln

12

SECCIN T : VIGA INTERIOR Y LOSA.

b 4bw hf bw 2

Donde:

Ln = Luz libre de la viga. bw = Ancho del alma de la T o nervio.

B y B= Separacin libre entre vigas. hf = Espesor de las alas.

B = Ancho total de las alas. h = Peralte total de la seccin.

Una seccin T sometida a flexin puede trabajar de tres maneras, tal como se pueda apreciar a continuacin:

b b

a

hf

d

d

a < hf

a

bw bw(a) Seccin rectangular de ancho bw (b) Seccin rectangular de ancho b

b

hf a

d

a > hf bw (c) Seccin T

La primera es bajo un momento flector negativo, la compresin se presenta en la zona inferior y se analiza para una seccin rectangular de ancho bw. La segunda se presenta si el momento flector es positivo y a hf y se analiza para una seccin rectangular de ancho b. Si la seccin esta sujeta a un momento positivo y a > hf ,entonces se observa el tercer tipo de comportamiento; en este tercer caso no es necesario que se verifique la condicin que c > hf, basta con que a > hf .Del mismo modo, no importa la forma de la seccin por debajo del eje neutro con tal que la seccin comprimida tenga la forma de T.

Analizemos una viga T,cuando a>hf : (1)

b (2) 0.85fc

hf Cf=0.85fc (b-bw)hf

(d-hf/2)

= E.N. + As Asf Tf = Asf fs

bw (3) 0.85fc

Cw=0.85fcabw

(d-a/2)

+ E.N.

Asw Tw = Asw fs

Mn(1) = Mn(2) + Mn(3)

Ejemplo: Determinar el momento resistente nominal (+) para la siguiente seccin que se detalla a continuacin.

fc = 175 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

Estribos = 3/8

r.e.e. = 4.0 cm

eL = 2.54 cm.

Solucin

Del diagrama de deformaciones tenemos:

Para c = 25 cm.

s = 0.00201 < y fs = 4020 Kg./cm2. T = 102.51 Tn.

Cf = 0.85 fc (b-bw)hf = 0.85 x 175 (50-25) 12 Cc = 44.62 Tn.

Cw = 0.85 fc abw = 0.85 x 175 x 0.85 x 25 x 25 Cw = 79.02 Tn. C=123.64Tn

C > TPara c = 19.80 cm. a = 16.83

s = 0.003326 > y fs = 4200 Kg./cm2. T = 107.1 Tn.

Cf = 0.85 x 175 (25) 12 Cc = 44.62 Tn.

Cw = 0.85 x 175 x 0.85 x 19.8 x 25 Cw = 62.59 Tn. C=107.2Tn.

C T , Error = -0.09% < 1% OK.

6 8.42

Cf = 44.62 Tn

Cc = 62.59 Tn.

19.80 13.80 11.38

E.N.

Mn = 0.2195x107.1+0.1380x44.62+0.1138x62.59

30.2 21.95

T = 107.1 tn. Mn = 36.79 t-m.

8.25

2.7.1. Determinacin de la cuanta balanceada. (1) uc (2) (3)

Cf cb Cf Cw Cw

= +

Asb s=y Aswb Asf TbT Tb TfCf = 0.85fc (b-bw)hf Tb = bbwdfy.Cw = 0.85fc abbw Tf = Asf fy = fbwdfy.

TbT = AsbTfy = bTbwdfy

Tb = Cw

Por equilibrio: TbT = Cw + Cf Tf = CfTbT = Tb + Tf bT bw.d.fy = b bw.d.fy + f bw.d.fy bT = b + f

De la seccin (3): f bw.d.fy = 0.85 fc (b-bw)hf , Cuanta real de la T:

Entonces: Si < bT Es una seccin bajo armada.

> bT Es una seccin sobre armada.

Ejemplo: Calcular el Mn. Para la seccin que se detalla a continuacin.

fc = 210 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

Estribos = 3/8

r.e.e. = 4.0 cm

Solucin

dc = 6.22 cm. d = 43.78 cm..

bT = b + f = 0.0212 + 0.0048 = 0.026 > = 0.0155 Es una seccin B. A.

Considerando que acta como seccin rectangular de ancho b

As.fy = 0.85fc.a.b

Entonces funciona como una T, por lo tanto: Mn = Mnw + Mnf

Donde el valor ser: Cw = Tw, Aswfy = 0.85fc a.bw ,

Cf = 0.85fc (b-bw)hf = 0.85x210(45-30)10 = 26.78 Tn.

Cf = Tf 26.78 = Asf fy

Asw = As Asf = 20.40 6.38 = 14.02 cm2 ; Asw = 14.02 cm2.

2.7.2. Anlisis de una seccin simtrica cualquiera.

Estas secciones tienen el plano de flexin en el plano de simetra. El procedimiento general para encontrar la resistencia de la seccin consiste en obtener por un proceso iterativo un estado de deformacin tal que la seccin est en equilibrio de fuerzas horizontales, es decir que la suma de las fuerzas de compresin que acta en la seccin transversal sea igual a la suma de las fuerzas de traccin.

Cuando la forma de la zona de compresin no se presta a una determinacin sencilla de sus caractersticas (rea y centro de gravedad), conviene dividirla en franjas pequeas paralelas al eje neutro.

Una vez establecido el equilibrio se encuentra el momento de todas las fuerzas internas con respecto a un eje cualquiera perpendicular al plano de flexin, dicho momento es la resistencia de la seccin.

uc =0.003

fs Cs = Asfs s Cc = 0.85 fcAcomp. c

E:N. . . fs1 s1 T1 = As1 fs1.

s2. T2 = As2 fs2.

fs2.

Deformaciones Esfuerzos Fuerzas.

Ejemplo: Calcular el Mn. Para la siguiente seccin de viga.

fc = 175 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

Estribos = 3/8

r.e.e. = 4.0 cm

eL = 2.54 cm.

Solucin

,

10 30 10

As1 a Cs c c-6.22 Cc x 30 x

(60-a) (52.09-c)

As s T 30

Del diagrama de deformaciones tenemos:

EMBED Equation.3 Para c = 15.20 cm. a=1c = 12.92 cm.

s = 0.007281 > y fs = fy T=30.6x4200 T = 128.5 Tn.

s = 0.001772 < y fs = 3544 Cs= 10.20x3544 Cs = 36.1 Tn.

Cc = 92.0 Tn

C = 36.1 + 92.0 = 128.1 Tn T = 128.5 Tn.

= 6.36

Cs = 36.1 Tn

Cc = 92.0 Tn.

15.2 8.98 8.84

E.N.

Mn = 0.0884x92.0+0.0898x36.1+0.3689x128.5

44.8 36.89

T = 128.5 tn. Mn = 58.78 t-m.

2.8. DISEO POR FLEXIN.

2.8.1. Consideraciones generales.

Al haber estudiado y analizado los tres casos en que una viga de concreto armado puede fallar, vimos que dependen directamente de la cantidad de acero que pueden presentar, o lo que es lo mismo, dependen de la cuanta de acero (=As/bd), es decir s:

< b .... La falla es por fluencia del acero.

> b .... La falla es por aplastamiento del concreto.

= b .... La falla es balanceada.

Ahora bien, Qu tipo de falla nos interesa como diseadores, si dado el caso, que se presente en el elemento?. Es lgico que ser aquella falla que nos permita tomar prevenciones en caso de colapso.

Si la falla es por aplastamiento del concreto, esta se produce repentinamente y de naturaleza casi explosiva, en cambio, si la falla es por fluencia del acero, esta es gradual y esta precedida por signos visibles de averas, como el ensanchamiento y alargamiento de las grietas, y el marcado aumento de la flecha.

El A.C.I. y la norma peruana, especifican para vigas que para asegurar que los diseos sean sub-reforzados o dctiles, la cuanta mxima ser:

y (En regiones ssmicas).

As mismo especifica una cuanta mnima:

, De los dos elegir el mayor.

2.8.2. Requisitos de seguridad(20).Para que cualquier estructura cumpla su finalidad debe ser segura y til. La utilidad exige que las deformaciones sean pequeas, que las fisuras que puedan presentarse se mantengan dentro de los lmites tolerables. La seguridad exige que la resistencia de la estructura sea la adecuada para las cargas que posiblemente puedan actuar sobre ella.

Si la resistencia de una estructura, que se ha construido tal como se proyecto, pudiera predecirse con precisin y si las cargas y sus efectos internos (momentos, esfuerzos cortantes, fuerzas axiales) se conocieran con gran precisin, entonces la seguridad quedara asegurada, calculando la estructura con una capacidad de carga justo por encima de la correspondiente a las cargas conocidas.

Sin embargo en el anlisis, proyecto y construccin de las estructuras de concreto armado existen varias fuentes de incertidumbre, tales como:

Las cargas reales pueden ser distintas de las supuestas en el proyecto.

Las cargas reales pueden estar distribuidas de una manera distintas de la supuestas en el proyecto.

Las dimensiones reales de los elementos pueden ser distintos de las del proyecto.

La armadura puede no estar colocada en la posicin adecuada.

La resistencia real del material puede ser distinta de la especificada por el proyectista.

El A.C.I. toma en cuenta el tema de la seguridad estructural, utilizando los factores de carga y los factores de reduccin de capacidad.

FACTORES DE CARGA.-

Los factores de carga tienen el propsito de dar seguridad adecuada contra un aumento en las cargas de servicio ms all de las especificaciones en el diseo, para que sea sumamente improbable en la falla. Los factores de carga tambin ayudan a asegurar que las deformaciones bajo carga de servicio no sean excesivas.

El cdigo A.C.I. recomienda que la resistencia requerida U para resistir las cargas sean:

a. Carga muerta (D) y carga viva (L).

U = 1.4 D + 1.7 L

b. Carga muerta (D) , carga viva (L) y viento (W).

U = 0.75 (1.4 D + 1.7 L + 1.7 W).

U = 0.90 D + 1.3 W

La primera combinacin debe evaluarse bajo dos condiciones: Considerando toda la carga viva y considerando carga viva nula.

* No se usar carga de diseo menor que la ecuacin (a)

c. Carga muerta (D) , carga viva (L) y sismo (E).

U= 0.75 (1.4 D + 1.7 L + 1.87 E).

U = 0.90 D + 1.43 E

* No se usar carga de diseo menor que la ecuacin (a)

d. Carga muerta (D) , carga viva (L) y presin del terreno, subpresin o presin generada por materiales granulares (H)

U= 1.4 D + 1.7 L + 1.7 H.

U = 0.90 D + 1.7 H

La segunda se usa cuando D y L reducen los efectos del empuje del suelo.

* No se usar carga de diseo menor que la ecuacin (a)

e. Carga muerta (D) , carga viva (L) y presin o peso de fluidos de densidad conocida y nivel controlable (F)

U= 1.4 D + 1.7 L + 1.4 F.

U = 0.90 D + 1.4 F

La segunda se usa cuando D y L reducen los efectos causados por el fluido

* No se usar carga de diseo menor que la ecuacin (a)

f. Carga muerta (D) , carga viva (L) y asentamientos diferenciales, contraccin, creep o cambios de temperatura (T)

U = 0.75 (1.4 D + 1.4 T + 1.7 L).

U = 1.4 (D + T)

Si en el diseo se toman en cuenta los efectos de impacto, estos sern consideradas como carga viva con sus factores de amplificacin respectiva.

FACTORES DE REDUCCIN DE CAPACIDAD ()

Los factores de reduccin de capacidad (), toman en cuenta las inexactitudes en los clculos y fluctuaciones en la resistencia del material, en la mano de obra y en las dimensiones. En las vigas se considera el ms alto valor de () debido a que estn diseadas para fallar por flexin de manera dctil con fluencia del acero en traccin.

A continuacin se presenta los factores de () para diversas solicitaciones propuestas por el cdigo.

Flexin pura : = 0.90

Corte y torsin : = 0.85

Compresin y flexo-compresin : = 0.75 (columna zunchada)

: = 0.70 (columna estribada)

Aplastamiento del concreto : = 0.70

Concreto simple : = 0.652.8.3. Diseo de una seccin rectangular con refuerzo en tensin.

El proceso de diseo se inicia con la eleccin de las dimensiones de la seccin y la calidad del concreto. Por el momento se va a asumir que las primeras son conocidas y en captulos posteriores se presentarn criterios para el predimensionamiento en funcin del tipo de elemento que se est diseando.

El Mn Mur para una seccin rectangular con acero en traccin con comportamiento dctil es:

, , donde:

Considerando max. para diseo:

Entonces

El A.C.I. y la norma peruana especifican que a este momento, se lo debe multiplicar por el factor

Para el diseo, el momento resistente nominal debe satisfacer la siguiente desigualdad: Mn Mu

Donde Mu = Momento ltimo actuante, accin que se debe a las fuerzas exteriores

amplificadas, haciendo uso de las combinaciones respectivas.

Nosotros para disear hacemos Mn = Kbd2 Mu

, por lo tanto incrementamos al momento ultimo externo. VALORES DE K, validos para fy = 4200 Kg./cm2.

maxmaxb=0.0014

K=0.0018

K=0.002

K=0.0025

K

0.50bK0.75bK

175

210

280

3500.0089

0.0106

0.0142

0.016732.53

38.9551.99

61.690.0133

0.0159

0.0213

0.025045.29

54.35

72.33

86.350.0177

0.0212

0.0283

0.03335.76

5.78

5.80

5.827.37

7.40

7.44

7.468.16

8.20

8.25

8.2810.13

10.19

10.27

10.31

=0.003

K=0.0033

K=0.0035

K=0.004

K=0.005

K=0.006

K=0.007

K=0.008

K=0.009

K=0.01

K

13.07

13.15

13.27

13.3313.33

13.44

13.57

13.6613.97

14.09

14.25

14.3415.85

16.01

16.21

16.3219.52

19.76

20.07

20.2623.05

23.42

23.86

24.1326.49

26.98

27.58

27.9529.80

30.44

31.23

31.7033.00

33.80

34.80

35.4036.07

37.06

38.29

39.03

Las barras de acero colocadas en varias capas debernalinearse para facilitar el colado del concreto e impedir

que los agregados sean retenidos en la armadura.

Incorrecto Correcto

Ejemplo N 01 : Calcular el rea de acero para una seccin rectangular, cuyos datos se dan a continuacin:

fc = 280 Kg/cm2 fy = 4200 Kg/cm2.

40 Mu = 15.0 t-m.

25 cm.

30

Solucin

-)

-) Calculamos el Mn, para estar seguros que la seccin que nos resulta sea BAJO ARMADA.

EMBED Equation.3 Pre-clculo .- Para determinar d

Sea dc = 6 cm. d = 34 cm.

y

Entonces:

21.62 cm2 25.08 t-m.

x 16.67 t-m. x = 14.37 cm2 3 1 (15.30 cm2)

Colocando en una capa y considerando estribos = 3/8 :

Clculo:

dc = 6.22 cm. d = 33.78 cm.

Mn = 72.33 x 30 x 33.782 = 24.76 t-m >

Es una seccin BAJO ARMADA con acero en traccin.

;

, , de los dos se toma el menor:

< > 2 1 +1 ( 13.04 cm2)

CALCULO PRCTICO

Del diagrama de esfuerzos:

T = Cc As.fy = 0.85fc.a.b

Para nuestro caso:

EMBED Equation.3

0.85fc

a/2 Cc = 0.85fcab

a

Mn

T = s fy

Paraa = 7.80As = 13.28

a = 7.81

a = 7.81As = 13.28

a = 7.81

As = 13.28 cm2 2 1 + 1

Ejemplo N 02: Determinar la seccin transversal de una viga de forma rectangular y el rea de acero, si funciona como simplemente apoyada, con una luz de 4.5 mt, y lleva una carga muerta de servicio de 1.5 t/m y una carga viva de servicio de 3.0 t/m; fc = 210kg/cm2, fy = 4200kg/cm2.

wu

4.50 m.

Solucin

wu = 1.4 D+ 1.7 L = 1.4 x 1.5 + 1.7 x 3.0 = 7.20 t/m

, Asumiendo b = 30 cm

d = 35.23

dc = 6.22 1 y = 3/8

h = d + dc = 35.23 + 6.22 = 41.45 45 cm.,usar: b x h = 30 x 45

Pre clculo

sea: dc = 6 cm d = 39 cm Mn = 54.35x30x392 = 24.80 t-m.

As.max = 0.0159 x 30 x 39 = 18.60 cm2

18.60 cm2 _________ 24.80 t-m

x _________ 20.24 t-m x = 15.18 cm2 3 1 (15.30) que entran en una sola capa.

Clculo:

dc = 6.22 cm d = 38.78 cm. , Mn = 54.35x30x38.782 = 29.52 t-m >

,

a = 11.44

As = 14.58

a = 11.43

As =14.58cm2 < > 5 (14.20 cm2)

Ejemplo N 03: Dimensionar y disear la seccin central de la viga rectangular que se detalla a continuacin, la viga esta sometida a una carga permanente de 2.1 t/m y una sobrecarga de 1.2 t/m, usar fc = 280 kg./cm2, fy =3500 kg./cm2, b= 30 cm, w=0.18

wu

4.20 m.

Solucin

wu = 1.4 D + 1.7 L = 1.4 x 2.1 + 1.7 x 1.2 = 4.98 t/m

= 12.2x105

d = 30.04 cm dc = 6.22 { 1 y = 3/8

h = d + dc = 30.04 + 6.22 = 36.26 cm. h = 40 cm.Usar :

Pre-clculo:

Sea dc = 6 cm, d = 34 cm Mn=45.05x30x342 = 15.62 t-m

As = 0.0144x30x34 = 14.69 cm214.69 cm2 -------------- 15.62 t-m

x -------------- 12.2 t-m , x= 11.47 cm2 5 (14.20 cm2) que entran en una sola capa.Clculo: dc = 4 + 0.95 + , dc = 5.90 cm d = 34.10 cm.

,

a = 5.44

As = 11.10

a = 5.44

As=11.10cm2 < > 4 (11.36 cm2)

2.8.4. Diseo de secciones rectangulares doblemente reforzadas.

El procedimiento de diseo de una seccin rectangular con refuerzo en compresin consta de dos etapas. En la primera, se determina el momento resistente nominal de la seccin considerando que esta cuenta nicamente con refuerzo en tensin y ste es un porcentaje de la cuanta bsica.

En la segunda etapa del diseo, se determina la diferencia entre la resistencia requerida y la calculada en la primera fase . Esta diferencia deber ser asumida por el acero en compresin.

Cuando:

> , Se trata de disear una seccin simplemente reforzada.

< , Se trata de una seccin doblemente reforzada (o sea que la seccin

simplemente reforzada no es capaz de resistir los momentos externos, por lo tanto hay que colocar acero en compresin para incrementar la resistencia de la seccin).Entonces: , Momento ltimo remanente que debe ser tomado por la seccin (3) y debe cumplirse que: , si no cumple, se debe cambiar las dimensiones de la seccin o mejorar la calidad del concreto.

El Mn lo toma la seccin (2) simplemente reforzada, entonces:

de (3): Mu = Asfs(d-d)

Mu = As2fy(d-d) ; As = As1 + As2Ejemplo 01.- Disear el rea de acero para la siguiente seccin de viga de b x h = 30 x 55 cm., fc = 210 Kg./cm2. y fy = 4200 Kg./cm2. para un Mu = 45 t-m.

Solucin-)

Pre-clculo , sea dc = 6 cm. d = 49 cm.

Mn = 54.35x30x492 = 39.15 t-m. , As= 0.0159 x 30 x 49 = 23.37 cm2.

23.37 cm2. 39.15 t-m.

x 50.0 t-m , x = 29.85 cm2. 6 1 (30.60 cm2.)

Estos 6 1pueden distribuirse:

3/8

ebeb = >L = 2.54 cm., 2.5 cm. ,11/3 t.m.a.g.

Clculo:

dc = 7.91 cm d = 47.09 cm. , Mn = 54.35 x 30 x 47.092 = 36.16 t-m.

Mn = 36.16 < Se trata de una seccin doblemente reforzada.

Mu = 13.84 t-m.

Pre-clculo Para determinar d

23.37 39.15 t-m

x 13.84 t-m.

x = 8.29 cm2. 2 1 que entran en una sola capa d = 6.22 cm.

Clculo de las reas de acero:As1 = bd = 0.0159x30x47.09 = 22.46 cm2. As1 = 22.46 cm2.

> fy

fs = fy , entonces: As = As2.

As = As1 + As2 = 22.46 + 8.06 = 30.52 cm2.

As = 30.52 cm2. 6 1 (30.60 cm2.).

As = 8.06 cm2. 3 3/4 (8.52 cm2.).

Solucin final:

3 3/4

d = 4+0.95+1.91/2 =5.90

0.55 d = 5.90 d supuesto.

dc = 6.22 dc supuesto.

2 1

4 1

0.30Verificacin de dicha seccin para ver si es bajo armada:

min=0.0211 < = 0.0217 < max = 0.0219 .. OK.

NOTA:

Si el acero trabaja a traccin o esta tensionado no tiene implicancia alguna:

T T=Asfy

Pero cuando trabaja a compresin si tiene implicancia.

Alabeo o pandeo

Por lo tanto el A.C.I. recomienda que se debe confinar para que dichas barras trabajen eficientemente.

16 L C C s = b El menor

s s s s s 30 cm.

Adems debe cumplir que la distancia libre de una barra de esquina (barra perfectamente confinada) a una barra suelta debe ser 15 cm.

15 cm. >15 cm.

Ejemplo 02.- Para la viga que se muestra en la figura, disear la seccin para el momento mximo, considerando max =0.50, b = 30 cm., h = 50 cm., fc = 210 Kg./cm2., fy = 4200 Kg./cm2., wD = 4 t/m., (incluye el peso propio), wL = 2.8 t/m.

wu = 1.4 D + 1.7 L

Solucin

-) wu = 1.4 x 4 + 1.7 x 2.8 = 10.36 t/m., = 0.0106

-)

Pre-clculo.- Para determinar dc., Sea dc = 6 cm. d = 44 cm.

Mn = 38.95 x 30 x 442 = 22.62 t-m. 13.99 cm2. 22.62 t-m.

As = 0.0106 x 30 x 44 = 13.99 cm2. x 32.27 t-m.

x = 19.96 cm2. 4 1 , que entran en una sola capa.

dc = 6.22 cm. d = 43.78 cm., Mn = 38.95 x 30 x 43.782 = 22.40 t-m. < Mn/

Mu = 32.27 22.40 = 9.87 t-m.

Pre-clculo : d = ?

13.99 22.62 t-m. x = 6.10 cm2. 3

x 9.87 t-m. d = 5.90 cm.

REAS DE ACERO:

As1= 0.0106 x 30 x 43.78 = 13.92 cm2.

As = 20.12 cm2.

> fy fs = fy

Si fs = fy As = As2 = 6.20 cm2.

Asmin= min b.d = 0.0033 x 30 x 43.78 = 4.33 cm2. < As

As = 20.12 cm2. 4 1 , As = 6.20 cm2. 2

2

0.50

= 3/8

.

4 1

0.30

Problema 03.- La viga que se muestra en la figura, forma parte de un sistema de vigas espaciadas a 3.0 m. entre ejes de vigas, las cuales sostienen una losa llena de concreto armado de 15 cm. de espesor. La losa soporta una carga permanente de 280 Kg./m2. y una sobrecarga de 350 Kg./m2. Disear la seccin central de la viga . Usar fc = 175 Kg./cm2. y fy = 4200 Kg./cm2.

wu 0.50

6.80 m. 0.30

Solucin

Peso propio viga = 0.30x0.50x2.4 = 0.36 t/m.

Peso propio piso = 0.15x2.40x2.70 = 0.97 t/m. wD = 2.17 t/m.

Carga permanente = 0.28x3.00 = 0.84 t/m.

s/c = 0.35x3.00 = 1.05 t/m. wL = 1.05 t/m.

Wu = 1.4 x 2.17 + 1.7 x 1.05 = 4.82 t/m. Wu = 4.82 t/m.

Pre-clculo.- d = ?

Sea dc = 6 cm. d = 44 cm.

Mn = 45.29x30x442 = 26.30 t-m. 2

As = 0.0133x30x44 = 17.56 cm2.

3 1

17.56 26.30 t-m.

x 30.96 t-m.; x = 20.67 cm2. 3 1 + 2 (20.98 cm2.)

Clculo:

Mn = 45.29 x 30 x 42.492 = 24.53 t-m. <

Mu= 6.43 t-m. < OK.

d =? 17.56 26.30 t-m.

x 6.43 t-m. ; x = 4.29 cm2. 2 d = 5.90 cm.

REAS DE ACERO

As1 = max b.d = 0.0133 x 30 x 42.49 = 16.95 cm2. As1= 16.95 cm2.

> fy

Si fs = fy As2 = As As = 4.18 cm2.Asmin = min b.d = 0.0033 x 30 x 42.49 = 4.20 cm2 > As

As = As1 + As2 = 16.55 + 4.18 = 20.73 cm2. 2 5/8

As = 20.73 cm2. 4 1 (20.40 cm2.)

As = 4.20 cm2. 2 5/8 (4.0 cm2.)

0.50 = 3/8

4 1

0.30

2.8.5. Diseo de secciones T.

Para el diseo de vigas T se debe analizar las distintas posibilidades de ubicacin del eje neutro; tal como se hizo para el anlisis.Caso 1.- El eje neutro se muestra dentro del espesor de la losa. la viga puede considerarse como una viga rectangular de ancho b, para fines de diseo, siendo vlidas las ecuaciones desarrolladas para viga rectangulares. No interesa el ancho de la zona traccionada sino el ancho del bloque comprimido b b

c c hf h

= h se disea bxh

bwCaso 2.- El eje neutro se encuentra en el lmite de espesor de la losa, y es equivalente al caso 1, en cuanto que el diseo sigue siendo el de una viga rectangular.

b b

c=hf c

h

= h se disea bxh

bwCaso 3.- El eje neutro ha sobrepasado el espesor de la losa . En este caso si tenemos una viga en forma de T para el bloque comprimido, que sin embargo, se puede descomponer en dos vigas rectangulares.

La primera con las alas totalmente comprimidas, que forma una viga rectangular de ancho (b-bw), y la segunda que es otra viga rectangular de ancho bw

b b bw

hf

c

h = +

bw

Caso 4.- La compresin esta en la parte inferior y por tanto no interesa el ancho de la losa contribuyente, pues esta en traccin; para ste caso es evidente que el diseo es el de una viga rectangular de ancho bw

b

=

h : Se disea bw x h

c c

bw bwEl procedimiento que se sigue para el diseo de vigas T es el siguiente:

1) Suponer que el bloque comprimido no ha excedido el espesor de la losa, esto significa disear una viga hipottica: b x h2) Determinar el rea de acero requerida para la seccin rectangular de ancho b (caso de vigas con As en traccin) y encontrar el valor de a mediante la ecuacin de equilibrio.

0.85 fc ab = Asfy

3) Si a hf, La suposicin hecha es correcto y el diseo estar concluido.

Si a > hf, entonces est