F.R. Klinkhamer and G.E. Volovik- Towards a solution of the cosmological constant problem

8/3/2019 F.R. Klinkhamer and G.E. Volovik- Towards a solution of the cosmological constant problem

1/7

P i s ' m a v Z h E T F , v o l . 9 1 , i s s . 6 , p p . 2 7 9 { 2 8 5

c

2 0 1 0 M a r c h 2 5

T o w a r d s a s o l u t i o n o f t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m

F . R . K l i n k h a m e r

# 1 )

, G . E . V o l o v i k

+ 1 )

#

I n s t i t u t e f o r T h e o r e t i c a l P h y s i c s , U n i v e r s i t y o f K a r l s r u h e , K a r l s r u h e I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y , 7 6 1 2 8 K a r l s r u h e , G e r m a n y

L o w T e m p e r a t u r e L a b o r a t o r y , A a l t o U n i v e r s i t y , F I - 0 0 0 7 6 A A L T O , F i n l a n d

+

L a n d a u I n s t i t u t e f o r T h e o r e t i c a l P h y s i c s R A S , 1 1 9 3 3 4 M o s c o w , R u s s i a

S u b m i t t e d 2 5 J a n u a r y 2 0 1 0

R e s u b m i t t e d 8 F e b r u a r y 2 0 1 0

T h e s t a n d a r d m o d e l o f e l e m e n t a r y p a r t i c l e p h y s i c s a n d t h e t h e o r y o f g e n e r a l r e l a t i v i t y c a n b e e x t e n d e d b y

t h e i n t r o d u c t i o n o f a v a c u u m v a r i a b l e w h i c h i s r e s p o n s i b l e f o r t h e n e a r v a n i s h i n g o f t h e p r e s e n t c o s m o l o g i c a l

c o n s t a n t ( v a c u u m e n e r g y d e n s i t y ) . T h e e x p l i c i t r e a l i z a t i o n o f t h i s v a c u u m v a r i a b l e c a n b e v i a a t h r e e - f o r m

g a u g e e l d , a n a e t h e r - t y p e v e l o c i t y e l d , o r a n y o t h e r e l d a p p r o p r i a t e f o r t h e d e s c r i p t i o n o f t h e e q u i l i b r i u m

s t a t e c o r r e s p o n d i n g t o t h e L o r e n t z - i n v a r i a n t q u a n t u m v a c u u m . T h e e x t e n d e d t h e o r y h a s , w i t h o u t n e - t u n i n g ,

a M i n k o w s k i - t y p e s o l u t i o n o f t h e e l d e q u a t i o n s w i t h s p a c e t i m e - i n d e p e n d e n t e l d s a n d p r o v i d e s , t h e r e f o r e , a

p o s s i b l e s o l u t i o n o f t h e m a i n c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m .

1 . I n t r o d u c t i o n . T h e m a i n c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t

p r o b l e m i s t o u n d e r s t a n d w h y , n a t u r a l l y , t h e q u a n t u m -

m e c h a n i c a l z e r o - p o i n t e n e r g y o f t h e v a c u u m d o e s n o t

p r o d u c e a l a r g e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t o r , i n o t h e r w o r d s ,

t o d i s c o v e r t h e w a y t h e z e r o - p o i n t e n e r g y i s c a n c e l e d

w i t h o u t n e - t u n i n g t h e t h e o r y . R e s t r i c t i n g t o e s t a b -

l i s h e d p h y s i c s , t h i s p r o b l e m w a s f o r m u l a t e d b y W e i n -

b e r g i n t h e f o l l o w i n g p r a g m a t i c w a y 1 , 2 ] : h o w t o n d

a n e x t e n s i o n o f t h e s t a n d a r d m o d e l o f e l e m e n t a r y p a r t i -

c l e p h y s i c s a n d t h e t h e o r y o f g e n e r a l r e l a t i v i t y , f o r w h i c h

t h e r e e x i s t s , w i t h o u t n e - t u n i n g , a M i n k o w s k i - s p a c e t i m e

s o l u t i o n w i t h s p a c e t i m e - i n d e p e n d e n t e l d s .

A n a d j u s t m e n t - t y p e s o l u t i o n o f t h e c o s m o l o g i c a l c o n -

s t a n t p r o b l e m a p p e a r s , h o w e v e r , t o b e i m p o s s i b l e w i t h

a f u n d a m e n t a l s c a l a r e l d a n d W e i n b e r g w r i t e s i n t h e

l a s t s e n t e n c e o f S e c . 2 i n R e f . 2 ] t h a t , t o t h e b e s t o f

h i s k n o w l e d g e , \ n o o n e h a s f o u n d a w a y o u t o f t h i s i m -

p a s s e . " I n t h i s L e t t e r , w e p r e s e n t a w a y a r o u n d t h e

i m p a s s e , w h i c h e m p l o y s a q u a n t i t y q t h a t a c t s a s a s e l f -

a d j u s t i n g s c a l a r e l d b u t i s n o n - f u n d a m e n t a l 3 { 5 ] .

T h e m a i n g o a l o f t h e p r e s e n t p u b l i c a t i o n i s t o d e -

s c r i b e , i n a m o r e o r l e s s c o n s i s t e n t w a y , a p a r t i c u l a r

t h e o r e t i c a l f r a m e w o r k f o r a d d r e s s i n g t h e c o s m o l o g i c a l

c o n s t a n t p r o b l e m . O b v i o u s l y , t h i s b u i l d s o n p r e v i o u s

w o r k o f t h e p r e s e n t a u t h o r s a n d m a n y o t h e r s ( s e e c i -

t a t i o n s b e l o w ) . B u t t h e r e a r e a l s o t w o i m p o r t a n t n e w

r e s u l t s , w h i c h w i l l b e i n d i c a t e d e x p l i c i t l y .

2 . M i n k o w s k i e q u i l i b r i u m v a c u u m . O u r d i s c u s -

s i o n s t a r t s f r o m t h e t h e o r y o u t l i n e d i n R e f . 4 ] . W e i n -

t r o d u c e a s p e c i a l q u a n t i t y , t h e v a c u u m \ c h a r g e " q , t o

d e s c r i b e t h e s t a t i c s o f t h e q u a n t u m v a c u u m . A c o n c r e t e

1 )

e - m a i l : f r a n s . k l i n k h a m e r @ k i t . e d u ; v o l o v i k @ b o o j u m . h u t .

e x a m p l e o f t h i s v a c u u m v a r i a b l e i s g i v e n b y t h e f o u r -

f o r m e l d s t r e n g t h 6 { 1 4 ] e x p r e s s e d i n t e r m s o f q a s

F

= q

p

d e t g

( s e e b e l o w f o r f u r t h e r d e t a i l s ) .

T h i s p a r t i c u l a r v a c u u m v a r i a b l e q i s a s s o c i a t e d w i t h a n

e n e r g y s c a l e E

U V

t h a t i s a s s u m e d t o b e m u c h l a r g e r t h a n

t h e e l e c t r o w e a k e n e r g y s c a l e E

e w

1 0

3

G e V a n d p o s s i -

b l y t o b e o f t h e o r d e r o f t h e g r a v i t a t i o n a l e n e r g y s c a l e

E

P l a n c k

1 =

p

8 G

N

2 : 4 4 1 0

1 8

G e V . H e r e , a n d i n t h e

f o l l o w i n g , n a t u r a l u n i t s a r e u s e d w i t h ~ = c = 1 .

S p e c i c a l l y , t h e e e c t i v e a c t i o n o f o u r t h e o r y i s g i v e n

b y

S

e

A ; g ; ] =

Z

R

4

d

4

x

p

d e t g

K ( q ) R g ] +

+ ( q ) + L

e

S M

; g ]

; ( 1 a )

F

q

p

d e t g = r

A

]

; ( 1 b )

q

2

=

1

2 4

F

F

; ( 1 c )

w h e r e R d e n o t e s t h e R i c c i c u r v a t u r e s c a l a r ,

t h e

L e v i { C i v i t a t e n s o r d e n s i t y , r

t h e c o v a r i a n t d e r i v a -

t i v e , a n d t h e s q u a r e b r a c k e t a r o u n d s p a c e t i m e i n d i c e s

c o m p l e t e a n t i - s y m m e t r i z a t i o n . T h r o u g h o u t , w e u s e t h e

s a m e c o n v e n t i o n s a s i n R e f . 1 ] , i n p a r t i c u l a r , t h o s e f o r

t h e R i e m a n n c u r v a t u r e t e n s o r a n d t h e m e t r i c s i g n a t u r e

( + + + ) .

T h e v a c u u m e n e r g y d e n s i t y i n ( 1 a ) d e p e n d s o n t h e

v a c u u m v a r i a b l e q = q A ; g ] a n d t h e s a m e i s a s s u m e d t o

h o l d f o r t h e g r a v i t a t i o n a l c o u p l i n g p a r a m e t e r K . T h e

s i n g l e e l d c o m b i n e s a l l t h e e l d s o f t h e s t a n d a r d

m o d e l ( s p i n o r , g a u g e , H i g g s , a n d g h o s t e l d s 1 5 ] ) a n d ,

f o r s i m p l i c i t y , t h e s c a l a r L a g r a n g e d e n s i t y L

e

S M

i n ( 1 a )

i s t a k e n t o b e w i t h o u t d i r e c t q d e p e n d e n c e . T h e o r i g -

9 1 . 5 { 6 2 0 1 0 2 7 9


2/7

2 8 0 F . R . K l i n k h a m e r , G . E . V o l o v i k

i n a l s t a n d a r d m o d e l e l d s c o l l e c t e d i n ( x ) a r e q u a n -

t u m e l d s w i t h v a n i s h i n g v a c u u m e x p e c t a t i o n v a l u e s

i n M i n k o w s k i s p a c e t i m e ( t h i s h o l d s , i n p a r t i c u l a r , f o r

t h e p h y s i c a l H i g g s e l d H ( x ) 1 5 ] ) . T h e e e c t i v e a c -

t i o n t a k e s ( x ) t o b e a c l a s s i c a l e l d , b u t h a s a d d i t i o n a l

t e r m s t o r e e c t t h e q u a n t u m e e c t s 1 6 ] . T h e m e t r i c

e l d g

( x ) a n d t h e t h r e e - f o r m g a u g e e l d A

( x ) o r

o t h e r q { r e l a t e d e l d s d i s c u s s e d l a t e r o n ] a r e , f o r t h e m o -

m e n t , c o n s i d e r e d t o b e g e n u i n e c l a s s i c a l e l d s .

T h e s e t u p , n o w , i s s u c h t h a t a p o s s i b l e c o n s t a n t t e r m

S M

i n L

e

S M

( w h i c h i n c l u d e s t h e z e r o - p o i n t e n e r g i e s f r o m

t h e s t a n d a r d m o d e l e l d s ) h a s b e e n a b s o r b e d i n ( q ) , s o

t h a t , i n t h e e n d , L

e

S M

; g ] c o n t a i n s o n l y { d e p e n d e n t

t e r m s , w i t h t h e m e t r i c g

( o r v i e r b e i n e

a

) e n t e r i n g

t h r o u g h t h e u s u a l c o v a r i a n t d e r i v a t i v e s . I n s h o r t , t h e

f o l l o w i n g h o l d s t r u e :

L

e

S M

0

; ] = 0 ; ( 2 )

w h e r e

0

d e n o t e s t h e c o n s t a n t v a l u e s f o r t h e s t a n d a r d

m o d e l e l d s o v e r M i n k o w s k i s p a c e t i m e a n d s t a n d s f o r

t h e M i n k o w s k i m e t r i c

= d i a g ( 1 ; 1 ; 1 ; 1 ) i n s t a n -

d a r d c o o r d i n a t e s .

T h e a c t u a l s p e c t r u m o f t h e v a c u u m e n e r g y d e n s i t y

( m e a n i n g t h e d i e r e n t c o n t r i b u t i o n s t o f r o m d i e r -

e n t e n e r g y s c a l e s ) i s n o t i m p o r t a n t f o r t h e c a n c e l l a t i o n

m e c h a n i s m t o b e d i s c u s s e d i n t h i s L e t t e r . S t i l l , w e a s -

s u m e , f o r d e n i t e n e s s , t h a t t h e v a c u u m e n e r g y d e n s i t y

( q ) s p l i t s i n t o a c o n s t a n t p a r t a n d a v a r i a b l e p a r t :

( q ) =

b a r e

+

v a r

( q )

S M

+

U V

+

v a r

( q ) ; ( 3 )

w i t h @

v a r

= @ q 6= 0 , a c o n s t a n t t e r m

S M

o f t y p i c a l s i z e

j

S M

j ( E

e w

)

4

r e m o v e d f r o m L

e

S M

a c c o r d i n g t o ( 2 ) ,

a n d a p o s s i b l e e x t r a c o n t r i b u t i o n

U V

o f s i z e

j

U V

j

( E

U V

)

4

f r o m t h e u n k n o w n p h y s i c s b e y o n d t h e s t a n -

d a r d m o d e l . F o r d e n i t e n e s s , w e a l s o a s s u m e t h a t

v a r

( q )

c o n t a i n s o n l y e v e n p o w e r s o f q a n d r e c a l l t h a t q

2

i s d e -

n e d b y ( 1 c ) i n t e r m s o f t h e t h r e e - f o r m g a u g e e l d A

e n t e r i n g t h e e l d s t r e n g t h ( 1 b ) . A l l o w i n g f o r a g e n e r a l

e v e n f u n c t i o n ( q ) i n s t e a d o f t h e s i n g l e M a x w e l l - t y p e

t e r m

1

2

q

2

c o n s i d e r e d i n t h e p r e v i o u s l i t e r a t u r e 6 { 1 0 ]

w i l l t u r n o u t t o b e a n i m p o r t a n t i n g r e d i e n t f o r t h e c a n -

c e l l a t i o n o f

b a r e

v a l u e s o f a r b i t r a r y s i g n .

T h e g e n e r a l i z e d M a x w e l l a n d E i n s t e i n e q u a t i o n s

f r o m a c t i o n ( 1 a ) h a v e b e e n d e r i v e d i n R e f . 4 ] . T h e

g e n e r a l i z e d M a x w e l l e q u a t i o n r e a d s

r

p

d e t g

F

q

@ ( q )

@ q

+ R

@ K ( q )

@ q

= 0 ( 4 )

a n d r e p r o d u c e s t h e k n o w n e q u a t i o n 6 , 7 ] f o r t h e s p e c i a l

c a s e ( q ) =

1

2

q

2

a n d @ K = @ q = 0 . T h e r s t i n t e g r a l o f

( 4 ) w i t h i n t e g r a t i o n c o n s t a n t a n d t h e n a l v e r s i o n o f

t h e g e n e r a l i z e d E i n s t e i n e q u a t i o n t h e n g i v e t h e f o l l o w i n g

g e n e r i c e q u a t i o n s 4 ] :

@ ( q )

@ q

+ R

@ K ( q )

@ q

= ; ( 5 a )

2 K

R

g

R = 2

=

2

r

r

g

K ( q ) +

+

( q )

q

g

T

S M

; ( 5 b )

w h e r e T

S M

i s t h e e n e r g y - m o m e n t u m t e n s o r c o r r e s p o n d -

i n g t o t h e e e c t i v e L a g r a n g i a n a p p e a r i n g i n ( 1 a ) a n d

( 2 ) . F r o m g e n e r a l c o o r d i n a t e i n v a r i a n c e , t h e e n e r g y -

m o m e n t u m t e n s o r i s k n o w n t o h a v e a v a n i s h i n g c o v a r i -

a n t d i v e r g e n c e , r

T

S M

= 0 .

F o r t h e s p e c i a l c a s e K ( q ) = K

0

= c o n s t , ( 5 b ) r e -

d u c e s t o t h e s t a n d a r d E i n s t e i n e q u a t i o n o f g e n e r a l r e l a -

t i v i t y . F o r t h e g e n e r a l c a s e d K = d q 6= 0 , t h e a c t i o n ( 1 a )

a n d t h e r e s u l t i n g e l d e q u a t i o n ( 5 b ) c o r r e s p o n d t o t h o s e

o f B r a n s { D i c k e t h e o r y 1 7 ] , b u t w i t h o u t k i n e t i c t e r m f o r

t h e s c a l a r d e g r e e o f f r e e d o m ( !

B D

= 0 ) . S e e a l s o t h e r e -

l a t e d w o r k o n i n a t i o n t h e o r y 1 8 ] , d a r k - e n e r g y m o d e l s

1 9 { 2 2 ] a n d t h e c o n n e c t i o n t o q { t h e o r y 2 3 { 2 5 ] .

T h e c r u c i a l d i e r e n c e b e t w e e n o u r t h e o r y a n d c o n -

v e n t i o n a l f ( R ) m o d i e d - g r a v i t y t h e o r i e s 1 8 { 2 2 ] l i e s i n

t h e a p p e a r a n c e , f o r u s , o f t h e i n t e g r a t i o n c o n s t a n t a f t e r

i n t e g r a t i o n o v e r t h e t h r e e - f o r m g a u g e e l d A , i . e . , a f t e r

s o l v i n g t h e g e n e r a l i z e d M a x w e l l e q u a t i o n ( 4 ) . A s a r e -

s u l t , t h e v a c u u m e n e r g y d e n s i t y e n t e r i n g t h e g e n e r a l i z e d

E i n s t e i n e q u a t i o n ( 5 b ) i s n o t t h e o r i g i n a l v a c u u m e n e r g y

d e n s i t y ( q ) f r o m t h e a c t i o n ( 1 a ) b u t t h e c o m b i n a t i o n

V

( q ) ( q ) q : ( 6 )

T h i s g r a v i t a t i n g v a c u u m e n e r g y d e n s i t y b e c o m e s a g e n -

u i n e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t ( q ) =

V

( q ) f o r a

s p a c e t i m e - i n d e p e n d e n t v a c u u m v a r i a b l e q .

T h e e l d e q u a t i o n s ( 5 a b ) c a n n o w b e s e e n t o h a v e

a M i n k o w s k i - t y p e s o l u t i o n w i t h s p a c e t i m e - i n d e p e n d e n t

e l d s . F o r s t a n d a r d g l o b a l s p a c e t i m e c o o r d i n a t e s , t h e

e l d s o f t h i s c o n s t a n t s o l u t i o n a r e g i v e n b y

g

( x ) =

; ( 7 a )

F

( x ) = q

0

; ( 7 b )

( x ) =

0

; ( 7 c )

w i t h s p a c e t i m e - i n d e p e n d e n t p a r a m e t e r s

0

a n d q

0

d e t e r -

m i n e d b y t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s :

"

d ( q )

d q

#

=

0

; q = q

0

= 0 ; ( 8 a )

h

( q ) q

i

=

0

; q = q

0

= 0 : ( 8 b )

9 1 . 5 { 6 2 0 1 0


3/7

T o w a r d s a s o l u t i o n o f t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m 2 8 1

C o n d i t i o n s ( 8 a ) a n d ( 8 b ) f o l l o w f r o m ( 5 a ) a n d ( 5 b ) , r e -

s p e c t i v e l y , f o r R = R

= T

S M

= 0 a n d s p a c e t i m e -

i n d e p e n d e n t q

0

.

T h e t w o c o n d i t i o n s ( 8 a ) , ( 8 b ) c a n b e c o m b i n e d i n t o

a s i n g l e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n f o r q

0

:

0

"

( q ) q

d ( q )

d q

#

q = q

0

= 0 ; ( 9 )

w i t h t h e d e r i v e d q u a n t i t y 2 6 ]

0

=

"

d ( q )

d q

#

q = q

0

: ( 1 0 )

T h e s p a c e t i m e i n d e p e n d e n c e o f q

0

i m p l i e s t h a t o f

0

i n ( 1 0 ) a n d , w i t h ( 5 a ) , g u a r a n t e e s t h a t t h e g e n e r a l -

i z e d M a x w e l l e q u a t i o n ( 4 ) i s a u t o m a t i c a l l y s o l v e d b y

t h e M i n k o w s k i - t y p e s o l u t i o n ( 7 ) ; s e e b e l o w f o r a g e n -

e r a l d i s c u s s i o n o f t h i s i m p o r t a n t p o i n t . I n o r d e r f o r t h e

M i n k o w s k i v a c u u m t o b e s t a b l e , t h e r e i s t h e f u r t h e r c o n -

d i t i o n :

0

1

"

q

2

d

2

( q )

d q

2

#

q = q

0

> 0 ; ( 1 1 )

w h e r e c o r r e s p o n d s t o t h e i s o t h e r m a l v a c u u m c o m -

p r e s s i b i l i t y 3 ] . I n t h e e q u i l i b r i u m v a c u u m r e l e v a n t t o

o u r U n i v e r s e , t h e g r a v i t a t i o n a l c o n s t a n t K ( q

0

) o f t h e a c -

t i o n ( 1 a ) c a n b e i d e n t i e d w i t h K

0

1 = 1 6 G

N

i n t e r m s

o f N e w t o n ' s c o n s t a n t G

N

.

E q u a t i o n ( 9 ) c o r r e s p o n d s t o t h e r s t o f t h e t w o

c o n s t a n t - e l d e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s g i v e n b y W e i n -

b e r g 1 ] a s E q s . ( 6 . 2 ) a n d ( 6 . 3 ) : @ L = @ g

= 0 a n d

@ L = @ = 0 , h a v i n g r e s t r i c t e d t h e d i s c u s s i o n h e r e t o

t h e c a s e o f a s i n g l e f u n d a m e n t a l s c a l a r e l d . T h e s e

t w o c o n d i t i o n s t u r n o u t t o b e i n c o n s i s t e n t , u n l e s s t h e

p o t e n t i a l t e r m i n

L( ) i s n e - t u n e d 1 ] . S e e a l s o S e c . 2

o f R e f . 2 ] f o r f u r t h e r d i s c u s s i o n o n t h e i m p o s s i b i l i t y o f

n d i n g a n a t u r a l M i n k o w s k i - t y p e s o l u t i o n f r o m t h e a d -

j u s t m e n t o f a f u n d a m e n t a l s c a l a r e l d .

T h e c r u c i a l d i e r e n c e b e t w e e n a f u n d a m e n t a l s c a l a r

e l d a n d o u r v a c u u m v a r i a b l e q ( a n o n - f u n d a m e n t a l

s c a l a r e l d ) i s t h a t t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n f o r q i s

r e l a x e d : w e n d , i n s t e a d o f t h e c o n d i t i o n @ L = @ q = 0 ,

t h e c o n d i t i o n s r

( @ L = @ q ) = 0 , w h i c h a l l o w f o r h a v i n g

@ L = @ q = w i t h a n a r b i t r a r y c o n s t a n t . A s a r e s u l t ,

t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n s f o r g

a n d q c a n b e c o n s i s -

t e n t w i t h o u t n e - t u n i n g . T h e a p p r o a c h b a s e d o n s u c h

a q { v a r i a b l e b y p a s s e s t h e a p p a r e n t n o - g o t h e o r e m ( a s

f o r e t o l d b y F t n . 8 o f R e f . 1 ] ) a n d f o r m a l l y s o l v e s t h e

c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m ( a s f o r m u l a t e d i n S e c . 2

o f R e f 2 ] ) : t h e o r i g i n a l a c t i o n i s n o t n e - t u n e d a n d n e e d

n o t v a n i s h a t t h e s t a t i o n a r y p o i n t , b u t t h e r e s t i l l e x i s t s

a M i n k o w s k i - t y p e s o l u t i o n o f t h e e l d e q u a t i o n s . T h i s

r e a l i z a t i o n t h a t t h e q { e l d a l l o w s f o r a r e l a x a t i o n o f t h e

e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n i s t h e r s t o f t h e t w o m o s t i m p o r -

t a n t n e w r e s u l t s o f t h e p r e s e n t L e t t e r .

T h e M i n k o w s k i - t y p e s o l u t i o n o f t h e o r y ( 1 ) i s g i v e n

b y t h e e l d s ( 7 ) w i t h a c o n s t a n t q

0

p a r a m e t e r t h a t s o l v e s

( 9 ) a n d s a t i s e s ( 1 1 ) . A t t h i s m o m e n t , i t m a y b e i n s t r u c -

t i v e t o w o r k o u t a c o n c r e t e e x a m p l e . A p a r t i c u l a r c h o i c e

f o r t h e v a c u u m e n e r g y d e n s i t y f u n c t i o n ( 3 ) i s g i v e n b y :

( q ) =

b a r e

+ ( 1 = 2 ) ( E

U V

)

4

s i n

q

2

= ( E

U V

)

4

; ( 1 2 )

w h i c h c o n t a i n s h i g h e r - o r d e r t e r m s i n a d d i t i o n t o t h e

s t a n d a r d q u a d r a t i c t e r m

1

2

q

2

. N e e d l e s s t o s a y , m a n y

o t h e r f u n c t i o n s ( q ) c a n b e c h o s e n , t h e o n l y r e q u i r e m e n t

b e i n g t h a t t h e e q u i l i b r i u m a n d s t a b i l i t y c o n d i t i o n s c a n

b e s a t i s e d 3 ] . W i t h ( 1 2 ) , t h e e x p r e s s i o n s f o r t h e e q u i -

l i b r i u m c o n d i t i o n ( 9 ) a n d t h e s t a b i l i t y c o n d i t i o n ( 1 1 )

b e c o m e

bq

2

c o s

bq

2

( 1 = 2 ) s i n

bq

2

= ; ( 1 3 a )

b

1

bq

2

c o s

bq

2

2 bq

4

s i n

bq

2

> 0 ; ( 1 3 b )

w h e r e E

U V

h a s b e e n u s e d t o d e n e d i m e n s i o n l e s s q u a n -

t i t i e s bq q = ( E

U V

)

2

a n d

b a r e

= ( E

U V

)

4

. A s t r a i g h t -

f o r w a r d g r a p h i c a l a n a l y s i s ( F i g . 1 ) s h o w s t h a t , f o r a n y

2 R , t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y v a l u e s bq

0

2 R w h i c h

o b e y b o t h ( 1 3 a ) a n d ( 1 3 b ) . T h e t o p p a n e l o f F i g . 1

a l s o s h o w s t h a t t h e bq v a l u e s o n t h e o n e s e g m e n t s i n g l e d -

o u t b y t h e h e a v y d o t a l r e a d y a l l o w f o r a c o m p l e t e c a n -

c e l l a t i o n o f a n y

b a r e

v a l u e b e t w e e n 1 5 ( E

U V

)

4

a n d

+ 1 8 ( E

U V

)

4

.

3 . M i n k o w s k i a t t r a c t o r . T h e c a n c e l l a t i o n m e c h a -

n i s m d i s c u s s e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n p r o v i d e s t h e f o l -

l o w i n g g e n e r a l l e s s o n . T h e M i n k o w s k i - t y p e s o l u t i o n ( 7 )

a p p e a r s w i t h o u t n e - t u n i n g o f t h e p a r a m e t e r s o f t h e a c -

t i o n , p r e c i s e l y b e c a u s e t h e v a c u u m i s c h a r a c t e r i z e d b y a

c o n s t a n t d e r i v a t i v e o f t h e v a c u u m e l d r a t h e r t h a n b y a

c o n s t a n t v a l u e o f t h e v a c u u m e l d i t s e l f . A s a r e s u l t , t h e

p a r a m e t e r

0

e m e r g e s i n ( 8 a ) a s a n i n t e g r a t i o n c o n s t a n t ,

i . e . , a s a p a r a m e t e r o f t h e s o l u t i o n r a t h e r t h a n a p a r a -

m e t e r o f t h e L a g r a n g i a n . T h e i d e a t h a t t h e c o n s t a n t

d e r i v a t i v e o f a e l d m a y b e i m p o r t a n t f o r t h e c o s m o -

l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m h a s b e e n s u g g e s t e d e a r l i e r b y

D o l g o v 2 7 , 2 8 ] a n d P o l y a k o v 2 9 , 3 0 ] , w h e r e t h e l a t t e r

e x p l o r e d t h e a n a l o g y w i t h t h e L a r k i n { P i k i n e e c t 3 1 ]

i n s o l i d - s t a t e p h y s i c s .

H o w e v e r , i n s t e a d o f t h e n e - t u n i n g p r o b l e m o f t h e

c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t , w e n o w h a v e t h e n e - t u n i n g p r o b -

l e m o f t h e i n t e g r a t i o n c o n s t a n t , n a m e l y , t h e c h e m i c a l

p o t e n t i a l =

0

t h a t x e s t h e v a l u e q = q

0

o f t h e

M i n k o w s k i e q u i l i b r i u m v a c u u m ( o r v i c e v e r s a , q

0

x -

i n g

0

) . A n y o t h e r c h o i c e o f t h e i n t e g r a t i o n c o n s t a n t

9 1 . 5 { 6 2 0 1 0


4/7


30

20

2

10

4

0

6

10

8

20

10

30

12

0 5 10 15 20 25

x x xcos (1/2) sin

10 [ cos 2 sin ]2

x xx x2

0 5 10 15 20 25

x q2

F i g . 1 . M i n k o w s k i e q u i l i b r i u m v a c u a f o r a p a r t i c u l a r c h o i c e

o f t h e v a c u u m e n e r g y d e n s i t y f u n c t i o n a s g i v e n b y ( 1 2 ) .

T h e c u r v e s o f t h e t o p p a n e l s h o w t h e l e f t - h a n d s i d e o f

( 1 3 a ) f o r t h o s e v a l u e s o f x bq

2

t h a t o b e y t h e s t a b i l i t y

c o n d i t i o n ( 1 3 b ) . T h e c u r v e s o f t h e b o t t o m p a n e l s h o w t h e

c o r r e s p o n d i n g p o s i t i v e s e g m e n t s o f t h e i n v e r s e o f t h e d i -

m e n s i o n l e s s v a c u u m c o m p r e s s i b i l i t y b d e n e d b y t h e l e f t -

h a n d s i d e o f ( 1 3 b ) , t h e g e n e r a l d i m e n s i o n f u l q u a n t i t y b e i n g

d e n e d b y ( 1 1 ) . M i n k o w s k i - t y p e v a c u a ( 7 ) a r e o b t a i n e d a t

t h e i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f t h e c u r v e s o f t h e t o p p a n e l w i t h a

h o r i z o n t a l l i n e a t t h e v a l u e

b a r e

= ( E

U V

)

4

f o r e x a m p l e ,

t h e d a s h e d l i n e a t = 1 0 g i v e s t h e v a l u e ( bq

0

)

2

1 7 : 8 4 5 3

c o r r e s p o n d i n g t o t h e h e a v y d o t i n t h e t o p p a n e l ] . E a c h

s u c h v a c u u m i s c h a r a c t e r i z e d , i n p a r t , b y t h e c o r r e s p o n d -

i n g v a l u e o f t h e i n v e r s e v a c u u m c o m p r e s s i b i l i t y f r o m t h e

b o t t o m p a n e l f o r e x a m p l e , 1 = b

0

5 4 6 : 9 7 4 s h o w n b y t h e

h e a v y d o t f o r t h e c a s e c h o s e n i n t h e t o p p a n e l ] . M i n k o w s k i

v a c u a w i t h p o s i t i v e c o m p r e s s i b i l i t y a r e s t a b l e a n d b e c o m e

a t t r a c t o r s i n a d y n a m i c a l c o n t e x t ( c f . S e c . 3 a n d F i g . 2 )

( 6=

0

) l e a d s t o a d e - S i t t e r - t y p e s o l u t i o n 4 ] . S t i l l ,

i t i s p o s s i b l e t o s h o w t h a t t h e s e d e - S i t t e r - t y p e s o l u t i o n s

b e c o m e d y n a m i c a l l y u n s t a b l e i n a g e n e r a l i z a t i o n o f q {

t h e o r y a n d t h a t t h e M i n k o w s k i e q u i l i b r i u m v a c u u m b e -

c o m e s a n a t t r a c t o r .

F o r t h a t p u r p o s e , w e s t a r t f r o m t h e r e a l i z a t i o n o f q {

t h e o r y i n t e r m s o f a v e c t o r e l d A

( x ) a s d i s c u s s e d b y

D o l g o v 2 8 ] o r , e q u i v a l e n t l y , i n t e r m s o f a n a e t h e r - t y p e

v e l o c i t y e l d u

( x ) a s d i s c u s s e d b y J a c o b s o n 3 2 ] . T h e

c o n s t a n t v a c u u m e l d q t h e n a p p e a r s 3 ] a s t h e d e r i v a t i v e

o f a v e c t o r e l d i n t h e s p e c i c s o l u t i o n u

= u

c o r r e -

s p o n d i n g t o t h e e q u i l i b r i u m v a c u u m , q g

r

u

u

. I n t h i s r e a l i z a t i o n , t h e e e c t i v e c h e m i c a l p o t e n t i a l

d ( q ) = d q p l a y s a r o l e o n l y f o r t h e e q u i l i b r i u m s t a t e s

( i . e . , f o r t h e i r t h e r m o d y n a m i c a l p r o p e r t i e s ) , b u t d o e s

n o t a p p e a r a s a n i n t e g r a t i o n c o n s t a n t f o r t h e d y n a m i c s .

H e n c e , t h e n e - t u n i n g p r o b l e m o f t h e i n t e g r a t i o n c o n -

s t a n t i s o v e r c o m e , s i m p l y b e c a u s e t h e r e i s n o i n t e g r a t i o n

c o n s t a n t .

T h e i n s t a b i l i t y o f t h e d e - S i t t e r s o l u t i o n h a s b e e n

d e m o n s t r a t e d b y D o l g o v 2 8 ] f o r t h e s i m p l e s t q u a d r a t i c

c h o i c e s o f t h e L a g r a n g e d e n s i t y o f u

( x ) a n d f o r a n e n -

e r g y s c a l e E

U V

= E

P l a n c k

e n t e r i n g

b a r e

o f ( 3 ) . ( A t

t h i s m o m e n t , w e d o n o t c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y o f h a v -

i n g a v a r i a b l e g r a v i t a t i o n a l c o u p l i n g p a r a m e t e r , s o t h a t

w e h a v e K u

] = K

0

= c o n s t . ) F o r a s p a t i a l l y

a t R o b e r t s o n { W a l k e r m e t r i c w i t h c o s m i c t i m e t a n d

s c a l e f a c t o r a ( t ) , t h e i n i t i a l d e - S i t t e r - t y p e e x p a n s i o n

e v o l v e s t o w a r d s t h e M i n k o w s k i a t t r a c t o r b y t h e f o l l o w -

i n g t ! 1 a s y m p t o t i c s o l u t i o n f o r t h e a e t h e r - t y p e e l d

u

= ( u

0

; u

b

) a n d t h e H u b b l e p a r a m e t e r H

d a = d t ] = a :

u

0

( t ) ! q

0

t ; u

b

( t ) = 0 ; H ( t ) ! 1 = t ; ( 1 4 )

w h e r e u

0

( t ) i n c r e a s e s l i n e a r l y w i t h t f o r c o n s t a n t q

0

( t h e

n o r m o f t h e v e c t o r e l d u

i s t a k e n 3 ] t o b e u n c o n -

s t r a i n e d , d i e r e n t f r o m R e f . 3 2 ] ) . F i g . 2 s h o w s e x p l i c i t l y

t h e a t t r a c t o r b e h a v i o r , w i t h t h e n u m e r i c a l v a l u e o f q

0

i n

( 1 4 ) a p p e a r i n g d y n a m i c a l l y .

T h e f o l l o w i n g t h r e e r e m a r k s m a y h e l p t o b e t t e r u n -

d e r s t a n d t h e r o l e o f ( 1 4 ) . F i r s t , o b s e r v e t h a t , f o r -

n i t e v a l u e s o f t , t h e a e t h e r - t y p e e l d a p p r o a c h i n g ( 1 4 )

d o e s n o t c o r r e s p o n d t o t h e q { t h e o r y A n s a t z , u

r

u

6= q g

f o r t


5/7


0

0

0.5

0.5

1.0

1.0

1.5

1.5

2.0

2.0

2.5

2.5

0.25

0.50

0.50

1.75

0.75

1.0

1.0

1.25

1.25

1.50

1.50

1.75

y tlog10

t

t

1

v(

)

t

t

h(

)

F i g . 2 . A e t h e r - e l d e v o l u t i o n a n d M i n k o w s k i a t t r a c t o r i n a

s p a t i a l l y a t F r i e d m a n n { R o b e r t s o n { W a l k e r u n i v e r s e w i t h

b a r e

= ( E

P l a n c k

)

4

= 2 . T o p p a n e l : d i m e n s i o n l e s s

a e t h e r - t y p e e l d c o m p o n e n t v u

0

= E

P l a n c k

m u l t i p l i e d

b y a f a c t o r

1

] p l o t t e d a g a i n s t t h e l o g a r i t h m o f t h e d i -

m e n s i o n l e s s c o s m i c t i m e y l o g

1 0

l o g

1 0

( t E

P l a n c k

) .

B o t t o m p a n e l : d i m e n s i o n l e s s H u b b l e p a r a m e t e r h

H = E

P l a n c k

m u l t i p l i e d b y a f a c t o r ] p l o t t e d a g a i n s t y . T h e

e l d e q u a t i o n s a r e g i v e n b y E q s . ( 5 ) a n d ( 8 ) i n R e f . 2 8 ]

f o r

v a c

=

b a r e

a n d

0

= 1 : v + 3 h _v 3 h

2

v = 0 a n d

6 h

2

= 2 ( _v )

2

3 ( h v )

2

, w i t h t h e o v e r d o t s t a n d i n g f o r

d i e r e n t i a t i o n w i t h r e s p e c t t o . T h e f o u r n u m e r i c a l s o l u -

t i o n s s h o w n h a v e b o u n d a r y c o n d i t i o n s v ( 1 ) = 1 0 : 2 5 a n d

_v ( 1 ) = 0 : 2 5 , w i t h t h e d a s h e d c u r v e s r e f e r r i n g t o n e g a -

t i v e _ v ( 1 ) n o t e t h a t t h e t o p p a n e l p l o t s v ( ) = , n o t v ( ) ] .

A l l f o u r n u m e r i c a l s o l u t i o n s a p p r o a c h t h e M i n k o w s k i -

s p a c e t i m e s o l u t i o n ( 1 4 ) w i t h , f o r t h e c h o s e n m o d e l p a r a -

m e t e r

b a r e

= ( E

P l a n c k

)

4

= 2 , a v a l u e q

0

= ( E

P l a n c k

)

2

= 1

a p p e a r i n g d y n a m i c a l l y s e e t o p p a n e l ] . I n f a c t , t h e s a m e

t ! 1 a s y m p t o t e i s f o u n d f o r a l l b o u n d a r y c o n d i t i o n s

j v ( 1 ) 1 j 0 : 2 5 a n d j _v ( 1 ) j 0 : 2 5 , w h i c h s h o w s t h a t ( 1 4 )

i s a p o s i t i v e a t t r a c t o r . F o r t h e t h e o r y c o n s i d e r e d d e n e d

b y E q . ( 2 ) o f R e f . 2 8 ] f o r

0

= 1 ] , t h e M i n k o w s k i v a c u u m

i s a n a t t r a c t o r b e c a u s e t h e v a c u u m c o m p r e s s i b i l i t y ( 1 1 ) i s

p o s i t i v e , ( q

0

) > 0

T

u ] = 0 . S i n c e ( 1 4 ) w i t h d u

0

= d t = H u

0

s a t i s e s

t h e q { t h e o r y A n s a t z u

= q g

, t h e e n e r g y - m o m e n t u m

t e n s o r i s c o m p l e t e l y e x p r e s s e d b y t h e s i n g l e c o n s t a n t q :

T

( q ) = ( q ) q d ( q ) = d q ] g

. A s a r e s u l t , t h e e q u a -

t i o n T

( q ) = 0 l e a d s t o t h e e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n ( 9 )

f o r t h e M i n k o w s k i v a c u u m a n d t o t h e e q u i l i b r i u m v a l u e

q = q

0

i n ( 1 4 ) . T h i s d e m o n s t r a t e s t h a t t h e c o m p e n s a -

t i o n o f a l a r g e i n i t i a l v a c u u m e n e r g y d e n s i t y c a n o c c u r

d y n a m i c a l l y a n d t h a t M i n k o w s k i s p a c e t i m e c a n e m e r g e

s p o n t a n e o u s l y , w i t h o u t s e t t i n g a c h e m i c a l p o t e n t i a l . I n

o t h e r w o r d s , a n \ e x i s t e n c e p r o o f " h a s b e e n g i v e n f o r t h e

c o n j e c t u r e t h a t t h e a p p r o p r i a t e M i n k o w s k i v a l u e q

0

c a n

r e s u l t f r o m a n a t t r a c t o r - t y p e s o l u t i o n o f t h e e l d e q u a -

t i o n s . T h e o n l y c o n d i t i o n f o r t h e M i n k o w s k i v a c u u m

t o b e a n a t t r a c t o r i s a p o s i t i v e v a c u u m c o m p r e s s i b i l i t y

( 1 1 ) . T h i s e x i s t e n c e p r o o f i s t h e s e c o n d o f t h e t w o m o s t

i m p o r t a n t n e w r e s u l t s o f t h e p r e s e n t L e t t e r .

I n t h e p r e v i o u s d i s c u s s i o n , w e i l l u s t r a t e d t h e c o m -

p e n s a t i o n o f t h e \ b a r e " v a c u u m e n e r g y d e n s i t y b y u s e

o f t h e s i m p l e s t r e a l i z a t i o n s o f t h e c o n s t a n t v a c u u m e l d

q , w h e r e q f o l l o w s f r o m d e r i v a t i v e s o f e i t h e r t h e f u n -

d a m e n t a l g a u g e e l d A

( x ) o r t h e f u n d a m e n t a l v e c -

t o r e l d u

( x ) . T h e c o n s t a n t v a c u u m e l d q f r o m t h e

f o u r - f o r m e l d s t r e n g t h t e n s o r ( 1 b ) h a s b e e n d i s c u s s e d

e a r l i e r i n , e . g . , R e f s . 9 , 1 0 ] . B u t t h e s e r e f e r e n c e s c o n -

s i d e r a q u a d r a t i c f u n c t i o n ( F ) , w h i c h c a n o n l y c o m p e n -

s a t e a

b a r e

v a l u e o f a p a r t i c u l a r s i g n . O u r a p p r o a c h

i s g e n e r i c a n d d o e s n o t d e p e n d o n t h e p a r t i c u l a r r e -

a l i z a t i o n o f t h e \ q u i n t a e s s e n t i a " | t h e e l d q w h i c h

d e s c r i b e s t h e d e e p ( u l t r a v i o l e t ) q u a n t u m v a c u u m 3 5 ] .

T h e o n l y r e q u i r e m e n t f o r q i s t h a t i t m u s t b e a L o r e n t z -

i n v a r i a n t c o n s e r v e d ( i . e . , s p a c e t i m e - i n d e p e n d e n t ) q u a n -

t i t y i n a t M i n k o w s k i s p a c e t i m e . I n a d d i t i o n , a n a l m o s t

a r b i t r a r y f u n c t i o n ( q ) a l l o w s u s t o c a n c e l

b a r e

v a l u e s

o f b o t h s i g n s ; s e e , i n p a r t i c u l a r , t h e e x a m p l e ( 1 2 ) d i s -

c u s s e d a b o v e .

F i n a l l y , i t m a y b e o f i n t e r e s t t o c o m p a r e o u r p o s s i -

b l e s o l u t i o n o f t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b l e m w i t h

t h a t o f t h e u n i m o d u l a r t h e o r y o f g r a v i t y ( s e e , e . g . ,

R e f s . 1 , 3 7 , 3 8 ] a n d f u r t h e r r e f e r e n c e s t h e r e i n ) . F r o m

t h e u n i m o d u l a r t h e o r y o f g r a v i t y , t h e c o s m o l o g i c a l c o n -

s t a n t o f s t a n d a r d g e n e r a l r e l a t i v i t y i s o b t a i n e d a s a n i n -

t e g r a t i o n c o n s t a n t a n d t h e M i n k o w s k i s o l u t i o n a l s o f o l -

l o w s w i t h o u t n e - t u n i n g o f t h e p a r a m e t e r s o f t h e a c -

t i o n . A s a p u r e l y c l a s s i c a l t h e o r y , u n i m o d u l a r g r a v -

i t y i s e q u i v a l e n t t o g e n e r a l r e l a t i v i t y , b u t i t s e x t e n -

s i o n t o t h e q u a n t u m w o r l d c a n b e e x p e c t e d t o b e d i f -

f e r e n t f r o m t h a t o f g e n e r a l r e l a t i v i t y , w h i c h i s a t t h e

c o r e o f o u r a p p r o a c h t h e q d e p e n d e n c e o f t h e g r a v i t a -

t i o n a l c o u p l i n g K i n a c t i o n ( 1 a ) i s n o t e s s e n t i a l t o o b t a i n

( 9 ) a n d t h e p a r t i c u l a r a e t h e r - t y p e s o l u t i o n d i s c u s s e d i n

t h e p r e s e n t s e c t i o n a l r e a d y h a s c o n s t a n t K ] . F u r t h e r -

m o r e , t h e u n i m o d u l a r g r a v i t y t h e o r y w o u l d n o t a l l o w

f o r a s p a c e t i m e - d e p e n d e n t \ c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t " a n d ,

a f o r t e r i o r i , w o u l d n o t g i v e a n a t t r a c t o r - t y p e s o l u t i o n

a p p r o a c h i n g M i n k o w s k i s p a c e t i m e .

9 1 . 5 { 6 2 0 1 0


6/7


4 . S u m m a r y a n d o u t l o o k . I n t h i s L e t t e r , w e h a v e

s h o w n t h a t i t i s p o s s i b l e t o n d a n e x t e n s i o n o f t h e c u r -

r e n t t h e o r y o f e l e m e n t a r y p a r t i c l e p h y s i c s ( t h e s t a n d a r d

m o d e l ) , w h i c h a l l o w s f o r a M i n k o w s k i - s p a c e t i m e s o l u t i o n

w i t h c o n s t a n t e l d s , w i t h o u t n e - t u n i n g t h e e x t e n d e d

t h e o r y i n a n y w a y o r s h a p e . F o r t h i s s u g g e s t e d s o l u t i o n ,

t h e c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t

b a r e

f r o m ( 3 ) , w h i c h i n c l u d e s

t h e z e r o - p o i n t e n e r g y

S M

( E

e w

)

4

o f t h e s t a n d a r d

m o d e l e l d s , i s c o m p l e t e l y c o m p e n s a t e d b y t h e q { e l d

t h a t d e s c r i b e s t h e d e g r e e s o f f r e e d o m o f t h e d e e p q u a n -

t u m v a c u u m w i t h e n e r g y s c a l e E

U V

E

e w

.

T h i s s o l v e s t h e m a i n c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t p r o b -

l e m 3 9 ] a n d e v e n a d d r e s s e s t h e n e x t q u e s t i o n ( a l s o

r a i s e d i n R e f . 1 ] ) : w h y i s o u r p r e s e n t U n i v e r s e c l o s e

t o t h e M i n k o w s k i v a c u u m o r , i n o t h e r w o r d s , w h y d o e s

N a t u r e p r e f e r a t s p a c e t i m e ? T h e a n s w e r t o t h i s q u e s -

t i o n a p p e a r s t o b e : b e c a u s e t h e M i n k o w s k i e q u i l i b r i u m

s t a t e i s a n a t t r a c t o r a n d t h e U n i v e r s e i s m o v i n g t o w a r d s

i t . W e a r e c l o s e t o t h i s a t t r a c t o r , s i m p l y b e c a u s e o u r

U n i v e r s e i s o l d .

T h e r e r e m a i n , h o w e v e r , o t h e r p r o b l e m s . O b s e r v a -

t i o n a l c o s m o l o g y ( s e e , e . g . , R e f s . 4 0 { 4 2 ] a n d f u r t h e r

r e f e r e n c e s t h e r e i n ) s u g g e s t s a t i n y r e m n a n t v a c u u m e n -

e r g y d e n s i t y

V

o f t h e o r d e r o f 1 0

1 1

e V

4

. T h i s , t h e n ,

l e a d s t o t h e a d d i t i o n a l c o s m i c c o i n c i d e n c e p r o b l e m : w h y

i s t h e n o n z e r o v a c u u m e n e r g y d e n s i t y o f t h e s a m e o r d e r

a s t h e p r e s e n t m a t t e r e n e r g y d e n s i t y ? O n e p o s s i b l e s o l u -

t i o n 5 ] o f t h e c o s m i c c o i n c i d e n c e p r o b l e m m a y b e r e l a t e d

t o q u a n t u m - d i s s i p a t i v e e e c t s d u r i n g t h e c o s m o l o g i c a l

e v o l u t i o n o f t h e m i c r o s c o p i c e l d q ( x ) . I n a n y c a s e ,

q { t h e o r y t r a n s f o r m s t h e s t a n d a r d c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t

p r o b l e m i n t o t h e s e a r c h f o r t h e p r o p e r d e c a y m e c h a n i s m

o f t h e v a c u u m e n e r g y d e n s i t y .

I t i s a p l e a s u r e t o t h a n k A . D o l g o v , L . S m o l i n , a n d

M . V e l t m a n f o r h e l p f u l c o m m e n t s o n a n e a r l i e r v e r s i o n

o f t h i s L e t t e r . G E V i s s u p p o r t e d i n p a r t b y t h e A c a d -

e m y o f F i n l a n d , C e n t e r s o f E x c e l l e n c e P r o g r a m 2 0 0 6 {

2 0 1 1 a n d t h e K h a l a t n i k o v { S t a r o b i n s k y l e a d i n g s c i e n t i c

s c h o o l ( G r a n t # 4 8 9 9 . 2 0 0 8 . 2 ) .

1 . S . W e i n b e r g , R e v . M o d . P h y s . 6 1 , 1 ( 1 9 8 9 ) .

2 . S . W e i n b e r g , i n : N . T u r o k , C r i t i c a l D i a l o g u e s i n C o s -

m o l o g y , W o r l d S c i e n t i c , S i n g a p o r e , 1 9 9 7 , p . 1 9 5 ;

a r X i v : a s t r o - p h / 9 6 1 0 0 4 4 .

3 . F . R . K l i n k h a m e r a n d G . E . V o l o v i k , P h y s . R e v . D 7 7 ,

0 8 5 0 1 5 ( 2 0 0 8 ) ; a r X i v : 0 7 1 1 . 3 1 7 0 .


0 6 3 5 2 8 ( 2 0 0 8 ) ; a r X i v : 0 8 0 6 . 2 8 0 5 .


0 8 3 0 0 1 ( 2 0 0 9 ) ; a r X i v : 0 9 0 5 . 1 9 1 9 .

6 . M . J . D u a n d P . v a n N i e u w e n h u i z e n , P h y s . L e t t . B 9 4 ,

1 7 9 ( 1 9 8 0 ) .

7 . A . A u r i l i a , H . N i c o l a i , a n d P . K . T o w n s e n d , N u c l . P h y s .

B 1 7 6 , 5 0 9 ( 1 9 8 0 ) .

8 . S . W . H a w k i n g , P h y s . L e t t . B 1 3 4 , 4 0 3 ( 1 9 8 4 ) .

9 . M . H e n n e a u x a n d C . T e i t e l b o i m , P h y s . L e t t . B 1 4 3 , 4 1 5

( 1 9 8 4 ) .

1 0 . M . J . D u , P h y s . L e t t . B 2 2 6 , 3 6 ( 1 9 8 9 ) .

1 1 . M . J . D u n c a n a n d L . G . J e n s e n , N u c l . P h y s . B 3 3 6 , 1 0 0

( 1 9 9 0 ) .

1 2 . R . B o u s s o a n d J . P o l c h i n s k i , J H E P 0 0 0 6 , 0 0 6 ( 2 0 0 0 ) ;

a r X i v : h e p - t h / 0 0 0 4 1 3 4 .

1 3 . A . A u r i l i a a n d E . S p a l l u c c i , P h y s . R e v . D 6 9 , 1 0 5 0 0 4

( 2 0 0 4 ) ; a r X i v : h e p - t h / 0 4 0 2 0 9 6 .

1 4 . Z . C . W u , P h y s . L e t t . B 6 5 9 , 8 9 1 ( 2 0 0 8 ) ;

a r X i v : 0 7 0 9 . 3 3 1 4 .

1 5 . M . V e l t m a n , D i a g r a m m a t i c a : T h e P a t h t o F e y n m a n

r u l e s , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e , E n g -

l a n d , 1 9 9 4 , A p p . E .

1 6 . N . D . B i r r e l l a n d P . C . W . D a v i e s , Q u a n t u m F i e l d s i n

C u r v e d S p a c e , C a m b r i d g e U n i v e r s i t y P r e s s , C a m b r i d g e ,

E n g l a n d , 1 9 8 2 .

1 7 . C . B r a n s a n d R . H . D i c k e , P h y s . R e v . 1 2 4 , 9 2 5 ( 1 9 6 1 ) .

1 8 . A . A . S t a r o b i n s k y , P h y s . L e t t . B 9 1 , 9 9 ( 1 9 8 0 ) .

1 9 . W . H u a n d I . S a w i c k i , P h y s . R e v . D 7 6 , 0 6 4 0 0 4 ( 2 0 0 7 ) ;

a r X i v : 0 7 0 5 . 1 1 5 8 .

2 0 . S . A . A p p l e b y a n d R . A . B a t t y e , P h y s . L e t t . B 6 5 4 , 7

( 2 0 0 7 ) ; a r X i v : 0 7 0 5 . 3 1 9 9 .

2 1 . A . A . S t a r o b i n s k y , J E T P L e t t . 8 6 , 1 5 7 ( 2 0 0 7 ) ;

a r X i v : 0 7 0 6 . 2 0 4 1 .

2 2 . P . B r a x , C . v a n d e B r u c k , A . C . D a v i s , a n d D . J . S h a w ,

P h y s . R e v . D 7 8 , 1 0 4 0 2 1 ( 2 0 0 8 ) ; a r X i v : 0 8 0 6 . 3 4 1 5 .

2 3 . F . R . K l i n k h a m e r a n d G . E . V o l o v i k , J E T P L e t t . 8 8 , 2 8 9

( 2 0 0 8 ) ; a r X i v : 0 8 0 7 . 3 8 9 6 .

2 4 . F . R . K l i n k h a m e r a n d G . E . V o l o v i k , P h y s . R e v . D 7 9 ,

0 6 3 5 2 7 ( 2 0 0 9 ) ; a r X i v : 0 8 1 1 . 4 3 4 7 .

2 5 . F . R . K l i n k h a m e r , P h y s . R e v . D 8 1 , 0 4 3 0 0 6 ( 2 0 1 0 ) ,

a r X i v : 0 9 0 4 . 3 2 7 6 .

2 6 . T h e r e i s n o n e e d , h e r e , t o d w e l l o n t h e i n t e r p r e t a t i o n o f

0

a s a c h e m i c a l p o t e n t i a l 3 , 4 ] . S t i l l , i t m a y b e r e l e -

v a n t f o r t h e f u t u r e d e v e l o p m e n t o f t h e t h e o r y t h a t t h e

o b t a i n e d v a c u u m c a n b e v i e w e d a s a s e l f - s u s t a i n e d s y s -

t e m e x i s t i n g a t z e r o e x t e r n a l p r e s s u r e , P

e x t

= 0 , a n d

t h a t ( 8 b ) c a n b e r e a d a s t h e i n t e g r a t e d f o r m o f t h e

t h e r m o d y n a m i c G i b b s { D u h e m e q u a t i o n , P = q ,

p r o v i d e d t h e i d e n t i c a t i o n = d = d q a n d t h e p r e s s u r e -

e q u i l i b r i u m c o n d i t i o n P = P

e x t

= 0 h o l d .

2 7 . A . D . D o l g o v , J E T P L e t t . 4 1 , 3 4 5 ( 1 9 8 5 ) .

2 8 . A . D . D o l g o v , P h y s . R e v . D 5 5 , 5 8 8 1 ( 1 9 9 7 ) ;

a r X i v : a s t r o - p h / 9 6 0 8 1 7 5 .

2 9 . ( a ) A . M . P o l y a k o v , M o d . P h y s . L e t t . A 6 , 6 3 5 ( 1 9 9 1 ) ;

( b ) I . K l e b a n o v a n d A . M . P o l y a k o v , M o d . P h y s . L e t t .

A 6 , 3 2 7 3 ( 1 9 9 1 ) ; a r X i v : h e p - t h / 9 1 0 9 0 3 2 .

3 0 . A . M . P o l y a k o v , p r i v a t e c o m m u n i c a t i o n .

3 1 . ( a ) A . I . L a r k i n a n d S . A . P i k i n , S o v . P h y s . J E T P 2 9 ,

8 9 1 ( 1 9 6 9 ) ; ( b ) J . S a k , P h y s . R e v . B 1 0 , 3 9 5 7 ( 1 9 7 4 ) .

9 1 . 5 { 6 2 0 1 0


7/7


3 2 . T . J a c o b s o n , i n p r o c e e d i n g s o f : F r o m Q u a n t u m t o

E m e r g e n t G r a v i t y : T h e o r y a n d P h e n o m e n o l o g y , P o S

Q G - P H , 0 2 0 ( 2 0 0 7 ) ; a r X i v : 0 8 0 1 . 1 5 4 7 .

3 3 . V . A . R u b a k o v a n d P . G . T i n y a k o v , P h y s . R e v . D 6 1 ,

0 8 7 5 0 3 ( 2 0 0 0 ) ; a r X i v : h e p - p h / 9 9 0 6 2 3 9 .

3 4 . J . K h o u r y a n d A . W e l t m a n , P h y s . R e v . D 6 9 , 0 4 4 0 2 6

( 2 0 0 4 ) ; a r X i v : a s t r o - p h / 0 3 0 9 4 1 1 .

3 5 . T h e g e n e r a l t e r m \ q u i n t e s s e n c e " f r o m R e f . 3 6 ] h a s , o v e r

t h e y e a r s , b e c o m e a s s o c i a t e d w i t h a f u n d a m e n t a l s c a l a r

e l d a n d t h e u s e o f t h e s l i g h t l y d i e r e n t t e r m \ q u i n t a

e s s e n t i a " f o r t h e v a c u u m e l d q i s t o a v o i d a n y p o s s i b l e

m i s u n d e r s t a n d i n g .

3 6 . R . R . C a l d w e l l , R . D a v e , a n d P . J . S t e i n h a r d t , P h y s .

R e v . L e t t . 8 0 , 1 5 8 2 ( 1 9 9 8 ) ; a r X i v : a s t r o - p h / 9 7 0 8 0 6 9 .

3 7 . J . J . v a n d e r B i j , H . v a n D a m , a n d Y . J . N g , P h y s i c a A

1 1 6 , 3 0 7 ( 1 9 8 2 ) .

3 8 . L . S m o l i n , P h y s . R e v . D 8 0 , 0 8 4 0 0 3 ( 2 0 0 9 ) ;

a r X i v : 0 9 0 4 . 4 8 4 1 .

3 9 . A s t o t h e t e r m i n o l o g y o f \ m a i n " c o s m o l o g i c a l c o n s t a n t

p r o b l e m , w e r e f e r t o t h e r e q u i r e d c a n c e l l a t i o n o f a h u g e

i n i t i a l c o n t r i b u t i o n t o t h e g r a v i t a t i n g v a c u u m e n e r g y

d e n s i t y w h i c h i s o f o r d e r ( E

e w

)

4

o r m o r e ; s e e a l s o t h e

d i s c u s s i o n u n d e r E q . ( 3 ) .

4 0 . A . G . R i e s s e t a l . S u p e r n o v a S e a r c h T e a m C o l l a b -

o r a t i o n ] , A s t r o n . J . 1 1 6 , 1 0 0 9 ( 1 9 9 8 ) ; a r X i v : a s t r o -

p h / 9 8 0 5 2 0 1 .

4 1 . S . P e r l m u t t e r e t a l . S u p e r n o v a C o s m o l o g y P r o j e c t C o l -

l a b o r a t i o n ] , A s t r o p h y s . J . 5 1 7 , 5 6 5 ( 1 9 9 9 ) ; a r X i v : a s t r o -

p h / 9 8 1 2 1 3 3 .

4 2 . E . K o m a t s u e t a l . , A s t r o p h y s . J . S u p p l . 1 8 0 , 3 3 0 ( 2 0 0 9 ) ;

a r X i v : 0 8 0 3 . 0 5 4 7 .

9 1 . 5 { 6 2 0 1 0

Date post:	06-Apr-2018
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F.R. Klinkhamer and G.E. Volovik- Towards a solution of the cosmological constant problem

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