TitleDaniel Alonso Ramírez y Antonia Ruiz García
Universidad de La Laguna
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1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Epistemología 13 1.2 Conceptos 15 1.3 Teorías 17 1.4 La Física
Estadística en la Física de hoy 17
2 Preliminares. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 23
2.1 Contando estados: Sistemas de partículas con dos niveles de
ener- gía 23
2.1.1 VALOR MÁS PROBABLE Y FLUCTUACIONES . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 25 2.1.2 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 26
2.2 Gas ideal clásico. Análisis Cinético 29 2.3 Distribución de
Maxwell 30
2.3.1 EJERCICIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Introducción 33 3.2 Sistemas clásicos 34
3.2.1 FUNCIÓN DE HAMILTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.2 NECESIDAD DE UNA
DESCRIPCIÓN ESTADÍSTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3 ECUACIÓN DE LIOUVILLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.4 CONSTANTES DE MOVIMIENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2.5 EJERCICIOS . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
Constantes de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Sistema que no preserva el
volumen fásico. Sistema disipativo . . . . . . . . . 42
3.3 Sistemas cuánticos 44 3.3.1 OPERADOR DENSIDAD. ESTADOS MEZCLAS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.2 EVOLUCIÓN DEL
OPERADOR DENSIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 49 3.3.3 DENSIDAD DE ESTADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.4 EJERCICIOS . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 53
3.4 Apéndices 55 3.4.1 TRAZA DE UN OPERADOR Y SUS PROPIEDADES . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.2 TEOREMA DE GLEASON . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 56
II Colectiviades de Gibbs
4 Colectivo Microcanónico de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 61 4.1 Caso Clásico 61 4.2 Caso Cuántico 62
4.2.1 ESTADO MICROCANÓNICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2.2 LÍMITE CLÁSICO . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 66
4.3 Contacto entre sistemas. Intercambio de energía 68 4.4 La
Entropía 71 4.5 Fluctuaciones de la energía 73
4.5.1 DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA DE BOLTZMANN . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 74 4.5.2 INTERCAMBIO ENERGÉTICO: QUBITS . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Caso 2 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 76 Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 77 Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.6 Ejercicios adicionales 79 4.6.1 ABREVIACIONES EMPLEADAS . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.6.2 ALGUNAS CONSTANTES FÍSICAS . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 79
Principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Secundarias . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 79
4.6.3 EQUIVALENCIA ENTRE UNIDADES . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 79 4.6.4 ESTIMACIONES: GAS IDEAL . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Energía, velocidad media y número de estados . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 80 Energía kBT . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.6.5 NÚMERO DE ESTADOS Y VARIACIÓN CON LA ENERGÍA . . . . . . . .
. . . . . 80 4.6.6 DOS PARTÍCULAS ULTRARRELATIVISTAS . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6.7 CADENA UNIDIMENSIONAL.
MODELO SIMPLE DE UNA BANDA ELÁSTICA O
UNA CADENA POLIMÉRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 81 4.6.8 N PARTÍCULAS
ULTRARRELATIVISTAS NO INTERACTUANTES (MICROCANÓ-
NICA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6.9 RESONANCIA
MAGNÉTICA NUCLEAR, ABSORCIÓN DE ENERGÍA . . . . . . 82
4.7 Bibliografía referida en los ejercicios 84
5 Colectivo Canónico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 85 5.1 Probabilidad de un estado
propio |n,d 85 5.2 Conexión con la termodinámica 86
5.2.1 LA PRESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.2.2 POTENCIAL
QUÍMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 88
5.3 La Entropía 88 5.4 Operador densidad canónico 88 5.5 Capacidad
Calorífica 89 5.6 Ejemplos 90
5.6.1 QUBITS INDEPENDIENTES EN UN ENTORNO TÉRMICO . . . . . . . . .
. . . . . 90 5.6.2 OSCILADORES ARMÓNICOS INDEPENDIENTES . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 93
5.7 Ejemplos adicionales 95 5.7.1 PARTÍCULAS CON ESPÍN CONFINDAS EN
PRESENCIA DE UN CAMPO MAGNÉ-
TICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.7.2
OSCILADORES ARMÓNICOS CLÁSICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 95 5.7.3 GASI IDEAL QUÁNTICO SIN CONSIDERAR EL
CARÁCTER FERMIÓNICO O
BOSÓNICO DE LAS PARTÍCULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 96 5.8 Interpretación estadística del
calor y de trabajo 97 5.9 Sistemas clásicos. Teorema de
equipartición 98
5.9.1 PARTÍCULAS NO IDÉNTICAS EN D-DIMENSIONES. EQUIPARTICIÓN . . .
. 99 5.10 Proyecto 1: Moléculas diatómicas 100
5.10.1 TRASLACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.10.2 VIBRACIÓN .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 102 5.10.3 ROTACIÓN . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 102 5.10.4 ESPÍN NUCLEAR . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.10.5
ROTACIÓN Y ESPÍN NUCLEAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 103 5.10.6 ALGUNOS ÓRDERNES DE MAGNITUD . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.10.7 ALTAS
TEMPERATURAS, MOLÉCULA DIATÓMICA CLÁSICA . . . . . . . . . 105
5.10.8 TRATAMIENTO CUÁNTICO. HETEROMOLÉCULAS . . . . . . . . . . .
. . . . . . 108
5.11 Dipolo magnético en un campo magnético uniforme 109 5.11.1
FUNCIÓN DE PARTICIÓN, ENERGÍA MEDIA Y MOMENTO MAGNÉTICO MEDIO
109 5.11.2 LÍMITE DE ALTAS Y BAJAS TEMPERATURAS . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 110
Bajas temperaturas: µβB 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 110 Altas temperaturas: µβB 1 . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.12 Densidad local. Sólido simple 113 5.13 Ejercicios adicionales
117
5.13.1 ESTIMACIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.13.2 SISTEMAS
INDEPENDIENTES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 117 5.13.3 FUNCIÓN CANÓNICA Y POTENCIALES DE
INTERACCIÓN HOMOGÉNEOS 117 5.13.4 RELACIÓN ENTRE LA CAPACIDAD
CALORÍFICA Y FLUCTUACIONES. COLEC-
TIVO CANÓNICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.13.5 GAS IDEAL
ULTRARRELATIVISTA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 118
5.13.6 * GAS IDEAL RELATIVISTA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.13.7 GASES IDEALES:
MOLÉCULAS DIATÓMICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.13.8 CAPACIDAD CALORÍFICA DE SÓLIDOS CRISTALINOS: CONTRIBUCIÓN
FONÓ-
NICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 ∗Modelo
cuántico de Debye para un sólido cristalino . . . . . . . . . . . .
. . . . 119
5.13.9 SISTEMA SUJETO A UNA PERTURBACIÓN . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 120 5.13.10 ∗SISTEMAS DE PARTÍCULAS
CONFINADAS EN UNA CAJA Y ARMÓNICAMENTE
LIGADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.13.11 ∗CADENA
MOLECULAR LINEAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 121 5.13.12 OPERADOR DENSIDAD CANÓNICO EN
REPRESENTACIÓN DE POSICIONES
121 5.14 Bibliografía referida en los ejercicios 121
6 Colectivos Gran Canónico y Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 123 6.1 Colectivo Gran Canónico 124
6.1.1 DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA Y NÚMERO DE PARTÍCULAS . . . . . . .
. . . . 125 6.1.2 CONSISTENCIA CON LA TERMODINÁMICA . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 126 6.1.3 ENTROPÍA EN EL COLECTIVO
GRAN CANÓNICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.2 Ejemplo: Gas ideal 127 6.3 Colectividad Isoterma-Isobárica
129
6.3.1 CONEXIÓN CON LA TERMODINÁMICA . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 130 6.3.2 ENTROPÍA EN EL COLECTIVO
ISOTERMO-ISOBÁRICO . . . . . . . . . . . . . . 131
6.4 Ejemplo: Gas ideal 131 6.5 Equivalencia entre colectividades
133 6.6 Fluctuaciones en el colectivo Gran Canónico 135 6.7 Matriz
densidad en representación de posiciones: Partícula libre136 6.8
Disociación y estabilidad del hidrógeno 137 6.9 Fórmula barométrica
141 6.10 Gas formados por dímeros de espín 142 6.11 Fluctuaciones
en el colectivo Isotermo-Isobárico 144 6.12 Ejercicios adicionales
147
6.12.1 ∗MODELO DE RED PARA UN FLUIDO Lattice gas . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 147 6.13 Bibliografía referida en los
ejercicios 147
III Apendices
7 Relaciones matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 151 7.1 Series de Taylor 151
7.1.1 SERIES DE TAYLOR DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES . . . . . .
. 151 7.2 Distribuciones de Heaviside y Delta de Dirac 152 7.3
Integrales 152
7.3.1 INTEGRALES GAUSSIANAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.3.2 FUNCIÓN GAMMA . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 153
7.4 Expresiones útiles 153 7.4.1 APROXIMACIÓN DE STIRLING . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 7.4.2
VOLUMEN DE UNA ESFERA DE d DIMENSIONES Y RADIO r . . . . . . . . .
153 7.4.3 FÓRMULA DE EULER-MACLAURIN . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 154
9
Estas notas corresponden a la primera parte del curso de Física
Estadística del grado de Física de la ULL. Son unas notas dinámicas
y pensadas para apoyar al alumnado en su estudio de la asignatura.
Suponen una introducción a la Física Estadística en la que se
pretende que el alumnado tenga una guía sobre los contenidos
básicos de la asignatura y suficientes problemas como para
profundizar en la materia. La mayor parte de los problemas están
etiquetados la referencia donde se puede encontrar la forma de
resolverlos. No obstante, se recomienda intentar resolver los
problemas de forma independiente. Si no se lograse obtener la
solución, se mira en la referencia sólo la solución del problema,
pero no el procedimiento. La idea es que en algunas ocasiones la
solución puede ser suficiente para lograr generarla. Como último
recurso, si aún así no se logra resolver el problema, entonces se
vuelve a la referencia y se mira el procedimiento y solución. Hay
una gran variedad de textos dedicado a la Física Estadística. Estas
notas deben mucho a la bibliografía citada en la guía didáctica de
la asignatura y particulararmente las notas del Profesor F.
Mauricio y a las notas de Física Estadística del Profesor P.
Gaspard de la Universidad Libre de Bruselas, del que seguimos
aprendiendo.
Libros y material de referencia.
1. F. Reif. Física Estadística. Volumen 5. Reverté, 1993
Libro de texto pensado para una introducción a la Física
Estadística, con énfasis en conceptos importantes.
2. F. Reif. Fundamentals of statistical and thermal physics.
Waveland Press, 2009
Un tratamiento completo de la Física Estadística desde sus
fundamentos hasta el desarrollo de aplicaciones. Las explicaciones
son detalladas y conducen a los conceptos de forma directa. La
colección de problemas propuestos es extensa y de dificultad
diversa.
3. K. Huang. Statistical mechanics. Wiley, 1987
Texto muy completo sobre Física Estadística y de un nivel
avanzado.
4. J. Kestin y D. J.R. A course in statistical thermodynamics.
Academic Press, 1971
Esta fuente bibliográfica está pedagógicamente escrita siendo la
claridad una de sus cualidades. Contiene varios capítulos
introductorios y uno adicional dedicado a aspectos matemáticos
necesarios para el desarrollo del curso. El tratamiento de la
Teoría Cinética es minucioso y riguroso. La colección de problemas
propuesto es extensa.
5. L. Landau y E. Lifshitz. Statistical Physics: Course of
Theoretical Physics, Vol.5. Pergamon, 1980
Texto clásico de Física Estadística. Su nivel es avanzado, siendo
ideal para una se- gunda lectura de mayor profundidad. Está escrito
en el estilo clásico de L.D. Landau y colaboradores primando la
argumentación física incluso en aquellas derivaciones más
exigentes. Los problemas propuestos suelen ser de diferente
dificultad.
Junto a las referencias ya suministradas hay material de libre
distribución de excelente calidad que forma parte de curso.
10
1. R. Fitzpatrick. Thermodynamics and Statistical Mechanics: An
intermediate level course. Unpublished Lecture Notes, 20091
Muy buen material para introducirse en la Física Estadística y sus
conceptos. 2. D. Arovas. Lecture Notes on Thermodynamics and
Statistical Mechanics. Unpublis-
hed Lecture Notes, 20112
Extensiva obra que trata de manera magistral la mayor parte de los
aspectos de la Física Estadística a niveles de grado y máster. De
fácil lectura, está plagada de ejemplos que ayudan al lector a
fijar los conceptos, ideas y técnicas.
1Disponible en:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/sm1/statmech.pdf
2https://archive.org/details/ArovasLectureNotesOnThermodynamicsAndStatisticalMechanics
2 Preliminares. Algunos ejemplos 23 2.1 Contando estados: Sistemas
de partículas con
dos niveles de energía 2.2 Gas ideal clásico. Análisis Cinético 2.3
Distribución de Maxwell
3 Descripción estadística . . . . . . . . . 33 3.1 Introducción 3.2
Sistemas clásicos 3.3 Sistemas cuánticos 3.4 Apéndices
Prelimininares
1. Introducción
1.1 Epistemología
La palabra epistemología proviene de las palabras griegas èpimh ,
que significa conocimiento y lìgos , que significa estudio. En el
contexto de este documento nos referimos a las bases de la
Termodinámica y la Física Estadística (Mecánica Estadística) y la
relación entre ambas teorías.
La ciencia moderna, tal y como la concebimos hoy, tiene en los
PhilosophiæNatu- ralis Principia Mathematica de Newton [New87] un
pilar fundamental. La concepción mecanicista de Universo está
fuertemente influenciada por la obra de Newton y sus exten- siones
posteriores, fundamentalmente las debidas a Lagrange [Lag53] y
Hamilton [Ham34; Ham35] [Gol65]. No es sorprendente que
influenciados por el éxito de la Mecánica, los científicos se
esforzaran (y aún se esfuerzan) en dar una explicación mecánica de
los fenómenos físicos. La visión mecánica del Universo también se
vio notablemente influida por importantes científicos como Laplace
[Lap35]. Fue también Laplace quien en el siglo XIX contribuyó
notablemente a las nociones modernas de probabilidad [Lap20].
Precisa- mente es la combinación de la mecánica y argumentos
probabilistas lo necesario para dar una explicación del
comportamiento termodinámico observado desde un punto de vista
microscópico.
Los primeros argumentos estadísticos combinados con argumentos
mecánicos, con el fin de derivar igualdades termodinámicas, se
pueden trazar hasta el siglo XVIII en el argumento de Daniel
Bernoulli (1700-1782) 1 en 1733, en su tratado en hidrodinámica, en
el que deriva la ley de Boyle-Mariotte [KK80; Zem81] de los gases.
En su argumento, Bernoulli emplea la conservación de la energía
mecánica para demostrar que al cambiar la temperatura, la presión
cambia de forma proporcional al cuadrado de la velocidad de las
partículas que los constituyen. El cálculo de Bernoulli, que hoy se
reproduce
14 Capítulo 1. Introducción
en los cursos de Física Estadística [Kub+71], es considerado como
el primer cálculo cinético (en el sentido de la teoría cinética de
los gases). Daniel Bernoulli publicó un refinamiento a su
presentación en 1738, pero su trabajo fue prácticamente olvidado
hasta mediados del siglo XIX, cuando la teoría cinética volvió a
despertar interés. Hubo notables excepciones en los nombres de
Lomonosov, James Waterston y otros. En cualquier caso ya
encontramos conceptos y elementos fundamentales en el tratamiento
de Bernoulli. La primera y fundamental es la idea de dar una
explicación basada en elementos microscópicos y sus leyes dinámicas
a una ley macroscópica. De hecho, muchos autores argumentan que la
Mecánica Estadística es precisamente el estudio de la conexión
entre la Física de lo microscópico y lo macroscópico, para
continuar afirmando, que el propósito de la Mecánica Estadística es
explicar el comportamiento termodinámico en términos de las leyes
dinámicas de sus constituyentes microscópicos [Fri10]. Nombres
relevantes asociados a esta concepción de la Física Estadística son
los de Paul y Tatyana Ehrenfest [EE02], [Leb99], [Gol01] y dicha
visión se encuentra en muchos libros de texto empleados en la
enseñanza universitaria. No obstante, esta concepción no es
unánime. Hay autores que argumentan que la Física Estadística no
debe ser vista como una teoría cuyo propósito es fundamentar
microscópicamente la Termodinámica, sino como una teoría en
símisma, cuyo objeto es modelar el comportamiento de sistemas
físicos [Wal13]. En definitiva, se argumenta que los conceptos y
conjunto de técnicas de la Física Estadística van más allá de los
fundamentos de la Termodinámica, algo especialmente cierto cuando
se incorpora la Física Cuántica de Campos.
Se observa, no obstante, la necesidad científica por explicar en
términos más funda- mentales el comportamiento macroscópico
observado. Este programa, de por síformidable, requiere el
desarrollo de conceptos sofisticados y su conjugación de forma
creativa. Tales conceptos no siempre están bien fundamentados y su
aceptación por parte de la comunidad científica está, por supuesto,
condicionada a su eficacia para explicar y predecir fenómenos
naturales.
En un contexto docente, afrontar la enseñaza en Física Estadística
como fundamenta- ción microscópica de la Termodinámica tiene
ventajas educativas claras. Por una parte, se apoya en la
motivación histórica que promovió el programa de la Física
Estadística, y por otra, mantiene en el desarrollo de la materia
una referencia constante a los sistemas ma- croscópicos ya
estudiados por el alumnado en Termodinámica, mostrando la capacidad
de la Física Estadística para caracterizar dichos sistemas y la
potencia de sus métodos. En este sentido, el cálculo de Bernoulli
es muy ilustrativo y tiene una gran componente estética; no deja de
ser hermoso como la combinación de consideraciones mecánicas y
estadísticas aplicadas a un modelo simple, son suficientes para
derivar una ley macroscópica conocida.
Desde un punto de vista histórico, el desarrollo de los conceptos y
métodos de la Termodinámica y la Física Estadística, ha contribuido
a la ciencia de manera muy prolífica, alimentándose de disciplinas
como las Matemáticas, la Química y la Ingeniería de manera muy
notable. Referidas a esta última, una gran parte de la motivación
que condujo a la formalización de la Termodinámica proviene de la
necesidad de mejorar, a través de un mejor conocimiento, las
máquinas de vapor [Car24; Jou50].
En el punto donde se ve claramente que la Física Estadística ha
seguido un desarrollo independiente que va más allá de la
fundamentación de la Termodinámica, es en su metodología para
explicar fenómenos muy alejados del equilibrio. Es en este dominio,
donde la Física Estadística se convierte en una teoría en la
frontera de la Física y en donde además, sus métodos se muestran de
aplicabilidad en otras disciplinas tales como la
1.2 Conceptos 15
Química y la Biología. Esto hace de la Física Estadística, y su
desarrollo en el contexto de teoría de campos (clásicos y
cuánticos), una de las grandes áreas de la Física moderna, con
aplicaciones en muy diversas áreas tales como los sistemas no
lineales, que presentan la formación de estructuras disipativas
configuradas en el espacio y el tiempo, cuya caracterización se
formula en el contexto de la termodinámica del no equilibrio
[Pri67; GP71; NP77], desarrollada a partir de los trabajos pioneros
de la escuela de Bruselas sobre la termodinámica fuera del
equilibrio y las reacciones químicas [DDVR36]. También se
encuentran contribuciones en medios granulares [Sok13], interfaces
[KPZ86], transiciones de fases [Wil75] y exponentes críticos
[WF72], fluctuaciones alejadas del equilibrio [Ons31a; Ons31b;
Jar97], turbulencia [RT+71; Tak81] y teoría del Caos [Gas05], por
citar algunos. En la misma línea, cabe destacar las extensiones de
la Física Estadística a campos cuánticos [KB62; Par88] y los
avances debidos al aumento en las capacidades de simulación que han
abierto nuevo campos de investigación [NBN99; Hoo12; LB14].
Así, la base epistemológica de la Termodinámica y la Física
Estadística se encuentra en el desarrollo de sus conceptos más
fundamentales.
Con la perspectiva del tiempo se pueden encontrar en la Física
Estadística dos grandes esquemas teóricos, distintos en concepción,
pero equivalentes en muchos aspectos. Por una parte, la visión de
Boltzmann y Maxwell [Fla98], en la que la teoría cinética tiene sus
fundamentos, y por otra la teoría de colectivos debida Gibbs, que
acuñó el nombre Mecánica Estadística para la nueva teoría [Gib02].
Esta última, se ha mostrado enorme- mente fructífera por su enorme
versatilidad en diferentes situaciones de equilibrio. No obstante,
el interés en sistemas alejados del equilibrio y el enorme esfuerzo
por extender el programa de Boltzmann a sistemas densos, programa
aún inconcluso, ha incentivado el desarrollo de la teoría de
Boltzmann desde su primera formulación.
Lo que hace de la Termodinámica y la Física Estadística teorías
extraordinarias es la profundidad de sus conceptos, y en particular
la incorporación, mucho antes del nacimiento de la Mecánica
Cuántica, de conceptos probabilistas en su núcleo teórico. Se puede
mencionar en este punto las evidencias existentes sobre la
concepción de Boltzmann de que si la materia estaba cuantizada
(átomos), no existía razón fundamental por la que la energía no
estuviese también cuantizada. Este razonamiento explícito, parece
que influyó notablemente a M. Planck [Fla97]. El desarrollo de los
conceptos de la teoría determina por una parte su versatilidad y
desde el punto de vista pedagógico, orienta la formación en el
área, pues son los conceptos, las técnicas y las aplicaciones lo
que configura fundamentalmente la formación en Física
Estadística.
1.2 Conceptos
Si como primer paso se centra la discusión en cómo emergen las
leyes termodinámicas desde un punto de vista microscópico, hay
conceptos que se han de adoptar en primera instancia. Lo primero es
aceptar la naturaleza corpuscular de la materia. Esta visión, hoy
ampliamente aceptada, no lo era en los tiempos de Boltzmann. éste
era atomista en su con- cepción de la teoría cinética, pero
encontró una fuerte oposición entre sus contemporáneos, E. Mach y
W. Ostwald [Bla85], que dudaban de la existencia de los átomos.
Boltzmann dedicó denodados esfuerzos para defender sus ideas que
fueron finalmente aceptadas poco después de su fallecimiento en
1906. El trabajo de Einstein sobre el movimiento browniano en 1905
[Ein05] y los experimentos de Perrin [Per09], ayudaron a desterrar
(en el campo
16 Capítulo 1. Introducción
de la Física) la controversia sobre la existencia de los átomos
facilitando la aceptación de los argumentos de Boltzmann.
Aceptada la teoría atómica de la materia, se supone que estos
obedecen las leyes de la Mecánica (clásica o cuántica). En
principio el programa que se plantea es obtener, como ya lo hiciera
D. Bernoulli, las leyes que rigen la Termodinámica desde el
movimiento de los átomos que constituyen la materia incorporando
argumentos estadísticos. La conservación de la energía es un
concepto mecánico bien conocido 2, más complejo es el tratamiento
microscópico de la Entropía introducida por Clausius en 1865
[Cla67]. Se debe a Maxwell, Boltzmann y Gibbs la explicación
estadística de la Entropía. La Entropía establece una asimetría
temporal en los procesos Físico-Estadísticos que contrasta con la
invarianza frente a inversión temporal de las leyes de la mecánica
microscópica (clásica y cuántica). La inclusión de la teoría de
probabilidades en la descripción microscópica de los fenómenos
Termodinámicos estuvo plagada de objeciones, cuando no
confrontación directa con sus proponentes, Boltzmann el más notable
entre ellos. Hemos de señalar que la controversia se alimentaba
fundamentalmente entre el mundo académico de influencia alemana. En
Gran Bretaña, donde existía un gran interés en la teoría cinética
debido a la influencia de Maxwell, las objeciones al trabajo de
Boltzmann no eran sobre su atomismo, sino sobre aspectos técnicos
de su trabajo [Bla85]. La resolución de Boltzmann a la flecha del
tiempo incluye de forma explícita un argumento probabilista para
explicar la segunda ley y en particular, un argumento de por qué
los estados de equilibrios son observados frente a estados alejados
de no-equilibrio. La teoría de Boltzmann, y su famoso teorema H no
sólo privilengian estados de equilibrio como soluciones asintóticas
a tiempos largos de las ecuaciones cinéticas, sino que también
describen cómo se alcanza el equilibrio desde una situación alejada
del mismo. Aunque la argumentación de Boltzmann hoy es
mayoritariamente aceptada [Leb99] contó, de nuevo, con una fuerte
oposición. En particular destacamos la objeción sobre la
irreversibilidad de Loschmidt, amigo personal de Boltzmann,
formulada en 1876, a la que Boltzmann se esforzó en dar
respuesta.
La inclusión de la teoría de probabilidades en la descripción
mecánica del calor también fue incorporada por Gibbs, aunque de una
manera distinta a la de Boltzmann, en su conocida teoría de los
conjuntos o colectivos. En ella, los objetos estadísticos son un
conjunto de sistemas macroscópicos equivalentes que se encuentran
en distintos estados microscópicos, todos ellos compatibles con el
estado macroscópico que se desea caracterizar. Ambos esquemas
incluyen de forma explícita las probabilidades como elemento
necesario para dar cuenta de las leyes macroscópicas. A forma de
resumen, los conceptos que se ponen en juego en este primer
programa de la Física Estadística relacionan las leyes de la
Mecánica y la Teoría de Probabilidades para clasificar la ingente
cantidad de estados microscópicos compatibles con un estado
macroscópico, en la versión de Gibbs, o en la visión de Boltzmann,
donde la probabilidad de encontrar un estado de equilibrio en el
espacio de fases de un sistema, es proporcional al hipervolumen que
ocupan frente al hipervolumen que cubren todos los estados, ya sean
de equilibrio o no equilibrio. De este modo se encuentra que la
probabilididad de los estados de no equilibrio es extremadamente
pequeña frente a la de los estados de equilibrio. Esta
argumentación, de enorme novedad
2La historia del concepto de energía y su conservación tiene en
Gottfried Leibniz un bonito episodio con lo que él llamaba vis viva
y su conservación. Hoy entendemos el concepto introducido por
Leibniz como precursor del concepto de energía cinética [Smi06].
http://plato.stanford.edu/entries/ leibniz-physics/
1.3 Teorías 17
en tiempos de Boltzmann, supuso un avance decisivo en la génesis de
la Física Estadística. En resumen, tenemos conceptos básicos tales
como:
Leyes de la Mecánica Cuántica y Clásica. Leyes de conservación.
Estados de equilibrio ¿Cómo se alcanzan los estados de equilibrio?
Irreversibilidad Probabilidad y argumentos estadísticos.
Descripción estadística de los estados de equilibrio. Estados de
equilibrio: Formulación de Boltzmann. Distribución de Maxwell-
Boltzmann. Estados de equilibrio: Formulación de Gibbs. Energía,
Temperatura y Entropía. ¿Cómo se describen los sistemas en
condiciones alejadas del equilibrio?
Estos conceptos, que no configuran toda la teoría, son de interés
fundamental por suponer la base a partir de la cual se construye un
edificio teórico con capacidad predictiva.
1.3 Teorías
De las formulaciones de la Física Estadística en el equilibrio
previamente mencionadas la de mayor aplicabilidad, por su
simplicidad, es la de Gibbs, la Mecánica Estadística. La Teoría
Cinética, que también describe originalmente estados de no
equilibrio -cercanos al equilibrio- de gases diluidos y conduce a
las ecuaciones de la hidrodinámica, es más compleja, y como ya se
ha mencionado, su extensión a sistemas más densos es difícil.
Adicionalmente, la formulación de Gibbs permite el análisis de
fenómenos críticos en cursos más avanzados.
1.4 La Física Estadística en la Física de hoy
La preparación en Física Estadística resulta básica en una
formación científica orientada, por ejemplo, a la Física, la
Química Física y las Matemáticas aplicadas. Por supuesto, la Física
Estadística también es enormemente rica para aquellos interesados
en problemas en los que sus técnicas y conceptos son aplicables.
Situar la Física Estadística en un mapa actual de la Física no es
sencillo, aunque resulta útil intentarlo. Esto ayuda a situarnos y
comprender la importancia que tiene una buena formación en esta
disciplina.
Para ubicarnos se pueden mencionar algunos fenómenos y sistemas que
la Física Estadística nos ha ayudado a comprender:
Los fenómenos de la superfluidez [Lan41; Bog66] y la
superconductividad [BCS57], fenómenos colectivos en sistemas
cuánticos [Sew14] y plasmas [Din05], turbulencia en fluidos [TL72],
cristales líquidos [DGP93], transiciones de fase [LY52; YL52],
fenóme- nos críticos y renormalización [Kad66; Wil75],
espectroscopía molecular [KB02] y la estabilidad de objectos
astrofísicos como enanas blancas [Cha31a; Cha31b] o estrellas
neutrones [Lan32; ST08]. Los métodos de la Física Estadística se
aplican de forma habitual en estudios teóricos en el campo de la
nanotecnología y están demostrando su eficacia en la
18 Capítulo 1. Introducción
descripción de sistemas cuánticos de varios cuerpos, como el caso
de iones atrapados, que a su vez abren las puertas a nuevos
experimentos, por ejemplo, en transporte energético [Rui+14;
RGFA19].
Nos encontramos ante una parte de la Física enormemente
multidisciplinar que de- manda al alumnado una buena concentración
y dominio de materias previas como las Matemáticas, Mecánica
Clásica, Física Cuántica y Termodinámica.
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//link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevE.99.062105.
2. Preliminares. Algunos ejemplos
Cómo se ha querido enfatizar la Física Estadística es amplia en
cuanto a su dominio de aplicación y rica en metodologías. Para un
curso introductorio parece conveniente tratar de forma sencilla,
apoyándonos en casos simples pero físicamente relevantes, diversas
ideas y conceptos que están en la base de la teoría y que conviene
comprender y dominar. Nos centraremos en tres ejemplos sencillos.
Un sistema de muchas partículas las cuales pueden tener dos valores
de energía, la obtención de la presión en un gas ideal clásico
mediante argumentos cinéticos y la distribución Maxwell de
velocidades. Ejemplos que nos permitirán ilustrar algunos conceptos
importantes que se tratarán posteriormente.
2.1 Contando estados: Sistemas de partículas con dos niveles de
energía
Para comenzar, considérese un sistema Físico compuesto por muchas
partículas, con- finado en una región espacial, aislado de modo que
no intercambie ni energía ni materia con su entorno y que además
posee un estado cuántico bien definido. En particular, dicho estado
tendrá cierta energía. Un estado microscópico de dicho sistema será
un estado multipartícula que dependerá de diferentes parámetros del
sistema como puede ser la energía y las coordenadas de trabajo
termodinámicas. Por supuesto que dada una energía pueden haber
múltiples estados cuánticos con dicha energía. El número de estados
(E), con una misma energía E se denomina degeneración o
multiplicidad de dicha energía o número de estados del sistema con
energía E. (E) depende adicionalmente de otros parámetros del
sistema como pueden serlo el número de partículas y el volumen, lo
que no se ha reflejado en la notación.
Para profundizar algo más en la estructura de (E) vamos a estudiar
un sistema simple que no obstante es relevante en varios contextos
físicos como es el caso de los sistemas magnéticos.
Considérense, a modo de ejemplo, 3 partículas independentes donde
cada una de ellas
24 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
e1 e2 e3 E 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 2 1 0 0 1 1 0 1 2 1 1 0 2
1 1 1 3
Cuadro 2.1: Posibles estados de tres partículas donde cada una
adopta energías en {0,1} y sus energías totales
puede tener energía e ∈ {0,1} en algún sistema de unidades. Un
estado microscópico del sistema queda especificado dando las
energías de cada una de las 3 partículas. Así, un posible estado
sería |e1,e2,e2= |0,1,1, que es un estado microscópico con energía
E = 2. En general el sistema tendrá 2×2×2 estados. En la tabla 2.1
se indican todos los estados posibles y sus respectivas
energías.
Como se puede observar, los estados contenidos en la tabla 2.1
tienen energías E ∈ {0,1,2,3}. Para cada energía se tienen las
siguientes multiplicidades:
(0) = 1, (1) = 3, (2) = 3 y (3) = 1. (2.1)
Al preguntarnos por un estado macroscópico no estamos interesados
en la información detallada de la energía de cada partícula sino en
la información que aportan ciertas variables globales como puede
ser la energía total E. Por lo tanto, un estado macroscópico del
sistema por el que podemos preguntarnos es por aquel que tiene
energía E especificada. En general un estado macroscópico quedará
especificado por su energía y un conjunto de coordenadas de trabajo
X , adoptando aquí el lenguaje de la termodinámica. Nótese que a un
estado macroscópico le corresponden múltiples estados microscópicos
cuyo número denotamos por (E,X). Por lo tanto al hablar del estado
macroscópico del sistema necesariamente nos referimos a una clase
de equivalencia de microestados compatibles con las
especificaciones del estado macroscópico referido.
En nuestro ejemplo de tres partículas consideremos una energía E =
2 que especifica el estado macroscópico. ¿Cuántos estados
microscópicos tendrá el sistema compatibles con la energía E? De la
discusión efectuada hasta ahora se sigue (2) = 3 (ver 2.1). En
general, si se tienen N partículas, existirán 2N estados
microscópicos |e1,e2, · · · ,eN. Por ejemplo un estado microscópico
posible es
|0,1,1,1,0, N· · ·,0,1. (2.2)
En este caso, las energías totales E posibles para los estados son
tales que E ∈ {0,N}. Siguiendo los pasos del ejemplo de tres
partículas se necesita saber la multiplicidad de cada una de las
energías posibles, es decir el número de estados microscópicos
asociados a cada energía E.
En el caso simple de dos partículas, los estados posibles se
podrían obtener de forma simbólica a través de la expresión
(0+1)2 = (0+1)(0+1) = 00+01+10+11 7−→ |00, |01, |10 y |11
(2.3)
2.1 Contando estados: Sistemas de partículas con dos niveles de
energía25
Figura 2.1: (x) para N = 101
Nótese que si ordenamos según el valor de la energía y sin
distinguir entre permutaciones se tendría
(0+1)2 = (0+1)(0+1) = 00+2×01+11. (2.4)
Es claro que para N partículas simbólicamente habría que
considerar
(0+1)N , (2.5)
(x+ y)N = N
N! k!(N− k)!
xN−kyk (2.6)
se puede concluir que el número de estados con energía k es
(k) = N!
k!(N− k)! . (2.7)
En la figura 2.1 se representa el número de estados para diferentes
energías para el caso de N = 10 partículas. Nótese que si N0 y N1
son el número de 0′s y 1′s presentes en un estado |e1, · · · ,eN
del sistema, se puede escribir (N1) =
N! N0!N1! . Esta expresión se
puede expresar de un modo más conveniente para el desarrollo
posterior si se sustituye N0 = N/2− x y N1 = N/2+ x de modo
que
(x) = N!
(N 2 − x)!(N
2 + x)! . (2.8)
2.1.1 Valor más probable y fluctuaciones La distribución del número
de estados (2.8) nos indica que el número de estados
del sistema con x = 0 constituye el conjunto más numeroso. Si todos
fuesen igualmente
26 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
probables, entonces dicho estado sería el más probable. La pregunta
es qué valor se obtendría si se midiese la variable x. Por supuesto
se deberían obtener una serie de valores compatibles con la función
(x). Pero vamos a fijar nuestra atención en sistemas macroscópicos
donde N ≈ NA = 6,02×1023 (número de Avogadro). ¿Cómo influirá que N
sea del orden del número de Avogadro en (x)? En el caso de N
creciente se puede sustituir el desarrollo asintótico de Stirling
(lnN!≈N ln(N)−N+ 1
2 ln(2πN)) para obtener en el límite N 1 la relación
(x)≈ 2N
2x2 N , (2.9)
que cuando N→ ∞ tiende a 2Nδ (x), con δ (x) la distribución de
Dirac. Esto indica que a medida que crece N la probabilidad se
acumula en el entorno de x = 0. En realidad para N finito la
función tiene un máximo muy acentuado en el origen y que, a todos
los efectos, haría que x = 0 fuese el valor más observado. Para
comenzar a computar promedios estadísticos vamos a considerar que
todos los estados son igualmente probables de modo que se tiene que
la probabilidad de un valor x concreto es P(x) = (x)2−N .
Para profundizar algo más se puede considerar la fluctuación de N0
caracterizada por su varianza. Si se define el valor medio de una
función f (x) respecto a la distribución de probabilidad P(x)
como
f = Mean(f) = ∫
dxP(x) = N2/4+N/4, (2.11)
de este modo que la varianza de N0 esta dada por
Var(N0)≡ ⟨ N2
Resulta claro que la fluctuación relativa √
Var(N0)/Mean(N0) esta dada por√ N/4
N/2 =
1√ N . (2.13)
A medida que N crece más pequeña es la fluctuación relativa,
indicando que en el caso de sistemas macroscópicos se hace cada vez
relativamente más aguda. Por ejemplo para N ∼ 1024 la fluctuación
relativa es para el valor medio de N0 es de orden ∼ 10−12, de modo
que el valor medio de N0 tiene carácter predictivo.
2.1.2 Ejercicios
Ejercicio 2.1 Considera un sistema de N = 4 partículas
independientes donde cada una puede tener energías 0 o 1.
1. ¿Cuántos estados microscópicos tiene el sistema? 2. ¿Cuáles son
las energías posibles del los estados de 4 partículas? 3. ¿Cuáles
son las multiplicidades de cada una de las energías posibles?
Ejercicio 2.2 Una cantidad física x ∈ R está distribuida acorde a
una distribución de Gauss, de tal forma que su densidad de
probabilidad es
P(x) = (2πσ 2)−1/2e−(x−x)
2/(2σ2). (2.14)
Recordar que esto significa que la probabilidad de encontrar un
valor de x que esté en el intervalo (x,x+dx) viene dada por
P(x)dx.
1. Comprueba que P(x) está normalizada, i.e. ∫
∞
−∞ P(x)dx = 1.
2. Evalúa la media de x 3. Evalúa la varianza de x definida
por
Var(x) ≡ ∫
≡ ⟨ x2⟩−x2 . (2.15)
4. ¿Cuál es la probabilidad P(|x−x| ≤ kσ) de que al tomar un valor
de x al azar, este se encuentre dentro del intervalo (< x
>−kσ ,< x >+kσ)?
5. Si x= N/2 y σ = √
N/4 ¿cuánto vale √
2 ± k √
N/4 con N = 2× 1024. Haz una tabla con los valores{ k √
N/4,P(|x−x| ≤ k √
Nota: Se define la función error Erf(x) como
Erf(x) = 2√ π
∫ ∞
0 duuNe−u,∀N >−1. Muestra que para N 1 se tiene
ln(Γ(N +1))≈ N ln(N)−N + 1 2
ln2πN, N 1
Para concluir el resultado puedes seguir los siguientes
pasos:
Muestra que la función uNe−u tiene un máximo en u = N Representa
gráficamente la función para valores crecientes de N. Si se escribe
uNe−u = eNh(u,N) se sigue Nh(u,N) = −u+N ln(u). Desarrolla N ln(u)
hasta órdenes cuadráticos en el entorno del punto u = N. Con la
aproximación de Nh(u,N) que has obtenido tienes una aproximación de
uNe−u. Emplea el resultado anterior y obtén la aproximación de Γ(N
+1) =
28 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
Figura 2.2: Dominio de integración. Ejercicio 4
∫ ∞
0 duuNe−u ≈ NNe−N √
2.2 Gas ideal clásico. Análisis Cinético 29
2.2 Gas ideal clásico. Análisis Cinético Estudio del gas ideal
clásico mediante argumentos cinéticos que se debe a D.
Bernoulli
(1738) 1 2. La presión que ejerce un gas sobre las paredes del
recipiente V que lo contiene puede
entenderse como el momento lineal que intercambian las N moléculas
que lo componen al impactar con las paredes del recipiente por
unidad de tiempo y área del mismo.
Ejercicio 2.4 Calcular la presión p y demostrar que
p = 2 3
nε (2.16)
Ejercicio 2.5 — Aplicación del teorema del virial. a También se
puede derivar el resultado anterior de un modo alternativo.
Sea f (t) una función dependiente del tiempo. Se define, si existe,
el promedio temporal de dicha función y se denota por
f (t) ≡ lm t→∞
0 dt ′ f (t ′). (2.17)
Deduce la ley 2.16 considerando el promedio temporal de la derivada
en el tiempo de la cantidad
N
pi(t) · ri(t), (2.18)
con pi,ri ∈ R3.
aR. Kubo y col. Statistical mechanics(An Advanced course with
problems and solutions). North- Holland publishing company,
1971
R La cantidad −1 2 ∑i pi · ri se denomina virial. Puedes consultar
el teorema del Virial en
el siguiente enlace a Wikipedia.
"https://en.wikipedia.org/wiki/Virialtheorem”
1D. Bernoulli. Hydrodynamica: sive de viribus et motibus fluidorum
commentarii. 1738 2R. Kubo y col. Statistical mechanics(An Advanced
course with problems and solutions). North-Holland
publishing company, 1971
30 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
2.3 Distribución de Maxwell Uno de los resultados más interesantes
de la Física Estadística lo sintetiza la deno-
minada distribución de Maxwell de velocidades. Supongamos que se
tiene un gas en equilibrio térmico. Las partículas que lo
constituyen tendrán diferentes velocidades. En un instante
determinado se congelan todas las partículas y se registran todas
sus velocidades{
vx,i,vy,i,vz,i }
con i ∈ {1, · · · ,N}. Con todas las velocidades se construye un
histograma y se normaliza. De tal forma se tiene la distribución de
velocidades del sistema para la muestra estudiada. Dicha
distribución será la misma si la muestra se toma a cualquier otro
tiempo siempre que el estado de sistema sea de equilibrio. Llamemos
a dicha distribución P(vx,vy,vz). Si se considera que el sistema es
isótropo respecto a las velocidades no habrá una dirección
preferente por lo tanto P(vx,vy,vz) debe ser función de cantidades
invariantes asociadas a v, en este caso v ·v, se sigue entonces
que
P(vx,vy,vz) = f (v2 x + v2
y + v2 z ). (2.19)
Adicionalmente es razonable pensar, y así lo supondremos, que las
distintas componentes de la velocidad son estadísticamente
independientes lo que implicaría que
P(vx,vy,vz) = f (v2 x + v2
y + v2 z ) = g(v2
x)g(v 2 y)g(v
2 z ). (2.20)
Si se toma vy = vz = 0 se sigue que f (v2 x) = g(0)2g(v2
x) y f (0) = g(0)3 de donde
f (v2 x + v2
Introduzcamos la función h(x) = f (x) f (0) que verifica
h(x+ y) = h(x)h(y). (2.22)
∂xh(x+ y) = h(y)∂xh(x) h′(y) = h′(0)h(y),
(2.23)
h(y) = eh′(0)y (2.24)
P(vx,vy,vz) = N eh′(0)(v2 x+v2
y+v2 z ), (2.25)
∫ ∞
2.3 Distribución de Maxwell 31
Por lo tanto la distribución de velocidades es gaussiana en las
tres componentes de la velocidad. Se interpreta la distribución de
tal forma que P(vx,vy,vz)dvxdvydvz es la pro- babilidad de
encontrar una partícula en un elemento de volumen dvxdvydvz
centrado en (vx,vy,vz).
La constante α puede determinarse empleando la relación derivada
para el gas ideal en la sección 2.2, i.e.
pV = NkBT = 2 3
⟩ Tiempo
= 3 2kBT derivada en la sección 2.2, donde los promedios se
hicieron en el tiempo. Ahora podemos hacer el promedio de
cantidades que dependen de las velocidades ya que tenemos como
están distribuidas (ecuación 2.26). Vamos entonces a evaluar⟨
1 2
y + v2 z )P(vx,vy,vz), (2.28)
∫ ∞
α = m
2kBT , (2.29)
de modo que finalmente la función de distribución de velocidades
(de Maxwell) se escribe
P(vx,vy,vz) =
( m
2πkBT
kBT . (2.30)
A partir de la distribución de Maxwell se pueden evaluar los
promedios sobre observa- bles que solo dependen de las componentes
de la velocidad. A modo de ejemplo se puede computar el promedio
del modulo de la velocidad |v|= (v2
x + v2 y + v2
|v|= √
2.3.1 Ejercicios
Ejercicio 2.6 Haz una tabla con las velocidades |v| en m/sec para
los siguientes gases; H2, N2, CO2, He y vapor de agua. Toma T =
300K.
32 Capítulo 2. Preliminares. Algunos ejemplos
Ejercicio 2.7 Obtén la distribución de momentos lineales P(px, py,
pz) a partir de la distribución de Maxwell de velocidades.
Ejercicio 2.8 Fuente [Kub+71] Se tiene una cavidad que contiene un
gas a alta temperatura. A través de una pequeña
ventana se observa con un espectrómetro una línea del espectro de
las moléculas del gas. La línea observada se ensancha debido (entre
otras causas que no consideraremos) al efecto Doppler. Demostrar
que la relación entre la intensidad de la línea espectral y la
longitud de onda λ está dada por;
I(λ ) ∝ exp ( −mc2(λ −λ0)
) . (2.33)
Donde T es la temperatura de la cavidad, c es la velocidad de la
luz, m es la masa de una molécula dentro de la cavidad, y λ0 es la
longitud de onda de la línea espectral cuando las moléculas están
en reposo.
Bibliografía
[KJ71] J. Kestin y D. J.R. A course in statistical thermodynamics.
Academic Press, 1971.
[Kub+71] R. Kubo, H. Ichimura, T. Usui y N. Hashitsume. Statistical
mechanics(An Advanced course with problems and solutions).
North-Holland publishing company, 1971.
[LL80] L. Landau y E. Lifshitz. Statistical Physics: Course of
Theoretical Physics, Vol.5. Pergamon, 1980.
[Rei93] F. Reif. Física Estadística. Volumen 5. Reverté,
1993.
[FTRP96] C. Fernandez Tejero y J. Rodriguez Parrondo. 100 problemas
de Física Estadística. Alianza Editorial, 1996.
[DFL99] D. Dalvit, J. Frastai e I. Lawrie. Problems on Statistical
Mechanics. Graduate student series in physics. Institute of Physics
Publishing, 1999.
3. Descripción estadística
3.1 Introducción La Física Estadística descansa en la base de que
la materia está compuesta por cons-
tituyentes fundamentales como pueden ser los átomos o las
moléculas. La dinámica de dichos objetos están regidos por las
leyes de la Física Cuántica. En particular, en el caso no
relativista, un sistema del que se tiene la máxima información
posible, sería tal que se le podría asignar una función de ondas
cuya evolución estaría gobernada por la ecuación de Schrodinger
[Sch26]. En este contexto de la Física Cuántica la longitud de onda
de de Broglie λdB de una partícula de masa m, está relacionada con
la magnitud de su momento lineal a través de la constante de Planck
h de modo que
λdB = h p
con h = 6.626070040(81)×10−34Js(kgm 2 s−1). (3.1)
Debido al valor de la constante universal de Planck, si p = mv, con
v la velocidad de la partícula, para valores típicos en objetos
macroscópicos se puede constatar que los efectos de la coherencia
cuántica (interferencias) son difíciles de observar para dichos
objetos. No obstante hay un notable esfuerzo para observar efectos
cuántico en objetos macroscópicos.
Ejercicio 3.1 Estima “tu” longitud de onda λdB cuando estás dando
un paseo. ¿Interfe- rirás cuánticamente con otros viandantes?
En general los efectos cuánticos son medibles para objetos pequeños
y bajas tempera- turas, que es el caso en el que λdB es comparable
a la distancia media entre partículas. En equilibrio térmico se
puede relacionar λdB con la temperatura ya que se verifica
p ∼ √
34 Capítulo 3. Descripción estadística
donde T es la temperatura a la que se encuentra la partícula
y
kB = 1.38064852(79)×10−23JK−1(kgm 2 s−2 K−1)
es la constante de Boltzmann, central en la Física Estadística. Se
deduce de la discusión precedente que los efectos cuánticos son
relevantes para un
sistema de N partículas confinado en un volumen V si
λdB ∼ h√
)1/3
. (3.3)
Es decir, cuando λdB es mayor que la distancia media entre
partículas. De igual forma la física quedará bien descrita en
términos clásicos si
λdB ∼ h√
)1/3
. (3.4)
En este caso emergen las trayectorias clásicas asociadas a las
ecuaciones de Newton, o de forma equivalente, las que se derivan en
las formulaciones de Lagrange o Hamilton de la Mecánica Clásica.
Para los sistemas con propiedades electromagnéticas habrá que tener
en cuenta la descripción electrodinámica de la materia.
Se constata que la Física Estadística está presente en la interfase
de la descripción microscópica y macroscópica de los sistemas donde
aparecen teorías tales como la Termo- dinámica, fluidos y
superfluidos, teoría de la elasticidad en sólidos, materia
condensada en las que describen propiedades de conducción
eléctrica, superconductores, magnetismo, dieléctricos, teoría de
sistemas complejos, biosistemas, cristales líquidos, sistemas
sociales, redes complejas, etc...
Ejercicio 3.2 Un cálculo más refinado nos llevaría a λdB = h√
2πmkBT que se suele
denominar longitud de onda térmica. Calcula su valor para las
siguientes moléculas: H2,N2,O2,Cl2.
Ejercicio 3.3 Considérese un gas de bosones formado por N = 6× 1022
átomos de He4, cuya masa es 6,65× 10−27 kg, confinados en un
volumen de un litro. A bajas temperatura los efectos cuánticos son
muy importantes, tanto que aparece una forma de fluido denominada
superfluido en el que el medio no manifiesta viscosidad. Estima la
temperatura en la que el sistema se comporta cuánticamente. Emplea
λdB = h√
2πmkBT . Se define la temperatura de Bose como aquella a partir de
la cual todos los bosones
están excitados. Para el sistema propuesto dicha temperatura es
aproximadamente 0,0617K.
La base fundamental es que los sistemas están constituidos por
elementos fundamenta- les que evolucionan acorde a leyes dinámicas,
bien clásicas o cuánticas. Comenzemos por los sistemas
clásicos.
3.2 Sistemas clásicos Como se ha mencionado anteriormente en el
dominio clásico, cuando se dan las
condiciones 3.4, la dinámica de las partículas que constituyen los
sistemas siguen las leyes
3.2 Sistemas clásicos 35
de Newton. La dinámica de dichos sistemas comienza por la
especificación del conjunto de coordenadas y momentos de todas las
partículas y su evolución temporal. Sea
Γ≡ (r1, p1,r2, p2, · · · ,rN , pN) ∈M , (3.5)
un punto del espacio de fases M con ri, pi ∈ Rd , con d la
dimensión del espacio. El movimiento de los puntos del espacio de
fases y las ecuaciones que lo rigen pueden derivarse a partir de la
función de Hamilton que representa la energía de las partículas
como función de sus coordenadas y momentos. Dichas ecuaciones de
movimiento están dadas por
dri
i = 1, · · · ,N (3.6)
Una solución Γt = (r1(t), p1(t), · · · ,rN(t), pN(t)) con condición
inicial Γ0 existe y es única si el las partes derechas de 3.6
tienen las suficientes condiciones de regularidad (condición de
Lipschitz). Dicha solución es una trayectoria del sistema. Nótese
que dicha solución es función de las condición inicial. Se asocia
un flujo Φt que actúa en el espacio de fases de modo que dado un
punto Γt0 en dicho espacio a tiempo t0 se le hace corresponder otro
Γt a tiempo t de modo que
Γt = Φ t−t0(Γt0). (3.7)
Example 3.1 La solución de la ecuación de movimiento de un
oscilador armónico unidimensional, con condición inicial x(t = 0) =
x(0), p(t = 0) = p(0) y Hamiltoniano H = p2/(2m)+mω2x2/2 esta dada
por
x(t) = x(0)cos(ωt)+ p(0)sin(ωt)/(mω)≡Φ t 1(x(0), p(0)) (3.8)
p(t) = −mωx(0)sin(ωt)+ p(0)cos(ωt)≡Φ t 2(x(0), p(0)), (3.9)
de donde se identifica el flujo Φt = (Φt 1,Φ
t 2).
Una propiedad importante del conjunto de trayectorias clásicas es
que si
Γt = (r1, p1, · · · , rN , pN)
y ∇Γ = (∂r1,∂p1, · · · ,∂rN ,∂pN )
entonces
∂ ri∂ pi
) = 0. (3.10)
Se puede interpretar Γ como la “velocidad” en el espacio de fases,
siendo ∇Γ es el operador nabla en dicho espacio. Es estos términos
el campo de velocidades Γt es de divergencia nula. De modo que el
movimiento de un conjunto de puntos en el espacio de fases se
comporta como un fluido incompresible.
El resultado 3.10 se relaciona con la preservación del volumen del
espacio de fases para sistemas conservativos.
36 Capítulo 3. Descripción estadística
Un observable dinámico del sistema es una función A que toma
valores en el espacio de fases y que eventualmente depende del
tiempo de modo que
A = A(r1(t), p1(t), · · · ,rN(t), pN(t), t). (3.11)
Su evolución temporal viene dada por
dA dt
∂ t , (3.14)
donde en la última línea se ha definido el corchete de Poisson.
Relevante en la descripción estadística de los sistemas son las
constantes de movimiento,
especialmente aquellas relacionadas con simetrías continuas. Las
constantes de movimiento determinan en buena medida las cantidades
observadas a escala macroscópica.
De forma general las leyes de conservación están relacionadas a
través de un teorema debido a Emmy Noether1 a las invarianzas del
sistema frente a la aplicación de grupos continuos de simetría
(grupos continuos de Lie). En particular, cuando un sistema es
invariante ante las transformación temporal t 7→ t +T , esto
implica que si su Hamiltoniano no depende explícitamente del tiempo
(∂H/∂ t = 0) su derivada total en el tiempo es nula (dH/dt = 0), ya
que {H,H}= 0. Es decir que el Hamiltoniano es una constante de
movimiento.
Otra posible transformación corresponde al grupo de traslaciones en
las que r 7→ r+R. Si un sistema es invariante frente a estas
trasformaciones, entonces se conserva el momento lineal total P =
∑i pi y {P,H} = 0. Finalmente, si un sistema es invariante frente a
rotaciones en el espacio se conserva el momento angular total L =
∑i Li y {L,H} = 0. Nótese que tanto la energía total como el
momento lineal y angular total son constantes de movimiento
aditivas.
Adicionalmente pueden haber otras cantidades conservadas como el
número de partí- culas de las diferentes especies que componen el
sistema.
3.2.1 Función de Hamilton En el caso de un sistema de N partículas
no relativistas y sin considerar el espín, un
Hamiltoniano típico adopta la forma
H = N
∑ k=1
p2 k
u(2)(rk,rl)+ ∑ 1≤k≤l≤n≤N
u(3)(rk,rl,rn)+ · · · , (3.15)
donde rk, pk ∈ R3,k = 1, · · · ,N. El primer término es la energía
cinética. El segundo representa la energía potencial debida a
fuerzas externas, que pueden por ejemplo modelizar el confinamiento
del sistema o por ejemplo la acción de un campo eléctrico sobre las
partículas. El tercer término da cuenta de la energía potencial
debida a fuerzas que actúan
3.2 Sistemas clásicos 37
entre pares de partículas. El cuarto término describe la
interacción a tres cuerpos y así sucesivamente.
Si el sistema es invariante frente a traslaciones en el espacio, la
conservación del momento lineal total implica que
uext = ct. (3.16) u(2) = u(2)(rk− rl)
u(3) = u(3)(rk− rl,rk− rn) ...
Por último, si ademas el sistema es invariante bajo rotaciones,
entonces
u(2) = u(2)(rk− rl= rkl) (3.17)
u(3) = u(3)(rk− rl= rkl,rk− rn= rkn) ...
38 Capítulo 3. Descripción estadística
3.2.2 Necesidad de una descripción estadística La Física
Estadística considera un conjunto de sistemas equivalentes sobre
los que
se realizan promedios que tengan confirmación experimental y
carácter predictivo. En los ejemplos tratados en la introducción se
enfatizaron estos aspectos. Especialmente ilustrativa es la
descripción de la evolución del número de partículas en una
subregión del volumen disponible en el que la densidad a tiempos
largos alcanza un valor medio bien definido y fluctuaciones
relativas a la media muy pequeñas. Si se está interesado en
cantidades como la energía y las coordenadas de trabajo
termodinámico, no se necesita suministrar todos los detalles del
estado microscópico. En el caso clásico, no es necesario precisar
todas las posiciones y momentos de las partículas.
Otro motivo para considerar una descripción estadística la
encontramos en la presencia de caos dinámico en los sistemas
clásicos. En ellos dos condiciones inicialmente próximas en el
espacio de fases, digamos a distancia δΓ0 en el instante inicial,
se separan local- mente a un ritmo exponencial de tal forma que si
δΓt es la separación de las trayectorias a tiempo t entonces
λ = lm t→∞
> 0. (3.18)
A λ se le denomina exponente de Lyapunov y que su valor sea no nulo
es indicio de que la dinámica del sistema es caótica.
Si el error inicial en la localización de la condición inicial es
ε0 = δΓ0, error que puede atribuirse por ejemplo al error
experimental inherente a los aparatos de medida, y se desea una
precisión ε a tiempo t, esto podrá lograrse siempre que
t ≤ tmax = 1 λ
ln ε
ε0 . (3.19)
De hecho a partir de tmax se ha perdido la precisión deseada en la
trayectoria. Por ejemplo si se quiere extender tmax a ktmax, será
necesario básicamente multiplicar por k el número de dígitos en la
prescripción de la condición inicial. El crecimiento exponencial en
dicha precisión hace inviable una descripción en términos de
trayectorias y demanda un trata- miento estadístico en el que lo
relevante es definir la distribución de condiciones iniciales y
hacer predicciones estadísticas empleando la evolución de dicha
distribución inicial acorde a las leyes de movimiento.
3.2.3 Ecuación de Liouville Las distribuciones de puntos en el
espacio evolucionan en el tiempo acorde a la llamada
ecuación de Liouville, que pasamos a derivar. Para ello considérese
un conjunto de sistemas (el colectivo), cada uno con una
trayectoria solución de las ecuaciones de Hamilton 3.6, i.e se
considera el conjunto {
Γ (1) t ,Γ
} . (3.20)
Se introduce la densidad de probabilidad (probabilidad por unidad
de volumen fásico) de encontrar a un miembro del colectivo en un
punto fásico Γ a tiempo t como
ρt(Γ) = lm N→∞
∫ M
3.2 Sistemas clásicos 39
La introducción de un colectivo estadístico permite definir los
valores medios de cantidades observables, que en Física Clásica, se
representan por funciones que toman valores en el espacio de fases
M (ver 3.11). Dicho valor medio se define como
At = lm N→∞
∫ A(Γ)ρt(Γ)dΓ, (3.22)
con dΓ = dr1d p1 · · ·drNd pN . En el último paso se ha efectuado
el cambio de variables Γ = Φt(Γ0), de modo que
ρt(Γ) = ρ0(Γ0)det∂Φt
. (3.23)
Nótese que debido al teorema de Cauchy el flujo clásico es
invertible, i.e Γ0 = Φ−t(Γ). El denominador de 3.23 contiene el
Jacobiano de la transformación entre las coordenadas fásicas a
tiempo inicial y tiempo t, (det ∂Γ
∂Γ0 ). La ecuación 3.23 expresa la conservación
local de la probabilidad en el espacio de las fases a través de la
ecuación de continuidad. Fe hecho, si V es un dominio en el espacio
de fases, S = ∂V su superficie y dS un vector normal a la
superficie, con sentido hacia el exterior del recinto V y módulo
|dS| entonces∫
V ∂tρt dΓ =−
∂tρt +div ( Γρ ) = 0. (3.24)
Esta ecuación expresa la conservación de la probabilidad en todo el
espacio de las fases ya que
dt
∫ M
ρt(Γ)dΓ = 0. (3.25)
La ecuación (3.24) se le suele denominar ecuación de Liouville que
se puede escribir como
∂tρt = Lρt , (3.26)
donde se ha definido el operador de Liouville L{∗} = −div ( Γ∗ ) .
Si el sistema es inde-
pendiente del tiempo la integración formal de la ecuación de
Liouville con dato inicial ρ0 es
ρt = etL ρ0. (3.27)
Al operador P = etL se denomina operador de Perron-Frobenius. De
especial relevancia son los sistemas hamiltonianos conservativos
que en su evo-
lución preservan el volumen en el espacio de fases. Para dichos
sistemas se verifica quedet∂Φt
∂Γ
= 1 por lo que
ρt(Γ) = ρ0(Φ −t(Γ)). (3.28)
De hecho, en estos sistemas el teorema de Liouville [LL70] es
consecuencia de la anulación de la divergencia de Γ. De hecho
∂tρt = Lρt ≡ {H,ρt} , (3.29)
o de forma equivalente dtρt = ∂tρt + Γ ·∇ρt = 0, (3.30)
que implica que la densidad probabilidad se conserva en el tiempo a
lo largo de una trayectoria como afirma el teorema. Ver ejercicio
(3.5).
3.2.4 Constantes de movimiento Si el sistema de interés se
encuentra confinado en un volumen genérico V dejarán de
conservarse tanto el momento lineal total como el angular, la única
cantidad conservada será la energía de modo que LH = 0. Puede que
hayan otras cantidades conservadas que eventualmente habría que
considerar.
Si un sistema se encuentra en un estado de equilibrio su densidad
de probabilidad (en breve densidad) será estacionaria, es decir,
sin dependencia explícita del tiempo, de modo que
Lρeq = 0. (3.31)
Esto permite pensar que en el equilibrio el densidad es función de
H, es decir
ρeq = f (H). (3.32)
Si se da el caso que se conserva el momento lineal y angular total
entonces
ρeq = f (H,P,L). (3.33)
Si hubiesen constantes de movimiento adicionales entonces la
densidad en el equilibrio podría ser función de dichas
cantidades.
3.2.5 Ejercicios
Ejercicio 3.4 — Divertimento matemático. En el ejercicio 3.5 se
emplea la siguiente relación entre el determinante de una matrix A
y su traza
lndetA = TrlnA. (3.34)
Demuestra esta relación. Adicionalmente, si 1 es la matriz
identidad comprueba la ecuación siguiente hasta el orden t3
det(1+ tA) = 1+ t TrA+ t2
2! ( (TrA)2−TrA2)
3! ( (TrA)3−3(TrA)(TrA2)+2TrA3)+O(t4). (3.35)
En general para una matrix A ∈Mn×n habrá términos hasta orden n.
Formalmente pueden escribirse términos de orden superior aunque
serían nulos. Por ejemplo si se considera la matriz
A =
Donde vemos que el término de orden tres (y los superiores, aunque
no los hemos escrito explícitamente) se anulan.
Ejercicio 3.5 — Ritmo de cambio del volumen fásico en el tiempo.
Considérese las ecuaciones diferenciales
xµ = fµ(x1,x2, · · · ,xn) con µ = 1, · · · ,n. (3.38)
Sea un dominio R(t +dt) con volumen V (t +dt) definido por
V (t +dt) = ∫
R(t+dt) dx1(t +dt) · · ·dxn(t +dt). (3.39)
donde ∏µ dxµ(t +dt) es el elemento de volumen. Probar que
dtV (t) = ∫
R(t) ∇ · f dx1(t) · · ·dxn(t). (3.40)
con f = ( f1, f2, · · · , fn). Obsérvese que un sistema para el que
la divergencia del campo f es nula el volumen se preserva en la
evolución temporal.
NOTA: Emplea los dos primeros términos de la expresión 3.35.
Ejercicio 3.6 En el ejemplo 3.1 se tienen las soluciones a las
ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico unidimensional.
Evalúa el determinante
det ∂ (x(t), p(t)) ∂ (x(0), p(0))
. (3.41)
¿Qué conclusión se deduce del resultado?
Constantes de movimiento Las constantes de movimiento juegan un
papel importante en la dinámica de los
sistemas. Considérese un sistema con coordenadas generalizadas (q,
p). Una constante de movimiento C(q, p, t) es una cantidad cuya
derivada total en el tiempo es cero, i.e.
dC(q, p, t) dt
∂C(q, p, t) ∂qi
qi + ∂C(q, p, t)
∂ pi pi = 0. (3.42)
Por lo tanto C(q(t), p(t), t) es constante a lo largo de toda la
trayectoria. En este sentido el teorema de Liouville equivale a
decir que ρ(q(t), p(t), t) es una constante de movimiento
42 Capítulo 3. Descripción estadística
(ver la ecuación 3.30).
Ejercicio 3.7 Ejemplos.
1. Comprueba que en el caso de una partícula libre con función del
Hamilton H = p2/2 la función C(q(t), p(t), t) = q(t)− p(t)t es una
constante de movimiento.
2. Comprueba que en el caso de un oscilador armónico de masa unidad
con Hamil- toniano H = (p2 +ω2q2)/2, las cantidades
C(q(t), p(t), t) = q(t)cosωt− (p(t)/ω)sinωt y, (3.43) C(q(t), p(t),
t) = arctan(ωq(t)/p(t))−ωt
son constantes de movimiento.
Nótese que en los casos anteriores las funciones constantes de
movimiento dependen explícitamente del tiempo.
De especial importancia son aquellas constantes de movimiento que
no dependen explícitamente del tiempo y por lo tanto su corchete de
Poisson con el Hamiltoniano es cero i.e.
∂C/∂ t = 0 y (3.44) {C(q, p),H (q, p)}= 0
Ejercicio 3.8 Demuestra que si una función de distribución ρ lo es
sólo de constantes de movimiento que no dependen explícitamente del
tiempo, entonces es estacionaria i.e. ∂ρ/∂ t = 0.
Sistema que no preserva el volumen fásico. Sistema disipativo Un
péndulo amortiguado de masa unidad está descrito por un ángulo θ (
que se supone
pequeño) y su momento conjugado p. Las ecuaciones de movimiento de
este sistema son:
θ = p
θ , (3.45)
con γ,g/l > 0.
Ejercicio 3.9 Analiza las siguientes cuestiones: 1. Si el ángulo y
momento inicial son θ0, p0, ¿cuáles son las soluciones θ(t), p(t)
a
tiempo t? 2. Empleando lo que has aprendido en la demostración del
teorema de Liouville,
evalúa el volumen V (t) a tiempo t de un dominio cuyo volumen a
tiempo t = 0 era V (0). Ver expresión (3.40).
H = mω2q2
2m , (3.46)
donde p,q son el momento y la posición del oscilador
respectivamente. En este caso el espacio de fase tiene dos
dimesiones.
1. Si la energía suministrada asociada a la condición inicial es E
en que curva del espacio de fases se encuentra la trayectoria del
sistema.
2. Se contruye una función densidad ρ(q, p)≡ ρ(mω2q2
2 + p2
Ejercicio 3.11 — Elemento de volumen en el espacio de fases:
Coordenadas polares. Se tiene una partícula en dos dimensiones. En
coordenadas cartesianas el elemento de volumen en el espacio de
coordenadas es dxdy y en el espacio de momentos es d pxd py. Por lo
tanto el elemento de volumen en el espacio de fases de la partícula
es dΓ = dxdyd pxd py.
Se considera un cambio a coordenadas polares definido por
x = r cosθ (3.47) y = r sinθ .
Prueba que
dxdy = rdr dθ y (3.48) d px d py = (1/r)d pr d pθ
y que por lo tanto dxdyd px d py = dr dθ d pr d pθ . Se muestra así
que ante el cambio de coordenadas efectuado el jacobiano de
la
transformación en la unidad