Forelesningsnotater i FYS398 – Fysikk i stråleterapifolk.uio.no/emalinen/underv/fys398.pdf(eller...

FYS398 – Fysikk i stråleterapi

Versjon 1.1 August 2002

Eirik Malinen

Fysisk institutt

Universitetet i Oslo

Postboks 1048 Blindern

0316 Oslo

[email protected]

Kilder

Bøker:

David W. Anderson: “Absorption of Ionizing Radiation” (ISBN 0-8391-1821-X).

Frank H. Attix: "Introduction to Radiological Physics and Radiation Dosimetry"

(ISBN 0-471-01146-0).

Lars Hallstadius & Sven Hertzman: “Joniserande strålnings vekselverkan med

materia” (Lunds Universitet).

P. C. Hemmer: “Kvantemekanikk” (ISBN 82-519-1564-3).

Faiz M. Khan: "The Physics of Radiation Therapy" (2. ed., ISBN 0683-04502-4).

Rapporter, artikler, nettpublikasjoner og notater:

IAEA (International Atomic Energy Agency).

ICRU (International Commission on Radiation Units and Measurements).

NIST (National Institute of Standards and Technology).

P. Andreo, M. J. Berger, G. A. Carlsson, J. H. Hubbell, I. Kawrakow, L. Kissel, S.

Kullander, N. Olsson, R. Ribberfors, D. W. O. Rogers, S. M. Seltzer m.fl.

FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1 2

Noen ord til de få dette angår

Dette er forelesningsnotater utarbeidet for kurset FYS398, gitt det noe provisoriske

navnet “Medisinsk fysikk i stråleterapi”. Notatene omhandler vekselvirkningsteori,

dosimetri og bestrålingsutstyr, med en forventet arbeidsbelastning på rundt 1½

vekttall (4-5 studiepoeng). Sidene inkluderer også en forelesning om

elektronbehandling. Dag Rune Olsen har forøvrig ansvaret for den andre halvdelen av

kurset.

I utgangspunktet ble disse notatene utarbeidet for undertegnedes egen del, og

sidene har sannsynligvis feil og mangler. Jeg har heller ikke hatt tid til layoutmessige

detaljer som figurtekst og nummerering av likninger. Håpet er likevel at en viss

forståelse skal kunne oppnås for en leser med de rette bakgrunnskunnskapene.

Kvalitetssikring (for å bruke et favorittord blant medisinske fysikere) av det faglige

innholdet håper jeg forøvrig at leserne kan bidra med – all kritikk tas i mot med takk.

Eirik Malinen


Innhold

1. Tverrsnitt..............................................................................................5

2. Ladde partiklers vekselvirkning med materie..................................8

3. Fotonvekselvirkninger......................................................................29

4. Nøytronvekselvirkninger..................................................................52

5. Beskrivelse av strålefelt.....................................................................58

6. Dosimetri for indirekte ioniserende stråling...................................64

7. Dosimetri for ladde partikler...........................................................73

8. Kavitetsteori.......................................................................................77

9. Monte Carlo simuleringer................................................................83

10. Medisinsk bestrålingsapparatur.....................................................94

11. Elektronbehandling........................................................................108


1. Tverrsnitt

Tverrsnittsbegrepet står sentralt i vekselvirkningsteori, og skal her belyses med et

ganske så enkelt utgangspunkt. Vi ser på en kule med radius r1, som beveger seg mot

en kule med radius r2, der sistnevnte antas være i ro:

vrr1

r2

Slik ser situasjonen ut langs bevegelsesretningen til kule #1:

r1+r2

Vekselvirkning mellom de to kulene antar vi skjer ved at de kommer i fysisk kontakt

med hverandre, dvs. at vi har en slags støtprosess. Tverrsnittet defineres nå som

flateinnholdet av alle mulige innfallsretninger til kule #1 som resulterer i kontakt

mellom de to kulene. Vi ser at dette flateinnholdet blir:

221 )rr( +π=σ

Tverrsnittet σ avhenger dermed av utstrekningen til begge kulene. Før vi har

introdusert reelle vekselvirkninger, innser vi allerede at tverrsnittet er en størrelse som

avhenger av både den ioniserende partikkelen og det stoffet partikkelen traverserer.

Hvis vi nå antar at kulene er så små at vi på forhånd ikke vet hvordan de

kolliderer, vil kulene etter støtprosessen spres med forskjellig retning og hastighet


(eller energi) fra gang til gang. Dette betyr at de har en retnings- og energifordeling

etter støtet.

2

12 1 θ

θ kaller vi nå spredningsvinkelen. Det videre resonnementet rundt tverrsnitt kan

relativt enkelt visualiseres ved en tenkt målesituasjon, der spredningen av en

partikkelstråle skal studeres med et array av detektorer slik som vist nedenfor.

∆θ

Detektor

Prøve

Partikkelstråle

Detektoren gir i utgangspunktet kun et mål på antall partikler som treffes, og hver

detektor definerer et romvinkelelement ∆Ω=sinθ∆θ∆ϕ. Det differensielle tverrsnittet

kan da defineres som:

∆Ω=

∆Ωσ∆ 1

flateenhetper partikler infallende antallmentetromvinkele iinn spredt partikler antall

På tilsvarende måte kan man f.eks. definere seg tverrsnitt m.h.p. kinetisk energi,

∆σ/∆T, d.v.s. antall partikler som spres per energiinkrement.

Det differensielle tverrsnittet mhp. romvinkelen Ω, utgjort av vinklene θ og ϕ,

der fordelingen av sistnevnte vinkel er isotrop hvis vi antar sylindersymmetri i

spredningen, blir dermed:

Ωθσ

=σΩ d)(d


σΩ vil dermed være et flateinnhold per romvinkelintervall. Den infinitesimale

sannsynligheten for å finne en partikkel spredd ut i romvinkelintervallet [Ω, Ω+dΩ]

vil dermed være:

σΩσ

=ΩσΩσ

= Ω

πΩ

Ω

∫d

dddp

4

ICRU (rapport 33) har definert tverrsnittet for en målpartikkel (eller målenhet,

target entity) som utsettes for et innfallende felt av partikler, som P over Φ, der P er

sannsynligheten for at en vekselvirkning finner sted og Φ er fluensen (dvs. antall

inkommende partikler per flateenhet):

Φ=σ

P

For å gå tilbake kulene våre, kan vi forestille oss et ”strålefelt” av N kuler med radius

r1, som er spredd utover et areal A med retning mot kulen med radius r2:

A

Sannsynligheten for at èn partikkel skal treffe den stillestående kulen blir P=Atr/A, der

Atr=π(r1+r2)2 er det samlede arealet definert av radius r1 og r2, dvs. tverrsnittet slik vi

definerte det i starten av denne seksjonen. Sannsynligheten for at N partikler skal

treffe blir dermed NP. Fluensen Φ er N/A, slik at tverrsnittet for vekselvirkningen

blir:

221tr

tr )rr(AAN

AANP

+π===Φ

=σ

slik som utledet tidligere, men i dette tilfellet fra ICRUs definisjon.


2. Ladde partiklers vekselvirkning med materie

Vekselvirkningsprosesser mellom mikroskopiske partikler har generelt en

kvantemekanisk natur, og det kreves dermed at evalueringen av slike prosesser gjøres

innenfor kvantefysikkens rammeverk. Desverre er det slik at mange av

vekselvirkningene vi skal se på, kun kan fullstendig forklares ved ganske avanserte

metoder (f.eks. kvanteelektrodynamikk). Vi kommer derimot til å visualisere mange

av vekselvirkningene gjennom et klassisk vindu, og noen ganger forsøke oss med

kvantemekaniske betrakninger. Det viktigste er at man får en følelse av hva de

forskjellige vekselvirkningene innebærer og når de er viktige, og så får den eksakte

matematiske formen på tverrsnittene heller hvile litt lenger bak i hukommelsen.

Elastisk spredning

Elastisk spredning er prosesser der den kinetiske energien er bevart i noe som kan

tenkes være et slags ”støt” mellom legemer i bevegelse. Med støt menes det at

elektromagnetiske vekselvirkninger formidler energioverføringer, slik at partikler i

bevegelse avbøyes. Elastiske spredningsprosesser er ofte veldig stemoderlig behandlet

i lærebøker, men er meget viktige når man skal diskutere doseavsetning fra elektroner

og fotoner. I tillegg er mange av de følgende betrakningene ganske instruktive for

måten man tenker på i vekselvirkningsteori. Vi ser nå på en vekselvirkning mellom en

partikkel med ladning ze, masse m1 og hastighet v, og en partikkel med ladning Ze og

masse m2 som står i ro. Partiklene virker på hverandre med en gjensidig like stor

Coulombkraft, som hele tiden er rettet langs forbindelseslinjen mellom de to

ladningene (såkalt sentralkraft/-sentralbevegelse). Vi forestiller oss nå et før/etter

scenario der avstanden mellom partiklene i begge tilfellene er så stor at

Coulombkraften er neglisjerbar:

r

1vr

2vrχZe, m2ze, m1, v 2

12 1 θ


Ut fra kravet om bevaring av kinetisk energi og bevegelsesmengde kan man sette opp

følgende likninger:

χ=θχ+θ=

+==

sinvmsinvmcosvmcosvmvm

vm21vm

21vm

21T

2211

22111

222

211

210

Egentlig skulle Coulombpotensialet stå oppført i energilikningen, men denne antas

altså være ”liten” før og etter vekselvirkningen har funnet sted. Vinklene θ og χ er

derimot bestemt av vekselvirkningen, slik at avbøyningen og energioverføringen må

bestemmes ved å løse generelle bevegelseslikninger for systemet. Ved å kombinere de

enkle likningene ovenfor, kan man imidlertid få ut noen instruktive opplysninger om

elastiske vekselvirkninger:

χ−

χ=θ

+χ

−=+

χ=

2cosmm

2sintan

)mm(cosmm41vv,

mmcosvm2v

2

1

221

221

121

12

Vi innser at 0 ≤ χ ≤ π/2, siden ingen bakoverspredning er mulig for partikkelen som

opprinnelig var i ro. Videre har vi at v2,maks fås når cosχ =1, dvs. når χ=0. Dette

innebærer at maksimal overført energi til partikkel #2 blir:

0221

21

2

21

12

2maks,22maks,2maks T

)mm(mm4

mmvm2m

21vm

21TE

+=

+

===

Uten kjennskap til potensialet som er årsaken til vekselvirkningen, kan altså den

maksimalt overførte energien til målpartikkelen bestemmes. Merk at vi bruker

notasjonen E som overført energi, mens T forbeholdes kinetisk energi.

Ut fra relasjonene ovenfor har vi laget en oversikt over viktige spesialtilfeller

av kollisjonsprosesser:


a) m1>>m2 b) m1=m2 c) m1<<m2

2/0 π≤χ≤

χ≤θ≤ − 2sin

mmtan0

1

21

01

2maks T

mm4E =

2/0 π≤χ≤

2/2/0

π=χ+θπ≤θ≤

0maks TE =

2/0 π≤χ≤

π≤θ≤0

02

1maks T

mm4E =

Tilfelle a) kan tenkes å være en vekselvirkning der et proton (i bevegelse) avbøyes av

et elektron (som altså er i ro før kollisjonen). Elektronet kan sendes ut i hvilken som

helst vinkel mellom 0 og 90°, mens protonets maksimale avbøyningsvinkel vil kun

være 0.03°. Maksimalt overført energi fra protonet til elektronet blir kun 0.2% av

protonets opprinnelige kinetiske energi. Tilfelle b) kan representere et elektron-

elektron støt, der vinkelen mellom elektronene er 90° etter støtet (jfr. biljard). I tillegg

kan det innkommende elektronet overføre all sin kinetiske energi til elektronet som

opprinnelig var i ro. Tilfelle c) kan være et støt mellom et innkommende elektron og

en atomkjerne, som vi for enkelhets skyld kan anta er et proton. Elektronet kan i dette

tilfelle avbøyes tilbake langs innfallsretningen, men maksimalt overført energi er bare

0.2% av elektronets kinetiske energi.

Ved å sette opp de relativistiske likningene som krever bevaring av kinetisk

energi og bevegelsesmengde, fås:

20 1 2 0 1

0 1 2 0 1

22 1

1 22 2 2

2 1

1 2

22 2

2

T T T , T m c ( 1) etc.

p p p , p m v etc.

m cos1 ( 1)m m 1 v, ,

c1m cos1 ( 1)m m

cv 1

= + = γ −

= + = γ

χ+ γ − γ + ⇒ γ = γ = β =

−β χ− γ − γ +

⇒ = γ −γ

uur uur uur

Relativistisk blir maksimalt overført energi i tilfelle a) lik:


2

22

222

2maks2

2

2 1cm2)1(cmE

11

β−β

=−γ=⇒β−β+

≈γ

Fra utredningene gjort ovenfor, innser vi at elektroner vil kunne spres betraktelig mot

andre elektroner, eller mot protoner og atomkjerner. For innkommende protoner og

andre kjernepartikler vil maksimal spredningsvinkel mot elektroner være særdeles

liten. For å kunne kvantifisere vinkelfordelingen til disse spredningsprosessene, må vi

imidlertid se på tverrsnittet for energioverføring og vinkelavbøying.

Vi skal i det videre forsøke oss på en utledning av det differensielle tverrsnittet

for en energioverføring fra en infallende partikkel med ladning ze og masse m1 til en i

utgangspunktet stasjonær partikkel med ladning Ze og masse m2. Følgende størrelser

defineres:

rur

vr

r b

y

η

m2, Ze

m1, ze

x

Kraften som virker på partikkel 2 er gitt ved:

2

r20

x y

zZeF u4 r

F Fsin , F Fcos

=πε

= η =

v r

η

Bevegelsesmengden overført til partikkel 2 i løpet av et infinitesimalt øyeblikk

dt, og andre nødvendige relasjoner, blir:

trpdr

trdp Fdt

dx xv , tandt b

=

= η

rr

=


2 2

d 1 dx bdtan dtd cos bd vcos

η⇒ η = = ⇒ =

η η η η

Total overført bevegelsesmengde ptr fås dermed ved å integrere kraften fra η lik -90°

til 90°, men av symmetrigrunner blir den integrerte kraften langs x-aksen null, slik at

j

bv4zZe2jdcos

bv4zZep

cosbr,j

cosrd

v4bzZej

cosvbdcosFp

0

22/

2/0

2

tr

2/

2/2

0

22/

2/2tr

rrr

rrr

πε=ηη

πε=⇒

η=

ηη

πε=

ηη

η=

∫

∫∫π

π−

π

π−

π

π−

Her er det antatt at hastigheten til den innfallende partikkelen forandrer seg lite

gjennom bevegelsen, slik at v kan flyttes utenfor integrasjonstegnet. Overført energi

til partikkel 2 blir dermed:

2

0

2

22

2tr

bv4zZe

m2

m2pE

πε

==

Denne overførte energien er definert for en viss støtparameter b, og energien antas

altså være gitt over et meget kort tidsrom. Det effektive arealet som partikkel 1 ”ser”

når den passerer partikkel 2 er σ=πb2, og det differensielle tverrsnittet mhp.

støtparameteren er dermed dσ=|2πbdb|. Men den overførte energien er en funksjon av

støtparameteren, slik at:

( )22

2e

2e2

2

e22

2

22e

22e

2e0

2

e

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

E1cmr)zZ(

mm2

E1

vmcm)zZ(r2

dEd

cm4er

dEE1

v4zZe

m2dbdb2

E1

v4zZe

m2b

βπ

=π

=σ

⇒

πε=

πε

π=σ=π⇒

πε

=

der re kalles den klassiske elektronradiusen. Husk at z er ladningen til den

inkommende partikkelen, mens m2 og Z tilhører partikkelen som før spredningen er ”i


ro”. Hvis sistnevnte er et elektron, blir m2=me og Z=-1, og tverrsnittet får en form som

man ofte finner i lærebøker.

Vi ser at for små energioverføringer går dette tverrsnittet mot uendelig. Dette

resultatet fås på grunn av Coulombkraftens uendelige rekkevidde. I reelle stoffer vil

derimot omliggende ladninger skjerme for spredningssenteret ved store avstander, slik

at man klassisk kan argumentere for at det eksisterer en minimal overført energi, Emin.

Emax har vi funnet tidligere, ved hjelp av betrakningene rundt bevaring av kinetisk

energi og bevgelsesmengde. Hvis partikkel 2 er et proton, ser vi at tverrsnittet for

energioverføring blir me/mp≈0.00054 av hva det er hvis begge partiklene er

elektroner. Elastisk spredning mellom elektroner og atomkjerner innebærer dermed en

ekstremt liten energioverføring, sammenliknet med spredning mellom elektroner.

Vi innser fra resonnementene ovenfor at en viss overført energi innebærer en

viss spredningsvinkel, eller vice versa. Hvis vi tenker oss en innfallende elektronstråle

mot et gitt stoff med atomnummer Z, skal vi nå se på den elastiske spredningen

mellom et elektron og en atomkjerne. Dette betyr at z=1 og m1=me<<m2, der me er

elektronmassen, slik at en del sammenhenger nå blir lettere å hanskes med.

Vinkeltverrsnittet dσ/dΩ kan finnes ved å bruke differensialregning på

sammenhengen E(v2(χ(θ)))=½m2v22. Vi ser at:

222tan

2cos2sintan

cosvmm2

mcosvm2m

21vm

21E

mm

22

2

21

2

2

12

222

21

θ−

π=χ⇒χ−=

χχ

−≈θ

χ=

χ≈=

⇒<<

)2/(sin1cmr

4Z

dd

sin21

dd

ddE

dEd

dd

42

2e

2e

2

θβ=

θσ

θπ=

Ωσ

⇒

θσ

=θσ

⇒

Dette tverrsnittet kalles det klassiske Rutherfordtverrsnittet, og en alternativ utledning

av dette er f.eks. gjort i Hemmers ”Kvantefysikk”. Vi ser at små vinkelspredninger er

de mest sannsynlige, og ut fra argumentet gjort for det differensielle tversnittet mhp.

energi, må det finnes en minimal vinkel θmin. Den maksimale energiføringen Emaks vil

medføre at θ=180°, hvilket også er den minst sannsynlige vinkelen. Det som de to


utgavene av Rutherfordtverrsnittet viser er dermed at små vinkelavbøyninger og små

energioverføringer er de mest sannsynlige.

Det kan være en god øvelse å regne ut tverrsnittet for elektron-elektron

spredning. Her må man imidlertid huske på at elektroner er identiske partikler, og at

man dermed etter spredningen ikke vet hvilken som er den primære partikkelen. Man

må dermed summere tverrsnittene for spredning av hvert elektron, både det ”primære”

(spredt med vinkel θ) og det sekundære (spredt med vinkel 90°-θ). Resultatet blir:

1 2

el el

2 2e e

2 4 4el el

d d ( ) d ( / 2 ) , m md d ( ) d ( / 2 )

r m cd 14 cosd sin cos

−

−

σ σ θ σ π −θ = + = Ω Ω θ Ω π −θ σ ⇒ = θ + Ω β θ θ

1

Vi ser at dette tverrsnittet naturlig nok ikke avhenger av Z (som er satt lik –1), men

for Z uavhengige elektroner (i et tenkt atom) blir tverrsnittet per atom proporsjonalt

med Z. Dette fordi tverrsnittene for uavhengige begivenheter kan summeres. Dermed

har vi Z2-avhengighet for elektron-kjernespredning, mot Z-avhengighet for elektron-

elektron spredning. Elastisk spredning mot atomkjerner vil dermed dominere, spesielt

når atomnummeret til stoffet som traverseres øker. Men fra formen på dσ/dE, ser man

at energioverføringen i det sistnevnte tilfellet er veldig liten. “Moralen” er dermed at

spredning mot elektroner resulterer i de største energitapene og de minste

vinkelavbøyningene, mens spredning mot atomkjerner fører til små

energioverføringer og større vinkelavbøyninger. Ha alltid i bakhodet at det finnes

relativistiske og andre mer eksotiske korreksjoner til disse utrykkene, men at

tverrsnittene ført opp her i grove trekk beskriver virkeligheten.

Inelastisk spredning mot elektroner

Som sagt i innledningen av den forrige seksjonen, er elastisk spredning en prosess der

den kinetiske energien er bevart. Men i reelle situasjoner vil den inkommende ladde

partikkelen vekselvirke med f.eks. bundne elektroner, der bindingsenergien tilsvarer

den energien som skal til for å forandre elektronets kvantetilstand, dvs. eksitere eller


ionisere det tilhørende molekylet/atomet. Hvis en eksitasjon eller ionisasjon skjer, vil

dermed energiregnskapet måtte inkludere bindingsenergier. Spredningsprosessen

kalles nå inelastisk, siden den kinetiske energien før og etter kollisjonen ikke er

bevart. Elastisk spredning er dermed begrenset til å gjelde de vekselvirkningene som

innebærer at det bundne elektronet ikke forandrer tilstand, dvs. ved meget små

energioverføringer. Vi kommer i det videre til å fokusere mest på energiavsetningen

ved inelastisk spredning.

Bethe gjorde på 30-tallet en kvantemekanisk utledning av tverrsnittet for

inelastisk spredning ved såkalte myke kollisjoner (”soft collisions”). Dette er

spredningsprosesser der den innfallende partikkelen påvirker atomet som en helhet,

hvilket medfører eksitasjoner eller ionisasjoner. Betingelsen er at den ioniserende

partikkelen passerer såpass langt unna atomet/molekylet at en direkte spredning med

et enkelt atomært elektron ikke inntreffer. Bethe lot den innfallende ioniserende

partikkelen være representert ved en planbølge ∼ hrr /rpie ⋅ . Vekselvirkningen innebærer

en forandring i bevegelsesmengde, hvilket gir den utgående bølgen ∼ e . Det

atomære systemet som utsettes for partikkelen vil, via en Coulombvekselvirkning,

være i en eksitert/ionisert tilstand etter spredningen:

hrr /r'pi ⋅

h

rr /rpie ⋅

0ψh

rr /r'pie ⋅

kψ

*

k

2

0

2

tot Em2'pE

m2pE +=+=

dvs. at tilstandsenergien Ek>E0 (bindingsenergier antas her være negative). Ved hjelp

av første ordens tidsavhengig perturbasjonsteori, eller alternativt den såkalte 1. Born-

approksimasjonen, vil spredningstverrsnittet for et innkommende elektron mot et

atom med atomnummer Z fremkomme, der atomet energetisk heves til tilstand k,

som:


2

k

Z

1j

/r)'pp(i0k

k22

22eeksoft

je)'pp(

)'pp(E1crm2

dE)(d

ψψ=−ε

−εβ

π=

εσ

∑=

⋅− hrrrrr

rr

der indeksen j svarer til det j’te atomære elektronet. Dette utrykket er gyldig for

elektroner, positroner og tyngre kjerner som innfallende partikler. Første del

gjenkjenner vi fra det ikke-relativistiske Rutherford-tverrsnittet. Nå er muligens

formen på det kvadrerte matriseelementet noe forvirrende for de som håpet de hadde

lagt kvantemekanikken bak seg, men )'pp(krr

−ε kan sees på sannsynligheten for at

systemet heves fra grunntilstanden til tilstand k. Dette innebærer at en energi E=Ek-E0

overføres til atomet med en ”sannsynlighet” )'pp(krr

−ε . Videre vil den minste

energien som er mulig å overføre i et inelastisk støt være Emin= (Ek-E0)min, dvs. være

den overgangen som representerer det minste energigapet fra grunntilstanden til en

mulig eksitert tilstand. Hvis 0p →r

)'pr−

, dvs. ved meget lave partikkelenergier, er kun

elastiske støt mulige og =Zp(kr

ε 2.

I første ordens tidsavhengig perturbasjonsteori antas det at vekselvirkningen er

”svak” i forhold til størrelsen av den uperturberte Hamiltonoperatoren. Dette kan

tolkes som at vekselvirkningen effektivt foregår over et (relativt) meget kort

tidsintervall, dvs. at hastigheten til den innkommende partikkelen er mye større enn de

atomære elektronenes (som her antas svirre i Bohr-baner). Ved lave partikkelenergier

vil dermed feilen på tverrsnittet øke (se skallkorreksjoner).

I tillegg til såkalte myke kollisjoner, kan man tenke seg at den innfallende

partikkelen traverserer så nære atomet at den direkte spres mot en av de tilhørende

elektronene, hvilket kalles harde kollisjoner. I evalueringen av denne prosessen, antas

det atomære elektronet være fritt, slik at man ikke-relativistisk vil ende opp med

Rutherfordtverrsnittet differensiert mhp. energi. For partikler med masse mye høyere

enn elektronet blir den relativistiske formen på dette tverrsnittet:

( )maks2

22

22

e2

ehard E/E1

E1zcmr2

dEd

β−β

π=σ


Vær sikker på at du ser sammenhengen mellom dette og det ikke-relativsitiske

differensielle tverrsnittet utledet tidligere for elastisk spredning (la β→0 osv.). Emaks

er den tidligere nevnte maksimalt overførte energien fra den ladde partikkelen til

elektronet. For elektroner og positroner er utrykket mer komplisert, hvilket vi kommer

tilbake til senere.

Bremseevne ved inelastisk spredning mot elektroner

Ut fra tverrsnittet som beskriver overført energi per atom per inkommende partikkel,

er det mulig å beregne energiavsetningen langs et infinitesimalt linjestykke av

partikkelbanen. Anta at vi har en ioniserende partikkel som beveger seg et stykke dx

gjennom et stoff med n partikler per volumenhet:

dx σ

m1v

Antall ”targets” per arealenhet blir dermed nVdx. Sannsynligheten for å treffe et

”target” blir nVdxσ. Midlere avsatt kinetisk energi Td over linjestykket dx kan finnes

ved å bruke tverrsnittet som funksjon av energi, og summere over alle mulige

energioverføringer:

maks

min

E

V k k V Vk E

ddT n dx E (E ) n dx E dE n dxEdEσ

= σ = =∑ ∫ σ

der E er den midlere energien avsatt per vekselvirkning. Bethes videre utledning av

dx/Td

pp(krr

−ε

for myke kollisjoner følger en ganske komplisert teori, der han evaluerer

og definerer ut fra denne et midlere ionisasjons- og eksitasjonspotensial, I. )'


Denne størrelsen er definert som den midlere energien som behøves for å eksitere

eller ionisere det aktuelle atomet, og vil selvfølgelig variere fra grunnstoff til

grunnstoff. Ettersom bindinger mellom atomer påvirker denne størrelsen, kan I også

defineres for molekyler. Nedenfor er I per atomnummer gitt varierende med

atomnummeret. Ved å ta gjennomsnittet av I/Z for alle de 92 grunnstoffene vist

ovenfor, fås (10.6±2.0) eV, slik at 11 eV kan brukes som en tommelfingerregel for det

midlere eksitasjonspotensial per atomnummer.

Atomnummer, Z

0 20 40 60 80 100

Eksi

tasj

onsp

oten

sial

, I/Z

[eV

]

8

10

12

14

16

18

20

22

Myke kollisjoner er definert som overføring av energi opp til en tenkt

maksimalverdi; Emaks, soft. Dette fordi myke kollisjoner antas skje utenfor en viss

støtparameter, og tverrsnittet innenfor denne effektive radiusen gjelder for harde

kollisjoner. Hvis vi definerer Emaks,soft≡H(≡Emin,hard), er Bethes relativistiske utrykk for

energiavsetningen per lengde– og tetthet lik:

β−

β−β

β

π=

ρ=

ρ

222

22e

2

2

A2

e2

ecol soft

col softI)1(Hcm2lnz

AZNcmr2S

dxTd1

NA er Avogadros tall, og (Z/A) er antall elektroner per atomvekt. NA(Z/A) er dermed

antall elektroner per gram av absorbatoren. Dette utrykket er gyldig for både

elektroner og tyngre kjerner, som undertegnede har valgt å kalle masse-

kollisjonsbremseevnen (mass collision stopping power). Nytten av dele på tettheten


blir forhåpentligvis klarere etterhvert. Energitapet ved inelastisk spredning mot

elektroner kalles ofte kollisjonstap.

For harde kollisjoner er utledningen av utrykket for bremseevnen enklere,

ettersom tverrsnittet har en mere tiltalende form, spesielt når den innkommende

partikkelens masse m1 er mye større enn elektronet. Tverrsnittet skal nå integreres fra

H til Emaks, og S/ρ for harde kollisjoner blir, ved å anta at H<<Emaks og m1>>me:

β−

β

π=

ρ2maks

2

2

A2

e2

ecol ardh

HElnz

AZNcmr2S

Den totale ”collision stopping power” fås dermed ved å summere bidragene fra myke

og harde kollisjoner, og sette inn for Emaks utledet tidligere:

β−

β−β

β

π=

ρ+

ρ=

ρ

22

22e

2

2

A2

e2

e

col ardhcol softcol

I)1(cm2lnz

AZNcmr4

SSS

For elektroner og positroner blir utrykket for den totale bremseevnen mer komplisert,

ettersom massen til den inkommende partikkelen er lik massen til det bundne

elektronet, og all kinetisk energi T kan overføres i det inelastiske støtet. I tillegg er

elektroner identiske partikler, slik at det er umulig å avgjøre hvilken av de spredte

partiklene som var den innkommende (eller primære). Det elektronet med høyest

energi etter støtet defineres dermed som den primære, slik at stopping power fås ved å

integrere tverrsnittet opp til T/2. De generelle utrykkene for stopping power for

elektroner og positroner kan fås ved å se i f.eks. Attix.

Skallkorreksjon, tetthetseffekt

Den 1. Born-approksimasjonen antar som nevnt tidligere at hastigheten til den

innkommende ladde partikkelen er mye høyere enn den til de atomære elektronene.

Utrykket for kollisjonsbremseevnen blir dermed mindre korrekt ettersom den


kinetiske energien til partikkelen avtar, og for å ta hensyn til denne effekten er det

innført en såkalt skallkorreksjon, C/Z. De hardest bundne atomære elektronene, dvs.

de i ”K-skallet”, har høyest hastighet i det atomære orbitalhierarkiet, slik at disse vil

bidra mest. Ettersom bindingsenergien øker med økende atomnummer, vil også

skallkorreksjonen øke tilsvarende. Skallkorreksjonen fører altså til en reduksjon i

masse-kollisjonsbremseevnen, slik den er beskrevet av Bethes utrykk presentert

tidligere. For eksempel vil skallkorreksjonen for 2 MeV protoner i grafitt (rent

karbon) bli mindre enn 3.5% av masse-kollisjonsbremseevnen beskrevet av Bethe,

mot ca. 10% i kobber. Denne korreksjonen vil altså avta med økende energi.

Når en ladd partikkel passerer gjennom et medium, vil dette resultere i en

midlertidig polarisering av atomer/molekyler nær sporet til den ladde partikkelen.

Dipolfeltet satt opp av disse vil igjen føre til en svekkelse av feltene fra

atomer/molekyler lengre unna den ioniserende partikkelen. Polariseringen vil igjen

føre til at den totale feltstyrken fra elektronene i mediet avtar, og denne effekten vil

være spesielt fremtredende i medier med stor tetthet. Vekselvirkningene mellom den

ioniserende partikkelen og fjernt beliggende atomer blir dermed svekket, slik at

massekollisjonsbremseevnen reduseres. Hvis mediet derimot er en gass, kan

avstanden mellom hvert molekyl bli så stor slik at polarisering av ett atom/molekyl

ikke vil påvirke feltene fra andre. Ved økende tetthet vil derimot fenomenet bli

signifikant, og kalles dermed tetthetseffekten.

Det elektriske feltet fra en ladd partikkel med relativistisk hastighet opplever

en såkalt Lorentz-sammentrekning, der intensiteten av feltet avtar langs og øker

normalt på fartsretningen til partikkelen. I faste stoffer vil dermed polariseringen bli

enda sterkere ved relativistiske hastigheter, slik at tetthetseffekten spesielt blir

fremtredende ved høye energier. Merk at tunge kjerner skjelden kommer opp

relativistiske hastigheter, slik at tetthetseffekten kan antas å være neglisjerbar i dette

tilfellet. Nedenfor vises den prosentvise reduksjonen i massekollisjonsbremseevnen

for elektroner i forhold til bremseevnen evaulert uten tetthetskorreksjonen. For

elektroner i energiområdet 5-20 MeV, og som antas gå gjennom vann, må altså

Bethes utrykk for massekollisjonsbremseevnen reduseres med mellom 5-10%. Hvis

derimot mediet er vanndamp, er altså ikke tetthetskorreksjonen nødvendig.


Tetthetskorreksjon

Kinetisk energi [MeV]

1 10 100

Pros

ent r

eduk

sjon

i S co

l

0

5

10

15

20

25

VannGull

Linear Energy Transfer (LET)

LET er, eller ihvertfall var, et sentralt begrep når problemstillinger rundt

strålebiologiske konsekvenser av ioniserende ladde partikler skal diskuteres. Kort

fortalt kan den primære ioniserende partikkelen sette igang nye sekundære elektroner

med høy kinetisk energi (jfr. harde kollisjoner). Disse ”δ-strålene” kan frakte den

overførte energien fra primærpartikkelen langt vekk fra det primære sporet, slik at noe

av energiavsetningen ikke lenger kan betraktes som ”lokalt” deponert. Hvis et proton

f.eks. traverserer en cellekjerne, kan noen av de energirike sekundærelektronene

avsette energi utenfor kjernen. Dette betyr at bremseevnen, slik beskrevet ovenfor,

overestimerer den deponerte energien til kjernen, som antas være det sensitive

volumet av en celle. Tilsvarende vil også gjelde volum med lav tetthet, der

rekkevidden til sekundærpartikkelen kan være stor. Dette er et problem ved

ionekammerdosimetri, som vi skal komme tilbake til senere.

Men hva om vi definerer en størrelse der vi antar at energiavsetninger opp til

en viss terskelverdi ∆ antas avsatt ”lokalt”? Hvis vi ser på Bethes utrykk for myke

kollisjoner, gjaldt denne opp til en viss verdi H, der tverrsnittet for harde kollisjoner

tok over. Hvis vi antar at en lokal energideponering skjer ved myke kollisjoner opp til

∆, blir den begrensede bremseevnen, eller Linear Energy Transfer, ved innsetting


β−

β−

∆ββ

πρ=

ρ

ρ=∆

∆2

22

22e

2

2

A2

e2

e I)1(cm2lnz

AZNcmr2

dxdTL

Merk multiplikasjonen med tettheten. Tetthets- og skallkorreksjonen antas her være

neglisjerbar. Konvensjonelt betraktes denne i enheter av keV/µm, der µm-enheten er

valgt på bakgrunn av celledimensjoner. En typisk verdi for ∆ som man ofte finner i

eldre publikasjoner er 100 eV, og LET blir i dette tilfellet dermed L100. Antagelsen var

dermed at sekundære elektroner med kinetisk energi opp til 100 eV avsatte all sin

energi ”lokalt”. I dag har imidlertid mer avansert mikrodosimetri og Monte Carlo

simuleringer erstattet bruken av LET.

Bremsestråling

Bremsestråling er utsendelsen av et foton fra en ladd partikkel som beveger seg i et

generelt Coulombfelt, og partikkelens energitap kalles kalles ofte strålingstap.

Sannsynligheten for slike prosesser kan, spesielt for høyenergetiske elektroner,

overstige den for inelastisk spredning mot elektroner. Det finnes ingen enhetlig teori

som gir en fullgod beskrivelse av bremsestråling, slik at forskjellige teorier benyttes i

forskjellige energiområder.

Utgangspunktet for vekselvirkningen er altså en nedbremsing av en ladd

partikkel i nærværet av f.eks. en atomkjerne. Klassisk elektromagnetisme forteller at

hvis en ladd partikkel utsettes for et elektrisk felt, vil partikkelen akselleres og dermed

sende ut elektromagnetisk stråling. Under en kontinuerlig påvirkning vil den ladde

partikkelen stråle ut elektromagnetisk stråling med relativt lav frekvens. I

kvanteteorien snakker man heller om en viss sannsynlighet for at partikkelen skal

avbøyes, og sende ut et kvant med en viss frekvens. Denne sannsynligheten er ikke

spesielt stor, men totalt mengde utstrålt energi fra det nedbremsede elektronet må bli

lik i det klassiske og kvantemekaniske tilfellet. Dermed blir energien til de enkelte

fotonene, ”korrekt” utledet fra kvantefysikk, mye større enn forutsagt ved klassisk

elektromagnetisme. Vi kan likevel benytte oss av elektromagnetismen for å finne

noen tommelfingerregler ved bremsestråling.


Larmor’s formel beskriver den utstrålte effekten fra en aksellerert ladd

partikkel med ladning ze:

30

22

c6a)ze(P

πε=

der a er aksellerasjonen. For en partikkel med ladning ze som utsettes for en kraft fra

en partikkel med ladning Z, vil vi ha at kraften langs feltlinjen blir:

2

20

2

20

2

mZP

mr4zZea

r4zZemaF

∝⇒

πε=⇒

πε==

Ved å sammenlikne et proton og et elektron, som har samme ladning (med motsatt

fortegn), og som passerer det samme Coulombfeltet, ser vi at ustrålt energi vil bli mye

høyere for elektronet (en faktor (mp/me)2≈18362). For protoner og andre tyngre kjerner

blir dermed bremsestrålingstapet minimalt sammenliknet med elektroner. I tillegg ser

vi at utstrålt energi er proporsjonalt med Z2, dvs. at sannsynligheten for

bremsestråling øker kraftig med atomnummeret. Vi kommer i det videre å kun

diskutere bremsestråling for elektroner.

Elektronet kan i en bremsestrålingsprosess overføre all sin kinetiske energi til

fotonet, dvs. at

Th maks =ν

hvis bevegelsesmengden som overføres til atomkjernen (evt. det atomære elektronet)

neglisjeres.

Teorien for beregning av tverrsnittet for bremsestråling er for komplisert å

komme inn på i dette kompendiet. Bethe og Heitler gjorde utledninger allerede på 30-

tallet, men disse har blitt forbedret med forskjellige teorier for forskjellige

energiområder for henholdsvis elektroner og kjerner. Det totale strålingstapet

reflekteres dermed i både strålingstap fra kjerner og elektroner, og det viser seg at


vekselvirkninger med kjerner er viktigst, og dominerer totalt ved høye atomnummer.

Nedenfor er tverrsnittet, gitt på formen

)h(d

dhZ1

2 νσ

ν

for bremsestråling i karbon og wolfram vist.

10 MeV elektroner

Fotonenergi, hν [MeV]

0 2 4 6 8 10 12

Tver

rsni

tt, hν(

dσ/dν)/Z

2 [cm

2 ]

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Karbon (Z=6)Wolfram (Z=74)

Strålingstapet per lengdeenhet for bremsestråling kalles Radiative Stopping Power, og

en approksimativ utgave for elektron-kjerne og elektron-elektron vekselvirkninger

gjengis her:

)Z,T(B)cmT(A

ZNrSr

2e

2A2

erad +α=ρ

der α≈1/137 (finstrukturkonstanten), og )Z,T(Br er en dimensjonsløs faktor som

varierer med elektronenergi og atomnummer. Denne faktoren er gitt i figuren

nedenfor. Vi ser at for lave atomnummer varierer )Z,T(Br ganske signifikant med

energien, men denne effekten blir mindre ettersom atomnummeret øker. Den

observante leser vil se at F.H. Attix oppgir noen verdier av )Z,T(Br som ikke helt

samsvarer med figuren nedenfor. Undertegnede tror imidlertid at hans gamle helt


Frank Herbert har forvekslet denne størrelsen med en tilsvarende definert for

tverrsnittet. Sistnevnte må imidlertid integreres over alle mulige energioverføringer

før man kommer til utrykket for stopping power (se inelastisk spredning).


0.01 0.1 1 10 100

0

10

20

30Z=1Z=10Z=20Z=40Z=80

)Z,T(Br

Ettersom tverrsnittet for en energioverføring for bremsestråling er lite tilgjengelig, vil

dette også gjelde fordelingen av spredningsvinkler for elektronet og fotonet. Som en

huskeregel kan man si at fotonene generert av laveenergetiske elektroner spres

nærmest normalt på infallsretningen, mens høyenergetiske elektroner resulterer i

fremoverrettet bremsestråling:

T=1-100keV

elektronets innfallsretning

T=1-100MeV

Lobene altså forteller noe om sannsynligheten for å finne et foton i en gitt retning, der

fotonet genereres av et elektron med den oppgitte kinetiske energien.


Total bremseevne, rekkevidde og beslektede tema

Bremseevnen for ladde partikler vil være sammensatt av bidraget fra kollisjoner og

strålingstap:

ρ

+ρ

=ρ

radcol SSS

De to bidragene dominerer imidlertid i forskjellige energiområder, slik at man ofte

kan neglisjere strålingstapet i forhold til kollisjonstapet, eller vice versa. Hvis man er

interessert i verdier for stopping power generelt, er det beste å slå opp i tabeller

istedetfor å bruke analytiske uttrykk. Dette gjelder spesielt for strålingstap, der de

teoretiske tverrsnittene er kompliserte og beheftet med mange usikkerheter. For

medier med lavt atomnummer (Z<10), vil imidlertid strålingstapet fra elektroner være

veldig lite. National Institute of Standards and Technology (NIST) har hjemmesider

der du kan få bremseevnen på tabellform for bl.a. elektroner og protoner. Nedenfor er

den totale bremseevnen sammen med kollisjons- og strålingstapet vist for elektroner.

Denne er sammenliknet med bremseevnen for protoner, der strålingstapet som nevnt

er neglisjerbart. I tillegg inkluderer bremseevnen for protoner elastisk spredning mot

atomkjerner, som vil gi et signifikant bidrag ved veldig lave energier.


0.01 0.1 1 10 100

Mas

sebr

emse

evne

[MeV

cm2 /g

]

0.01

0.1

1

10

100

1000

Elektroner, total Elektroner, kollisjonerElektroner, strålingstapProtoner, total

H2O


Hvis mediet som traverseres ikke er et grunnstoff, og ingen har gjort seg bryet

med å gjøre nøyaktige beregninger av bremseevnen, kan Braggs regel være nyttig.

Hvis et stoff er sammensatt av forskjellige grunnstoff med vektfraksjon wi, sier

regelen at totale bremseevnen kan antas være den vektede summen av de forskjellige

atomene i stoffet:

∑∑ =

ρ

=ρ

jj

ii

i ii m

mw,SwS

Her kommer bl.a. fordelen av å ha bremseevnen i enheter av tettheten inn –

summasjonen kan foretas direkte. Braggs regel antar at bindingseffekter er

neglisjerbare, hvilket ikke alltid vil være tilfelle. Tenk på f.eks. etyn (acetylene) med

strukturformel H-C≡C-H, der en stor del av de opprinnelig atomære elektronene vil

bidra til trippelbindingen mellom de to karbonatomene. Den midlere

eksitasjonsenergien per karbonatom i etyn vil dermed bli forskjellig fra den til fritt

karbon, der sistnevnte implisitt ville vært brukt i Braggs regel.

Rekkevidden til en ladd partikkel er definert i Attix som forventningsverdien

til veilengden partikkelen traverserer før den kommer til ro i det aktuelle mediet.

CSDA-rekkevidden (Continous Slowing Down Approximation) er definert ut fra

masse-bremseevnen som:

∫−

ρ

=ℜ0T

0

1

CSDA dTdx

dT

Den resiprokale bremseevnen, dvs. dx/dT, er nettopp lengde traversert per

energiintervall, slik at integralet over alle energier opp til inngangsenergien T0 gir

rekkevidden. CSDA-rekkevidden kan for alle praktiske formål antas være lik den

reelle rekkevidden. Siden bremseevnen er definert per tetthet, blir enheten til ℜ

g/cm

CSDA

2 og må dermed divideres med tettheten for å få rekkevidden i cm. Braggs regel

kan også anvendes på rekkevidder:


1 i

itot i

w=

ℜ ℜ∑

For protoner og andre tyngre ladde partikler som opplever lite spredning og bremse-

strålingstap i sin ferd gjennom et stoff vil variasjonen i rekkevidde og energitap være

liten. Denne variasjonen kalles forøvrig straggling, og er en statistisk størrelse.

Elektroner og positroner vil ha en høy grad av både rekkevidde- og energi-straggling.

Den såkalte projiserte rekkevidden <t> (”projected range”), som er definert som

forventningsverdien av partikkelens lengste penetrasjonsdybde langs

innfallsretningen, vil dermed bli veldig forskjellig fra CSDAℜ for elektroner.


3. Fotonvekselvirkninger

Fotoner kan, ved ikke å ha noen ladning eller masse, i utgangspunktet virke mindre

håndgripelige enn f.eks. elektroner og protoner. Formalismen som beskriver

vekselvirkninger mellom fotoner og materie er imidlertid ikke mere komplisert,

ihvertfall hvis man holder seg til semiklassisk teori.

Bakgrunnen for den videre diskusjonen er at man representerer fotonet med et

vektorfelt )t,r(Ar

, der formen på feltet velges som en planbølge. Denne bølgen

vekselvirker nå med et atomært system, eller mer spesielt, de enkelte elektronene i

atomet:

)t,r(A

r

For et elektron som er under påvirkning av vektorfeltet, vil elektronets imp

gitt ved Aeprr

− . Hamiltonoperatoren for vekselvirkningen blir dermed:

( ) )r(VAepm21H

2+−=

rr

I et atomært system vil selvsagt de forskjellige elektronene vekselvi

hverandre og atomkjernen, og dette representeres ved den potensielle energ

Siden planbølgeformen ble valgt for vektorfeltet, blir feltet divergensfritt

∇∼pr ) og vi kan skrive:

2

e

2

e

2

e

Am2eAp

me)r(Vp

m21H

rrrr+⋅++=

Vanlig prosedyre i kvantemekanikk er å ta for seg de to første led

Hamiltonoperatoren presentert her, og forsøke å finne et så nøyaktig

tilstander som mulig (eksakte løsninger fås kun for en-elektronsystemer). De

FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1

?

uls være

rke med

ien V(r).

(husk at

dene til

sett med

to neste

29

leddene kan behandles som perturbasjoner, dvs. små forstyrrelser i forhold til de indre

atomære vekselvirkningene. Videre viser det seg at disse leddene beskriver h.h.v.

fotoelektrisk effekt og generelle fotonspredningsprosesser (Rayleigh, Compton), og vi

skal ta en nærmere titt på evalueringen av disse.

Generelle betrakninger rundt spredning

I fotonspredning vil et inkommende foton spres av et atomært system etter at en eller

annen vekselvirkninging har funnet sted:

)t,r(Ainn

r

0ψkψ

)t,r(Aut

r

θ

*

Hvis fotonet spres koherent, vil dette ikke innebære et nevneverdig tap av kinetisk

energi, samtidig som atomet forblir i sin grunntilstand (jfr. elastisk spredning for

ladde partikler). Ved inkoherent spredning, kan fotonet miste en signifikant mengde

av energien, og atomet blir eksitert eller ionisert. Generelt kan

vekselvirkningsprosessen beskrives ved den perturberende Hamiltonoperatoren:

*utinn

e

2

AAm2e'H

rr⋅=

Når vektorfeltet beskrives med en planbølge blir Hamiltonoperatoren:

t)(ir)kk(i

utinn

)trk(iutut

)trk(iinninn

innututinn

ututinninn

ee'H

eA,eA

ω−ω⋅−

ω−⋅ω−⋅

ε⋅ε∼⇒

ε∼ε∼

rrr

rrrr

rr

rrrr

innεr og utε

r er polarisasjonsvektoren til hhv. den innkommende og utgående bølgen.

Akkurat som i vekselvirkningsteorien for ladde partikler, anvendes 1. ordens


tidsavhengig pertubasjonsteori på Hamiltonoperatoren ovenfor. Det differensielle

tverrsnittet mhp. romvinkel og energi blir

)EE(erdd

dinnut0k

2

kr)kk(i

02

utinninn

ut2e

ut

utinn ω−ω+−δψψε⋅εωω

=Ωω

σ ⋅− hhrr rrr

Diracs deltafunksjon vil plukke ut nettopp de energihoppene (Ek-E0) som tilsvarer en

energioverføring lik ved integrasjon over ωutinn ω−ω hh ut. For å få tverrsnittet til en

kollektiv effekt fra alle elektronene, må det summeres over alle elektronkoordinater rj

i matriseelementet (se Bethes utrykk for inelastisk parttikkel-spredning). Vi skal nå

over til å se på noen spesialtilfeller og hvordan tverrsnittet da fremkommer.

Koherent spredning

Koherent spredning kalles også Rayleigh-spredning, og er en prosess der fotonet, uten

å miste bevegelsesmengde, spres av atomet som en helhet. Ved koherent spredning vil

ωut=ωinn, eller alternativt utinn kkrr

= , og tilstanden til atomet forblir uforandret

(ψk=ψ0), slik at tverrsnittet kan forenkles til en ganske tiltalende form:

22utinn

2e

2

0r)kk(i

02

utinn2

e )Z,,h(Frerdd

utinn θνε⋅ε=ψψε⋅ε=Ωσ ⋅− rrrr rrr

F(hν, θ, Z) kalles den atomære formfaktoren, og avhenger av atomær struktur

(beskrevet av bølgefunksjonene) og energien til det inkommende fotonet (gitt

ved innkr

). θ er, som vist tidligere, vinkelen mellom innfalls- og utgangsretningen. Se

nå på:

)2/sin(c

4cos22kkk

c22kkk,coskk2kkkk

utinn

innututinn2ut

2innutinn

θπν

=θ−=−⇒

πν=

λπ

===θ−+=−

rr

rr


( ) απ=α−=⋅−⇒

θν

=θλ

=

cosxr4cosrkkrkk

)2/sin(c

)2/sin(1x:Definerer

utinnutinn

rrrrr

Vi ser at formfaktoren dermed kan defineres som en funksjon av x og Z, der x er en

variabel som avhenger av både fotonenergien og spredningsvinkelen. Nedenfor er

F(x,Z) per atomnummer vist for noen utvalgte grunnstoffer.

x [Å-1]

0.01 0.1 1 10 100

F(x,

Z)/Z

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

CAlCuPb

Vi ser fra figuren ovenfor at når x→0 (dvs. hν→0), vil formfaktoren per atomnummer

gå mot 1. Teoretisk innser man at når k→0, vil 1e r)kk(i utinn →⋅−rrr

, og dermed

1e2

0r)kk(i

0utinn →ψψ ⋅−

rrr

, hvilket fremgår fra figuren.

Vi har hittil ikke sett på leddet 2utinn ε⋅εrr , som vi kan kalle polarisasjons-

bidraget til tverrsnittet. Hvis de inkommende fotonene har en isotrop fordeling av

, kan det midlere polarisasjonsbidraget vises å være: innεr

)cos1(21 22

utinn θ+=ε⋅εrr


Hvis vi videre antar at k→0, dvs. at energien til det inkommende fotonet er lav, vil

tverrsnittet bli:

)cos1(2r

dd 2

2e

Th

θ+=

Ωσ

Dette tverrsnittet beskriver det man kaller Thomsonspredning, og kan i klassisk

elektromagnetisme beskrives ved at fotonet absorberes av de atomære elektronene,

som starter å svinge i fase med hverandre. Denne svingebevegelsen vil igjen føre til

utsendelsen av et foton, nå med en retningsfordeling beskrevet av tverrsnittet ovenfor.

Dette inntreffer typisk når fotonbølgelengden blir sammenlignbar med diameteren til

det spredende atomet. Vi ser at Thomsonspredning kun er et spesialtilfelle av

Rayleigh-spredning.

Inkoherent spredning

Inkoherent spredning kalles også Comptonspredning, og er en spredningsprosess der

det spredte fotonet har mistet noe av sin energi til et atomært elektron. Hvis vi går

tilbake til det generelle utrykket for det differensielle tverrsnittet per romvinkel- og

energiintervall, vil ψ0 og ψk være hhv. start- og sluttilstanden for elektronet. Hvis

elektronet antas være fritt etter spredningsprosessen, bruker vi planbølgetilnærmelsen

og setter hrr /rpi

k e ⋅∼ψ , der pr

er elektronimpulsen. Den videre utledningen av

tverrsnittet er imidlertid noe komplisert, men følger mye av det som ble gjort for

koherent spredning. Det hele koker ned til at tverrsnittet for inkoherent spredning kan

skrives som:

)Z,x(Ssin2r

dd 2

ut

inn

inn

ut

2

inn

ut2e

θ−

ωω

+ωω

ωω

=

Ωσ

S(x,Z), der x ble definert tidligere, kalles strukturprofilen, og er en størrelse som

reflekterer strukturen til det spredende atomet (slik som formfaktoren).


Hvis bindingsenergien til elektronet er liten i forhold til fotonets energi, kan

man i utgangspunktet anta at det spredende elektronet er fritt. Klein og Nishina gjorde

nettopp denne antagelsen, og i dette tilfellet vil strukturprofilen S(x,Z) bli lik 1 per

spredende elektron (denne vil være mindre enn 1 hvis bindingsenergien er

signifikant). Klein-Nishina tverrsnittet per elektron for Comptonspredning er dermed:

θ−

ωω

+ωω

ωω

=

Ωσ 2

ut

inn

inn

ut

2

inn

ut2e

e,KN

sin2r

dd

Vi skal nå se på kinematikken som beskriver det forenklede bildet av

prosessen, der det atomære elektronet antas være i ro før spredningen:

T

ϕ

e- θhν

hν’

Bevaring av energi og bevegelsesmengde kreves:

2e

22

ututinn

utinn

cTm2T)pc(

sinpsinc

h,cospcosc

hc

hThh

+=

ϕ=θν

ϕ+θν

=ν

+ν=ν

der p er (den relativistiske) impulsen til det utgående elektronet. Disse likningene kan

enkelt løses, og man får:

)cos1(

cmh1

hh2

e

inn

innut

θ−ν

+

ν=ν

θ

ν+=ϕ

2tan

cmh1cot 2

e

inn


Slik som for elastisk spredning mellom ladde partikler har man nå etablert en

sammenheng mellom overført kinetisk energi og spredningsvinkel. Vi ser at den

maksimalt overførte energien til elektronet fås når hνut er minimal, dvs. når θ=180°.

Fotonet spres dermed tilbake langs innfallsretningen, og elektronet vil bevege seg

motsatt vei. Når hν/mec2>>1, ser vi at energien til tilbakespredte fotonet ikke kan bli

større enn mec2/2 (0.26 MeV). I tilfeller der man ønsker å skjerme for tilbakespredte

fotoner kan man dermed velge en tykkelse på skjermen som tilsvarer denne energien i

penetrasjonsevne. Videre kan det totale tverrsnittet beregnes ved å integrere over alle

mulige romvinkler:

∫∫π

π

θθθνΩσ

π=ΩθνΩσ

=νσ04

dsin),h(dd2d),h(

dd)h(

Attix viser et utrykk for det totale Klein-Nishina-tverrsnittet, utledet fra integrasjonen

av det differensielle tverrsnittet vist ovenfor. Utrykket føres ikke opp her. Hvis man

antar at elektronene i det spredende atomet virker uavhengig av hverandre, vil

spredningstverrsnittet per atom i Klein-Nishinas approksimasjon være:

e,KNa,KN Zσ=σ

der σKN,e er det elektroniske tverrsnittet. Hvis ikke bindingsenergien er neglisjerbar,

vil altså det atomære tverrsnittet avhenge av strukturfaktoren S(x,Z). Sistnevnte vil gå

mot Z når fotonenergien er “høy”. Nedenfor er tverrsnittet for comptonspredning

illustrert for noen grunnstoffer, der effekten av strukturfaktoren S(x,Z) tydelig

fremtrer ved lave fotonenergier. Klein-Nishina tverrsnittet går mot en maksimal

grense når hν→0, men dette innebærer altså en overestimering. Vi ser at feilen ved

lave fotonenergier øker ettersom atomnummeret øker, da dette innebærer en høyere

effektiv bindingsenergi.


Fotonenergi [MeV]

0.01 0.1 1 10 100Inko

here

nt a

tom

ært

tver

rsni

tt pe

r ato

mnu

mm

er

σ

a/Z [c

m2 ]

10-26

10-25

10-24

Klein-NishinaKarbon (Z=6)Kobber (Z=29)Bly (Z=82)

Vi ser forøvrig at for energier som er relevante for stråleterapi (>1 MeV), kan

strukturfaktoren med god tilnærmelse sees bort fra.

Hvis vi tar for oss Klein-Nishinas utrykk for det differensielle

spredningstverrsnittet, har vi at:

( ) ( )Th

22e2

2ehh

e,KN ddcos1

2rsin2

2r

dd

innut

Ωσ

=θ+=θ− →

Ωσ ν→ν

dvs. at det inkoherente tverrsnittet går mot det klassiske Thomsontverrsnittet i det vi

kan kalle den koherente grensen. Tilsvarende vil strukturfaktoren gå mot

formfaktoren kvadrert.

Ut fra Klein-Nishinas tverrsnitt for Comptonspredning, har vi plottet det

differensielle tverrsnittet dσ/dθ nedenfor. Det fremgår av figuren at det spredte

fotonet blir mer fremoverrettet ettersom fotonenergien øker.


Fotonspredningsvinkel, θ

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Diff

eren

siel

t tve

rrsn

itt, dσ/

d θ [c

m2 /ra

dian

]

0.0

5.0e-26

1.0e-25

1.5e-25

2.0e-25

2.5e-25

3.0e-25

0.01 MeV0.1 MeV1 MeV10 MeV

Ut fra K-N kan man også f.eks. finne vinkelfordelingen til de spredte elektronene:

ϕθ+θ

ν+

Ωσ

=

ϕθ

ϕπθπ

Ωσ

=ΩΩ

Ωσ

=

Ωσ

γ

γ

γ

γ

32

ee

sin)cos1(sin

)mc/h(11

dd

dd

sin2sin2

dd

dd

dd

dd

der dΩγ/dΩe finnes ved hjelp av relasjonen mellom spredningsvinklene θ og ϕ vist

tidligere (indeks e viser til elektronet, og γ til fotonet). Utrykket ovenfor kan

bearbeides til det ender opp slik vist i Attix (s.135).

Videre kan også tverrsnittet for at det spredte fotonet skal ha energi i

intervallet [hνut, hνut+ d(hνut)] beregnes:

ν

−

νν

−+−νν

+νν

νπ

=

νθ

θπΩσ

=νΩ

Ωσ

=νσ

22e

utut

ut2

2e

2e

ututut

hcm1

hh11

hh

hh

)h(cmr

)h(ddsin2

dd

)h(dd

dd

)h(dd

Dette utrykket beskriver spekteret av de spredte fotonene, og er plottet i figuren

nedenfor.


Fotonenergi, hνut [MeV]

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

d σ/d

(hν u

t) [c

m2 /M

eV]

0.0

2.0e-25

4.0e-25

6.0e-25

8.0e-25

1.0e-24

1.2e-24

1.4e-24

1.6e-24

1.8e-24

hν=1 MeV

hν=0.5 MeV

Toppunktet i lavenergidelen av fotonspekteret ovenfor kalles “backscatter edge”, og

tilsvarer altså at fotonet er spredd 180° i forhold til innfallsretningen. I tillegg vil,

spesielt for lave fotonenergier, spekteret ha en tydelig topp ved maksimalenergien, og

denne kalles “Compton edge”.

Fotonabsorpsjon

Fotonabsorpsjon er generelt reaksjoner der fotonet i sin helhet absorberes av et

atomært/molekylært/nukleært system. Systemet vil, ved tilførsel av energi, forsøke å

kvitte seg med dette via forskjellige mekanismer. Dette kan være utsending av et

elektron (ved fotoelektrisk effekt) eller kjernepartikler (ved fotonukleære prosesser),

eller deeksitasjoner (ved absorpsjon av lavenergetiske fotoner).

Generelt kan vi betrakte fotonabsorpsjon som en prosess der et foton (γ)

absorberes av en “partikkel” X. Resultatet kan tenkes å være at X sender ut en

partikkel b, og X blir dermed forandret til en ny partikkel Y. Vi setter opp likninger

for bevaring av (relativistisk) energi og inpuls, der partikkel X antas være i ro før

støtet:


( ) ( ) ( ) ( ))0p(ppp

cpcmcpcmcmhEEEh

XYbh

2b

22b

2Y

22Y

2XbYX

rrrrr=+=

+++=+ν⇔+=+ν

ν

Vi ønsker nå å finne et utrykk for terskelverdien for en fotonabsorpsjonsreaksjon, dvs.

den minimale energien et foton kan ha for å absorberes av systemet (eller

“partikkelen”). Minimal overført energi innebærer i første omgang at

vinkelspredningen av partiklene Y og b er minimal, dvs. at p Ybh ppmin

+=ν . Hvis vi

videre antar at b og Y står i ro i massesentersystemet (med hastighet vCM i

labsystemet), vil impulsen (i labsystemet) fordeles i forhold til massene:

( )

min min

min

b CM Y CM

b Yb h Y

b Y b Y

min h

22 2 4min X min b Y

v v , v vm mp p , p

m m m mh p c

h m c (h ) m m c

ν ν

ν

= =

⇒ = =+ +

ν =

⇒ ν + = ν + +

hp

Vi kan videre kvadrere likningssettet, og får:

( ) ( )( ) ( )

( )

−++−+=ν⇒

+=+ν⇒

++ν=+ν

2X

2X

2Y

2b2

X2

Y2

bmin

42Yb

22X

2Xmin

42Yb

2min

22Xmin

cm2cmcmcm1cmcmcmh

cmmcmcmh2

cmm)h(cmh

Vi ser dermed at terskelverdien for fotonabsorpsjon overstiger differansen i hvilenergi

mellom de tre partiklene som inngår i regnskapet. Dette skyldes at rekylen til den

absorberende partikkelen gir et bidrag til energiregnskapet, hvilket kan være lite eller

stort, alt ettersom hvilke prosesser vi studerer. Betydningen av disse utledningene bør

bli klarere etterhvert.


Fotoelektrisk effekt

Fotoelektrisk effekt er en prosess der fotonet absorberes av et atom/molekyl, der

sistnevnte vil eksiteres eller ioniseres. Generelt kan vi betrakte en fotoabsorpsjons-

reaksjon som X + γ→e- + X+, der X er det absorberende atomet, γ det inkommende

fotonet, e- er det eventuelle utgående elektronet fra systemet, og X+ er det ioniserte

atomet:

e- θ

γ

X+X

Bindingsenergien til elektronet som forlater atomet X, vil nå tilsvare differansen i

hvileenergi mellom de tre partiklene:

+=ν⇒

=−+ +

2X

min

2X

2X

2e

cm2BE1BEh

BEcmcmcm

Siden elektroniske bindingsenergier er i størrelseorden eV→keV, og hvileenergier for

atomer er fra MeV→GeV, vil bidraget fra rekylen til atomkjernen være neglisjerbar

for fotoelektrisk effekt. Hvileenergiene ser vi representerer et generelt

energiregnskap, siden det vi spør om er hvor mye energi man har før og etter

reaksjonen. Bindingsenergien vil dermed komme inn som en vesentlig størrelse her.

Vi kan nå gå tilbake Hamiltonoperatoren vist i de generelle betrakningene om

foton-vekselvirkninger, og se på utrykket:

Apme'H

e

rr⋅=

Dette vil være den perturberende Hamiltonoperatoren i tilfellet fotoelektrisk effekt,

som altså beskriver en vekselvirkning mellom den innkommende bølgen og det

utgående elektronet (atomet antas være i ro før og etter støtet). Hemmer har i


“Kvantemekanikk” behandlet utledningen av tverrsnittet for fotoelektrisk relativt

utførlig, og denne utledningen kommer kun til å skisseres her.

Det inkommende fotonet beskrives ved en planbølge gitt ved vektorfeltet

)trk(i

0 eAA ω−⋅ε=rrrr

og det utgående elektronet representeres ved bølgen:

h

rr /rpie ⋅∼ψ

Det antas nå at elektronet er i en sfærisk-symmetrisk s-tilstand før absorbsjonen, og

ved hjelp av tidsavhengig perturbasjonsteori på leddet Aprr⋅ fremkommer tverrsnittet

på formen:

420

230

3e0

32

Zqa1

pZa

cmpe8

dd

+

⋅ε

ωπε=

Ωσ

rr

h

a0 er Bohrradien til elektronet i den gitte tilstanden, p er impulsen til elektronet, og q

er impulsoverføringen:

kpqr

h

rr

−=

der kr

representerer forplantingsretningen til fotonet, som for vår planbølge står 90°

på polarisjonsretningen . Ved å anta at bindingsenergien er neglisjerbar i forhold til

foton- og elektronenergien, foreta noen vinkelbetrakninger, og anta at p<<m

εr

ec, fås:

θ+θ

ν

α=Ωσ cos

cmp41sin

hcmZr22

dd

e

22/72

e542e


der re og α er hhv. den klassiske elektronradiusen og finstrukturkonstanten. Dette

utrykket gjelder for upolariserte fotoner, dvs. at polariseringen av fotonfeltet er

isotrop. Som nevnt var bindingsenergien antatt neglisjerbar, slik at vi kan sette:

θ

ν+θ

ν

α=Ωσ

⇒

ν=⇒ν=

coscm

h241sinh

cmZr22dd

hm2phpm21

2e

22/72

e542e

e2

e

Vi har dermed det differensielle tverrsnittet for fotoelektrisk effekt utrykt ved fotonets

(eller alternativt elektronets) energi og elektronets spredningsvinkel. Det differensielle

tverrsnittet mhp. spredningsvinkelen θ finner vi på vanlig måte:

Ωσ

θπ=θσ

ddsin2

dd

Vi ser at tverrsnittet avhenger av Z5, dvs. at fotoelektrisk effekt avhenger sterkt av

absorbatorens atomnummer. Dette tverrsnittet er beregnet for elektroner i K-skallet,

og for elektroner med høyere kvantetall vil den effektive kjerneladningen som disse

opplever være mindre. Dette fordi innenforliggende elektroner kan tenkes å skjerme

for kjernen. Dermed vil det effektive tverrsnittet avhenge av Z i en lavere potens enn

5, og Attix oppgir at denne ligger mellom 4 og 4.6. I tillegg avtar tverrsnittet med

energien i -7/2, hvilket forteller at lave fotonenergier gir størst sannsynlighet for

fotonabsorpsjon. Tverrsnittet går mot uendelig når fotonenergien går mot null, men en

av antagelsene ved utledningen av tverrsnittet var at bindingsenergien er neglisjerbar,

hvilket naturlig nok ikke er tilfellet. Feilen på tverrsnittet blir dermed større ved lave

energier. I tillegg var det antatt at elektronet oppholdt seg i et s-type orbital, hvilket

også kunne vært et p, d,f ...-orbital. En god (=tidkrevende) øvelse kan være å sette inn

andre typer orbitaler i Hemmers integralutregning, og se på formen på tverrsnittet!

Nedenfor er tverrsnittet differensiert mhp. elektronvinkelen θ vist i et

polardiagram, og det fremgår at utsendelsen av elektronet blir mer fremoverrettet

ettersom fotonenergien øker. Merk at det differensielle tverrsnittet er normert etter det


totale tverrsnittet, hvilket innebærer at arealet innen hver lobe er konstant i figuren.

Ellers ville loben for 1 keV dominere totalt, ettersom tverrsnittet faller med (hν)-7/2.

Fotoelektrisk tverrsnitt (dσ/dθ)/σ

0.00 0.01 0.02 0.03 0.040.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.000.010.020.030.040.00

0.01

0

30

60

90

120

150

180

1 keV50 keV100 keV

Som følge av fotonabsorpsjonen, vil det ioniserte atomet ha en vakans i

orbitalet (“skallet”) som det utsendte elektronet befant seg i. Dette vil umiddelbart

besettes av et elektron med høyere kvantetall, hvilket innebærer en reduksjon av

tilstandsenergien til det atomære systemet. Overskuddenergien kan atomet kvitte seg

med på flere måter, og en mulighet er utsendelse av såkalte fluorescerende

røntgenstråler. Disse vil ha en energi svarende til differansen i tilstandsenergi mellom

de nivåene elektronovergangen til vakansen foregår. Ettersom dette vil være skarpe

overganger, vil røntgenstrålene ha energi hνK ved overganger L- til K-skallet, hνL fra

M til L-skallet osv. Sannsyligheten for utsendelsen av slike fotoner er gitt ved det

såkalte flourescerende utbyttet (“fluorescence yield”), og kalles hhv. YK og YL.

Videre finnes det en størrelse som heter “fractional participation”, der pK eller pL er

andelen av K- eller L-elektroner som sendes ut etter fotoabsorpsjonen. Som en liten

digresjon innser vi at i utgangspunktet monoenergetiske fotoner, som penetrerer et

tenkt materiale, dermed blir et større og større spekter av primære, spredte og

karakteristiske/flourescerende fotoner ettersom penetrasjondypet øker.

Auger-effekten er en prosess der atomet etter ionisasjonen og eventuell

utsendelse av fluorescerende røntgenstråler, bruker resten av overskuddsenergien til å

sende ut et elektron fra en av de ytre skallene i atomet. Dette er en et alternativ

mekanisme til flourescerende røntgenstråler. I tillegg til elektronet, som i


utgangspunktet sendes ut ved fotoelektrisk effekt, kan dette altså akkompagneres av

lavenergetiske Auger-elektroner. Attix behandler Auger-effekten og tilliggende

temaer veldig nøye, men vi skal ikke gå nærmere inn på dette for øyeblikket.

Pardannelse

Pardannelse er en prosess der et elektron-positron par skapes av et foton i det

elektriske feltet fra en kjerne eller et elektron:

γ

e-

e+

Denne prosessen kan kun skje i nærheten av en ladd partikkel, som igjen må kunne ta

opp en viss bevegelsesmengde for at energi og impuls skal bevares. Hvis vi går

tilbake til vårt energiregnskap for beregning av terskelverdien for absorpsjon av det

inkommende fotonet, vil vi ha tre partikler som inngår:

+−

+−

++=

++=+ν

ν eeXh

eeXX

pp'pp

EE'EEhrrrr

Kjernen eller elektronet, som bidrar med sitt elektriske felt til pardannelsen, får en

økning i impuls, slik at EX etter fotonabsorpsjonen er gitt en merket-notasjon. Husk at

denne partikkelen antas å være i ro før støtet. Alle de argumentene som ble brukt

tidligere, slik som at partiklene står i ro i massesenteret, brukes også nå.

Terskelverdien for pardannelse blir dermed:

( )

−+++−++=ν

+−

+− 2X

2X

2X

2e

2e2

X2

X2

e2

emin cm2cmcmcmcm

1cmcmcmcmh


+=ν⇒

== +−

2X

2e2

emin

2e

2e

2e

cmcm1cm2h

cmcmcm

Vi ser at for et pardannelse i feltet fra f.eks. et proton blir terskelverdien for prosessen

kun 0.05% høyere enn 2mec2=1.022MeV. Hvis pardannelsen derimot skjer i feltet fra

et atomært elektron, vil terskelverdien bli 4mec2 (siden mX=me). Dette fordi elektronet

kan ta opp mer av fotonimpulsen enn en tyngre atomkjerne. Pardannelse i feltet fra et

elektron kalles dermed ofte triplettdannelse, ettersom det atomære elektronet får en

rekylenergi slik at det løsrives fra sin atomære tilstand. Totalt fås dermed tre frie

partikler etter fotonabsorpsjonen; to elektroner og et positron (selv om det ene

elektronet altså ikke er “skapt”).

Energien fra fotonet fordeles mellom elektronet og positronet

(+rekylpartikkelen), og det er mest sannsynlig at de har lik kinetisk energi. Tverrsnitt

for pardannelse/triplettdannelse har generelt en meget komplisert form. Bethe og

Heitler utledet et utrykk, som for fotonenergier mellom ca. 8 og 15 MeV tar formen:

−

να=σ

27218

cmh2ln

928Zr 2

e

22epd

som viser at tverrsnittet øker svakt med fotonenergien og med kvadratet av

atomnummeret. Dette er altså et atomært tverrsnitt, ettersom pardannelsen skjer i

feltet fra en kjerne. Hvis triplettdannelse skal inkluderes i tverrsnittet, kan Z2

approksimativt erstattes med Z(Z+0.8).

Nedenfor har vi plottet (tabulerte) tverrsnitt for par- og triplettdannelse separat

som funksjon av fotonenergi. Tverrsnittet er dividert med Z2 for pardannelse, slik at

Z- avhengigheten kun vil vises som en screening-effekt. Dette er, som nevnt tidligere,

skjerming av kjerneladningen av omkringliggende elektroner. Jo flere elektroner som

skjermer for kjernen, dess mindre blir den effektive kjerneladningen i tverrsnittet.

Videre er tverrsnittet for triplettdannelse dividert med Z, ettersom hvert atom bidrar

med Z elektroner til tverrsnittet for denne prosessen. Sannsynligheten for

triplettdannelse per elektron er naturlig nok uavhengig av atomnummeret.


Fotonenergi, hν [MeV]

1 10 100

Ato

mæ

rt tv

errs

nitt,

σpd

/Z2 [c

m2 ]

0

1e-27

2e-27

3e-27

4e-27

5e-27

6e-27

C (Z=6)Al (Z=13)Cu (Z=29)Pb (Z=82)Triplettdannelse (σtd/Z)

Vinkelspredningen av elektronet og positronet er generelt fremoverrettet, og denne

effekten øker med fotonenergien. En tommelfingerregel er at rms-vinkelen til disse

partiklene ved høye fotonenergier er:

2e

2e

2/

0

2

rms cmTcm

ddd

+≈

σ

θθσ

θ=θ

∫π

T er den midlere energien som overføres til positronet eller elektronet, og ved å anta

at den kinetiske energien til kjernen er neglisjerbar, vil denne være:

2

cm2hT2

e−ν=


Fotonukleære prosesser

En fotonukleær absorpsjon er en reaksjon der et foton absorberes av en atomkjerne,

som deretter sender ut minst en kjernepartikkel. Denne prosessen kalles noen ganger

fotodisintegrasjon. En (γ, n)-reaksjon er for eksempel en prosess der fotonet absoberes

og et nøytron sendes ut fra den eksiterte kjernen. For slike typer vekselvirkninger kan

man bruke relasjonene vi fant for utregning av terskelverdier for fotonabsorpsjon.

Disse terskelverdiene avhenger av bindingsstrukturen i de respektive atomkjernene,

og er i størrelsesorden MeV. Tverrsnittet for disse reaksjonene er vanligvis mye

lavere enn for fotonvekselvirkningene nevnt tidligere. Undertegnede skal forsøke å

finne fram noen illustrative eksempler på tverrsnitt etterhvert!

Problemet med fotonukleære prosesser i stråleterapi er aktiveringsproduktene

som dannes under strålebehandlingen. Ustabile atomer i luft og bestrålingsapparatur

kan utgjøre et strålevernmessig problem. De mest relevante aktiveringsproduktene er

nøytronemittere, siden nøytroner kan ha en ganske lang rekkevidde.

Størrelser relatert til fotonspredning- og absorpsjon

Tverrsnitt er i vår sammenheng en størrelse som i utgangspunktet relateres til

atomer/molekyler eller elektroner. I et gitt stoff med en viss tetthet, vil tverrsnittet per

vektenhet fortelle om tettheten av “targets” i absorbatoren. Denne størrelsen kalles

masse-attenueringskoeffesienten, og er definert ved:

aA

Aσ

ρN

=µ

der σa er det atomære tverrsnittet, og NA/A er antall atomer per gram av absorbatoren.

Hvis man opererer med elektroniske tverrsnitt, slik som f.eks. Klein-Nishina, vil vi ha

at

eA

AZN

σ=ρµ


der σe er det elektroniske tverrsnittet, og atomet har Z elektroner.

Attix har innført en nomenklatur som er ganske praktisk når man ser på totale

tverrsnitt. Det totale tverrsnittet for et foton vil naturlig nok være summen av

tverrsnittene for alle de mulige vekselvirkningene, slik at:

ρσ

+ρκ

+ρσ

+ρτ

=ρµ R

der Attix definerer τ, σ, κ, σR som hhv. tverrsnittet for fotoelektrisk effekt,

comptonspredning, par- og triplettdannelse og Rayleighspredning. Nedenfor er det

totale tverrsnittet plottet for et utvalg av stoffer, der bidraget fra de forskjellige typene

vekselvirkninger fremkommer.

I de forskjellige vekselvirkningene kan fotonet tilføre atomet mer eller mindre

av sin energi, og dette gis av energiregnskapet for prosessen. Fraksjonen av overført

energi til ladde partikler blir:

νh

T

der T er den midlere kinetiske energien gitt til den (eller de) ladde partiklene som

frigjøres i prosessen. Tverrsnittet per vektenhet for at fraksjonen skal overføres til

atomet, eller masse-energioverføringskoeffesienten, blir dermed:

ν

−νρκ

+νρ

σ+

νν−ν−ν

ρτ

=νρ

µ=

ρµ

hcm2h

hT

hhYphYph

hT 2

eLLLKKKtr

Rayleighspredning vil ikke inngå her, ettersom denne prosessen ikke innebærer

overføring av energi. For fotoelektrisk effekt vil noe av fotonenergien omdannes til

karakteristisk K,L,M...-stråling, slik at dette må subtraheres fra utgangsenergien til

fotonet.


Energi [MeV]

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Mas

se-a

ttenu

erin

gsko

effe

sien

t [cm

2 /g]

10-9

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

RayleighComptonFotoelektriskPar- og triplettdannelseTotal

Oksygen (Z=8)

Energi [MeV]

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Mas

se-a

ttenu

erin

gsko

effe

sien

t [cm

2 /g]

10-8

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

Kobber (Z=29)

Energi [MeV]

0.001 0.01 0.1 1 10 100

Mas

se-a

ttenu

erin

gsko

effe

sien

t [cm

2 /g]

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

Uran (Z=92)


Videre skal vi definere en størrelse som blir mer interessant når vi nærmer oss

dosimetriske problemstillinger. Hvis de sekundære, ladde partiklene gir opphav til nye

fotoner, vil disse fotonene frakte energi bort fra det opprinnelige

vekselvirkningspunktet. Hvis vi definerer størrelsen g som fraksjonen av de

sekundære ladde partiklenes kinetiske energi som forsvinner som strålingstap, vil

masse-energiabsorpsjons-koeffesienten være definert ved:

)g1(tren −ρµ

=ρµ

For lavenergetiske fotoner vil g være nær null, ettersom bremsestrålingstapet er

minimalt ved lave elektronverdier.

Braggs regel kan også anvendes på attenueringskoeffesienten til molekyler

eller stoffer med kjent sammensetning:

∑

ρµ

=ρµ

i iiw

der wi er vektfraksjonen til de respektive atomene i stoffet. Denne regelen kan også

anvendes på masse-energioverføringskoeffesienten. Denne er ikke direkte anvendbar

for masse-energiabsorpsjonskoeffesienten, ettersom denne er definert ut fra hvordan

ladde partikler taper energi i forskjellige stoffer. Fotonene vekselvirker med

enkeltvise atomer/molekyler, mens de ladde partiklene vil kontinuerlig vekselvirke

ettersom den beveger seg fra sitt utgangspunkt. Dermed kan strålingstapet fra disse

komme fra andre enheter enn utgangsatomet, som faktoren g er definert for.

Et foton beveger gjennom et infinitesimalt linjestykke dx av et gitt materiale.

Vi døper sannsynligheten for vekselvirkning per lengdeenhet til µ. For et stråleknippe

av N fotoner, har vi at antall fotoner som har gått tapt i sin ferd gjennom linjestykket

er:

x0eNNdxNdN

µ−=⇒

µ−=


der N0 er antall partikler som går inn i linjestykket. Dette utrykket refereres ofte til

som Lamberts lov, og µ kalles den lineære attenueringskoeffesienten. Det er muligens

ikke opplagt hvordan denne størrelsen oppstår i forbindelse med resonnementene om

tverrsnitt ovenfor. Hvis σa er det atomære tverrsnittet for en vekselvirkning, og antall

atomer per volumenhet er nV (=n/V), vil “tverrsnittstettheten” bli σanV. For et

linjestykke med tykkelse x, har vi at:

S

nxSxnx

Vnxn a

aaaVσ

=σ=σ=σ

der S er arealet av flaten som penetreres, og x er tykkelsen. σa/S er forholdet mellom

det atomære tverrsnittet og flatens fysiske utstrekning, og denne tilsvarer

sannsynligheten for et “treff” (dvs. vekselvirkning). σa/V blir dermed sannsynligheten

per lengdeenhet. Multiplisert med n atomer innenfor linjestykket, fås den totale

sannsynligheten for vekselvirkning per lengdenhet, hvilket vi har definert som µ.

Dermed har vi:

aA

aA

aV AN

ANn σ=

ρµ

⇒σρ=σ=µ


4. Nøytronvekselvirkninger

Nøytroner er elementærpartikler uten ladning, og vekselvirker kun med materie via

kjernereaksjoner. Slike reaksjoner kan enkelt skrives:

bYnX +→+

eller alternativt . Aktuelle vekselvirkninger mellom nøytroner og kjerner er

elastisk eller inelastisk spredning, og proton- eller γ-produksjon etter innfanging/

absorpsjon.

Y)b,n(X

Hvis nøytroner er i termisk likevekt med sine omgivelser, kaller vi disse for

termiske (“thermal”) nøytroner. Den midlere kinetiske energien til slike nøytroner

skal i dette tilfellet tilsvare Boltzman-faktoren:

kTmv21 2 ≈

Den kinetiske energien til termiske nøytroner ved 20°C blir dermed 0.025eV, hvilket

tilsvarer en hastighet på 2200 m/s. Man deler gjerne nøytroner inn etter

energiområder:

Type Energiområde

Kalde eller termiske nøytroner ≤ 0.025 eV

Langsomme nøytroner 0.025 eV < T < 1 keV

Intermediære nøytroner 1 keV < T < 0.5 MeV

Raske nøytroner 0.5 MeV < T < 10 MeV

Høyenergetiske nøytroner 10 MeV < T

Elastisk spredning mellom nøytroner og atomkjerner er en viktig type vekselvirkning,

spesielt i det intermediære energiområdet. Vi husker fra betrakningene gjort for

elastisk spredning mellom ladde partikler, at forholdet mellom massene til de to

partiklene vil bestemme hvor mye energi som kan overføres i en vekselvirkning.


vr

nvr

AvrχmAmn 2

12 1 θ

Hastigheten til de partiklene etter støtet var gitt ved:

χ+

−=χ+

=⇒

≈

22nA

nA

cos)1A(

A41vv,cosv1A

2v

Amm

Maksimalt overført energi tilsvarer når χ=0° (og dermed θ=180°, tilbakespredning),

og vi får:

00

2

maks0min

022

AAmaks

TT1A1AETT

T)1A(

A4vm21

E

α=

+−

=−=⇒

+==

Vi ser at hvis nøytronet spres elastisk mot et proton, kan dette tape all sin energi i

vekselvirkningen. Energioverføringen blir mindre ettersom kjernens atomnummer

øker. Ut fra relativt enkle betrakninger kan man vise at den gjennomsnittlige energien

til et nøytron etter k spredninger er

αα−

α+=ξ= ξ− ln

11,eTT k

0k

For et 2 MeV nøytron som elastisk bremses ned til termisk energi (0.025 eV), trengs i

gjennomsnitt kun 18 kollisjoner med et proton, mot 115 for 12C.

Elastisk spredning kalles gjerne for nøytronmoderering, ettersom effekten av

absorbatoren er å redusere (modere) den effektive nøytronenergien til strålefeltet.

Effektive moderatorer er gjerne stoffer som inneholder mye hydrogen (f.eks. vann),

og der sannsynligheten for absorpsjonsprosesser er liten.

Det kan i utgangspunktet defineres to typer elastisk spredning.

Potensialspredning skyldes en regelrett refleksjon på kjernes overflate (p.g.a. sterke

kjernekrefter). Resonansspredning tenkes å skje ved at nøytronet, eller rettere sagt en


tenkt nøytronbølge, går inn i kjernen og spres deretter ut igjen. I dette tilfellet må

nøytronenergien være såpass høy at transiente kjernetilstander kan skapes (dvs. i

størrelsesorden MeV). Forståelsen av dette fenomenet er beslektet med koherent

spredning av fotoner.

Generelt kan nøytronspredninger ved lave energier (opp til noen MeV)

beskrives ved hjelp av den såkalte partialbølgemetoden (se f.eks. Hemmers

Kvantefysikk). Her representeres nøytronet med en bølge, der bølgelengden er gitt

ved de Broglie-bølgelengden

mvh

ph≈=λ

I denne metoden utrykkes den spredte bølgen ved hjelp av Legendre-polynomer (Pl).

En reduksjon i bølgens amplitude betyr en viss sannsynlighet for absorpsjon, mens et

faseskift indikerer en spredning. Hvis både faseskift og amplitudereduksjon has,

innebærer dette en inelastisk spredning. For at metoden skal være praktisk anvendbar,

må den benyttes på tilfeller der et lite antall av slike polynomer er tilstrekkelig for å

beskrive den fysikalske situasjonen. Typisk kan man si at for bølgelengder mye større

en kjernens utstrekning, kan første ledd i Legendre-utviklingen brukes, hvilket

tilsvarer såkalte s-bølger. Ved hjelp av betrakinger i massesenteret til de spredte

partiklene, er det mulig å finne en ganske enkel form på spredningstverrsnittet.

Spredning av s-bølger vil være uavhengig av energien, og man kan ofte se at

tverrsnittet for reelle stoffer er ganske konstant ved lave energier. Det viser seg at

tverrsnittet for potensialspredning opp til ca. 1 MeV blir

2ps R4π=σ

der R er kjernens effektive utstrekning. Dette er 4 ganger mer en det klassiske

tverrsnittet, hvilket visstnok kan tolkes som en interferens-effekt. Nedenfor vises

tverrsnittet for nøytronvekselvirkning med 27Al, og det fremgår at elastisk s-type

potensialspredning dominerer opp til ca. 10 keV.


Vinkelfordelingen som følge av s-bølgespredningen lar seg også utlede relativt enkelt.

Nedenfor er er en slik fordeling plottet i et polardiagram.


Absorpsjon av nøytroner er avhengig av energiregnskapet, dvs. hva slags

kjerne som skapes, hvilke(n) partikler som sendes ut og med hva slags kinetisk energi.

Ved absorpsjon dannes en såkalt compound-kjerne, som er kortlivet og vil

desintegrere med utsendelse av enten fotoner eller andre partikler. For reaksjoner som

skjer ved lave nøytronenergier (opp mot keV), kan man vise at tverrsnittet går som

v1

ab ∼σ

Denne avhengigheten vil ofte overskygges av såkalte resonanser. Dette inntreffer når

energien til nøytronet "eksakt" svarer til eksitasjonsenergien til compound-kjernen.

Sannsynligheten for innfanging er i disse tilfellene veldig høy. Noen eksempler på

absorpsjonsreaksjoner er 3He(n,p)3H, 6Li(n,α)3H, 14N(n,p)14C og 10B(n,α)6Li.

Nedenfor er tverrsnittet for absorpsjonsreaksjoner ved lave energier i forskjellige

grunnstoffer vist.

Inelastisk spredning innebærer at nøytronet taper litt av sin energi i

spredningsprosessen, og der re-emitteringen av nøytronet fra compound-kjernen

akkompagneres av andre partikler, f.eks. fotoner eller protoner. Terskelverdien for en


(n,nγ) er gjerne ca. 0.5 MeV. Ved høye energier (> 10 MeV) kan ofte mer enn en

partikkel emitteres, f.eks. (n,2n).

Til slutt har vi, spesielt for tunge kjerner, også muligheten for fisjon, der

nøytronet absorberes og en kjernespalting finner sted. Ved fisjon av 235U vil, i tillegg

til dannelsen av kjernefragmenter, i gjennomsnitt 2.4 nøytroner og en energi på rundt

200 MeV frigjøres. Fisjon kan også skje med lettere kjerner, men da må den kinetiske

energien til nøytronet være veldig høy (>50 MeV).

Nøytroner har vært brukt i behandlinger av kreftpasienter, ettersom disse setter

igang tunge, ladde partikler som avsetter energien sin veldig lokalt (i forhold til

elektroner). Det benyttes gjerne en partikkelaksellerator (se notater om syklotron), der

man lar partikkelstrømmen (f.eks. av protoner) treffe et target med høyt tverrsnitt for

(p,n)-reaksjoner. Nøytronfeltet er alltid kontaminert av høyenergetiske fotoner,

hvilket innebærer at doseavsetningen blir relativt kompleks.


5. Beskrivelse av strålefelt

Når vi snakker om et strålefelt, tenker vi oss et felt av ioniserende partikler med en

spesiell energi- og retningsfordeling. Vi definerer en infinitesimal kule med tversnitt

dA. Av N partikler i et generelt strålefelt, vil et visst antall dN treffe kulen. Fluensen

er nå definert som:

dAdN

=Φ

Fluensen vil dermed være antall partikler per flateenhet, og arealet dA kan tenkes å

stå normalt på enhver partikkels bevegelsesretning inn mot kulen. Fluensen er en

punktstørrelse, dvs. den kan defineres (evt. måles) hvor som helst i strålefeltet, og

skrives ofte som )r(r

Φ . Videre er fluensen en forventnings- eller middelverdi av et

generelt stokastisk strålefelt med en gitt fordelingsfunksjon i rom og tid. Vi kunne

dermed skrevet dA/Nd , der N er en middelverdi. Hvis strålefeltet er en komposisjon

av partikler med en diskret kinetisk energifordeling , kan vi skrive: n1iiT =

∑∑==

Φ==+⋅⋅⋅++=Φn

1i

in

1ii

n21 )T(NdAd

dA)T(dN

dA)T(dN

dA)T(dN

Hvis strålefeltet har en kontinuerlig energifordeling, vil den differensielle fluensen

(mhp. energi), dvs. antall partikler per flate per kinetisk energi i intervallet T+dT,

være:

dTd

TΦ

=Φ

Vi kan videre definere energifluensen, som kan tenkes på som energimengden som

passerer gjennom kulen per flateenhet:

∫ Φ=Ψ dTT T


som for et diskret spektrum gir

∑=

Φ=Ψn

1i

iiT

Energifluensen er dermed summen av alle partikkelenergier som treffer kulen per

arealenhet dA. Den differensielle energifluensen mhp. energi blir:

TT TΦ=Ψ

For tidsavhengige felter, og felter som har en romlig variasjon, bør

utgangspunktet være en fordelingsfunksjon som tar hensyn til alle disse variablene. Vi

definerer en differensiell fluxtetthet mhp. kinetisk energi (T), romvinkel (Ω) og tid (t):

dtdTdd3

t,,T ΩΦ

=Φ Ω

der romvinkelelementet er gitt i sfæriske koordinater ved:

ϕθθ=Ω ddsind

i et koordinatsystem definert nedenfor.

vr

z

y

x

θ

ϕ

dΩ


vr gir retningen til den inkommende partikkelen i forhold til det gitte aksesystemet.

Fluensen blir dermed:

∫∫∫ ΩΦ=Φ Ω dtdTdt,,T

og energifluensen blir tilsvarende:

∫∫∫ ΩΦ=Ψ Ω dtdTdT t,,T

Til slutt blir den differensielle energifluensen mhp. kinetisk energi lik:

Tt,,TT TdtdTdTd

Φ=ΩΦ=Ψ

=Ψ ∫∫ Ω

Som et eksempel kan vi ta for oss et isotropt strålefelt, dvs. at alle romvinkler utgjort

av θ og ϕ er like sannsynlige innenfor den infinitesimale kulen vår. Dette innebærer at

den differensielle flukstettheten mhp. romvinkel, dvs. ΦΩ, blir konstant. Hvis vi

integrer over alle mulige vinkler ϕ, vil den differensielle fluensen mhp. θ bli:

∫π

θ

Ω

Φθπ=ϕΦθ=Φ=θΦ

⇒

Φ==ϕθθ

Φ=

ΩΦ

=Φ

2

0

00

02

sin2dsindd

.konstddsin

ddd

Fordelingsfunksjonene ΦΩ og Φθ er skissert i figuren nedenfor.


Isotropt strålefelt

Romvinkel, Ω

Vinkel, θ

Diff

eren

siel

l flu

ens (

rela

tive

enhe

ter)

0

1

2

3

4

5

6 ΦΩ

Φθ

0 2π 4π

π/3 2π/3 π0

Størrelsene ovenfor er egentlig utledet fra definisjonen av radians: for et

generelt felt av N partikler med kinetisk energi T og retning definert av romvinkelen

Ω i punktet definert av rr , er den differensielle radiansen mhp. energi:

⊥Ω

Ω==

dAdtdTd)r,,T,t(Nd

dT)r(p)r(p

4

T

rrr

)r(pTr blir dermed forventningsverdien av antall partikler som passerer et punkt rr per

intervall av de fire variablene definert ovenfor, der står normalt på hver enkelt

partikkels bevegelsesretning

⊥dA

v/vrr=Ω . Hvordan fluensen og energifluensen uttrykkes

ved radiansen, kan være igjen som en enkel øvelse.

For å eksemplifisere dette med fluens og energifluens, må vi nødvendigvis ta

noen begivenheter på forskudd. Fotonspekteret som fås fra et røntgenapparat består av

bremsestrålingsfotoner fra elektroner under nedbremsing, i tillegg til karakteristisk

stråling fra target-materialet. Spekteret kan måles ved en proporsjonalteller

(”proportional counter”), der styrken på pulsen som skapes i måleanretningens

sensitive volum er proporsjonal med det inkommende fotonets energi. Hvis styrken


på pulsene (pulshøyden) ordnes i stigende kanalnummer, presenteres ofte spekteret

som intensitet (antall pulser) per energiintervall som funksjon av energi (dvs.

kanalnummer). Antall pulser i et gitt kanalnummer vil være proporsjonalt med antallet

fotoner med svarende energi. Røntgenspekteret blir dermed et relativt mål på den

differensielle fluensen mhp. energi, Φhν. Hvis spekteret er gitt som strålingsenergi

(pulshøyde multiplisert med antall pulser) per energiintervall som funksjon av

fotonenergi, tilsvarer dette den differensielle energifluensen, Ψhν. Nedenfor er det gitt

et eksempel på hvordan forskjellen mellom differensiell fluens og energifluens vil

utarte seg for et fiktivt røntgenspektrum. Merk at grafene er normert etter hhv. Φ og

Ψ, dvs. at de viser:

ΨΨ

=νΦν

Φν=Ψ

ΦΦ

=νΦ

Φ=Φ ν

ν

ν

νν

νν

ν

νν

∫∫h

h

0h

hnormh

hh

0h

hnormh maxmax

)h(dh

h,)h(d

Ut fra de spektrale fordelingsfunksjonene kan man beregne forventnings-

verdier av størrelser som er inbefattet i fordelingene. Midlere fotonenergi blir f.eks.:

ΦΨ

=

νΦ

νΦν=>ν<

∫

∫ν

ν

ν

ν

Φ max

max

h

0h

h

0h

)h(d

)h(dhh

hvilket lett kan verifiseres i det monoenergetiske tilfellet. Merk at Φ>ν< h ikke er lik

middelenergien beregnet ut fra den differensielle energifluensen:

Φ

ν

ν

ν

ν

ν

ν

Ψ >ν≠<Ψ

νΦν=

νΨ

νΨν=>ν<

∫

∫

∫h

)h(d)h(

)h(d

)h(dhh

max

max

max h

0h

2

h

0h

h

0h

Ulikheten gjelder bortsett fra det nevnte monoenergetiske tilfellet. For de to

fordelingene nedenfor blir < =48 keV, mens Φ>νh Ψ>ν< h =54 keV.


Fiktivt røntgenspektrum(uten karakteristisk stråling fra target-materialet)

Fotonenergi, hν [keV]

0 20 40 60 80 100Diff

eren

siel

l flu

ens /

diff

eren

siel

l ene

rgifl

uens

(r

elat

ive

enhe

ter)

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

Φhν

Ψhν


6. Dosimetri for indirekte ioniserende stråling

Vi har i tidligere forelesninger snakket om ioniserende stråling og forskjellige typer

vekselvirkningsprosesser med materie. Disse vekselvirkningene vil medføre at en viss

energimengde avsettes i mediet som traverses, og denne energideponeringen vil

avhenge av stråletype, energi og absorbator. Noen størrelser som er viktige for

forståelsen av dosimetri skal først gjennomgås, før vi går over til mere praktisk

anvendbare teorier. Vi skal for det meste følge konvensjonene til F.H. Attix, men vær

oppmerksom på at det finnes mere kompliserte (og muligens mer korrekte) teorier for

dosimetri.

Den første størrelsen vi skal definere kalles overført energi (energy

transferred), εtr. Denne er, innenfor et tenkt volum V av en absorbator, definert som:

QRR rlu,outu,intr Σ+−=ε −

der Rin,u er den totale strålingsenergien fra partikler uten ladning (=fotoner eller

nøytroner) som går inn i volumet V og Rout,u-rl er strålingsenergien fra partikler uten

ladning som går ut av volumet V, bortsett fra de som oppstått som strålingstap (rl,

radiative loss) fra ladde partikler i V. ΣQ er energien som netto fås ut ved

konvertering av masse til energi eller vice versa. ΣQ er positiv hvis masse omformes

til energi (f.eks. positronannihilering), og negativ hvis energi går med til å skape

masse (f.eks. pardannelse). For et fotonfelt med kvantenergi lavere enn terskelverdien

1.022 MeV (2x elektronhvilemassen) for pardannelse, kan vi se bort i fra ΣQ. Dette

fordi ingen pardannelse kan skje, og ingen positroner kan dermed oppstå. εtr blir

dermed summen av den kinetiske energien til alle ladde partikler (i dette tilfellet

elektroner) som har blitt satt i bevegelse av fotonene. εtr er i utgamgspunktet en

stokastisk størrelse, nettopp fordi energioverføringene som skjer i volumet V er

stokastiske.


Vi kan nå definere en størrelse som kalles kerma, kinetic energy release per

mass unit:

dmdK trε=

der dm/d trε er forventingsverdien av overført energi per masseenhet av volumet V.

Det er, i følge Attix, legitimt å droppe middelverdi-notasjonen, fordi differensialet

indikerer en overgang fra en stokastisk til en ikke-stokastisk variabel. Jeg tror likevel

vi kommer til å skrive dm/trεd , slik at det ikke oppstår misforståelser. Kerma

tilsvarer den kinetiske energien til ”frigjorte” ladde partikler per masseenhet som

følge av vekselvirkninger mellom indirekte ioniserende stråling og den aktuelle

absorbatoren.

Se på et tynt sjikt med tykkelse x av absorbatoren:

Ψ

x

Fotonfeltet er karakterisert ved energifluensen Ψ, som for monoenergetiske fotoner

forenkles til Nhν/S, der N er antall fotoner og S er tverrsnittsarealet til det enkle feltet.

Sannsynligheten per lengdeenhet for at fotonet skal vekselvirke og gi en kinetisk

energi T til en ladd partikkel er, som vi husker, gitt ved energioverførings-

koeffesienten µtr. Overført energi blir nå:

xNh trtr νµ=ε

Ved å se bort fra differensialdefinisjonen av kerma, setter vi:


ρµ

Ψ=⇒

ρµΨ

=ρµΨ

=µΨ

=νµ

=ε

=

tr

trtrtrtrtr

K

SxxS

VxS

mxS

mxNh

mK

Dermed fås kerma til slutt som en funksjon av energifluensen og masse-

energioverføringskoeffesienten. Dette enkle resonnementet gir en forklaring på

overgangen mellom den formelle definisjonen av kerma og det mer anvendelige

sluttutrykket. Det er litt snodig at lærebøker ikke forsøker å bruke noe liknende som

en forklaring på hvordan kerma kan utrykkes ved energifluensen, men kanskje det

bare er undertegnede som er så treg at han ikke umiddelbart ser sammenhengen.

Hvis man har et spekter av fotoner, vil kerma’en gis av den differensielle

energifluensen:

∫ν

ν νρµ

Ψ=maxh

0

trh )h(dK

Ettersom energioverføringskoeffesienten avhenger av fotonenergien (i tillegg til

absorbatorens atomnummer), må denne has innenfor integraltegnet.

Kerma består altså av den kinetiske energien som er frigitt til ladde partikler,

og disse ladde partiklene kan igjen tape energi via i prinsippet to forskjellige typer

vekselvirkninger: kollisjonstap og strålingstap. Sistnevnte vil altså konvertere noe av

den kinetiske energien tilbake ”kvante”energi. Hvis vi snakker om små punktvolum,

vil disse bremsestrålingsfotonene ta med seg energi vekk fra det aktuelle området. Vi

definerer nå en størrelse som kalles netto overført energi ved:

QRR u,outu,inntr Σ+−=ε

der Rout,u nå er all strålingsenergi, for våre tilfeller kun i form av fotoner, som

transporteres ut av volumet. Vi sitter dermed igjen med den kinetiske energien til

sekundære elektroner som ikke går tapt ved bremsestrålingsgenerering. Ut fra dette er

det mulig å defrinere noe som kalles kollisjonskerma:


dmdK

ntr

cε

=

Men hvilken kjent størrelse kan denne relateres til? Vi husker energiabsorpsjons-

koeffesienten, og at denne var definert som

)g1(tren −ρµ

=ρµ

der g var fraksjonen av kinetisk energi til sekundærelektronene som forsvant ved

strålingstap. Kollisjonskerma blir, ved samme resonnement som for kerma, dermed:

K)g1(K trenc <

ρ−µ

Ψ=ρµ

Ψ=

For lavenergetiske fotoner i et medium med lavt atomnummer er strålingstapet veldig

lite, slik at Kc≈K med god tilnærmelse.

Til slutt skal vi definere kanskje den viktigste av størrelsene i denne

sammenhengen, nemlig absorbert energi (min oversettelse, eng.: energy imparted):

QRRRR c,outc,inu,outu,in Σ+−+−=ε

der Rin,c og Rout,c er strålingsenergien i form av kinetisk energi til ladde partikler som

som hhv. går inn og ut av volumet V. Denne størrelsen tar dermed hensyn til all

energiavsetning som skjer i volumet, og dosen avsatt defineres ved:

dmdD ε

=

Enheten til dose (og også kerma og kollisjonskerma) er Gy=J/kg. Men hvorfor har vi

gått gjennom definisjonen av kerma og kollisjonskerma når vi her sitter med et utrykk

som tydelig definerer dosen avsatt i det lille volumet vårt? Svaret ligger naturlig nok i

at det generelt er vanskelig å få et analytisk utrykk for dosen, siden vi ikke har noen


attenueringskoeffesienter som kan relateres til denne. Det finnes derimot en del

spesialtilfeller der dosen kan tilnærmes med kerma eller kollisjonskerma, og der de

sistnevnte størrelsene er veldig nyttige for forståelsen av doseproblematikkken. Vi

skal komme tilbake til dette litt senere.

En størrelse som er viktig innen dosimetri er den såkalte eksposisjonen

(exposure). Anta at vi har et luftfylt volum V som utsettes for et strålefelt. I dette

volumet vil det skapes en mengde positive og negative ioner, og antallet av enten

positive eller negative ladninger kalles Q. Eksposisjonen defineres dermed som antall

ladninger frigjort i volumet per massenhet, dvs:

dmdQX =

Q er i utgangspunktet en stokastisk variabel, men her dropper vi notasjonen om

forventningsverdi. Vi innser at mengden frigjorte ladninger må på en eller annen måte

være relatert til energiavsetningen, og vi definerer nå den midlere energien brukt i

gassen på å danne et ionepar som W

1

. Vi forestiller oss videre en fordeling av n

elektroner med kinetisk energi satt i gang av fotoner. Det energitapet i volumet

som går med til å skape ionepar vil være kollisjonstap, mens strålingstap ikke vil

bidra. Energien avsatt i gassvolumet som resulterer i ionepar blir dermed:

niiT =

∑=

−=n

1iiiip,tot )g1(TE

Antall ionepar som dannes fra et elektron med energi Ti kaller vi nå Ni. Sistnevnte kan

imidlertid også stamme fra bremsestrålingsfotoner som absorberes i volumet, og vi er

kun interessert i de ioneparene som dannes på grunn av kollisjonsvekselvirkninger.

Den reelle Ni blir dermed mindre, og vi kan definere (1−fi) som andelen ionepar som

skyldes kollisjonstap. Det totale antallet ionepar dannet ved kollisjonstap blir dermed:

∑=

−=n

1iiiip,tot )f1(NN


Attix velger å kalle fi for gi’, men sistnevnte er ikke et bremsetrålingstap, selv om

størrelsen blir en konsekvens av nettopp dette tapet. Til slutt kan man definere W

som:

∑

∑

=

=

−

−== n

1iii

n

1iii

ip,tot

ip,tot

)f1(N

)g1(T

NE

W

Eksperimentelt er denne bestemt til å være 33.97 eV/ionepar for elektroner satt i gang

i luft av høyenergetiske fotoner. Hvis den resulterende elektronenergien blir relativt

lav (i størrelsesorden noen keV), vil denne verdien bli høyere, ettersom den økte

ionisasjonstettheten rundt lavenergetiske elektroner kan føre til flere rekombinasjoner

mellom ioner. Elektronene må dermed avsette mer energi for å danne et ionepar, og

dette vil spesielt være aktuelt for tyngre ladde partikler, som har en mye høyere

ionisasjonstetthet (et mål på ioniasjonstettheten er som kjent stopping power).

Eksposisjonen i luft kan relateres til kollisjonskerma ved:

We

WeK

We

dmd

dmdQX en

c

ntr

ρµ

Ψ==ε

==

der W/e er ladning frigjort per energienhet. Husk at alle størrelser i vårt tilfelle er

oppgitt for luft. Det totale antall ladninger Q blir netto overført energi multiplisert

med ladning som dannes per energi nødvendig for å skape et ionepar. Ved å måle

antall ioner, f.eks. i et ionisasjonskammer, kan dermed et mål på kollisjonskerma’en i

luft fås.

Vi forlater eksposisjon foreløpig, og skal nå se på noen spesieltilfeller der dose

relativt enkelt kan relateres til kerma eller kollisjonskerma. Sentralt i dette

resonnementet står det som kalles ladd partikkellikelvekt, eller charged particle

equilibrium (CPE). Vi tar for oss et fotonfelt som treffer et ”stort” volum V, som igjen

innholder et ”lite” volum v:


v

V Fotoner

En ladd partikkelikevekt oppnås når antall ladde partikler av en gitt type og energi

som går inn i volumet v er lik antall partikler av samme type og energi som forlater v.

Angrensingene til volumene v og V antas være separert med en avstand som minst

tilsvarer rekkevidden til elektronene satt i gang innenfor V. Ladd partikkellikevekt vil

nå has i volumet v hvis følgende er oppfylt:

Volumet V har en homogen atomær komposisjon

Tettheten av mediet er homogent

Fotonfeltet må være uniformt over volumet, dvs. at ingen signifikant attenuering

kan finne sted.

Ingen inhomogene elektriske eller magnetiske felter kan være tilstede.

Vi skal ikke gå i detalj i disse punktene, men bare konstatere at visse betingelser må

oppfylles for at CPE oppnås.

v

CPE:

Ved å se på utrykket for absorbert energi, har vi (ΣQ sees for enkelthets skyld bort

fra):

c

CPE

trnu,outu,in

c,outc,in

c,outc,inu,outu,in

KD

RR

RR:CPERRRR

=⇔

ε=−=ε⇒

=

−+−=ε

Vi ser dermed at dosen blir lik kollisjonskerma hvis CPE er tilstede i det lille volumet.

Hvis vi har den samme fotonfluensen over to stoffer A og B med forskjellig atomær


komposisjon, og CPE eksisterer i begge tilfellene, kan forholdet i dose mellom de to

stoffene skrives som:

A

B

en

Ben

Aen

B,c

A,cCPE

B

A

c

CPEen

c

)/()/(

KK

DD

KD,K

ρµ

≡ρµρµ

==⇒

=ρµ

Ψ=

Denne relasjonen viser seg å være nyttig når doser i forskjellige medier skal beregnes,

men de mest kritiske betingelsene er altså fotonfeltet ikke opplever en signifikant

dempning, og at elektronrekkevidden er kort i forhold til volumenes diameter. For et

ionisasjonskammer der CPE er oppnådd, vil altså dosen til luft fremkomme ved:

eWXKD luft,c

CPE

luft ==

Når energien til det inkommende fotonfeltet øker, vil penetrasjonsevnen til de

resulterende ladde partiklene øke raskere enn penetrasjonsevnen til fotonene. Ved å se

på dempningen av en fotonstråle innenfor en maksimumsrekkevidde av

sekundærelektronet, fremkommer det fra tabellen nedenfor at en signifikant

fotonabsorpsjon inntreffer innenfor vårt lille volum v når fotonenergien er et sted

mellom 1 og 10 MeV (tabellen er hentet fra Attix).

Fotonenergi

(MeV)

Dempning (%) i vann innenfor

maksimal rekkevidde av

sekundærelektron

0.1 0

1 1

10 7

30 15

Dette innebærer at CPE ikke er tilstede i vann for energier høyere enn noen MeV. For

slike energier inntreffer imidlertid noe som kalles transient ladd partikkellikevekt


(transient charged particle equilibrium, TCPE). Denne sies å eksistere innenfor et gitt

område hvis dosen er proporsjonal med Kc, og der proporsjonalitetskonstanten er

større enn 1. Vi kan forestille oss at høyenergetiske elektroner satt i gang et sted før

det aktuelle volumet treffer dette, og gir en viss energiavsetning. Innenfor den

avstanden som elektronene har tilbakelagt, har imidlertid fotonfeltet blitt attenuert. I

det aktuelle volumet vårt blir det dermed satt i gang færre ladde partikler i forhold til

antallet som kommer inn ”upstream”. Vi har dermed at Rin,c>Rout,c, hvilket medfører

at D>Kc, og ved TCPE has:

1f,K fD TCPEcTCPE

TCPE>=

Faktoren fTCPE (min notasjon) beskriver altså proporsjonaliteten mellom dose og

kollisjonskerma ved TCPE. Nedenfor vises en figur fra Attix, der poenget med TCPE

kommer frem.


7. Dosimetri for ladde partikler

Før vi skal snakke om såkalt kavitetsteori, er det nødvending med noen betrakninger

rundt energiavsetning fra ladde partikler. Som vi husker, er stoppeevnen (stopping

power) det makroskopiske målet på slike energiavsetninger. Begrepet absorbert dose

ble definert under avsnittet om indirekte ioniserende stråling. For et ”rent” strålefelt

som kun består av ladde partikler, vil den absorberte energien (energy imparted) i et

volum V fremkomme som:

cc,outc,in RRR ∆=−=ε

der ∆Rc er differansen mellom strålingsenergien som transporteres inn og ut av

volumet (vi neglisjerer konvertering fra masse til energi og vice versa). Over et lite

volum vil energitapet fra ladde, energetiske partikler tilsvare kollisjons-stoppeevnen

multiplisert med avstanden som traverseres. Absorbert energi fra det primære

strålingsfeltet og medfølgende δ-elektroner blir dermed:

δ∆+

=∆=ε ∑ Rs

dxdTR

ii

i,cc

der Ti er kinetisk energi til en primær partikkel som treffer volumet, og som går en

(liten) sporlengde si gjennom volumet. Husk at indeksen c svarer til

kollisjonsvekselvirkninger (dvs. ikke strålingstap). ∆Rδ er differansen mellom

strålingsenergien transportert inn og ut av volumet med δ-elektroner. Hvis volumet er

omsluttet av et større og tilsvarende medium, kan man ofte anta δ-elektronlikevekt,

slik at ∆Rδ=0. Utrykket er gyldig hvis stoppeevnen ikke forandrer seg over volumet,

hvilket i praksis innebærer at volumet er lite eller at vi opererer med en gass.

Tδ2

s2 T2

s3 T3

T1 s1


Kravene om kort rekkevidde for δ-elektroner i forhold til volumets utstrekning og at

stoppeevnen samtidig skal forandre seg lite er, spesielt for elektroner, vanskelig å

oppnå. Maksimalt overført energi fra en tung kjerne til et elektron husker vi var gitt

ved:

2

22

2maks 1cm2E

β−β

=

hvilket innebærer relativt små energioverføringer i forhold til hvis primærpartikkelen

er et elektron. I dette tilfellet kan elektronet overføre all sin kinetiske energi. For

tunge, ladde partikler kan dermed δ-elektronlikevekt antas med god tilnærmelse i de

fleste tilfeller, mens strengere krav til bestrålingsbetingelsene må stilles hvis dette skal

gjelde for elektroner.

Se på en tynn folie med tykkelse ∆x som traverseres av en parallell

partikkelstråle:

∆x

Φ

Fluensen Φ er gitt ved i dette enkle tilfellet gitt ved N/S, der S er arealet strålen er

spredt over. Siden folien er “tynn”, antas det at stoppeevnen ikke forandrer seg

nevneverdig under bevegelsen. Hvis vi antar δ-partikkellikevekt (eller at δ-

rekkevidden er liten), og at partikkelstrålen ikke avbøyes signifikant gjennom ∆x, vil

dosen fremkomme som:

N

i 1 c,i c

1 dT N dTD xm m dx m dxN , m V S xS

=

ε = = ∆ = ∆

Φ = = ρ = ρ ∆

∑ x


cdxdTD

ρ

Φ=⇒

Dosen til folien fremkommer altså uavhengig av tykkelsen, så lenge man antar at

stoppeevnen forblir uforandret gjennom traverseringen. For materialer med lavt

effektivt atomnummer, vil elastisk spredning være relativt lite forekommende. I dette

tilfellet vil approksimasjonen gjennomført ovenfor også bli mer anvendelig for

elektroner. Hvis man har et mål på den midlere spredningsvinkelen θrms, og

sporlengden gjennom folien kalles s, blir dosen:

∆x

rmscc cos1

dxdT

xs

dxdTD

θ

ρ

Φ=∆

ρ

Φ=⇒

s

θrms

Samme utrykk kan selvfølgelig brukes hvis partikkelstrålen har en viss innfallsvinkel,

som kan substitueres med θrms.

Hvis folien som traverseres av den ladde partikkelen blir så tykk at

kollisjonsstoppeevnen forandrer seg signifikant, kan ikke lenger utrykkene ovenfor

benyttes for beregning av dosen. Hvis vi ser på en folie med tykkelse t, antas det at

energien til en ladd partikkel før den treffer folien har energi T0, og energi Tex når den

forlater folien:

T0

Lengden av folien vil, i CSDA-appr

0

ex

1T

T

dTx ddx

− ∆ = ∫ T

slik at Tex i utgangspunktet kan finn

FYS398 - Fysikk i stråleterapi. Versjon 1.1

∆x

Tex

oksimasjonen, tilsvare:

es analytisk ved å løse det bestemte integralet.

75

Tapet av kinetisk energi i volumet blir dermed:

ex0 TTT −=∆

Metoden for å løse denne problemstillingen i praksis, er å subtrahere rekkevidden til

de opprinnelige partiklene (dvs. med energi T0) med lengden ∆x, slik at den såkalte

residuale rekkevidden fås: resℜ

res

ex 0

x

T T

ℜ =ℜ−∆

b b

resℜ vil ha en svarende kinetisk energi Tex, som kan slås opp i passende tabellverk.

Dosen vil til slutt fremkomme, ved tilsvarende resonnement brukt tidligere, som:

Tt

D ∆ρΦ

=

Dette utrykket gjelder strengt tatt kun for tunge ladde partikler, ettersom volumet

ikke lenger antas å være “tynt”, og inelastisk spredning for elektroner vil øke

sporlengden. I tillegg antas det at bremsestrålingstapet er neglisjerbart, ettersom ∆T er

avhengig av den totale stoppeevnen. Ved å ta en omvei om det såkalte “radiation

yield” er det mulig å forbedre doseutrykket for elektroner, men vi skal ikke gå i detalj

rundt dette. Det viktigste er at man kjenner begrensingene på de antagelsene som er

gjort.


8. Kavitetsteori

Vi tar opp resonnementet om ladde partikler, og ser nå på et felt med partikler som

beveger seg over et grensesjikt mellom to typer medier. Det ene mediet er plassert

som et tynt lag mellom det andre. Vi behøver ikke anta noe om den atomære

sammensetningen til de tilstøtende stoffene, men det kan f.eks. være vann og luft. Det

antas at fluensen til det ladde partikkelfeltet ikke forandrer seg over grensesjiktet.

x k

x

Φ

Det tynne sjiktet kalles ofte for en kavitet, og vi døper det svarende mediet for k.

Stoffet rundt gassen kan vi kalle x, hvilket i det fleste situasjoner tilsvarer kavitetens

vegg. Vi antar at altså fluensen Φ ikke forandrer seg over kaviteten, og at kun ladde

partikler er ansvarlig for energiavsetningen i kaviteten. Dosen til gassen blir dermed:

ck

k dxdTD

ρ

Φ=

Hvis δ-partikler antas å være inkludert i fluensen, behøver man ikke anta noen form

for likevekt. Hvis kaviteten istedetfor hadde vært erstattet med materialet x, ville

dosen tilsvarende blitt:

cx

x dxdTD

ρ

Φ=


Forholdet i dose mellom de to mediene blir dermed:

cxk

ck

cx

k

x S

dxdTdx

dT

DD

=

ρ

Φ

ρ

Φ=

Forholdet mellom dosene er dermed gitt som ratioen mellom kollisjonsstoppeevnen i

de forskjellige mediene. Dette er den enkleste formen på det vi kaller Bragg-Gray-

relasjonen. De to kritiske antagelsene var altså:

Kaviteten må være så liten at den ikke perturberer partikkelfeltet.

Dosen avsatt i kaviteten stammer kun fra ladde partikler.

Disse to antagelsene kalles ofte B-G-betingelsene.

Hvis partikkelfeltet består av et spekter av elektronenergier, hvilket det som

oftest gjør, må man integrere over alle mulige partikkelenergier for å finne den

svarende dosen:

∫∫

ρ

ΦΦΦ

=

ρ

Φ=maxmax T

0 ckT

T

0 ckTk dT

dxdTdT

dxdTD

c

xk

ck

cx

k

x

ckk

SSS

DD

SD

==⇒

Φ=⇒

Vi bruker nå en middelverdi-notasjon, ettersom kollisjonsstoppeevnen er tenkt midlet

over et fluenspektrum gitt ved ΦT.

Vi kan nå tenke oss at vi har et ionekammer som består luftfylt rom innenfor

en vegg laget av et gitt materiale, f.eks. grafitt. Ionekammeret er plassert i vann, som

er det mediet man er interessert i å finne dosen til. Systemet utsettes nå for et

høyenergetisk fotonfelt:


luft

vann Φe

vann

Ψγ

grafitt

Under ideelle betingelser vil en ladningsmengde Q produseres i gassen, og

eksposisjonen vil være gitt ved:

cgrlugrafitt

cgrlu

luft

grafittluft

SeW

mQD

SD

D,

WeD

mQX

=⇒

===

Dosen til kammerveggen er nå gitt ved relasjonen ovenfor. Men vi interessert i dosen

gitt til vann, og hvis målebetingelsene tilfredstiller at CPE eksisterer i målepunktet,

har vi at:

va

gr

enc

grluvann

va

gr

enCPE

grafitt

vann

SeW

mQD

DD

ρµ

=⇒

ρµ

=

Når forelesningen skal dreie seg om ionisasjonskammer, vil liknende relasjoner stå

ganske sentralt. Den knytter altså ionedannelsen i gassen til dosen gitt til mediet som

omslutter kaviteten. Det antas altså at fotonfeltet ikke avsetter energi i gassen. I en

reell målesituasjon vil utgangspunktet være denne relasjonen, som videre korrigeres

for enkelte mer eksotiske effekter (f.eks. korreksjon av målt i forhold til reelt indusert

ladningsmengde). Noe av problemet vil videre være å beregne forholdet mellom

stoppeevnene og energiabsorpsjonskoeffesientene. Hvis vi tar for oss grafitt og luft,

fremkommer det av figuren nedenfor at Sgrafitt/Sluft synker kontinuerlig ettersom

energien øker, fordi tetthetseffekten kun gir utslag for grafitt. Energiabsorpsjons-


ratioen mellom vann og grafitt viser seg å øke svakt med fotonenergien, slik at de to

forholdstallene drar dosen til vann i hver sin retning (i dette spesifikke tilfellet). Man

trenger uansett et mål på elektronfluensen og fotonfluensen for å kunne beregne

dosen, og vi skal komme tilbake til dette senere.

Kinetisk elektronenergi [MeV]

0 5 10 15 20

S graf

itt/S

luft

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

1.00

Fotonenergi [MeV]

0 5 10 15 20

(µen

/ρ) g

rafit

t/(µ e

n/ρ) v

ann

1.10

1.11

1.12

1.13

1.14

1.15

1.16

Ingen antagelser om ladd partikkellikevekt behøves for å komme frem til

utrykket for dosen til kavitetsveggene gjort ovenfor. Dette fordi man har antatt at det

totale elektronfeltet er inneholdt i fluensen Φ. Hvis kaviteten oppfører seg som en


Bragg-Gray-kavitet, skal denne altså ikke perturbere strålefeltet og forrykke

strålingsbalansen på noen måte. Det å finne et mål på den totale elektronfluensen er

imdlertid ganske komplisert, og her trengs det typisk tyngre teoretiske betrakninger

til. Hvis kaviteten plasseres et sted i det bestrålte mediet der δ-partikkellikevekt

eksisterer, kan dette hjelpe på noen av betrakningene.

Ettersom kavitetsteorien skal anvendes på f.eks. ionekammere, viser det seg at

Bragg-Gray-teorien har sine mangler. Spesielt fordi veggen til et ionekammer skal

bestå av et ledende materiale (alt dette skal foreleses i mer detalj av Dag Rune). Dette

medfører at δ-partikkellikevekt ikke kan oppnås, hvilket bør bli tatt tatt hensyn til.

Spencer forbedret teorien til Bragg og Gray ved å se på på den begrensede

stoppevnen, og å komme med forslag til beregninger av den differensielle

energifluensen inkludert δ-partikler. Vi skal ikke gå i detalj i Spencers kavitetsteori,

men bare slå fast at sluttutrykket hans bærer mange likhetstrekk med det utledet av

Bragg og Gray.

En ganske illustrerende kavitetsteori er den til Burlin. Se på de to ekstreme

tilfellene der kaviteten er liten i forhold til det omgivende mediet, og omvendt:

x

k

e-

e- e-

γ

e- e-

e- γ

x

k

k

cx

k x

SDD

= ρ

kenx

k x

DD

µ = ρ

I det første tilfellet kan som kjent Bragg-Gray kavitet brukes, siden all

energiavsetningen inne i kaviteten skjer via elektroner. I det andre tilfellet vil volumet

til kaviteten være så stort at CPE kan oppnås, og dosen blir dermed utrykt ved masse-


energiabsorpsjonskoeffesienten. Men hva med kaviteter der ingen av disse

ekstremforholdene eksisterer? Det er her Burlin kommer inn, og forsøker knytte

sammen de to teoriene til noe som kan anvendes på alle typer kaviteter. Dosen

mellom kaviteten k og det omkringliggende mediet x skriver han nå som:

k

x

enc

kx

x

k )d1(SdDD

ρµ

⋅−+⋅=

der d er en størrelse som er relatert til størrelsen av kaviteten. Vi innser at d må være

mellom 0 og 1, og d=1 hvis kaviteten fungerer som en Bragg-Gray-kavitet.

Tilsvarende, hvis d=0, funger kaviteten som en “fotondetektor”, og dosen er gitt ved

masse-energiabsorpsjonsforholdet. Vi skal heller ikke her gå i detalj i rundt

evalueringen av d, men denne størrelsen må opplagt ha noe med rekkevidden av

elektroner i forhold til kavitetens dimensjoner å gjøre.

Det viser seg å være veldig praktisk hvis den atomære sammensetningen til

kaviteten (inkludert vegg) likner sammensetningen til det mediet der dosen skal

evalueres. Grunnen til dette ligger i utrykket

va

gr

enc

grluvann S

eW

mQD

ρµ

=

fordi store forskjeller i atomær sammensetning kan føre til store stoppeevneratioer, og

også ødelegge partikkellikevekten som i utgangspunktet var antatt. Hvis man hadde

målt i vann, ville det beste vært å ha en kavitet der veggen består av is, og gassen av

vanndamp! Likevel vil tetthetseffekten komme inn og gi en effekt, og dette er det

umulig å unngå, hvis ikke man går over til å bruke væskefylte kammere.


9. Monte Carlo simuleringer

De siste forelesningene har blant annet vist behovet for gode estimater av f.eks.

elektronfluens i Bragg-Gray-kavitetsteori, slik at dosen til mediet av interesse blir,

ved målinger og teori, beregnet mest mulig korrekt. De prosessene som fotoner og

elektroner undergår når de passerer gjennom et stoff er relativt godt forstått med

tilhørende analytiske eller eksperimentelle tverrsnitt. Problemet er at et i

utgansgpunktet ”rent” fotonfelt vil etterhvert gå over til å inneholde spredte fotoner og

løsrevne elektroner når feltet traverserer materie. Spredning og sekundærpartikler, i

tillegg til kompleks bestrålingsgeometri, vil alltid vanskeliggjøre en analytisk

bestemmelse av doseavsetningen, slik som forsøkes i bl.a. kavitetsteorien. Man sier at

strålingstransporten av fotoner og elektroner i et stoff er koblet, siden fotoner alltid gir

opphav til elektroner og vice versa. Generelt finnes altså ingen analytiske løsninger

for strålingstransport. Men hva om man kunne simulere hver enkelt ioniserende

partikkels vei gjennom mediet ved hjelp av kjente tverrsnitt, og dermed f.eks.

bestemme energy imparted i volumet av interesse? I Monte Carlo simuleringer brukes

vilkårlige tall og sannsynlighetsfordelinger for å beregene utfallet av prosesser som

kan tenkes være sammensatt av mange forskjellige delprosesser, hver med sine

sannsynlighetsfordelinger. MC simulering av strålingstransport kan defineres som:

Å simulere vandring til individuelle partikler ved å benytte vilkårlige tall til å

”sample” fra sannsynlighetsfordelinger (tverrsnitt) til de respektive

vekselvirkningsprosesser.

Anvendelsesområdet innenfor strålingsfysikk er mange, f.eks. stråleterapi,

røntgendiagnostikk, strålevern, reaktorteknologi og partikkelakselleratorer.

Utgangspunktet for MC simuleringer er altså vilkårlige tall, som kan genereres

via flere forskjellige algoritmer. Mange programspråk har en innebygget ”random

number generator”, men det er viktig å sjekke at de tallene man får ut tilfredstiller

krav om uniformitet (alle tall skal være like sannsynlige) og periodelengde (hvor

mange tall som genereres før man igjen ender opp med det første tallet i serien).


Fotontransport

Vi kan tenke oss at bevgelsen av et foton gjennom et gitt stoff skal simuleres. Det

første vi i denne sammenhengen spør etter er: hvor langt går fotonet før det

vekselvirker? Vi husker Lamberts utrykk for intensiteten til en uendelig smal

fotonstråle gjennom et stoff, der vekselvirkningssannsyligheten per lengdeenhet var

gitt ved µ:

x0eNN µ−=

der N er antall partikler igjen i strålen etter å ha passert en avstand x. N0 er antall

partikler ved inngangen til mediet. Men dette utrykket forteller egentlig om

sannsynligheten for at et foton fortsatt finnes langs strålens innfallsretning.

Sannsynligheten for at fotonet har vekselvirket blir dermed:

xvv e1p µ−−=

Veilengden til dette ene fotonet kan nå simuleres ved å sette sannsynligheten pvv lik et

vilkårlig tall R1 mellom 0 og 1:

µ

−=µ−

−=⇒−= µ− 111

x1

Rln)R1ln(xe1R 1

Siden R1 er et vilkårlig tall mellom 0 og 1, vil 1-R1 være tilsvarende. Vi har nå funnet

et mål på veilengden til foton #1. Nedenfor er det vist veilengdefordelingen av tusen

fotoner med energi 1 MeV gjennom vann. Forventningsverdien av veilengden blir,

etter en normalisering av fordelingsfunksjonen , 1/µ: xe µ−

µ==⇒

µ=⇒==

∫

∫∞

∞µ−

1dx)x(xfx

C1dx)x(f,Ce)x(f

0

!

0

x


der C er en normaliseringskonstant til sannsynlighetsfordelingen for veilengden, f(x).

Hvis samplingen var foretatt korrekt, bør altså gjennomsnitts-veilengden for de tusen

fotonene være ganske lik 1/µ, som for 1 MeV fotoner i vann skal være ca. 14.1cm.

Veilengde [cm]

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Ant

all f

oton

er

0

50

100

150

200

250

300

350

Middelverdi, <x>=13.7cm

Forventningsverdi, (1/µ)=14.1cm

Etter å ha bestemt veilengden til fotonet, skal det avgjøres hva slags vekselvirkning

som finner sted. For fotoner finnes i prinsippet fire typer vekselvirkninger, hvis vi ser

bort fra fotonukleære prosesser: Fotoelektrisk effekt, Rayleighspredning,

Comptonspredning og pardannelse. For den gitte energien gis den totale

vekselvirkningssannsynligheten ved µ:

κ+σ+σ+τ=µ R

der symbolene står for de fire respektive vekselvirkningene definert ovenfor. Når

fotonet nå skal vekselvirke, vil sannsynligheten for at f.eks. Comptonspredning

inntreffer være:

µσ

=comptonp


Hvis vi nå deler inn talllinja fra 0 til 1 i intervaller svarende til de respektive

sannsynligheter, kan vilkårlige tall benyttes til å sample fra de forskjellige

vekselvirkningene:

R1→Comptonspredning R2→Pardannelse

κ/µτ/µ σR/µ σ/µ0 1

Nå var muligens eksempelet med 1 MeV fotoner i vann litt kjedelig, fordi

sannsynligheten for Comptonspredning er her mye større enn sannsynligheten for de

andre prosessene (pardannelse er jo ikke mulig ved denne energien). Sannsynligheten

er 0.99915 for Comptonspredning, 0.00079 for fotoelektrisk effekt og 0.00006 for

Rayleoghspredning. Ved å simulere 1000 fotoner 10 ganger, fikk undertegnede hhv.

0.9983, 0.0008 og 0.0009, hvilket altså ga mere fotoelektrisk effekt og

Rayleighspredning enn forventet.

Hvis vi videre antar at kun Comptonspredning finner sted i mediet, blir neste

oppgave å finne ut hvor mye energi fotonet har avsatt, og med hvilken resulterende

vinkel det spres. I dette tilfellet bruker vi det differensielle Comptontverrsnittet:

)cos1(cm

h1

h'h,sinsin'h

hh

'hh

'hrdd

2e

22

2e

θ−ν

+

ν=νθ

θ−

νν

+νν

νν

π=θσ

Vi må her bruke et lite knep for å kunne sample fra denne fordelingen. Ut fra den

normaliserte fordelingen (fordelingsfunksjonen dividert med dennes maksimalverdi)

av spredningsvinkler vist nedenfor, ser vi at det må velges to vilkårlige tall for å

godkjenne eller forkaste paret med (normalisert) vinkel og sannsynlighet. Denne

metoden kalles ”the rejection technique”, der man bruker flere virkelige tall for å

sample mulige utfall fra utfallsrommet.


Spredningsvinkel

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Sann

synl

ighe

t

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Normalisert spredningsvinkel

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(R1,R2): godtatt

(R3,R4): forkastet

Ved å benytte ”the rejection technique” på comptonfordelingen, vil den samplede

fordelingen typisk fremkomme slik som nedenfor. Her er n lik antall ganger som par

av vilkårlige tall testes, og antall godtatte parkombinasjoner må bli mindre enn dette.

Suksessraten kan bestemmes av arealet dekket av grafen relativt til arealet spent ut av

aksesystemet, og er i dette tilfellet rundt 50%.

Spredningsvinkel

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Frek

vens

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

0.030

0.035ComptonfordelingSamplet fordeling, n=103

Samplet fordeling, n=105

n=antall sampler

Siden et lite antall sampler gir en ganske rufsete fordeling, er det i figuren ovenfor

valgt å normalisere etter arealet av fordelingskurvene.


Hvis sannsynligheten er veldig høy over et lite område av utfallsrommet, vil

”the rejection technique” typisk føre til at man bruker mye tid på å finne mulige

kombinasjoner av de to vilkårlige tallene. Det finnes en metode som kalles ”the

distribution function method”, der den kumulative fordelingsfunksjonen benyttes.

Hvis man har en normalisert fordelingsfunksjon f(θ) (f.eks. Klein-Nishina), der θ er

en generell variabel, vil den kumulative fordelingsfunksjonen bli:

∫θ

θθ=θ0

'd)'(f)(F

Vi trekker nå et vilkårlig tall R, og får:

)R(FR)(F 1−=θ⇒=θ

Metoden betinger altså at den kumulative fordelingsfunksjonen har en veldfinert

invers funksjon, hvilket jeg tviler på er tilfellet for Comtponfordelingen!

Elektrontransport

Den videre simuleringen av de spredte fotonene kan nå gjøres på samme måte som

skissert ovenfor. Ut fra den samplede vinkelfordelingen til fotonene, er det mulig å

bestemme energien overført til elektronene som befinner seg i de forskjellige

vekselvirkningspunktene. Nå begynner imidlertid situasjonen å komplisere seg, fordi

tverrsnittet for elektron-elektronvekselvirkninger er mye større enn mellom fotoner og

elektroner. Dette gir seg f.eks. utslag i at den midlere veilengden for elektroner er mye

kortere enn for fotoner, og antall vekselvirkningspunkter vil for elektroner gå mot

”uendelig”! For eksempel vil et 0.5 MeV elektron vekselvirke rundt 10000 ganger ved

nedbremsing til 1 keV i aluminium, og dette elektronet vil igjen gi opphav til nye

elektroner osv. I forhold til fotoner vil elektroner dermed bremses ned ”kontinuerlig” i

et stoff, og det vil være mere praktisk å evaluere elektronet etter at det har tilbakelagt

visse gitte steglengder. Denne metoden kalles ”condensed history technique”, eller

makroskopisk Monte Carlo (i motsetning til mikroskopisk Monte Carlo, som ville


vært den korrekte måten å behandle problemet på). Dette medfører at en del kunstige

parametere må innføres, men vi skal i det videre kun skissere grunnprinsippene for

makroskopisk MC.

Generelt har man at for hvert steg sn som elektronet foretar seg, antas det at

dette beveger seg rettlinjet i følge Contious Slowing Down Approksimasjonen

(CSDA). Etter at steglengden er tilbakelagt, og elektronet befinner seg i et virtuelt

vekselvirkningspunkt (#n), vil det deponere energi i følge et totaltverrsnitt som

beregnes på bakgrunn av steglengden. Den kondenserte historien blir dermed:

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

210

210

210

21

rrruuuEEEss0

der En er energien, un retningsvektoren og rn posisjonen til elektronet etter å ha

beveget seg en sporlengde sn fra sitt utgangspunkt n-1.

n+2n+1 n

n-1

n-2

I en såkalt ”class II condensed history technique” vil ”mindre viktige” hendelser slik

som inelastiske kollisjoner uten generering av δ-partikler antas være lokalt deponert i

vekselvirkningspunktet. ”Viktige” hendelser slik som bremsestråling og utsendelse av

δ-partikler betraktes separat, der hver enkelt av disse hendelsene simuleres

”mikroskopisk”. Class II-teknikken (i motsetning til class I, som vi dropper å snakke

om her) kalles ”mixed”, fordi makroskopisk MC benyttes på de mindre viktige

hendelsene, mens mikroskopisk MC brukes på de betydningsfulle. Denne teknikken

er illustrert nedenfor.


Hva som skal behandles som mikroskopisk og makroskopisk er det opp til

brukeren av MC-koden å definere. Typisk kan man i simuleringer av doseavsetning i

store volum ha en høy terskel for hva man definerer som mikroskopisk, og likevel få

et godt mål på dose.

Ettersom MC simuleringer av elektroner er såpass kompliserte, blir det ingen

praktiske regneeksempler i dette kompendiet. For tunge ladde partikler (eksempelvis

α-partikler) er sannsynligheten for både spredning (og dermed utsendelse av δ-

partikler) og bremsestråling minimal, slik at man i slike tilfeller kan gjøre mange

antagelser som forenkler tilværelsen.


Eksempler på MC simuleringer

MC simuleringer har mange viktige anvendelser innen stråleterapi, slik som

beregninger av strålingsutbyttet fra lineærakselleratorer, dosefordelingen i pasienter

som følge av ekstern stråleterapi og mere basal dosimetri.

Undertegnede har selv jobbet med helt enkle simuleringer gjort med en fritt

tilgjengelig kode som kalles EGSnrc, eller Electron Gamma Shower. Koden ble

utviklet ved bl.a. ved Oak Ridge National Laboratories (USA) og National Research

Council (Canada), og benytter bl.a. class II condensed history technique i algoritmen

for elektrontransport. Nedenfor følger et eksempel på simulering av primærsporet til

20 MeV elektroner i bly. Vi ser tydelig hvordan inelastisk spredning og

bremsestråling gir opphav til store vinkelavbøyninger ettersom partiklene beveger seg

innover i mediet.

Dyp

, mm

0

2

4

6

8

Det neste eksempelet illustrerer en problemstilling som er relevant for stråleterapi. I

utviklingen av programvare for beregninger av dosefordelingen i pasienter ved

strålebehandling, er det relativt komplisert å beregne elektrontransporten over

grensesjikt mellom medier med store forskjeller i atomær sammensetning og tetthet.

Dette kan f.eks. være mellom bløtvev og bein eller bløtvev og lunge. Nedenfor

beveger 18 MeV elektroner seg gjennom et volum som enten kun består av vann, eller

med et 2 cm tykt lag med bein plassert inne i vannfantomet. Vi ser at det oppstår et

stor dosegradient i grensesjiktet mellom de to mediene. Hvis man tenker seg en


pasient med en bensvulst, vil altså svulsten oppleve et litt “kaldt” doseområde nær

bløtvevet. Deretter bygger dosen seg opp gjennom svulsten, før det igjen blir et kaldt

område bak tumoren. Hvis lungevev hadde ersattet beinstumpen i simuleringen, ville

effekten blitt omvendt: bløtvevet (eller vannet) ville fått “kalde” doseområder inntil

lungevevet, mens dosemaksimum ville inntruffet inne i lungevevet.

Dyp, cm

0 2 4 6 8 10

Rel

ativ

dos

e

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 VannVann, bein fra 2 til 4 cm

Undertegnede var interessert i finne responsen ved eksponering for lavenergetisk

røntgenstråling til dosimetere bestånde av alanin, sammenliknet med vann. I

simuleringene ble det antatt at et dosimeter ble plassert i et vannfantom, og ble

bestrålt rett under vannflaten:

Røntgenstråler

vann

Detektor (vann eller alanin)


Fra kavitetsteorien husker vi at hvis CPE, dvs. ladd partikkellikevekt, eksisterer over

detektoren vår, kunne forholdet mellom dosen til alanin og dosen til vann skrives

som:

vann

alanin

enCPE

alanin

vann

DD

ρµ

=

Siden vi diskuterer monoenergetiske fotoner, behøves ingen spektral middelverdi av

masse-energieabsorpsjonskoeffesienten å beregnes. For Monte Carlo simuleringenes

del, ble et sett med simuleringer foretatt med alanin i posisjonen anvist ovenfor, og

tilsvarende for vann. Ut fra beregningene kan doseforholdet Dvann/Dalanin beregnes.

Nedenfor vises både MC simuleringer og beregninger gjort med kavitetsteori, og

figuren viser at disse i stor grad samsvarer. Dette betyr at antagelsen som ble gjort om

CPE i stor grad viser seg å være ”riktig” for de røntgenenergiene undersøkt her.

Fotonenergi [keV]

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Dva

nn/D

alan

in

0.8

0.9

1.0

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

KavitetsteoriMonte Carlo


10. Medisinsk bestrålingsapparatur

Røntgenrøret

Røntgenstråler er som kjent bremsestråling fra energetiske elektroner som bremses

ned i et materiale med høyt atomnummer. Utgangspunktet er et evakuert glassrør, som

inneholder en katode og en anode (h.h.v. negativ og positiv pol). Over katoden og

anoden settes det opp en stor spenning, gjerne på flere hundre kilovolt. Katoden består

bl.a. av et filament, gjerne av wolfram, som det går en strøm gjennom. Ved

oppvarming vil elektroner løsne fra filamentet ved en prosess som kalles termionisk

emission, og de frie elektronene vil dermed akselleres mot anoden. Selve anoden er

gjerne konstruert av kobber, men har et ”target” vendt mot elektronstrålen som må ha

et høyt smeltepunkt. Target er ofte laget av wolfram, som har et smeltepunkt på

3370°C. Materialet tåler dermed varmeutviklingen som følge av den intense

bombarderingen av elektroner. Hvis vi ser på det såkalte strålingsutbyttet (radiation

yield) for f.eks. 100 keV elektroner i wolfram, er dette kun rundt 1%. Resten vil

dermed dissiperes som varme, og for en strøm på 20 mA tilsvarer dette en effekt på

2000W. Varmeutviklingen vil skje over et ganske lite område av target, ettersom det

for noen typer røntgenrør er ønskelig å ha et så lite fokus som mulig.

Anoden kan avkjøles ved forskjellige prinsipper. Varmen kan ledes vekk fra

target via anoden, hvor sistnevnte kjøles ned av vann, olje eller luft. I tillegg finnes

noen røntgengeneratorer med anoder som roterer under eksponeringen, hvillet fører til

at varmeutviklingen spres over et mye større område. Varmen som dissiperes her vil

deretter effektivt tas opp i et oljereservoar rundt røret. Reservoaret skal i tillegg

fungere som isolasjon av høyspenningsdelen, dvs. selve røret, til røntgenenheten.

Target må være konstruert slik at fokus på røntgenstrålen tilfredstiller de krav

som stilles til røntgenenhetens bruksområde. Fokalpunktet er området på target der

røntgenstrålene emitteres, hvilket tilsvarer tverrsnittet til elektronstrålen. Nå er anoden

bygd opp slik at det er en vinkel litt større enn 90° mellom elektronenes

innfallsretning og flaten til anoden. Dette fordi, i lavenergitilfellet,

bremsestrålingsfotonene generes rundt normalen til innfallsretningen til elektronene.

(Retningsfordelingen blir mer foroverrettet ettersom elektronenergien øker, men dette


kommer vi tilbake til for lineærakselleratorer.) Dette innebærer at det effektive

fokalpunktet blir mindre enn elektronstrålens tverrsnitt, og denne effekten kalles

linjefokus. Vinkelen mellom anoden og elektronstrålen kan varieres, og er typisk 6°-

17° for diagnostisk røntgenutstyr. Dette gir en effektiv størrelse av fokus på

0.1x0.1mm2 til 2x2mm2, hvilket betyr at elektronstrålen i utgangspunktet er i

størrelsesorden cm2. For røntgenapparater med et stråleterapeutisk bruksområde, vil

den effektive størrelsen på fokus typisk være 5x5cm2. Filamentet på katoden er viktig

for størrelsen på fokus, ettersom dette bestemmer tverrsnittet av elektronstrålen.

Et lite fokus er viktig innen diagnostikk, hvilket medfører skarpere

røntgenbilder. Hvis man tenker seg at fokus består av en mengde punktkilder, vil et

større fokus smøre ut det projiserte bildet av f.eks. en beinstruktur:

Pasientkontur

Beinstruktur

Fokus

Detektor

Intensitet

Penumbra

Projeksjonen av kanten til strukturen blir dermed uskarp, og man får det som kalles en

penumbra. Ordet kommer fra umbra, som betyr skygge, hvilket gjør at penumbra blir

halvskygge. Med et lite fokus fås en liten penumbra, hvilket øker den diagnostiske


kvaliteten på det eventuelle røngtenbildet. Dere vil komme tilbake til dette begrepet

når man skal se på dosefordelinger fra terapimaskiner.

Et problem ved røntgenappareter er den såkalte hælen som opptrer i

intensitetsprofilen av røntgenstrålen. På grunn av forskjellig attenueringslengde til

fotonene som genereres i target, kommer det flere fotoner ut fra den delen av røret

som ligger nærmest katoden. Dette kan kompenseres for ved å bruke filtere som

svarer til intensitetsprofilen som resulterer fra den enkelte rørspenningen.

Kretsoppbyggingen av et røntgenrør er relativt komplisert, og vi skal ikke

forsøke oss på en detaljert gjennomgang. I læreboka til Khan ser vi at

kretsdiagrammet for et selv-likerettende røntgenrør består av to spenningsenheter.

Den ene gir aksellerasjonspotensialet over katoden og anoden, mens den andre setter

spenningen over filamentet, som dermed bestemmer elektronstrømmen.

Høyspenninngen over anoden og katoden settes opp via en ”step up” transformator,

der spenningsinstillingen bestemmes via en autotransformator (grov) og en ”rheostat”

(fin). Spenningen over filamentet bestemmes av en ”step down” transformator som

nedtransfomerer nettspenningen til typisk 10 V. Filamentstrømmen blir da gjerne 6A.

Konstruksjonen kalles selv-likerettende, fordi anode-katode-løsningen blir en slags

diode, som kun leder strøm fra katoden til anoden, og ikke vice versa.

Rørspennningen, sammen med elektronstrømmen fra filamentet, varierer i

utgangspunktet med tiden. For noen røntgenrør benyttes en likerettet vekselspenning

over anoden og katoden for å sikre at spenningen kun har et fortegn. Brolikerettere og

glattekondensatorer kan imidlertid generere et likesspennningssignal, slik at

spenningen over røret holder seg konstant. Dermed blir energifordelingen til

elektronene som treffer anoden skarpere. Khan diskuterer mye rundt likeretting og

resulterende variasjon i røntgenintensitetet, men dette er unødvendig å gå for mye inn

på. Det kan imidlertid ofte være litt forvirring rundt oppgitt røntgenspenning for

vekselstrømsløsningen, og her må man passe på om maksimal- eller rms-verdien er

oppgitt.

Røntgenspektra er som nevnt et kontinuerlige, dannet av bremsestrålings-

fotoner. I tillegg akkompagneres disse av karakteriske fotoner fra target-materialet,

dvs. K, L,... stråling. Dette fordi man har inelastisk spredning mellom det

innkommende elektronet og et atomære elektroner, slik at vakanser i forskjellige

atomære skall opptrer. Ved deeksitasjoner emmiteres dermed karakterisk stråling (se


fotoelektrisk effekt). Intensitetsforholdet mellom bremsestråling og karakteristiske

fotoner av ufiltrert røntgenstråling er typisk 4:1.

Røntgenspekteret, eller den differensielle energfluensen mhp. fotonenergi, for

bremsestrålingsfotoner kan beskrives ved Kramers semiempiriske regel:

)hh(KZh makshh ν−ν=Φν=Ψ νν

der K er en konstant og hνmaks er den maksimale fotonenergien, hvilket tilsvarer

inngangsenergien T0 til elektronet. En forenklet utledning av denne er at for hvert

veiinkrement ∆x som elektronene passerer i target, taper den en konstant energi ∆T.

For hvert veiinkrement antas at energifluensfordelingen er flat, dvs. at

energiintensiteten til alle fotonenergier er like sannsynlig. Ved inngangen til

inkrement k vil elektronene ha energi Tk=T0-k∆T, og fotonspekteret vil dermed

strekke seg fra 0 til Tk. Det totale spekteret fra anoden blir dermed å summere

bidraget fra alle inkrementene:

νΨh

∆T∆T

hν T0=hνmaks

Den lineære formen på det differensielle energifluensspekteret fremgår nå av figuren.

I denne ”utledningen” antas det at strålingstapet er uavhengig av den kinetiske

energien, hvilket approksimativt er riktig for ikke-relativistiske elektroner.

I første omgang vil røntgenstrålen dempes i selve anoden og glassrøret, før

den skal gjennom et “vindu” (gjerne av beryllium). Etter utgang fra vinduet, er en stor

del av de lavenergetiske fotonene absorbert. Røntgenspekteret vil dermed gå mot null

intensitet ved lave fotonenergier. I tillegg til det vi kan kalle den primære filtreringen,


kan spekteret manipuleres ved å introdusere nye filtre for å øke gjennomsnittsenergien

til strålen. Dette kalles ”beam hardening”. Typiske filtermaterialer er bly, tinn, kobber

og aluminium. Et problem er imidlertid generering av karakteristisk stråling i filteret,

men dette kan kompenseres for ved å legge nok et filter lenger vekk fra strålen. Dette

filteret bør ha en Z-verdi som er noe lavere, ettersom tverrsnittet for fotoelektrisk

effekt er høyt for energier som svarer til litt over K-absorpsjonskanten (se

fotoelektrisk effekt). Kombinasjonsfiltere kalles gjerne Thoreus-filtere.

Kvaliteten til røntgenstråling er ofte definert som strålens hardhet, eller dens

evne til å penetrere materie. Et enkelt mål på kvalitet er det såkalte halvverdilaget,

som tilsvarer den tykkelsen av et stoff som reduserer intensiteten av fotonstrålen til

halvparten. I følge Lambert har vi:

µ=⇒

==⇒= µ−µ−

2lnHVL

e21

IIeII HVL

0

x0

Anta at vi har en fiktiv ”røntgen”stråle med N fotoner sammensatt av tre

kvanteenergier med lik intensitetet; 10, 20 og 100keV. Denne strålen går nå gjennom

grafitt, og attenueringen er vist nedenfor. Typisk, på en logaritmisk skala, vil

attenueringen ikke fremkomme som lineær hvis en fordeling av fotonenergier er

tilstede. ”Beam hardening” vil føre til at man til slutt ender opp med de mest

høyenergetiske komponentene. Et mål på strålens homogenitet er den såkalte

homogenitetskoeffesienten:

2

1

HVLHVL

=η

der HVL1 og HVL2 hhv. er det første og andre laget av absorbatoren som halverer

fotonintensiteten (se figur). For vår fiktive stråle er η lik 0.44, og dette kjennetegner et

veldig inhomogen felt m.h.p. penetrasjonsevne.

Alle betrakningene om attenuering forutsetter at man har en såkalt

smalstrålegeometri (”narrow beam geometry”). I dette tilfellet antas at detektoren er

langt unna attenuatoren, og at primærstrålen kun slippes gjennom en liten åpning.


Denne geometrien skal minimalisere innspredt stråling i detektoren, slik at man kun

måler attenuering av primærstrålen. IAEA definerer forøvrig HVL, ut fra et

dosimetrisk ståsted, som tykkelsen av en absorbator som reduserer luftkermaraten fra

en “smalstråle” med 50%.

Dyp [cm]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

Inte

nsite

t, I/I

0

0.25

0.5

1

HVL2

HVL1

Lineærakselleratorer

Under og etter 2. verdenskrig ble det utviklet mikrobølgekilder med høy effekt og høy

frekvens beregnet for anvendelser innen radarteknologi. Slike pulsede dioder har

evnen til å skape så kraftige elektromagnetiske felter at, i passende konstruksjoner,

elektroner kan akselleres opp til en kinetisk energi på flere titalls MeV. Prinsippet for

slike typer mikrobølgegenerering kan illustreres ved en såkalt dobbeltkavitetklystron:


Mikrobølger med lav effekt (amplitude) genereres av en svingekrets med spesielle

spoler og kondensatorer. Bølgene ledes deretter ut i den første kaviteten, som vi kan

kalle ”buncher’en”. Her slippes også elektroner ut fra et filament, lik det som finnes i

et røntgenrør. Kaviteten er konstruert slik at mikrobølgemønsteret blir stående, med et

tidsavhengig longditunalt elektrisk felt. Elektroner som slippes tidlig i den negative

perioden av det elektriske feltet bremses effektivt, mens de etterfølgende ikke

påvirkes i like stor grad osv. Dermed fokuseres elektronene romlig i kaviteten, før de

akselleres gjennom drifttuben. Lengden av denne er definert slik at når en

elektronpuls kommer ut i den andre kaviteten (”catcher’en”), vil det elektriske

(resonans)feltet i denne være maksimalt rettet mot bevegelsesretningen til

elektronene. Dermed fås en maksimal retardasjon av elektronene, som avgir

elektromagnetisk stråling. Pulsfrekvensen av elektronene bestemmes av de stående

mikrobølgene i de to kavitetene, slik at frekvensen til de pulsede ”energipakkene” ut

av klystronen vil være lik mikrobølgefrekvensen.

Klystronen er, i motsetning til en magnetron, avhengig av en mikrobølge-

generator. Magnetronen genererer mikrobølger med relativt høy effekt direkte ved

aksellerasjon av elektroner i et komplekst elektrisk og magnetisk felt. Ofte foretrekkes

imidlertid klystronen fremfor magnetronen, ettersom førstnevnte kan produsere

mikrobølger med høyere effekt, og dermed vil gi et høyere effektivt

aksellerasjonpotensial.

De forsterkede mikrobølgene transporteres gjennom en bølgeleder ut til selve

akselleratortuben. Denne transporten er synkronisert med en modulator, som også


styrer selve elektronstrømmen (via et filament osv.) ut til tuben. Utgangsenergien til

elektronene er gjerne 50 keV. Inngangspartiet til akselleratortuben kan fungere som

en ”buncher”, slik at elektronene her fokuseres og sendes videre i pulser. Den

sylindriske akselleratorstrukturen (tuben) er såkalt ”disk-loaded”, dvs. at skiver er

ekvidistant plassert langs tubens lengderetning. For en såkalt ”standing wave

accelerating structure” vil det oppstå resonansforhold i tuben med stående

mikrobølger. Når den synkroniserte elektronpulsen entrer en kavitet der det elektriske

feltet er positivt i forhold til elektronenes bevegelsesretning, vil disse akselleres

videre. Når elektronene sendes to kaviteter videre langs tuben (for en såkalt π/2-

løsning), vil mikrobølgefeltet i denne nå være positivt. Slik akselleres elektronene

gjennom tuben, til strålen til slutt treffer target eller en såkalt sprederfolie.

Ofte kan flere foton- og elektronenergier fås ut fra en og samme

lineæraksellerator. Dette kan realiseres ved å endre effekten, dvs. amplituden, på

mikrobølgefeltet.

Hvis høyenergetiske fotoner er det ønskede sluttproduktet, lar man elektronene

treffe et target av f.eks. wolfram, og bremstråling, som dominerer i foroverretningen,

generes. Man sier gjerne at prinsippet for fotongenerering er av “transmission type”

eller “straight through design”, ettersom fotonene kommer ut fra den andre siden av

target. Hvis lineærakselleratoren har en relativt kort lengde på tuben, setter dette


begrensinger på det effektive aksellerasjonpotensialet. Disse rørene (med potensial

opp mot 6 MV) har imidlertid den fordelen at de kan monteres vertikalt, og dermed

peke rett mot behandlingsbordet. Hvis høyere potensialer ønskes, blir

aksellerasjonstuben så lang at disse må installeres horisontalt. Dermed må en såkalt

“bending magnet” benyttes for å avbøye elektronstrålen, slik at denne vender ned mot

behandlingsbordet. Etter at fotonene har forlatt target og avgrenses av en primær

kollimator, treffer disse et utjevningsfilter. Dette filteret skal gjøre tverrsnittsprofilen

av stråleintensiteten flat, slik at en homogen dosefordeling sikres. Etter dette has et

nytt sett med kollimatorer, som brukes til å variere størrelsen på strålefeltet. Disse

består av to sett med kjever, gjerne av bly, som kan flyttes inn og ut i strålefeltet.

Maksimal størrelse på feltet er ofte 40x40 cm i en avstand på 1 m fra fokus på

moderne lineakselleratorer. I tillegg til dette kan også feltet formes manuelt med

blokker, kiler og filtere, eller automatisk med dynamisk kile og

mangebladskollimator. Det resulterende fotonspekteret blir uansett ganske komplisert,

ettersom fotonene attenueres i target og utjevningsfilteret, i tillegg til at spredt stråling

fra kollimatorer og resten av konstruksjonen spres inn i strålen. En tommelfingerregel

er at den midlere fotonenergien er 1/3 av maksimalenergien, der sistnevnte tilsvarer

det effektive aksellerasjonspotensialet.

Ved utgangen av akselleratorhodet sitter et eller flere ionekammere, som

monitorerer stråleutbyttet. Utslaget på disse er gjerne kalibrert i forhold til en

referanse. Det kalibrerte ionekammerutslaget defineres i monitorenheter, der f.eks.

100 monitorenheter kan defineres som stråleutbyttet som gir en dose på 1Gy en meter

fra akselleratorens fokus. Vi skal komme tilbke til ionekammere og doser etterhvert!

I utgangspunktet er diameter på elektronstrålen typisk rundt 3mm. Hvis

elektronene skal brukes i strålebehandlingen, erstattes target med en spredefolie,

gjerne av bly, som sprer elektronstrålen slik at den får den nødvendige utstrekningen.

Dette vil føre til en kontaminering av elektronfeltet med bremsetrålingsfotoner,

hvilket vil gi et økt dosebidrag til pasienten. For noen akselleratorer benyttes et

elektromagnetisk felt for å spre elektronstrålen, slik at mye av fotonkontamineringen

kan unngås. I tillegg benyttes ofte en såkalt elektrontubus, hvilket er en forlengelse av

lineæakselleratoren mot pasienten. Denne skal sikre fokus av elektronstrålen, ved å

fange opp spredte elektroner (fra luft og aksellerator).


Moderne lineæakselleratorer skal ta opp så lite plass som mulig, være enkel å

betjene, gi et mangfoldig tilbud av foton- og elektronenergier, og ha mange

bevegelsmuligheter. Nedenfor ser vi en skisse av en moderne lineæraksellerator.

“Gantry” er den bevegelige delen av maskinen som kan rotere rundt pasienten. Det

punktet som defineres ut fra kollimatoraksen og gantrys rotasjonsakse kalles

akselleratorens isosenter. Dette befinner seg gjerne 100 cm fra strålens fokus. I tillegg

kan behandlingsbordet roteres, slik at mulighetene er mange for å “treffe” tumorer

med kompleks beliggenhet i pasienten. Isosenter kan defineres fysisk ved tre

veggmonterte lasere, og disse brukes til i “sikte inn” strålefeltet på pasienten.


Syklotron

Prinsippet for syklotronen ble tenkt ut allerede i 1920-årene, og E.O. Lawrence fikk

Nobelprisen i fysikk i 1939 for utviklingen av denne typen partikkelaksellerator.

Syklotronen er bygd opp av to tilliggende D’er, som er halvsirkelformede objekter av

f.eks. kobber. Over D’ene er det satt opp en oscillerende høyspenning med

radiofrekvens, som skal aksellere ladde partikler når de befinner seg i mellomrommet.

Når den ladde partikkelen er innenfor en av D’ene, vil sistnevnte fungere som et

Faraday-bur, slik at det elektriske feltet ikke påvirker bevegelsen her. D’ene er

plassert mellom en kraftig elektromagnet, slik at partikkelbevegelsen inne i D’ene blir

en sirkel.

Br

)t(Er

vr

ionekilde (q>0)


Det tidsavhengige elektriske feltet er “tunet” på en slik måte at frekvensen passer til

omløpsfrekvensen til de ladde partiklene. Retningen til Er

er altså i utgangspunktet

tenkt å være rettet langs bevegelsesretningen til den ladde partikkelen. Ved Lorentz

kraftlov kan man vise at omløpstiden for en partikkel i et magnetfelt er gitt ved:

qBm2π

=Γ

der m er den relativistiske massen til den ladde partikkelen. I utgangspunktet er altså

frekvensen uavhengig av hastigheten, men sistnevnte vil komme inn som et

relativistisk bidrag til massen:

cv,

11,mm

20 =ββ−

=γγ=

Når hastigheten øker, øker også den relativistiske massen, og omløpstiden i

syklotronen øker dermed med hastigheten. Bevaring av energi ved aksellerasjonen av

en ladd partikkel i det elektriske feltet gir:

qVcm)1(cm)1(

ldEV,qVTT2

0f2

0e

fe

+−γ=−γ⇒

⋅=+= ∫rr

qB

mcm

qV2

cmqV

020

f

20

fe

+γπ

=Γ⇒

+γ=γ⇒

Tf og Te er kinetisk energi hhv. før og etter aksellerasjonen. Omløpstiden vil dermed

øke med en faktor tilsvarende qV/m0c2. Typisk kan V=100 kV, og for et proton blir

dette forholdet 0.0001. Γ forandrer seg dermed lite, nettopp fordi protonet må få tilført

meget høy energi før det når en relativistisk hastighet. For et elektron blir derimot

forholdet 0.2. Dette innebærer at ut fra de prinsippene vi har skissert, passer ikke

elektroner til å bli aksellerert i en syklotron. Dette fordi det elektriske feltet (med


konstant frekvens) etterhvert ikke vil være i fase med elektronet og dets økende

omløpsfrekvens. Det er mulig å lage en faseskift-konstruksjon som tar hensyn til dette

(disse kalles synkrosyklotroner), men for elektronaksellerasjon i stråleterapi finnes det

altså mere effektive og rimeligere metoder.

Syklotroner brukes i strålebehandling ved store institusjoner som har råd til

slikt utstyr. Fordelen ved tunge ladde partikler er lite spredning og en veldefinert

doseavsetning (Bragg-peak etc.). Ved hjelp av såkalte “trimmere” kan denne

doseavsetningen effektivt manipuleres. Protoner og liknende partikler brukes f.eks. til

behandling av tumorer i øyet, siden det vi kan kalle dosepresisjonen er meget høy.

Svedberg-laboratoriet i Sverige er det eneste stedet i Norden som driver med slike

typer behandlinger.

Betatron

Betatronen var mye brukt på 50-60 tallet, før lineærakselleratorene overtok

mesteparten av markedet innen stråleterapi. Prinsippet for denne partikkel-

akselleratoren er at elektroner slippes ut i en smultringformet, evakuert tube. Over

tuben er det satt opp et komplekst tidsavhengig magnetfelt, som skal holde

elektronene i en sirkulær bane med nogenlunde konstant radius, aksellere disse ved et

elektrisk felt og ta de ut av banen etter de har nådd en ønsket hastighet. Deretter

treffer elektronene et target, og bremsestråling generes. I utgangspunktet er betatronen

en fleksibel maskin, men fotonfluensen som fås ut er generelt for lav til at en god

doserate kan oppnås.


Mikrotron

Mikrotronen er slags mellomting mellom en lineæraksellerator og en syklotron, der

elektroner akselleres i en konstruksjon som likner den til syklotronen:

Her genereres mikrobølger i en kavitet plassert mellom D’ene for å aksellere

elektronene, og man lar deretter disse reise et helt multiplum av mikrobølgeperioder

før de igjen akselleres. I en “racetrack”-mikrotron blir dermed elektronbanen lik en

amerikansk INDY-500 racerbane.

Fordelen med en mikrotron foran en lineæraksellerator er at man kun bruker

èn kavitet i aksellerasjonen (i motsetning til “disk-loaded”-strukturen), og at

konstruksjonen vil selektere ut et meget smalt spekter av elektronenergier. Sistnevnte

kommer fra at man via konstruksjonen av D’ene og det eksterne magnetfeltet kan

plukke ut nettopp de elektronene med “riktig” energi. Sistnevnte kan også oppnås

med gode “bending magnets” i lineærakselleratorer. Race-track mikrotroner brukes i

dag i stråleterapi (en produsent er f.eks. Scanditronix i Sverige).


11. Elektronbehandling

Vi skal starte med en kort teoretisk gjennomgang av en størrelse relevant for

diskusjonen rundt doseavsetningen fra høyeneregetiske elektroner. Mass scattering

power, eller masse-spredningsevnen, er definert som middelverdien av den kvadrerte

spredningsvinkelen (per tetthet- og lengdeenhet) et elektron opplever når den beveger

seg gjennom et inifinitesimalt linjestykke dx:

dxd 2

ρθ

2θ

dx

Desverre er notasjonen til denne størrelsen ofte gitt som T/ρ, der T absolutt ikke viser

til kinetisk energi. Denne notasjonen skal vi forsøke å unngå! Den midlere

spredningsvinkelen vil avhenge av mediets evne til å spre partikkelen, hvilket på

enkleste form var gitt ved Rutherfordtverrsnittet, som beskriver spredning av et

elektron mot en atomkjerne:

)2/(sin1cmr

4Z

dd

42

2e

2e

2

θβ=

Ωσ

Tverrsnittet viser at små vinkelspredninger er de mest sannsynlige, og at

spredningssannsynligheten øker med atomnummeret i annen potens. Ut fra

Rutherfordtverrsnittet kan helt enkle utgaver av masse-spredningsevnen utledes på

liknende måte som for stoppeevnen:

∫π

ΩΩσ

θ=ρθ

4

2A2

ddd

AN

dxd


Vi husker at det klassiske Ruthefordtverrsnittet ikke tar hensyn til kvantemekanisk

natur (f.eks. atomær struktur), hvilket bl.a. gir problemer i evalueringen av maksimal

og minimal spredningsvinkel. I litteraturen finnes imidlertid både tabulerte verdier og

mer kompliserte analytiske uttrykk. Nedenfor er teoretiske masse-spredningsevner for

forskjellige grunnstoffer vist, og en tommelfingerregel er at )dx/(d 2 ρθ er

proporsjonal med ∼Z2 og avtagende med elektronets kinetiske energi (∼T-1.6).

Kinetisk energi [MeV]0.1 1 10 100

Mas

s sca

tterin

g po

wer

[rad

2 cm2 /g

]

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000Karbon (Z=6)Kobber (Z=29)Bly (Z=82)

Hvis det antas at alle spredningshendelsene i stoffet som traverseres er statistisk

uavhengig av hverandre, kan en Gaussfordeling brukes til å beskrive

vinkelfordelingen til elektronene. Dette viser seg å være en relativt grov tilnærmelse,

og ved f.eks. Monte Carlo simuleringer bør andre teorier benyttes (eksempelvis

Molières teori for multippelspredning). Som et mål på fordelingens varians kan 2θ

benyttes, og fordelingen vil (ihvertfall teoretisk) være sentrert rundt 0°. Sistnevnte

kommer fra spredningsprosessenes sylindrisk-symmetriske natur.

Betrakningene ovenfor var gjort for å friske litt opp i elektronenes egenskaper

når de vekselvirker med materie. Vi husker at spredningsvinkel og avsatt energi var

fullstendig korrelerte størrelser, slik at en energifordeling med en viss middelverdi og

varians finnes i hvert punkt inne i mediet. Det forventes at variansen øker etterhvert

som elektronene kommer dypere inn i mediet, mens den midlere elektronenergien

avtar. Disse effektene kalles, som nevnt tidligere, for straggling. Elektronene fra en


lineæraksellerator er i utgangspunktet relativt monoenergetiske, men vil etter

passering av spredningsfolie og traversering til et gitt dyp i mediet av interesse ha en

gitt energifordeling:

Primærstråle

MeV 15E0 = MeV 12E1 = MeV 8E2 =

Spredefolie Absorbator

Energi [MeV]4 6 8 10 12 14 16

Flue

ns

PrimærstråleStråle etter passering av spredefolieStråle i et gitt punkt i absorbator

I det fiktive eksempelet ovenfor er det antatt at elektronene i utgangspunktet har en

energi på 15 MeV, hvilket reduseres til 12 MeV etter spredefolien, i tillegg til at

variansen i fordelingen øker.

Eksempelet ovenfor viser at det er nødvendig med et rammeverk for

spesifikasjon av f.eks. midlere elektronenergi, der målgruppen er medisinske fysikere.

Dette er spesielt viktig ved doseoppmålinger, der en karakterisering av elektronstrålen

er nødvendig. Dybdedosekurven i vann gir indirekte et mål på både elektronenergien

og variansen i energi. Ut fra dybdedosekurven er det mulig å hente ut rekkevidden

(practical range, se figur), og beregne den mest sannsynlige elektronenergien ved

inngangen til vannfantomet ut fra relasjonen:


p3p210p RCRCC)E( ++=

Koeffesientene er gitt ved C1=0.22 MeV, C2=1.98 MeV cm-1 og C3=0.0025 MeV

cm−2. Rp (oppgis i cm) tilsvarer altså skjæringspunktet mellom tangenten fra den

tydelig nedadgående delen av dybdosekurven og lengdeaksen. For at dette utrykket

skal være appliserbart for alle mulige kilde-til-overflate avstander, skal

dybdedosekurven korrigeres med en divergensfaktor før man finner Rp. For lave

elektronenergier blir ikke denne korreksjonen spesielt stor, p.g.a. den korte

rekkevidden til disse.

Teoretisk, med en Gaussfordeling av elektronenergien, vil vi selvfølgelig ha at

00p E)E( = , men i praksis brukes utrykket

5040 RCE =

der C4=2.33 MeV cm-1, og R50 er dypet der dosen har falt til 50% av maksimaldosen.

Videre kan den mest sannsynlige elektronenergien og den midlere elektronenergien

som en funksjon av dypet z utrykkes ved:


−=

−=

p

0z

p0pzp R

z1EE,Rz1)E()E(

En (irriterende enkel) tommelfingerregel sier videre at energitapet per cm traversert

vann er på ca. 2 MeV.

Måling av dosen fra elektroner foretas med det som er praktisk for de

forskjellige målesituasjonene. Dette innebærer at absoluttdosimetri gjøres med

ionekammere, dybdedoser og såkalte profiler (tverrscan) med dioder eller

ionekammere, og kontrollmålinger under behandling med TLD eller dioder. Film kan

f.eks. brukes til måling av tverrsnittsfordelingen av dosen i forskjellige plan over

strålen, og til direkte måling av isodosefordelinger.

For absoluttdosimetri (dvs. måling av ubyttet fra lineæakselleratoren i et

relevant fantom) bør et planparallelt ionekammer benyttes, der kammervolumet skal

være så lite som mulig. Sistnevnte kreves fordi den såkalte perturbasjonseffekten, som

har sin fysiske opprinnelse i forskjellen mellom fluensen i kaviteten og fluensen i

målepunktet uten kaviteten, øker med kavitetens (vindu, elektroder og luftvolum)

størrelse. Hvis sylindriske kammere benyttes, må buildup-cap’en fjernes (hvis mulig,

og hvis ikke denne er meget tynn). Som målefantom vil det beste være å bruke vann,

selv om andre materialer, som solid water og polystyren, også kan benyttes. Fantomet

må være stort nok til at ”all” relevant spredt stråling blir tatt hensyn til.

Utgangssstørrelsen til feltet i måledyp eller fantomoverflate bør være rundt 10x10 cm.

Ved absoluttdosimetri kommer også andre aspekter inn, slik som riktig

spenning over elektrodene i kammeret, perturbasjonsfaktoren til kammeret og den

såkalte ”displacement factor” (sistnevnte kun relevant for sylindriske kammere), men

vi skal ikke gå i detalj rundt disse.

Hvis man har kontroll på alle de mulige parameterne i måleoppsettet, skal

dosen avsatt i ionekammerets gass være gitt ved:

gasair MNeWXD ==

der M er elektrometerets utslag (gjerne i nC), og Ngas er kalibreringsfaktoren for

kammeret (dvs. i Gy/nC). Alle korreksjonsfaktorer, slik som for rekombinasjon av


ioner (Pion) og korreksjon for temperatur, luftfuktighet og trykk antas ligge i Ngas.

Disse faktorene må innføres ved reelle oppmålinger, men vil i dette resonnementet

bare komplisere utledningene og er utelatt. Hvis vi nå benytter oss av Bragg-Gray

kavitetsteori, vil dosen til mediet fremkomme som:

( )

( )∫

∫

∆∆

∆∆

∆∆∆

Φρ

Φρ≈

ρ

ρ

=

ρ

= maxTairTair

maxTmedTmed

E

med

airE

med

airgas

E

med

airairmed

dT /L

dT /LL,LMNLDD

zzz

der indeksen zE indikerer at målingen er foretatt i måledyp z, og denne energien skal

i den korrekte tabellen gi et svarende stoppeevneforhold som benyttes til utregning av

dosen. Merk altså at L svarer til en begrenset stoppeevne, som ligger i den utvidete B-

G-teorien til Spencer og Attix. Perturbasjonsfaktoren (Prepl, som alltid er mindre enn

1) er også utelatt her, men vil ligge veldig nære 1 hvis et så tynt vindu (eller buildup-

cap) som mulig benyttes på kammeret. Sistnevnte innebærer også at Φair→Φmed. Hvis

mediet som det måles i er forskjellig fra vann, og dosen til vann er det som ønskes,

bør følgende relasjon benyttes:

watermed

E

water

medmedwater

z

SDD Φ

ρ

=

Khan oppgir dette utrykket i læreboken sin, og nevner noen av problemene i

fobindelse med dette. Det mest grunnleggende spørsmålet er hvordan

elektronfluensen ser ut i de forskjellige mediene. Hvis, i tillegg, tverrsnittet for

bremsestråling er forskjellig, mener undertegnede at forholdet mellom stoppeevnene

vil gi et feilaktig bidrag til dosen. Nok et problem er hva som er det effektive

måledypet i fantomet i forhold til vann, f.eks. hvor i fantomet dosemaksimum opptrer.

Dybdedoser fra elektroner kan altså bestemmes ved ionekammere, dioder eller

film. Måleoppsettet i et vannfantom er typisk som følger:


Elektroner fra lineæraksellerator

vanntank

detektor Motorisert arm som holder detektor

Detektoren flyttes langs eller normalt på strålefeltet, hvis det som ønskes er hhv.

dybdedoser eller profiler (tverrscan). Noe av problemet med slike dybdosemålinger er

at man i prinsippet skal korrigere detektorens avlesning med stoppeevneforhold,

perturbasjonsfaktorer osv. i hvert eneste målepunkt. Nedenfor vises målinger av

dybdedosen fra diverse elektronfelt med ionekammer eller diode.

Film passer dårlig til absoluttdosimetri, ettersom svertningen avhenger sterkt

av emulsjonen som brukes, og går raskt i metning med økende dose. Ved relativt lave

dosenivåer passer den imidlertid bra til relativmålinger, og spesielt for måling av

isodosefordelinger. I tillegg skal visstnok ikke stoppeevneforholdet mellom film og

vann variere mye for de aktuelle elektronenergiene. Nedenfor vises svertningen av en

film plassert mellom to fantomblokker, der filmen er plassert langs elektronstrålen. I

denne figuren er den resulterende ”isotetthetskurven” vist. Dette er den optiske

tettheten (OD) i filmen, og bør i prinisppet korrigeres med en faktor som går fra OD

til dose, hvis isodosekurven er ønskelig. Dermed bør alltid film med en tilnærmet

lineær doserespons benyttes, slik at disse korreksjonene blir minimale.



De to figurene ovenfor viser de viktigste karakteristikkene ved elektronfelt,

nemlig den relativt raskt avtagende dybdedosekurven og den dråpeformede

isodosefordelingen. Begge kurvene skyldes naturlig nok de to fundamentale

prosessene som gir opphav doseavsetningen; energitap og spredning. Lavenergetiske

elektroner spres mye lettere enn høyenergetiske (se figuren for masse-

spredningsevnen), slik at dråpeformen er spesielt tydelig ved lave energier. Denne blir

mer langstrakt når energien øker. Dette gir seg samme uttrykk i buildup-regionen:

Lavenergetiske elektroner spres meget effektivt over et lite område, og bygger relativt

rakst opp dosen til et maksimum. For høyenergetiske elektroner vil oppbyggingen

skje mer gradvis og over et større område, i tillegg til at variansen i elektronenes

energifordelingen øker kraftig med dypet. Dette fører også til at den negative

gradienten etter dosemaksimum blir slakere for høyenergetiske elektroner. Nedenfor

vises isodosekurver for forskjellige elektronfelt. Husk også at fotonkontamineringen

av elektronfeltet (både fra maskin og pasient) gir et bidrag til dosen, hvilket vises

tydelig som en ”hale” i dybdosen.

Uniformitetsindeksen er definert som arealet som dekkes av 90%-isodosen normalt på

feltaksen i forhold til arealet som finnes innenfor den geometriske definisjonen av

feltgrensene (som ofte i praksis defineres av 50%-isodosen). Denne gir dermed et mål


på flatheten (flatness) til elektronfeltet. Maksimalverdien skal her typisk ikke

overstige mer enn ±3% av dosen i sentralstrålen. Asymmetrien i feltet skal heller ikke

overstige mer enn 2% for punkter liggende på hver side av sentralstrålen.

Elektronsfeltet fås, som nevnt tidligere, ved å benytte såkalte spredefolier, som sprer

den i utgangspunktet meget smale elektronstrålen ut til en ønsket størrelse. På mange

maskiner finnes en såkalt dual-folie, der strålen først spres, og der neste folie utjevner

feltet. Dette skal visstnok fungere bedre enn å foreta hele operasjonen i ett, hvilket

kan skyldes at enklere å utjevne den spredte strålen etter det første filteret. For

kollimering av feltet benyttes først fotonkollimatorene, som stilles inn på en

feltstørrelse større enn eller lik den som skal has ut. Deretter innsettes en applikator

(ofte kalt tubus), som nesten strekker seg nesten ned til pasienten. Dette for å

minimalisere bidraget fra spredte elektroner i akselleratorhodet og luft.

Konstruksjonen av lineærakselleratoren med ”bending magnet”, spredefolie,

applikatorer (tubus) osv. vil gjøre at signifikante forskjeller opptrer i dose-

karakteristikkene mellom forskjellige maskintyper. 12 MeV elektroner fra en Varian

Clinac gir ikke nødvendigvis det samme utbyttet som 12 MeV fra en Siemens Primus,

selv om klinikker som har utstyr fra forskjellige produsenter forsøker å tilpasse

maskinene til en dybdedose som svarer til sykehusets ”standard”.

Typisk blir kalibreringen av utbyttet til maskinen gjort med en feltstørrelse på

10x10 cm. Ved andre feltstørrelser vil dosemålingen gjerne oppgis som en

”feltstørrelsesfaktor”

YxY

10x10

DoseDoseFF =

Denne vil typisk være mindre enn 1 for felter større enn

referansefeltstørrelsen, p.g.a. høyere andel innspredt stråling i sentralstrålen.

Referansedypet i fantomet er gjerne det dypet som gir maksimalt avsatt dose, som ofte

kalles dmax. I dette dypet kalibreres maskinen (med feltstørrelse 10x10 cm) til å gi et

utbytte på f.eks. 1 Gy per 100 monitoreenheter (ME). Hvis en behandling gis med et

15x15 cm felt, som kan ha FF=0.95, multipliseres monitorantallet med denne faktoren

slik at dosen blir korrigert i forhold til feltstørrelsen.

Siden elektronstrålen i utgangspunktet ikke har noe fokus, men divergerer ut

fra området rundt spredefolien og spres i applikator og luft, er det definert noe som


kalles virtuelt fokus. Khan beskriver flere metoder for hvordan man kan finne dette

punktet, men vi dropper alle detaljer rundt dette. Litt av problemet med elektroner er

at hvis avstanden fra virtuelt fokus til et punkt av interesse i fantomet økes, vil en

avstandskorreksjon underestimere fallet i dose. Dette skyldes at bidraget fra innspredt

stråling fra applikator og luft vil føre til at fokus ligger nærmere pasient/fantom enn

posisjonen til spredefolien. Denne effekten er spesielt fremtredende ved lave

elektronenergier (siden mest spredning oppleves her), men blir mindre hvis

feltstørrelsen øker.

Elektronenergiene som vanligvis tilbys fra lineærakselleratorer er fra 6-20

MeV. Forskjellige kliniske indikasjoner avgjør hva slags elektronenergier som skal

brukes for den enkelte pasient. Elektroner brukes til behandling av oveflatiske

tumorer, eller tilsvarende som maksimalt strekker seg 6-7 cm under huden. Dette kan

være hudkreft, leppekreft, såkalte booster’e til lymfeknuter, lesjoner i brystvegg og

svulster i hode/hals-regionen. Dosedekningen som klinikeren ønsker i tumoren kan

variere, men vanlig praksis er å la den terapeutiske rekkevidden av elektronfeltet gå til

90%-isodosen. Bakenfor dette punktet antas det at dosen ikke er tilstrekkelig til å få et

godt terapeutisk resultat. Hudsparing er veldig relevant for behandlig med fotoner,

men fås ikke på tilsvarende måte med elektroner, og ihvertfall ikke ved høye energier.

Elektroner benyttes oftest som enkle felt, men også i flerfeltsteknikker

sammen med fotoner. Utgangspunktet i en standard behandlingsplanlegging er at

klinikeren vurderer utbredelsen til tumor, og spesielt hvor dypt innenfor huden denne

strekker seg. Utbredelsen sammenlignes deretter med isodosekart, der det primære

målet er at hele målvolumet (innbefattet alle usikkerheter) faller innenfor 90%-

isodosen. Noen ganger jenkes det på dette kravet, f.eks. ved bestråling av brystveggen

etter fjerning av bryst i forbindelse med brystkreft. Her kommer lungen inn som et

risikoorgan.

Siden spredningen av elektroner er høy, må man ofte være litt romsligere med

feltgrensene i forhold til utbredelsen av tumor enn for fotoner. Dette gjelder spesielt

ved lave energier. Nok et problem er at dosegradienten bak dosemaksimum blir

slakere ettersom energien øker, og dette innebærer at eventuelt friskt vev bak tumor

får en betraktelig dose (denne effekten fås ikke med tyngre ladde partikler, f.eks.

protoner). Derfor er det skjelden at de høyeste energiene (typisk over 20 MeV)

benyttes, og disse erstattes dermed med fotoner.


Hvis innfallvinkelen til elektronsstrålen på pasientoverflaten er ulik 90º, dvs.

at elektronfeltet er vinklet eller at pasientkonturen ikke er rett, vil avstandseffekter

(som både inkluderer selve avstandsfaktoren og forandring i spredningsforhold) gi

inhomogeniteter i dosen. For å visualisere dosefordelingen, kan det være nyttig å

forestille seg elektronstrålen utgjort av små ”pencil beams”:

Ut fra visualiseringen ovenfor, vil det øverste av de to punktene i det vinklede

tilfellet relativt sett motta mer spredt stråling enn det nederste. Dette innebærer at

oppbyggingen av dosen skjer raskere, men dosefallet etter dosemaksimum blir

slakere. Husk på at vi i disse tilfellene diskuterer dosen langs sentralstrålen.

Dosefordelingen på hver side av sentralstrålen (i planet som visualiseres ovenfor) vil

naturlig nok ikke være symmetrisk.

Nedenfor vises dosefordelingen fra en 12 MeV elektroner innfallende på et

sylindrisk polystyren-fantom. Stiplede linjer viser beregnede verdier, mens heltrukne

representerer målinger. Beregningene er gjort med utgangspunkt i utrykket:

)d,(OFgdf

df)d,f(D)d,gf(D2

0 θ

++

+=+

D0(f,d) er dosen i et gitt punkt i et standard vannfantom, der f er avstanden til fokus

fra fantomoverflaten, og d er dypet i fantomet. Det kvadrerte leddet kjenner vi igjen

som avstandsfaktoren, mens OF er det vi kan kalle hellningsfaktoren (obliquity

factor). Denne vil naturlig nok avhenge hellningsvinkelen og det gitte dypet. Khan

oppgir at denne kan være 1.18 ved en 60 º vinkel for 9 MeV elektroner i

dosemaksimum. Selvfølgelig finnes det simuleringsprogrammer som mer nøyaktig

kan simulere doseavsetningen fra elektroner, men alle disse sliter med å gi en korrekt


beskrivelse av spredningseffekter. Dette gjør også at simuleringen av

strålingsabsorpsjonen i inhomogene medier er vanskelig, men Dag Rune kommer

forhåpentligvis nærmere inn på dette.


Vevsinhomogeniteter gir opphav til dosegradienter, hovedsakelig på grunn av

at spredningseffekter avhenger sterkt av vevets effektive atomnummeret og at

rekkevidden til elektroner tilnærmet er proporsjonal med tettheten (så lenge man ikke

nærmer seg gassfase). En metode som kalles “Coefficient of Equivalent Thickness

method” (CET) utnytter nettopp at attenueringen i et gitt stoff er proporsjonal med

attenueringen i vann. Hvis et “skive” av vann med tykkelse z erstattes med et annet

medium, vil den resulterende effektive tykkelsen bli z x CET. Hvis tettheten i det nye

mediet er lavere enn for vann blir CET<1 osv. Det effektive dypet der en viss dose

oppnås etter at strålen har passert inhomogeniteten blir dermed:

)CET1(zddeff −−=

Dette er en veldig enkel tilnærming til problemet rundt inhomogeniteter, ettersom

spredning er kritisk for doseavsetningen, spesielt i grensesjiktene (se kapittel 9).

Nedenfor gjengis en fin figur fra Khan, som viser effekten av lunge på

isodosefordelingen:

I figuren ovenfor ser man også at en såkalt bolus er lagt på brystveggen. Bolusen

består av et vevsekvivalent materiale, som enten benyttes for å øke overflatedosen,


utjevne irregulære overflater eller redusere rekkevidden til elektronene i enkelte deler

av feltet.

Videre skal vi prate litt om”skjøteproblematikk”, som oppstår når flere felter,

både av elektroner og fotoner, sammen skal gi dose til et målvolum:

felt 1 felt 2

Pasientkontur

mål-volum

Skal man i slike tilfeller f.eks. la feltgrensene ligge inntil hverandre på pasientens

hudoverflate? Ovenfor ser vi hvordan divergensen gjør at hvert enkelt felt vil gi et

dosebidrag i området som er dekket av det andre feltet. Man kunne tenke seg å løse

dette med å rotere gantry på akselleratoren slik at de to divergenslinjene blir

parallelle, men i dette tilfellet skal det veldig lite til før pasienten får 200 % (ved

overlapping) eller 0 % av dosen. Denne teknikken kan imidlertid brukes i hode/hals-

regionen, når pasienten er godt fiksert og ikke kan bevege seg. Vanligvis velges et

imidlertid et såkalt ”skjøtedyp”, dvs. et dyp der divergenslinjene skal skjære

hverandre. Dette kan gjøres ut fra en klinisk vurdering i de enkelte tilfeller, men ofte i

følge en standard praksis (f.eks. skjøting i 1 cm dyp). Uansett fås problemer med

varme og kalde regioner, som kan føre til økte senskader og/eller residiverende

tumorvev. Nedenfor vises et bilde fra Khan, der to 19 MeV elektronfelter skjøtes mot

hverandre.


Videre ser vi på et tilfelle der 9 MeV elektroner skjøtes mot et 6 MV fotonfelt:

I det sistnevnte eksempelet vil det varme området fås i volumet avgrenset av

fotonfeltgrensen, siden spredte elektroner vil bidra relativt mer til dosen i fotonfeltet

enn vice versa.

Blokking av deler av elektronfeltet kan gjøres for å få feltet mere konformt i

forhold til målvolumet. Ved blokking må man alltid ha i bakhodet at dette forandrer

på doseutbyttet i et gitt dyp, slik at dette bør kompenseres med en effektiv

feltstørrelsesfaktor. Avgrensing og blokking (dvs. forming) av feltene kan gjøres med

høy-Z materialer slik som f.eks. Cerrobend, som har et relativt lavt smeltepunkt og

kan smeltes og formes i spesielle maskiner på klinikken.


Date post:	24-Jan-2020
Category:	Documents
Upload:	others
View:	0 times
Download:	0 times

Forelesningsnotater i FYS398 – Fysikk i stråleterapifolk.uio.no/emalinen/underv/fys398.pdf(eller...

Documents