『書き込み式 はじめての水理学』WEB 解答

（解説ページの書き込み欄の答え，および練習問題の解答）

第 1章 次 元 と 単 位

Lesson 1 有効数字と単位

1-1. 有効数字と精度

（p.2）

物理量

1.6 cm 1.54 cm

有効数字

1-2． 有効数字の表記方法

4 桁

4 桁 5 桁

3 桁 ， 4桁 ， 6 桁

（p.3）

図 1.3 3 桁 2桁

4 桁 2 桁

6 桁 2 桁

1.0×103 m

1.0×105 cm

1-3． 次 元 と 単 位

単位

（p.4）

1-4. CGS 単位系，MKS 単位系と国際単位系（SI）

170 cm

1.70 m

1

（p.5）

1-5. 力 の 単 位

[ M・L/T2 ]

g・cm/s2 kg・m/s2

CGS 単位系の力の単位 g・cm/s2 を dyn

MKS 単位系の力の単位 kg・m/s2 を N

国際単位系（SI）

1-7. 仕事の単位

kg・m2/s2

g・cm2/s2

（p.6）

理解度チェック！

表 1.1 次元と単位

量 次元 CGS 単位 SI

MKS 単位系 組立単位

長さ [ L ] cm m

質量 [ M ] g kg

時間 [ T ] s s

速度 [ LT-1 ] cm/s m/s

加速度 [ LT-2 ] cm/s2 m/s2

力 [ MLT-2]

基本単位 組立単位 基本単位 組立単位

g・cm/s2 dyn kg・m/s2 N

圧力 [ ML-1T-2]

基本単位 組立単位 基本単位 組立単位

g/(cm・s2） dyn/cm2 kg/(m・s2） Pa（= N/m2）

仕事 [ ML2T-2]

基本単位 組立単位 基本単位 組立単位

g・cm2/s2 erg kg・m2/s2 J(=N・m)

2

練習問題

【問１】

(1)

25 g + 1.7 g = 26.7 g = 27 g

(2)

2.5 cm × 3.78 cm = 9.45 = 9.5 cm2

（p.7）

【問２】

𝑣 =1.3

3.5= 0.371 … = 3.7 × 10 cm/s = 3.7 × 10 m/s

【問３】

𝐹 = 0.10 g × 9.8 × 10 cm/s = 98 g ∙ cm/s = 98 dyn

𝐹 = 0.00010 kg × 9.80 m/s = 9.8 × 10 N

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

解答 27 9.5 3.7×10-1 3.7×10-3 98 9.8×10-4

（単位） g cm2 cm/s m/s dyn または

g・cm/s2

N または

kg・m/s2

［計算欄］

［計算欄］

［計算欄］

［計算欄］

3

Lesson 2 絶対単位系と重力単位系

2-1. 体積と質量の単位

（p.8）

V1 ＝ 長さ×長さ×長さ : [ L3 ] （次元）

＝ １ m3 （MKS 単位系）

＝ １×106 cm3 （CGS 単位系）

V2 ＝ １×10-3 m3 （MKS単位系）

＝ １×103 cm3 （CGS単位系）

＝ 1 Lリットル

1 m3 = 1×106 cm3 = 1×103 L

1 tトン

= 1×103 kg = 1×106 g = 1×109 mg

2-2. 絶対単位系と重力単位系

1N とは 1 kg の質量に 1 m/s2 の加速度を与えるための力

1dyn とは 1 g の質量に 1 cm/s2 の加速度を与えるための力

（p.9）

F = mg = 1 g × 980 cm/s2 = 980 dyn = 1 g fグラムフォース

(または gグラム

重じゅう

)

重力単位系

1 gf （重力単位系）= 980 dyn （絶対単位系）

1 dyn （絶対単位系）= 1/980 gf （重力単位系）

1 kgf （重力単位系）= 1 kg×9.80 m/s2 = 9.80 N （絶対単位系）

1 tf （重力単位系）= 1 t×9.80 m/s2 = 9.80 kN （絶対単位系）

4

2-3. 密度と単位重

ρw = 1.0 g/cm3 （CGS単位系）

= 1.0×103 kg/m3 （MKS単位系）

= 1.0 t/m3 （MKS単位系）

(p.10)

ww =ρwg

= 1.0 g/cm3 × 980 cm/s2 （CGS単位系）

= 1.0 gf/cm3 （重力単位系）

ww =ρwg

= 1.0 × 103 kg/m3 × 9.80 m/s2 （MKS単位系）

= 1.0 tf/m3 （重力単位系）

理解度チェック！

【１】 絶対単位系と重力単位系の換算

1 kgf（重力単位系）=1 kg×9.80 m/s2 = 9.80 N （絶対単位系）

1 tf（重力単位系）=1 t×9.80 m/s2 = 9.80 kN （絶対単位系）

【２】 水の密度

ρw = 1.0 g/cm3 （CGS単位系）= 1.0×103 kg/m3 （MKS単位系）

= 1.0 t/m3 （MKS単位系）

【３】水の単位重

ww = 1.0 g/cm3 × 980 cm/s2 （CGS単位系）

= 1.0 gf/cm3 （重力単位系）

ww = 1.0 × 103 kg/m3 × 9.80 m/s2 （MKS単位系）

= 1.0 tf/m3 （重力単位系）

5

練習問題

（p.11）

【問 1】

[計算欄]

8820 dyn =8820

980= 9.00 gf

【問 2】

[計算欄]

8.00 gf = 8.00 × 980 = 7.84 × 10 dyn

【問 3】

[計算欄]

10 gf = 10 × 980 = 9.8 × 10 dyn

【問 4】

[計算欄]

1960 g ∙ cm

s=

1960

980gf = 2.00 gf

【問 5】

[計算欄]

6 m = 6 × 10 cm = 6 × 10 L

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

解答 9.00 7.84×103 9.8×103 2.00 6×106 6×103

（単位） gf dyn dyn gf cm3 L

6

（p.12）

【問 6】

[計算欄]

0.8 g

cm= 0.8

10 kg

10 L= 0.8

kg

L= 0.8 t/m

【問７】

[計算欄]

11760 dyn =11760

980gf = 1.200 × 10gf

【問８】

(1)

[計算欄]

50 gf = 50 × 980 dyn = 4.9 × 10 dyn

(2)

[計算欄]

9gf

cm= 9 × 980

dyn

cm= 8.82 × 10

dyn

cm

(3)

[計算欄]

0.5 gf ∙s

cm= 0.5 × 980 dyn ∙

s

cm= 4.9 × 10

g

s ∙ cm

⑦ ⑧ ⑨ ⑩ ⑪ ⑫

解答 0.8 0.8 1.200×10 4.9×104 8.82×103 4.9×102

（単位） kg/L t/m gf dyn dyn ∙ ま

たは ∙

7

第 2章 水 の 性 質

Lesson 3 水の物理的性質（毛管現象とパスカルの原理）

（p.14）

3-1. 水の密度

単位体積 質量

低下

ρw = 998.2 kg/m3 ρw = 995.7 kg/m3

ρa = 1.205 kg/m3

ρw = 998.2 kg/m3 ≒ 1000.0 kg/m3

比重

1.01～1.03

（p.15）

3-2. 表面張力と毛管現象

表面張力 Tの鉛直成分 ＝ T cosθ×πd

水の重量 W ＝ mg ＝ ρ×π×（d /2）2×h×g

＝

（p.16）

ℎ = 4𝑇cos𝜃

𝜌𝑔𝑑 (3.1)

8

3-3. 水 の 粘 性

粘性 粘性係数μミュー

[Pa・s]

（p.17）

3-4. 水の非圧縮性

圧縮性 非圧縮性

3-5. パスカルの原理

パスカル の原理

（p.18）

𝑝 = 𝑃

𝐴 , 𝑝 =

𝑃

𝐴

p1 =p2 = =

理解度チェック！

１． 異なる

２．

ℎ = 4𝑇cos𝜃

𝜌𝑔𝑑 (3.1)

9

３． 非圧縮性 圧縮性

４． 圧力

練習問題

（p.19）

【問１】

[計算欄]

𝑑 =4𝑇cos𝜃

𝜌𝑔ℎ=

4 × 72.8 × cos0°

1.00 × 980 × 2.00= 0.14857 … = 0.149 cm

（p.20）

【問 2】

[計算欄]

パスカルの原理より、 =

𝑃 = 𝑃 ×𝐴

𝐴= 45 kN ×

20 cm

180 cm= 45 kN ×

1

9= 5.0 kN

①

解答 1.49×10-1

（単位） cm

②

解答 5.0

（単位） kN

10

第 3章 静 水 圧

Lesson 4 基本（静水圧①）

4-1. 静 水 圧 と は

（p.22）

① 考えている面に 垂直 に働く

② 水中の任意の点では， すべての方向 に等しい値を持つ。

③静水圧は 水深 に比例する。

4-2. ある水深 zにおける静水圧

比例

𝑝 = 𝜌𝑔𝑧

（p.23）

𝑝 = 𝑝 + 𝑝 = 𝑝 + 𝜌𝑔𝑧

絶対圧 ゲージ圧

4-3. 圧力水頭

𝑧 = 𝑝

𝜌𝑔

(4.1)

(4.2)

(4.3)

11

（p.24）

理解度チェック！

【１】

𝑝 = 𝜌𝑔𝑧

【２】

𝑧 =

練習問題

【問１】

[計算欄] 𝑝 = 𝜌𝑔𝑧 = 1000 kg

m× 9.8 m s ×⁄ 10 m = 98 kPa

𝑝 = 𝜌𝑔𝑧 = 1 tfm

× 10 m = 10 tf m⁄

w =ρg= 1.0 g/cm3 × 980 cm/s2 （CGS単位系） ＝ 1.0 gf/cm3 （重力単位系）

w =ρg= 1.0 × 103 kg/m3 × 9.80 m/s2 （MKS単位系）＝ 1.0 tf/m3 （重力単位系）

【問２】

[計算欄]

𝑝 = 𝜌 𝑔ℎ = 1.03 tf m × 10924 m = 11252 = 1.13 × 10 tf m⁄⁄

(4.1)

(4.3)

12

（p.25）

【問３】

[計算欄] 𝑤 = 𝜌𝑔 = 1000 kg m × 9.80 m s = 9.80 kN m⁄⁄⁄

ℎ =𝑝

𝜌𝑔=

101.22 kN m⁄

9.80 kN m⁄= 10.3 m

【問４】

[計算欄]

𝑝 = 1000 kg m × 9.80 m s × 20 × 10 m = 1.96 kPa⁄⁄

【問５】

[計算欄] 𝑝 = 1.0 tf m × 0 m = 0 tf m⁄⁄

（水面なので大気圧＝ゼロ）

𝑝 = 1.0 tf m × 0.20m = 0.20 tf m⁄⁄

𝑝 = 1.0 tf m × 0.50m = 0.50 tf m⁄⁄

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

解答 98 10 1.13×104 10.3 1.96 0 0.20

0.50

（単位） kPa tf/m2 tf/m2 m ｋPa tf/m2 tf/m2 tf/m2

13

Lesson 5 全静水圧と断面一次モーメント（静水圧②）

5-1. 静水圧 pと全静水圧 P

（p.26）

任意の推進 zにおける静水圧𝑝 = 𝜌𝑔𝑧

（p.27）

分布

集中

5-2. 図心と重心

面積 図心

（p.28）

5-3. 板に働く全静水圧 P

𝑝 = 𝜌𝑔𝑧

∫ 𝑧 𝑑𝐴 = ℎ 𝐴 (5.2)

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 (5.3)

全静水圧＝平板の 図心 hGに働く静水圧 p ×平板の 面積 A

(4.1)

(5.4)

14

（p.29）

理解度チェック！

【1】断面一次モーメント： ∫ 𝑧 𝑑𝐴 = ℎ 𝐴 (5.2)

【2】平板全体に働く全静水圧 P： 𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 (5.3)

全静水圧＝平板の 図心 hGに働く静水圧 p ×平板の 面積 A

練習問題

（p.30）

【問１】

[計算欄]

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 1 tf m × 2.0 +4.0

2m × (4.0 × 3.0)m = 48tf = 4.8 × 10tf

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 1000 kg/m × 9.80 m/s × 4.0 m × 12 m

= 470.4 kN = 4.7 × 10 kN

(5.4)

15

【問２】

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 1 tfm

× 0.70 +1.00

2m × (1.00 × 0.50)m = 0.60tf

① ② ③

解答 4.8×10 4.7×102 0.60

（単位） tf kN tf

[計算欄]

16

Lesson 6 作用点と断面二次モーメント（静水圧③）

6-1. 静水圧 pと全静水圧 P

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 (5.3)

分布荷重 p

集中荷重 P

6-2. 作用点 Cと断面二次モーメント

ℎ = ℎ −ℎ

3=

2

3ℎ

（p.32）

水平軸まわりの断面二次モーメント：𝐼 = ∫ 𝑧 𝑑𝐴

𝑃ℎ = 𝜌𝑔𝐼

ℎ = 𝜌𝑔𝐼

𝑃=

𝜌𝑔𝐼

𝜌𝑔ℎ 𝐴=

𝐼

ℎ 𝐴

（p.33）

𝐼 = ℎ 𝐴 + 𝐼

ℎ = = = ℎ +

(6.3)

(6.2)

17

（p.34）

理解度チェック！

【１】平板全体に働く全静水圧 P： 𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 (5.3)

【２】作用点 Cまでの距離 hC： ℎ = ℎ +

【３】

（1）長方形

𝐼 =

（2）三角形

𝐼 =

（3）円

𝐼 =

(4)台形

𝐼 = ℎ (𝑎 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 )

36(𝑎 + 𝑏)

(6.3)

18

（p.35）

練習問題

【問１】

𝐼 =5 ∙ 10

12= 416.67cm

𝐼 =10 ∙ 5

12= 104.17cm

【問２】

𝐴 = 4.0 × 2.0 = 8.0m

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 1 tf m⁄ ∙ 3m ∙ 8m = 24tf

ℎ = ℎ +𝐼

ℎ 𝐴= 3 +

4 ∙ 212

3 ∙ 8= 3.11m

① ② ③ ④

解答 4.2×102 1.0×102 24 3.1

（単位） cm4 cm4 tf m

[計算欄]

[計算欄]

19

Lesson 7 傾斜平面に働く静水圧（静水圧④）

平板全体に働く全静水圧 P： 𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 (5.3)

作用点 Cまでの距離 hC： ℎ = ℎ +

𝑧 = 𝑠 ∙ sin𝜃

、

ℎ = 𝑠 ∙ sin𝜃

（p.37）

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 𝜌𝑔 ∙ 𝑠 sin𝜃 ∙ 𝐴

𝑠 = 𝑠 +𝐼

𝑠 𝐴

ℎ = 𝑠 ∙ sin𝜃

理解度チェック！

【１】傾斜平板に働く全静水圧 P： 𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 𝜌𝑔 ∙ 𝑠 sin𝜃 ∙ 𝐴

【２】作用点 C の s 軸に沿った斜距離 sC： 𝑠 = 𝑠 +

【３】sCと作用点 C までの水深 hCの関係： ℎ = 𝑠 ∙ sin𝜃

(7.3)

(7.1)

(7.2)

(6.3)

(7.5)

(7.4)

(7.3)

(7.5)

(7.4)

20

練習問題

（p.39）

【問】

（1）

ℎ = 𝑠 sin𝜃 = 2.00 +4.00

2× sin30° = 2.00m

（2）

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 1000 kg m × 9.80⁄ m s⁄ × 2.00m × 𝜋4.00

2m = 246.3kN

= 2.46 × 10 kN

（3）

𝑠 = 𝑠 +𝐼

𝑠 𝐴= 4.00 +

𝜋 × 2.004

4.00 × 𝜋 × 2.00= 4.00 +

1

4.00= 4.25m

ℎ = 𝑠 sin𝜃 = 4.25 × sin30° = 2.125 = 2.13m

① ② ③

解答 2.00 2.46×102 2.13

（単位） m kN m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

21

Lesson 8 曲面に働く静水圧（静水圧⑤）

ラジアルゲート

（p.41）

𝑑𝑃 = 𝜌𝑔𝑧 ∙ 𝑑𝐴

𝑃 = 𝜌𝑔𝑧 ∙ 𝑑𝐴 = 𝜌𝑔ℎ ∙ 𝐴

（p.42）

ℎ = ℎ +

𝑃 = 𝜌𝑔𝑉

𝑃 = 𝑃 + 𝑃

（p.43）

理解度チェック！

【１】曲面にかかる全静水圧の水平方向成分 Px：

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ ∙ 𝐴

(8.1)

(8.4)

(8.3)

(8.1)

(8.2)

22

【２】Pxの作用点 hCx：

ℎ = ℎ +𝐼

ℎ 𝐴

【３】曲面に働く全静水圧 P の鉛直成分 Pz：

𝑃 = 𝜌𝑔𝑉

【４】曲面に働く全静水圧 P：

𝑃 = 𝑃 + 𝑃

練習問題

（p.44）

【問】

（１）

𝐴 = 3.00 × 5.00 = 1.50 × 10 m

（２）

ℎ =3.00

2= 1.50 m

(8.3)

(8.4)

(8.2)

[計算欄]

[計算欄]

23

（３）

𝑃 = 𝜌𝑔ℎ 𝐴 = 1 tf m⁄ × 1.50m × 1.50 × 10m = 22.5tf = 2.25 × 10tf

（p.45）

（４）

𝑉 =1

4(𝜋3.0 m × 5.0m) = 35.34 = 3.53 × 10 m

（５）

𝑃 = 𝜌𝑔𝑉 = 𝜌𝑔 × 35.34 = 1 tf m⁄ × 35.34m = 35.34tf = 3.53 × 10 tf

（６）

P = 𝑃 + 𝑃 = 22.5 + 35.3 = 41.89tf = 4.19 × 10tf

（７）

ℎ = ℎ +𝐼

ℎ 𝐴= 1.50m +

5.00 × 3.0012

m

1.50m × 15.0m= 1.50m +

3.00

6.00m = 2.00m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

24

① ② ⑤ ⑥ ⑦ ⑥ ⑦

解答 1.50 × 10 1.50 2.25

× 10 3.53 × 10

3.53

× 10

4.19 × 10 2.00

（単位） m m tf m tf tf m

（p.46）

（８）

𝑃 × ℎ = 𝑃 × 𝑎

22.5tf × 2.00m = 35.3 × 𝑎

𝑎 =45.0

35.3= 1.273 = 1.27m

（９）

tanα =𝑃

𝑃

α = 𝑡𝑎𝑛𝑃

𝑃= 𝑡𝑎𝑛

35.3

22.5= tan 1.57 = 57.5°

⑧ ⑨

解答 1.27 57.5°

（単位） m

[計算欄]

[計算欄]

25

Lesson 9 浮力

(p.47)

9-1. アルキメデスの原理

水平 鉛直

鉛直方向の差＝ P1 – P2

＝ 𝜌𝑔𝑉 − 𝜌𝑔𝑉

＝ 𝜌𝑔𝑉

水深

アルキメデスの原理：𝐵 = 𝜌𝑔𝑉

排水体積

（p.48）

9-2. 吃きっ

水すい

と浮ふ

心しん

浮心 C 吃きっ

水すい

𝜌 𝑔𝐴𝐻 = 𝜌𝑔𝐴ℎ

ℎ = 𝜌

𝜌𝐻

(9.1)

(9.3)

(9.2)

26

（p.49）

理解度チェック！

【１】 アルキメデスの原理： 𝐵 = 𝜌𝑔𝑉

【２】 吃水深 h： ℎ = 𝐻

練習問題

(p.49)

【問】

（１）

𝐵 = 𝜌 𝑔𝑉 = 1.03 tf m × ℎ × 20 × 5m⁄ = 135tf

ℎ = 1.31m

（p.50）

（２）

吃水が 1.50m のとき、浮力は𝐵 = 1.03 tf m⁄ × 1.5m × 100m = 154.5tf

よって、足りない荷重は154.5 − 135 = 19.5t

(9.3)

(9.1)

[計算欄]

[計算欄]

27

① ②

解答 1.31 19.5

（単位） m t

28

Lesson 10 浮体の安定

(p.51)

10-2. 浮体の安定

重量 W 浮力 B

浮心 C

復元力 安定

不安定

10-3. 浮体の安定と傾けい

心しん

M

(p.53)

GM = − CG

理解度チェック！

【１】傾心高：GM： GM = − CG

【２】浮体の安定不安定の判定：

GM > 0 のとき、浮体は 安定 である。

GM < 0 のとき、浮体は 不安定 である。

(10.1)

(10.1)

29

練習問題

【問】

（p.55）

（１）

𝑊 = 2.4𝜌𝑔 × (6.5 × 4.0 × 5.0) − 2.4𝜌𝑔 × (2 × 2.8 × 3.4 × 4.5)

= 106.368𝜌𝑔

= 106.368m × 9.8 = 1042.406kN = 1.0 × 10 kN

（２）

OG =.

.= 2.50m

OG = 0.50 +.

.= 2.75m

OG × 106.368𝜌𝑔 = 2.50 × 130 × 2.40𝜌𝑔 − 2.75 × 85.68 × 2.40𝜌𝑔

OG = 2.02 = 2.0m

（３）

𝑤 = 𝐹 より

106.368𝜌𝑔 = 1.03 × 𝜌𝑔 × 𝑧 × 6.50 × 4.00

𝑧 =.

.= 3.972 ≒ 4.0m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

30

（４）

OC =𝑧

𝑧= 1.986 = 2.0m(< OG )

① ① ② ④

解答 1.0 × 10 2.0 4.0 2.0

（単位） kN m m m

（５）

𝐼 =. × .

.= 3.47 × 10m = 3.5 × 10m

𝐼 =. × .

.= 9.15 × 10m = 9.2 × 10m

（６）

𝑉 = 4.00 × 6.50 × 𝑧

= 1.0 × 10 m

（７）

𝑎 = GC = OG − OC = 2.017 − 1.986

= 0.031 ≒ 3.1 × 10 m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

31

（８）

ℎ =𝐼

𝑉− 𝑎 =

34.67

103.30− 0.031

= 0.305 ≒ 3.1 × 10 m > 0 →安定

⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩

解答 3.5 × 10 9.2 × 10 1.0 × 10 3.1 × 10 3.1 × 10 安定

（単位） m m m m m

[計算欄]

32

第 4 章 流れの基礎と三つの支配方程式

Lesson 11 流れの基礎と連続の式（質量保存則）

(p.60)

11-1. 流体力

流体力

11-2. 流速と流量

流速 v

「LT-1」

流量 Q

「L3T-1」

𝑄 = 𝑣𝐴

(p.61)

11-4. 定常流と非定常流（流れの種類②）

定常流 非定常流

等流

不等流

(p.62)

不定流

11-5. 連続の式（質量保存則）

𝜌𝑄 = 𝜌𝐴 𝑣

𝜌𝑄 = 𝜌𝐴 𝑣

(11.1)

(11.2)

(11.3)

33

（p.63）

Q = 𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 = 一定

理解度チェック！

【１】 流量と流速の関係： 𝑄 = 𝑣𝐴

【２】 流れの分類（空欄を埋めよう）：

時間的な変化 空間的な変化

なし 定常流

なし 等流

あり 不等流

あり 非定常流 あり 不定流

３．連続の式（質量保存則）：𝑄 = 𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 = 一定

(p.64)

練習問題

【問１】

𝑄 = 𝑣𝐴 = 1.50m/ × 𝜋・0.20

= 0.188m /

(11.4)

(11.1)

(11.4)

[計算欄]

34

【問２】

𝑉 𝐴 = 𝑉 𝐴

0.50 × 𝜋・0.50 = 1.50 × 𝜋・𝑟

𝑟 =.

.= 0.083

𝑟 = 0.2886m

【問３】

30.0L/ = 30.0 × 10 cm /

𝑣 =・ .

= 3.81 × 10 cm/

𝑣 =・ .

= 1.06 × 10 cm/

① ② ③

解答 0.19 0.29 3.8×102 1.1×103

（単位） m3/s m cm/s cm/s

[計算欄]

[計算欄]

35

Lesson 12 ベルヌーイの定理

（p.65）

12-1. 水の３大エネルギー

F × a

1 Jジュール

1 J

①運動エネルギー ②位置エネルギー

𝑚𝑣 𝑚𝑔𝑧

𝑝 × 𝐴𝑣 = 𝑝𝑄

𝑝𝑄 =𝑝

𝜌𝜌𝑄 =

𝑝

𝜌𝑚

(p.66)

𝐸 = 𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔

12-2. ベルヌーイの定理

𝐸 = 𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔

𝐸 = 𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔

𝐸 = + 𝑧 + = + 𝑧 + = 一定

（E1） （E2）

(12.1)

③水の圧力エネルギー

(12.2)

36

(p.67)

理解度チェック！

【１】 エネルギー損失

【２】連続の式（Lesson 11 の復習）：

𝑄 = 𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 = 一定

【３】完全流体におけるベルヌーイの定理：

𝐸 = 𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔 =

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔 = 一定

（E1） （E2）

練習問題

☆重要★【例題】

𝑣 = 2𝑔𝐻

(p.68)

【問】

（１）

𝐴 =𝜋𝑟

4=

𝜋(250 × 10 )

4= 0.049087m ≒ 4.9 × 10 m

𝐴 =𝜋𝑟

4=

𝜋(180 × 10 )

4= 0.0254469m ≒ 2.5 × 10 m

(12.2)

(11.4)

[計算欄]

37

（２）

𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 より

0.049087 × 3.0 = 0.0254469 × 𝑣

𝑣 = 5.78104m/ = 5.8m/

（３）

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔=

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔

3.00

2.00 × 9.8+ 6.00 +

120 × 10

1000 × 9.8=

5.79

2 × 9.8+ 5.00 +

𝑝

1000 × 9.8

9.00

2.00 × 9.80+ 1.00 +

120

9.8−

5.79

2 × 9.8=

𝑝

1000 × 9.8

𝑝 = 1000 × (9

2+ 9.8 + 120 −

5.79

2)

= 117.538 × 1000Pa

= 1.2 × 10 kPa

① ② ③ ④

解答 4.9×10-2 2.5×10-2 5.8 1.2×102

（単位） m2 m2 m/s kPa

[計算欄]

[計算欄]

38

Lesson 13 ベルヌーイの定理の応用

(P.69)

13-1. ベルヌーイの定理と連続の式

𝐸 = + 𝑧 + = + 𝑧 + = 一定

𝑄 = 𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 = 一定

13-2. ピトー管

【例題】

𝑣 = 2𝑔𝐻

（p.72）

練習問題

【問１】

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔=

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔

𝑝 ・𝑝 は大気なので 0、𝑧 = 0、 ≪ より を無視すると

𝑧 = 𝑣 = 2𝑔𝑧

𝑣 = 2𝑔𝑧 = √2.00 × 9.8 × 4.00 = 8.85 = 8.9 m s⁄

𝑄 = A𝑣 =𝜋0.2

4× 8.85 = 0.278 = 0.28m s⁄

[計算欄]

(12.2)

(11.4)

39

(p.73)

【問２】

（１）

+ 𝑧 + = + 𝑧 + 𝑧 = 0 、𝑧 = 0 より、

= + ・・・①

（２）

𝑄 = 𝐴 𝑣 = 𝐴 𝑣 より

𝑣 = ・𝑣 ・・・②

[計算欄]

[計算欄]

40

（３）

①に②を代入して = ( 𝑣 ) +

𝑝

𝜌𝑔=

𝑣

2𝑔−

1

2𝑔(

𝐴

𝐴𝑣 )

=𝑣

2𝑔1 −

𝐴

𝐴=

𝑣

2𝑔1 −

(𝜋 × 0.20 )4

(𝜋 × 0.16 )4

=𝑣

2𝑔1 −

0.20

0.16=

𝑣

2𝑔1 −

0.20

0.16

=(8.85)

2.00 × 9.8× (1 − 2.441) = −5.76m

𝑝 = 𝜌𝑔 × (−5.76) = 9.8 × (−5.76) = −5.6 × 10k N m⁄

① ② ③ ④

解答 8.9 0.28 -5.8 -5.6×10

（単位） m/s m3/s m kN/m2

[計算欄]

41

Lesson 14 運動量保存則

(p.74)

反力 R

mv

𝑚𝑣 − 𝑚𝑣

F・t （力積）

m𝑣 − m𝑣 = 𝐹 ∙ 𝑡

（運動量の変化分） （力積）

𝐹 = 𝑚𝑣 − 𝑚𝑣

𝑡=

𝑚

𝑡(𝑣 − 𝑣 )

= 𝜌𝑄

(p.75)

𝐹 = 𝜌𝑄(𝑣 − 𝑣 )

𝑅 = 𝜌Q(𝑣 − 𝑣 )

𝑅 = 𝜌𝑄(𝑣 − 𝑣 )

𝑅 = 𝜌𝑄 𝑣 − 𝑣

𝑅 = 𝑅 +𝑅

(14.1)

(14.2)

(14.3)

(14.4)

(14.5)

42

理解度チェック！

管水路の運動量変化と反力 R ：

𝑅 = 𝜌𝑄(𝑣 − 𝑣 )

𝑅 = 𝜌𝑄 𝑣 − 𝑣

𝑅 = 𝑅 +𝑅

(p.76)

練習問題

【問】

（１）

（p.77）

（２）

𝑣 = 𝑣 = 50.9 m/s， 𝑣 = 𝑣 = 50.9m/s

𝑣 = 𝑣 cos60° =50.9

2= 25.46m/s

𝑅 = 𝜌𝑄(𝑣 − 𝑣 ) = 1000 kg m⁄ × 0.40 m s⁄ × (25.46 − 50.92)m/s

= −10.19 = −10.2kN

[計算欄]

(14.5)

[計算欄]

v1 = =. ⁄

.= 50.9m/s

43

（３）

𝑣 = 0

𝑣 = 𝑣 sin60° = 50.92sin60° = 44.10m/s

𝑅 = 𝜌𝑄 𝑣 − 𝑣 = 1000 kg m⁄ × 0.40 m s⁄ × (44.10 − 0) m s⁄

= 17.64 ≒ 17.6kN

（４）

𝑅 = (−10.19) + 17.64 = 20.37 = 20.4kN

① ② ③ ①

解答 50.9 -10.2 17.6 20.4

（単位） m/s kN kN kN

[計算欄]

[計算欄]

44

第 5 章 管水路の流れ

Lesson 15 実在流体のベルヌーイの定理（管水路の流れ①）

(p.80)

15-1. 摩擦損失と形状損失

𝐸 = 𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔 =

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔 = 一定

粘性

15-2. 損失水頭を考慮したベルヌーイの定理

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔=

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔+ ℎ + ℎ

(p.81)

𝑝 = 𝜌𝑔𝑧

ピエゾ水頭

動水勾配線

エネルギー線

（4.1）

（12.2）

（15.1）

45

(p.82)

15-3. ダルシー・ワイズバッハの式

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔=

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔+ ℎ

ℎ = 𝑓𝑙

𝑑

𝑣

2𝑔

理解度チェック！

（p.82）

【１】摩擦損失水頭ℎ と形状損失水頭ℎ を考慮したベルヌーイの定理：

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔=

𝑣

2𝑔+ 𝑧 +

𝑝

𝜌𝑔+ ℎ + ℎ

【２】ダルシー・ワイズバッハ（摩擦損失水頭）の式：

ℎ𝐟 = 𝑓𝑙

𝑑

𝑣

2𝑔

(15.2)

(15.1)

(15.2)

46

（p.83）

練習問題

【問１】

ℎ = 𝑓 ∙𝑙

𝑑∙

𝑣

2𝑔

= 0.022 ×10

0.10×

1

2 × 9.8

= 0.11224 … m

= 11cm

【問２】

（１）

𝐴 =𝜋𝑑

4=

𝜋 × 10

4= 78.54cm

= 79cm

（２）

𝑄 = 1.5 ls = 1.5 × 10 cm

s

𝑣 = =.

= 19.1 cm𝑠⁄

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

47

（p.84）

（３）

ℎ = 𝑓 ∙𝑙

𝑑∙

𝑣

2𝑔

= 0.028 ×20 × 10

10×

19.1

2 × 9.8 × 10

= 1.04cm

① ② ③ ④

解答 11 79 19 1.0

（単位） cm cm2 cm/s cm

[計算欄]

48

Lesson 16 マニングの公式（管水路の流れ②）

(p.85)

16-1. レイノルズ数 Re

層流

乱流

16-2. 粗度係数 n

0.009～0.012

0.010～0.018

(p.86)

16-3. 流積 Aと潤辺 S、径深 R

径深𝑅 = 𝐴

𝑆

𝐴 = 𝜋𝑑

4

𝑆 = π𝑑

𝑅 = 𝐴

𝑆=

𝜋𝑑4

𝜋𝑑=

𝑑

4

16-4. マニングの式

遅く

速く

(p.87)

I = ℎ

𝑙

(16.4)

(16.2)

49

16-5. マニングの粗度係数と摩擦損失

𝑣 = 1

𝑛𝑅

ℎ

𝑙

𝑓 = .

理解度チェック！

１．レイノルズ数 Re：

𝑅𝑒 = 𝑑𝑣

𝜈

２．径深 R：

𝑅 = 𝐴

𝑆

３．マニングの公式：

𝑣 = 1

𝑛𝑅 𝐼

４．摩擦損失係数 f：

𝑓 = 124.5𝑛

𝑑

(16.5)

(16.3)

(16.5)

(16.2)

(16.1)

50

(p.88)

練習問題

【問１】

𝑣 =1

𝑛𝑅 𝐼 =

1

0.011

𝑑

4

1

900=

1

0.011

3.00

4

1

30= 90.909 × 0.825 ×

1

30

= 2.499 = 2.5m/s

𝑄 = 𝐴𝑣 =𝜋3.00

4× 2.499 = 17.7 = 1.8 × 10 m s⁄

【問２】

𝑓 =124.5𝑛

𝑑=

124.5 × 0.013

0.4= 0.0286

ℎ = 𝑓𝑙

𝑑

𝑣

2𝑔= 0.0286 ×

1500

0.4×

0.70

2 × 9.80= 2.68 = 2.7m

④ ⑤ ⑥

解答 2.5 1.8×10 2.7

（単位） m/s m3/s m

[計算欄]

[計算欄]

51

Lesson 17 形状損失水頭（管水路の流れ③）

(p.89)

17-1. 形状損失水頭の種類

形状損失水頭

練習問題

(p.91)

【問１】

（１）

𝐴 =𝜋𝑑

4=

𝜋 × 0.2

4= 0.031m

（２）

𝑣 = =.

.= 15.9 = 1.6 × 10 m

s⁄

（３）

ℎ = 𝑓 = 0.183 ×.

× . = 2.36 = 2.4m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

52

【問２】

（１）

=× .

= 0.0010m

（２）

𝑣 =.

. = 2.0 m

s⁄

（３）

2.0 =2.0

2 × 9.8+ 1.8 + ℎ

ℎ = 2.0 − 1.8 − 0.204 = −0.004m

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

解答 0.031 1.6×10 2.4 0.0010 2.0 -0.004

（単位） m2 m/s m m2 m/s m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

53

Lesson 18 水車とポンプ（管水路の流れ④）

(p.93)

18-1. 単線管水路の損失水頭

単線管水路

形状損失水頭 hl

𝑧 = 𝑧 + ℎ + ℎ

(p.94)

v ＝ ∑

Q ＝ v = ∑

d ＝ {(𝑓 + ∑ 𝑓 +𝑓 )𝑑 + 𝑓𝑙}

18-2. 水車

𝐻 = 𝐻 − (ℎ + ℎ )

(p.95)

18-3. ポンプ

𝑓 = 124.5𝑛

𝑑

実揚程

全揚程

𝐻 = 𝐻 + ℎ + ℎ

(18.2)

(16.5)

(18.3)

(18.5)

54

(p.96)

練習問題

【問】

（１）

𝑓 =12.7𝑔𝑛

𝑑=

12.7 × 9.8 × 0.015

0.2= 0.047885 = 0.048

（２）

𝑣 =𝑄

𝐴=

0.2

𝜋 × 0.22

4

= 6.37 = 6.4 ms⁄

（３）

ℎ + ℎ = 𝑓 + 2𝑓 + 𝑓 + 𝑓 ∙𝑙

𝑑

𝑣

2𝑔

= 0.3 + 2 × 0.2 + 1.0 + 0.048 ×(10 + 10 + 70 + 10)

0.2×

6.37

2 × 9.8

= (1.7 + 0.24 × 100) ×6.37

2 × 9.8= 53.21 = 5.3 × 10m

（４）

𝐻 = 𝐻 + ℎ + ℎ

= 20 + 53.21 = 73.21 = 7.3 × 10m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

55

（５）

𝑆 =9.8𝑄𝐻

𝜂=

9.8 × 0.2 × 73.21

0.7= 204.99 = 2.0 × 10 kW

① ② ③ ④ ⑤

解答 0.048 6.4 5.3×10 7.3×10 2.0×102

（単位） m m m kW

[計算欄]

56

第 6 章 開水路の流れ

Lesson 19 比エネルギー（開水路の流れ①）

(p.100)

19-1. 開水路の特徴

① 水面が 大気 に接している。

② 水面の 高さ（水位） は、流量、水路の断面形状によって上下する。

表 19.1 開水路流れの分類

19-2. 比エネルギーと限界水深

𝐸 = 𝑣

2𝑔+ 𝑧 + 𝐻 =

𝑣

2𝑔+ 𝑧 + 𝐻

(p.101)

𝐸 = 𝑄

2𝑔𝐵 𝐻+ 𝐻

限界水深 Hc

常流 射流

(19.2)

なし

あり

あり あり

時間的な変化

なし

空間的な変化

定常流

非定常流

等流

不等流

不定流

57

(p.102)

𝑑𝐸

𝑑𝐻= −

𝑄

𝑔𝐵 𝐻+ 1 = 0

𝐻 = 𝑄

𝑔𝐵

限界水深 Hc

𝑣 = 𝑔𝐻 =𝑄𝑔

𝐵

理解度チェック！

【１】比エネルギー：

𝐸 = 𝑄

2𝑔𝐴+ 𝐻

【２】限界水深 Hc：

𝐻 = 𝑄

𝑔𝐵

【３】限界流速𝑣 ：

𝑣 = 𝑔𝐻 =𝑄𝑔

𝐵

【４】ベスの定理： 流量 Q 最小

限界水深 HC

(19.3)

(19.4)

(19.1)

(19.4)

(19.3)

58

(p.103)

練習問題

【問】

（１）限界水深 Hc(解答欄①)

𝐻 =𝑄

𝑔𝐵

=.

. × =0.403 = 0.40m

（２）限界流速 vc(解答欄②)

𝑣 = 𝑔𝐻 = √9.8 × 0.403 = 1.99 = 2.0m s⁄

（３）比エネルギーEc(解答欄③)

𝐸 =𝑄

2𝑔𝐵𝐻+ 𝐻 =

8.00

2 ∙ 9.8 ∙ 10 ∙ 0.403+ 0.403 = 2.41 = 2.4m

① ② ③

解答 0.40 2.0 2.4

（単位） m m/s m

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

59

Lesson 20 常流・射流・フルード数（開水路の流れ②）

(p.104)

20-1. ベスの定理

𝐸 = 𝑄

2𝑔𝐴+ 𝐻

限界水深 Hc

𝐻 = 𝑄

𝑔𝐵

ベスの定理

20-2. ベランジェの定理

𝐻 =2

3𝐸c =

𝑄2

𝑔𝑏

3

20-3. フルード数と常流・射流

(p.105)

H > HC のとき、Hを常流水深、その流れを 常流 と呼び、

H < HC のとき、Hを射流水深、その流れを 射流 と呼ぶ。

フルード数：𝐹𝑟 =

限界水深でのフルード数 𝐹𝑟 = = = 1

限界水深 Hc フルード数 Fr

(20.1)

(20.2)

(19.1)

(19.3)

60

(p.106)

理解度チェック！

【１】限界水深 Hcとその時の比エネルギーEcの関係：

𝐻 =2

3𝐸 =

𝑄

𝑔𝐵

【２】フルード数 Fr：

𝐹𝑟 = 𝑣

𝑔𝐻

【３】開水路の流れが「常流か射流かの判定」：

水深 H > Hc のとき、フルード数 Fr < 1 となり、流れは常流

水深 H = Hc のとき、フルード数 Fr = 1 となり、流れは限界流

水深 H < Hc のとき、フルード数 Fr > 1 となり、流れは射流

練習問題

【問】

（１）

𝐻 =𝑄

𝑔𝐵=

20

9.8 × 10= 0.742 = 0.74m

(20.1)

(20.2)

[計算欄]

61

（p.107）

（２）

𝑆 = 2 × 0.742 + 10 = 11.48 = 1.1 × 10m

𝑅 =𝐴

𝑆=

10 × 0.742

11.48= 0.646 = 0.65m

（３）

マニングの平均流速公式 v = 𝑅 𝐼 より、

𝑄 =𝐴

𝑛𝑅 𝐼

20 =10 × 0.742

0.0160.646 𝐼

𝐼 =20 × 0.016

10 × 0.742 × 0.646= 0.0577

𝐼 = 0.0577 =0.00333

1=

1

10.00333

≒1

300

よって 1/300 より緩勾配にすればよい。

① ② ③ ④

解答 0.74 1.1×10 0.65 3.3×10-3

（単位） m m m

[計算欄]

[計算欄]

62

Lesson 21 平均流速公式（開水路の流れ③）

(p.108)

21-1. 平均流速公式

等流

𝑣 = 1

𝑛𝑅 𝐼

𝑄 = 1

𝑛𝑅 𝐼 𝐴

（p.109）

21-3. 水理学上有利な断面

径深 R

潤辺 S

(p.110)

理解度チェック！

【１】平均流速公式

・マニングの公式：𝑣 = 𝑅 𝐼

・シェジーの公式：𝑣 = C√𝑅𝐼

・クッターの公式：𝐶 = . /

( . / )√

(21.1)

(21.3)

(21.2)

(16.3)

(16.3)

63

【２】水理学上の最良な台形断面水路の条件：

𝐴 = 2√1 + 𝑚 − 𝑚 𝐻

𝑆 = 2𝐻 2 1 + 𝑚 − 𝑚

𝑅 = 𝐻

2

(p.111)

練習問題

【１】

（１）

𝐴 = (𝑏 + 𝑚𝐻)𝐻

= (4 + 2 × 3) × 3 = 30m

𝑆 = b + 2H√1 + 𝑚

= 4 + 2 × 3 × √1 + 2 = 17.42 ≒ 1.7 × 10m

𝑅 = =.

= 1.72 = 1.7m

(p.112)

（２）

𝐼 =𝑛𝑄

𝐴𝑅=

0.016 × 30

30 × 1.72= 0.0111

𝐼 = (0.0111) = 0.000124 ≑1

8050

(21.7)

[計算欄]

[計算欄]

64

【２】

（１）

𝐴 = (2√1 + 𝑚 − 𝑚)𝐻

= (2√1 + 1 − 1) × 𝐻 = 1.83𝐻

（２）

水理学上の最良断面では𝑅 = なので、マニングの式は

40 =.

× 1.83𝐻 × × = 2.22𝐻

∴ 𝐻 = (.

) = 2.96 = 3.0m

（３）

𝐴 = 1.83𝐻 = 1.83 × 2.96 = 16.03 = 1.6 × 10m

① ② ③ ④ ⑤ ⑥

解答 30 1.7×10 1.7

1.2×10-4

または

1/8050

3.0 1.6×10

（単位） m2 m m m m2

[計算欄]

[計算欄]

[計算欄]

65