Fractional fermion number and Cold Atoms

Tommaso MacrìTommaso MacrìSissaSissa

February 27February 27thth 2009 2009

   

Plan of the talk

Fractional fermion number

The polyacetylene story

Recent application to Cold Atoms

Boson­Fermion mixtures and outlook

Conclusions

   

Fermion number ½

Consider two statesConsider two states

DifferenceDifference of two fermion numbers is  of two fermion numbers is an an integerinteger!!

Assume Assume charge conjugation charge conjugation symmetrysymmetry

   

Fractional fermion number in QFT

Consider the Lagrangian:

Suppose that a classical solution exists (no fermions, not yet!)

Example:

   

Fermion zero modes

Static solution for the Dirac equationStatic solution for the Dirac equation

Properties of the solution:Properties of the solution:

StaticStatic

NomalizableNomalizable

Unique Unique 

Zero­energy eigensolution!Zero­energy eigensolution!

Time­dependent solutionTime­dependent solution

Continuum spectrum 

   

Quantization

From the analysis of the classical solution:

The operator a satisfy the anti­commutation relations:

Sketch of the proof:

Postulate the existence of a soliton sector (orthogonal to the vacuum)

Study one­soliton matrix elements of the bosonic/fermionic field

Derive a set of equations for the components of the Fermi field and identify the fermion zero­mode with the normalized classical solution

    Heisenberg equationHeisenberg equation

   

Consequence: Fermion number ½ !

The conserved Fermi­number current The conserved Fermi­number current is:is:

Define  the  fermion  number  operator Define  the  fermion  number  operator in the soliton sectorin the soliton sector

The  soliton  state  is  doubly  degerate The  soliton  state  is  doubly  degerate with  respect  to  the  fermion  zero with  respect  to  the  fermion  zero mode!mode!

ComputeCompute

We get  finally:We get  finally:

  Fractional fermion numberFractional fermion number

   

The polyacetylene story

Polyacetylene is a polymer consisting Polyacetylene is a polymer consisting of of parallel chains of carbon atomsparallel chains of carbon atoms

Electrons moving along the chainsElectrons moving along the chains

Hopping between chains suppressedHopping between chains suppressed

One­dimensional systemOne­dimensional system

Lattice Hamiltonian:Lattice Hamiltonian:

   

Peierls instability

Diagonalize the HamiltonianDiagonalize the Hamiltonian

Experimentally: not uniform spacing!Experimentally: not uniform spacing!

Reduced Brilloiun zoneReduced Brilloiun zone

Degeneration at the Fermi levelDegeneration at the Fermi level

Quasi­particle spectrum develops a Quasi­particle spectrum develops a gap!gap!

Ground state energyGround state energy

Two degenerate ground statesTwo degenerate ground states

   

Discrete model         QFT

Solitons and link with fractionization? Solitons and link with fractionization? 

Model in the continuumModel in the continuum

If If uunn is the scalar field, how to obtain a  is the scalar field, how to obtain a Dirac equation in non­relativistic QM...Dirac equation in non­relativistic QM...

For electrons in the vicinity of Fermi level:For electrons in the vicinity of Fermi level:

Schroedinger equation

      Study the effective potential for the model Study the effective potential for the model (see e.g. A. Zee book)(see e.g. A. Zee book)

DiscreteDiscrete Z Z22  symmetry is symmetry is brokenbroken

     Study the system as in Jackiw & Rebbi. Study the system as in Jackiw & Rebbi. Fractional charge is measuredFractional charge is measured!!

   

Ultracold Bosons vs Fermions

Quantum statistics effectsQuantum statistics effects

Bosons: condensation

Fermions: quantum degeneracy

Different temperature scalesDifferent temperature scales

Bosons: condensation temperatureBosons: condensation temperature

Fermions: Fermi temperatureFermions: Fermi temperature    

Evidence for quantum degeneracyEvidence for quantum degeneracy(De Marco, Papp and Jin, 2001)

   

Ultracold Diluted Fermi Systems 

Some numbers:Some numbers:

Number of particles: 1.000 ­100.000Number of particles: 1.000 ­100.000

Temperature: 100 nK – 1Temperature: 100 nK – 1 K K

Density of particles: 10Density of particles: 101111 particles / cm particles / cm3     3           normal metal: 10normal metal: 102323 particles / cm particles / cm33

Dilution parameter: n |aDilution parameter: n |a33| | ~~ 10 10­3­3

What do these numbers tell us?What do these numbers tell us?

Diluted particles interactingDiluted particles interacting relevance of two body physics!relevance of two body physics!

Moreover: Moreover: possibility of tuning the interaction!possibility of tuning the interaction!

   

Fractional fermion numbers in Cold Atoms: a recent proposal

1D system of 1D system of two fermionic speciestwo fermionic species in  in optical latticeoptical lattice

HoppingHopping of atoms beween the sites due to coherent em field

Neglect s­wave scattering 

Dimerized latticeDimerized lattice

Proced as in the polyacetyleneProced as in the polyacetylene

Diagonalize  the  hamiltonian  and  find  a Diagonalize  the  hamiltonian  and  find  a gapped energy spectrumgapped energy spectrum

   

Defect in the lattice

Introduce a defect in the patternIntroduce a defect in the pattern

Break the symmetry of the dimerized Break the symmetry of the dimerized latticelattice

Properties of the field Properties of the field ::

Reproduce aReproduce a phase­kink phase­kink

Specific form is not important: Specific form is not important: asymptotic asymptotic behaviour!behaviour!

    Fractional fermion number:Fractional fermion number:Finite latticeFinite latticeExpectation valueExpectation value vs  vs Quantum numberQuantum number!!  

Study Study fluctuations of fermion number fluctuations of fermion number (see(see R.Rajaraman & J.S. Bell, Phys.  R.Rajaraman & J.S. Bell, Phys. Lett.B ­ 1982Lett.B ­ 1982))

   

Continuum model and arbitrary fermion numbers

Studying the model in the continuumStudying the model in the continuum

Generalization of the polyacetylene Generalization of the polyacetylene lagrangianlagrangian

No charge­conjugation symmetry!No charge­conjugation symmetry!

Define a 2­component spinorDefine a 2­component spinor

Get a Dirac Hamiltonian for a spinor Get a Dirac Hamiltonian for a spinor   coupled to a bosonic field coupled to a bosonic field 

   The constants are defined as:

All the constants can be tuned All the constants can be tuned experimentally!experimentally!

 = m = 0  charge conjugation sym.  = m = 0  charge conjugation sym. preserved  preserved          N =  1/2       N =  1/2

 = m  = m  0  arbitrary fractional fermion number 0  arbitrary fractional fermion number

   Fermion  number  for  arbitrary  J. Goldstone  &  F.  Wilczek,  Phys.  Rev.  Lett.  47, 1981

   

Conclusions

In certain QFT fractional fermion number can arise from the quantization In certain QFT fractional fermion number can arise from the quantization of the soliton sector in presence of a Fermi zero mode.of the soliton sector in presence of a Fermi zero mode.

Experimental  observation  of  fractional  charge  in  linear  chains  of Experimental  observation  of  fractional  charge  in  linear  chains  of polyacetylenepolyacetylene

Recent proposal for measuring fractional fermion numbers in a Cold Atom Recent proposal for measuring fractional fermion numbers in a Cold Atom system with coupling of two spin species with electromagnetic fieldssystem with coupling of two spin species with electromagnetic fields

Fermion  –  Bosons  mixtures  and  the  chance  to  get  fractional  fermion Fermion  –  Bosons  mixtures  and  the  chance  to  get  fractional  fermion numbersnumbers

Are  there  systems  of  fermion  interacting  with  bosons  in  a  cold  atom Are  there  systems  of  fermion  interacting  with  bosons  in  a  cold  atom mixture giving rise to the phenomenon of Fractionalization?mixture giving rise to the phenomenon of Fractionalization?

   

References

Fractional fermion number in QFTFractional fermion number in QFT

R. Jackiw and C. Rebbi, Phys. Rev. R. Jackiw and C. Rebbi, Phys. Rev. DD 13, 3398 (1976) 13, 3398 (1976)

R. Rajaraman and J.S. Bell, Physics Letters B Vol. 116, Issue 5 (1982)R. Rajaraman and J.S. Bell, Physics Letters B Vol. 116, Issue 5 (1982)

A. J. Niemi and G. W. Semenoff, Physics Reports Vol. 135 , Issue 3 (1986) A. J. Niemi and G. W. Semenoff, Physics Reports Vol. 135 , Issue 3 (1986) 

R. Jackiw, arxiv:math­ph/0503039v1 (2005) R. Jackiw, arxiv:math­ph/0503039v1 (2005) 

The polyacetylene storyThe polyacetylene story

W. P. Su, J. R. Schrieffer, A. J. Heeger, Phys. Rev. W. P. Su, J. R. Schrieffer, A. J. Heeger, Phys. Rev. BB 22, 2099 (1980)  22, 2099 (1980) 

R. Jackiw and G. W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 50, 439 (1983)R. Jackiw and G. W. Semenoff, Phys. Rev. Lett. 50, 439 (1983)

Fractional fermion number in cold atomsFractional fermion number in cold atoms

J. Ruostekoski, G. V. Dunne, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. J. Ruostekoski, G. V. Dunne, J. Javanainen, Phys. Rev. Lett. 8888, 18041 (2002), 18041 (2002)

J. Javanainen and  J. Ruostekoski, Phys. Rev. Lett. J. Javanainen and  J. Ruostekoski, Phys. Rev. Lett. 9191, 150404 (2003), 150404 (2003)

J. Ruostekoski, J. Javanainen, G. V. Dunne, Phys. Rev. A J. Ruostekoski, J. Javanainen, G. V. Dunne, Phys. Rev. A 7777 013603 (2008)   013603 (2008)