FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
1HOUPERTN.
Problématiquespédagogiques:
Ø Commentidentifierunpolynômededegré2?Ø Commentrésoudredeséquationsdutype𝑥! = 𝑎?Ø Commentrésoudredesinéquationsdutype𝑥! ≥ 𝑎, 𝑥! ≤ 𝑎?Ø Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréaveclasymétrie?Ø Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréaveclaformecanonique?Ø Commentdéterminerlesvariationsd’unefonctionduseconddegréàl’aidedelaformecanonique?Ø Commentrésoudreuneinéquationproduit?
Algorithmique:
Ø FormecanoniqueetXcas:math’x9p115Ø Réalisationd’unalgorithmedonnantlesnombrestriangulaires:math’x3p117
Histoire:
Ø Fibonacci,XIIèmesiècle
Achaquefoisquevousrencontrerezunpictogramme ,flashezleavecl’appliaurasma.Lecourssurlanotionapparaîtraenréalitéaugmentée.Prenezsoindemettrevosécouteursafindenepasperturbervoscamarades.
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
2HOUPERTN.
Fibonacci,XIIè
Trèsjeune,ilaccompagnesonpèreenAlgériedanslacoloniedeBougie(Bujania)pourêtreinitiéàl’arithmétiqueutileàunfuturmarchand.Maissondestinenvoudraautrementetseraliéàceluidetouteslesmathématiquesoccidentalesàvenir.Acetteépoque,l’Italieutiliseencoreleschiffres
romains.IldécouvreenAfriquedeNord,lanumérationdepositionetlecalculindo-arabequ’iljugeplusavancé.Sesvoyagess’étendentparlasuitesurtoutelaméditerranée,enSyrie,enGrèce,en
Egypte...Ilrencontresavantsetscientifiquesquiluienseignentlessavoirsdupasséencoreinconnusdumondeoccidental.Ilyétudielestravauxd’Euclided'Alexandrie(-320?;-260?),deHéron
d'Alexandrie(1ersiècledenotreère),deMohammedalKhwarizmi(780;850),…
AsonretourenItalie,vers1200,ilseconsacrepleinementauxmathématiquesparl’écrituredeplusieursouvrages.Lepremieretlepluscélèbre,leLiberabaci,datantde1202,noustransmetlanumérationdepositionindo-arabe.Ilrassembledesméthodesdecalculdesopérationsélémentaires,desrésultatsd’algèbresurlesracinescarréesetcubiques,surcertaineséquationsdu1eret2edegrémaisaussidescritèresdedivisibilité,ladécompositiond’unnombreenproduitsdefacteurspremiers,etc.OnytrouveencoredenombreuxproblèmescommeceluiexprimantlareproductiondeslapinsetmenantàlasuiteditedeFibonacci:
«Combiendecouplesdelapinsobtiendrons-nousàlafindel'annéesi,commençantavecuncouple,chacundescouplesproduisaitchaquemoisunnouveaucouplelequeldeviendraitproductifausecondmoisdesonexistence?»
Sontnotésenrouge,lescouplesproductifs.
Enjanvier:1coupleEnfévrier:1coupleEnmars:1+1=2couplesEnavril:1+2=3couplesEnmai:2+3=5couplesEnjuin:3+5=8couplesEnjuillet:5+8=13couplesEnaoût:8+13=21couples
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
3HOUPERTN.
Enseptembre:13+21=34couplesEnoctobre:21+34=55couplesEnnovembre:34+55=89couplesEndécembre:55+89=144coupleS
LesréponsesconstituentlesnombresdelasuitedeFibonacci:1-1-2-3-5-8-13-21-...,dontchaquetermeàpartirdu3èmeestlasommedesdeuxprécédents.
EncalculantlesvaleursapprochéesdesquotientsdedeuxnombressuccessifsdelasuitedeFibonacci,ontrouve:1/1=1;2/1=2;3/2=1,5;5/3=1,666...;8/5=1,6;13/8=1,625;21/13=1,615...;34/21=1,619...;55/34=1,617...;89/55=1,618...(valeurapprochéebienconnue!!!)...Eneffet,enprenantlequotientdedeuxnombressuccessifsdeplusenplus«éloignés»danslasuitedeFibonacci,ontendàserapprocherdunombred’or:
=1,618...
LasuitedeFibonaccis’estrenduecélèbreparsesreprésentationsmultiplesenrelationaveccenombremythique.Onlatrouvedanslafleurdetournesol,danslaformationdecertainscoquillages,surl’ananas,lechouromain(ci-dessous)ousurlapommedepinquiprésententtousunespiraled’or.UnautreLéonard,deVinci,laverradanslesproportionsducorpshumainavecl'hommedeVitruve.
APise,ilrencontrel’empereurdel'EmpiregermaniqueFrédéricII,intellectuelpassionnéparlessciencesetlaphilosophie,quiorganiseuntournoidemathématiquesoùphilosophesetsavantss’affrontentpourrésoudredesénigmes.Fibonacciremporteletournoienrésolvant3problèmes(voirci-dessous).C’estd’ailleursleseulcarlesautrescompétiteursn’ontpasmêmetrouvélasolutiond’unseul.
1erproblème:Trouverunnombrerationneltelquesionajouteouretranche5àsoncarréonobtienneaussiuncarré.2eproblème:Résoudrel’équationx3+2x2+10x=20.3eproblème:Troishommesontmisencommununesommed’argent.Leurspartsrespectivessontde1/2,1/3et1/6.Chaquehommeretiresuccessivementunepartdesortequ’ilneresteplusriendelasommeinitiale.Lepremierhommeremetaupotcommunlamoitiédecequ’ilaemprunté,ledeuxièmeuntiersetletroisièmeunsixième.Lorsqu’àlafinlestroishommessepartagentéquitablementlenouveaupotcommun,chacunestenpossessiondesonbieninitial.
Quelétaitlemontantdupremierpotcommun.Fibonaccitrouve41/12poursolutiondu1erproblème,1,3688081075pourle2eet47pourle3e.Lamêmeannée,en1225,FibonacciécritleLiberquadratorumquiprésentelarésolutiondediversproblèmesd’arithmétique.Onytrouveaussilanotiondecongruence,unelistedetripletspythagoriciensainsiqu’uneapproximationaumillièmedunombrePi:864/275.
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
4HOUPERTN.
Carted’identitédesfonctionscarréesetpolynômesduseconddegré
Fonction Carrée Polynômededegré2
Equation 𝑓 𝑥 = 𝑥²
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐
Avec
Domainededéfinition 𝐷 = 𝐷 =
Courbereprésentative
Elémentsdesymétriedelacourbe
Formecanonique:𝑎 𝑥 − 𝑥! ! + 𝑦!
Sommet:(𝑥!, 𝑦!)
Sensdevariationdelafonction
• Si𝑎 > 0,
• Si𝑎 < 0,
Résoudredeséquations
Lessolutionsde𝑥² = 𝑎sont:
𝑎 𝑒𝑡 − 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 > 00 𝑠𝑖 𝑎 = 0
𝑖𝑛𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Résoudredesinéquations
𝑥² ≥ 𝑎et𝑥² ≤ 𝑎serésolventgraphiquement:
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
5HOUPERTN.
𝑆 =
Comparerdesexpressions
• Sur −∞, 0 , 𝑎 ≤ 𝑏 implique𝑎!……… 𝑏!
• Sur 0,+∞ , 𝑎 ≤ 𝑏 implique𝑎²……… 𝑏²
Développerlesexpressionssuivantespuisciblerlesfonctionsquisontdespolynômesdedegré2.𝑓 𝑥 = −𝑥! + 9 − 3𝑥 + 2𝑥! + 4𝑥 − 𝑥! 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 ! + 4𝑥 − 2 ℎ 𝑥 = −𝑥 + 1 ! − 𝑥² + 2 𝑖 𝑥 = 2 𝑥 − 3 ! + 1.
Commentidentifierunpolynômededegré2?
Niveaudecompétences
Commentrésoudredeséquationsdutype 𝒙² = 𝒂?
Niveaude
compétences
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
6HOUPERTN.
Résoudreleséquationssuivantes:
𝑥! = 9
−𝑥! + 25 = 0
4𝑥! − 16 = 0
949𝑥² − 1 = 0
−𝑥! = −50
−𝑥! + 98 = 0
4𝑥! − 32 = 0
27120
𝑥² − 1 = 0
Résoudrelesinéquationssuivantesdansℝ:
𝑥! ≥ 4
𝑥² ≤ 9
4𝑥! ≥ 4
16𝑥² ≤ 9
2𝑥! − 14 ≥ 4
−6𝑥! ≤ −36
−100𝑥! ≥ 25
4𝑥² ≤ !!
2𝑥! ≥ −4
9𝑥² ≤ −9
Commentrésoudredesinéquationsdutype 𝒙² ≤ 𝒂 𝒙² ≥ 𝒂?
Niveaudecompétences
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
7HOUPERTN.
Enutilisantlespointsàcoordonnéesentièressituéssurlescourbes,déterminerleséquationsdesparabolesenutilisantlaforme𝒂 𝒙 − 𝒖 𝟐 + 𝒗
Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréàl’aidedela
symétrie?
Niveaudecompétences
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
8HOUPERTN.
1. Enutilisantlacalculatrice,localiser,enprécisantsescoordonnées,l’extremumdesfonctionspolynômessuivantes:𝑓 𝑥 = 𝑥! − 3𝑥 + 2 𝑔(𝑥) = −𝑥² − 𝑥ℎ 𝑥 = 2𝑥² − 𝑥 − 1𝑖 𝑥 = −𝑥² − 𝑥 − 1
2. Donnerlaformecanoniquedesfonctionssuivantespuisdansconstruirel’alluredesdifférentescourbesdansunrepèreorthonormé,enymentionnantl’extremum:𝑓 𝑥 = 𝑥² − 2𝑥 + 4𝑔 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 + 1ℎ 𝑥 = −2𝑥² − 4𝑥 + 2𝑖 𝑥 = −𝑥² − 6𝑥 − 3
1. Dresserletableaudevariationsdesfonctionssuivantessansutiliserlacalculatrice:
Commentdéterminerl’expressiond’unefonctionduseconddegréàl’aidedela
formecanonique?
Niveaudecompétences
Commentdéterminerlesvariationsd’unefonctionduseconddegréàl’aidedela
formecanonique?
Niveaudecompétences
FONCTIONSDUSECONDDEGRE&INEQUATIONSPRODUIT
9HOUPERTN.
𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 ! + 2 ℎ 𝑥 = 2 𝑥 − 3 ! + 1 𝑔 𝑥 = 𝑥² − 4𝑥 − 5𝑖 𝑥 = 3𝑥² − 18𝑥 − 2
2. Résoudrel’équation𝑓 𝑥 = 0graphiquementdanschacundescas.3. Endéduirelesignedesdifférentesfonctions.
Résoudrelesinéquationssuivantes:
𝑎) 𝑥² – 9 < 0 𝑏) (4𝑥 – 1)(−2𝑥 – 3) > 0
𝑐) 𝑡 − 𝑡! > 0 𝑑) − 𝑦 5 + 𝑦 ≥ 0
𝑒) 𝑦² + 1 ≤ 0 𝑓) 3𝑥² < 6𝑥 – 3
𝑔) 𝑎 + 3 ! ≥ (2𝑎 – 5)²
ℎ) 𝑦 – 5 2𝑦 – 14 > 4(3𝑦 – 21)
Englishcorner
1. Usinggraphstosolvequadraticequations.Explainwhythefollowinggraphgivesthesolutionoftheequation𝑥² − 𝑥 − 2 = 0.
2. Tryagainwiththeequation𝑥² − 3𝑥 + 1 = 0.
3. Letthequadraticfunction𝑓 𝑥 = 𝑥² − 4,1𝑥 + 4,2be.Thegraphof𝑓is
Commentrésoudreuneinéquationproduit?
Niveaudecompétences